автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оценивание параметров пространственных точечных процессов марковского типа

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ'ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ГРАБАРНИК Павел Яковлевич

'УДК 519. 218. 5+519. 24/25

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТОЧЕЧНЫХ ПРОЦЕССОВ МАРКОВСКОГО ТИПА

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники.

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях по отраслям,наук

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

Работу выполнена в Институте почвоведения и . фотосинтеза РАН

Официальные оппоненты :•• доктор Физико-математических наук

В. В. КАЛАШНИКОВ кандидат физико-математических наук ' . Г.П. КАРЕВ

Ведущая организация :

Вычислительный центр РАН

Защита состоится ' IV часов на заседании Сле

доализирова

1992 г. в

Л

е-о

ализированного совета Д063.38.18 при Ленинградском государственном техническом университете по адресу: 195251 г. Санкт-Петербург, Политехническая ул.. 2£ С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке Ленинградского государственного технического университета.

Автореферат разослан '13»1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д 063.38.18 кандидат физико-математических наук

С. И. Репин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Актуальность теуы. Статистические метода анализа прсстранствек-ных точечных процессов являйся важной составной частью математической статистики. В настоящее время начинает складываться теория статистического оценивания стохастических систем пространственно распределенных .объектов. Если методы оценивания для точечных процессов на прямой достаточно хорояо разработали, то теория для многомерного случая еще далека от завершения. В последнее время на основе глубок;« вероятностных идей стали активно раирабэтываться новые подходы к проблема саешгазняя параметров' для точечных моделей марковского типа. " •

Развитие статистических методов аяаыгаа пространственных данных стимулируется также задачами при.ладлых исследований. Оструп необходимость в использовании методов пространственной статистики испытывают лесоведение и популярчончя экология растений п спязи с анализом горизонтальной структуры растительных сообществ. Анализ структуры клеточных тканей, пространственная структуре геологических. геофизических, экологических систем являстоя примерами применения указанных статистических методов.

Важной частно' работы явилось создание программных средств, реализующих предложенные методы о'ценива;гая. необходимость которых, была продиктована пе только практичеокда применением разработанных статисти«есчих процедур, но и получением теоретически значимых результатов в части оравнания различных методов оценива-пия. • ' ' '

Цель и задачи работы. Целью настоящей работы являлась разработка и анализ статистических процедур оценивания параметров пространственных точечных марковских процессов, разработка вычислительных алгоритмов и соответствующего программного обеспечения, их применение для-обработки экспериментальных да1шых. Для этого были поставлены следующие задача

1) провести сравнительное изучение качества оценок, получаемых различными методами. исследовать свойства метода, основанного на построении функции псевдо-правдоподобия и рассмотреть ого связь 'с ¡«етодон моментов; ' ''

2) предложить екопресс-методы. не требующие большой вычислительном р'ЗСоты 2 полезные на предварительной отадии исследования;

3) построить и исследовать модель марковских точечных процессов с несколькими типами точек;.

4) предложить математическую модель горизонтальной структуры древостоя, обработать экспериментальные материалы по размещению ■деревьев по территории, создать комплекс, программ, реализующий метода оцекивания и генерации точечного процесса с заданными, свойствами.

' Научная новизна диссертации состоит в следующем. Исследованы методы оценивания параметров пространственных точечных процессов марковского типа, описывающих многокомпонентные системы взаимодействующих объектов. • Рассмотрен широкий класс моделей точечных структур, изучены условия их применимости для анализа пространственно распределенных данных.

Введен новый метод максимального псевдо-правдоподобия для оценки параметров точечных процессов .с парным взаимодействием. Проведено сравнительное ' изучение оценок максимального псевдоправдоподобия и метода моментов. Предложен метод оценивания, использующий радиальную функцию, исследовано качество оценок.

Рассмотрен класс маркированных точечных процессов марковского типа, метод максимального псевдо-правдоподобия распространен на случай маркированных гиббсовских точечных процессов.

Разработанные методы' применены для статистического анализа ■ экспериментальных данных пробных площадей планов различных древостоез..

.Разработано' программное обеспечение задач моделирования и анализа пространственных точечных процессов.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы при решении различных задач популяционной окологии растений, исследовании свойств микроструктур клеточных тканей, изучении свойств распределения взаимодействующих объектов в геологии, геофизике и других научных дисциплинах, в которых анализ пространственной структуры имеет существенное значение.

Методы исследования. При получении'результатов диссертационной работы .использованы методы теории вероятностей, математической статистики, функционального анализа, статистических испытаний Монте-Карло, численного моделирования .на ЭВМ.

Апробация работы. Реультаты работы докладывались и обсуждались

на XII и IV Школах-семинарах " Взаимодействующие • марковские процессы в биологии" ( г. Пущико, 1981 г., 1934 г. ), хх Всесоюзной школе по математическому моделированию сложных биологических систем (г. Велегож, 1984 г.), на 1-ом Всемирном конгрессо'общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (г. Ташкент, 198Б г.); Международном рабочем совещании "Моделирование окосистем и процессов" (п. Курортное, 1990 г.), на семинаро кафедры математической статистики Ювяексльского университета (г. Ювяскюля, Финляндия, 1990 г.).

Структура и объем работы. Диссертация ' состоит ■ из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 113 наи-. менований. Работа изложена на 116 страницах, содержит 8 таблиц' и 9 рисунков.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата.'

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во ВВЕДЕНИИ обоснованы актуальность теш диссертации, сформулированы оснозные задачи исследования, изложены научная новизна, ■ практическая и теоретическая значимость работы.-

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ ' введены необходимые определения: случайных точечных множеств, случайного точечного процесса, иоментных мер случайного точечного процесса, меры Кемпбелла. и распределения Пальма. Показано значение анализа оцепох момэнтных мер для харакг теристики случайного точечного процесса. Рассмотрен широкий класс случайных точечных процессов и показано, что-горизонтальная струк-. тура растительных сообществ может быть описана как модель случайного точечного процесса. Введено понятие марковского точечного процесса о помощью задания функции плотности для случая конечного точечного процесса, и с помощью функции локальной энэргии для гиббсовского точечного процесса марковского типа в /

Случайные точечные множества, описывающие пространственно распределенные объекты, являются, .классом случайных замкнутых множеств'. вероятностная структура которых вводится с учетом того,, что события могут происходить в точках случайного подмножества ¿-мерного евклидового. пространства л" Г сг=1. 2....). не имеющего точек накопления. Любой точке х е я* отвеится в однозначное

' 3

ооотзетствие распределения Дирака б* тек. что для лгбого ограниченного множоства в из с-алгебры sd борелееских множеств б^в) = = 1в( *) . Таким обрьзоя сиог^чэ обьежтов может быть сопоставлена локально конечная считающая ¡.;ерв я *! В) есть число точек конфигурации, попавших в область в. Точечный процесс определяется как вероятностное распределение в не множестве Бсех локально конечных очитшцих мер н . -

Простейшая модельс размещения точек явтяется пуассоновскгг точечный процб':^. которыа служгг основой для построения более сложных моделей. Пувссоновскма -ппоцесо является модельо 'чисто" случайного размещения, т. е. разчсщо'ния, при котором точки распределены в пространство i) равномзрно (однородно) и 2: независимо друг от Друга.

Огклонэякл от первого условия моделируются процессом Кокса или дчавды стохастическим пуассоновсккм процессом. Нарушения вгорогЧ; условия могут быть описки с покогуьс марковских (ГИббСОВСКИХ! точечных лроцйссоя.

Модели марковских точечных процессов хорошо приспособлены для описания систем в э « имо дейс т в уnrjsy объектов. Подобные систеш могут проявлять как регулярные, тек ч клосторяке свойства. Марковские точечные процесса оказывайся и это л ситуации дсвольно гибкими моделями, для которых рзпрершние изюнения модальных параметров приводят" к плавкому, кэмоггекиг свойств кон^игуроций точек от регулярных дс кл1стер)шх. Тем семы» появляется возможность изучать'динамику пространственной структуры о достаточно сложным поведением, отслеживая изменение парамотров модели.

Для гпббсовсккх точечных, процессов справедливо соотношение, связназпяее распределение процооса Р и редуцированное распродоле-няе (¡альма е' " : для дабой неотрицательное измеримой функции и

Хр | ut<f) P'jd») - J и(Ф) ахр <-£(*,♦)) (1)

• •

• .где х - интенсивность точечного процесса. £{*,») - Функция лор ,

. калы:оа энергии и f - ред/цкриваяное распределение Пальма, опро-\ доллодбв вероятности собьтиа при условии, что в точке * имеется

<?.'FlkMl Г. EstiMtiOD of parameterized pair potentials of вагк«<1 .'. aftd ьоо.-шагк«<1 Gibbsian poi et procaasaa // Electron. Infore. ; KfWrn.. 198*, v.20, P.J70-J78. 4

точка процесса р. Данное соотношение позволяет интерпретировать величину Е как эпергию, необходимую затратить, чтобы добавить точ-. ку {*] к конфигурации ф . Это' уравнение служит основой для построения семейства методов оценивания (метод моментов).

Во ВТОРОЙ ШВЕ описываются методы оценивания параметров гиб-бсовских точечных процессов, исследуется качества оценок метода моментов при различных видах функции, и. Детально анализируется метод, основанный на характеристиках 'второго порядка, изучаются границы его применимости. Вводится метод 'максимального псевдоправдоподобия, рассматривается его связь с методом моментов. • ■

Описание пространственной структуры раститёльного сообщества с помощью модели марковского точечного процесса приводит к постановке ряда задач, в том числе к задаче оценивания параметров моделей простраственных точечных процессов. ' .' •

Гиббсовские точечные процессы специфицируются с помощью функции лекальной энергии е. Таким "образом," неизвестные параметры/ которые следует оценить, входят в выражение функции локальной энергии Í : Sj, Nie/.

Предложенная Р. Такачем и Т. Фикселем2' процедура оценивания, со-1 .стоит из последовательности следующих иагов г -1". Выбор подходящих "функций и(, i = 1,'..., к . '■. . 2. Оценивание левой стороны уравнения .{• Í )' с • и(Ф) и ($)

3. Оценивание правой стороны уравнения ( 1') о и(ф) = и (♦) и. ■ локальной энёргией. Ед , где о =(9],. . . ,о ) '-. вектор неизвестных параметров. • ■ ' '

4. Нахождение оценки - б как репения /оптимизационной' задачи

I us(j£) - ss(i,e))2—. ain.-í.i в

где £S(i) и RS(i,e) - оценки левой и правой сторон уравнения (1).

Таким образом, параметры модели, входящие в функцию локальной энергии Ев, должны быть выбраны так, чтобы правая часть' уравнения наилучшим образом в смысле наименьших квадратов аппроксимировала левую часть. - '

Важной проблемой является вопрос о статистических свойствах получаемых оценок параметров. Вычислительные ¡эксперименты позволЯ-

""'Такасз R. Estimstior for the pair-potential of a Gibbsian point procesa // Math.Oper.Statist.ser.Statist., 1985, v.17, p.429-433

dt "оделать заключение, что уменьшение дисперсии оценок левой и правой частей уравнения (1) влечет уменьшение диспероии оценок параметров е. Уменьшения 'дисперсии оценок, левой и правой частей можно добиться, ' если выбрать функции и(4>) в виде: ... . и(ф) = 'Ь(Ф) expia * £zix,$))> где функция локальной енергии г(х,Ф) представлена в виде: £<*,♦) = h + Е^х.Ф) +'£2(*,Ф), е^х.ф) > о и ^u» < о .

Метод поевдо-правдоподобия. Термин "псевдо-правдоподобие» появился в связи с задачей -оценивания параметров случайных марковских полей на решетке. Здесь, как и в случае точечных процессов, функция правдоподобия не может быть выписана в явном виде; Идея нового метода состоит в том, чтобы вместо функции правдоподобия рассматривать произведение различных условных распределений вероятностей.

Чтобы получить аналогичную функцию псевдо-правдоподобия для точечных процессов, вводится специальная конструкция клеточных точечных процессов. ДЛя етого область а разбивается на клетки пло-' щади mi так, чтобы объединение клеток покрывало область д. Пусть в каждой клетке имеетоя ок точек, распределенных в ней независимо и равномерно. Предположим, что' случайные переменные Inj образуют марковское'поле на коночном графе, вершины которого соответствуют ' центром клеток. Вероятностная- структура такого случайного поля-может быть задана соотношением3'

' ' .п

p^nja^ ltk) /рк{0(¿у 1*к) - [ Mjl <r(nk,at)l •

где- ь > о' и ' ïî^.Oj) - функция взаимодействия, p^njn^ltk) -

условная вероятность того, что. в одной из, клеток п^ точек, при

условии, что в остальных клетках по л , 1*к точек.

Теперь, если мы предположим, что каждая переменная як имеет ■ распределение Пуасоона о условным средним х = ы jj g(n ,п-),

тогда этот марковский процесс является авто-пуассоновским процессом0, для которого:

э,Бввад ¿.Statistical analysis of non-lattice data // The

Statistician, v.24, 1975, p.179-195. "Besag J. Spatial interaction end the statistical, analysis of lattice eystea (vith discussion) // J.Roy.Statist.Soc., 1974, V.B36, p.192-236.

л

РШ . (¿А ) * п

- - П I -5-п^Ч^,)-]. .

Р(0) к« J ■ t*k

где n = (а ,...,яи).

Чтобы получить функцию псевдо-правдоцодобия для клеточного точечного. процесса; соответствующего процессу на графе, примем во внимание то. что точки в каждой клетке а^ распределены равномерно и независимо. Следовательно, функция- псевдо-пр'авдоподобия имеет

п

вид РЦФ;в) = ПРЬ(°,л*к) д(У ). Ye Ф И д (?-)= п!ААА

" k k I. к к к* к к.,

совместная плотность распределения- случайных величин, каждая из которых является местоположением одной из nk точек, распределенных в Дк равномерно и независимо. Отсюда:

РЦФ;в) = \\ ехр (-ЫД I [,<j(x .a- ) ]"')-b"k [7 lq{x )i k 1 . lSkS« l*k . ' 1*к .

Заметим, что оценки максимального поевдо-правдоподобия для авто-пуассоновского процесса на конечном графе и соответствующего клеточного процесса будут совпадать, в то время как. функции псев-до-правдоподобия будут различны. • '

Последовательность клеточных • точечных процессов {P^I слабо сходится к единственному точечному процессу с парным взаимодействием Р5'. Следовательно, существует предел последовательное-' ти функций поевдо-правдоподобия. соответствующей последовательносг■ ти точечных процессов { PJ . Этот предел-и 'будет - искомой функцией псевдо-праэдоподобия-для заданного точечного процесса, т. е.: .-

РЦФ;в) = ехр{ -ь\ П ) <te) Ьп J] q{x.,x). - '

A lSjin 1 lii,j£n J

Хотя методы моментов и максимального поевдо-правдоподобия основаны на несколько отличных вероятностных идеях, можно установить связь между получаемыми на их основе оценками. Такую связь, дает следующее утверждение. ,

Пусть р - гиббеовеккй точечный процесс с парным взакмодейот-вием. Гели функция локальной онергют Ед дифференцируема по о и и(Ф) '= Г(*,Ф), радиус взаимодействия фиксирован и известен, то оценки метода моментов к мэтеда псевдо-правдоподобия совпадают. •

''Везад J., Milne R., Zachary S. Point ргосезз limits for lattica processes // J.Appl.Probab., 1502, v.19, p.210-216.

. ' Пусть Ф = {*,.;.,* ) - точечная конфигурация, наблюдаемая в

1 ' - П

окне А .Мы можем записать логарифм функции псевдо-правдоподобия в виде: . 1а ?цч>;в) = ,4>И*.)- Г .

1.1 . -"А

где ад,-в| 1а <Цх.х ;в)

■ • ■ хеф '

Тогда оценки максимального псевдо-правдоподобия находятся как решение.системы уравнений

П ЭЩх ,ФЛ{х 1,6) ЭЕ(х,Ф;в)

—Ч ■ * к=о-1...... •

где в = -1а Ь. ■ - ■ •

Левая часть этого уравнеюи, будучи умноженной на явля-

ется оценкой левой части уравнения (1) метода моментов: X Хи(ф) Р!(<ЭФ). если и <Ф) = £(х,Ф;в) .

р х к <»к

Для правой части имеем-

а д£(х,Ф;б1 Л;в) - ;0)

-ЯГ1Л *ек е ах а.0к ° ' • . где т - число тест-точек,. по которым ведется численное интегрирование. Отсюда видно, что это выражение является оценкой правой части метода моментов'. Таким образом, оба метода приводят к одним и тем же уравнениям относительно неизвестных значений параметров е..

Описанные выше метода оценивания требуют больших вычислительных затрат и,, следовательно, могут быть' реализованы лишь на достаточно мощных компьютерах.. Но в случае простых'моделей может быть предложен более простой метод, доступный'для компьютеров о небольшим быстродействием. Этот метод может оказаться полезным на пред? верительной стадии исследования и имеет в связи о этим определенную-практическую ценность.

Рассмотрим однородный и изотропный гиббсовский точечный -про-,

цесс о локальной энергией, порождаемой парным потенциалом вида .

' ' > ; • г * я

в ;В <г й- л

V о ; г > В

Здеоь.,Я - радиус твердой сердцевины, ■ в'- радиуо взаимодействия, е - параметр, характеризующий напряженность взаимодейотвия междуточками". '

; Парный потенциал и значение химического потенциала а полностью задают распределение точечного процесса, получившего в литературе название процесса Штрауса. 8 . . ' '

Радиальная функция з(г)" терпит разрыв в точке г=в, и Ш. оз(г) = е-в

Ш,ое{е>

Этот результат лежит в основе метода оценивания, использующего •просто вычисляемые оценки радиальной функции д(г) и редуцированной

Для того, чтобы изучить качество оценок, получаемых с помощью предложенного метода, моделировался стационарный процесс Штрауса в квадратной области 100 х 100 и оценивались параметры.

Были рассмотрены 4 группы моделей: первые два генерировали регулярное размещение, третья и четвертая - кластерные. Параметры химических потенциалов были выбраны так, чтобы сроднее число точек было равно примерно 150. Параметр.я был равен 4.0 для всех моделей. В каждом случае генерировалось по 50 размещений.

В качестве показателей вариабельности оценок были использованы-следующие характеристики: относительное смещение ь0 , стандартное отклонение зд и относительная ошибка тд.'

Результаты вычислительных экспериментов представлены в табл. 1. Оба варианта метода.( я-алгоритм и д-алгоритм ) обладают похожими свойствами. Смещение оценки'ь увеличивается с увеличением.абсолютного значения параметра е. Тем не менее, описанный метод оценивания может быть использован на предварительной стадии анализа.'

Таблица 1. Характеристики оценок параметров процесса Штраусса, полученных с помощью метода, использующего лг-функцию и радиальную функцию д. ■ .

моментной меры второго порядка, л г) - функции'

в)

jr-алгоритм Ь г з

д- алгоритм Ь ._г а

в = 0.5 6 -0.054 0.509 0,25

ft . О.013 0.140 0.55

& = 1.0 ё 0.080 ■0.240 0.22

ft -0.005 0.055 0.22

• в = -0.5 ё -0.022 0.423 0.21

ft -0.037 0.092 0.33

9 = -1.0 Й 0.070 0.217 0.20

ft -0.010 0.043 0.16

0.068 0.471 0.23

0.017 0.091 .0.36

0.137 0.308 0.28

0.004 0.065 0.26

0.032 0.521 0.26

0.025 0.062 0.23

0.182 0.311 0.25

0.007 0.053" 0.21

6>Stoyan D., Kendall W.S;, Mecke J. Stochastic geometry and its applications.- N.Y.: Wiley, 1987,. 356 p.

В разделе 2.4 представлены результаты сравнительного анализа методов оценивания. При сравнении методов использовалось три различных оемейства парных потенциалов. Все парные потенциала зависят от единственного скалярного параметра в . Это ограничение было вызвано стремлением уменьшить технические проблемы, связанные с примененной оптимизационных процедур, и увеличить интерпретируемость результатов. .

(1) Модель парного потенциала процесса Штрауса..

(2) Модель парного, потенциала вида . '

. _ ilfl(J-(l-rz

V" ^r—rZyeVl Ж

Эта модель интересна тем, что • радиус взаимодействия зависит oi параметра в .

(3) Третья модель была выбрана в виде

1/еШ = 1а[1-вкр{-г2/вг) .

Для отой модели радиус взаимодействия не .является конечным, т. е. Шг) > о для любого конечного г . '

Для кавдой из трех моделей были выбраны значения параметра твкш образом, чтобы свойства генерируемых размещений менялись ; широком диапазоне: от чисто случайного- до, строго регулярного Заметим, что в каждом случае, пуассоновскив процесс соответствуе значению о = о.'

Для каждой модели.и каждого значения параметра е генерировз лось loo реализаций с о=юо точками в единичном квадрате. Для каж soù реализашгп вычислялись оценки в методами моментов, псеадо правдоподобия.и методом, основанном на аппроксимации функции прав допэдобия71, включенным для полноты рассмотрения.

В табл. ? предотэвлены результаты статистического ыоделлровани выраженные в-терминах относительного смещения bQ , относительно ошибки ге> к стандартного отклонения s6 Результаты показывают что смо;цон;;д всех оценок невелики, за исключением случая отрице тельного смецошш'оцонок, получешшх методом, основанном на аппрс ксикацы: функции правдоподобия, в случае процесса Штрауса, когда относительно велико. Хотя ¡алеются некоторые различи в значенш

''ogata Y..Tanenura H. Estination of interaction potentials с spatial point patterns-through ths r.axioua likelihood procedui // Ann.Inst.Statist.Hath. , 1981, V.33B., p.315-333.

стандартных отклонения оценок в частных случаях, ни один из методов не является равномерно наилучшим. Наконец, заметим, что для всех трех моделей стандартные отклонения оказывается величинами того же самого порядка, что и параметр в . Так как смещения оказались относительно набольшими, то сравнения, основанные на тд, отражают также эффективность оценок. Таблица 2.

Характеристики оценок параметов гиббсовских процессов', . полученные тремя методами оценивания. ьд - относительное смещение , гд -

относительная ошибка и эй -стандартное отклонение.

М Е Т О Д И моментов псевдо-правдо- аппроксимации _подобия_правдоподобия

0 ьв ге Вв "в Г9 se г0 яе

модель (1)

0.2 0.082 0. .844 0, .168 0 .013 0. .495 0, ,099 0 .004 0 .496 0 .100

0.4 0.120 0, .559 0, .223 -0, .020 0. .334 0. ,133 -0 .125 0, .252 0 .088

0.6 0.014 0. .358 0. .215 -0, .105 0, ,266 0. .146 -0\ 181 0, .262 0. .115

0.8 0.016 0, .336 0. .269 -0, .122 0, ,235' 0. ,161 -0, .227- 0, .266 0, .113

1.0 0.016 0. .276 0. .276 *-0, .130 0. .213 0. ,169 -0, .217 0, .255 о. .133

модель (2)

0.02 -0.040 0. .362 0, .007 •о, .074 0, ,563 0. ,011 0 .068 0, .475 0, .009

0.04 -0.012 0 .148 0. .006 -0, .005 0. ,245 0, ,010 0 .046 0-, .311 0, .012

0.06 0.003 0, .020 0. .001 0, .006 0, .181 0. ,011 0.056 0, .206 0, .012

0.08 -0.015 0, .140 0, .011 -0. .009 0. ,154 0. 012 0 .040 0, .260 0, .021

0.10 0.000 0, .004 0. .000 -0, .029 0. ,120 0. 012 ■ -0, .009 0. .363 0, .037

модель (3)

0.01 0.210 1', .248 0, .012 0. .181 0, .659 0. ,006 0, .022 0 .513 о, .005

0.02 -0.125 0, .642 0. .013 0. ,017 0. .346 0, ,007 -0, .004 0; .359 0. .007

0.03 -0.013 0, .417 0. ,013 0. .043 0. ,270 0. ,008 0. .048 0, .351 0, .010

0.04 0.002 0. .365 0. ,015 0, .011 0. 192 0. ,008 >0. .014 0. .334 0, ,013

0.05 0.064 0, ,305 0. .015 0, ,009 0. ,182 0. ,009 0, ,053 0, .434 0. .022

Модели маркированных гиббсовских точечных процессов. Многие задачи, возникающие на практике," связаны с анализом пространственных'структур систем объектов, относящихся к двум или более видам, примером может служить растительное сообщество, состоящее из де- • ревьев. различных пород. В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ рассмотрен класс маркированных гиббсовских точечных процессов,' которые могут служить' моде-гсями многовидовыз? сообществ, описаны методы оценивания, . обобщающие соответствующие процедуры в немаркированном случае и. йрэд-;тавлены алгоритмы'генерации реализаций марковских точечных про-дессов. ' .'

В раздала 3.1 вводится формальная конструкция маркированных точечных процессов марковского типа. Реализации маркированных процессов * представляют собой точечные конфигурации Ux,m]}, в . которых каждой точке положения х е sd соответствует скалярная или векторная величина (марка) ш е к , описывающая качественные или количественные характеристики объекта.

В данной главе- предложен новый подход для получения функции псевдо-правдопо'добия.' основанный на использовании функции условной интенсивности \(х.а,ч>), который обладает большей• общностью.

Разобьем выборочное "окно" w на элементарные области dxt площадью ld* I. для которых определяется условная вероятность обнаружить точку конфигурации v в зависимости от соседей

Для того, чтобы вычислить оти условные вероятности, мы используем функцию условной интенсивности х. . которая может быть введена как

Х( I di'l I dal а •■

i(T:'ï|di* do| = Л JO \{dx x da) )=v)

Пусть ni 1■обозначает число- точек процесса в клетке d*.

Тогда условная вероятность, что. в .клетке axi имеется точка [х,о] с маркой а е da, может быть, записана как

Pia =1. в е dal ОСТаЛЬНЫЭ a,, jti) * Idjfl Г Х(х, tr,\p)dt, 1 . ' Ja,

• и условная, вероятность того; что в клетке ах нет точек, равна:

Р{п = Ol остальные, с , jti) * l - Idxi Г лс,t,^)dt . 1 i Jd.

Сконструируем- функцию псевдогправдоподобия для системы случайных" переменных п = {п^л ,...,а } - ' , - PKп,е) = п Р(л I остальные п . jti)

<dx> ' . . 1

Разделив это выражение на i djrt"! ¿ш!** в положив idxuo и |<±аы нетрудно прийти к выражению для функции псевдо-правдоподобия: Pi(ç,6) = ехр{-\ Г t,v)dtdi) П X(x,n,?\U,jn] ) ( 2 ).

Важнор положение в развиваемой теории состоит в том, что дои гиббсовских точечных процессов функция условной интенсивност] совпадает с функцией Папангелу определяемой как

схр(-Е(х,т,<р}). Это следует из теоремы 9.1.21 в работе9 Таким образом,- мы - можем переписать выражение для псевдо правдоподобия в терминах функции локальной энергии £ Подставля-

3>Керстан И., Маттес К., -Мекке И.- Безгранично делимые точечны процессы. - М. : Наука. 1982. 391 с.

тредставление для х в формулу { 2 ) и логарифмируя, получаем

-laPUf.ei= £ \ [х,я1 ;в) *

(«.•!€» ( 3 )

♦ jJ^expi-Я (?.t,t;e))dtd5 .

В качестве примеров рассмотрены два частных случая маркированных гиббсовских точечных процессов, о' первом случае для процесса с двумя типами точек, локальная энергия £(х,я,г) которого представлена в вида

£(*.!,») * о, ♦ I Vlx.y) * £ V Jx.y) £(х,Л»! ♦ J Vix.г) * I U.J'.y)

1 T .21«» fr.tj ¿1

функция логари{мэ псезло-прэЕДоподобия Судет иметь вид

- logPUf.e) = п а * а а * I £ VAx.y)

I-.1H? (т^К»

* Z Z Uix .г) *2l I UAx.r)

ty.jie? I»,ilty (*.2)£? " •

»f exP( -« - i t/je.xi - i t/ te.*))dt JU <«.llCf • "

♦ Г •«>( - о - I CM«.*} - I U<e.jr)id?

t»,il£? t«.i)ff

Следовательно, находя максимум отоа функции, мы получаем оценки модельных паиаметров в , в и в - {«'.....в' ,ег....,е2 ,е|г,

12 1 в. 1 ■ 1

12 11 1 * 2 ). гдо0'.....в суть- параметры функции и, в'......в -

"" "Ь ,,

параметры функции иг и ву - параметры функции и .

Здесь Функции парных потенциалов и определяют взаимодействие ызжду точками i и j типок.

Второй пример относится к-случаю гиббсовского процесса случайных шаров. Эта модель может быть описана как маркированной гибСисаский точечный 'процесс о маркированным парным потенциалом

в • I шх-rl* т + 1). в > О ly.ne*

Используя (3), мы приходим к следуюаему представлению логарифмической функции поевдо-правдоподобия для этого случаям

- logPÙi?;e)= £ (aim) г в £ Шх-yts ш * 1) ) ix,«i]e»> (ç^ney

+ Г Г ехр[ - а(С) - 6 • £ l(IÇ-ylU С * 1) JdccfÇ

•Vtf (».nap

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ методы теории гиббсовск'их точечных npoueccoi

применены для статистического анализа пространственной структур! растительных-сообществ. Растения, взаимодействуя с ближайшими соседями в процессе своего роста и развития, образует специфичны! пространственные размещения. Предложенные в работе методы позволяет. во-первых, определить характер этих взаимодействий, и, во-вторых, установить соответствие -типов взаимодействий разнш стадиям развития популяции растений.

В работе подробно проанализированы уникальные материалы почт: 100-летних наблюдений за изменением взаимного размещения деревье! в древостое сосны, установлен характер изреживания древостоя i процессе его развития, предложены методы описания стадии развити. древостоев с помощью марковских точечных процессов как по таксаци онным планам, так и по данным аэрофотосъемки.

Размещение стволов' и центров крон деревьев образуют ьзаи мосвязанную систему, которой можно сопоставить процесс случайны отрезков, ■ соединяющих стволы и центры, крон соответствующи деровьев. С помощью гиббеовского процесса случайных отрезков рассматриваемого как маркированный точечный процесс, описан новы тип взаимодействий деревьез в древостое, позволяющий отследит сравнительно тонкие взаимоотношения между деревьями.

Обработка обширного экспериментального материала позволяв сделать вывод о применимости маркированных гиббс'овсьих точечны процессов в качестве моделей различных характеристик пространст веяных гзаимодействий между деревьями.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ представлены основные результаты диссертации.

' ВЫВОДЫ"

В работе ■ изучены методы оценивания параметров прост ранотееннкх точечных, процессов, описывающих многокомпонентны системы взаимодействующих объектов. ■

Рассмотрен широкий 'класс моделей точечных структур, изучен условия, их применимости для. анализа пространственных данных предложена ьероятяостна'Я модель пространственной структур 14 :

популяция растений, учитывавшая характеристики растений.

Введен новый метод оценки параметров точечных процессов с парным взаимодействием. Изучены свойства оценск максимального псевдо-правдоподобия. Оказалось, что оценки, получаемые с помощью метода максимального псевдо-правдоподобия сравнимы с оценками, получаемые методом аппроксимации функции правдоподобия. Причем метод максимального псевдо-правдоподобия применим практически для любой модели, в тс время как удовлетворительные аппроксимации для функции правдоподобия имеются только ■ для некоторых специальных случаев.

Проведено сравнительное изучение оценск метода моментоз и метода максимального псевдо-правдоподобия.Показано, что при некоторых условиях оценки методов моментов и максимального псевдоправдоподобия совпадают.

Рассмотрен метод оценивания параметров' точечных процессов, использующий радиальную функцию. Показано, что оценки, получаемые этим методом, имеют смещение тем большее; чем сильнее конфигурация точек отличается от пуассоновской модели. Тем не менее, указанный метод может быть применен на предварительной стадии исследования.

Значительно более точное описание взаимодействий между растениями в сообществе дает введенная 'Модель маркированного гиббсовского точечного процесса. Многие модели, а именно процесс случайных кругов,, процесс непересекающихся кругов, процесс случайных линейных сегментов могут быть представлены ■ как маркированные точечные процессы. Для маркированных гиббсовских точечных процессов предложены методы оценивания, обобщающие методы эценивания в немаркированном случае.

Разработано программное обеспечение задач моделирования и. анализа пространственных точечных процессов, с помощью' которого проведена обработка экспериментального материала. Программный комплекс организован как пакет' программ, способный работать псд /правлением операционных систем RT и RSX для машин класса СМ и для ■ персональных компьютеров, совместимых с ibm рс.•

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Грабарник П.Я. , Комаров A.C. Статистический анализ пробтра-тственных структур: методы, использующие измерения расстояний меж-

tö

ду точками и Материалы по математическому обеспечиюю ОВМ. Серия •Экомодель*. Пущино: ОНТИ НЦБИ, i860. Вып. 4. 1-54 с.

2. Грабарник П. Я. . Комаров к. С. Статистический анализ гсризон тальной структуры древостоя // в сб.: "Моделирование биогеоценоти ческих процессов-. П.: Наука. 19В1. с.119-13^.

3. Grabarnik P. Ya. Modelling of interplant competition // Io Proceeding of Synpoeium on Systea Anblyais and Simulation, Berlin, 1985. p.301-302.

4. Grabarnik P. Та. On the eatination of spatial interactic in Marked Gibbsian point processes II В Of.: T«P ДОЧЛ. 1-ГО Bcf контр, общ. мат. стат. ж теор. вер. вн. Бернулли. V.: Наука. 1986, с. 291.

5. Грабарник П. Л. Марковские модели пространственных точечные процессов с несколькими типами тсчок и В сл.: "Математ^еское моделирование популяциД - растений и фигоиенозов*. , 1990. с. 21-2,"

6. Stoy&n D. an1 Grabarnik P. Statiatics for the stationary Strauss BOdel by the cusp point *iethod//Statiatica, 1991, y.22, P.2C3-2B9.

7. Stoyen D. and Gr&barnik P. Second-order characteristics f stochastic structures cosiiiacted with Gibba point procesees//Hata oatieche Hachrichten, 1991, y.151, p.95-100.

8. biggie P.J. , Fiktei I., Grabarcik P., Ogata У., Stoyan D Тапвкчгв H. On parameter estimation (or pairvise interaction poi ргосеяве/7 International Statistical lieview, 1992 (to appear).

■ ПСдиюано к печати Тираж 100 окз.

• Заказ 4? . • Ьдогиютно

С ' ■ *

.Отпечатало па рт\»пркнге;1"Т¥.- • •' „ \ .195251,. С^т-ПетйрЧй.г.^л-лек^чвй.п:'»« '¿х. '28.

-ib . ../ ,;•,.> * ■ • ' * : ' • ■ •: .