автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Конструирование робастных регуляторов с использованием методов H∞ - оптимизации

РГ6 ОД 2 9 МАЙ 1995

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи УДК 62.50

Семенов Александр Владимирович

КОНСТРУИРОВАНИЕ РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ Я°°-ОПТИМИЗАЦИИ

Специальность 05.13.01. - Управление в технических системах

Автореферат

на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Государственном научно-исследовательском институте ави; ционных систем Комитета Российской Федерации по оборонным отраслям промь тленности.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В.А. Лотоцкий ,

доктор физико-математических наук, профессор М.М. Хрусталев ,

доктор технических наук, профессор В.Н. Цыгичко .

Ведущая организация: Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Л моносова

Защита состоится а?/" 1995 г. в ^^час. ¿й^мин. на заседании Специ

лизированного совета Д 002.68.02 Института проблем управления по адресу: 11780 Москва, Профсоюзная, 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблема управл ния.

п >*

Автореферат разослан --с/1995 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор технических наук, профессор

В.К. Акинфиев

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Проблема конструирования регулятора в условиях неопределенности является одной из центральных в современной теории управления. Ее важность обусловлена прежде всего тем, что практически в любой инженерной проблеме конструирования присутствует неопределенность. Для решения указанной проблемы могут быть использованы различные подходы, которые укладываются в общем случае в две концепции: концепцию адаптивного управления и концепцию робастного управления. В первом случае регулятор, как правило является нелинейным и нестационарным (в случае использования законов управления, основанных на идентификации, это всегда так), даже если объект управления - линейная стационарная система. Во втором случае, по крайней мере для линейных стационарных объектов управления, удается сконструировать линейный стационарный регулятор. В данной работе рассматриваются различные аспекты проблемы конструирования робастных регуляторов с использованием методов оптимизации.

Помимо прикладного значения, проблема конструирования регулятора в условиях неопределенности важна также с теоретико-системной точки зрения. Здесь имеется в виду исследование области применимости и эффективности принципа обратной связи в условиях непределенности. В теории управления предлагались различные формулировки принципа обратной связи, которые в конечном счете могут быть сведены к принципу обратной связи по Бсллману и принципу обратной связи по Бодс. В первом случае утверждается, что для полностью управляемого объекта и при наличии полной информации о его состоянии и внешнем входе с помощью обратной связи можно произвольным образом устанавливать корни характеристического уравнения замкнутой системы. В принципе обратной связи по Боде, в свою очередь утверждается, что обратная связь позволяет компенсировать неопределенности в объекте управления.

Указанные кажущиеся различия удается преодолеть в теории робастного управления. ?1ри этом принцип обратной связи можно сформулировать следующим образом: обратная связь компенсирует неопределенности и делается это так, как указано в принципе обратной связи Беллмана.

Интенсивные исследования в области теории робастного управления были начаты на рубеже 70 - 80-х годов. Значительный вклад в ее развитие внесли труды отечественных ученых: Цыпкина, Поляка, Харитонова, Адамяна, Арова, Крейна, а также зарубежных ученых: Зеймса, Сафонова, Дойла, Гловера, Френсиса, Тенненбаума, Видъясагара, Кхаргонекара, Кимури, Квакернаака, Андерсона, Пирсона, Петерсона, Зхоу, Пакарда, Доюонхири, Грина, Хслтона, Болла и др.

1

В настоящее время методы теории робастного управления существенно продвинуты. В то же время построение концептуально замкнутого варианта теории, включающего возможность широкого практического приложения, является актуальной проблемой, что в частности отмечалось на симпозиуме "Robust Control Systems Design via H-Infinity Optimization and Related Methods", Cambridge, UK, 1990, и 1-м Симпозиуме IFAC "Design Methods of Control Systems", Zurich, Switzeland, 1991.

Проблема робастного управления может быть сформулирована в терминах различных тополого-алгебраических структур. При этом в зависимости от принятых предположений относительно природы неопределенностей используются методы /1-теории, CJ-теории или i'-теории. В случае параметрических неопределенностей могут быть использованы также различные модификации постхаритоповского подхода.

В диссертации рассмотрены методы робастного управления, которые укладываются в формализм (J-теории или /(-теории. Эти методы в существенной мере основаны на теории Н°°-оптимизации (Н^-теории управления).

Для решения проблемы Я00-оптимизации было предложено большое число методов. В настоящее время многие аспекты Я°°-теории управления глубоко осмыслены. В то же время для понимания места Н°°-теории в общей теории управления, а также для широкого внедрения ее методов в практику требуется решение ряда открытых проблем.

Целью работы является детальное рассмотрение различных аспектов проблемы //"-оптимизации, среди которых основными являются:

1. Методологические. В данном случае важно выяснить связь //"-теории управления с классическим частотным подходом и подходом пространства состояний, а также ее возможности с точки зрения решения общей проблемы робастного качества.

2. Математические. Здесь необходима разработка метатеории для Я°°-теории управления. Это важно, в свою очередь, для разработки унифицированного подхода к решению различного типа проблем Я°°-оптимизации, включая бесконечномерные, дискретные, нестационарные, а также для использования более общих и эффективных математических методов.

3. Теоретико-системные. Здесь подразумевается исследование возможности задания класса Я°°-регуляторов для данного класса объектов управления a priori, т.е. исследование возможности ответа на вопрос: можно ли, зная класс принадлежности объекта управления, заранее определить минимальный порядок, а также структуру Я^-регулятора? Необходимо кроме того выяснить, как соотносится проблема //"-оптимизации с принципом обратной связи, а также как влияет специфика этой проблемы на структуру закона обратной связи.

4. Алгоритмические. Для решения проблемы Я°°-оптимизации предложены достаточно эффективные процедуры (алгоритмы верхнего уровня). В то же время практически полностью отсутствуют современные разработки алгоритмов нижнего уров-

пя. Поэтому для получения высоконадежных и эффективных алгоритмов требуются дополнительные исследования.

5. Прикладные. С прикладной точки зрения важно на основе теоретических разработок получить качественный программный продукт, а также проверить его эс)>-фективность при решении конкретных задач конструирования систем управления.

Методы исследования

Методы исследования, использованные в диссертации, относятся к теории управления, теории пространств Харди, теории дилатадий, методам матричного анализа, численным методам линейной алгебры. Разработка процедур //""-оптимизации, их тестирование и численные эксперименты осуществлялись с использованием ЭВМ.

Основные научные положения

Основные научные положения, вытекающие из данной работы, состоят в следующем:

• в случае систем со скалярными входом и выходом (5/50-систем) и неопределенностей в виде немоделируемой динамики Я°°-норма как функционал качества позволяет решать как проблему робастной стабилизации, так и проблему робаст-ного качества, давая обоснование эмпирическим частотным методам классической теории управления;

• в случае систем с векторными входом и выходом, (М1МО-систем) процедура //""-оптимизации является одним из шагов процедуры /¿-синтеза; в совокупности с известными методами математического программирования эта процедура дает возможность решать проблемы робастной стабилизации и робастного качества]

• проблема ^-стабилизации может быть сведена к эквивалентной проблеме Н°°-оптиуизации, что позволяет вводить в рассмотрение неструктурированные и структурированные неопределенности;

• теорема С.-Надя-Фояша о существовании минимальной унитарной дилатации для данного оператора сжатия в гильбертовом пространстве позволяет дать унифицированный подход к решению различного рода проблем Я°°-оптимизации, включая бесконечномерные и нелинейные;

• основанные на теоретическом анализе процедуры синтеза //""-регуляторов позволяют получать регуляторы минимальной размерности с заранее известной структурой.

• при практической реализации процедур //""-оптимизации основополагающую

3

роль играет разработка высоконадежных методов решения алгебраических уравнений Риккати; использование модифицированного метода Шура обеспечивает получение надежных и эффективных численных реализаций;

• решение практических задач конструирования регуляторов подтверждает достаточную эффективность изложенных в диссертации методов //""-оптимизации в приложениях.

Обоснованность и достоверность

Обоснованность и достоверность теоретических положений, выводов и рекомендаций подтверждается:

; • использованием утверждений, строго доказанных математически;

• тестированием предложенных алгоритмов на ЭВМ;

• имитационным моделированием систем управления объектами различного типа с регуляторами, синтезированными методами, предложенными в данной диссертации.'

Научная новизна

Научная новизна результатов исследований, приведенных в диссертации, состоит в следующем:

1. Проведен анализ общей проблемы робастного управления при наличии неопределенностей различного типа.

2. Показаны возможности решения проблемы робастной стабилизации и робастного качества с использованием различных подходов, включая классический частотный, подход пространства состояний и некоторые современные подходы.

3. Проанализированы возможности использования //"-теории управления для решения проблем робастной стабилизации и робастного качества с неопределенностями различного типа.

4. Сформулирован принцип неопределенности в теории управления.

5. Показано, что на основе теории минимальных унитарных дилатаций удается получить унифицированный подход к решению различного рода проблем Я°°-оптимизации, включая бесконечномерный случай.

. 6. Показано, что класс, структура и минимальный порядок #°°-регулятора могут быть заданы до начала процедуры синтеза и определяются только классом, которому принадлежит объект управления, и его порядком.

7. С использованием методов матричного анализа проведено исследование общих свойств алгоритмов //""-оптимизации.

Таким образом, заложены основы построения концептуально целостного варианта Я"°-теории управления. В частности показано, каким образом модельная проблема Н°°-оптимизации может быть использована для практических целей конструирования робастных регуляторов.

Практическая ценность

Практическая ценность работы состоит в следующем: .!:' ;

• на ее основе удалось сделать более осознанным выбор Я°°-теории управления в качестве методологии для решения широкого класса практических задач конструирования робастных регуляторов;

• разработанный по результатам исследований программный продукт позволяет получить //"-оптимальные регуляторы с минимальными затратами машинного времени, давая возможность проектировщику сосредоточить основные усилия! на содержательной части конкретной проблемы конструирования системы управления;

• разработанный программный продукт может быть использован в качестве модуля для программной реализации процедур /¿-синтеза и ^-синтеза.

Реализация результатов работы

Реализация результатов работы была связана с

• синтезом закона управления поглощением углекислого газа в абсорбционной колонне (совместно с ИПУ РАН);

• разработкой алгоритмов управления и навигации средних и дальних магистраль-пых самолетов ТУ-204, ИЛ-96-300МК с использованием дифференциального режима спутниковых навигационных систем GPS и ГЛОНАСС (совместно с Лабораторией управления и навигации Механико-математического факультета МГУ в рамках программы Департамента авиационной промышленности "Важнейшие НИОКР 1993 -1995 гг."); :

• синтезом контура стабилизации беспилотного ЛА;

• синтезом контура стабилизации перспективного ЛА.

Апробация работы

5

Основные результаты диссертации представлялись и обсуждались на Общегородской семинаре по адаптивному управлению ИПУ РАН, III Всесоюзном совещании "Комплексирование бортовых систем и новые информационные технологии" (Ленинградский институт авиационного приборостроения, Ленинград-Кижи-Валаам, 24

- 27 апреля 1990 г.), семинаре "Математические методы адаптивного и робастного управления" (ЦПУ РАН), международном симпозиуме "Robust Control System Design Using': Я°° and Related Methods" (The University of Cambridge, UK, 21 - 24 March, 1991), международном симпозиуме "Second International Symposium on Implicit and Robust Systems - ISIRS 91" (Warsaw, Poland, 17 - 19 July, 1991), семинаре "Робаст-ные системы управления распределенными процессами технологической тсплофиУи-кй" ¡(Инженерная Академия России, Поволжское отделение, Самара), Всесоюзной школе ¡молодых ученых и специалистов "Проблемы управления - 91" (Алушта, 15

- 26 мая, 1991), международной конференции "Технологические средства создания систем управления" (Кяэрику, Эстония, 1-7 мая, 1992), семинаре "Управление в механических системах" (Механико-математический факультет МГУ), I Совещании "Новые направления в теории систем с обратной связью" (Уфимский государственный авиационно-технологический университет, Уфа, 30 мая - 2 июня, 1993), семинаре "Стохастическая Н°°-оптимизация и энтропийные задачи в теории управления" (ИПУРАН).

Публикации

Основные результаты представлены в 31 опубликованной работе. Среди них: 1 книга, 2 обзора, 5 отчетов и 23 статьи в периодических изданиях и трудах симпозиумов, конференций, совещаний.

11 Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 7 глав основного текста, общих выводов по диссертации, списка цитируемой литературы, приложений, копий материалов о внедрении и содержит 243 страниц основного текста, 48 рисунков, 1 таблицу, список цитируемой литературы из 211 наименований и 4 страниц приложений.

6

2 Содержание работы

Во введении раскрывается актуальность работы и ее цель, характеризуется научная новизна и практическая значимость, обосновывается структура работы.

В главе 1 рассматриваются различные аспекты проблемы конструирования регулятора в условиях непределенности. Показано, что типичной является ситуация, когда в модели объекта управления присутствует неопределенность. При этом неопределенность возникает в результате: 1) применения процедуры упрощения модели (с целью эффективного решения проблем анализа и синтеза); 2) использования неточных данных, по которым строится модель. Формулируется принцип неопределенности в теории управления:

неполная модель, неточные данные -неединственный обвект управления.

Указано на фундаментальное отличие постановки проблемы робастного управления от принятой в современной теории управления: регулятор в виде обратной связи должен обеспечивать выполнение требований к замкнутой системе для множества объектов G (модельного множества), включающего номинальный объект Go, а не только, для одного объекта.

Приводится полная классификация неопределенностей включая неструктурированный случай (случай немоделируемой динамики) и структурированный случай (параметрические и смешанные неопределенности). Унификация описания неопределенностей достигается с использованием дробно-линейных преобразований '(Linear Fractional Transform - LFT) Редхеффера.

Пусть М(з) - передаточная матрица, разделенная на блоки следующим образом:

(s) € (;вч+и)х(»1+л)

i" 1 ■

и передаточная.матрица Д(з) g C,,Ypi, тогда верхнее дробно-линейное преобразование

Р„(М,Д) : Д >-> С"*" ,

задается выражением:

FU(M,A) = Mii 4- М2!Д (/ - МцД)-1 M\i ■ (1)

Выражению (1) соответствует диаграмма

M(s) =

Мц Мп Мм Мп

1

где г = Д)ш. При этом в неструктурированном случае матрица Д состоит

из одного блока, а в структурированном является блочно-диагональной.

Формулируются три канонические проблемы: проблема номинального качества, проблема робастной стабилизации и проблема робастного качества. Пусть задана замкнутая система, изображенная на Рис. 1,

е к и в

+

-О*

Рис. 1: Замкнутая система

гд^г!- командный сигнал, е - управляемый выход (ошибка слежения), К - регулятор, и- управление, б 6 б - объект управления, <1 - возмущение, п - шум измерений, у - наблюдаемый выход. Одна из альтернативных форм представления объекта С, используемых в диссертации, дается выражением & = (1 + Д)(?о, гДе Со - номинальный объект, Д 6 ВЯН°° (префиксы В, Я соответствуют единичному шару и множеству вещественно рациональных функций в пространстве Харди Я00), т.е. ЦДЦоо < 1, где

II ДЦоо =е88 8ира(Д0'ш)) ,

£?(•) - максимальное сингулярное значение.

Если временно положить Д = 0, </=0, п = 0и обозначить Ь = ОС, то передаточная функция от г к е (функция чувствительности) определяется выражением

1

1 + £

Проблема номинального качества формулируется следующим образом: задай объект G и множество командных сигналов R, таких что ||r||2 < 1. Требуется выбрать регулятор К такой, чтобы энергия ошибки слежения, была ограничена некоторой величиной. Обозначим ui = г, z = е, тогда ограниченность ошибки выражается неравенством

sup ||z||, < 1 . (2)

В силу свойств Я°°-нормы условие (2) эквивалентно условию

ll^,siu< 1,

где W\ - некоторая весовая функция.

Пусть вновь G ё G. Проблема робастной стабилизации состоит в выборе К такого, что замкнутая система на Рис. 1 устойчива V A G BRH°°. Передаточная функция от !• к у определяется выражением

Т = = 1-5 1 +L

и называется сопряженной функцией чувствительности. Установлено, что возмущенная система устойчива, если выполняется неравенство

ЦИ^ГНе. < 1 ,

где Wi - некоторая весовая функция.

Проблема робастного качества рассматривается как комбинация проблем номинального качества и робастной стабилизации. Приведено следующее условие робастного качества: система на Рис. 1 обладает робастным качеством, если

\\W2T\\co < 1 и H^SaIU < 1 ,

где 5д = \+aw,T" Показано, что последнее выражение эквивалентно, неравенству

|||WIS| + |War|||ee< 1 .

Установлено, что в общем случае проблема робастного качества эквивалентна структурированной проблеме робастной стабилизации, т.е. эквивалентны две диаграммы,

где Ар 6 BRH°° - фиктивный блок,

М = F,(G, К) = Gn + Gl2K (I ~ GnK)'1 C21

- нижнее LFT. Из данного результата непосредственно следует, что случай SISO-систем и неструктурированных неопределенностей является простейшим случаем,

9

w

Рис. 2: Система 1

Рис. 3: Система 2

когда //"-теория в совокупности с теоремой о малом коэффициенте дает необходимые и достаточные условия робастного качества. Показано, что в МIМО-случае это положение справедливо лишь для неструктурированных неопределенностей и "пространственно сферических" систем с k(T) = а(Т)/а{Т) = 1, что обосновывает необходимость структурных теорий.

Анализируются возможности использования различных тополого-алгебраиче-ских структур для описания мер робастной устойчивости и качества. Необходимые и достаточные условия робастной устойчивости в случае М1МО-систем общего типа и структурированных пепределенностей могут быть сформулированы в терминах 1°°-индуцированной нормы (¿'-теория), SSV (Structurcd Singular Value) (^i-теория) или в рамках Q-теории. Отмечается вместе с тем, что ни одна из указанных теорий не охватывает общий случай проблемы робастного управления, и в то же время Н°°-теория управления является существенной составной частью по крайней мере двух из них: /i-теории и (^-теории.

Анализируются также возможности классической частотной теории и методов пространства состояний в рамках LQG (Я2) - теории управления. Указывается, что ни одна из этих методологий не является в полной мере адекватной проблеме робастного управления.

В заключение главы обращается внимание на тот важный факт, что Я°°-теория управления, несмотря на имеющиеся ограничения, является существенной частью

современной теории робастного управления. Для широкого внедрения ее методов в практику требуется решение ряда открытых проблем, которым посвящены остальные главы диссертации.

В главе 2 с использованием элементов теории пространств Харди даются альтернативные постановки проблемы //"-оптимизации. Стандартная проблема или проблема Я°°-опртимизации формулируется следующим образом: Пусть задан объект (7 с реализацией

' А Вг Вг

ОД = С, £>п />12

С, Ал £>22

требуется найти допустимый (внутренне стабилизирующий ) регулятор К такой, что Н°°-норма передаточной функции замкнутой системы Л")||минималь-

на. Нижнему /,/Т соответствует диаграмма

где и) - внешнее возмущение, г - управляемый выход, у - наблюдаемый выход, и -управление. Размерности сигналов ю, г, у, и соответствуют размерностям блоков Gij, 1,] = 1,2, на которые разбивается передаточная матрица б. Условие внутренней устойчивости, которому должна удовлетворять замкнутая система /^((3, К), в работе формулируется в терминах теории факторизации Видьясагара следующим образом.

Пусть пара (/V, м), N, М € ЯЯ°° составляет левую взаимно простую факторизацию матрицы (?22, а пара (V, V), 11, V £ ЯН°° составляют правую взаимно простую факторизацию матрицы К, т.е. (722 = М-1//, К = ¿/У-1, пара (А, В2) стабилизируема, пара (Сг,А) детектируема. В этом случае существует регулятор К, стабилизирующий (?22 и в соответствии с теоремой Френсиса, стабилизирующий

ОД =

Си С?12

11

Даются необходимые и достаточные условия внутренней устойчивости ¿/"Г ['){(>-, К)'. для того чтобы /■/((?, К) было устойчиво, необходимо и достаточно чтобы матрица (/ — О^К) была обратима в НН°°, что эквивалентно принадлежности матрицы (МУ - Nи) группе единиц в ЯЯТС.

При постановке проблемы Я°°-оптимизации предполагается, что внешний вход ии принадлежит классу сигналов с ограниченной ¿^-нормой ||ш||2. Показано, что н этом случае Я°°-норма замкнутой системы, являясь ¿^-индуцированной нормой, соответствует коэффициенту усиления замкнутой системы по энергии. Таким образом, проблема Я^-оптимизации сводится к нахождению допустимого регулятора обеспечивающего минимум энергии управляемого выхода 2.

Даны простые примеры проблем конструирования регуляторов, сводящиеся к проблеме Я°°-оптимизации: проблема слежения и проблема смешанной чувствительности.

Пусть <?22 = NМ~х = Л/-1 N, пара М) - правая взаимно простая факторизация матрицы С22, пары (£/, V) и (О, У) соответствуют решению обобщенного уравнения Диофанта

(4)

и все матрицы в левой части (4) принадлежат ПН°°. С использованием результатов теории факторизации Ларина-Юлы показано, что множество всех допустимых регуляторов может быть параметризовано в виде

К = (0 + МО) (й - №Э)-1 = [У - ры)-1 (и + <эм) ,

где аеЬ (К - Д^С?) / 0 , с1е1 (У - <3^) ^ 0, <? <Е ЯЯ°° -свободный параметр, или в виде следующего ЬРТ:

ЛГ = Р,(ЛГо,0) ,

где

У и ' ' м -О 10'

м N У 0 /

ед =

К и К Кц К22

(-) =

У~Ю V-1 V-1

' А + 1Сг 1 в2'

Г 0 /

С, / 0

- матрица генератора. По допущению система в21 стабилизируема и детектируема, следовательно, существуют такие матрицы Р и что матрицы А + А + 1С7 устойчивы. Матрицы F и Ь могут быть получены из выражений

F = - (С, + В\Х) , I = - (Я, + УС2Т) ,

12

где X, Y - стабилизирующие решения пары алгеблраических уравнений Риккати X (А - В2С,) + (А - B2Ct)T X - XB2BjX = О ,

У (А - В,С,)Т + (А - В,С7) У - YCjCiY = О .

С использованием перемасштабирования Si — D^ , = C2 := S-¡Ci, B2 := BiSi, Ой := DiiSi, D21 := S2D21 и предположения £>22 = 0 (остальные матрицы реализации (3) не изменяются) показано, что нелинейная проблема //""-оптимизации

inf ||fi(G,ft-)|U

может быть сведена к эквивалентной проблеме согласования с моделью (Model Matching Problem - ММР)

inf ||7п + TuQTuWoo , .

цени

где Tu, Т12, Тц - передаточные матрицы, вычисляемые через матрицы реализации (3).

В случае специального выбора матриц Тц, Тц (предполагается, что эти матрицы квадратные) показано, что с использованием свойства унитарной инвариантности //""-нормы, ММР может быть сведена к следующей известной проблеме Нехари

gisU II*+ = 70,

где Я := Т'^ТцТ^ - антиустойчивая функция. Известно, что искомое решениё проблемы Нехари может быть получено из выражения

qM,- llfi + C3IU = ll^||W=7o, (5)

где || • И// - ганкелева норма (наибольшее ганкелево сингулярное значение). Для SISO - случая дается следующее явное решение проблемы Нехари. П^сть минимальная реализация R имеет вид

Я(') =

¿с ¿o _ решения пары уравнений Ляпунова

ALC + LCAT - ВВТ — 0 , ATL0 + LoA - СТС = 0 ,

' А В '

С 0

13

с, = 70 - наибольшее сингулярное значение матрицы ЬСЬ0, ги собственный вектор. Тогда <3 имеет вид

Я = К — <Т|/Т/9 ,

соответствующий ему

где

/(*) =

=

' А w

С 0

-АТ V

В' 0

6 RH2

£ Л//'2

и = с, 1 LaW .

В случае, когда передаточные матрицы Т12, 7'л - неквадратные, дается процедура приведения ММР к обобщенной проблеме расстояния (General Distance Problem

GDP)

ЙЦ R-12

R.21 R77 + Q

inf QeRH'

(6)

Показано, что с использованием процедуры ганкелизации GDP, в свою очередь, сводится к проблеме Нехари. Дается решение GDP.

В главе 3 анализируются два важных с теоретической и практической точек зрения вопроса: 1) можно ли получить "лучшее" решение, если расширить класс допустимых регуляторов ? 2) какова минимальная сложность (в смысле степени Макмиллана) //""-оптимального решения ?

Для ответа на первый вопрос существенным образом используется теоретико-операторный подход. В частности, приведен следующий результат:

inf IMG,*)««, =

К — нелинейный нестационарный допустимый регулятор

inf ||F,(G,tf)||.

К — линейный стационарный допустимый регулятор

Для доказательства этого результата используется обобщение известных фактов из теории пространств Харди на нестационарный случай, а также общая теория факторизации в банаховых пространствах (в частности, теорема Арвесона), элементы теории взаимно простой факторизации операторов Фейнтуша, и Сайекса, теорема Перо-Девиса-Кохана-Уайнбергера, теорема о параметризации множества нелинейных регуляторов Анантхарамы и Дезоера. Таким образом,

расширение класса допустимых регуляторов до множества

14

нелинейных нестационарных допустимых регуляторов не уменьшает //""-норму замкнутой системы

Рассматривается классификация проблем //""-оптимизации путем их сведения к GDP. Так, в случае проблемы первого типа или 1 х 1-блочном случае, проблема Я°°-оптимизации сводится к проблеме Нехари

igf ЦЯ + QIU.

В случае проблем второго (третьего) типа или в случае 2 х 1, 1 х 2 (2 X 2) -блочных проблем получаем GDP, определяемые выражениями

inf Q

R.

Ri + Q ¡Qf 1 ñ2 + '

или (для 2 x 2-блочного случая) - выражением (6). Показано, что 2 х 1-блочная или 2 х 2-блочная проблема может быть сведена к проблеме Нехари с произвольной точностью на основе квадратично сходящейся процедуры 7-итераций.

Пусть deg(G) = п - степень Мак-миллана системы G, которая равна размерности пространства состояний, соответствующего минимальной реализации G, deg(TZVJ) = г, с - число внутренних сокращений нулей и полюсов, которые имеют место при замыкании объекта G регулятором К в соответствии с выражением

r«(i)= Ft(G,K)(s) .

Ясно, что г = п + deg(Á') — с, откуда deg(A') = г + с — п.

В работе приводится верхняя граница для deg(A"), которая находится с использованием результатов теории интерполяции Неванлинны-Пика-Шура и ее обобщения на М/МО-случай, полученного Федчиной. Указанная граница получается в два шага: 1) находится верхняя граница п. Для deg(Tr„) = г; 2) находится верхняя граница сь■ Если верхние границы rj, а найдены, то

degf/f) < П + сь - п .

Пусть z¡2 - число пулей матрицы G¡2 в С+, z21 - число нулей матрицы G21 в С+

и

Z = Z12 + ZJI .

Показано, что как в SISO-, так и в М1 МО-случае гь = z — 1, q, = 2n — z, откуда

deg(/0<n-l (7)

15

в оптимальном случае и

ае6(Л') < п (8)

в субоптимальном случае, и для больших п субоптимальный регулятор в смысле величины степени Макмиллана не хуже оптимального. На основе следующих свойств степеней Макмиллана

Ае-%[АВ) < с^(/4) + <1е^(В) ,

ае6(Л-') = аеё(Л) , ^

проводится анализ процедур, реализованных в рамках подхода "1984". Поскольку в общем случае регулятор К описывается следующим ¿/^Т

где 1/ 6 ВЯЯ", матрицы Ко и // описываются в терминах реализации С, то с использованием (9) получено, что

¿ее(К) = 6её(Ъ(К0,Р1(Н,и)))<

< Ае&{К0) + Ащ(Н) + с!е6((/) < Зп + аег((/) .

На самом деле, указанные процедуры дают регуляторы с большими степенями. Так, показано, что в результате использования процедуры Френсиса получаются //°°-регулято с

¿е%{К) = Юп ,

а в результате использования процедуры Гловера - со степенью

аее(/С) = 6п - 2

(6п - для больших п).

При этом очевидно, что в практических задачах даже относительно небольшой размерности на основе подхода " 1984" получаются Н°°-регуляторы недопустимо высокого порядка. В связи с этим актуальной является задача поиска более эффективных процедур конструирования Я°°-регуляторов, реализующих оценки (7), (8) и задача разработки методов понижения порядка (редукции модели) некоторой системы б.

Показано, что одним из наиболее простых и эффективных методов редукции модели является метод, использующий сбалансированные реализации. Реализация передаточной матрицы С? называется сбалансированной, если граммианы управляемости Р и наблюдаемости <3 удовлетворяют соотношению

Р = С? = £ := aiag(crI, сч,..., <г„) ,

16

где <т; - t-e гапкелево сингулярное значение G. ВТА-метод (Balanced Truncated Approximation) дает простую и эффективную процедуру аппроксимации как для устойчивой, так и для неустойчивой G. В последнем случае используется взаимно простая факторизация G вида

G = M'lÑ ,

где N и М - устойчивые системы.

Даются оценки погрешности аппроксимации как в частотной, так и во временной области, которые могут быть вычислены a priori.

В главе 4 различные аспекты проблемы Н°°-оптимизации рассматриваются с использованием методов теории дилатаций. Понятие дилатации, предложенное С.-Надем, позволяет изучать классы произвольных ограниченных операторов. Нетрудно видеть, что в терминах теории дилатаций решение проблемы //"-оптимизации состоит в нахождении допустимого регулятора К такого, что замкнутая система является устойчивым сжатием (предполагается выполненным масштабирование), т.е.

||F,(G,/OIU < 1 •

В соответствии с теоремой С.-Надя всякое сжатие Т в гильбертовом пространстве Н обладает унитарной дилатацией U в пространстве К Э Я и притом минимальной в том смысле, что

оо

к = V ипн

—оо

(через М\ V Mi обозначается наименьшее подпространство данного гильбертова пространства, содержащее М\ (J M-¡). Фундаментальным является не только факт существования такой унитарной дилатации, но и возможность ее явного построения (теорема Перо-Дэвиса-Кохана-Уайнбергера).

В Я°°-теории особенно важное значение имеет следующее расширение теоремы С.-Надя, принадлежащее С.-Надю и Фояшу. Пусть Т и Т' - сжатия в гильбертовых пространствах Я и Я', соответственно, W и W - их минимальные изометрические дилатации в простраствах К[ С К, К'2 С К, К[ = \J™UnH С К, W = U |А-;, К'2 — Vo° U"H' С К, W = U \к'2, Рн - ортопроектор из К[ на Я. Тогда для каждого ограниченного оператора X из Я в Я', такого что

ТХ = XT' ,

существует ограниченный оператор из К'2 в К[, такой что

WY = YW' , X = P„Y\W,

17

< 1

11*11 = 1М1 •

Этот результат используется в диссертации для: 1) доказательства теоремы существования //""-регулятора; 2) доказательства неуменьшения //"-нормы замкнутой системы за счет включения в класс допустимых регуляторов всех нестационарных и нелинейных регуляторов; 3) решения гибридной проблемы //""-оптимизации. Кроме того, указанный результат позволяет дать содержательное толкование важным для Я°°-теории теоретико-операторным конструкциям: операторам Гаиксля Но и Теплица Та, индуцированным системой С. Операторы Ганкеля и Теплица используются во многих разделах Я°°-теории. В диссертации, в частности, на основе свойств указанных операторов исследуется вопрос о скорости сходимости процедуры 7-итераций, а также выводится одно из условий существования //"-регулятора в процедуре Гловера-Дойла.

С использованием методов теории дилатаций дается простое доказательство существования Я°°-регулятора.

Показано, что 2 х 2-блочная проблема Я°°-оптимизации или следующая обобщенная проблема расстояния

Ли Я12 /?21 /?22 + <3

сводится к случаю оптимизации по Перо (предполагается строгое неравенство в вышеприведенном выражении) или к случаю оптимизации по Ганкелю (допускается также равенство). Для случая оптимизации по Перо с использованием методов теории дилатаций даются необходимые и достаточные условия существования Я°°-регулятора. Поскольку указанные условия носят конструктивный характер, то приводится параметризация множества всех Я°°-субоптимальных регуляторов в виде следующего £/-Т

; /г = ад, яде, Ф)),

где передаточные матрицы Ко и ф выражаются в терминах реализации О и связанных с ней решений пары уравнений Риккати, Ф в ЯЯ°° - свободный параметр с ЦФЦоо < 7-Для случая оптимизации по Ганкелю показано, что несмотря на сингулярность проблемы Я°°-оптимизации удается получить решения, аналогичные субоптимальному случаю.

Дается также решение проблемы Я°°-оптимизации, в которой помимо выполнения требования А')||то < 7 должен минимизироваться функционал

2 2 У(Я;7;бо) := [ 1п<1е1(/-7-2 /?((?, К)Р,(0, К)) , 5„ € (0;+оо) ,

¿■к ] ^п + и'

—оо *

предложенный Пинскером и использованный Аровым и Крейном при изучении неопределенных проблем продолжения. Получаемому единственному решению проблемы условной Я°°-оптимизации соответствует центральный регулятор (в выражении

18

К = Fi(Ko, Fi(Q, Ф)), Ф = О). Покачано, что наиболее компактный вывод выражении для центрального регулятора

A'oW

À B>D]\ + Y^Cj '

-(Of7r, + B'ÏX^Z«, 0

- C?C2) + B2C1

¡h = в2 + 7~2 KcC ' Du ,

Д» := (/ - 7~2V00A'KJ)"1 ,

Л'оо, Уоо - решение пары уравнений Риккати, связанных с реализацией (3) стандартного объекта, может быть получен с использованием методов теории дилатаций.

В главе 5 проблема //"-оптимизации рассматривается с использованием комбинации методов теории дилатаций и современных методов пространства состояний, что позволяет выявить ее важные феноменологические особенности. В частности, определить связи //^-теории управления с //""-теорией управления, выяснить возможность расширения методов //'"-оптимизации на классы нестационарных, нелинейных и гибридных (стационарный объект, цифровой регулятор) систем.

В гл. 4 центральные результаты были получены с использованием фундаментальных связей сжатий и отвечающих им унитарных дилатаций. В данной главе дополнительно используются снячи сжатий и операторов Риккати, а также структурные свойства линейных систем.

Оператор Риккати определяется в работе следующим образом. Пусть

GM =

' A В '

С D

(10)

реализация системы G. Определим гамилътонову матрицу

А+ В И~1DT С -СТ(1 - DDT)~1C

BR~l Вт -(А+ BR-lDTC)T

где R := I — DTD и <?(£>) < 1. Пусть X = Хт - единственное положительно полуопределенное решение уравнения Риккати В этом случае матрица X единственным образом определяется матрицей //, т.е. определен оператор Риккати Rie : H >-» X. Область определения оператора Rie обозначается далее через dom(fitc) и состоит из всех гамильтоновых матриц //, не имеющих собственных значений на мнимой оси,

таких, что два подпространства \'_(Я), 1ш

где х-(II) ~ устойчивое инвари-

антное подпространство матрицы Я, являются взаимно дополняющими.

Фундаментальная связь операторов сжатия и Риккнги состоит в эквивалентности следующих условий:

a)'||С||оо < 1;

b) Я 6 аот(Лг'с) и Шс(11) > 0 .

В диссертации укапанная связь используется дли доказательства теоремы существования Я°°-регулятора, а также для построения эффективных численных процедур в гл. 6.

Существенно упрощает получение основных результатов принцип алгебраической дуальности Фельдбаума, который в диссертации распространяется на ЬРТ-структуры. Если заданы две диаграммы

2 и)

в

У

К

гт Т V)1

а'

т У

кт

то показано, что из свойств ЪРТ непосредственно следуют равенства

Т1 = К)? = Кг) = Т,тют,

т.е. алгебраическая дуальность двух заданных Ы?Т-структур. Пусть для следующей диаграммы

(7

У

К

(П)

20

стандартный объект имеет реализации вида

с;ы*) =

А в 1 В-г

С, /л, 0У2

/ 0 0

0 / о-

' А 0, 0-2

ОогП = с1 Он 0,2

Сг / 0

' л II, [/0] А В, 02 '

ТТ "/Л, (0 /1 с, /Л, /

с. (0 0) <"■2 /Л. 0

В работе иика<ано, чт /•'/ и /■'С.'-с |руктуры (С/ имеет реализации (7/.7 и (¡'¡ч; <'.оо| нетственно) алгебраически дуальны. Кроме того, показано, что справедливо утверждение: если матрица А — И\(\ устойчива и Кр1 - стабилизирующий регулятор дли /-структуры, то стабили шрумщий регулятор для /-^-структуры есть Л'/.-/),

где

" л - В1С2 0> Й2 1

0 0 /

/ 0 0

С-2 / 0

Установлено, что аналогичные утверждения справедливы для /'С- и ОЕ-структур.

В работе рассматривается общая проблема обратной связи по выходу (ОК-проблем для Н2-случая. В этом случае диаграмма (II) может быть представлена в виде

■ч

путем следующей замены переменных

V — и — Рх ,

где

Л + 02 ^ В, 02

С, + ОпР [^7, А г

21

устойчивая матрица (пара (А, Н2 стабилизируема' и

' А - В,С2 Вх В21

Glmp(s) = -F 0 /

С-2 0

Приводится теорема о том, что К стабилизирует (7 тогда и только тогда, когда он стабилизирует 01тр. Дается решение ОР-проблемы в Я2-случае в виде следующего регулятора (пара (С2, А) детектируема)

К,{3) :

' А + B2F2 + L2C2

f2 0

где

/*2 = — В2 X2 , ¿2 = —У2С2 , а Хг, У2 - стабилизирующие решения пары уравнений Риккати.

Показано, что в точности те же рассуждения могут быть использованы для Н" случая. При этом реализация центрального регулятора будет иметь вид

A'oo(s) =

А + i^B.BjX^ + B2F00 + Zoo ¿o» С 2

о

/^ю = —В^Хоэ , Í-OO — ~КюС^ , — — 7 2V'ooA'00j ,

а Л'оо, У„ - стабилизирующие решения пары уравнений Риккати. При 7 —» оо (неопределенность стремится к нулю) показано, что //""-регулятор стремится к Я2-регулятору. Приводится компактное доказательство теоремы существования Я°°-оптимального регулятора с использованием структурных свойств систем, приведенных выше.

Для решения дискретной и нестационарной проблем Я°°-оптимизации в диссертации используются те же принципы, что и для непрерывного стационарного случая. Показано, что структура Я°°-оптимального регулятора при этом не меняется. Установлено, что применение теоремы о лифтинге коммутанта позволяет распространить указанные принципы на случай гибридной (непрерывный объект и цифровой регулятор) системы.

В заключении гл. 5 рассматривается нормализованная проблема робастной стабилизации. В этом случае для объекта G имеет место факторизация вида

G = M'lÑ , Ñ,M е ЙЯ°° и ÑÑ' + ММ' = I на мнимой оси .

Показано, что структура робастного регулятора соответствует обратной связи по оценке состояния, т.е.

KN(s)

' А+ BF + LC -L '

F 0

22

F = 4t' \ (¡ t (V'.V - -Г"'/)) . L - YCT ,

.V, Y - стабилизирующие решения пары уравнений l'iiKK.tiii. сия ¡aum.ix i реали ia Цией (7. Таким ofjpatoM. < :pvk]\pa pof>at inoro регул я l opa п [очпоети (.00 1 BeИ гм\< ■ i структуре обратной спя ш но !к'ллману, г.с.

11 ¡I U И Ц U ! < I М» 11<!гпи>иСПЯ Л( Ш> l'nuh tKÍÍUIUlAt НИН и Н/ШЧ !( i/í¡])(imttt)Ü СЬЛ !'/ na [u'AAMÍlHlj.

Глапа 6 посвящена численным методам II "J-on гимн 1ации. Предвари 1елыю про водится алгоритмический а на ли ( двух основных процедур //'"-оптимизации, рассмотренных в диссертации: прищдуры Гловсра-Дойла и ее бештерационпого варианта - процедуры А1акфарлап>и1-Г.ювсра, используемой для решения иормали.л?вппной проблемы робастной стабили тцьи в случае неструктурированных неопределенностей. Показано, что обе процедуры могут быть представлены в виде двух-уровненой численной процедуры. На первом уровне указанной процедуры реализуется алгоритм 7-итераций. С использованием некоторых фундаментальных результатов теории операторов, в частности с использованием свойств операторов Ганкеля и Теплица, символом которых является заданная система G', показано, что существует квадратично сходящийся вариант алгоритма 7-итераций. Такой вариант алгоритма реализован в пакете //""-ПРОЕКТ, разработанном автором совместно с сотрудниками ГОС НИИ Авиационных Систем О.Г. Мещеряковым и М.Ю. Фурлетовым.

Показано, что формальное; применение процедуры Гловера-Дойла к нормализованной проблеме робастной стабилизации, приводит в точности к тем же результатам, что и безытерационная процедура Макфарлайна-Гловера. При этом исходная нормализованная проблема робастной стабилизации сводится к эквивалентной проблеме Нехари. Последняя имеет точное (безытерационное) решение, по структуре в точности совпадающее с центральным //"-регулятором Таким образом, в случае процедуры Макфарлайна-Гловера алгоритм 7-итераций состоит из одного шага и минимальное значение для уровня толерантности 7 определяется выражением

-;,„!„ = (1 +An,ax(.VV))'/2 ■

Из проведенного в диссертации теоретического анализа следует, что на каждом шаге алгоритма 7-итерацин необходимо решать пару алгебраических уравнений Рик-кати и алгебраическую проблему собственных значений

Приводится детальный анализ численных свойств одного из наиболее чффектив-НЬ(Х на сегодняшний день методов решения алгебраического уравнения Риккаги метода Шура.

Рассматривается следующее алгебраическое уравнение Риккати

Л ' А' + Л'Л + XRX - Q = 0 , (12)

2.3

где А 6 M„(1R) (M„{IIi) - множество квадратных (л х п)-матриц с элементами из Iii), R, Q е М„(И1) - симметрические неотрицательно определенные матрицы. Суть используемого в диссертации метода Шура состоит в нахождении ортогональной матрицы U такой, что выполнено равенство

UTHU=Т,

гамильтонова матрица,

И =

Т =

А

Q

Тп О

R -Ат

Tu ' Т22

(13)

- верхняя блочно-треугольная матрица и блок Гц соответствует устойчивым собственным значениям И (такая матрица II существует й силу теоремы Шура об унитарной триангуляризации). Если матрицу II разделить на блоки в соответствии с структурой матрицы Т, то п векторов Шура

' ии ' ип

образуют устойчивое инвариантное подпространство матрицы Н, а решение уравнения (12) дается выражением

X = £/„{/,-,' ■

Метод Шура применялся в большом числе программных продуктов, составляя основу современных технологических средств конструирования систем управления.

С использованием недавних результатов исследований в области численных методов матричного анализа показано, что стандартный метод Шура потенциально численно неустойчив. При этом двумя основными источниками численной неустойчивости стандартного метода Шура являются: плохая обусловленность матрицы £/ц и погрешность данных, описываемая в виде возмущений ДЛ, ДЯ, Д<3 матриц А, Я,

В работе рассмотрен численно устойчивый вариант метода Шура, полученный путем следующего перемасштабирования

А-.= рА , Я:=р2Я, <?:=(?, X := Х/р ,

где р - скалярный множитель, метода Шура.

Дается теоретический анализ модифицированного

24

Для получения оптимальной оценки р в диссертации используется норма производной Гато нелинейного оператора N : Z X в точке Z, где Z ~ (A, R,Q), а .V решение уравнения (12) Прои шодная Гато определяется выражением

IAW/Z) = lim , Л

где W = (ДЛ,ДДА' --- S(Z + <51V) - N(Z) возмущение решения уравп'-ния (12). При этом оператор l.{\V,Z) линеен по И7.

Норма производной Гато пелачейного оператора н гною очередь, определи

ется выражением

7VI \WV,Z)\\

В качестве норм в правой чапи выражения (I1!) можно использовать снектраль-ную норму или норму Фробениуса (в левой части (М) слоит соответствующая индуцированная норма линейного оператора L(-, Z)). В диссертации в качестве норм в правой части (14) используется норма Фробениуса, при этом норма \\L(-, Z)\\ мож/ч быть вычислена стандартными методами линейной алгебры.

Используя норму производной Гато оператора N(Z), можно определить чувствительность оператора Риккати но отношению к возмущению IV. Чувствительно! ri. определяется выражением

1 \\L[W,Z)\\F

'•- — max— —

||Л1г ЦЖНр

где || • - норма Фробениуса, а X - решение (12).

Показано, что: 1) перемасштабирование (12) с использованием коэффициента р не изменяет числа кп и 2) р = ||;"/(2)||р является оценкой /5, близкой к оптимальной. Введение перемасштабирования позволяет повысить точность решения уравнения (12) на порядки. Дается явное выражение для относительной погрешности решепия уравнения (12), полученного с помощью модифицированного метода Щура. Такий образом, возможность вычисления кц и относительной погрешности решения уравнения Риккати позволяет явно оценить качество указанного решения.

Для случае, когда точность решения уравнения Риккати всеже недостаточна, в работе используется метод итерации Ньютона. В качестве нулевого приближения может быть взято решение (12). полученное с помощью модифицированного метода Шура.

В качестве альтернативного метода решения уравнения Риккати в работе рассмотрен метод ¿¡дп-функции, который особенно эффективен при большой размерности задачи.

25

Метод Шура предполагает триангуляризацию гамильтоновой матрицы (13). Наиболее эффективная численная процедура триангуляризации Шура получается на основе метода <2Я-факторизации. В работе предложена быстрая процедура реализации фЯ-метода с. использованием формы Хессенберга.

В диссертации также рассматривается ряд вспомогательных алгоритмов нижнего уровня, таких как алгоритм решения уравнения Ляпунова, алгоритмы Хаусхолдера и Гивенса, и т.д. Во всех случаях приводятся эффективные численные реализации указанных алгоритмов, используемые в пакете #°°-ПРОЕКТ.

В заключение приводится анализ архитектуры и структуры пакета //"-ПРОЕКТ. Показано, что для широкого внедрения методов //""-оптимизации в практику пакет должен реализовывать функции автоматизированного обучения. Эти функции реа-личованы в пакете //""-ПРОЕКТ с помощью специальных системных средств.

В главе 7 рассмотрены практические аспекты проблемы //"-оптимизации. Установлено, что в МIМО-случае использование техники сингулярных значений позволяет простым и наглядным способом формулировать требования к конструируемой системе управления. Показано, что в этом случае, также как и в .9/50-случае, требования качества и робастной устойчивости могут быть выражены в виде ограничений на функции чувствительности

5 = (/ + СЛ')"'

и сопряженной чувствительности Т = I - 5 = СК(1 + ОК)'1.

Приводятся теоремы робастной устойчивости для случая аддитивных и мультипликативных неопределенностей, доказательства которых являются следствиями критерия робастной устойчивости из гл. 1 диссертации.

Показано, что требования робастной устойчивости для случая аддитивной неопределенности может быть сведено к эквивалентному требованию для мультипликативной неопределенности. На основе этого результата требование робастного качества формулируется в виде выполнения следующих неравенств

ЦТ)<\\¥ГЧ. (15)

Установлено, что требования (15) могут быть переписаны в виде

£(Ь)>|^ГЧ при<т(/,)»1,

< ^з"'! при « 1 , , (16)

где Ь = СК, что в свою очередь позволяет эффективно использовать технику ЛАХ сингулярных значений.

26

(■ 11омо!цы<) следующего (нойггна сингулярных $начений

Н

пых {о(Л),о{11)} < а

[юкл(апо, что с погреппнк п.м», иг превышающей М дН, требовании (16} могу! Ы переформулированы й виде следующей проблемы //""-оптимизации

< 1

В общем случае //'"-теория не: позволяет решать проблемы робастного управлении с структурированными неопределенностями. Используемый в диссертации метод "выравнивания" позволяет обойти это ограничение.

Пусть б'о ^ номинальная система, а С - некоторая возмущенная система (возмущение обусловлено параметрическими неопределенностями). Показано, что если мала величина

р( ДО'")) (17)

где р(-) - спектральный радиус матрицы, Д = (С — Со) б'о , то "расстояние" между системами С и (!о также мало. Установлено, что использование стандартного //2-регулятора дает возможность уменьшить (17), позволяя во многих случаях свести фактически многомодельные задачи конструирования регуляторов (каждая возмущенная модель отвечает некоторому значению вектора параметров) к одномодель ным.

Эффективность методов, предложенных в диссертации была проверена при решении ряда практических «дач.

Управление поглощением ('О; « абсорбционной колонне Процесс управления поглощением 6ТЛ описывается моделью вида

Д, (,"') = В (,-) .

Предполагается, что в модели присутствуют параметрические и непараметрические неопределенности. Параметрические неопределенности описываются выражениями вида

|Д..| < ДГ , Д= а;-а°,

|Дб, | < Д? , Ль, = Ь, - Ь° ,

где а° соответствует номинальному значению параметра а,. Предполагалось, что внешний вход и> и вход эталонной модели г удовлетворяют ограничениям вида

У] Ш2(/с) < Си < оо , к—О оо

^г2(к) <С, <00 , 1=0

Исходная проблема конструирования регулятора сводилась к нахождению допустимого регулятора К' такого, что

J(i<^,cч,,cr) = шГ J(K,cu,lc,) , (18)

где

З^^Си^^^^ + Сг) 51ф ||С(Л\Л)|£,. Д: = д

Проблема (18) решалась в два шага: 1) находился регулятор Ку, обеспечивающий максимальное совпадение выхода базовой (Д = 0) и эталонной модели; 2) синтезировался регулятор К для некоторой эквивалентной нормализованной проблемы робастной стабилизации. На втором шаге использовались методы, изложенные в диссертации. Результаты моделирования показали, что синтезированный //"-регулятор обеспечивает требуемые характеристики замкнутой системы, практически неуступа-ющие характеристикам системы, замкнутой адаптивным регулятором.

Парирование сдвига ветра при посадке самолета ИЛ-96-300МК

Рассматривалась следующая стандартная задача

х = Ах + В\ы + В2и , г - С\Х , у - С2Х ,

где х := (Д V, Ав, Аи>г, Аи, Д#, Д5*г) - вектор состояния, V - скорость, в - угол наклона траектории, и>г - угловая скорость по тангажу, и - угол тангажа, Н - высота, ¿сг - тяга двигателей, 2 = (АН, АV), и = (ису, Д(5„), ¡/су - управление, формируемое //"-регулятором, Д<5СГ - отклонение ручки сектора газа, ш = (шг, шу, и>х, - вектор петровых возмущений. Требовалось найти допустимый регулятор К, такой что

К = агетт.||^(С,А-)||00 = аг6тт ||Тг„.||оо ■

А /\

С использованием методов формирования контура и методов Я°°-оптимизации синтезирован регулятор, обеспечивающий выдерживание заданной траектории с ошибками по Н и V, непревышающими 1.4 м и 21.9 м/с, что отвечает требованиям к системе управления.

28

Контур стабилизации для аисокомаисврснного J1A

При конструировании систем управления высокомаиевреннмми ЛА как правило приходится иметь дело с высокими размерностями моделей, существенными неопределенностями структурированного типа и нелинейностями. Выполнение такими ЛА различных маневров сопровождается значительным изменением аэродинамических характеристик за счет больших изменений скорости и угла атаки.

Рассматривался маневр, выполняемый на высоте 3000 м с перепадом скоростей от 100 м/с до 16 м/с и углом атаки от 5° до 85°. В наихудшей точке траектории при о = 85" Л А выполняет разворот по крену на 180°. Линеаризованная модель Л Л имеет порядок, равный 56. После выполнения редукции порядок модели понижался до 8.

Исходная проблема конструирования формулировалась в терминах ЛАХ a(S), а (Г), а затем в виде проблемы смешанной чувствительности

W,.5 W7T

<1. (19)

Для исключения многомодельности, возникающей за счет параметрических неопределенностей, использовался //2-регулятор, обеспечивающий малость относительной ошибки в рабочей полосе частот. Я°°-регулятор, синтезировался с использованием программных средств пакета //"-ПРОЕКТ.

Моделирование как в линейном приближении, так и с использованием полной нелинейной модели, показало что Н°°-регулятор в сочетании с #2-регулягором обеспечивает требуемые характеристики устойчивости и качества для всех точек траектории маневра.

В Заключении дается общая характеристика результатов работы, основными из которых являются следующие:

1) проведен анализ общей проблемы робастного управления при наличии неопределенностей структурированного и неструктурированного типов;

2) проанализированы возможности решения общей проблемы робастного управления с использованием различных подходов, включая классический частотный, подход пространства состояний и некоторые современные подходы (р-теория, Сотворил, /'-теория);

3) установлены преимущества использования Н°°-теории управления для решения проблемы робастного качества с неопределенностями различного типа;

4) сформулирован принцип неопределенности в теории управления, выявляющий принципиальные особенности постановки проблемы конструирования регулятора, основанной на робастной точке зрения;

5) показано, что на основе теории минимальных унитарных дилатаций удается получить унифицированный подход к решению различного рода проблем Н°°-

оптимизации, включая бесконечномерный и нелинейный случаи;

0) установлено, что класс, структура и минимальный порядок Я^-регулятора могут быть заданы до начала процедуры синтеза и определяются лишь классом, которому принадлежит объект управления, и его порядком;

7) проведен алгоритмический анализ процедур Я°°-оптимизации, предложены численно устойчивые варианты указанных процедур;

8) разработан интегрированный пакет Я°°-ПРОЕКТ, реализующий процедуры Я00- оптимизации;

9) эффективность разработанных в диссертации методов подтверждена решением ряда практических задач.

30

Публикации по теме диссертации

1. Вондарос 10.Г., Семенов Л.В. Оптимальное управление по //""-критерию дли непрерывных и дискретных систем // Доклады РАН, 1993, т. 32.S, N -1, с. 43"! -<136.

2. Пондарое Ю.Г., Семенов A.B. Оптимальное оценинание по //"' критерии) для непрерывных и дискретных систем // Доклады РАН, 1993, т. 330, N 2, с. 167 169.

3. Вондарос 10. Г., Семенов A.B. Алгоритмы оптимального оцениваний пи II" критерию для систем г квадратично суммируемыми и интегрируемыми нсндсй ствиями // Известия РАН, Техническая кибернетика, 1993, N 4, < 1>7 - 7:i.

4. Василевский 10.А., Позняк A.C., Семенов A.B. Синтез робастных стабилизаторов с действительными коэффициентами по методу Неванлшшы-Пика // Автоматика и телемеханика, 1992, N 4, с. 23 - 33.

5. Каратеев С.Л., Семенов A.B. Синтез алгоритмов управления и навигации на основе подхода Хессенберга-Шура // Тезисы докладов Третьего Всесоюзного совещания по проблеме " Комплексирование бортовых систем и новые информационные технологии", Л.: Ленинградский институт авиационного приборостроения, 1990, с. 36 - 37.

6. Кутепов С.А., Семенов A.B. Проектирование алгоритмов управления и навигации на основе критерия //""-оптимальности // Тезисы докладов Третьего Всесоюзного совещания по проблеме "Комплексирование бортовых систем и новые информационные технологии", Л.: Ленинградский институт авиационного приборостроения, 1990, с. 73 - 74.

7. Мещеряков О.Г., Семенов A.B., Фурлстов М.Ю. Пакет "Я°°-проект" для конструирования робастных регуляторов с использованием методов /7°°-оптимиза-

"■ции // Доклады Международной конференции "Технологические средства создания систем управления", Кяэрику, Эстония, 1 - 7 мая 1992, Таллинн: Институт кибернетики, 1992, с. 169 - 178.

8. Позняк A.C., С'ебряков ['.Г., Семенов A.B., Федосов Е.А. //"'-теория управления: феномен, достижения, перспективы, открытые проблемы, М.: Гос НИИ-АС, 1990, 75 с.

9. Позняк A.C., Семенов A.B., Себряков Г.Г., Федосов Е.А. Новые результаты в Я°°-теории управления // Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1991. N 6, с. 10 - 39.

10. Себряков Г.Г., Семенов A.B. Проектирование линейных стационарных многомерных систем на основе вход-выходных отображений. Методы Н°°-теории управления // Известия АН СССР, Техническая кибернетика, 1989, N 2, с. 3 -

16. -, !

I

11. Семенов A.B., Фурлетов М.Ю. и др. Разработка элементов интеллектуальной ' системы автоматизированного проектирования САУ движущимися объектами

на основе //""-теории управления // Технический отчет, Этап 1, 00 - 2100 - 23 -90, М.: ГосНИИАС, 1990, 30 с.

12. Семенов A.B., Позняк A.C. и др. Разработка элементов интеллектуальной системы автоматизированного проектирования САУ движущимися объектами на основе Н°°-теории управления // Технический отчет, Этап II, 119 - 90/07, М.: ИПУ, 1990, 57 с.

13. Себряков Г.Г., Семенов A.B. Новые перспективные методы проектирования многомерных динамических систем. М.: ГосНИИАС, 1989, 98 с.

14. Себряков Г.Г., Семенов A.B. Проектирование робастиых систем управления с использованием методов //""-оптимизации. М.: ГосНИИАС, 1990, 83 с.

15. Семенов A.B., Себряков Г.Г. Конструирование //"-оптимальных регуляторов: подход на основе теоремы Перо // Тезисы докладов 3-й Международной конференции "Современные методы конструирования систем управления", Владивосток: Изд-во РАН, 1991, с. 27 - 28.

16. Семенов A.B. Основы Я°°-теории управления. Курс лекций, М.: ГосНИИАС, 1992, 87 с. !

17. Семенов A.B. Конструирование робастных систем управления с использованием : методов Я ""-оптимизации // Препринт, 00 - 2100 - 57 - 92, М.: ГосНИИАС, 1992, > 89 с.

18. Семенов A.B., Бондарос Ю.Г., Фурлетов М.Ю., Мещеряков О.Г., Морзеев Ю.В. Дискретные цифровые и нестационарные Нр, р — 2,оо, регуляторы и фильтры // Технический отчет 00 - 2100 - 31 - 92, М.: ГосНИИАС, 1992, 53 с.

19. Себряков Г.Г., Семенов A.B., Фурлетов М.Ю., Мещеряков О.Г., Морзеев Ю.В. Принцип обратной связи в линейной теории управления: перспективы единой теории обратной связи // Тезисы докладов 1-го Совещания "Новые направления в теории систем с обратной связью", Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 1993, с. 17 - 19.

32

20. Семенов Л.В., Фурлетов М.Ю., Мещеряков О.Г., Морзеев 10.В. Стационарные и нестационарные законы обратной связи в теории робастного управления // Тезисы докладов 1-го Совещания "Новые направления в теории систем с обратной связью", Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 1993, с. 53 - 54.

21. Семенов Л.В., Фурлетов М.Ю., Мещеряков О.Г., Морзеев 10.В. Структурные свойства линейных j;ikohob обратной связи // Тезисы докладов 1-го Совещания "Новые направления и теории систем с обратной связью", Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 1993, с. 73 7-1.

22. Семенов Л.В. Потребности в теории робастного управления: меры робастности // Препринт, 00 - 2100 - 91 - 93, М.: ГосНИИДС, 1993, (¡2 t

23. Семенов Л.В. Операторный подход к //"'-теории управления // Препринт, 00 -2100 - 23 - 94, М.: ПкНИИАС, 1994, 57

24. Федосов Е.Л., Себряков Г.Г., Семенов Л.В. Обобщение проблемы //"'-оптимизации на случай бесконечномерных, сингулярных, нестационарных, нелинейных систем // Тезисы докладов V Всесоюзной школы молодых ученых 'и специалистов, Алушта, 15 - 26 мая 1991, Харьков: Харьковский политехнический институт, 1991, с. 17 - 19.

25. Шалашов А.В., Семенов А.В. Методы понижения порядка динамических систем в задачах комплексирования // Тезисы докладов Третьего Всесоюзного совещания по проблеме "Комплексирование бортовых систем и новые информационные технологии", Л.: Ленинградский институт авиационного приборостроения, 1990, с. 83 - 84.

26. Sebryakov G.G., Scmyonov A.V. Design of Linear Stationary Multidimensional Systems Based on Input-Output Mapping. Methods of Я°°-Соп1го1 Theory // Journal of Computer and Systems Sciences, 1991, V. 29, N 7.

■4

27. Semyonov A.V. HITECH: A Learning System on H — infinity Optimization Methods // Proceedings of Two day symposium on Robust Control System Design using tf°° and Related Methods, 21 - 22 March, 1991, The University of Cambridge, UK, London: The Institute of Measurement and Control, 1991, p. 43 - 45.

28. Kurdjukov Д., Poznvak A., Semyonov A. H°° optimal control with a constraint // Proc. Second International Symposium on Implicit and Robust Systems - IfjIRS'91, Warsaw, Poland, 17 - 19 July, 1991, Warsaw: University of Technology, 1991, p 117 - 120.

29. Najim К., Kurdjukov A., Poznyak A., Semyonov A. optimal control objects with mixed uncertainty and application to ail absorption column // Proc. Advanced control of chemical processes - ADCHEM'91, Touluze, France, 14 - 16 October, 1991, Touluze: Paul Sabatier University, 1991, p. 131 -,135.

30. Курдюков А.П., Семенов А.В., Косиков B.C. Комбинирование робастного и адаптивного управления с помощью интеллектуальных систем // Вестник МГТУ, сер. Приборостроение, 1994, N 3.

31. Курдюков А.П., Семенов А.В., Павлов Б.В., Тимин В.Н. Применение Яоо-тсории в задачах проектирования систем управления // Приборы и системы управления, 1994, N11.

32. Scmyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov Л.P. Stochastic Approach to //„-Optimization // Proc. 33rd IEEE CDC, Dec. 14 - 16 1994, Lake Buena Vista, FL, USA.

33. Голован А.А., Мироновский Jl.A., Парусников H.A., Семенов А.В., и др. Разработка методов и алгоритмов комплексирования спутниковой навигационной системы и инерциальной навигационной системы // Технический отчет, М.: МГУ, 1992.

34. Семенов А.В., Владимиров И.Г., Фурлетов М.Ю., Мещеряков О.Г. Методы стохастической //""-оптимизации в приложении к проблемам конструирования ро-бастных регуляторов и фильтров // Технический отчет N 184 (1390) - 94, М.: ГосНИИАС, 1994.

34

В работах, выполненных я соавторство, вклад диссертанта состойт в следующем

- в [1 - 6, 10, 15, 20. 21, 2-1 - 26, 30 - 32, 34] сформулированы проблемы и намечет пути их решения,

- в [7, 9, II, 12, 19, 2S. 29, 33] даны обоснования полученных результатов,

- в [8] автором наши .ты 1лавы 1 - 3, 6, 7; в [13] главы 1 - 8, в [14] главы I У в [18] - главы 1 - 3

Семенов Александр Владимирович

Прдпйсансв печать 10.01.95

Формат бумаги 60 х 84/16

Уч.-изд. л. '2.3. Тираж 30 экз. Заказ 137

I I

I

36

I -;11 ■