автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Локальный асимптотический анализ дифференциально-разностных моделей оптоэлектронных систем

На правах рукописи

003447727

Глазков Дмитрий Владимирович

ЛОКАЛЬНЫЙ АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ОПТОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ

Специальность 05 13 18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

0 2 ОКТ 2008

Ярославль - 2008

003447727

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор

Кащенко Сергей Александрович

Оф иди а л ы I ы е « иго не н гы:

доктор физико-математических наук, профессор Майоров Вячеслав Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор Старков Сергей Олегович

Ведущая организация: Институт прикладной математики РАН

им М В. Келдыша

Защита состоится СНс/п&зуи 2008 г. в_ часов на заседании

диссертационного совета Д 212 002.05 при Ярославском государственном университете им. П.Г Демидова по адресу 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д 14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П Г. Демидова по адресу: г Ярославль, ул. По-лушкина роща, д 1

Автореферат разослан «_». 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совет а

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Уравнения лазерной динамики традиционно представляют собой важнейшую область приложения нелинейной теории. В их числе видное место занимают полупроводниковые лазеры. Повышенный интерес к этой области науки вызван многочисленными технологическими приложениями устройств, основанных на сравнительно дешевых полупроводниковых элементах Это CD-и DVD-технологии, системы коммуникации, в частности, оптико-волоконная связь, спектроскопия, лазерная полиграфия, звуковые и видео системы, проекционное лазерное телевидение и оптическая обработка информации.

В таких областях, как хранение данных или оптические коммуникации отражения и связанные с ними сопутствующие эффекты неизбежны. Например, искажения сигнала при передаче данных нередко обусловлены неминуемыми отражениями от торцов волноводов Те же самые причины зачастую приводят к возможным ошибкам при чтении CD и DVD дисков.

Поэтому основным объектом теоретических и экспериментальных исследований в области лазерной физики традиционно выступают всевозможные типы неустойчивостей, которые ограничивают возможности практического применения лазерных устройств. Одной из причин нежелательных феноменов является воздействие на резонатор отраженного вторичного излучения. Такой эффект хорошо описывается на языке нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Подобные уравнения по ряду причин достаточно сложны. Поэтому многие явления в моделях с запаздыванием до сих пор не имеют удовлетворительного объяснения.

В числе обзорных статей и книг, посвященных лазерной физике, особо отметим работы таких авторов как Я.И. Хании1 и G Н.М. Van Tartwijk2, в которых систематизируются результаты работы сотен исследователей.

Плодотворный подход к исследованию динамики нелинейных систем, в том числе лазерных, связан с построением специальных эволюционных уравнений для параметров порядка. Идея выделения некоторой совокупности переменных и перехода к универсальным уравнениям, описывающим локальную динамику исходной задачи, открывает путь к систематизации явлений самоорганизации и других феноменов, наблюдаемых в нелинейных моделях. Классический пример реализации этой идеи — метод нормальных форм. Его суть состоит в сведении задачи изучения локальной динамики многомерных систем при значениях набора параметров, близких к критическому, к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.

1 Хании ,ЯИ Основы динамики лазеров / Я.И Хашш. — М . Наука Физматлит, 1999. — 368 с —ISBN 5-02-014375-8

2 Vau Taitvnjk, G.H.M. Laser instabilities' a modern perspective / G.H M. Van Tartwijk, G P Agrawal // Progress ш Quantum Electiomcs. - 1998 - Vol 22 — P. 43-122

Та же самая идея лежит в основе метода построения квазинормальных форм, развиваемого в работах С А. Кащенко3, А.Б. Васильевой4, Ю.С Колесова5, А.Ю. Колесова6, Н.Х. Розова Важнейшей особенностью, характерной для данной ситуации, является тот факт, что при бифуркациоиных значениях параметров на мнимой оси оказывается счетное число точек спектра оператора линеаризованной задачи. Тем самым универсальные эволюционные уравнения, описывающие локальную динамику исходной задачи, имеют бесконечную размерность.

Отмеченные особенности часто встречаются в прикладных задачах. Примерами таких приложений могут служить математические модели динамики лазеров с запаздывающей обратной связью. Рассматриваемые в работе модели так или иначе связаны с хорошо известной системой уравнений Ланга-Кобаяши7:

^ - v(l+ia)EZ + -ye-™°hE{t-h),

Здесь E{t) — комплексная амплитуда электрического поля, величина Z(t) пропорциональна инверсии носителей; 7>0 и — w0h — сила и фаза обратной связи, wo — оптическая частота генерации в отсутствие обратной связи; Q — превышение током накачки первой пороговой величины; v есть отношение времен затухания инверсии носителей и фотонов в резонаторе; а — коэффициент уширения линии, отвечающий за нелинейное взаимодействие между амплитудой и фазой поля; h — время прохода излучения по внешнему резонатору, нормированное в единицах времени затухания инверсии.

Хорошая согласованность этой модели с экспериментальными данными, отмеченная во многих работах, предоставляет широкие возможности использования теоретических результатов на практике Так, теоретическое исследование в рамках модели Ланга-Кобаяши необычных высокочастотных колебаний, обнаруженных8 в середине 90-х годов9, успешно используется при

3Кащенко, CA Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной / С А Кащенко / / Дифференциальные уравнения - 1989 - Т 25, >2 - С 262-270

4 Васильева. А В Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией / А Б Васильева |и др ] /,/ Математический сборник - 1986 — Т 130(172), .\>4(8) - С 488-499

5 Калссав, Ю С Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией / Ю.С Колесо« // Украинский математический журнал. — 1987 — Т 39, ЛП - С 28-34

* Колесив, А 10 Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А.Ю. Колесов, Н X Розов — М , 2004

7Lang, R External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties / R. Lang, К Kobayasln 11 IEEE J Quantum Electron - 1980 - Vol. 16(1), № - P. 347-355

8 Taqer, A A Stability regimes and high-frequency modulation of laser diodes with short external cavity / A A Tager, В В. Elenkrig // IEEE J Quantum Electron - 1993 - Vol 29. ЛП2 - P 2886-2890.

8 Taqer, A A High-frequency obcdlations and self-mode locking in short extprnal-cavity laser diodes / A A Tager, К Petermann // IEEE J. Quantum Electron. - 1991 - Vol 30 №7 — P 1553-1561.

разработке новых скоростных и помехоустойчивых технологий оптической связи. Эти же цели преследует изучение регулярных импульсных пакетов10, механизмов потери устойчивости и перехода к хаотической динамике в режимах низкочастотных флуктуаций и когерентного коллапса.

Качественное исследование моделей лазерной динамики с запаздыванием в различных критических случаях представляет собой тему диссертационной работы. Изучаются ситуации, когда значения одного или нескольких параметров системы асимптотически велики. Возникающие при этом сингулярно возмущенные задачи не могут быть напрямую качественно исследованы регулярными методами. Переход к регулярным уравнениям, которые не содержат больших параметров и допускают надежные численные результаты, позволяет аналитически оценить асимптотическое поведение систем в критических случаях. Такого рода оценки дают возможность глубже понять свойства исходных физических моделей и приблизиться к пониманию экспериментально наблюдаемых процессов и феноменов.

Результаты, полученные для системы, учитывающей воздействие оптического фильтра, и систем, параметры которых являются переменными величинами, позволяют сделать содержательные выводы о возможностях преодоления нежелательных эффектов, обусловленных отраженным излучением.

Цели работы

В качестве основной цели исследования выступает выявление особенностей динамики дифференциально-разностных моделей лазерных систем при значениях параметров, близких к критическим. Ставится задача определения областей параметров с регулярным и хаотическим поведением, областей мультистабильности для различных моделей с целью теоретического решения проблем эффективного управления излучением лазера, в частности, стабилизации генерации. Особое внимание уделено критическим случаям бесконечной размерности, которые исследуются методом большого параметра.

Методика исследования

Методы исследования сингулярно возмущенных уравнений и методы регуляризации таких задач, связанные с построением систем бесконечной размерности, играющих роль нормальных форм, были предложены в работах A.B. Васильевой, В.Ф. Бутузова11, С.А. Кащенко12

10 ТаЬака, A Bifurcation study of regular pulse packages in laser diodes subject to optical feedback / A. Tabaka [et al ] // PLys. Rev E - 2004 - Vol. 70 036211 P. 1-9

11Васильева. Л.Г>. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А В. Васильева, В.Ф. Бутузов — М Наука, 1973. — 272 с

12Кащенко, С А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием /СЛ. Кащенко // Дифференциальные уравнения. — 1999 — Т. 35, ЛПО — С 1343-1355

Наличие в системе большого параметра приводит к необходимости рассматривать сингулярно возмущенную задачу. Задачи этого типа не могут быть качественно исследованы регулярными методами. Главное преимущество используемой в работе методики состоит в переходе от сингулярно возмущенной задачи к регулярным уравнениям, которые больших параметров уже не содержат13.

Научная новизна

По мнению автора, к новым результатам, полученным в диссертационной работе, можно отнести результаты использования специальных асимптотических методов для исследования асимптотического поведения нескольких моделей лазерной динамики. Построены и изучены новые уравнения специального вида — квазинормальные формы исходных систем. Полученные редуцированные системы являются минимальными для описания локальной динамики исходных моделей при значениях параметров, близких к критическим Подчеркнем, что они, как и исходные модели, представляют собой системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. В ходе их исследования удалось подтвердить уже известпые результаты, а также получить ряд новых.

Положения, выносимые на защиту

1. Асимптотические приближения решений нескольких систем уравнений, моделирующих динамику лазера с запаздывающей обратной связью, при значениях параметров, близких к критическим.

2. Результаты численно-аналитического исследования полученных новых систем уравнений — квазинормальных форм

3. Классификация критических случаев бесконечной размерности для модели Ланга-Кобаяши и системы с оптическим фильтром.

4. Способы стабилизации излучения лазера на основе анализа нормализованных уравнений.

5. Нормальная форма одного семейства дифференциальных уравнений с запаздыванием и бифуркация, приводящая к возникновению цикла асимптотически большого периода.

п Ка^епко, С А. Бифуркации цикла в сингулярно возмущенных нелинейных автономных системах / С А Кащенко //Известия РАЕН, серия МММИУ - 1998. - Т 2, ЛЧ - С. 5-53

Теоретическая и практическая ценность

Результаты, полученные в диссертационной работе, носят теоретический характер. Главным достоинством использованного подхода является переход от сингулярно-возмущенных задач к регулярным уравнениям, допускающим надежный численный анализ. Практическая значимость работы обусловлена актуальностью многочисленных прикладных задач, связанных с эффектами отражения в лазерных системах.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях:

1. XXVII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Москва, 2005.

2. XXVIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета им М.В Ломоносова, Москва, 2006

3. Международная конференция «Тихонов и современная математика», Москва, 2006

4 VIII Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» (МФЛ-2006), Алушта, 2006.

5. XXXVIII Международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», Санкт-Петербург, 2007.

6. XIV Конференция молодых ученых «Ломоносов-2007», Москва, 2007.

7. XX Международная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20), Ярославль, 2007.

8. VIII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур» (Хаос-2007), Саратов, 2007

9. Воронежская зимняя математическая школа С.Г Крейна, Воронеж, 2008.

10. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», Москва, 2008.

Кроме того, результаты диссертации докладывались на семинарах «Нелинейная динамика и синергетика» кафедры математического моделирования, «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей ЯрГУ им. П.Г. Демидова, а также на семинаре кафедры теории динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 17 работ: 8 статей, 3 из которых в журналах, входящих в перечень ВАК, и 9 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 147 наименований. Диссертация содержит 46 рисунков и четыре приложения. Общий объем диссертации составляет 148 страниц

Во введении обсуждается актуальность темы исследования, приводится общая характеристика диссертации, а также ее структура, дается краткий обзор литературы по тематике работы.

Первая глава содержит сведения о происхождении изучаемых моделей, а также подробный обзор результатов, полученных к настоящему моменту, по динамике полупроводниковых лазеров с запаздывающей оптической обратной связью.

В разделе 1.1 дается вводная информация об уравнениях динамики лазерных систем, их классификации, приводятся основополагающие модели Максвелла-Блоха, Лоренца-Хакена Кратко описываются сценарии перехода к хаотической генерации. Делается попытка проследить взаимосвязи между различными моделями и выявить происхождение исследуемых в работе систем.

В разделе 1.2 содержится обзор результатов, связанных с изучением модели Ланга-Кобаяши (1). Простейшие решения вида

Содержание работы

Е{1) = Ик • г(£) = гк,

находятся из трансцендентного уравнения относительно

и называются модами внешнего резонатора. Освещены вопросы их устойчивости, описаны происходящие в системе бифуркации Дастся обзор (.ложных режимов, таких как колебания Пстсрмапа-Тейгера, регулярные и нерегулярные импульсные пакеты, низкочастотные флуктуации, когерентный коллапс, а также их свойств. Рассказывается о мостах между модами внешнего резонатора Обнаруженные численными методами, они позволяют объяснить механизм возникновения хаотических режимов в системе Ланга-Кобаяшн Приведен ряд редуцированных моделей, проливающих по мнению их авторов свет на те или иные динамические свойства исходной задачи

В разделе 1.3 приводятся сведения о различных известных модификациях модели Ланга-Кобаяши. Особое внимание уделяется системе уравнений, учитывающей воздействие оптического фильтра.

' (1F1

— =v(l+ia)EZ + 1f, < £=ibf + A[E(t-h)e—**-/], (3)

^ = Q-Z-(1+Z)|£|2

Здесь E(t) и f(t) комплексная амплитуда электрического ноля внутри резонатора и на выходе из фильтра соответственно, Z(t) пропорционально инверсии носителей; Л ширина спектра, Д расстройка между частотой излучения уединенного лазера и несущей частотой фильтра; физический смысл остальных параметров тот же, что в системе (1)

Приводятся факты о модах внешнего фильтра простейших решениях системы (3)

Вторая глава посвящена исследованию дппампчес кпх свойств моделей полупроводникового лазера методом большого параметра

В разделе 2.1 производится описание п обоснование методики, лежащей в основе дальнейшей работы В ее основе лежат тс1 же идеи, что и в алгоритмах исследования еннгулярно возмущенных с исте.м ОДУ Ис пользуемся методика является модификацией этого подхода для уравнений с запаздыванием вида

/ = F(x) + £ ■ Ф (.с. .1 (ь-he'1)), (4)

где е малый положительный параметр Суть методики заключается в переходе от большого параметра к малому и разложении решения изучаемой системы ц асимптотический ряд по степеням малого параметра'

V{s,£) = V(](T)+eVl(t,r)+en-V,(t,T)+ , (5)

I + etp{t) + e2ip{t) +

(G)

Здесь V3(t,r) являются Т-периодичными по т, причем Vo(s) есть периодическое решение системы ОДУ «нулевого приближения» x'=F(x), ip(t) — скалярная почти периодическая функция, а «медленное» время t связано со временем системы (4) равенством i=es.

Выполняя подстановку рядов (5), (6) в систему (4) и собирая слагаемые одного порядка малости, получаем совокупность дифференциальных уравнений. Из условий их разрешимости в классе Т-периодических функций приходим к системе уравнений, играющей роль нормальной формы в задаче о локальной динамике уравнения (4) в некоторой окрестности решения Vo(s) системы «нулевого приближения» x'=F(x).

В разделе 2 2 исследуется случай — наиболее простой случай в

системе Ланга-Кобаяши, связанный с наличием в ней больших параметров Предельный цикл системы «нулевого приближения» имеет один единичный мультипликатор. Из условий периодичности функции по г получается уравнение вида

о

V{t) = -Wl+Q2 sin^o/i + J <p{t+r)dr + arctg(a) j, (7)

-h

называемое квазинормальной формой системы (1) при Q,"u2>l. Численно и аналитически устанавливается наличие у него устойчивых стационарных решений, соответствующих модам внешнего резонатора исходной модели

В разделе 2.3 изучается более сложный случай, когда только параметр накачки Q асимптотически велик. Здесь система «нулевого приближения» x'=F{х) является консервативной и имеет континуум негрубых периодических решений, амплитуда с которых определяется начальными условиями. Действуя далее в соответствии с изложенной методикой, приходим к следующей системе интегро-дифференциальных уравнений, которую мы будем называть квазинормальной формой для модели Ланга-Кобаяши в случае

о

c'(f) = v - c(f)j +7cos(uj0h + Jip(t+r)drjc(t-h),

-h

0

ip(t) = va (^Щ -1^-7 sin^wo/i + J ip(t+r)dr* ^

(8)

-л

Здесь величина с характеризует периодические решения системы «нулевого приближения» Система (8) при выполнении замены

Е(1)=ф)е*®, где 0'(*)=¥>(«),

допускает представление в более простом виде:

^ = у(1+га) (|ЯГ2-1) Е + (9)

Устойчивость состояний равновесия системы (8) определяется расположением на комплексной плоскости корней характеристического уравнения

А2 + 2А7соз%(1-е-А'') + 72(1 ~е~хн)2+ +2 (у—усозг]к)[Х + 'у(созт]к-ави1щ)(1-е~Х1г)] = 0.

В случае соэ для моды с максимальным усилением уравнение (10) сводится к следующей простой совокупности'

А + 7(1—е-^) = 0, А + 7(1—е~АЛ) + 2(и—7) = 0.

(И)

Исследуя (11), делаем вывод, что при большой накачке мода с максимальным усилением устойчива вне зависимости от значений других параметров

Мода с минимальной шириной линии (с точностью до 27т) достигается при щ=— агс!й(а) Достаточным условием ее устойчивости является следующая

Теорема 1. Пусть Щ=~ агс1ц(а) « 7 < 71 = Тогда все корни

уравнения (10) имеют неположительные вещественные части и соответствующее состояние равновесия (8) является устойчивым

При Ь,—>оо можно перейти от системы уравнений (8) к отображению вида 1

-V |--Сп+1 ) = 7 СОЭ (П + вп+1 -в„)Сп,

чСп+1 /

-т + уа

(¿-О

7 эт (П + 0,

(12)

'п+1 — 0п

Сп+1

где т обозначено одно из решений трансцендентного уравнения (2). Если начальные условия удовлетворяет неравенству со>с^п(г, где

сш = ~2 [\/(г>2(1+«2) + аут)2 + (утп)2 - (г>2(1+<*2) + аипг)]

то единственным аттрактором этой динамической системы будет неподвижная точка

с2. =

у2(1+а2) + а утп + иу/72(1+а2) - т2

0„ = аг^(а)

у2 + (тп+аь)2 — 72 'у

а

. ( ТП \ /г; Г 1~|\

+ агазт I —. I - агссоя ( — 1--- ) ,

\7 . с2 )

где = Нт (0„+1 - в„)

Т1—>оо

Наиболее интересный случай 0»—>0, тп—>0 соответствует моде с минимальной шириной линии.

Исследуя устойчивость минимального порогового состояния, получим характеристическое уравнение

(„А)2 + (1—е~А) + 72(1-е-А)2+

^ + (13)

где ц=Ьг1 есть малый параметр, но е=о(ц). В случае большого запаздывания существует критерий устойчивости моды с минимальной шириной линии.

Теорема 2. Пусть щ=— агс^(а) 7 < 72 = Тогда все корпи

уравнения (13) имеют неположительные действительные части. В случае 7>7г существует корень с положительной вещественной частью

Численное исследование системы (8) показало наличие у нее решений со сложной структурой Были обнаружены явления мультистабильности, кризиса аттракторов, последовательного удвоения периода циклов, определены области с хаотической и сложной иехаотической динамикой Отмечено хорошее соответствие между различными режимами и бифуркациями, наблюдаемыми в системе (8) и фактами, известными о феномене когерентного коллапса — сложном динамическом состоянии, возникающем при достаточно больших величинах обратной связи и накачки.

Раздел 2.4 посвящен изучению случая в модели Ланга-Кобаяши Построен асимптотический ряд вида (5), (6), в который раскладывается решение системы (1) в данной ситуации. Из условий разрешимости соответствующих уравнений в классе периодических (или почти периодических) функций получаем интегральное уравнение вида (7) и комплексное уравнение

? = е^ф-н)] + ¿Ш2, (14)

где ^ ^

а = ~{\+С}), Ьк =-^[совщ+аБтщ], щ=шкН. Нулевому решению (14) соответствует периодическое решение вида

системы (1). Таким образом, уравнение (14) описывает локальную динамику в окрестности мод внешнего резонатора, каждой из которых соответствует свое значение к и свое значение параметра Ък уравнения (14).

Устойчивость нулевого решения (14) определяется расположением на комплексной плоскости корней характеристического уравнения

Л = (15)

Достаточным условием устойчивости такого решения является

Теорема. Пусть <2>0, то есть а>| и выполнено соотношение а>— Тогда все корни уравнения (15) имеют неположительные вещественные части. В этом случае нулевое решение уравнения (14) устойчиво

При асимптотически больших значениях параметра V задача изучения бифуркаций мод внешнего резонатора в терминах системы (14) формулируется проще, чем в исходных уравнениях (1) и допускает, в отличие от (1), надежный численный анализ. В частности, легко получается оценка критического значения параметра обратной связи, при котором мода теряет устойчивость в результате бифуркации Андронова-Хопфа.

В разделе 2 5 полученные ранее результаты нормализации переносятся на случай модели с фильтром. В замене (5), (6) используется два времени ?! и Т2- Действуя далее в соответствии с изложенным алгоритмом, получаем систему уравнений

<^1(г) = -с(()7\/1+а2 эт^У (<Р1(г)-^2(г))с/г + аг^(с*)^ ,

с'(г) = Л

сое

(16)

и I

и0ь + У щ(г+г)йг + у(<^2(г)-</>1 (г))-с(г)

-к Iо

о г

9?2(г) -= А - + У 1р1^+г}(1г + J(ч>2{г)-Ч>1{г))(Ь

-и «о

где величина с характеризует периодические решения системы «нулевого приближения» Система (16) является квазинормальной формой модели (3) при

Аналогично в случае большой накачки <5^1 приходим к системе

ь

4(0 = " (^¡у - с1(<)) +7Соз(У(й(гЫг))^(<),

<о

(

4>х(1) = ьа - + 7ЭШ^У (</>2(г)-У1(Г))<Й

2(0

С1(1) '

с'2Ц) = Л

о I

С1(£—Л) СОЭ^оЛ + У (р!^+г)(1г + У (ч>2{г)-<Р1(г))с1г^ -с2(0

о (

ср2(Ь) = А - Лвш^оЛЧ- У у>1(й-г)<й"+ J(<р2{г)-(р!{г))с1г^

схЦ-Ь) 02(0 '

которую будем называть квазинормальаой формой модели (3) при 1. Здесь величины ci и сг характеризуют периодические решения системы «нулевого приближения». Как и для стандартной модели Ланга-Кобаяши при выполнении аналогичных замен система (17) допускает компактную запись

Г^ = «(1+ш) {\E\~2-l)E + yf,

df (18) = гД/ + A[E{t~h)e-^k - /].

Численный анализ показывает, что динамика (17) оказывается существенно проще, чем (8) В пределах точности вычислений при 7<и и 0</i<10 вне зависимости от значений других параметров удавалось обнаружить лишь один аттрактор — устойчивое состояние равновесия, которому соответствует простой периодический режим в системе (3).

Таким образом, в случае большой величины накачки модель с фильтром, несмотря на кажущуюся сложность, демонстрирует более простую динамику, нежели исходная система Ланга-Кобаяши. Вне зависимости от интенсивности запаздывающей оптической обратной связи в системе (3) устанавливается простой периодический режим, соответствующий стабильному рабочему режиму генерации Следовательно, фильтрование отраженного электромагнитного излучения представляет собой действенный механизм преодоления динамического хаоса. Отмеченный стабилизирующий эффект от использования оптического фильтра может быть принят во внимание в различных приложениях полупроводниковых лазеров.

В разделе 2 6 изучаются ситуации, когда параметры рассматриваемых моделей меняются с течением времени. Содержательные результаты получены в случае, когда параметры содержат быстро осциллирующие составляющие.

Пусть параметры модели Ланга-Кобаяши (1) имеют вид

7 = 7o+7i sin(te~2), h = ha+hi sin(fc~2), a — ao+"i sm(te~2),

v — e_1[vo+vi sm(te~2)], Q = £-1[go+?i sin(te~2)].

Пользуясь изложенным алгоритмом, из соответствующих условий разрешимости получим следующее уравнение'

1 __о

<fi{t) ~ ~~ J у/ 1+q2 s'n + arctg(a2) + J ip{t-\-u) dv^jdr,

-1 -h(r)

где

a2 = a0 + ft(r)=/io+hir.

2uo

В случае ?;i=7i=<*i=0 это уравнение упрощается.

7Г/2

v(í) = —7у/ 1+а2 — J sin^o(/io+'li sin г) 4- arctg(a)+

о

j ip(t+u)du\dr.

-ж/2

+

—ho—h\ sin г

При выполнении некоторых естественных условий решением уравнения (20) является состояние равновесия ipke, близкое к постоянному решению уравнения (7). При достаточно малых е стационарные решения квазинормальных форм (7) и (20) <рк и ifke устойчивы и неустойчивы одновременно Пусть параметры системы (1) имеют теперь вид

7 = 7Q + 7iSÍn(íe~2), /1 = fio +/íi sin(íe-2), а = ao + ai sin(íe~2),

v = v0 + vi sin(í£-2), Q = £_1[<2ó+?i sin(te~2)].

Действуя в соответствии с описанной методикой, получим систему уравнений вида

.. . ( а<\ Л

+

1 о

J ^=|cos (u0h{r) 4- J ¡p(t+u)dujc(t-h(r))dr,

7Г

-1 -ft(r)

(t)

(21)

Здесь

-Л(г)

viai ... , ,

Po = t)0Q0-l——, h[r) = Л0+Л1Г.

Рассмотрим систему (21) в случае г>1 =71=01=0. В терминах исходной задачи (1) это ситуация быстро осциллирующего запаздывания Численный анализ системы (21) показывает, что область с постоянной генерацией расширяется при увеличении параметра /¿х, а области со сложной динамикой, напротив — уменьшаются.

Таким образом, быстро вибрирующие отражающие поверхности оказывают стабилизирующее воздействие на излучение лазера.

В третьей главе изучаются уравнения с запаздыванием специального вида, которые встречаются в задачах управления различными технологическими процессами например излучением лазера или работой электронной схемы

Раздел 3 1 посвящен исследованию бифуркации простейшего скалярного уравнения

^ = а[у-у(1-1)\-1(у), (22)

где а вещественный параметр. Предполагается, что нелинейность /(у):К—>Е и мечт вид

/О/НуГ1*/-

Функция /бС"_1(К) и при п> 1 непрерывно дифференцируема. Производная определяется следующим образом.

Г(у)=п\уГ1,

так, что /'(0)=0.

Устойчивость нулевого решения уравнения (22) определяется корнями характеристического уравнения

Л = а [1 - е~А] (23)

Очевидно уравнение (23) всегда имеет корень А=0. который при а=1 становится двукратным. Легко показать устойчивость нулевого решения задачи (22) при 0<«<1 н неустойчивость для а>1

При значениях параметра а больше критической величины и=1 строится нормальная форма, описывающая локальную динамику уравнения (22) иа двумерном чкепоиепциальпо устойчивом центральном многообразии Эта нормальная форма имеет вид

•г + 2 уД

х + 2](х)=0. (24)

Полагаем что <1=1+с, где е есть малый положительный параметр, точками обозначается дифференцированно по «.медленному» времени а = е1^

Вторым методом Ляпунова и методом Поптрягина обосновывается следующее утверждение.

Теорема. При £>0 уравнение (24) имеет единственный предельный цикл, орбитальио асимптотически устойчивый при в—>оо

В ходе доказательства теоремы явно вычисляются амплитуда А и период Т установившихся колебаний.

Предельному циклу в нормальной форме соответствует предельный цикл в уравнении (22). Существует связь между их характеристиками:

Ау=~-уёА, Ty=-jf-

Та.ким образом, при £—>0 амплитуда колебаний Ау—>0, а период Ту—>оо.

Далее изучается модификация уравнения (22), в котором нелинейность зависит от малого параметра /х

^ = a[y-y(t-l)]-tf(y). (25)

Предполагая, что о=1+е и ц=ер,р>0, приходим к следующим выводам:

• В случае 0<р<1 амплитуда установившихся колебаний в уравнении (25) стремится к нулю при £—>0

• При р> 1 устойчивых ограниченных равномерно по е решений у (25) нет. Таким образом, можно говорить о слишком слабом управляющем воздействии.

В разделе 3.2 рассматриваются обобщения скалярного дифференциального уравнения (22) с запаздыванием. Комплексное уравнение имеет вид

$L = a[y-y(t-l)]-F(y). (26)

Здесь y(t): R—»С — комплекснозначная функция, F(y): С—>С, Jr(0)=0 — комплекснозначная фуикция комплексного переменного, имеющее в нуле порядок малости выше первого, a=a\+ia2 — комплексный параметр.

Граница области устойчивости нулевого состояния равновесия в плоскости параметров ai,ao задается уравнением

ai = a2ctg(a2). (27)

Зона неасимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (26) — область

{5: ai<a2ctg(a2), |a2|<i"}-

На ее границе появляется второй чисто мнимый корень Л=г2аг-

Ставится задача изучения локальной динамики системы (26) в окрестности нулевого решения при условии близости параметра а к границе области S. Для этого представим параметр а как сумму ал+еЬ, в которой вещественная и мнимая части а, удовлетворяют (27), е есть малый действительный положительный параметр, 6=61+162.

Нормальной формой комплексного уравнения с запаздыванием (26) является следующее уравнение

z = 72 + ¡3F„{zext)e~xt,

(28)

где функция комплекснозначна, Рп — первый ненулевой член разложения F(^/) в ряд в окрестности нуля. В случаях п=2 и п=3 функция Рп является соответственно билинейной и трилинейной формой-

В данном случае существенно условие А/0, то есть а*ф\.

В особом случае ^т(у)=Рп(г/)=|1;|п~1а/ динамика системы (28) полностью определяется уравнением относительно р=\г\

Бифуркация типа вилка при смене знака величиной Re7 в этом уравнении соответствует рождению устойчивого предельного цикла в (26) при выходе параметра а из области S.

Отмечается существование в системе (26) при F(y)=\y\n~1y любого наперед заданного числа решений вида y(t)—Rk e^kt при а\—»0.

В заключении подводятся итоги работы, резюмируются результаты и выводы, а также намечаются направления дальнейших исследований.

В приложении А представлены иллюстрации, показывающие некоторые особенности динамики системы (8), в частности, различные регулярные и нерегулярные режимы, явление мультистабилыюсти

В приложении В приводятся ключевые процедуры и функции, которые написаны на языке Object Pascal для среды Delphi.

В приложении С собраны вспомогательные процедуры пакета символьных вычислений Maple.

В приложении D представлены области устойчивости нулевого решения комплексного дифференциального уравнения с нелинейностью специального вида.

Ыу) = F2(y, у), F3(y) = F3(y, у, у). Параметры уравнения (28) имеют вид

7 а*-|а*|2'

р = Re7 • р - Re/? • рп.

(29)

Список публикаций по теме диссертации

Статьи в ведущих научных журналах, включенных в перечень ВАК:

1. Глазков, Д.В. Нормализация одного уравнения запаздыванием и бифуркация, приводящая к циклу асимптотически большого периода / Д.В. Глазков // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. - Т. 14, №2. - С. 47-52.

2. Глазков, Д.В. Особенности динамики модели Ланга-Кобаяши в одном критическом случае / Д.В Глазков // Моделирование и анализ информационных систем - 2008. - Т 15, №2. - С. 36-45.

3 Глазков, Д.В. Качественный анализ сингулярно возмущенных моделей одного класса оптико-электронных систем / Д.В. Глазков // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика. — 2008 — Т. 16, №4. — С 165-179.

Другие публикации:

4 Глазков, Д.В. Простейшие устойчивые режимы в модели Ланга-Кобаяши с большим запаздыванием / Д.В. Глазков // Современные проблемы математики и информатики- сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Яросл. гос. ун-т. — Выи 7. — Ярославль, 2005.-С 123-130

5. Глазков, Д. В. Простейшие устойчивые режимы в модели Ланга-Кобаящи с большим запаздыванием / Д.В. Глазков // Труды XXVII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова - Москва, 2005. - С. 27-32.

6 Глазков, Д.В Динамические свойства нормализованной формы уравнения Ланга-Кобаяши при больших значениях параметра накачки / Д В. Глазков, И.А. Харламов // Современные проблемы математики и информатики: сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Яросл. гос. ун-т. — Вып. 8. — Ярославль, 2006. — С. 63-72.

7. Глазков, Д.В. О когерентном коллапсе в модели Ланга-Кобаяши / Д.В. Глазков //' Тезисы докладов XXVIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. — Москва, 2006.

8. Глазков, Д.В. Хаотическая динамика в модели полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью / Д В Глазков // Тезисы докладов 5-й международной конференции «Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент». — Астана, 2006.

9. Глазков, Д.В. Локальный асимптотический анализ в модели Ланга-Кобаяши полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью / Д.В. Глазков, И.А. Харламов // Тезисы докладов международной конференции «Тихонов и современная математика», секция №6, Москва, 19-25 июня 2006. — М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006. — С. 40-41.

10. Глазков, Д В. Об асимптотике решений уравнений Ланга-Кобаяши в некоторых критических случаях /' Д.В. Глазков // Тезисы докладов VIII крымской международной математической школы «Метод функций Ляпунова и его приложения». — Симферополь: инф -изд. отд. ТНУ,

2006. - С. 47.

11 Глазков, Д. В Построение нормальной формы для одного класса векторных уравнений с запаздыванием / Д.В. Глазков // Тезисы докладов XIV конференции молодых ученых Ломоносов-2007. — М., 2007.

12 Глазков, Д.В. Нормализация одного уравнения лазерной динамики / Д В Глазков // Труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» — СПб.: Изд-во С -Петерб. ун-та, 2007. - С. 136-140

13 Глазков, Д.В О динамике одного семейства комплексных дифференциальных уравнений с запаздыванием / Д.В. Глазков // Труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость». — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та,

2007. - С. 19-21.

14. Глазков, Д.В. Построение нормальной формы для одной задачи теории управления / Д В. Глазков // Сборник трудов XX международной конференции «Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-20» в 10 т., Ярославль, 28-31 мая 2007. — Ярославль: изд. ЯГТУ, 2007 — Т 1, С. 31-32.

15. Глазков, Д.В Качественный анализ сингулярно возмущенных моделей динамики полупроводникового лазера / Д.В. Глазков /'/ Тезисы докладов VIII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур» (Хаос-2007), Саратов, 9-14 октября 2007. — Саратов: изд. СГУ, 2007. - С. 20.

16. Глазков, Д.В. Динамические свойства модели Ланга-Кобаяши в одном критическом случае / Д.В. Глазков // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна (ВЗМШ-2008), Воронеж, 24-30 января 2008. - Воронеж: изд. ВГУ, 2008. - С. 40-41.

17 Глазков, Д.В О квазинормалыюй форме сингулярно возмущенной модели динамики лазера с запаздыванием / Д.В. Глазков // Тезисы докладов международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», Москва, 17-22 июня 2008. — М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им М В Ломоносова, 2008. - С 115-116.

Отпечатано на ризографе Ярославский государственный университет 150000 Ярославль, ул. Советская 14 Тираж / ©с Заказ }(,{<&

Введение

1 Уравнения лазерной динамики. Модель Ланга-Кобаяши и некоторые ее модификации

1.1 Базовые модели лазерной динамики.

1.1.1 Система Максвелла-Блоха.

1.1.2 Модель Лоренца-Хакепа.

1.1.3 Сценарии перехода к хаосу в системе Лоренца-Хакена.

1.1.4 Уравнения Лоренца-Хакена и классификация лазеров.

1.1.5 Модель лазера класса В с внешней оптической накачкой

1.2 Система уравнений Ланга-Кобаяши.

1.2.1 Формулировка задачи.

1.2.2 Динамика модели Ланга-Кобаяши в отсутствие обратной связи

1.2.3 Моды внешнего резонатора.

1.2.4 Устойчивость простейших решений системы Ланга-Кобаяши

1.2.5 Условия Петермана-Тейгера, мосты и режимы короткого резонатора

1.2.6 Явление когерентного коллапса.

1.2.7 Низкочастотные флуктуации

1.3 Другие модели полупроводникового лазера с запаздывающей обратной связью.

1.3.1 Некоторые модификации модели Ланга-Кобаяши.

1.3.2 Модель полупроводникового лазера с оптическим фильтром

1.3.3 Моды внешнего фильтра.

2 Изучение некоторых моделей полупроводниковых лазеров методом большого параметра

2.1 Основная идея и методика исследования.

2.1.1 Описание используемого алгоритма.

2.1.2 Обоснование методики исследования.

2.2 Динамика сингулярно возмущенной системы Ланга-Кобаяши в простейшем случае.

2.2.1 Построение нормализованной системы при Q, v^>1.

2.2.2 Свойства редуцированной модели.

2.3 Локальный асимптотический анализ модели Ланга-Кобаяши при большой накачке

2.3.1 Нормализация при 1.

2.3.2 Свойства нормализованной системы. Устойчивость особых мод

2.3.3 Динамика квазинормальной формы. Численный анализ.

2.4 Качественный анализ модели Ланга-Кобаяши в ситуации

2.4.1 Корни характеристического квазиполинома и разложение решения в асимптотический ряд.

Нелинейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом являются математическими моделями для целого ряда важных прикладных задач лазерной физики, гидродинамики, нелинейной теории химических реакций, биологии, теории управления. Физически присутствие в системе запаздывающего аргумента означает попытку учесть и описать зависимость динамики модели от предшествующих состояний. Дифференциальные уравнения с одним фиксированным запаздыванием являются наиболее простыми для исследования объектами, адекватно отражающими специфические эффекты процессов с последействием. Запаздывание обычно используется для идеализированного описания эффектов перемещения и передачи сигналов, на которые требуется время. В целом ряде случаев пренебречь такой задержкой нельзя, поскольку именно она является причиной возникновения в системе автоколебаний или даже сложных хаотических режимов. Ею же обусловлено множество различных типов пеустойчивостей, которые в последние десятилетия стали объектом пристального внимания со стороны многих исследователей.

Сложность исследования систем с запаздыванием обусловлена бесконечномерно-стыо их фазового пространства [3,53]. Это важнейшее свойство дифференциальных уравнений с запаздыванием вытекает из бесконечномерности пространства их начальных условий, которые обычно выбираются из класса непрерывных на отрезке функций. Впервые начальная задача для уравнений с отклоняющимся аргументом, аналогичная задаче Коши для ОДУ, была сформулирована Мышкисом А.Д. в 1949 году [48]. В 1959 году Красовский Н.Н. предложил рассматривать уравнения с запаздыванием как уравнения в банаховом пространстве и применил теорию полугрупп линейных преобразований в случае линейных систем [40]. Теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в настоящее время активно разрабатывается и далека от завершения. Поэтому новые результаты в этом направлении имели бы общенаучное значение и могли бы внести существенный вклад в понимание процессов самоорганизации и фундаментальных законов функционирования сложных систем.

Теория нелинейных динамических систем, объединяющая в себе ряд научных направлений из самых разных дисциплин от физики и химии до экономики и социологии, является одной из самых быстро развивающихся областей современной науки [25-27,42,43,47,51,52]. Нелинейные процессы играют ключевую роль при разработке и создании новейших систем связи, генераторов электромагнитных полей, элементов вычислительной техники, и других сложных систем. Серьезный вклад в развитие нелинейной теории и ее приложений внесли исследования в области электроники, радиотехники, физики оптических квантовых генераторов (лазеров). Важнейшей особенностью практически любого электронного или оптического устройства является нелинейность его математической модели. Простейшие модели такого рода представляют собой системы ОДУ, разностных уравнений и дифференциальных уравнений с запаздыванием. Как правило на практике востребованными оказываются установившиеся регулярные режимы, которым в терминах математической модели соответствуют устойчивые состояния равновесия или простейшие автоколебания. Однако среди возможных значений параметров системы находятся и такие, при которых желательные режимы оказываются неустойчивыми или недостижимыми. При этом система находится в более сложном динамическом состоянии. Подобные альтернативные состояния, не соответствующие рабочему режиму, обычно считаются нежелательными, и их возникновение конструкторы стараются предотвратить. Именно эту цель преследуют многочисленные теоретические и экспериментальные исследования, направленные на выявление и детальное изучение различных феноменов, которые обусловлены нелинейностью порождающих их процессов.

Таким образом, изучение моделей лазерно-оптических устройств и задач теории управления, несомненно, занимает заметное место в общей теории нелинейных динамических систем. «Лазер принадлежит к числу систем, которые не только способны демонстрировать сложное поведение, но и более многих других пригодны для исследования общих закономерностей нелинейной динамики» [51]. Действительно, в целом ряде случаев лазеры функционируют в существенно нелинейных режимах. В наибольшей степени это замечание касается так называемой полуклассической теории лазера, которая предлагает целую иерархию нелинейных уравнений, надежно обоснованных с позиций квантовой электродинамики и количественно подтвержденных экспериментами. Одним только полупроводниковым лазерам посвящены тысячи работ в ведущих зарубежных научных журналах, таких как Physical Review, Quantum Electronics, Optics Communications, Physica D! Такой повышенный интерес к этой области науки вызван прежде всего многочисленными технологическими приложениями лазерных устройств, основанных на сравнительно дешевых полупроводниковых элементах. Это CD- и DVD-технологии, системы коммуникации, в частности, оптико-волоконная связь, спектроскопия, целая отрасль лазерной полиграфии. Интересной областью применения полупроводниковых лазеров с электронной накачкой являются звуковые и видео системы, а с точки зрения специалистов особенно заманчивы перспективы проекционного лазерного телевидения и оптической обработки информации [54]. И с течением времени области приложения оптических квантовых генераторов неуклонно расширяются. Соответственно, наряду с экспериментальными наработками все более глубокое теоретическое понимание основополагающих законов функционирования таких устройств является главным источником дальнейшего совершенствования технологии и удешевления ее продуктов. Задача теоретического осмысления многочисленных опытных данных лазерной физики в последние десятилетия решается исходя из подходов и методов теории нелинейных динамических систем. В самом деле, «.проблема извлечения информации о параметрах лазера и отдельных внутрирезонаторных элементов имеет большую практическую значимость, и здесь в наибольшей мере требуются новые идеи, основывающиеся на современных концепциях нелинейной динамики» [51]. То есть, построение и изучение математических моделей лазера представляет собой важнейший инструмент познания в этой области физики.

Одним из главных объектов исследования теории нелинейных динамических систем является феномен детерминированного хаоса. «В современной литературе термин «хаотический» применяется к таким движениям в детерминированных физических и математических системах, траектории которых обнаруживают сильную зависимость от начальных условий» [47]. «Эта существенная зависимость от начальных условий лежит в основе математической теории хаоса» [41]. «.под детерминированным хаосом подразумевается нерегулярное, или хаотическое, движение, порожденное нелинейными системами, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы при известной предыстории. В последние годы благодаря новым теоретическим результатам, наличию быстродействующих компьютеров и развитию техники эксперимента стало ясно, что это явление часто встречается в природе и имеет далеко идущие последствия во многих областях науки» [52]. Несомненно, в число важнейших задач теории динамических систем входит изучение всевозможных проявлении динамического хаоса, а также механизмов, лежащих в основе сценариев его возникновения.

Основным объектом теоретических и экспериментальных исследований в области лазерной физики традиционно выступают всевозможные типы неустойчивостей, ограничивающих возможности практического применения лазерных устройств. В их числе особое внимание уделяется изучению нежелательных феноменов, связанных с воздействием на резонатор отраженного вторичного излучения. В таких областях, как хранение данных или оптические коммуникации отражения и связанные с ними сопутствующие эффекты неизбежны. Например, искажения сигнала при передаче данных нередко обусловлены неминуемыми отражениями от торцов волноводов. Те же самые причины зачастую приводят к возможным ошибкам при чтении CD и DVD дисков. В процессе эксплуатации такого рода устройств их технические характеристики постепенно снижаются. При этом надежная и аккуратная изоляция излучающих элементов неизбежно повышает стоимость и сложность систем на полупроводниковых лазерах. Соответственно, любое продвижение вперед в понимании происходящих в них процессов, любые новые идеи и результаты в этой области, очевидно, могли бы способствовать совершенствованию их производства.

Поведение полупроводникового лазера во внешнем резонаторе оказывается очень чувствительным по отношению к излучению, отраженному от внешних поверхностей: в широком диапазоне значений коэффициента обратной связи наблюдается резкое уши-рение спектральной линии излучения. Это явление называется когерентным коллапсом и как правило связывается с детерминированной хаотической динамикой. К настоящему моменту построены математические модели с запаздывающим аргументом, учитывающие воздействие запаздывающей обратной связи и хорошо согласующиеся с опытными данными. На их основе найдены простейшие решения, соответствующие узкой линии генерации. Однако, вопросы, связанные с их устойчивостью изучены фрагментарно. До сих пор не ясна природа феномена низкочастотных флуктуаций, нет аналитической оценки параметров, при которых возникает когерентный коллапс. Построение последовательной теории, объясняющей данные факты и освещающей роль различных физических параметров, могло бы существенно расширить сферу применения лазерных устройств такого типа.

Модели с запаздыванием также весьма широко используются при разработке механизмов управления различными технологическими процессами, например, условиями протекания химических реакций, функционированием электронных схем или генераторов электромагнитных полей [61,92,145,146].

Таким образом, основным объектом изучения выступают математические модели лазерной динамики и задачи теории управления, основанные на нелинейных дифференциальных уравнениях с запаздыванием. Наибольший интерес представляют различные типы бифуркаций, происходящих в таких системах, а также критические случаи, связанные с асимптотически большими величинами параметров. Исследование локальной динамики физических моделей в окрестности решения систем «нулевого приближения», связанное с построением специальных уравнений, описывающих поведение исходных моделей на так называемом центральном многообразии, позволяет прояснять те или иные особенности изучаемых задач. Такое понимание способствовало бы более эффективному управлению состояниями реальных физических систем, в частности, лазеров или сложных электронных сетей, на практике.

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие подобные устройства, демонстрируют нетривиальную динамику, в частности, высокоразмерный динамический хаос, явление мультистабильности, образование диссипативных структур. Исследование таких процессов имеет важное практическое значение для решения задач по созданию оптических систем связи, управления и информатики. Они открывают новые возможности для получения мультистабильных состояний, что является основным свойством конструкционных элементов оптического компьютера, а также при разработке принципов оптической ассоциативной памяти в системах распознавания образов. Кроме того, динамические системы с запаздыванием демонстрируют различные типы неустойчивостей, обусловленных воздействием задержки. Например, для полупроводниковых лазеров с оптической обратной связью наблюдаются различные пути перехода к хаосу: квазипериодический [74], через каскад бифуркаций удвоения периода [82,147], сценарий Икеды [63], перемежаемость и кризис аттракторов [82,122,124].

Цели диссертационной работы

Основной целью исследования является теоретическое изучение дифференциально-разностных моделей лазерной динамики методом большого параметра. Ставится задача сравнения результатов, полученных для различных моделей и выработки выводов из исследования, которые могли бы оказаться полезными на практике.

Актуальность работы

Специфика данной диссертационной работы по сравнению с другими проводимыми в этой области исследованиями состоит в использовании модификации метода большого параметра для систем с запаздыванием. Таким образом, изучаются ситуации, когда значения одного или нескольких параметров системы асимптотически велики. Критические случаи такого рода в моделях полупроводниковых лазеров к настоящему времени, по мнению автора, исследованы недостаточно. Среди известных работ на эту тему, можно отметить разве что статьи [56] и [112]. В первой изучается случай, когда величины а и г> в системе (1.7) считаются большими параметрами, во второй затрагивается ситуация асимптотически большого запаздывания.

Плодотворный подход к исследованию динамики нелинейных систем, в том числе лазерных, связан с построением специальных эволюционных уравнений для так называемых параметров порядка. Идея выделения некоторой совокупности переменных и перехода к универсальным уравнениям, описывающим локальную динамику исходной задачи, открывает путь к систематизации явлений самоорганизации и других феноменов, наблюдаемых в нелинейных моделях. Классический пример реализации этой идеи — метод нормальных форм. Его суть состоит в сведении задачи изучения локальной динамики многомерных систем при значениях набора параметров, близких к критическому, к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений специального вида.

Та же самая идея лежит в основе метода построения так называемых квазинормальных форм, развиваемого в работах С.А. Кащенко, А.Б. Васильевой, Ю.С. Колесова, А.Ю. Колесова, Н.Х. Розова [6,29-35,37-39,85,86]. Важнейшей особенностью, характерной для данной ситуации, является тот факт, что при бифуркационных значениях параметров на мнимой оси оказывается счетное число точек спектра оператора линеаризованной задачи. Тем самым универсальные эволюционные уравнения, описывающие локальную динамику исходной задачи, имеют бесконечную размерность.

Публикации

Все результаты, полученные в диссертационном исследовании, отражены в публикациях автора [7-23] — всего 17 работ: 8 статей и 9 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.

Структура и содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 147 наименований. Диссертация содержит 46 рисунков и четыре приложения. Общий объем диссертации составляет 148 страниц.

Основные результаты работы

В данной диссертационной работе выполнено теоретическое исследование нескольких моделей динамики оптоэлектронных устройств. Проведен качественный анализ систем дифференциально-разностных уравнений при значениях параметров, близких к критическим. Построены и изучены особые редуцированные модели, играющие роль нормальных форм и описывающие локальную динамику исходной задачи на центральном многообразии, определяемом решением негрубой системы «нулевого приближения» при бифуркационном значении параметров задачи.

Выполнено исчерпывающее исследование бифуркации скалярного дифференциального уравнения с запаздыванием, моделирующего работу оптоэлектронных устройств. Приведены и частично исследованы некоторые обобщения представленной задачи. Конечная размерность центрального многообразия в данном случае позволяет сводить исходную бесконечномерной задачу к изучению некоторой системы ОДУ.

Получен ряд результатов при исследовании более сложных ситуаций в нескольких моделях динамики полупроводникового лазера, связанных с бесконечной размерностью центрального многообразия при критических значениях параметров. В этих случаях методом большого параметра построены системы бесконечной размерности — квазинормальные формы. Их численно-аналитическое исследование позволило выявить различные особенности их динамики, в частности, оценить области устойчивости простейших решений, показать наличие мультистабильности и сложных хаотических режимов, а также описать возможные сценарии перехода к хаосу.

Основное преимущество использумой в работе методики заключается в переходе от сингулярно возмущенной задачи к регулярным уравнениям, которые допускают надежный численный анализ. Это позволяет аналитически оценить асимптотическое поведение систем в рассматриваемых особых случаях. Такого рода оценки дают возможность глубже понять свойства исходных физических моделей и приблизиться к пониманию экспериментально наблюдаемых процессов и феноменов.

Предложена некоторая систематизация полученных редуцированных моделей — квазинормальных форм. На основе сравнения нормализованных уравнений делаются выводы о возможных путях преодоления сложной хаотической динамики, возникающей в полупроводниковом лазере под воздействием отраженного излучения. Эти результаты могут быть приняты во внимание в различных приложениях оптоэлектронных устойств.

Среди возможных направлений дальнейшей работы можно выделить следующие. Во-первых, это возможное распространение результатов, полученных для стандартной модели Ланга-Кобаяши на ее многочисленные модификации, такие как модель с обращением волнового фронта (1.32) или лазерная матрица, которая задается системой (1.35).

Во-вторых, это использование строго обоснованных математических методик для возможного упрощения физических моделей, прежде всего с запаздыванием, и их дальнейшего качественного исследования. В этой связи можно отметить появление новых систем уравнений как с запаздыванием, подобных представленной в статье [140], так и без запаздывания в [67], которые моделируют работу лазерных устройств на таких масштабах, где на первый план выходят квантовые свойства вещества. В этом отношении можно говорить о приложении методов нелинейной динамики к исследованиям в популярной и востребованной ныне области нанотехнологий.

В-третьих, это разработка и строгое обоснование методов исследования задач, подобных тем, о которых шла речь в диссертационной работе. Разумеется, это более сложное, но весьма важное направление дальнейших изысканий.

Благодарности

Автор выражает благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю Кащенко Сергею Александровичу, а также Глызину Сергею Дмитриевичу за проявленное внимание и терпение, помощь в работе и моральную поддержку. Кроме того, автор благодарит Григорьеву Елену Викторовну за консультации и полезное обсуждение результатов. И, разумеется, отдельное спасибо за самый первый вклад в эту работу адресуется родителям — Глазковым Владимиру Евгеньевичу и Ларисе Елисеевне.

Заключение

1. Андронов, А.А. Теория колебаний / А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. — 2-е изд. — М.: Физматгиз, 1959. — 926 с.

2. Баутпин, Н.Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н.Н. Баутии, Е.А. Леонтович. — М.: Наука, 1990. — 488 с. — ISBN 5-02-014321-9.

3. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук. — М.: Мир, 1967. 548 с.

4. Брюио, А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / АД. Брюно. — М.: Наука, 1979. — 252 с.

5. Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. — М.: Наука, 1973. — 272 с.

6. Васильева, А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией / А.Б. Васильева и др.] // Математический сборник. — 1986. Т. 130(172), №4(8). - С. 488-499.

7. Глазков, Д.В. О когерентном коллапсе в модели Ланга-Кобаяши / Д.В. Глазков // Тезисы докладов XXVIII конференции молодых ученых ММФ МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 10-15 апреля 2006.

8. Глазков, Д.В. Построение нормальной формы для одного класса векторных уравнений с запаздыванием / Д.В. Глазков // Тезисы докладов XIV конференции молодых ученых Ломоносов-2007, секция «Математика и механика», Москва, 16-21 апреля 2007.

9. Глазков, Д.В. Нормализация одного уравнения запаздыванием и бифуркация, приводящая к циклу асимптотически большого периода / Д.В. Глазков // Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, №2. — С. 47-52.

10. Глазков, Д.В. Динамические свойства модели Ланга-Кобаяши в одном критическом случае / Д.В. Глазков // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна (ВЗМШ-2008), Воронеж, 24-30 января 2008. — Воронеж: изд. ВГУ, 2008. — С. 40-41.

11. Глазков, Д.В. Особенности динамики модели Ланга-Кобаяши в одном критическом случае / Д.В. Глазков // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. Т. 15, №2. - С. 36-45.

12. Глазков, Д.В. Качественный анализ сингулярно возмущенных моделей одного класса оптико-электронных систем // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - Т. 16, №4. — С. 165-179.

13. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний: Учеб. пособие для вузов / В.Д. Го-ряченко. —2-е изд. — М.: Высш. шк, 2001. — 395 с. — ISBN 5-06-004166-2.

14. Гукенхеймер, Дэю. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 560 с. — ISBN 5-93972-200-8.

15. Заславский, Г.М. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев. — М.: Наука. Физматлит, 1988. — 368 с. — ISBN 5-02-013822-3.

16. Каток, А.Б. Введение в теорию динамических систем / А.Б. Каток, Б. Хассель-блат. М.: МЦНМО, 2005. - 464 с. - ISBN 5-94057-063-1.

17. Кащенко, С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией / С.А. Кащенко // ДАН СССР. 1988. - Т. 299, т. -С. 1049-1053.

18. Кащенко, С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной / С.А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т. 25, №2. — С. 262-270.

19. Кащенко, С.А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара им. И.Г.Петровского. — М., 1991. — Вып. 15. — С. 128-155.

20. Кащенко, С.А. Бифуркации цикла в сингулярно возмущенных нелинейных автономных системах / С.А. Кащенко // Известия РАЕН, серия МММИУ. — 1998. — Т. 2, №4. С. 5-53.

21. Кащенко, С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием / С.А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. —1999. Т. 35, №10. - С. 1343-1355.

22. Кащенко, С.А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием / С.А. Кащенко // Журнал Вычисл. матем. и матем. физ. —2000. №4.

23. Колесов, А.Ю. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений / А.Ю. Ко-лесов, Н.Х. Розов. — М., 2004.

24. Колесов, Ю. С. Новый метод исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти-периодическими коэффициентами / Ю.С. Колесов, В.В. Майоров // Дифференциальные уравнения. 1974. — Т. 10, №10. - С. 1778-1788.

25. Колесов, Ю.С. Автоколебания в системах с запаздыванием / Ю.С. Колесов, Д.И. Швитра. — Вильнюс: Мокслас, 1979. — 146 с.

26. Колесов, Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией / Ю.С. Колесов // Украинский математический журнал. — 1987. — Т. 39, №1. — С. 28-34.

27. Колесов, Ю.С. О границе применимости метода квазинормальных форм / Ю.С. Колесов // Математические модели в биологии и медицине. — 1989. — Вып. 3. — С. 99-111.

28. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Кра-совский. — М.: Физматгиз, 1959.

29. Кроновер, P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / P.M. Кроновер. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с. - ISBN 5-901095-03-0.

30. Ланда, П. С. Нелинейные колебания и волны / П.С. Ланда. — М.: Наука, 1997. — 496 с.

31. Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г.Г. Малинец-кий, А.Б. Потапов. 2-е изд. — М.: Едиториал УРСС, 2002. - 360 с. — ISBN 5-354-00081-5.

32. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. МакКракен. — М.: Мир, 1980. — 368 с.

33. Мищенко, Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. — Москва: Наука, 1975. — 248 с.

34. Мищенко, Е.Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией / Е.Ф. Мищенко и др.. — Москва: Физматлит, 2005. — 432 с. — ISBN 5-9221-0554-X.

35. Мун, Ф. Хаотические колебания / Ф. Мун — М.: Мир, 1990. — 312 с. — ISBN 5-03-001413-6.

36. Мышкис, А.Д. Общая теория уравнений с запаздывающим аргументом / Д.А. Мышкис // Успехи математических наук. — 1949. — Т. 4. №5(33). — С. 99141.

37. Оболенский, А.Ю. Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений / А.Ю. Оболенский. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2006. 320 с. - ISBN 5-93972-458-2.

38. Фаин В.М. Квантовая радиофизика / В.М. Файн, Я.И. Ханин // М.: Сов. радио, 1965.

39. Ханин, Я.И. Основы динамики лазеров / Я.И. Ханин. — М.: Наука. Физматлит, 1999. 368 с. - ISBN 5-02-014375-8.

40. Шустер, Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер. — М.: Мир, 1988. — 240 с. — ISBN 5-03-001373-3.

41. Элъсголъц, Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин — М.: Наука, 1971. — 296 с.

42. Физическая энциклопедия. — Издательство «Большая Российская Энциклопедия», РМГ Мультимедиа, 2003. — 2 CD.

43. Ahlborn, A. Chaos Control using Notch Filter Feedback / A. Ahlborn, U. Parlitz // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96, 034102: P. 1-4.

44. Alsing, P. Lang and Kobayashi phase equation / P. Alsing et al.] // Phys. Rev. A. — 1996. Vol. 53, №6. - P. 4429-4434.

45. Davidchack, R.L. Regular dynamics of low-frequency fluctuations in external cavity semiconductor lasers / R.L. Davidchack et al.] // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 63, 056206: P. 1-6.

46. Erneux, T. Mechanism for period-doubling bifurcation in a semiconductor laser subject to optical injection / T. Erneux et al.] // Phys. Rev. A. — 1996. — Vol. 53, №6. P. 4372-4380.

47. Erneux, T. Bifurcation to mixed external cavity mode solutions for semiconductor lasers subject to optical feedback / T. Erneux et al.] // Opt. Commun. — 2000. — Vol. 183. P. 467-477.

48. Erneux, T. Stable microwave oscillations due to external-cavity-mode beating in laser diodes subject to optical feedback / T. Erneux, A. Gavrielides, M. Sciamanna // Phys. Rev. A. — 2002. Vol. 66. - 033809: P. 1-6.

49. Erneux, T. Bifurcation to large period oscillations in physical systems controlled by delay / T. Erneux, H.O. Walther // Phys. Rev. E. 2005. — Vol. 72, 066206: P. 1-5.

50. Fischer, I. Fast pulsing and chaotic itinerancy with a drift in the coherence collapse of semiconductor lasers / I. Fischer et al.] // Phys. Rev. A. — 1994. — Vol. 50, №4. — P. R2837-R2840.

51. Fischer, I. High-dimensional chaotic dynamics of an external cavity semiconductor laser / I. Fischer et al.] // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73, №16. - P. 2188-2191.

52. Fujiwara, M. Low-frequency intensity fluctuation in laser diodes with external optical feedback / M. Fujiwara, K. Kubota, R. Lang // Appl. Phys. Lett. 1981. - Vol. 38. -P. 217-220.

53. Gavrielides, A. Synchronous Sisyphus effect in diode lasers subject to optical feedback / A. Gavrielides et al.] // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 60, №2. - P. 1577-1581.

54. Gibbon, J.D. The real and complex Lorenz equations in rotating fluids and lasers / J.D. Gibbon, M.J. McGuinness // Physica D — 1982. — Vol. 5. P. 108-122.

55. Goulding, D. Excitability in a Quantum Dot Semiconductor Laser with Optical Injection / D. Goulding et al.J // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 98. — 153903: P. 1-4.

56. Grassberger, P. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal / P. Grassberger, I. Procaccia // Phys. Rev. A. — 1983. — Vol. 28, Ш. — P. 2591.

57. Grassberger, P. Measuring the strangeness of strange attractors / P. Grassberger, I. Procaccia // Physica D. — 1983. Vol. 9, №1,2. - P. 189.

58. Green, K. A two-parameter study of the locking region of a semiconductor laser subject to phase-conjugate feedback / K. Green, B. Krauskopf, G. Samaey //J. Appl. Dynamical Systems. 2003. — Vol. 2, №2. — P. 254-276.

59. Green, K. Bifurcation analysis of frequency locking in a semiconductor laser with phase-conjugate feedback / K. Green, B. Krauskopf // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2003. — Vol. 13, №9. — P. 2589-2601.

60. Green, K. Mode structure of semiconductor laser subject to filtered optical feedback / K. Green, B. Krauskopf // Opt. Commun. 2006. — Vol. 258. - P. 243-255.

61. Grigorieva, E. V. Theory of quasiperiodicity in model of lasers with delayed optoelectronic feedback / E.V. Grigorieva, H. Haken, S.A. Kaschenko // Opt. Commun. 1999. — Vol. 165. — P. 279-292.

62. Grigorieva, E. V. Quasiperiodicity in Lang-Kobayashi model of lasers with delayed optical feedback / E.V. Grigorieva // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. — 2001. Vol. 4, Ш. - P. 333-340.

63. Haegeman, B. Stability and rupture of bifurcation bridges in semiconductor lasers subject to optical feedback / B. Haegeman et al.] // Phys. Rev. A. — 2002. — Vol. 66. — 046216: P. 1-11.

64. Haken, H. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers / H. Haken // Phys. Lett. A. 1975. Vol. 53, №. - P. 77-78.

65. Ней, Т. Coexistence of low-frequency fluctuations and stable emission on a single high-gain mode in semiconductor lasers with external optical feedback / T. Heil, I. Fischer, W. Elsasser // Phys. Rev. A. 1998. — Vol. 58, №4. - P. R2672-R2675.

66. Heil, T. Influence of amplitude-phase coupling on the dynamics of semiconductor lasers subject to optical feedback / T. Heil, I. Fischer, W. Elsasser // Phys. Rev. A. — 1999. Vol. 60, №1. - P. 634-641.

67. Heil, T. Dynamics of semiconductor lasers subject to delayed optical feedback: the short cavity regime / T. Heil et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2001. Vol. 87, №24. — 243901: P. 1-4.

68. Heil, T. Delay dynamics of semiconductor lasers with short external cavities: Bifurcation scenarios and mechanisms / T. Heil et al.] // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 67, 066214: P. 1-11.

69. Henry, C.H. Instability of semiconductor lasers due to optical feedback from distant reflectors / C.H. Henry, R. Kazarinov // IEEE J. Quantum Electron. — 1986. — Vol. 22, №2. P. 294-301.

70. Hohl, A. Bifurcation cascade in a semiconductor laser subject to optical feedback / A. Hohl, A. Gavrielides // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82, №6. P. 1148-1151.

71. Huyet, G. Low frequency fluctuations and multimode operation of a semiconductor laser with optical feedback / G. Huyet et al.] // Opt. Commun. — 1998. — Vol. 149. — P. 341-347.

72. Huyet, G. A low-dimensional dynamical system to describe low-frequency fluctuations in a semiconductor laser with optical feedback / G. Huyet et al.] // Opt. Commun. — 2000. Vol. 180. - P. 339-344.

73. Kaschenko, S.A. Normalization in the systems with small diffusion / S.A. Kaschenko // International Journal of Bifurcations and chaos. — 1996. — Vol. 6, №7. — P. 10931109.

74. Kaschenko, S.A. Bifurcational features in systems of nonlinear parabolic equations with weak diffusion / S.A. Kaschenko // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2005. Vol. 15, №11.

75. Kovanis, V. Instabilities and chaos in optically injected semiconductor lasers / V. Kovanis et al.] // Appl. Phys. Lett. 1995. - Vol. 67, №19. - P. 2780-2782.

76. Kozyrejf, G. Global coupling with time delay in an array of semiconductor lasers / G. Kozyreff, A.G. Vladimirov, P. Mandel // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85, №18. - P. 3809-3812.

77. Kozyreff, G. Dynamics of a semiconductor laser array with delayed global coupling / G. Kozyreff, A.G. Vladimirov, P. Mandel // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 64, 016613: P. 1-12.

78. Lang, R. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties / R. Lang, K. Kobayashi // IEEE J. Quantum Electron. — 1980. — Vol. 16(1), №3. — P. 347-355.

79. Larger, L. Subcritical Hopf bifurcation in dynamical systems described by a scalar nonlinear delay differential equation / L. Larger, J.-P. Goedgebuer, T. Erneux // Phys. Rev. E. 2004. - Vol. 69, 036210: P. 1-5.

80. Lee, E.K. Bistability and chaos in an injection-locked semiconductor laser / E.K. Lee et al.] // Phys. Rev. A. 1993. - Vol. 47, №1. - P. 736-739.

81. Masoller, C. Chaotic properties of the coherence collapsed state of laser diodes with optical feedback / C. Masoller, A.C.S. Schifino, C. Cabeza // Opt. Commun. — 1993. Vol. 100. P. 331-340.

82. Masoller, C. Coexistence of attractors in a laser diode with optical feedback from a large external cavity / C. Masoller // Phys. Rev. A. — 1994. — Vol. 50, №3. — P. 2569-2578.

83. Masoller, C. Noise-Induced Resonance in Delayed Feedback Systems / C. Masoller // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 88, №3. - 034102: P. 1-4.

84. Mendez, J.M. Dynamics of periodically forced semiconductor laser with optical feedback / J.M. Mendez et al.j // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63, 066218: P. 1-6.

85. Mork, J. Bistability and low-frequency fluctuations in semiconductor lasers with optical feedback: a theoretical analysis / J. Mork, B. Tromborg, P.L. Christiansen // IEEE J. Quantum Electron. 1988. - Vol. 24, №2. — P. 123-133.

86. Mork, J. Route to chaos and competition between relaxation oscillations for a semiconductor laser with optical feedback / J. Mork, J. Mark, B. Tromborg // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 65, №16. - P. 1999-2002.

87. Mork, J. Chaos in semiconductor lasers with optical feedback: theory and experiment / J. Mork, B. Tromborg, J. Mark // IEEE J. Quantum Electron. 1992. - Vol. 28, №1. - P. 93-108.

88. Morikawa, T. Return-beam-induced oscillations in self-coupled semiconductor lasers / T. Morikawa et al.J // Electron. Lett. 1976. Vol. 12, №17. - P. 435-436.

89. Nizette, M. Stability of injection-locked CW-emitting external-cavity semiconductor lasers / M. Nizette, T. Erneux // IEEE J. Sel. Top. Quant. Electron. 2004. -Vol. 10. — P. 961-967.

90. Ott, E. Controlling Chaos / E. Ott, C. Grebogi, J.A. Yorke // Phys. Rev. Lett. — 1990. Vol. 64, №11. - P. 1196-1199.

91. Pieroux, D. Interacting pairs of periodic solutions lead to tori in lasers subject to delayed feedback / D. Pieroux et al.] // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63, №3. — 036211.

92. Pieroux, D. Bridges of Periodic Solutions and Tori in Semiconductor Lasers Subject to Delay / D. Pieroux et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 87, №19. — 193901: P. 1-4.

93. Pieroux, D. Bifurcation diagram of a complex delay-differential equation with cubic nonlinearity / D. Pieroux, P. Mandel // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 67, 056213: P. 1-7.

94. Pieroux, D. Low frequency fluctuations in the Lang-Kobayashi equations / D. Pieroux, P. Mandel 11 Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 68, 036204: P. 1-6.

95. Pomeau, Y. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems / Y. Pomeau, P. Manneville // Commun. Math. Phys. — 1980. — Vol. 74. — P. 189.

96. Pyragas, K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback / K. Pyragas // Phys. Lett. A. 1992. - Vol. 170, №6. - P. 421-428.

97. Redmond, B.F. Bifurcation analysis of a class of first-order nonlinear delay-differential equations with reflectional symmetry / B.F. Redmond, V.G. LeBlanc, A. Longtin // Physica D. 2002. - Vol. 166. - P. 131.

98. Risch, Ch. Self-pulsation in the output intensity and spectrum of GaAs-AlGaAs cw diode lasers coupled to a frecuency-selective external optical cavity / Ch. Risch, C. Voumard // J. Appl. Phys. 1977. - Vol. 48, №5. - P. 2083-2085.

99. Register, F. Suppression of low-frequency fluctuations and stabilization of a semiconductor laser subjected to optical feedback from a double cavity: theoretical results / F. Rogister et al.] // Opt. Lett. 1999. — Vol. 24, №17. - P. 1218-1220.

100. Roy, R. Dynamical control of a chaotic laser: experimental stabilization of a globally coupled system / R. Roy et al.] // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 68, №9. — P. 1259-1262.

101. Sacher, J. Intermittency in the coherence collapse of a semiconductor laser with external feedback / J. Sacher, W. Elsosser, E.O. Gobel // Phys. Rev. Lett. — 1989. —■ Vol. 63, №20. P. 2224-2227.

102. Sacher, J. Intensity instabilities of semiconductor lasers under current modulation, external light injection, and delayed feedback / J. Sacher et al.] // Phys. Rev. A. — 1992. Vol. 45, №3. - P. 1893-1905.

103. Sano, Т. Antimode dynamics and chaotic itinerancy in the coherence collapse of semiconductor lasers with optical feedback / T. Sano // Phys. Rev. A. — 1994. — Vol. 50, №3. P. 2719-2726.

104. Schikora, S. All-Optical Noninvasive Control of Unstable Steady States in a Semiconductor Laser / S. Schikora et al.] // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 97, 213902: P. 1-4. (

105. Sciamanna, M. Hopf bifurcation cascade in small-a laser diodes subject to optical feedback / M. Sciamanna, P. Megret, M. Blondel // Phys. Rev. E. — 2004. — Vol. 69, 046209: P. 1-9.

106. Simpson, T.B. Period-doubling cascades and chaos in a semiconductor laser with optical injection / T.B. Simpson et al.] // Phys. Rev. A. — 1995. — Vol. 51, №5. — P. 4181-4185.

107. Sukow, D. Mixed external cavity mode dynamics in a semiconductor laser / D. Sukow et al.] // Opt. Lett. 2002. - Vol. 27, №10, 827-829.

108. Tabaka, A. Bifurcation study of regular pulse packages in laser diodes subject to optical feedback / A. Tabaka et al.] // Phys. Rev. E. — 2004. — Vol. 70, 036211: P. 1-9.

109. Tager, A.A. Stability regimes and high-frequency modulation of laser diodes with short external cavity / A.A. Tager, B.B. Elenkrig // IEEE J. Quantum Electron. — 1993. Vol. 29, №12. - P. 2886-2890.

110. Tager, A.A. High-frequency oscillations and self-mode locking in short external-cavity laser diodes / A.A. Tager, K. Petermann // IEEE J. Quantum Electron. — 1994. — Vol. 30, №7. P. 1553-1561.

111. Tromborg, B. Nonlinear injection locking dynamics and the onset of coherence collapse in external cavity lasers / B. Tromborg, J. Mork // IEEE J. Quantum Electron. — 1990. Vol. 26, №4. - P. 642-654.

112. Tronciu, V.Z. Semiconductor laser under resonant feedback from a Fabry-Perot resonator: Stability of continuous-wave operation / V.Z. Tronciu et al.] // Phys. Rev. E. — 2006. Vol. 73, 046205: P. 1-7.

113. Turovets, S.I. Nonlinear dynamics of a laser diode subjected to both optical and electronic feedback / S.I. Turovets, J. Dellunde, K.A. Shore //J. Opt. Soc. Am. В — 1997. Vol. 14, №1. - P. 200-208.

114. Van Tartwijk, G.H.M. Theory of a diode laser with phase-conjugate feedback / G.H.M. van Tartwijk, H.J.C. van der Linden, D. Lenstra // Opt. Lett. — 1992. — Vol. 17, №22. P. 1590-1592.

115. Van Tartwijk, G.H.M. Nonlocal potential for class-B lasers with external optical feedback / G.H.M. van Tartwijk and D. Lenstra // Phys. Rev. A. — 1994. — Vol. 50, №4. P. 2837-2840.

116. Van Tartwijk, G.H.M. Sisyphus effect in semiconductor lasers with optical feedback / G.H.M. van Tartwijk, A.M. Levine, D. Lenstra // IEEE J. Quantum Electron. — 1995. Vol. 1, №2. - P. 466-472.

117. Van Tartwijk, G.H.M. Laser instabilities: a modern perspective / G.H.M. Van Tartwijk, G.P. Agrawal // Progress in Quantum Electronics. — 1998. Vol. 22. - P. 43-122.

118. Vicktorov, E.A. Low frequency fluctuations in a multimode semiconductor laser with optical feedback / E.A. Vicktorov, P. Mandel // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85, №15. P. 3157-3160.

119. Vicktorov, E.A. A model for mode-locking in quantum dot lasers Электронный ресурс] / E.A. Vicktorov [et al.] // WIAS preprint №1098, Berlin, 2006. — Режим доступа: www.wias-berlin.de, свободный.

120. Vladimirov, A.G. The complex Lorenz model: geometric structure, homoclinic bifurcation and one-dimensional map / A.G. Vladimirov, V.Y. Toronov, V.L. Derbov // International Journal of Bifurcations and chaos. — 1998. — Vol. 8, №4. — P. 723729.

121. Vladimirov, A. G. Synchronization of weakly stable oscillators and semiconductor laser arrays / A.G. Vladimirov, G. Kozyreff, P. Mandel // Europhys. Lett. — 2003. — Vol. 61, №5. P. 613-619.

122. Wolf, A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf et al.] // Physica D. 1985. - Vol. 16, №3. — P. 285.

123. Wolfrum, M. Instabilities of lasers with moderately delayed optical feedback / M. Wolfrum, D. Turaev // Opt. Commun. 2002. - Vol. 212. - P. 127-138.

124. Wolfrum, M. Oscillatory instability in systems with delay Электронный ресурс] / M. Wolfrum, S. Yanchuk // WIAS preprint №1101, Berlin, 2006. Режим доступа: www.wias-berlin.de, свободный.

125. Yanchuk, S. Control of unstable steady states by long delay feedback / S. Yanchuk et al.] // Phys. Rev. E. 2006. - Vol. 74, 026201: P. 1-7.

126. Ye, J. Period-doubling route to chaos in a semiconductor laser with weak optical feedback / J. Ye, H. Li, J.M. Mclnerny // Phys. Rev. A. 1993. - Vol. 47, №3. -P. 2249-2252.