автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Комбинированные методы прогнозирования на основе ретроспективных оценок и внутренних характеристик временных рядов

На правах рукописи

НЕМЕЦ Сергей Юрьевич

КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ РЕТРОСПЕКТИВНЫХ ОЦЕНОК И ВНУТРЕННИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж - 2007

003056079

Работа выполнена в Липецком государственном техническом университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Блюмин Семен Львович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Матвеев Михаил Григорьевич;

кандидат технических наук, доцент Шуйкова Инесса Анатольевна

Ведущая организация

Институт проблем управления

им. Трапезникова В.А. РАН, г. Москва

Защита состоится 26 апреля 2007 г. в 12 00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д 212.037.01 Воронежского государственного технического университета по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного технического университета.

Автореферат разослан 26 марта 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Питолин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Прогнозирование поведения различных объектов исследования снижает риски принятия ошибочных решений со стороны субъектов управления. В то же время, задача построения моделей прогноза достаточно сложна, так как при ее решении желательно учитывать особенности моделируемого объекта и условия, в которых объект функционирует.

Результаты анализа временных рядов часто используются для прогнозирования. Автоматизация сбора данных, использование информационных технологий позволяют в настоящее время накапливать и обрабатывать массивы данных значительных объемов. Часто временные ряды, рассматриваемые на длительных промежутках времени, допускают разб иение на участки, отличающиеся разной степенью стабильности и характером поведения. Однако нешироко распространены методики, которые позволяют должным образом распорядиться накопленной информацией, в результате исходные данные часто анализируются на основании субъективных соображений и представлений. Исследователю предоставляется доступ к значительному числу моделей, методов и алгоритмов прогнозирования, разрабатывавшихся и исследовавшихся многими отечественными и зарубежными специалистами, в числе которых А.Г. Беляков, В.П. Боровиков, Н.Г. Загоруйко, Г.И. Ивченко, Т.В. Киселева, A.C. Манд ель, М.Г. Матвеев, Ю.Б. Михайлов, A.A. Френкель, Е.М. Четыркин, X. Акаике, Д. Армстронг, JI. Башелье, Д. Бейтс, Д. Бендат, Д. Бокс, Р. Браун, Д. Бриллинджер, Г. Дженкинс, М. Кендалл. Однако процесс выбора конкретной модели редко опирается на объективные показатели. Эффективным является построение новых алгоритмов прогнозирования по наборам уже известных на основе алгебраического подхода академика Ю.И. Журавлева.

Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется необходимостью разработки аппарата прогнозирования временных рядов, основанного на выборе одного либо комбинировании набора методов при систематическом использовании ретроспективных оценок и внутренних особенностей исследуемой зависимости.

Тематика работы соответствует научному направлению Липецкого государственного технического университета «Исследование и разработка методов и алгоритмов прикладной математики для идентификации технологических и сопровождающих процессов».

Цель работы заключается в повышении эффективности прогнозирования временных рядов за счет разработки алгоритмов комбинирования методов с использованием ретроспективных оценок и внутренних характеристик зависимостей.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- анализ существующих методов прогнозирования временных рядов;

- разработка алгоритма сравнительного анализа методов прогнозирования с использованием ретроспективных оценок;

- модификация метода, определяющего необходимую для построения прогноза часть выборки с использованием критерия финальной ошибки прогнозирования;

- разработка алгоритма комбинирования методов прогнозирования, использующего ретроспективные оценки для определения весовых коэффициентов;

- разработка средств повышения эффективности комбинированных методов прогнозирования с использованием векторных внутренних характеристик временного ряда;

- апробация предложенных методов применительно к задаче прогнозирования электропотребления и оценка эффективности.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, численные методы вычислительной математики, методы анализа и прогнозирования временных рядов, методы объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- алгоритм сравнительного анализа методов прогнозирования временных рядов, отличающийся систематическим исследованием и использованием ретроспективных оценок и позволяющий предварительно определить точность прогнозирования;

- модифицированный метод финальной ошибки прогнозирования, отличающийся использованием части выборки путем исключения устаревших значений временного ряда;

- комбинированные алгоритмы, отличающиеся использованием ретроспективных оценок при определении весовых коэффициентов выпуклых комбинаций методов для повышения точности прогнозирования;

- модифицированные комбинированные алгоритмы, использующие векторные внутренние характеристики исследуемой зависимости для дополнительного снижения ошибки прогнозирования;

- алгоритм поиска условного оптимума для определения весовых коэффициентов выпуклых комбинаций методов, отличающийся снижением размерности вектора переменных путем замены базиса.

Практическая значимость работы заключается в повышении эффективности принимаемых решений за счёт объективной оценки характеристик временных рядов и последующего прогнозирования. Предложенные алгоритмы построения комбинированных методов применимы для прогнозирования различных аспектов хозяйственной деятельности предприятия в производственных условиях.

Разработанные методы анализа и прогнозирования временных рядов реализованы в виде независимого программного модуля, могут быть использованы для математического и программного обеспечения процесса принятия решений и позволяют проводить исследования широкого спектра

2

задач, требующих использования технологий прогнозирования временных рядов.

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные в ходе исследования методики и алгоритмы анализа были использованы в производственной деятельности ОАО "Новолипецкий металлургический комбинат" (ОАО "НЛМК") для совершенствования планирования энергопотребления за счет повышения качества и оперативности принимаемых решений в системах управления электропотреблением.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке инженеров по специальности «Прикладная математика».

Апробация работы. Материалы работы, её основные теоретические и практические результаты докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях, в том числе на Международной научно-технической конференции «Современные сложные системы управления» (Липецк, 2002); на Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях» (Воронеж, 2003); на Международной научно-практической конференции «Теория активных систем» (Москва, 2005); на Международной научно-технической конференции «Современные сложные системы управления» (Воронеж, 2005).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект №05-01-96409.

Публикации. По результатам исследования опубликовано 12 печатных работ, в том числе 1 статья в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем выполнены: в [2] - программная реализация модифицированного метода финальной ошибки прогнозирования; в [3-4] -расчеты апостериорных оценок для используемых в качестве примеров временных рядов. В работе [5] автором предложены способы использования критерия финальной ошибки прогнозирования для заключительных отрезков рядов, выполнены примеры подобных расчетов. В работе [6] автором сформулированы основные отличия рассматриваемых принципов прогнозирования: прямого, последовательного и адаптивного. В работе [10] автором предложен алгоритм комбинирования методов прогнозирования, выполнена программная реализация разработанного алгоритма.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 97 наименований, приложения. Основная часть работы изложена на 139 страницах машинописного текста, содержит 23 рисунка и 15 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель, задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, даётся краткое содержание диссертации по главам. ч

В первой главе диссертации проведен анализ современного состояния теории и практики применения методов моделирования и прогнозирования, описаны особенности различных подходов к прогнозированию временных рядов.

Автоматизация сбора данных, использование информационных технологий позволяют в настоящее время накапливать и обрабатывать массивы данных значительных объемов. Часто исследователь не имеет возможности правильно ее использовать. В свете данной проблемы широкое распространение приобретают модели определения и исключения устаревшей информации, основанные на выделении последних тенденций временного ряда. Другие модели, например, авторегрессионные, при построении прогноза справедливо используют небольшую часть временного ряда. Существуют также модели, реализующие модели "постепенного" старения данных. В этих моделях, например, экспоненциального сглаживания, каждой точке ряда соответствует коэффициент, постепенно снижающийся в процессе удаления от настоящего момента.

Кроме разрешения проблемы старения данных, перед исследователем стоит задача правильного выбора модели прогнозирования. В редких случаях известна функциональная природа временного ряда, поэтому при прогнозировании, опирающемся на математическое моделирование, временной ряд определяется в соответствии с подходом "черного ящика" (параметры в модели не отражают содержания процесса) или "серого ящика" (параметры допускают содержательную интерпретацию). Полезным может быть создание комбинированных методов для повышения эффективности моделирования. В качестве основы этого процесса представлены общие положения алгебраического подхода к построению новых алгоритмов прогнозирования по наборам уже известных.

Обычно при выборе метода прогнозирования исследователь руководствуется результатами эксперимента: построение модели на данных "обучающей" выборки и оценка ошибки прогнозирования на "экзаменующей" выборке. Такая схема выбора метода подходит для задачи построения модели временного ряда, которая предполагает получение общей тенденции развития ряда. Если постановка задачи требует для каждой точки временного ряда получить прогноз с некоторым упреждением, то необходима постоянная корректировка не только параметров модели, но и самой структуры выбранного метода прогнозирования в зависимости от получаемых результатов. Для этого представляется целесообразным разработать схему сравнительного анализа методов прогнозирования.

Во второй главе работы предложено решение задачи сравнительной оценки эффективности методов прогнозирования, приведен алгоритм модифицированного метода финальной ошибки прогнозирования.

Вопрос эмпирического сравнения или оценки эффективности той или иной методики прогнозирования может быть решен с помощью ретроспективной оценки прогнозирования, определяемой следующим образом: ретроспективная оценка некоторого подхода _/ к прогнозированию временного ряда понимается

4

как пара двух временных рядов — реального {х1и ретроспективно

спрогнозированного {р/,. Для построения последнего исследуемым методом с заданным упреждением прогнозируется реальный ряд, выполняется ретроспективный прогноз каждого известного его значения с использованием всего массива предшествующих значений или его подмассивов.

Потенциально может быть построено многопараметрическое семейство ретроспективных оценок - для различных временных рядов, различных методов, различных упреждений. Одним из критериев попарного сравнения методов может быть принята вычисляемая для каждого из них глобальная ошибка - традиционное среднеквадратическое отклонение или более удобное и нагляднее интерпретируемое с практической точки зрения среднее относительное отклонение

т „1 х,

Возможно использование весовых коэффициентов, что позволяет определять важность участков исследуемой зависимости при расчете окончательной сравнительной характеристики.

Подобная сравнительная оценка эффективности методов прогнозирования требует больших затрат на проведение вычислений, но обладает большей обоснованностью, поскольку характеризует реальную возможность применять исследуемый метод к конкретной временной зависимости. Применение схемы сравнительного анализа с использованием ретроспективной оценки позволяет при прогнозировании временного ряда выбирать тот метод, который на текущий момент является лучшим согласно выбранному критерию, как это схематично показано на рис. 1.

Рис. 1. Схема прогнозирования временного ряда с использованием ретроспективной оценки

Задача определения пригодной для прогнозирования части временного ряда может быть решена с помощью метода финальной ошибки прогнозирования, являющегося предшественником широко распространенного метода оценки по минимуму информационного критерия Акаике (ОМИКА). Метод оценки по минимуму критерия финальной ошибки прогнозирования (ОМКФОП, коротко ФОП) определяется как дисперсия ошибки прогнозирования на один шаг вперед при использовании для прогноза оценок по методу наименьших квадратов параметров авторегрессионой (АР-) модели временного ряда.

Применение на практике критерия финальной ошибки прогнозирования связано с определенными ограничениями. Для их устранения необходимо воспользоваться следующими замечаниями:

a) удобнее использовать не неявные модели временных рядов, к классу которых относится AP-модель, а явные модели вида х = где

ß = (/?],.../5„)gR" - вектор подлежащих идентификации параметров (с помощью итерационных алгоритмов нелинейного МНК). Такой шаг позволяет допустить автоматизацию обработки информации и прогнозирования;

b) проще идентифицировать линейные по параметрам модели х = ß$l{t)+... +ß^n(t), где г=1,...,и - известные базисные функции (с помощью конечных алгоритмов линейного МНК);

c) нагляднее ограничиться простейшими линейными моделями х = ßx + ß2t (особенно если более содержательные структуры не подсказываются существом решаемой задачи), что позволяет значительно увеличить скорость обработки информации, не снижая точности прогнозирования.

В этом случае задача определения порядка AP-модели модифицируется в задачу определения наиболее подходящей для оценки параметров и прогнозирования части временного ряда. Критерием же для оценки может служить минимизация ФОП. На этом основании предлагаемый подход характеризуется как модифицированный метод финальной ошибки прогнозирования (ММФОП).

Формулировке ММФОП с учетом замечаний а) - с) соответствует следующий вариант задачи. В качестве проверочного подмассива ЕсМ выделяется последнее (финальное) значение данного временного ряда Е = (т,хт). Определяется совокупность подрядов П - выделяется множество выборок Р = {(/,•х,)}, m-\-p<t<m-\, \<р<т-2. Задача формулируется в два этапа: - для каждого Р найти

ißi (р\ ßi (/>)) = arg min( , £(/?, +ß2-t-x,)2 ; (2)

найта р'= arg minHp£n_2 {ßl {p) + ß2 {p) ■ m - xm )2, (3)

то есть минимизировать критерий ФОП. Обозначения связаны с тем, что все используемые здесь подряды полностью определяются своими длинами. Полученная в результате модель

* = А(р*)+А(Р*)-' (4)

используется далее для прогнозирования последующих значений временного ряда при Р>т.

Подобная формулировка ММФОП позволяет выделять оптимальный заключительный отрезок ряда и, используя выбранный отрезок, проводить прогнозирование зависимости.

В третьей главе предложен базирующийся на алгебраическом подходе алгоритм комбинирования методов прогнозирования с использованием ретроспективных1 оценок и векторов внутренних характеристик зависимостей. Приведен алгоритм поиска оптимальных выпуклых комбинаций и описание программной реализации разработанных алгоритмов.

Комбинирование нескольких подходов при прогнозировании зависимости может помочь повысить точность, взаимно нейтрализуя погрешности индивидуальных методов.

Задача построения комбинированных методов прогнозирования сводится к определению весовых коэффициентов (возможно, переменных) каждого из методов. В простейшей формулировке задачу определения весовых коэффициентов с использованием ретроспективных оценок можно сформулировать следующим образом: для временного ряда {я,}™, имеются п методов прогнозирования, которые мы назовем первичными (или методами нулевого порядка). Каждый метод имеет свою ретроспективную оценку прогнозирования временного ряда: для каждых у-1 ...и и г=1 ...т существует пара значений ,/>/).

Определение комбинированного значения прогноза

/>?=!>,•/>/. (5)

где м>] - весовые коэффициенты каждого метода прогнозирования, заключается

в поиске минимума среднеквадратичной ошибки прогнозирования

Г п \г

1 т

т ,=1

1=1

-> тт. (6)

V у

При определении оптимальных весовых коэффициентов методов можно сузить область поиска минимума целевой функции и рассматривать только выпуклые комбинации методов прогнозирования. Можно показать, что любая выпуклая комбинация дает ошибку прогнозирования не выше, чем наименее точный комбинируемый метод. С учетом замечания задача (6) преобразуется в квадратичную задачу оптимизации с линейными ограничениями, которые описываются системой из одного равенства и п неравенств:

7

w] >0,j = \..n,

V 1 (7)

= 1.

.7=1

Часто построение линейных или выпуклых комбинаций методов прогнозирования в простейшем виде неэффективно. Совместное использование методов построения комбинированных методов прогнозирования и моделей реализации исключения из рассмотрения "устаревших" и/или неактуальных элементов временного ряда, основанных на внутренних характеристиках объекта исследования, позволяют повысить эффективность прогнозирования до приемлемого уровня. В качестве характеристики точки зависимости х, берется вектор g, размерности I

(8)

[ х, х, х, J

Для определения степени совпадения двух точек ряда xt и Xj, а именно,

близости характеристик отрезков, предстоящих этим точкам, можно воспользоваться взвешенной евклидовой нормой разности между векторами

pk>g,)=Ji,<*i-(s;-gkJ> ■ (9)

V*=i

где \ак - некоторые весовые коэффициенты.

Алгоритм формирования комбинации методов при прогнозировании временного ряда схематически представлен на рис. 2 и состоит из нескольких шагов:

1) определяется точка хк, наиболее близкая к исследуемой хт:

к = arg min р{хт,Х])= arg min |jgm-gj. (10)

t<j<m-h (< j<rr,-h

Поиск наиболее близкой точки ведется на всей доступной выборке, предполагается, что если модель поведения ряда изменяется с течением времени, то наиболее близкая точка не будет лежать в начале ряда;

2) определяется набор точек {х,}, для которых ||gt - g, || < е.

Подобный способ отбора точек преследует двойную цель. С одной

стороны, для любой модели поведения ряда выбираются наиболее близкие по поведению элементы ряда, с другой стороны, на шаге 2 проводится расширение множества {*,}, чтобы увеличить число наблюдений.

3) определяются оптимальные весовые коэффициенты{w®}, j=l,...,п

( - \2 ZX -pUh ~х,+

= arg min? Ш

м

(П)

где р'1+н - ретроспективный прогноз, выполненный подходом } на к шагов вперед для подряда {х, . Необходимо отметить, что подход использует всю известную до момента t выборку, а набор точек {х,} является лишь тем множеством, на котором минимизируется ошибка комбинированного метода прогнозирования.

Рис. 2. Алгоритм построения комбинированного прогноза с использованием векторов внутренних характеристик

4) на заключительном шаге строится прогноз

п

О Х-1 0 /

Рш*Н =2^ -Р^Н

(12)

с использованием полученных оптимальных коэффициентов. Для определения прогноза другого значения временного ряда коэффициенты комбинированного метода пересчитываются.

Описанную процедуру построения прогноза можно назвать векторным прогнозированием. Реализация алгоритма комбинирования с предварительным выбором множества наиболее схожих по поведению точек временного ряда позволяет дополнительно повысить точность прогнозирования.

Поиск оптимальных коэффициентов для выпуклых комбинаций методов требует выполнения условия равенства суммы коэффициентов 1. Однако если использовать в качестве базисных векторов при оптимизации не векторы вида (1,0,0...), (0,1,0,0,...),..., а векторы вида

(1,-1,0...),(1,0,-1,0,0,...),..., (13)

то нет необходимости контролировать выполнение условия, накладываемого на суммы коэффициентов.

Предложенный базис не является ортонормированным - он даже не является ортогональным, однако это свойство на ходе оптимизации не сказывается. При выборе метода поиска оптимума целевой функции был выбран метод Пауэлла. Выбор метода оптимизации обосновывается следующими соображениями:

1) в качестве целевой функции выбрано среднее значение квадрата относительных ошибок ретроспективных прогнозов построенной комбинации;

2) использование для данной целевой функции методов оптимизации ненулевого порядка нецелесообразно из-за большой сложности вычисления (в том числе численными методами) дифференциала данной функции.

Было проведено сравнение предложенного алгоритма оптимизации с аналогичными методами нулевого порядка: методом покоординатного спуска с использованием штрафной функции и модифицированным методом покоординатного спуска, для которого базисные векторы выбраны в соответствии с (13). Сравнительные результаты применения указанных методов приведены в таблице 1. Из таблицы видно, что модифицированный метод Пауэлла дает значительное снижение количества итераций при оптимизации, снижая время построения прогноза. Среднее время, затрачиваемое на выполнение процедуры оптимизации, также приведено в таблице 1. Для поиска оптимума функции модифицированный метод Пауэлла в среднем использует 2,03 итераций, в то время как метод покоординатного спуска требует выполнения 18,97 итераций в среднем. Аналогично была проведена оценка количества вычислений значения целевой функции при оптимизации. Для модифицированного метода Пауэлла это значение составило в среднем 925,33, а для метода покоординатного спуска - 2711,59 расчетов. Как показано в таблице 1, оптимизация методом Пауэлла занимает в среднем в 1,53 раза меньше времени.

Таблица 1

Среднее число итераций и количество вычислений значения оптимизируемой __функции при оптимизации различными методами

Характеристика Метод покоординатного спуска с использованием штрафов Модифицированный метод покоординатного спуска Модифицированный метод Пауэлла

Среднее число итераций 18,97 13,56 2,03

Среднее число вычислений значения Ь(м>) 2711,59 1913,40 925,33

Среднее время оптимизации, мс 55,54 51,23 36,30

Возможно построение комбинированных алгоритмов с использованием последовательного прогнозирования. Последовательное прогнозирование отрезка (или, возможно, единственного некоторого значения х,) на

основе временного ряда {лг,,...,л:т} использует прогнозное значение xmtl, то есть сначала выполняется прогноз на одно значение вперед, после чего в качестве заданного используется временной ряд {x,,...,xm,xmM}, и при помощи того же (или иного) алгоритма прогнозируется значение хт+2; такой шаг повторяется до получения значения х,; при повторении на каждом шаге используется очередное прогнозное значение (t-m последовательных прогнозов с шагом 1). Алгоритм построения комбинированного прогноза с помощью последовательного прогнозирования изображен на-рис. 3. Использование последовательного прогнозирования может повысить точность долгосрочного прогнозирования.

Разработанные подходы к построению комбинированных методов прогнозирования были реализованы в программном продукте, зарегистрированном в Отраслевом фонде программ и алгоритмов.

Практическая реализация подходов к построению комбинированных методов осуществлена в программной среде Borland Delphi 7.0. Интерфейс программного модуля прост и понятен. Для сохранения и восстановления текущих параметров прогнозирования используется ini-файл, который автоматически создается программным модулем и позволяет переносить параметры вычислений на разные рабочие места.

Результаты работы программы выводятся в файл, имя которого задается пользователем. При этом пользователь может отказаться от сохранения подробных результатов работы программы. В этом случае в главном окне программного продукта будет выведена общая информация о построенном

11

комбинированном методе: минимальная, максимальная и средняя ошибки прогнозирования.

Рис. 3. Алгоритм получения комбинированного прогноза с использованием последовательного прогнозирования

Основными единицами разработанной системы моделирования являются модуль вычисления и анализа внутренних характеристик, модуль определения ретроспективных оценок и модуль построения комбинированного прогноза. Разработанная система позволяет значительно снизить время расчетов за счет автоматизации процедуры прогнозирования. Обобщенная структура разработанного программного обеспечения приведена на рис. 4.

12

Рис. 4. Обобщенная структура разработанного программного средства комбинирования методов

В четвертой главе содержится описание практической реализации описанных подходов на примере прогнозирования электропотребления ОАО "НЛМК".

Для тестирования методов прогнозирования, в силу производственных условий, были доступны данные о потреблении электроэнергии каждый час, начиная с 1 февраля 2002 г. по 31 декабря 2004.

Можно выделить следующие особенности прогнозируемого временного ряда. Протяженность временного ряда составляет 1096 дней, или, поскольку зависимость является почасовой, 26304 значений. Исследование ряда указывает на то, что он не является стационарным. Это свойство ряда не предполагает использования для прогнозирования ряда авторегрессионных моделей.

Для построения выпуклых комбинаций использовались методы экспоненциального сглаживания (ЭС). Всего для комбинирования использовано 12 методов ЭС, с различными моделями трендов (без тренда, линейный, экспоненциальный и демпфированный тренды) и сезонностей (без сезонности, аддитивная и мультипликативная сезонности). Дополнительно для прогнозирования использовался ММФОП.

4,75% 4.50% 4,25% ■ 4,00%

а!

3

1 3,75%

Э

0

1 3,50%

I

О

3,25% 3.00% 2.75% 2,50%

1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 17 18 19 20 21 22 23 24

Порядковый номер часа » - Метод Б а те лье I

—*—Комбинированный алгоритм |

Рис. 5. Результаты почасового моделирования ряда электропотребления ОАО "НЛМК" в 2002-2004 гг.

На указанном временном ряде было проведено построение апостериорной оценки предложенной методики прогнозирования с упреждением в 3 суток. Данная длина упреждения продиктована особенностями функционирования предприятия.

При прогнозировании ряда электропотребления предприятия исходная выборка была разделена на 24 подвыборки, каждый показывал потребление электроэнергии в конкретный час суток. Каждый из полученных рядов был ретроспективно спрогнозирован указанными методами и разработанным методом векторного прогнозирования. Средние относительные ошибки прогнозирования каждого часа комбинированным алгоритмом и использовавшимся ранее на практике методом Башелье приведены на рис. 5.

Средняя ошибка почасового прогнозирования комбинированного метода (уес) в большинстве случаев ниже, чем для метода, использовавшегося на практике: в 19 из 24 случаев комбинированный алгоритм показал более низкую среднюю ошибку. Максимальная разница между методами Башелье и уес составила 0,42% для 20-го часа. Несмотря на более высокую точность метода уес следует отметить, что для четырех случаев, с 10 по 13 часы, в которые оба метода показали значительное снижение точности прогнозирования,

14

использовавшийся на практике метод оказался более точным. Подобную ситуацию можно объяснить менее стабильным поведением зависимости в часы с 9 по 16, более высокой дисперсией для зависимости в дневное время. Тем не менее, в 2004 году для метода уес наблюдается более низкая средняя ошибка прогнозирования для каждого часа. Этот эффект объясняется тем, что к этому моменту накоплен значительный набор прецедентов, характеризующих основные варианты поведения зависимости.

В таблице 2 приведены ошибки разработанного метода и лучших на каждом подряде первичных методов прогнозирования (для каждого подряда был выбран лучший метод прогнозирования). Из таблицы видно, что на всей доступной выборке предложенная методика прогнозирования показала среднюю относительную ошибку 3,56%. На аналогичной выборке средняя ошибка методов экспоненциального сглаживания, используемых для комбинирования, составила 3,76%. В тоже время средняя ошибки метода векторного прогнозирования за каждый из исследованных годов составила 3,71%, 3,78% и 3,17% соответственно для 2002,2003 и 2004 годов.

Таблица 2

Результаты моделирования ряда электропотребления ОАО "НЛМК"

Период Сред, ошибка, %

Векторное прогнозирование Методы ЭС

01.03.2002 31.12.2004 3,56% 3,76%

01.03.2002 31.12.2002 3,71% 3,83%

01.01.2003 31.12.2003 3,78% 3,72%

01.01.2004 31.12.2004 3,17% 3,59%

01.01.2003 06.10.2003 3,34% 3,53%

14.10.2003 31.12.2003 3,38% 3,61%

Повышение средней ошибки прогнозирования в 2003 году по сравнению с другими наблюдаемыми годами, как это показано в таблице 2, связано со значительным снижением уровня электропотребления: 07.10.2003 г. из-за урагана и последующих технологических аварий электропотребление предприятия составило 5592,58 МВт при среднем уровне 14674,75 МВт. Поскольку на предыдущей выборке подобных прецедентов не наблюдалось, то значительное повышение ошибки выглядит логичным. При исключении из рассмотрения отрезка с 7 по 13 октября ошибка значительно понижается: на отрезке с 01.01.2003 по 06.10.2003 она составила 3,34%, а с 14.10.2003 до конца 2003 года - 3,38%. На аналогичных отрезках методы ЭС показали ошибку 3,53% и 3,61% соответственно.

Разработанные в ходе исследования методики и алгоритмы анализа были использованы в производственной деятельности ОАО "НЛМК" для совершенствования планирования энергопотребления за счет повышения

качества и оперативности принимаемых решений в системах управления электропотреблением.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы, указаны перспективные направления дальнейших исследований.

Предметная область применения разработанных подходов построения комбинированных методов не ограничивается энергетикой. Полученные алгоритмы можно использовать при исследованиях моделей экономических и технологических процессов для повышения эффективности прогнозирования зависимостей.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан алгоритм сравнительного анализа методов прогнозирования временных рядов, отличающийся систематическим исследованием и использованием результатов ретроспективных оценок и позволяющий предварительно определить точность прогнозирования.

2. Разработан модифицированный метод финальной ошибки прогнозирования, отличающийся использованием части выборки для исключения устаревших значений временного ряда.

3. Решена задача построения комбинированных алгоритмов, отличающаяся использованием ретроспективных оценок при определении весовых коэффициентов выпуклых комбинаций методов для повышения точности прогнозирования.

4. Разработаны модифицированные комбинированные алгоритмы, использующие векторы внутренних характеристик исследуемой зависимости для дополнительного снижения ошибки прогнозирования.

5. Разработан алгоритм поиска условного оптимума для определения весовых коэффициентов выпуклых комбинаций методов, отличающийся снижением размерности вектора переменных путем замены базиса.

6. Полученные методы и алгоритмы прошли апробацию и внедрение на ОАО «Новолипецкий металлургический комбинат», где заменили использовавшиеся ранее методы в системе поддержки принятия решений при закупке электроэнергии в ОАО «НЛМК».

7. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке специалистов специальности «Прикладная математика».

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Д ИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ 1. Немец С.Ю. Разработка эффективных комбинированных методов прогнозирования на основе ретроспективной оценки в задачах планирования электропотребления // Системы управления и информационные технологии. - 2006г№4.1(26). - С.175-183.

Статьи

2. Блюмин C.JL, Немец С.Ю., Суханов В.Ф., Чеботарев C.B. Модифицированный метод финальной ошибки прогнозирования // Междунар. науч.-тех. конф. «Теория и практика производства проката». Сб. науч. тр. - Липецк: ЛГТУ, 2001. - С.320-325.

3. Блюмин С.Л., Немец С.Ю., Суханов В.Ф., Чеботарев C.B. Эмпирическое сравнение подходов к прогнозированию - «кредитные истории» // Междунар. науч.-тех. конф. «Современные сложные системы управления». Сб. науч. тр. - Липецк: ЛГТУ, 2002. - С. 18-22.

4. Блюмин С.Л., Корниенко С.А., Немец С.Ю., Суханов В.Ф., Чеботарев C.B. Характеристики временных рядов и подходов к прогнозированию при анализе «кредитных историй» // VIII Междунар. открытая науч. конф. «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях». Сб.тр. - Воронеж: ВГТУ, 2003. - С.62-63.

5. Блюмин С.Л., Немец С.Ю., Суханов В.Ф., Чеботарев C.B. Критерий финальной ошибки прогнозирования: варианты использования и результаты сравнения // Всеросс. науч.-тех. конф. «Современная металлургия начала нового тысячелетия». Сб. науч. тр.— Липецк: ЛГТУ, 2001. -С.46-50.

6. Блюмин С.Л., Немец С.Ю., Суханов В.Ф., Чеботарев C.B. Последовательное и адаптивное прогнозирование // VII Междунар. открытая науч. конф. «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях». Сб.тр. - Воронеж: ВГТУ, 2002. - С.79-80.

7. Немец С.Ю. Применение алгебраического подхода для прогнозирования временных рядов // Всеросс. науч.-тех. конференция «Электроэнергетика, энергосберегающие технологии». Сб. докладов, ч. II - Липецк: ЛГТУ, 2004. - С.37-39.

8. Немец С.Ю. Изучение возможностей применения последовательного прогнозирования // Информационные технологии моделирования и управления - 2005г№2(20). - С.213-218.

9. Немец С.Ю. Использование внутренних характеристик временных рядов в прогнозировании // Междунар. науч.-тех. конф. «Современные сложные системы управления». Сб. науч. тр., Т.1 - Воронеж: ВГАСУ, 2005. - С.127-132.

10. Блюмин С.Л., Камалетдинова Ю.Б., Немец С.Ю., Репин М.С. Комбинированные методы прогнозирования социально-экономических процессов // Междунар. науч.-практ. конф. «Теория активных систем». Сб. науч. тр. - Москва: ИЛУ РАН, 2005. - С.91-93.

11. Немец С.Ю. Построение комбинированных методов прогнозирования на основе апостериорной оценки прогнозирования - М.: ОФАП ГКЦИТ, 2007. Per. № 50200700124 от 17.01.2007.

12. Немец С.Ю. Эффективные комбинированные алгоритмы прогнозирования с использованием ретроспективных оценок // Междунар. науч. конф. «Сложные системы управления и менеджмент качества». Материалы, 4.II -Ст. Оскол: СТИ, 2007. - С.27-29.

Подписано в печать 23.03.2007. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Ризография. Печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № Типография ЛГТУ. 398600 Липецк, ул. Московская, 30.

Введение.

1. Анализ подходов к повышению эффективности прогнозирования технологических процессов.

1.1. Предпосылки создания моделей старения данных.

1.1.1. Методы экспоненциального сглаживания.

1.1.2. Структурный анализ рядов данных.

1.1.3. Модели авторегрессии.

1.2. Предпосылки использования ретроспективных оценок.

1.3. Предпосылки создания комбинированных алгоритмов.

1.4. Основы алгебраического подхода к распознаванию образов как алгоритма комбинирования методов.

1.5. Постановка цели и задач исследования.

2. Сравнительный анализ методов и учет старения данных с использованием ретроспективных оценок.

2.1. Схема сравнительного анализа методов прогнозирования.

2.2. Модифицированный метод финальной ошибки прогнозирования.

2.3. Прямое, последовательное и адаптивное прогнозирование.

2.4. Примеры использования разработанных методов.

2.5. Выводы.

3. Повышение эффективности прогнозирования с использованием комбинированных алгоритмов.

3.1. Построение линейных комбинаций методов прогнозирования.

3.2. Использование внутренней характеристики временного ряда при создании комбинированных алгоритмов.

3.3. Использование векторных внутренних характеристик при создании комбинированных алгоритмов.

3.4. Особенности поиска условного оптимума при создании комбинированных алгоритмов.

3.5. Выбор метода поиска оптимальной выпуклой комбинации.

3.6. Функциональное наполнение программного модуля для ^ прогнозирования временных рядов.

3.7. Примеры использования разработанных методов.

3.8. Выводы.

4. Применение разработанных методов в задачах прогнозирования. 1 Об

4.1. Особенности временного ряда электропотребления ОАО "Новолипецкий металлургический комбинат".

4.2. Повышение эффективности прогнозирования электропотребления комбинированными алгоритмами.

4.3. Оценка экономического эффекта.

Ф 4.4. Выводы.

Актуальность работы. Прогнозирование поведения различных объектов исследования снижает риски принятия ошибочных решений со стороны субъектов управления. В то же время, задача построения моделей прогноза достаточно сложна, так как при ее решении желательно учитывать особенности моделируемого объекта и условия, в которых объект функционирует.

Результаты изучения и анализа временных рядов часто используются для прогнозирования. Автоматизация сбора данных, использование информационных технологий позволяют в настоящее время накапливать и обрабатывать массивы данных значительных объемов. Часто временные ряды, рассматриваемые на длительных промежутках времени,1 позволяют разбить выборку на участки, отличающиеся разной степенью стабильности и характером поведения. Однако, не существует распространенных методик, которые позволяют должным образом распорядиться накопленной информацией, в результате исходные данные часто анализируются на основании субъективных соображений и представлений. Исследователю предоставляется доступ к значительному числу моделей, методов и алгоритмов прогнозирования, разрабатывавшихся и исследовавшихся многими отечественными и зарубежными специалистами, в числе которых А.Г. Беляков, В.П. Боровиков, Н.Г. Загоруйко, Г.И. Ивченко, Т.В. Киселева, А.С. Мандель, М.Г. Матвеев, Ю.Б. Михайлов, А.А. Френкель, Е.М. Четыркин, Д. Армстронг, X. Акаике, JI. Башелье, Д. Бейтс, Д. Бендат, Д. Бокс, Д. Бриллинджер, Г. Дженкинс, М. Кендалл. Однако, процесс выбора конкретной модели редко опирается на объективные показатели. Эффективным является построение новых алгоритмов прогнозирования по наборам уже известных на основе алгебраического подхода академика Ю.И. Журавлева.

Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется необходимостью разработки аппарата прогнозирования временных рядов, основанного на выборе либо комбинировании набора методов при систематическом использовании ретроспективных оценок и внутренних особенностей исследуемой зависимости.

Тематика работы соответствует научному направлению Липецкого государственного технического университета «Исследование и разработка методов и алгоритмов прикладной математики для идентификации технологических и сопровождающих процессов».

Цель работы заключается в повышении эффективности прогнозирования временных рядов за счет разработки алгоритмов комбинирования методов с использованием ретроспективных оценок и внутренних характеристик зависимостей.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- анализ существующих методов прогнозирования временных рядов;

- разработка алгоритма сравнительного анализа методов прогнозирования с использованием ретроспективных оценок;

- модификация метода, определяющего необходимую для построения прогноза часть выборки с использованием критерия финальной ошибки прогнозирования;

- разработка алгоритма комбинирования методов прогнозирования, использующего ретроспективные оценки для определения весовых коэффициентов;

- разработка средств повышения эффективности комбинированных методов прогнозирования с использованием векторных внутренних характеристик временного ряда;

- апробация предложенных методов применительно к задаче прогнозирования электропотребления и оценка эффективности.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, численные методы вычислительной математики, методы анализа и прогнозирования временных рядов, методы объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- алгоритм сравнительного анализа методов прогнозирования временных рядов, отличающийся систематическим исследованием и использованием ретроспективных оценок и позволяющий предварительно определить точность прогнозирования;

- модифицированный метод финальной ошибки прогнозирования, отличающийся использованием части выборки путем исключения устаревших значений временного ряда;

- комбинированные алгоритмы, отличающихся использованием ретроспективных оценок при определении весовых коэффициентов выпуклых комбинаций методов для повышения точности прогнозирования;

- модифицированные комбинированные алгоритмы, использующие векторные внутренние характеристики исследуемой зависимости для дополнительного снижения ошибки прогнозирования;

- алгоритм поиска условного оптимума для определения весовых коэффициентов выпуклых комбинаций методов, отличающийся снижением размерности вектора переменных путем замены базиса.

Практическая ценность работы заключается в повышении эффективности принимаемых решений за счёт объективной оценки характеристик временных рядов и последующего прогнозирования. Предложенные алгоритмы построения комбинированных методов применимы для прогнозирования различных аспектов хозяйственной деятельности предприятия в производственных условиях в части планирования электропотребления.

Разработанные методы анализа и прогнозирования временных рядов реализованы в виде независимого программного модуля, могут быть использованы для математического и программного обеспечения процесса принятия решений и позволяют проводить исследования широкого спектра задач, требующих использования технологий прогнозирования временных рядов.

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные в ходе исследования методики и алгоритмы анализа были использованы в производственной деятельности ОАО "Новолипецкий металлургический комбинат" (ОАО "HJIMK") для совершенствования планирования энергопотребления за счет повышения качества и оперативности принимаемых решений в системах управления электропотреблением.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке инженеров по специальности «Прикладная математика».

Апробация работы. Материалы работы, её основные теоретические и практические результаты докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях, в том числе на Международной научно-технической конференции «Современные сложные системы управления» (Липецк, 2002); на Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях» (Воронеж, 2003); на Международной научно-практической конференции «Теория активных систем» (Москва, 2005); на Международной научно-технической конференции «Современные сложные системы управления» (Воронеж, 2005).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект №05-01-96409.

Публикации. По результатам исследования опубликовано 15 печатных работ, в том числе 1 статья в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателем выполнены: в [42] - программная реализация модифицированного метода финальной ошибки прогнозирования; в [39-40] - расчеты апостериорных оценок для используемых в качестве примеров временных рядов. В работе [45] автором предложены способы использования критерия финальной ошибки прогнозирования для заключительных отрезков рядов, выполнены примеры подобных расчетов. В работе [47] автором сформулированы основные отличия рассматриваемых принципов прогнозирования: прямого, последовательного и адаптивного. В работе [9] автором предложен алгоритм комбинирования методов прогнозирования.

Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 96 наименований, приложения. Основная часть работы изложена на 136 страницах машинописного текста, содержит 22 рисунка и 15 таблиц.

4.4. Выводы

В главе приведены результаты практической реализации предложенных подходов. В качестве исследуемых временных рядов взяты зависимости стоимости доллара США и электропотребления ОАО «Новолипецкий металлургический комбинат». В главе проведен сравнительный анализ полученных результатов со стандартными и используемыми для

126 планирования электропотребления методиками, показано повышение эффективности прогнозирования при использовании комбинированных алгоритмов, приведена оценка экономического эффекта от внедрения предложенных алгоритмов.

Практическая ценность работы заключается в повышении эффективности принимаемых решений за счёт объективной оценки поведения временных рядов и последующего прогнозирования. Предложенные алгоритмы построения комбинированных методов применимы для прогнозирования различных аспектов хозяйственной деятельности предприятия в производственных условиях.

Разработанные методы анализа и прогнозирования временных рядов могут быть использованы для интеллектуальной поддержки процесса принятия решений и позволяют проводить исследования задач, требующих использования технологий прогнозирования временных рядов.

Заключение

В ходе работы разработаны подходы, допускающие повышение эффективности прогнозирования временных рядов с помощью алгоритма комбинирования методов с использованием ретроспективной оценки и внутренних характеристик зависимостей.

Повышение эффективности принимаемых решений осуществляется с использованием объективной оценки поведения временных рядов и последующего прогнозирования. Предложенные алгоритмы построения комбинированных методов применимы для прогнозирования различных аспектов хозяйственной деятельности предприятия в производственных условиях.

Разработанные методы анализа и прогнозирования временных рядов реализованы в виде отдельного программного модуля и могут быть использованы для интеллектуальной поддержки процесса принятия решений и позволяют проводить исследования широкого спектра задач, требующих использование технологий прогнозирования временных рядов.

В работе получены следующие основные теоретические и практические результаты:

1. Разработан алгоритм сравнительного анализа методов прогнозирования временных рядов, отличающийся систематическим исследованием и использованием результатов ретроспективных оценок и позволяющий предварительно определить точность прогнозирования.

2. Разработан модифицированный метод финальной ошибки прогнозирования, отличающийся использованием части выборки для исключения устаревших значений временного ряда.

3. Решена задача построения комбинированных алгоритмов, отличающаяся использованием ретроспективных оценок при определении весовых коэффициентов выпуклых комбинаций методов для повышения точности прогнозирования.

4. Разработаны модифицированные комбинированные алгоритмы, использующие векторы внутренних характеристик исследуемой зависимости для дополнительного снижения ошибки прогнозирования.

5. Разработан алгоритм поиска условного оптимума для определения весовых коэффициентов выпуклых комбинаций методов, отличающийся снижением размерности вектора переменных путем замены базиса.

6. Полученные методы и алгоритмы прошли апробацию и внедрение на ОАО «Новолипецкий металлургический комбинат», где заменили использовавшиеся ранее методы в системе поддержки принятия решений при закупке электроэнергии в ОАО «НЛМК».

7. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе ЛГТУ при подготовке специалистов специальности «Прикладная математика».

В качестве перспективных направлений дальнейшей научной работы можно указать следующие: проведение исследований по совершенствованию моделей построения комбинированного алгоритма потребления электроэнергии; апробация разработанного аппарата в условиях работы предприятий на оптовых рынках энергоресурсов; применение полученных методик и алгоритмов в других отраслях промышленности для повышения эффективности прогнозирования и управления потребностями в ресурсах.

1. Акаике X. Развитие статистических методов // В кн. «Современные методы идентификации систем» М.: Мир, 1983 - С. 148-176.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.-228 с.

3. Бауман Е.В. Классификационный анализ данных / Е.В. Бауман, А.А. Дорофеюк Избр. тр. Междунар. конф. по пробл. управления. - М.: 1999, Т.1.-С. 46-65.

4. Беляков А.Г. Прогнозирование временных рядов на основе метода аналогов (элементы теории экспертно-статистических систем). / А.Г. Беляков, А.С. Мандель- М.: Ин-т пробл. управления, 2002. -С. 104-106.

5. Бендат Дж. Измерение и анализ случайных процессов. / Дж. Бендат, А. Пирсол М.: Мир, 1974. - 464 с.

6. Бернстайн П. Против богов укрощение риска // пер. с англ. М.: ЗАО "Олимп-Бизнес" 2000.-400 с.

7. Блюмин C.JI. Ретроспективная оценка как методическая основа разработки комбинированных методов и алгоритмов прогнозирования экопроцессов / C.JI. Блюмин, С.Ю. Немец // "Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ", Липецк, №1,2005. С. 27-30.

8. Блюмин С.Л. Комбинированные методы прогнозирования социально-экономических процессов / С.Л. Блюмин, Ю.Б. Камалетдинова, С.Ю. Немец, М.С. Репин // сб. трудов конф. "Теория активных систем" -Москва, 2005.-С. 91-93.

9. Блюмин С.Л. Псевдообращение. / С.Л. Блюмин, С.П. Миловидов -Воронеж, 1990.-86 с.

10. Блюмин С.JI. Нелинейный метод наименьших квадратов и псевдообращение / C.JT. Блюмин, С.П. Миловидов, А.К. Погодаев -Липецк: ЛГТУ, 1992. 80 с.

11. Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. / Дж. Бокс, Г. Дженкинс М.: Мир, 1974. - 401 с.

12. Боровиков В.П. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows / В.П. Боровиков, Г.И. Ивченко М.: Финансы и статистика, 2000. -384 с.

13. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. М.: Мир, 1980.-268 с.

14. Венсель В.В. Интегральная регрессия и корреляция: статистическое моделирование рядов динамики. М.: Финансы и статистика, 1983. -154 с.

15. Воронцов К.В. О проблемно-ориентированной оптимизации базисов задач распознавания // ЖВМ и МФ М.,1998, Т.38, №5 - С. 870-880.

16. Горбань А.Н. Нейронные сети на персональном компьютере / А.Н. Горбань, Д.А. Россиев Новосибирск: Наука, 1996. - 276 с.

17. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы. М.: ИЛ, 1961.- 168 с.

18. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии М.: Финансы и статистика, 1981. - 519 с.

19. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ / Н. Дрейпер, Г. Смит М.: Финансы и статистика, 1986. - 514 с.

20. Дэннис Дж. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений / Дж. Дэннис, Р. Шнабель. М.:Мир, 1988. -440 с.

21. Дюге Д. Теоретическая и прикладная статистика. М.: Наука, 1972. -366 с.

22. Елисеева И.И. Общая теория статистики / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев М.: Финансы и статистика., 1998. - 368 с.

23. Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания или классификации // Проблемы кибернетики, 1979, вып. 33. С. 5-68.

24. Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. -Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 270 с.

25. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории М.: Мир, 1999. - 335 с.

26. Кендалл М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стюарт М.: Наука, 1976. - 575 с.

27. Кендэл М. Временные ряды М.: Финансы и статистика, 1981. -199 с.

28. Кильдишев Г.С. Анализ временных рядов и прогнозирование / Г.С. Кильдишев, А.А. Френкель М.: Статистика, 1973. - 116 с.

29. Киселева Т.В. Структурный анализ временных последовательностей данных / Т.В. Киселева, В.Н. Бурков, Е.Г. Руденкова, В.И. Зинченко -Новокузнецк, 2004. 198 с.

30. Крамер Г. Стационарные случайные процессы. / Г. Крамер, М. Лидбеттер М.: Мир, 1969. - 220 с.

31. Ковалева Л.Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М.: Финансы и статистика, 1980. - 226 с.

32. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя М.: Наука, 1991.-432 с.

33. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. Вып. 2. М.: Статистика, 1976. - 338 с.

34. Мандель А.С. Экспертно-статистические системы в задачах управления и обработки информации. Ч. I // Приборы и системы управления. 1996. № 12. С. 34 - 36.

35. Мандель А.С. Экспертно-статистические системы в задачах управления и обработки информации. Ч. II // Приборы и системы управления. 1997. № 2. С. 11 - 13.

36. Михайлов Ю.Б. Математические основы повышения точности прогнозирования количественных характеристик процессов М.: Научтехлитиздат, 2000. - 326 с.

37. Немец С.Ю. Определение смены тенденции временного ряда // Ежегодная научно-техническая конференция студентов и аспирантов факультета автоматизации и информатики ЛГТУ. Липецк, Россия, 2002 - Сб. науч. тр. - С. 71-72.

38. Немец С.Ю. Модифицированный метод финальной ошибки прогнозирования / С.Л. Блюмин, С.Ю. Немец, В.Ф. Суханов, С.В.

39. Чеботарев // Междунар. науч.-тех. конф. «Теория и практика производства проката», посвящ. памяти С.Л. Коцаря. Сб. науч. тр. -Липецк: ЛГТУ, 2001. С.320-325.

40. Немец С.Ю. Modified Method of Final Error of Prediction (тезисы доклада) / С.Л. Блюмин, С.Ю. Немец, В.Ф. Суханов, С.В. Чеботарев // Int. Conf. on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applns (PDPTA'2001) Las Vegas, USA, 2001. - C. 120-124.

41. Немец С.Ю. Дальнейшее развитие применения критерия финальной ошибки прогнозирования / В.Ф. Суханов, С.Ю. Немец // Сб. науч. тр., посвящ. 45-летию ЛГТУ Липецк, Россия, 2001. - С. 66-69.

42. Немец С.Ю. Применение алгебраического подхода для прогнозирования временных рядов // Сб. докладов всероссийской науч.-тех. конференции "Электроэнергетика, энергосберегающие технологии" Липецк, 2004, ч. II - С. 37-39.

43. Немец С.Ю. Об условной оптимизации при ограничениях определенного вида // сб. трудов конф. "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", Воронеж 2005.-С. 213-218.

44. Немец С.Ю. Изучение возможностей применения последовательного прогнозирования // "Информационные технологии моделирования и управления", Воронеж, 2005, №2. С. 213-218.

45. Немец С.Ю. Использование внутренних характеристик временных рядов в прогнозировании // сб. трудов науч. конф. "Современные сложные системы управления", Воронеж, 2005, Т.1. С. 127-132.

46. Немец С.Ю. Разработка эффективных комбинированных методов прогнозирования на основе ретроспективной оценки в задачах планирования электропотребления // Системы управления и информационные технологии 2006 г., №4.1(26). - С. 175-183.

47. Немец С.Ю. Построение комбинированных методов прогнозирования на основе апостериорной оценки прогнозирования М.: ОФАП ГКЦИТ, 2007. Per. № 50200700124 от 17.01.2007.

48. Общая теория статистики. Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности. / Под ред.А.А. Спирина, О.Э.Башиной. -М,: Финансы и статистика, 1994. 296 с.

49. Оганесян Т. За горизонтом предсказуемости / Т. Оганесян, Г. Переходцев // Эксперт. 2001. № 27 (16.07.01). - С. 40-42.

50. Р. Отнес. Прикладной анализ временных рядов / Р. Отнес, JI. Эноксон -М.: Мир, 1982.-272 с.

51. Пауэлл М. Дж. Д. Численные методы условной оптимизации / М. Дж. Д. Пауэлл, Ф. Гилл, У. Мюррей. М.:Мир, 1977. - 260 с.

52. Песаран М. Динамическая регрессия: теория и алгоритмы. / М. Песаран, JI. Слейтер М.: Финансы и статистика, 1984. -188 с.

53. Полак Э. Численные методы оптимизации М.:Мир, 1974. - 270 с.

54. Савараги Е. «Классические» методы и оценивание временных рядов / Е. Савараги, Т. Соэда, Т. Накамизо // В кн. «Современные методы идентификации систем» М.: Мир, 1983. - С.74-147.

55. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ М.: Мир, 1980. - 160 с.

56. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйкхоффа. -М.: Мир, 1983.- 400 с.

57. Спецификация фьючерса ММВБ на доллар США от 26.07.2003 г. -Режим доступаhttp://www.micex.ru/off-line/legaldocs/legaldocument66.doc. 28 с.

58. Спецификация фьючерса ММВБ на евро от 31.12.2002 г. -Режим доступаhttp://www.micex.ru/off-line/legaldocs/legaldocument88.doc. 28 с.

59. Тейл Г. Эконометрические прогнозы и принятие решений. М.: Статистика, 1971. - 488 с.

60. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1974. - 448 с.

61. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование М. Мир, 1975.-534 с.

62. Цветков Э.И. Основы теории статистических измерений. Л.: Энергоатомиздат, 1986. - 256 с.

63. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1977. - 342 с.

64. Экспертно-статистические системы прогнозирования коротких временных рядов и имитационно-оценочное моделирование / А.Г. Беляков, А.С. Мандель, А.В. Лапин и др. // Проблемы управления. 2003, №3.-С. 30-38.

65. Эльясберг П.Е. Измерительная информация: сколько ее нужно? Как ее обрабатывать? М.: Наука, 1983. - 95 с.

66. Akaike Н. Fitting Autoregressions for Predictions // Ann. Inst. Statist. Math. 1969. №21. PP.243-247.

67. Andersen J.V. Fundamental framework for technical analysis / J.V.Andersen, S. Gluzman, D. Sornette // arXiv:cond-mat/9910047, 5 Oct 1999. Режим доступа http://xxx.lanl.govl PP. 1-29.

68. Armstrong J.S. Combining forecasts // Principles of forecasting: a handbook for researchers and practitioners, Kluwer Academic Publishing, 2001.-PP. 417-439.

69. Armstrong J.S. Decomposition by causal forces: a procedure for forecasting complex time series / J.S. Armstrong, F. Collopy, J.T. Yokum // "International Journal of Forecasting" №21,2005. PP. 25-36.

70. Bachelier L. Theorie de la speculation // Ann. Sci. Series 3. Vol. 17, № 21. Paris: ENS 1900.-PP. 44-69.

71. Badri M.A. Neural networks of combination of forecasts for data with long memory pattern // International journal of forecasting, 2002, №3. -PP. 20-36.

72. Barancsi E., Banki G., Borloi R., et al. Inventory Models (Editor A. Chikan). Budapest: Akademia Kiado, 1990. 160 p.

73. Bates J. M. The combination of forecasts. / J. M. Bates, C. W. J. Granger // Operational Research quarterly, 1969, №20. PP. 451-468.

74. Bellman R. Dynamic programming and adaptive processes: mathematical foundation. IRE Trans, on AC. / R. Bellman, R. Kalaba // Jan. 1960, Vol. AC-5, N 1. PP. 22-43.

75. Bunn D.W. A Bayesian approach to the linear combination of forecasts // Opl. res. Q., Pergamon Press London: 1975, Vol. 26,2. - PP. 325 - 329.

76. Embrechts P. Extreme value theory as a risk management tool / Embrechts P., Resnick S., Samorodnitsky G. // North American Actuarial Journal. 03.1999. Режим доступа http://xxx.lanl.gov1 PP. 32-41.

77. Franses P.H. The forecasting performance of various models for seasonality and nonlinearity for quarterly industrial production / P.H. Franses, D. van Dijk // "International Journal of Forecasting" №21, 2005. -PP.87-102.

78. Gardner E.S. Exponential smoothing: The state of the art. // Journal of Forecasting, №4,1985-PP. 1-28.

79. Gluzman S. Functional Renormalization Prediction of Rupture / S. Gluzman, J. V. Andersen, D. Sornette. // arXiv:cond-mat/0011164 vl, 9 Nov 2000. Режим доступа http://xxx.lanl.gov1 PP. 1-23.

80. Hibon M. To combine or not to combine: selecting among forecasts and their combinations / M. Hibon, T. Evgeniou // "International Journal of Forecasting" №21, 2005. PP.15-24.

81. Johansen A. The Nasdaq crash of April 2000: yet another example of log-periodicity in a speculative bubble ending in a crash / A. Johansen, D. Sornette // arXiv:cond-mat/0004263 v3, 4 May 2000. Режим доступа "http://xxx.lanl.govl PP. 1-17.

82. Johansen A. Crashes as Critical Points / A. Johansen, O. Ledoit, D. Sornette //arXiv:cond-mat/9810071 v2, 19 Oct 1998. Режим доступа l"http://xxx.lanl.govl PP. 1-47.

83. Malevergne Y. Multi-dimensional Rational Bubbles and fat tails / Y. Malevergne, D. Sornette // arXiv:cond-mat/0101371 vl, 24 Jan 2001. Режим доступа |"http://xxx.lanl.govl PP. 1-15.

84. Pintelon R. Box-Jenkins identification revisited: Theory / R. Pintelon, J. Schoukens // "ScienceDirect. Automatica" №42,2006. PP. 63-75.

85. Pintelon R. Box-Jenkins identification revisited: Applications / R. Pintelon, Y.Rolain, J. Schoukens // "ScienceDirect. Automatica" №42, 2006. -PP. 77-84.

86. Reid D. Forecasting in action: a comparison of forecasting techniques in economic time-series // Joint Conf. of O.R. Society's Group on Long Range Planning and Forecasting. London: ORS, 1971. - PP. 60 - 82.

87. Rosch D. An empirical comparison of default risk forecasts from alternative credit rating philosophies // "International Journal of Forecasting" №21, 2005. PP.37-51.

88. Sornette D. Predictability of catastrophic events: material rupture, earthquakes, turbulence, financial crashes and human birth Preprint. II arXiv.org e-Print archive cond-mat/0107173 v 1. 9 Jul 2001. Режим доступа rhttp://xxx.lanl.gov1 PP. 1-26.

89. Sornette D. Linear stochastic dynamics with nonlinear fractal properties // arXiv:cond-mat/9709101, 9 Sep 1997. Режим доступа l"http://xxx.lanl.govl -PP. 1-28.

90. Zou H. Combining time series models for forecasting / Zou H., Yang Y. // International Journal of Forecasting. № 20,2004. PP. 69-84.