Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием

Блистанова, Лидия Дмитриевна

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием

доктора физико-математических наук: Блистанова, Лидия Дмитриевна
город: Москва
год: 2004
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием»

Автореферат диссертации по теме "Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием"

Блистанова Лидия Дмитриевна

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Блистанова Лидия Дмитриевна

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва

2005

Работа выполнена в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Шестаков А.А.

Официальные оппоненты — академик РАН Краснощекое П.С.,

доктор физико-математических наук, профессор Рябов Ю.А., доктор физико-математических наук, профессор Бекларян Л .А.

Ведущая организация — Институт проблем управления

им. В. А. Трапезникова

Защита диссертации состоится ^»Мйрсг- 2005 г. в/ к на

заседании диссертационного совета Д 002.017.03 в Вычислительном центре РАН им. А.А. Дородницына по адресу: 119991, г. Москва ул. Вавилова 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН им. А.А. Дородницына.

«»

Автореферат разослан » 2005 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук,

А.В. Мухин

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время развитие методов системного анализа динамики управляемых систем с последействием обусловлено как широким кругом прикладных задач, среди которых основными являются задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, так и бурным развитием компьютерной техники. Появляющиеся все новые возможности использования компьютеров, развитие их аппаратной части и программного обеспечения, систем сбора данных на базе микропроцессорных систем в задачах управления позволяют математикам пересматривать существующие и создавать новые, имеющие большую практическую направленность аналитические, качественные и численные методы исследования систем с последействием. Эти методы, позволяют осуществлять более точное прогнозирование функционирования этих систем и определять границы динамической безопасности этого функционирования на всех этапах жизненного цикла (от этапа проектирования — до этапа эксплуатации).

Необходимым математическим аппаратом описания процессов динамики и управления системами являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности с последействием. Поэтому задачи современной компьютеризованной автоматики, т.е. задачи создания новых эффективных систем управления различными технологическими комплексами и техническими объектами, обусловливают развитие методов исследования линейных и нелинейных систем дифференциальных уравнений с последействием, описывающих динамику функционирования управляемых систем.

Работа посвящена развитию математического аппарата, позволяющего осуществлять общий и прикладной системный анализ устойчивости систем управления с последействием, включающий новые аналитические методы и численные алгоритмы решения задач исследования устойчивости по первому нелинейному приближению и задач робастной устойчивости для этих систем. Качественные аналитические методы исследования систем дифференциальных уравнений с последействием были развиты в трудах зарубежных и российских математиков, таких как В. Вольтерра, Н.Н. Красовский, Б.С. Разумихин, Л.Э. Эльсгольц, А.Д. Мыш-

кис, В.И. Зубов, А.А Шестаков, Ю.Н. Меренков, Н.В. Азбелев, С.Н. Шиманов, Р. Беллман, Т. Иошидзава, В. Хан, Ж.П. Ла-Салль, Дж. Хейл, Д. Като, Р. Драйвер, Т. Бартон и многих других, а также научных школ, созданных ими.

Решение задач робастной устойчивости в начале было направлено на определение границ устойчивости в пространстве параметров рассматриваемой системы (И.А. Вышнеградский) и на получение оценок области асимптотической устойчивости расчетного режима. В дальнейшем в этом направлении были разработаны методы исследования робастной устойчивости при неопределенных передаточных функциях и вероятностный подход, а также методы исследования робастной стабилизации и управления.

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости в последнее время посвящено много научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, ЯЗ. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, Н.П. Петров, А.С. Немировский, М.Г. Сафонов, Б.Р. Бармиш, Дж. Аккерман, В Блондел, Дж. Коган, Р. Темпо, Д.Д. Сильжак и многим другим.

Целью диссертационного исследования является решение проблемы разработки и развития аналитических, качественных и вычислительных методов общего и прикладного системного анализа динамики управляемых систем с последействием для обеспечения динамической безопасности этих систем и более точного прогнозирования их функционирования.

Областью исследования являются теоретические основы, прикладные методы и постановки задач системного анализа динамики управляемых систем, описываемыми нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием.

Методы исследований. В работе, на основе классических результатов и методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, функционального анализа, математического программирования, линейной и высшей алгебры детально разработан метод анализа динамики функционирования управляемых и неуправляемых квазилинейных систем с последействием, опирающийся на исследовании этих систем по линейному и нелинейному приближению. Таким образом, суть этого метода заключается в анализе влияния динамических свойств системы

первого приближения на качественный характер поведения всей системы в целом.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании методов функционального и выпуклого анализа, алгебры, теории устойчивости и качественной теории дифференциальных уравнений. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Научная новизна. В диссертации впервые детально разработан метод системного анализа динамики управляемых систем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с последействием, опирающийся на исследование существования решений этих систем и исследование их устойчивости по первому линейному и нелинейному приближению. Исследование устойчивости этих решений включает наряду с уже известными и новые, модифицированные критерии робастной устойчивости систем первого приближения, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы, позволяющие уточнить границы динамической безопасности для исходных нелинейных систем. Этот подход является существенным вкладом в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа динамики управляемых систем, т.к. на практике позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исследуемой системы от расчетных, при которых динамика системы будет носить устойчивый характер.

системы управления, так как разработанные методы позволяют рассматривать сразу целое семейство математических моделей динамики функционирования управляемых систем, определяемое множеством их допустимых параметров. Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов, денежных средств и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных систем. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию таких направлений в науке как нелинейная динамика и моделирование электромеханических систем. Результаты работы использованы при разработке новых курсов учебного процесса при чтении таких дисциплин как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в НПО им. Лавочкина при разработке систем управления и стабилизации космических аппаратов нового поколения, а также в научно-исследовательских работах, проводящихся в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и научно-методических работ, одно из которых уже вышло из печати.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Все результаты других авторов, упомянутые в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие ссылки. В работах, совместно опубликованных с научным консультантом А.А. Шестаковым, ему принадлежат постановки задач исследования. Другим соавторам работ принадлежит рассмотрение ряда технических вопросов.

Апробация работы. По основным результатам работы автором были сделаны доклады на 11 международных и всероссийских научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Саранске, Смоленске, Самаре, Тамбове, Бресте, Минске. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах ИПК РАН под руководством акад. В.А Мельникова, ВЦ РАН под руководством проф. Н.А. Северцева, РГОТУПС под руководством проф. А.А. Шестакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 научных работ, включая 2 монографии.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждом главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации — 251 страниц. Список литературы содержит 167 наименований.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

Разработанные новые и усовершенствованные существующие методы анализа динамики управляемых систем с последействием, включающие:

— методы построения программных движений в квазилинейных системах удовлетворяющих неудерживающим связям при наличии ограничений на управления в виде двусторонних неравенств;

— методы исследования систем непрерывной стабилизации и представления стабилизирующих управлений для линейных и квазилинейных систем в явном виде;

— методы исследования существования и экспоненциальной устойчивости стационарных режимов в динамических системах с последействием по первому линейному и нелинейному приближению, а также влияния на эти режимы внешних ограниченных воздействий;

—рекуррентные методы исследования устойчивости систем первого приближения, позволяющие полностью решить проблему отделения корней характеристического многочлена;

— допустимые линейные преобразования коэффициентов характеристических многочленов сохраняющих их устойчивость;

— методы исследования устойчивости и построения выпуклых множеств у системы первого приближения, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы первого приближения;

— аналитические критерии, устанавливающие однозначную связь между собственными числами матрицы первого приближения и отрицательной определенностью ее квадратичной формы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении диссертации приведена общая характеристика работы, включающая актуальность темы исследования, ее цель, методы и область исследования, достоверность, научную новиз-

ну, практическую значимость, реализацию результатов, полученных в работе. Также во введении приведено краткое содержание диссертации и даны сведения о ее апробации.

В первой главе диссертации дано изложение общих способов представления допустимых управлений в динамических системах, а также разработаны методы исследования существования и построения решений краевых задач в системах с последействием. Эти результаты обобщены на случай систем непрерывной стабилизации и краевых условий самого общего вида.

Вначале первой главы приведены необходимые и достаточные условия линейной независимости скалярных и векторных функций на конечном промежутке времени, доказанные В.И. Зубовым. Эти результаты обобщены на случай бесконечного интервала времени с целью решения задач непрерывной стабилизации программного движения.

Для представления стабилизирующих управлений в виде прямой суммы подпространства некоторых базовых функций и его ортогонального дополнения изучены свойства этих базовых функций. Необходимые и достаточные условия линейной независимости этих функций сформулированы в виде теорем.

Теорема. Для того чтобы непрерывные функции Ь0 - 1,..., п), удовлетворяющиеусловиям

Ь,(0</гехр(ц0, А>0, ц<Х/2

были линейно независимы на интервале [/, + оо), / > О необходимо и достаточно, чтобы матрица

А{г,+ оо,X) =\В*(т)В(т)ехрНт)Л, Х>0

была положительно определённой.

Теорема .Для того чтобы функции 6 (/) (г = 1,...,«) былилинейно независимы на интервале необходимо и достаточно,

чтобы существовали точки т^...,! 6 /2] такие, что постоянные в е к г В(т^), (/ = 1,...,п) ¡и линейно независимы, т.е. являлись базисом в Е".

Аналогичные результаты получены для векторных функций.

Далее в первой главе изложены способы представления произвольных скалярных и векторных управлений, в виде разложения по некоторой системе базовых функций, заданных на конечном интервале времени и рассмотрены критерии существования и единственности этих представлений. Эти результаты обобщены на случай стабилизирующих управлений, рассматриваемых на бесконечном интервале времени и осуществляющих непрерывную стабилизацию исходной системы. Эти результаты представлены в виде теоремы.

Теорема .Если векторные функции В(/) (1 = 1 ,...,п) — непрерывны и линейно независимы на интервале [0, + оо), то для любой функции

Щг) = Я(/)ехр(-Хг)С + Г(г)ехр(-Х0

постоянный вектор С можно выбрать однозначным образом так, что векторная функция V(t) удовлетворяет условию

В первой главе также приведены необходимые и достаточные условия существования решений в линейных системах с последействием, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям. Эти результаты обобщены на краевые условия интегрального типа имеющих вид двусторонних неравенств.

Для линейных систем

получены необходимые и достаточные условия того, что существуют решения, удовлетворяющие краевым условиям типа двусторонних неравенств

Я!<|Л?(т)Х(т)<Я2.

Эта задача решена стандартным способом — путем сведения исходной задачи к задаче о разрешимости системы алгебраических неравенств

В1<Л1Х0 + Н<В2,

где XQ — начальное положение системы, а матрица А, и вектор Я имеют вид

Далее в этой главе на основе этого подхода, получены достаточные условия существования решений в квазилинейных системах с последействием, удовлетворяющих удерживающим и не-удерживающим связям и итерационные методы их построения.

Показано, что если линейная задача имеет решение, то нелинейная задача также имеет решение при «малой» нелинейной части.

Во второй главе рассмотрены вопросы существования и методы построения законов управления для динамических систем с последействием, удовлетворяющих неудерживающим связям.

В начале главы приведены как результаты автора, так и результаты, имеющихся в научной литературе по вопросам исследования существования и построения программных управлений и движений в линейных и квазилинейных системах, удовлетворяющих краевым условиям удерживающего и неудерживающего типа, посвящены изложению, обобщению и систематизации.

Далее, на основе подходов, изложенных в начале главы, решена задача построения программных управлений в квазилинейных системах с последействием

X = P{t)X + Q{t)U + F(t) + \iS(t,X(M), U(t + 9)),

удовлетворяющих ограничениям типа двусторонних неравенств

в\ </Ф(/)[/(0Л+^1Ше), ит<в\-

при этом программные движения должны удовлетворять краевым условиям неудерживающего типа

В линейном случае эта задача решена полностью путем её сведения к решению системы линейных неравенств и эти результаты сформулированы в виде теоремы.

Теорема. Если гиперплоскость Жи параллелепипед Б имеют хотя бы одну общую точку Г^, то рассматриваемая задача имеет решение, совпадающее с решением исходной задачи при ц = 0 с заменой краевых условий, заданных в виде неравенств на равенства

Здесь параллелепипед D и гиперплоскость W, описываются уравнениями

где а — произвольные постоянные, а Г — линейно независимые столбцы матрицы клеточной структуры А клетки которой составляют подматрицы

В квазилинейном случае на базе этой теоремы найдены достаточные условия существования решений и предложены итерационные методы их построения. Этот результат установлен с помощью следующей теоремы.

Теорема. Если гиперплоскость Жи параллелепипед Б имеют хотя бы одну общую точку Г^, то существует положительная величина

> О такая, что при всех ц: |(х| < ^¡рассматриваемая задача имеет решение, которое может быть получено как предел последовательных приближений.

В конце данной главы получены достаточные условия существования системы непрерывной стабилизации программного движения в линейных

и квазилинейных системах с последействием

X = Р(ОХ+ <2{г)и + - /г))

и предложен вид управлений

осуществляющих эту стабилизацию. Показано, что достаточным условием построения системы непрерывной стабилизации прямого регулирования является её управляемость на всем протяжении времени.

В третьей главе получены критерии экспоненциальной устойчивости тривиальных решений в квазилинейных системах с последействием по первому нелинейному приближению.

В начале главы приведено описание стандартной замены исследования устойчивости расчетного режима управляемой или неуправляемой динамической системы на исследование устойчивости тривиального решения этой системы по первому линейному или нелинейному приближению.

Далее показано, что самые общие системы с последействием обладают свойствами устойчивости на конечном интервале времени как по начальным данным, так и при внешних ограниченных воздействиях. Эти результаты являются обобщением результатов, полученных Е.А. Барбашиным для систем обыкновенных дифференциальных уравнений без последействия и представлены в виде теоремы.

Теорема. Пусть Х(1, Ф) И t|¡, Т) — некоторые решения систем уравнений с последействием

удовлетворяю .. ||Л ||А ,|Л

Цф-УЦ <5, ||ф|| <н, ЦуЦ <Н,

L — постоянная Липшица для функционала F(t, Ф),

||^Ф)-^У)>||</,||Ф-Т||\ t>tQ, ||o|f <н, ЦтЦ* < н

а Г) — const така

||С?(Г,Ф)||<гь t>t0, |]ф|| <Н.

Тогда до тех пор, пока эти решения продолжимы (i0 < t, ||Z|| < Н, ||У|| < Н) имеет место оценка

Здесь, компоненты g.(t, Ф(9)) (i = 1,...,и) вектора G(t, X(t + 9)) также являются вещественными и непрерывными функционалами, определенными при i>0, Ф(0)еС[-/!,О],||ф(0)||'1 < Ни удовлетворяющими в этой области условиям Липшица по всем своим компонентам, кроме первой.

max | Xj |,|0(e)f = ^max |Ф(0)||, L,h,H > 0 - const.

Из этой теоремы вытекает, что решения систем с последействием, удовлетворяющие условиям существования и единственности могут «расти» не быстрее некоторой экспоненты.

На основе оценок, полученных в этой теореме, для квазилинейных систем с последействием

X = A{t,X(t + Q))X+iiF(t,X(t + S)) (!)

получены достаточные условия существования единственного равномерно экспоненциально устойчивого положения равновесия по первому нелинейному приближению.

Теорема. Если выполняются условия < < 0, т.е. матрица A(t, 0) является отрицательно определенной иf,{t, 0) = 0 (z = 1,...,«) при t > 0, то существует положительное число ц0 > 0 такое, что для всех |i: |ц| > ^тривиальноерешение системы (1) X 0 экспоненциально устойчиво.

Здесь А, (/) — являются собственными числами эрмитово-со-пряженной матрицы В0({) = {А{1, 0) + 0))/2, где * знак транспонирования.

Для случая, когда нелинейная часть имеет порядок малости выше первого

получен аналогичный результат, сформулированный в виде следующей теоремы

Теорема. Если выполняются условия Х(0 <К<®> т.е. матрица А(I, 0) является отрицательно определенной и 0) = 0 (1 = 1,...,п) при / > 0, то тривиальное решение системы (2) Х=0 экспоненциально устойчиво.

В четвертой главе дано полное решение проблемы отделения комплексных и мнимых корней у характеристического многочлена с помощью линейных рекуррентных преобразований его коэффициентов.

В начале главы дано краткое описание существующих подходов к решению задачи отделения корней характеристического многочлена. Решением этой задачи занимались многие крупные ученые, начиная с Евклида, Виета, Фурье, Безу, Абеля, Чебыше-ва, Лобачевского, Штурма, Рауса, Гурвица, Михайлова, Понт-рягина и многих других.

Путем анализа многократного применения алгоритма Евклида деления многочлена на многочлен, было установлено, что для любого многочлена P(z) можно получить его представление в виде произведения «простых» многочленов Р ф, корнями которых будут все корни многочлена P(z), взятые по одному, и имеющие кратности i и более:

Добавим, что в результате предложенного метода построения многочленов Р(7.) одновременно становится известно число различных корней г, (/'= исходного многочлена Р(г.) и ихкрат-

х=А{1,х{г+е))А-+ +е))

|Пг,ф(е))- < |ф(6)- вдЦ")

ностей к.. Далее этот метод дает возможность представления любого простого многочлена P.(z) в виде произведения двух многочленов, один из которых содержит только его кососимметричес-кие корни г\ Р= Р^—г^, а другой все остальные.

Проведено обсуждение известной теоремы Штурма, позволяющей определить число отрицательных и положительных действительных корней многочлена, и установлена глубокая связь между этой теоремой и алгоритмом Евклида. Как известно с помощью алгоритма Евклида легко построить ряд Штурма лежащий в основе доказательства этой теоремы. Так как теорему Штурма можно применять только к многочленам не имеющих кратных действительных корней, то предложенный выше метод представления любого многочлена в виде произведения «простых» многочленов позволяет использовать теорему Штурма для любых многочленов.

Далее в настоящей главе предлагается новый метод понижения порядка (МПП), являющийся аналогом метода Рауса и заключающийся в преобразовании многочлена п + 1-го порядка F(z) в многочлен J[z) степени п, с помощью операции

При этом показывается, что при а > 0 (а < 0) число корней у многочлена Д7,) лежащих в левой (правой) полуплоскости по сравнением с числом аналогичных корней у многочлена F(z) уменьшается на единицу, а их кососимметричные корни совпадают. В случае, когда величина а = 0, к многочлену F(z) применяется операция сдвига, приводящая его к такому виду Дг), что уже можно применять МПП и устанавливается, как меняется расположение и число его корней относительно мнимой оси по сравнению с исходным многочленом.

Операция сдвига применяется к многочленам F{z) степени п, не имеющим нулевых корней, к которым МПП не применим

Если эти многочлены представить в виде

то операция сдвига имеет вид

Свойства операции сдвига сформулированы в виде двух теорем.

Теорема. Операция сдвига оставляет множество кососиммет-ричных корней произвольного многочлена без изменений, т.е. косо-симметричные корни многочлена F(z) совпадают с кососимметрич-ными корнями многочлена f(z) и наоборот. Если операция сдвига применена к многочлену, не имеющему нулевых корней, то получится многочлен, таклсе не имеющий нулевых корней.

Теорема. Для многочленов, не имеющих нулевых корней, ОС обладает следующими свойствами:

1) если ОС применить к многочлену F(z) четной степени, то получившийся многочленf(z) имеет такое же число корней, лежащих в правой (левой) полуплоскости, что и исходный многочлен;

2) если в результате применения ОС к многочлену F(z) нечетной степени nF получился многочленf(z) также нечетной степени п. то у получившегося многочлена число корней, лежащих в левой (правой) полуплоскости, по сравнению с исходным многочленом F(z) уменьшается на одну и ту Dice величину (nF~ nJ/2;

3) если в результате применения ОС к многочлену F(z) нечетной степени пр получился многочленf(z) четной степени п , то число корней этого многочлена, лежащих в правой полуплоскости m, зависит от знаков коэффициентов при старших членах в многочленах F(z), f(z) и величины сдвига р следующим образом:

m/=mF-(nF-n/-l)/2 при ъ[%п{-\)р+(п^)ПаПр =sign(-l)п/ПаП/-mf=mF-{nF-nf+l)l2 при sign(-l)p+{"F~man /sign(-l)"/Пап

Таким образом, применение МПП вместе с ОС позволяет построить многочлен, содержащий только кососимметричные корни исходного многочлена и вычислить месторасположение остальных корней исходного многочлена относительно мнимой оси.

В конце настоящей главы, на основе метода понижения порядка, предлагается алгоритм вычисления числа чисто мнимых корней у характеристического многочлена. Решение этой задачи позволяет исследовать достаточно тонкий вопрос о простой устойчивости линейной системы, т.е. тот случай, когда характеристический многочлен имеет, кроме корней лежащих в левой полуплоскости, чисто мнимые, но не кратные корни. Там же предложен метод отделения корней у многочленов, имеющих только кососимметричные корни, с помощью метода квадрирования корней Н.И. Лобачевского и МПП и приведено описание общей методики исследования качественной картины распределения корней произвольного многочлена на комплексной плоскости.

Таким образом, метод линейных рекуррентных преобразований коэффициентов характеристического многочлена, предложенный в четвертой главе, позволяет полностью решить вопрос отделения всех видов корней этого многочлена, т.е. определения их расположения относительно мнимой оси за минимальное количество арифметических операций.

В пятой главе предложены методы решения задач робастной устойчивости и построения границ области экспоненциальной устойчивости в системах с последействием, опирающиеся на изучение замкнутых, выпуклых устойчивых множеств как в пространстве параметров системы первого приближения, так и в пространстве коэффициентов ее характеристического многочлена.

В начале главы для построения интервальных характеристических полиномов Харитонова предложены допустимые линейные преобразования их коэффициентов, оставляющие эти полиномы полиномами Гурвица. Ряд из них предложен впервые, и их построение опирается на критерий Михайлова. Эти преобразования позволяют расширить множество устойчивых интервальных полиномов, базируясь на одном интервальном полиноме. Таким образом, можно получать новые устойчивые интервальные полиномы, не прибегая каждый раз для их анализа к теореме Харитонова.

Известно, что самые простейшие из этих преобразований имеют вид

где Дг) = а0 + а^ +... + а т." —многочлен Гурвица, а аир произвольные

положительные постоянные. С помощью критерия Гурвица и критерия Михайлова показано, что линейные преобразования вида

также оставляют любой полином Гурвица также полиномом Гур-вица, однако при этом может теряться само понятие интервального полинома.

В этой главе также найдены необходимые и достаточные условия существования замкнутых, выпуклых и устойчивых множеств в пространстве коэффициентов характеристического многочлена системы первого приближения, которые сформулированы в виде теорем.

Теорема. Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклое множество и С Е коэффициентов полиномов, имеющее конечное число угловых точек Х^Х2,...,Хк.Для того чтобы это множество было выпуклым мноэ/сеством полиномов Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы «угловые» полиномы

являлись полиномами Гурвица, а полиномы

не имели общих положительных корней. Здесь g|(w) ик^м?) - вещественные и мнимые части годографа Михайлова полиномов).

Теорема. Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклое множество ис£, имеющее конечное число угловых точек XХг...,Хк. Для того чтобы это мноэ/сество было выпуклым множеством полиномов Гурвица, достаточно, чтобы «угловые» полиномы/(г)

являлись полиномами Гурвица, а полиномы

при и'е(0,+со), =1,2,..,/с,

т.е. не имели положителъных корней. Здесь g¡(w) ¡{¡¡(у?) — вещественные и мнимые части годографа Михайлова полиномов /(г).

Нетрудно видеть, что условия этой теоремы, являясь достаточными условиями, в некотором роде сужают аналогичные результаты, имеющиеся в данной области. Однако, их легко проверить с помощью построения рядов Штурма для всех полиномов вида

и анализе числа перемен знаков Ж (со) в этих рядах при IV б [0, +оо). Доказана теорема, являющаяся аналогом критерия Найквиста. Теорема, (графический критерий) Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклоемноэ/сество О с Еп, имеющее конечное число угловых точек Для того чтобы это мноэ/сество было

выпуклым мноэ/сеством полиномов Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы «угловые» полиномы

Мг) = ах> +ап2 + ...,аы_Х2пА + г", X, =(а,о,й, 1,...,аЫА)Т, г =1,2.....к

являлись полиномами Гурвица, а годографы

Гц М = gi (я^я) + /ггО)/гу(н') + Щ {м^ (и;) - Л, (уу^) (и')),

не пересекали отрицательную вещественную полуось при Н" е [0, +°о).

Эта теорема является обобщением известного критерия Найквиста на случай произвольных выпуклых множеств, имеющих конечное число угловых точек.

Далее в пятой главе получены достаточные условия существо -вания устойчивых выпуклых множеств в пространстве параметров системы первого приближения, т.е. частично решена проблема «матричной» робастной устойчивости. Этот достаточные условия сформулированы в виде теоремы.

Теорема. Пусть задано замкнутое, ограниченное и выпуклое множество ис.Епп, имеющее конечное числоугловых точек АеАг...,Ак. Для того чтобы это множество было устойчивым матричным множеством, достаточно того, чтобы матрицы А> (7 = 1,..., к) были отрицательно определены.

Для того чтобы сопоставить этот результат, с результатами, полученными для устойчивых полиномов, установлен вид взаимно однозначной связи между собственными числами матрицы системы линейного приближения и отрицательной определенностью её квадратичной формы. Эти результат можно кратко сформулировать в виде одной теоремы.

Теорема. Матрица А является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда выполняются неравенства

здесь ~Кк — вещественные собственные числа матрицы А, а^ — действительные части комплексных собственных чисел матрицы A, s и с1 — максимальный размер канонических ящиков Жордана соответствующих этим собственным числам, а мно.Ф1 и находятся по рекуррентным формулам:

Таким образом, мнимые части собственных чисел матрицы никак не влияют на отрицательную (положительную) определенность ее квадратичной формы. Анализ корней многочленов (-1)^(2^) И (-^'Ф^а^) показывает, что при увеличении кратно-

сти корней матрицы, для отрицательной определенности ее квадратичной формы необходимо чтобы они лежали в левой полуплоскости и достаточно чтобы они были расположены «достаточно далеко» от мнимой оси, т.е. вещественные части этих корней были достаточно велики по модулю.

В конце этой главы предлагается с помощью модифицированного вычислительного метода В.И. Зубова проводить оценку «расстояния» от собственных чисел матрицы, до мнимой оси не прибегая к построению характеристического многочлена. Этот подход позволяет, делать оценки области экспоненциальной устойчивости для матрицы нелинейного приближения.

В заключении диссертации приведены основные научные результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ

РАБОТЫ

Результаты, полученные в данной работе, носят системный характер, т.к. с одной стороны они направлены на изучение условий существования и методов построения решений в управляемых и неуправляемых системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудерживающего типа, а с другой на исследование устойчивости этих решений. С этой точки зрения все представленные в работе результаты можно условно разделить на две группы.

1. Результаты, касающиеся вопросов существования и методов построения решений в управляемых и неуправляемых квазилинейных системах с последействием:

— предложен ряд представлений для систем прямого регулирования осуществляющих непрерывную стабилизацию исходной динамической системы, так, что стабилизирующие управления, заданные на бесконечном интервале времени, представлены в виде разложения по произвольной системе базовых функций и доказан ряд свойств этого разложения;

— получены условия существования и предложены методы построения решений в линейных и квазилинейных системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудержива-ющего типа;

— проведен анализ существующих методов построения программных управлений и движений в квазилинейных системах с последействием и на его основе получены критерии существования и предложены методы построения этих управлений и движений в системах, где на управления также наложены ограничения типа двусторонних неравенств;

— для линейных и квазилинейных управляемых систем с последействием получены условия, при выполнении которых предложенная система прямого регулирования осуществляет непрерывную стабилизацию исходной системы, т.е. стабилизирующие управления найдены в явном виде.

2. Результаты, касающиеся исследования устойчивости полученных решений в квазилинейных системах с последействием:

— получены критерии экспоненциальной устойчивости тривиальных -решений в квазилинейных системах с последействием по первому линейному и нелинейному приближению;

— разработаны рекуррентные методы исследования устойчивости стационарных систем первого приближения, позволяющие полностью решить проблему отделения корней характеристического многочлена;

— предложены допустимые линейные преобразования коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость и позволяющие исследовать устойчивые выпуклые множества таких коэффициентов;

— для системы первого приближения получены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы;

— установлена взаимно однозначная связь между собственными числами матрицы первого приближения и отрицательной определенностью ее квадратичной формы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Блистанова Л.Д. и др. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. -СПб.: СПбГУ, 2002. — 119 с.

2. Блистанова Л.Д. Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием. — М.: РГОТУПС, 2004, 203 с.

3.Блистанова Л.Д. Качественные исследования многочастотных колебаний машин и аппаратов ЦБП. Гл. 4. Решение задач управления в многозвенных, распределенных механических системах. — Л.: ЛТИЦБП, 1989. — С. 19-23.

4. Блистанова Л.Д. Исследование многочастотных колебаний механизмов бумагоделательных машин. Гл. 4. Решение краевых задач в многозвенных, распределенных механических системах. — Л.: ЛТИЦБП, 1990. — С. 29-2.

5. Блистанова Л.Д. Устойчивость компактного множества в функционально-дифференциальном уравнении. В сб. «Проблемы математического обеспечения совершенствования технических средств железнодорожного транспорта». Часть I. — М.: ВЗИИТ, 1992гС 64-69.

6. Шестаков А.А., Блистанова Л.Д. Об ограниченности решений функционально-дифференциальных уравнений на базе функций Ляпунова-Разумихина. В сб. «Динамика систем и управление». — Саранск.: Мордовский университет, 1993. — С. 8-12.

7. Блистанова Л.Д. Об асимптотической устойчивости состояния равновесия неавтономного функционально-дифференциального уравнения. Межвузовский сб. научных трудов. «Проблемы математического обеспечения устойчивости, стабилизируемос-ти и долговечности железнодорожных устройств». — М.: ВЗИИТ, 1993. — С. 88-90.

8. Блистанова Л.Д. Обобщенный принцип инвариантности для неавтономного функционально-дифференциального уравнения на базе функционалов Ляпунова. Межвузовский сб. научных трудов. «Проблемы математического обеспечения устойчивости, стабилизируемости и долговечности железнодорожных устройств». — М.: ВЗИИТ, 1993. — С. 56-58.

9. Блистанова Л.Д., Зубова О.В. Предельные множества динамических систем. В сб. «Оптимальное функционирования, сохранение устойчивости и надежность систем железнодорожного транспорта». - М.: РГОТУПС, 1997. - С. 14-17.

10. Блистанова Л.Д. О некоторых свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений. В сб. «Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта». - М.: РГОТУПС, 1998. - С. 18-19.

11.Блистанова Л.Д., Зубова М.Н.. Устойчивость по первому нелинейному приближению в системах с последействием // Наука и техника транспорта № 2, 2002. — С. 18-20.

12. Блистанова Л.Д. и др. Рекуррентные алгоритмы исследования устойчивости линейных стационарных систем. В кн. Proceedings ninth intl. workshop Beam dynamics \ & optimization. Saint-Petersburg State Univ. 2002. Pp 55-65.

13.Блистанова Л.Д. и др. Критерий робастной устойчивости для стационарных систем большого порядка // Труды СВМО. Т. 3-4, №1,2002. -С. 251.

14. Блистанова Л.Д. и др. Конструктивные методы исследования устойчивости и динамической безопасности сложных технических систем // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2003. Т№ 1.-С. 101-107.

15. Блистанова Л.Д., Зубова М.Н.. В Решение задач ро-бастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований коэффициентов // Вестник РУДН, № 1, 2003. - С. 3-11.

16. Блистанова Л .Д. ,Шестаков А.А. Область асимптотической устойчивости состояния равновесия одной нелинейной системы с запаздыванием. Сб. научных трудов. - М.: РГОТУПС, 2003. - С. 14-17.

17. Блистанова Л.Д. и др. Критерии устойчивости для нелинейного приближения в системах с последействием. Сб. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем № 6. - М.: ВЦ РАН, 2004. - С. 22-26.

18. Блистанова Л. Д. О конфигурации области переключений. В сб.« Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции» Тезисы докладов международной научной конференции. - Самара, 1992. - С. 33-34.

19. Блистанова Л. Д. Устойчивость инвариантного множества относительно функционально-дифференциальных урав-

нений в R" и С. В сб. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов международной математической конференции. — Саранск.: Мордовский университет, 1994. — С. 114.

20. Блистанова Л.Д. Исследование предельного множества при помощи различных множеств уровня обобщенного функционала Ляпунова. В сб. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов 2 международной математической конференции. — Саранск.: Мордовский университет, 1996. — С. 45.

21. Блистанова Л.Д. О некоторых свойствах предельного множества функционально-дифференциальных уравнений. В сб. «Дифференциальные уравнения и их приложения». Тезисы докладов 3 международной математической конференции. — Саранск.: Мордовский университет, 1998. — С. 105.

22. Блистанова Л.Д., Зубов Н.В. .Исследование динамики функционирования точных систем охлаждения специального назначения. Мат. методы в технике и технолог. ММТТ-14. Сб. трудов 14 Международной научной конференции, т. 1. — Смоленск.: 2001. — С. 29-30.

2 3.Блистанова Л .Д., Зубов Н.В. Синтез законов управления для линейных систем с неудерживающими связями. Третьи научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — Минск, 2001. — С. 74-75.

24. Б л и с т а н о в а Л.Д. и др. Аналитические методы и рекуррентные процедуры при исследовании устойчивости стационарных систем. Еругинские чтения 8. Тезисы докладов международной математической конференции. — Брест, 2002. — С. 16-17.

25. Блистанова Л.Д., Зубов Н.В. Рекуррентные алгоритмы исследования устойчивости линейных стационарных систем VI Inter. Workshop Beam dynamics & optimization. Abstr.. St. Petersb., 2002. — P. 22.

26. Блистанова Л.Д., и др. Критерий экспоненциальной устойчивости для одной нелинейной системы с последействием. Материалы международной конференции «Общие проблемы управления и их приложения». —Тамбов: Вестник ТГУ, 2003. — С. 346.

27. Блистанова Л.Д., Зубов Н.В. Исследование устойчивости по первому нелинейному приближению квазилинейных систем с последействием. Сб. трудов 34 научной конференции «Про-

цессы управления и устойчивость». — СПб.: СПбГУ. 2004. — С. 13-17.

28. Блистанова Л.Д., Зубов Н.В. Полное решение проблемы отделения комплексных и мнимых корней у характеристического многочлена. Сб. трудов 34 научной конференции «Процессы управления и устойчивость». — СПб,:СПбГУ. 2004. — С. 18-20.

БЛИСТАНОВА Лидия Дмитриевна

КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Тип.зак. 75 Изд.зак.247 Тираж 100 экз.

Подписано в печать 24.01.05 Гарнитура Times. Офсет Усл. печ. л. 1,75 Формат 60х901/16

Издательский центр РГОТУПСа, 125993, Москва, Часовая ул., 22/2

Участок оперативной печати РГОТУПСа, 125993, Москва, Часовая ул., 22/2

2 2 MAP 2005

Ш1

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Блистанова, Лидия Дмитриевна

Введение.

Глава 1. Способы представления допустимых управлений и решение краевых задач для систем с последействием.

1.1. Введение.

1.2. Критерии линейной независимости скалярных и векторных функций.

1. 3. Некоторые способы представления допустимых управлений.

1.4. Аналитические методы построения решений краевых задач.

1.5. Итерационные методы построения решений краевых задач.

Глава 2. Построение программных управлений в системах с последействием, удовлетворяющих удерживающим и неудерживающим связям.

2.1. Введение.

2.2. Построение программных управлений для линейных систем.

2.3. Построение программных управлений в квазилинейных системах с последействием.

2. 4. Построение программных управлений в динамических системах, удовлетворяющих неудерживающим связям.

2.5 Непрерывная стабилизация программных управлений в системах с последействием.

Глава 3. Исследование устойчивости в системах с последействием по первому нелинейному приближению.

3.1. Введение.

3.2. Устойчивость систем с последействием на конечном интервале времени.

3.3. Исследование устойчивости квазилинейных уравнений с последействием' по первому нелинейному приближению.

3.4. Исследование устойчивости уравнений с последействием с нелинейной

частью порядка выше первого.

Глава 4. Вычислительные методы и рекуррентные алгоритмы исследования устойчивости динамических систем по первому приближению.

4.1. Введение.

4.2. Выделение кратных и кососимметричных корней многочлена с помощью алгоритма Евклида.

4.3. Определение числа вещественных корней многочлена и их локализация с помощью алгоритма Штурма.

4.4. Определение числа корней многочлена лежащих в левой и правой полуплоскости с помощью метода понижения порядка.

4.5. Методы исследования многочленов, имеющих только кососимметричные корни.

Глава 5. Методы решения задач робастной устойчивости и оценки границ области экспоненциальной устойчивости в системах с последействием.

5.1. Введение.

5.2. Решение задач робастной устойчивости методом допустимых линейных преобразований коэффициентов.

5.3. Необходимые и достаточные условия существования выпуклой области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического многочлена.

5.4. О существовании выпуклых областей устойчивости в пространстве коэффициентов системы первого приближения.

5.5. Модифицированный вычислительный метод Зубова определения местоположения корней характеристического уравнения системы первого приближения.

Введение 2004 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Блистанова, Лидия Дмитриевна

Одной из главных проблем современного этапа развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.

Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед человечеством в XXI веке будут, например, следующие:

- создание новых космических технологий и ракетно-космических систем;

- создание нетрадиционных энергетических технологий, в т.ч. переработки газа и нефти;

- создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем;

- глобальное решение транспортной проблемы;

- создание новых биотехнологий для решения продовольственной проблемы;

- создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.

Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.

Сделаем небольшой исторический экскурс к постановке и развитию тематики, рассмотренной автором в диссертационном исследовании.

Первые серьезные математические результаты, полученные при исследовании функционирования динамических систем, видимо, следует отнести к И. Ньютону. Им впервые были четко сформулированы и поставлены перед математикой прямая и обратная задачи: требуется определить движение, если известны силы, его вызывающие, и наоборот, требуется определить силы, если известно движение, ими порожденное. Последнюю задачу в широком плане можно считать задачей поиска управления порождающего искомое движение. С решением второй задачи, как известно, И. Ньютон успешно справился, используя наблюдения Т. Браге с поправками на рефракцию И.

Кеплера, а, также опираясь на гипотезу центральной силы, предложенную X. Гюйгенсом, т.е. получил закон всемирного тяготения. Он также сумел решить ряд дифференциальных уравнений описывающих прямолинейное движение материальной точки под действием различных сил. И. Ньютон сумел путем синтетике - геометрических построений описать динамику движения твердого тела, находящегося в центральном поле сил. Однако у И. Ньютона отсутствовала запись дифференциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме, а его метод последовательных приближений давал решение рассматриваемых задач в виде степенного ряда.

Вторым крупным результатом, послужившим большим толчком к созданию математических методов исследования динамических систем следует считать разработку метода квадратур для решения дифференциальных уравнений Лейбницем и его последователями - братьями Бернулли. Им впервые был предложен термин "дифференциальные уравнения", методы подстановки и интегрирующего множителя для решения некоторых классов дифференциальных уравнений.

В дальнейшей разработке теории дифференциальных уравнений особенно велик вклад Л. Эйлера давшего полное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и развившего метод интегрирующего множителя. Также большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли его современники: А. Клеро, Ж. Даламбер, Ж.Л. Лагранж, Б. Тейлор.

Переломным моментом в исследовании нелинейных динамических систем явилась теорема существования и единственности доказанная О. Ко-ши методом ломаных Эйлера и предложенный им метод последовательных приближений. Здесь также необходимо отметить работы Штурма и Лиувиля, положившие начало исследованиям по теории краевых задач.

Существенным шагом вперед при исследовании динамических систем являлась разработка качественной теории дифференциальных уравнений, одновременно созданной А. Пуанкаре и A.M. Ляпуновым. Методы, созданные в рамках этой теории, позволяли по свойствам правых частей дифференциальных уравнений судить о поведении решений этих уравнений и их особенностях. Существенные результаты в данной области были получены также Дж. Биркгофом.

Дальнейшее создание методов исследования поведения решений динамических систем проводилось в рамках теории колебаний, сильно развитой такими учеными, как А.Н. Крылов, A.A. Андронов, A.A. Марков, Н.П. Еругин, В.И. Зубов, Ю.А. Митропольский и др.

Бурное развитие техники в середине XX века, а особенно систем автоматического управления, породило целый класс новых задач в рамках теории динамических систем: построение решений динамических систем, удовлетворяющих различным краевым условиям, исследование устойчивости решений динамических систем с последействием; построение программных управлений и движений, удовлетворяющих краевым и начальным условиям; синтез этих управлений; решение проблем стабилизации программного движения в случае прямого и непрямого регулирования.

Основоположниками в решении этих задач выступили H.H. Красовский, А.Н. Тихонов, JI.C. Понтрягин, К.П. Персидский, В.В. Степанов, H.H. Боголюбов, Н.Г. Четаев, В.В. Немыцкий, Н.М. Крылов, Б.С. Разумихин, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Шиманов, В.И. Зубов, М.Г. Крейн, A.A. Воронов, Б.Г. Болтянский и многие другие отечественные и зарубежные ученые.

В настоящее время, в промышленно развитых странах, развитие современных средств производства и транспорта, в первую очередь, характеризуется созданием всё более сложных технических систем и технологических процессов. При эксплуатации этих технических систем и технологических процессов, в связи с увеличением числа составляющих их элементов и усложнением взаимосвязей между ними, естественным образом, на практике, увеличивается интенсивность отказов, что приводит к увеличению числа крупных технических и техногенных катастроф. В последнее время это практически подтверждается увеличением числа различных аварий и катастроф в развитых странах (отказы на АЭС, массовое отключение электричества, аварии на транспорте и т.д.). В связи с этим возникает задача обеспечения безопасности динамики функционирования технических систем и технологических процессов зависящих от многих параметров и характеризуемых нелинейными связями.

Если обратиться к опыту истории развития систем управления паровыми машинами, то можно привести парадоксальный факт, заключающийся в том, что регуляторы Уатта для паровых машин перестали устойчиво работать при повышении точности обработки составляющих их деталей. Выдающийся английский физик Максвелл поставил задачу объяснения этого феномена и даже в 1868 г. выпустил книгу о регуляторах. Однако только спустя 20 лет русский инженер путей сообщения Вышнеградский сумел решить эту проблему с помощью фундаментальных исследований в этой области. Он построил точную математическую модель всех регуляторов подобного вида и создал новые математические методы их исследования. Таким образом, он нашел те параметры конструкции регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых, работа регулятора будет носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования легли в основу нового направления в теории устойчивости, а именно - робастной устойчивости.

В связи с вышесказанным, одной из важнейших проблем современного производства, является развитие фундаментальных научных исследований в области обеспечения динамической безопасности функционирования сложных технических систем и технологических процессов. В первую очередь, это касается использования, в качестве объекта исследования, адекватных динамических моделей и создания математических методов исследования их динамической безопасности.

Большинство математических моделей, используемых при описании сложных технических систем и технологических процессов и претендующих на некоторую целостность, представляют собой динамические системы, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием, то есть системами имеющими предысторию, и, учитывающими как задержки в каналах измерительных и управляющих органов, так и процессы старения, инерции и деградации. Если проводить исследование упрощенных математических моделей, не учитывая влияние существующего в них последействия, то можно прийти к неверным техническим и технологическим решениям, которые будут, не только экономически невыгодны, но и будут увеличивать вероятность аварий и катастроф.

В связи с этим перед фундаментальной наукой встает задача создания и разработки методов исследования динамической безопасности объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием.

Динамическая безопасность рассматриваемой системы обычно включает такие её свойства как:

• существование для этой системы программных управлений и движений, отвечающих заданному уровню безопасности;

• устойчивость этих движений в фазовом пространстве;

• существование стабилизирующих управлений и систем стабилизации;

• устойчивое поведение системы в пространстве её параметров, т.е. её робастная устойчивость.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена развитию математического аппарата, позволяющего осуществлять общий и прикладной системный анализ устойчивости систем управления с последействием, включающий новые аналитические методы и численные алгоритмы решения задач исследования устойчивости по первому нелинейному приближению и задач робастной устойчивости для этих систем. Качественные аналитические методы исследования систем дифференциальных уравнений с последействием были развиты в трудах зарубежных и российских математиков, таких как В.Вольтерра, H.H. Красовский, Б.С. Разу-михин, Л.Э. Эльсгольц, А.Д. Мышкис, В.И. Зубов, А.А Шестаков, Ю.Н. Ме-ренков, Н.В. Азбелев, С.Н. Шиманов, Р. Беллман, Т. Иошидзава, В. Хан, Ж.П. Ла-Салль, Дж. Хейл, Д. Като, Р. Драйвер, Т. Бартон и многих других, а также научных школ, созданных ими.

Решение задач робастной устойчивости вначале было направлено на определение границ устойчивости в пространстве параметров рассматриваемой системы (И.А. Вышнеградский) и на получение оценок области асимптотической устойчивости расчетного режима. В дальнейшем в этом направлении были разработаны методы исследования робастной устойчивости при неопределенных передаточных функциях и вероятностный подход, а также методы исследования робастной стабилизации и управления.

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости в последнее время посвящено достаточно много научных работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И.А. Вышнеградский, Я.З. Цыпкин, Б.Т. Поляк, В.Л. Харитонов, П.С. Щербаков, Н.П. Петров, A.C. Немировский, М.Г. Сафонов, Б.Р. Бармиш, Дж. Аккерман, В Блондел, Дж. Коган, Р. Темпо, Д.Д. Сильжак и многим другим.

Методы исследований. В работе, на основе классических результатов и методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, функционального анализа, математического программирования, линейной и высшей алгебры детально разработан метод системного анализа исследования динамики функционирования управляемых и неуправляемых квазилинейных систем с последействием, опирающийся на исследовании этих систем по первому линейному и нелинейному приближению. Таким образом, суть этого метода заключается в анализе влияния динамических свойств системы первого приближения на качественный характер поведения всей системы в целом.

Научная новизна. В диссертации впервые детально разработан метод системного анализа динамики управляемых систем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с последействием, опирающийся на исследование существования решений этих систем и исследование их устойчивости по первому нелинейному приближению. Исследование устойчивости этих решений включает наряду с уже известными и новые, модифицированные критерии робастной устойчивости систем первого приближения, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы, позволяющие уточнить границы динамической безопасности для исходных нелинейных систем. Этот подход является существенным вкладом в развитие фундаментальных и прикладных методов системного анализа динамики управляемых систем, т.к. на практике позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исследуемой системы от расчетных, при которых динамика системы будет носить устойчивый характер.

Практическая полезность. Результаты диссертации применены в задачах: системного анализа управляемых космических систем, описываемых дифференциальными уравнениями, в том числе и с последействием; синтеза законов управления и построения эффективных численных алгоритмов теории управления. На основе результатов диссертации созданы как эффективные алгоритмы исследования устойчивости систем первого приближения, так и конструктивные критерии изучения границ этой устойчивости в пространстве параметров исследуемых систем. Полученные автором новые прикладные методы системного анализа позволяют решить проблему динамической безопасности изучаемого объекта, т.е. определить допустимые границы изменения параметров самой системы так, чтобы сохранялась устойчивость изучаемой системы. При этом возникает возможность строить более эффективные системы управления, так как разработанные методы позволяют рассматривать сразу целое семейство математических моделей динамики функционирования управляемых систем, определяемое множеством их допустимых параметров. Это дает возможность значительно снизить затраты материальных ресурсов, денежных средств и времени на отработку вновь создаваемых, актуальных систем. Кроме этого, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в общую теорию таких направлений в науке как нелинейная динамика и моделирование электромеханических систем. Результаты работы использованы при разработке новых курсов учебного процесса при чтении таких дисциплин как дифференциальные уравнения, теория управления и методы численного анализа.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в НПО им. Лавочкина при разработке систем управления и стабилизации космических аппаратов нового поколения, а также в научно - исследовательских работах, проводящихся в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения. По результатам диссертации планируется издание нескольких учебных пособий и научно - методических работ, одно из которых уже вышло из печати.

Личный вклад автора в проведенные исследования. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. Все результаты других авторов, упомянутые в диссертации, носят справочный характер и имеют соответствующие ссылки. В работах, совместно опубликованных с научным консультантом A.A. Шестаковым, ему принадлежат постановки задач исследования. Другим соавторам работ принадлежит рассмотрение ряда технических вопросов.

Апробация работы. По основным результатам работы автором были сделаны доклады на 11 международных и всероссийских научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Саранске, Смоленске, Самаре, Тамбове, Бресте, Минске. Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах ИПК РАН под руководством акад. В.А. Мельникова, ВЦ РАН под руководством проф. H.A. Северцева, РГОТУПС под руководством проф. A.A. Шестакова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 28 научных работ, включая 2 монографии.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Главы состоят из разделов. В каждом главе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации - 251 страница. Список литературы содержит 167 наименования.

Заключение диссертация на тему "Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием"

Основные результаты диссертационной работы.

- предложен ряд представлений для систем прямого регулирования осуществляющих непрерывную стабилизацию исходной динамической системы, так, что стабилизирующие управления, заданные на бесконечном интервале времени, представлены в виде разложения по произвольной системе базовых функций и доказан ряд свойств этого разложения;

- получены условия существования и предложены методы построения решений в линейных и квазилинейных системах с последействием, удовлетворяющих краевым условиям неудерживающего типа;

- проведен анализ существующих методов построения программных управлений и движений в квазилинейных системах с последействием и на его основе получены критерии существования и предложены методы построения этих управлений и движений в системах, где на управления также наложены ограничения типа двусторонних неравенств;

- для линейных и квазилинейных управляемых систем с последействием получены условия, при выполнении которых предложенная система прямого регулирования осуществляет непрерывную стабилизацию исходной системы, т.е. стабилизирующие управления найдены в явном виде.

- получены критерии экспоненциальной устойчивости тривиальных решений в квазилинейных системах с последействием по первому линейному и нелинейному приближению;

- разработаны рекуррентные методы исследования устойчивости стационарных систем первого приближения, позволяющие полностью решить проблему отделения корней характеристического многочлена;

- предложены допустимые линейные преобразования коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость и позволяющие исследовать устойчивые выпуклые множества таких коэффициентов; для системы первого приближения получены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы.

Заключение.

Библиография Блистанова, Лидия Дмитриевна, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Азбелев H. В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально - дифференциальных уравнений. Методы и приложения - М.: Институт компьютерных исследований, 2002 .- 384 с.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976.

4. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высш.шк, 1998.

6. А.Т. Барабанов Полное решение проблемы Рауса в теории регулирования, Доклады АН СССР. 1988, Т. 301, №5, С. 1061-1065

7. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. — 223 с.

8. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, Т.86 N 3, С. 453 456.

9. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

10. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально разностные уравнения. - М.: Мир, 1967.

11. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М: Наука, 1969.

12. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1966.

13. Блистанова Л.Д. К вопросу построения управления в многозвенных аппаратах легкой и текстильной промышленности. //Методы и средства автоматизации контроля и регулирования в текстильной и легкой промышленности. Л.: ЛИТЛП 1991. стр. 17-75.

14. Блистанова Л. Д. Устойчивость компактного множества в функционально дифференциальном уравнении. //Проблемы математического обеспечения совершенствования технических средств железнодорожного транспорта. - М. ВЗИИТ 1992. стр. 64 - 69.

15. Блистанова Л.Д. Об ограниченности решений функционально-дифференциальных уравнений на базе функций Ляпунова-Разумихина. //Динамика систем и управление. Мордовский университет. Саранск. 1993. стр. 8-12.

16. Блистанова Л.Д. Предельные множества динамических систем. В сб. «Оптимальное функционирование, сохранение устойчивости и надежность систем железнодорожного транспорта». Межвуз. сб. научных трудов — М.: РГОТУПС 1997.

17. Блистанова Л.Д. Об некоторых свойствах решений функционально — дифференциальных уравнений. В сб. «Современные проблемы совершенствования работы железнодорожного транспорта». Межвуз. сб. научных трудов ч.2 М.: РГОТУПС 1998.

18. Блистанова Л.Д. К вопросу об ограниченности функционально дифференциального уравнения на базе функций Ляпунова-Разумихина. В сб. «Математическое моделирование сложных систем». - Санкт-Петербург: С-ПбГУ 1999.

19. Блистанова Л.Д. и др. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. СПб.: Изд-во НИИ ХИМИИ СПбГУ, 2002.-119 с.

20. Блистанова Л.Д. и др. Критерий робастной устойчивости для стационарных систем большого порядка. //Труды средневолжского математического общества. ТЗ-4, №1, -Саранск. 2002. стр.250-251.

21. Блистанова Л.Д. и др. Аналитические методы и рекуррентные процедуры при исследовании устойчивости стационарных систем. Еругинскиечтения 8. Тезисы докладов международной математической конференции. -Брест 2002. стр. 16-17.

22. Блистанова Л.Д. и др. Рекуррентные алгоритмы исследования устойчивости линейных стационарных систем. Ninth international workshop: Beam Dynamics and optimization. Saint-Petersburg, 2002. p. 55-65.

23. Блистанова Л.Д. и др. Устойчивость по первому нелинейному приближению в системах с последействием. М.: РГОТУПС, Наука и техника транспорта №2, 2002. стр. 18-20.

24. Блистанова Л.Д. и др. Критерий экспоненциальной устойчивости для одной нелинейной системы с последействием. Тез.док. Межд.мат.конф.посв. 100-летию А.Н. Колмогорова Вестник тамбовского университета. Т.8 вып.З 2003. стр. 346.

25. Блистанова Л.Д., Зубов H.B. Полное решение проблемы отделения комплексных и мнимых корней у характеристического многочлена. Сб.тр. 34 научн. конф. проц. управл. и устойч. СПбГУ, СПб.:, 2004. С. 18-20

26. Блистанова Л.Д. Конструктивные методы исследования устойчивости систем с последействием. М.: РГОТУПС, 2004, 203 с.

27. Блистанова Л.Д., Зубов Н.В. Мухин A.B. Критерии устойчивости для нелинейного приближения в системах с последействием. Сб. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Вып. 6. М.: ВЦ РАН 2004, с 15-20.

28. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М.: Наука, 1973.

29. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2002. - 824 с.

30. Воронов A.A. Устойчивость управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979.

31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

32. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

33. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А. Метод усреднения в исследованиях резонансных систем дифференциальных уравнений М.: Наука, 1992, 214 с.

34. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999, 301 с.

35. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Высшая школа, 1967.-472 с.

36. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М.: Наука, 1979.-296 с.

37. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. — М.: Наука, 1997.

38. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом. ПММ, Т. 14, N 5, 1950, С. 459-512.

39. А.П. Жабко, A.B. Прасолов, В.Л. Харитонов Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. — М. Высшая школа, 2003, 286 с.

40. Зверкин A.M. Зависимость устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом от выбора начального момента. Вестник МГУ, сер. математики, механики, астрономии, физики, химии, N5, 1959, С. 15-20.

41. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: ЛГУ, 1957 .

42. Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970.-255 с.

43. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М. Наука , 1975.

44. Зубов В.И. Периодические динамические системы. Саранск 1983 , Издательство Мордовского Госуниверситета.

45. Зубов В.И. Колебания и волны. JL: Изд-во ЛГУ, 1989. - 415 с.

46. Зубов Н.В., Зубов C.B. Лекции по теории стабилизации динамических систем. Учебн. пособ. СПб. Изд. Мобильность плюс, 1996, 278 с.

47. Зубов C.B., Зубов Н.В. Математические методы стабилизации динамических систем. СПб.: Изд. СПбГУ, 1996.-288 с.

48. Зубов Н.В. Разработка методов анализа и синтеза динамических систем, удовлетворяющих неудерживающим связям. // Автоматика и телемеханика, -№ 3, 2000, с. 38—45.

49. Зубов A.B., Зубов Н.В., Мухин A.B. Релейно импульсное управление и стабилизация динамических систем. - СПб.: Изд-во НИИ ХИМИИ СПбГУ, 2002. - 174 с.

50. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. — М.: Физ-матлит, 2003, 223 с.

51. Ильичев A.B., Северцев H.A. Эффективность сложных систем. Динамические модели. — М.: Наука, 1989, 311 с.

52. Иошидзава Т. Функции Ляпунова и ограниченность решений. В сб. переводов, сер. Математика, М.: Мир, вып.9, N 5, 1965, стр.65-127.

53. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. -М.: Мир, 1971.

54. Карманов В.Г., Федоров В.В. под ред. Третьякова A.A. Моделирование в исследовании операций. -М.: Твема, 1996, 102 с.

55. Катулев А.Н., Тухватулин В.В. Формирование управлений движением пеленгаторов угломерной системы. Радиотехника N 10. М.: Радио и связь, 1989.

56. Краснов М.Л., Кисилев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971.-255 с.

57. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983,-98 с.

58. Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием. ПММ, Т.20, N 4, 1956, стр.513-518.

59. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движениями Физ.мат., 1959.-21 с.

60. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

61. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

62. А.Г. Курош Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. - 431 с.

63. Ла-Саль Ж., Лефшец Исследоване устойчивости прямым методом Ляпунова. -М.: ИЛ, 1964.

64. Линейные неравенства. — М.: Изд. ИЛ., 1959, 469 с.

65. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений. IV. М. -Л.: Гостехиз-дат, 1948.

66. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Т.2, М.Л.: Изд-во АН СССР, 1956.

67. Максвелл Д.К., Вышнеградский И.А., Стодола А. Теория автоматического регулирования. М.: АН СССР, 1949.

68. Меренков Ю.Н. Критерий Ура для функционально-дифференциальных уравнений. //Проблемы совершенствования перевозочного процесса на ж.-д. транспорте. М. 1986 Вып.134 стр.98-103.

69. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.-М.: Наука, 1976.-319 с.

70. В.В. Миронов, Н.А. Северцев Методы анализа устойчивости систем и управляемости движением. М.: Изд-во РУДН, 2002, 166 с.

71. Михайлов А.В. Методы гармонического анализа в теории регулирования // Автоматика и телемеханика.-1938.-Т. 3,-С.27-81.

72. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Изд. 2, М.: Наука, 1972.

73. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМН, Т.32, вып.2, 1977, стр. 173202.

74. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978.

75. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек и обобщенные функции Ляпунова. Дифференциальные уравнения, Т.З, N 3, 1967, стр.359-370.

76. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Изд. 2-е, М.-Л., 1949.

77. Персидский К.П. К устойчивости движения. Матем. сб.Т.11, в.1, N 2, 1936, стр.37^2.

78. Персидский К.П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. УМН, Т.1, вып.5-6 (новая серия), 1946.

79. Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002. - 303 с.

80. Поляк Б.Т, Щербаков П.С. Сверхустойчивые линейные системы управления I, II // Автом.телемех. 2002, № 8, 9.

81. Поляк Б.Т, Щербаков П.С. вероятностный подход к робастной устойчивости систем с запаздыванием // Автом.телемех. 1996, № 12. с. 97 108

82. Понтрягин JI.C. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций. Изв. АН СССР, сер. матем. 1942, Т.6. С. 27-81.

83. Попов Е.П. Теория линейных систем регулирования и управления. М.: Наука, 1989.

84. М.М. Постников. Устойчивые многочлены. М.: Наука, 1981.

85. В.В. Прасолов. Многочлены. М.: Изд-во МЦНМО, 2001г. - 336 с.

86. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л.: ГТТИ, 1947.

87. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием. ПММ, Т.20, N4, 1956, стр. 500-512.

88. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задаче устойчивости решений уравнений с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, Т. 21, 1960, стр. 740-749.

89. Разумихин.Б.С. Метод исследования устойчивости систем с последействием. ДАН СССР, T.I67,1966, стр. 1234-1237.

90. Разумихин Б.С. Прямой метод исследования систем с последействием. Препринт. ВНИИ системных исследований, Москва, 1984, 75 с.

91. Э. Раус Об устойчивости заданного состояния движения. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерн. исследов-й., 2002, 199 с.

92. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

93. Харитонов B.JI. Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. №11, С. 2086-2088.

94. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений М. Мир, 1984. 421стр.

95. Цыпкин Я.3. Основы теории автоматических систем. М.: наука, 1977.

96. П.Л. Чебышев Высшая алгебра М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936,-197 с.

97. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

98. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.-М.: Наука, 1965.-207 с. 106.

99. Шатохин М.М., Шестаков A.A. Об относительной устойчивости нулевого решения автономного функционально-дифференциального уравнениязапаздывающего типа. Дифференц. уравнения, Т. 22, N 11, 1986, стр. 19221928.

100. Шестаков A.A. Обзор теории локализации предельных множеств динамических процессов с использованием функционалов Ляпунова.// Colloquic mathematica societatis Janos Bolyai. 1984. v.47. P.997-1028.

101. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. О притяжении траекторий дифференциальной системы множеством нулей мажоранты функций Ляпунова // Изв. вузов. Сер. математика. 1981. N 8. стр. 55-59.

102. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. Локализация предельного множества решения с ограниченным интервалом определения // Дифференциальные уравнения. 1987. T.17,N8. стр. 1515-1517.

103. Шестаков A.A. Меренков Ю.Н. О локализации предельного множества в неавтономной дифференциальной системе с помощью функций Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, N 11. стр. 2017-2027.

104. Шестаков A.A., Меренков Ю.Н. Устойчивость по Ляпунову и притягивающие множества относительно неавтономной дифферен циальной системы // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, N 5, стр. 815-827.

105. Шестаков A.A. Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1987, стр. 13^48.

106. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М. Наука, 1990.

107. Шиманов С.Н. Устойчивость систем с запаздыванием. Труды 11 Всес. съезда по теор. и прикл. механике, Москва, вып. 1, М.: Наука, 1965, стр. 170— 180.

108. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально разностных уравнений. УМН, Т.9, вып. 4, 1954, стр. 95-112.

109. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчис-ление.-М.: Наука, 1969.-424 с.

110. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Изд. 2-е, М.: Наука , 1971.

111. J. Ackermann and W. Sienel, "What is a "Large" Number of Parameters in Robust Systems", Proc. IEEE Conf. Decision and Control, Honolulu, Dec. 1990.

112. Antosiewicz H.A. A survey of Liapunov second method. Ann. Math. Studies 41, 1958, 141 -166.

113. Bamea D. A method and new results for stability and instability of autonomous functional differential equations. SIAM J.Appl.Math., v. 17, 1969, p.681— 697.

114. B.R. Barmish, "New Tools for Robustness Analisis", Proc. IEEE Conf. Decision and Control, Austin, Dec. 1988, pp. 1-6.

115. B.R. Barmish, J. Ackermann and H.Z. Hu, "The Tree Structured Decomposition: A New Approach to Robust Stability Analisis", Proc. Conf. On Information Sciences and Systems, Princeton, March 1990.

116. A.C. Bartlett, C.V. Hollot and Huang Lin, "Root Locations of an Entire Polytope of Polynomials; It Suffices to Check the Edges", Mathematics of Control, Signals and Systems, vol., 1, pp.61-71, 1988.

117. Blondel V., Tsitsiclis J. A survey of computational complexity results in systems and control //Automatica. 2000. V.35. P. 1249-1274.

118. Burton T. An extention of Liapunov,s method. J. Math. anal, and Appl., v.28, 1969, p.542-552.

119. Burton T. Stability theory for functional differential eqations. Transact of the Amer. Math.Society, v.255, 1979, p.263-275.

120. Burton T., Hatvani L. Stability theorems for nonautonomous functional eqations by Liapunov functionals. Tohoku Math. 41 1989, p.65-104.

121. Driver R.D. Existanse and stability of a delay-differential system. Archive for Rational Math, and Analysis, v. 10, No.4, 1962, p.401-425.

122. Driver R.D. Ordinary and delay-differential eqations. New-York: Springer, 1977.

123. Grimmer R.D. , Haddock J. Stability of bounded and unbounded sets for ordinary differential eqations. Ann. Mat. Pura Appl., v99, ser.4, 1974, p. 143-153.

124. Grimmer R.and Scifert G.// J.Diff. Eguat. 1975. p. 142 -166.

125. Friendly spaces for functional differential eqations with infinite delay. In V. Lakshmikantham cd. Proc. of VI In ternational Conference on Trends in the Theory and practic ofNonlynear Analysis. North. Holland, Amsterdam 1984.

126. Haddock J. Terjeki J. Liapunov-Razumihin functions and invariance principle for functional differential eqations. Jornal of Different, equat. v.48, No. 1,1983, p.95-122.

127. Hahn W. Uber die Anwendung der methode von Liapunov auf Differen-sengliechunger. Math. Annaler, Bd.136, 1958,s.430^41.

128. Hale J. A stability theorem forfunctiona differential equations. Proc.Nat.Acad.Sci.USA, v.50,No.5, 1963,p.942-946.

129. Hale J., Kato J. Phase space for retarded eqations with infinite delay. Funcs. Equat. 21, 1978, 11-41.

130. Kato J. On Liapunov-Razumikhin type theorems for functional-differential eqations. Tunkcialay Eqvaciaj, v. 16, 1973, p.225-239.

131. Kato J. Stability problem in functional differential eqations with infinite delay. Tunkcialay Eqvaciaj, v.21, No.4, 1978, p.63-80.

132. Kato J. Stability problem in functional differential equations Lecture Notes in Mathematics, Berlin, Springer, No. 799, 1980, p.252-262.

133. Kato J. Liapunov,s second method in functional differential eqations. Tokio Math.J., v.32, 1980, p.487^97.

134. Keel L.H., Bhattacharyya S.P. Rjbust stability and performans with fixed-order controllers//Automatica/ 1999/ V.35. P. 1717-1724.

135. Lakshmikanthem V., Zeela S. Differential and integral inequalities. New-York- London: Acad. Press, v.2, 1969.

136. La Salle J.P. Stability theory for ordinary differential eqations. Jornal of Dif-ferent.Equat., v.4, 1968, p.57-65.

137. La Salle J.P. Stability theory and invariance principles. Dynamical Systems. An International Symphosium,Academic Press,v.1, 1976, p.211-222.

138. Oliva W.M. Functional differential equations generic theory. Dynamical Systems, an International Symphosium, Academic Press, v.l, 1976, p. 195-209.

139. Onuchic N. On the asymptotic behaviour of the solutions of functional differential equations. Differential equations and Dinamical Systems, Academic Press, 1967, p.223-233.

140. Scifert G.//J. Diff. Eguat. 1979. Vol. 14.p. 424 430.

141. Roxin E.O. Stability in general control systems. Jornal of Diff.Eqat., v.l, No.2, 1965, p. 115-150.

142. Szego G.P., Treccani G. Semigruppi di Transformationi Multivoche. Lecture Notes in Mathematics, Berlin : Springer, No. 101, 1969.

143. Terjeki J. On the asymptotic stability of solutions of functional differential eqations. Annales Polonici Mathematici, v.36, 1979, p.299-314.

144. Ura T. On the flow outside a closed invariant set : stabiliti, relative stabiliti and saddle sets. Contributions to Diff. Equat. No. 3, p. 249 294.

145. Ura T., Kimura J.Sur le courant exterieur a une region invariante. Theoreme de Bendixon. Commet. Math. Univ.St.Paul, No.8, 1960, p. 23 29.

146. Volterra V. Sur la theoric mathematique des phenomenes harieditaires. J.

147. Math. Pures Appl., v.7, 1928, p.249 298.

148. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov s second metod . Pulications, Math. Soc. of Japan, Tokyo, 1966.

149. Yoshizawa T. Asymptotie properties of solutions in diferential equations , Colloquium on Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged, Hangare , 1984.

150. Zhang S.// Scienta Sinica. Ser. A 1988.Vol.4.p. 349-356.

151. Zubov N.V. The investigation of external limited disturbance in dynamical systems. Abstracts Inter.Congr.on Computer Systems and Appl. Mathematics St.Petersburg. p. 13. 1993.

152. Zubov N.V. The investigation of stabilization of program motion in systems with delay under uncer tainties. Abstracts Inter.Conference on Interval and Com. -Algebr. Methods in Science and Engineering St.Petersburg. p.261. 1994.

153. Zubov N.V. Calcuiation method for stabilization of beams program motion. Abstracts Intern.workshop Beam Dynamics Optimiz. St.Petersburg. p. 36.1994.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00