автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Изменение численных методов для исследования нелинейных динамических систем

Оч<И31Ш5и:ЪЬ <ИЪГ1ГЧЬ8ПЫЭ-Зи'Ь ИЙОЛЗЬЪ икиаыгмхзь

1ф$пгш18№11зь ъч ичэпи-изибшгъ Т1РПР1_ЫГЪЪГЬ ^тегат^ „^_____________________________________________________________

\

ЛЦшщ111 ¡1Пш11п1СрпЦ

1ГЬ[рг^шС 1_Шщ|1]т Ц.ртш21иф

цизьъ и ьгэ-паъьгь №птпмэ-злкъе по стизм. чкшш^иииъ сшшиигоьгь

-чьзилпзииъ чиииг

1ТшиСшч|иптрртС Ь.13.05 гщш^щИ тЩиС^ЦицЬ (и ишрЬиштОДш^щЦ ^ирпг^СЬр^ 1^1ршшпр]шЦ[1 д^щщЦшО ЬЬтш^тпт^гиСиЬргпи

- йшрМшифЦш^шЦ ц^иптрутООЬп!! рЬЦИшйт(1 о[нпш1)шИ шиифЙшЦ)! ЬиудйшЦ штЬИш]ипитр.|т11

иЬТ.Ш1№Р ЬрЬилП -1997

ТИТУТ ПРОБЛЕМ ИНФОРМАТИКИ И АВТОМАТИЗАЦИИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИЯ

чз л^ьзх р> чписи

К^пконян Анаи1 ■лртлшеювка

ЛЕНИНЕ ЧИСЛЕННЫХ' МЕТОДОВ ДЛЯ ИССПЕДОВ/ ЧИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Специальность Ь. 13.05 Применение вычислительной техники и математических методов з научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ереван-199 7

Работа выполнена в Ереванском Физическом Институте

Научный руководитель:

доктор физико-математичских наук, профессор Гурзадян В.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, с.н.с. Ананикян Н.С.

доктор физико-математических наук, профессор, Арутюнян Е.А.

Ведущая организация: Ереванский Государственный Университет

Зашита состоится " " 1997 в часов на заседании

специализированного совета 037 ''Математическая кибернетика ь •информатика"' в институте проблем информатики и автоматизации Национальной. ЛН РА по адресу: 375044, г.Ереван, ул. ГЬСевака, I.

С диссертацией можно ознакомиться е. научной библиотеке института.

Автореферат разослан " " ¿y2.fi 997г.

Ученый секретарь

Актуальность темы. — Изученпе.хаотических и регулярных свойств нелинейных динамических систем является одним из бурно развивающихся направлений математической физики.

Различные проявления феномена хаоса (стохастичиостп) обнаружены и изучаются во многих областях фундаментальной и прикладной науки. Выявлено, что хаотическое поведение является типичным свойством N-мерных не.пшенных детерминированных систем.

Mhoi не фундаментальные понятия и результаты эргоднческон теории такие как теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера , биллиард Синая, штроппя Колмогорова-Синая (КС), странные аттракторы, диффз'зия и преобразование Арнольда, "подкова" Смейла, система Аносова, система Колмогорова и т.д. предопределили качественно новый взгляд как на многие традиционные проблемы (например, турбулентность), так и на проблемы, возникшие относительно недавно (например, спиновые стекла).

Одновременно, бурное развитие компьютерной техники сделало возможным не только проверку многих теоретических предсказаний, но и прпве К) к обнаружению новых чффек гов в процессе самого численного ана. in ¡а. же первое чис. leinioe псслеловаппе системы нелинейных осип. г торои предприми юе Ферм п. Паста п Уламом в 19") 1 году привело к обнаружению мв к'нпя. впоследствии названном солитона.мп. Компьютер!,! окаылнсь решающими, например, при обнаружении Феигенбаумом упп-Bepi а. li.noi о ( теплит а при бифуркациях удвоения . Эта деятельность, и свою очередь, привела к необходимости разработки специальных численных меюдов и алгоритмов для исследования стохастичиостп систем эсновываясь на результатах теории динамических систем, например, для вычисления показателей Ляпунова многомерных систем.

1 ¡опросы изучения различных хаотических и фрактальных свойств нелинейных динамических систем являются ключевыми также для многих астрофизических проблем. Ряд неожиданных эффектов, непосред-твенно связанных с хаосом выявлены тфи исследовании динамики и эво-поцпи Солнечной спсюмы и звездных систем, кругшомасшiабнон сгрук-1уры Вселенной. анизотропии Космического микроволнового релпкюво-го излучения, неоднородных космологических моделей и т.д .

Примечательно, что одна из пионерских работ, положившая начало интенсивным исследованиям в области хаоса - численный анализ моде-

ли Хенона-Хейлеса. была стимулирована астрофизической проблемой, а именно, имела цель описание движения в аксиально- симметричном потенциале Галактики.

В теории динамических систем сформулированы основные определения и критерии, позволяющие причислять заданную систему к разряду "хаотических". Правда, эти критерии не всегда легко применимы к конкретным проблем ал I.

Так, одним из наиболее распространенных методов анализа хаотических свойств нелинейных динамических систем является вычисление характеристических показателей Ляпунова и энтропии Колмогорова-Синая; эти методы, однако, эффективны лишь для систем малой размерности.

Другие меч оды включают анализ геометрических свойств фазового пространства, в частности, знакоопределенность двумерной кривизны фазового пространства , перекрывание резонансов Чирикова, сечение Пуанкаре и т.д., которые достаточно эффективны при компьютерных исследованиях. Представление системы в виде итерационных отображений в ряде случаев позволяет получить информацию о конкретном механизме перехода к хаосу. Дело в том, что хаотическое поведение не зависит от конкретного вида итерационного отображения, а, при определенных необходимых условиях, как было показано Фейгенбаумом, является типичным свойством целого класса разностных уравнений. Поскольку условия появления Фейгенбаумовского перехода достаточно естественны (унимодальность функции - гладкость отображения с единственным максимумом в заданном интервале и отрицательность производной Шварца), то вышеупомянутый переход наблюдается во многих нелинейных системах. Существует тесная связь между гампльтоновыми системами с двумя степенями свободы п сохраняющими площадь отображениями двумерной поверхности на себя. И обратно, любую консервативную динамическую систему, заданную итерационным отображением, можно описать и гамильтонианом. который получается разложением отображения в ряд Фурье. Итерационные отображения, как правило, зависят от управляющего параметра, что эквивалентно величине возмущения в гамильтоновых системах. Например,для многих моделей включая Хенона- Хейлеса н Ула-ма (иллюстрирующей механизм ускорения Ферми космических лучей), показано, что при увеличении величины управляющего параметра траектории систем из регулярных становятся хаотическими. Во многих слу-

чаях таком переход происходит путем последовательного удвоения перп-

опТГЖйжеппя" шпоттгдо'пскоторого критического-значения параметра.----------- —

после Koiopniw .пшжеппе системы становится полностью хаотическим. Разработан ряд количественных характеристик для описания хаотического cm нала. В рамках данного подхода также можно проводить классификацию споем- по различнымпутям перехода к хаосу. В настоящее1 время II mee i пи. ¡ю крайней мере, три механизма, по которым повеление не пшепних динамических систем становится хаотическим.

Существует обширный класс геометрических методов, позволяющих исгле/юка и, поведение динамических систем. В частности, строгие результаты получены для геодезических потоков на компактных многообразиях с отрицательной кривизной: близкие геодезические расходятся со скорое uno не ниже экспоненциальной, как в случае однополостпого гпнербо. юпла. '):п системы являются системой Аносова, имеют положительную КС- жтропшо, обладают счетнократным лебеговским спектром п перемешиванием всех степеней.

Этот геометрический подход мы используем как для описания степени хаотичности систем N гравитирующих тел (критерий кривизны Рич-чп).а laiwue i :■,! ,н i юдованпя иерархической подструктуры э гпх анчем: последнее нь. щ,>„пч разработку семп wiствукмцего алгори тма с jiw.xvn-loiiiHM приMei:e¡(нем к конкретным фишческтгм системам - скоплениям i a. i а к i п к.

Meio:i S 1реве(ных диаграмм, в оглпчпе от других с гатис i ичеекпх четдов са.\ю(о| ¡асованным образом 1нчюльзует как позиционную. 1ак п чпнема i inn i.\¡o информацию о частицах системы.

Целью настоящей диссертационной работы является исследование \aoi пче< кпх i: iнтглярпых свойств некоторых классов динамических ni-■|ем с номишмм ряда численных методов и алгоритмов. Исследованные ■истомы выделяются своей сложностью среди систем paccMoiренных palee. и хотя они имеют первостепенный астрофизический интерес, результаты и выводы .могут иметь более широкое применение. Статистические •войства cm i с м \ ie.ii занимают особое место в спектре этих проблем.

В данной раГняе в одних случаях мы используем известные крше-шп п соответствующие алгоритмы для систем, к которым они ранее le прнмепя инь. в чругпх - нами развш ы соответств\лоупше алгорпи 1Ы, которые за тем применены к конкретным проблемам. Л именно, мы

применяем следующие методы изучения статистических свойств нелинейных динамических систем:

1.Определение показателей Ляпунова и КС-энтропии

2. Метод кривизны Риччи

3. Бифуркации итерационных отображений

4. Геометрический метод в-диаграмм.

Научная новизна.

1. Для цепочной системы <¿>-4 обнаружена область сильной нестабильности при определенных значениях параметров А и В путем применения метода показателей Ляпунова.

2. Система Кониши-Капеко впервые исследована на предмет существования бифуркаций удвоения периода. Обнаружено наличие бифуркаций при переходе к хаосу и численно определено значение постоянной Фепгенбаума о п оценено критическое значение управляющего параметра к.

■¡. Впервые критерий Рпччи относительного хаоса применен к численному исследованию статистических свойств гамильтоновых систем в зависимое 1п ог времени.

4. Впервые разработан алгоритм обработки выходной информации метода 5-древесных диаграмм.

о. Разработанный алгоритм обработки информации метода Б- диаграмм применен к реальной системе, а именно для выявления иерархической подструктуры скоплений галактик.

Практическая ценность работы

Геометрические .методы описанные в работе исследуют свойства фазового пространства и как критерий нестабильности рассматривается отрицательность кривизны фазового пространства. Это позволяет также избежать вышеупомянутые сложности и, например, основного недостатка метода характеристических показателей Ляпунова и КС-энтропии • отсутствия универсального условия для выбора необходимого количествг итераций.

Проведенный анализ системы Кониши-Канеко дает новые возможно стп для исследования различных физических систем с большим количе

r i ном частип. т.к. позволяет избежать многих трудностей, связанных с изучением статистических свойств системы N-тел.

Алгоритм обработки выходной 1Тш]юрмашш метода"S-древесттых диа---------------

i рамм шачптельно облегчает исследование систем большой размерности. что особенно ощутимо в случае N > 1000 частиц.

IV (v iь i a i ы работы в целом показали необходимость тщательного подбора численною метода н соответствующих критериев при исследовании cía пк шческпх свойств заданной нелинейной системы: геометрические меюды при 'пом. как показано, обладают особой эффективностью при изучении многомерных систем.

На защиту выносятся:

1. Исследование хаотических свойств цепочной системы ¿>-4 с примененном численного метода характеристических показателей Ляпунова и определение зависимости КС-энтропии от параметров системы.

2. Численное исследование итерационного отображения - системы Конппш-Канеко и обнаружение механизма бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу. Определение основных количественных харак-:ерпс нп. - мое шятптоп Фейгеттблума н порогового значения параметра

• i. II. с К'.'ижапне хаошчпосш .\-часi нчной систем],! с помошыо алю-рп i ма криви шм 1'пччп. Определение зависимости крнжппы 1'пччп от [).((личных парамсi ров - энергии п вращательного момсчпа.

I. l'aipaúoiKa алгоршма обрабогкп выходной информации меюда S-тревесных дпа1'рамм п его применение к скоплен ню галактик Персея.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на .тешен школе но космо км ни и астрофизике (Ватикан. 1995). на симпозиуме по релятивистской астрономии (Рим. 1995). на Армяно-Французском коллоквиуме по астрофизике (Вюракан, 1995), на семинарах в ЕрФИ, ЕГУ, университетах Ла Сапиенпа (Италия). Оассекс (Великобритания), в обсерватории Медоп (Франция).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения,

че1ырех i.ian. Чаключення п списка литературы; содержи]' 106 страниц

напечатанного текста, включая 13 рисунков и 78 библиографических ссылок .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении описан круг изучаемых проблем, изложено краткое содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту.

1. В первой главе диссертации приводятся некоторые общие сведения из теории динамических систем, даны определения гладких динамических систем, показателей Ляпунова, КС-энтропии и т.д., которые используются в последующем изложении.

Далее описанный метод характеристических показателей Ляпунова и КС-энтрошш применен к нелинейной гамильтоновой системе - цепочной системе с потенциалом Ф — 4 [1].

N 2 N п2 п N

» = £ + - Вх} + £г) +1 - *0а,

с целью выявления зависимости хаотических свойств от параметров пи н'мы. Вычисления проводятся с помощью алгоритма Бенеттина и соавторов. Выявлена зависимость КС-энтропии от параметров А,В,С. Ре-плыаты вычислении выявили эффективность примененного численногс метода, так как четко показали вклад отдельных членов потенциала г параметров в определении регулярных п хаотических областей системы

2. Во ь,порой главе диссертации исследуется итерационное отображе пне Конишп-Канеко [2]

РГ1 =р? + А5>п2*(лу-1?), 1=1

= х?+р?+1;(тос11),

позволяющее моделировать поведение системы N гравитирующю тел.

Эта система введенная в 1992 году, в настоящее время является од ним из наиболее сложных отображений среди исследованных на предмет выявления бифуркационного механизма перехода к хаосу.

ОсАхбыГГпптерег к-этой-сложной-системе обусловлен показаным Ина-гакп соответствием ее свойств с принципами термодинамического формализма для гравитируютцих систем. Вместе с тем, данный метод по-нюлиет избежать основных трудностей задачи N-тeл - некомпактности фазового прос транства и сингулярности потенциала.

В рабою показано налгите бифуркаций удвоения периода для этой сIн юмы и по'ючепы количественные характеристики, описывающие переход 1С хаосу. Результаты согласуются с полученными ранее результатами исследования этой системы с помощью показателей Ляпунова, однако памп выявлен 1акже механизм перехода, к хаосу. Вычислены значения константы Фейгенбаума и контрольного параметра соответствующего порогу хаотичноегп:

■ >. I'pt nihil ,'.iiii,'i лпссер | аипи посвящена псслс/юваншо устойчмвосз п I !И ЮМЫ N pa В11 I 1! p Y [Ol 111! X i ел с та Mil. I ьт ониа ном

с номошью тео.метрических методов (ш, -масса частиц). А именно, для анализа относительной хаотичности (устойчивости) разных конфи-м ранни применяемся метод кривизны Риччи. Невозможность прямого применения меюла показа lejien Ляпунова и КС-энгрошш делает' особо актуальным применение более сложных геометрических .методов, каким является метод кривизны Риччи.

('истема сведена к исследованию поведения геодезического потока на римановом мпоюобразпи с помощью принципа Мопертгоп и уравнения Якоби, i.e. уравнения расхождения геодезических [3]:

где Z"{s) вектор расхождения, а кривизна К определяется формулой

6 = 8.72...

tx, = 0.1307...

Z"(s) + K(s)Z(s)=0

(УИ-Т2 - \Vi\W А' = 2ГКз ; \¥ = Е-У(г).

Критерий относительной хаотичности основан на вычислении коли чествеиной характеристики - кривизны Риччи в направлении скорост: геодезической и

С \ __

~ || и ||2 '

где = - - тензор Риччи .

Описан метод п алгоритм численного определения кривизны Ричч для системы N гравитирующих частиц. Приводятся, результаты вычк сленип кривизны Риччи для систем N тел с различными параметрами вращательным моментом, энергией и т.д. Впервые метод Риччи приме ней к гамильтоновым системам эволюционирующим во времени.

Известно, что большинство систем с неотрицательной кривнзно! каковой н оказывается рассматриваемая система N тел, являютс "регулярно-стохастическими", т.е. их фазовое пространство представл; ет собой чередование регулярных и стохастических областей. Метод крр визны Рпччп именно позволяет получить количественную меру череде вання этих областей, что и определяет статистические свойства эти систем.

4. В четвертой главе диссертации развивается метод Б-древесны диаграмм [4] - с введением параметра связности р, и р-связных подгруш

В общей постановке задача сводится к определению подмножеств Л С Л', для которого существует функция

Ф : Я6 х Л В3,

удовлетворяющая условию

Ф(1;,Г,-1А1-) = 0,

Развит обобщенный метод Б-диаграмм, применимый для произвол! ных параметров связности. Дано обобщение метода в случае неточе1 ностн частиц, а именно, в приближении множества сфер. Разработа алгоритм обработки таблиц выходной информации. Работа алгоритм

иIюн. i. поГГр/нровпил" па примере- реальной- системы - скопления галак-111 к Персея. Выявлена иерархическая структура системы, что включает ичент пфпкашпо подгрупп н вычисление их основных параметров.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. I )сс. к'/ювапо фазовое пространство цепочной системы и показано пашчнс ooiacin сильной сгохасгнчностп при определенных значениях параметров. Найдены количественные характеристики степени сто-

iiiMiiociH - показатели Ляпунова, и КС-энтропия в зависимости от параме фон cue icmu.

2. Показано существование бифуркаций удвоения для итерационной системы Конишп-Канеко. С помощью компьютерного анализа бифуркаций показано наличие именно этого типа перехода к хаосу у данной си-с i емы. Вычислены универсальная константа Фейгенбаума и критическое шачеппе контрольного параметра, соответствующее порогу перехода к хаосу.

■ !. (' i iu.\¡¡ im i,к; к ри i ери>| крпвп niu Ри ч чп относи i о. плюй хао гпч нос i н м hoi oMepm.ix не пшенных curie м исследованы ращые коифпг\ paium X ¡ >,1 mi i и р\ ют пх им. Пока .alio убыв а н не крпжины 1 'и ччн по мерс \\меш,-пеппя в| ы i па i ел ыю1 о мочен ia симемы. чн> яв.тжмея ко. ш чес i вон поп мерой \'( 11. ЮПИ я хао I и чес к их свопе 1 в.

I. I'aipaöoian атгорптм обработки выходной пиформаппн для метода i-лрсвсс них диаграмм, для исследования иерархической нодструк туры •цстем N тел.

ó. I'amiin.ifi a.iiopirj'M S-дпаграмм применен к реальной физической

п< юмо - скоп, iciiHio галаппк и выявлена ее подструктура.

Цитированная литература

1. М lit м like (!.. Bahr Г.. KS-eiiU'opy and Lyapunoy Spectinm of a One-Dimensional Ö-4 Lattice Model, J. Pliys. D, 69, 302, 199:3.

2. Ixonislii X.. Kaneko K.. Clustered Motion in Symplectic Coupled Map System. J. Phys. A., 25. 6283, 1992.

3. Арнольд В.И., Математические методы классической механики, М. Наука,1989.

I. Gurzadyan V.G., Kocharian A.A., Paradigms of the Large Scale Universe. Gordon & Breach, 1994.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Melkonian A.A. - Revealing the Chaos in Astrophysical Problems, IA.J 22. 1-17-152. 1995.

2. Melkonian A.A. - On the Behaviour of KS-Entropy Depending of Parameters of Nonlinear Systems, Preprint YerPhi - 1452(22), 1995.

3. Melkonian A.A. - The Behaviour of KS-entropy of N-body Systems and Ricci Curvature, Astrofizika, 38, 718-720, 1995.

I. Gurzadyan V.G., Melkonian A.A., Oganessian K. - On the Properties of Konishi-Kaueko Map, Nuovo Cimento, 309-311, B112, 1997.

5. Gurzadyan V.G.. Melkonian A.A., Oganessian K. - Konishi-Kaneko Map and Feigenbaum Universality, Astrofizika, 38, 715-717, 1995.

(>. Вокаряи K.M.. Мелконян A.A. - К исследованию подструктуры скоплении галактик методом S-Диаграмм: неточечное приближение, Астрофизика, 40, 425-432, 1997.

7. Мелконян A.A., Никогосян Е. - Исследование сверхскопления галактик Персей 1997, (в печати)

TXiIiJimJimqtiri

'uj/i/wi UpinuipLufi irLipnDjiuG "i<hluijfiri tfhpmiGtipli IjlipuinnipjniGp n[ uj{iG rtliQuiiIiiliuiliUiG huixluiliuipqhpnli hhuiuiqniniiuiG huiiluip"

ihit Artashes Melkonian "Application of numerical methods for estigation of the nonlinear dynamical systems"

"<tLmuiqnuii[m& t <D4 jHPuiJUiUuiC huniuilpiipqji ijxnquijliG mmpui&mpjniGp — gmjg t mpijm& mdhrj umnJuummiiljmpjuiG in]ipm.jp]i qnjnipjniGp uiuipuniUuvphp]i npn2 mpdhpQhpii hunSrnp: Q-inCiliufi t umnluuiuuifilimpjuiC uiumtiiSuiGli puiQuilpiiliuiD pGnipuiqpti$Ghp - LjuiupuGnijli gnigfoGhpfi — liU - l:Gmpnii[fiuijfi Ijuiiuniilp huiiluilpiipq}i iqmpunllimphp]ig:

5mjg t uipi]ui& lipliQuiuiuiuiliiIuiQ pfi^ntplpngliuiGhpli qnjnipjniGp *mGfi2ti-*iUiGtilin timhpuigjmG hiuiluiliuipqtx huiiluip: Pli^nipljuigJiuiGhpli liniluyniuibpuijliG uiGiuijiqfi ilfijngnil gmjg t

inpi^uiii pmnuJiG uiGgiiuiG mijjuii p—Ji uinl}mjnipjniGp hUmuiqnini}ui& hunluilpiipqli huiiluip: <ui24ilui& hG ibhjqliGpuinuIli niG]ii[hpuui| huiumuimmGp l ilhpuihul}nii lympuiiitimphpli UpJiuitiliuiliuiG rnpdbpp, npp hunluiupiimuIuuiGnui 1. puinujiQ uiGiigiiuiG 2hi51iG:

Pjiiili linpmpjuiG $uii|iuiG{i2li ilfengmj (puiqiluijuiiti n^-q5uij}iG huiiIuiUuipqhpli huipuiphpmliuiG puinmJilinipjuiG ilhpuiphpjuii) hUmuiqnmi|ui& hG N qpuiiljimuigtinG i!uiufi]iliGhp{i uiwpptip linG^JigmpuigiiiuGhp: 5mjg t mpiluifr PJiiili linpnipjuiG Giluiqniilp huiiimUuipqli ujiJimuilpuG ilnilhGmli GijuiqiluiG hhrn iIJiuiufiG, npp uipuiuihuijinnui t p_mnumj|iG huimlpupjniGGtipfi iMiiuiG pmGmliuiliuiG iUiifiji:

N-iIuiuD}iliuiGli huiilmliuipqli hfihpuiplujili UGpuiliiunnrgiluibpli hlimuiqnuiiIiuG huiiluip i^wlpjuid t S-i)uinmj]iG r]tiiuqpmiIGhp}i ilhpnqfi hipuijJiG tiC^npiIuigliuij^ ii2uil}iIuiG uqqnplipil: Uqqnplipilp lllipiuniluib t ^JiqjilpuljwQ hmilmliuipqhpli huiiimp: