автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Марковские модели сукцессии растительных сообществ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР АКАДЕМИИ НАУК СССР

На правах рукописи

ТУРСУНОВ Рахматулло Джалолович

МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ СУКЦЕССИИ РАСТИТЕЛЬНЫХ СООБЩЕСТВ

05.13.16.— Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1991

Работа выполнена в Вычислительном Центре Академии наук СССР.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук Логофет Д. О.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор, член-корр. ЛЕН РСФСР Крапивин В. Ф.

кандидат физико-математических наук Ведюшкин М. А.

Ведущая организация — Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований АН СССР (лаборатория системной экологйи)

Защита состоится « Ь. . > ЛЛирг^. . . . 199,£. г.

в 1$х'° час. на заседании специализированного созета

Д-002.32.06. при ВЦ АН СССР по адресу: 117967, Москва ГСП-1, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИ АН СССР.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета Д002.32.06, кандидат физико-математических наук С. М. Швартин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы:-Пойменнаярастительность долин и дельт рек Средней Азии имеет исключительное водоохранное значение в условиях засушливого климата, является непременным компонентом биогеоценозов, вовлекается в хозяйственную Д9Яïeльнocть человека, что не могло ни привлечь к ее изучении исследователей. разного профиля.

В настоящее время поймонкая растительность находится в зоне интенсивного орошаемого земледелия и сохранилась отдельными, небольшими по площади участкам, испытывающими значительный пресс антропогенного воздействия. Зарегулирование стока рек каскадом гидросооружений зачастую приводит к неблагоприятным •последствиям для существования пойменной растительности.

Влияние различных факторов ускоряет или замедляет процассн смены растительности, изучение которых крайне важно как для сохранения и оптимизации своеобразного природного гепофонда, так п для рационального использования растительных ресурсов пойм. ■ Характерные временные моменты сукцессии могут достигать 100 и более лет, поэтому необходима разработка математических моделей как инструментов прогноза, способных 'предложить имитационные эксперимента вместо экспериментов с природой.

Цель работа; Целью проведенной работы Сила разработка методов формального описания процессов смены растительности на конкретном участке по данным геоботанических наблюдений. Ядром этих методов является построение марковских моделей сукцессии растительности. Описывая сукцессию во времени и пространстве, модель призвана дать количественные ответы на ряд вопросов, касавдихся судьбы территории при заданных сценариях изменения условий среда. _ .

Научная новизна; Известны примера построения в качестве моделей сукцессии однородных марковских цепей, в которых вероятности перехода мэдцу состояниями цепи полагались постоянными во времени и выводы существенно зависел! от способа оценки этих вероятностей. Нами предложен метод вычисления переходной мэтряда, ■ основанный на экспертных оценках длительностей переходов, и исследованы; свойства соответствующей

однородной цепи. Путем включения зависимостей переходных вероятностей от изменяющихся условий среда впервые построена неоднародная марковская цепь для описания процессов смены растительности. Предложена формальная процедура экспертной оценки этих зависимостей по данным геоботанических исследований. Исследованы математические свойства неоднородной цепи и 1 проведаны имитационные эксперименты для ряда характерных сценариев изменения у'слощй.

Теоретическая и практическая ценность: . Разработан математический аппарат для описания процессов смены растительности (сукцессий) как дискретных марковских цепей. Построены имитационные модели сукцессии растительности в заповеднике Тигровая балка, способные давать прогноз развития ' территории с известным типом растительности при заданных сценариях изменения условий среды и служить основой дальнейших геоботанических исследований на моделируемых территориях..

Апробация работы и публикации; Результаты, диссертации докладывались на Республиканской научно-теоретической конференции молодых ученых и специалистов Тадаажской ССР, (Душанбе, 1987), на Всесоюной школе-семинаре "Математическое моделирование популящй растений и фитоценог!ов" (Планерское, 1989 г.), международном совещании "Математическое,моделирование экосистем и процессов" (Курортное, 1990'г.), а такие на семинарах отдела математического моделирования в экологии и цедацине ВЦ АН СССР (Москва,-1988-1989гг.). По материалам диссертации опубликовано 4 научных работы и одна находится в печати.

Структура и объем работы: Диссертация состоит из введения, трехглав и заключения. Работа изложена на 120 страницах, содержит 12 рисунков и таблицу. .Список литературы включает 104 наименования, в'том числе 42 .на иностранных языках'.

. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во' введении обосновывается актуальность темы, коротко излагается содержание диссертации.

В главе I дается классификация моделей сукцессии растительности, где основной акцент делается нз марковский .подход к построении математических моделей сукцессии.

В главе II предложена дискретная однородная марковская модель для смены растительности в мезосерии заповедника .Тигровая балка.

Впараграфе2.1 процесс смены растительности в мезосерии рассматривается как дискретная вд времени цепь Маркова с девятью состояниями. Состояния' выбраны на основе схемы последовательности смен растительности [3]; Исходя из этой схемы, был представлен граф перехода наяду состояниями цепи ,• где Ееряиш графа определяли ассоциации растительности, а ориентированные дуги графа - переход менду ассоциациями. :а определенный промехгуток Бремени кавдая ассоциация растительности переходит в следующее состояние с определенной вероятностью.

В пара^сфе 2.2 обосновывается формула вычисления вероятностей перехода следующим образом. При марковском подходе к моделированию сукцессии возникают два проблемы: Еыделение ассоциации растительности как состояния марковской цепи п оценка вероятностей перехода между этими состояниями. Вторая задача решается следующим образсм. Пусть А - событие, состоящее в том, что рассматриваемый переход не состоялся к моменту времени t, аВ-событие, состоящее в том, что перехода не произошло к'моменту t+s. Тогда, если обозначить P(A)=P(t), P(B)=P(t+s), то

P(t+a)=P(t)P(t+s/t), (1)

и, в силу марковости и непрерывности времени, мы имеем

• P(t+b)=P(b)P(t). (2)

Пусть' '

q(t)=ln P(t); P(t)=exp{q(t)>

Тогда q(t+3)-q(t>+q(s), и, переходя к пределу при з-*0, имеем

q(t+s)~ q(t) q(a)

11m-- 11m- ,

a-o в a*o a

или, do определению производной функции q(t), q(t)=q(0)=conat5

Отсюда

q(t)=c,t+c2> P(t)=exp(c,t+c2); P(0)=1,

и поскольку

q(0)-ln P(G)-ln 1=0,

го

exp(c2)=1; c2=0.

Ясно, что с ,=-а, (а>0) (так как из биологических соображений npat->oo p(t)-+0). Таким образом, вероятность невозникновения перехода к моменту времени t равна

P(t)=exp(-at), • (3)

вероятность перехода за это время равна

Q (t)=1 — exp(-at). (4)

Плотность вероятности перехода Q(t) есть

p(t)= -1- Q(t)=- P(t)= a exp(-at). dt dt

Если сроднее время, за которое происходит переход, равно Т, то со

X i а ехр(-ат) dt = Т , о

и, интегрируя левую часть этого равенства, получаем

a « J-. Т

Применяя эти рассуждения к каждому из переходов нашей cxe¡.u и полагая, что At - шаг дискретного по времени марковского процеооа, получаем

дг

ри(д1)=1-ехр(---).

и

Идея метода оценки р^ЛЮ состоитвтом, чтобы отождествить Т^ с экспертной оценкой среднего времени перехода из I в состояние

Для простоты и наглядной интерпретации, пег.ш использовалось лилейное приближение [2].

дг

13

Допустим, что истинное среднее время перехода TlJ отличается от экспертного па пекий млог-отоль 7>0: «7Тогда "истинная" вероятность перехода есть

Лt

р..(дг)»----(6)

7 и

' Например, 7=2 означает, что за удвоенный период времени смена I -> У происходит со стопроцентной" вероятностью.

В параграфе 2.3 исследуются свойства полученной марковской цзпл как математического объекта. Для этого множество состояний цопи разбпзаетсЛ о помощыэ существующей классификации па переходные п эргодичэскиэ множества. Множество переходных состояний состоит из состояний 1,2,3, 4, 5, а оргодическое множество-из состояний 6,7, 8п9. Поскольку данная цепь не является рэгулярпой, наследуется поведеше до входа в оргодачосгсое мнокество состояний п плутря этого мпояоства.

Для лвбого из состояний цепи средние времена до входа в эргодическое состояние цепа определено и вычислено в работе. 12). Интерпретация этого результата означает, что при сохранении существующих в-запозеднико условий тростплковые ассоциации растительности могут достичь флнальшй стадии сукцессии за 50 лет, зриантусовце ассоциации - за 120 лет, а турангово-лохоЕые, срнантусово-лохошэ п чисто лоховне ассоциация - за 80 лет. ■ . .

Дляоргодяческогомногвстйй состояний цепи стационарный вектор распределения вероятностей состояний был вычислен как собственный вектор, соответствуздзй доминантному фроббкпусову собственному числу подматрицы матрица (б). Он оказался равным

и = [ 0.13, 0.26, 0.37, 0.24 1 .

Интерпретация этого результата, вытекающая из содержательного смысла состояний цепи, .следующая. Если вероятности переходов остаются постоянными, моделируемая экосистема достигнет равновесия/в котором 13% площади будет " занято императовым туранговником', ZЬ% - гребенщиково--колосняковым, 31% - солодковым и 24Ж - парковым туранговником.

В параграфе 2.4 проверяется чувствительность модели к параматру 7.

Утверждение 2.1. а) стационарное распределение вероятностей v?регулярной марковской цепи с переходными вероятностями (б) не зависит от 7;.

О) оценки времен достижения финальных стадий сукцессии линейно чувствительны к выбору 7.

Доказательство, а) Дифференцируя по 7 векторное равенство и(Р-1)=0, получаем:

д У1 (£-1) + н (Р-1)^о.

•в 7

а 7

(Т)

С учетом (6) ц условия стохастичыостц матрицы Р имеем

д Р

для д 7

О р

и

д 7

Д1:

'и

<Р-и

д Р д

для

т.о.

3 7 д у

8

J и

— £Р 7 *

и

-1

1

( Р - 1 ) = —1— ( I - Г ) . (8)

б 7 7

Следовательно, равенство (7) сводится к уравнению

д ч>

д 7

( Р - I )= О

(9)

. Для зтого уравнения единственным решением, удовлетрорякздш условна

д и>, . ■

• 2-1 = 0 (10)

О 7

(очевидному следствию из стохастичиости вектора «), является

7

а п

-— = 0. (11)

д т

Т.к. вывод (11) нэ зависит от частного значения 7 = 2, он справедлив при любом (допустимом по построению модели) значении 7>0. Таким образом, стационарное распределение вероятностей п регулярной марковской цеш не зависит от 7.

б) Аналогично (8) могно показать, что

1-0(7) - — (1- 0,Г\ ' (12)

Т '

где Q( =»Q(7 = 1) - соотЕотствущая подматрица матрицы Р;, построенной при 7*1. Следовательно,

Н(7) - t-L (I - Q.)]-' - 7 (I - Qt)-T , (13) 7 ■

и

-М-- [I-Q1-' -Н(7- 1). (14)

о 7 '

Таким образом, оценки времен достижения финальных стадий сукцессии линейно чувствительны к выбору 7.

В параграфе 2.5 сделано заключение и приводятся вывода, полученные 8 этой главе.

В главе III сформулирована неоднородная марковская модель сукцессии растительности заповедника Тигровая балка.

В параграфе 3.2 по данным геоботашгческих наблюдений составлены схемы смен растительности заповедника Тигровая балка, отражаете различные этапы формирования поймы низовий реки.Ваш. Эти схемы сукцессий разделены на блоки, соответствующие сериям смен: гадросерия, мозосерия, галосерияиксеросерия [61. Термин "серая" используется здесь не для обозначения сходящихся к климаксу сообществ [7J, а для выделения временных рядов фггоценозов, соответствующих конкретным стадиям формирования и функционирования поймы. Схемы сукцессий представляют собой отражение фактически зафиксированных смен стадий, каждой стадии соответствует ассоциация растительности,, толкуемая достаточно широко во избежание дробления ассоциаций п усложнения моделирования. Подразумевается, что смены происходят в результате действия как эндогенных, так и экзогвеныхфакторов, которые оказывают свое действие практически одновременно 15).

Эндогенными факторами в данном случае являются межвидовая конкуренция за ресурсы и прочие механизмы, обеспечивающие наблюдаемую закономерность в чередовании стадий, а экзогенными -такие показатели условий среды, как уровень засоления почвы и глубина залегания грунтовых вод. Для уровня засоления в баллах (э) и нескольких "опорных" значений уровня залегания грунтошх вод (и) в диапазоне от -1.5м до 10 м была дана оценка длительности для каадого.перехода этой схемы.

В параграфа 3.3, исходя из этих оценок, были определены времена перехода между состояниями (Г) какфуикцииотшие. Эти функции были получены путем 'аппроксимации с помощью сплайн-функций третьего порядка. .

Далее, вероятности р^ перехода 1.3 состояния I в состогшие J за один шаг по времени вычисляются для любых текущих значений ига следующим образом:

е^ООИ-ехрО—^)), (15)

ь=1,2. —;

е. Ль)

Рц(ь)

= о

если с11(к) 2 1

р,/к) - О^и) рни>) - 1 -

если

О <qi(lí) < 1,

(16)

(17)

В формулах (15)- (17) использованы следующие обозначения: ¿■£-шаг по времени,

ь - номер шага,. ' . •

^(ь) - врем перехода из состояния < в J для заданных

значений ш(а) и э(^).

6{^ (ь) - "относительное" время перехода из состояния ^вJ.

р (к) - условная вероятность того, что система,-пребывая в и ' : ....■■•

состоянии 1 в момент времени ^, переходит в

' состояние } к моменту времени .

п - число состояний цепи (в рассмотренном.случае п=39),

В результате получается двухпараметрическое семейство

матриц переходных вероятностей {1(а,*) * |р^(в»ш)1>, из

которого любой заданный сценарий переменных а и ш выбирает

опрэделещув последовательность Р(1 ),Р(2),..., Р(Т) матриц, гдз Т - длительность сценария. В зависимости от сценария эти матрица жгут отражать не только количественные вариации вероятностей гореходов, по и качественное изменение структуры самих переходов, .г:бо одзй из них могут исчезать, а другие возникать с изменением окологнческпх условий. Таким образом, неоднородная марковская п,зш> Е£Зот, вообще говоря, переменную структуру переходов.

, В параграфе 3.4 неоднородная дискретная цепь Маркова псслэдуотся как математический объект. Цепь Маркова в несем случае определяется Заданием вектора начальных вероятностей состояппЗ цепи и последовательностью стохастических матриц

?ь= {р^зОО.оСА))! , г,/ =1,...п, ^ » 1.2... (18)

!!зтрицз Р(ь,а)=.{р{ (л.п)} перехода за п патов выражается известным образом через матрицу переходных вероятностей за одта паг Ри(ъ) - р{<,(л,1) [93.

Если задано начальное распределение сэроятпостеЗ (Езктор -строка 2 (ь) ), мраспределение вероятностей чзрзз л иагоз г^гг^слпзтся го формула

(п)

-1(Ьт) = .1(20 Р (й). (20)

Стохастической матрице ?=5р{^5 гсгпо постаспть в ссютаетстглзтадрзтнупбулевскуп матрицу А=|а{^ ¡| , элементы которой определяются слздуещнм образом:

Г 1 , если р > 0 , . 0 , зслл р/г О , i-J-1.ii. (21)

Патрица Л представляет, собой матрицу с:.:эзпости для ориентированного графа переходов за один иаг. Из теории графов [83 известно, что для графа с п вершинами матраца достижимости за любое конечное число иагов вычисляется по'следующей формула

'И = В [ I + А + А2 + . . . + Ап"1], (22)

где сгзол В указывает на логическую природу операций сложения и

ушюе91шя. .

Используя (11), ыокнй определить патрицу достижимости за т

патов я в неоднородном олучвэ

(1) (2) (Я)

R(m) » В t А (ft) + A (is) + ... + А (Ь) J, (23)

Га)

где А (к) =А„Ааи ... А^., .

Элемент atJ этой матрицы указывает на факт наличия или отсутствия достижимости состояния о номером J из состояния ( заданного сценария. В процессе вычисления последовательных произведений переходных матриц появляется возможность определить минимальные времена достинения, то есть минимальное число шагов, за которое состояние J достижимо из соотояния (.

Соответствупдая матрица вычисляется со формуле

MtJ(0) - О , t,J - то

MtJW

lf4J(« - 1), воли Rfjtm) - О,'

MtJ(m - J), если RtJ(a) > 0, ¡¡^(а-1) > 0;

« , если R%J(iв) > 0, MtJ(и-1) » О.

(24)

По этой матрице можно судить о минимальных сроках превращения определенных ассоциаций растительности в любые иные, в частности, нежелательные типа растительности. Могно доказать,

что величина среднее время первого достижения соотояния /

из состояния I - в нулевой момент поддаются обобщения на неоднородный случай в вычисляются по формуле

(п) * Пи

(25)

<Ь)

r№f^J - вероятность, первого достижения состояния } исходя из состояния ( за а шагов число патов в

выбранном сценарии. Вероятности вычисляются рокурантшм

образом на основе очевидного соотношения:

(и) (в) (к) Гл-Ъ)

к«!

В параграфе 3.5 обоуаиаются результата проведенных численных «ксшримннтов с модель») и дается их экологическая интерпретация.

- и -

Так, один из экспериментов отражает сценарий изменения гидрологических и почвенных условий в низкой пойме, парно дне ски заливаемой водами реки Ваш (см.рис. 1). В связи с ухудшением общзй гидрологической обстановки, был Еыоран вариант, при котором ваксшальные расхода вода (вызывающие паводки) наблюдаются один раз в тридцать лат. В настоящее врзмя периодичность таких расходов в реке Ваня состовляет от б до 12 лет.

' Наганный эксперимент показал, что при этом варианте в услокшхгогзкой поймы вначале происходит быстрый сувдессионшй сдог с образованием сообществ лоха (Юлет)и турантн (20лэт). Далэа» начиная с тридцатилетнего срока, вероятности стабилизируется. Вплоть до сто пятьдесята лэт, они равны 0.62 для лохац0.33 для турапга. Это свидетельствует об образовании устойчивого субкликаясп из турангово-лохових сообществ. гггст:г1эсш1татолг'.екарт:п1аН2блэдаотся:1 п настоящее время а условиях'средней поймы, то есть получается в процессе ¡•эделпроваЕия сооСщэстгэ соответствуют рог;льши сообцэствпм средней пой.-л.

Другой хгрсхтчргяй эксперимент кодолкруот нзмзнбшм экологической обстонсша нз участках низкой пой:«, удадешга от русла рз:с1 (см.рлс.2). Этд участка располагаются по угаса;:м протокам, сотошюпшн в вида стар'щпа юечсрзх рею: Вахл. ПрЭДЦОЛОГЗЛОСЬ, что П0Д0С!2.*9 участкл ргфздь буду? дзгста достаточного уалошиш и на пах раеовьэтся шгтсисшгано процесс:,'

МССЛОНТТЯ.

Дг;1ап:ог'С:::тацюга аксшр;.:;^ц'Гзпо1са:зл", что птл участки проврс-догск зз десять лэт в .?;гз с ссобздетаг:я взгикко. 3 гзчоппх трздцятя - сорока гл? здэсь :::э появляются кустар:гшаь гр обятак гязгсЕотспстцЗ иг.этклпсто2одос:1г.. ПсслодшП ияжичся врэдсгатэлс-и галаС'х^голз. По.тучлст в кегбнс» мсспергззптз сзрояиюста стзсялязируюгся с оосыахэслха л-?? и ОСТМЯСЯ всяздешвязгло ста пятадзсяг*.'»?, что свидетельствует о шсоксй Устойчяесстя оис ссоскзстз. Роапьннй аналог получении: в зкспар:зп1-1ге есобвдстз- свнскосш'.э участи« п поГмо река. Эксплуатация сопокособ приводят 5: норупошги стабильности ценозов, переходу от лугов к галофатону. В ряде экспериментов такте моделируются реально наблюдаемые явления и даются соответствующие количественное оценки.

- 12 -

в - уровень засоления (в баллах).

so со w iso iso

w - глубина залегания грунтовых вод (в метрах).

XJ

Рисунок 1. 1! - время (в годах).

- 13 -

s - уровень заооления (в баллах).

. •

Рисунок 2. Т - время (в годах).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Разработан подход к построению марковских цепей как модели сукцессии растительности на пойменных землях рек Средней Азии. В рамках этого подхода:

1. Предложен новый метод оценки матрицы переходных вероятностей марковской цепи на основе данных геоботанических наблюдений.

2. Построена однородная марковская модель сукцессии растительности в мезосерии заповедника Тигровая балка'и исследованы ее математические свойства.

3. Разработана процедура экспертных оценок длительностей * переходов между состояниями в зависимости от условий среды (засоленности и уровня грунтовых вод) и предложен способ оценки . переходных вероятностей как функций условий среда.

4-. Построена неоднородная марковская модель сукцессии \ растительности для заповедника Тигровая балка. Математическое 1 исследование модели . сведено к анализу • свойств последовательностей стохастических матриц; получены формулы, позволяющие строить графы достижимости для любого заданного сценария.

5. Проведена серия имитационных экспериментов, характерных для формирования средней и высокой поймы, к получены оценки распределения вектора Ьероятностей, минимального времени достижения состояний и среднего времени достижения для каждого состояния цепи к концу сценария.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях:

1. ТурсуновР.Д. Анализ математических свойств мчрковской 1мдели сукцессии в заповеднике "Тигровая балка"//Росп. конф. цолодых ученых и специалистов АН Тада.ССР (тезисы докладов)/ Допкз, Душанбе, 1987, с.94-95.

2. Логофет Д.О., Турсунов Р.Д. Математический анализ свойств марковской модели сукцессии в мезосерии заповедника "Тигровая бажа"/Доклады АН Таджикской ССР, 1988,Т. 31, А 9, с.570- 573.

3. Князьков В.В., Логофет Д.О., Турсунов Р.Д. Попытка марковского описания сукцессии растительности/Известия АН СССР, серия биологическая, 1989, Й2, с.297-301.

4. Логофет Д.О., Турсунов Р.Д. О марковском описании сукцессяшрастительных сообществ//Ыатематическоа моделирование популяций растений и фзтоценозов (тезисы докладов)/Москва, 1990, 0.69-71.

Литература цитированная в автореферате:

5. ВасилевичВ.И. Очерки теоретической фитоценологии. Л.: Наука, 1983. -226с.

6. Миркпн Б.и., Розенберг Г.С. Толковый словарь современной фитоценологии. М.:Наука, 1983. -127с.

7. РазумовскийС.Н. Закономерности диышязсибиоценозов. М.: Наука, 1981. -232с.

8. Робартс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическими экологическим задачам. Ц.¡Наука, 1986. -496с.

9. СарымсаковТ.А. Основы теории процессов Маркова. Ташкент: Озк, 1988. -248с.