автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Компьютерное моделирование сверхпроводящих электромагнитных подвесов пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков

На правах рукописи

БАТАРОНОВ Леонид Игоревич

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОДВЕСОВ ПРОБНЫХ ТЕЛ КРИОГЕННЫХ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНЫХ ДАТЧИКОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж — 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете.

Научный руководитель кандидат физико-математических наук,

доцент Шунин Генадий Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Пастернак Юрий Геннадьевич;

доктор физико-математических наук, профессор Сайко Дмитрий Сергеевич

Ведущая организация Воронежский государственный

университет

Защита состоится 14 декабря 2006 г. в II30 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026 Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан «14» ноября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета В. М. Питолин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка сверхпроводящих электромагнитных подвесов (СЭМП) пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков (гироскопов, акселерометров, сейсмометров и гравиметров) требует их эффективного компьютерного моделирования с целью оптимизации конструкций и сокращения затрат на создание прототипов.

Использование аналитических методов для решения интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающих распределение магнитного поля в СЭМП, не позволяет получить приемлемую для практики точность, а часто вообще невозможно в силу конструктивных особенностей этих устройств (разно-масштабность, многосвязность, наличие неоднородных сред). Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих процессы в рассматриваемых устройствах. Из существующих численных методов этой цели больше соответствует метод конечных элементов (МКЭ) как наиболее универсальный метод с минимальными ограничениями. МКЭ также хорошо адаптирован для вычисления интегральных характеристик, необходимых для анализа таких систем. МКЭ успешно применяется при решении задач расчета электромагнитных полей. Он стал математической основой универсальных компьютерных систем мультифизического анализа технических объектов, таких как АЫБУЗ, МБА, СОМБОЬ Ми^рЬуБЮБ и др. Однако математические модели, используемые в этих системах, не учитывают специфики электродинамики сверхпроводников, что приводит к невозможности их использования для моделирования СЭМП. Поэтому необходима разработка численных математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику электродинамики токонесущих сверхпроводников в мейснеровском состоянии.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР ГБ 2001.14 «Разработка физико-математического обеспечения системы компьютерного моделирования криогенных магнитогравиинер-циальных устройств» и ГБ 2004.14 «Разработка системы компьютерного моделирования криогенных магнитогравиинерциальных устройств» и соответствует одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета — «Вычислительные системы и программно-аппаратные электротехнические комплексы».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка численных математических моделей, учитывающих сохранение магнитного потока в многосвязных токонесущих сверхпроводниках, их алгоритмизация и программная реализация, а также компьютерное моделирование основных типов СЭМП пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: 1. Рассмотреть основные физико-математические модели, описывающие магнитные поля, создаваемые токонесущими многосвязными сверх-

проводящими элементами СЭМП, с учётом сохранения магнитного потока. Провести их дискретизацию, алгоритмизацию и разработать дополнительный программный модуль к пакету программ РЕМРЭЕ8о1уег.

2. На основе дискретизации интегральных уравнений СЭМП получить и исследовать численные математические модели базовых осесим-метричных элементов СЭМП.

3. Разработать методы построения, построить и исследовать численные математические модели экранированных СЭМП.

4. Разработать метод регуляризации решения интегральных уравнений СЭМП и на его основе получить и исследовать регуляризированные численные математические модели СЭМП.

5. Провести моделирование магнитного поля и расчет электромеханических характеристик основных типов СЭМП пробных тел криогенных гравиинерциальных приборов.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения магнитостатики сверхпроводников, методы математической физики, метод конечных элементов, метод интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры, теории графов, методы структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

дискретная конечно-элементная модель, учитывающая условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников;

программный модуль в пакете программ РЕМРОЕБоЬ/ег, предназначенный для моделирования СЭМП с учётом сохранения магнитного потока в сверхпроводящих токонесущих многосвязных конструктивных элементах;

комплекс численных математических моделей СЭМП, разработанный в рамках метода интегральных уравнений и позволяющий структурно моделировать произвольные осесимметричные экранированные СЭМП;

обоснование вычислительной устойчивости, сходимости и адекватности разработанных моделей; определение скорости сходимости модели и ее ошибки;

программная реализация разработанных численных моделей, позволяющая осуществить их интеграцию в систему компьютерного моделирования СЭМП.

Практическая значимость работы заключается в развитии системы компьютерного моделирования СЭМП, учитывающей специфику электродинамики сверхпроводников и позволяющей проводить эффективное компьютерное моделирование реальных конструкций криогенных гравиинерциальных датчиков с целью их оптимизации. Данный пакет программ может найти применение при решении других задач электротехники.

Реализация и внедрение результатов работы. Пакет программ РЕМРОЕ8о1уег зарегистрирован в ФГУП ВНТИЦ и внедрен в учебный процесс подготовки студентов специальностей «Техника и физика низких

о

температур» и «Техническая физика» Воронежского государственного технического университета.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на И, III и IV Международных семинарах «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2003, 2004, 2005); I, II и III Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2004, 2005,2006); международной школе-семинаре для молодых ученых, аспирантов и студентов «Нелинейные процессы в дизайне материалов» (Воронеж, 2002), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного технического университета (2002-2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: в [1, 4, 5, 8, 10, 14] - компоненты алгоритмического и программного обеспечения дополнительного программного модуля к пакету программ FEMPDESolver; в [2, 3, 6, 7, 9] - реализация схем МКЭ для сверхпроводниковых токонесущих систем и проведение вычислительных экспериментов, в [11-13] - проведение расчетов и численных исследований моделей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и приложения. Основная часть работы изложена на 165 страницах и содержит 75 рисунка и 17 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость результатов работы.

В первой главе рассмотрены основные типы сверхпроводящих подвесов пробных тел (ПТ) криогенных гравиинерциальных приборов, методы их расчёта и физико-математические модели, используемые в разрабатываемой системе компьютерного моделирования на основе пакета программ FEMPDESolver. Описаны структура и возможности модифицированной версии 2.1 этого пакета, а также приводятся состав, функции и основные алгоритмы препроцессора.

Как известно, макроскопические сверхпроводящие токовые системы можно корректно описать через скалярный магнитный потенциал Ф, который удовлетворяет уравнению Лапласа Дф = 0. Если в сверхпроводнике течет ток /, то задается скачок потенциала, равный току /, на некоторой поверхности разреза Г:

Ф+-Ф_ =/,

где ф+ и ф_ - значения неизвестной функции в одной и той же точке по разные стороны этой поверхности. Требуемое распределение магнитного поля соответствует точке минимума функционала

п

рассматриваемого на множестве функций, удовлетворяющих заданному условию на Г. Однако для случая «замороженного» потока, когда поток Ф0 через отверстие замкнутого сверхпроводника фиксирован, ток / заранее неизвестен; в самом сверхпроводнике устанавливается такое его значение, которое обеспечивает постоянство потока Фо- В такой постановке ток / является варьируемым параметром, который по-прежнему учитывается как скачок потенциала.

Показано, что функционал записанный в виде

п

учитывает интегральное соотношение сохранения потока

Ц»гё</Г=ф»

как необходимое условие минимума Г для заданного значения Ф0. Особенность данной формулировки состоит в том, что она, наряду с потенциалом ф, включает еще одну переменную - силу тока /. Применительно к МКЭ это означает появление дополнительной степени свободы, не связанной с узловыми значениями.

Рассмотренная формулировка обобщается для системы к сверхпроводников с током. Для этого вводятся к поверхностей разреза Г, так, чтобы при обходе вокруг сверхпроводника контур пересекал соответствующую поверхность. На каждой поверхности задается свой «замороженный» поток Ф0/. Для такой задачи получен функционал

^(ф, /,, /2,..., 1к) = Ц- ¡(7ф)2 ао.+X Ф0;. /,. |Г/,

П '=1

минимальное значение которого, определяемое на множестве функций, терпящих скачки на Г,

Ф+-Ф_|Г/ =/,, 1=1,

соответствует распределению поля, удовлетворяющему уравнению Лапласа Дф = 0, однородному граничному условию Немана ду/дп = 0 и условиям сохранения потоков

и„/!^г = Ф0,<'=1.....

^ дп

11

В случае конечноэлементной реализации задачи получим, дополнительно к узловым, к степеней свободы: /ь /2,Д.

Рассмотрены особенности учета условия сохранения потока в реализации МКЭ. Показано, что появление дополнительного условия сохранения потока меняет локальные системы конечных элементов, примыкающих к поверхности разреза только с одной стороны, а эле-

4

менты по другую сторону от Г, дают такой же вклад, как если бы условия не было. Причем модификация локальных матриц происходит путем добавления симметричным образом строки и столбца, соответствующих дополнительной степени свободы /,. Новое дискретное уравнение МЬСЭ в глобальной системе, возникающее в связи учетом интегрального условия на Г„ строится как простое суммирование вкладов конечных элементов, примыкающих к /-му разрезу с определенной стороны, и последующим приравниванием к Ф0,. Причем характер этих вкладов зависит от того, чем касается разреза элемент (вершиной, ребром или гранью). В итоговом уравнении, соответствующем степени свободы /,, поток выражается через интегралы по области конечных элементов, примыкающих к Г. Путем преобразования этих интегралов к поверхностным найдено, что при суммировании вкладов соседних элементов, примыкающих к поверхности разреза, посторонние интегралы будут взаимно уничтожаться, за исключением нескольких, которые возникают от элементов с гранями, являющимися частью внешней границы (из-за отсутствия смежного элемента). Влияние этой ошибки невелико, так как на внешней границе приближенно выполняется условие ду/дп = 0.

Во второй главе на основе интегральных уравнений СЭМП разрабатываются и исследуются численные математические модели базовых осесимметричных элементов СЭМП.

Интегральная физико-математическая модель СЭМП строится исходя из условия сохранения магнитного потока в контуре сверхпроводника и для СЭМП из осесимметричных тел имеет вид

^^ , Ф* -2тгр.(/)4ех1)(0

ЕЙе&олсп^——* ф > к = \..к, (1)

и=1 с„ М-о

где Ск — контур поперечного сечения Аг-тела, через который протекает поверхностный сверхток с плотностью У*, К — число связных тел в СЭМП, ядро Q определяется формулой Q{li Г) = ^рр'/(т{1, /')), Ф* -поток через контур £-тела, р* — радиальная цилиндрическая координата на поверхности этого тела, А^ех1) — ср-компонента вектор-потенциала

внешнего магнитного поля. Ядро Q в уравнении (1) имеет логарифмическую особенность при / = /', поэтому (1) относится к классу слабо сингулярных интегральных уравнений.

Регуляризация физико-математической модели при дискретизации для одиночного тела в форме кольца проводилась по методу выделения особенности: на интервале дискретизации, содержащем сингулярность, значение ядра принималось равным среднему значению, полученному аналитическим интегрированием главных членов разложения ядра в окрестности точки сингулярности. В результате была получена численная математическая модель распределения сверхтока на изолированном кольце:

Л/Ё в^, = (ф - )/и0> У = о..лг -1,

(2)

где Л/ и Аг- длина интервала и число точек дискретизации, матрица

1п

16р, А/ г

' = 7. 4Р<Р/

(3)

. / * У-

Для восстановления распределения индукции магнитного поля по результатам решения модели были получены интегральные выражения для компонент индукции, на основе которых построена численная модель распределения магнитного поля. Разработана методика расчета макроскопических характеристик - коэффициента индуктивности и пондеромо-торной силы — по распределению сверхтока.

Модель (2), (3) была протестирована на кольцах круглого и прямоугольного сечений при различных значениях числа переменных N и геометрических параметров. Пример распределения плотности тока и магнитного поля вокруг кольца с захваченным потоком во внешнем однородном поле показан на рис. 1.

1 7

^ А/м

0 и Г\ 5 75 Г\

\ п /

1

/ А/м

::::::: ч ч ч ч

ПН

.......' - - УН» ИМ

. . . . 1 . < 4, * * * * *

* ♦ ♦ ♦

1 1 1 ^ ^ 1 1 * ♦

♦ М 1

»(!(

Ни

• « 1 < » » » ) *

....»» ч ч ч • * * Г *

> * е >

г / * *

г > > >

Рис. 1. Распределение сверхтока и индукции магнитного поля для одиночного кольца во внешнем поле

Рис. 2. Зависимость нормированной на \хф разности рассчитанных коэффициентов индуктивности -/-юо (1), Ь0-Ь500 (2) и ¿юо-¿зоо (3) от отношения Ыа

Рассчитанные в модели макропараметры согласуются с найденными в рамках МКЭ. Численное исследование зависимости решения модели от N показало устойчивость расчета и сходимость модели в широком диапазоне геометрических параметров. Была установлена зависимость числа обусловленности модели в чебышевской норме Учебыш = С-тУ, где С = 2-г-З, что, например, для N= 1600 составило Учебыш ~ 4500.

Для проверки адекватности и точности модели рассчитанные коэффициенты индуктивности ¿юо и ¿500 для 100 и N=500 были сопоставлены с известной аналитической формулой Ь0 для тонкого кольца, асимптотически точной при ¿> /я -» со, где Ъ — радиус кольца, а — радиус его сечения (рис. 2). Как видно из рис. 2, разность расчетных значений для N= 100 и N= 5 00 (линия 3) практически не зависит от Ъ /а, что свидетельствует о независимости ошибки модели от геометрии системы. С увеличением отношения Ыа расчетные значения приближаются к аналитическому результату (линии 1 и 2), что обосновывает адекватность и сходимость модели. Сближение прекращается и разность АЬ выходит на постоянное значение (линия 1) при достижении уровня точности для данного значения N. Таким образом, при числе точек дискретизации N= 100 ошибка расчета индуктивности составляет АЫО~3Цо&- Аналогичная тенденция наблюдается и при N=500 (линия 2).

В качестве базовых моделей, из которых строится модель произвольного осесимметричного СЭМП, были выбраны модель кольца и шара и модель двух колец.

В первой из этих моделей учет тела в форме шара произведен на основе метода изображений, что в итоге выразилось лишь в добавлении к элементам (3) матрицы () слагаемых

Рис. 3. Зависимость ошибки модели от числа точек дискретизации

¿с?,,./=

с

4Я2Р,Р,

(4)

ч Д4 + (р,2 + 2,2)(р/ + г/) - 2Д2(г,.г, - р(р,)у

где Я - радиус шара. Регуляризация этих слагаемых не требуется, так как на контуре кольца они не имеют сингулярности. Исследование численной математической модели (2)—(4) по сходимости, адекватности и числу обусловленности уЧебыш показало результаты, полностью аналогичные предыдущей модели.

С использованием точных значений коэффициента индуктивности и пондеромоторной силы, полученных в регуляризированной модели, была исследована зависимость ошибки расчета макропараметров от числа переменных спрямлявшаяся в двойных логарифмических координатах (рис. 3). Регрессионная обработка данных рис. 3 показала, что относительная ошибка определения параметра бросДГ1, то есть модели СЭМП на основе прямой дискретизации физико-математической модели (1) характеризуются сравнительно медленной сходимостью.

При моделировании колец прямоугольного сечения для устранения логарифмической особенности решения в угловых точках применялось скругление углов сечения с некоторым радиусом г. Было исследовано влияние г на макропараметры системы и показано, что уменьшение радиуса скругления приводит к уменьшению значений, рассчитываемых по кольцу, и росту макропараметров, вычисленных по шару, в пределах О,1 %.

Во второй базовой модели двух колец введение второго кольца учитывается дополнительным интегральным уравнением, так что численная математическая модель имеет вид

ЛЛ-1 ЛЛ-1

/=0 /=0

Цо

ъ.

Ио

(5)

1=0 1=0 где матрицы £>(1) и 0(2) определяются регуляризированными выражениями (3), а матрицы и 1} не требуют регуляризации, так как находятся для координат / и /', принимающих значения на разных контурах С\ и Сг:

(_1В&_1 (6)

(Р,+Р уУ+Сг,-^)2] Конкатенацией матриц <2, столбцов правых частей и столбцов по блочному принципу

2 =

Д/2

А/2 0(2) А/, И

в =

ф,

ц0Д/2

Ф.

у =

система (5) сводится к одному матричному уравнению QJ=B.

Рис. 4. Распределение плотности поверхностного тока и магнитного поля для системы двух колец с круговым сечением (штриховая линия — положительные значения плотности тока)

Пример решения сформулированной численной математической модели для двух колец кругового сечения показан на рис. 4. Численное исследование модели показало ее сходимость и устойчивость расчета. Адекватность модели была установлена при сравнении с результатами независимых расчетов. Установлено, что устойчивость расчета не зависит от соотношения шагов дискретизации А4 по контурам колец. Исследование зависимости ошибки модели от числа N показало результаты, полностью аналогичные предыдущей модели по характеру зависимости и абсолютному уровню ошибки. Вместе с тем, зависимость числа обусловленности от N характеризуется значением С= 15, что на порядок больше, чем для модели одного тела. Данное обстоятельство связано с влиянием недиагональных блоков (6) матрицы Q.

В третьей главе рассмотрено моделирование экранированных СЭМП. Особенность физико-математической модели здесь состоит в том, что в системе отсутствует внешнее магнитное поле и контуры С к, соответствующие экранам, незамкнуты.

Для построения моделей СЭМП предлагаются три метода. По методу изображений могут быть учтены экраны, составленные из плоскостей, перпендикулярных оси симметрии СЭМП, и частей сфер с центрами на оси симметрии. Совокупность рассматриваемых элементов порождает систему изображений внутренних тел СЭМП, учитываемых модификацией матрицы (3) дополнительными слагаемыми

¿а, = , „ *?:р/—vi' (8)

V {(Pi+Pj)

где (р , z ) - координаты изображения точки (р, z). Слагаемые (8) должны быть добавлены для каждого внутреннего тела СЭМП в виде суммы по всей системе его изображений.

Пример расчета модели (2), (3), (8) для кольца кругового сечения над плоским экраном приведен на рис. 5. Исследование модели для двух

Рис. 5. Распределение сверхтока по поверхности кольца и плоского экрана

основных случаев плоского и сферического экранов показало ее устойчивость, сходимость и адекватность.

Методом интегрального уравнения осуществляется моделирование замкнутых экранов СЭМП сложной формы продольного сечения. Включение экрана в физико-математическую модель осуществляется здесь введением дополнительного интегрального уравнения, описывающего распределение сверхтока по экрану, и добавлением в левые части уравнений (1) слагаемого, описывающего влияние магнитного поля от индуцированного на экране сверхтока. Для сохранения регуляризации вида (2) на незамкнутом контуре сечения экрана крайние точки дискретизации по этому контуру должны отстоять на полшага дискретизации от концов контура. Тогда введение экрана в модель осуществляется конкатенацией вида (7) с диагональным блоком вида (3) для экрана и недиагональными блоками вида (6). Результат расчета модели для системы двух колец с цилиндрическим экраном со скругленными углами показан на рис. 6.

Рис. 6. Распределение плотности сверхтока на верхнем (1) и нижнем (2) кольцах и по цилиндрическому экрану

Исследование модели показало, что уменьшение радиуса скругле-ния экрана не влияет на сходимость модели и устойчивость расчета.

При наличии незамкнутых экранов предложено использование комбинированного метода, в котором плоские и сферические участки экрана учитываются модификацией вида (8) элементов (3) матрицы О, а остальные участки — по методу интегрального уравнения. При этом в интегральном уравнении используется незамкнутый участок экрана. Исследование численной математической модели, составленной по этому методу, показало согласованность магнитных полей участков экрана, описываемых разными методами, так что комбинированный метод также дает адекватные численные математические модели экранированных СЭМП.

В четвертой главе разрабатывается метод регуляризации решения физико-математической модели (1) на основе метода Галеркина, дающий хорошо обусловленные быстро сходящиеся численные математические модели.

В основе метода лежит представление решения в виде разложения решения уравнения (1) по системе ортогональных функций и,(Г), близких в смысле соответствующей нормы к системе собственных функций интегрального оператора в (1). В результате физико-математическая модель преобразуется к представлению функций и,{Г)

(9)

)

с матричными элементами интегрального оператора

ви = /К(/)£(и>,(/'уааг, (Ю)

образующими почти диагональную матрицу. При этом сингулярность ядра О, исключается из уравнения (9) в новом представлении и переносится на вычисление несобственных интегралов (10).

Для колец с круговым сечением в качестве функций и,(Г) предлагаются тригонометрические функции ряда Фурье в комплексной форме. Для этого случая осуществлена регуляризация вычисления интеграла (10) в виде:

«= &п т + КЧ + К2)т + ,

2тс 2к

Сг„ „ =

ПуТП

1

2 пЪ

II

КЧ =*8„„

о,

1п2, т 1

т

, т Ф 0,

1п2, /и = 0,

——, шф 0, I т\'

Яп,1 ^ 1 + 1)

па

1п2, п = 0,

(П)

где функция g является непрерывной вместе с первыми производными.

Дискретизация модели (9) затем осуществляется усечением ряда до М членов, что дает регуляризированную численную математическую модель СЭМП:

Е п = -М..М.

(12)

т=—М

Полная формулировка модели включает в себя также численный расчет интеграла в (11), который осуществлялся по стандартным квадратурным формулам с разбиением отрезков на//частей.

Результаты исследования влияния числа переменных М модели на восстановление формы распределения сверхтока и расчетный коэффициент индуктивности приведены на рис. 7, который показывает, что макропараметры, определяемые первыми коэффициентами ряда, сходятся значительно быстрее всего распределения. Вследствие почти диагональности матрицы () относительная точность полученного распределения в чебы-шевской норме может быть оценена сверху величиной 6С = \]м //0|. Как

показало численное исследование, значение N не влияет на получаемые результаты уже начиная с Ы= 100, а зависимости ошибки определения макропараметров и до от числа М переменных модели спрямляются в полулогарифмических координатах (рис. 8) и имеют вид 8С ос 2~м, ЪМ1 ос 5~м, 8/, ос 5~м. В частности, согласно рис. 3 и рис. 8,

одинаковая точность расчета индуктивности Ь достигается при М=1 в регуляризированной и при 106 в нерегуляризированной модели.

0.1

0.01

ю"3

X ю"4

0.77415 0.773866 ю-5

0.773812

0.773801 0.773799 ю"6

Рис. 7. Влияние числа членов ряда на точность восстановления формы распределения и значения макропараметров

4 5

Рис. 8. Зависимость ошибки определения параметров в регуляризированной модели от числа переменных

Аналогичным образом была сформулирована регуляризированная численная математическая модель для системы двух колец, исследование которой показало такие же результаты по сходимости.

Адекватность модели была обоснована сравнением с известным аналитическим решением для двух тонких одинаковых колец на близком расстоянии, асимптотически точным при сближении колец.

В пятой главе приводятся результаты компьютерного моделирования основных типов сверхпроводящих подвесов методом конечных элементов.

В плоскопараллельном приближении промоделирован бифиляр-ный сверхпроводящий подвес, представляющий собой множество параллельных ниобиевых проводов диаметром 0,3 мм, выстроенных в линию, над которыми левитирует пробное тело (плоскость). Особенности намотки катушки таковы, что направления токов в соседних проводах противоположны по знаку. Вычислены запасенная энергия подвеса и сила, действующая на пробное тело, в зависимости от величины зазора. В случае одинаково направленных токов значения силы и энергии (индуктивности) существенно больше, чем для противоположно направленных токов. Однако относительное изменение величин, наоборот, меньше в первом случае, чем во втором. Так, на расстоянии от 5 = 0,1 мм до 5 = 0,5 мм сила уменьшается более, чем в 10 раз для противоположно направленных токов, тогда как для одинаково направленных токов она уменьшается только в 2 раза. Вычислена также жесткость бифилярного подвеса, характеризующая отклик системы на внешние воздействия.

Максимально допустимый ток запитки цепи бифилярного подвеса найден из условия, что напряженность создаваемого им поля ни в одной точке расчетной области не должна превышать первое критическое поле ниобия Нс\ -Bc\I\x.q « 111400 А/м. Найденное значение максимальной напряженности поля при 8 = 0,3 мм и токе /о = 1 А составляет Птах.№ 2240 А/м, следовательно, максимальный ток запитки равен Лпах = Hc\Iq ///max « 49,7 А.

Адекватность модели расчета поля с сохраняющимся магнитным потоком была проверена на примере кольца, помещенного во внешнее однородное поле Но, направленное перпендикулярно плоскости кольца. Отношение радиуса кольца R к радиусу поперечного сечения провода равно 22.4. Магнитный поток через кольцо равен нулю. При решении задачи использовалась осесимметричная формулировка. И характер зависимости, и числовые значения хорошо согласуются с известными теоретическими и экспериментальными данными. Так, теоретическое значение в точке r-R/2 равно 0.405 Но, численный расчет с помощью МКЭ дал значение 0.403 Н0.

Один из вариантов чувствительного элемента криогенного гравиметра представляет собой усеченный конус, левитирующий в поле кольца. Вычислена запасенная энергия подвеса (при токе /о = 1 А):

1У= 4,5386-10-6 Дж. Получено соответствующее значения силы, действующее на пробное тело: 4,076-10^ Н. Найденное значение максимальной напряженности поля составляет Нтах&3385 А/м, следовательно, максимальный ток запитки равен /тах = 70 • 7/С1/Ятах«32,9 А. Максимальная подъемная сила, соответствующая этому току: (^2)тах « 0.441 Н.

Проведено компьютерное моделирование распределения магнитного поля в сверхпроводящем сферическом подвесе с одной катушкой круглого сечения и в двухкатушечном сферическом подвесе, помещенном в сверхпроводящий экран, который является чувствительным элементом криогенного гравиметра (рис. 9). Анализ распределений магнитного поля в различных положениях ПТ позволяет получить оптимальные параметры и режимы работы гравиметра. Ток в нижней катушке 1\ = 2,2 А, в верхней катушке Ь = 0,77 А. Число витков сверхпроводящего провода в каждой катушке И= 400.

Рис. 9. Схема сверхпроводящего Рис. 10. Распределение вектора на-сферического подвеса: 1 — экран, пряженности магнитного поля 2 — катушки, 3 — пробное тело

Рассчитаны запасенная энергия Ж, подъемная сила Гг и осевая жесткость с2. Подъемная сила ^ в положении шара 5 = 6 мм совпадает с весом пробного тела гравиметра, равного 4,4-10~2 Н, что соответствует равновесному положению ПТ в чувствительном элементе гравиметра С\\Т1.

Исследовано взаимодействие двух одинаковых соосно расположенных колец с замороженными потоками. Радиусы колец 28 мм, радиус сечения 10 мм. В каждом кольце будет устанавливаться ток I,, создающий такой собственный поток, чтобы в сумме с потоком от другого кольца дать фиксированную величину Ф,. При использовании вариационной формулировки, учитывающей сохранение потока, этот ток определяется из решения конечно-элементной задачи. Энергия системы из

двух колец может быть найдена либо по формуле

либо путем интегрирования по всей расчетной области:

|(Уф)2</0. (14)

В случае, когда Ф)=Ф2, вычисленные значения токов в кольцах совпадают в пяти знаках, что характеризует точность численных расчетов. Внутренняя непротиворечивость результатов также подтверждена расчетом энергии независимо по формулам (13) и (14) с той же точностью. Силы взаимодействия между кольцами носят характер притяжения.

Более интересной является ситуация, когда потоки в кольцах различны по модулю (но с одинаковым знаком): Ф) = 8л;2 • Ю-7 Вб, Фг = 16л;2- 10" Вб. Вычисленные значения запасенной энергии как по формуле (13), так и по формуле (14) показывают совпадение с той же точностью, что говорит в пользу скалярной формулировки полевой задачи с разрезом и интегральным условием на этом разрезе. Следует отметить, что вид взаимодействия в данном случае меняется с изменением расстояния (рис. 11). На малых расстояниях друг от друга (примерно до радиуса колец) между кольцами действует сила отталкивания, быстро нарастающая при их сближении. При удалении колец она сменяется силой притяжения, достигающей максимума (при с! = 37 мм), а затем медленно убывающей до нуля. Зависимость энергии от расстояния характеризуется наличием потенциальной ямы (рис. 11).

Рис. 11. Зависимость энергии (а, Ж-106, Дж) и силы (б, Г2-108, Н) от расстояния между плоскостями колец

Полученные результаты могут быть полезны при разработке оптимальных конструкций криогенных гравиинерциальных датчиков.

Приложение содержит текст программного модуля процессора пакета программ РЕМРОЕБоКег 2.1, обеспечивающего учет граничных и дополнительных условий — условий сохранения потока и скачка потенциала, а также копию акта внедрения программы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получена дискретная конечно-элементная модель, учитывающая условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников.

2. Разработан дополнительный программный модуль к пакету программ РЕМРОЕ8о1уег 2.1, позволяющий учитывать сохранение магнитного потока в многосвязных токонесущих сверхпроводящих элементах СЭМП.

3. На основе интегральной физико-математической модели осе-симметричной СЭМП с использованием метода выделения особенности построены базовые численные математические модели СЭМП - шара с кольцом, двух колец - являющиеся структурными элементами формирования произвольной модели многотельной СЭМП.

4. Разработаны методы моделирования экранированных СЭМП, включающие метод изображений, метод интегрального уравнения и комбинированный метод, в рамках которых произведено обобщение базовых численных математических моделей на экранированные системы.

5. Проведено численное исследование свойств построенных численных математических моделей: устойчивости расчета, сходимости, точности, адекватности. Показано, что все модели монотонно сходятся к решению физико-математической модели. Установлено, что точность моделей обратно пропорциональна числу переменных, а число обусловленности моделей пропорционально ему.

6. Разработан метод регуляризации решения системы интегральных уравнений СЭМП, позволяющий строить эффективные быстро сходящиеся численные математические модели. На основе исследования разработанных регуляризированных базовых моделей показано, что они адекватны и обладают показательной сходимостью по числу переменных.

7. Проведен конечно-элементный анализ распределения магнитных полей в основных типах СЭМП и определены области, где в первую очередь может произойти разрушение сверхпроводимости.

8. Рассчитаны индуктивность и сила в зависимости от линейных смещений пробного тела в СЭМП, определены предельно допустимый рабочий ток в сверхпроводниковых катушках подвеса и максимальная подъемная сила.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1.Пакет программ РЕМРОЕБоКег 2.0 для конечно-элементного анализа сверхпроводящих токонесущих систем / Г. Е. Шунин, С. А. Кострюков, В.В. Пешков, Д. В. Каталиков, П. А. Потехин, Л. И. Батаронов и др. // Известия Академии наук. Сер. физ. 2004. Т. 68, № 7. С. 1038-1044.

2.Компьютерное моделирование сферического сверхпроводящего подвеса / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Сер. физ. 2006. Т. 70. № 8. С. 1138-1140.

3.Батаронов Л.И. Копьютерное моделирование распределения магнитного поля вблизи сверхпроводящего кольца с нулевым магнитным потоком / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2006. Т. 2. № 8. С. 19-22.

Статьи

4.Комплекс программ FEMPDESolver 2.0 для компьютерного моделирования нелинейных процессов в сверхпроводящих структурах / Г.Е. Шунин, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Д.В. Каталиков, П.А. Потехин, Л.И. Батаронов и др. // Нелинейные процессы в дизайне материалов: тез. докл. междунар. школы-семинара. Воронеж, 2002. С. 204-206.

5.Пакет программ FEMPDESolver 2.0 для конечно-элементного анализа сверхпроводящих токонесущих систем / Г.Е. Шунин, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Д.В. Каталиков, П.А. Потехин, Л.И. Батаронов и др. // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: материалы междунар. конф. Воронеж, 2003. С. 254-257.

6.Компьютерное моделирование многосвязных сверхпроводящих систем / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, В.В. Пешков и др. // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах: материалы междунар. семинара. Воронеж, 2004. С.257-259.

7.Батаронов Л.И. Компьютерное моделирование сверхпроводникового бифилярного подвеса / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы междунар. семинара. Воронеж, 2004. С. 167-175.

8.Основные алгоритмы процессора комплекса программ FEMPDESolver: 1. Конечно-элементная аппроксимация решения дифференциальных уравнений / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах: материалы IV междунар. семинара. Воронеж, 2005. С.100-106.

9.Моделирование криогенного гравиметра / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы II междунар. семинара. Воронеж, 2005. Ч. 2. С. 3-6.

10. Основные алгоритмы процессора комплекса программ FEMPDESolver: 2. Формирование структуры хранения матрицы / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы II междунар. семинара. Воронеж, 2005. 4.2. С. 88-93.

, 11. Батаронов Л.И. Моделирование осесимметричной системы сверхпроводящих многосвязных тел методом интегральных уравнений / Л.И. Батаронов, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, 2006. С. 3-34.

12. Батаронов Л.И. Моделирование экранированной системы сверхпроводящих тел вращения методом интегральных уравнений / Л.И. Батаронов, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, 2006. С. 35-54.

13. Батаронов Л.И. Регуляризация решения интегральных уравнений для системы сверхпроводящих многосвязных тел / Л.И. Батаронов, Г.Е. Шунин // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, 2006. С. 55-78.

14. Пакет программ FEMPDESolver 2.1 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных / Л.И. Батаронов, С. А. Кострюков, В.В. Пешков, Я.В. Сбитнев, Г. Е. Шунин // ФГУП ВНТИЦ №50200601185. М., 2006.

Подписано в печать 10.11.2006 - Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов.

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 90 экз. Заказ № 461 ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет» . 394026 Воронеж, Московский просп., 14

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Система компьютерного моделирования сверхпроводящих электромагнитных подвесов

1.1. Основные типы сверхпроводящих подвесов и методы их расчета

1.2. Основные физико-математические модели

1.3. Структура и описание комплекса программ РЕМР-ОЕБокег

1.4. Основные алгоритмы процессора комплекса программ РЕМРОЕ8о1уег 2.

ГЛАВА 2. Моделирование осесимметричной неэкранированной системы сверхпроводящих многосвязных тел методом интегральных уравнений

2.1. Формулировка физико-математической модели

2.2. Математическая модель изолированного кольца

2.3. Система кольца и шара

2.4. Система двух колец

2.5. Обсуждение результатов

ГЛАВА 3. Моделирование экранированной системы сверхпроводящих тел

3.1. Математическая модель системы сверхпроводящих тел при наличии экранов

3.2. Моделирование экранов на основе метода изображений

3.3. Моделирование экранов методом интегрального уравнения

3.4. Комбинированный метод моделирования экранов

ГЛАВА 4. Регуляризация решения интегральных уравнений для системы сверхпроводящих многосвязных тел

4.1. Общие положения метода регуляризации

4.2. Регуляризация вычисления матричных элементов интегрального оператора для системы сверхпроводящих тел

4.3. Регуляризированная математическая модель сверхпроводящего кольца с шаром

4.4. Регуляризированная математическая модель двух сверхпроводящих колец

ГЛАВА 5. Моделирование основных типов сверхпроводящих подвесов методом конечных элементов

5.1. Сверхпроводящий бифилярный подвес

5.2. Кольцо с замороженным нулевым магнитным потоком

5.3. Система кольцо + усеченный конус

5.4. Сверхпроводящий сферический подвес с одной катушкой круглого сечения

5.5. Сверхпроводящий сферический подвес с двумя катушками прямоугольного сечения

5.6. Взаимодействие двух колец с замороженными потоками 160 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 166 Список литературы 167 Приложение А. Текст программного модуля процессора пакета программ FEMPDESolver 2.1, обеспечивающий учет граничных и дополнительных условий - условий сохранения потока и скачка потенциала

Актуальность темы. Разработка сверхпроводящих электромагнитных подвесов (СЭМП) пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков (гироскопов, акселерометров, сейсмометров и гравиметров) требует их эффективного компьютерного моделирования с целью оптимизации конструкций и сокращения затрат на создание прототипов.

Использование аналитических методов для решения интегральных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, описывающих распределение магнитного поля в СЭМП, не позволяет получить приемлемую для практики точность, а часто вообще невозможно в силу конструктивных особенностей этих устройств (разномасштабность, мно-госвязность, наличие неоднородных сред). Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих процессы в рассматриваемых устройствах. Из существующих численных методов этой цели больше соответствует метод конечных элементов (МКЭ) как наиболее универсальный метод с минимальными ограничениями. МКЭ также хорошо адаптирован для вычисления интегральных характеристик, необходимых для анализа таких систем. МКЭ успешно применяется при решении задач расчета электромагнитных полей. Он стал математической основой универсальных компьютерных систем мультифизического анализа технических объектов, таких как А^УБ, МБА, С0М80Ь МикурЬ^СБ и др. Однако математические модели, используемые в этих системах, не учитывают специфики электродинамики сверхпроводников, что приводит к невозможности их использования для моделирования СЭМП. Поэтому необходима разработка численных математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику электродинамики токонесущих сверхпроводников в мейснеровском состоянии.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР ГБ 2001.14 «Разработка физико-математического обеспечения системы компыотерного моделирования криогенных магнитогравиинерциальных устройств» и ГБ 2004.14 «Разработка системы компьютерного моделирования криогенных магнитогравиинерциальных устройств» и соответствует одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета - «Вычислительные системы и программно-аппаратные электротехнические комплексы».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка численных математических моделей, учитывающих сохранение магнитного потока в многосвязных токонесущих сверхпроводниках, их алгоритмизация и программная реализация, а также компьютерное моделирование основных типов СЭМП пробных тел криогенных гравиинерциальных датчиков.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Рассмотреть основные физико-математические модели, описывающие магнитные поля, создаваемые токонесущими многосвязными сверхпроводящими элементами СЭМП, с учётом сохранения магнитного потока. Провести их дискретизацию, алгоритмизацию и разработать дополнительный программный модуль к пакету программ РЕМРОЕБокег.

2. На основе дискретизации интегральных уравнений СЭМП получить и исследовать численные математические модели базовых осесимметричных элементов СЭМП.

3. Разработать методы построения, построить и исследовать численные математические модели экранированных СЭМП.

4. Разработать метод регуляризации решения интегральных уравнений СЭМП и на его основе получить и исследовать регуляризированные численные математические модели СЭМП.

5. Провести моделирование магнитного поля и расчет электромеханических характеристик основных типов СЭМП пробных тел криогенных гравиинерциальных приборов.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения магнитостатики сверхпроводников, методы математической физики, метод конечных элементов, метод интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры, теории графов, методы структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования.

Научная новизна работы. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: дискретная конечно-элементная модель, учитывающая условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников; программный модуль в пакете программ РЕМРОЕ8о1уег, предназначенный для моделирования СЭМП с учётом сохранения магнитного потока в сверхпроводящих токонесущих многосвязных конструктивных элементах; комплекс численных математических моделей СЭМП, разработанный в рамках метода интегральных уравнений и позволяющий структурно моделировать произвольные осесимметричные экранированные СЭМП; обоснование вычислительной устойчивости, сходимости и адекватности разработанных моделей; определение скорости сходимости модели и ее ошибки; программная реализация разработанных численных моделей, позволяющая осуществить их интеграцию в систему компьютерного моделирования СЭМП.

Практическая значимость работы заключается в развитии системы компьютерного моделирования СЭМП, учитывающей специфику электродинамики сверхпроводников и позволяющей проводить эффективное компьютерное моделирование реальных конструкций криогенных гравиинерциальных датчиков с целью их оптимизации. Данный пакет программ может найти применение при решении других задач электротехники.

Реализация и внедрение результатов работы. Пакет программ РЕМР-ОЕ8о1уег зарегистрирован в ФГУП ВНТИЦ и внедрен в учебный процесс подготовки студентов специальностей «Техника и физика низких температур» и «Техническая физика» Воронежского государственного технического университета.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на II, III и IV Международных семинарах «Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах» (Воронеж, 2003, 2004, 2005); I, II и III Международных семинарах «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2004, 2005, 2006); международной школе-семинаре для молодых ученых, аспирантов и студентов «Нелинейные процессы в дизайне материалов» (Воронеж, 2002), научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного технического университета (2002-2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных работах, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в автореферате, лично соискателю принадлежит: в [1, 4, 5, 8, 10, 14] - компоненты алгоритмического и программного обеспечения дополнительного программного модуля к пакету программ FEMPDESolver; в [2, 3, 6, 7, 9] - реализация схем МКЭ для сверхпроводниковых токонесущих систем и проведение вычислительных экспериментов, в [11-13] - проведение расчетов и численных исследований моделей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы, включающего 117 наименований, и приложения. Основная часть работы изложена на 165 страницах и содержит 75 рисунков и 17 таблиц.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получена дискретная конечно-элементная модель, учитывающая условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников.

2. Разработан дополнительный программный модуль к пакету программ РЕМРОЕ8о1уег 2.1, позволяющий учитывать сохранение магнитного потока в многосвязных токонесущих сверхпроводящих элементах СЭМП.

3. На основе интегральной физико-математической модели осесиммет-ричной СЭМП с использованием метода выделения особенности построены базовые численные математические модели СЭМП - шара с кольцом, двух колец - являющиеся структурными элементами формирования произвольной модели многотельной СЭМП.

4. Разработаны методы моделирования экранированных СЭМП, включающие метод изображений, метод интегрального уравнения и комбинированный метод, в рамках которых произведено обобщение базовых численных математических моделей на экранированные системы.

5. Проведено численное исследование свойств построенных численных математических моделей: устойчивости расчета, сходимости, точности, адекватности. Показано, что все модели монотонно сходятся к решению физико-математической модели. Установлено, что точность моделей обратно пропорциональна числу переменных, а число обусловленности моделей пропорционально ему.

6. Разработан метод регуляризации решения системы интегральных уравнений СЭМП, позволяющий строить эффективные быстро сходящиеся численные математические модели. На основе исследования разработанных регу-ляризированных базовых моделей показано, что они адекватны и обладают показательной сходимостью по числу переменных.

7. Проведен конечно-элементный анализ распределения магнитных полей в основных типах СЭМП и определены области, где в первую очередь может произойти разрушение сверхпроводимости.

8. Рассчитаны индуктивность и сила в зависимости от линейных смещений пробного тела в СЭМП, определены предельно допустимый рабочий ток в сверхпроводниковых катушках подвеса и максимальная подъемная сила.

167

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Батаронов Л.И., Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование сверхпроводникового бифилярного подвеса // Физико-математическое моделирование систем: материалы междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2004. С. 167-175.

2. Батаронов Л.И., Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Моделирование криогенного гравиметра // Физико-математическое моделирование систем: материалы II междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2005. Ч. 2. С. 3-6.

3. Батаронов Л.И., Кострюков С. А., Пешков В.В., Сбитнев Я.В., Шунин Г.Е. Пакет программ FEMPDESolver 2.1 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных // ФГУП ВНТИЦ № 50200601185, М., 2006.

4. Батаронов Л.И., Шунин Г.Е. Моделирование осесимметричной системы сверхпроводящих многосвязных тел методом интегральных уравнений // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2006. С. 3-34.

5. Батаронов Л.И., Шунин Г.Е. Моделирование экранированной системы сверхпроводящих тел вращения методом интегральных уравнений // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2006. С. 35-54.

6. Ю.Батаронов Л.И., Шунин Г.Е. Регуляризация решения интегральных уравнений для системы сверхпроводящих многосвязных тел // Физико-математическое моделирование систем: материалы III междунар. семинара. Воронеж, ВГТУ, 2006. С. 55-78.

7. Батаронов Л.И., Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование сферического сверхпроводящего подвеса//Извес-тия Академии наук. Серия Физическая. 2006. Т.70, № 8. С. 1138-1140.

8. Белозеров В.Н., Левин М.Л. Метод изображений в магнитостатике при сферической сверхпроводящей границе//ЖТФ. 1966.Т.36, № 1. С. 3-6.

9. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. М.: Наука, 1985.400 с.

10. Будак Б.М., Тихонов А.Н., Самарский A.A. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972. 686 с.

11. Бухгольд Т. Сверхпроводящие гироскопы // Проблемы гироскопии; под ред. Г. Циплера. М.: Мир, 1967. С. 119-128.

12. Веркин Б.И., Менде Ф.Ф. и др. Сверхпроводящий гравиметр // XVIII Всесоюзное совещание по физике низких температур (HT-18). Киев: изд-во ФТИНТ, 1974. 237 с.

13. Веряскин A.B. Гравиметр. A.C. 881643, СССР. Заявл. 25.02.80., опубл. вБИ, 1981, №42.

14. Веселитский И. В., Урман Ю.М. Интегральное представление индуктивности системы «сверхпроводящий шар токовые катушки» // ЖТФ. 1979. Т. 49. №8. С. 1585-1587.

15. Выжиковски Р., Каневский Ю.С. Применение разреженных матриц при реализации метода конечных элементов // Электрон, моделир. 1999. Т.21. № 4. С. 113-118.

16. Гришин С.Д., Завадский В.А., Огородников С.Н., Орлов Р.В. О силовом взаимодействии сверхпроводящих катушек // ЖТФ. 1987. Т. 57. Вып. U.C. 2235-2238.

17. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 224 с.

18. Демирчян К.С., Чечурин B.J1. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986. 240 с.

19. Джордж А., Лю Дж. Решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984.334 с.

20. Егоров Д.А. Пути улучшения характеристик сверхпроводящих магнитных подвесов криогенных гравиинерциальных приборов // Гироскопия и навигация. 1998. № 4. С. 97-98.

21. Жернаков O.A., Старосельцев Л.П., Евстигнеев М.И. Перспективы создания спутникового тензорного гравитационного градиентометра // Ги-роскопия и навигация. 1996. №3. С. 126.

22. Журавлев В.Ф., Руденко В.М. К анализу силовых характеристик подвеса криогенного гироскопа//Механика твердого тела. 1983. № 1. С. 9-15.29.3енкевич О., Морган К. Метод конечных элементов и аппроксимация. М.: Мир, 1986.318 с.

23. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

24. Козорез В.В., Колодеев И.Д., Крюков М.И. и др. О потенциальной яме магнитного взаимодействия идеальных токовых контуров // Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. №3. С. 248-249.

25. Козорез В.В., Чеборин О.Г. Об устойчивости равновесия в системе двух идеальных токовых колец//Докл. АН УССР. Сер. А. 1977. №1. С. 80-81.

26. Козорез В.В. Динамические системы магнитно взаимодействующих свободных тел. Киев: Наукова Думка, 1981. 140 с.

27. Корн Т., Корн Г. Справочник по математике для инженеров и научных работников. М.: Наука, 1974. 832 с.

28. Костин A.B., Урман Ю.М. Асимптотический метод расчета сверхпроводящего подвеса//Изв. вузов. Электромеханика. 1984.№ 12. С. 55-63.

29. Костин A.B. Расчет магнитного подвеса сверхпроводящего шара над сверхпроводящим тором с захваченным потоком // Изв. вузов. Электромеханика. 1988. №7. С. 5-8.

30. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Пакет программ для САПР сверхпроводниковых устройств // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: межвуз. сб. научн. тр. Воронеж: ВГТУ, 1995. С. 35-40.

31. Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в электромагнитных экранах // Известия Академии Наук. Серия Физическая. 1995. Т. 59, № 10. С. 91-93.

32. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1996. Т. 60, №9. С.186-189.

33. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Гос-ФАП№ 50960000050, инв. № 018.7600.515. М., 1996.

34. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании сверхпроводниковых экранов и подвесов // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1997. Т. 61, № 5. С. 985-989.

35. Кострюков С.А. Компьютерное моделирование сверхпроводниковых электромагнитных подвесов методом конечных элементов // Дис. . канд. техн. наук. Воронеж, 1998. 183 с.

36. Кострюков С.А., Матвеева М.В., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых гравии-нерциальных датчиках // Известия Академии наук. Серия Физическая. 2000. Т. 64, №9. С. 1705-1711.

37. Кострюков С.А., Каталиков Д.В., Пешков В.В., Потехин П.А., Шунин Г.Е. Пакет программ РЕМРОЕ8о1уег 2.0 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // ГосФАП № 50200200497, М., 2002.

38. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.

39. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988.208 с.

40. Кузнецов А.Ю. Алгоритмы построения двумерной триангуляции Делоне / АН СССР. СО ВЦ: Новосибирск, 1990.43 с.

41. Кузнецов С.И., Урман Ю.М. Исследование возможности левитации сверхпроводящего тела в поле N магнитных полюсов // ЖТФ. 2006. Т. 76, №3. С. 7-15.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

43. Левин Л.А., Жидков A.A., Малтинский М.И. Физические основы, элементы и устройство криогенного гироскопа. Л.: ЦНИИ "Румб", 1979. 126 с.

44. Левин М.Л. О решении одной задачи квазистационарной электродинамики методом изображений // ЖТФ. 1964. Т. 34, № 3. С. 395-398.

45. Лищиц А.Е., Чаркин В.А. Исследование связанных сверхпроводящих подвесов // Метрология в гравиметрии: тез. докл 3 всесоюз. научн.-техн. конф. Харьков, 1991. С. 65-66.

46. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.1 / П. Шенен, М. Коснар, И. Гардан и др. М.: Мир, 1988. 204 с.

47. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.2 / П. Жермен-Лакур, П.Л. Жорж и др. М.: Мир, 1988. 264 с.

48. Метлин В.Б. Магнитные и магнитогидродинамические опоры. М.: Энергия, 1968.192 с.

49. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.

50. Михалевич B.C., Козорез В.В., Рашкован В.М, Хусаинов Д.Я. Чебо-рин О.Г. «Магнитная потенциальная яма» эффект стабилизации динамических систем. Киев: Наукова Думка, 1991. 336 с.

51. Пешков В.В. Разработка системы компьютерного моделирования физических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциальных датчиках методом конечных элементов // Дис. . канд. техн. наук. Воронеж, 2003. 220 с.

52. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. 411 с.

53. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. 576 с.

54. Рябов А.Б. Расчет силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа // Системы ориентации и наведения летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1968. С. 120-142.

55. Рябов А.Б. К расчету сферических сверхпроводящих подвесов // Электричество. 1969. № 4. С. 71-73.

56. Рябов А.Б. Определение главного вектора и главного момента сил, действующих на сверхпроводящее тело в магнитном поле // Известия Академии наук. Серия механика твердого тела. 1969. № 6. С. 34-37.

57. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Д. Метод конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989.190 с.

58. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 312с.

59. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. 229 с.

60. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: ИЛ, 1954. 604 с.

61. Спицын А.И., Личман Е.А. Сверхпроводниковый сферический подвес в поле соленоида с током // ЖТФ. 1989. Т. 59, № 2. С. 193-196.

62. Спицын И.А. Взаимодействие двух соосных идеально-диамагнитных одинаковых колец с током на близком расстоянии // ЖТФ. 1993. Т. 63, № 12. С. 1-11.

63. Справочник по специальным функциям / Под ред. М.Абрамовица, И.Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

64. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.349 с.

65. Сьярле Р. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.369 с.

66. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

67. Тозони О.В. Расчет электромагнитных полей на вычислительных машинах. Киев: Техника, 1967. 251 с.

68. Тозони О.В. Расчёт трёхмерных электромагнитных полей. Киев: Техника, 1974. 251 с.

69. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975. 352 с.

70. Торнтон Р. Принципы проектирования систем магнитного подвешивания // ТИЭР. 1973. Т. 61, № 5. С. 94-109.

71. Трубицын A.B., Менде Ф.Ф., Адамович П.Л. Сверхпроводящие гравиметры // Прикладная геофизика. 1984. № 108. С. 77-88.

72. Урман Ю.М. К расчету силовых характеристик внешнего сферического подвеса криогенного гироскопа // Изв. вузов. Приборостроение. 1973. № 8. С. 72-74.

73. Урман Ю.М. Теория расчета силовых характеристик электромагнитного подвеса сверхпроводящего тела // ЖТФ. 1997. Т. 67, № 1. С. 3-9.

74. Урман Ю.М. Расчет силовых характеристик многокатушечного подвеса сверхпроводящего шара//ЖТФ. 1997. Т. 67, № 1. С. 10-16.

75. Черноморский А.И., Плеханов В.Е. Расчет магнитного поля около двухсвязного осесимметричного сверхпроводящего тела // Изв. вузов. Электромеханика. 1981. № 4. С. 360-362.

76. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Возможности датчиков гравиинерциаль-ных систем // Приборы и системы управления. 1990. № 4. С. 29-31.

77. Arkadjev V. Hovering of a magnet over a superconductor // J. Phys. USSR. 1945. V. 9, №2. P. 148.

78. Blair D.C. Superconducting accelerometer using niobium on sapphire rf resonator// Rev. Sci. Instrum. 1979. V. 50, № 3. P. 286-291.

79. Bourke R.D. A theoretical and experimental study of a superconducting magnetically-supported spinning body. PhD Thesis. Stanford, 1964.

80. Brandt E.H. Levitation in Physics // Science. 1989. V. 243, № 4889. P. 349355.

81. Brandt E.H. Rigid levitation and suspension on high-temperature superconductor by magnets // Am. J. Phys. 1990. V. 58, № 1. P. 43-49.

82. Buchold T.A. Superconductive accelerometer. US Patent 3.261.210. Patented 19.07.1966.

83. Cavendish J.C., Field D.A., Frey W.H. An approach to automatic three dimensional finite element mesh generation // Inter. J. Num. Meth. Eng. 1985. V.21.P. 329-347.

84. Chan H.A., Moody M.V., Paik H.J. Superconducting techniques for gravity survey and inertial navigation // IEEE Trans. Magn. 1985. V. Mag-21, № 2. P. 411-414.

85. Chang W.H. Numerical calculation of the inductances of a multi-superconductor transmission line system // IEEE Trans. Magn. 1981. V. Mag-17,№ LP. 764-766.

86. Daniels B., Matthews P. Superconducting bearing//Rev. Sci. Instrum. 1966. V. 37, № 6. P. 750-753.

87. Dicke R.H., Martens H. Superconducting Gravimeter. US Patent 3.424.006. Patented 28.01.1969.

88. Dolecek R.L., J. de Launay. Conservation of flux by a superconducting torus // Phys. Rev. 1950. V. 78, № 1. P. 58.

89. Goodkind J. M. Continuous measurements with the superconducting gravimeter// Tectonophysics. 1979. V. 52. № 1-4. P. 99-105.

90. Goodkind J.M., Prothero W.A. Force measuring instrument. US Patent 3.449.956. Patented 17.06.1969.

91. Hammond G.D., Pulido-Paton A., Speake C.C., Trenkel C. Novel torsion balance based on a spherical superconducting suspension // Rev. Sci. Instr. 2004. V. 75, №4. P. 955-961.

92. Moody M.V., Paik H.J., Canavan E.R. Principle and performance of a superconducting angular accelerometer // Rev. Sci. Instr. 2004. V. 74, № 3. P. 1310-1318.

93. Paik H.S. Superconducting accelerometry: its principles and applications // Class, and Quantum Grav. 1994. V. 11, № 6A. P. 133-144.

94. Pissanetzky S. KUBIK: an automatic three-dimensional finite element mesh generator // Inter. J. Num. Meth. Eng. 1981. V. 17. P. 255-269.

95. Prothero W.A., Goodkind J.M. Superconducting gravimeter// Rev. Sci. Instrum. 1968. V. 39, №2. P. 128.

96. Sass A.R., Stewart W.C. Self and mutual inductances of superconducting structures / J. Appl. Phys. 1968. V. 39, № 4. P. 1956-1963.

97. Simon I. Forces Acting on Superconductors in Magnetic Fields // J. Appl. Phys. 1953. V.24,№ l.P. 19-24.

98. Warburton R.J., Brinton E.W. Recent developments in GWR instrument's superconducting gravimeter // Proc. and Workshop. Non Tidal Gravity Changes: Intercomparies Beetween Absolute and Superconduct. Gravim., Walferdange, 1994. Luxemburg, 1995. P. 23-56.

99. Zhou J.M., Zhou K.D., Shao K.R. Automatic generation of 3D meshes for complicated solids // IEEE Trans. Magn. 1992. V. 28, № 2. P. 1759-1762.

100. Zienkiewicz O.C., Talor L.R. The finite element method. Volume 1: The basis. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. 707 ps.

101. Zienkiewicz O.C., Talor L.R. The finite element method. Volume 2: Solid mechanics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. 479 ps.

102. Zienkiewicz O.C., Talor L.R. The finite element method. Volume 3: Fluid dynamics. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. 348 ps.

103. Zurn W., Richter B., Rydelek P. Detection of inertial gravity oscillations in the Earth's core with a superconducting gravimeter at Brussels // Phys. Earth and Planet Inter. 1987. V. 49, № 1-2. P. 176-178.