автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Качественный анализ эволюционных уравнений, описывающих химические процессы

госспгк'кля академии наук сиынч-коконе. плиц, нычнс. ппт;. и.пыП икши

РГ6 ОД

о ,. --о I. • - '

Акрамов Талгат Акрамович

КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

()">.|:{.1(| !1|>1|\|<ЧН|ШГ 11ЫЧ1И .111 1С |ЫЮП Н'ХМПКП.

\ы |г\г;и пч'мош \iuir. пятнам пя п мд III■|<ч-кн\ чподон и паучпыч псе. и\1(жаи;|м\

\|||(>|Х'<|м'|К|| .11114 <'[>1.1111111 1111 ПШГКИМШ- \"'К'||(Ш < и псин .юкг*>|>;| фи шко м<||«'\П1 нгнч кп.\ нпук

V /

Поти ||Гш|х к 1!>'1Т

Paooia выполнена ь Башкирском Государственном Упнверспleie

Офиппилыпле оппопешы: доктр фшико маюмашмсскпх наук.

профессор Д])обып1евич B.II.

докio]) фшико математических наук, профессор Кажихов A.B.

доктор фшнко матемашческнх наук, профессор Скачка В.В.

Вед\ шая opiaun ¡ацпя: Новое тшнрскш! Государс твенны!!

Университет

Защит диссертшш сосюшся ",// еъ^ 199Г года в " ¡6 часов на (аседашш днссеришпонного сове 1а Д 002.10.02 при Вычп-с.ши'.'шюм Цен 1ре СО РАН по адресу: 030090 Новосибирск, нроспек! Лав])еи I ьева. 6.

С диссеришисН можно ознакомиться и библиотеке Вычисли к\ п>ж>-ю Цеп I ра СО РАН по укачанному адресу.

Ав1()])е<])ера1 ра ¡ослан " /1 " сУ/я*"1997 года.

Ученый ceKpciapb диссер им тонною совета

jWi

Г.П. Забнняко

Общая характеристика работы

Состояние вопроса и актуальность темы. За последние 3041) .кч tapo.ui.iacb и но. 1учнла широкое ра нни im1 в нашей стране п за рубежом 1сорпя математического моделирования химических процессов и реакторов. Основы методов математического моделирования химических процессов были заложены в работах Г.К. Борескова. М.Г. С. пшько [1. 2]. Г. Apnea [3], ГГ. Гава.таса [4] и других.

Общие 11|)11М1шш>1 моделирования химических процессов сформули-]>ованы. папрпме]). М.Г. Слинько в [2]. В основе метла математического моделирования лежит идея иерархического, мноюуропневого подхода к построению математической модели реактора, зак.ночаю-щегося в расчленении сложного хпмико-мчхполошческого процесса на химические и физические составляющие, раздельном их изучении н последующем синтезе общей математической модели из моделей отдельных час i oil сложного процесса .

Применение маюма|ическнх методов моделирования позволяет сократи ib сроки разработи новых процессов, рсакюрои. катализаторов, liaiiin области устНчивых и неустойчивых режимов работы реакю-ров. а также оптимальные параметры ведения процесса [2]. При построении магемашчоскоП модели реального химическою процесса на различных уровнях возникают стационарные и нестационарные дифференциальные уравнения: обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) для описания систем с сосредоточенными параметрами, например, реакторов идеального смешения, а также уравнения с частными производными (УЧП) - для описания систем с распределенными параметрами, например, совместное описание кинетики химических роакциИ и процесса массопереноса за счет диффузии реагирующих веществ.

В частости, именно потребности качественною описания химических процессов стимулировали работы но качественной leopnii дифференциальных уравнений. возникающих при моделировании каталитических процессов. Обзор возникающих при -иом задач и полученных результатов можно найти в работах Т.П. 'Зеленяка п М.Г. Слпнько [7. 8].

В круг проблем качественной теории чтих уравнении входят, в частности. вопросы о корректности постановки задач, о характере поведения решений в целом по времени, о их стабилизации, о числе и устойчивое ш стационарных решений, о су mecí новации периодических решений. параметрической зависимости решений и 1.д. В отечественной И зарубежной литературе указанные математические проблемы нашли свое отраженно во многих монографиях [2] [б].

При построении матемашческои модели химической системы возникает первоочередная задача-формали мцня всех 1срминов и понятий. а также ограничений, используемых в ■■»той модели. Эю. в частности. можно сделать в виде аксиом. Различные системы аксиом химической системы были сформулированы Дж. Уейем п Ф. Крамбеком в работах [29, 30].

Математической моделью химических систем у этих авторов являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений с определенными свойствами. Из аксиом Дж. Уейя следует , например, существование в целом для 0 < t < ос неотрицательных решений по начальным данным из , где

Д» = {„ е Яп : щ >0, г = 1,... ,п|

конус положительных векторов (¡¿-вектор концентраций), а также существование по крайней мере одной стационарной точки в ./?" у системы й — /(«). Аксиомы Дж. Уейя требуют выполнения свойства стабилизации решений и исключают периодические решения в химических по УеНю системах. Кроме того постулируется существование глобальной функции Ляпунова для заданной системы ОДУ.

Немного иную систему аксиом предлагает Ф. Крамбек [30], рассматривая и неизотермические процессы. Динамическое поведение химической системы описывается у него уравнениями

¿ = /(2», Т — Ь(Т, и)

или Т — Ь(и), где ц— вектор концентраций, Т— температура, / , // -заданные функции.

На основе этих аксиом Ф. Крамбек исследует качественные свойства полученных дифференциальных уравнений . Из его аксиом и полученных на их основе теорем можно заключить, что химическая система но Ф. Крамбеку в изотермическом случае является таковой и но Дж. Уейш.

В химических системах но Дж. Уейю и по Ф.Крамбеку функции ¡(Т. и) не задаются явно, и поэтому , вообще говоря, не отражают всей специфики химических реакций. В то же время в литературе описаны некоторые физические законы, но которым, зная механизм реакции, можно однозначно восстановить структуру правых частей дифференциальных уравнений химических систем, например, кинетика Мнрселена-де Донде [32]. Отметим, что кинетика Марселена-де Донде включает как частный случай так называемый закон действующих масс (ЗДМ). которым обычно ограничиваются на практике.

Модели химических систем, описываемых приведенными обыкновенными дифференциальными уравнениями, дают лишь изменение концентраций во времени. Однако на практике бывает необходимо учитывав распределение концентраций в пространстве, и изменение их но времени. Например, при описании процессов диффузии или конвективного массопереноса. В этом случае возникают уравнения в частных производных (модели с распределенными параметрами). Для 1акпх моделей в [20, 21] даны некоторые ограничения на потоки и силы ( так называемое линейное приближение вблизи равновесия). Однако

для этих моделей химических систем достаточно строго сформулированной аксиоматики, аналогичной системам аксиом Дж. ^>ейя и Ф. Крамбека, автор в литературе не встречал.

Целью настоящей работы является аксиоматическое построение математических моделей, описывающих пространственное н временное распределение концентраций, и их качественный и численный (для конкретных моделей) анализ. Исследуются вопросы корректности поставленных задач, числа и устойчивости стационарных решений, характер поведения решений при большом времени (стабилизация к стационарным решениям, существование стационарных и периодических решений).

Общая методика исследования. Разрешимость краевых задач (в основном второй краевой задачи) для квазилинейных параболических уравнений дивергентного вида по гладким или по непрерывным начальным данным доказывается методом линеаризации задачи на некоторых специально подобранных функциях. При этом существенно используются результаты В. С. Белоносова по разрешимости линейных задач и оценкам решений в Гельдеровскнх пространствах с весом [24, 23].

Для доказательства свойства стабилизации ограниченных вместе с производными решений систем параболических п гиперболических уравнений используется метод функционалов Ляпунова [5, б], предложенный Т. И. Зеленяком для параболического уравнения с одной пространственной переменной. Хотя существование функционала Ляпунова не достаточно для стабилизации решений систем параболических уравнений [18, 9, 23], пользуясь выпуклостью функционала н специальной структурой стационарных решений химических систем, удается доказать стабилизацию решений параболической и гиперболической задачи к стационарным решениям. При анализе на устойчивость стационарных решений используются построенные функционалы Ляпунова (первый метод Ляпунова) и принцип линеаризации (второй метод Ляпунова), обоснованный для параболических задач в [5,6], а для пшерболических-в [10]—[12].

При доказательстве существования периодического решения для гиперболической задачи используется метод бифуркации периодического решения из стационарного (аналог теоремы Андронова-Хопфа). Для обоснования этого метода существенны результаты о повышении с течением времени гладкости решений некоторых гиперболических задач, полученные в [10]—[13].

При численном анализе стационарных решений гиперболической задачи (модель протнвоточного химического реактора восстановления железа из окислов) используется ''метод стрельбы" и метод выбора различных переменных интегрирования при больших градиентах для решения нелинейных двухточечных задач . Предварительно проведенный качественный анализ задачи обосновывает сходимость предложенного алгоритма.

Научная новизна и практическая ценность работы cocí от и с. К'луюшс.м:

Предложены математические модели в виде нелинейных уравнений иарабо. шче< hoi о и гиперболического типов, описывающие химические реакции и пронесем диффузионного н конвекiппного массонереноса. Ограничении на правые части уравнений, сформулированные в виде системы аксиом, обеспечивают выполнение определенных свойс т в решений. Доказаны теоремы о корректности параболической задачи по iлалкпм и непрерывным начальным данным, а 1акже теоремы

0 стабилизации от раппченных решении параболической задачи. Исследовано число и устойчивость стационарных решении. Доказаны 1еоремы об -условной и безусловной асимптотической устойчивости стационарных решений. Для гиперболической задачи дано математическое обоснование метода бифуркации периодических решений из стационарных (аналог теоремы Андронова Хонфа). Методом функционалов Ляпунова доказаны георемы о стабилизации и устойчивости решений гиперболической задачи, моделирующей протнвоточные химические реактора. Для математической модели иротишпочного химическою реактора для восстановления железа из окислов аналитически доказана единственность стационарных решений при любых значениях параметров задачи, а также разрешимость нестационарной задачи в "целом". Предложен и численно реализован сходящийся алгоритм расчеюв стационарных решений, эффективно работающий и при наличии больших градиентов, что позволило пронести расчеты п параметрическую оптимизацию реактора в широкой области нарам е-

1 ров.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-ва. тип» на семинарах "Качес твенная теория дифференциальных уравнений" (Институт математики СО РАН , руководи те. i ь профессор Т.Н. Зелепяк). академика PATH, профессора В.Н. Врагова (Инсти ту т математики СО РАН ). на семинаре условно-корректных задач (ВЦ СО АН СССР, руководитель академик РАН. профессор М.М. Лаврентьев), кафедры дифференциальных уравнений НГУ (руководитель академик РАН. профессор С.К. Годунов), отдела математического моделирования (Институт Катализа СО РАН, руководитель профессор В.А. Кириллов), профессоров В.П. Михайлова и А.К. Гущина (Институт математики им. В. А. Стеклова). отдела дифференциальных уравнений (Нист и ту i математики с Вычислительным центром УНЦ РБ. руководитель профессор В. К). Новокшенов ), профессора K.M. Са-лнхова (Казанский физпко технический институт ), кафедры дифференциальных уравнений БашГУ (руководитель профессор Я.Т. Сул-laiiaeB). профессора О. Вей воды (Институт математики в т. Праге, Чехия), профессора В. Стаиека (Институт теоретических основ химической технологии 1. Прага. Чехия), профессора X. Рея (Хнмико-техполо! пческш'! факультет в т. Маднсоне, США), профессора Р. Арн-

са (Химико-технологический факультет п г. Миннеаполисе, США), математического факультета университета им. Мартина Лютера (г. Галле, Германия).

Основные результаты диссертации докладывались на следующих Всесоюзных, Международных конференциях, симпозиумах, конгрессах: '"Математические методы в химии" ( ММХ-2(1975), Новосибирск; ММХ-4(1982), Ереван; ММХ-5(1985), Грозный; ММХ-7(19Э1), Казань; ММХ-8(1993), Тула), по химическим реакторам ("Хнмреактор-о", Уфа-1974; "Хнмреактор-7"', Баку-1980; "Химреактор-10", Тольятти-1989; "Химреактор-11", Алушта-1992; "Хнмреактор-13", Новоснбнрск-1996), "Численные методы в обыкновенных дифференциальных уравнениях" ( "NUMDIFF- 4", г. Галле(1988), Германия; "NUMDIFF- 5", г. Галле(1990), Германия; "NUMDIFF- 6", г. Галле(1992), Германия; "NUMDIFF- 7", г. Галле(1994), Германия ), на Всесоюзной конференции по кинетике каталитических реакций ("Кинетика-2'', Новоснбнрск-1975 ), на школе-семинаре по нестационарному кататнзу ("Нестационарный катализ-Г', Черноголовка, 1977), на Советско-Американском симпозиуме по катализу (Киев-1976), на Советско-Французском семинарах по математическому моделированию каталитических процессов (Новосибирск-1975; Одесса-1978), на Международной конференции по математическим методам в химической технологии ( МАТСНЕМ-86, Балатон, Венгрия ), на 8-ом Международном конгрессе по применению компьютеров в химической технологии (CEF-87, Сицилия, Италия ), на Международной конференции по нестационарным процессам в катализе ( Новосибирск, 1990), на Международном конгрессе по химической технологии, оборудованию и автоматизации ("CHISA-87", "CHISA-90", "CHISA-93", г. Прага, Чехословакия )

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [33]-[53]. Из совместных работ с М. П. Вишневским в диссертацию включены результаты, непосредственно принадлежащие автору. Результаты М. П. Вишневского о корректности параболической задачи по непрерывным начальным данным и результаты B.C. Белоносова о разрешимости линейных задач приведены для полноты изложения и удобства ссылок в обзорной части первой главы. В работах с другими соавторами, носящими прикладной характер, все математические результаты, включенные в диссертацию, принадлежат автору.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, списка литературы, содержит 180 страниц, включая одну таблицу и два рисунка. Список литературы состоит из 178 наименования.

Внимание автора к вопросам, которые рассматриваются в диссертации, было привлечено Т.И. Зеленяком. Автор благодарен ему за внимание и интерес к работе, а также всем участникам семинара "Качественная теория дифференциальных уравнений" ИМ СО РАН и отделу математического моделирования Ilk СО РАН за обсуждение

б

результатов и интересные дискуссии.

Содержание диссертации

Введение (первая глава) посвящено обзору литературы, касающейся задачи математического моделирования химических процессов при помощи дифференциальных уравнений: построения математической модели , качественного анализа решений получающихся задач. В обзор включены работы, близкие к теме диссертации по постановке задач, по методу решения, по полученным результатам. Поэтому автор, не претендуя на полноту обзора, ставит во введении цель лишь на освещение места своих результатов в ряду результатов других.

Вторая глава посвящена качественному, анализу параболических задач В §§1 — 3 приводятся предварительные результаты по разрешимости краевых задач для параболических систем дивергентного вида. Для этого вводятся пространства Гельдера с весом Н1*а(С}т) [6, 24, 25], в которых рассматриваются классические решения задачи, приводятся формулировки и схемы доказательств теорем о существовании в "малом" и непрерывной зависимости решений от начальных данных, удовлетворяющих естественным условиям согласования и ограниченных в норме пространства непрерывных функций (результаты М.П. Вишневского из совместной работы [38] ).

В §4 аксиоматически вводится система типа реакция-диффузия следующего вида:

в области (}т = х (О,Т), Т < +оо, где П С Д™ - ограниченная область с границей дП из класса С3, ГУ = сШ х (0,Т). Вектор-функция м(-М) = («!(£,£),... вектор концентраций в мо-

мент времени £ > 0 и в точке а; € П.

Функции а/(и), /к(и) достаточно гладкие и определены в конусе неотрицательных векторов Я+ . Сформулируем ограничения на эти функции.

А1. (Регулярность.) Функции а-'(ы) : -> Л гладкие функции в конусе .

(1)

(2) (3)

ик(х, 0) = Иц(х), к = 1, ...,п,

А2. (Неотрицательность решений.) Поток

п п

/*(«)=£ a,fc(u)Vu'= aiHVu' + eituJVu*

/=1 1=1,1фк

для и1 > 0 и произвольных Vit' обращается в нуль при «*' = 0 и Vuk = 0 для всех Л = 1,..., п.

A3. (Закон сохранения.) Существуют такие гладкая функция а(и) > ®о > 0 и постоянный вектор М, М € Л", М = [пц,.... ш„) такие, что (А*(и)—а(и)Е)М = 0, где А*(и) - транспонированная к Л(м), а Е - единичная матрицы.

A4. ( Параболичность системы.)

Матрица А(и) = («*("))*/=] п положительно определена, то есть существует константа c(r) > cq > 0 такая, что для всех и Е Т0"+ П 5(0, г), где 5(0, г) - шар радиуса г в R", выполнено неравенство > с(г)|^|2 > с0|С|2 для всех £ G Я". Здесь и далее [•,•] означает скалярное произведение в R".

Из условия A4 параболичности задачи и условия A3 следует, что функции ак(и) должны удовлетворять соотношениям а*(ы) > со > О, ак(и) = 0, I = 1,... ,п, при ик = О, и1 > 0 для всех I фк.

Относительно правых частей /*(м) в (1) потребуем выполнения следующих условий:

Fl. (Регулярность.)

Функции fk R гладкие в .

F2. ( Неотрицательность решений.) Значения функций fk(u) и1 >0, 1фк, 1 = 1,...,п.

> 0 для любого к = 1,____п при

в*=0

РЗ. ( Закон сохранения.)

Для вектора М £ 7?" из условия АЗ и вектора /(») справедливо

п

равенство [Л/,/(«)] = 0 , г. е. ^ т^/*(и) = 0.

к=1

Определение 1 Вектор М называется положительным (М > 0) или неотргщателъным (М > 0), если М 6 В\ или соответственно

меТ+.

Рассмотрим решения задачи (1)- (3) из класса Яц+"(С^т) ■ Для задачи (1)—(3) доказывается свойство инвариантности конуса неотрицательных векторов Л+ , а именно, при выполнении условий А1-А4, Р1-ГЗ решение положительно (неотрицательно) и равномерно по времени ограничено в норме С(П), если начальные данные 3 и°(х) € С(12) положительны (неотрицательны).

Эга априорная оценка решения н теоремы из § 1 позволяют доказать корректную разрешимость задачи (1)-(3) в целом в пространстве классических решений (решений из #р+°(фг), 0 < Т < +оо ). Доказана следующая

Теорема 1 Пусть выполнены условия А1-А4, П-ЕЗ. Если начальные данные «о (.г) принадлежат. С (И), где И С Л'" - ограниченная область с гладкой границей дО. из класса С'3, то задача (1)-(3) однозначно разрешима в классе Н'д+а ((¿т) для любого Т > .0.

Чтобы исследовать качественные свойства решения задачи (1)-(3), необходимо задать правые части из ( 1) в более конкретном виде. Для этого в § 5 вводятся химические потенциалы, при помощи которых задаются потоки и скорости химических реакций.

Пусть в закрытой химической системе (отсутствует обмен по веществам с внешней средой ) с п компонентами Д- происходят реакции " ^ п

и- 8 = 1, .. . ,ТП (4)

¿=1 5 1=1

Здесь а4,. неотрицательные целые числа, к* + к~ > 0 и к*— неотрицательные константы скоростей прямой и обратной реакции соответственно. Матрица Г (эту матрицу называют стехиометрической матрицей [19, 29, 30]) задается в виде

Г =_("}„•) = (А;-а«), « = 1,...,т;г = 1,...,п. (5)

Матрица Г удовлетворяет следующему естественному условию: существует вектор-столбец М = (пн,... ,тп)т (вектор-столбец молекулярных весов веществ .4,- ) с положительными компонентами, удовлетворяющий системе алгебраических уравнений

Г М = 0. (6)

Каждому веществу Л,- сопоставим его концентрацию г/,-(.г-, в точке .г в момент времени t. Вектор концентраций, составленный из компонент обозначим как г/(.г,^) = (¡/¡(.г^),____¡/„(.г.^)7 , или и,

опуская для краткости зависимость от .г и времени 1,.

В термодинамике наряду с концентрациями к, веществ -4,- рассматриваются их химические потенциалы /',((/) [20]. Для построения моделей нам необходимо определить свойства чт их потенциалов.

ЛИ. //,((/) : —> Я— достаточно гладкие функции;

М2. Ншц.^+о /',(») = —с»— равномерно в каждой ограниченной области из

МЗ. Матрица

симметрическая п положительно определенная в Л" . При чтом функция Н(п). определяемая системой

должна быть непрерывной в

Отметим, что функции /(,(«) = 1п и, удовлетворяют аксиомам М1-МЗ и определяют химические потенциалы для идеал!,пых газов [19. 29. 30, 32, 35] , а функция

является аналогом свободной энергии (функцией Гнббса) закрытой химической системы и использовалась в качестве функции Ляпунова [26, 19, 27, 29, 30, 32, 35].

Скорости химических реакций (4) согласно закону Марселена-Де Донде [32] для в— той стадии запишутся в виде :

Аксиомы для химических потенциалов.

Я(г,) = £>(Ь <<;-!)

1=1

Ws{ll) = W+(ll) - ws (//)

(8)

П

О)

i=i

1=1

Oi мегнм, »no h частном случае при /',(") = In ¡/,- для скоростей стадий в (9) получается чакон действующих масс (ЗДМ) [19], а в неичогерми-ческом случае и чакон Аррониуса [20] 'зависимости константы реакций o í температуры. Для описания процессов диффузии тепла и веществ в термодинамике принято считать, что вблизи равновесия потоки тепла и веществ линейно зависят от сил, вызывающих эти потоки [20]. При этом процессы распространения веществ и тепла описываются законами Фика и Фурье

Ji(u) = D,V«„ J(T) = Dr*T.

Наш подход описания этих физических процессов через потенциалы (а точнее, через градиенты соответствующих потенциалов) позволяет включить законы Фика и Фурье как частные случаи при соответствующей интерпретации коэффициентов. Поэтому определим теперь и виде системы аксиом процессов диффузии свойства матрицы коэффициентов диффузии [20, 35]. Через эту матрицу и градиенты потенциалов определяются диффузионные потоки.

Аксиомы для диффузионных потоков.

Пусть квадратная матрица L(u) = (L¡j(u)). i.j = 1.....п обладает

свойствами:

L 1. Ljj(u) : П+ —> Л— достаточно гладкие вещественные функции; L 2. [(L + LT)(,.Ç] > 0 для всех £ € ф 0.

где L7 — транспонированная матрица L. а [...]— скалярное произведение векторов в В".

Определим по аналошп [20] с линейными вблизи равновесия законами термодинамики потоки веществ как

п

./, = ./,■(«. V«) = £ Lu(u)*fij{,,) ' (.11)

Допустим теперь, чю в замкнутой ограниченной области вслед-епше диффузии химически взаимодействующих веществ происходят реакции (4). Тогда законы сохранения массы веществ в дифференциально!) форме записываются в виде [20]

0 i ( t) " m

= ,i¡c IÍJÍ'OV/ijí«))+%,■«•,(«), * = i....."• (i2)

1 A=1

Здесь

.г = (.r|.r,.r,) 6 í¡ С П'\ t > О, V = (А

V (J-V i О.Г2 и.Г-\ >

Í2— ограниченная связная область в 7?'! с достаточно гладкой границей ОН и замыканием íl. а 1' = //(.с)—вектор внешней нормали к 0Q в точке .г.

Будем считать систему закрытой. Это означает, что отсутствует обмен всех веществ с внешней средой. Это обстоятельство описывают следующими граничными условиями:

д"'^-" =о. .védil, t>o, i = i.....». (13)

Üu

Задаются концентрации всех веществ в начальный момент времени в виде:

„,(.)•./) = !/?(.,•) > о, ; = i.....п. (14)

Для удобства задачу (12) (14) перепишем в векторной форме

= +ГМ«) (13)

¿M-r.Q Ov

u(r.t)

Здесь и датее

н = н(г,0 = (hi(j-.í).....í/„(.r. О)' :/' = /<(") = (/М(и).....fijn))r:

«' = «'('О = (ifi(ii).....>r„,(tt))':

В fjC проводится анализ свойств обыкновенных дифференциальных уравнений , описывающих кинетику химических реакций без учета диффузионных членов.

Рассматривается следующая система ОДУ. полученная из (12) без диффузионных членов:

= ,,,(<•). ; = 1.....„. (18)

S=1

с начальными условиями:

i>,(0) = vf > 0. / = 1.....п. (19)

.V е оп. t > о.

(/"(.Г) > 0.

(1G) (17)

Будем интересоваться лишь неотрицательными решениями, ибо только они имеют физический смысл. Исследуем вопрос о существовании стационарных решений системы (18), которые являются решениями следующей системы алгебраических уравнений:

т

= 0, г = 1,...,м, (20)

«=1

или в векторной форме

ГТи>(и) =0

Доказана следующая теорема об условиях существования стационарных решений.

Теорема 2 Пусть функции ех/'(/'¿(с))' ' — 1,•••, " непрерывно дифференцируемы при г £ Я" и существует постоянный вектор М > 0, удовлетворяющий (6). Тогда система (18) имеет по крайней мере одну стационарную точку в В".

Приведены примеры, показывающие возможность существования различного числа стационарных точек для системы (18) (а значит, и для задачи (12)-(14). Определим теперь стационарные решения специального вида — положительные точки детального равновесия (птдр) для схемы реакций (4).

Определение 2 Точка а Е В" называется положительной точкой детального равновесия (птдр) для системы (12) , если она удовлетворяет условиям:

1. а £ , то есть всс 0 < «;, I = 1,..., п.

2. «'+(«) = и\{а), -ч = 1,____т.

Дадим еще определение симплекса реакции. Пусть строками матрицы А являются все линейно независимые вектора, удовлетворяющие системе (6).

Определение 3 Множество

называется симплексом реакции, определяемым точкой г>° > 0.

При различных предположениях исследованию структуры множества пгдр посвящены работы [26,19, 27, 30]. В частности, там доказано при /11(11) = 1111/1 и предположении о существовании хотя бы одной птдр существование и единственность птрд в каждом симплексе реакции 5. Имеет место следующая теорема о существовании и единственности шдр для /(,(")' удовлетворяющих М1-МЗ.

Теорема 3 Пусть существует птдр а для системы (18) и с(0) = с" > 0. Тогда в каждом симплексе 5 реакции, определяемом начальными данными ¡'° существует, единственная положительная точка детального равновесия.

Замечание 1 Отметим, что наряду с положительными точками детального равновесия можно рассматривать и точки детального равновесия (тдр). Для этого в условии 1 определения 2 птдр надо считать, что а Е /?". В диссертации построены примеры, которые показывают., что утверждение теоремы 3, вообще говоря, неверно для тдр.

В следующем параграфе доказана теорема о разрешимости в малом и непрерывной зависимости решений от начальных данных из С2+"(12). удовлечворяющпх условиям согласования (обозначим такие начальные данные как С'7+п({1)). Эта теорема используется в §9 при доказательстве теоремы о стабилизации ограниченных решений.

Поведению решений параболических задач при большом времени посвящено очень много работ. Подробную библиографию можно найти, например, в [3. 0]. В частности, Т. И. Зеленяком методом построения функционалов Ляпунова доказана теорема о стабилизации ограниченных в достаточно сильной норме решений параболической задачи для уравнения с одной пространственной переменной [3]. Для систем параболических уравнений ситуация сложнее. Даже существо-ванне функционала Ляпунова не гарантирует вообще говоря стабилизацию ограниченных решений [9, 18]. Более того, даже для одного параболического уравнения, но со многими пространственными переменными, ограниченные решения могут не стабилизироваться к стационарным, хотя и существует функционал Ляпунова [23]. Более подробно о применениях функцнонатов Ляпунова для стабилизации решений не только параболических задач можно прочитать в работе [22].

Однако идея использования функционалов Ляпунова для доказательства стабилизации решений оказывается плодотворной и для систем параболических уравнений, если удается построить выпуклые функционалы или доказать существование конечного числа стационарных решений в некоторых инвариантных множествах для этих систем.

В частности, для наших химических систем существование выпуклою функционала и свойства сфуктуры исследованного в §7 множества положительных точек детального равновесия позволяют доказать следующую теорему.

Теорема 4 Пусть а— птдр и »(.е.?)— строго положительное равномерно ограниченное в С'*+"($2) решение задачи (12)-(Ц)- пю есть

1) 0 < г <«,(•' ■ 0- ' = 1.....

(21)

2) ||«(-М)112+п < Л', (22)

где £ и К постоянные. Тогда существует такое стационарное решение V задачи (12)-(Ц) и число 0 < /3 < а, что

<'||2+,( = 0-

Замечание 2 Требование существования птдр а в теореме можно ослабить. Однако нельзя полностью отказаться от требований, гарантирующих существование функционалов Ляпунова, так как известные уравнения Лотка-Волътерра и их модификацгш входят в класс уравнений (12) и обладают периодическгши по времени решениями. В диссертации приводятся такие примеры.

В предыдущем параграфе исследовался вопрос о поведении строго положительных ограниченных в С2+а(17) решений при ^ —» оо . В § 10 рассматривается вопрос о существовании таких решений . Пусть V— некоторая положительная точка детального равновесия . Ясно, что точка и является стационарным решением задачи (12)—(14). Обозначив = и(х, Ь) — V перепишем задачу (12)—(14) в виде

^ = Az + f(z,Vz,Az) (23)

= 0, хедП,1>0 (24)

аи ~

z(X,Q) = z\x) (25)

Здесь

М = ЦсЩг)АН + (26)

Л=■ Дг) - [(ИгЩг + с)Я7//(г + z)) + Гт«-(г + г)-

(27)

»• , г / ч -.! ,г- ч т^гВш(и) 1

(ГггЩ»)-

Отметим , что коэффициенты оператора А постоянны, так как стационарное решение птдр V постоянно.

Определение 4 (см. [б]). Нулевое решение задачи (23)-(25) называется устойчгюым по Ляпунову в классе С''2+"(И), если для любого

г > 0 существует 5 > 0 такое, что как только ||~('||2+<> < ^ " выполнены условия согласования, то задача имеет единственное решение -(.е./). принадлежащее пространству у) при Т > О. причем

1М-''-0||"+„ < (28)

Если кроме того . ||-(•''./) ~~* " Т1]'и t ос, то нулевое решети: задачи (2:)) (25) называется асимптотически устойчивым в С/+"(И). Если совместно с (28) выполнено более сильное неравенство

Т

то нулевое решение задачи (23)-(25) называется устойчивым в классе функции С, ( ((¿] ) .

На основе 11])111[цииа линеаризации из [б] доказывается следующая

Теорема 5 Пусть кегТ = {()} и :"(.г) £ С'2+"(и). Тогда существуют положительные константы а,К(а) и ¿(и) такие, что как только ||с"< 3, то задача (23)~(25) однозначно разрешима в

классе С'2г+"'Х+п^2{(3Т) при всех Т > 0 и решение удовлетворяет неравенству'

||ф^)||?+„ < А>-"'||:0(х)||?+п, 0 < / < оо (29)

Рассмотрим теперь случай , когда кегТ содержит ненулевые вектора, нан1)и.ме]>, и случае выполнения (б). Это соответствует тому, что линеаризованная спектральная задача содержит в качестве собственного значения А = 0. Поэтому нельзя сразу воспользоваться результатами из [6] об устойчивости по первому приближению и необходимы дополнительные построения.

Напомним, что строками матрицы А являются линейно независимые решения систем!,I

ГД/ = 0. (30)

Для фиксированной положительной точки детального равновесия введем следующее подпространство С'2+1Х(И).

Определение 5 Пусть ;°(.г) = м°(.г) - г. где, 1/и(.г) € С'2+"{И),

С'2+п(П) = {:"(.,') £ С2+"(<Т) : А^;"(./■) <1.г = ()}.

Теперь рассмотрим вопрос о разрешимости в целом но ( для линейной задачи (23) (25) по начальным данным не из всего пространства

С2+'"(»), а лишь из С'2+"(Щ.

1(1

Теорема 6 Пусть функции z°{x) £ C2+tt(ü), f(x.t) 6 C",af2(Q). где Q = Í1 x (0, og) , и

A [f(x,t)dx = 0 (31)

J Q

Тогда неоднородная линейная задача (23)-(25) с T(z, V:, Д.:) = 0 п правой частью f(x,t) однозначно разрешима в классе (Qy)

и решение z удовлетворяет неравенству:

+11/11?), (32)

где С—некоторая постоянная, зависящая лишь от оператора Л.

Рассмотрим теперь вопрос о разрешимости в целом для задачи (12) -(14) , или то же самое, что и для задачи (23) (25). Верна следующая теорема.

Теорема 7 Существуют положительные постоянные К и S такие, что если z\x) G С2+а(Щ, ||z°(a;)|$+a < S, то задача (23)-(25) однозначно разрешима в классе при всех Т > 0 и ре-

шение удовлетворяет неравенству

||ф-,*)||£0 < A-||2°(x)j|?+„ (33)

В силу теоремы о единственности решений для параболических систем решения задачи (12)—(14), построенные по однородным начальным данным ( то есть, не зависящим от пространственных переменных ) будут совпадать с решениями задачи (18)-(19). Поэтому из доказанных выше теорем об устойчивости и условной асимптотической устойчивости птдр как частный случай вытекают соответствующие теоремы из работ [19, 27, 30].

В качестве примера, показывающего достаточную общность предложенных моделей путем введения химических потенциалов, в §11 проводится качественный анализ модели, описывающей неизотермическую реакцию. Пусть в изолированной двухкомпонентной системе

протекает неизотермическая реакция вида

%

nAi + Е0 тЛ-г + Ев

Каждой компоненте Ли г = 1,2 сопоставим функцию fi¡(u) = 1пн,-, а третьей компоненте Л:\ = в (третьему "веществу"-теплоте) сопоставим функцию /(з(и) = /(¿(к) = Без ограничения общности можно считать A-j1" и равными 1. Положим

Líj{u, Т) = DjjSjjUj. LT(u,T) = D3RT\ 17

гдр символ Кронексра. О, и П— положиммьные посменные. Тогда задача (12) (14) примет вид:

дг

с краевыми условиями

ди\

ДгЛ(/2 + т{и1ГЕ,т' - п^'е-1"" ) (34)

^ = Л.Л«, - »Кг"'-'"" -01 1

ди-2

^ = ^ = 0. г € ОН. ¡=1.2. (33)

ОР С>1'

и начальными данными

и,-(г,0) = н?(.г) > 0. Г(.г,0) = Г"(.с) >0. /' = 1.2. (36)

Путем построения семейства функционалов Ляпунова для этой задачи получаются априорные оценки сверху и снизу для каждой компоненты решения = (¡/Ц.г, »¿(.г. 0. Т(х. . Используя полученные априорные оценки и метод продолжения по параметру, доказывается разрешимость в целом задачи (34) (36) и стабилизация решений к стационарному решению. Верна следующая

Теорема 8 Пусть дП € С2+а и м?(.г).Г°(.с) € С2+<>(»). Тогда решение задачи (34) (36) по начальным данным из существует, в целом по £ > 0 и стабилизируется в норме С'2+"(П) к стационарному решению, которое однозначно находится по начальным данным.

В работе [19] для моделей, выписанных согласно ЗДМ ( го есть при /<,(?/) = 1п и,). введено определение положительной точки комплексного баланса (нткб). При этом функция

Н(и) = ^^ г/,(1п— 1п«, — 1),

<=1

где я,— координаты пткб, оказалась функцией Ляпунова для соответствующей системы уравнений химической кинетики.

В § 12 , следуя работе [19], вводится определение пткб для моделей, выписанных согласно кинетике Марселена- Де Донде при любых /1)(и), удовлетворяющих аксиомам \I1-\I3. Построив функционал Ляпунова в предположении существования игкб, совершенно аналогично

с. iv'iaio с П1Д|» локачываеня ieope.ua о ciaon. ш iaiuiil нестационарных решении чадачи к стнпонаржшу решению. Далее также доказывался условная у< loi'riiiiioci ь ткб.

Пример, приведенный к копне второй главы, иокачывает. что шкб може| не бы ib. вообще юворя. \(лойчпнон тина "учла", а можем бып, усюйчивым фокусом. чю приводи! к чагухаюпш.м колебаниям. Boi-. шчие oí ni ко. н работе [39] покачано, чю шлр всегда является ycioii-чивым стационарным решением nina "учла" для ОДУ. оппсываюпшх химические реакипн согласно ЗДМ.

В третьей главе рассматриваема снсм-ма гиперболических урав-нениП. описывающая конвективный перенос и химические реакции между иеще< i вами. Такие модели вочпикаю I. напри мер, в про i uno i очных химических реакторах, когда скорости движения фач можно счп-iaiь постяиными.

При аиалпче поведения решений эволюционных чадач при / —> пшересным является вопрос о периодических колебаниях, стабилп-чаппп репкчшй к стационарным п об усмайчивосш этих ciaiinonap-пых решений. Исследованию укачанных качественных сноМстн реше-uiiii ввиду их прикладного значения посвяшепа ooiiinpiut>i лшература. Большую б но.''пин рафию можно naiiui. например, в работах [3]. [6]. [10]. [10]. [17]. Эффек i ниным при докачач елыл ве сущестнопання периодических по времени решений эволюционных уравнений является меюд бифуркации рождения цикла (БРЦ). предложенный Андроповым и Хопфом для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см.. например. [17]). Результаты paóoi ([10] [13]) позволяют 11])11М(ЧШ1Ь меюд БРЦ и для некоторых гиперболических чадач.

В '}/! третей i лавы обосновывается метод БРЦ для одною класса i ипербо.тпчеекпх чадач. то есть даются достаточные условия с-yiпестования периодических по времени решений.

В полосе П = (0.1) X ( —зс.+ос) рассмотрим задачу

н,(х.t) = !(//)« + F(x.//,</), (x.t) £П (37)

В и = hMO.t) +I{a(l.t) = 0. (38)

Здеч ь u(x.t) = (it\(x,t).....iini-i'.t))1 вектор шчгнкчшых функций,

F(.r.¡i.u) n -мерный векто]) гладких вещесл венных функций. Оператор L(ii)ii имеет вид

£(/')" = -А'«, + A0(r)u + (iAi(x)ii + ii¿A-¿(x. ц)и, (39)

|де А" днагона.ты1ая .\iai])ima с постоянными элементами А-,->(), i —

1.....р и (—/•;)• k¡ > 0, / = р + 1....,/). П])ичем р(ч—р)ф 0 и

k¡ ф hj ii])ii / ф j. i.j = 1.....п. Матрицы Лн(х). А\{х). A-j(x. р)

вещественные квадратные матрицы порядка п, элементы которых малкне функции из класса С'1 от x.fi при 0 < ./• < 1. |/í| < /(»-/'о > li-

Диагональные матрицы /о и /) имеют вид

, _ ( Е14' О'1-"-'' \ j _ ( О7''' О''-""'' ~ V О"-'1'1 О"-/'-»-'' ) • V О"-''''

Здесь Е'4'. О'"'-'' соответственно единичная и пу левая матрицы размерности ¡> X ¡). J) х (п — ¡>).

Основным предположенном о БРЦ является следующее: Спектральная задача

L(,,)v(.r.l<) = \(,,)v(.r.,ly. Bv{.r, fi) — О (40)

обладает при |//| < //о свойствами:

В1. Существуют ровно два комплексно-сопряженных собственных значения -.(//) и ~(//) и ровно две соответствующие им собственные функции с+(.г.//). с_(.г.//) такие, что

(h (и)

~)(0) — Т(0) — ~Re—у^— =Re7'(0) = -0^Ü._

cl,i

о

В2. Существует такое ¿о > 0, что все остальные собственные числа А(//) при |//| < //0, удовлетворяют неравенству ReA(//) < — Sq < 0.

В силу В1-В2 очевидно, что для задачи (40) существуют комплексно-сопряженные функции v+ = i'+(jr) = с+(.г,0) и с_ = v_(x) = r_(.r,0) такие, что

lo«±(j-) = £(0)r±(j-) = ±«;±(j-) (41)

и 2 л--периодические решения задачи (37)—(38)

д+ = g+(x,t) = ейг+(х); д- = </_(*, t) = с" V(.r) (42) при // = 0 и F(.r, /г, и) = 0. Введем операторы

Gu — и, — Lou = ut + Kiix — Ло(г)ч

G*z = -zt - Liz = -zt - Kzx - Al(.r)z, (43)

определенные на функциях из С'(П). Пусть функции v*+(x) и с^(.г) являются решениями следующей задачи

ЬУ±(х) = Kv*±x(x) + Al(x)v*±(x) = (44)

Btvt± = I1v*±(0) + I0v*±(l) = 0. (45)

В силу B1 B2 функции r±'\.r) 114 С1 [0.1] ОПреДСЛОНЫ II являются ком-плексно-сопряженнымп. а фуикшш = f/'+(-i'.t) = c''r*+(.r): <j*_ — .'/!(-r.t) = и являкж я 2тг периодическими решениями задачи

С\,/± = 0: = 0. (40)

Введем банахово подпространство С'^ нрос-гранел ва С1 (XI) 2к— периодических непрерывно дифференцируемых в П вектор-функний

C'.j- = {u(j-.t) £ С"(П) : u(.r,t + 2тг) = Ii(x.t)}

С HO])M()ii

ll"llf.L = 1шах !"/(•''• 01 + niax |i/,>(.<•. t)\ + шах |t/,,(.i-.f)|}.

где максимум берется по всем 0 < .г < 1. 0 < t < 2л\ 1 < / < п.

На множествах <Г''([0.1]) и С']-(П) 2тг периодических функций in С(П) внедем скалярные прои ¡ведения

["--]=/ У«;(.<Шг)'!■'■= (»(.-•).-(.»■)),/,•. (47)

./О /=1 ./о

J <-Ъг <Л "

<„.-.>=—/ /V iti(.r.f)Zi(.r.t) ti.i'flt = ./о ./о ;=|

i- /~'{„(.r.t).,(.r.t)],lt. (48)

C'lii lae.M. 'I io можно выбран, нормировку функций с±(.г) и с^(.г) так, 4 1 о пьшо. nii'iio с. |елук>шее условие:

ВО.

[,.,.,.;] = [,...,.•] = !; [,Ч.,*] = К.,,;]=;„ {49) <.'/>•.'/+ >=<//-• .'/* >= 1: < .7+ • //1 >=< • .'/+ >= <)• (50) Теорема 9 Ec.nti f(.r.t) ш C'.j^II) асщсстисннал чектор-фцнкцня

</.'/;>=()• (51)

то сущестчуст сдинатсншн: иещестаеннос решети: ш Cj, неоднородной .шдачи

Си = /. В и = 0, (32)

<«.//;>={). (33)

\

Причем u(.r,t) прсдставимо в виде

J о

~И [' с''',_г'/+(г) + [ /' e_,''~r'/_(r) (/г]г_(.г)+

-[ Г те^индт}^.,-) + ±-[ Г те-^/-(г)с1т]1^Н (34) г Jo 27Г J о

_1

2л"

Здесь /±(0 = [/(.г.О.^ИЬ Г(-г,0 =/(•г.')-/+(0«чИ-/-(0«'-(-г)< a V'(£) оператор сдвига по траекториям, ставящий начальной функции и°(х) € С[0,1] решение однородной краевой задачи (f(.v.t) = 0) (52) и(г,£) = V(£)i/°(j') в момент времени t = £.

Из оценок решений начально-краевой задачи в [10]—[12] и представления (54) следует, что для решения u{x,t) верна оценка

Ыа„ <л'11/11а (35)

с константой К, зависящей только от коэффициентов оператора G, ¿о и независящей от /.

Пусть линеаризация в окрестности стационарных решений us(x.p) приводит нелинейную задачу к виду (37)—(38), где F(x.fi.ii) является квадратично малой в окрестности нуля, то есть

F(x,,/, 0) ее 0, F'(x,,i.0) = DF{td^ |в=0= о, (56)

\\F{x^,y)-F{x,p^)\\cL < йоИН«1-«2!^,, (57)

где |//о(/')| —» 0 при г —> 0 и Ци'Цс' < '' < ?'о равномерно по 0 < дт < 1, |/<| < /#о . Здесь ;-о, //о -достаточно малые положительные числа.

Теорема 10 Пусть правые части о (37)—(38) функции класса С3 от своих аргументов в области 0 < х < 1,|//| < /'о- ||"'||с} — г0' для которых выполнены, (56)—(57) и В0-В2. Тогда существуют fo > 0 21 функции //(f),и>(() из класса С'1 —ео,ео] такие, что //(0) = 0, w(0) = 0, при которых для любого \е < бо задача (37)—(38) имеет 27г/(1 — ш(е))~ периодическое по t решение u(xj, //(e),u;(f)) из С'(П).

Эта теорема лает достаточные условия для сущсс i вовапия периодических решений. Интересным является вопрос, когда же периодические решения отсутствуют. В связи с чтим в §3 исследуекя вопрос о стабилизации достаточно гладких ограниченных решений начально-краевых гиперболических задач, как что сделано в параболическом случае во второй главе.

В полуполосе П+ =? (0.1) х (t > 0) рассматривается начально-краевая задача

ut(j-,t) = -Л'н, + F(.r. и) (.г. t) е П+ (38)

В(и - н&) = IMO.t) - иь) + h(u(l.t) - м6) = О. (39)

-(/(.с.О) = «V). (СО)

где иь — («и.....1>пь)Т постоянный век юр граничных значений решения u(j\t) = (ii\{.r.t),____(/„(.г./))7. матрицы Л\ Д./о./j удовлетворяют ограничениям из (38) и (39). Здесь и далее [и. с] = Jl'L] "/'V ска. 1ярное произведение в В" .

Теорема 11 Пусть функции Н(ч) и F(.i\u) трижды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам и обладают свойствами:

HI. Н{и) — "строго выпуклая функция;

Н2. ф) = [s7„H(ii),F(.>\ii)] < 0 при 0 < .г < l.Vu G П" и ¿.(и) = 0 F(.r.u) = 0.

НЯ. S7„H(ub) = 0. то есть 1Ц точка минимума Н(и).

Если решение задачи (58) (60) равномерно no t ограничено в норме ||»(х,i)||c-[o.1] ^ А , то оно стабилизируется, то есть

lim ||»(.i-,0 - «б||с[и.1] = " (G1)

/—1 1

Используя принцип линеаризации из ([10] [12]) дли анализа устойчивости стационарных решений гиперболических задач и существование строго выпуклой функции Н(и) доказывается следующая

Теорема 12 Пусть выполнены условия HI — Н3 теоремы 11. Тогда стационарное решение и/, задачи (58) — (60) устойчиво по Ляпунову в норме С°[0,1] при выполнении условий согласования нулевого порядка и в норме С1 [0.1] при выполнении условий согласования нулевого и первого порядков.

Далее рассматривается пример из приложений, в которых условия теорем 11 12 выполнены.

В четвертой главе изучается гиперболическая задача, описывающая протнвогочпый реактор химического восстановления железа из

-

okiuyioh [42]. В § 1 четвертой главы дается физико-химическая постановка. которая приводит к следующей математической модели в безразмерном виде:

Ou 1 ¿>1/1 .

Ои-2 Ои-2

-Qj-- - -QJ = -ЫЧ2, '•) + п("1, V)

£?»„_ 1 Otln-l . ,

—^---= + /'„-2 (»,.-2, Ч

д"„ dit,,

-7Г.---= +r„-l(U„-i,v)

Ut О.Г

(62)

,ûr „dv < , ч

п — 1

(]? Ох

1=1

с граничными условиями:

1'(0.0 = 1-0, и,(11 = 1,..., /I. (63)

и начальными данными:

с(.<\0) = 1-°(.г) > 0, . и,-(аг,0) = и°{х) > 0, г = 1.....п. (64)

Здесь / > 0 безразмерное время 0 < .г < 1 -безразмерная координата длины реактора г(.г,¿) -концентрации вещества .4; и В со-

ответственно. Параметры задачи .4,5, Д,-, щ, иц и начальные данные | °(.г). ( г) удовлетворяют естественным (по физико-химическому смыслу) ограничениям

п

0 < .4. Б, А,-: 0 < со, «,х; 0 < г0 < 1; £ = Ь

7 = 1

(65)

О < с°(.г) <1; 0 < иЧ(х) <1; =

¡=1

Функции с,■(»,•, г), определяющие скорости превращения веществ Л/, удовлетворяют следующим требованиям

III. г;(н/, г) = /(";)£и('' ~ и») 1 гДе достаточно гладкие функции /;(£). /А'(О определены и строго монотонны при положительных значениях аргумента £ , и /¡(0) = 0, </¡(0) =0, х = 1,..., п - 1.

112. Существуют ноложшельные числа 0 < п < г2 < ... < <:„-1 такие, что </,(<' — с,) = О Н])И г < г,- и (/¡(г — г,-) > 0 при с > г,-. г=1.....»-1.

Смысл ограничений 111.112 следующий: скорости химических реакций положительны .тишь при и, > 0 и г > с, . если же (/,• < 0 пли г < г,- то химическая реакция Не идет, то есть (/',•((/,. с) = 0) .

В § 2 четвертой главы исследуются качесг венные свойства решений задачи(62)-(64). При выполнении ограничений (Со) доказаны следующие свойства решений:

а) компонента решения 1'(.гЛ) удовле]иоряет двустороннему неравенству 0 < г(гЛ) < 1 при всех {> О, 0 < .г < 1:

б) компоненты решения н,-(.г.^) удовлетворяют неравенствам 0 < »;(■'• 0 < 1 " Е"=1 ''¿(•''■О = 1 "Р" '«"га />0.() <_г < 1.

Используя чти априорные оценки решений в С'(С}Т) и метод из [14], можно доказать теорему существования классических решении задачи (62)-(04) для достаточно гладких начальных данных, удовлетворяющих условиям согласования нулевого и первого порядков.

В § 3 проводится анализ стационарных решений. Стационарные решения задачи (62)-(64) являются решениями следующей двухточечной краевой задаче:

~~ = г,-(н,-, с) - г,_!(//,_,, г). / = 1.....п - 1,

(1.Г

(66)

I п-1 5— = Д,г,(н,-. г), ;=1

Н,(1) = 1,ц. <'(()) = Гц, (67)

где для симметрии положено со(но.с) = 0, а последнее уравнение на м„ исключено в силу условия н;(х./) = 1.

Теорема 13 Пусть параметры Б, Д; положительны, и

п-1

"а > 0, ^ иц > 0. ;=1

Тогда существует единственное решение задачи (66)—(67.)

В Ц 4 п случае п — 2 проводится анализ устойчивости стационарного решения путем построения локальных функционалов Ляпунова в виде квадратичных форм. Вопрос об устойчивости стационарного решения для произвольных значений параметров, удовлетворяющих

2Г)

физическим ограничениям (Go) решается положительно, если имеется информация о вещественности самого правого собственного числа спектральной -задачи.

Линеаризованную на стационарном решении спектральную задачу для (62)-(64) можно представить в виде

Xzi-'^- —[riu^i + ri,,r0], А-2 - = -[''2u(~2 - -l) +''2г-о].

...................................................... (С8)

--Jy^ == —[>'п-1и(~п-1 — - п—2) + ''n-li-o]

d~

Асо +S-jj = -{Ai[ri„-i + ri,.;0] + ~ ~/-i) +

/=2

с краевыми условиями:

~;(1) = -o(0) = 0, i=l,...,n-l, (69)

Здесь для простоты положено .4=1 , а через г,„ и г,-,, обозначены частные производные от /•,■(»,-,(') попеременным м,- и г, вычисленные на стационарном решении.

Теорема 14 Пусть самое правое собственное число задачи (68)-(69) вещественно. Тогда стационарное решение задачи (62)—(64) устойчиво в пространствах С[0,1], С^О, 1].

При доказательстве этой теоремы одновременно показывается, что смена устойчивости нулевого решения линеаризованной задачи при изменении параметров может произойти лишь путем бифуркации Андронова—Хопфа.

В §5 приводится сходящийся алгоритм численного нахождения стационарного решения (единственного, как доказано выше) задачи (66),(67). Численная реализация изложенного алгоритма проведена на модели, описывающей стационарный процесс химического восстановления железа из оксидов. Выражения для скоростей химических реакций были предложены автору В. Станеком и П. Муровцем в следующем виде:

ri(vi, v) = fi(ui)gt(v - 14) = А';(/,</,((> - г1,-), i = 1,2,3,

a-K) = { e при < >

О при £ < 0.

При больших значениях 5 (относительно других параметров) результаты расчетов авторов этой модели и наши расчеты совпали. Для численных расчетов при 5 из области относительно малых значений оказался более эффективным предложенный автором алгоритм. Возможность расчетов в более широкой области параметров позволила искать технологически оптимальный режим для процесса восстановления железа из его оксидов [42].

Основные результаты диссертации

1. Предложены математические модели в виде нелинейных уравнений параболического и гиперболического типов, описывающие химические реакции и процессы диффузионного и конвективного массопереноса. Ограничения на правые части уравнений, сформулированные в виде системы аксиом, обеспечивают выполнение определенных свойств решений. Приведенные модели включают, как частный случай, известные физические и химические законы описания диффузионных процессов, кинётики химических реакций, в том числе и неизотермические процессы.

2. Доказаны теоремы о корректности параболической задачи в "малом'" и в "целом" но времени по гладким и непрерывным начальным данным. Приведены примеры, показывающие существенность условий (аксиом) и вида уравнений для корректности задачи и для выполнения доказанных свойств решений.

3. Доказаны теоремы о стабилизации ограниченных решений параболической и гиперболической задач. Приведенные в рамках предложенных моделей примеры показывают существенность условий теорем о стабилизации.

4. Исследовано число и устойчивость стационарных решений. Доказаны теоремы об условной и безусловной асимптотической устойчивости стационарных решений специального вида, так называемых положительных точек детального равновесия (птдр) и положительных точек комплексного баланса(пткб) . Совместно с результатами о стабилизации решений результаты об устойчивости равновесий дают математическое обоснование метода локальных потенциалов И. При-гожина.

5. Для гиперболической задачи впервые дано математическое обоснование метода бифуркации периодических решений из стационарных (аналог теоремы Андронова-Хопфа). Методом функционалов Ляпунова доказаны теоремы о стабилизации и устойчивости решений гиперболической задачи, моделирующей противоточные химические реактора.

6.Для математической модели противоточного химического реактора для восстановления железа из окислов аналитически доказана единственность стационарных решений при любых значениях параметров задачи, а также разрешимость нестационарной задачи в "целом". Построены локальные функционалы Ляпунова и получены условия

устойчивости стационарного решения. Предложен и численно реализован сходящийся алгоритм расчетов стационарных решений, эффективно работающий и при натичии больших градиентов. Это позволило провести расчеты и параметрическую оптимизацию реактора в более широкой области параметров по сравнению с другими методами.

Литература

[1] Боресков Г.К., Слинько М.Г. Основы расчета контактных аппаратов для обратимых экзотермических реакций. Жури, прикл. химии, -1943, Т.16, 9-10, -С.377-396.

[2] Слинько М.Г. Моделирование химических реакторов. - Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1996,-96 С.

[3] Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable catalysts.-Oxford: Clarendon Press, 1975, V.l, -411 p.,

V.2, -217 p.

[4} Gavalas G. R. Nonlinear differential equations of chemically reacting systems. -Berlin, New-York: Springer-Verlag, Heidelberg, 1968, 107 P-

[5] Зеленяк Т. И. Качественная теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа.-Новосибирск: Изд-во НГУ, 1972,-147 С.

[6] Белоносов B.C., Зеленяк Т.Н. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений.-Новосибирск: Изд-во НГУ, 1975,-155 С.

[7] Зеленяк Т. И., Слинько М.Г. Динамика каталитических систем, 1. Кинетика и Катализ., -1977, Т.18, 5, -С.1235-1248.

[8] Зеленяк Т. И., Слинько М.Г. Динамика каталитических систем, 2. Кинетика и Катализ., -1977, Т.18, 6, -С.1548-1560.

[9] Фокин М.В . Существование функционалов Ляпунова и стабилизация решений динамических и параболических систем при t —► оо. В сб.: Математические проблемы химии.-Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1975, ч.1, С.120-123.

[10] Елтышева H.A. К вопросу об устойчивости решений некоторых гиперболических систем. Докл. АН СССР,-1986, Т.289,1, С.30-32.

[11] Елтышева H.A. Об устойчивости стационарных решений некоторых гиперболических' систем.-Новосибирск, 1986,-28С.,-(Препринт/ СО АН СССР, Ин-т математики, 6).

[12] Елтышева Н.А. О качественных свойствах решений некоторых гиперболических систем на плоскости, Математический сборник, 135 (1988), 2, С. 186-209.

[13] Лаврентьев М.М.(мл.), Люлько Н.А. Повышение гладкости решений некоторых гиперболических задач. Сиб. Мат. Журнал. 1997, Т.1,1, С.109-124.

[14] Аболиня В.Э., Мышкис А.Д. Сметанная задача для почти линейной гиперболической системы на плоскости. Мат.Сб., I960,

vT.50(92). 4, С.423-442.

[15] Veivoda Otto et al. Partial differntial equations: time periodic solutions. -The Netherlands. SIJTHOFF k. NOORDHOFF Alphen aan den Rjin, 1981, 358 p.

[16] Sattinger D.H. Topics in stability and bifurcation theory.-Springer Lecture Notes in Mathematics.-1973, v. 309.

[17] Марсден Д., Мак-Кракен M. Бифуркация рождения цикла и ее приложения.-М,: Мир, 1980, 368 С.

[18] Fokin М. V. On limit sets of trajectories of dynamical systems of gradient type. Math.USSR Sbornik-1983, v.44, 4, p.447-457.

[19] Horn F., Jackson R. General mass action kinetics. Arch.Rational Mech.Anal-1972, V.47, p. 8Ы16.

[20] Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. -М.: Мир.-1964,-456 С.

[21] Берд Р., Стюарт В., Лайгпфут. Е. Явления переноса.-М.: Мир.,-1974, 687С.

[22] Вишневский М.П., Зеленяк Т.Н., Лаврентьев М.М.(мл.) Поведение решений нелинейных параболических уравнений при большом времени. Сибирский Математический Журнал., -1995, Т. 36, 3, -С.510-530.

[23] Polacik P., Rybakovsky К. Nonconvergent bounded traectories in seinilinear heat equations.1994, 21p. (Preprint/ Universita degli Studi di Trieste).

[24] Велоносов B.C. Оценки параболических систем в гёльдеровских классах с весом . Докл. АН СССР.-1978. Т. 241, 2, С. 265-268.

[25] Велоносов B.C. Оценки решений нелинейных параболических систем в гёльдеровских классах с весом и некоторые их приложения . Мат. сб.-1979. Т. 110, 2, С. 163-188.

[26] h лы)чвчч Я.Б. Доказательство единственности решения уравнении ¡акона дейс1вмошпх масс . /КФХ.. 1938. Т.П. 3. C.G85-687.

[27] Вчсилыв П.М.. Во i мирт А.И.. ХуОясв С. И. О методе квазнста-инопарпых коннеиграций для уравнений химической кинетики. ЖВМ и .Л1Ф.. 1973. Т. 13. 3. -C.G83 G97.

[28] Акрамов Т.А.. Быков В.П.. Яблонский Г.С. Об исследовании динамических свойств нендеальиых химических систем. В сб.: Математические проблемы химии. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР. 1973. ч.1.С.206 212.

[29] Wd ./. Axiomatic treatment of chemically reacting systems. J.C'hem. Pliys.. 19G2. V.3G. G pp.1578 1584.

[30] Kramhek F.J. The mathematical .structure of chemical kinetics in homogeneous single-phase ssystenis. Aid).Rational Mecli. Anal.. 1970. Y.38. 3. pp. 317 347.

[31] Grci B.F. Oscillatory approach to equilibrium in closed chemical systems. Trans.Farad.Soc., 1970. Y.G6. 2 pp.363 371.

[32] Fthibcri/ M. On chemical kinetics of a certain class. Arch.Rational Mech. Anal.. 1972. Y.46. 1. pp. 1 41.

Основные публикации по теме диссертации

[33] Акрамов Т.А. О стабилизации уравнений в частных производных, описывающих кинетику обратимых химических реакций. Динамика сплошной среды.-1976. вып. 2G, C.3-1G.

[34] Лк]»шов Т.А. Mathematical models of detailed and complex balanced chemical systems. Proceedings of the conference on mathematical methods in chemical engineering, v.l. pp.51-39. 5-8 May. 198G. Balaton. Hungary.

[33] Акрамов Т.А. Об одной смешанной задаче для квазилинейной параболической системы. Докл. АН СССР, 1979, Т.244. 3. С.554 558.

[3G] Акрамов Т.А. Качественный анализ дифференциальных уравнений, описывающих химические реакции с учеюм диффузии. В кн.: Математическое моделирование каталитических реакюров. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение. 1984^ С.102 115.

[37] Акрамов Т. А., Вишневский М. П. Разрешимость в целом i поемы реакция диффузия . Математическое моделирование. 1992. Т. 4, 11. С. 110 120.'

[38] Акрамов Т.А., Вишневский M.П. Некоторые качественные свойства системы реакция-диффузия. Сибирский Математический Журнал. -1993, Т.36, 1, С.3-19.

[39] Акрамов Т.А.. Яблонский Г.С. Анализ процессов установления равновесий в закрытых системах. Журнал физической химии., -1973, Т.49, 7, -С.1818-1820.

[40] Слинъко М. Г., Быков В.И., Яблонский Г.С., Акрамов Т.А. Множественность стационарных состояний гетерогенных каталитических реакций. Докл. АН СССР, -1976, Т.226, 4, -С.876 879.

[41] Harrier I.W., Akrumov Т.A., Ray W.H. The dynamic behavior of continuous polymerization reactors. -Chein.Eng. Sci., 1981. Y.36. 12. pp.1897-1914.

[42] Moravec P., AkrarnovT.A., Stanek V. A mathematical model as a tool the rating of gas-solid reactions with special reference to iron ore reduction, Proc.of 9th International congress CHISA-87, A4.1. PRAHA, august 31-septemher 4, 1887.

[43] Акрамов Т. А. Об одной гиперболической задаче, описывающей химический реактор. Динамика сплошной среды,-1988, вып.86, С.З-23.

[44] Акрамов Т.А. Качественный и численный анализ модели реактора с противотоком компонентов. В сб.: Математическое моделирование каталитических реакторов.-Новосибирск, Изд-во Наука, Сиб. отделение, 1989, С. 193-214.

[43] Акрамов Т.А. Аксиоматическое построение и качественный анализ моделей химических систем. Труды Всес оюзной конференции "Химреактор-НГ. кн.4, С.203-207, -Î989, Тольятти.

[46] Акрамов Т.А. О математической модели реактора с противотоком компонентов. Труды Всесоюзной конференции "Химреактор-10'\ кн.4. С.208-212, -1989, Тольятти.

[47] AkmmovT.A. Analytical and numerical analysis of counter- current chemic al reactor. Proc.of 10th International congress CHISA-90. p.8, PRAHA. September 1990.

[48] Акрамов Т.А. Анализ моделей реакторов идеального вытеснения. Труды Всесоюзной конференции "Хнмреактор-11", кн.2, С.246-230, -1992, Харьков.

19] AkrarnovT.A. The conditions to models of multicomponental Proc.of Uth International congress CHISA-93, p,10,-PRAHA, September 1993.

[3(1] Акрамов Т. А. Периодические режимы и реакторах с противотоком компонентов. Труды Всесоюзной конференции "Хнмреактор-13", кн.1, С.110-114. -1996. Новосибирск.

[51] Ащшмов Т.А. О периодичности и стабилизации решений одной гиперболической задачи. В кн. Комплексный анализ, дифференциальные уравтчшя. численные методы и приложения. Т.З-Днфференциальные уравнения. С.3-13. -1996, Уфа.

[32] Абрамов Т.А. Анализ поведения решений при —ос уравнений нестационарной кинетики с учетом диффузии. В трудах Всесоюзной школы-семинара "Нестационарный катализ-1-1977. С.37-60.

[33] Акрамов Т.А. Качественный анализ уравнений химической кинетики с учетом диффузии веществ. В сб. Применение математических методов и ЭВМ в каталитических исследованиях. Материалы 4-го Советско-Французского семинара. Новосибирск, 1979. С.191-196.