автореферат диссертации по энергетике, 05.14.03, диссертация на тему:Марковская модель эффективного осколка деления

На правах рукописи УДК:621.039.5

Дугинов Олег Борисович

МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОГО ОСКОЛКА ДЕЛЕНИЯ

Специальность 05.14.03- {(Ядерныеэнергетическиеустановки, включаяпроектирование,эксплуатацию и вывод изэксплуатации»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Обнинск 2004 г

Работа выполнена в Обнинском государственном техническом университете атомной энергетики (ИАТЭ)

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Волков Юрий Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Грудзевич Олег Теофильевич

доктор технических наук Чебесков Александр Николаевич

Ведущая организация

Российский научный центр «Курчатовский институт», г. Москва

диссертационного совета Д 212.176.01 в Обнинском государственном техническом университете атомной энергетики по адресу: 249040, Калужская обл., Обнинск, Студгородок, д.1, зал заседаний Ученого совета ИАТЭ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИАТЭ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математичесы профессор

О.Т. Грудзевич

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Атомная энергетика в своем современном состоянии предъявляет повышенные требования к точности расчета реакторных установок разных типов и назначений. Это связано с необходимостью обеспечения их максимальной ядерной и экологической безопасности. Для поисковых исследований в большинстве случаев необходим большой объем нейтронно-физических расчетов. Поэтому актуальна задача разработки физически обоснованных моделей и алгоритмов, позволяющих сократить объем расчетов и время, затрачиваемое на предварительную подготовку данных, сохраняя при этом точность вычислений. Эти модели должны быть основаны на современных математических методах, которые учитывают знания о процессах и явлениях. Использование физических подходов к построению моделей значительно уменьшает неопределенности расчетов.

В ряде случаев сокращение времени, затрачиваемого на предварительные расчеты, может быть достигнуто при отказе от детального учета всех изотопов и ядерных реакций, принимая во внимание только наиболее важные для того или иного процесса нуклиды и реакции. В этом случае возникает задача отбора по какому-либо критерию наиболее значимых межизотопных переходов или изотопов. Например, при проведении проектных расчетов выгорания топлива наибольший интерес вызывает эволюция тех нуклидов, которые вносят наибольший вклад в нейтронный баланс реактора. Очевидно, что к таким нуклидам, в первую очередь, будут относиться все тяжелые нуклиды. Помимо них, в общей сложности, может быть еще выделено около 20-30 осколков деления. Остальные осколки деления и нуклиды могут трактоваться как один или несколько эффективных осколков.

Построенные в данной работе алгоритмы и программы призваны автоматизировать отбор наиболее значимых по заданному критерию изотопов и определение параметров эффективных осколков.

Объектом исследования представленной работы являются процессы изменения изотопного состава ядерного топлива ЯЭУ.

Предметом исследования являются методы расчета индивидуального вклада осколков деления в нейтронный баланс в реакторе.

Цель работы

1. Детально изучить некоторые особенности влияния отдельных осколков на нейтронный баланс в реакторе.

2. Разработать модель межизотопных превращений осколков деления и алгоритмы, позволяющие автоматизировать анализ и выбор значимых изотопов в соответствии с наперед заданными критериями.

3. Создать методики для аппроксимации процессов взаимодействия нейтронов с продуктами деления наперед заданным числом эффективных осколков деления и определения параметров этих осколков.

4. Практически реализовать разработанные алгоритмы в виде компьютерной программы, провести тестовые расчеты и показать применимость разработанных методов и программ для расчета как тепловых, так и быстрых реакторов.

Научная новизна выполненной работы:

- впервые для описания процессов межизотопных превращений применена теория марковских цепей с доходами;

- создана новая методика для описания процессов межизотопных превращений осколков деления в ядерном реакторе;

- выработаны критерии автоматизированного отбора наиболее значимых, с точки зрения нейтронного баланса, нуклидов;

- разработаны алгоритмы автоматизированного построения модели межизотопных превращений с использованием двух эффективных осколков деления и аппроксимации процессов взаимодействия нейтронов с продуктами деления эффективными осколками.

Практическая значимость работы:

- созданная методика применима к реакторам различных типов и с различным топливом, а также для решения широкого круга задач (например, активации, радиационного распада, остаточного энерговыделения);

- развитый метод расчета параметров эффективных осколков автоматизирован, дает возможность варьировать состав и параметры эффективных осколков, обеспечивает получение надежных и точных результатов при нейтронно-физических расчетах и позволяет существенно сократить время таких расчетов.

Степень достоверности результатов проведенных автором исследований определяется обоснованностью теоретических решений и хо-

рошим согласием модельных результатов расчета нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов с результатами, полученными традиционным способом.

Основные положения, выдвинутые автором на защиту

1. Результаты применения теории марковских цепей с доходами для создания модели, описывающей процесс межизотопных превращений в ядерном реакторе.

2. Методики расчета индивидуального вклада осколков деления в нейтронный баланс реактора и оптимальных параметров эффективных осколков.

3. Результаты сравнительного анализа применения эффективных осколков для расчета реакторов различного типа.

Личное участие автора

Автор участвовал в качестве исполнителя на всех этапах разработки и исследования моделей анализа межизотопных переходов. Лично автором были выработаны критерии отбора наиболее значимых для нуклидного баланса осколков деления, разработана методика аппроксимации процессов взаимодействия осколков деления с нейтронами двумя эффективными осколками. Также были получены аналитические уравнения для определения оптимальных параметров эффективных осколков, по разработанным алгоритмам был создан компьютерный программный комплекс и проведены верификационные расчеты.

Структура и объем диссертации

Работа изложена на 110 страницах, содержит 19 рисунков, 14 таблиц, список литературы из 41 наименования на 4 страницах и 4 приложений на 12 страницах. Текст разбит на введение, 4 главы и заключение.

Краткое содержание диссертации

Во введении отражена актуальность разработки методов отбора осколков деления, наиболее значимых для нейтронного баланса реактора и применения эффективных осколков. Сформулированы цели работы, научная новизна и практическая значимость. Представлены положения, выносимые автором на защиту.

Первая глава посвящена анализу существующих литературных источников по проблемам применения эффективных осколков для расчета реакторов и определения параметров таких осколков.

Проводится обзор существующих в настоящее время способов представления осколков деления эффективными осколками деления. Отмечается, что большое число накопленных данных по осколкам деления затрудняет проведение поисковых исследований, необходимых при варьировании проектных решений, поэтому применение эффективных осколков вновь становится актуальным.

На основе рассмотренных работ выделяются общие свойства существующих в настоящее время методик, связанных с эффективными осколками. Констатируется, что на данный момент не существует какой-либо универсальной методики, позволяющей определить параметры эффективного осколка. Каждый раз, когда возникает необходимость описания совокупности нуклидов эффективным осколком, эта проблема решается индивидуально.

Сформулированы требования, которым должна отвечать разрабатываемая методика представления нуклидов эффективными осколками.

Вторая глава посвящена разработанной модели межизотопных переходов, описанию применяемого в работе математического аппарата теории марковских процессов с непрерывным временем и доходами и используемого метода интегрирования линейных неоднородных систем уравнений.

Процесс эволюции концентраций нуклидов в ядерных реакторах можно описать, используя теорию марковских случайных процессов. Была построена следующая модель межизотопных превращений осколков деления. Для каждого изотопа с номером 1 и массой ], находящегося в основном или метастабильном состоянии, возможны переходы в другой нуклид в соответствии со схемами, изображенными на рис.1. Нуклиды испытывают переходы за счет радиоактивного распада и ядерных реакций, вызванных взаимодействием с нейтронами. На этих схемах стрелки указывают направления только тех переходов, которые возможны. Отсутствие стрелок указывает на невозможность сообщения состояний.

Понятно, что массив (1,.Т,М) (I- максимальная известная масса изотопа; I - максимальный, известный на данный момент заряд ядра, т.е. номер элемента; М = 2) заполнен лентой стабильности, а все остальные элементы массива пусты.

Рис.1. Схема возможных переходов из изотопа с номером (у) в другие (из основного состояния)

1)Р -распад в основное состояние;

2)р .-распад в метастабильное состояние; 3)Р -|>аспад в основное состояние; 4)|[} -распад в метастабильное состояние; 5) а -распад; 6) (3 -распад + п; 7) реакция (п,у) с переходом в основное состояние; 8) реакция (п,2п) с переходом в основное состояние, 9) реакция

(п,а) с переходом в основное состояние; 10) реакция (п,р) с переходом в основное состояние; 11) реакция с переходом в метастабильное состояние; 12) реакция (п,2п) с переходом в метастабильное состояние; 13) «остаться в самом себе».

Предположим, что система нуклидов, описываемая марковским процессом с N состояниями, приносит доход в гу единиц, когда исчезает нуклид i и образуется нуклид Доход может быть как положительным, так и отрицательным. Марковский процесс теперь порождает последовательность доходов, соответствующих переходам одного нуклида в другой. Доход является, таким образом, случайной величиной с распределением вероятностей, управляемым вероятностными связями марковского процесса. Введем определения непосредственно ожидаемого дохода, полного ожидаемого дохода и прибыли.

Непосредственно ожидаемый доход - это доход, который приносит нуклид / при переходе в нуклиду. Определяется следующим образом:

(1)

1**

где - доход, который приносит система при исчезновении нуклида i и образовании нуклида у; а - скорость реакции, приводящей к переходу ^го нуклида в нуклид/

Полный ожидаемый доход - это доход, который принесет система за время ^ если она в данный момент находится в состояния /:

Иными словами, под полным ожидаемым доходом понимается доход, который принесет целая цепочка последовательных ядерных превращений, порожденная i-м нуклидом.

Под прибылью будем понимать средний доход от цепочки ядерных превращений в единицу времени.

Уравнение (2) получено исходя из следующих рассуждений. В течение интервала времени dt система может либо остаться в состоянии i, либо совершить переход в некоторое состояние/. Если она останется в состоянии i в течение времени dt, то доход составит radt плюс ожидаемый доход v,(f), который она принесет за оставшиеся t единиц времени. Вероятность того, что система останется в состоянии i в течение интервала £# равна единице минус вероятность того, что за это время она совершит переход: 1- . С другой стороны, за время

dt система может совершить переход в некоторое состояние с вероятностью a^dt. В этом случае доход составит гу плюс ожидаемый

доход который будет получен за оставшееся время, если бы

начальным было состояние j .

Произведение вероятностей и доходов нужно просуммировать по всем состояниям чтобы получить полное значение ожидаемого дохода.

Учтя, что перепишем уравнение (2) следующим об-

разом:

v,(t+dt) = rudt+V, (0+ahv,(t)dt + Yji^dt + •

Вычитая из обеих частей этого выражения, разделив результат на dt и переходя к пределу при получим

Таким образом, полные ожидаемые доходы v;(/) удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и определяются из нее, если известны . Используя выражение (1), приведем последнее уравнение к виду

Окончательно получаем, что полные ожидаемые доходы в момент времени t являются решением системы неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Теперь для применения к построенной модели межизотопных переходов теории доходов необходимо определить правила, по которым будет формироваться матрица доходов.

В случае, если нас интересует, в какой степени тот или иной нуклид влияет на нейтронный баланс в реакторе, матрица доходов (Я ) для учитываемых реакций может быть задана в следующем виде:

• для Р"% р+% а- распадов, возможности «остаться в самом себе» и перехода из возбужденного состояния нуклида в основное состояние этого же нуклида доход г = О (взаимодействий с нейтронами нет, следовательно, нет непосредственного вклада в нейтронный баланс);

• для реакций (п,у), (п,а), (п,р) - г = -1 (один нейтрон поглощается, следовательно, в баланс вносится отрицательный вклад);

• для Р - распада с испусканиемзапаздывающего нейтрона и реакции (п,2п) - г = 1 (в системе становится на один нейтрон больше - вклад положительный).

Определив доходы таким образом, можно оценить величину вклада каждого нуклида (и не только отдельно взятого нуклида, но и совокупности разных нуклидов) в нейтронный баланс с учетом знака. В дальнейшем, матрица доходов для изучения влияния нуклидов на нейтронный баланс послужит основой для определения параметров эффективных осколков.

В третьей главе приводятся результаты расчета вклада каждого из осколков деления в нейтронный баланс. Выработаны критерии отбора наиболее значимых для нейтронного баланса нуклидов и предложена методика отбора этих нуклидов. Подробно изложены методы аппроксимации процессов взаимодействия с нейтронами незначимых осколков деления двумя эффективными осколками деления моделью межизотопных превращений, которая позволяет отказаться от детального учета большого числа нуклидов.

Для того, чтобы провести аппроксимацию процессов взаимодействия нейтронов с осколками деления путем введения в рассмотрение эффективных осколков, необходимо определить, какие нуклиды будут учитываться отдельно и из каких нуклидов будут сформированы эти

эффективные осколки. Для отбора наиболее значимых для нейтронного баланса нуклидов нужно знать некоторые количественные характеристики процессов взаимодействия осколков деления с нейтронами.

Скорость взаимодействия ^го осколка с нейтронами можно определить как

где

и+(0 и «"(О - число нейтронов, которые генерируются и поглощаются осколком в единицу времени.

Если (г) > 0, то в момент времени г осколок вносит положительный вклад в нейтронный баланс (нейтронов рождается больше, чем поглощается), если отрицательный. Суммарный вклад осколка в нейтронный баланс (разность между числом рожденных и поглощенных осколком нейтронов за время ?) определим следующим образом:

Следует заметить, что величины Л, и V, отрицательны для всех осколков кроме предшественников запаздывающих нейтронов.

Относительную эффективность всех нуклидов одного сорта для нейтронного баланса будем оценивать по следующему критерию:

где

V. (О - вклад 1-го осколка в нейтронный баланс.

Эффективности наиболее значимых осколков деления для процесса поглощения нейтронов в единице объема топлива реактора ВВЭР-1000 приведены на рис.2. Данные нормированы на одно ядро тяжелого нуклида.

Время облучения, суши

Рис. 2. Эффективность наиболее значимых осколков деления для процесса поглощения в топливе теплового реактора

Определим среднее значение эффективности (?) ДЛЯ 1-го нуклида на интервале времени [Т] ,Тг] следующим образом:

т -Т

2 -ч з;

Видно, что из более 800 осколков деления можно выделить восемь нуклидов, которые обладают средней суммарной эффективностью за кампанию топлива, равной 0.8. Остальные нуклиды (по отдельности) не оказывают заметного влияния на нейтронный баланс и объединяются в эффективные осколки.

Как показывает анализ характеристик взаимодействия с нейтронами нуклидов, которые не рассматриваются отдельно, а объединяются в эффективные осколки, эти нуклиды можно разбить на две группы. К первой группе отнесем осколки, которые достигают своей равновесной концентрации за время нахождения в реакторе, а ко второй - нуклиды, которые не достигают равновесной концентрации за это время.

Таким образом, введем один эффективный осколок, описывающий взаимодействие с нейтронами нуклидов, которые за 100-150 суток достигают равновесной концентрации (это и поглотители и предшественники запаздывающих нейтронов), а другой осколок - для нукли-

дов, которые не достигают равновесной концентрации. При объединении нуклидов в эффективные осколки все данные о цепочках межнук-лидных превращений теряются. Для того, чтобы учесть возможность появления отобранных нуклидов как непосредственно при делении, так и в результате распада материнского ядра и, следовательно, его предшественников в цепочке радиоактивного распада и нейтронных реакций используются ядра-предшественники. Схема межнуклидных переходов с учетом эффективных осколков приведена на рис.3.

Рис. 3. Схема межизотопных переходов с учетом эффективных осколков. и - делящийся нуклид; 1, 2,,.., N - нуклиды, отобранные как наиболее значимые для нейтронного баланса; Г, 2',..., N -предшественники наиболее значимых нуклидов; ЭО -эффективный осколок (1 - из нуклидов, достигающих равновесной концентрации за время облучения, 2 - из нуклидов, не достигающих равновесной концентрации); СТАВ - стабильный нуклид; g - независимый выход нуклида при делении.

Скорость взаимодействия с нейтронами первого эффективного осколка деления определяется следующим образом:

=^,(0 = ±°/Ф-8эо1 -О-ехрЬад),

(3)

ГЛР

Ы

- сумма скоростей взаимодействия нуклидов, входящих

1=1

в первый эффективный осколок (получено при детальном учете всех осколков);

Ф - плотность потока нейтронов; gЭOl, а, , Я..^,- соответственно, независимый выход, сечение поглощения и постоянная распада первого эффективного осколка; а^. - сечение деления тяжелого нуклида.

В зависимости от знака Yj^{t)pac4m первый эффективный осколок является либо поглотителем нейтронов, либо предшественником запаздывающих нейтронов. Поскольку этот осколок формируется из нуклидов, которые достаточно быстро достигают равновесной концентрации (в течение 100 суток), то потребуем, чтобы

где

Ш-50 - величина, принятая за ноль.

Тогда скорость взаимодействия с нейтронами в состоянии равновесия концентрации будет зависеть только от непосредственного выхода осколка при делении.

Из выражения (4) находится параметр D^ первого эффективного

осколка. Зная из детального расчета значение R3a\(t)paC4em »const в

состоянии равновесия, находим из (3) непосредственный выход при делении первого эффективного осколка деления:

расчет

Непосредственный выход второго эффективного осколка тогда будет определяться как

где - сумма кумулятивных выходов осколков деления, которые

рассматриваются отдельно и не входят в эффективные осколки.

Аналитическая зависимость вклада в баланс нейтронов (разность между числом рожденных и поглощенных нейтронов за время $ двух эффективных осколков имеет вид

где

гэо\ = 1, если Лая (0 >О(при исчезновении осколка образуется один нейтрон); г^, = -1, если R30l (t) < 0 (при исчезновении осколка исчезает один нейтрон); г^ =~1.

Выражение (5) для двух эффективных осколков должно аппроксимировать расчетные значения для суммы вкладов в нейтронный баланс всех входящих в эффективные осколки нуклидов. Единственным неизвестным, которое входит в это выражение, является of2. Имеем

v(0 расчет ~ ) модель »

ЗСУ1 г-

где ас - параметр, подлежащий подбору методом наименьших квадратов для наилучшего сглаживания результатов, полученных при детальном расчете и с помощью разработанной модели.

Поскольку of2 входит в это выражение нелинейно, то задача определения о^ решается следующим образом. Зададимся рядом значений

Э02 •-> •->

и для каждого из них найдем сумму квадратов отклонений v(Oyecчт от . Эта сумма квадратов есть некоторая функ-

ция of2 :

где of 2 = (О,0.01,0.02,0.03,..., 50)-10"24; m - число реперных точек.

Э02

Оптимальное значение определяется из минимума выражения (6).

В четвертой главе описана структура созданного пакета прикладных программ SPLIT, реализующего разработанную модель межизотопных переходов и позволяющего автоматизировать процессы отбора наиболее значимых по какому-либо критерию нуклидов и формирования эффективных оскожов деления. Приводятся результаты верификационных расчетов.

В качестве тестовых вариантов рассматривалось облучение тяжелого нуклида в тепловом спектре, соответствующем реакторам ВВЭР-1000 и РБМК-1000, а также в быстром спектре БН-600. Сравнивались результаты расчета вклада в нейтронный баланс осколков деления для

модели межнуклидных переходов с учетом максимально возможного числа нуклидов (детальный расчет) и модели с наиболее значимыми нуклидами и двумя эффективными осколками. Расчет проводился в одногрупповом приближении. Учитывалось деление только одного делящегося нуклида (в данном случае Были получены парамет-

ры эффективных осколков, приведенные в табл. 1.

Таблица 1

Таким образом, в созданной модели для аппроксимации суммарного вклада осколков в нейтронный баланс (разности между числом рожденных и поглощенных осколком нейтронов за время t ) применяются несколько специально отобранных наиболее значимых нуклидов, один эффективный осколок-предшественник запаздывающих нейтронов и второй - слабопоглощающий осколок.

Для тепловых реакторов были отобраны наиболее значимые нуклиды (табл.2).

В главе отмечается, что в начале облучения топлива в быстром реакторе осколки деления вносят положительный вклад в нейтронный баланс. Такая зависимость обусловлена тем, что вначале короткоживущие предшественники запаздывающих нейтронов дают положительный вклад в нейтронный баланс, а осколки, обладающие очень большими сечениями поглощения быстрых нейтронов, отсутствуют. Необходимо время для накопления поглощающих осколков в количествах, достаточных для внесения заметного отрицательного вклада в баланс.

ВВЭР РБМК БН

^301 ♦ 10 51сек 1.33 1.33 1.33

» барн 1.73 1.91 0.098

8эо1 >% 0.78 0.75 0.23

8302 . % 160.2 159.7 142.6

Таблица 2

Нуклид Эффективность

ВВЭР РБМК

135Хе 0.304 0.300

1498Ш 0.088 0.088

|4Эш 0.081 0.080

147Рш 0.061 0.061

ты> 0.050 0.050

133Св 0.044 0.044

131Хе 0.036 0.037

15|8Ш 0.034 0.033

- "Тс 0.032 0.032

94ЯЬ 0.011 0.011

1371 0.010 0.010

Сумма 0.750 0.746

Э01+Э02 0.250 0.254

Для проведения различных исследований в областях ядерной энергетики и топливоиспользования активно применяются программы метода Монте-Карло. Были проведены верификационные расчеты по программе MCNP с использованием эффективных осколков деления для смеси делящихся ядер, полученных в этой работе. Целью расчета являлось получение значений коэффициента размножения в реакторе ВВЭР-1000 на протяжении всей кампании (рис.4.)

146 т

1 401

i 135 i

130

1

| 120

% 115

I 110

105

1 00

о

Рис. 4. Три варианта расчета эффективного коэффициента размножения

Расчеты показали, что применение эффективных осколков в MCNP позволяет рассчитывать К® с погрешностью на конец трехлетней кампании, равной 1%. Разработанная модель межизотопных переходов также позволяет рассчитать с хорошей точностью концентрации отобранных значимых осколков.

Таким образом, результаты тестирования позволяют сделать вывод о практической применимости созданной методики аппроксимации взаимодействия нейтронов с осколками деления несколькими эффективными осколками. Погрешность получаемых результатов мала, а время расчетов существенно уменьшено (для MCNP выигрыш во времени составил 4.5 раза).

В заключении представлены основные результаты проделанной работы.

1. Создана новая методика для описания процессов межизотопных превращений осколков деления и продуктов их распада в ядерном реакторе. Алгоритмы построены на основе теории марковских процессов с доходами и позволяют получать количественные характе-

ристики вклада каждой из учитываемых реакций в изучаемый процесс. Показано, что предлагаемые алгоритмы без существенных ограничений применимы для изучения различного рода процессов (например, активации, радиационного распада, остаточного энерговыделения).

2.Разработаные методики позволили провести ранжирование продуктов деления по вкладу в исследуемый процесс, а также выработать критерии отбора наиболее значимых, с точки зрения нейтронного баланса, нуклидов. Отдельно изучены процессы поглощения и рождения нейтронов продуктами деления. Ранжирование продуктов деления позволяет отобрать те нуклиды, которые можно отдельно не учитывать и объединить в эффективные осколки. Определены наиболее значимые для нейтронного баланса различных по спектру реакторов нуклиды,

3.Разработаны алгоритмы для аппроксимации процессов взаимодействия нейтронов с продуктами деления двумя эффективными осколками деления, позволяющими описать не только процессы поглощения нейтронов, но и процессы их рождения. Созданы методики, позволяющие учитывать образование осколков при делении нескольких делящихся нуклидов.

4. Созданные алгоритмы практически реализованы в виде компьютерной программы, которая позволяет автоматизировать процессы отбора наиболее значимых по какому-либо критерию нуклидов и формирования эффективных осколков деления. Использование быстродействующих алгоритмов перемножения матриц позволило существенно сократить время расчетов.

5.Сделаны оценки параметров эффективных осколков для быстрых и тепловых реакторов. Проведено тестирование разработанного пакета прикладных программ SPLIT с помощью программного комплекса MCNP. Верификационные расчеты подтвердили правильность алгоритмов и программ, созданных в ходе работы, а также их быстродействие и эффективность. Результаты тестирования позволили сделать вывод о том, что развитый метод расчета нейтронно-физических характеристик реакторов с использованием эффективных осколков деления обеспечивает получение надежных и достаточно точных результатов.

Апробация результатов работы

Основные результаты работы докладывались на конференциях

1. Отчетная конференция-выставка по подпрограмме «Топливо и энергетика», 2001, МЭИ, Москва.

2. Международный конгресс «Энергегика-3000», 2002, ИАТЭ, Обнинск.

3. Электронная конференция по подпрограмме «Топливо и энергетика», 2002, МЭИ, Москва.

4. VIII международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», 2003, ИАТЭ, Обнинск.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1.Волков Ю.В., Дугинов О.Б., Клинов Д.А., Колесов В.В. Марковская модель эффективного осколка деления: Отчет о НИР. № гос. per. 02200100388 / ИАТЭ.- Обнинск, 2000- 16 с.

2.Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская цепь с доходами для выбора наиболее значимых осколков деления // Тезисы докладов отчетной конференции-выставки по подпрограмме «Топливо и энергетика» / МЭИ.-М.: 2001.-С. 69-70.

3.Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская цепь с доходами для выбора наиболее значимых осколков деления. Общая модель // Известия вузов. Ядерная энергетика- 2О02.-№2 - С. 90-97.

4.Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская цепь с доходами для расчета распределения затрат при наработке изотопов в реакторе // Тезисы докладов международного конгресса «Энергетика 3000»/ ИАТЭ.-Обнинск, 2002 - С. 23.

5.Волков Ю.В., Дугинов О.Б., Колесов В.В. Представление осколков деления одним эффективным осколком. Верификационные расчеты // Тезисы докладов электронной конференции по подпрограмме «Топливо и энергетика»/МЭИ- М.: 2002.- С. 55-56.

6.Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Развитие нового подхода к представлению осколков деления эффективными осколками // Тезисы докладов VIII международной конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров» / ИАТЭ - Обнинск, 2003.- С. 102-103.

7. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Представление осколков деления двумя эффективными осколками. Теоретическая модель // Известия вузов. Ядерная энергетика. - 2004 .-№2 - С. 31-37.

8.Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Представление осколков деления двумя эффективными осколками. Верификационные расчеты // Известия вузов. Ядерная энергетика- 2004.-№3,- С. 43-49.

Редактор З.И. Сныкова Компьютерная верстка О.Б. Дугинов ЛР № 020713 от 27.04,1998

Подписано к печати 12.. II О^г_Формат бумаги 60x84/16

Печать ризограф. Бумага КУМЬИХ Печ.л. 1,125

Заказ № А5"4' Тираж 80 экз. Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ 249040, г. Обнинск, Студгородок, 1

Ж 25 124

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОДУКТОВ ДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫМИ ОСКОЛКАМИ.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ МЕЖИЗОТОПНЫХ ПЕРЕХОДОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ С ДОХОДАМИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Модель межизотопных переходов.

2.3. Марковские процессы с непрерывным временем.

2.4. Марковские процессы с непрерывным временем и доходами.

2.5. Доходы от межизотопных переходов.

2.5.1. Матрица доходов для изучения влияния нуклидов на нейтронный баланс в реакторе.

2.5.2. Матрица доходов для изучения радиационных характеристик нуклидов.

2.6. Алгоритм интегрирования линейных неоднородных систем.

2.7. Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. АППРОКСИМАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕЙТРОНОВ С ПРОДУКТАМИ ДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫМИ ОСКОЛКАМИ.

3.1. Описание модели облучения топлива.

3.2. Качественное рассмотрение односкоростного уравнения баланса нейтронов в реакторе.

3.3. Количественные характеристики процессов взаимодействия нуклидов с нейтронами.

3.4. Модель межизотопных переходов с учетом эффективных осколков.

3.5. Определение параметров эффективных осколков.

3.6. Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. ПАКЕТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ SPLIT И ВЕРИФИКАЦИОННЫЕ РАСЧЕТЫ.

4.1. Общие принципы организации ППП SPLIT.

4.2. Верификационные расчеты по программе SPLIT.

4.2.1. Эффективные осколки для ВВЭР-1000.

4.2.2. Эффективные осколки для РБМК-1000.

4.2.3. Эффективные осколки для БН-600.

4.2.4. Параметры эффективных осколков для смеси делящихся ядер.

4.3. Верификационные расчеты по программе MCNP.

4.4. Выводы к главе 4.

Атомная энергетика в своем современном состоянии предъявляет повышенные требования к точности расчета реакторных установок разных типов и назначений. Это связано с необходимостью обеспечения их максимальной ядерной и экологической безопасности. Поисковые исследования, в большинстве случаев, требуют большого объема нейтронно-физических расчетов. Поэтому актуальна задача разработки физически обоснованных моделей и алгоритмов, позволяющих сократить объем расчетов и время, затрачиваемое на предварительную подготовку данных, сохраняя при этом точность вычислений. Эти модели должны быть основаны на современных математических методах и знаниях о процессах и явлениях. Использование физических подходов к построению моделей значительно уменьшает неопределенности расчетов.

В ряде случаев, сокращение времени, затрачиваемого на предварительные расчеты, может быть достигнуто, если отказаться от детального учета всех изотопов и ядерных реакций и рассматривать только наиболее важные для того или иного процесса нуклиды и реакции. В этом случае возникает задача отбора по какому-либо критерию наиболее значимых межизотопных переходов или изотопов.

Например, при проведении проектных расчетов выгорания топлива наибольший интерес вызывает эволюция тех нуклидов, которые вносят наибольший вклад в нейтронный баланс реактора. Очевидно, что к таким нуклидам, в первую очередь, будут относиться все тяжелые нуклиды. Помимо них, в общей сложности, может быть еще выделено около 20-30 осколков деления. Остальные осколки деления могут трактоваться как один или несколько, так называемых, эффективных осколков.

При расчетах активации конструкций и опытных образцов, активности топлива и продуктов деления требуется уже принимать во внимание намного большее число изотопов. Порядка 100 тяжелых и более тысячи различных осколков деления, продуктов их распада и продуктов активации. Для подобных расчетов лишь малая часть нуклидов (из более чем тысячи отслеживаемых изотопов) играет важную роль.

Если нас интересуют вопросы, связанные с радиационной безопасностью отработавшего топлива или активностью продуктов деления в твэлах энергетических реакторов, необходимо отбирать нуклиды, обладающие наивысшей радиоактивностью. При этом необходимо учитывать, что некоторые изотопы могут непосредственно не влиять на критериальную величину, однако это влияние может быть значительным через их дочерние, внучатые и т.д. изотопы. В ряде случаев целесообразно не пренебрегать реакцией (п,у ) при оценке получения новых нуклидов по этой реакции. При достаточно большом сечении взаимодействия продуктов деления с нейтронами они будут интенсивно превращаться в другие радиоактивные нуклиды, изменяя суммарную активность твэлов или специально облучаемой в реакторе мишени.

Следует отметить тот факт, что применение многих методов решения реакторных задач затруднено из-за необходимости рассмотрения большого числа нуклидов. Это требует работы с матрицами большой размерности, что влечет за собой увеличение неопределенностей расчетов. Кроме того, сокращение числа рассматриваемых изотопов позволит уменьшить время, необходимое для проведения расчетов. Поэтому необходимо отобрать те осколки деления (тяжелые нуклиды и актиниды не рассматриваются), которые наиболее значимы для такого рода расчетов. Для различных задач количество таких нуклидов, как видно из приведенных примеров, будет различным. Кроме того, оно может по тем или иным причинам меняться со временем.

При достаточных опыте и навыках отбор значимых изотопов может быть сделан человеком-специалистом, но никогда нельзя дать полной гарантии, что он не допустит ошибку. Такая гарантия может быть обеспечена, если автоматизировать анализ и выбор значимых изотопов в соответствии с наперед заданными критериями. Очевидно, что для решения задачи такого рода необходимо, по возможности, тщательно изучить и проанализировать все цепочки межизотопных превращений. Далее под цепочками ядерных превращений будем понимать не только цепочки радиоактивного распада, но и совокупность нейтронных реакций и радиоактивных распадов.

Построенные в данной работе алгоритмы и программы призваны автоматизировать отбор наиболее значимых по заданному критерию изотопов.

Объектом исследования представленной работы являются процессы изменения изотопного состава ядерного топлива ЯЭУ.

Предметом исследования являются методы расчета индивидуальных характеристик осколков деления.

Цель работы

1. Детально изучить некоторые особенности влияния отдельных осколков на нейтронный баланс в реакторе.

2. Разработать модель межизотопных превращений осколков деления и алгоритмы, позволяющие автоматизировать анализ и выбор значимых изотопов в соответствии с наперед заданными критериями.

3. Создать методики для аппроксимации процессов взаимодействия нейтронов с продуктами деления наперед заданным числом эффективных осколков деления и определения параметров этих осколков.

4. Практически реализовать разработанные алгоритмы в виде компьютерной программы;

5. Провести тестовые расчеты и показать применимость разработанных методов и программ для расчета как тепловых, так и быстрых реакторов.

Научная новизна выполненной работы заключается в следующем:

- впервые для описания процессов межизотопных превращений применена теория марковских цепей с доходами;

- создана новая методика для описания процессов межизотопных превращений осколков деления и продуктов их распада в ядерном реакторе;

- выработаны критерии автоматизированного отбора наиболее значимых, с точки зрения нейтронного баланса, нуклидов;

- разработаны алгоритмы автоматизированного построения модели межизотопных превращений с использованием двух эффективных осколков деления и аппроксимации процессов взаимодействия нейтронов с продуктами деления эффективными осколками.

Практическая значимость работы:

- созданная методика применима к реакторам различных типов и с различным топливом, а также для решения широкого круга задач (например, активации, радиационного распада, остаточного энерговыделения);

- развитый метод расчета параметров эффективных осколков автоматизирован, дает возможность экспериментировать с составом и параметрами эффективных осколков, обеспечивает получение надежных и точных результатов при нейтронно-физических расчетах и позволяет существенно сократить время таких расчетов.

На защиту выносятся:

1. Результаты применения теории марковских цепей с доходами для создания модели, описывающей процесс межизотопных превращений в ядерном реакторе.

2. Методики расчета индивидуального вклада осколков деления в нейтронный баланс реактора и оптимальных параметров эффективных осколков.

3. Результаты сравнительного анализа применения эффективных осколков для расчета реакторов различного типа.

Степень достоверности результатов проведенных автором исследований определяется обоснованностью теоретических решений и хорошим согласием модельных результатов расчета нейтронно-физических характеристик ядерных реакторов с результатами, полученными традиционным способом.

Личное вклад автора

Автор участвовал в качестве исполнителя на всех этапах разработки и исследования моделей анализа межизотопных переходов. Лично автором были выработаны критерии отбора наиболее значимых для нуклидного баланса осколков деления, разработана методика аппроксимации процессов взаимодействия осколков деления с нейтронами двумя эффективными осколками. Также были получены аналитические уравнения для определения оптимальных параметров эффективных осколков, по разработанным алгоритмам был создан компьютерный программный комплекс и проведены верификационные расчеты.

Апробация результатов работы

Основные результаты работы докладывались на конференциях:

1. Отчетная конференция-выставка по подпрограмме "Топливо и энергетика", 2001, МЭИ, Москва;

2. Международный конгресс "Энергетика - 3000", 2002, ИАТЭ, Обнинск;

3. Электронная конференция по подпрограмме "Топливо и энергетика", 2002, МЭИ, Москва;

4. VIII международная конференция "Безопасность АЭС и подготовка кадров", 2003, ИАТЭ, Обнинск.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

В статьях, отчетах:

1. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская цепь с доходами для выбора наиболее значимых осколков деления. Общая модель // Известия вузов. Ядерная энергетика - 2002.-№2 - с. 90-97

2. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Представление осколков деления двумя эффективными осколками. Теоретическая модель // Известия вузов. Ядерная энергетика - 2004.-№2- с. 31-37

3. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Представление осколков деления двумя эффективными осколками. Верификационные расчеты // Известия вузов. Ядерная энергетика - 2004.-ЖЗ- с. 43-49

4. Волков Ю.В., Дугинов О.Б., Клинов Д.А., Колесов В.В. Марковская модель эффективного осколка деления: Отчет о НИР. № гос. per. 01200013135 /ИАТЭ.- Обнинск, 2000.- 16 с.

5. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская модель эффективного осколка деления. Проведение оценочных расчетов: Отчет о НИР. № гос. per. 01200104755 / ИАТЭ.-Обнинск, 2001.-26 с.

6. Ю.В. Волков, О.Б. Дугинов. Аппроксимация процессов взаимодействия нейтронов с продуктами деления эффективным осколком деления. Отчет о НИР/ ИАТЭ.- Обнинск, 2002.- 32 с.

Материалы по работе опубликованы в трудах конференций:

7. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская цепь с доходами для выбора наиболее значимых осколков деления // Тезисы докладов отчетной конференции-выставки по подпрограмме "Топливо и энергетика" / МЭИ - М., 2001.-с. 69-70

8. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская цепь с доходами для расчета распределения затрат при наработке изотопов в реакторе // Тезисы докладов международного конгресса "Энергетика 3000"/ ИАТЭ- Обнинск, 2002-с. 23

9. Волков Ю.В., Дугинов О.Б., Колесов В.В. Представление осколков деления одним эффективным осколком. Верификационные расчеты // Тезисы докладов электронной конференции по подпрограмме "Топливо и энергетика"/ МЭИ.- М., 2002.- с. 55-56

10. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Развитие нового подхода к представлению осколков деления эффективными осколками // Тезисы докладов VIII международной конференции "Безопасность АЭС и подготовка кадров" / ИАТЭ.- Обнинск, 2003.- с. 102-103

Структура диссертации

Работа изложена на 110 страницах, содержит 19 рисунков, 14 таблиц, список литературы из 41 наименования на 4 страницах и 4 приложений на 12 страницах. Текст разбит на введение, 4 главы и заключение. Ниже приводится краткая характеристика структуры работы

В главе 1 выполнен обзор существующих в настоящее время способов представления осколков деления эффективными осколками деления. Сформулированы цели работы и требования, которым должна отвечать разрабатываемая методика.

В главе 2 изложена общая постановка задачи исследования и сформулированы подзадачи, которые необходимо решить. Рассмотрены вопросы аппроксимации процесса эволюции нуклидного состава осколков деления марковским процессом. Построена модель межизотопных переходов, учитывающая основные типы реакций. Описаны применяемый в работе математический аппарат теории марковских процессов с непрерывным временем и доходами и используемый метод интегрирования линейных неоднородных систем.

В главе 3 содержится полное описание приближений, используемых для моделирования процесса облучения ядерного топлива в реакторе. Приводятся результаты расчета на основе методов и алгоритмов, изложенных в главе 2, вклада каждого из осколков деления в нейтронный баланс. Отдельно рассматриваются процессы поглощения и рождения нейтронов продуктами деления. На основе полученных количественных характеристик выработаны критерии отбора наиболее значимых для нейтронного баланса нуклидов и предложена методика отбора этих нуклидов. Подробно изложены методы аппроксимации процессов взаимодействия с нейтронами незначимых осколков деления двумя эффективными осколками деления. Приведено описание разработанных алгоритмов расчета параметров эффективных осколков и модели межизотопных превращений, которая позволяет отказаться от детального учета большого числа нуклидов.

В главе 4 рассмотрена структура созданного пакета прикладных программ SPLIT, реализующего разработанную модель межизотопных переходов и позволяющего автоматизировать процессы отбора наиболее значимых по какому-либо критерию нуклидов и формирования эффективных осколков деления. Особенностью этого программного продукта является применение алгоритмов быстрого перемножения разреженных матриц. Приводятся результаты верификационных расчетов характеристик осколков деления с применением iillil SPLIT и MCNP, выполненных для реакторов на тепловых и быстрых нейтронах. Определены наиболее значимые для нейтронного баланса различных по спектру реакторов нуклиды и параметры эффективных осколков. Показано, что разработанные в работе методы представления осколков деления двумя эффективными осколками позволяют с высокой точностью аппроксимировать процессы взаимодействия продуктов деления с нейтронами.

Основные результаты выполненной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Создана новая методика для описания процессов межизотопных превращений осколков деления и продуктов их распада в ядерном реакторе. Алгоритмы построены на основе теории марковских процессов с доходами и позволяют получать количественные характеристики вклада каждой из учитываемых реакций в изучаемый процесс. Показано, что предлагаемые алгоритмы без существенных ограничений применимы для изучения различного рода процессов (например, активации, радиационного распада, остаточного энерговыделения).

2. Разработаные методики позволили провести ранжирование продуктов деления по вкладу в исследуемый процесс, а также выработать критерии отбора наиболее значимых, с точки зрения нейтронного баланса, нуклидов. Отдельно изучены процессы поглощения и рождения нейтронов продуктами деления. Ранжирование продуктов деления позволяет отобрать те нуклиды, которые можно отдельно не учитывать и объединить в эффективные осколки. Так же были определены наиболее значимые для нейтронного баланса различных по спектру реакторов нуклиды.

3. Разработаны алгоритмы для аппроксимации процессов взаимодействия нейтронов с продуктами деления двумя эффективными осколками деления, позволяющими описать не только процессы поглощения нейтронов, но и процессы их рождения. Созданы методики, позволяющие учитывать образование осколков при делении нескольких делящихся нуклидов.

4. Созданные алгоритмы практически реализованы в виде компьютерной программы, которая позволяет автоматизировать процессы отбора наиболее значимых по какому-либо критерию нуклидов и формирования эффективных осколков деления. Использование быстродействующих алгоритмов перемножения матриц позволило существенно сократить время расчетов.

5. Сделаны оценки параметров эффективных осколков для быстрых и тепловых реакторов. Проведено тестирование разработанного пакета прикладных программ SPLIT с помощью программного комплекса MCNP. Верификационные расчеты подтвердили правильность алгоритмов и программ, созданных в ходе работы, а также их быстродействие и эффективность. Результаты тестирования позволили сделать вывод о том, что развитый метод расчета нейтронно-физических характеристик реакторов с использованием эффективных осколков деления обеспечивает получение надежных и достаточно точных результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Masayoshi Kawai. History of FP Nuclear Data Evaluation.-http://wwwndc.tokai.jaeri.go.jp/nds/proceedings/2002/kawaim.pdf (28.07.2004)

2. Rose P.F., Dunford C.L. Data formats and procedures for the evaluated nuclear data file, ENDF.-N.Y.: National Nuclear Data Center, Brookhaven, 1988-http://www.nndc.bnl.gov/nndc (03.08.2004)

3. Japan Atomic Energy Research Institute — http://wwwndc.tokai.jaeri.go.jp (09.08.2004).

4. Trkov A., Aldama D.L. Definition of the pseudo fission product data for reactor calculations // Proceeding of Nuclear Energy in Central Europe '99 / Portoroz, Slovenia: 1999, pp. 57-62.- http:\\www.rcp.ijs.si/~wlup/documents/Portf99.doc (28.07.2004)

5. Галанин А.Д. Аппроксимация поглощения нейтронов продуктами деления одним эффективным осколком // Атомная энергия.- 1981 т. 50, вып. 1- с. 3-6

6. Aldama D.L., Trkov A. Preparation of the pseudo fission product cross section for the WINS-D library http:Wwww.rcp.ijs.sirwlup/documents/pseudo.html (28.07.2004)

7. Leszczynski F. Description of WIMS library update project (WLUP).-http://www.td.anl.gov/Programs/RERTR/Web%202002/2003%20Web/Full%20 Papers-PDF/Leszczynksi.pdf (28.07.2004)

8. Petrov Yu.V., Erykalov A.N., Onegin M.S. The fuel cycle of reaktor PIK.— http://www.td.anl.gov/Programs/RERTR/Web%202002/2003%20Web/Full%20 Papers-PDF/Petrov.pdf (28.07.2004)

9. Цибуля A.M., Кочетков А.Л., Кравченко И.В., Николаев M.H. К описанию поглощения нейтронов в продуктах деления путем введения псевдоосколков // Вопросы атомной науки и техники, сер. Ядерные константы. — 1985— №4.- с. 71-82

10. Liaw J.R., Henryson H. II Lumped fission product neutron cross sections based on ENDF/B-V for fast reactor analysis // Nucl. Sci. and Engng-1883 .-v.84 p.324-336http://www.osti.gov/energycitations/product.biblio.jsp?ostiid=5314669 (28.07.2004)

11. Atefi, B. ; Fischer, GJ.; Durston, C. Improved fission product model for fast reactor analysis-Trans. Amer.Nucl. Soc., 1980, v 35 pp 527-532-http://www.osti.gov/energycitations/product.biblio.jsp?ostiid=5082253 (28.07.2004)

12. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская цепь с доходами для выбора наиболее значимых осколков деления. Общая модель // Известия вузов. Ядерная энергетика 2002.-№2 — с. 90-97

13. Кипин Дж. Р. Физические основы кинетики ядерных реакторов — М.: Атомиздат, 1967-428 с.

14. Ховард. Р. Динамическое программирование и марковские процессы. -М.: Сов. радио, 1964.- 189 с.

15. Майн X., Осаки С. Марковские процессы принятия решений. — М.: Наука, 1977.-176 с.

16. Карлин С. Основы теории случайных процессов. — М.: Мир, 1971.-536 с.

17. Радиационные характеристики облученного ядерного топлива: Справочник / Колобашкин В.М., Рубцов П.М., Ружанский П.А., Сидоренко В.Д.-М.: Энергоатомиздат, 1983 — 384 с.

18. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: МГУ, 1990. — 336 с.

19. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975

20. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967.- 564 с.

21. Мегреблиан Р., Холмс Д. Теория реакторов М.: Госатомиздат, 1962 — 590 с.

22. Белл Д., Глесстон С. Теория ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1974 — 496 с.

23. Ганев И. X. Физика и расчет реактора: Учеб. пособие для вузов / под общ. ред. Доллежаля H.A.-М.: Энергоиздат, 1981.-368 с.

24. Основы теории и методы расчета ядерных энергетических реакторов: Учеб. пособие для вузов / Бартоломей Г.Г., Бать Г.А., Байбаков В.Д., Алтухов М.С.- М.: Энергоатомиздат, 1989.-512 с.

25. Вейнберг А., Вигнер Е. Физическая теория ядерных реакторов. М.: Ин. лит., 1961.-732 с.

26. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Марковская цепь с доходами для расчета распределения затрат при наработке изотопов в реакторе // Тезисы докладов международного конгресса "Энергетика 3000"/ ИАТЭ.- Обнинск, 2002.— с. 23

27. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. -М.: Высш. шк., 1999 576 с.

28. Пиксайкин В.М., Исаев С.Г., Балакшев Ю.Ф. и др. Экспериментальные исследования характеристик запаздывающих нейтронов при делении 235U иух 7

29. Np быстрыми нейтронами // Избранные труды Физико-энергетического института за 1997 г./ ФЭИ.-Обнинск, 1999, с.5

30. Исаев С. Г. Энергетическая и изотопическая зависимости характеристик запаздывающих нейтронов: Автореф. дис. канд. физ.- мат. наук: 01.04.01 / ГНЦРФ ФЭИ.- Обнинск, 2001.- 19 с.

31. Горбачев В.М., Замяткин Ю.С., Лбов A.A. Взаимодействие излучений с ядрами тяжелых элементов и деление ядер: Справочник М.: Атомиздат, 1976.- 464 с.

32. Гусев Н.Г., Дмитриев П.П. Радиоактивные цепочки: Справочник-М.:-Атомиздат, 1978 88 с.

33. Волков Ю.В., Дугинов О.Б. Представление осколков деления двумя эффективными осколками. Теоретическая модель // Известия вузов. Ядерная энергетика.- 2004 -№2 с. 31-37

34. Compaq Fortran: Language Reference Manual.-http://hl8000.wwwl.hp.com/FORTRAN/docs/lrm/dflrm.htm (09.08.2004)

35. Groff A.G. ORIGEN-2 a revised and updated version of the Oak Ridge isotope generation and depletion code. - ORNL, 1980 — 63 p.

36. Библиотека алгоритмов-http://alglib.manual.ru/sparse (09.08.2004)

37. Усынин Г.Б., Кусмарцев E.B. Реакторы на быстрых нейтронах: Учеб. пособие для вузов М.:Энергоатомиздат, 1985. - 288 с.

38. Овчинников Ф.Я., Семенов В.В. Эксплуатационные режимы водо-водяных энергетических реакторов. М.: Энергоатомиздат, 1988 - 359 с.

39. MCNP- A General Monte-Carlo N-Particle Transport Code Version 4B-L.A., 1997

40. Волков М.Ю., Колесов B.B., Украинцев В.Ф. Расчеты выгорания топлива с использованием программы MCNP // Известия вузов. Ядерная энергетика.-2004 .-№2.- с. 71-83