автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ устойчивости и разработка алгоритма управления для некоторых систем с последействием

» ! . < I На нранах рукописи

.» Г Г1>:и Ц". ■;

Поляком Марина Васильсвна

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Специальность 05.13.01,- "Упраидение н технических системах"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА -1996 г.

Работа выполнена и Московском Государственном Институте Электроники и Математики ( Техническом Университете )

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор Колманоиский П.Б.

Официальные оппоненты:

- профессор, доктор технических наук Горелов В.И.

- профессор, доктор физико-математических наук Морозов В.М.

Ведущее предприятие:

АООТ Московский институт электромеханики и автоматики.

Защита состоится "К! ' 1996г. в /2. час, на

заседании диссертационного Совета Д 063. 68. 05. Московского государственного института электроники и математики но адресу: Москва, пер. Бол. Трехсвятительский, 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГИЭМ. Автореферат разослан "_"__1996 г.

Ученый секретарь специализированного Совета л

к.т.н., доцент Бузников С. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Изучение разнообразных явлений окружающего мира приводит к заключению, что будущее течение многих процессов оказывается зависящим ие только от их настоящего, но и существенно определяется всей предысторией. Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи уравнений с последействием. Следствием этого является интенсивное развитие теоретических исследований качественных . свойств систем с последействием, осуществляемое а различных направлениях, в том чис/ге исследование асимптотического поведения решений таких уравнений и проблемы построения оптимального управления. Полученные при этом результаты находят значительное приложение в автоматическом регулировании, механике, технологии, экономике, медицине, биологии и других отраслях.

Одним из наиболее эффективных общих методов исследования качественных свойств решений функционально - дифференциальных уравнений является второй метод Ляпунова. Предложенный первоначально для систем с конечным запаздыванием этот метод обобщался в различных направлениях и для различных классов уравнений с последействием. Кроме того, наряду с развитием общей теории, изучались также и конкретные уравнения с помощью построения подходящих функционалов Ляпунова. При этом, однако, трудности процесса построения указанных функционалов подчас столь велики, что некоторые авторы отмечают как упрощение исследования возможность избежать применения второго метода Ляпунова. Вместе с тем было замечено, что процедура построения ряда ранее известных функционалов допускает единое формальное описание а может быть также использована при построении новых функционалов для исследования свойств решений.

Исследование систем с последействием сопряжено со значительными трудностями, вследствие которых, точное аналитическое решение задач оптимального управления системами с последействием удается получить лишь в

исключительных случаях. При этом наряду с обычными для конечномерных задач трудностями решение - задачи управления для систем с последействием сопряжено и с рядом специфических трудностей, обусловленных прежде всего тем, что фазовое пространство этих систем, как правило, бесконечномерно.

В связи с. вышесказанным по-прежнему актуальной является задача исследования устойчивости решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений с последействием, а также разработка различных методов приближенного решения задач оптимального управления такими системами.

Дель работы. Анализ литературных данных показывает, что при использовании .второго метода Ляпунова для конкретных систем с последействием трудности процесса построения подходящих функционалов Ляпунова подчас столь велики, что некоторые авторы отмечают как упрощение исследования возможность избежать применения второго метода Ляпунова. Вместе с 'тем было замечено, что процедура построения ряда ранее известных функционалов допускает единое формальное описание и может быть также использована ц при построении новых функционалов для исследования свойств решений.'В связи с этим, а также так как точное аналитическое решение задач оптимального управления системами с последействием удается получить лишь в исключительных случаях, в работе были поставлены и решены следующие задачи:

получить условия устойчивости зависящие от характеристик рассматриваемого уравнения и логарифмических норм матриц Якоби правых частей уравнений

а) (улевого решения функционально дифференциального уравнения с веско ькими дискретными запаздываниями;

б) нулевого решения функционально дифференциального уравнения запаздывающего типа общего вида;

в) тривиального решения функционально дифференциального уравнения нейтрального типа общего вида с дискретными запаздываниями;

разработать алгоритм численного решения задачи оптимального управления по быстродействию рассмс рев его на примере модели хемостата.

• Методы исследования. При решении задачи анализа устойчивости решений указанных типов уравнений применяется процедура, основанная на использовании второго метода Ляпунова для систем с последействием, позволяющая полупить условия устойчивости в терминах характеристик рассматриваемых уравнений. При разработке алгоритма приближенного решения задачи оптимального управления использовался принцип максимума Поитрягина для систем с последействием, метод Эйлера и метод нелинейного программирования - метод модифицированной функции Лагранжа. Для исследования разработанного алгоритма управления использовалось моделирование на ЭВМ.

Научная иоа?!Зна. Полученные в диссертации теоретические результаты являются расширением области применения второго метода Ляпупова. На его основе в работе получены условия устойчивости тривиальных решений систем дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типов общего вида, сформулированные в терминах характеристик рассматриваемых уравнений и логарифмических норм матриц Якоби их правых частей. При этом построены новые функционалы Ляпунова, полученные с помощью модификации функций Ляпунова для вспомогательных, специальным образом сконструированных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Также, в работе на основе принципа максимума' Понтрягина разработан алгоритм численного решения задачи оптимального управления по

быстродействию системой нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Практическая ценность." Полученные в работе теоретические и алгоритмические результаты позволят разработчикам реальных физических устройств и технологических процессов, допускающих математическое описание с помощью дифференциальных уравнений с последействием, определить область устойчивости процессов и пространстве параметров моделей, а также наличие устойчивого положения равновесия. Это даст возможность разработать системы управления, которые приводят рассматриваемую модель в положение равновесия за наименьшее время,' по истечении, которого управление можно отключить и предоставить системе функционировать автономно, что существенно сокращает расходы на управление. Определение области устойчивости необходимо также для определения области действия построенного управления.

В диссертации доказан ряд утверждений, которые позволяют конструктивно проверить устойчивость решений конкретных уравнений запаздывающего и нейтрального типов с последействием. Очевидна практическая ценность решения задачи оптимального управления системой хемостатного типа с запаздыванием. Полученные результаты могут быть применены к другим реальным задачам.

Внедрите. Программная реализация предложенного в работе алгоритма решения задачи оптимального управления была использована для управления процессом роста биомассы микроорганизмов в лабораторных условиях в ВНИИ селекции и семеноводства овощных культур.

Апрпйяпия работы. Основные результаты работы докладывались в были обсуждены на заседаниях научного семинара "Устойчивость и управление" кафедры "Кибернетика" МГИЭМ; на конференции "Современные методы Нелинейного анализа" (Воронеж,1995г.); на IV Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва,1996г.).

11убдика«1ии. Основные положения диссертации изложены в четырех нуб.чикацичх.

Струн• ура_побьем .^щсс epjnjimj Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложении. Объем работы составляет 110 страниц машинописного текста. Библиография содержит 49 наименований, из них 18 на иностранных языках.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

По-Двслрлии обосновывается выбор темы исследования, се актуальность, научное и практическое значение. Описывается структура работы, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

ГлавгМ носит обзорный характер. В ней излагаются основные подходы к решению задач оптимального управления, а также основные методы исследования асимптотического поведения решений нелинейных функционально дн(|х|к|1(4|циал1,пых уравнении (ФДУ) запаздывающего и нейтрального типов. В первой части осуществляется формальная постановка задачи исследования устойчивости нулевого решения ФДУ запаздывающего тина. Пусть R" -линейное п - мерное векторное пространство с нормой. Рассматривается функционально дифференциальное уравнение вида:

i(t)= l-'(t.xi)\ t>t0 (1-1)

*(„ = v:(-<»,0]->R". (1-2)

Здк ь i(í) € /í" и для фиксированного l xi(6) = x(í +0), 0е(-ао,0]. Функционал /•': [ío.rj0) * С(-ж\0| -» R" непрерывен , удонлетноряет локальному условию Липшица по второму аргументу и l:(ti¡, 0)« 0 . Пространство С(-х\ ()|-нространстж) непрерывных функции vy : (-<«,01-+ R" с некоторой нормой. Так как /•'(*„,0)v0, ю существует нулевое решение уравнения (1.1). Из теории устойчивости ОДУ известна :к[к|хктиниость второго метода Ляпунова. Этот метод был обобщен для ФДУ запаздывающего тина. А именно:

Если существует положительно определенный непрерывный функционал V : RxQn ->R такой, что для некоторых to¡ е П

o>i(|v(0)|)£ V(t, v)S(02(p(v.O». Y(t, ч») й -юз(|у(0)|)> где И > О, Qh = {v е С(-<ю, 0], р(у, 0) £ Я}, то тривиальное решение задачи (1.1), (1.2) асимптотически устойчиво.

Диалогично задача ставится для ФДУ нейтрального типа. Пусть R" п-мерное линейное векторное пространство с нормой. Рассмотрим уравнение

i(t) = F(t,x,,x,y, ísto (1.3)

xt0 = 4>, Xt,=4, (1.4)

где x(t) e'Jt", дг((6) = л({+е), 9е(-<о,0]. Функция у: (-®,0] абсолютно непрерывна. Функционал (í, ц/, ф) -> F(t, v, (?) определен на множестве [to,оо)хС(-оо,0]х!„(-«>,0], непрерывен при [ío,°°)хС(-оо,0]xZ,f(-oo,0] для всех N>0. Без ограничения общности положим 0,0) а 0, t <г ío. Общие теоремы второго метода Ляпунова для систем нейтрального типа формулируются либо в терминах существования вырожденных функционалов, либо функционалов, зависящих от предшествующих состояний.и скоростей системы. Имеет место следующая теорема:

Если существует непрерывный функционал V : [ío, х С(-оо,0] х 1.(-оо,0] -> R удовлетворяющий неравенствам

<» i(lv(0)|) £ V(í, у, х) s ш2(мО, v-(t,v)^o,

то тривиальное решение задачи (1.3),(1.4) устойчиво. Если кроме того выполняется К5-юз(|.г(01), то решение асимптотически устойчиво.

Вторая часть главы посвящена постановкам задач управления системами с последействием и методам их решений. Специфика задач управления с учетом последействия обусловлена видом уравнений системы и тем, что состояние системы определяется целым отрезком траектории. Задачи управления определяются также видом минимизируемого функционала, ограничениями на управление и траекторию и т.д. Некоторые конкретные постановки представляют собой естественные модификации соответствующих задач для систем без

последействия. Вместе с тем наличие последействия приводит к новым специфическим постановкам, например, управление начальной функцией или запаздыванием. В качестве методов решения рассматриваются метод динамического программирования Бсллмана, условия оптимальности и принцип максимума Понтрягипа.

Глава 2 посвящена результатам, полученным автором при исследовании устойчивости нулевого положешг. равновесия ФДУ запаздывающего и нейтрального типов. В первой части исследуются ФДУ запаздывающего типа. Используется следующая процедура исследования условий устойчивости ФДУ основанная на применении второго метода Ляпунова. Сущность процедуры состоит в том, что искомый функционал Ляпунова V получается путем преобразования функции Ляпунова, построенной для вспомогательного сконструированного специальным образом обыкновенного дифференциального уравнения без последействия. Процедура состоит из следующих этапов:

Шаг 1. Правая часть уравнения (1.1) должна быть преобразована (с использованием некоторого преобразования L) так, чтобы ее можно было представить в виде суммы двух частей F(t,xi) = Fi(t,j:(t))+F2(t,xl), первая из которых F( : {to,«)*Я"-> Я" зависит только от t и текущего состояния х(£) системы и F,(t,0)а0, Fi(t,0)s0. В результате преобразованное уравнение будет иметь вид x(t) = F\(t,x{t)) + Fi(t.xt). Шаг 2. Запишем вспомогательное обыкновенное уравнение в виде y(t) = Fi(t, y{t)) Прсдполохшм , что нулевое решение этого уравнения равномерно асимптотически устойчиво. Тогда существует положительно определенная, убывающая функция Ляпунова v{t.y), производная которой Lit,y(t)) отрицательно определена. Целью второго шага является построение функции t<f,y).

Шаг 3. Заменяем аргумент у а функции t<f, у) на некоторый функционал от х

определяемый преобразованием L. В результате получаем функционал V i - основную компоненту искомого функционала V. Подбирая функционал V2 так, чтобы сумма V) + К2 удовлетворяла условиям какой-либо теоремы об устойчивости, получаем-функционал V в виде V = Vt + Vi. Замечание 1. Неоднозначность выбора преобразования L и функции Ляпунова v{t,y) может быть существенно использована для построения различных функционалов V и , вообще говоря, получения новых условий устойчивости.

Замечание 2. В ряде случаев использование теорем сравнения позволяет получить условия устойчивости с помощью функционала V= V¡, т.е. при V2 = 0. Отметим, что для некоторых ситуаций V2 является функционалом Ляпунова для функционального уравнения x(t) = F(t,xt).

Используя указанную процедуру получим условия устойчивости нулевого решения функционально дифференциального уравнения вида (1.1), вспомогательное обыкновенное уравнение для которого является диссипативным. Для простоты рассмотрим функционально дифференциальное уравнение с дискретными запаздываниями вида

¿W = £fi(<,*(í-A<)), t>t0, ki>0, xeR", F(t,0) в 0 (2. 1)

м

Здесь Fi - непрерывные функции и удовлетворяют локальному условию Липшица по второму аргументу. Обозначим fi(t,x) матрицу Якоби для функции Fi{t,x) в точке (t,x)

f,(t,x)=£;F,(t,x) и ((t,x) = ±ft(t,x).

Матрица f(t,x) называется диссипативной, если 3 е > 0 и область определения

СсК'такне, что |exp(t-to)/(t,jr)J, Sexp(-e(t-ío)), Visto, xïio, x s D, где У, -

матричная норма, подчиненная векторной норме О Н в R" :

«Л*,*)В, =sup!2^ = sup №.х)4-1*0 "" !:и>|

В качестве константы е может быть выбрано любое положительное число

--7(/(t,jc)), i a to, x e U , где i(f(t,x)) - логарифмическая норма матрицы f(t, i)

Y(/(i,,))=hm ilp+Af(t,x)l-\] . (2. 2)

Здесь I - единичная матрица размерности nxn . Тогда диссипатиыносгь означат: а = - sup

Обозначим: I(= sup fl/",(f,= 1,т.

С использованием указанной процедуры и аппарата логарифмической нормы доказана следующая теорема:

Теорема 1. Пусть Fi: [io.®) х C(-<o,OJ i=t7m. - непрерывные,

непрерывно дифференцируемые по второму аргументу функции и выполняемся

т т

неравенство а > Ex.iL . Тогда нулевое решение уравнения (2.1) равномерно асимптотически устойчиво.

В процессе доказательства сконструирован функционал Ляпунова V в форме V = Vi + Vj, где V\ = Цх(£)Ц,

i-k, I |

J' ds \ \ШЫх + Ы { |Wt)Wt . (-*)-*/ 1 t-kj

Указанная процедура позволила исследовать устойчииость нулевого положения равновесия ФДУ запаздывающего типа общего вида, а именно, • рассмотрим уравнение

Ht) = F(t,x(t-ht).....*<t-Am)), t>(o, = (2.3)

Предположим, что A) F : [ta,<*>)xH* х ... xR"-+R* - непрерывная, непрерывно дифференцируемая функция по всем аргументам начиная со и торит. Б) Бел

ограничения общности положим F(i,0, ...,0)и0. Обозначим через fit.x) матрицу. Якоби функции F(t,x.....х):

f{t,x)=^F(t,x.....х)

Предположим, что в некоторой области DcR", содержащей область определения, выполнено условие

Vi^tutL, W н

IS) lí4í.yi, ...,j/M,y,J/(n, -..,J*»)-F(£,y1.....уи.г.ум.....yM)J к /.,|y-rj ,

где; t/.yi,2 - ароизвольные элементы из D. Введем в рассмотрение числа а и L IÍIKHC, что

а = - sup y\f{t,x)], .....jr-MslSlsrl

al,.r*D М

Тогда имеет место следующая теорема:

Теорем« 2. Пусть выполнены предположения А), Б), В). Тогда нулевое

решение уравнения (2.3) равномерно асимптотически устойчиво, если выполнено

неравенство а> ¿^¿(¿Ау.

♦•i н

Функционал Ляпунова V, построенный с помощью указанной процедуры в результате доказательства, имеет вид V = + V'j, где Vi =KOJ,

Vj = I £ Lit

M j-l

Вторая часть главы посвящена ФДУ нейтрального типа. Рассматривается уравнение общего вида

HI)*A,(t,j(t-/ii).....x(í-A»)) +¿j(í.i(t-An,).....x{t - A»)), tito. (2.4)

Xi, = V, Ч«у, A|20. i=l, ,,m. Предположим, что A) Ai: l<o,»)x R" x... *Я' -»/?', i= 1.2 - непрерывные, нпци-рывно дифференцируемые по всем аргументам начиная со второго

функции. Б) Без ограничения общности положим <4,(1,0.....0)»0. 1 = 1,2.

О&ашачин через f[t,x) матрицу Якоби функции A\(t,x....,x) :

fit.x)*lA,it.x.....д).

Предположим, что выполняются неравенства

В) И'СЛ.....fi-i-r.li-.................пЯ c.ly-íj. «=!.• .*

Г) iM'.ri.....*»)!«íe.bl ......У-^Д.ЧуЛ-

o «к*оторов сАист* О с Я" содержащей область определения, - пронэ-

t-k, h*, i [ ds I Ит)№ + А/ J Wt)¡k/t

»-*<-*/ а М/

вольные элементы области D. Рассмотрим также число а вида а- sup т[/(<, 1 >1. где y[f(t, х)]- логарифмическая норма матрицы f(t, х) определяемая соотношением: у№,дг)) = 1нп 1[|/ + дД^лг)|,-)] .

Здесь У| - матричная норма порожденная векторной нормой ! I в R":

m i.M-i

Применим процедуру для исследования условий устойчивоеiи ну .некою решения уравнения, состоящую из следующих этапов:

Шаг 1. Представим правую часть уравнения (2.4) в виде суммы двух сл;наены\, первое из которых зависит только от t и текущих значений решения t<(). т.е.: x(t) = F(t,xt,x,), F = Ft(t, x(t)) + F2(t,x,,xt),

F,it,0) = 0, F2(t,0,0) = 0; (2. Г>)

Шаг 2. Для вспомогательного дифференциального уравнения y(t) - t'Ut,

строим функцию Ляпунова хЦ,у)\ Шаг 3. Заменим значение аргумента у функции v(t,y) на функционал зависящий от xt определяемый преобразованием использованным на первом шаге Если

F2(t ,xt.xi) = F3(t, xt, xt) + dFi(t, xt)/dt тогда V\(t,xt) = f(f,z(t)), где z = x(t)-Fi(t,xt). В случае, если -о, к, V^tCi.^t) = Ki. ^CO)• Выбирая Vi так, чтобы сумма Vt + r2 удов/iei поряди предположениям какой-либо теоремы об устойчивости решения уравнения (2.4) получаем искомый функционал V в форме V = Vt + , Заметим, что использование функционала v(t,z(t)) может привести к необходимости исследовать устойчивость нулевого решения уравнения 2{t) -~ 0. Приходим к следующей теореме :

Теорема 3. Нулевое решение уравнения (2.4) асимптотически устойчиво, если функционалы Ai, А2 удовлетворяют предположениям А), В), В), Г) и выполняются неравенства

а-1 с/1 £ <0, 1 — <уг/1 с0, д> 1,

V, 1'2 = Я

4'3 = <л ¿а, | ||*0)||<У*.

-I 1-Л,

где <у1=^[1с,Л( + £ 6,].

Г-1 1

В процессе доказательства с помощью указанной процедуры был построен функционал Ляпунова V н виде I' = V'! + К2 + Гз, где

".II- 1

1с, { <1* Гр(хЖт + 2 Ь, | Ц(5)[|г/5

Л, Д

В тексте главы приведены примеры иллюстрирующие используемые процедуры и указанные теоретические результаты.

В Главе 3 рассматривается задача оптимального управления по быстродействию системой, состояние которой описано нелинейными дифференциальными уравнениями хемостатиого типа с запаздыванием. Предлагается алгоритм численного решения задачи - алгоритм поиска квазиоптимального управления, разработанный на основе принципа максимума Понтрнгнна.

Множество работ посвящено изучению хемостата как с экспериментальной точки зрения, так и с точки зрения моделирования. Однако, большинство работ по изучению моделей, описанных уравнениями хемостатиого типа, направлены на изучение устойчивости положений равновесий таких систем. Рассматривается модель системы вида

N,(() = Л + ) ~ ,(«)Л/2С0 + - Л). (3. 1)

ЛЫО = |(0)).

где Л'I. Лг;- концентрации питательной среды и микроорганизмов соответственно; К б Я» - постоянная питательная поддержка ; а е Л» - максимальный темп потребления микроорганизмами питания; е Л, ■ смертность микроорганизмов; 6 с (0,1) - коэффициент регенерации умершей биомассы в питательные вещества; д б К. - максимальный прирост микроорганизмов; 0{Ы\) - функция потребления, которая даст предельную величину питания, потребляемого микроорганизмами (неотрицательная, возрастающая,ограниченная). Рассматривается класс функций

вида <Э(Ы) = Ы*/(Ык+Л), где к= 1,2,.., А - постоянная. N2(1-/1) представляет запаздывание в разложении микроорганизмов. Начальные функция Ы(0) = (А/((0),ШО)) имеет вид М8) = <р(0) = 0, 0е[-Л,О). На управление питанием и(<) наложено следующее ограничение: и е [0, /?о] • (3.2)

При и = О система имеет единственное положение равновесия ЛГ' =(N5,N5), компоненты которого положительны при ограничениях ег/д<1,а>Ьд. С помощью методов, указанных в главе 2, доказано, что оно является асимптотически устойчивым.

Рассматривается задача об оптимальном быстродействии, т.е. п качестве критерия выбирается время перехода системы из некоторого начального ■ положения N10,Мм в положение равновесия М*, N5 - Г(Л?ю,Лг2о,м(0)- Тогда оптимальное управление ио(0 определяется соотношением :

1/(0) = Г(ЛГ,о, N20, ио(е)) Существуют численные процедуры решения задач оптимального управления с последействием, являющиеся модификацией соответствующих методов для обыкновенных систем. Они имеют свои недостатки.Во-первых, их использование связано либо с сильным увеличением размерности задачи, либо с решением уравнений в частных производных. Во-вторых, они разработаны для задач с фиксированным временем управления и их модификация для задачи быстродействия оказалась неэффективной.

Поэтому предлагается следующая процедура. Определим структуру оптимального управления на основе принципа максимума Понтряпша для систем с запаздыванием с модификацией для оптимизации по быстродействию. В качестве множества допустимых управлений рассмотрим класс кусочно -непрерывных управлений, удовлетворяющих (3. 2). Для оптимальности допустимого управления МО и соответствующей ему. траектории ЛМ0 необходимо существование такого ненулевого решения уз системы

У2 = а0(ЛГ|)у|+(е2-?0(ЛЫ)^2-6е1У|(* + Л). *е[0,Го) (3.2)

у(< + Л) = 0, <с(Го-А,Го1

что выполнено условие

No(0, No(t - Л), u0(O) = max* tf (v(i), N0(£), W0(i - A), u(£) ,

где

tf(v(i),JV(t). N(t-h), u(t)) ч/)(Я+и-а(?(ЛГ|)ЛГ2 + 6e2N2(t-A)) +V2(-«2 + <XWi»/Vj.

Из уравнений (3. 2) следует, что функция чм не может обращаться в нуль на интервалах. Покажем это. "Предположим обратное: пусть vi(£)»0 при £ е [£|, ij], £1 <tj. Тогда yi =0 на этом интервале. В силу первого из уравнений и вида функции потребления при t е [ti, <2] V2W * 0; а, следовательно, у2 * 0. Тогда из второго уравнения следует, что \|л(£ + Л)«0 при £ е [£i, i2], то есть 4>i(i)а0 : при t е [ii +Л, £2 + А]. Продолжая эту цепочку рассуждений видим, что исходное предположение приводит к тождественному равенству нулю функций vi(0,vi(0 ПРИ £ с . Г] одновременно. (В случае, когда tj — ii < Л, аналогично можно показать, что получается совокупность интервалов одновременного

обращения в нуль функций vt(t),V2(t) вида [£( +ih, h + ih], i = 0.....k, где k такое

число, что выполняется неравенство 0 s T~t2~kk < А. ) Это противоречит положению принципа максимума о не равенстве одновременно нулю решения системы (3. 2). Значит предположение было неверным. Поэтому на основании принципа максимума получаем , что u0(£) = argmaxH = argmax(yiu), то есть оптимальное управление кусочно-постоянно, принимает только граничные значения и имеет вид ио(0 = {

Отсюда следует, что оптимальное управление однозначно определяется пабором точек переключения, т.е. точек пересечения нуля функцией yj.B связи с тем, что неизвестные функции vi(0. Nt(t), (i= 1,2) входят в (3.1),(3.2) как с запаздывающим,'так и с опережающим аргументом, решить одновременно эти две системы не представляется возможным. Поэтому предлагается алгоритм поиска количества и размещения точек переключения допустимого управления, при

которых доставлялся бы минимум функционала быстродействия, на основе полученного представления для оптимального управления.

Пусть т(Л)={<|,|' = 1,й + 1} - некоторое разбиение интервала [0,11 точками переключения, где к - количество точек переключения, - интервал от на'чала до первой точки переключения, (¿ = 27а) - интервал между ¿- 1 и I точками переключения, - интервал от последней точки переключения до Т . Тогда для фиксированного начального положения критерий принимает вид ДМ,о,М20, и) = Т(Ыю,Ы2ч, и(т.(к))) := Г(х(к) . Обтая схема алгоритма . Положим Тор1 = То - время перехода системы при и = 0 из заданного начального положения в положение равновесия.

. I

Шаг 1. Выбор числа точек переключения - к(1,2..) и начального управления для выбранного к.

Шаг_2- Оптимизация критерия быстродействия по т(к). Для фиксированного к и выбранного допустимого управления проводится оптимизация критерия быстродействия путем вариации длин интервалов переключения. В виду нелинейности задачи для оптимизации применяется метод нелинейного программирования - метод модифицированной функции Лагранжа.

ШагЛ. Проверка соответствия структуры оптимального управления структуре сопряженных переменных и сравнение значения критерия 7'(т(А)) с 7'„и. Для полученного в результате оптимизации управления и(тг,М) по схеме Эйлера на некоторой сетке строятся соответствующая ему траекюрия ЛГ(</и(то(А))) и сопряженные переменные 4)1,4/2 на той же сетке, но в обратном времени. По' полученным в результате такой процедуры значениям 4/1 определяется соответствие, количества и положения точек переключения нулям функции 4*1, а также знаконеременности полученного оптимизационного управления переменам знака у 1 . Шаг_4. к :=Л + 1; переход к шагу 1 .

Таким образом происходит перебор количества точек переключения и соответствующих им допустимых управлений . Оптимальность управления определяется минимальным значением критерия и соответствием структуры управления структуре сопряженной переменной у! . Такое соответствие В совокупности с минимальным значением критерия быстродействия является правилом выхода из алгоритма.

Для оптимизации используется метод нелинейного программирования -метод модифицированной функции Лагранжа. Для поиска локального минимума модифицированной функции Лагранжа применяется обычная градиентная процедура. При этом интегрирование систем (3.1), (3.2) осуществляется по схеме Эйлера.

В заключай" сформулированы основные результаты работы.

В приложении приводятся документы, подтверждающие внедрение результатов диссертационной работы, а также приведены некоторые из программ, реализующих алгоритм построения квазиоцтималыюго по быстродействию управления.

ВЫВОДЫ

' В диссертационной |)аботе получены следующие основные результаты.

С помощью процедуры построения функционалов Ляпунова получены условия устойчивости

а) нулевого решения функционально дифференциального уравнения с несколькими дискретными запаздываниями;

б) нулевого решения функционально дифференциального уравнения запаздывающего типа общего вида;

в) тривиального решения функционально дифференциальною уравнения нейтрального типа общего вида с дискретным последействием;

зависящие от характеристик рассматриваемых уравнений и логарифмических норм функций Якоби правых частей этих уравнений.

В работе предложен и программно реализован алгоритм численного решения задачи оптимального управления по быстродействию для модели хемостатного типа с запаздыванием, разработанный на основе принципа максимума Понтрягина.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Полякова М.В. Управление нелинейной системой с запаздыванием. Изв. РАН. Теория и системы управления. Москва. 1995. N? 3. с.44-49.

2. Колмановский В.Б., Полякова М.В. Устойчивость диссинативных систем с последействием. Тез. докл. конф. "Современные методы нелинейного анализа", Воронеж, 1995 г., с.51-52.

3. Колмановский В.Б., Полякова М.В. Устойчивость нелинейных систем с последействием нейтрального типа. Тез. докл. IV Мсждуиар. семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва. 1996. с.19-21.

4. Kolmanovskii V.B., Polyakova M.V. Stability of s(>me functional differential equations of retarded type. Proceedings of Dynamic Sybtems and Applications. 1996. vol.2, pp. 323-33?.

Подписано к печати 25.10.96, Зак.Щ Объёц Щ.л. Тир.100

МГИЭМ. Москва, М. Пионерская ул,. 12