автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Качественные и численные методы в задачах оптимального управления в моделях хищник-жертва и популяции леммингов

1а правах рукописи

г"»-

Гусятников Петр Петрович

КАЧЕСТВЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В МОДЕЛЯХ ХИЩНИК-ЖЕРТВА И ПОПУЛЯЦИИ ЛЕММИНГОВ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском фшико-техническом (государа венный университет) и Вычислительном им. Л.А. Дородницына РАИ

ИНС1 иту1с цешрс

Научный руководитель: д.ф.м.н. Саранча Д.А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

кандидат физико-математических наук,

Дикусар В.В. Чскареи Д.Л.

Ведущая организация: Инепнут Системного Анализа РАН

Защита диссертации состоится 23 марта 2006 I. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.002.017.03 при Вычислительном Центре им. А.А.Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 42 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного Центра им. A.A. Дородницына РАН

Автореферат разослан февраля 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандида! физико-математических наук

Актуальность темы. К настоящему времени накоплен обширный опыт математического моделирования экологических популяций. Традиционно модель представляет собой систему уравнений феноменологического типа, описывающими связи между макропоказатслями (например, численность популяции) и обобщенными эколог ическими характеристиками. Подобные модели носят качественный характер и не способны давать количественные результаты, исследовать механизмы взаимодействия особей друг с другом и окружающей средой.

Актуальной задачей является разработка новых, более эффективных подходов в моделировании, при которых в модели описываются свойства отдельной особи и характеристики конкретного ареала, а свойства популяции являются интегральными характеристиками модели. Это позволяет учитывать ряд дополнительных аспектов поведения популяции (эколого -физиологических, социально - территориальных), не описываемых в рамках традиционных моделей.

Большой интерес, также представляет задача оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями.

Цель работы. Разработать методику качественного и численного исследования задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на примере задач хищник-жертва.

Методика также должна включать комплекс методов математического моделирования популяций с использованием аналитических и индивидуум-ориентированных подходов, позволяющих эффективно учитывать данные о популяции, полученные в результате биолого - экологических исследований.

Показать эффективность методов моделирования, которые могут быть получены за счет комплексного применения аналитических, и индивидуум-ориентированных подходов, описывающих популяцию на уровне локальных взаимодействий отдельных особей. Методы исследования.

1. Схема Дубовицкого-Милютина.

2. Численные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Методы решения краевых задач.

4. Системный анализ существующих мемодон индивидуум -ориентированных моделей.

5. Комплексное использование индивидуум-ориентированных и аналитических подходов.

6. Математическое моделирование популяции лемминга.

7. Вычислительные эксперименты с математическими моделями Научная новизна.

1. Разработана методика качественного и численного исследования задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на примере задач хищник-жертва.

2. Предложен метод построения комплексных моделей, включающих имитационные и аналитические компоненты.

3. В результате применения метода разработана комплексная модель популяции лемминга, включающая индивидуум - ориентированную модель в качестве имитационной компоненты, и функцию последования в качестве аналитической. Индивидуум -ориентированная модель учитывает состязательный механизм взаимодействия особей. В результате анализа ре ¡ул матов вычислительных экспериментов предложена гипотчма о влиянии состязательного механизма взаимодействия особей на динамику численности, и на эффективность перехода от фазы пика к фазе дипресии.

Обоснованность научных положений.

1. Использование проверенных практикой индивидуум -ориентированного и аналитических методов исследования, применение вычислительных экспериментов.

2. При выборе параметров и зависимое 1сй модели использованы обширные экспериментальные данные о популяции, использованы результаты исследований модели "растигельность-лемиинги-песцы",. Полученные результаты находятся в хорошем соответствии с известными результатами других исследований, экспериментальными данными.

Практическая ценность. Разработанный в работе комплекс методов моделирования и модель применимы для решения широкого круга научно-исследовательских и практических задач в сфере исследования биологических популяций и природных сообществ.

1. Модель может быть использована для прогноза численности популяции леммингов, которая является основой для оценки эффективности промысла Песца.

2. Применение разработанного метода моделирования биологических популяций позволяет строить модели, учитывающие индивидуальные свойства особей, чье поведение в природе достаточно хорошо изучено.

3. Разработанный метод позволяет широко и эффективно использовать новые возможности информационных технологий.

4. Методология индивидуум - ориентированных моделей и способы анализа вычислительных экспериментов могут быть полезны при изучении математических моделей широкого класса объектов: в экологии, в химии, в социологи и экономике.

Решение задачи оптимального управления дает основу для рационального использования популяций.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах ИПУ РАН, ВЦ РАН, МММ РАН, ИСА РАН, ЦМИ РАН, МГУ, а также на научных конференциях МФТИ и международных конференциях. Личный вклад. Все приведенные результаты диссертации принадлежат лично автору.

Структура и объем работ.

Во введении лается обзор различных методов решения задач оптимального управления в различных экологических системах а также приводится аналитическое описание различных моделей в биологических системах. В первой главе приводится различные постановки задач принципа максимума. Сначала формулируется задача Понтрягина:

ueR.xeE" ,и е Е',/е Е", / е [/„,/,] ( ' )

Здесь R- произвольное множество пространства и\ х - фазовый BeicTop; и - вектор управления. Правая часть f(x,u,t) непрерывно дифференцируема по переменным х и / и непрерывна по управлению, К{р) - гладкая функция от р \ функционал J{p) - выпуклый по р. Рассмотрение поставленной задачи (1.1) в классе игольчатых вариаций приводит к известному принципу максимума Понтрягина Л.С. Минимум ищется в классе всех ограниченных измеримых по Лебегу функций При этом x(t)

будет абсолютно интегрируемой функцией.

Необходимо заметить, что принцип максимума Понтрягина Л.С. был доказан для задачи с интегральным функционалом и фиксированными начальными и краевыми условиями.

Формулируется также задача Блисса-Больца: требуется найти min J{p) при наличии следующих ограничений:

и I 41)

х = /(х,и,1), К(р) = 0, р = (*('„),*(',)Л.',). хеЕ",

g(x.u.t) - 0, 4>(x,u,t)<0,

К(дг,О = Н.п,Ф<0}, «еВГ,

где JJ,K,g,0 - гладкие функции по совокупности своих аргументов; J,f,K,g,0\G, где G - некоторое открытое множество пространства x,ii,t,p\ запись 0\G означает, что G является областью определения Ф;

ограничения Ф< 0, # = 0 - независимые; независимость ограничений означает, что в каждой точке x,u,t, для которых пи ограничения выполнены, градиенты ¿ш,Ф[и,К е j(x,tij) линейно независимы; J(_x,t/,t) - множество активных индексов. Активным индексом точки x,u,t меК(.т,/) называется число j, для которого выполнено соотношение Ф1(х,и,1) = 0; на поверхности g = 0 ранг g[ - dim g = г, < г , размерность Ф - любая; минимум ищется в классе кусочно-непрерывных функций и(1).

Приводится также постановка канонической задачи Дубовицкого-Милютина: найти min J(p), если выполнены следующие ограничения х = /(*,«,/), К(р) = 0, <р{р) < 0,р = (дг(/0),х(/,),/,„/,)

£(*,«,/) = <),£ = {£„£,.....gr}, Ф,(Х,и,1)<0, ¡SM,

и = (ul,u2),ul е Ек', i = 1,2; и2еК

где R - произвольное множество пространства Ек\ ц - любое натуральное число, / = {/;,...,/„}, дге £",ie[/„,г,].

Предположения, при выполнении которых производится вариационное исследование задачи А: функции f(x,u,i),K(/>),g(x,u,t) и их частные производные по x,v,t непрерывны по всем своим аргументам в некоторой окрестности поверхности К =0, # = 0. Ранг g', = dimg < Kt для всех точек поверхности g = 0. Функции J,<р,Ф - локально выпуклые по x,tit.p.r, размерность вектор-функции <p = \q>,} - любая Траектория -V, (О. ",Д').'„.', • исследуемая на экстремум, - измеримая и ограниченная. Непосредственно усматривается, что каноническая задача объединяет Понтрягинскую и Блиссовские постановки.

Ответ формулируется в виде интегрального принципа максимума /7„в регулярном случае. Также указывается класс задач оптимального управления, сводящихся к канонической задаче Дубовицкого-Милютина. Кроме того, приводится каноническая задача Д>бовицкого-Милютина с

непрерывной зависимостью от времени при фиксированном правом конце по I.

В второй главе рассматривается задача оптимального управления в модели « х и щн и к-жертва»

1. Модель Лотки-Вольтерра

Пусть x(i) - численность жертв, yd) - численность хищников. Взаимодействие хищника и жертвы можно записать нелинейной системой уравнений.

-J- = a,x-V(x)y,x{0) = xt,l б[0,г]. at

&-кУ(х)у-а,у.Х 0) = Л. » (2.1)

Здесь «, - относительная скорость роста численности жертв при

отсутствии хищников, о, - относительная скорость вымирания хищников

при отсутствии жертв. 1' = У(х) количество (или биомасса жертв),

потребляемых одним хищником за единицу времени, причем k-я часть

полученной с этой биомассы энергии расходуется хищником на

воспроизводство, а остальное тратится на поддержание основного обмена и

охотничьей активности. Функцию У(х) обычно называют трофической

функцией хищника или функциональным откликом хищника на плотность

популяции жертвы.

При малых значениях х, например, когда трофические отношения в

системе напряжены и почти все жертвы становятся добычей хищника,

который всегда голоден и насыщения не наступает, (ситуация довольно

типичная в природе) трофическую функцию Г(\) можно считать линейной

функцией численности жертв, т.е. K = /?v. При к = const получаем:

dx

— = fl,x-/Jxv,x(0) = x0. al

^- = k0xy-a2y,y(O) = yl>. * (2.2)

Система (2.2) называется классической моделью хищник-жертва типа Вольтерра. Эта система имеет интефал вида

(2.3)

X у - —

^Р Р - состояние равновесия (состояние безразличного равновесия,

устойчивое по Ляпунову, но не асимптотически).

Введение в вольтеровскую модель внутривидовой конкуренции среди

жертв, возникающей из-за ограниченности ресурсов, приводит к грубой

модели, в которой колебания численности становятся затухающими.

ЛС „ 2 ш

— = квху-а,у.

Л ' (2.4)

где слагаемые у{х2 описывают внутривидовую конкуренцию (модель Лотки-Вольтерра).

В отсутствии хищников О =0) предельное значении численности

жертв равно х = —.

В этом случае система (2.4) имеет нетривиальное положение равновесия в точке г.,у..

х =3. ^ К"; ' кр' ' кЦ-

2. Управляемые модели типа хищник - жертва

Динамика управляемой модели хищник-жертва описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

л ..

— = С,х- /IVI -У,* -и.х,

Л '

— = квху-с,у-и, у. Л

1е\0.Т].х(0) = хо.у(0) = уо.

х(Т) = х,,у[Т) = у,. (2.5)

где и,(О - часть жертв, подлежащих отлову, 11,(1) часть хищников подлежащих отлову.

На управляющие функции наложены ограничения:

0<и, £и,,,/ б 10.7-),/ = 1,2. (2 6)

Возможен и другой способ управления. Тогда в качестве управления выступает величина отлова хищников и жертв в единицу времени.

Л п 2

—- = а,х-(1х)'-г1х -и,, аI

— = квху-и,у-и,, <Л - '

х (Г) = х,,>(Г) = у|. (2.7)

05 м, 5и,,,/= 1,2. (2 8)

Формализованная задача оптимального управления состоит в максимизации функционала

./(«) = £(р.*-',)и.(')+(/у-1.0«,</)>, (2-9)

п

выражающего прибыль от использования популяции хищников и жертв, где р1 стоимость популяции, с, стоимость использования технических средств.

Кроме того, используется и другой тип ограничений на управляющие функции.

О < м,{/) + ы,(/) < А.и, > 0,1 = 1,2,* б [0.7"].

(2.10)

Теперь можно сформулировать различные задачи оптимального управления в более компактном виде.

Задача All. Определить максимум функционала (2.9) при наличии ограничений (2.5), (2.6).

Задача А12. Найти максимум прибыли (2.9), при условиях (2.5), (2.10).

Задача А21. Определить максимум цели (2.9) в случае ограничений (2.7), (2.8).

Задача А22. Максимизировать (2.9) при выполнении условий (2.7),(2.10).

3. Фазовые ограничения

На фазовые переменные г(/), у(1) наложены ограничения

У(1)>о.

Кроме того, в случае насыщения, трофическая функция ограничена: У(х)<У,.

4. Смешанные ограничения

Очень часто вводят ограничения на рост хищников в следующем виде уйа, что в свою очередь приводит к смешанным ограничениям:

крху-а^у-и^уйа. (2.13)

кр.ху - а,у - и, < и. (2.14)

В этом случае возникают новые постановки задач, с учетом ограничений (2.11-2.14). В качестве примера сформулируем задачу ВН.

Задача В11.

Найти максимум цели (2.9) при наличии ограничений (2.5, 2.6, 2.11, 2.12, 2.13).

Теорема 2.1 (существования, Дикусар В.В.)

Найти min./; J= £ F(x,u,t)Jt при наличии следующих ограничений:

1. л =а,(дг,/)« + Л|(дс,/), л(0) = дг„,д:(м) = дг|

2. g(x,u,l) = a,(x,t)u + />_,(*,/) = О

3. Ф(х,и,1)< 0,h,(x,t)u + h2(x,i) = О

4. <p(x.i)<0,i//(x,i) = О

Будем предполагать, что и eUU) с £2;U(/)- замкнуто и выпукло для любых I, измеримо по I и содержится в некотором шаре, т.е. | U(T) |< С(|; хе E'^F^x^uj^ctH^XiUyt) - выпуклы по U \ F- непрерывна по х, и измерима ~ по /; для правой части дифференциальных уравнений выполнено неравенство Филиппова А.Ф. (x,at{x,t))u + b^x,t)<C(\x^ +1). a,(x,t),b,(x,l) -удовлетворяют условию Липшица по х, а,(*,/),£,(;<-,/) - измеримы по t.

Пусть в сформулированной задаче выполнены указанные предположения. Предположим, что существует хотя бы одна пара (х,й), удовлетворяющая условиям задачи. Тогда существует пара (х0,и0), доставляющая абсолютный минимум в указанной задаче.

В диссертации приведена модификация доказательства, указаны теоремы. На базе теоремы 2.1 доказывается следующая 1еорема существования и единственности.

Для поставленных задач справедливы следующие теоремы (докапнельсгво следует из теоремы [2.1]).

Теорема 2.2. Оптимальное управление для шдач All, AI2, A2I, А22 существует и единственно почти всюду за исключением множеава меры нуль.

Теорема 2.3. Максимум функционала (9) в задачах В11, В12, В21, В22 существует и единственен (задачи В12, В21,В22 это постановки задач А12, А21, А22 с учетом ограничений (2.11-2.14).

Теорема 2.4. Для всех постановок залам существую! особые режимы.

Их оптимальность устанавливается на базе меюда возмущений в основных постановках задач оптимального управления.

Теорема 2.5 Для задач с фазовыми и смешанными ограничениями справедлив принцип максимума Я0 в форме Дубовицкого - Милютина .

Теорема 2.6. В задачах с фазовыми и смешанными ограничениями существуют нерегулярные точки.

В третий главе описано применение разработанного метода для исследования механизмов формирования динамики численности популяции леммингов

Характеристические параметры ареала.

Ареал моделируется прямоугольной таблицей размером М*Ы ячеек.

Явно учитываются: количество ресурса (биомасса растительности); тип

ячейки.

Характеристические параметры индивидуума.

В модели особи описываются возрастом, полом, координатами норы и

потенциалом жизнестойкости. Вводятся три стадии развития для самок -неполовозрелые, половозрелые небеременные и половозрелые беременные и две - для самцов - неполовозрелые и половозрелые. Потенциал жизнестойкости представляет собой некоторую переменную с областью изменения от нуля до единицы, которая описывает физиологическое состояние особи и изменяется при различных процессах. Если значение потенциала достигает нулевого значения, особь гибнет. Поведение индивидуумов.

В течение жизни лемминги участвуют в следующих процессах и

событиях: движение, питание, поиск норы, столкновения с другими особями, беременность, рождение потомства, рост и смерть.

«Элитность» особи.

Это понятие лежит и основе механизмов потребления кормового

ресурса и механизме столкновения особей. И является базовым понятием для осуществления состязательного механизма взаимодействия особей.

При столкновении нескольких особей в одной ячейке происходит выделение самого сильного самца (потенциал жизнестойкости которого больше чем у всех остальных самцов в данной ячейке) и самой сильной самки (потенциал жизнестойкости которой больше чем у всех ооальных самок в данной ячейке). В результате столкновения жизненный потенциал этих особей не уменьшается, им присваивается признак «элитности». Понятие элитности не постоянно. Потребление кормового ресурса.

Передвижение особи по пространству связано с добыванием пищи. С

наступлением активного периода суток (первый такт итерации) особь покидает гнездо. Перемещение происходит в одну из соседних 24 ячеек. Особь потребляет некоторое количество растительности. После этого особь не может переместиться в одну из соседних ячеек, если дневная пофебность в кормовом ресурсе не удовлетворена. Потребление ресурса напрямую связано с жизненным потенциалом. Чем выше значение жизненного потенциала, тем больше шанса у животного удовлетворить потребность в кормовом ресурсе. Размножение

Если встреча двух разнополых особей происходит в репродуктивный период, небеременная самка с некоторой вероятностью беременеем. Через положенное время появляется на свет потомство. Потенциал жизнссюйкости самки после родов не уменьшается. Новорожденной особи присваивается начальное значение потенциала жизнестойкости. В течение заданного промежутка времени взросления потенциал возрастает, если не происходит столкновений с другими особями. Новорожденные две недели не покидают нору, выйдя из нее, в поисках пищи начинают искать свободную нору. Если особь в течение одной итерации не находит свободную нору - она погибает.

Столкновение с другими особями

В модели учитывается 5 видов столкновений-

1. Столкновение с беременной самкой. В этом случае страдают все особи, оказавшиеся в одной ячейке, за исключением самца с наибольшим значением жизненного потенциала.

2. Столкновение неполовозрелых самцов с половозрелыми особями. Жизненный потенциал неполовозрелых самцов уменьшится.

3. Столкновения половозрелых самцов. В таком случае страдают все самцы, кроме особи с наибольшим значением жизненного потенциала.

4. Столкновение неполовозрелых самок с половозрелыми особями. У всех самок, не достигших половой зрелости уменьшится жизненный потенциал

5. Столкновение половозрелых самок. В этом случае, страдают все самки, кроме особи с наибольшим значением жизненного потенциала.

Смертность

Гибель особи происходит в следующих случаях:

1. если особь достигла предельного возраста;

2. если значение потенциала жизнестойкости стало нулевым;

3. если самка принесла третье потомство,

4. если гибнет кормящая самка, то вместе с ней погибает и все потомство;

5 если особь, выйдя из норы самки, не находит свободной норы. Динамика биомассы кормовой базы

Для описания восстановления растительности используется

логистическое уравнение (Ферхюльста).

Дискретное отображение

Для описания динамики системы хорошей «интегральной» характеристикой является функция /.„,.„ = 1(1.,,) ,где ¿„ - биомасса леммингов в определенный момент года, а /,„„ - биомасса леммингов ровно

через год. Таким образом, задачу исследования зависимости динамики модели от параметров модели можно разделить на две и решать каждую в отдельности:

1. Каким образом зависят характеристики функции последования от параметров модели.

2. Каким образом динамика модели зависит от характеристик функции последования.

В данном случае отнормированная функция последования леммингов имеет вид

¿„- численность леммингов в п-й год, Р - прирост леммингов за нормальный год (корм есть целый год), Р - плотность леммингов в оптимальном биотопе, и - скорости изменения численности леммингов за весну при наличии корма и в случае бескормицы соответственно, г - хараюеристика соотношения между «кормной» и «бескормной» весной, 0 - характеристика

соотношения «кормных» зимы и лета, А - первое пороговое число, при I > А бескормица наступает уже зимой (¿>£//.„„,), О - второе пороговое число, при бескормица наступает весной.

Функция состоит из трех участков, на первом происходит рост с коэффициентом наклона Р. Па этом участке не подорвана кормовая база и не начали еще «работать» внутрипопуляционные механизмы регуляции. На границе этого участка достигается максимум. После достижения этого значения имеет место снижение численности до уровня, определяемого «емкостью» оптимального биотопа. На этом участке находятся те значения Ь, при которых зима еще «нормальная», то есть корм еще есть, а весной уже происходит подрыв кормовой базы. При значениях Ь>А бескормица

1.Р

О < ¿„ < -

рр

А < 1„ < I

наступает уже зимой, функция последопаиия постоянная на уровне,

определенном «емкостью» оптимального биотопа.

Заключение.

Разработана методика качественного и численного исследования задач оптимального управления на примере модели хищник-жертва.

Для всех поставленных задач доказаны теоремы существования и единственности.

Создана индивидуум - ориентированная модель популяции леммингов в качестве имитационной компоненты, учитывающая индивидуальные особенности особи, характеристики конкретного ареала, состязательные механизм.

В результате проведенных численных экспериментов удалось воспроизвести характерные колебания численности, с чередованием пиков численности через три года.

По результатам численных экспериментов построены функции последования. Литература:

1.P.B.Gusyatnikov,P.P.Gusyatnikov. Analytic first integrals of linear steady-state systems. Phystech Journal, vol.3, N 2, 1997, pp 72-84. ISSN-0869-8449 , изд. Center-Com Publishers (Москва), SCINA-International Inc.(USA)

2. Гусятников П.Б., Гусятников П.П. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в кольце. В междуведомств, сборнике Моделирование процессов управления и обработки информации. М., изд МФТИ. 1998, стр. 174-178

3. Гусятников П.Б., Гусятников П.П. Инварианты линейных дискретных систем. Доклады АН т. 360 No 3, 1998 , стр. 299-302

4. Гусятников П.Б., Гусятников П.П. Построение динамических систем на частично упорядоченных множествах методом Л.С.Понтрягина - Б.Н. Пшеничного. Итоги науки и техники, серия "Современная математика и ее приложения", т.60, 1998, стр.74-88, М., изд. ВИНИТИ.

5. Гусятников П.Б., Гусятников П.П. Опыт решения линейного дифференциального уравнения в линейном пространстве. В Междувед. сборнике Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и механики. М., изд. МФТИ, 1995, стр.77-86

6. Гусятников ПЛ., Гусятников П.Б. Алгоритм построения полной сис-темы инвариантов линейной динамической системы. В Междуведомств, сборнике Некоторые проблемы современной математики и их приложе-ния к задачам физики и механики. М., изд. МФТИ, 1995, стр. 73-75

7.Саранча Д.А., Перминов В.Д., Гусятников П.П., Сорокин П.А. Application of direct simulation Monte Carlo method to ecologicalObjects modeling. Modeling a tundra animals population//5th Conference of the European Society of the Mathematical and Theoretical Biology.Milano, 2002.

8. Гусятников П.П. Задача оптимального управления в модели хищник-жертва В журнале Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Сообщения по прикладной математике. Выпуск 7(2) М.-.ВЦ РАН, 2005г стр: 3-7

9. Гусятников П.П, Недоступов Э.В., Саранча Д.А. Моделирование популяционных циклов с помощью индивидуально - ориентированной модели. В журнале Исследование операций М.: ВЦ РАН, 2005г, стр:37-44.

Гусятников Пегр Петрович

Качественные и численные методы в задачах оптимального управления в моделях хищник-жертва и популяции леммингов

Подписано в печать 17.11.2005. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Уел печ. я 1,0. Уч-изл л. 1,0. Тираж 60 мл Заказ №ф-024

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский физнко-тсмшчсский инстигуг (государственный университет) Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Московская обл , г.Долгопрудный, Институтский пер., 9

2OOGb

337 5~

Ü-3975

Введение

Задачи с фазовыми и смешанными ограничениями

Аналитические модели

Необходимые условия экстремума 27 Задачи оптимального управления в модели хищник-жертва

Модель Лотки-Вольтерра

Управляемые модели хищник-жертва 42 Индивидуум-ориентированные модели популяции леммингов

Первая модель

Вторая модель

Заключение.

Разработана методика качественного и численного исследования задач оптимального управления па примере модели хищник-жертва.

Для всех поставленных задач доказаны теоремы существования и единственности.

Создана индивидуум - ориентированная модель популяции леммингов в качестве имитационной компоненты, учитывающая индивидуальные особенности особи, характеристики конкретного ареала, состязательные механизм.

В результате проведенных численных экспериментов удалось воспроизвести характерные колебания численности, с чередованием пиков численности через три года.

По результатам численных экспериментов построены функции последования.

Список работ автора по теме диссертации:

1.P.B.Gusyatnikov,P.P.Gusyatnikov. Analytic first integrals of linear steady-state systems. Phystech Journal, vol.3, N 2, 1997, pp 72-84. ISSN-0869-8449 , изд. Center-Corn Publishers (Москва), SCINA-International Inc.(USA)

2. Гусятников П.Б., Гусятников П.П. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в кольце. В междуведомств, сборнике Моделирование процессов управления и обработки информации. М., изд МФТИ. 1998 , стр. 174 - 1 78

3. Гусятников П.Б., Гусятников П.П. Инварианты линейных дискретных систем. Доклады АН т. 360 No 3, 1998 , стр. 299-302

4. Гусятников П.Б., Гусятников П.П. Построение динамических систем на частично упорядоченных множествах методом Л.С.Понтрягина - Б.Н. Пшеничного. Итоги науки и техники, серия "Современная математика и ее приложения", т.60, 1998, стр.74-88, М., изд. ВИНИТИ.

5. Гусятников П.Б., Гусятников П.П. Опыт решения линейного дифференциального уравнения в линейном пространстве. В Междувсд. сборнике Некоторые проблемы современной математики и их приложения к задачам физики и механики. М., изд. МФТИ, 1995, стр.77-86

6. Гусятников П.П., Гусятников П.Б. Алгоритм построения полной сис-темы инвариантов линейной динамической системы. В Междуведомств, сборнике Некоторые проблемы современной математики и их приложе-ния к задачам физики и механики. М., изд. МФТИ, 1995, стр. 73-75

7.Саранча Д.А., Перминов В.Д., Гусятников ГШ., Сорокин П.А. Application of direct simulation Monte Carlo method to ecologicalObjects modeling. Modeling a tundra animals population//5th Conference of the European Socicty of the Mathematical and Theoretical Biology.Milano, 2002.

8. Гусятников П.П. Задача оптимального управления в модели хищник-жертва В журнале Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Сообщения по прикладной математике. Выпуск 7(2) М.:ВЦ РАН, 2005г стр: 3-7

9. Гусятников П.П, Недоступов Э.В., Саранча Д.А. Моделирование популяционных циклов с помощью индивидуально - ориентированной модели. В журнале Исследование операций М.: ВЦ РАН, 2005г, стр:37-44.

1. Шалашилип В.И. Кузнецов Г.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация, М.: УРСС. 1999.

2. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем, М.: Наука, 1979.

3. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит. 2000.

4. Ваниер Г. Хайрэр Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи, М.: Мир, 1999.

5. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ, 1994.

6. Васильев Ф.П. Иваницкий АЛО. Линейное программирование, М.: Факториал, 1998.

7. Евтушенко Ю.Г. Жадан В.Г. Барьерно-проективные и барьерно-иыотоповские численные методы оптимизации. Сообщения но вычислительной математике. М.: ВЦ РАН. 1992.

8. Голиков А.И., Евтушенко 10.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линейного программирования, ЖВМ и МФ, 2000. т.40, .№12, с. 1766- 1786.

9. Хачиян Л.Г. Сложность задач линейного программирования. Новое в жизни, пауке, технике. Серия математика, кибернетика. 10. М.: Знания, 1987.

10. Умнов А.Е. Проблемы математического моделирования в условиях неполной информации, Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 1994.

11. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задачах с фазовыми ограничениями, // Известия АН СССР, тех. киб. 1984, №4. с. 60 68.

12. Дубовицкий А.Я. Дубовицкий В.А. Принцип максимума в регулярных задачах оптимального управления, у которых концы фазовой траектории лежат на границе фазового ограничения, // AT, 1987, №12, с.25 33.

13. Дмитрук А.В. К обоснованию метода скользящих режимов для задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Функц. Анализ и его приложения, 1976. т.Ю, №3. с.29 44.

14. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Теория принципа максимума // Сб. Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981, с. 138-177.

15. Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления, Автореферат докторской диссертации, ИПУ РАН, 2001.

16. А.А Гончар, Рахманов Е.А. Равновесное распределение и степень рациональной аппроксимации аналитических функций, Мат. Сборник т. 134 (176), 1987, выпуск 3. с. 305 347.

17. Ашманов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

18. Калиткин Н.Н, Численные методы. М.: Наука, 1978.

19. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач, сборник научных трудов. Численный анализ: теория, приложения, программы, М.: МГУ. 1999.

20. Дждеед М.Оптимальное управление системами, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями. Авторефератдиссертации к.ф.-м.н. Тверский государственный университет. Тверь. 2004.

21. Орлов В.А., Саранча Д.А., Шелепова О.А. Математическая модель динамики численности популяции леммингов (Lemmus, Dicrostonyx) и ее использование для описания популяций Восточного Таймыра//Экология. 1986. N 2. С. 43-51.

22. Саранча Д.А. Биомоделирование. Материалы по количественной экологии. Математическое моделирование и биофизические аспекты. М.: ВЦ РАН, 1995. 139 с.

23. Sarancha D.A. Mathematical modeling of tundra communications and populations //Ecological Modeling. 1986. N 2. P. 377-379.

24. Саранча Д.А. Количественные методы в экологии. Биофизические аспекты и математическое моделирование. М.: МФТИ, 1997. 283 с.

25. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование/Пер. с фр. под ред. Ю.М. Свирежева. М.: Наука, 1976. 286 с.

26. Lotka A.J. Elements of physical biology. Baltimor: Williams and Wilkins, 1925. 368 p.

27. Моисеев H.H., Александров В.В., Тарко A.M. Человек и биосфера. М.: Наука, 1985. 272 с.

28. Форрестср Дж. Мировая динамика. М.: Мир, 1978. 234 с.

29. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1993. 302 с.

30. Гаузе Г.Ф. Математический подход к проблемам борьбы за существование// Зоол. журн., 1933. Т. 12, N3. С. 170-177.

31. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяцпй//Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1972. Вып.25. С. 100-106.

32. Одум 10. Экология: в двух томах. М.: Мир, 1986. 328 е., 376 с.

33. Элтон Ч. Экология нашествий животных и растений, М.: ИЛ, 1960. 146 с.

34. Сдобников В.М. Лемминги в условиях Северного Таймыра//Труды Арктического НИИ, Л., 1957. Т.205. С. 109-126.

35. Орлов В.А. Биологические особенности леммингов в тундрах Западного Таймыра: Автореф.дис. канд. биол. паук. М.: ВНИИ охраны природы и заповедного дела, 1985. 16 с.

36. Schultz P.M. The nutrient-recovery hypothesis for artic microtine cycles// Grasing in terrestrial and Marine environments. Oxford, 1964. P. 57-68. Murray J.D. Mathematical biology. Springer-Verlag, 1993. 686 p.

37. Christian J.J. The roles of endocrine and behavioural factors in the growth of mammalian populations//Comparative endocrinology. N.Y., 1959.1. P.71-97.

38. Selge H. The general adaption syndrome and the diseases of adaption // J.Clin.Endocrinol. 1946. V. 6. P. 1 17-230.

39. Chitty D. Population processes in the vole and their relevance to general theory//Canad.J.ZooI. 1960. V.38. P. 99-113.

40. Башенина H.B. Пути адаптации мышевидных грызунов.М.Т1аука, 1977.355 с.

41. Чернявский Ф.Б., Ткачев А.В. Популяционные циклы леммингов в Арктике (экологические и эндокринные аспекты). М.: Наука, 1982. 164 с.

42. Krebs C.J. The lemming cycle at Baker Lake, North-West Territoies, during 1959-1962//Arct.Inst.N.Amer.Tech. 1964. V. 15. 104 p.

43. Макфедьеп Э. Экология животных. M.: Мир, 1965. 375 с.

44. Holling C.S. Resilence and stability of ecological systems//Annu. Rev. Ecol. and Syst. 1973. V. 4. P. 1-23.

45. Горбшib A.M., Охонпп В.А., Садовский М.Г., Хлебоирос Р.Г. Простейшее уравнение математической экологии//Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. JI.: Гидрометеоиздат, 1984. Т.6. С. 161 -175.

46. Горбань А.П. Обход равновесия. Новосибирск: Наука, 1984. 226 с.

47. Колесов Ю.С. Проблема адекватности в экологии. М.: ВИНИТИ, 1985. 156 с.

48. Охонин В.А. Кинетические уравнения в биофизике сообществ: Автореф. дис. канд.физ.-мат.наук/Красноярск: Ин-т биофизики, 1982. 18 с.

49. Охонин В.А., Хлебоирос Р.Г. Кинетические уравнения состояния популяций. Красноярск: Ин-т леса и древесины СО АН СССР, 1978. 34 с.

50. Шарковский A.M. Разностные уравнения и динамика численности популяций. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. 22 с.

51. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н. Кинетические модели каталитических реакций. Новосибирск: Наука, 1983. 234 с.

52. Алексеев В.В. Биофизика сообществ живых организмов//Успехи физических наук, 1976. Т. 120, вып. 4. С. 647-676.

53. Свирежев 10.М. Нелинейные волны, диссииативные структуры и катастрофы в экологии. М.:Наука, 1987. 366 с.

54. Свирежев 10.М. Послесловие к книге В.Вольтерра 38. С. 234-253.

55. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

56. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 182 с.

57. Садыков О.Ф., Бененсон И.Е. Динамика численности мелких млекопитающих: Концепции, гипотезы, модели. М.: Наука, 1992. 191 с.

58. Turcliin P. Complex population dynamics: a theoretical/empirical synthesis. Princeton and Oxford: Princeton university press, 2003. 451