автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.01, диссертация на тему:Компьютерное моделирование сверхпроводниковых электромагнитных подвесов методом конечных элементов

г Г\ На правах рукописи

КОС ТРЮКОВ Сергей Александрович

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОДВЕСОВ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 05.09.01 - Электромеханика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж - 1998

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете (кафедра высшей математики и физико-математического моделирования)

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Шунин Г.Е.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Бахвалов Ю.А.

кандидат технических наук, доцент Писаревский Ю.В.

Ведущая организация: Воронежский государственный

университет

Защита состоится 21 декабря 1998 г. в -10 часов на заседании диссертационного совета К063.81.10 при Воронежском государственном техническом университете по адресу: 394026, Воронеж, Московский просп., 14, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета

Автореферат разослан " 20 " ноября 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Фролов Ю.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка сверхпроводниковых элекгромагнит-ных подвесов (СЭМП) пробных тел и других электромеханических элементов гравиинерциалышх приборов (акселерометров, сейсмометров и гравиметров), принцип действия которых основан на явлении сверхпроводимости, требует их эффективного математического моделирования с целью оптимизации конструкций и сокращения затрат на создание прототипов.

Использование аналитических методов для расчета распределения магнитного поля в сверхпроводниковьгх электромеханических элементах не позволяет получить приемлемую для практики точность, а часто вообще невозможно в силу конструктивных особенностей этих устройств (закрытый объем сложной формы, многосвязность, разномаспггабкость, наличие неоднородных сред). Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих процессы в рассматриваемых устройствах. Из существующих численных методов этой цели больше соответствует метод конечных элементов (МКЭ) как наиболее универсальный метод с минимальными ограничениями. МКЭ также хорошо адаптирован для вычисления интегральных характеристик, необходимых для анализа таких систем.

МКЭ, впервые примененный в 50-е годы инженерами для расчета стержневых конструкций, в настоящее время стал одним из самых эффективных методов численного решения задач математической физики. Его популярность связана с универсальностью и-простотой математической формы для широкого крута задач в сочетании с гибкостью численных алгоритмов, позволяющих учитывать конкретные свойства данной задачи. На протяжении последних тридцати лет метод успешно применяется при решении задач расчета электромагнитных полей и стал математической основой САПР различных электротехнических устройств.

Хотя МКЭ может быть использован для решения всех задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, успех его во многом определяется эффективностью приметаемой формулировки, правильным выбором типа конечных элементов и базисных функций, а также быстрым и экономичным решением систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Эти условия зависят от специфики решаемой задачи. Поэтому одним из наиболее актуальных направлений развития МКЭ является поиск новых эффективных приложений метода.

Размер и сложность решаемых с помощью МКЭ задач определяется имеющимися машинными ресурсами, особенно объемом оперативной памяти. В связи с этим до недавнего времени для конечноэлементных расчетов использовались преимущественно большие ЭВМ. Однако распространение в последние годы достаточно мощных и недорогих персональных компьютеров требует создания нового программного обеспечения, реализующего все преимущества

МКЭ в сочетании с полной визуализацией и интерактивным режимом, которые предоставляет ЭВМ подобного типа.

Данная диссертационная работа является частью комплексных исследований, проводимых на кафедре высшей математики и физико-математического моделирования ВГТУ в рамках НИР ГБ 91.14 "Разработка и исследование криогенных магнитогравиинерциальных датчиков" и ГБ 96.14 "Разработка и физико-математическое моделирование криогенных гравиинерциальных приборов".

Целью настоящей работы является разработка системы компьютерного моделирования СЭМП и расчет магнитных полей и электромеханических характеристик цилиндрического сверхпроводникового подвеса пробного тела криогенного гравиинерциального датчика.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Построить математическую модель, описывающую процессы в сверхпроводниковых электромагнитных подвесах, пригодную для конечноэлементного анализа.

2. На основе дискретизации полученных дифференциальных уравнений, граничных и других дополнительных условий получить систему уравнений метода конечных элементов и построить алгоритм ее формирования и решения.

3. Разработать комплекс программ для плоского, осесимметричного и трехмерного конечноэлементного анализа процессов в сверхпроводниковых подвесах, работающий в интерактивном режиме при минимально необходимой входной информации.

4. Адаптировать данный комплекс программ для применения на компьютерах с ограниченными ресурсами; построить эффективные алгоритмы и схемы хранения и обработки данных с целью максимального использования как оперативной, так и внешней памяти при достаточном быстродействии.

5. Провести компьютерное моделирование ряда простейших базовых элементов сверхпроводниковых электромагнитных подвесов; получить оценку точности и сходимости метода; выработать рекомендации по типу разбиения и порядку аппроксимации решения.

6. Провести моделирование магнитного поля и расчет электромеханических характеристик цилиндрического СЭМП пробного тела криогенного гравиинерциального датчика.

Методы исследований. При создании системы компьютерного моделирования СЭМП использовались положения теории электромагнитного поля в сверхпроводниках, методы математической физики, метод конечных элементов, вычислительные методы линейной алгебры и математического анализа. Разработка алгоритмов и программ осуществлялась на основе структурного подхода к организации данных и алгоритмов.

Научная иопизна. Получены дискретные конечноэлементные уравнения, учитывающие свойство многозначности скалярного магнитного потенциала и условие сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников.

Разработаны специальные алгоритмы и способы организации данных, что позволило, в отличие от существующих комплексов, решать задачи с большим числом степеней свободы при одинаковых вычислительных ресурсах.

Впервые проведен расчет трехмерных распределений напряженности магнитного поля в цилиндрическом СЭМП и вычислены его электромеханические характеристики; установлены возможности и ограничения его использования в качестве чувствительного элемента криогенного гравиинерциалыюго датчика.

Практическая значимость. Реализован комплекс программ по полному конечноэлементному анализу, работающий на IBM-совместимом компьютере, который может быть использован в АСНИ и САПР сверхпроводниковых электромеханических устройств. Данную реализацию отличает доступность, гибкость, нацеленность на большие задачи (260 тыс. и более степеней свободы на среднемощных персональных компьютерах), мощная система подсказок, дружественный интерфейс, широкая и наглядная визуализация входной и выходной информации.

Ввиду универсальности многих конечноэлементных формулировок и схожести типов краевых задач данный комплекс программ может найти применение при решении других задач электротехники. Например, он был использован для расчета отклоняющих магнитных систем цветного кинескопа на АООТ "ВЭЛГ'в 1995 г.

Комплекс используется при проведении лабораторных и курсовых работ но вычислительным методам решения краевых задач для студентов физико-технического факультета ВГТУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

объединенном заседании XIV конференции по тепловой микроскопии "Структура и прочность материалов в широком диапазоне температур" и III школы-семинара "Физика и технология электромагнитных воздействий на структуру и механические свойства кристаллов" ( Воронеж, 1992); школе-семинаре "Релаксационные явления в твердых телах" (Воронеж, 1993); III и IV Международной конференции "Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов" (Воронеж, 1994, 1996); Всероссийских совещаниях-семинарах "Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1994-1997); математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (Воронеж, 1995); Международном семинаре "Релаксационные явления в твердых телах" (Воронеж, 1995); Весенней матема-

тической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1996); 1-ом Международном семинаре "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических., химических и технических системах" (Воронеж, 1996); научных конференциях Воронежского технического университета (1993-1998).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 20 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 184 страницы машинописного текста, в том числе 63 рисунка и 14 таблиц. Список литературы включает 126 наименований использованных источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость результатов работы.

В первой главе проведен анализ современного состояния метода конечных элементов и вопроса его применения к задачам электромеханики. Рассмотрены основные положения МКЭ, а также алгоритмизация и особенности программной реализации метода.

Во второй главе описана система компьютерного моделирования сверхпроводниковых электромагнитных подвесов, что включает физико-математическую модель объекта, дискретизацию уравнений и программное обеспечение.

Проведенный анализ литературы показывает, что используемые аналитические расчета СЭМП мало пригодны для расчета реальных схем подвесов. Это связано с трудностями интегрирования уравнений магнитостатики для тел сколь-нибудь сложной формы. Поэтому приобретают актуальность методы расчета характеристик подвесов на основе численного анализа полей.

В обобщенном виде модель СЭМП представляет собой замкнутую электромеханическую систему, состоящую из подвижного пробного тела, сверхпроводниковых катушек, каркаса, сверхпроводникового экрана и металлических несверхпроводящих колец (деталей корпуса) для демпфирования колебаний.

Рассмотрены математические модели для описания процессов в конструктивных элементах СЭМП, которые можно обобщить системой дифференциальных уравнений

УСУ. ?)УцЛ+ /(1у, г,1) в области О, (1а)

д/

ц/ = ц/(г, /) на границе П , (16)

а— + Р(г, 1)ц1=д(г,1) на границе Г2 , (1в)

дп

4> = у0{г) при / = /„, (1с)

где Г, IJ Г2 = Г - граница замкнутой области Q; у, а,/, р, q, <(/„, ц/0 - заданные функции; - неизвестная функция; (г, /) е Q х Т0. В случае векторной задачи (1) ставится дополнительное условие div ц; = 0. Кроме того, возможны дополнительные условия, накладываемые на разность значений функции в некоторых точках области (условия скачка, сдвига и др.), или в виде интегральных соотношений.

Остановимся подробнее на формулировке задачи расчета магнитного поля для сверхпроводникового подвеса. Будем рассматривать только СЭМГ1, работающие в мейсснеровском ре:киме. В общем случае требуется найти распределение напряженности магнитного поля На пространстве вне сверхпроводников (т.к. поле внутрь мейсснеровкого сверхпроводника проникает лишь на очень малую глубину), если сверхпроводниковая система находится в постоянном внешнем магнитном поле Н,, а в сверхпроводниковых элементах протекают полные замкнутые токи /, .

В случае, когда все свермпроводниковые элементы - односвязные тела (1, 0), скалярный магнитный потенциал ф, определенный как Н ; grad <р, удовлетворяет уравнению Лапласа в области Q:

V2cp = 0 (2)

и граничным условиям

вер

дп

¿Эф дп

-о, (3)

= (4)

где S -поверхность сверхпроводника, S„, - любая удаленная поверхность, где можно не учитывать влияние сверхпроводников на распределение поля, п -внешняя нормаль к этой поверхности.

Если в двусвязном сверхпроводнике (кольце) течет полный замкнутый ток I, то скалярный магнитный потенциал обладает свойством неоднозначности: он изменяется на I при обходе по любому замкнутому пути, охватывающему сверхпроводник с током. Поэтому требуется определить некоторую поверхность разреза, где потенциал меняется скачкообразно:

Ф+ - Ф_ = 7 , (5)

где <р+ и ф - значения потенциала в одной и той же точке на двух сторонах поверхности. Если известен ток I, то (5) является достаточным условием формулировки задачи. Однако при изменении внешнего поля и тока, а также при любом изменении формы кольца и его перемещении в пространстве, необходимо учитывать важное свойство сверхпроводников, согласно которому полный магнитный поток через кольцо остается постоянным:

f/M = -f^ifi = Zi+0F= const = ФС , (6)

J 3 дп

где Ь - индуктивность кольца Ф, - поток от внешнею поля. Ы - собственный поток.

Приведенная формулировка непосредственно обобщается на случай сверхпроводниковых тел любой степени связности. При этом должны быть заданы либо токи /, = 0, либо потоки Фо, = 0.

Полная свободная энергия системы определяется следующим образом

ГГ = = \YLWj = . (7)

где и — коэффициент самоиндукции (индуктивность) /-го сверхпроводника, Ьу («?у) - коэффициент взаимной индукции сверхпроводников, I, - ток в ¿-м сверхпроводнике, Ф, - собственный поток /-го сверхпроводника. Сила и момент сил относительно центра О, действующие на сверхпроводниковое тело со стороны магнитного поля, определяются соответственно с помощью интегралов

= А/ = -—|(Уф)2[г х. (8)

Здесь интегрирование производится по поверхности сверхпроводника Л', п -

внешняя нормаль к площадке <£> на поверхности сверхпроводника, г - радиус-

вектор, проведенный из точки О к сБ.

Согласно МКЭ, производится дискретизация геометрии области О, такая,

что = II Ге - ПГе = Г, где О, - подобласть, или конечный элемент, с грае е г

ницей Ге. На каждой такой подобласти неизвестная функция аппроксимируется суммой

(е) '

где N¡ - базисные функции, или функции формы элемента е; вне элемента е они тождественно равны нулю; ц/,- (1) - параметры дискретизации - обычно значения функции ц; в /'-и геометрической точке (узле) элемента е. В такой аппроксимации при применении к (I) проекционного метода (Галеркина) получим систему М уравнений (М- полное число узлов или параметров)

у=ъ-.м. по)

где л; = , = ¡у

е О,

Рч = • = + ¡рыгнул,

С Г,еГ2

17] = Л!Т' 'Т = \qNydr.

" О. Г.еГ,

Здесь в суммировании по элементам е принимают участие только элементы, имеющие общие узлы г и /. Важно отметить, что матрицы [5], [/'] имеют разреженный вид, т. е. много нулей вне главной диагонали, а также - при гладких монотонных функциях а, у - диагональное преобладание.

Интегрирование уравнения (10) по времени проводится по неявной двуслойной схеме Кранка-Николсона. Решение нелинейной системы на каждом временном слое организуется с помощью метода Ныотоиа-Рафсона. Приводятся вычислительные схемы, как для общего, так и для частных случаев задачи (1), а также способы учета граничных условий на границе раздела сред, неоднородных условий Дирихле, Неймана и других дополнительных условий.

Решение задачи, определяемой уравнениями (2-4), для односвязной сверхпроводниковой магнитной системы во внешнем однородном поле методом конечных элементов сводится к системе

ф,=с,, и = 1 (11)

1

где матричные элементы Яу вычисляются по формуле

Нч = £//<г), Я™ = | УМ^ЧЫ^сК!, ' а.

а компоненты вектора правых частей С, определяются из учета граничных условий Дирихле и Неймана. Если сверхпроводники образуют многосвязную систему и известны полные токи, те1сущие по ним, то вновь требуется решить систему вида (11), которая модифицируется в соответствии с требованием учета условия скачка магнитного скалярного потенциала на поверхностях разреза. Выделим два элемента / и т, имеющие общие узлы г и которые лежат на поверхности разреза Г01". Условие ц/+ - ц/ I требует модификации локальных матриц элементов, имеющих узлы на Гси' и находящихся только по одну сторону относительно Г™1. Пусть для определенности видоизменяется локальная матрица элемента /, тогда локальная матрица элемента т остаётся неизменной.

Выпишем систему уравнений, соответствующую треугольному элементу / с узлами i,j, к, в случае отсутствия скачка потенциала

(12)

Условия на разрезе выглядят гак: И тогда система (12) принимает вид:

я<'УГ" +я<'У, +я>г> = - (Я«" +Я,'0)/,

+Н?у? = о<" -(яг +н™)1, (13)

//>,"" +яЯЧ = о,<" -(я<" +я<")/.

Эти уравнения добавляются в глобальную систему обычным способом. Например, при учете двух элементов / и т уравнение, соответствующее узлу /, имеет вид:

(я:1 +яг>, =о,»"-(//,:"+//,;,")/.

Здесь опущен верхний индекс т у потенциалов ц/, и ц/,, а индекс п соответствует не лежащему на разрезе узлу элемента т. Важно отметить, что матрица модифицированной системы остается симметричной и положительно определенной.

В результате решения глобальной системы уравнений получим, как обычно, набор узловых значений {ц»т}. Однако при вычислении потенциала внутри / в качестве узловых значений, соответствующих узлам / и _/', следует брать у, +/ и +1 соответственно.

Задача усложняется в случае необходимости выполнения условия сохранения потока Ф0, через отверстие каждого двусвязного сверхпроводника. Теперь токи /, как неизвестные величины должны быть включены в левую часть системы (11). Для этого при учете условия скачка члены, содержащие /,, оставляем в левой часта уравнений (13). В итоге получим систему вида

I

(Р„- некоторые из коэффициентов Н^), включающую М уравнений при М+к--\ неизвестных (к - степень связности области). Недостающие уравнения получим путем дискретизации (6):

где

г-УС1, г™ =

т / 1 1т ' ип

- jVN^e)dГ-н, если элемент ее 1"™'

О

в противном случае

Очевидно, матрица полученной системы уравнений не является симметричной и в общем случае не положительно определенная.

Для анализа процессов, которые формально описываются уравнениями (1) с учетом ряда дополнительных условий, разработан пакет программ. Приводится назначение, структура пакета и краткое описание возможностей и принципов функционирования его основных блоков.

Пакет предназначен для работы на персональном 1ВМ-совместимом компьютере с процессором /и/е/386 и выше и представляет собой совокупность программ, реализованных на языках С и ассемблера. Он включает в себя препроцессор (задание входных данных задачи, дискретизация области); процессор (реализация конечноэлементных вычислений); постпроцессор (обработка и анализ результатов), а также ряд вспомогательных и сервисных программ. Пакет работает в интерактивном режиме, используя широкую визуализацию данных.

Все конечноэлементные вычисления организованы по принципу максимальной эффективности (минимально необходимая память + быстродействие). Для интегрирования на элементах используются высокоточные кубатуриые формулы с наименьшим числом узлов, для решения системы линейных алгеб-

раических уравнений - метод Холесского с упорядочиванием на основе теории графов и итерационные методы, в том числе метод сопряженных градиентов с прсдобуеловленностыо. Предусмотрено кусочное тестирование и гибкий контроль сходимости.

Пакет использует защищенный режим процессора Intel, поэтому ему напрямую доступна вся оперативная память даже в режиме MS-DOS. При нехватки оперативной памяти задействуется специально разработанный механизм подкачки внешней памяти. Таким образом, максимальный размер МКЭ-задачи определяется суммарным количеством оперативной и доступной внешней памяти.

Третья глава» поев «цена особенностям моделирования токонесущих элементов СЭМ П. Рассмотрены закрытые, полуоткрытые и открытые магнитные многосвязные системы.

Для бесконечного провйда в бесконечной полости проведен анализ точности конечноэлемет ного решения на основе формулировки (2,3,5). При равном числе степеней свободы достаточную точность обеспечивают элементы 2-го порядка, особенно изоплраметрического типа. Так, квадратичный треугольник обеспечил при числе степеней свободы 15 тыс. пять верных значащих цифр для запасенной энергии, в то время как элемент 1-го порядка - только три. На точность решения оказывает также форма элементов. Например, для дайной задачи серендипопы элементы предпочтительнее, поскольку дают более симметричный граф.

Рассмотрены способы проведения поверхностей (линий) разреза для систем, включающих два и более токонесущих элемента. Общие правила таковы:

1) при обходе любого замкнутого контура суммарный скачок потенциала должен быть равен полному току-внутри этого контура. Важно при использовании МКЭ согласовывать знаки скачков. Так, токи считаются одного знака, если при обходе контуров, охватывающих каждый ток, в одном направлении, например против часовой стрелки, совпадают знаки полного изменения потенциала на разрезах;

2) форма поверхностей (линий) разреза может быть любой, но нельзя допускать их пересечения и прерывистости;

3) существует множество способов задания разрезов, но наиболее универсальными являются следующие. В двумерном варианте разрез соединяет либо сверхпроводник с другим сверхпроводником, либо сверхпроводник с внешней границей. В первом случае считается, что в обоих сверхпроводниках текут одинаковые по величине, но разные по направлению токи. В трехмерном варианте поверхность разреза со скачком, равным току, закрывает отверстие каждого сверхироводникового контура, либо проводится от контура до внешних границ.

Для ряда открытых и полуоткрытых сверхпроводниковых систем - провод над плоскостью, четыре провода над плоскостью, кольцо над плоскостью, два кольца над плоскостью, шар над кольцом - получены распределения маг-

нитного поля, определены электромеханические характеристики. Отметим некоторые результаты.

1. Во всех случаях запасенная энергия (индуктивность) растет при взаимном удалении элементов системы, что является следствием их полного диамагнетизма; сила, наоборот, уменьшается. Изменение пост нелинейный характер: чем дальше раздвигаются элементы, тем медленнее меняются характеристики.

2. Расчет индуктивности для тонкого кольца в открыток пространстве показал хорошее согласие с аналитическим результатом (0.01% при числе степеней свободы 15 тыс.)

3. Установлено, что задача для системы колец, для каждого из которых задан скачок потенциала 1, является хорошим приближением задачи для плоской или спиральной катушки соответствующего размера с током 1. Тем самым, существенно трехмерная задача может быть решена в оогеимметричном приближении.

4. Для кольца в присутствии шара, центр которого находится на оси симметрии кольца, выявлены преимущества используем ой формулировки в сравнении с аналитическим методом, основанном на вычислении плотности поверхностных токов.

В четвертой главе в качестве объекта моделирования рассмотрен цилиндрический СЭМП, являющийся упрощенным вариантом чувствительных элементов криогенных гравиинерциальных датчиков. Принципиальна? схема подвеса представлена на рис. 1, а). Он состоит из сверхлроаодникового пробного тела 1, выполненного в виде полого цилиндра с топологическим отверстием в центре его дна, плоской однослойной свс рхп ро вод н и ко I; о й катушки 2 и цилиндрической однослойной сверхпроводниковой катушки 5, намотанных на каркасе 4 из гиперпроводника. Катушки 2 и 3 соединены последовательно и образуют.единую короткозамкнутую сверхпроводящую цепь (рис. 1, б)) с тепловым ключом 1 и контактами для запитки током 2. При запитке их гоком I создается неоднородное магнитное поле, в котором, вследствие эффекта Мейс-снера, осуществляется левитация сверхпроводникового пробного тела в некотором равновесном положении, соответствующем рабочему зазору с1. Для экранирования от внешних магнитных полей, подвес помешается в сверхпроводнихо-вый экран в виде полого цилиндра с полусферическим дном.

Приведем основные параметры подвеса: плоская катушка - 35 витков, радиус внешний и внутренний 7.5 и 3.15 мм соответственно; цилиндрическая катушка — 40 витков, радиус 9.05 мм; длина боковой стенки пробного тела 10.6 мм, радиус 10 мм, радиус отверстия 2 мм; толщина стенок 0.4 мм; диаметр проволоки 0.1 мм. Масса пробного тела т = 3.85 г, момент инерции J относительно осей x,yJ — Jx=Jf=z2.\■ 10 7 кгм2. Размеры экрана: радиус 20 мм, длина 77 мм, толщина стенок 2 мм.

п

Определена степень экранирования подвеса от внешнего магнитного поля. Установлено, что максимально экранируемая область экрана расположена вблизи дна. В поле, параллельном его оси, коэффициент экран кропании составил свыше 5500, а в поперечном поле - около 100. Введение в экран крышки с отверстием радиуса 6 мм приводит к увеличению коэффициента экранирования почта в 7 рал.

Задача определения магнитного поля рабочем объеме СЭМП решена в осесиммстричном приближении. Задача имеет сложную геометрию из-за необходимости учета геометрии витков. Использованы квадратичные элементы Ла-гранжа 2-го порядка; число узлов - около 20 тыс. Фрагмент разбиения изображен на рис. 2, а).

Как видно из ри;.;. 2, б), поле в основном сосредоточено в зазорах между катушками и поверхностью пробного тела. Максимальное значение модуля вектора напряженности наблюдается вблизи первых двух витков (с наименьшими радиусами) плоской катушки. Поле в объеме между катушками и поверхностью пробного тела почти однородно, за исключением небольшой окрестности витков (порядка радиуса проволоки). В области, соответствующей крайним виткам катушек, однородность поля сильно нарушается (рис.2, в)). Во внутреннюю область подвеса поле проникает слабо.

Рассчитаны индуктивность Ь и сила Г')., действующая на крышку подвеса, в зависимости от величины зазора г/ при токе в цепи / = 1 А (см. табл.). Аналогичные расчеты выполнены для подвеса, в котором витки катушек заменены кольцами прямоугольного сечения, плотно прилегающими друг к другу. Такая аппроксимация соответствует случаю пренебрежения неоднородностью поля в небольшой окрестности витков. Из анализа данных таблицы можно сделать вывод, что при этом интегральные характеристики подвеса меняются не слишком сильно, причем Ь и Р. имеют значения на 10-15 % меньше, чем в случае учета

а б

^ У / / ^ ✓ / /

Рис. 2. Конечноэлементная сетка вблизи витков плоской катушки (а), распределение эквипотенциальных кривых в расчетной области подвеса (б), распределение вектора напряженности вблизи края плоской катушки (?)

Таблица. Сила, действующая на крышку подвеса, и иидуктивношъ в зависимости от ширины зазора между крышкой и плоской катушкой

с/, мм /VI о3, Н МО6, Гн ¿'■106,Гн /^•ю3, Н С- ю6, Гн

0.05 5.688 5.305 8.956 8.398 5.324 0.6569

0.1 5.317 4.875 9.504 8.908 4.970 1.171

0.3 4.266 3.739 11.408 10.610 3.973 2.946

0.45 3.678 3.177 12.592 11.643 3.316 3.993

0.6 3.197 2.707 13.620 12.520 2.972 5.007

0.75 2.794 2.335 14.524 13.264 2.591 5.841

0.9 2.449 2.028 15.306 13.922 2.268 6.569

*) - соответствует расчету со сплошными катушками

**) - соответствует случаю отсутствия тока в цилиндрической катушке

геометрии структуры витков. Указанная замена обеспечивает сокращение числа степеней свободы почти в 3 раза.

Данное обстоя гельстао было использовано при анализе боковых и угловых смещений цилиндрического подвеса, когда задача становится трехмерной. Тип элементов - тетраэдр 1 -го порядка. Число степеней свободы - 95 тыс.

При малых смещениях (г-г0, х, у) и поворотах (а, р, у) относительно положения равновесия (г„, 0, 0) с учетом осевой симметрии подвеса функцию Ь можно представить в виде разложения в степенной ряд с точностью до членов третьего порядка включительно:

где а, Ь, с, е,/, g, к, р - коэффициенты разложения, ¿о~£(0,0,2о,0,0). На основе этого представления, выражения для обобщенной силы и полученных из вычислительного эксперимента зависимостей с помощью интерполяционного метода определены все коэффициенты: 11.6432-10"6 Гн, «=6.354- 1(Г3 Гн/м, в=-3.693 Гн/м2, с=2.062-103 Гн/м5, .411 Гн/м2, /=-7.7Ы0~5 Гн, ^-2.30-10"2 Гн/м, А=1.63-103 Гн/м3, /7=4.10-10~2 Гн/м.

Найден максимальный ток запитки цепи подвеса, при котором еще не произойдет разрушения сверхпроводимости: при с1 = 0.45 мм 1тсх- 9.27 А. Максимальная подъемная сила, соответствующую этому току (Рг)тах ю 0.316 Н. Такая сила удержит п пол; силы тяжести массу пробного тела, приблизительно равную 32 г. Ток, при котором пробное тело с данной массой будет левитировать на расстоянии ¿/=0.45 мм, равен I = 3.23 А.

Вычислены матрица жесткости, характеризующая отклик системы на возмущения степенен свободы, и собственные частоты колебаний. Установлено, что с увеличением высоты подъема пробного тела жесткость са вдоль оси г убывает. Все элементы матрицы жесткости в двух режимах работы подвеса совпадают, за исключением элемента са , который в режиме постоянного магнитного потока больше, чем в режиме постоянного тока.

Приложение содержит примеры расчета односвязных систем во внешнем поле, результаты решения модельных задач, описание конечных элементов и вычислительных методов, используемых в системе компьютерного моделирования, а также копии актов внедрения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Получена конечноэлементиая формулировка для плоского, осесиммет-ричного и трехмерного анализа процессов в сверхпроводниковом электромагнитном подвесе, основанная на использовании скалярного магнитного потенциала. Показано, что расчет магнитного поля в токонесущих сверхпроводнико-

вых системах (в мейсснеровском состоянии) сводится к решению уравнения Лапласа в области со сложной геометрией с граничными условиями 1-го и 2-го рода и ладанными скачками потенциала на поверхностях разреза. Рассмотренная скалярная формулировка, в отличие от векторной, требует для получения достаточной точности значительно меньшего числа степеней свободы МКЭ, а также позволяет избежать расчета плотности поверхностного тока сверхпроводников.

2. Получены соответствующие дискретные уравнения для решения ко-нечноэлементной задачи с учетом граничных и других дополнительных условий. Показало, что задание скачков потенциала сохраняет симметричность и положительную определенность матрицы системы уравнений, что ооеспечипает вычислительную устойчивость численных методов и меньшие требования к памяти компьютера.

3. Разработанный в виде интегрированной среды комплекс программ предоставляет средства полного конечноэлементного анализа процессов в СЭМП. Огличительными особенностями комплекса являются нацеленность на решение больших задач (свыше 260 тыс. степеней свободы) на персональных компьютерах средней мощности; использование конечных элементов различной степени точности и формы; возможность задания ргаветвленкых граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода и ряда дополнительных условий (скачков потенциала, постоянства потока, периодичности, симметричности и др.); эффективные и экономичные схемы хранения и обработки данных.

4. Выполнен расчет магнитных полей ряда токонесущих элементов СЭМП, представляющих собой многосвязные открытые, полуоткрытые и замкнутые системы. Разработаны способы задания поверхностей разреза для сверхпроводниковых систем. Установлено, что используемая формулировка со скачками потенциала лишь незначительно ухудшает сходимость и точность аппроксимации в сравнении с обычным вариантом МКЭ. Точность вычисления интегральных характеристик (сила, энергия) превышает на дна порядка величины точность расчета напряженности магнитного пота. Поэтому малая погрешность их расчета может быть получена даже для линейных элементов при невысокой плотности разбиения.

5. Получены распределения трехмерного магнитного поля внугри и вблизи цилиндрического сверхпроводникового экрана криогенного гравиинерци-ального датчика, помещенного во внешнее поле. Определены коэффициенты экранирования для продольной и поперечной компонент поля.

6. Впервые выполнен расчет трехмерного магнитного поля цилиндрического сверхпроводникового подвеса пробного тела криогенного гравиинерци-ального датчика. Определены области, где в первую очередь может произойти разрушение сверхпроводимости. Рассчитаны индуктивнос ть, сила и момент сил

в зависимости от линейных смещений и поворотов пробного тела. Определен предельно допустимый ток в сверхпроводпиковых катушках подвеса и максимальная подъемная сила. Вычислены элементы матрицы жесткости и собственные частоты колебаний для двух режимов подвеса - постоянного тока и постоянного магнитного потока. Полученные результаты необходимы для построения уравнений движения пробного тела и выбора оптимальных режимов функционирования подвеса.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Кострюкоз С.А., Шунип Г.Е. Расчет параметров электромагнитных экранов // Объединенное заседание XIV конференции по тепловой микроскопии "Структура и прочность материалов в широком диапазоне темперачур" и III школы-семинара "Физика и технология электромагнитных воздействий на структуру и механические свойства кристаллов",- Тез. докл. Вороне«, 1992, с. 149

2. Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Пакет программ для решения задач магнитостатики на [ВМ-совмостимом персональном компьютере // Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине. Всероссийское совещание-семинар.- Тез. докл. Воронеж, 1994, с. 30-31.

3. Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в электромагнитных экранах // Известия Академии Наук. Серия Физическая. 1995, г. 59, № 10, с. 91-93.

4. Шунин Г.Е., Ястребкоз В.П., Кострюков С.А. Шумы и магнитомеханические процессы в датчиках гравиинерциальных сил // Известия Академии Наук. Серия Физическая, 1995, т. 59, № 10, с. 35-38.

5. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Пакет программ для САПР сверхпроводниковых устройств // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Можвуз. сб. научи, тр. Воронеж, ВГТУ, 1995, с. 35-40.

6. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Пакет программ для решения нелинейных дифференциальных уравнений 2 порядка // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики. -Тез. докл. Воронен;, J995, с. 133.

7. Кострюков: С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Особенности дискретизации краевой задачи для уравнения Лапласа » области со сложной геометрией и заданными скачками потенциала на разрезах методом конечных элементов // Современные методы г, теории краевых задач. Весенняя математическая школа. - Тез. докл. Воронеж, 1996, с.78.

8. Кострюков С.А. Ранение конечноэлементных задач на ЭВМ с ограниченными ресурсами // Действие электромагнитных полей на пластичность и проч-

ность материалов. Международная конференция. - Тез. докл. Воронеж, 1996, с. 110.

9. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Извести! Академии Наук. Серия Физическая, 1996, т. 60, №9, с.186489.

10. Косгрюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в сверхпроводниковых устройствах // ГосФАП № 50960000050, инв. № 018.7600.515. - М., 1996, 9 с.

11. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании сверхпроводниковых экранов и подвесов // Известия Академии Наук. Серия Физическая, 1997, г.61, №5, с. 985-989.

12. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование цилиндрического сверхпроводникового подвеса // Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине. Всероссийское совещание-семинар. - Тез. докл. Воронеж, 1996, с. 98-99.

13. Кострюков С. А., Максимов В. Е., Пешков В. В., Шунин Г. Е. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании физико-технических систем. // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. тр. Воронеж: Изд. ВГТУ, 1997. с. 136 - 141.

14. Решение вычислительных задач методом конечных элеметов. Методические указания к выполнению лабораторных и курсовых рабог по курсу "Математика" для студентов специальности 070900 "Физика металлов" дневной формы обучения / Воронеж, гос. техн. ун-r, Сост.: С. А. Кострюков, В. В. Пешков, Г. Е. Шунин. Воронеж, 1997. 30 с.

ЛР № 020419 от 12.02.92. Подписано в печать 16.11.98. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 85. Заказ Издательство

Воронежского государственного технического университета 394026 Воронеж, Московский просп., 14

Введение.

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКИ.

1.1. Основные положения метода конечных элементов.

1.2. Алгоритмизация и особенности программной реализации метода конечных элементов.

Актуальность темы. Разработка сверхпроводниковых электромагнитных подвесов (СЭМП) пробных тел и других электромеханических элементов гравиинерциальных приборов (акселерометров, сейсмометров и гравиметров), принцип действия которых основан на явлении сверхпроводимости, требует их эффективного математического моделирования с целью оптимизации конструкций и сокращения затрат на создание прототипов.

Использование аналитических методов для расчета распределения магнитного поля в сверхпроводниковых электромеханических элементах не позволяет получить приемлемую для практики точность, а часто вообще невозможно в силу конструктивных особенностей этих устройств (закрытый объем сложной формы, многосвязность, разномасштабность, наличие неоднородных сред). Поэтому актуально построение численных математических моделей, адекватно отражающих процессы в рассматриваемых устройствах. Из существующих численных методов этой цели больше соответствует метод конечных элементов (МКЭ) как наиболее универсальный метод с минимальными ограничениями. МКЭ также хорошо адаптирован для вычисления интегральных характеристик, необходимых для анализа таких систем.

МКЭ, впервые примененный в 50-е годы инженерами для расчета стержневых конструкций, в настоящее время стал одним из самых эффективных методов численного решения задач математической физики. Его популярность связана с универсальностью и простотой математической формы для широкого круга задач в сочетании с гибкостью численных алгоритмов, позволяющих учитывать конкретные свойства данной задачи. На протяжении последних тридцати лет метод успешно применяется при решении задач расчета электромагнитных полей и стал математической основой САПР различных электротехнических устройств.

Хотя МКЭ может быть использован для решения всех задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, успех его во многом определяется эффективностью применяемой формулировки, правильным выбором типа конечных элементов и базисных функций, а также быстрым и экономичным решением систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Эти условия зависят от специфики решаемой задачи. Поэтому одним из наиболее актуальных направлений развития МКЭ является поиск новых эффективных приложений метода.

Размер и сложность решаемых с помощью МКЭ задач определяется имеющимися машинными ресурсами, особенно объемом оперативной памяти. В связи с этим до недавнего времени для конечноэлементных расчетов использовались преимущественно большие ЭВМ. Однако распространение в последние годы достаточно мощных и недорогих персональных компьютеров требует создания нового программного обеспечения, реализующего все преимущества МКЭ в сочетании с полной визуализацией и интерактивным режимом, которые предоставляет ЭВМ подобного типа.

Данная диссертационная работа является частью комплексных исследований, проводимых на кафедре высшей математики и физико-математического моделирования ВГТУ в рамках НИР ГБ 91.14 "Разработка и исследование криогенных магнитогравиинерциальных датчиков" и ГБ 96.14 "Разработка и физико-математическое моделирование криогенных гравии-нерциальных приборов".

Целью настоящей работы является разработка системы компьютерного моделирования СЭМП и расчет магнитных полей и электромеханических характеристик цилиндрического сверхпроводникового подвеса пробного тела криогенного гравиинерциального датчика.

Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: 1. Построить математическую модель, описывающую процессы в сверхпроводниковых электромагнитных подвесах, пригодную для конечноэле-ментного анализа.

2. На основе дискретизации полученных дифференциальных уравнений, граничных и других дополнительных условий получить систему уравнений метода конечных элементов и построить алгоритм ее формирования и решения.

3. Разработать комплекс программ для плоского, осесимметричного и трехмерного конечноэлеменгаого анализа процессов в сверхпроводниковых подвесах, работающий в интерактивном режиме при минимально необходимой входной информации.

4. Адаптировать данный комплекс программ для применения на компьютерах с ограниченными ресурсами; построить эффективные алгоритмы и схемы хранения и обработки данных с целью максимального использования как оперативной, так и внешней памяти при достаточном быстродействии.

5. Провести компьютерное моделирование ряда простейших базовых элементов сверхпроводниковых электромагнитных подвесов; получить оценку точности и сходимости метода; выработать рекомендации по типу разбиения и порядку аппроксимации решения.

6. Провести моделирование магнитного поля и расчет электромеханических характеристик цилиндрического СЭМП пробного тела криогенного гра-виинерциалыюго датчика.

Методы исследований. При создании системы компьютерного моделирования СЭМП использовались положения теории электромагнитного поля в сверхпроводниках, методы математической физики, метод конечных элементов, вычислительные методы линейной алгебры и математического анализа. Разработка алгоритмов и программ осуществлялась на основе структурного подхода к организации данных и алгоритмов.

Научная новизна. Получены дискретные конечноэлементные уравнения, учитывающие свойство многозначности скалярного магнитного потенциала и условие сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников.

Разработаны специальные алгоритмы и способы организации данных, что позволило, в отличие от существующих комплексов, решать задачи с ббльшим числом степеней свободы при одинаковых вычислительных ресурсах.

Впервые проведен расчет трехмерных распределений напряженности магнитного поля в цилиндрическом СЭМП и вычислены его электромеханические характеристики; установлены возможности и ограничения его использования в качестве чувствительного элемента криогенного гравиинерциаль-ного датчика.

Практическая значимость. Реализован комплекс программ по полному конечноэлементному анализу, работающий на !ВМ-совместимом компьютере, который может быть использован в АСНИ и САПР сверхпроводниковых электромеханических устройств. Данную реализацию отличает доступность, гибкость, нацеленность на большие задачи (260 тыс. и более степеней свободы на среднемощных персональных компьютерах), мощная система подсказок, дружественный интерфейс, широкая и наглядная визуализация входной и выходной информации.

Ввиду универсальности многих конечноэлементных формулировок и схожести типов краевых задач данный комплекс программ может найти применение при решении других задач электротехники. Например, он был использован для расчета отклоняющих магнитных систем цветного кинескопа на АООТ "ВЭЛТ" в 1995 г.

Комплекс используется при проведении лабораторных и курсовых работ по вычислительным методам решения краевых задач для студентов физико-технического факультета ВГТУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на: объединенном заседании XIV конференции по тепловой микроскопии "Структура и прочность материалов в широком диапазоне температур" и III 8 школы-семинара "Физика и технология электромагнитных воздействий на структуру и механические свойства кристаллов" ( Воронеж, 1992); школе-семинаре "Релаксационные явления в твердых телах" (Воронеж, 1993); III и IV Международной конференции "Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов" (Воронеж, 1994, 1996); Всероссийских совещаниях-семинарах "Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1994-1997); математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики" (Воронеж; 1995); Международном семинаре "Релаксационные явления в твердых телах" (Воронеж, 1995); Весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1996); 1-ом Международном семинаре "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах" (Воронеж, 1996); научных конференциях Воронежского технического университета (1993-1998).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 20 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 184 страницы машинописного текста, в том числе 63 рисунка и 14 таблиц. Список литературы включает 126 наименований использованных источников.

Основные результаты и выводы работы следующие:

1. Получена конечноэлементная формулировка для плоского, осесим-метричного и трехмерного анализа процессов в сверхпроводниковом электромагнитном подвесе, основанная на использовании скалярного магнитного потенциала. Показано, что расчет магнитного поля в токонесущих сверхпроводниковых системах (в мейсснеровском состоянии) сводится к решению уравнения Лапласа в области со сложной геометрией с граничными условиями 1-го и 2-го рода и заданными скачками потенциала на поверхностях разреза. Рассмотренная скалярная формулировка, в отличие от векторной, требует для получения достаточной точности значительно меньшего числа степеней свободы МКЭ, а также позволяет избежать расчета плотности поверхностного тока сверхпроводнике».

2. Получены соответствующие дискретные уравнения для решения ко-нечноэлементной задачи с учетом граничных и других дополнительных условий. Показано, что задание скачков потенциала сохраняет симметричность и положительную определенность матрицы системы уравнений, что обеспечивает вычислительную устойчивость численных методов и меньшие требования к памяти компьютера.

3. Разработанный в виде интегрированной среды комплекс программ предоставляет средства полного конечноэлементного анализа процессов в СЭМП. Отличительными особенностями комплекса являются нацеленность на решение больших задач (свыше 260 тыс. степеней свободы) иа персональных компьютерах средней мощности; использование конечных элементов различной степени точности и формы; возможность задания разветвленных граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода и ряда дополнительных условий (скачков потенциала, постоянства потока, периодичности, симметричности и др.); эффективные и экономичные схемы хранения и обработки данных.

4. Выполнен расчет магнитных полей ряда токонесущих элементов СЭМП, представляющих собой многосвязные открытые, полуоткрытые и замкнутые системы. Разработаны способы задания поверхностей разреза для сверхпроводниковых систем. Установлено, что используемая формулировка со скачками потенциала лишь незначительно ухудшает сходимость и точность аппроксимации в сравнении с обычным вариантом МКЭ. Точность вычисления интегральных характеристик (сила, энергия) превышает на два порядка величины точность расчета напряженности магнитного поля. Поэтому малая погрешность их расчета может быть получена даже для линейных элементов при невысокой плотности разбиения.

5. Получены распределения трехмерного магнитного поля внутри и вблизи цилиндрического сверхпроводникового экрана криогенного гравии-нерциального датчика, помещенного во внешнее поле. Определены коэффициенты экранирования для продольной и поперечной компонент поля.

6. Впервые выполнен расчет трехмерного магнитного поля цилиндрического сверхпроводникового подвеса пробного тела криогенного гравии-нерциального датчика. Определены области, где в первую очередь может произойти разрушение сверхпроводимости. Рассчитаны индуктивность, сила и момент сил в зависимости от линейных смещений и поворотов пробного тела. Определен предельно допустимый ток в сверхпроводниковых катушках подвеса и максимальная подъемная сила. Вычислены элементы матрицы жесткости и собственные частоты колебаний для двух режимов подвеса - постоянного тока и постоянного магнитного потока. Полученные результаты необходимы для построения уравнений движения пробного тела и выбора оптимальных режимов функционирования подвеса.

Заключение

1. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. -349 с.

2. Сьярле Р. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.-369 с.

3. Зенкевич О., Морган К. Метод конечных элементов и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

4. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. -216 с.

5. Silvester Р., Chari M.V.K. Finite element solution of saturable magnetic field problem // IEEE Trans. Power Appar. and Syst., V. PAS-89,1970, p. 1643-1651.

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов: от интуиции к общности // Механика (сб. переводов), №6, 1970.

7. Синицын А.Н. Метод конечных элементов в динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1978.

8. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы -М.: Наука, 1981.

9. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979

10. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. 95 с.

11. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 208 с.

12. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.- М.: Мир, 1977-383 с.

13. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М: Мир, 1975

14. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов-Киев: Наукова думка. 1989 272 с.

15. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. -312 с.

16. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304 с.

17. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986, 229 с.

18. Кулон Ж.-Д., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988. -208 с.

19. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989. -190 с.

20. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.1/ Шенен П., Коснар М., Гардан И. и др. М.: Мир, 1988. -204 с.

21. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.2/ Жермен-Лакур П., Жорж П.Л. и др. М.: Мир, 1988.-264 с.

22. Pissanetzky S. KUBIK: an automatic three-dimentional finite element mesh generator//Inter. J. Num. Meth. Eng., 1981. Vol. 17, p. 255-269.

23. Bank R.E. PLTMG: a software package for solving elliptic partial differential equations// SIAM, 1990. p. 164.

24. Щербаков Ю.Н., Якунин A.H. Метод конечно-элементарного моделирования ИЭТ с минимальным объемом входной информации // Электроная промышленность. 1991, №1, с. 8.

25. Zhou J.M., Zhou K.D., Shao K.R. Automatic generation of 3D meshes for complicated solids // IEEE Trans. Magn. 1992.-28, №2, p. 1759-1762.

26. Кузнецов А.Ю. Алгоритмы построения двумерной триангуляции Делоне/ АН СССР. СО ВЦ -Новосибирск, 1990 43 с.

27. Сандер И.А. Программа дискретизации двумерных областей общего вида/ АН СССР. СО ВЦ Новосибирск, 1989 - 29с.

28. BoywerA. Computer Dirichlet tesselations. The Computer Journal, 1981, Vol. 24, №2, p. 162-166.

29. Watson D. F. Computing the n-dimentional Delaunay tesselation with application to Voronoi polytopes // The Computer Journal, 1981, Vol. 24, №2, p. 167-172.

30. Cavendish J.C., Field D.A., Frey W. H. An approach to automatic three dimentional finite element mesh generation// Inter. J. Num. Meth. Eng., 1985. Vol. 21, p. 329-347.

31. Шайдуров Многосеточные методы конечных элементов. М.: 1989

32. Edahiro М. I., Kohubo Т., Asano Т. A new point-location algoritmand its practical efficiency — comparison with existing algoritms// ACM. Trans, on Graphics. 1984 3, №2, 317-340.

33. Джордж А., Лю Дж. Решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984, 334 с.

34. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988.- 411 с.

35. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.-608 с.

36. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. -318с.

37. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. Новосибирск: Наука, 1985. 333 с.

38. Daigang W., Kexum J. P-version adaptive computation of FEM// IEEE Trans. Magn. 1994.-30, №5, Pt2. - p. 3515-3518.

39. Foresti S., ets. Multilevel solution method for p-version of finite elements// Comput. Phys. Commun. 1989. - 53, №1-3, p. 349-355.

40. Nehl T. W., Field D. A. Adaptive refinement of first order tetrahedral meshes for magnetostatics using local Delaunay subdivision// IEEE Trans. Magn. -1991.-27, №5, p. 4193-4169.

41. Nakata Т., Takahashi N., Fujuwara K., Imai Т., Muramatsu K. Comparison of various methods of analysis and finite element in 3D magnetic field analysis// IEEE Trans. Magn. 1991 .-27, №5, p. 4073-^4076.

42. Tang Y.O., Meng X.L., Wu H.R., Liang Y.P. An adaptive finite element computation of h-p-version based on hierarchal element for magnetic field problems//J. Harbin Inst. Elec. Technol. 1994. - 17, 4, p. 292-302.

43. Kim H., Hong S., ets. A three dimensional adaptive finite element method for magnetostatic problems// IEEE Trans. Magn. 1992.-28, №2, p. 1679-1681.

44. Webb J.P., Forhani В., Adaptive improvement of magnetic fields using hierarchal tetrahedral finite elements// Trans. Magn. 1994.-30, №5, Pt2. - p. 3511-3514.

45. Dannelongue H.H., Tanguy P.A. Efficient data structures for adaptive remessing with the FEM// J. Comput. Phys. 1990. - 91, №1, p. 94-109.

46. White S.R., Wilkins J.W., Teter M.P. Finite-element method forelectronic structure // Physical Review B. 1989.- Vol. 39, № 9, p.5819-5833.

47. Bubuska I. Trends in finite elements// IEEE Trans. Magn. 1989.-25, №4, p. 2799-2803.

48. Демирчян К. С., Чечурин В. Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986. 240 с.

49. Метод граничных инегральных уравнений / Под ред. Т. Круз, Риццо. М.: Мир, 1978.-210 с.

50. Стадник И. П., Телегин А. П. Решение интегральных уравнений в задачах магнитостатики методом конечных элементов // Изв. вузов. Электромеханика. 1987. № 11. С. 44 49.

51. Preis К., Bardi I., О. Biro, ets. Different finite elenent formulations of 3D Magnetostatic fields// IEEE Trans. Magn. 1992.-28, №2, p. 1056-1058.

52. Kameary A. Calculation of transient 3D eddy current using edge elements// IEEE Trans. Magn. 1990.-26, №2, p. 466-469.

53. Onuki Т., Wakao S. Novel boundary element formulation in gybrid FE-BE method for electromagnetic field computations// IEEE Trans. Magn. 1992.-28, №2, p. 1162-1165.

54. Расчет магнитных полей электрических машин методом конечных элементов // Кислицин А. Л., Крицштейн А. М., Солнышкин Н. И., Эрнст А. Д. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1980, 174 с.

55. Васьковский Ю.Н., Дынник Л.Н. Применение метода конечных элементов для моделирования двумерных электромагнитных полей в движущихся элементах электромеханических устройств // Изв. вузов. Электромеханика. 1990. №9. С. 28-34.

56. Савин Н. В. Применение метода конечных элементов с квадратичной аппроксимацией потенциальной функции для расчета магнитных полей // Электричество. 1987. № 1. С. 62 66.

57. Kladas A.G., Tegopoulos J.A. A new scalar potential formulation for 3D magnetostatics necessitating no source field calculation// IEEE Trans. Magn. -1992.-28, №2, p. 1103-1106.

58. Brauer J.R., Larkin L.A., MacNeal B.E. Higher order 3D isoparametric finite elements for improved magnetic field calculation accuracy// IEEE Trans. Magn.- 1991.-27, №5, p. 4185-4188.

59. Brauer J.R., Larkin L.A., MacNeal B.E., Ruchl J.J. New nonlinear algorithms for finite element analysis of 2D and 3D magnetic fields // J. Appl. Phys. 1991.- 69, №8, Pt.2A, p. 5044-5046.

60. Belhoucine В., Foggia H., Brunnote X. 3D finite element investigation of the magnetic field outside electromagnetic devices// Trans. Magn. 1994.-30, №5, Pt2.-p. 2964-2967.

61. Wang Xin-Wei, Fang Zheng Hu. The mixed finite element for analysis of nonlinear time dependent eddy current field // IEEE Trans. Magn. 1992.-28, №2, p. 1201-1203.

62. Фильц P. В. Теоретические положения к расчету вихревых магнитных полей в нелинейных анизотропных средах дифференциальным методом конечных элементов // Изв. вузов. Электромеханика. 1991. № 3. С. 9 19.

63. MacNeal В.Е., MacNeal R.H. Minimum constrait for finite element vector potential with Neuman boundary condition// IEEE Trans. Magn. 1991.-27, №5, p. 4114-4117.

64. Muramatsu K., Nakata Т., Taashu N., Fujiwara. Investigation of effectiveness of 3D noconforming mesh // IEEE Trans. Magn. 1991.-27, №6, Pt.2, p. 5211-5213.

65. Подольцев А.Д., Эркенов H.X. Комбинированный метод граничных элементов конечных разностей для расчета вихревых токов в осесиммет-ричных телах//Изв. вузов. Электромеханика, 1992, №4, с. 12-18.

66. Salon S. J., Schneider J. M. A Hybrid Element-Boundary Integral Formulation of Poisson's Equation. IEEE Trans, on Magn. Vol. 17. № 6. 1981. P. 2574 -2576.

67. Stochniol A. A general transformation for open boundary finite element method for eectromagnetic problems// IEEE Trans. Magn. 1992.-28, №2, p. 16791681.

68. Бахвалов Ю. А., Бондаренко А. И., Бондаренко И. H. Бесконечные и конечные элементы для расчета осеснмметричных электрических и магнитных полей "открытых" систем // Электромеханика. 1991. № 6. С. 29 32.

69. Пашковский А. В. Комбинированный метод конечных элементов для расчета температурных полей электрических машин и его программная реализация // Изв. вузов. Электромеханика. 1988. № 8. С. 10-19.

70. Левицкий В. Л., Савин Н. В. Базовые матрицы для четырехугольных конечных элементов с кубической аппроксимацией потенциальной функции // Изв. вузов. Электромеханика. 1989. № 10. С. 5 11.

71. Федюков А. Д. Применение квадратичных треугольных конечных элементов с линейными сторонами при расчете двумерных квазистационарных магнитных полей // Изв. вузов. Электромеханика. 1988. № 4. С. 23 26.

72. Левицкий В. Л. Математическое моделирование трехмерных нестационарных температурных полей с помощью шестигранных конечных элементов // Электромеханика. 1989. № 2. С. 43 47.

73. Бурлака А. П., Миничев В. В. Оптимизация процесса расчета магнитных полей методом конечных элементов // Электромеханика. 1988. №4. С. 83-86.

74. Kontopidis G. D., Limbert D. A. A Predictor-Corrector Contouring Algorithm for Isoparametric 3D Elements. Intern. J. Num. Meth. Enging. 1983, 19, p. 995 -1004 .

75. Фильц P.B. Векторная базисная функция Тейлора и ее применение в задачах электродинамики // Изв. вузов. Электромеханика. 1989. №9. С. 5 -10.

76. Кузнецов А. Ю., Русское А.В. Моделирование электростатических полей на IBM PC// Вычисл. эксперим. в задачах мат. физ.: Сб. науч. тр./ АН СССР. СО ВЦ Новосибирск, 1990, - с. 99-106.

77. Рапоцевич Е.А., Радионов С.С., Цимбалист И.В. Моделирование двумерных магнитостатических полей на IBM PC// Вычисл. методы и технология решения задач мат. физ.: Сб. науч. тр./ РАН СО ВЦ Новосибирск, 1993, -с. 116-124.

78. Жидков Е.П., Юдцашева М.Б., Юлдашев О.И. Векторные алгоритмы для решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики / Препр. Объед. ин-тядер. исслед., Дубна. №Р11-94-161. с. 1-21.

79. Юдцашева М.Б., Юлдашев О.И. Комплекс программ MSFE3D для расчетов пространственных магнитостатических полей. Версия 1.2./ Сообщ. Объед. ин-та ядер, исслед., Дубна. №Р11-94-202. с. 1-17.

80. Du Q, Gunzburger M.D., Peterson J.S. // SIAM Rev.- 1992. 34, 54.

81. Du Q., Gunzburger M.D., Peterson J.S. Solving the Ginzburg-Landau equation// Phys. Rev. B. 1992. - 46, №14, p. 9027-9034.

82. Sebestyen Imre. Numerical simulation of electromagnetic field in type-II superconductors // Period. Polytechn. Elec.Eng. 1994. 38, №1, 57-64.

83. Satoh Ayumi, Katimani Atsushu, Ohshima Shigetoshi, Katagiri Masakazu. Numerical analysison magnetic shielding of axially symmetric superconducting plate // Period. Polytechn. Elec.Eng. 1994. 38, №1, 45-55.

84. Mamalis A. G., Vajda I., Ionnidis M.B., ets. Finite difference modelling of magnetic characteristics of high-Tc superconductive ceramics // Superconduct. Sci. and technil. 1995, 8, №7, 579-585.

85. Doria M., Gubernatis J., Rainer D. Virial theorem for Ginzburg-Landau theories wiht potential application to numerical studies of type-II superconductors // Phys. Rev. В -1989, 39, p. 9573-9074.

86. Doria M., Gubernatis J., Rainer D. Solving the Ginzburg-Landau equations simulated annealing // Phys. Rev. В -1990, 41, №10, p. 6335-6339.

87. Буххольд Т. Сверхпроводящие гироскопы. В кн. Пробемы гироскопии / Под ред. Г. Циглера. М.: Мир, 1967, с. 119-128.

88. Мартыненко Ю.Г., Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. М: Наука, 1988. -368 с.

89. Метлин В.Б. Магнитные и магнитогидродинамические опоры. М.: Энергия, 1968. -192 с.

90. Левин Л.А., Жидков A.A., Малтинский М.И. Физические основы, элементы и устройство криогенного гироскопа. Л.: ЦНИИ "Румб", 1979. - 126 с.

91. Торнтон Р. Принципы проектирования систем магнитного подвешивания. ТИЭР, 1973, 61, №5, с. 94-109.

92. Спицын А.И., Личман Е.А. Сверхпроводниковый сферический подвес в поле соленоида с током // ЖТФ, 1989, т.59, в.2, с. 193-196.

93. Спицын И.А. Взаимодействие двух соосных идеально-диамагнитных одинаковых колец с током на близком расстоянии // ЖТФ, т. 63, №12, 1993, с. 1-11.

94. Костин A.B. Расчет магнитного подвеса сверхпроводящего шара над сверхпроводящим тором с захваченным потоком // Изв. вузов. Электромеханика, 1988, №7, с. 5-8.

95. Веселитский И. В., Урман Ю.М. Интегральное представление индуктивности системы (сверхпроводящий шар+токовые катушки) // ЖТФ, 1979, т. 49, №8, с. 1585-1587.

96. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: "Наука", 1982.-620 с.

97. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. -М.: Наука, 1985. 400 с.

98. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. -500 с.

99. Фролов А.В., Фролов Г.Е. Защищенный режим процессоров 80286, 80386, 80486. Практическое руководство по использованию защищенного режима. М.: "Диалог-МИФИ". 1993. -240 с.

100. Шунин Г.Е. , Ястребков В.Н. Возможности гравиметров с электромагнитным подвесом пробного тела. Актуальные проблемы геофизики. М., ИФЗ АН СССР, 1989, с.200-207.

101. Шунин Г.Е. , Ястребков В.Н. Возможности датчиков гравиинерциаль-ных систем // Приборы и системы управления, 1990, №4, с.29-31.

102. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Моделирование чувствительного элемента криогенного гравивариометра // Известия РАН. Сер. Физическая, 1997, т. 61, №5, с. 886-892.

103. Бондаренко С.И., Шеремет В. И. Применение сверхпроводимости в магнитных измерениях. Л.: Энергоатомиздат, 1982. -132 с.

104. Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Возможности и ограничения перспективных гравиинерциальных датчиков // Релаксационные явления в твердых телах. Школа-семинар, г. Воронеж, 23-26 фев. 1993 г. Тез. докл. Воронеж, 1993, с. 145.

105. Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в электромагнитных экранах // Известия Академии Наук. Серия Физическая, 1995, т. 59, № 10, с. 91-93.

106. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н., Кострюков С.А. Шумы и магнитомехани-ческие процессы в датчиках гравиинерциальных сил // Известия Академии Наук. Серия Физическая, 1995, т. 59, №10, с. 35-38.

107. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование магнитотермомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Релаксационные явления в твердых телах. Международный семинар. Тез. докл. Воронеж, 1995, с. 197.

108. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Пакет программ для САПР сверхпроводниковых устройств // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. тр. Воронеж, ВГТУ, 1995, с. 35-40.

109. Кострюков С.А. Решение конечноэлементных задач на ЭВМ с ограниченными ресурсами // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов. Международная конференция, г. Воронеж, 11-14 сент. 1996 г. Тез. докл. Воронеж, 1996, с.110.

110. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Известия Академии Наук. Серия Физическая, 1996, т. 60, №9, с. 186-189.

111. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в сверхпроводниковых устройствах // ГосФАП № 50960000050, инв. № 018.7600.515. М., 1996, 9 с.

112. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании сверхпроводниковых экранов и подвесов // Известия Академии Наук. Серия Физическая, 1997, т. 61, №5, с. 985-989.