автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Конечноэлементное моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях с сильно разномасштабной геометрией

На правах рукописи

Иванов Илья Александрович

КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЯХ С СИЛЬНО РАЗНОМАСШТАБНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом

университете

Научный руководитель: - доктор технических наук, профессор

Соловейчик Юрий Григорьевич

Официальные оппоненты: - доктор технических наук

Тригубович Георгий Михайлович, - кандидат технических наук Цыгулин Алексей Александрович

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и

математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 16 ноября 2005 года в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, Новосибирск-92, пр.К.Маркса, 20)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Чубич В.М.

Ш=3- 12)113!

Общая характеристика работы Актуальность темы. Сеточные методы являются в настоящее время основным инструментом решения наиболее сложных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих различные физические процессы. Эффективность применения таких методов при моделировании физических процессов в геометрически сложных областях во многом зависит от используемого аппарата дискретизации расчетной области. Очень часто от того, насколько оптимально удается выполнить такую дискретизацию, зависит сама возможность решения конкретной практической задачи с нужной точностью. Особую сложность представляет собой дискретизация областей, имеющих сильно разномасштабную геометрию.

Под разномасштабной геометрией понимается то, что расчетная область содержит конструктивные макро- и микроэлементы, размеры которых отличаются друг от друга на несколько порядков. Причем, как правило, в задачах с подобной геометрией исследуется влияние именно микроэлементов, что ведет к необходимости сильно сгущать сетку вблизи них. При этом для дискретизации макроэлементов может быть использована достаточно грубая сетка. Более того, значительно разрежать сетку при удалении от микроэлементов часто просто необходимо, так как в противном случае сетка может содержать не только большое количество «лишних» с точки зрения точности аппроксимации решения узлов, но и слишком вытянутые ячейки дискретизации, что приводит к серьезным трудностям при решении аппроксимирующих систем линейных алгебраических уравнений.

Очевидно, что для дискретизации таких областей наиболее эффективными будут методы построения нерегулярных сеток, позволяющие получать согласованные сетки с существенно неравномерным распределением узлов.

Существует два основных класса методов построения нерегулярных трехмерных сеток: методы, основанные на построении трехмерных триангу-ляций Делоне и методы, основанные на фронтальном распространении сетки.

Методы обоих классов широко используются 1М тгрпкттгр ц^гешшзованы как

РОС. национальна ;

, библиотека . 1

■Э г п____ лМл (

СПе 9»

в пакетах математического моделирования, например ANSYS, COSMOS, NASTRAN, так и отдельных построителях сеток, например LaGriT, GRIDGEN и VGRID3D. Однако, не смотря на обилие реализаций данных методов, даже задание расчетной области с сильно разномасштабной геометрией с требуемыми сгущениями/разрежениями узлов порой представляет существенную сложность, не говоря уже о построении в такой области сетки приемлемого качества.

Таким образом, проблема построения сеток близких к оптимальным, позволяющих получать численные решения различных задач математической физики в областях со сложной сильно разномасштабной геометрией, не может быть до конца решена существующими методами. С другой стороны, с резким ростом вычислительных возможностей персональных компьютеров, исследователи все чаще стремятся заменить физический эксперимент более эффективным математическим моделированием исследуемого процесса. Этим и определяется актуальность данной диссертационной работы.

Основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема численного решения задач электромагнетизма, имеющих расчетную область с сильно разномасштабной геометрией, обусловленная сложностями построения сеток близких к оптимальным в областях с подобной геометрией.

Цель исследований заключается в разработке и реализации алгоритмов построения тетраэдральных сеток, предназначенных для проведения расчетов трехмерных электромагнитных полей методом конечных элементов (МКЭ) и позволяющих исследователю эффективно управлять процедурой генерации узлов при необходимости сгущения или разрежения узлов сетки в различных подобластях расчетной области.

Не смотря на то, что в рассматриваемой работе делается акцент на построение сеток для МКЭ, предлагаемые алгоритмы построения сеток могут использоваться и в совокупности с другими методами численного моделирования, использующими аппроксимацию на сетках.

На защиту выносится:

1. Процедуры автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений для известной модификации метода тиражируемых сечений, позволяющие облегчить работу оператора, задающего сетку, и без ущерба для точности получаемого решения сократить количество узлов в сетке на 15-70% в зависимости от особенностей задачи.

2. Обобщенный метод тиражируемых сечений, позволяющий использовать сечения с топологически различными триангуляциями и тем самым обеспечивающий возможность гибкого управления сгущением/разрежением узлов сетки в областях с сильно разномасштабной геометрией.

3. Результаты решения практических задач электромагнетизма из области геофизики на сетках, построенных разработанным обобщенным методом тиражируемых сечений, а также результаты исследования влияния вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения на примере практических и модельных задач.

4. Объектно-ориентированная библиотека, созданная с учетом потребностей разработчиков современных систем математического моделирования, позволяющая облегчить создание многоплатформенных интерактивных систем, а также объектно-ориентированная реализация обобщенного метода тиражируемых сечений, выполненная на базе данной библиотеки и позволяющая легко настраивать и расширять предложенный метод.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан ряд алгоритмов, позволяющих автоматизировать построение сетки методом тиражируемых сечений.

2. Разработан метод, позволяющий строить тетраэдральную сетку между сечениями с топологически различными триангуляциями, основанный на сопоставлении треугольнику с одного сечения некоторого образа (состоящего из треугольников и ребер) с другого сечения и последующего заполнения полученной подобласти тетраэдрами.

3. Решены практические задачи с сильно разномасштабной геометрией расчетной области, решение которых не удавалось получить ранее на персональном компьютере с требуемой точностью.

4. Проведено исследование влияния вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения.

5. Предложен подход к разработке интерактивных систем математического моделирования, заключающийся в раздельной реализации интерфейса пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей, что позволяет облегчить перенос приложений на различные платформы. На базе данного подхода создана специализированная библиотека классов для разработки программных комплексов математического моделирования.

6. Предложена объектно-ориентированная реализация разработанного обобщенного метода тиражируемых сечений, позволяющая легко настраивать и расширять данный метод.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы построения нерегулярных трехмерных сеток реализованы в программном комплексе ТЕЬМА и применялись для решения практических задач электромагнетизма со сложной разномасштабной геометрией расчетной области.

Личный вклад. Для метода тиражируемых сечений предложена процедура автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений и процедура автоматического определения количества промежуточных сечений в различных подобластях расчетной области. В качестве основной составляющей обобщенного метода тиражируемых сечений разработан метод построения сетки между сечениями с топологически различными триангуляциями, включая метод сопоставления треугольникам с одного сечения некоторого образа с другого сечения и способ разбиения пространства между треугольником и его образом на тетраэдры, не нуждающийся в информации об уже построенных тетраэдрах. Проведено исследование эффективности предложенных процедур. На основе исследования даны ре-

комендации по наиболее оптимальным схемам реализации обобщенного метода тиражируемых сечений. Исследовано влияние вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения. Предложена объектно-ориентированная библиотека для разработки многоплатформенных интерактивных систем математического моделирования, на базе которой реализована новая версия трехмерного препроцессора для пакета TELMA, включая объектно-ориентированную реализацию обобщенного метода тиражируемых сечений.

» Апробация работы. Основные результаты работы были представлены

и докладывались на: региональной научной конференции «Наука. Техника.

I Инновации» (Новосибирск, 2002, 2003гг); российской научно-технической

конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2004г); Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004г); VII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004г); The Eighth Korea-Russia International Symposium on Science and Technology KORUS 2004 (Томск, 2004г). Работа поддержана грантом Федерального агентства по образованию № А04-8-704.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 11 печатных работ из них 4 статьи, 3 работы в сборниках трудов международных конференций и 4 работы в сборниках тезисов конференций

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников (85 наименований). Работа изложена на 182 страницах, включая 60 иллюстраций и 22 таблицы.

Основное содержание работы В первой главе делается обзор известных методов построения трехмерных нерегулярных сеток. Рассматривается возможность применения этих методов для построения сеток в областях с сильно разномасштабной геометрией и сложности, возникающие при этом. Среди имеющихся методов выделяется метод тиражируемых сечений как наиболее эффективный метод построения трехмерных нерегулярных сеток.

7

¡

В методе тиражируемых сечений описание геометрии и конечноэле-ментной сетки совмещено и выполняется по сечениям. Под сечением понимается пересечение некоторой поверхности с расчетной областью. Трехмерная сетка строится заполнением тетраэдрами пространства между соседними сечениями, на которых заранее построена двумерная триангуляция. Достоинством этого метода является достаточно простое задание геометрии и необходимых сгущений/разрежений узлов сетки в плоскости сечения. Однако существующие реализации метода тиражируемых сечений требуют неизменности топологии триангуляции на всех сечениях, что накладывает определенные ограничения на возможность сгущения/разрежения узлов сетки вдоль траектории тиражирования.

Вид спереди (базовое

Рассматривается модификация данного метода, допускающая частичное совпадение сечений, что дает дополнительную возможность разрежать сетку вдоль

Вид сбоку траектории тиражиро-

(разрежение сетки за счет частично совпадающих сечений) вания (см. рис.1). Однако задание частично совпадающих сечений

требует много ручной работы, поэтому пред-

Рис. 1. Построение сетки с фиксированными и с частично совпадающими сечениями лагается ряд процедур, автоматизирующих этот процесс.

Сначала для выбранного сегмента (пространства между парой основных сечений) либо явно задается желаемое количество промежуточных сечений в различных подобластях, либо устанавливается желаемое соотношение поперечного размера тетраэдральных элементов (в плоскости сечения, Н) к

8

их продольному размеру (вдоль траектории тиражирования, V) и количество промежуточных сечений определяется автоматически так, чтобы максимально удовлетворить заданному соотношению.

Затем производится генерация промежуточных сечений. Формально, количество сечений изменяться не может, но так как допускается частичное их совпадение, то имеющиеся промежуточные сечения группируются так, чтобы получить требуемое в данной точке количество шагов вдоль траектории тиражирования.

Для этого вводится специальная функция поЛе{т,к), вычисляющая трехмерные координаты узлов по локальному номеру узла на сечении (к) и по номеру промежуточного сечения (т). Эта функция сначала определяет положение сечения вдоль траектории тиражирования, затем находит ближайшую к нему группу и включает данное сечение в эту группу. Координаты группы вычисляются согласно заданным параметрам построения сетки на текущем сегменте, типу траектории (отрезок прямой или дуга), способу расстановки промежуточных сечений (равномерно или со сгущением) и требуемому количеству этих сечений в данной точке. При таком подходе генерация частично совпадающих сечений происходит абсолютно прозрачно для процедуры построения тетраэдров.

В заключение первой главы на примере построения сетки для практической задачи (с количеством промежуточных сечений порядка 400) показывается, что предлагаемые процедуры позволяют сократить количество узлов в сетке более чем в 3 раза (с 1167532 до 376775) без ущерба для точности получаемого решения.

Во второй главе предлагается обобщенный метод тиражируемых сечений, позволяющий использовать сечения с топологически различными триангуляциями. Такой подход практически полностью снимает ограничение на сгущение/разрежение узлов сетки вдоль траектории тиражирования сечений. Триангуляции на сечениях могут строиться совершенно независимо друг от друга, единственное накладываемое ограничение, это то, что одна из

них должна быть более грубой по отношению к другой. Допускается также

Рис. 2. Образ треугольника грубой Рис 3 Выделение подобластей в обра-триангуляции в подробной зе треугольника грубой триангуляции

Рис. 4. Построение тетраэдров в локальном объеме

Построение тетраэдральной сетки в пространстве между сечениями с топологически различной триангуляцией выполняется в два этапа. Сначала проводится подготовительный этап, на котором для каждого треугольника грубой триангуляции ищется подходящий ему образ в подробной триангуляции [3]. Так, для фрагментов сеток, приведенных на рис.2, фигура А'В'С будет являться образом треугольника ABC. Под образом треугольника грубой триангуляции понимается подобласть подробной триангуляции (множество

треугольников, ребер и узлов), ограниченная контуром (ориентированной последовательностью ребер, образующих замкнутую ломаную без самопересечений), составленным из образов ребер треугольника грубой триангуляции. Образом ребра грубой триангуляции называется путь в подробной триангуляции, соединяющий образы начала и конца ребра грубой триангуляции и удовлетворяющий некоторому критерию качества. Под образом узла грубой триангуляции понимается узел подробной триангуляции, ближайший к проекции узла грубой триангуляции.

На втором этапе [5-7], состоящем из двух шагов, пространство между каждым треугольником и его образом, называемое локальным объемом, разбивается на тетраэдры. Первый шаг заключается в выделении подобластей в образе треугольника, необходимых для построения тетраэдров (подобласти (А), (В) и (С), рис.3), второй - собственно в построении тетраэдров (рис.4).

В рассматриваемом подходе для получения согласованной сетки при заполнении тетраэдрами одного локального объема не требуется информация о разбиении соседних локальных объемов. То есть, предлагаемый алгоритм не нуждается в сложном анализе взаимного расположения добавляемых и существующих элементов сетки, как этого требуют другие фронтальные методы. Кроме того, возможность обрабатывать локальные объемы независимо один от другого обеспечивает легкое распараллеливание предлагаемого метода.

В п.2.1 рассматривается метод поиска образов треугольников грубой триангуляции в подробной. Предлагаемый метод состоит из трех основных шагов. На первом шаге выполняется поузловая обработка. Каждый узел грубой триангуляции проецируется на сечение с подробной триангуляцией и среди узлов подробной триангуляции выбирается узел, ближайший к полученной проекции. Найденные таким образом узлы подробной триангуляции будут являться образами соответствующих узлов грубой триангуляции.

На втором шаге обрабатываются ребра грубой триангуляции: для каждого ребра грубой триангуляции в подробной триангуляции ищется опти-

мальный путь, соединяющий образы концов этого ребра. В качестве критерия оптимальности используется суммарное отклонение искомого пути {Р{,...,Рп) от проекции ребра грубой триангуляции АВ:

к=\

На третьем шаге, после того как в подробной триангуляции будут найдены образы всех ребер грубой триангуляции, выполняется проход по треугольникам грубой триангуляции и для каждого их них определяется замкнутый контур, собираемый из образов ребер этого треугольника. Полученный контур является границей образа рассматриваемого треугольника грубой триангуляции в подробной триангуляции. Все треугольники, лежащие внутри контура, и ребра, образующие контур, составляют искомый образ треугольника грубой триангуляции в подробной.

В п.2.2 рассматривается вопрос построения тетраэдров в локальном объеме. При этом полагается, что образ треугольника грубой триангуляции разбит на три подобласти. Каждая из этих трех подобластей соответствует одной из вершин треугольника грубой триангуляции. Например, на рис.3 образ А'В'С' треугольника ABC грубой триангуляции разбит на подобласти A'S{OS^, B'SfiSÍ и C'S'3OS'2.

Узел, принадлежащий всем трем подобластям, называется центральной точкой (точка О, см. рис.4). Узлы, принадлежащие двум подобластям и лежащие на образах ребер треугольника грубой триангуляции, называются особыми точками (точки Sj и S3, см. рис.4). Путь от особой точки к центральной является границей между двумя соседними подобластями. Ребра, образующие границу подобластей, также называются особыми. Так как особая точка принадлежит двум подобластям, а подобласти связаны с вершинами треугольника грубой триангуляции, то можно говорить о соответствии особой точки двум вершинам этого треугольника (например, особой точке S{ соответствуют вершины А и В, см. рис.4).

Все треугольники, принадлежащие одной подобласти, соединяются с соответствующей вершиной треугольника грубой триангуляции, образуя тетраэдры, заполняющие локальный объем. Так формируются тетраэдры А'8{ОА, А'^ОА для подобласти А'Б^, тетраэдры ВЩОВ, В'8{ОВ для подобласти В'8'г08[ и тетраэдры СЩОС, СЩОС для подобласти С'^О^ (см. рис.4). Такие тетраэдры называются тетраэдрами первого типа.

Далее для каждого особого ребра Р,РМ, разделяющего области (X) и (У) (которые, в свою очередь, связаны с вершинами X и К треугольника грубой триангуляции), строится тетраэдр Р,РМХУ. Такие тетраэдры называются тетраэдрами второго типа. В конце остается полость, которую можно заполнить одним тетраэдром третьего типа, образованным треугольником грубой триангуляции и узлом подробной триангуляции, принадлежащим всем трем подобластям (тетраэдр АВСО, см. рис.4).

Построенная таким образом & локальном объеме сетка является согласованной по построению, а отсутствие пересечений между тетраэдрами обеспечивается соблюдением следующих трех ограничений:

1) пересечение двух любых подобластей не должно содержать ни одного треугольника:

/иеу((Л)п(Д)) = 0, теа{(В)п(С)) = 0, /пе«((Л)п(С)) = 0; (1)

2) центральная точка должна быть одна и только одна:

30,0 е (Л) и (5) и (С) иесли£?е(Л)и(Я)и(С),то(? = 0; (2)

3) если 5' - особая точка, X и У - соответствующие 5" вершины треугольника грубой триангуляции, Я - внутренняя нормаль к ребру ХУ, {Р,} -путь от 5' к центральной точке О, то должно выполняться условие

{?„п)>е,{ = 1,2.....ЛГ, (3)

где Р - ориентированное I -е ребро пути {/}}, N - количество ребер в пути {/)}, величина е > 0 определяет, насколько тетраэдр, образованный ребрами ХУ и Р,, может быть близок к вырожденному.

После построения корректной конечноэлементной сетки внутри локального объема необходимо добиться ее согласованности между соседними локальными объемами. С этой точки зрения интерес представляют только те грани построенных тетраэдров, которые являются внешними по отношению к данному локальному объему. Конфигурация внешних граней полностью определяется выбором особых точек. Для рассмотренного выше примера локального объема (рис.4) конфигурация внешних граней в виде развертки боковой поверхности показана на рис.5.

У каждого локального объема может быть не более трех соседей, причем соседство определяется по ребрам треугольника грубой триангуляции. Другими словами, два локальных объема соприкасаются только вдоль поверхности, образованной ребром треугольника грубой триангуляции и образом этого ребра в подробной триангуляции. Заметим, что особая точка выбирается для той же пары ребро-образ. То есть, для согласованности сетки достаточно предложить такой способ выбора особой точки, который зависел бы только от конкретной пары ребро-образ и не зависел от того, какому локальному объему эта пара принадлежит. В предлагаемой реализации используется следующий вариант: в качестве особой точки выбирается узел, ближайший к центру проекции ребра треугольника грубой триангуляции, причем если на одинаковом (с точностью до наперед заданного числа е) расстоянии от центра лежит несколько узлов, то выбирается узел с наименьшим номером.

В

Развертка боковой поверхности локального объема

А_В С А

А

А1

в1, щ Внешние граня тетраэдров,

построенных на границе подобластей

Рис.5. Конфигурация внешних граней локального объема

В п.2.3 приводится фронтальный способ формирования подобластей в образе треугольника грубой триангуляции. В этом способе сначала выбираются особые точки, после чего ребра, составляющие ограничивающий контур, получают однозначную принадлежность подобластям. Так образуется начальный фронт. Все треугольники образа, содержащие внешние ребра, включаются в соответствующую подобласть. Из внутренних ребер этих треугольников формируется новый фронт. Процесс повторяется пока все треугольники образа не будут принадлежать какой-либо подобласти.

Приводятся результаты тестирования обобщенного метода тиражируемых сечений с описанной процедурой формирования подобластей на триан-гуляциях, построенных для практических задач. Показывается, что в реальных ситуациях образы треугольников, как правило, имеют повторяющиеся узлы и/или ребра, совпадающие особые точки, либо при формировании подобластей образуются ребра, не удовлетворяющие (3). Поэтому в п.2.4 рассматривается вопрос построения тетраэдров в локальном объеме в особых случаях. В частности показывается, что тетраэдры могут быть успешно построены без нарушения корректности сетки и в случае повторяющихся узлов/ребер в образе, и в случае совпадающих особых точек, и в случае вырождения одной или нескольких подобластей.

Однако вопрос неправильно ориентированных особых ребер по-прежнему остается открытым и, поскольку фронтальный способ не позволяет в достаточной степени контролировать образование таких ребер, в п.2.5 предлагается альтернативный вариант - формирование подобластей по образцу. Образцом в данном случае выступает разбиение треугольника грубой триангуляции своими медианами. В этом случае ищутся образы медиан треугольника грубой триангуляции (по аналогии с поиском образов ребер грубой триангуляции), которые будут являться границей подобластей. При этом выполнение условия (3) можно сразу заложить в критерий оптимальности пути:

сЫ^У)

=2

Это, однако, не означает, что пути, удовлетворяющие (3), могут быть найдены всегда. По-прежнему остаются единичные случаи, когда этого сделать не удается.

В п.2.6 рассматриваются различные варианты обработки таких ситуаций. Предлагается процедура коррекции подробной триангуляции с целью приблизить образы к своим прообразам и альтернативный способ построения тетраэдров в локальном объеме, путем добавления узла внутрь этого локального объема.

В заключение второй главы в п.2.7 рассматривается возможность совместного использования стандартной (через разбиение призм) и обобщенной схемы (рассмотренной выше) построения тетраэдров. Показывается, что данные методы естественным образом сочетаются даже при построении сетки на одном сегменте, что позволяет использовать более затратную обобщенную схему, только тогда, когда она реально необходима.

Третья глава диссертационной работы посвящена решению модельных и практических задач с разномасштабной геометрией расчетной области. Проводится сравнение точности решений этих задач, полученных на сетках, построенных стандартным и обобщенным методом тиражируемых сечений.

В настоящее время для разведки и поиска различных полезных ископаемых довольно часто используются методы, основанные на электромагнитном зондировании среды. Один из наиболее часто используемых методов - это зондирование становлением поля. Его суть состоит в следующем.

Импульсно меняющимся током в окружающей среде возбуждается электромагнитное (ЭМ) поле. После выключения тока наблюдается затухающее ЭМ поле, порождаемое протекающими в среде вихревыми токами. По конфигурации этого поля можно судить о наличии и расположении проводящих неоднородностей (объектов) в среде.

В ряде случаев характеристики и расположение отдельных объектов известно априори. В этом случае имеет смысл вычислить ЭМ поле от таких объектов и учесть его при интерпретации практических данных, тем самым повысив точность поиска.

Для моделирования нестационарного ЭМ поля используется подход, предложенный Ю.Г. Соловейчиком. В этом подходе вся расчетная область представляется в виде объединения подобластей с сгфО и запол-

няющей все остальное пространство подобласти Г2д с сг = 0.

В подобласти О0 напряженность магнитного поля Н - В/ц представляется в виде: Йи = . При этом система уравнений Максвелла преобразуется к виду:

В подобластях с индукция магнитного поля представляется в виде:

При решении используются узловые конечные элементы в подобласти П0 и векторных ес^е-элементы в подобластях £2],...,С2П.

Рассматриваются две практические задачи с разномасштабной геометрией расчетной области [5-7]. Первая задача касается применения метода индукционной электроразведки для поиска обводненных участков в городских условиях. Проведение подобных работ осложняется присутствием в земле техногенных объектов. В данной задаче в качестве такого объекта задана тонкостенная металлическая труба, имеющая радиус 0.2м, толщину стенок 0.01м, длину 20м и располагающаяся на глубине Зм. Удельная электропроводность а и относительная магнитная проницаемость // материала, из которого изготовлена труба, составляют 1-107См/м и 100, соответственно. Ге-

(4)

ВА = тоЫ. При этом Ё --¿М/сЬ и уравнения Максвелла приводятся к виду:

нераторная петля, возбуждающая ЭМ поле, имеет размеры 5x5м и находится на поверхности земли над средней точкой трубы.

Во второй практической задаче рассматривается аэро-вариант использования метода индукционной электроразведки, в котором петля с током располагается на самолете. В данной ситуации сам самолет является априорно заданным объектом, и задача состоит в вычислении поля, создаваемого самолетом. Толщина стенок фюзеляжа составляет 0.005м, длина самолета 24м,

размах крыльев 29м, удельная электропроводность 3.5 107См/м.

На примере данных задач показывается, что, во-первых, сетки, построенные обобщенным методом, имеют в 1.5-2 раза меньшее количество узлов, чем сетки, построенные стандартным методом, и соответственно требуют меньше памяти и времени для решения задач на них. В обеих задачах выигрыш по памяти составил 1.4 раза и 1.5-2 раза по времени счета. Средняя размерность СЛАУ в этих задачах составляет порядка 2-Ю5, а время счета порядка 12ч в задаче с трубой и порядка 50ч в задаче с самолетом.

Во-вторых, на сетках, построенных обобщенным методом, решение получается более точным - средняя погрешность 2.5-3% - по сравнению с решением, полученным на сетках, построенных стандартным методом -средняя погрешность 12-15%.

Уменьшение размерности сетки в случае применения обобщенного метода тиражируемых сечений объясняется возможностью использовать сечения с более грубой триангуляцией при удалении от объекта и тем самым устранить лишние узлы, не улучшающие качество аппроксимации. Более высокая точность решения на сетке, построенной обобщенным методом, объясняется отсутствием в ней вытянутых элементов (с соотношением минимальной и максимальной длин ребра порядка 1:1000), присутствующих в сетке, построенной стандартным методом и являющихся непосредственным следствием невозможности менять топологию триангуляции на сечениях. Вытянутые элементы ухудшают обусловленность матрицы СЛАУ, снижают скорость

сходимости итерационного процесса решения СЛАУ и не позволяют получить решение задачи с требуемой точностью.

На рис.6 представлено распределение скалярного потенциала II из (4) в плоскости х = 0 на сетке, построенной обобщенным методом (рис.ба) и на сетке, построенной стандартным методом (рис.66). Хорошо видно, что на сетке, построенной стандартным методом, линии равного уровня потенциала и имеют заметные искажения, полностью отсутствующие на сетке, построенной обобщенным методом.

О 10. 20. 30. Ч О 10. 20. 30. ч

а) поле от самолета на сетке, построенной б) поле от самолета на сетке, построенной обобщенным методом стандартным методом

Рис.6. Искажения решения в задаче с самолетом Приведенные результаты подтверждены также на модельных задачах с известным решением. В заключение третьей главы приводятся результаты исследования влияния упорядоченности узлов сетки на эффективность процедуры предобусловливания с неполным разложением Холецкого и скорость сходимости решателя СЛАУ [2]. Показывается, что простое упорядочивание узлов сетки приводит к сокращению времени решения СЛАУ в 1.3-1.5 раза.

В четвертой главе рассматривается вопрос применения современных подходов разработки программного обеспечения к пакетам математического моделирования. Предлагается концепция раздельной реализации интерфейса пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей [7]. Для обмена данными между этими частями предлагается достаточно простой и

гибкий механизм. Данная концепция позволяет существенно упростить перенос приложений под управление различных операционных систем за счет того, что платформозависимой является только интерфейсная часть, остальной же код пишется согласно стандарту языка С++ и при переносе потребует простой перекомпиляции.

Далее предлагается библиотека классов для разработки интерактивных графических систем математического моделирования, позволяющая комбинировать в одном приложении различные функциональные компоненты, делая систему легко настраиваемой под потребности конкретного пользователя (исследователя). Данная библиотека создавалась на основе реального опыта разработки пакета математического моделирования ТЕ1.МА и выполняет все основные операции по поддержке интерактивных элементов пользовательского интерфейса, позволяя разработчику сосредоточиться на реализации только прикладных задач.

Также рассматривается новый трехмерный препроцессор пакета математического моделирования ТЕЬМА, созданный на основе предложенных разработок и включающий объектно-ориентированную реализацию обобщенного метода тиражируемых сечений [1], предложенного во второй главе диссертационной работы. Использование объектно-ориентированного подхода позволяет сделать реализацию данного метода достаточно простой, интуитивно понятной и в то же время открытой для дополнительного настраивания и расширения.

Основные результаты работы

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем:

1. В рамках одной из известных реализаций метода тиражируемых сечений предложена процедура автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений, а также процедура автоматического определения количества промежуточных сечений в различных подобластях расчетной области, основывающаяся на размере треугольных эле-

20

ментов сетки, заданной на сечениях. Данные процедуры при минимальных трудозатратах со стороны оператора, задающего сетку, позволяют без ущерба для точности получаемого решения сократить число узлов в сетке на 1570% в зависимости от особенностей задачи. Эффективность этих автоматических процедур продемонстрирована на ряде практических задач.

2. На основе модифицированного метода тиражируемых сечений предложен обобщенный метод тиражируемых сечений, ключевой особенностью которого является возможность построения тетраэдральной сетки между сечениями с топологически различными триангуляциями. Таким образом практически полностью снимается ограничение на количество и расположение узлов на сечениях, что позволяет эффективно сгущать/разрежать сетку в различный подобластях расчетной области вне зависимости от геометрических размеров этих подобластей.

3. Проведено исследование эффективности ряда алгоритмов, используемых на разных этапах обобщенного метода тиражируемых сечений, включая различные альтернативные варианты алгоритмов построения тетраэдров в локальном объеме и альтернативные варианты алгоритмов формирования подобластей в образе треугольника грубой триангуляции, необходимых для построения тетраэдров. На основе этого исследования предложены наиболее оптимальные схемы реализации обобщенного метода тиражируемых сечений. Исследование проводилось на большом количестве триангуляций, построенных для практических задач.

4. На примере ряда модельных и практических задач с сильно разномасштабной геометрией расчетной области проведено исследование точности решений, получаемых на сетках, построенных обобщенным методом тиражируемых сечений и точности решений, получаемых на сетках, построенных стандартным методом тиражируемых сечений. Выявлено негативное влияние вытянутых элементов, содержащихся в сетках, построенных стандартным методом, на скорость сходимости решения СЛАУ и на точность получаемого решения. Продемонстрирована эффективность обобщенного ме-

хода тиражируемых сечений, позволяющего за счет более оптимальной сетки существенно повысить точность конечноэлементного расчета при минимальном увеличении вычислительных затрат по сравнению с сетками, построенными стандартным методом.

5. Предложена концепция раздельной реализации интерфейса пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей. Разработан простой и достаточно гибкий механизм взаимодействия прикладного кода с кодом, реализующим графический интерфейс пользователя. Предложенная технология позволяет существенно облегчить перенос приложений под управление различных операционных систем. Предложена библиотека классов для разработки графических интерактивных модулей пакетов математического моделирования, позволяющая комбинировать различные прикладные компоненты в одном приложении, делая систему легко настраиваемой под нужды конкретного пользователя (исследователя). На основе этой библиотеки разработан новый трехмерных препроцессор для пакета математического моделирования ТЕЬМА, включающий объектно-ориентированную реализацию обобщенного метода тиражируемых сечений. Использование объектно-ориентированного подхода позволило сделать реализацию обобщенного метода открытой для дополнительных настроек и расширений.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Ivanov I.A., Royak М.Е., Soloveichik Y.G. About Generalized Section Replication Method Implementation with Object-Oriented Design // Proceedings of 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology KORUS 2004. - Tomsk, Russia, Vol.2. - P.131-135. (О реализации обобщенного метода тиражируемых сечений с использованием объектно-ориентированного подхода)

2. Иванов И.А. О влиянии упорядоченности узлов конечноэлементной сетки на скорость сходимости решения СЛАУ в задачах с разномасштабной геометрией расчетной области // Сборник научных трудов HI ГУ - Новосибирск, 2005, №1(39). - С.9-14.

3. Иванов И.А. Об одной проблеме построения нерегулярных тетраэдральных сеток в областях с разномасштабной геометрией // Сборник научных трудов НГТУ - Новосибирск, 2003, №2. - С.79-84.

4. Иванов И.А., Рояк М.Э., Никулин А.С. О разработке пользовательского интерфейса для систем численного моделирования // Сборник научных трудов НГТУ - Новосибирск, 2004, №1,- С.61-66.

5. Рояк М.Э., Иванов И.А. Построение нерегулярных тетраэдральных сеток в областях со сложной разномасштабной геометрией // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004,4.2. - С.625-630.

6. Рояк М.Э., Иванов И.А. Разработка алгоритмов построения тетраэдральных сеток в областях со сложной геометрией // Материалы VII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП-2004). - Новосибирск: НГТУ, 2004, Т. 6. - С.322-327.

7. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Иванов И.А., Рояк С.Х. Построение нерегулярных тетраэдральных сеток в областях со сложной геометрией // Научный вестник НГТУ - Новосибирск, 2004, №1(16). - С.81-92.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. 346-08-57 формат 60x84/16, объем 1,5пл., тираж 100 экз., заказ № 1136, подписано в печать 13.10.05 г.

»19278

РНБ Русский фонд

2006-4 21556

5

1. Методы построения трехмерных сеток.

1.1. Обзор методов построения нерегулярных тетраэдральных сеток.

1.2. Метод тиражируемых сечений.

1.2.1. Построение тетраэдральной сетки по сетке из призм с треугольным основанием.

1.2.2. Формирование информации об узлах трехмерной сетки.

1.2.3. Формирование информации о конечных элементах при проходе по сечениям.

1.3. Автоматизация метода тиражируемых сечений.

1.3.1. Автоматическая генерация частично совпадающих промежуточных сечений.

1.3.2. Задание различного количества промежуточных сечений на сегменте.

1.3.3. Анализ работы предложенных автоматических процедур.

1.4. Выводы.

2. Обобщенный метод тиражируемых сечений.

2.1. Поиск образов треугольников грубой триангуляции в подробной.

2.1.1. Поиск образов узлов грубой триангуляции в подробной.

2.1.2. Поиск образов ребер грубой триангуляции в подробной.

2.1.3. Поиск треугольников подробной триангуляции, лежащих внутри ограничивающего контура.

2.2. Построение тетраэдров в локальном объеме.

2.3. Формирование подобластей в образе треугольника грубой триангуляции. Фронтальный способ.

2.4. Построение тетраэдров в локальном объеме в особых случаях.

2.5. Формирование подобластей в образе треугольника грубой триангуляции. Второй способ: формирование по образцу.

2.6. Обработка локальных объемов, для которых не удалось построить разбиение образа треугольника грубой триангуляции на подобласти

2.7. Совместное использование стандартной и обобщенной схемы построения тетраэдров.

2.8. Выводы.

3. Решение задач на сетках, построенных стандартным и обобщенным методом тиражируемых сечений.

3.1. Математическая модель.

3.2. Оценка точности решения на примере модельной задачи с осесимметричной геометрией.

3.2.1. Построение сетки для трехмерной задачи.

3.2.2. Анализ результатов.

3.3. Моделирование вихревых полей в тонкостенной металлической трубе

3.3.1. Построение сетки.

3.3.2. Анализ результатов.

3.4. Моделирование вихревых полей в обшивке самолета.

3.4.1. Построение сетки.

3.4.2. Влияние вытянутых элементов на точность получаемого решения

3.4.3. Анализ результатов моделирования ЭМ поля самолета.

3.5. Влияние упорядоченности узлов конечноэлементной сетки на скорость сходимости решения СЛАУ.

3.5.1. Сравнение критериев сортировки.

3.5.2. Зависимость скорости сходимости решения СЛАУ от ширины профиля матрицы.

3.6. Выводы.

4. Применение ООП при разработке интерактивных систем матетатического моделирования. Программная реализация обобщенного метода тиражируемых сечений.

4.1. Архитектура библиотеки.

4.2. Механизм взаимодействия с элементами пользовательского интерфейса.

4.3. Структура классов библиотеки.

4.4. Схема взаимодействия классов библиотеки.

4.5. Реализация обобщенного метода тиражируемых сечений с использованием ООП.

4.6. Трехмерный препроцессор пакета математического моделирования TELMA.

4.7. Выводы.

Сеточные методы являются в настоящее время основным инструментом решения наиболее сложных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих различные физические процессы. При этом одним из наиболее мощных методов численного моделирования с использованием аппроксимаций на сетках является метод конечных элементов (МКЭ) [29, 30, 55, 58, 70-80, 84]. Практически неограниченная точность описания всех границ геометрически сложных объектов и широкие возможности использования нерегулярных сеток с локальными сгущениями и разрежениями узлов сделали МКЭ очень популярным среди исследователей, ставящих перед собой задачу получения точных характеристик изучаемых процессов методами математического моделирования.

Проблема построения конечноэлементных сеток является одной из важнейших при решении различных задач с использованием МКЭ [2-6, 8-11, 14-17, 19, 21-27, 31, 34-38, 52, 53, 62]. Значительное внимание, уделяемое исследователями этой проблеме, объясняется тем, что очень часто от того, насколько эффективно удается выполнить дискретизацию расчетной области, зависит сама возможность решения конкретной практической задачи с нужной точностью. Немалую роль при этом играет форма используемых для дискретизации элементов. Поэтому столь велик интерес исследователей к различным процедурам построения двумерных и трехмерных триангуляций, то есть сеток, ячейки которых являются треугольниками в двумерном случае и треугольными пирамидами (тетраэдрами) в трехмерном случае. Этот интерес связан с тем, что именно процедуры построения триангуляций дают возможность получить существенно неравномерные согласованные сетки как с разрежениями узлов в одних подобластях расчетной области, так и с локальными сгущениями узлов в тех ее подобластях, где аппроксимация решения наиболее затруднена. При этом использование неравномерных нерегулярных сеток часто позволяет при фиксированном числе узлов существенно уменьшить ошибку аппроксимации по сравнению с различными структурированными (например, квазипараллелепипеидальными) сетками. Повышение же точности численного расчета за счет уменьшения ошибок аппроксимации, связанных с дискретизацией исходной задачи, и минимизация вычислительных затрат за счет уменьшения размерности системы аппроксимирующих уравнений (а в МКЭ размерность этой системы напрямую зависит от числа узлов в конечноэлементной сетке) являются важнейшими проблемами при проведении любого численного исследования.

Для двумерного случая в научных публикациях можно встретить достаточно много различных подходов к решению проблемы построения конеч-ноэлементных сеток [4, 5, 8, 10, 14, 24, 27, 37, 52, 61, 62, 70, 84]. Сюда относятся и различные модификации широко известных алгоритмов построения триангуляции Делоне [8, 24] (например, алгоритма Ватсона [37]), и методы автоматизированного построения адаптивных сеток [52, 84, 5, 14], и различные фронтальные методы [10]. Данные методы достаточно хорошо изучены и в настоящее время уже не вызывают столь большого интереса.

Гораздо более сложной и актуальной является задача построения оптимальных трехмерных конечноэлементных сеток. Особенно много проблем возникает при построении сеток для задач, расчетная область которых имеет сильно разномасштабную геометрию.

Под разномасштабной геометрией понимается то, что расчетная область содержит конструктивные макро- и микроэлементы, размеры которых отличаются друг от друга на несколько порядков. Причем, как правило, в задачах с подобной геометрией исследуется влияние именно микроэлементов, что ведет к необходимости сильно сгущать сетку вблизи них. При этом в рамках макроэлементов сетка может быть достаточно грубой.

Многие задачи имеют физически неограниченную расчетную область (например, геофизические задачи). При решении их методом конечных элементов расчетная область задается так, чтобы наличие границ не влияло на получаемое решение. То есть расчетная область должна быть много больше конструктивных элементов расположенных в ней - это так называемое условие "большого бака". Наличие такого "большого бака" приводит к тем же сложностям при построении сетки, что и разномасштабные конструктивные элементы. Таким образом, в рамках данного выше определения разномасштабной геометрии, "большой бак" также относится к макроэлементам, хотя и не является конструктивным элементом в обычном понимании этого слова.

Зачастую, значительно разрежать сетку при удалении от микроэлементов просто необходимо, так как в противном случае сетка будет содержать большое количество "лишних" узлов, не улучшающих точность конечноэле-ментной аппроксимации решения. Это, в свою очередь, ведет к излишним вычислительным затратам и, порой, к невозможности решить необходимую задачу без применения суперкомпьютеров, хотя при более оптимально построенной сетке она могла бы быть решена на современном персональном компьютере.

При отсутствии корректного разрежения узлов сетки в задачах с разномасштабной геометрией расчетной области возможны и более негативные последствия. При определенных условиях в такой сетке могут оказаться сильно вытянутые элементы, то есть элементы, у которых минимальная и максимальная длина ребер имеет отношение порядка 1:1000 и менее. Наличие таких элементов значительно ухудшает свойства матрицы аппроксимирующей СЛАУ. Это, во-первых, приводит к существенному ухудшению сходимости итерационного процесса при решении такой СЛАУ и, следовательно, к повышению временных затрат на решение задачи. Во-вторых, из-за плохой обусловленности матрицы может оказаться затруднительно получить решение с необходимой точностью. Таким образом, узлы не просто могут оказаться "лишними", но и привести к невозможности получить решение СЛАУ, а следовательно и всей задачи, с требуемой точностью.

Применение существующих методов построения нерегулярных сеток к областям с разномасштабной геометрией не позволяет в полной мере устранить описанные выше недостатки. Зачастую даже задание расчетной области с разномасштабной геометрией в современных пакетах математического моделирования вызывает значительные сложности. Так, например, в пакете ANSYS [1] с настройками по умолчанию при попытке задать объект с размерами значительно меньшими размеров всей расчетной области он был просто проигнорирован системой, которая сочла его пренебрежимо малым.

Таким образом, проблема построения оптимальных конечноэлемент-ных сеток, позволяющих получать численные решения различных задач математической физики в областях со сложной геометрией, до сих пор не разрешена в полном объеме и вызывает большой интерес у многих исследователей, занимающихся как вопросами создания процедур генерации таких сеток, так и использующих эти сетки при решении конкретных практических задач. Этим и определяется актуальность данной диссертационной работы.

Основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема численного решения задач электромагнетизма, имеющих расчетную область с сильно разномасштабной геометрией, обусловленная сложностями построения сеток близких к оптимальным в областях с подобной геометрией.

Цель исследований заключается в разработке и реализации алгоритмов построения тетраэдральных сеток, предназначенных для проведения расчетов трехмерных электромагнитных полей методом конечных элементов и позволяющих исследователю эффективно управлять процедурой генерации узлов при необходимости сгущения или разрежения узлов сетки в различных подобластях расчетной области.

На защиту выносится:

1. Процедуры автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений для известной модификации метода тиражируемых сечений, позволяющие облегчить работу оператора, задающего сетку, и без ущерба для точности получаемого решения сократить количество узлов в сетке на 15-70% в зависимости от особенностей задачи.

2. Обобщенный метод тиражируемых сечений, позволяющий использовать сечения с топологически различными триангуляциями и тем самым обеспечивающий возможность гибкого управления сгущением/разрежением узлов сетки в областях с сильно разномасштабной геометрией.

3. Результаты решения практических задач электромагнетизма из области геофизики на сетках, построенных разработанным обобщенным методом тиражируемых сечений, а также результаты исследования влияния вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения, на примере практических и модельных задач.

4. Объектно-ориентированная библиотека, созданная с учетом потребностей разработчиков современных систем математического моделирования, позволяющая облегчить создание многоплатформенных интерактивных систем, а также объектно-ориентированная реализация обобщенного метода тиражируемых сечений, выполненная на базе данной библиотеки и позволяющая легко настраивать и расширять предложенный метод.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан ряд алгоритмов, позволяющих автоматизировать построение сетки методом тиражируемых сечений.

2. Разработан метод, позволяющий строить тетраэдральную сетку между сечениями с топологически различными триангуляциями, основанный на сопоставлении треугольнику с одного сечения некоторого образа (состоящего из треугольников и ребер) с другого сечения и последующего заполнения полученной подобласти тетраэдрами.

3. Решены практические задачи с сильно разномасштабной геометрией расчетной области, решение которых не удавалось получить ранее на персональном компьютере с требуемой точностью.

4. Проведено исследование влияния вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения.

5. Предложен подход к разработке интерактивных систем математического моделирования, заключающийся в раздельной реализации интерфейса пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей, что позволяет облегчить перенос приложений на различные платформы. На базе данного подхода создана специализированная библиотека классов для разработки программных комплексов математического моделирования.

6. Предложена объектно-ориентированная реализация разработанного обобщенного метода тиражируемых сечений, позволяющая легко настраивать и расширять данный метод.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы построения нерегулярных трехмерных сеток реализованы в программном комплексе TELMA и применялись для решения практических задач из области геофизики со сложной разномасштабной геометрией расчетной области.

Личный вклад. Для метода тиражируемых сечений предложена процедура автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений и процедура автоматического определения количества промежуточных сечений в различных подобластях расчетной области. В качестве основной составляющей обобщенного метода тиражируемых сечений разработан метод построения сетки между сечениями с топологически различными триангуляциями, включая метод сопоставления треугольникам с одного сечения некоторого образа с другого сечения и способ разбиения пространства между треугольником и его образом на тетраэдры, не нуждающийся в информации об уже построенных тетраэдрах. Проведено исследование эффективности предложенных процедур. На основе исследования даны рекомендации по наиболее оптимальным схемам реализации обобщенного метода тиражируемых сечений. Исследовано влияние вытянутых элементов сетки на точность получаемого решения. Предложена объектно-ориентированная библиотека для разработки многоплатформенных интерактивных систем математического моделирования, на базе которой реализована новая версия трехмерного препроцессора для пакета TELMA, включающего объектно-ориентированную реализацию обобщенного метода тиражируемых сечений.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: региональной научной конференции «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2002, 2003гг); российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2004г); Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004г); VII международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004г); The Eighth Korea-Russia International Symposium on Science and Technology KORUS 2004 (Томск, 2004г). Работа поддержана грантом Федерального агентства по образованию № А04-8-704.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 11 печатных работ из них 4 статьи, 3 работы в сборниках трудов международных конференций и 3 работы в сборниках тезисов конференций.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников (85 наименований). Работа изложена на 182 страницах, включая 60 иллюстраций и 22 таблицы.

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. В рамках одной из известных реализаций метода тиражируемых сечений предложена процедура автоматической генерации частично совпадающих промежуточных и основных сечений, а также процедура автоматического определения количества промежуточных сечений в различных подобластях расчетной области, основывающаяся на размере треугольных элементов сетки, заданной на сечениях. Данные процедуры при минимальных трудозатратах со стороны оператора, задающего сетку, позволяют без ущерба для точности получаемого решения сократить число узлов в сетке на 1570% в зависимости от особенностей задачи. Эффективность этих автоматических процедур продемонстрирована на ряде практических задач.

2. На основе модифицированного метода тиражируемых сечений предложен обобщенный метод тиражируемых сечений, ключевой особенностью которого является возможность построения тетраэдральной сетки между сечениями с топологически различными триангуляциями. Таким образом практически полностью снимается ограничение на количество и расположение узлов на сечениях, что позволяет эффективно сгущать/разрежать сетку в различный подобластях расчетной области вне зависимости от геометрических размеров этих подобластей.

3. Проведено исследование эффективности ряда алгоритмов, используемых на разных этапах обобщенного метода тиражируемых сечений, включая различные альтернативные варианты алгоритмов построения тетраэдров в локальном объеме и альтернативные варианты алгоритмов формирования подобластей в образе треугольника грубой триангуляции, необходимых для построения тетраэдров. На основе этого исследования предложены наиболее оптимальные схемы реализации обобщенного метода тиражируемых сечений. Исследование проводилось на большом количестве триангуляций, построенных для практических задач.

4. На примере ряда модельных и практических задач с сильно разномасштабной геометрией расчетной области проведено исследование точности решений, получаемых на сетках, построенных обобщенным методом тиражируемых сечений и точности решений, получаемых на сетках, построенных стандартным методом тиражируемых сечений. Выявлено негативное влияние вытянутых элементов, содержащихся в сетках, построенных стандартным методом, на скорость сходимости решения СЛАУ и на точность получаемого решения. Продемонстрирована эффективность обобщенного метода тиражируемых сечений, позволяющего за счет более оптимальной сетки существенно повысить точность конечноэлементного расчета при минимальном увеличении вычислительных затрат по сравнению с сетками, построенными стандартным методом.

5. Предложена концепция раздельной реализации интерфейса пользователя и прикладных задач на уровне исполняемых модулей. Разработан простой и достаточно гибкий механизм взаимодействия прикладного кода с кодом, реализующим графический интерфейс пользователя. Предложенная технология позволяет существенно облегчить перенос приложений под управление различных операционных систем. Предложена библиотека классов для разработки графических интерактивных модулей пакетов математического моделирования, позволяющая комбинировать различные прикладные компоненты в одном приложении, делая систему легко настраиваемой под нужды конкретного пользователя (исследователя). На основе этой библиотеки разработан новый трехмерных препроцессор для пакета математического моделирования TELMA, включающий объектно-ориентированную реализацию обобщенного метода тиражируемых сечений. Использование объектно-ориентированного подхода позволило сделать реализацию обобщенного метода открытой для дополнительных настроек и расширений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. ANSYS, Inc. Corporate Homepage Electronic resource. / ANSYS, Inc. Electronic data. - Canonsburg, 2005. - Acc. mode: http://www.ansys.com. - Title from Internet home page.

2. Baker T.J. Automatic mesh generation for complex three-dimensional regions using a constrained Delaunay triangulation // Engnrg. Computers. Vol.5, 1989. -P.161-175.

3. Canann S.A., Saigal S. and Owen S.J. ed. Special Edition on Unstructured Mesh Generation // Int. J. Num. Meth. Engrg. Vol.49, 2000. - 35 lp.

4. Cavendish J.C., Field D.A., and Frey W.H. An approach to automatic three-dimensional finite element mesh generation // Int. J. Num. Meth. Engrg. -Vol.21, 1985. -P.329-347.

5. Chellamuthu K.C., Ida N. Algorithms and data structures for 2D and 3D adaptive finite element mesh refinement // Finite Elements in Analysis and Design. -47, 1994. P.205-229.

6. Connell S.D. and Braaten M.E. Semi structured Mesh Generation for Tree-Dimensional Navier-Stokes Calculations // AIAA Journal. Vol. 33,1 6, 1995. -P.l 017-1024.

7. Eppstein D. Approximating the minimum weight triangulation // Proceedings of the Third Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. New York, USA, 1992. -P.48-57.

8. Field D.A. Automatic generation of transitional meshes // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.50, 2001. -P.1861-1876.

9. Frykestig J. Advancing front mesh generation techniques with application to the finite element method. Goteborg, 1994. - 197p.

10. George P.L. Tet Meshing: Construction, Optimization, And Adaptation // Proceedings of 8th International Meshing Roundtable. South Lake Tahoe, CA, USA, 1999.-P.133-141.

11. Gridgen Reliable CFD Meshing Electronic resource. / Pointwise, Inc. - Electronic data. - Fort Worth, 2005. - Acc. mode: http://www.pointwise.com/gridgen. - Title from Internet home page.

12. Jin Н., Wiberg N.-E. Two dimensional mesh generation, adaptive remeshing and refinement // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.29, 1990. - P. 1501-1526.

13. Kallinderis Y., Khawaga A., McMorris H. Hybrid Prismatic/Tetrahedral Grid Generation for Viscous Flows Around Complex Geometries // AIAA Journal. -Vol.34,1 2, 1996. -P.291-298.

14. Lee С. K., Xu Q. X. A new automatic adaptive 3D solid mesh generation scheme for thin-walled structures // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.62, 2005. -P.1519-1558.

15. Lohner R., Onate E. A general advancing front technique for filling space with arbitrary objects // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.61, 2004. - P.1977-1991.

16. Meshing for Geological Applications Electronic resource. / Los Alamos National Laboratory. Electronic data. - Los Alamos, 1996. - Acc. mode: http://meshing.lanl.gov. - Title from Internet home page.

17. Moller P.W. Procedures in adaptive finite element analysis. Goteborg, 1994. -121p.

18. MSC.Software Corporation Electronic resource. / MSC.Software Corp. Electronic data. - Santa Ana, 2005. - Acc. mode: http://www.mscsoftware.com. -Title from Internet home page.

19. Owen S.J. A Survey of Unstructured Mesh Generation Technology // Proceedings of 7th International Meshing Roundtable. Dearborn, Michigan, USA, 1998. -P.239-267.

20. Parthasarathy V. and Kallinderis Y. New Multigrid Approach for Three-Dimensional Unstructured, Adaptive Grids // AIAA Journal. Vol.32, 1 5, 1994. — P.956-963.

21. Pirzadeh Sh. Three-dimensional Unstructured Viscous Grids by the Advancing-Layer Method //AIAA Journal. Vol.34,1 1, 1996. -P.43-49.

22. Rebay S. Efficient Unstructured Mesh Generation by Means of Delaunay Trian-gulation and Bowyer-Watson Algorithm // Journal of Computational Physics. -Vol.106, 4, 1993. — P.l25-138.

23. Seveno E. Towards an adaptive advancing front method // Proceedings of 6th International Meshing Roundtable. Sandia National Laboratories, USA, 1997. -P.349-360.

24. Shimada. K. ed. The 8th International Meshing Roundtable Special Issue: Advances in Mesh Generation // Computer Aided Design. Vol.33, Num.3, 2001. - 197p.

25. Shokin Yu.I., Sleptsov A.G. Grid-projection method with small angles in the cells // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. -Vol.10, !5, 1995. -P.449-462.

26. Soloveichik Y.G. Iterative method for solving finite element systems of algebraic equations // Computers Math. Applic. Vol.33, №6, 1997. - P.87-90.

27. Trolltech Cross-platform С++ GUI Development, and Embedded Linux Solutions Electronic resource. / Trolltech Сотр. - Olso, 2005. - Acc. mode: http://www.trolltech.com. — Title from Internet home page.

28. Uler F.G., Mohammed O.A. A 3-D Finite Element Mesh Generator for Complex Volumes // IEEE Transactions on Magnetics. Vol.30, '5, 1994. - P.3539-3542.

29. Uler F.G., Mohammed O.A. An efficient 3-D finite element mesh generator for electromagnetic analysis in complex volumes // 9th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetic: Conference Proceedings Tuscaloosa, USA, 1993.-P.696-703.

30. VGRID. An Unstructured Tetrahedral Grid Generation Program Based On Advancing Front Method Electronic resource. / ViGYAN, Inc. Hampton, 2005. - Acc. mode: http://www.vigyan.com/vgrid.shtml. - Title from Internet home page.

31. Watson D.F. Computing the n-dimensional Delaunay Tesselation with Application to Voronoi Polytopes. // Computer Journal. Vol.24, '2, 1981 - P. 167-172.

32. Wright J.P., Jack A.G. Aspects of three-dimensional constrained Delaunay tri-angulation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.37, 1994. - P. 1841-1861.

33. Бокс Д., Селлз К. Основы платформы .NET, том 1. Общеязыковая исполняющая среда. : Пер. с англ. М.: Издательский дом "Вильяме", 2003. — 288с.

34. Ваньян JI.JI. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965. -109с.

35. Домбровский В.В. Справочное пособие по расчету электромагнитного поля в электрических машинах. Л.: Энергоатомиздат, 1983. -256с.

36. Иванов И.А. Об одной проблеме построения нерегулярных тетраэдральных сеток в областях с разномасштабной геометрией // Сборник научных трудов НГТУ Новосибирск, 2003, №2.-С.79-84.

37. Иванов И.А. О влиянии упорядоченности узлов конечноэлементной сетки на скорость сходимости решения СЛАУ в задачах с разномасштабной геометрией расчетной области // Сборник научных трудов НГТУ Новосибирск, 2005, №1(39).-С.9-14.

38. Иванов И.А. Построение нерегулярных тетраэдральных сеток в геометрически сложных областях // Материалы докл. всероссийской науч. конф. «Наука. Техника. Инновации» Новосибирск, 2003, Ч.1.-С.112-114.

39. Иванов И.А. Применение метода конечных элементов для расчета электромагнитного поля в геометрически сложных областях // Тез. докл. российской научно-технической конф. «Информатика и проблемы телекоммуникаций» Новосибирск, 2004. -С.113-114.

40. Иванов И.А., Никулин А.С. Разработка каркасной библиотеки классов для комплексов математического моделирования // Материалы докл. всероссийской науч. конф. «Наука. Техника. Инновации» Новосибирск, 2003, Ч.1.-С.200-201.

41. Иванов И.А., Никулин А.С. Разработка пользовательского интерфейса для многоплатформенных приложений // Тез. докл. региональной науч. конф. «Наука. Техника. Инновации» Новосибирск, 2002, 4.1.-С. 166-167.

42. Иванов И.А., Рояк М.Э., Никулин А.С. О разработке пользовательского интерфейса для систем численного моделирования // Сборник научных трудов НГТУ Новосибирск, 2004, №1.-С.61-66.

43. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.:Физматлит, 1995. - 288с.

44. Каменецкая P.M., Каменецкий Ф.М., Мамаев В.А., и др. Применение аэроэлектроразведки методом переходных процессов при прогнозированиищ нефтеносных площадей // Изв. вузов. Геол. и разведка. 1988. - № 9.

45. Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов. М.:ГЕОС, 1997. - 162с.

46. Кузнецов А.Ю. Построение динамических триангуляций Делоне // Вариационные методы в задачах численного анализа. / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новосибирск:ВЦ СОР АН, 1991. -С.76-83.

47. Кузнецов Ю.А. Алгоритм построения сетки метода конечных элементов для расчета стационарных полей в трехмерных областях // Пакеты программ для задач математической физики. Новосибирск, ВЦ СОАН СССР, 1985. - С.67-81.

48. Кулон Ж.-Д., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике: Пер. с франц. -.4ь М.: Мир, 1988.-208с.

49. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными.-М., 1981.-216с.

50. Моисеев B.C., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Тригубович Г.М. Математическое моделирование электромагнитных полей в сложных средах // Тез. докл. междунар. геофиз. конф. 10-13 июля 1995. СПб., 1995. Т.2., №18.4

51. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304с.

52. Олафсен Ю., Скрайбнер К., Уайт К. Д. и др. Visual С++ 6 и MFC. Энциклопедия программиста Киев: ДиаСофт, 2003г. - 992с.

53. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. - 410с.0 61. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. — М.:1. Мир, 1989.-272с.

54. Рояк М.Э., Иванов И.А. Построение нерегулярных тетраэдральных сеток в областях со сложной разномасштабной геометрией // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004, Ч.2.-С.625-630.

55. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1996.-№2(4).-С.39-46.

56. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Иванов И.А., Рояк С.Х. Построение нерегулярных тетраэдральных сеток в областях со сложной геометрией // Научный вестник НГТУ Новосибирск, 2004, №1(16).-С.81-92.

57. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики: Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. 120с.

58. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Д. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. -М.: Мир, 1989. 190с.

59. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392с.

60. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков.- М.: Мир, 1986. 229с.

61. Соловейчик Ю.Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: Автореферат дис. докт. техн. наук. Новосибирск, НГТУ, 1997.

62. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Расчет трехмерного нестационарного электромагнитного поля с учетом вихревых токов // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1996. -№3(5). С.71-80.

63. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Совместное использование узловых и векторных конечных элементов для расчёта трёхмерных нестационарных электромагнитных полей // Сибирский журнал индустриальной математики. -2004. Т.7.-№ 3(19) - С. 132-147.

64. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Васильев А.В. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1997. - №9. - С.67-71.

65. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №10, 1998. -С.78-83.

66. Страуструп Б. Язык программирования С++. Специальное издание. М.: Бином, Спб.: Невский диалект, 2001. - 1098с. ^

67. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-350с.

68. Хмелевской В.К. Электроразведка. -М.: Изд.- МГУ, 1984.

69. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.-288с.

70. Шамис В. Borland С++ Builder 6 СПб.: Питер, 2003г. - 800 с.