автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.07, диссертация на тему:Изгиб железобетонных балок с наклонными трещинами

Національна академія наук України Фізико-механічний інститут ім.Г.В.Карпенкц

ОД

на правах рукопису

Зіяд Рашид Каддур

ЗГИН ЗАЛІЗОБЕТОННИХ БАЛОК З НАХИЛЕНИМИ ТРІЩИНАМИ

05.02.07 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Львів - 1997 р.

Дисертацією є рукопис Робота виконана в Фізико-механічному інституті ім.Г.В.Карпенка НАН України.

Науковий керівник:

Офіцішіі опоненти:

кандидат фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник .

Бережницький Лев Теодорович

доктор технічних

наук,професор

Стадник Мирон Михайлович

кандидат технічних наук,старший науковий співробітник'

Лучко Йосип Йосипович

Провідна ■ Науково-дослідний інститут

організація: _ - технології виробництва

. будівельних конструкції!

* Державного комітету України у справах містобудування і. архітектури, м.Київ Захист відбудеться 2 липня 1997р.,о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.04.01.03 в Фізико-механічному інституті ім.Г.В.Карпенка НАН України, за адресою: 290С01, м.Львів, МСП,

вул.Наукова, 5. _

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Фізико-механічного інституту ім.Г.В.Карпенка НАН України. • .

Автореферат розісланий “ (7/ ” 1997року.

Вчений секретар',

спеціалізованої ради Ншшфорчин Г.М.

Загальна характеристика роботи.

Актуальність роботи. Залізобетон у всіх його різновидностях став основним будівельним матеріалом. Якщо врахувати великі і всезростаючі масштаби будівництва у всьому світі, то можна собі уявити, як важливо вміти раціонально проектувати залізобетонні конструкції, адже навіть невелика економія матеріалу на конструкціях масового застосування дає значну економію матеріальних ресурсів.

Раціональність і економічність конструкції, що проектується, залежить від багатьох факторів, в тому числі і від прийнятого методу розрахунку конструкції.

В числі факторів, що утруднюють створення методики розрахунку, слід відзначити наявність тріщин в розтягнутих зонах залізобетону,, які витікають при порівняльно малих навантаженнях внаслідок низького опору бетону розтягові. Крім того, бетон працює сумісно з арматурою, тому необхідно враховувати різнофазність залізобетону. Оскільки' в більшості залізобетонних конструкцій при експлуатації утворюються тріщини, то зрозуміла важливість оцінки їх напружено-деформованого стану при наявності тріщин. Вони можуть бути як нормального розриву, що перпендикулярні до осі балки, так і нахилені до її осі. Останні, як правило утворюються в околі опор, закладення балки, точніше говорячи в тій її приопорній частині, де діють значні перерізуючі сили. На даний час є аналітичні дослідження утворення і розвитку тріщин нормального розриву в залізобетонних балках, що згинаються. Але практично відсутні аналітичні дослідження розвитку похилих тріщин. їх розвиток в значній мірі залежить від рівня дотичних напружень в бетоні біля опор балкй, тобто від частини вертикальної, арматури (хомутів), основне призначення якої -

сприйняття частини дотичних напружень. Розрахунки необхідної частини цієї арматури проводять до емпіричних формул, які різні в різних країнах.

Тому необхідно володіти аналітичним розв'язком задачі про залежність дотичного напруження в бетоні від частини вертикальної арматури і, як наслідок, визначити довжину похилих тріщин від ЇІ частини. Цей розв'язок повинен бути заснований на рівняннях теорії пружності і механіки руйнування.

Механіку руйнування враховували при розрахунку бетону, залізобетону і конструкцій з них такі вчені як Андрейків О.Е., Бережницький Л.Т., Зайцев Ю.В., Гладишев Г.М., Дорошкевич Л.А., Зайцев Ю.В., Залесов A.C., Лучко Й.Й., Мухітдін, Панасюк В.В., Пересипкін Є.М., Русинко К.М., Трапезников Л.П., Чубриков В.М.. '

Отриманий нами розв'язок дає можливість оційки необхідної частини вертикальної .арматури, що і визначає актуальність роботи.

Метою роботи є розробка методу врахування впливу вертикальної арматури на напружено-деформоваїшй стан (НДС) балки; виведення і розв'язання системи сингулярних інтегральних рівнянь,, що описують розкриття берегів похилих тріщин в приопорних ділянках, обчислення коефіцієнтів інтенсивності напружень і визначення, згідно критерію Ірвіна, довжини тріщини в залежності від величини навантаження і густини армування; порівняння а експериментом і практичні рекомендації, що витікають з аналізу отриманих залежностей.

розв'язок задачі теорії пружності при згині однорідної ізотропної балки. Він будується з врахуванням наявності кінцевості опорних ділянок, які сприймають тимчасове навантаження. В такій поставі точно задовільняються граничні умови на кінцях балки, а не

В роботі приведено уточнений

тільки з точністю до принципу Сен-Венана. Цим відрізняється запропонований розв'язок від загальновідомих, де наявність опор не врахонується. В них розв'язок задачі про згин балки підміняється згином смуги, до торців якої прикладуються дотичні зусилля, що зрівноважують поперечне навантаження. Але закон розподілу цих зусиль невідомий, тому вказаний розв'язок непридатний в околі торця балки, де утворюються, похилі тріщини. • ■

. В подальшому в роботі запропонований метод врахування впливу вертикальної арматури на НДС балки. Вважаємо, що в поперечному перерізі балки нормальне і дотичне напруження в бетоні і арматурі співпадають між собою, відрізняється тільки нормальне напруження в горизонтальних площинах в бетоні. Приймається, що відносне видовження бетону і арматури в напрямку останньої, співпадають між собою. При цьому НДС як в бетоні, так і арматурі знаходиться за допомогою неперервних функцій.

Складена система двох інтегральних рівнянь, одне з "ких сингулярне, що описують розвиток похилої тріщини. Рівняння містять дві невідомі функції - похідні від нормального і дотичного розриву зміщень

протилежних берегів тріщини.

Віднайдені КІН Кі і, згідно формули Ірвіна, отримані критичні довжини похилої тріщини.

Підтверджені експериментально отримані в роботі аналітичні залежності

Практична цінність. Отримані аналітичні залежності доведені до числа і графіків. На їх основі робляться висновки про (не)відповідність рекомендаціям СНиПу і даних, що витікають із наших досліджень. Визначені оптимальні розміри армованої балки.

Достовірність і обгрунтованість представлених в роботі результатів і висновків слідує із

фундаментальних положень механіки деформованого

тіла і механіки руйнування; співставлення розв'язків, отриманих різними методами; контролю точності вичислень на ЕОМ. •

Для розв'язання задач автор застосовує наступний математичний апарат і методи дослідження: методи рядів Фур’є; методи механіки деформованих тіл; числові методи розв'язку сингулярних рівнянь, зокрема метод механічних квадратур; методі: механіки руйнування з

експериментальні методи.

Автор захищає такі основні положення:

- визначення НДС суцільної пружної балки з точним

задоволенням граничних умов на її торцях при дії на неї розподіленого навантаження і при врахуванні кінцевості приопорних ділянок; ' •

- встановлення НДС в суцільній балці, що армована

вертикальними хомутами; .

- визначення функцій напружень .Мусхелішвілі для

пружних однорідних і ізотропних напівплощин і площини, що послаблені двома розрізами, нахиленими під кутом а-п/4: до границі півплощини; .

- складання і розв'язок системи двох інте.ральни.::

рівнянь, що визначають НДС в балці, що згинається і послаблена двома похилими симетричними відносно середини балки тріщинами; • . '

- практичні висновки із отриманих розв'язків про необхідну кількісну величину армування балок.

Публікації. По темі дисертації опубліковано 4 друковані роботи. З них одна стаття депонована журналом ФХХМ, дві статті вийшли в журналі ФХММ, одна стаття - в матеріалах II Міжнародного симпозіуму "Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій". Львів-Дубляни, Україна, в 1996році.

опубліковані в співавторстві. '

<

В співавторстві опубліковано 2 роботи, [3,4] в яких співавтору належить участь в постановці задачі, методів розв'язку, і аналізу отриманих результатів.

Апробація роботи. Основні результати і положення дисертації в цілому доповідались на II Міжнародному симпозіумі "Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів та конструкцій" 710 жовтня 1996 року, Львів - Дубляни, Україна, у відділі механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту, та на загальноінститутському семінарі з механіки квазікрихкого руйнування, на кафедрі ' теоретичної механіки Держуніверситету "Львівська політехніка", на семінарі з крихкого руйнування в інституті механіки НАН України, Київ.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, шістьох глав, основних результатів ■ і висновків, списку використаної літератури.

Загальний об'єм роботи 140 сторінок, в тому числі 39 рисунків, 3 таблиці. Список літератури містить 11<і назв. .

Основний зміст роботи.

В першій главі приведений короткий огляд робіт з міцності бетонних і залізобетонних балок, з якого витікає актуальність даної дисертаційної роботи. Приведені також деякі відомі плоскі співвідношення теорії пружності, що використовуються в подальшому.

Оригінальний матеріал розпочинається з другої глави. Вона присвячена визначенню НДС суцільної балки, що згинається. Дія опор замінюються розміщеним на кінцевих ділянках постійним, або змінним, згідно лінійного закону навантаженням. Розглянуто балку, яка лежить на двох шарнірних опорах під дією розподіленого навантаження р(х).

Поперечний переріз - прямокутник одиничної ширини і висоти Н. Балка розглядається, як ізотропне лінійно-пружне тіло доз: ини 2Ь. Нижній і верхній край балки вільний від дотичних напружень, а на торцях напруження повністю відсутні. Граничні умови задачі наступні

оу=-р(х), при у=Н ;

ху=0, при у=0, у^Н ;

(1) ' ах = тху=0, при х=±Ь .

Розв'язки цієї задачі повинні бути уточнені,

оскільки тріщини виникають з безпосередній близькості

від опор, а відомі формули отримані при умові заміни балки пруйсною смугою, до бокових граней якої прикладені дотичні зусилля тху , що зрізноважують навантаження р(х)=соп8І;, тобто •

! ГхДІ-іУМу = рЬ . • ' (2)

о '

В різних розв'язках отримують різні значення на торцях, що задовольняють умову (2), хоч на деякій віддаленості від опор. Згідно принципу Сен-Венана всі ці розв'язки дають вірогідний опис згину балки.

В другій главі дано новий, більш точний, розз'язок розглядуваної задачі. '

Опорні реакції замінимо розподіленим навантаженням, що діє на деякій ділянці (ширині опори). В першому випадку (постійні реакції) маємо: <*х=-а(х) , при у=0, (3)

де q(x'r=(0, Оі|х[^Ь-а,

. . ч, Ь - а ^ |х| і Ь,

де а - ширина опори.

Таким чином, визначення НДС суцільної балки зводиться до розв'язку задачі теорії пружності з граничними умовами (1) і (3).

Задачу розв'язуємо методом рядів Фур'є. Розкладемо.навантаження р(х) в ряд Фур'є, ввакор.гочи р(х) парною функцією. При відсутності вільного члена:

р(х)= £ РкС05ОГ;сХ. (5)

к=1

де в нашому випадку рівномірного навантаженн* після інтегрування отримаємо:

рк = тАР-Г<-(~1)П+1’ ПРИ к=2п-1; Р2к=0 (6)

*• (2п - 1)я-

4ч(-І)Ьг

соз(2к- 1).та

(?)

л(7к-1)

Задовільняючи граничним умовам, умовам при х=±Ь, сх=0, ау=я(х) при у=0, хху=0 при у=0 отримаємо в функції напружень Ері •

ак = ТГ при к=2п~1’ Ак =-4-> вк= -<ХкВк <8)

2Ь <*к Для знаходження иєеідомих коефіцієнтів функції Ері Вк і Ск маємо умову тху=0, сту=-р(х) при у-Н/ Як наслідок отримаємо розв'язки, які точно задовольняють умовам (1), (2) і (3),

при умові І^-рІї^а^, що витікає з умови рівновагі* балки. Для конкретних обчислень на ЕОМ приймаємо, що "

аку»1. Тоді кЬ2акН>а2кН2, БЬаку=сЬаку (9)

і розрахункові формули значно спрощуються.

Аналогічно розглядається задача при лінійному

законі зміни розподіленої реакції. При цьому

Методом рядів Фур’є розглянута нами допоміжна задача про рівновагу капівнескінченної смуги, до торця якої прикладена самозрівноважена система дотичних напружень, знайдена в ході розв'язку першої задачі. Розв'язок вихідної задачі з граничними умовами (1) отримаємо таким чином: ’

сгх=ах1-ах2; '7у=ау1-0у2; ^ху^хузг^хуг • (И)

При розв'язку допоміжної задачі для ' напізнес інченої полоси на верхніх і нижніх кромках (У=0, У~Нї виникають доілчні тху і гормальні напруження сгу. Про їх малу величину можна судити з таблиці, приведеної в дисертації. Задача доведена до числа. При розрахунках приймали Н/т-і=0.3, a/L=0.1.

На рисунках, приведених в дисертації, показано-розподіл напружень по висоті і по довжині балки, на опорі і в двох варіантах: постійних і лінійно змінних реакцій поблизу опор.

Спізставлено и триманий аналітичний розв'язок з формулами опору матеріалів. З цих ^співстазлень при різні« варіантах опорних реакцій слідує, що принцип

Сен-Векана справедливий при \х! < 0.8. Над

опорами, в місцях розташування нахилених тріщин, користуватись формулами теорії опору матеріалів не можна. .

В . третій • главі розглядається аналогічно навантажена балка з поперечною арматурою.

Поперечна арматура по суті є паралельними стальними хомутами, що близько розташовані один від одного. їхні осі знаходяться в серединній площині балки, паралельно більшій стороні її прямокутного перерізу. Оскільки стержні знаходяться близько один від одного, то їх взаємодію з бетоном в першому наближенні можна описати неперервними функціями (як би хомути складали суцільну тонку частину). Контакт між бетоном і арматурою вважаємо ідеальним. Бетон і хомути вважаємо ізотропними однорідними лінійно-пружними тілами, модуль пружності Юнга і коефіцієнт Пуасона бетону позначимо через Е і V, тіж величини для арматури - Еа, Уа. Внаслідок взаємодії бетону і арматури в тілі виникає дотичне напруження хут. Компонента напружень тХ2 відсутня, оскільки

вертикальні хомути не перешкоджають видовжуватись (скорочуватись) бетону в горизонтальному напрямку. Наявність компоненти ту, означає, що в розглядуваному складеному тілі визначення НДС зводять до просторової, а не плоскої задачі теорії пружності. Однак розв'язок такого роду трьохвимірних задач є виключно важким завданням. Ця трудність обійдена нами наступним чином:

при у=0;

-Я н і при у=Н;

^=0 ‘ при у=0, у=Н; (12)

я II II о при х=±Ь.

Ці умови доповнюються вимогою співпадіння відносного

видовження бетону єу і арматури єуа, тобто

- 10-

£у Буа . (^)

Введенням в розгляд функції Ері и і невідомої поки що функції V, ми з рівнянь рівноваги отримаємо таке рівняння сумісності бетону і стальної пластинки:

<?4и а4 и /и /V ог V

~~7 + 2~Т~7 + ~~7 = ~7Г + » (14) '

дх. ск ду ду Зі

= (Ед -Е)Ьд (-у.Е+уЕ.)Ь, Уи ..

. Е, Ь1+Е(Ь-Ь,) А2 Еа Ь: +Е(Ь-Ь1) вуг

Отже основним рівнянням задачі в .третій главі, буде:

_ <?4и ¿?4и _ Л /1ЙЧ

0і1^+20’^+0^=0 ' (16)

де введеш наступні позначення:

С,= !...<Ба.-Е)Ь, (-у.Е + г^-^Ь,

1 Е.Ь.+Е^-Ь,)' 2 Е.Ь,+Е(Ь-Ь,) '

П,= • ,17)

3 Е.Ь.+ЕО^Ц) ' ’

Як і в другій главі, при розвіязанні цієї задачі використовуємо ряди Фур'є і симетричність граничних умов, визначимо необхідні постійні, компоненти тензора напружень і постійні інтегрування. Методом рядів Фур’є отримаємо необхідний розв'язок

капівнесіш і1-: енної полоси, до торця якої прикладена система самозрівноважених дотичних напружень, знайдених при розв'язку першої задачі з арматурою.

Різниця цих результатів дасть нам вислід, який відповідає умовам (12).

Як і в другій главі, приймемо при обчисленнях, що Н/Ь=0.3, а/Ь=0.1, а Ьг товщина армованого шару, знаходиться з умови рівності площі поперечних перерізів всіх вертикальних хомутів і площі армованого шару

^к = Ь,Ь, (18)

де сі - діаметр арматури,к - кількість хомутів по довжині балк л, •

І/- довжина балки,Ь=0.15м - щиріша балки.

Крім того, взято модуль пружності бетону Е= 2х105кг/смг= 2хЮ10Па= 2х104МПа;Модуль пружності арматури Еа= 2х106кг/см2= 2х1011Па=::

2х105МПа;Співвідношення модулів пружності Еа/Е=10;Коафіцієнт Пуасона бетону у=0.2; арматури -Уа=0.3.

Результати обчислень при ЬІ=0, Ь1=0.2мм,

Ьх=0.4мм приведені в таблиці і рисунках в дисертації. На рисунках показано розподіл дотичного напруження по висоті балки в різних її поперечних перерізах і при різних товщинах арматури. Як видно, збільшення товщини армованого шару пркводить до зменшення дотичного напруження в поперечному перерізі балки. Це тривіальний результат, однак отримані дані дають -можливість просто знайти це зменшення. Його молена виразити за формулою

г,й) = {і-100^Г *,,(<>), (19)

де тху(Ь1) - дотичне напруження в поперечному перерізі балки при наявності армованого шару товщини , -Сху(0) - при його відсутності. Для наших розмірів ш=0.7.

При цьому похибка формули (19) не перевищує 1% при В!=0.4мм і швидко зменшується при менших Ьь а точність формули (19) збільшується. Значення формули (19) зростає, якщо врахувати, що т^О) з певного

точністю можна вирахувати і згідно формулі

Журавського.

В четвертій главі за допомогою теорії функції комплексної змінної визначені методом суперпозиції, потенціали напружень в пружній однорідній площині і напівплощині, що містить дві похилі тріщини, які виходять на їх край. Все розпочинається з пружної площини р нескінченним розрізом вздовж . від'ємного напрямку (напівосі) Оу, в якій проекції переміщення и і V зазнають розриву, причому "

(20)

■ Б=Е/87с, А^Яі+Хгі; ' '

де Ди=Я^ ; ' х=0, у<0,

ду=_і_2!;ц; х=0, у<0. (21)

формули (21) визначають фізичну і механічну суть параметрів І Х2. Паралельним переносом, поворотом і методом суперпозиції отримано розв'язок, що

наведений тут. Може виникнути запитання: . чи

правомірна тут суперпозиція. Адже наявність лівого розрізу обумовлює певні напруження на правому розрізі і навпаки. Тим не менше суперпозиція справедлива. Кожний розріз обумовлює переміщення для всієї півплощини, але розрив переміщень - тільки на самій лінії розрізу. В інтегральному рівнянні задачі

(главаУ) прирівнюються нульові напруження на

розрізах, обумовлені всіма факторами: обома розрізами і границею півплощини. '

- \ъ-

В п’ятій главі приведена система двох інтегральних рівнянь, одне з яких ‘сингулярне, для опису розвитку похилих тріщин в приопорних ділянках балки. їх довжина визначається критерієм Ірвіна. Проведено порівняння з експериментом.

■ Експериментально встановлено, що при поперечному згині балки в ній виникають похилі тріщини в безпосередній- близькості до опор. Вони орієнтовані приблизно під кутом а=тс/4 до осі балки. Для простоти приймемо, що їх початки мають координати х0=±(Ь-а), у0=0. Вісь Ох направляємо вздовж нижньої грані, вісь Оу розпочинається посередині довжини балкй (2Ь).

В околі точок х=х0 , у0=0 при |х|<х0 , Уо>0 нормальні напруження незначні (стх~ау«0), а дотичні -максимальні при у=Н/2. Тому головні нормальні напруження діють на площинах, нахилених приблизно під кутом а=7с/4 до осі балки, Що пояснює орієнтацію тріщин власне під таким кутом;

Напруження в балці приймемо в вигляді суми складових:

СГТ СХ0"ЬСТХ5, Сту Суо+^уі > Тху > (22)

де індексами. "0" визначені напруження в суцільній балці без тріщин, а "1" - шукані напруження,

обумовлені наявністю тріщин. Задача полягає у пошуку напружень 0х1, ау1, . Вважаючи, що напруження викликані тріщинами, нехтувально малі на верхній поверхні балки у=Н, то їх значення можуть бути обчислені згідно формул для симетрично навантаженої півплощини [3.4]. В точках торця х=±Ь, у=0 дотичне напруження, визначене для півплощини, рівне нулеві, оскільки її границя , як вже вказувалось, вільна від напружень. Приймемо, що аналогічні умови для дотичних напружень задовільняються на торцях балки. Інша' ситуація з компонентою сх . Очевидно, що на

торцях стх^0. Тому на напружений стан півплощини [3.4] накладено позацентровий розтяг-стиск .

так, щоб в гочці (у—Н) умова егх=0 виконувалась точно, а в інших точках торця - наближено. Це виправдано тим, що при у—Н вплив тріщини малий (по обмеженні на її довжину). Таким чином, напруження в балці

Два інтегральні рівняння задачі, одне з яких сингулярне, отримаємо прирівнюючи. нулеві, (оскільки тріщини вільні від напружень згідно постави), напруження, що діють на розрізах, а також попередньо виражені ах2 через напруження схо, ау0, тх0 . Праві частини цих рівнянь ^(х) і £2(х) також виражаємо через охо, Оу0, ^хо - Допустимо, що тріщини не впливають одна на одну. Тому зупинимось на лівій тріщині. Опустивши ряд викладок, в кінцевому підсумку отримаємо:.

(23)

(25) •

} М*\ 1«++} Д,(*' +«До* = ),

І . _1 . / І

дег = -у-1, . </£-4(і)йі = , ^-змінні,

(Р\^) = (Р\(Г2^ + І)) = <р1(і)

При цьому

-45-

А(х\ g = ,

1 х'

Л2(х\ 4) = M2(x,Q-±a-jZ¡=)M6(Q, 4« 0 = М,(х, 0 - ±(1 - .

= -jÑtMíW.

Тут

Ml(x\Ç) = 4Dxf

X2 + 4x4 + 42 . (x2+?Ÿ

M2(x',4)~ 2D

1 -Xs - фс4 - б£2х3 + 3£4x + £5

x-Ç

2\3

(*2+Г)

M^,í)^w4'píx~2-p, (х +ç2Ÿ

м ( • z\ ^nJcl("r2 + ^)

Ml(x'a'4J>-ö?7?7

M5(0 = 4Д-5W (a2+a*j2+t2)2'

(27)

Af6(0 = -4D

aç42{a42 + ¿)

(й2 +aÇ4fl + ç2)2 ’

х' і у' направлені вздовж.лівого розрізу 0^х’<1.

В шостій главі приведено розв’язок системи інтегральних рівнянь методом механічних квадратур, а також порівняння з експериментальними даними і приведенням задачі до таблиць, графіків і рисунків.

Систему інтегральних рівнянь (25) перетворимо в систему лінійних рівнянь відносно невідомих поки що коефіцієнтів "ау" (j = 1, п , і=1,2)

тут а^ коефіцієнти шуканої функції <рї , а а^2 - функції (р2, з виділенням особливості в кінцях тріщини. Величини аі1=хі при (і = 1, п); ^2~хі-п пРи (І — п + 1,2п).

задовольняючи її хоча б, в w точках хі 0=1, 4)

Х}Є[0,1). Розв'язок є нестійким відносно точності (тобто степені "пи апроксимуючогй поліному) при виборі X, згідно точок Чебишева, що задаються такою ж формулою, що і точки Ххуо в останній формулі (28), тільки в півінтервалі [0.....1). Ми, по суті, апроксимуємо поліном “п” степені невідомі функції в чу нерівномірно розташованих точках. Зі збільшенням степені апроксимуючого полінома крива проходить все ближче до кожної із точок, але в інтервалі між ними

(29)

Визначаємо ці коефіцієнти з рівнянь типу системи (29),

відбуваються дуже сильні коливання. Для ліквідації таких коливань слід застосовувати інші способи апроксимації, наприклад, інтерполяційні поліноми спеціального вигляду або метод найменших квадратів.

Із-за неточності вихідних припущень розз'язку задачі, а також значного розсіювання пружності і міцності бетону слід задовольнитись розв’язком для п=2, яке на 5-7% відрізняється від отриманого при п—1. Величина "лу", що визначає точність числового інтегрування сингулярних інтегралів з врахуванням вибору опорних точок для формування системи рівнянь згідно точок Чебишева, на точність обчислень цілком не впливає. Стійкість розв'язку залежить також (підтверджено експериментально) від вигляду функцій

°х0> ®у0> ^хуО •

В результаті встановлені функції розриву зміщень, які справедливі для довільної довжини тріщини. Критичну довжину тріщини знаходимо з додатісової умови - критерію Ірвіна. .

К!=К1с (ЗО)

Напруження на лінії продовження тріщини

де. К; - коефіцієнт інтенсивності напружень нормального відриву, розрахований для заданих геометричних параметрів балки і тріщини, С(х') -обмежена функція. На відміну від металів бетон надзвичайно чутливий до розтягуючих напружень. Тому критерій руйнування застосовують тільки по відношенню до нормальних напружень, а не до комбінації нормальних і дотичних складових. Після відповідних викладок

представимо :

х’>1,

(31)

К1=7іи2(1),

(32)

що співпадає з літературними даними. Тут и2(1) обчислюємо згідно формули (29)

. П . .

и2(1)=і2Ч (33) '

Величину Кі визначаймо через невідомі коефіцієнти аі;-, які рівні для однакових "п", але зі зростанням "п" будуть уточнюватись. Вихідними при розв'язанні системи (25), крім геометричних розмірів та" механічних характеристик, є напруження в балці при відсутності тріщин. В дисертації побудовані залежності коефіціснту інтенсивності Кь підрахованого згідно формули (33), від довжини тріщини (рис.1а,б,в). Кожному навантаженню р (р міняється від 1 кІІ/м до 10 кН/м) відповідає своя крива К:. Там же відкладено експериментальне

значення К1с=10°кН/м3>/2 (горизонтальна . пряма). Як бачимо, до навантаження ЗкН/м криві не досягають рівня К1с. значить, рух тріщини неможливий. В міру навантаження -. тріщина розвивається. Мінімальне поперечне армування збільшує міцність балки (криві Кі направлені вниз відносно лінії К1с). Ще більше суттєвий цей ефект при армуванні до товщини Ь^ОДмм. Поперечне армування підвищує надійність і перестерігає балку від руйнування поблизу опор.

Висновки аналітичних досліджень співставлені з результатами, виконаних на кафедрі ’ будівельних конструкцій Держуніверситету "Львівська політехніка", випробувань балок довжини 2.1м (в теоретичному плані 2м) з прямокутним перерізом 10x30см, як в даній дисертації. '

Значний розкид експериментальних даних зумовлений неоднорідністю бетону. Однак загальна закономірність росту тріщин вірно описується запропонованими співвідношеннями. Застосовність цих рівнянь до надійного опису деформування і руйнування такого неоднорідного матеріалу, яким є залізобетон -головне досягнення нашої роботи. Згідно з

,Кі

КгШв

Рнс.1.Графіки залежності між допжішою тріщини / І коефіцієнтом інтснснішості на:ір>жено для розвідуваної балки в залежності від вєлг.чіглч изва>тажеішя при різкій степені армування балки поперечною арматурою: а-вкпадок відсутності армаїурл; б-топщшіа армованого шару Ь]~0.1мм; в-П'овщнна армованого шару Ь|=0 -імм.

розрахунками, граничне навантаження по Ірвіну (менше якої тріщина не розвивається) залежить від товщини армованого шару Ь2. Граничне навантаження обчислюють згідно формули (ЗО), а із збільшенням Ь: приріст навантажешія скорочується. Аналогічна

картина і з критичними довжинами тріщин.

Другий висновок роботи полягає в тому, що не потрібно надзвичайно захоплюватися армуванням балки, оскільки ефект в цьому випадку може виявитись надззичайно малий. . ' "

Керівні документи (СНиП і т.п.) регламентують для балки розглядуваних розмірів діаметр арматури 6мм, віддаль між хомутами 150мм і відповідно товщину армуючого шару Ь1=0.19мм. Такі параметри балки близькі до оптимальних. ' .

. Основні результати і висновки.

І.Запропонований новий розв'язок задачі про згин пружної балки, який враховує кінцевість розміру її опор, що дозволяє точно задовольнити граничні умови на її торцях. Для отримання розв'язку методом рядів Фур'є розглянута допоміжна задача, теорії пружності про рівновагу напівнескінченної смуги, до торця якої прикладена самозрівноважена система дотичних сил. Аналіз отриманих формул показав, що ‘з точністю до 10% зозні на віддалі висоти балки від її торця справедливі формули опору матеріалів для дотичного (формула Журавського) і нормального (лінійний розподіл по висоті балки) напружень.

2.На основі вище відзначених розв'язків побудовано наближений розв'язок задачі згину балки, армованої поперечними хомутами, які представлені у вигляді стальної тонкої пластини. ' В поперечному перерізі балки і пластини компоненти напружень 0Х і тху вважаються рівними; не співпадають між собою в

бетоні і арматурі компоненти ау. Приймається до уваги дію складової ту2 , тобто враховується, що задача не є плоскою.

На основі відзначеного розв'язку, шляхом апроксимації складних залежностей отримала проста . формула для дотичного напруження в поперечному перерізі балки. Ця формула дає можливість просто визначити вплив арматури на розподіл дотичного напруження тху, зокрема визначити необхідну кількість (або діаметр) хомутів для обмеження вказаного напруження.

3.3 використанням відомих розв'язків теорії пружності про розклинення площини і на основі вищезгаданих співвідношень для балки з вертикальною арматурою, отримані наближені формули для компонент напружень в балці, послабленій біля опори похилою тріщиною. На ній зазнає розрив не тільки нормальна, але й дотігчна складова переміщення.

■ 4.Шляхом рівності нулеві напружень ау=тху=0 на березі лівого розрізу і в умовах малої його довжини отримано розв'язок системи інтегральних рівнянь, що описують рівновагу армованої балки, послабленої тріщиною. З метою спрощення задачі приймаємо, що нахилена тріщина розповсюджується вздовж площини її початкового розташування. Як характерно для задач теорії пружності розв'язок існує при довільній довжині тріщини. Її довжина знаходиться з додаткової умови -критерію Ірвіна. На відміну від метадів бетон надзвичайно чутливий до розтягуючих Напружень. Тому критерій приймається тільки по відношенню до нормальних напружень, а не комбінації нормальних і дотичних складових.

Встановлена 'залежність довжини тріщини від ^ величини розподіленого навантаження. Знайдено, зокрема, навантаження, менше якого похила тріщина в балці не поширюється.

5.Співставлені результати аналітичних .

досліджень з експериментальними даними. Має місце великий розкид експериментальних даних, що обумовлено неоднорідністю бетону. Разом з тим загальна закономірність росту тріщин вірно описується отриманими в даній роботі співвідношеннями. Застосовність рівнянь теорії пружності до надійного опису деформації і руйнування такого неоднорідного матеріалу, яким є залізобетон - перший головний висновок з даної роботи. -

6.Наші розрахунки показали, що граничне навантаження (менше якого не поширюється похила тріщина) нелінійно залежить від товщини армованого шару Ьх. Із збільшенням Ьх приріст граничного навантаження, починаючи з якогось , зменшується. Аналогічна картина • спостерігається і з ■ довжинами тріщин і ця зміна нелінійно залежить від

Таким чином, не слід значно переармовувати балку, оскільки приріст ефекту армування зменшується із збільшенням товщини армованого шару

- в цьому другий висновок роботи.

Згідно СНиПу для балки розглядуваних розмірів діаметр арматури сІ=6мм, відстань між хомутами с=150мм, яким відповідає товщина армованого шару 1^=0.19мм. Виходячи з рисунків, приведених в дисертації, таке армування близьке до оптимального. Таким є Ь^О.Змм оскільки при Ь^О.З приріст ефекту армування явно зменшується. Значенню Ь^О.Змм по и сІ=6мм відповідає відстань між хомутами с=100мм.

Публікації по темі роботи.

Основні положення дисертації опубліковані в таких роботах:

1.Каддур Зияд, Напряженное состояние в изгибаемой балке, определенное с учетом конечности длины

участков, ФХММ, 1995г., №3, с.102, деп.№934 ІК95, 25.04.1995.,с.16.

2.Каддур Зияд, Напряжения в балке с поперечной арматурой, ФХММ, 1995г., №5,с.123-126.

3.Бережницький Л.Г., Каддур Зіяд, (Україна - Сірія), Про розвиток похилених тріщин в приопорних ділянках

. залізобетонної балки, Мат.ІІ Міжнародного симпозіуму "Механіка і фізика руйнування будівельних матеріалів і конструкцій” Львів-Дублянч, Україна, 1996, с.26-28.

4.Каддур Зияд, Бережницкий Л.Т., Железобетонная балка с короткими наклонными трещинами у опор, ФХММ, 1997, №2, с.49-54.

, Аннотация Зияд Рашид Каддур “Изгиб железобетонных балок с наклонными трещинами”. •

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.02.07 -“Механика деформируемого твердого тела”. Физико-механический институт им.Г.В.Карпенко НАН Украины, Львов, 1997г. ‘

Методом рядов Фурье предложено новое решение задачи об изгибе упругой балки с поперечной подкрепляющей арматурой, учитывающее конечные размеры опорных участков и позволяющее точно удовлетворить граничные условия на ее торцах. Составлены два интегральных уравнения задачи и методом механических квадратур получено их чисельное решение. Увеличение армирования ведет к уменьшению предельного напряжения по линейному закону.

В результате, определены оптимальные размеры армированной балки.

• Ключові слова: згин балки, напруження,

вертикальні хомути, тріщина, оптимальні розміри. .

_r23_-

Summary

Ziad Rashed Kaddur “Bend of ferro-concrete beam with inclined cracks” .

Dissertation is in the level of candidate in technical and scientific science in the speciality 05.02.07 - mechanics of deformable solids. . ‘

Karpenko Physico-Mechanical Institute of the National Academy of Sciences of Ukraiue, Lviv, 1997. '

A new solution of a problem on bending of on elastic beam with a cross-section reinforcement by a Forier series Ras been proposed. It tahes into accocunt the finite dimensions of the support sections and allows to satisfy rigorously the boundary conditions on the beam ehds. Two itegral equations of the problem have fun constructed and. their numerical solution has been obtained by a mechanical quadratures method. The growth of reinforsement causes a decrease of the limiting streises by a linear law.!

As a result, the optimal dimensions of the reinforced beam have been determined.

Key words: Beam bending, stresses, vertical .

clamps, a crack, optimal dimensions. '