автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математические модели и методы исследования динамических систем

Введение.

Глава 1. Краткое описание ряда практических проблем и математических методов приводящих к новым постановкам задач в теории динамических систем.

1. Метод простых волн в задачах математической физики.

2. Применение метода простых волн к уравнению теплопроводности

3. Моделирование теплообменных процессов в системах охлаждения Супер-ЭВМ.

Глава 2. Методы исследования динамических систем удовлетворяющих неудерживающим связям.

1. Полное решение проблемы в линейном случае.

2. Построение решений в квазилинейном случае.

3. Общие свойства уравнений и нелинейные связи.5i

4. Применение сплайнов при решении краевых задач.

Глава 3.Построение и синтез законов управления в динамических системах.

1. Построение программных управлений для линейных систем.6Э

2. Синтез законов управления для линейных систем.

3. Построение программных управлений в квазилинейных системах с последействием.

4. Построение программных движений в управляемых системах с помощью сплайнов.

5. Синтез законов управления для квазилинейных систем.

Глава 4. Проблема устойчивости стационарных режимов в системах с последействием.

1. Устойчивость в автономных системах с последействием.

2. Устойчивость периодических и почти периодических систем с последействием.

3. Влияние внешних ограниченных воздействий на стационарные режимы в системах с последействием

Глава 5. Стабилизация программных управлений в системах с последействием.

1. Стабилизация программных управлений в случае прямого регулирования.

2. Исследование особых случаев и случая непрямого регулирования.

Одной из главных проблем современного этапа развития науки, техники и технологии на пороге XX1 века являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимо разрабатывать новые качественные и количественные методы исследования поведения решений динамических систем, построения программных управлений, поиск условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В настоящее время и в будущем столетии создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.

Анализ направлений развития науки, существующие научные публикации и тематика международных научных форумов, убедительно говорят о том, что приоритетными задачами, стоящими перед человечеством в ХХ1 веке будут, например, следующие:

- создание новых космических технологий и ракетно-космических систем

- создание нетрадиционных энергетических технологий, в т.ч. переработки газа и нефти

- создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем

- глобальное решение транспортной проблемы

- создание новых биотехнологий для решения продовольственной проблемы;

- создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.

Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.

Тема данного диссертационного исследования касается ряда задач рассмотренных выше и является частью плановой фундаментальной НИР, утвержденной в 1987 г. (шифр 1.13.9.4), Президиумом РАН Институту проблем кибернетики РАН "Исследование динамики функционирования и построение законов управления динамической супер-системы с учетом специфики функционирования" и является переходной до 2000 г. Автор данного диссертационного исследования является ответственным исполнителем указанной темы. Постановка данной темы Президиумом РАН говорит об актуальности разработки фундаментальных методов исследования динамических систем различного предназначения. При разработке супер-системы - "Супер-ЭВМ - Аэрокосмическая система", определенной этой тематикой, потребовалось: исследовать вопросы моделирования теплофизических процессов, разрабатывать методы решения краевых задач и задач управления динамическими системами, удовлетворяющими неудерживающим связям, в т.ч. и в виде сплайнов, исследовать вопросы существованияи и построения решений для систем не приводимых к нормальному виду, рассматривать вопросы существования и экспоненциальной устойчивости стационарных режимов в системах с последействием- исследовать проблемы стабилизации программных управлений в случае прямого и непрямого регулирования • создать методы синтеза для линейных и нелинейных систем.

По результатам этих исследований автором опубликовано две монографии (1996 г.) и более 35 работ (198Т - 1998 гг.).

Сделаем небольшой исторический экскурс к постановке и развитию тематики, рассмотренной автором в диссертационном исследовании.

Первые серьезные математические результаты, полученные при исследовании функционирования динамических систем, видимо, следует отнести к М.Ньютону. Им впервые были четко сформулированы и поставлены перед математикой прямая и обратная задачи : требуется определить движение, если известны силы, его вызывающие , и наоборот, требуется определить силы, если известно движение, ими порожденное. Последнюю задачу в широком плане можно считать задачей поиска управления порождающего искомое движение. С решением второй задачи, как известно, М.Ньютон успешно справился, используя наблюдения Т.Браге с поправками на рефракцию И.Кеплера, а также опираясь на гипотезу центральной силы, предложенную Х.Гюйгенсом, т.е. получил закон всемирного тяготения. Он также сумел решить ряд дифференциальных уравнений описывающих прямолинейное движение материальной точки под действием различных сил. И. Ньютон сумел путем синтетико-геометрических построений описать динамику движения твердого тела, находящегося в центральном лоле сил. Однако, у И. Ньютона отсутствовала запись дифференциальных уравнений и их интегралов в аналитической форме, а его метод последовательных приближений давал решение рассматриваемых задач в виде степенного ряда.

Вторым крупным результатом, послужившим большим толчком к созданию математических методов исследования динамических систем следует считать разработку метода квадратур для решения дифференциальных уравнений Лейбницем и его последователями - братьями Бернулли. Им впервые был предложен термин -"дифференциальные уравнения", методы подстановки и интегрирующего множителя для решения некоторых классов дифференциальных уравнений.

В дальнейшей разработке теории дифференциальных уравнений особенно велик вклад Л. Эйлера давшего полное решение линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами и развившего метод интегрирующего множителя. Также большой вклад в развитие методов решения дифференциальных уравнений внесли его современники: А. Клеро, Ж. Даламбер, Ж.Л. Лагранж, Б. Тейлор.

Переломным моментом в исследовании нелинейных динамических систем явилась теорема существования и единственности доказанная О.Коши методом ломаных Эйлера и предложенный им метод последовательных приближений. Здесь также необходимо отметить работы Штурма и Лиувиля, положившие начало исследованиям по теории краевых задач.

Существенным шагом вперед при исследовании динамических систем являлась разработка качественной теории дифференциальных уравнений, одновременно созданной А. Пуанкаре и A.M. Ляпуновым. Методы, созданные в рамках этой теории, позволяли по свойствам правых частей дифференциальных уравнений судить о поведении решений этих уравнений и их особенностях. Существенные результаты в данной области были получены также Дж. Еиркгофом.

Дальнейшее создание методов исследования поведения решений динамических систем проводилось в рамках теории колебаний , сильно развитой такими учеными, как А.Н. Крылов,

A.А.Андронов, А.А. Марков, Н.П.Еругин, В.И.Зубов, Ю.А.Митро-польский и др.

Бурное развитие техники в середине XX века, а особенно систем автоматического управления, породило целый класс новых задач в рамках теории динамических систем: построение решений динамических систем, удовлетворяющих различным краевым условиям исследование устойчивости решений динамических систем с последействием; построение программных управлений и движений, удовлетворяющих краевым и начальным условиям; синтез этих управлений; решение проблем стабилизации программного движения в случае прямого и непрямого регулирования. Основоположниками в решении этих задач выступили Н.Н. Красо-вский, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин, К.П.Персидский, В.В.Степанов, Н.Н. Боголюбов, Н.Г. Четаев, В.В. Немыцкий,Н.М. Крылов,

B.C. Разумихин, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Шиманов, В.И. Зубов, М.Г. Крейн, А.А. Воронов, Б.Г. Болтянский и многие другие.

Целью настоящей работы является проведение исследований проблем возникающих как при рассмотрении ряда практических задач, так и при использовании нетрадиционных подходов к исследованию распределенных систем, описываемых системами уравнений в частных производных. Путь решения этих проблем лежит в создании конструктивных качественных и количественных методов исследования динамики функционирования управляемых динамических систем имеющих различного рода особенности: неудерживающие связи последействие неприводимость к нормальному виду разрывы решений первого рода и т.д. Решение данных проблем позволило получить ряд новых результатов, с помощью которых можно оценить не только качественную картину поведения решений динамических систем, но и в ряде случаев построить сами решения этих систем и управления их порождающие.

Ряд новых результатов, полученных при рассмотрении некоторых вопросов затронутых в диссертационном исследовании, существенно отличается от результатов других исследователей в данной области. Например: в главе 4 впервые получены неуточ-нимые на рассматриваемом классе функционалов критерии экспоненциальной устойчивости стационарных режимов систем с последействием^ во 2-ой главе получены критерии существования и построения решений динамических систем удовлетворяющих неу-держивающим связям, причем в линейном случае проблема впервые решена полностью и т.д. Методы, разработанные в настоящей работе выгодно отличаются от методов разработанных другими авторами тем, что они являются конструктивными^ не абстрактными, т.е. легко применимыми на практике. Часть результатов получена впервые и не имеет аналогов в предшествующих исследованиях в данной области, т.е. не является продолжением или уточнением результатов других авторов.

Диссертационное исследование состоит из 5 глав и 17 параграфов.

В первой главе описывается методика исследования и построения решений u = u(t,X,C) большого класса задач математической физики (уравнений в частных производных, решения которых должны удовлетворять начальным и граничным условиям) методом простых волн, а также рассмотрены вопросы моделирования динамики процессов теплообмена в одноканальных и сдвоенных теплообменниках, имеющих распределенную тепловую нагрузку. Показано, как такие постановки и подходы приводят к возникновению целого класса нетрадиционных задач, требующих для своего решения создания новых методов и моделей.

Во второй главе рассмотрены вопросы построения решений динамических систем удоволетворяющих неудерживающим связям. В случае линейных систем задача решена полностью, а для нелинейных систем найдены достаточные условия существоания решений таких систем и систем не приводимых к нормальному виду.

Для квазилинейных краевых задач, решения которых удовлетворяют краевым условиям интегрального типа и обобщенным условиям непрерывности по некоторым своим компонентам, получены условия существования таких решений в виде сплайнов и предложены методы их построения.

В третьей главе разработаны методы построения законов управления для динамических систем и их синтеза. Для линейных динамических систем, удовлетворяющих неудерживающим связям типа двусторонних неравенств, получены необходимые и достаточные условия существования программных управлений и движений, удовлетворяющих искомым краевым условиям, получены достаточные условия для решения задачи синтеза.

Для квазилинейных систем с последействием получены достаточные условия существования программных управлений и движений, удовлетворяющих квазилинейным неудерживающим связям, а также предложены итерационные методы их построения. Выведены достаточные условия , при выполнении которых возможен синтез этих законов управления и получено их аналитическое представление.

В четвертой главе рассматриваются вопросы существования и устойчивости стационарных режимов в динамических системах с последействием, а также влияния на эти режимы внешних ограниченных воздействий.

Для автономной системы с последействием получены достаточные условия существования единственного равномерно экспоненциально устойчивого положения равновесия.

В случае периодических и почти периодических динамических систем с последействием получены достаточные условия существования периодических и почти периодических решений равномерно экспоненциально устойчивых в целом.

Для этих систем также рассмотрен случай локальной устойчивости.

В случае внешних периодических и почти периодических ограниченных воздействий на автономную систему с последействием получены условия существования периодических и почти периодических решений, а также условия их равномерной экспоненциальной устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

В пятой главе рассмотрены вопросы стабилизации программных управлений в системах с последействием в случае прямого и непрямого регулирования.

Для квазилинейных систем с последействием получены условия, при выполнении которых программное движение можно сделать равномерно экспоненциально устойчивым путем надлежащего выбора автоматической системы прямого регулирования осуществляющего управление с помощью запаздывающего сигнала,являющегося линейной комбинацией отклонения истинного движения от заданного программного.

В случае непрямого регулирования, также получены условия построения линейной системы автоматического управления непрямого регулирования, осуществляющей стабилизацию программного движения локально и в целом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В настоящей работе решен ряд крупных научных проблем возникающих при исследовании динамики функционирования сложных технических систем описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти проблемы весьма актуальны и возникают как при рассмотрении ряда практических задач так и при использовании нетрадиционных подходов к исследованию распределенных систем описываемых системами уравнений в частных производных. При решении этих задач получен ряд новых результатов позволяющих оценить не только качественную картину поведения решений динамических систем, но и в ряде случаев построить сами решения этих систем и управления их порождающие.

В первой главе описывается методика исследования и построения решений u = u(t,X,C) большого класса задач математической физики (уравнений в частных производных решения которых должны удовлетворять начальным и граничным условиям) методом простых волн, т.е. волн зависящих от единственной фазы. Эта фаза выбирается так, чтобы уравнения получающиеся для искомых функций u = u(w) были обыкновенными дифференциальными уравнениями. При этом оказывается, что фаза w может зависеть от произвольных постоянных С .Ст : w = w(t,Ci,.С )f которые можно выбирать в виде произвольных функций, что приводит к возможности удовлетворения начальных и граничных условий путем конечного или бесконечного суммирования простых волн. Далее в качестве примера в первой главе рассмотрено применение метода простых волн при исследовании уравнения теплопроводности.

В первой главе также рассмотрены рассмотрены вопросы моделирования динамики процессов теплообмена в одноканальных и сдвоенных теплообменниках, имеющих распределенную тепловую нагрузку. Такие теплообменники используются не только в теплоэнергетике но и в конструкции систем охлаждения Супер-ЭВМ. В последнем случае возникают проблемы связанные со спецификой работы систем охлаждения-подцержание тепловых режимов узлов и элементов Супер-ЭВМ в допустимых границах. При решении этих проблем возникает ряд задач которые требуют разработки нестандартных моделей и методов их решения.

Во второй главе рассмотрены вопросы построения решений динамических систем удовлетворяющих неудерживающим связям В случае линейных систем задача решена полностью , то есть найдены необходимые и достаточные условия существования решений системы

X = P(t)X + F(t) (1) удовлетворяющей краевым условиям т

В < f dG (т)Х(т) * В (2)

1 J 2 О

Здесь X = (х1.хп)* ; матрица P(t) размера (n х п) задана при t е [0,Т], вещественна и непрерывна; F(t) - вещественная и непрерывная векторная функция, заданная при t е [0,Т] ; G (т) вещественная матрица размера (m х п) элементы которой есть функции ограниченной вариации, заданные при г € [0,Т] ; Bt = (bjf.bj*, В2 = (Ь1.bj*- вещественные векторы удовлетворяющие условию b4i *s b21, (1 = 1.m). Решения этой задачи получены в аналитической форме. Доказана следующая основная теорема.

Теорема 1. Для того, чтобы существовало решение системы (1) Х(t) удовлетворяющее краевым условиям (2), необходимо и достаточно, чтобы гиперплоскость W , описываемая уравнением

Го= Н + £ а^ , (3) j=i имела общую точку с параллелепипедом : D = (b s у < b

11121

----,b < у < ъ > .

1 ш m 2m

В данной теореме использованы следующие обозначения: Г - фундаментальная система решений однородного уравнения Л Y = 0 ; (а .,а ) - произвольные вещественные постоянные • Л^ , (1 = 1.m-k) - базис линейного подпространства (фундаментальная система) решений сопряженного однородного уравнения A* Y = 0 , Л = { Л* } т

Ai = | dG(e)Z(e) ; о

Z(t) - фундаментальная система решений уравнения (1).

Для квазилинейных динамических систем

X = P(t)X + F(t) + /iS(t,X(t+e)) (4) удовлетворяющих квазилинейным краевым условиям т

Bt * { dG(•)Х(') + ДК(Х(©)) ^ В4 (5) где ц - малый параметр; S(t,<H©)) = (st(t^(©)). s (1;,Ф(©)))* - вещественные и непрерывные функционалы опп ределенные при t € [0,Т] , Ф4(е) € [-h,03 , (1 = 1.п);

К(¥(©)) = (к (¥(©)),.,к (¥(©)))* - вещественные и непре

1 гп рывные функционалы определенные при (в) с С[0,ТЗ ; Ф = (Ф4.* = .h > 0 ~ положительная постоянная получены условия существования решений. Для этих решений предложены итерационные методы их построения. Доказана следующая основная теорема.

Теорема 2. Если гиперплоскость описываемая уравнением (3) имеет с параллелепипедом D = (Ь < у < b , .,b < у < b }

11 1 21 1ш ш 2т общую внутреннюю точку го , то существует Д0 > О такое, что при всех ц удовлетворяющих условию |д| < до задача (4), (5) имеет решение.

Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений не приводимых к нормальному виду

АХ = F(t,X), (6) где А - квадратная, постоянная, особенная матрица порядка n X = (х.,х )* ; F = (X .f )* - вещественная,

In In дважды непрерывно дифференцируемая по всем своим аргументам вектор-функция, определенная при lt-tQ| £ TQ , ixj-xji * RQ, (1=1,.,п) получены условия существования и единственности решений, а также предложены методы их построения. Доказана следующая терема. Теорема 3. Пусть: 1) правые части системы (6), заданные при it - t°l ^ То , |х4 - х°| < Ro , (1 = 1.п) дважды непрерывно дифференцируемы 2) существует число t и вектор XQ такие, что система алгебраических уравнений обращается в тождество при t = t , X = XQ , (itQ - t°i ^ TQ , ix - x°l ^ R ) ; 3) матрица Якоби B(to,XQ) неособенная. Тогда существует число Т > 0 такое, что при It - t | ^ Т система (6) имеет единственное решение X = X(t) , удовлетворяющее начальному условию X (t )= XQ , причем это решение может быть получено как предел последовательных приближений.

Матрица Якоби имеет вид а.

B(Y.X) =

11 э^ ах аер n-k ар

In lkn э^ эх п n-k эх эх

Где функции р (ttX) определяются равенствами p^t.X) = A*F(t,X) =0, (i = 1,.,n-k) . здесь л^ = »• • • i= 1 >2,., n-k линейно независимых векторов Л1 = (Х^ Д^ ) таких, что л*А = 0, (1 = 1,.,n-k). Для квазилинейных систем ОДУ

X = P(t)X + Q(t) + /iF(t,X) (7) удовлетворяющих краевым условиям интегрального типа: | Ro(t,X)dt.,X(ti) + | Rl(r,X)dt) +

S (8) ц s Gt(e,X)de = 0, 1=1.m 0 и обобщенным условиям непрерывности в точках t .,t по некоторым своим компонентам, а именно

1 1

TjCtj- 0,X(tj- 0)) = TjCt^ 0fX(t3+ 0)), и = 1.Д) (9) доказаны теоремы существования и единственности решений и предложены итерационные методы их построения.

В третьей главе разработаны способы построения законов управления для динамических систем и их синтеза. Для линейных динамических систем

X = P(t)X + Q(t)U(t) + F(t) (10) удовлетворяющих неудерживающим связям типа двусторонних неравенств т

Bt s JdGd)X(t) ^ В2 (11) о получены необходимые и достаточные условия существования программных управлений и движений, а также предложены способы построения всего класса таких управлений и движений.Эти условия полностью аналогичны условиям теоремы 1. для параллелепипеда D и соответствующей гиперплокости Го , построенной для данной задачи.

Для линейных систем (10),(11) получены достаточные условия для решения задачи синтеза, то есть создания законов управления, построенных на основе измерения некоторых компонент фазового вектора в различные моменты времени. Такие измерения можно представить в форме о z(t) = | [dB(t,•)]X(t+-) (12)

-h где B(t,©) - вещественная матрица размера (n х n) , элементы которой есть функции ограниченной вариации относительно € [-h,0] и непрерывные по t , заданные при t е [0,Т] . Доказаны соответствующие теоремы.

В параграфе 2 найдены условия, при выполнении которых существу ет управление

U(t) = М(t)z(t) + N(t) (13) и начальная функция Ф(Ю , t с [0,h] такие, что система (10) имеет при управлении (13) и начальной функции X(t) = &(t) , t е [0,-Ш решение удовлетворяющее краевым условиям (11). Таким образом при аналитическом представлении закона управления учитываются запаздывание сигналов измерителей, их обработки и запаздывание в работе исполнительных органов. Для квазилинейных систем с последействием X = P(t)X + Q(t)U + F(t) + MS(t,X(t+©),U(t+©)) (14) удовлетворяющих квазилинейным краевым условиям т

В, < Г dG(')Х(•) + MK(X(t+©),U(t+©)) < Во (15)

1 J 2 О получены достаточные условия существования программных упра-лений и движений, а также предложены итерационные методы их построения.

Для квазилинейных систем (14) удовлетворяющих краевым условиям (8) и обобщенным условиям непрерывности (9) получены достаточные условия существования программных управлений и движений, причем программные движения разыскиваются в виде сплайнов. В линейном случае ( д = 0 ) задача решена полностью, а в квазилинейном случае предложен итерационный процесс нахождения решений.

Выведены достаточные условия, при которых возможен синтез этих законов управления и получено их аналитическое представление.

В четвертой главе рассматриваются вопросы существования и устойчивости стационарных режимов в динамических системах с последействием, а также влияния на эти режимы внешних ограниченных воздействий.

Для автономной системы с последействием о

X = АХ + Г dG(-)X(t+-) + P(X(t+-)) , (16)

-h получены критерии существования положения равновесия равномерно экспоненциально устойчивого в целом неуточнимые на рассматриваемом классе функционалов.

Эти критерии выведены при доказательстве следующей основной теоремы.

Теорема 4. Если: 1) ReX s 0 , (1=1,,п); 2) справедливо неравенство o(S) = inf a(S) = lnf a(SnP) < 1 , где S P 0 a(S) = IIISIC"1 [|E - Y(t) I + IE - |Y(t) I l] IS"1 |V + IS^ILHq1, то у системы (16) существует единственное положение равновесия, причем это положение равновесия равномерно экспоненциально устойчиво в целом.

Выше использованы следующие обозначения и допущения: А -вещественная постоянная матрица размера (n х n) ; G(•) = { - матрица размера (n х n) ; gtJ(©) , (1J =

1,2,,n) - совокупность функций ограниченной вариации, заданных при ее С-И1,01 ; Р(Ф(*)) = ( Г1(Ф(')), .

Д (ф(•)) )*- вещественные и непрерывные функционалы определенные при р (•) с С [-h ,0] ; Ф = (р .<р )* , i 2 In h и h - положительные постоянные.

X с

Кроме того, функционалы Г£(Ф(•)) удовлетворяют условиям Липшица г—— (h )

I !,(♦(')) - !,(¥(')) I * II (Р/О- 2 , j=i где 1 - неотрицательные постоянные, не зависящие от выбора функций Ф = .1рп)* и V = (ipr.\рп)* .

Остальные выражения и обозначения имеют вид: г >

А = fdG(') ; llX(t+')-X(t)ll 1 = sup II X(t+-)-X(t)ll

1 i se[A'01 1 a nX(t)и = sup nX(t)и ; iiXii = max ix I ; iiAii = шах £ la b t<E [a,b] l£i<n l£l<n j=l J

SQ - постоянная неособенная матрица, такая, что матрица В = = S"1(A+At)SQ имеет каноническую форму Жордана; Р - произвольная постоянная неособенная матрица, перестановочная с матрицей В ; РВ = BP ; С - матрица, получающаяся из матрицы В , путем замены диагональных элементов этой матрицы Х^, на их вещественные части Re Х{ ; L - матрица размера (n х п) с элементами ltJ ; |S| - матрица, получающаяся из матрицы S, путем замены ее элементов, модулями этих элементов; X ,

Х - собственные числа матрицы А + At ; Z(t) и Y(t) -фундаментальные системы решений уравнений Z = (A+A^Z и Y = BY ; btJ - полная вариация функций на отрезке

-1^,0] ; V = С b } - матрица размера (n х п) с элементами bu , Z(0) = Е .

В случае периодических и почти периодических динамических систем с последействием о

X = АХ + [ dG( • )X(t+-) + F(t,X(t+-)) , (17) а также получены критерии существования периодических и почти периодических решений равномерно экспоненциально устойчивых в целом.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 5. Если: 1) Re X < 0 , (1=1,.,п) ; 2) функционалы Г (t,Ф(•)) являются Т - периодическими по переменной t , т.е. Г1(г,Ф(-)) = t{(t + Т,ф(-)) , t € (-СО,+00) , € Ct-h ,0] ; 3) существует постояннная неособенная матрица Р , перестановочная с матрицей В : РВ = BP и такая, что справедливы неравенства a(L)p(V) a(V) < 1 , - + j3(L) < 1 ,

1 - a(V) где ix a(V) = II iSgPlC-1 (IE - Y(t) I + IE - |Y(t) I I) IP^S"1 iVll \ , p(V) = M |S0P|C-1 IP'^S"1 IVll то у системы (17) существует единственное Т - периодическое решение, причем это решение равномерно экспоненциально устойчиво в целом.

Теорема 6. Если: 1). выполняются условия 1 и 3 теоремы 5.; 2) функционалы I^(tf®(-)) являются почти периодическими функциями при любой фиксированной функции Ф( •) : <р1( •) €

С [-h ,01 , то у системы (17) существует единственное 2 почти периодическое решение, причем это решение равномерно экспоненциально устойчиво в целом.

Теорема 7. Если: 1) выполняются условия 1 и 3 теоремы 5.; 2) 11(t,0) = 0 , t > 0 , (I =1,2.n) , то тривиальное решение X ■ 0 системы (17) равномерно экспоненциально устойчиво в целом.

Для этих систем также рассмотрен случай локальной устойчивости.

В случае внешних периодических и почти периодических ограниченных воздействий на автономную систему с последействием

X = АХ + F(t,X(t+-)) + R(t,X(t+')). (18) получены условия существования периодических и почти периодических решений, а также условия их равномерной экспоненциальной устойчивости и устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Эти условия аналогичны условиям полученным в теоремах 4-7.

Для вынужденных колебаний, возникающих в квазилинейной системе ОДУ с последействием под действием затухающей внешней силы:

X = АХ + fiF(t,X(t+")) + R(t)exp(-At) , где R(t) - векторная функция ограниченная при t > О , д > О, А > 0 - const получены оценки затухания переходных процессов в зависимости от скорости затухания вынуждающей силы.

В пятой главе рассмотрены вопросы стабилизации программных управлений в системах с последействием в случае прямого и непрямого регулирования.

Для нелинейных систем с последействием

Y = AY + Bz + jLiS(t,Y(t+-) ,z) ) (19)

MZO IUO где A - вещественная постоянная матрица размера (n * п); В - постоянный вещественный вектор^ ц - малый параметру S(t,4>(-),z) = (s (t ,Ф( ■ ) ,z).s (tf$(-),z))* - вещест

1 n венные и непрерывные функционалы, определенныые при t > 0 , z € (- <»,+ со) и удовлетворяющие условиям Липшица-стабилизирующее управление z имеет вид о z = Г dG(1)Y(t+-) , (20) А где G( •) = (gj (-).,gn (•)) - совокупность функций ограниченной вариации, заданных на отрезке [-h ,0] -доказана следующая теорема.

Теорема 8. Если векторы В ,АВ.ABn1 линейно независимы, то существуют числа Д0 > 0 и h > 0 такие, что для всех ц : |/л ^ ц программное движение в системе (19) можно сделать экспоненциально устойчивым путем надлежащего выбора автоматической системы прямого регулирования (20), при этом регулирование можно осуществлять с помощью запаздывающего сигнала, являющегося линейной комбинацией отклонений истинного движения от заданного программного.

Иначе говоря, при выполнении условий данной теоремы существует число до > 0 такое, что для всех ц : |/л < до и достаточно малом времени запаздывания при управлении о

U = U (t) + fdG*(')(X(t+-) - X (t +•)) p совокупность функций ограниченной вариации gt(•).*Sn(') можно выбрать так, что программное движение X = X (t) в системе (19) будет экспоненциально устойчивым.

Для случая г - управлений доказана теорема.

Теорема 9. Если среди векторов AkBi (1 = 1.г ) к = 0,.,п - 1) имеется п линейно независимых, то теорема 8. остается в силе, т.е. при достаточно малых ц и времени запаздывания возможна стабилизация программного движения системы (19) с помощью автоматической системы прямого регулирования.

Таким образом, при доказательстве теоремы получены условия, при выполнении которых программное движение можно сделать равномерно экспоненциально устойчивым путем надлежащего выбора автоматической системы прямого регулирования осуществляющего управление с помощью запаздывающего сигнала, являющегося "линейной комбинацией" отклонения истинного движения от заданного программного.

В случае непрямого регулирования, также получены условия построения линейной системы автоматического управления непрямого регулирования, осуществляющей стабилизацию программного движения локально и в целом. Доказана теорема.

Теорема 10. Если выполняются условия теоремы 8. (9), то существуют числа Ц0 > 0 и hl > 0 такие, что для всех ц :|ц| < цо всегда можно построить систему автоматического управления непрямого регулирования так, чтобы программное движение системы (19) было равномерно экспоненциально устойчивым. При этом закон управления всегда можно выбрать линейным относительно X и и : о о

U = U (t) + Г dG(•)(X(t+-)-Х (t+-)) + Г dG(•)(U(t+*)-U (t+-)) p A p A

1. Барбашин Е.А. К теории обобщенных динамических систем. Учен. зап. МГУ, Т.2, сер. Математика, вып.135, 1049, С. 110-133

2. Барбашин Е.А.Драсовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом. ДАН СССР, Т.86 N 3, С. 453-456.

3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.:Наука, 1970.

4. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

5. Блистанова Л.Д. К вопросу построения управления в мно -гозвеных аппаратах легкой и текстильной промышлености .//Me -тоды и средства автоматизации контроля и регулирования в текстильной и легкой промышлености. Л. ЛИТЛП 1991. стр. 17-75 .

6. М. ВЗИИТ 1991. стр. 18 21 .

7. Блистанова Л. Д. Устойчивость компактного множества в функционально дифференциальном уравнении .//Проблемы мате -матического обеспечения совершенствования технических сред -ств железнодорожного транспорта. М. ВЗИИТ 1992.стр. 64 - 69 .

8. Блистанова Л.Д. Принцип инвариантности для автономных функционально-дифференциальных уравнений. Деп. в ВИНИТИ 29.12. 93. N 3219-В-93 .

9. Блистанова Л.Д. Об ограниченности решений функционально-дифференциальных уравнений на базе функций Ляпунова-Разу -михина.//Динамика систем и управление. Мордовский университет. Саранск. 1993. стр. 8 12 .

10. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А. Метод усредненияв исследованиях резонансных систем дифференциальных уравнений М.: Наука, 1992, 214 с.

11. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом.ПММ , Т. 14, N 5, 1950, С. 459-512 .

12. Зверкин A.M. Зависимость устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом от вы -бора начального момента . Вестник МГУ, сер. математики, меха -ники, астрономии, физики, химии, N 5, 1959, С. 15-20 .

13. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Изд во ЛГУ, 1957 .

14. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.Наука , 1975

15. Зубов В.И. Периодические динамические системы. Саранск 1983 , Изд-во Мордовского Госуниверситета.

16. Зубов Н.В. Решение краевых задач с условиями интегрального типа. Дифференциальные уравнения. Сб.тр.мат.каф. пед. интов РСФСР, Рязань 1976, в. 7.

17. Зубов Н.В. Построение программных движений в управляемых системах. Ученые записки ЕГУ, Ереван, 1976 N3.

18. Зубов Н.В. Построение программных движений в управляемых системах с помощью сплайнов. Управление, надежность и навигация. Межвуз.темат сб.,Саранск, 1978 в. 4.

19. Зубов Н.В. Решение краевых задач с помощью сплайнов. Методы и модели управления и контроля., Межвуз. научн.-техн. сб., Рига, 1978, N11.

20. Зубов Н.В.Решение задач управления с ограничениями типа неравенств. Некоторые вопросы качественной теор. диф.ур. и теор. упр. движен., Межв темат.сб., Саранск 1979.

21. Зубов Н.В. Решение краевых задач с условиями интегрального типа с ограничениями типа неравенств. В кн. Теория управления, М., Мир.,1978.

22. Зубов Н.В. Динамика функционирования технологических процессов при наличии ограничений. В кн. Надежность машин иаппаратов химических производств, Л., Машиностр., 1978,гл. 10.

23. Зубов Н.В. Построение программных управлений и траекторий в квазилинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Тез.док. VII Всесоюзн.совещания по проблемам управления., Минск, 1977.

24. Зубов Н.В. Решение задач управления с ограничениями типа неравенств. Тез.док. II Всесоюзн. конф. по оптимальн. упр. вмеханич. сист. Казань., 1977.

25. Зубов Н.В. Стабилизация программных движений в управляемых системах, удовлетворяющих краевым условиям типа неравенств. Тез.док. V Всесоюзн.конф. по качественной теории диф$. уравнений. Кишинев, 1979.

26. Зубов Н.В. Алгоритмы решения задачи стабилизации программных движений в судовых управляемых системах, удовлетворяющих краевым условиям типа неравенств для ЦВМ. Тез.док. Всес-го симпозиума. Применение ЦВМ для управления судами., Л., Судостроен., 1978.

27. Зубов Н.В. Критерии существования периодических решений в системах с последействием. Тез.док. V Республиканская конф. математ. Белоруссии.Гродно, 1980

28. Зубов Н.В. Явления конвергенции в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с последействием. Управлен., надежн. и навигация.Межвуз.темат.сб.Саранск, 1980,Вып. 6.

29. Зубов Н.В. Критерии существования и экспоненциальной устойчивости периодических решений в системах с последействием. Тез.докл.1Х Междунар.конфер.по нелинейным колебаниям.Киев.1980

30. Зубов Н.В. Об устойчивости по первому приближению в автономных системах с последействием. Управление,надежность и навигация., Межвуз.темат.сб.Саранск, 1981.

31. Зубов Н.В. Теорема существования и единственности для одной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений не приводимой к нормальному виду. Математическая теория управления техническими объектами. Межвуз. темат. сборник,1. Ленинград, 1982.

32. Зубов Н.В. Устойчивость по первому приближению в системах с последействием. Прикладные задачитеории управления Межвуз. темат.сб., Л.,, 1982.

33. Зубов Н.В. Решение краевых задач с помощью сплайнов. Горький, 1979, Межвуз.темат.сб.

34. Зубов Н.В. Явления конвергенции в системах с последействием. В кн.Динамика управляемых систем.М./ Высш.шк. 1982

35. Зубов Н.В.Исследование вынужденных колебаний в системах с последействием. "Вестник ЛГУ" Ленинград, 1982, N 1.

36. Зубов Н.В. О существовании и экспоненциальной устойчивости периодических и почти периодических решений в системах с последействием. Оптимальное управление в механических системах. Сб. ЛГУ, Ленинград, 1983.

37. Зубов Н.В. Математические методы динамики функционирования машин и аппаратов ЦБП Конспект лекций , Л., ЛЛА, 1983.

38. Зубов Н.В. Методы исследования систем с последействием. Деп. ВИНИТИ N 2103-84

39. Зубов Н.В. Исследование внешних ограниченных воздействий настационарные режимы. Автоматизация расчетов колебаний и устойчивости в химической технике. Учебное пособие, Л., ЛТИ

40. Зубов Н.В. Определение динамических положений равновесия машин и аппаратов ЦБП. Учебное пособие,Л., ЛТИ ЦБП,1986.

41. Зубов Н.В. Методические указания по решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.,ЛТИ ЦБП, 1985.

42. Зубов Н.В. Исследование внешних ограниченных воздействий на стационарные режимы ЦБП. Определение динамических положений равновесия машин и аппатов ЦБП. Мет.указ Л., ЛТИ ЦБП, 1986.

43. Зубов Н.В. Исследование стабилизации прграммного движения в системах с последействием.Основы автоматизированных расчетов надежности машин и аппаратов химической технологии, учебн.пособие, Л., ЛТИ, 1987.

44. Зубов Н.В. Синтез программных управлений в автоматизированных системах с последействием. Математические основы надежности процессов и аппаратов химической технологии, текст лекций, Л., ЛТИ, 1988.

45. Зубов Н.В. Вопросы управления движением в системах удовлетворяющих неудерживающим связям. Тез.докл. 1V Всесоюзн.конф. поуправлению в механических системах, Львов,1988.

46. Зубов Н.В. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений. Тез.докл. Ш Уральской per. конф. "Функциональнодифференциальные уравнения и их приложения", Пермь 1988.

47. Зубов Н.В. О синтезе программных управлений в системах с последействием. Деп. ВИНИТИ N 5658-В89 от 30.08.89.

48. Зубов Н.В. Задачи стабилизации.Анализ равновесных траекторий описывающих процессы ЦБП. метод.указан.,Л., ЛТИ ЦБП, 1989.

49. Зубов Н.В. Методы исследования систем с последействием. Исследование решений уравнений,описывающих динамику функционирования процессов и аппаратов ЦБП. методич.указания, Л., ЛТИ1. ЦБП, 1989.

50. Зубов Н.В. Вопросы стабилизации программного движения в системах с последействием. Математические основы надежности механизмов ЦБП. методич.указания Л., ЛТИ ЦБП,1989.

51. Зубов Н.В. Задачи теории управления. Автоматизированный расчет устойчивости и надежности процессов ЦБП. Л.,ЛТИ ЦБП

52. Зубов Н.В.Влияние внешних ограниченных воздействий на стационарные режимы в системах с последействием. В кн. Математические методы исследования колебательных систем.Изд-во СГУ 1990 .

53. Зубов Н.В. О существовании периодических решений в системах с последействием. Методы сравнения и методы Ляпунова Межвуз.сб.научн.тр.,Саранск,1990.

54. Зубов Н.В. Стабилизация программного движения в системах с последействием.Автоматизация расчетов надежности и устойчивости процессов и аппаратов химической технологии. Учебн.пособ., Л., 1990.

55. Зубов Н.В. Критерии устойчивости в системах с последействием. Тез. докл. Респуб.научные чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Минск 1990.

56. Зубов Н.В. Исследование вынужденнных колебаний в механических системах с последействием.Исследование многочастотных колебаний механизмов бумагоделательных машин. Метод.указ. Л., ЛТИ ЦБП,1990.

57. Зубов Н.В. Влияние внешних ограниченных воздействий нарежимы в колебательных системах с последействием.Автоматизация расчетов устойчивости решений уравнения Хилла. Учеб.пособ., Саранск,СГУ, 1990.

58. Зубов Н.В. Об устойчивости в системах с последействием. Сб. Вопросы кибернетики,надежность, испытания и эксплуатациявысокопроизводительных ЭВМ, М., Изд. Научн.совета по комплексной проблеме "Кибернетика" РАН, 1991. с.114-119.

59. Зубов Н.В. Исследование стабилизации программного движения в системах с последействием. Деп. ВИНИТИ N 3324 В91 от 01.08.91.

60. Зубов Н.В. Косвенные методы измерения параметров двухфазных потоков в стационарных и нестационарных условиях. Деп. ВИНИТИ N 3324 В91 от 01.08.91.

61. Зубов Н.В. Вопросы стабилизации программного движения в системах с последействием. Автоматизация расчета многочастотных характеристик бумагоделательных машин. Мет.указ.Л.ДТИ ЦБП. 1991. с.10-21.

62. Зубов Н.В. Задачи теории управления. Исследование вероятностных характеристик функционирования объектов ЦБП, Метод.указ. Л.ДТИ ЦБП. 1991. с. 3-15.

63. Зубов Н.В. Исследование внешних ограниченных воздействий на стационарные режимы объектов движения,Управляемые динамические системы Межвуз.сб. научн.тр., Изд-во Морд.гос.унив., Саранск. 1991. с.135-140.

64. Зубов Н.В. Критерии устойчивости стационарных режимов в системах с последействием. Тез.докл.Междун.научн.конференции Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции, Самара. 1992. с. 106-107.

65. Zubov N.V. The investigation of external limited disturbance in dynamical systems. Abstracts Inter.Congr.on Computer Systems and Appl. Mathematics St.Petersburg, p.13. 1993.

66. Zubov N.V. The investigation of stabilization of program motion in systems with delay under uncer tainties. Abstracts Inter.Conference on Interval and Com. -Algebr. Methodsin Science and Engineering St.Petersburg, p.261. 1994.

67. Zubov N.V. Calculation method for stabilization of beams program motion. Abstracts Intern.workshop Beam Dynamics Optlmlz. St.Petersburg, p. 36.1994.

68. Зубов Н.В. Исследование внешних ограниченных воздействий на стационарные режимы. Основы контроля качества и надежности процессов и аппаратов химической технологии:.Учебн.пособ.СПб. ЛТИ. 1994. с. 50-66.

69. Зубов Н.В. Решение нелинейных систем уравнений не приводимых к нормальному виду. Тез. докл. 11 Межд.конф. "Дифф. ур-я и их прилож.". Саранск. 1996. с. 76.

70. Зубов Н.В. Вопросы эффективного управления системами с парожидкостными магистралями. Труды Всеросийск.научной конфер. по теплофизическ.процессам. Рыбинск.: Изд. РГАТА, 1997,с. 54-59.

71. Зубов Н.В., Зубов С.В. Математические методы стабилизации динамических систем.СПб.: Изд. Спб. Ун-та, 1996, 288 с.

72. Зубов Н.В., Зубов С.В. Лекции по теории стабилизации динамических систем. Учебн. пособ. СПб. Изд. Мобильность плюс, 1996, 278 с.

73. Зубов Н.В. Критерии устойчивости стационарных режимов в информационно-управляющих системах корабельных техническихсредств. Тез.докл. Всерос.научно-практ. конф. ВМФ., Спб., 1998, стр. 145-146.

74. Зубов Н.В. Критерии устойчивости стационарных режимовв системах с последействием., Тез.докл. Междун. матем. конф. Еругинские чтения, Могилев, 1998, стр. 124.

75. Зубов Н.В. Стабилизация программного движения в системах с последействием. Тр. Третьей межд. конф. "Дифф.ур-я и их приложения"., Саранск, 1998, стр. 78.

76. Зубов Н.В., Северцев Н.А., Тарасов А.А. Разработка и метрологическое обоснование диафрагменного метода косвенного измерения расходного массового газосодержания". Тез.докл.Межд. конф. "Передовые технологии на пороге XX1 века". М.: НИЦ инженер, 1998.

77. Ильичев А.В., Северцев Н.А. Эффективностьсложных систем. Динамические модели. М.: Наука, 1989, 311 с.

78. Иошидзава Т. Функции Ляпунова и ограниченность решений. В сб. переводов, сер. Математика, М.: Мир, вып.9, N 5, 1965, стр.65-127.

79. Карманов В.Г., Федоров В.В. под ред.Третьякова А.А. Моделирование в исследовании операций. М.: Твема, 1996, 102 с.

80. Катулев А.Н., Тухватулин В.В. Формирование управлений движением пеленгаторов угломерной системы. Радиотех ника N 10. М.: Радио и связь, 1989.

81. Колмановский В.Б.,Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981.

82. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. М.: МГУ, 1983, 98 с.

83. Красовекий Н.Н. Об асимптотической устойчивости систем с последействием. ПММ, Т.20, N 4, 1956, стр.513-518.

84. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.М.: Физматгиз, 1959.

85. Лапшина Р.Б. Исследование обобщенным прямым методом Ляпунова устойчивоподобных свойств решений некоторых классов обыкновенных конечно-разностных систем и обобщенных дифференциально-разностных систем. Кандидатская диссертация. М., ВЗИИТ 1982.

86. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Т.2, М.Л. : Изд-во АН СССР, 1956 .

87. Меренков Ю.Н. Критерий Ура для функционально-дифференциальных уравнений.//Проблемы совершенствования перевозочного процесса на ж.-д. транспорте. М. 1986 Вып.134 стр.98-103.

88. Меренков Ю.Н. Критерий устойчивости Ура для функционально-дифференциальных уравнений //EquadiXXs Brno , enlarged abstracts, 1985. p.87-88.

89. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Изд. 2, М.: Наука, 1972.

90. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. УМН, Т.32, вып.2, 1977 ,стр.173-202.

91. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек и обобщенные функции Ляпунова. Дифференциальные уравнения, Т.З, N 3, 1967, стр.359-370.

92. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Изд. 2-е, М.-Л., 1949.

93. Персидский К.П. К устойчивости движения. Матем. сб.Т.11, в.1, N 2, 1936, стр.37-42.

94. Персидский К.П. К теории устойчивости решений дифференциальных уравнений. УМН, Т.1, вып.5-6 (новая серия), 1946.

95. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л. : ГТТИ, 1947.

96. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием. ПММ, Т.20, N 4, 1956, стр. 500-512.

97. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задаче устойчивости решений уравнений с запаздыванием. Автоматика и телемеханика, Т. 21, 1960, стр. 740-749.

98. Разумихин.Б.С. Метод исследования устойчивости систем с последействием. ДАН СССР, Т.167, 1966, стр 1234-1237.103 .Разумихин Б.С. Прямой метод исследования систем с последействием. Препринт. ВНИИ системных исследований, Москва, 1984, 75 с.

99. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

100. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений М. Мир, 1984. 421стр.

101. Шатохин М.М. Исследование прямым методом Ляпунова некоторых устойчивоподобных свойств решений функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Кандидатская диссертация. М. ВЗИИТ, 1989.

102. Шатохин М.М., Шестаков А.А. Об относительной устойчивости нулевого решения автономного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа. Дифференц. уравнения, Т. 22, N 11, 1986, стр. 1922-1928.

103. Шестаков А.А. Обзор теории локализации предельных множеств динамических процессов с использованием функционалов Ляпунова.// Colloquic mathematlca societatls Janos Bolyai. 1984. v.47. P.997-1028.

104. Шестаков А.А. Меренков Ю.Н. 0 локализации решений некоторых линейных дифференциальных систем.// Вопросы динамики подвижного состава на железнодорожном транспорте. М., 1980.1. Вып.103. стр. 94-98.

105. Шестаков А.А., Меренков Ю.Н. О притяжении траекторий дифференциальной системы множеством нулей мажоранты функций Ляпунова // Изв. вузов. Сер. математика. 1981. N 8. стр. 55-59.

106. Шестаков А.А., Меренков Ю.Н. Локализация предельного множества решения с ограниченным интервалом определения // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 17, N8. стр. 1515-1517.

107. Шестаков А.А. Меренков Ю.Н. О локализации предельногомножества в неавтономной дифференциальной системе с помощью функций Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1981. Т.17, N 11. стр. 2017-2027.

108. Шестаков А.А., Меренков Ю.Н. Устойчивость по Ляпунову и притягивающие множества относительно неавтономной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1979. Т.15, N 5, стр. 815-827.

109. Шестаков А.А. Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1987, стр. 13-48.

110. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М. Наука, 1990.

111. Шиманов С.Н. Устойчивость систем с запаздыванием. Труды 11 Всес. съезда по теор. и прикл. механике, Москва, вып. 1, М.: Наука, 1965, стр. 170-180.

112. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Изд.2.е, М. : Наука , 1971.

113. Эльсгольц Л.Э. Устойчивость решений дифференциально разностных уравнений. УМН, Т.9, вып. 4, 1954, стр. 95-112.

114. Axitosiewlcz h.a. A survey of Llapunov second method. Ann. Math. Studies 41, 1958, 141 -166.

115. Barnea D. A method and new results for stability and instability of autonomous functional differential equations. SIAM J.Appl.Math., V.17, 1969, p.681-697.

116. Burton T. An extention of Llapunov,s method. J. Math, anal, and Appl., v.28, 1969, p.542-552.

117. Burton T. Stability theory for functional differential eqations. Transact of the Amer. Math.Society, v.255, 1979,p.263-275.

118. Burton Т., Hatvani L. Stability theorems for nonautono-mous functional eqations by Liapunov Junctionals. Tohoku Math. 41 1989, p.65-104.

119. Driver R.D. Exlstanse and stability of a delay-differential system. Archive for Rational Math, and Analysis, v.10, No.4, 1962, p.401-425.

120. Driver R.D. Ordinary and delay-differential eqations. New-York: Springer, 1977.

121. Grimmer R.D. , Haddock J. Stability of bounded and unbounded sets for ordinary differential eqations. Ann. Mat. Рига Appl., v99, ser.4, 1974, p.143-153.

122. Grimmer R.and Sclfert G.// J.Dlff. Eguat. 1975. p. 142 -166 .

123. Friendly spaces for functional differential eqations with infinite delay. In V. Lakshmikantham cd. Proc. of VI International Conference on Trends in the Theory and practicof Nonlynear Analysis. North. Holland, Amsterdam 1984.

124. Haddock J. Terjeki J. Liapunov-Razumihin functions and invariance principle for functional differential eqations. Jornal of Different, equat. v.48, No.1,1983, p.95-122.

125. Hahn W. Uber die Anwendung der methode von Liapunov auf Differensengllechunger. Math. Annaler, Bd.136, 1958,s.430-441.

126. Hale J. A stability theorem forfunctiona differential equations. Proc.Nat.Acad.Sci.USA, v.50,No.5, 1963,p.942-946.

127. Hale J., Kato J. Phase space for retarded eqatlons with Infinite delay. Funcs. Equat. 21, 1978, 11-41.

128. Kato J. On Llapunov-Razumlkhln type theorems for functional-differential eqatlons. Tunkclalay Eqvaclaj, v.16, 1973, p.225-239.

129. Kato J. Stability problem In functional differential eqatlons with Infinite delay. Tunkclalay Eqvaclaj, v.21,1. No.4, 1978, p.63-80.

130. Kato J. Stability problem In functional differential equations Lecture Notes In Mathematics, Berlin, Springer, No. 799, 1980, p.252-262.

131. Kato J. Liapunov,s second method In functional differential eqatlons. Toklo Math.J., v.32, 1980, p.487-497.

132. Lakshmikanthem V., Zeela S. Differential and Integral Inequalities. New-York- London: Acad. Press, v.2, 1969.

133. La Salle J.P. Stability theory for ordinary differential eqatlons. Jornal of Dlfferent.Equat., v.4, 1968, p.57-65.

134. La Salle J.P. Stability theory and lnvarlance principles. Dynamical Systems. An International Symphosium,Academic Press,v.1, 1976, p.211-222.

135. Ollva W.M. Functional differential equations generic theory. Dynamical Systems, an International Symphosium, Academic Press, v.1, 1976, p.195-209.

136. Onuchlc N. On the asymptotic behaviour of the solutions of functional differential equations. Differential equationsand DInamical Systems, Academic Press, 1967, p.223-233.

137. Scifert G.//J. Diff. Eguat. 1979. Vol. 14.p. 424 430.

138. Roxln E.O. Stability In general control systems. Jornal ol Diff.Eqat., v.1, No.2, 1965, p.115-150.

139. Szego G.P., Treccanl G. Semlgruppl dl Transformation! Multivoche. Lecture Notes In Mathematics, Berlin : Springer, No.101, 1969.

140. Ter^ekl J. On the asymptotic stability or solutions of functional differential eqatlons. Annales Polonlcl Mathematics У.36, 1979, p.299-314.

141. Ura T. On the flow outside a closed invariant set : stabiliti, relative stabiliti and saddle sets. Contributions to Diff. Equat. No. 3, p. 249 294.

142. Ura Т., Klmura J.Sur le courant exterieur a une region invarlante. Theoreme de Bendixon. Commet. Math. Univ.St.Paul, No.8, 1960, p. 23 29.

143. Vol terra V. Sur la theoric mathematique des phenomenes harieditaires. J. Math. Pures Appl. , v.7, 1928, p.249 298.

144. Yoshizawa T. Stability theory by Llapunov's second metod . Pulications, Math. Soc. of Japan, Tokyo, 1966.

145. Yoshizawa T. Asymptotle properties of solutions in differential equations , Colloquium on Qualitative Theory of Differential Equations, Szeged, Hangare , 1984.

146. Zhang S.// Scienta Slnica. Ser. A 1988.Vol.4.p. 349356.