автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка системы компьютерного моделирования физических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциальных датчиках методом конечных элементов

На правах рукописи

ПЕШКОВ Вадим Вячеславович

РАЗРАБОТКА СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СВЕРХПРОВОДНИКОВЫХ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНЫХ ДАТЧИКАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж 2003

Работа выполнена в Воронежском государственном техническом университете.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Шунин Геннадий Евгеньевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Бахвалов Юрий Алексеевич;

доктор технических наук, профессор Пастернак Юрий Геннадьевич

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита состоится » 2003 г. в в конференц-

зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 при Воронежском государственном техническом университете по адресу: 394026 Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан « ^^ » с^снр^Л 2003 г.

Ученый секретарь .....

диссертационного совета /р ¿<- < »Л"0'' ' В. М.Питолин

Ю850

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с непрерывным повышением требований, предъявляемых к современным гравиинерциальным приборам, в первую очередь к их чувствительности и стабильности работы, невозможной становится их разработка без применения средств компьютерного моделирования. Стремительное развитие интегрированных универсальных систем компьютерной математики и мультифизического анализа на современном этапе позволяет решать как совершенно новые задачи в области разработки гравиинерциальных устройств, требующие значительных вычислительных затрат, так и виртуально реализовать многие научные разработки, высокая степень сложности которых делала весьма проблематичной их экспериментальную проверку. К числу подобных научных направлений можно отнести создание детекторов для обнаружения гравитационных волн, для исследования собственных колебаний и тектонических движений поверхности Земли, регистрации предвестников землетрясений, аэрокосмической гравиметрии, и др.

Наиболее перспективными считаются криогенные сверхпроводящие гравиинерциальные измерители. Однако специализированные модули, ориентированные на моделирование физических процессов в таких устройствах, не разрабатывались ни в нашей стране, ни за рубежом. При этом использование напрямую универсальных систем мультифизического анализа приводит к неоправданным затратам вычислительных ресурсов и возможно лишь с использованием суперкомпьютеров. Поэтому актуальным направлением является разработка математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику протекания физических процессов в токонесущих сверхпроводящих системах.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР ГБ 96.14 "Разработка и физико-математическое моделирование криогенных гравиинерциальных приборов" и ГБ 2001.14 "Разработка физико-математического обеспечения системы компьютерного моделирования криогенных магнитогравиинерциальных устройств", которые соответствуют одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета - «САПР и системы автоматизации производства».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка алгоритмов и комплекса программ для конечно-элементного анализа физических процессов в сверхпроводниковых устройствах и применение его для расчета электромеханических характеристик сверхпроводникового гравиинерциального датчика.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

- провести анализ существующих универсальных пакетов прикладных программ для конечно-элементного анализа физических процессов в технических объектах и выяснить возможность

лированию сверхпроводниковых гравиинерциаль

- провести дискретизацию и алгоритмизацию математических моделей электростатических, магнитостатических и тепловых процессов в пространстве чувствительного элемента сверхпроводниковых гравиинерци-альных приборов методом конечных элементов;

- создать комплекс программ для расчетов трехмерных электростатических, магнитных и тепловых полей в областях со сложной геометрией и произвольными граничными условиями в присутствии токонесущих сверхпроводящих элементов;

- провести компьютерное моделирование ряда реальных конфигураций чувствительного элемента сверхпроводниковых гравиинерциальных приборов.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения теории электромагнитного поля в сверхпроводниках, методы математической физики, метод конечных элементов, вычислительные методы линейной алгебры, теории графов, методы структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

• дискретные конечно-элементные уравнения, учитывающие свойство многозначности скалярного магнитного потенциала, условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников и условия постоянства электростатического потенциала на сверхпроводящих поверхностях;

• специальные алгоритмы и способы организации данных, позволяющие, в отличие от существующих программ, решать задачи с большим числом степеней свободы при одинаковых вычислительных ресурсах;

• специализированный комплекс программ РЕМРОЕ8о1уег, предназначенный для конечно-элементного анализа физических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциальных устройствах и ориентированный на решение задач, возникающих при их разработке;

• трехмерные распределения напряженности магнитного поля в чувствительном элементе сверхпроводникового гравиинерциального датчика и вычисленные на их основе электромеханические характеристики датчика.

Практическая ценность работы заключается в создании учебно-исследовательского комплекса программ д ля моделирования физических процессов в сверхпроводниковых устройствах. Ввиду универсальности многих конечно-элементных формулировок и схожести типов краевых задач данный комплекс программ может найти применение при решении других задач электротехники. Например, он был использован для расчета электронных пушек и отклоняющих магнитных систем цветного кинескопа на заводе "Воронежские электронно-лучевые трубки" (АООТ "ВЭЛТ") в 1996 г.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы в виде комплекса программ РЕМРБЕЗоЬгег внедрены в процесс автоматизированного проектирования цветных кинескопов на АО ВЭЛТ (г. Воронеж), в учебный процесс подготовки студентов физико-технического факультета ВГТУ и физического факультета ВГУ.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на I и II Международных семинарах "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах" (Воронеж, 1996, 2003); Всероссийских совещаниях-семинарах "Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1996); Весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1996,

1998, 2000); Всероссийском совещании-семинаре "Математическое обеспечение информационных технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1997); Всероссийском совещании-семинаре "Высокие технологии в региональной информатике" (Воронеж, 1998); Всероссийских конференциях "Интеллектуальные информационные системы" (Воронеж,

1999, 2000, 2001, 2002); III Всероссийском семинаре "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 1999); II Всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (Н. Новгород, 2000); Воронежском зимнем симпозиуме "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках" (Воронеж, 2000); Всероссийской конференции "Математическое моделирование в научных исследованиях" (Ставрополь, 2000); II научно-технической конференции и научной школе молодых ученых и специалистов "Прикладные задачи механики и тепломассообмена" (Воронеж, 2001); научных конференциях Воронежского государственного технического университета (1995-2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах в виде статей, материалов докладов и учебного пособия. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежит: в работах [1, 3, 4, 10, 12, 15] -компоненты алгоритмического и программного обеспечения процессора комплекса программ РЕМРЭЕ8о1уег; в работах [2, 5-9, 11, 13] - реализация схем МКЭ для сверхпроводниковых токонесущих систем с сохраняющимся магнитным потоком и потенциалом.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 136 страниц основного текста, 81 рисунок и 9 таблиц. Список литературы включает 134 наименования использованных источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость результатов работы.

В первой главе проведен анализ существующих систем компьютерного моделирования физических процессов в технических устройствах и программных средств, применяемых при их разработке. Отмечено, что большинство существующих программ, позволяющих получать числен-

ное решение дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), описывающих физические процессы в технических объектах, основано на методе конечных элементов (МКЭ). Эти программы можно разделить на две категории. К первой относятся универсальные математические пакеты, охватывающие очень широкий спектр приложений и включающие численное решение ДУЧП лишь как одну из множества доступных пользователю возможностей. Отмечено, что лидером среди них является пакет MATLAB, с состав которого входит большое число пакетов расширения (toolboxes) различного характера. Кроме того, к пакету MAT-LAB может подключаться поставляемая отдельно программа FEMLAB, которая является мощным средством численного решения ДУЧП.

Ко второй категории можно отнести программы, нацеленные исключительно на использование МКЭ для моделирования различных физических процессов, к числу таких систем принадлежат и «тяжелые» коммерческие пакеты, допускающие интеграцию с САПР различных технических объектов. К достоинствам таких программ (ANSYS, N1SA II, COSMOS/M, и др.) можно отнести возможность мультифизического анализа процессов различной природы (т.е. решение связанных задач), развитые средства геометрического моделирования и построения конечно-элементной сетки, достаточно широкий набор решателей, оптимизированных для той или иной области приложения, разнообразные средства визуализации решения и постпроцессорной обработки, поддержка векторных и распределенных (кластеры ПК) вычислений, возможность интеграции и двухстороннего обмена данными со всеми ведущими CAD/CAM/CAE - системами.

Помимо «тяжелых» пакетов, рассмотрен также ряд CAD-систем, в состав которых входят средства конечно-элементного анализа.

Отмечается, что ни в одном из существующих пакетов не производится полноценный учет особенностей протекания физических процессов в сверхпроводящих системах с токонесущими элементами, в связи с чем становится актуальной разработка специализированных пакетов программ для конечно-элементного анализа этих процессов.

Во второй главе описаны структура и возможности разработанного комплекса программ FEMPDESolver для компьютерного моделирования физических процессов в сверхпроводниковых устройствах, а также приводятся состав, функции и основные алгоритмы препроцессора Для разработки применялись система программирования Borland С++ 3.1 и среда визуального программирования Borland С++ Builder 5.0. Схема обмена информацией между составными частями комплекса приведена на рис. 1, интерфейс пр'е/постпроцессорной оболочки - на рис. 2. Основные возможности комплекса:

• решение ДУЧП, включающих вторые производные по пространственным координатам и первую или вторую производную по времени, в двух- и трехмерных областях произвольной формы;

• возможность задания граничных условий 1, 2 или 3 рода, условий постоянства потенциала, других дополнительных условий;

Рис. 1. Обмен информацией между составными частями комплекса программ РЕМРЭЕ8о1уег 2.0.

• возможность решения магнитостатических задач, включающих сверхпроводниковые токонесущие элементы, с помощью задания на линии (поверхности) условия скачка потенциала (условие «разрез»), условия постоянства магнитного потока;

• возможность задания нелинейных коэффициентов уравнения, зависящих от неизвестной функции и и ее градиента;

• использование конечных элементов 1 и 2 порядка, в том числе изопа-раметрических, а также бесконечных элементов для решения задач в постоянном внешнем поле;

• широкие возможности постпроцессорной обработки результатов;

• удобный, простой в освоении интерфейс пользователя.

Работа над задачей в данной программе, с точки зрения пользователя, разбивается на традиционные для подобных пакетов шаги:

• на этапе препроцессора задается описание геометрии объекта и его свойств, вид дифференциального уравнения, граничные и другие условия, проводится генерация конечно-элементной сетки, задаются параметры вычислений;

• на этапе решения процессор (решатель) формирует и решает систему дискретных уравнений;

• на этапе постпроцессорной обработки происходит визуализация результатов, получение интегральных характеристик, графиков, таблиц и т.д.

Препроцессор комплекса программ РЕМРОЕ8о1уег состоит из нескольких функциональных блоков, основными из которых являются блок построения области, блок задания параметров задачи, блоки дискретизации, блок визуализации. В описываемой программе расчетная область задачи должна бьггь представлена в виде совокупности более простых подобластей (зон), границами которых являются кривые (поверхности) 1 и 2 по-

Рис. 2. Интерфейс пре/постпроцессора программы БЕМРОЕЗокег 2.0.

рядка. Форма этих подобластей не должна сильно отличаться от выпуклой, а длины ребер, образующих зону, должны быть соразмерны.

Блок задания параметров задачи позволяет выбрать вид решаемого ДУЧП, граничные и другие дополнительные условия, неоднородности среды. В общем случае дифференциальное уравнение имеет вид:

х(?)|т+У(р>1Г = Ум, г уЯи) + /(и, г, I), (1)

дг аГ

где и = и(г, /) - неизвестная функция, вид функций т, у, а и/определяется пользователем (решение уравнений, содержащих одновременно т Ф 0 и у^О, данной программой не поддерживается).

Кроме этого, в этом блоке задаются граничные и другие дополнительные условия, которые более подробно рассматриваются в главе 3.

Также в блок параметров задачи входят функции задания неодно-родностей среды. Подобласти, в которых задана неоднородность, могут отличаться от остальной области задачи либо видом по крайней мере одной из трех функций, входящих в уравнение, либо (для нестационарных задач) видом начального условия.

Генерация конечно-элементной сетки в каждой из подобластей может производиться либо блочным методом, либо методом Делоне. Блочным методом разбиваются зоны, имеющие форму четырехугольника (шестигранника), при этом число узлов на противолежащих ребрах оказывается строго одинаковым. Методом Делоне можно разбивать зоны произвольной формы, но лишь на треугольные конечные элементы. Конечно-элементная сетка в соседних зонах автоматически сшивается.

В программе РЕМРОЕ5о1уег могут использоваться конечные элементы следующих типов:

а) двумерные и осесимметричные задачи

- лагранжев треугольный элемент 1 порядка (3 узла);

- изопараметрический треугольный элемент 2 порядка (6 узлов);

- серендипов четырехугольный элемент 1 порядка (4 узла);

- изопараметрический четырехугольный элемент 2 порядка (8 узлов);

- треугольный эрмитов элемент (4 узла, 10 степеней свободы);

- бесконечный элемент 1 порядка (4 узла).

б) трехмерные задачи

- лагранжев тетраэдральный элемент 1 порядка (4 узла);

- изопараметрический тетраэдральный элемент 2 порядка (10 узлов);

- серендипов гексаэдральный элемент 1 порядка (8 узлов);

- изопараметрический гексаэдральный элемент 2 порядка (20 узлов).

Также во второй главе приводятся описания информационных структур, предназначенных для хранения информации о задаче, расчетной области и конечно-элементной сетке.

Третья глава посвящена описанию основных алгоритмов процессора комплекса программ РЕМРОЕ8о1уег в соответствии с наиболее важными этапами вычислений:

1) формирование структуры хранения матрицы;

2) формирование глобальной системы алгебраических уравнений —

а) вычисление коэффициентов, матриц и функций, общих для всех конечных элементов;

б) вычисление дифференциальных параметров конечных элементов (производные {дх!д{ду/д^к}, {дг/д^}, якобиан и т.п.).

в) численное и аналитическое интегрирование;

г) вычисление локальных подматриц и подвекторов и добавление их в глобальную матрицу и вектор правых частей конечно-элементной задачи;

д) учет граничных и других дополнительных условий;

3) решение системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрена общая конечно-элементная схема решения задачи на примере стационарного уравнения

сКу(цУф) + ^<р = -/, (2)

в котором неизвестной величиной является скалярная функция ф. Материальные свойства рассматриваемой среды определяются некоторой функцией [1(х,у,г). Величина X не зависит от координат и может быть известной или определяться условиями задачи, а /(х, у, г) - заданная функция источника. На замкнутой поверхности Г, состоящей из частей Гь Г2 и Г3, заданы граничные условия 1,2 или 3 рода:

Ф 1г, = &1 (*» У* *)> (*» У»г) е Г1' (3)

5ф дп

= &2 (х, У, 2), (х, у, г) е Г2, , (4)

I I + Зф

= |Д. —

дп

+ (х,у,г), (х,;^) е Г3- (5)

. дп Л г,

При наличии сред с различными физическими свойствами на границах их раздела (внутренние границы Г4) ставятся условия сопряжения -непрерывность решения и скачок его нормальных производных:

. (6)

г4-

Кроме того, в задачах магнитостатики может задаваться условие скачка потенциала на некоторой внутренней границе Г5:

ф|Г5+-ф|г-=/, (7)

и/или условие сохранения магнитного потока:

¡^ог = Ф0 (8)

/ дп

м

(здесь / и Ф0 - некоторые постоянные величины).

Подробно описана процедура дискретизации по МКЭ краевой задачи (2-8) с использованием вариационного принципа, предполагающего, что функция-решение ищется из условия минимума некоторого функционала. Например, для уравнения (2) таким функционалом является

Пф) = I |1н<Уф)2 - \<?2 - 2/ф ] ¿п. (9)

о

Также приведены выражения для функционалов, принимающих стационарное значение на функциях, являющихся решениями уравнения (2) и удовлетворяющих какому-либо из условий (3-8), получены выражения для элементов матрицы линейной системы и элементов вектора правых частей.

Для каждой реализации МКЭ существенным является наличие оптимальной структуры хранения матричных элементов, поскольку данный метод всегда приводит к сильно разреженной матрице (с большим количеством нулей вне главной диагонали). Поэтому конкретная реализация МКЭ обычно использует специальную структуру хранения матрицы, минимизируя или совсем исключая из нее нулевые элементы. В данной программе для хранения индексов ненулевых элементов используется представление разреженной матрицы в виде графа.

При формировании матрицы используется традиционный для МКЭ подход, состоящий в последовательной обработке всех конечных элементов, вычислении локальной матрицы для отдельного элемента и добавлении этой матрицы в глобальную матрицу, соответствующую всей задаче. Аналогичным образом формируется и вектор правых частей. Как правило, все вычисления матричных элементов и вектора правых частей в МКЭ сводятся к интегрированию по области конечного элемента или его поверхности. Для упрощения применения формул численного интегрирования, а также для универсальности программирования эти интегралы пре-

образуются к интегрированию по области единого стандартного конечного элемента, с заранее-определенными координатами узлов. Основные расчеты в МКЭ связаны с вычислениями матриц жесткости и нагрузки —

Sv = jiiVN^N^Q, Tv = ¡XN.NjdQ. n n

Путем указанного преобразования эти интегралы приводятся к виду

Sy = I \KmnQi„dClx , Tv = Jgdet/^Q,, "<» a, n,

где интегрирование ведется по области flj стандартного конечного элемента, тензор {Q'Jmn} и матрица {tu} - одинаковые для всех элементов, поэтому для каждой задачи Q''mn, ta должны вычисляться лишь один раз. Матрица К и якобиан преобразования, фигурирующий в подынтегральном выражении, зависят от конкретных размеров и положения в пространстве конечных элементов, т.е. от глобальных координат его узлов. Таким образом, указанные величины вычисляются для каждого отдельного элемента. Приводится ряд соотношений, позволяющих существенно оптимизировать их вычисление, на примере треугольного элемента 2-го порядка.

Одним из наиболее существенных этапов для каждой реализации МКЭ является способ учета граничных и других дополнительных условий. Эти условия, как правило, могут быть представлены с помощью дополнительных слагаемых в исходном функционале (9). Рассмотрим подробнее ряд условий, часто возникающих при решении задач в областях со сверхпроводниками и наличие которых является отличительной особенностью программы FEMPDESolver.

В ряде физических задач может ставиться дополнительное условие на внутренней или внешней границе, обеспечивающее постоянное значение функции. Например, в задачах электростатики на поверхности сверхпроводника потенциал удовлетворяет условию <5ф/дт|г, = 0, или ф = const на границе Г]. В терминах МКЭ это означает, что во всех узлах конечно-элементной сетки, лежащих на Гь потенциал одинаков (узловые величины равны между собой, но неизвестно, какому именно значению они равны). Это неизвестное значение должно определиться в результате решения конечно-элементной задачи.

Известно, что функционал задачи Лапласа определяется выражением

^(cp) = ^J(V<p)2</Q. (Ю)

п

Варьируя этот функционал на множестве функций, удовлетворяющих условию ф = const на границе Гь придем к заключению, что на этой части границы будет автоматически выполняться интегральное соотношение

f^-яГ = 0 . Его левая часть в электростатике представляет собой заряд, ,r on

м

ограниченный контуром Г\. Если к функционалу (10) добавить слагаемое

£?ф|г , где 2 - заданное число, а потенциал ф по-прежнему одинаков, но не фиксирован на Г), то роль естественного интегрального условия бу-

наличие заряженного проводника с заданным зарядом 0.

Рассмотренный вариационный принцип позволяет получить конечно-элементную формулировку, включающую как заданные значения потенциала (обычное условие Дирихле), так и заданные значения зарядов (интегральное условие на некоторой поверхности). Из всех степеней свободы, относящихся к Гь в итоговые уравнения будет входить только одна узловая переменная.

Известно, что макроскопические сверхпроводниковые токовые системы можно корректно описать через скалярный магнитный потенциал ф, если ввести понятие разреза. Выбирать линию (поверхность) разреза следует таким образом, чтобы любой замкнутый контур, охватывающий сверхпроводник с током, обязательно пересекал разрез. На этой линии (поверхности) нужно задать скачок потенциала, равный току /:

где ф+ и ф_ - значения неизвестной функции в одной и той же точке по разные стороны разреза. Требуемое распределение магнитного поля соответствует точке минимума функционала (10), рассматриваемого на множестве функций, удовлетворяющих условию (11) на Г5. Способ учета условия скачка в описываемой реализации МКЭ состоит в том, что узлам, лежащим на поверхности разреза, приписывается по две узловые величины ф,+ и ф,_, связанные одним и тем же разностным соотношением ф,+-ф,_=/. При этом считается, что к конечным элементам, лежащим по одну сторону от Г5, относится только одна из ф,+ и ф,_ узловая величина, а элементам, лежащим по другую сторону от Г5, соответствует другая величина.

Получаемые в результате дискретные уравнения содержат только одну независимую переменную (например, ф,_). При этом перестройка системы уравнений не влечет за собой изменение матричного графа. Более того, матрица системы формируется так, как если бы никакого разреза не было, изменению подлежит лишь вектор правых частей.

В рассмотренной постановке ток / должен быть известным. Однако такая модель непригодна для случая «замороженного» потока, когда поток Ф0 через отверстие замкнутого сверхпроводника фиксирован, а в самом сверхпроводнике устанавливается такой ток, который препятствует изменению потока Фо- Требуемый вариационный принцип получим, используя функционал

дет играть равенство

электростатике оно означает

ф+-ф_=Л

(П)

^(ф,/)=Д|(Уф)2<Ю + Ф0/|Г5,

п

+

+

а

б

Рис. 3. Преобразование графа в результате учета условия задания потока через поверхность разреза: а - непреобразованный граф для двух элементов, б - полученный граф.

где /= ф+-ф_ есть скачок потенциала на поверхности разреза Г5. В такой формулировке ток I является изменяемым параметром, а интеграль-

ловие для заданного значения потока. Особенность рассматриваемой формулировки состоит в том, что она, наряду с потенциалом ф, включает еще одну переменную - силу тока I. Применительно к МКЭ это означает появление дополнительной степени свободы, не связанной с узловыми величинами. В узлах, лежащих на поверхности разреза, должен по-прежнему учитываться скачок потенциала.

Рассмотрим сетку из двух элементов, примыкающих с разных сторон к Г5. Изменение матричного графа в результате условия сохранения потока показано на рис. 3. Видно, что учет данного интегрального условия приводит к появлению новой вершины «I». Эта вершина связывается ребрами с вершинами тех конечных элементов, которые примыкают к Г5 только с одной стороны (помеченной знаком «+»). Значения матричных элементов, соответствующих ребрам непреобразованного графа, не меняются. Внедиагональные элементы, соответствующие новым ребрам графа, приведены на рисунке, а диагональный элемент формируется по правилу

Важно, что учет приведенных дополнительных ограничений на основе вариационных принципов позволяет сохранить симметричность и положительную определенность матрицы системы уравнений.

Решение полученной системы линейных уравнений производится стандартными методами с учетом разреженной структуры матрицы - методом Холесского и различными вариантами метода сопряженных градиентов.

В случае нелинейной задачи осуществляется итерационный процесс по методу Ньютона-Рафсона. Если задача к тому же и нестационарна,

ное соотношение

рассматривается как естественное ус-

производится пересчет на каждом временном отсчете. Используется схема Кранка-Николсона. Получены удобные для вычислений выражения коэффициентов данной схемы.

В четвертой главе описаны структура и возможности постпроцессора программы РЕМРОЕ8о1уег, приведены основные алгоритмы и примеры визуализации результатов решения. Задачей постпроцессора является анализ и визуализация результатов решения задачи, вычисление интегральных и локальных характеристик. Имеется возможность построения линий равного потенциала и модуля градиента потенциала, цветовых карт, матриц стрелок, что дает возможность качественного анализа картины поля. Кроме этого, могут быть построены графики и таблицы для функции и, ее производных и градиента между любыми двумя точками области, а также вдоль граничных линий, вдоль граничных линий может быть также построен график изменения нормальной производной. Для нестационарных задач имеется возможность построения графика изменения функции и и ее производных в одной точке области в зависимости от времени.

Также при анализе результатов часто требуется вычислять интегральные характеристики системы, такие, как запасенная энергия поля, сила, действующая на некоторую поверхность, максимальный градиент потенциала, и т.п. Запасенная энергия непосредственно связана с функционалом задачи, который минимизируется в МКЭ и определяется наиболее точно. Расчет для электро- и магнитостатических задач производится по формуле:

ж=£ \v\dxdydz = Ф,Ф, ^л^ул^^а=,

^ П 'О, е

где { } - матрица жесткости е-го конечного элемента.

Сила, в отличие от энергии, определяется путем интегрирования по некоторой поверхности, а значит, по границам элементов, примыкающих к этой поверхности (формулы для электро- и магнитостатических задач)

^ с ^ 1,7

где пе - нормаль к границе конечного элемента.

В пятой главе в качестве объекта моделирования рассмотрен криогенный гравиинерциальный датчик, чувствительным элементом которого является сверхпроводниковый электромагнитный подвес (СЭМП) с пробным телом в виде полого цилиндра с крышкой (рис. 4). Сверхпроводящее пробное тело (ПТ) левитирует в магнитном поле, создаваемом двумя сверхпроводящими катушками, при этом его смещения от положения равновесия, вызываемые гравиинерциальными силами, фиксируются при помощи емкостного датчика смещений. Параметры подвеса: плоская катушка - 35 витков, радиус внешний и внутренний 7.5 и 3.15 мм соответственно; цилиндрическая катушка - 40 витков, радиус 9.05 мм;

2

3

4

5

б

7

Рис. 4. Геометрическая модель датчика (вариант а): 1 - сверхпроводящий экран; 2 — диэлектрическая подложка; 3 - емкостной датчик смещений ПТ; 4 - сверхпроводящее пробное тело; 5-6- сверхпроводящие катушки; 7-каркас.

длина боковой стенки ПТ 10.6 мм, радиус 10 мм, радиус отверстия 2 мм; толщина стенок 0.4мм; диаметр проволоки 0.1 мм. Масса ПТ »2 = 3.85 г, момент инерции 3 относительно осей х, у равен 2.1 г-см2.

Целью вычислительного эксперимента было определение электромеханических характеристик датчика, необходимых для построения уравнений движения ПТ и анализа его отклика на гравиинерциальные поля (в первую очередь, элементов матрицы жесткости и собственных частот колебаний). Для их определения было необходимо получить ряд зависимостей: Е=Е(£), Е=Е(у), Е=Е(а), /^^(у),

Ру=Еу(а), Мх=Мх(а), Мх=Мх(у), где под г понимается вертикальное смещение ПТ относительно положения равновесия, под у - боковое смещение, под а - угол поворота относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс ПТ параллельно оси х.

Рассмотрены два варианта конструкции датчика, отличающиеся формой одной из катушек. В варианте а использовалась плоская катушка (35 витков), расположенная вблизи от ПТ (рис. 4), при этом каркас, на который наматывались катушки, мог бьггь изготовлен как из гиперпроводника (высокочистые медь или алюминий) (вариант аХ), так и из сверхпроводника (вариант а2). Вариант б вместо плоской катушки предусматривал использование катушки квадратного сечения (10x10 витков), значительно удаленной от ПТ. Для каждого из вариантов с помощью комплекса программ РЕМРОЕ8о1уег была произведена следующая серия расчетов.

Для получения зависимостей Е=Е(г), р2~р2(г) решались осесиммет-ричные задачи, различающиеся расстоянием с1 от ПТ до плоской катушки. Число степеней свободы - от 30 до 65 тыс., тип КЭ - изопараметрический треугольный элемент 2 порядка. Разбиение области на конечные элементы показано на рис. 5, графики зависимостей Е= Е(г), Р2 - - на рис. 6.

Аналогичные расчеты выполнены для подвеса, в котором витки катушек заменены кольцами прямоугольного сечения, плотно прилегающими друг к другу. Такая аппроксимация соответствует случаю пренебрежения неоднородностью поля в ближайшей окрестности витков, при этом интегральные характеристики подвеса меняются не слишком сильно (Е и имеют значения на -10% меньше, чем в случае учета геометрии структуры витков). Указанная замена обеспечивает сокращение числа степеней свободы в осесимметричном случае в несколько раз.

Чтобы найти остальные зависимости, потребовалось решать трехмерные задачи. Число степеней свободы - 150-250 тыс., тип КЭ - изопараметрический тетраэдральный элемент 2-го порядка. В трехмерном случае провести расчет с учетом витковой структуры катушек на ПК невозможно (примерное число степеней свободы - несколько миллионов), поэтому катушки представлялись в виде колец, как показано выше. Графики зависимостей Р.=Р:(у), Е=Е(у) приведены на рис. 8.

Рис. 5. Разбиение рабочей области задачи на конечные элементы (вариант конструкции с каркасом из сверхпроводника).

-0,1 0 0,1 2 -20, ММ

-0,2

г - го, мм

Рис. 6. Зависимости Е=Е(г), =/«У» (полужирные линии - подвес с каркасом из гиперпроводника, тонкие - из сверхпроводника).

Рис. 7. Линии равного потенциала и матрица стрелок.

£х10

у, мм

Рис. 8. Графики зависимостей подъемной силы и энергии от величины бокового смещения ПТ (вариант <я1).

На основании полученных зависимостей найдены элементы матрицы жесткости и собственные частоты колебаний для каждого из рассмотренных вариантов конструкции датчика Найдены также значения максимального тока запитки подвеса из условия, что напряженность создаваемого им поля ни в одной точке расчетной области не должна превышать первое критическое поле Нл - Вс\I\xq « 111400 А/м. Найденное для варианта а\ в задаче с током 1 А в цепи подвеса значение максимальной напряженности поля составляет при d-QA5 мм #maxи 12020 А/м, следовательно, максимальный ток запитки равен 1тах = Нс\ /Я^ и 9.3 А. Определим максимальную подъемную силу (Fz)m3K, соответствующую этому току. Так как (/Утах~/тах, TO (F/1^ «0.279 Н. АНЗЛОГИЧНО НЗХОДИМ (Fz(a2))max~0.102 Н. Такая сила удержит в поле силы тяжести массу, приблизительно равную 28 г и 10.5 г соответственно (при реальной массе ПТ 3.85 г).

Аналогичным образом найдем ток, при котором ПТ будет

левитировать на расстоянии d= 0.45 мм: I0)=-yJmg/= 3.41 А, Im=^]mg/Fzm =5.65 А (Здесь g - ускорение свободного падения). Экспериментально измеренное значение » 3.2 А (с точностью 10%). Таким образом, отличие от составляет 6.2%, что лежит в пределах точности экспериментальных измерений. Это говорит о практическом совпадении результатов моделирования с экспериментальными данными.

Приложение содержит тексты основных подпрограмм процессора комплекса программ FEMPDESolver (около 1500 строк из более чем 12 тыс. строк общего текста программ комплекса) и копии актов внедрения программы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. На основе проведенного анализа возможностей существующих конечно-элементных комплексов программ сделан вывод о целесообразности создания дополнительных специализированных пакетов программ, предназначенных для моделирования сверхпроводниковых устройств и учитывающих особенности решения вычислительных задач в данной области.

2. Получены дискретные конечно-элементные уравнения, учитывающие свойство многозначности скалярного магнитного потенциала, условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников и условия постоянства электростатического потенциала на сверхпроводящих поверхностях;

3. Разработан учебно-исследовательский комплекс программ для моделирования магнитостатических, электростатических и тепловых процессов в двух- и трехмерных областях со сложной геометрией и произвольными граничными условиями в присутствии токонесущих сверхпроводящих элементов.

4. Проведен конечно-элементный анализ трехмерных магнитного и электростатического полей в сверхпроводниковом датчике с цилиндрическим подвесом пробного тела и определены области, где в первую очередь может произойти разрушение сверхпроводимости.

5. Рассчитаны индуктивность, емкость, сила и момент сил в зависимости от линейных смещений и поворотов пробного тела, определены предельно допустимый и рабочий ток в сверхпроводниковых катушках подвеса, максимальная подъемная сила и элементы матрицы жесткости.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Пакет программ для САПР сверхпроводниковых устройств // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. тр. Воронеж: ВГТУ, 1995. С. 35-40.

2. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1996. Т.60. № 9. С. 186-189.

3. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в сверхпроводниковых устройствах // ГосФАп № 50960000050, инв. № 018.7600.515, М., 1996.

4. Пакет программ РЕМРОЕ8о1уег 2.0 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка / С.А. Кострюков, Д.В. Каталиков, В.В. Пешков, П.А. Потехин, Г.Е. Шунин // ГосФАП № 50200200497, М., 2002.

5. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании сверхпроводниковых экранов и подвесов // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1997. Т.61. № 5. С.985-989.

6. Моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциапьных датчиках / С.А. Кострюков, М.В. Матвеева, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии Наук. Серия Физическая. 2000. Т.64. № 9. С.1705-1711.

7. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании физико-технических систем / С.А. Кострюков, В.Е. Максимов, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. тр. Воронеж: ВГТУ, 1997. С. 136-141.

8. Пешков В.В., Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Компьютерное моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика // Интеллектуальные информационные системы: Труды Всерос. конф. 4.2. Воронеж, 2000. С.144-145.

9. Моделирование физических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциапьных датчиках / Г.Е. Шунин, В.Н. Ястребков, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, М.В. Матвеева, Д.В. Каталиков, П.А. Потехин // Математическое моделирование в научных исследованиях: Материалы Всерос. конф. Ставрополь, 2000. С.232-235.

10. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Вычислительный модуль системы компьютерного моделирования магнитных полей в сверхпроводниковых устройствах // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Все-рос. конф. 4.1. Воронеж, 2001. С.51-52.

11. Пешков В.В., Шунин Г.Е. Анализ МКЭ программных комплексов и возможностей их использования при моделировании сверхпроводниковых устройств // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. 4.1. Воронеж, 2001. С.60-61.

12. Пешков В.В., Потехин П.А., Шунин Г.Е. Постпроцессор комплекса программ для конечноэлементного анализа РЕМРОЕБо^ег 2.0 // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. 4.2. Воронеж, 2002. С.56-58.

13. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Конечно-элементная формулировка дополнительных условий в задачах электро- и магнитостатики // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Материалы Междунар. конф. Воронеж, 2003. С.236-237.

14. Пешков В.В. Компьютерное моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Материалы междунар. конф. Воронеж, 2003. С.244-246.

15. Шунин Г.Е., Кострюков С.А., Пешков В.В. Физико-математическое моделирование криогенных гравиинерциальных устройств: Учеб. пособие. Воронеж: ВГТУ, 2001. 85 с.

ЛР № 066815 от 25.08.99 Подписано в печать 08.07.2003 Формат 60x84/16. Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 90 экз. Зак. № 30).

Воронежский государственный технический университет 394026 Воронеж, Московский просп., 14

I

I

I

I

fi 10 8 5 0

Ьоз - A

" logjö

Введение.

1. ВОЗМОЖНОСТИ КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ МУЛЬТИ-ФИЗИЧЕСКОГО КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО АНАЛИЗА ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.

1.1. Средства конечно-элементного анализа дифференциальных уравнений системы МАТЬАВ.

1.2. Программы, работающие в режиме командной строки.

1.3. Универсальные интегрированные системы инженерного конечно-элементного анализа.

2. СТРУКТУРА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ И ОПИСАНИЕ ПРЕПРОЦЕССОРА.

2.1. Возможности и структура.

2.2. Препроцессор.

2.2.1. Блок построения области.

2.2.2. Блок геометрических операций.

2.2.3. Блок задания параметров задачи.

2.2.4. Блок визуализации.

2.2.5. Блоки дискретизации подобластей.

2.2.6. Блок проверки качества сетки.

2.3. Информационные структуры.

2.3.1. Описание задачи.

2.3.2. Описание области.

2.3.3. Описание конечно-элементной сетки.

3. ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМЫ И ПРОЦЕССОР.

3.1. Конечно-элементная аппроксимация решения дифференциальных уравнений.

3.2. Формирование структуры хранения матрицы.

3.3. Формирование глобальной системы алгебраических уравнений.

3.3.1 Вычисление коэффициентов, матриц и функций, общих для всех конечных элементов.

3.3.2. Величины, вычисляемые для каждого конечного элемента

3.3.3. Учет граничных и других дополнительных условий.

3.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

3.5. Нелинейные уравнения.

3.6. Решение нестационарных и нелинейных задач.

4. ПОСТПРОЦЕССОР.

4.1. Структура и возможности.

4.2. Основные вычислительные алгоритмы.

4.3. Средства визуализации результатов.

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕРХПРОВОДНИКОВОГО ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНОГО ДАТЧИКА.

5.1. Геометрическая модель датчика.

5.2. Моделирование распределения магнитного поля в рабочем объеме датчика.

5.3. Моделирование распределения электростатического поля в емкостном датчике смещений пробного тела.

Актуальность темы. В связи с непрерывным повышением требований, предъявляемых к современным гравиинерциальным приборам, в первую очередь к их чувствительности и стабильности работы, невозможной становится их разработка без применения средств компьютерного моделирования. Стремительное развитие интегрированных универсальных систем компьютерной математики и мультифизического анализа на современном этапе позволяет решать как совершенно новые задачи в области разработки гравиинерциаль-ных устройств, требующие значительных вычислительных затрат, так и виртуально реализовать многие научные разработки, высокая степень сложности которых делала весьма проблематичной их экспериментальную проверку. К числу подобных научных направлений можно отнести создание детекторов для обнаружения гравитационных волн, для исследования собственных колебаний и тектонических движений поверхности Земли, регистрации предвестников землетрясений, аэрокосмической гравиметрии, и др.

Наиболее перспективными считаются криогенные сверхпроводящие гравиинерциальные измерители. Однако специализированные модули, ориентированные на моделирование физических процессов в таких устройствах, не разрабатывались ни в нашей стране, ни за рубежом. При этом использование напрямую универсальных систем мультифизического анализа приводит к неоправданным затратам вычислительных ресурсов и возможно лишь с использованием суперкомпьютеров. Поэтому актуальным направлением является разработка математических моделей, алгоритмов и комплексов программ, адекватным образом учитывающих специфику протекания физических процессов в токонесущих сверхпроводящих системах.

Данная диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетных НИР ГБ 96.14 "Разработка и физико-математическое моделирование криогенных гравиинерциальных приборов" и ГБ 2001.14 "Разработка физико-математического обеспечения системы компьютерного моделирования криогенных магнитогравиинерциальных устройств", которые соответствуют одному из основных научных направлений Воронежского государственного технического университета — «САПР и системы автоматизации производства».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка алгоритмов и комплекса программ для конечно-элементного анализа физических процессов в сверхпроводниковых устройствах и применение его для расчета электромеханических характеристик сверхпроводникового гравиинерциально-го датчика.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

- провести анализ существующих универсальных пакетов прикладных программ для конечно-элементного анализа физических процессов в технических объектах и выяснить возможность их применения к моделированию сверхпроводниковых гравиинерциальных приборов;

- провести дискретизацию и алгоритмизацию математических моделей электростатических, магнитостатических и тепловых процессов в пространстве чувствительного элемента сверхпроводниковых гравиинерциальных приборов методом конечных элементов;

- создать комплекс программ для расчетов трехмерных электростатических, магнитных и тепловых полей в областях со сложной геометрией и произвольными граничными условиями в присутствии токонесущих сверхпроводящих элементов;

- провести компьютерное моделирование ряда реальных конфигураций чувствительного элемента сверхпроводниковых гравиинерциальных приборов.

Методы исследования. При выполнении работы использованы основные положения теории электромагнитного поля в сверхпроводниках, методы математической физики, метод конечных элементов, вычислительные методы линейной алгебры, теории графов, методы структурного, объектно-ориентированного и визуального программирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: • дискретные конечно-элементные уравнения, учитывающие свойство многозначности скалярного магнитного потенциала, условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников и условия постоянства электростатического потенциала на сверхпроводящих поверхностях;

• специальные алгоритмы и способы организации данных, позволяющие, в отличие от существующих программ, решать задачи с большим числом степеней свободы при одинаковых вычислительных ресурсах;

• специализированный комплекс программ РЕМРВЕ8о1уег, предназначенный для конечно-элементного анализа физических процессов в сверхпроводниковых гравиинерциальных устройствах и ориентированный на решение задач, возникающих при их разработке;

• трехмерные распределения напряженности магнитного поля в чувствительном элементе сверхпроводникового гравиинерциального датчика и вычисленные на их основе электромеханические характеристики датчика.

Практическая ценность работы заключается в создании учебно-исследовательского комплекса программ для моделирования физических процессов в сверхпроводниковых устройствах. Ввиду универсальности многих конечно-элементных формулировок и схожести типов краевых задач данный комплекс программ может найти применение при решении других задач электротехники. Например, он был использован для расчета электронных пушек и отклоняющих магнитных систем цветного кинескопа на заводе "Воронежские электронно-лучевые трубки" (АООТ "ВЭЛТ") в 1996 г.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы в виде комплекса программ РЕМРОЕ8о1уег внедрены в процесс автоматизированного проектирования цветных кинескопов на АО ВЭЛТ (г. Воронеж), в учебный процесс подготовки студентов физико-технического факультета ВГТУ и физического факультета ВГУ.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на I и II Международных семинарах "Компьютерное моделирование электромагнитных процессов в физических, химических и технических системах" (Воронеж, 1996, 2003); Всероссийских совещаниях-семинарах "Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1996); Весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 1996, 1998, 2000); Всероссийском совещании-семинаре "Математическое обеспечение информационных технологий в технике, образовании и медицине" (Воронеж, 1997); Всероссийском совещании-семинаре "Высокие технологии в региональной информатике"

Воронеж, 1998); Всероссийских конференциях "Интеллектуальные информационные системы" (Воронеж, 1999, 2000, 2001, 2002); III Всероссийском семинаре "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 1999); II Всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве" (Н. Новгород, 2000); Воронежском зимнем симпозиуме "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках" (Воронеж, 2000); Всероссийской конференции "Математическое моделирование в научных исследованиях" (Ставрополь, 2000); II научно-технической конференции и научной школе молодых ученых и специалистов "Прикладные задачи механики и тепломассообмена" (Воронеж, 2001); научных конференциях Воронежского государственного технического университета (1995-2003).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах в виде статей, материалов докладов и учебного пособия. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежит: в работах [1, 3, 4, 10, 12, 15] - компоненты алгоритмического и программного обеспечения процессора комплекса программ FEMPDESolver; в работах [2, 5-9, 11, 13] - реализация схем МКЭ для сверхпроводниковых токонесущих систем с сохраняющимся магнитным потоком и потенциалом.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 136 страниц основного машинописного текста, 81 рисунок и 9 таблиц. Список литературы включает 134 наименования использованных источников.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе проведенного анализа возможностей существующих конечно-элементных комплексов программ сделан вывод о целесообразности создания дополнительных специализированных пакетов программ, предназначенных для моделирования сверхпроводниковых устройств и учитывающих особенности решения вычислительных задач в данной области.

2. Получены дискретные конечно-элементные уравнения, учитывающие свойство многозначности скалярного магнитного потенциала, условия сохранения магнитного потока для многосвязных сверхпроводников и условия постоянства электростатического потенциала на сверхпроводящих поверхностях.

3. Разработан учебно-исследовательский комплекс программ для моделирования магнитостатических, электростатических и тепловых процессов в двух- и трехмерных областях со сложной геометрией и произвольными граничными условиями в присутствии токонесущих сверхпроводящих элементов.

4. Проведен конечно-элементный анализ трехмерных магнитного и электростатического полей в сверхпроводниковом датчике с цилиндрическим подвесом пробного тела и определены области, где в первую очередь может произойти разрушение сверхпроводимости.

5. Рассчитаны индуктивность, емкость, сила и момент сил в зависимости от линейных смещений и поворотов пробного тела, определены предельно допустимый и рабочий ток в сверхпроводниковых катушках подвеса, максимальная подъемная сила и элементы матрицы жесткости.

1. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика. - М.: Наука, 1985. - 400 с.

2. Буккель В. Сверхпроводимость. М.: Мир, 1975. — 368 с.

3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.-318с.

4. Выжиковски Р., Каневский Ю.С. Применение разреженных матриц при реализации метода конечных элементов // Электрон, моделир. 1999. Т.21. №4. С.113-118.

5. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. — 95 с.

6. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. — М.: Высшая школа, 1986.-240 с.

7. Джордж А., Лю Дж. Решение больших разреженных систем уравнений. -М.: Мир, 1984.-334 с.

8. Дьяконов В. Maple 7: учебный курс. СПб., Питер, 2002. — 672 с.

9. Дьяконов В. Mathematica 4: учебный курс. СПб.: Питер, 2001. — 656 с.

10. Дьяконов В. MATLAB 6: Учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 592 с.

11. Жидков Е.П., Юлдашева М.Б., Юлдашев О.И. Векторные алгоритмы для решения трехмерных нелинейных задач магнитостатики // Математическое моделирование. 1994. Т.6. № 9. С. 99-116.

12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М: Мир, 1975.

13. Зенкевич О., Морган К. Метод конечных элементов и аппроксимация. -М.: Мир, 1986.-318 с.

14. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. JL: Изд-во ЛГУ, 1977. - 208 с.

15. Кострюков С.А. Компьютерное моделирование сверхпроводниковых электромагнитных подвесов методом конечных элементов // Дисс. . канд. техн. наук. Воронеж, 1998. - 183 с.

16. Кострюков С.А., Максимов В.Е., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании физико-технических систем // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. тр. Воронеж: ВГТУ, 1997. С. 136-141

17. Кострюков С.А., Матвеева М.В., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых гравиинер-циальных датчиках // Известия Академии наук. Серия Физическая. 2000. Т.64, № 9. С.1705-1711.

18. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Вариационное исчисление и элементы оптимального управления: Учеб. пособие. Воронеж: ВГТУ, 2002. 248 с.

19. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Вычислительный модуль системы компьютерного моделирования магнитных полей в сверхпроводниковых устройствах // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. 4.1. Воронеж, 2001. С.51-52.

20. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование магнитомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1996. Т.60. № 9. С. 186-189.

21. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование магнитотермомеханических процессов в сверхпроводниковых устройствах // Релаксационные явления в твердых телах: Тез. докл. Междунар. семинара. Воронеж, 1995. С.197.

22. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование сверхпроводниковых устройств // Математическое обеспечение высоких технологий в технике, образовании и медицине: Тез. докл. Всерос. совещания-семинара. Воронеж, 1995. С. 174-175

23. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в сверхпроводниковых устройствах // ГосФАП № 50960000050, инв. № 018.7600.515, М., 1996.

24. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Метод конечных элементов в компьютерном моделировании сверхпроводниковых экранов и подвесов // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1997. Т.61. № 5. С.985-989.

25. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Моделирование сверхпроводникового гравиинерциапьного датчика // Методы и средства измерений: Тез. докл. Всерос. научно-техн. конф. Н. Новгород, 2000. С.ЗЗ.

26. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Пакет программ для САПР сверхпроводниковых устройств // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. научн. тр. Воронеж: ВГТУ, 1995. С.35-40.

27. Кострюков С.А., Пешков В.В., Шунин Г.Е. Решение,,краевой задачи для уравнения Гинзбурга-Ландау методом конечных элементов // Современные методы в теории краевых задач: Тез. докл. Воронежской весенней математической школы. Воронеж, 1998. С.233.

28. Кострюков С.А., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование физических процессов в электромагнитных экранах // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1995. Т. 59. № 10. С.91-93.

29. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. — М.: Наука, 1967. -500 с.

30. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике. М.: Мир, 1988.-208 с.

31. Кузнецов А.Ю. Алгоритмы построения двумерной триангуляции Делоне / АН СССР. СО ВЦ: Новосибирск, 1990. 43 с.

32. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.-620 с.

33. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.1 / П. Шенен, М. Коснар, И. Гардан и др.-М.: Мир, 1988.-204 с.

34. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн.2 / П. Жермен-Лакур, П.Л. Жорж и др. -М.: Мир, 1988.-264 с.

35. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. — М.: Мир, 1981. — 216 с.

36. Моделирование элементов сверхпроводниковых гравиинерциальных датчиков / Г.Е. Шунин, В.В. Пешков, В.Е. Максимов, С.А. Кострюков, В.Н.

37. Ястребков, И.Н. Пантелеев // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Воронеж, 1999. С.219.

38. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов.-Киев: Наукова думка, 1989. 272 с.

39. Мысовских И.В. Кубатурные формулы. М.: Наука, 1985. - 225 с.

40. Мюррей Д. Solid Works. -М.: Лори, 2001.-458 с.

41. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981.-304 с.

42. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.-383 с.

43. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1979.

44. Пакет программ FEMPDESolver 2.0 для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка / С.А. Кострюков, Д.В. Каталиков, В.В. Пешков, П.А. Потехин, Г.Е. Шунин // Гос-ФАП № 50200200497, М., 2002.

45. Пантелеев И.Н., Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Исследование сверхпроводникового электромагнитного подвеса // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Тез. докл. Междунар. конф.: Воронеж, 1996. С.140-141.

46. Пешков В.В. Компьютерное моделирование сверхпроводникового грави-инерциального датчика // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Материалы междунар. конф. Воронеж, 2003. С. 244-246.

47. Пешков В.В. Особенности дискретизации области и представления результатов при реализации метода конечных элементов // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов: Тез. докл. Междунар. конф. Воронеж, 1996. С. 115.

48. Пешков В.В., Потехин П.А., Шунин Г.Е. Постпроцессор комплекса программ для конечноэлементного анализа РЕМРОЕ8о1уег 2.0 // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. 4.2. Воронеж, 2002. С.56-58.

49. Пешков В.В., Шунин Г.Е. Анализ МКЭ программных комплексов и возможностей их использования при моделировании сверхпроводниковых устройств // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Ч. 1. Воронеж, 2001. С.60-61.

50. Пешков В.В., Шунин Г.Е. Компьютерное моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика // Релаксационные явления в твердых телах: Тез. докл. Междунар. конф. Воронеж, 1999. С.368-369.

51. Пешков В.В., Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Компьютерное моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. 4.2. Воронеж, 2000. С.144-145.

52. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. — М.: Мир, 1988. 411 с.

53. Препроцессор комплекса программ для конечно-элементного анализа РЕМРОЕ8о1уег 2.0 / Д.В. Каталиков, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. 4.2. Воронеж, 2002. С. 17-19.

54. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток // Сб. науч. тр. НГТУ. 1996. №2. С.39-46.

55. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР. -М.: Мир, 1989.- 190 с.

56. Сандер И.А. Программа дискретизации двумерных областей общего вида / АН СССР. СО ВЦ: Новосибирск, 1989. 29 с.

57. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979. -312с.

58. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. - 229 с.

59. Система компьютерного моделирования процессов в криогенных гравиинерциальных приборах / Г.Е. Шунин, С.А. Кострюков, В.В. Пешков, М.В. Матвеева, Д.В. Каталиков // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. Воронеж, 1999. С.40.

60. Система компьютерного моделирования сверхпроводниковых гравиинерциальных приборов / С.А. Кострюков, М.В. Матвеева, В.В. Пешков, П.А. Потехин, Г.Е. Шунин // Интеллектуальные информационные системы: Тр. Всерос. конф. 4.2. Воронеж, 2000. С.142-144.

61. Станкевич И.В. Хранение и использование разреженных матриц в конечно-элементной технологии // Инф. технол. 1998. № 12. С. 9-12.

62. Степанов A. Pro/ENGINEER: специальный справочник. СПб.: Питер,2001.-624 с.

63. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. -349 с.

64. Сьярле Р. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.-369 с.

65. Тику Ш. Эффективная работа: AutoCAD. СПб.: Питер, 2002. - 1232 с.

66. Трактовенко И.A. AutoCAD 2002. М.: Лаборатория Базовых Знаний,2002.-816 с.

67. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.: ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

68. Шунин Г.Е., Кострюков С.А., Пешков В.В. Физико-математическое моделирование криогенных гравиинерциальных устройств: Учеб. пособие. Воронеж: ВГТУ, 2001. 85 с. (на магнитном носителе).

69. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Возможности гравиметров с электромагнитным подвесом пробного тела // Актуальные проблемы геофизики: Сб. на-учн. тр. ИФЗ АН СССР. М., 1989. С. 286-287.

70. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Возможности датчиков гравиинерциальных систем // Приборы и системы управления. 1990. № 4. С. 29-31.

71. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н. Моделирование чувствительного элемента криогенного гравивариометра // Известия Академии наук. Сери?Г Физическая. 1997. Т. 62. № 5. С.886-892.

72. Шунин Г.Е., Ястребков В.Н., Кострюков С.А. Шумы и магнитомеханиче-ские процессы в датчиках гравиинерциальных сил // Известия Академии наук. Серия Физическая. 1995. Т.59. № 10. С.35-38.

73. Щербаков Ю.Н., Якунин А.Н. Метод конечно-элементарного моделирования ИЭТ с минимальным объемом входной информации // Электронная промышленность. 1991. №1. С.8.

74. Югов В.П. ANSYS?. Это очень просто! М.: Издательство СИГМА, 2000.-356 с.

75. Юлдашева М.Б. Математическое моделирование пространственных маг-нитостатических полей методом конечных элементов на векторной ЭВМ / Автореф. диссканд. физ.-мат. наук. Дубна, 1994. - 10 с.

76. Baccelli F., Gloaguen С., Zuyev S. Superposition of planar Voronoi tessela-tions // Commun. Statist. Stochast. Models. 2000. V.16. № 1. P.69-98.

77. Bank R.E. PLTMG: a software package for solving elliptic partial differential equations // SI AM. 1990. P. 164.

78. Boywer A. Computer Dirichlet tesselations // The Computer Journal. 1981. V.24. № 2. P. 162-166.

79. Lee C.K., Hobbs R.E. Automatic adaptive finite element mesh generation over arbitrary two-dimensional domain using advancing front technique // Comput. and Struct. 1999. V.71. P.9-34.

80. Mavriplis D.J. An advancing front Delaunay triangulation algorithm designed for robustness//J. Comput. Phys. 1995. V.117. P.90-101.

81. Pissanetzky S. KUBIK: an automatic three-dimentional finite element mesh generator//Inter. J. Num. Meth. Eng. 1981. V. 17. P.255-269.

82. Zhou J.M., Zhou K.D., Shao K.R. Automatic generation of 3D meshes for complicated solids // IEEE Trans. Magn. 1992. V.28. №2. P. 1759-1762.