автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Метод подбора параметров в моделях авторегрессии на основе числовых рядов

005004055

Городов Алексей Александрович

МЕТОД ПОДБОРА ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛЯХ АВТОРЕГРЕССИИ НА ОСНОВЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (космические и информационные технологии)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Красноярск 2011

005004055

Работа выполнена в Сибирском государственном аэрокосмическом университете имени академика М.Ф. Решетнева

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Кузнецов Александр Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сенашов Сергей Иванович

доктор технических наук,

профессор Лапко Александр Васильевич

Ведущая организация: Сибирский федеральный университет (г. Красноярск)

Защита состоится 16 декабря 2011 года в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.249.02 при Сибирском государственном аэрокосмическом университете им. ак. М.Ф. Решетнева по адресу: 660014, г. Красноярск, пр. им. газ. "Красноярский рабочий", 31.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Сибирского государственного аэрокосмического университета.

Автореферат разослан "16" ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Кузнецов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В современных условиях развития технологий и общества признаки системности проявляются в той или иной степени во всех областях, поэтому использование системного анализа позволяет лицу, принимающему решения (ЛПР), анализировать и грамотно управлять. При этом главными факторами, определяющими качество принимаемого управленческого решения ЛПР, являются обработка данных и прогнозирование.

К настоящему времени разработано большое количество методов прогнозирования, цель которых - определить возможные варианты развития события. В то же время, существующий математический аппарат не может дать точного ответа о возможном поведении объекта, поскольку всегда присутствует вероятностная составляющая данного прогноза. В большинстве случаев проблема прогнозирования решается при помощи моделирования случайных процессов.

Случайный процесс - это функция непрерывного или дискретного времени {Xt}ter, значение которой в каждый момент является случайной величиной, характеризующей динамику развития изучаемого явления.

Значительное число работ, посвященных проблеме моделирования, основывается на принципах саморегулирования и самоподобия. В практических задачах прогнозирования процессов часто применяется модель авторегрессии р-го порядка (AR(р)). Вопросам моделирования, прогнозирования и обработки данных посвящены труды С.А. Айвазяна, С. Алмон, Т. Андерсона, Дж. Бокса, Р.Г. Брауна, Вольда, В.К. Голикова, Г.М. Джен-кинса, Л.М. Койка, Я.Р. Магнуса, A.C. Маркова, В.И. Новосельцева, А.И. Орлова, В.И. Суслова, П.Р. Уинтерса, С. Хольта, A.A. Цыплакова и многих других.

В моделях AR(p) одними из самых актуальных вопросов являются приведение динамического процесса к стационарному виду, определение р - длины предыстории, а также выбор метода подбора параметров авто-

/

регрессии. Указанные проблемы предопределили цель и задачи диссертационного исследования.

Цель диссертационного исследования состоит в разработке специального математического обеспечения для обработки данных при принятии управленческих решений на основе использования числовых рядов.

Поставленная в диссертации цель достигается путем решения следующих задач:

• проведение анализа методов, используемых для моделирования случайных процессов;

• обобщение методов подбора параметров в моделях прогнозирования на основе использования числовых рядов (МЧР - метод числовых рядов);

• разработка алгоритма обобщенного метода подбора параметров в моделях прогнозирования на основе МЧР и его компьютерная реализация;

• формирование базы данных по числовым рядам, эффективно используемым при прогнозировании случайных процессов;

• изучение математических свойств прогнозов на основе МЧР;

• сравнительный анализ результатов прогнозирования предложенного метода с классическими.

Методы исследования. Основные теоретические и прикладные результаты работы получены на основе методологии системного анализа, теории случайных процессов, а также информационных технологий и методов фундаментальной и прикладной математики.

Научная новизна работы:

1. Разработан обобщенный метод прогнозирования на основе МЧР, эффективный для анализа коротких нестационарных динамических процессов.

2. Установлена и доказана взаимосвязь прогнозов в моделях А1?(2) по МЧР с треугольником Паскаля и рядом Фибоначчи.

3. Доказана взаимосвязь прогнозов в моделях АИ(3) с рядом чисел Три-боначчи.

4. В рамках предложенного метода даны рекомендации, позволяющие сократить процедуру подбора числового ряда.

Практическая ценность. Разработанный в диссертации метод, основанный на числовых рядах, позволяет лицу, принимающему решение, анализировать состояния сложных организационно-технических систем и производить прогноз на будущее.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы прошли всестороннюю апробацию на международных и всероссийских научных, научно-практических и научно-технических конференциях, в том числе V Международной научно-практической конференции молодых ученых Сибирского федерального округа (2007 г., Красноярск); ХЬУ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (2007 г., Новосибирск); XII Международной конференции "Ре-шетневские чтения" (2009 г., Красноярск); ХЬУН Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", посвященной 50-лет'ию НГУ (2009 г., Новосибирск); XIV Международной конференции "Решетневские чтения" (2011 г., Красноярск).

Диссертационная работа неоднократно обсуждалась на научных семинарах Сибирского государственного аэрокосмического университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ (3 из них - по перечню ВАК). Список наиболее значимых публикаций представлен в конце автореферата.

Общая характеристика диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 145 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика проблемы, обоснована актуальность выбранной темы, определены цель и задачи исследования. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе рассматриваются основные понятия, а также различные методы прогнозирования случайных процессов, основанных на авторегрессии.

В модели AR(p) текущее значение процесса xt представляется в виде линейной комбинации конечного числа предыдущих значений и величины отклонения st:

Xt = (fi\Xt-i+ <p2Xt-2 + ■ ■ ■ <PpXt-p + £t, (1)

где <pi,tp2,... ,<pp - весовые коэффициенты. Как правило, нахождение параметров (рр осуществляется по методу наименьших квадратов (МНК) или методу максимального правдоподобия (ММП).

При анализе случайных процессов чаще всего значение параметра р выбирается равным 1 или 2. Так, аторегрессионный процесс первого порядка AR(1) называется процессом Маркова, a AR(2) - процессом Юла.

Можно выделить некоторые из наиболее распространенных моделей АЩр):

• модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС-модели);

• адаптивные модели одно-, двух-, трехпараметрического экспоненциального сглаживания;

• нейронные сети.

Если рассматриваемый процесс является стационарным, т. е. течение времени никак не отражается на случайной составляющей, то используется математический аппарат, основанный на теории Гаусса. В реальности привести случайный процесс к стационарному в большинстве случаев не представляется возможным.

Во второй главе диссертации рассматривается разработанный автором обобщенный метод подбора параметров в моделях АЩр), основанный на использовании числовых рядов, и его основные результаты при прогнозировании.

Предложенный метод изначально основывался на понятии нормированного числового ряда.

00

Определение 1. Сходящийся числовой ряд ^ будем называть

1=0

00

нормированным, если ^ = 1.

г=0

Прогноз по МЧР будет производиться по формуле:

^ = (2)

¿=о

где то - номер числового ряда из некоторой базы рядов, обладающих вышеуказанными свойствами; р - порядок модели; верхний индекс {гп\р) -указывает на номер ряда и порядок модели.

Данная формула представляет собой модель прогнозирования по полной предыстории (разложение Вольда). При этом прогнозное значение УЙ* будет представлять собой сумму предыстории процесса с весовыми коэффициентами, являющимися элементами числового ряда.

Погрешность в модели будем оценивать по формуле: ■

7 4 / _ (т;р) \ 2 д(т;р) = у^ --- ЮО %. (3)

Если ж» = 0 для некоторых г, то необходимо использовать новую систему координат ж- = ж, + х0, в которой все ж- ^ 0, где х0 =сопэ1:.

оо

Для определения оптимального порядка модели р, а также вида будем использовать функцию:

в{т{Ъ0,Ьи...,Ьр-1},р)= min \ min {A(m;p'

1 <т<М [1<р<р0

(4)

где ро - граница порядка модели.

Дополнительным параметром при оценке качества модели будет являться ретроспективный прогноз на к последних значений случайного процесса.

Ошибку ретроспективного прогноза вычислим по формуле:

^retro — , ^

100 %,

(5)

i=t

где к - порядок прогноза.

Далее приведен фрагмент базы числовых рядов, используемых при прогнозировании (табл. 1).

Таблица 1 - Фрагмент базы числовых рядов, используемых при прогнозировании

m Вид ряда Сумма ряда

1 ОО £ ад' 1=0 [|?1<Ц

2 оо £ {а + ir)g4 1=0 [|?1<1]

3 00 1=1 S=ln(l+x) [-lOKl]

20 оо , V"* (-I)4C0ÍU 2-d ¡2 i - ] J 1 3 4

В конце главы 2 приведено описание свойств прогноза в моделях AR(p). В большинстве задач прогнозирования необходимо дать прогноз на к значений вперед из xt. Тогда прогноз на к значений вперед из xt, согласно (2), будет производиться по следующей формуле:

= E (6)

»=0 i=fc-l

Прогноз при использовании только двух предшествующих членов динамического процесса запишем в следующем виде:

Vt+k = ai{k)xt + a2{k)xt-i.

Был выдвинут и доказан ряд утверждений:

Лемма 1. Пусть аг(к) = С1Щ + С^Ь^'Х + - - ■ + - это

весовой коэффициент при xt при прогнозировании по МЧР. Тогда

аг(к + 1) = C°+16g+1 + ClbtX + ■ • ■ + Cl_r+1bt2r+4-

оо

Лемма 2. Пусть Y1 Ьг0+1 ~~ нормированный знакоположительный i=о

степенной ряд, где 0 < bo < 1. ТогЗа

a1(k)=F2(k + l)bk0, где F2(k + 1) - ряд чисел Фибоначчи. Напомним определение:

Определение 2. Ряд Фибоначчи - это последовательность чисел, заданная рекурсией F2(k) = F2{k - 1 ) + F2{k- 2), где F2(0) = 0, F2(l) = 1, F2(2) = 1.

Лемма 3. Пусть bo < ггт?- Тогда lim ot\(k) = 0.

Hvo fc—>oо

Лемма 4. Пусть a2{k) = C0k_lbkfX+Cl2bk-4l+-■ ■+Cl_rbk~2rb\+1 -это весовой коэффициент при xt-i при прогнозировании по МЧР. Тогда

a2(k + 1) = С» + С\_ХЬ\-Ч\ + • ■ • + С1+_1Л~2Г~%+2-

Леммы 1 и 4 доказывают, что весовые коэффициенты при хг и хг-1 для различных к являются суммой произведений элементов числового ряда на биномиальные коэффициенты возрастающих прогрессий, представляющих собой сечение по основанию треугольника Паскаля.

Лемма 5. Пусть J2 V" ~ нормированный знакоположительный ¿=о

степенной ряд, где 0 < 60 < 1. Тогда

a2(k) = F2(k)bk+\

где F2(k) - ряд чисел Фибоначчи.

Лемма 6. Пусть Ь0 < г-1^. Тогда lim а2{к) = 0.

Лемма 7. Пусть ах(к) - это весовой коэффициент при xt, a2(k) - это весовой коэффициент при при прогнозировании в ÄR(2) по МЧР. Тогда a2{k) = bxax{k - 1).

На основе лемм 2, 3, 5-7 была доказана:

Теорема 1. Пусть yt+k = ai(k)xt + a2(k)xt„i - прогнозная модель

оо

AR{2) по МЧР с использованием ряда Y^b^1 = 1, где 0 < 60 < 1. Тогда

г—О

справедливы следующие утверждения:

1) a1{k) = F2{k + l)bl;

2) а2(к) = F2{k)bl+1;

3) а2(к) = b§ai(fc - 1);

4) lim yt+k = 0 при b0 <

= ТВ1^ + при &о =

б) tonVt+k = 00 при 60 >

Используя формулу (6), представим прогноз по AR(3) в следующем

виде:

yt+k = a>i{k)xt + a2{k)xt^i + a3(k)xt-2-Дадим несколько определений:

Определение 3. Ряд Трибоначчи - это последовательность чисел, заданная рекурсией F3(k) = F3{k-l) + F3(k-2) + F3(k-i), где F3(0) = 0, F3(l) - 1, F3(2) = 1, F3(3) = 2.

Определение 4. Модифицированный ряд Трибоначчи - это ряд Трибоначчи с условием, что F'3{0) = 0, ^(1) — 0, 2) = 1, F^S) = 2.

Были доказаны следующие утверждения:

00

Лемма 8. Пусть _ нормированный знакоположительный

1=0

степенной ряд, где 0 < Ъ0 < 1. Тогда

ai(k) = F3{k + l)bk0l где F3(k) - ряд чисел Трибоначчи.

Лемма 9. Писть 60 < 7-_ t 1-—j—Т. Тогда lim аЛк) — 0.

S [(19+3v/33)3+(19-3v<33)3+-lJ ¡¡->00 '

оо

Лемма 10. Пусть bg+1 - нормированный знакоположительный 1=0

степенной ряд, где 0 < b0 < 1. Тогда

a2(k) = F^(k + l)bk0+1, где F^{k) - ряд чисел Трибоначчи.

Лемма 11. Пцсть bG < т-—г-^-—т. Тогда lim с^Ш = 0.

5 I (19+Зл/ЗЗ) з+(19—3V33) I +lj к—>оо

оо

Лемма 12. Пусть i>g+1 - нормированный знакоположительный ¿=0

степенной ряд, где 0 < Ьо < 1. Тогда

ax[k) = Fz{k)b\+\ где F$(k) - ряд чисел Трибоначчи.

Лемма 13. Пусть Ьа < >-, 1-—п—т. Тогда lim аз(fc) = 0.

[(19+3 V33) 3 +{19-3 v/33) S+lj fc-, со

Лемма 14. Пусть а^к) - это весовой коэффициент при хь а3(к) - это весовой коэффициент при х^2 при прогнозировании в АЯ(3) по МЧР. Тогда а3(к) = Ща^к - 1).

Используя леммы 8-14 доказана:

Теорема 2. Пусть уг+к — а1(к)х{+а2(к)х^1+а3(к)х^2 - прогнозная

00

модель АЯ(3) по МЧР с использованием ряда ^ Ц^ = Ь где 0 < Ъ() < 1.

¿=о

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. а,{к) = Р3(к + 1)6*;

2. а2(к) = Р3(к + 1)Ьк0+1;

3. а3(к) = Р3(к)Ък0+2;

4. а3{к) = Ъ3оа1{к - 1);

5. к = 0 при Ь0 < где Х1 = л/19 + 3\/33,

Л2 = \/19-3\/33; . = + ^^ +

при Ьй = [Л1Д+1], где /3 = л/586 + 102^33;

1• = 00 > ртещ-

На основе доказанных теорем и практических расчетов были предложены рекомендации по применению числовых рядов при подборе параметров в авторегрессии малых порядков:

1. Для моделирования стационарных динамических процессов необходимо использовать нормированные числовые ряды.

2. Для процессов, имеющих убывающую тенденцию, необходимо использовать нормированные числовые ряды, сумма первых элементов которых меньше 1.

3. Если динамический процесс содержит возрастающий тренд, то эффективнее использовать при моделировании ненормированные сходящиеся числовые ряды.

4. При моделировании периодических процессов лучшими являются знакопеременные и тригонометрические ряды.

5. При краткосрочном и среднесрочном прогнозировании процессов с

постоянным средним рекомендуется использовать для AR(2) в качестве весовых коэффициентов и для AR(3) -

_ 3/3 _27/3

В третьей главе диссертации производятся расчеты и показывается эффективность использования МЧР при подборе параметров в моделях AR (р).

В качестве тестируемой модели рассматривается модель авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (модель Бокса-Дженкинса) с параметрами авторегрессии 1 и 2. На практике, как правило, использование более высоких порядков авторегрессии в данной модели не принято.

Необходимо отметить тот факт, что всегда возможно подобрать такой числовой ряд, элементы которого будут равны значениям параметров ММП и МНК.

Вычисления по МЧР проведены с использованием авторского программного обеспечения, а по тестируемым моделям - с использованием программ MS Excel, Statistica, MatLab.

В качестве статистического материала были использованы следующие данные:

1. Группа данных - потребление электроэнергии на промышленных предприятиях (ОАО ПО "Красноярский завод комбайнов" (КЗК), ООО "Сибиряк", ООО "Гляденское хлебоприемное") - 9 рядов.

2. Группа данных - объемы производства и брака железобетонных изделий (ООО "Сибиряк") - 3 ряда.

3. Группа данных — отказы деталей, сборочных и составных частей комбайнов "Енисей-1200" и его модификаций по обследованию на конец уборочной (КЗК) - 13 рядов.

4. Группа данных - курсы валют, значения установлены Центральным Банком Российской Федерации (ЦБ РФ ) - 4 ряда.

5. Группа данных - цены на драгоценные металлы (ЦБ РФ) - 4 ряда.

6. Группа данных - показатели годового сводного консолидированного баланса Центрального Банка Российской Федерации - 5 рядов.

7. Группа данных - основные экономические показатели по России (данные Федеральной службы государственной статистики) - 16 рядов.

8. Группа данных - показатели производства сельскохозяйственной Продукции и цены их реализации (данные Министерства сельского хозяйства РФ, Федеральной службы государственной статистики) - 8 рядов.

Расчеты показали, что использование числовых рядов в качестве весовых коэффициентов при прогнозировании динамических процессов в моделях АИ(р) целесообразно, так как полученные результаты эквивалентны другим общепризнанным методам.

В качестве иллюстрации приведем результаты вычислений по восьмой группе (табл. 2).

Таблица 2 - Сравнительная относительная погрешность расчетов по пятой группе

АРПСС(1 ДО) АРПСС(2,<г,0) МЧР

Д &re.tro Д Aretro Р е &retro

XS5 8,01 % 5,34 % 7,89 % 5,45 % 4 6,21 % 4,35 %

^56 6,60 % 4,31 % 6,32 % 4,47 % 3 5,87 % 3,60 %

5,45 % 3,60 % 5,64 % 3,34 % 2 4,64 % 3,23 %

-^58 7,50 % 5,54 % 7,17% 5,57 % 3 6,48 % 5,25 %

•^59 3,70 % 2,02 % 3,35 % 2,16% 4 2,76 % 2,14%

4,20 % 2,69 % 4,06 % 2,34 % 2 3,57 % 2,34 %

7,03 % 3,15% 6,92 % 3,29 % 2 6,78 % 2,69 %

8,12% 5,22 % 8,09% 5,28 % 3 7,25 % 5,08 %

В четвертой главе приводится компьютерная реализация алгоритма МЧР и фрагменты работы с программой, написанной в среде Microsoft Visual Studio с использованием языка С# (рис. 1-5);

Р Э/шропшреблм» ЗМ1 Тляовнжов" ■ р

¡Г] Злектротстроблешс 340 Тл»еие*ое" г _____

'•□ Электрсгопжблвие ООО "Сибчгг"-«ормс«»ьй ц ^__

Р Элшропофсйгаие ООО 'Сивцж" • армлзрмый це] т р Злютрсазтрвблмв С00 'Сн(ч>*''- ш

3 Зпе/т1*хагк6лсг»кССО Тибр»" -аггспкксп^^'р) п П Злшроплребление СШ 'Снйн»" • всего(43) I -у (2 л

□ Зпеетраютрвб/ете меси «.омбаию; «и

□ Овмг» прскмицсты Ж6К • всвгс<ЗЭ| ; Щ 0 о

□ Обоет« Орам цнпоисвмак ЖБК - вссго(39| ;^ 0 гг»

р Г^гкивял*оби|<м^гриокцот»)ЖР.С• всео р Иэг^.юломиаоммзпсмпоийочнсгоиепвпадц; 10 Протции», южж .х седее кжуц щ

р Отсутствие смм«н поладим гх»и. пжзм и в/игм. р . Й0 л* О Рйэрьо.вытвтлаии^тогнб.иапспфеЛге.лмм! пгг

РИа^зюкатоЩО-а-^«).....................

1 П с. ' :

1:«-2д-1/7 1:а-1<НЛ 1:э=2д=1/9

Рисунок 1 - Выбор динамического ряда для расчетов

На рисунке 1 представлена вкладка "Параметры расчета", позволяющая изменять необходимые опции при моделировании случайного процесса. Так, опция кг - это количество последних значений процесса, используемое при ретроспективном прогнозе, /¿2 - это прогноз вперед на необходимое число периодов.

Рисунок 2 - Работа с базами

Для удобства работы с программой по МЧР созданы вкладки по управлению базами (рисунок 2).

Ввод X={xi,x2,...,xt}; me[l,M]; ре[1,Т].

Г""" m- =1 1

E

j S P= =i i

•s Вычисление: 1 .параметров модели y(»,p). Л(Ш,РХ ^ 6 [l.t-kj. 2. ретропрогноза

/

P=P+1 r

p<T

4.

нет

I !П-!Г1 ' ! :

\

Вычисление 0 ¡ 1

m<M

r

Выходные данные Y = {Уг- ~,Уь -'У4+к2}; m*; р*.

I .

Конец

/

/

/

Рисунок 3 - Алгоритм реализации МЧР 16

Рисунок 4 - Значения расчетных ошибок

На рисунке 4 представлены итоговые значения погрешностей в моделях AR{p) различных порядков для всей базы числовых рядов.

Рисунок 5 - Визуализация полученных результатов

В заключении сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты и выводы

Применение числовых рядов в качестве весовых коэффициентов в моделях АЩр) целесообразно и дает наилучшие результаты при анализе и прогнозировании коротких нестационарных динамических процессов. Созданное программное обеспечение позволяет использовать МЧР управляющим персоналом независимо от их математической подготовки. Выявлена и доказана взаимосвязь прогнозов по МЧР с треугольником Паскаля,

числами Фибоначчи и Трибоначчи, а также золотым сечением. Даны рекомендации по применению числовых рядов при прогнозировании случайных процессов, позволяющие сократить процедуру выбора числового ряда.

Публикации по теме работы

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Городов, A.A. Моделирование временных рядов на основе нормированных числовых рядов / A.A. Городов // Системы управления и информационные технологии. 2010. - № 1(35). - С. 4-7.

2. Городов, A.A. Исследования дифференциации районов Красноярского края по уровню развития сельского хозяйства на основе методов многомерного статистического анализа / A.A. Городов, Н.Г. Филимонова // Региональная экономика. 2010. - Вып. 20. - С. 62-68.

3. Городов, A.A. Свойства прогнозов в моделях авторегрессии по методу числовых рядов / A.A. Городов, A.A. Кузнецов // Системы управления и информационные технологии. 2011. - № 3(41). - С. 10-13.

Статьи в журналах и сборниках

4. Городов, A.A. Компьютерный алгоритм реализации МЧР / A.A. Городов, JI.B. Городова // Математические системы. - Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2011. - Вып. 10. - С. 32-47.

5. Городов, A.A. К вопросу о математической модели систем зависимости от трех параметров / A.A. Городов, Т.А Ширяева // Математические системы. - Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2009. - Вып. 7. - С. 52-66.

6. Городов, A.A. Некоторые многофакторные системы и их математическая модель / A.A. Городов, Т.А Ширяева // Математические системы. - Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2009. - Вып. 7. - С. 67-72.

Статьи в сборниках трудов конференций

7. Городов, A.A. Прогнозирование на основе нормированных числовых рядов / A.A. Городов, А. А. Шлепкин // Материалы XII Межрегион, науч.-практ. конф. студентов и аспирантов "Проблемы современной экономики". - Красноярск: Изд-во СФУ, 2008. - С. 168-169.

8. Городов, A.A. Нормированные числовые ряды в системе прогнозирования / A.A. Городов, А. А. Шлепкин // Материалы XLVII Меж-дунар. науч. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс", посвященной 50-летию НГУ. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2009. - С. 118-119.

9. Городов, A.A. Нормированные числовые ряды в системе прогнозирования цен / A.A. Городов, А. А. Шлепкин // Материалы XII Междунар. науч. конф. "Решетневские чтения". - Красноярск: Изд-во СибГАУ, 2009. - С. 28-29.

10. Городов, A.A. Золотое сечение и прогнозирование по авторегрессии / A.A. Городов, Л. В. Городова // Материалы XIV Междунар. науч. конф. "Решетневские чтения". - Красноярск: Изд-во СибГАУ, 2011. -С. 541-542.

Автореферат

Подписано в печать _._.20_ г. Формат 60 х 84/16. Бумага писчая. Печ. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ

Отпечатано в отделе копировально-множительной техники СибГАУ 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. "Красноярский рабочий", 31.

ВВЕДЕНИЕ

1 ИЗВЕСТНЫЕ ФАКТЫ, ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1.1 Случайный процесс.

1.2 Модель линейного фильтра.

1.3 Процессы авторегрессии.

1.3.1 Процесс авторегрессии первого порядка (марковский процесс)

1.3.2 Процесс авторегрессии второго порядка (процесс Юла).

1.3.3 Разложение Вольда.

1.4 Метод Ал мон.

1.5 Модель Койка

1.6 Модели, основанные на процессах АЩр).

1.7 Числа Фибоначчи

1.7.1 Числа Трибоначчи.

2 МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОРЕГРЕССИОННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ (МЧР)

2.1 Метод числовых рядов

2.1.1 Пример использования базы при прогнозировании на основе МЧР

2.2 Математические свойства прогнозов по МЧР

2.2.1 Авторегрессия 2-го порядка

2.2.2 Авторегрессия 3-го порядка

2.2.3 Рекомендации для МЧР.

3 АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

3.1 Данные для обработки

3.2 Анализ данных.

4 КОМПЬЮТЕРНЫЙ АЛГОРИТМ РЕАЛИЗАЦИИ МЧР

Основные результаты и выводы

Применение числовых рядов в качестве весовых коэффициентов в моделях АБ£(р) целесообразно и дает наилучшие результаты при анализе и прогнозировании коротких нестационарных динамических процессов. Так в случае нестационарности процесса, можно попытаться привести его к стационарному виду, разложив его на составляющие. Однако использование данных методик, приводит к сокращению динамического процесса на соответствующее число показателей. При этом, как было сказано ранее, в большинстве случаев не удается привести исходный процесс к стационарному (см. главу 1). Помимо этого, при разложении процесса на составляющие происходит потеря целостности изучаемого явления, в ряде случаев это обусловлено наличием коррелированности тренда и цикличности. Разложение же коротких динамических процессов, путем их сокращения, в большинстве случаев вообще недопустимо. Поэтому, при анализе случайных динамических процессов необходимо использовать такие методики обработки данных, которые позволяют сократить потерю информации, время обработки, и вследствие этого, время на принятие решений ЛПР.

На практике для ЛПР простота и доступность использования методов и быстрота получения возможных вариантов изменений процессов в будущем будут решающими факторами при выборе прогнозной модели. МЧР отвечает всем этим требованиям. Созданное программное обеспечение позволяет использовать МЧР управляющим персоналом независимо от их математической подготовки.

Предложенный метод подбора параметров в моделях Апозволяет повысить эффективность использования данных моделей при подстроении и прогнозировании динамических процессов. А сама модель, основанная на числовых рядах, учитывает колебания рассматриваемого процесса и структуру числового ряда, что дает возможность более точно описывать исходный процесс. Поскольку МЧР не требует вычленять трендовую составляющую (выделение которой, подчас, приводит к невозможности дальнейшего пронозирования) из рассматриваемого явления.

МЧР позволяет дать несколько возможных вариантов развития процесса, не только показав границы варьирования прогноза, как например АРПСС, а предоставив варианты развития процесса и ошибки моделей, дающих эти варианты.

Выявление математических свойств прогнозов по МЧР дало возможность доказать взаимосвязь с треугольником Паскаля, числами Фибоначчи и Трибоначчи, а также золотым сечением.

На основе доказанных теорем и практических расчетов были предложены рекомендации по применению числовых рядов при подборе параметров в авторегрессиях малых порядков для прогнозирования случайных процессов, позволяющие сократить процедуру выбора из сформированной базы необходимый числовой ряд.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном разделе сформулированы основные выводы и результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

2. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Юнити, 2001.

3. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т. 2. М.: «Юнити», 2001.

4. Али Маджд Ахмад Повышение качества прогнозирования случайных процессов на базе гибридных нейронных сетей : автореферат кандидата технических наук : 05.13.01 // Владимир, 2007. 17 с.

5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.

6. Анисимов A.C., Кононов В.Т. Структурная идентификация линейных дискретных динамических моделей на основе информационных критериев // Новосибирск: Вестник НГТУ, 2005. №1. - С. 21-36.

7. Багманов В.Х., Комисаров A.M., Султанов А.Х. Прогнозирование телетрафика на основе фрактальных фильтров // Вестник Уфимского гос. авиа. тех. ун-т, 2007. №6. - С. 217-222.

8. Банников В.А. Векторные модели авторегрессии и коррекции регрессионных остатков (EVIEWS) // Прикладная эконометрика, 2006. № 3. - С. 96-129.

9. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974. - 464 с.

10. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

11. Бодягин И.А., Харин Ю.С. Прогнозирование авторегрессионных временных рядов при наличии цензурирования // Красноярск: Вестник СибГАУ, 2010. С. 22-25.

12. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Прогноз и управление. -М.: Мир, 1974.

13. Боровиков В.П., Боровиков И.П. STATISTICA Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. - М., 1998. - 592 с.

14. Боровиков В.П. Популярное введение в систему STATISTICA. -М„ 1998. 266 с.

15. Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в STATISTICA в среде Windows 95 (основы теории и интенсивная практика на компьютере). М., 1999. - 382 с.

16. Боровиков В.П. Нейронные сети. STATISTICA Neural Networks: Методология и технологии современного анализа данных. Горячая линия-Телеком, 2008. 392 с.

17. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. -М.: Мир, 1980.

18. Брюков В.Г. Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и Eviews. Издательства: КноРус, ЦИПСиР, 2011. 272 с.

19. Бычков A.A., Потетюнко Э.Н., Золотарев A.A., Сотникова A.M. Применение метода авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего в исследовании производственной сезонности // М.: Современные наукоемкие технологии, 2011. С. 53-55.

20. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика. М.: Издательство "Иностранной литературы", 1960. - 435 с.

21. Венсель В.В. Интегральная регрессия и корреляция: статистическое моделирование рядов динамики. М.: Финансы и статистика, 1983.

22. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. — Ростов н/Д : Феникс, 2005. — 409 с.

23. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи. М.: НАУКА, 1978. - 144 с.

24. Воробейчиков С.Э., Кабанова Т.В. Оценка параметра процесса авторегрессии первого порядка при наличии мешающего параметра // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика, 2009. №4. - С. 26-31.

25. Гайдерс М.А. Общая теория систем. М.: ГЛОБУС-ПРЕСС, 2005. - 201 с.

26. Градштейн И.С., Рыжик. И.М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений. М.: Физматлит, 1963. - 1100с.

27. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы. М.: ИЛ, 1961. - 168 с.

28. Гренджер К., Хатанака М., Спектральный анализ временных рядов в экономике. М.: Статистика, 1972.

29. Гусак A.A., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по математике. Мн.: ТетраСистемс, 1999. - 640 с.

30. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. - 228 с.

31. Двойрис Л.И. Прогнозирование временных рядов на основе анализа главных компонент (метод "гусеницы") // Радиотехника, 2007. №2. - С. 68-71.

32. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. -М.: Мир, 1971.

33. Джонстон Дж. Эконометрические методы /Пер. с англ. A.A. Рывкина. М.: Статистика, 1980. - 444 с.

34. Дмитриенко А.Г., Мясникова М.Г., Цыпин Б.В. Оценивание порядка моделей авторегрессии при аппроксимации сигналов // Измерительная техника, 2011. №4. - С. 38-41.

35. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: МГУ, 1999. - 402 с.

36. Егошин A.B. Постановка задачи прогнозирования временного ряда порождаемого динамической системой // Йошкар-Ола: Марийский гос. техн. ун-т, 2007. С. 136-140.

37. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1998. - 368 с.

38. Ефимов A.B. Математический анализ (Специальные разделы. Часть 1. Общие функциональные ряды и их приложение). М.: Высшая школа, 1980. - 279 с.

39. Журавлев В.М., Журавлев A.B. Новый метод построения нелинейных моделей пространственно-временных процессов и прогнозирования по эмпирическим данным // М.: Издательство "Радиотехни-ка"Нелинейный мир, 2009. С. 763-771.

40. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

41. Журбенко И.Г. Анализ стационарных и однородных случайных систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 240 с.

42. Каган A.M., Линник Ю.В., Pao С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука, 1972.

43. Казак К.А., Кнотько В.В., Кисленко H.A., Казак A.C. Применение авторегрессионной модели для улучшения качества прогноза

44. Системы управления и информационные технологии, 2007. -№4.2(30). С. 247-249.

45. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов. // Экономический журнал Высшей школы экономики, 2002. Том.6. № 1. № 2. № 3.

46. Кашковский Д.В. Последовательная идентификация параметров авторегрессии со случайными коэффициентами // Вестн. Томского гос. уни-та, 2006. С. 105-109.

47. Кашковский Д.В. Последовательная оценка наименьших квадра-1 тов линейных параметров агсЬ-процесса // Вестн. Томского гос.уни-та, 2004. № 284. - С. 111-114.

48. Кендалл М.Дж., Стъюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.

49. Кендалл М.Дж., Стъюарт А. Статистические выводы и связи. -М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. 899 с.

50. Кендал М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981.

51. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с.

52. Ковалева Л.Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М.: Финансы и статистика, 1980.

53. Кондратьев Н.Д. Большие циклы коньюктуры и теория предвидения. Избранные друды. М.: Экономика, 2002. - 767 с.

54. Кондрашов Д.В. Прогнозирование временных рядов на основе использования полиномов Чебышева, наименее уклоняющихся от нуля // Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Серия: Технические науки, 2005. № 32. - С. 49-53.

55. Кравец О.Я., Крючкова И.Н. Исследование чувствительности ней-росетевой модели к наличию временного лага в задаче прогнозирования временных рядов // Территория науки, 2006. №1(1). -С. 75-82.

56. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. -М.: Мир, 1969.

57. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

58. Кулинич Е.И. Эконометрия. М.: Финансы и статистика, 1999. -302 с.

59. Кулешов Е.Л., Бабийчук И.А. Линейное прогнозирование стационарных случайных процессов при известном и неизвестном тренде // Автометрия, 2005. Т. 41. № 2. - С. 23-35.

60. Лапина Т.И. Анализ и прогнозирование случайных процессов на основе метода нормирования данных. Информационно-измерительные и управляющие системы, 2008. №8. - С. 76-81.

61. Левин B.C., Шаврин И.П. Краткосрочное прогнозирование инвестиций в россии с помощью сезонных моделей авторегрессии скользящего среднего // Вестник Оренбургского государственного университета, 2006. Том. 63. №13. - С. 60-62.

62. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. М.: Финансы и статистика, 2003.

63. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий A.A. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело, 1997. - 248 с.

64. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. Вып. 1,2. М.: Статистика, 1975, 1976.

65. Маляренко A.A. Одноэтапное последовательное оценивание параметров нелинейных стохастических систем с дискретным временем // Известия Томского политех, уни-та, 2009. № 5. - С. 13-17.

66. Марков А. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятности. Издательство: АН СССР, 1951. 679 с.

67. Марков А. Теория алгорифмов. Издательство: Академия наук СССР, 1954. 377 с.

68. Марков A.C. Последовательная идентификация пороговой авторегрессии // Известия Томского политех, уни-та, 2009. Т. 314. № 2. - С. 21-26.

69. Марков A.C. Идентификация стохастических систем авторегрессионного типа с нелинейностями и бесконечной дисперсией шума: диссертация кандидата физико-математических наук: 05.13.01 // Томск, 2009. 119 с.

70. Медведев Г.А., Морозов В.А. Практикум на ЭВМ по анализу временных рядов: Учеб. пособие. — Мн.: Университетское, 2001. — 192 с.

71. Мэтьюз Д., Финк К. Численные методы. Использование MATLAB. М.Вильяме, 2006.

72. Моргунов А.В. Временные ряды в прогнозировании сбалансированной системы показателей на предприятиях // Известия высших учебных заведений. Нефть и газ, 2009. № 3. - С. 123-126.

73. Мур, Джеффри, Уэдерфорд, Ларри Р. и др. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. M.: Издательский дом "Вильяме", 2004. - 1024 с.

74. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 1975. - 500 с.

75. Немец С.Ю. Комбинированные методы прогнозирования на основе ретроспективных оценок и внутренних характеристик временных рядов: диссертация кандидата технических наук: 05.13.18 // Воронеж, 2007. 142 с.

76. Новосельцев В.И., Голиков В.К. Теоретические основы системного анализа. М.: Майор, 2006. - 592с.

77. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. -М.: Наука, 1979.

78. Орлов А.И. Асимптотика решений экстремальных статистических задач // Анализ нечисловых данных в системных исследованиях. Сб. трудов. Вып.10. М.: ВНИИСИ, 1982. - С.4-12.

79. Орлов А.И. Метод оценивания длины периода и периодической составляющей сигнала. // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: Изд-во Пермского гос. уни-та, 1999. -С.38-49.

80. Осминин К.П. Алгоритмы построения статистик для анализа и прогнозирования нестационарных временных рядов // Информационные технологии и вычислительные системы, 2009. № 1. -С. 3-13.

81. Осминин К.П. Алгоритмы прогнозирования нестационарных временных рядов диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук: 05.13.18 // Институт математического моделирования РАН. Москва, 2008. 135 с.

82. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов. М.: Мир, 1982.

83. Перминов Г.И. Метод анализа многомерных временных рядов с использованием корректировки предварительно рассчитанной обратной матрицы: исследование в сравнении с другими методами data mining // БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА, 2008. №1. - С. 3644.

84. Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. - 800с.

85. Рабинер Р., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

86. Саврасов Ю.С. Оптимальные решения. М.: Радио и связь, 2000.- 152 с.

87. Семенычев В.К., Павлов В.Д., Семенычев В.В. Моделирование и прогнозирование временного ряда суммой логистической, линейной и гармонической компонент на основе ARMA-модели // Известия УрГЭУ, 2009. №1(23).

88. Семенычев В.К. Эконометрическое моделирование и прогнозирование рядов динамики на основе параметрических моделей авторегрессии: автореферат диссертации доктора экономических наук: 08.00.13 // Москва, 2005. 36 с.

89. Сирота A.A., Лантюхов М.Н. Линейная фильтрация в дискретном времени в условиях марковской последовательности пропусков наблюдений // Вестник ВГУ, Серия физика, математика, 2003. №1.- С. 88-92.

90. Смирнов А.П. «Точное естествознание основа миропонимания» На сайте http: // www.physical-congress.spb.ru

91. Смирнов А.П. Научное видение Золотого века. На сайте http: // www.physical-congress.spb.ru

92. Смирнов А.П., Прохорцев И.В. Принцип Порядка. СПб.: ПиК, 2002. 296 с

93. Статистический анализ экономических временных рядов и прогнозирование. (Серия "Ученые записки по статистике тт.22-23.) М.: Наука, 1973.

94. Строгонов А. Индивидуальное прогнозирование долговечности интегральных схем ис с использованием арпсс-моделей временных рядов // Компоненты и технологии, 2006. № 63. - С. 184-187.

95. Суслов В.И. Многорегиональная оптимизационная модель: реальное значение и современная спецификация // Регион: экономика и социология, 2011. № 2. - С. 19-45.

96. Taxa Х.А. Введение в исследование операций, в 2-х книгах. М.: Мир, 1985.

97. Тейл Г. Эконометрические прогнозы и принятие решений. М.: Статистика, 1971. - 488 с.

98. Тырсин А.Н. Об эквивалентности знакового и наименьших модулей методов построения линейных моделей // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2005. Т. 12. В.4. - С.879-880.

99. Тырсин А.Н. Модель авторегрессии как отображение функциональной зависимости временного ряда // Системы управления и информационные технологии, 2005. № 1(18). - С. 27-29.

100. Фишер P.A. Статистические методы для исследователей. М.: Госстатиздат, 1957. - 267 с.

101. Френкель A.A. Математические методы анализа динамики и прогнозирования производительности труда. М.: Экономика, 1972. - 190 с.

102. Джон Э.Ханк, Дин У. Уичерн, Артур Дж.Райте Бизнес-прогнозирование Издательство Вильяме, 2003. 652 с.

103. Харин Ю.С., Малюгин В.Н. и др. Основы имитационного и статистического моделирования. Минск: ДизайнПро, 1997. - 218 с.

104. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. М.: Мир, 1974.

105. Цветков Э.И. Основы теории статистических измерений. J1.: Энергоатомиздат, 1986. - 256 с.

106. Цыплаков A.A., Суслов В.И., Ибрагимов Н.М. и др. Эконометрия. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2005. - 744с.

107. Цыплаков A.A. Введение в прогнозирование в классических моделях временных рядов.// Квантиль, 2006. С. 3-19

108. Черныш A.A., Шонин О.Б. Прогнозирование энергопотребления горных предприятий на основе стохастических моделей временных рядов // Записки Горного института, 2010. Т. 186. - С. 165-169.

109. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1977.

110. Ширяев В.И. Финансовые рынки. Нейронные сети, хаос и нелинейная динамика. М.: Либроком, 2009. - 232 с.

111. Шмелев П.А. Теория рядов в элементарном изложении. Инеграл и преобразование Фурье. М.: МЭИ, 1997.

112. Шумков Д.С., Сидоркина И.Г. Метод прогнозирования временных рядов с использованием кусочно-линейной аппроксимации // Вестник ТГУ, 2009. вып. 1.

113. Щетинин Е.Ю., Прудников Ю.Г., Марков П.Н. Моделирование и оценивание длинной памяти финансовых временных рядов // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика, 2011. №1. - С. 98-106.

114. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. М: ЮНИТИ, 2001. - 391с.

115. Эконометрика / Под ред. И.И. Елисеевой // М.: Финансы и статистика, 2003. 344 с.

116. Эллиотт Р. Н. Закон природы секреты вселенной. 1998. 99 с.

117. Almon S. The Distributed Lag between Capital Appropriations and Expen-ditures. "Econometrica", 1965.

118. Bollerslev T. Generalized AutoregressiVe Conditional Heteroscedasticity. "Journal of Econometrics", 1986.

119. Brown R.G. Smoothing forecasting and prediction of discrete time series. N.Y., 1963.

120. Green W.H. Econometric analysis. Macmillan Publishing Company, New York, 1993.

121. Koyck L. M. Distributed Lags and Investment Analysis. Amsterdam : North- Holland, 1954.

122. Holt C.C. Forecasting trends and seasonals by exponentially weighted moving averages // O.N.R. Memorandum, Carnegie Inst, of Technology, 1957. № 2.

123. Winters P.R. Forecasting Sales by Exponentially Weighted Moving Averages. Mgmt. Sci., 6, p. 324.

124. Wold H. A Study in the Analysis of Stationary Time Series, Uppsala, Almqvist and Wiksell. 1938.

125. Wold H. Bibliography on Time Series and Stochastic Processes. // London, Oliver and Boyd, 1965.

126. Yule G.U. A mathematical theory of evolution based on the conclusions of Dr. J.C. Willis // Phil. Trans. Royal Soc. London B, 1925. P. 21-87.

127. Министерство сельского хозяйства РФ, http://www.mcx.ru/

128. Территориальный орган федеральной службы государственной статистики по Красноярскому краю, г. Красноярск, пр. Красноярский рабочий 92.

129. Центральный банк Российской Федерации, http://www.cbr.ru/

130. Федеральная служба государственной статистики, http://www.gks.ru/

131. Публикации автора по теме работы

132. Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, входящих в перечень ВАК

133. Городов, А.А. Моделирование временных рядов на основе нормированных числовых рядов / А.А. Городов // Системы управления и информационные технологии. 2010. № 1(35). - С. 4-7.

134. Городов, А.А. Исследования дифференциации районов Красноярского края по уровню развития сельского хозяйства на основе методов многомерного статистического анализа / А.А. Городов, Н.Г.134.

135. Филимонова // Региональная экономика. 2010. Вып. 20. - С. 62-68.

136. Городов, A.A. Свойства прогнозов в моделях авторегрессии по методу числовых рядов / A.A. Городов, A.A. Кузнецов // Системы управления и информационные технологии. 2011. № 3(41). - С. 10-13.

137. Статьи в журналах и сборниках

138. Городов, A.A. Компьютерный алгоритм реализации МЧР / A.A. Городов, JI.B. Городова // Математические системы. Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2011. - Вып. 10. - С. 32-47.

139. Городов, A.A. Прогноз потоков прямого иностранного инвестирования через прогноз отношения ПИИ к ВВП и показатели ВВП в России на 25 лет/ A.A. Городов, Н.В. Усенко, Е.А. Кашкарева //Вестник КрасГАУ, 2007. С. 3-9.

140. Городов, A.A. Влияние потоков прямого иностранного инвестирования на динамику развития экономики России/ A.A. Городов, Н.В. Усенко, Е.А. Кашкарева //Вестник КрасГАУ, 2007. С. 13-17.

141. Городов, A.A. К вопросу о математической модели систем зависимости от трех параметров / A.A. Городов, Т.А Ширяева // Математические системы. Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2009. - Вып. 7. - С. 52-66.

142. Городов, A.A. Некоторые многофакторные системы и их математическая модель / A.A. Городов, Т.А Ширяева // Математические системы. Красноярск: Изд-во КрасГАУ, 2009. - Вып. 7. - С. 67-72.

143. Статьи в сборниках трудов конференций

144. Городов, A.A. Прогнозирование на основе нормированных числовых рядов / A.A. Городов, А. А. Шлепкин // Материалы XII Межрегион, науч.-практ. конф. студентов и аспирантов "Проблемы современной экономики". Красноярск: Изд-во СФУ, 2008. - С. 168-169.

145. Городов, A.A. Нормированные числовые ряды в системе прогнозирования цен / A.A. Городов, А. А. Шлепкин // Материалы XII Междунар. науч. конф. "Решетневские чтения". Красноярск: Изд-во СибГАУ, 2009. - С. 28-29.

146. Городов, A.A. Золотое сечение и прогнозирование по авторегрессии / A.A. Городов, JI. В. Городова // Материалы XIV Междунар. науч. конф. "Решетневские чтения". Красноярск: Изд-во СибГАУ, 2011. - С. 541-542.