автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии
Автореферат диссертации по теме "Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии"
094616263
На правах рукописи
Баландин Александр Леонидович
Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии
05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук
- 9 п£Ц 2010
Новосибирск-2011
004616263
Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте динамики систем и теории управления СО РАН
Научный консультант:
д.ф.-м.н., Пикалов Валерий Владимирович
Официальные оппоненты:
д.ф.-м.н., чл. кор. РАН, Васин Владимир Васильевич д.ф.-м.н., Аксёнов Валерий Петрович д.ф.-м.н., проф. Кабанихин Сергей Игоревич
Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Защита состоится 15 февраля 2011 г. в 17-00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Учреждении Российской академии наук Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, по адресу: 630090 г. Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева, 6.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.
Автореферат разослан
2010 г.
Учёный секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.
С.Б. Сорокин
Общая характеристика работы
Актуальность. Математическое моделирование как одни из важнейших методов научного исследования и, в частности, интегральные методы диагностики играют важную роль в исследовании физических процессов. Преобразования, типа преобразования Радона, лежащие в основе томографии, находят многочисленные приложения в самых различных областях исследования начиная от космического пространства и физики Солнца и кончая диагностикой квантовых, биологических и иано структур. Сегодня значительные результаты с применением томографии получены в молекулярной физике, физике твёрдого тела, геофизике, атмосферной оптике, гидродинамике, лабораторной и космической плазме и т.д. В физических экспериментах и, в частности, в задачах диагностики плазмы часто возникает необходимость использования томографических методов исследования и, более того, они часто бывают единственно возможными. Например, определение пространственного распределения показателя преломления плазмы, основной вклад в который вносит электронная компонента, лежит в основе метода расчёта профиля плотности и важнейших гидродинамических параметров плазмы. Измерение фарадеевского вращения плоскости поляризации зондирующего пучка используется для исследования магнитных полей в плазменной короне.
В работе акцепт сделан на разработку алгоритмов для плазменной томографии, обладающей рядом специфических особенностей, а именно: ограниченным доступом к объекту (т.е. малым числом ракурсов), наличием непрозрачных включений, влиянием аппаратной функции регистрирующей системы, нес-тационарностыо исследуемой плазмы, необходимостью высокого спектрального, пространственного и временного разрешения и т.д. Именно поэтому при широком распространении методов томографии в технике и медицине освоение этих методов в физике плазмы происходит лишь в настоящее время. Часто единственным источником информации, позволяющим судить о состоянии плазмы, является регистрируемое излучение. Так как спектральная линия несет достаточно полную информацию о процессах, происходящих в плазме, возникает задача обращения доплеровских спектральных измерений. В связи с выше указанной спецификой задача разработки методов малоракурсной томографии, учитывающих различного рода дополнительную априорную информацию [1], а также разработка схем измерения, обеспечивающих наилучшую реконструкцию, является актуальной.
Целью диссертационной работы являются: разработка методов и численных алгоритмов томографической диагностики с целью исследования объектов различной физической природы, в частности, приложения методов томографии к задачам астрофизики, физики плазмы, газодинамики и т.д.. Математическое моделирование с целыо оптимизации физического эксперимента, совершенствования методики эксперимента и разработки томографической системы диагностики. Для этих целей в работе решены следующие задачи:
1) Разработаны двумерные и трёхмерные итерационные алгоритмы малоракурсной томографии для скалярных Радон и лучевого преобразований для пла-нарных схем измерения.
2) Развиты новые методы и алгоритмы спектральной доплеровской томографии с целыо восстановления одномерных, двумерных и трёхмерных векторных полей для различных схем измерения (параллельной, веерной, конусной).
3) Разработаны оригинальные методы малоракурсной томографии на основе обобщения метода максимума энтропии для задач трёхмерной скалярной и векторной томографии.
4) Проведено математическое моделирование плазменного эксперимента с целью планирования и оптимизации томографических измерений: выбор минимально необходимого числа ракурсов, положения и числа приёмников.
5) Выполнена обработка реальных экспериментальных данных с использованием разработанных алгоритмов скалярной и векторной томографии.
6) Для тестирования и изучения развитых методов создан комплекс программ, включающий библиотеку скалярных и векторных фантомов, предобработку и визуализацию экспериментальных данных.
Методы исследования. Основным инструментом исследования являются методы интегральной геометрии. Используются также методы математического моделирования, методы фурье анализа, функционального анализа, теории программирования, методы оптимизации, численные методы.
Научная новизна состоит в следующем:
— Разработаны методы и алгоритмы трёхмерной малоракурсной томографии на основе итерационных фурье методов. С использованием предложенных методов изучены различные планарные схемы регистрации данных. Методы использовались, в частности, для восстановления трёхмерной функции распределения частиц по скоростям по известным одномерным функциям распределения (скалярная томография в пространстве скоростей).
— Созданы новые методы на основе обобщения метода максимума энтропии для двумерных и трёхмерных задач вычислительной томографии для скалярных Радон- и лучевого преобразований для различных схем измерения (параллельной, веерной, конусной). Методы применялись для исследования пересоединения магнитных полей в установках типа "сферомак" (сферический токамак).
— Впервые на основе трёхмерной томографической реконструкции распределения коэффициентов эмиссии в плазме наблюдалась колебальная (twisting) неустойчивость на установках типа "сферомак", TS-3/TS-4.
— Для восстановления одномерных и двумерных векторных полей получен ряд новых методов для поляризационной и доплеровской томографии. В частности, при наличии аксиальной симметрии, разработан метод одноракурсной векторной томографии для восстановления и исследования временной эволюции радиального распределения скорости частиц в плазме на установках типа "сферомак", TS-3/TS-4.
— Разработаны новые методы трёхмерной векторной томографии на основе полиномиальных разложений с использованием скалярных и векторных сферических гармоник. Один из методов использовался для восстановления двумерного поля скоростей на установке "сферомак", ТБ-4.
— На основе развитых методов и результатов численного моделирования спроектирована томографическая система диагностики на установках типа "сферомак", ТЗ-3/Т5-4.
Достоверность и эффективность развитых в работе методов подтверждена модельными расчётами а также физически непротиворечивыми результатами, полученными в результате обработки реальных экспериментальных данных.
Практическая значимость результатов исследований заключается в разработке методов и программ малоракурсной томографии для исследования скалярных и векторных полей. Некоторые из разработанных методов уже применялись для исследования плазмы. Результаты реконструкции помогли лучше понять физику процессов пересоединеиия магнитных полей и оптимизировать сам эксперимент. Разработанные методы могут также найти применение и в других областях исследования, где требуется томографическая диагностика.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Разработанные численные методы и алгоритмы скалярной трёхмерной малоракурсной томографии на основе итерационных фурье-методов для планариых схем измерения.
2. Численные методы и алгоритмы на основе обобщения метода максимума энтропии для двумерных и трёхмерных задач вычислительной томографии для скалярных Радон- и лучевого преобразований для различных схем измерения (параллельной, веерной, конусной).
3. Результаты применения разработанных методов скалярной томографии к исследованию процессов пересоединеиия магнитных полей в установках типа "сферомак": реконструкция трёхмерного распределения коэффициентов эмиссии, анализ плазменной неустойчивости.
4. Численные методы, алгоритмы и комплекс программ обращения спектральных доплеровских измерений для восстановления одномерных и двумерных векторных полей.
5. Результаты применения разработанных методов к реальным экспериментальным данным: восстановление временной эволюции радиального распределения скорости, восстановление двумерного полоидальиого поля скоростей в установках типа "сферомак".
6. Полиномиальные методы обращения в задачах трёхмерной векторной томографии с использованием скалярных и векторных сферических гармоник.
Личный вклад автора. Основные постановки задач, разработка методов и комплекса программ, рассматриваемых в диссертации, выполнены лично автором. Результаты, представленные в совместных публикациях, согласованы с
соавторами.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления, на семинаре Института математики им. C.JI. Соболева, на 3-ем Международном симпозиуме по томографии (IWPT-3) - (Токио,2009), на 50-й Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы -(Dallas, США, 2008), на Международном симпозиуме США-Япония "Магнитное пересоединение 2008"- (Okinawa, Япония, 2008), на 5-ом Всемирном конгрессе по индустриальной томографии - (Bergen, Норвегия, 2007), на 4-ом Всемирном конгрессе по индустриальной томографии - (Aizu, Япония, 2005), па 47-ой Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Colorado, США, 2005), на 46-ой Годовой конференция американского физического общества (APS) по физике плазмы - (США, 2004), па Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" -(Екатеринбург, 2004), па Международном симпозиуме по обратным задачам в механике (ISIP 2003)- (Nagano, Япония, 2003), на 44-й Годовая конференция американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Флорида, США, 2002), на 42-ой Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Канада, 2000), на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) - (Новосибирск, 1998), на Конференции японского общества индустриальной и прикладной математики (JSIAM) - (Токийский университет, 1996), на Третьем международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (ICLAM 95)- (Гамбург, 1995), на Международном симпозиуме " Вычислительная томография для промышленных приложений"- (Берлин, 1994), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики"-(Новосибирск, 1992), на Симпозиумах по вычислительной томографии (Ташкент, 1989, Москва, 1991, Новосибирск, 1993).
Публикации. Основной материал диссертации опубликован более чем в 50 научных работах, среди которых 17 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК для публикации основных результатов.
Структура и объём работы. Диссертациоиная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения, списка литературы из 175 наименований, списка иллюстраций. Общий объём диссертации составляет 206 страниц, включая 72 рисунка.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные постановки задач, приведена аннотация работы по разделам. ГЛАВА 1 посвящена скалярной томографии. Здесь описаны методы, основанные на теореме о центральном сечении, а также описана модификация методов для малого числа проекций. Разработай метод, основанный на обобщении
принципа максимума энтропии. Представлены результаты численного моделирования для различных схем регистрации данных.
В разделах 1.1,1.2,1.3 Кратко описаиы физические принципы, приводящие к задачам томографии. Введены определения интегрирования по гиперплоскости размерности к, приведены теоремы о центральном сечении для Радон-и лучевого преобразований.
Определение 1 (Интегрирование по гиперплоскости). Пусть заданы гиперплоскость H := (£ - х) = s и функция g определена на R.N. Если ■ • • , Çw-i) - ортопормироваипый базис па Ç1. Тогда, полагая х' — (ij., ■ • • , x^r-i) € интеграл по гиперплоскости H определяется в виде
J g(x) dx = J g(Çiii -f ^¡x2 ----+ Çjv-ii^-i + s £)dx' (1)
(C-x)=» x'eR"-1
Определение 2 (Преобразование Радона). Пусть
ZN = {(£,s) | £ € S^s e R}. Для g 6 L\Rn) преобразование Радона определяется в виде
ZNB(ts)^(ng)(ts)=jg(sÎ + y)dy=J g(x)dx =Jg(x)5(s — x • £)dx (2)
при условии, что интеграл (2) существует.
Теорема 1 ( Теорема о центральном сечении для преобразования Радона). Если g интегрируемая в R"" и если £ € S"-1 , тогда справедливо соотношение
= (27г)^8Ю, (з)
здесь -7-1 и обозначают, соответственно, одномерное и TV-Mcpnoe преобразования Фурье.
Определение 3 (Лучевое преобразование). Пусть Для g G Ll(RN)} лучевое преобразование имеет вид
ОС
Т Э (É, х) ~ Ш, х) = J g(x + tt-)dt, (4)
—оо
Теорема 2 (Теорема о центральном сечении для лучевого преобразования). Для любой интегрируелюй в RN функции g и для V £ G S7'-1, справедливо соотношение
^лг-ладм = {i-K^TM, v е е, е ■ ê=о, (5)
В разделе 1.4 построены процедуры на основе итерационного фурье метода для Радон и лучевого преобразований для различных планарных схем регистрации данных. Рассмотрены методы реконструкции по Ю и 2-Г) проекциям. В разделе 1.5 рассмотрены методы восстановления трёхмерной функции распределения частиц по скоростям по известным одномерным функциям распределения (скалярная томография в пространстве скоростей) [16,32-34].
Реконструкция 3-Б изображений по 2-Б проекциям
В вычислительной томографии каждая проекция регистрируется обычно в своей плоскости, перпендикулярной оси зондирующего пучка. Однако, часто возникают задачи восстановления объектов по проекциям, записанным в одной и той же плоскости. Такую схему сбора проекционных данных, в которой положение плоскости регистрации постоянно во времени, а сама она параллельна одному из сечений объекта, иногда называют планарной. Данная схема нашла применеиие в таких методах исследования внутренней структуры трёхмерных объектов как томосинтез, метод кодированной апертуры, эктомография, ионосферная томография и т.д.
Заметим, что при планарной схеме регистрации проекций мы всегда имеем дело с неполным набором проекций, т.е. Фурье пространство слабо заполнено данными. Процедуры интерполяции приводят к потери точности, что является основной причиной артефактов во всех алгоритмах основанных на методах Фурье. В связи с этим, при численной реализации используется итерационная процедура - модификация алгоритма Гершберга-Папулиса [5,6], [31,32]. В операторном виде алгоритм можно записать
в°=^,№8)(и.€)}. и ее1, еЧ=о,
¿+1 = Г-1{ВГ2(Аё% г = 0,1,...,
здесь Zg - лучевое преобразование функции g, соответственно двумер-
ное прямое и трёхмерное обратное преобразования Фурье, А- оператор проектирования па множество ограничений в пространственной области и может задавать, например, положительность функций, ограниченность и т.д., оператор В определяет проектирование на множество ограничений в спектральной области, определяемых частотой Найквиста, в том числе включает замену части спектра на спектральные образы известные из проекционных данных (согласно теореме о центральном сечении). Замена спектра производится ео всех точках, попавших в полоску ширины <5 как показано на Рис. 1Ъ, в отличие, например, от интерполяции "ближнего соседа", как показано на Рис. 1 а. Ширина полоски 5 является своеобразным регуляризирующим фактором и в процессе итераций уменьшается. Ниже рассматриваются две планарные схемы. Первая схема изображена на Рис.2а, вторая - на Рис.За. Алгоритм реконструкции основан на проекционной теореме для лучевого преобразования. В случае первой геометрии измерения плоскости, соответствующие фурье-образам проекционных данных, являются касательными плоскостями к соответствующей конической поверхности Рис.2Ь с осью симметрии О-Ъ. Во второй геометрии измерения они
Рис. 1: Процедура замены фурье-спектрэ на известные значения фурье-слектра из проекционных данных.
образуют пучок плоскостей с осью симметрии 0-1М, Рис.ЗЬ. Как видио из Рис. 2Ь и Рис. ЗЬ в обоих случаях существуют пустые области в Фурье-пространстве и задача реконструкции в этом случае заключается в заполнении этих пустых областей с помощью того или иного способа интерполяции. Моделирование
Ъ)
1 а.
Рис. 2: Геометрия-1: а)- Схема регистрации проекций, Ь)- двумерные фурье-образы в трёхмерном пространстве.
Рис. 3: Геометрия-2: а)-Схема регистрации проек--Ь ций, Ь)- двумерные фурье-образы в трёхмерном пространстве.
обеих схем регистрации проводилось на одной и той же модели, состоящей из трёх эллиптических гауссиан.
(Д ~ г«)2 {у - Уог)2
а? + 6? + с? >>
Параметры гауссиан указаны в таблице 1. Ошибки реконструкции для обеих схем измереиия сравнимы по величине, поэтому приведем результаты рекон-
1 Л, а, Ь> с* х<и Шк го.
1 1.0 0.25 0.25 0.25 -0.55 -0.03 -0.03
2 1.0 0.25 0.25 0.45 -0.03 -0.03 -0.03
3 -1.0 0.25 0.25 0.45 0.48 -0.03 -0.03
струкции для первой схемы. Проекции регистрировались при 0 — 7г/4, N3 = 1, у € [0,27г], А^ = 10. Зависимость погрешности реконструкции от числа проекций и итераций показана Рис.4, результат реконструкции при 5% зашум-лении проекционных данных предсталены на Рис.5.
(--Н---) - 10 проекций
(--х--) - 20 проекций
(--*--) - 30 проекций
<—X— К-Х-Н;
да г
Число итераций
Рис. 4: Ошибка реконструкции в зависимости от числа проекций и итераций.
Рис. 5: Сечение точной модели плоскостью у = 0 (слева) и соответствующее сечение реконструированной модели (справа). Относительная ошибка реконструкции 3-0 модели
е и 20%.
Обобщённый метод максимума энтропии
В разделе 1.6 представлены методы реконструкции на классе знакопеременных функций на основе модификации метода максимума энтропии. Рассмотрены двумерные, и трёхмерные алгоритмы обращения для параллельной, веерной и конусной схем регистрации проекций. Ниже описан метод только для параллельной геометрии.
Пусть ВсК3 замкнутая область. Функция g(x) определена в области V. Будем полагать, что проекционные данные регистрируются в направлении вектора пу = (в^фк), где индекс ] соответствует определённой упорядоченности
индексов (г, к), например формулой вида ] = (к — 1) - / + г иг = 1,•••,/, к = 1, ■■■,!<.
Лабораторную систему координат будем обозначать через х = (х,у,г). Проекционные данные измеряются в системе координат х' = (х', у1, г') и записываются в виде
(х',у') = J dz'g{Rj*), х! = (7)
здесь Rj матрица преобразования системы координат.
Утверждение 1. Процедура нахождения знакопеременной функции g(x) по её известному лучевому преобразованию Gj[x\y') может быть выполнена с помощью следующей итерационной процедуры
H»4J - , \( ХЛЫЩ1'2
00 J
f (8)
-DO W °° J
hiWj, у';) = / dz1 Д - ---, если j = г (mod J) + 1,
Н?\хГ,у]) = если j/i (modJ)+l,
H°{x'j, y'j) = 1 если j = 1,2,..., J.
Здесь Hi( ) = ехр(Л((-)), Ai(x', у1)-функции Лахранжа, смысл их будет ясен из доказательства.
Док-во 0.1. Функцию g(x) представим в виде g(x) = g+(x) — g-(x), где
<т /у^ = ie(x)> если S(x) >°; _ м _ i-g(x), если g(x) < 0; ; \0, если g(x) sCO; 8_w \0, если g(x) > 0.
Новый функционал энтропии запишем в виде:
4(8 ) = "/ dx[g+(x) 1п(8+(х)/7+)+е_(х)1п(§_(х)/К_)], (9)
D
где V+, соответственно VL, константы представляющие априорные знания об амплитудах положительной, соответственно отрицательной частей функции g. Таким образом задача определения функции g сводится к максимизации функционала энтропии rj(g) при ограничениях (7), т.е. к следующей оптимизационной задаче
max^g), (10)
при ограничениях
G
)(х',у')= J dz'{g+(X')-g-M} (И)
Для каждого ограничивающего условия (11) вводим множители Лагранжа А^(х',у1) и строим функционал
J °°
G,
оо
(4, к;) = ед,»;) -1 dz' {g+(x') - g-(x')}.
Приравнивая нулю производные Фреше функционала Л) по переменным g+(x) и g-(x) получаем следующие выражения для g_ и g-|-
j J
g+(x) = к Дя^адх)), g_(x) = VI ПЯ|(<(х^(х)), (И)
где Я|(-) = exp(A¡(-)), координаты представляются в терминах j-x координат (x'j,y'j) согласно соотпошению:
j- (13)
Подстановка выражений (12) в ограничения (11) даёт итерационную схему (8).
Аналогичные схемы получены для конусной и веерной схем измерения. Разработанные алгоритмы на основе обобщения метода максимума энтропии на класс знакопеременных функций использовались для исследования устойчивости плазмы и процессов пересоединения магнитных полей в высокотемпературной плазме на установках "сферомак" Т8-3/Т8-4 в Центре высокотемпературной плазмы Токийского университета.
Численное моделирование. Параллельная геометрия.
Для проверки работоспособности алгоритма выбраны две модели: двумерная модель, представленная па Рис.6 и трёхмерная модель, состоящая из трёх трёхмерных эллиптических гауссиан, Рис.7.
Сечения плоскостью у — 0 точной трёхмерной модели и её реконструкции изображены на Рис.7. Реконструкция выполнена по 20 2-0 проекциям (5 отсчётов по азимутальному углу <р и 4 отсчёта по углу б). Проекционные данные заданы как двумерные массивы Ыи х Л^ = 17 х 17 для каждого направления, в б [7г/3, я"/2], (р 6 [0,тг]. Проекционные данные зашумлены гауссовским шумом
Рис. 6: Параллельная геометрия измерения. Тонная 2-0 модель (слева) и её реконструкция (справа). Реконструкция выполнена по 22 проекциям с 40 луч-суммами в каждой проекции. Относительная ошибка реконструкции е « 10%.
с амплитудой 2% от максимального значения амплитуды модельной функции. Относительная ошибка реконструкции для 3-Б модели составляет приблизительно 19%.
Рис. 7: Пример реконструкции модели, состоящей из трёх эллиптических гауссиан. Представлено сечение точной модели и её реконструкции плоскостью у = 0. Относительная ошибка реконструкции для 3-D модели е « 19%. Численное моделирование. Веерная геометрия.
Ниже представлено численное моделирование на модели близкой к реальным трёхмерным распределениям коэффициентов эмиссии с целью оптимизации томографического эксперимента. Схематическое изображение установки с геометрией измерения показано на Рис.8. Модель плазменных тороидов, возмущённых тороидальными модами с N = О, N = 5 и с аспектными отношениями А = 3.5, А = 1.0 задавалась в виде
N
X — Rn cos(ni/?) + г cos в) sin ¡p
n=0 N
у = (^ Rn cos (nip) + r COS в) COS Ip (14)
n=0
z — гьтв.
где До называется главным радиусом, в и ip соответственно полоидальный и тороидальный углы.
Трёхмерные изображения точной модели, возмущённой тороидальными модами с N = О, N — 5, и их реконструкции изображены на Рис.9. Ошибки реконструкции в зависимости от числа ракурсов регистрации для различных тороидальных мод показаны на Рис.12. Приведённый график использовался для выбора оптимального числа камер наблюдения при разработке томографической системы на установке ТЭ-4 (токамак сферический).
Рис. 8: Схематическое изображение установки и геометрии регистрации данных.
В
Рис. 9: Веерная геометрия 5 измерения. Аспектное отно-
, " . шение А = 3.5. а) Торо-' ид возмущённый тороидаль-& * * у ной модой N = 0 и его
ча ^/г реконструкция Ь); Относи-
«ШИ«!*^ тельная ошибка реконструк-
ции и 20.1%.
Ь)
В главе 4 приведены результаты исследования плазменных неустойчивостей с использованием томографической системы, разработанной на основе представ-
Рис. 10: Веерная геометрия измерения. Аспектное отношение А — 1.0. а) Тороид возмущённый модой N = 5 и его реконструкция Ь); Относительная ошибка реконструкции га 3.35%.
Рис. 11: Веерная геометрия измерения. Аспектное отношение А = 3.5. з) Тороид возмущённый модой N = 5 и его реконструкция Ь); Относительная ошибка реконструкции яг 20%.
Рис. 12: Ошибка реконструкции (в процентах) в зависимости числа проекций для различных тороидальных мод: N1= 1 (—I—), N=2 (-Х-), N=3 (-*-).
ленного численного моделирования.
ГЛАВЫ 2 и 3 посвящены векторной томографии. Одномерные и двумерные методы рассмотрены в главе 2, соответственно трёхмерные методы с использованием скалярных и векторных сферических гармоник, рассматриваются в главе 3.
В разделах 2.1, 2.2 приведён краткий обзор и приведены векторные аналоги преобразований Радона и лучевого. Приведено представление Гельмгольца-Ходжа для векторного пространства L2(fi), из которого, в частности следует, что каждая вектор-функция u е L2(ii) может быть представлена в виде суммы трёх полей: потенциального, соленоидального и гармонического.
u = gradc^ + curli/> + h1, (15)
Если значение нормальной компоненты поля на границе области ЭГ> равно нулю, то внутри односвязной области О. гармоническое поле hj = 0.
Определение 4. Векторное лучевое преобразование для g € Н^'(К^) определяется в виде
Гэ(77,х)^уге(77,х) = /(77,х)= I g(x + i77) г, dt, (16)
R1
T = {(r,,x.)\veSN-\ xer]L, r,V}-
Определение 5. Вект,орпое преобразование Радона для g € Н^К^) определяется в виде.
г э (€, в) ^ а) = /х(£, в) = У g(y + «€)•€ ¿у, (17)
2 = х К.
Раздел 2.3. В этом разделе рассмотрено нелинейное преобразование, имеющее отношение к векторным лучевому и Радон преобразованиям. Несмотря на большие потенциальные возможности физических приложений, очень небольшое число публикаций посвящено обращению этого преобразования.
оо
7(х,£) = У £(х,£,8(х + г£)Ж (18)
—оо
здесь Б некоторая скалярная функция, зависящая от физического эффекта, используемого в измерениях.
Например, при измерениях фарадеевского вращения плоскости поляризации или при зеемаиовских измерениях, вклад в интеграл (18) вносит продольная компонента. При измерениях Ханле-эффекта, "работает" поперечная компонента.
оо —оо
Ниже будут рассмотрены приложения данного преобразования к задачам диагностики плазмы.
Доплеровская спектроскопия и метод обращения.
В предположении, что самопоглощением и рефракцией можно пренебречь, регистрируемое излучение плазмы 1е{г/, и) может быть найдено интегрированием локальной эмиссии е(г/;х, г\) вдоль линии наблюдения Ь(и,£):
/{(г/;и) = I е(г/;х,т1)(Й = У ф';х,?)Жи - х-(20)
Ци,е) IV
где единичный вектор т) ортогонален вектору £
В случае максве-пловского распределения частиц по скоростям выражение для е(1/;х,г)) имеет вид
х, г,) = } - ехр(-(«/ - д)2/2Аи'2), (21)
у2тгД 1/(х)
где 1) — • т) - нормализованный доплеровский сдвиг частоты, и Аг/' - полуширина спектральной линии.
Для определения доплеровского сдвига из уравнения (20) используются моменты низкого порядка функции 1((и';и). Определяя п-й спектральный момент в виде
= j Ie(v']U) i/ndv',
— ОО
можно получить что нулевой и первый моменты имеют вид
J £0(х)<Я = 7г£0(и,£), (22)
= j е0(x)d(x)-<flsVr(eoe)(u,4), Ч-Li, (23)
Предполагая, что е0(х) известно как результат решения уравнения (22), уравнение (23) можно рассматривать как векторное преобразование Радона.
VRi?(U,r/)= j 0(х) ■»,(«, (24)
2-D реконструкция. Метод и численное моделирование.
Для обращения уравнения (24) воспользуемся известным соотношением между скалярным преобразованием Радона завихренности и векторным преобразованием Радона векторного поля.
¿(V*0)(iM) = (fcO(ij,e). (25)
Согласно теореме Гельмгольца-Ходжа [7] поле ■& представляем в виде.
■в - curl Ф + grad tp, (26)
где Ф и ip, соответственно векторный и скалярный потенциалы. В случае двумерного поля 1?, сосредоточенного на плоскости на х — у, потенциал Ф имеет единственную ¿-компоненту, т.е. Ф = фсг. Компоненты скорости записываются в виде
дф dip дф dip , ^ = + W (27)
Учитывая соотношения
ч2Ф = -С, и тг{у2/(х)} = — уравнение (25) в итоге переписывается в виде
9
71ф(з, n) = ~J VRtf(e', r|)da'. (28)
Численное моделирование.
Рассмотрим 2-Б векторное поле, определяемое векторным потенциалом Ф. Потенциал Ф в 2-0 случае имеет только одну компоненту Ф = (0,0,ф). Функцию ф и соответствующее векторное поле зададим в виде:
у{р ~ Ро) ,/ , х{р - ро) . .
ух =---—ф(р), уу = ——г—ф(р),
ро* раг
Результаты реконструкции, представленные на Рис.13, показывают хорошее совпадение как потенциалов (точного и восстановленного), так и соответствующих векторных полей. Реконструкция выполнена по 10 1-Э проекциям с 51 луч-суммой в каждой проекции.
Рис. 13: г-компонента потенциала Ф, точная и реконструированная: ро = 0.45, Ар = 0.1. Использовано 10 Ю проекций с 51 луч-суммой в каждой проекции. Относительная ошибка реконструкции составляет 11.0 %. Векторные поля, точное и реконструированное, показаны в нижнем ряду.
3-Е> реконструкция. Скалярные сферические гармоники.
В данном разделе изложен новый метод восстановления трёхмерного векторного поля по известному лучевому преобразованию с использованием скалярных сферических гармоник.
Утверждение 2. Процедура обраще1шя векторного лучевого преобразования
Vx(g)si(p,a,f3,1)= J g(x')dl' L(p,<*A т)
вектор-функции g, с использованием разлоо/сения по ортогональной системе скалярных сферических гармоник может быть представлена в виде
jV
(29)
при условии, что компоненты векторного поля удовлетворяют соотноше-
2lT 7Г
ишо JdpJde sin e\gi{r,в,<f\2 < 00, O^rsCl, ¿ = 1,2,3,
о о
г<?е и умеют вид
о
■когда
J dpI dRWtmnWi,m,n,
( ц= (L+ 1)2((г - l)iV + (n - 1)) + i2 + m, >£0гЛ1 \ // = (L + l)2((j - 1)ЛГ + (n' - 1)) + I'2 + m',
CO
J dp J dRW^V'm^
< д = (£ + l)2((i — 1)N+ (n — 1)) + l2 + m, { v = (L+ l)2((j - + ("■' - 1)) + I'2 + i' + m',m' ф 0,
J dp J dRVtmJVi,m,n,
° f ii = (b + l)2((i-l)Ar + (n-l)) + i2 + i + m,ra5£0, КОгЛ \ „ = (I + l)2((j - 1)JV + (n' -l)) + l'2 + m',
oo
J dp J dRV'mnVim,n,
° f (u = (L+l)2((i-l)Ar+(n-l)) + i2 + / + m,m^0, когда | „ = (ь + 1)2(y _ 1)iv + („/ _ !)) + ¡/2 + r + m, ф 0
X„
imn»
razda 1/ = (L + l)2((i - 1)ЛГ + (n - 1)) + !2 + m, ^¡тп'
когда v = (L + l)2((i - 1)W + (и -1)) + i2 +1 + m, тф 0,
OO
J dp J d.Rg{p,a,i3,"t)Wi,mlin,{p,a,i},i),
v _ "когда ц = {L + l)2((i - 1 )JV + (n' - 1)) + i'2 + m',
* |U — \ CO
J dp I d,Rg(p, a, 0,7)^m,(p, a, /?, 7)■ "когЙ! /i = (L + l)2((i - 1)N + (n' - 1)) + Г2 + /' + m', m' / 0
Док-во 0.2. Выберем путь интегрирования как показано на Рис.14 и представляя каждую компоненту поля в виде ряда по скалярным сферическим гармоникам, для векторного лучевого преобразования получим выражение
Рис. 14: Путь интегрирования Ь[р,а,[5,7). Интегрирование выполняется вдоль оси Т. при различных значениях углов а,/3,7, р = О А.
Up. ь р. 7)
оо
g(р, а, Л7)= £ CÍmnY, Di, Ja, /3,7) щ í YM(9, V)Mr) dz,
Í,m,n,í m' _OQ
или с вещественными коэффициентами Л\тп}Вг1тп последнее выражение перепишется в виде
оо оо / 3
g(p, а, /?, 7) = J2 Е Е ИЪ™ + B¡mnvímn] щ, (30)
п=0 1=0 т=0 i— 1
где n¡ - г-я компонента вектора n = (cos a sin /3, sin a sin /?, cos /3), функции Wimn и Цтп равны соответственно,
ОО j
Wlmn(p,a,l3,7)= f dzSfm(e,V)fln(T) = YiWlmk(a,l3,1)ulknip),
00 ,
V;mn(p,a,/3,7)= / dzS[m{Q,<p)fln(r) = '^2Vimk(a,0,i)ulkn(p).
Здесь D-функцииВигнсра и функции имеют вид
4/, м2(/5) = (-i)M-M1(J 4- MOV ~ M,)\{J + M2)\(J - M2)I]1/2 k (eos /3/2)2Mh~M>
fc!(J - AÍ! - fc)!(J + M2 - fc)!(M! - M2 + k)\'
Wlmk = í,[cos(ma + + (-l)*cos(ma - k-y)dlm^k(p)],
V,mk = 4[sin(ma + frr)<4*(/9) + (-l)fcsin(ma - k-y)dlm:_k(/3)}, S0 = 0.5 и = 1 если к ± 0.
Если ортогональные полиномы /¡„(г) выбраны в виде,
то функции щтп(р) вычисляются аналитически и имеют следующий вид
Щтп[р) = {С'™рт(1 _ - 2Р2), / + ш = чётн.,
тп ] О I + тп = печётн.,
С1тп- известные константы, Р^^у^+п ~ полшюмы Якоби. Значения А)тп и В]тп получаются как результат минимизации функционала Ф.
У г I I N 3
Ф = / Ар / т {б( ) - £ £ £ £ Итп^"пп + в}тпцтп] щ}2,
ЫО т=0 п~0 ¿=1
О
2тт 1Г 2 *
I ¿ЙДЯ) = I ¿а! ЯП0(10 I ¿7/(а,/?,7).
0 0 о
Записывая условия экстремума функционала Ф в виде
(дФ/э4т,п,)=о, (5Ф/ав/,т,п,)=о, (31)
получаем систему (29). Н
3-Б реконструкция. Численное моделирование
Тестовая модель для трёхмерной реконструкции в данном разделе получена из аналитического решения Л.С. Соловьёва уравнения Грэда - Шафранова [10], описывающего равновесие и устойчивость мапштоплазменных конфигураций. Функция потока ф и соответствующее поле даются выражениями
ф(г,г) = фЛ(2г20-г2-4аг2),
= (32)
где фо = 1.0, г0 =0.7, а = 0.2.
Результат реконструкции, векторное поле и фазовые кривые, в плоскости у = 0 приведены на Рис.15. Фазовые кривые ф{г,£) вычислялись согласно формуле
Рис. 15: Восстановленное векторное поле (справа) и точное поле (слева) в плоскости у = 0 и их фазовые кривые в трёх различных сечениях: z\ = -0.49, линия (— +—), Za = 0.02, линия (- х -), 23 = 0.3G, линия (-*-). Реконструкция выполнена при следующих параметрах: {Np,Na,Np,Ny) = (10,11,11,11), Lmax = 5, IVmol = 2. Относительная ошибка реконструкции составила и 17%.
Из рисунка видно, что даже при достаточно малом числе сферических гармоник Lmох = 5 векторное поле восстанавливается с удовлетворительной точностью. Относительная ошибка реконструкции составила яз 17%.
3-D реконструкция. Векторные сферические гармоники.
Другой новый метод восстановления векторного поля по интегральным (допле-ровским) данным основан на разложении векторного поля по ортогональной системе векторных сферических гармоник.
Утверждение 3. Любое-солеиоидалъное векторное поле g(x), удовлетворяющего условию
Ж 2ж
J |g(rw)|2(ia; < 00, где J dw = J sin fldfl J dip, 0 < r < 1,
о 0
может, быть представлено в виде
ос
еИ= £ Е Е (33)
A=-1,0,+1J=0|№|<J
IM^J
Неизвестные функции g^ (г) находятся в результате решения следующей
серии интегральных уравнений Вольтерам.
1
MGJMlU2(p)} = / b<P,r)SyUt(r)dr, р
1С b г) = (1 + (-1 y^M.Nju, рУЧу/Т^М?) UP' ' VJilTT) '
Im{GillU,M =
J \F,')JJM2
P
1
7") /51(0 dr, если J + Mi - чётное
(35)
£з(?! 0 //л],(г) ffr", если J -I- Afi — печёт,not
IC2(p,r) = (1 + уЩ±рН1{у/1 _ p2/r2)i
ЕГ» (1 - (-!)■(J-Ml + 1 )Pf'(уТ^да)
/7(7П) yi-^A2 '
gcte комплексные функции GJMiM2{p) вычисляются по экспериментальным данных, g(р, а,/3,7), из соотношения (36) с учётом ор'тогональности D-функций Вигнера, DJMlMi(a,0,7)
00
|(р,а,/3л)- £ DJMlM2(<*,P,l)GJMM(p), (36)
j=o,
Док-во 0.3. Представление солсноидального векторного поля с помощью векторных сферических гармоник оправдано их следующими свойствами
W(r)Y%(d, V)] = О, V[/(r)Y^>(0, у)] ф 0 для V f(r) ф 0.
Вращение координатной системы объекта, S", относительно лабораторной системы координат S выбирается согласно геометрии, изображённой па Рис.14. Проекционные данные в этом случае записываются в виде (36). Неизвестные радиальные функции, g^¿2(r), определяются из следующего соотношения
/00
dz&^r)*'- YS/»- (37)
Вычисляя скалярные произведения и переходя от интегрирования по переменной г к интегрированию по переменной г в уравнении (37), приходим к уравнениям (34), (35).
Функции в^м^г) и вычисляются из следующих соотношений
8Й2(г) = где < = л/=Т,
Векторное поле восстанавливается используя представление (33). Детали смотреть в диссертации в главе 3, стр.129-131. ■
Решение уравнений Вольтерра (34), (35) осуществлялось численными методами, описанными в [2,3],
З-О реконструкция. Численное моделирование.
Модель соленоидалыюго векторного поля выберем в виде
в(х) = V х 9(х,!/,г), Ф = {фх,фу,фг), (Р,
2а2
(38)
^ = ехр(>^)2), ^ = (х2 + г/2)1/2,
<т = Др/2у/(2\п2), Ар = 0.7, рх=ру=рг = 0.65.
Рис. 16: Плоскость х — г: показано поле "
соответствующие фазовые кривые для гх = —0.49, линия (- + -), = 0.02, линия (— X —), 73 = 0.36, линия (—*—); соответственно точное (слева) и восстановленное (справа) поля. Отно-ситетельная ошибка реконструкции составляет для этой модели б « 23%.
Рис.16 демонстрирует, что амплитуды и фазы векторного поля восстанавливаются с приемлемой точностью. Фазы ф(х, г) вычислялись по формуле
|1| • I''' ^^\\ 11:''
г -я
л ПиЛ ! Г ; г1и\ II
ф(х, г) = агс!ап
В ГЛАВЕ 4 развитые в предыдущих главах методы скалярной и векторной томографии используются в реальных экспериментам для проектирования ди-
агностических систем, а также для исследования неустойчивостей и процессов пересоединения маг нитных полей на установках типа сферический тока-мак [12]. Установки TS-3/TS-4 (Токамак сферический 3/4) позволяют генерировать внутри вакуумной камеры один или два сферических тороидальных магнитных образования (сферомака) с главным радиусом 0.5м., с аспектпым отношением 1.2-1.9. Спектральные линии эмиссии плазмы измеряются детекторами, расположенными внутри и снаружи вакуумной камеры. Ожидается, что основные неустойчивости вызваны модами тп/п = 1/1,1/2.1/3. Для управления конфигурацией плазмы в процессе пересоединения магнитных полей, для изучения кипк- и тиринг- неустойчивостей, знание трёхмерного распределения эмиссии необходимо. Исследование процессов перезамыкания магнитных полей играет важную роль в физике Солнца, космической и лабораторной плазме.
Схематическое изображение установки и геометрия регистрации данных изображены на Рис.8. 2-D изоконтуры полоидальной функции потока и локальные 3-D распределения эмиссии, восстановленные с использованием алгоритма максимума энтропии, в процессе эволюции плазмы показаны на Рис.17. Впервые с использованием томографической реконструкции наблюдалась колебательная (twisting) неустойчивость плазменного образования. На Рис.17 видно, что изоповерхности эмиссии при t = 420ßs слегка наклонены относительно плоскости х — у, что свидетельствует о колебательных движениях плазмы.
Восстановление радиального распределения скорости.
Как указывается в [11], динамика пересоединеиия магнитных полей определяет динамику потоков, а следовательно определяет топологию и устойчивость плазмы в установке. На Рис. 18 а представлены профили радиального распределения скорости в предположении аксиальной симметрии. Реконструкция выполнена методом, развитым в главе 3 по 8-ми хордовым измерениям в моменты времени 180¿ís( до пересоединения), 193/us (в момент пересоединения) и 200дэ (после пересоединения). Пример одного хордового спектрального измерения для момента времени 180¿ís показан на Рис.186.
Восстановление 2-D полоидального поля скоростей.
Схематическое изображение установки и геометрия регистрации данных пока-, замы на Рис.8. В эксперименте сталкиваются два магнитных тороида с противоположной спиральностью. Поле скоростей потоков ионов плазмы, генерируемое в процессе пересоединеиия, может быть восстановлено томографическими методами из спектральных измерений. Интегральные спектральные измерения в эксперименте соответствуют нашим значениям g(p,a,/3,7) при а = ß = -гг. На Рис.19 изображено восстановленное векторное поле g = tu с изоповерх-ностями магнитного поля (flux function), измеренными магнитными зондами в полоидальной плоскости, распределение эмиссии е(х) и "исправленное" векторное поле и с учётом распределения эмиссии. Реконструкция выполнена при следующих параметрах эксперимента (Np, Na, Np, N.7) = (13,2,10,2), Lmax = б, Nmax = 1 по 5 веерным проекциям с 7 луч-суммами в каждой проекции. Ре-
2/Я=2
кщя
х/й=2
х/Я=2
. * А
1
у/й:=2 Я* 70.8 ст
у/Я =2 В= 70.8 ст
Я1
\ \
ю
2/Й-2
х/В=2
1.
,у/Я=2
' ' ч | 70.8 ст
а) Ь)
Рис. 17: Три момента времени эволюции плазмы: 400^,5, и 420^.5. а) Полоидаль-
ная функция потока; Ь) Трёхмерное томографическое изображение эволюции эмиссии плазмы.
Рис. 18: а) Радиальное распределение скорости (безразмерной) в различные моменты времени эволюции плазмы: 180/м, (— х —) линия, 193//.в, (-О—) линия, 200/;,в, (— о -) линия; б) Пример одного из восьми хордовых спектральных измерений, используемых для восстановления радиального распределения скорости.
зультаты реконструкции не противоречат результатам некоторых прямых измерений и лучевое преобразование (проекции) от восстановленного поля с приемлемой точностью совпадают с данными регистрируемыми в эксперименте.
M (Ь) te)
Рис. 19: Эксперимент (8п14032, время 410 р„$. Томографическая реконструкция векторного поля го доплеровским измерениям; а) векторное поле g = ей; Ь) распределение эмиссии е(х); с) поле скоростей и.
Список публикаций автора по теме диссертации из списка ВАК.
1. Balandin A.L., Vector spherical harmonics in 3-D vector tomography. //' Numerical Analysis and Applications. -2009. -Vol.2, No2. -p. 106-117.
2. Balandin A.L., Vector spherical harmonics application to 3-D tomography problem. // Computer Physics Communications. -2007. -Vol.176, -p.457-464.
3. Баландин A.JI., Метод полиномиальных разложений в задачах трёхмерной
векторной томографии. // Математическое моделирование. -2005. -т.17, No5. -р.52-66.
4. Balandin A.L., Tomographic analysis of sign-altering functions by maximum entropy method. // An International Journal Computer & Mathematics with Applications. -2000. -Vol.39, -p.15-24.
5. Баландин A.JI. Об использовании контура спектральной линии для определения зависимости лучевой скорости от оптической глубины. // Письма в астрономический журнал. -1981. т.7, No5. -с.308-311.
6. Balandin A.L., Ono Y., The method of series expansion for 3-D vector tomography reconstruction. // Journal Computational Physics. -2005. -Vol.202.-p.52-64.
7. Balandin A.L., Murata Y., Ono Y. Radial velocity profile reconstruction by Doppler spectroscopy measurements. // European Physical Journal D. -2003. -Vol.27, -p.125-130.
8. Balandin A.L., Ono Y. Tomographic determination of plasma velocity with the use of ion Doppler spectroscopy. // European Physical Journal D. -2001. -Vol.17. -p.337-344.
9. Balandin A.L., Ono Y., Tawara Т., Design study of 3-D tomography diagnostic for spherical tokamaks. // European Physical Journal D. - 2001. -Vol.14, -p.97-103.
10. Balandin A.L., Kaneko A., Maximum entropy method for sign-altering functions. // Inverse Problems. -1999. -Vol.15. -p.445-463.
11. Balandin A.L., Likhachev A.V., Panferov N.V., Pikalov V.V., Rupasov A.A., Shikanov A.S. Tomographic diagnostics of radiating plasma objects. //J. Sov. Laser Res. -1992. -Vol.13. NoG. -p.472-498.
12. Баландин А.Л., Преображенский Н.Г., Седельников А.И.. Томографическое восстановление распределения частиц по скоростям. // Прикладная механика и техническая физика. -1989. -No6. -с.34-37.
13. Balandin A.L., Grigoryev V.M., Demidov M.L., On spatial filtering of low-degree global oscilations on the Sun. // Solar Physics. -1987. -Vol. 112. No2. -p.197-209.
14. Kawamori E., Sumikawa Т., Ono Y., Balandin A., Measurement of global instability of compact torus by three-dimensional tomography. // Review of Scientific Instruments. -2006. -Vol.77, issue 9. -p.093503-1-093503-3.
15. Kawamori E., Murata Y., Umeda K., Hirota D., Ogawa Т., Sumikawa Т., Iwama Т., Ishii K., Kado Т., Itagaki Т., Katsurai M.,Balandin A., Ono Y., Ion kinetic effect on bifurcated relaxation to a field-reversed qconfiguration in TS-4 CT experiment. // Nuclear Fusion. -2005. -Vol.45, No8. -p.843-848.
16. Ono Y., Kimura Т., Murata Т., Miyazaki S., Ueda Y., Inomoto M., Arimoto K., Balandin A.L. and Katsurai M., High-Beta characteristics.of first and Second-Stable spherical tokamaks in reconnection heating experiments of TS-3. // Nuclear Fusion. -2003. -Vol.43, No8. -p.789-794.
17. Денисова H.B., Пикалов В.В., Баландин А.Л., Модифицированный метод максимума энтропии в томографии плазмы. // Оптика и спектроскопия. -1996. - т. 81. Nol. -р.43-48.
Другие публикации автора по теме диссертации.
18. You S., Balandin A., Ono Y., Measuring 3D plasma velocity in the TS-4 compact toroid, // 50th Annual Meeting of the Division of Plasma Physics. Dallas, Texas, 17-21 November, -2008. Meeting ID: DPP08 (Abstract)
19. Balandin A.L., 3-D vector tomography and vector spherical harmonics, // Proc.5-th World Congress on Industrial Process Tomography, Bergen, Norway, 3-6 September, -2007. -p.224-233.
20. Balandin A.L., 3D vector tomography reconstruction by the series expansion method, // Proc. 4-th World Congress on Industrial Process Tomography. Aizu, Japan, 5-8 September, -2005. -Vol.2, -p.606-611.
21. Баландин А.Л., Томографическая реконструкция ЗО-векторного поля, // Труды XIII Байкальской международной школы-семинара" Методы оптимизации и их приложения" т.З Обратные и некорректные задачи прикладной математики. Иркутск, -2005. -с.42-48.
22. Ono Y., Balandin A. L., Imazawa R., Kawamori Е., Murata Y., Itagaki Т., Yamanoue Т., Sato К., Arimoto K.,TimuraT., TawaraT., NarushimaY., Nagayama Y., Yamazaki K., Two dimensional ion temperature and velocity measurements by use of visible light tomography technique. // Annual Report of National Institute of Fusion Sciences, -2005. Vol.2004-2005, p. 159, Japan.
23. Баландин А.Л., Томографическая реконструкция трёхмерных векторных полей, // Труды Всеросийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", Екатеринбург, 2-6 Февраля, -2004. -с.327-328.
24. Balandin A.L., Kaneko А., 3D Vector tomography reconstruction by series expansion method. // Inverse Problems in Engineering Mechanics IV, M. Tanaka (Editor), Elsevier Ltd. -2003. -p.513-520.
25. Balandin A.L., Ono Y., Tomographic reconstruction of the vector fields by Doppler spectroscopy measurements, // Inverse Problems in Engineering Mechanics IV , M. Tanaka (Editor), Elsevier Ltd. -2003. -p.521-529.
26. Balandin A.L., Tomography of dynamical objects, // Preprint. UTMS 97-9, University of Tokyo , Graduate School of Mathematical Sciences. -1997. -p.1-16
27. Balandin A.L., Fichs G., Pickalov V., Rapp J., Soltwisch H., Vector tomography of Plasmas Using Faraday Rotation, Computerized Tomography, Editor-in-Chief: M.M. Lavrent'ev, // Proc. of the fourth International Symposium, Novosibirsk, Russia, Utrecht, The Netherlands. -1995. -p.79-81.
28. Balandin A.L., Pickalov V., Fichs G. , Some applications of tomographic methods for vector fields. // International Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications, Berlin, June 8-10. -1994. -p.82-87.
29. Баландин A.JI., Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Трёхмерная реконструкция объектов с непрозрачным включением по неполному набору 2D проекций. //IV Всес. симпоз. вычисл. томографии. Тез. докл. -4.1. Новосибирск: ИМ СОРАН. -1989. -с.68-69.
30. Баландин А.Л. Фурье анализ радиальных скоростей звёзд. Метод восстановления функции распределения пространственных скоростей звезд. // Кинематика и физика небесных тел. -1989,- т.5, No4. -с.88-91.
31. Баландин А.Л., Преображенский Н.Г. Методы вычислительной томо-
графии в пространстве скоростей. // В кн. 1-я Всесоюзная школа-семинар по
оптической томографии. Куйбышев, -1988. -с.23.
Список цитируемой литературы
|1] Васин В.В., Агеев А.Л., Некорректные задачи с априорной информацией. -Екатеринбург: Наука, -1993. -262 с.
[2] Бухгейм А.Л., Уравнения Вольтерра и обратные задачи. -Нов.: Наука, -1983. -130 с.
[3] Апарцин А.С., Неклассические уравнения Вольтерра I рода. Теория и численные методы. -Нов.: Наука, -1999. -150с.
[4] Наттерер Ф., Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1990. -27£t.
[5] Gerchberg R.W. Super resolution through error energy reduction. // Optica Acta. -1974. -Vol.21, No9. -p.709-720.
[6] Papoulis A. A new algorithm in spectral analysis and band-limited extrapolation. // IEEE Trans. Circuits Syst. -1975. -Vol.CAS-22. -p.735-742.
[7] Schwarz G., Horge Decomposition - A Method for Solving Boundary Value Problem. NY. Springer. -1991. -153 p.
[8J Balandin A.L., Ono Y., The method of series expansion for 3-D vector tomography reconstruction, // Journal Computational Physics. -2005. -Vol.202, -p.52-64.
[9] Баландин А.Л., Метод полиномиальных разложений в задачах трёхмерной векторной томографии. // Мат. моделирование. -2005. -т.17, No5. -с.52-00.
[10] Соловьёв Л.С., Шафранов В.Д., Замкнутые магиитные конфигурации для удержания плазмы. // Вопросы теории плазмы. -М.: Госатомиздат. -1967. -т.5. -с.З-208.
[11] Оно Y., Yamada М., Акао Т., Ion Acceleration and Direct Ion Heating in Three-Component Magnetic Reconnection. // Phys. Rev. Lett. -1996. -Vol.76, -p.3328-3331.
[12] Kawamori E., Sumikawa Т., Ono Y., Balandin A., Measurement of global instability of compact torus by three-dimensional tomography, // Rev. of Sci. Inst. -2006. -Vol.77, issue 9. -p.093503-1-093503-3.
БАЛАНДИН Александр Леонидович
Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии.
Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук
Подписано в печать 15.11.2010. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 2. Уч.-изд. л.2,0. Тираж 100 экз. Заказ №5
Отпечатано в ИДСТУ СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова 134
Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Баландин, Александр Леонидович
Введение
1 Скалярная томография
1.1 Введение.
1.1.1 Радон (72.) преобразование: к= N-1.
1.1.2 Лучевое (X) преобразование: к=1.
1.1.3 Веерное (Т>) преобразование.
1.1.4 Формулы обращения.
1.2 Итерационные фурье методы (ИГМ).
1.2.1 Реконструкция трёхмерных изображений по одномерным проекциям.
1.2.2 Реконструкция трёхмерных изображений по двумерным проекциям
1.2.3 Численное моделирование
1.2.4 Непрозрачные включения
1.3 Томография в пространстве скоростей.
1.3.1 Восстановление функции распределения.
1.3.2 Функция распределения в задаче звёздной статистики.
1.4 Принцип максимума энтропии.
1.4.1 Обобщённый метод максимума энтропии (МЕМ.1)
Параллельная геометрия измерения.
1.4.2 Численное моделирование. Параллельная геометрия.
1.4.3 Обобщённый метод максимума энтропии (МЕМ.1)
Веерная геометрия измерения.
1.4.4 Численное моделирование. Веерная геометрия.
2 Двумерная векторная томография
2.1 Введение.
2.1.1 Векторные интегральные преобразования.
2.1.2 Ух- преобразование.
2.1.3 Уд- преобразование
2.1.4 Теорема о центральном сечении (Х>х -преобразование).
2.2 Доплеровская томография.
2.2.1 Физические основы.
2.2.2 Доплеровская спектроскопия и метод обращения.
2.2.3 Численное моделирование. 2-Б векторное поле.
2.2.4 Аксиальная симметрия.
Метод обращения и численное моделирование.
2.3 Поляризационная томография
2.3.1 Метод обращения.
2.3.2 Численное моделирование
3 Трёхмерная векторная томография
3.1 Введение.
3.2 Разложение по скалярным сферическим гармоникам. БЭ^ГО - метод.
3.2.1 Метод обращения.
3.2.2 Численное Моделирование.
3.3 Разложение по векторным сферическим гармоникам. УБНБ - метод
3.3.1 Представление соленоидального поля.
3.3.2 Процедура обращения.
3.3.3 Численное моделирование.
4 Томография плазменных процессов
4.1 Восстановление радиального распределения скорости.
4.2 Восстановление 2-D полоидального поля скоростей.
Введение 2010 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Баландин, Александр Леонидович
Нетрудно испечь пирог, если есть Наибольшую опасностъ представляет мпе-рецепт, но можно ли написать ^ что существует универсалъный метод рецепт, отведав пирог? i для решения прикладных обратных задач. 2
Ричард Фейнман pierre C.Sabatier
Данная работа относится к области знания, которую принято сейчас называть вычислительной диагностикой. Под этим понимается совокупность методов и средств, предназначенных для изучения характеристик исследуемых объектов по результатам косвенной информации о них. Большое значение вычислительная диагностика имеет в медицине, при контроле за состоянием окружающей среды, в астрофизике и геофизике, а также в различных областях физики, биологии, химии и т.д.
Все задачи диагностики по существу относятся к обратным задачам -отыскание неизвестных причин по известным следствиям, т.е. когда нужно выяснить свойства объекта по его наблюдаемым проявлениям и имеющейся априорной информации. По существу, проблему интерпретации результа
It is easy to make a cake from a recipe; but can we write down the recipe if we given a cake? R.P. Feynman (1964).
2The most dangerous one is the belief in a universal method for solving applied inverse problems, Раь1 and future of inverse problems, Journal of Mathematical Physics. -2000. -Vol.41, No6. Л тов любого косвенного эксперимента можно рассматривать как обратную задачу. В простейших ситуациях экспериментатор опирается на полуинтуитивные методы решения обратных задач, используя логику здравого смысла и априорную информацию о наблюдаемом процессе, и/или заменяя обратную задачу совокупностью прямых. При интерпретации сложного эксперимента обычно используются методы регрессионного анализа, или решаются интегральные уравнения типа Вольтерра или Фредгольма первого рода [1,2].
Обратные задачи, как правило, более сложные, чем прямые, и не всегда однозначны, плохо поддаются как аналитическим так и численным методам решения из-за их неустойчивости. Неустойчивость означает, что в пределах естественных флуктуаций шума с наблюдательными данными примерно в равной степени согласуется множество возможных оценок решения, включая и существенно отличные от истинного решения. Утрируя, можно сказать, что основная проблема связана не с нахождением подходящего решения обратной задачи, а с их обилием. Тем не менее обратные задачи очень важны, так как зачастую косвенная информация об объекте - это единственная информация доступная экспериментатору. Так обстоит дело в радиофизике, квантовой механике, теории упругости, часто в физике плазмы и т.д. В общем случае обратные задачи часто являются некорректно поставленными, т.е. небольшие ошибки в экспериментальных данных или в данных о характеристиках установки могут дать очень большие ошибки в искомом решении. Одна из причин некорректности заключается в том, что в своей исходной математической постановке обратные задачи являются недоопределенными. Поэтому представляется очевидным, что одно только усовершенствование численных методов не может привести к хорошим результатам, если в исходных экспериментальных данных отсутствует необходимая информация. Необходимо привнести какую-либо априорную нетривиальную дополнительную информацию, с помощью которой можно надеяться "отфильтровать" ложные варианты и выделить решение наиболее близкое к истинному [3-5,7].
Любые чисто математические ухищрения, не привлекающие дополнительных априорных данных, эквивалентны попытке создания информационного perpetuum mobile, производящим информацию из ничего." [8]. Важный момент в повышении устойчивости обратных задач заключается в понимании природы искомого решения и фактически в использовании условия их максимальной простоты, совместимой с данными эксперимента. Например, использовать принцип максимума энтропии или какой-либо критерий гладкости.
Существуют в основном три школы развивающие теорию обратных задач - это школа Тихонова А.Н. ( Бакушинский А.Б., Гончарский А.В, Денисов A.M., Леонов A.C., Ягола А.Г. и др.), школа Лаврентьева М.М. (Анико-нов Д.С.,Аниконов Ю.Е., Бухгейм А.Л., Романов В.Г., Кабанихин С.И. и др.), школа Иванова Б.К. (Васин В.В., Танана В.П. и др.). Особый класс обратных задач возникает в компьютерной томографии [9,11,139,141,150]. Так называют принципиально новый метод изучения объектов по их "проекциям". Под проекциями понимаются измеряемые величины, являющиеся функционалами (обычно содержащими линейные интегралы) от физических характеристик объекта. Под "объектом" подразумевается 2-, 3-или п- мерная функция/вектор-функция, описывающая данный процесс, явление или физическую среду. В общем случае двумерный объект полностью описывается двумя переменными, поэтому мы можем отождествлять "объект" с некоторой функцией двух переменных / = f(x,y). Аналогично, n-мерный объект отождествляется с функцией/вектор-функцией п-переменных. Хорошо известно, что скалярная функция может быть восстановлена по её линейным интегралам [13]. В евклидовом пространстве M.N, в зависимости от того выполняется интегрирование вдоль линии или по гиперплоскости размерности N — 1, говорят о лучевом (Х-гау)- или о Радон- преобразованиях. Если интегрирование проводится по к-мерной плоскости, 1 ^ к ^ N — 1 то имеет место k-plane преобразование. Для N = 2,3 ответ на вопрос, как восстановить функцию по известным проекциям, был дан Радоном (J. Radon) в 1917 году [14]. Сгласно Кормаку [18], впервые преобразование Радона появилось в работе Лоренца 3 по восстановлению функций в 3-D пространстве по их интегралам по плоскостям. В математической литературе Радон- преобразование было использовано в [20], [21] для построения фундаментальных решений дифференциальных и 3H.A.Lorentz, датский физик, Нобелевский лауреат 1902 года уравнений в частных производных. Обращение Радон- преобразования было одной из первых проблем интегральной геометрии, области математики, связанной с восстановлением функций по их интегралам по семейству многообразий [9,10]. Задачи компьютерной томографии, математической основой которых является преобразование Радона, возникали в самых разных областях науки, что привело к тому, что методы обращения были независимо переоткрыты и использовались целым рядом учёных начиная с середины 50-х годов [23, 24, 34]. Компьютерная томография (КТ), после создания Кормаком (А.Согтаск) и Хаунсфилдом (К. Ношшйек!) медицинского томографа в 1972 году, быстро распространилась на другие области исследования, начиная от электронной микроскопии и кончая космосом и сейсмологией см. [149] и цитированную там литературу. В последние годы методы томографии широко применяются для диагностики лабораторной плазмы, в задачах управляемого термоядерного синтеза и т.д. Трансмиссионные измерения, использующие интерферометри-ческую технику, измерение эмиссионного излучения плазмы в рентгеновской [26,27] и в видимой областях спектра [28,29], 7- и нейтронное излучение, регистрируемые в физических экспериментах, представляют собой интегралы некоторых характеристик плазмы вдоль линии наблюдения [30]. В задачах диагностики плазмы одним из важнейших вопросов, стоящих перед исследователем, является степень её неоднородности. Поэтому требуются экспериментальные методики, позволяющие достаточно надёжно определить пространственное распределение таких разнообразных параметров плазмы как коэффициентов эмиссии, температуры, концентрации её компонент, поля скоростей или магнитного поля и т.д. Для получения таких распределений и разрабатываются томографические методы. Наиболее сложными (как в экспериментальном, так и в вычислительном плане) являются задачи трёхмерной эмиссионной томографии, в которой собственное излучение некоторого объёма плазмы регистрируется двумерными детекторами. Для плазменных экспериментов характерно малое число каналов наблюдения (по сравнению, например, с медицинской томографией), что приводит к специфическим проблемам реконструкции томографических изображений в условиях информационной недостаточности экспериментальных данных. В результате этого возникает необходимость более полного привлечения всей имеющейся априорной информации о восстанавливаемом объекте и использования регуляризирующих алгоритмов [5,6]. Такой информацией может быть, например, положительность (в случае восстановления плотности), известные симметрии (возможно, цилиндрическая - в токамаках, сферическая - в сферомаках) или постоянство некоторой величины на изоповерхностях функции потока полоидального поля ф (что часто используется для рентгеновского излучения и справедливо также для магнитного поля).
Для решения практических задач важно иметь замкнутое формальное представление того или иного метода, поэтому описание методов, представляемых в данной работе сопровождается численным моделированием. Это позволяет почувствовать особенности задач, и тем самым получить представление о надёжности полученных решений.
Актуальность темы диссертации. Математическое моделирование как один из важнейших методов научного исследования и, в частности, интегральные методы диагностики играют важную роль в исследовании физических процессов. Преобразования, типа преобразования Радона, лежащие в основе томографии, находят многочисленные приложения в самых различных областях исследования начиная от космического пространства и физики Солнца и кончая диагностикой квантовых, биологических и нано структур. Сегодня значительные результаты с применением томографии получены в молекулярной физике, физике твёрдого тела, геофизике, атмосферной оптике, гидродинамике, лабораторной и космической плазме и т.д. В физических экспериментах и, в частности, в задачах диагностики плазмы часто возникает необходимость использования томографических методов исследования и, более того, они часто бывают единственно возможными. Например, определение пространственного распределения показателя преломления плазмы, основной вклад в который вносит электронная компонента, лежит в основе метода расчёта профиля плотности и важнейших гидродинамических параметров плазмы. Измерение фарадеевского вращения плоскости поляризации зондирующего пучка используется для исследования магнитных нолей в плазменной короне.
В работе акцепт сделан на разработку алгоритмов для плазменной томографии, обладающей рядом специфических особенностей, а именно: ограниченным доступом к объекту (т.е. малым числом ракурсов), наличием непрозрачных включений, влиянием аппаратной функции регистрирующей системы, нестационарностью исследуемой плазмы, необходимостью высокого спектрального, пространственного и временного разрешения и т.д. Именно поэтому при широком распространении методов томографии в технике и медицине освоение этих методов в физике плазмы происходит лишь в настоящее время. Часто единственным источником информации, позволяющим судить о состоянии плазмы, является регистрируемое излучение. Так как спектральная линия несет достаточно полную информацию о процессах, происходящих в плазме, возникает задача обращения доплеровских спектральных измерений. В связи с выше указанной спецификой задача разработки методов малоракурсной томографии, учитывающих различного рода дополнительную априорную информацию, а также разработка схем измерения, обеспечивающих наилучшую реконструкцию, является актуальной.
Целью диссертационной работы является разработка методов и численных алгоритмов томографической диагностики с целью исследования объектов различной физической природы, в частности, приложения методов томографии к задачам астрофизики, физики плазмы, газодинамики и т.д. Математическое моделирование с целью оптимизации физического эксперимента, совершенствования методики эксперимента и разработки томографической системы диагностики. Для этих целей решены следующие задачи:
1) Разработаны двумерные и трёхмерные итерационные алгоритмы малоракурсной томографии для скалярных Радон и лучевого преобразований для планарных схем измерения.
2) Разработаны новые алгоритмы и методы спектральной доплеровской томографии с целью восстановления одномерных, двумерных и трёхмерных векторных полей для различных схем измерения (параллельной, веерной, конической).
3) Разработаны новые методы на основе обобщения метода максимума энтропии для задач трёхмерной скалярной и векторной томографии.
4) Проведено математическое моделирование плазменного эксперимента с целью планирования и оптимизации томографических измерений: выбор минимально необходимого числа ракурсов, положения и числа приёмников.
5) Обработка реальных экспериментальных данных с использованием разработанных алгоритмов скалярной и векторной томографии.
6) Для тестирования и изучения развитых методов создан комплекс программ, включающий библиотеку скалярных и векторных фантомов, предобработку и визуализацию экспериментальных данных.
Методы исследования. Основным инструментом исследования являются методы интегральной геометрии. Используются также методы математического моделирования, методы фурье анализа, функционального анализа, теории программирования, методы оптимизации, численные методы. Научная новизна состоит в следующем:
Разработаны методы и алгоритмы трёхмерной малоракурсной томографии на основе итерационных фурье методов. С использованием предложенных методов изучены различные план арные схемы регистрации данных. Методы использовались, в частности, для восстановления трёхмерной функции распределения частиц по скоростям по известным одномерным функциям распределения (скалярная томография в пространстве скоростей) .
Разработаны новые методы на основе обобщения принципа максимума энтропии для двумерных и трёхмерных задач вычислительной томографии для скалярных Радон- и лучевого преобразований для различных схем измерения (параллельной, веерной, конической). Методы применялись для исследования пересоединения магнитных полей в установках типа "сферо-мак" (сферический токамак).
Впервые на основе трёхмерной томографической реконструкции распределения коэффициентов эмиссии в плазме наблюдалась колебальная (twisting) неустойчивость на установках типа "сферомак", TS-3/TS-4.
Разработан ряд новых методов векторной томографии: инверсия поляризационных и спектральных доплеровских измерений с целью восстановления одномерных и двумерных векторных полей. В частности, при наличии аксиальной симметрии, разработан метод одноракурсной векторной томографии для восстановления и исследования временной эволюции радиального распределения скорости частиц в плазме на установках типа "сферомак", Т8-3/Т8-4.
Разработаны новые методы трёхмерной векторной томографии на основе полиномиальных разложений с использованием скалярных и векторных сферических гармоник. Один из методов использовался для восстановления двумерного поля скоростей на установке "сферомак", ТБ-4.
На основе развитых методов и результатов численного моделирования спроектирована томографическая система диагностики на установках типа "сферомак", Т8-3/Т8-4.
Достоверность и эффективность развитых в работе методов подтверждена модельными расчётами а также физически непротиворечивыми результатами, полученными в результате обработки реальных экспериментальных данных.
Практическая значимость результатов исследований заключается в разработке методов и программ малоракурсной томографии для исследования скалярных и векторных полей. Некоторые из разработанных методов уже применялись для исследования плазмы. Результаты реконструкции помогли лучше понять физику процессов нересоединения магнитных полей и оптимизировать сам эксперимент. Разработанные методы могут также найти применение и в других областях исследования, где требуется томографическая диагностика.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Разработка методов и алгоритмов скалярной трёхмерной малоракурсной томографии на основе итерационных фурье методов для плаиарных схем измерения.
2. Разработка методов и алгоритмов на основе обобщения принципа максимума энтропии для двумерных и трёхмерных задач вычислительной томографии для скалярных Радон- и лучевого преобразований для различных схем измерения (параллельной, веерной, конической).
3. Результаты применения разработанных методов скалярной томографии к исследованию процессов пересоединения магнитных полей в установках типа "сферомак": реконструкция трёхмерного распределения коэффициентов эмиссии, анализ плазменной неустойчивости.
4. Разработка методов и алгоритмов обращения спектральных доплеров-ских измерений для восстановления одномерных и двумерных векторных полей.
5. Результаты применения разработанных методов к реальным экспериментальным данным: восстановление временной эволюции радиального распределения скорости, восстановление двумерного полоидального поля скоростей в установках типа "сферомак".
6. Разработка полиномиальных методов обращения в задачах трёхмерной векторной томографии с использованием скалярных и векторных сферических гармоник.
Личный вклад автора. Весь комплекс программ, все постановки задач и методы их решения выполнены лично автором.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах Института динамики систем и теории управления, на семинаре Института математики им. С.Л. Соболева, на 3-ем Международном симпозиуме по томографии (IWPT-3) - (Токио,2009), на 50-й Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Dallas, США, 2008), на Международном симпозиуме США-Япония "Магнитное пересоединение 2008"- (Okinawa, Япония, 2008), на 5-ом Всемирном конгрессе по индустриальной томографии - (Bergen, Норвегия, 2007), на 4-ом Всемирном конгрессе по индустриальной томографии - (Aizu, Япония, 2005), на 47-ой Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Colorado, США, 2005), на 46-ой Годовой конференция американского физического общества (APS) по физике плазмы - (США, 2004), на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" - (Екатеринбург, 2004), на Международном симпозиуме по обратным задачам в механике (ISIP 2003)-(Nagano, Япония, 2003), на 44-й Годовая конференция американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Флорида, США, 2002), на 42-ой Годовой конференции американского физического общества (APS) по физике плазмы - (Канада, 2000), на Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98) - (Новосибирск, 1998), на Конференции японского общества индустриальной и прикладной математики (ДЭГАМ) - (Токийский университет, 1996), на Третьем международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (1С1АМ 95)- (Гамбург, 1995), на Международном симпозиуме " Вычислительная томография для промышленных приложений"- (Берлин, 1994), на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики"-(Новосибирск, 1992), на Симпозиумах по вычислительной томографии (Новосибирск, 1989, Москва, 1991, Новосибирск, 1993, 1995). Публикации. Основной материал диссертации опубликован более чем в 50 научных работах, среди которых 18 статей опубликованы в журналах, входящих в перечень рекомендованных ВАК для публикации основных результатов.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения, списка литературы из 168 наименований, списка иллюстраций. Общий объём диссертации составляет 204 страницы, включая 72 рисунка, 3 таблицы и 1 блок-схему. Перейдем к изложению содержания и структуры диссертации. Первая глава посвящена методам скалярной томографии. Сначала вводятся определения и наиболее важные свойства интегральных преобразований: Радона, лучевого, веерного. Далее рассматриваются методы, основан
Заключение диссертация на тему "Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии"
Основные результаты Главы 4.
1. Разработаны томографические схемы диагностики для исследования скалярных и векторных параметров плазмы на установках типа "сферомак" TS-3/TS-4.
2. Разработанные в предыдущих главах методы томографической диагностики адаптированы для установок TS-3/TS-4.
Впервые получена томографическая 3-D реконструкция временной эволюции эмиссии плазмы.
3. Впервые по результатам спектральных измерений с использованием томографических методов получена временная эволюция радиального распределения скорости компонент плазмы.
4. Впервые восстановлено двумерное поле скоростей по одномерным спектральным измерениям на установках типа сферический токамак.
Заключение
Оглядываясь назад, можно заметить, что в работе тесно переплетаются чисто математические понятия и физические явления и эффекты. В этом нет ничего удивительного, так как с одной стороны современная томография невозможна без привлечения методов интегральной геометрии, решения некорректных задач, математической статистики, а с другой - она является инструментом в руках исследователя и поэтому на стадии постановки математической задачи естественно необходимо понимание физики исследуемого явления. Понимание физики зачастую позволяет дополнительно привлечь априорную информацию, и тем самым улучшить обусловленность задачи. Этим и объясняется комплексный характер работы. В ней рассматриваются не только алгоритмические вопросы, но также предложены новые методы реконструкции для конкретных физических экспериментов, позволяющие оптимизировать сам эксперимент. Не касаясь общих положений диссертации, можно подвести следующие итоги проделанной в ней работы.
1. На основе итерационного метода фурье-синтеза разработаны 2-D и 3-D методы и алгоритмы обращения Радон (JZ) и лучевого (X) преобразований с учётом возможной неполноты набора проекций, наличия непрозрачных включений, с учётом различной геометрии регистрации проекций (параллельной, веерной, конической).
2. Для малого числа проекций, что является типичной ситуацией для физических экспериментов, разработаны 2-Б и 3-Б алгоритмы обращения Радон (IV)' и лучевого (X) преобразований на основе обобщения метода максимума энтропии на знакопеременные функции. Алгоритмы разработаны для параллельной, веерной и конической схем измерения.
3. Разработаны методы и алгоритмы 1-0, 2-Б и 3-Б векторной толюгра-фии применительно к задачам диагностики плазмы. Методы основаны на разложении искомых вектор-функций в ряд по скалярным и векторным сферическим гармоникам. Реализованы параллельная, веерная и коническая схемы измерений.
4. На основе численного моделирования разработаны методы оптимизации томографического эксперимента и системы диагностики на установках типа "сферомак" Т8-3/Т8-4 (Токийский Университет, Япония).
5. С целью томографического исследования объектов различной физической природы создан комплекс программ включающий библиотеку скалярных и векторных фантомов, модули предобработки экспериментальных данных, модули решения обратных задач, модули постобработки томограмм и их визуализации.
Библиография Баландин, Александр Леонидович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
1. Бухгейм А. Л., Уравнения Вольтерра и обратные задачи. -Новосибирск: Наука, -1983. -130 с.
2. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., Седельников А.И., Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. -Новосибирск: Наука, -1984. -237 с.
3. Тихонов А.Н., Гончарский В.В., Степанов В.В., Ягола А.Г., Численные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, Физматлит, -1990. -220 с.
4. Тихонов А.Н., Гончарский В.В., Степанов В.В., Ягола А.Г., Регуля-ризирующие алгоритмы и априорная информация. -М.: Наука, -1983. -198 с.
5. Васин В.В., Агеев А.Л., Некорректные задачи с априорной информацией. -Екатеринбург: УИФ Наука, -1993. -263 с.
6. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г., Нелинейные некорректные задачи. -М.: Наука, -1995. -312 с.
7. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B., Итеративные методы решения некорректных задач. -М.: Наука, -1989. -126с.
8. Яненко H.H., Преображенский Н.Г., Разумовский О.С., Методологические проблемы математической физики. -Новосибирск: Наука, -1986. -289 с.
9. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., С.П. Шишатский С.П., Некорректные задачи математической физики и анализа. -М.: Наука, -1980. -286 с.
10. Романов В.Г., Обратные задачи математической физики. -М.: Наука, -1980. -264 с.
11. Бухгейм A.JL, Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, -1988. -181 с.
12. Иванов В.К, Васин В.В., Танана В.П., Теория линейных некорректных задач и её приложения. -М.: Наука, -1978. -204 с.
13. Наттерер Ф., Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир. -1990. -279 с.
14. Radon J., Ueber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwaerte laengs gewisser Maenningfaltigkeiten. // Ber. Saechs. Akad. Wiss. -1917. -Vol.69. -c.262-277.
15. Keinert F., Inversion of k-plane transforms and applications in computer tomography. // SIAM Rev. -1989. -Vol.31, No2. -p.273-298.
16. Markoe A., Analytic tomography. -Cambridge: Cambridge Univ. Press. -2006. -400 p.
17. Хелгасон С., Преобразование Радона. -М.: Мир, -1983. -149с.
18. Cormack A.M., Computed Tomography: Some History and Recent Developments. // Proceedings of Symposia in Applied Mathematics. -1982. -Vol.27, -p.35-42.
19. Deans S.R., The Radon transform and some of its applications. -NY: Wiley. -1983. -289 p.
20. John F., Plane Wave and Spherical Means. -NY: Wiley. -1955. -156p.
21. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е., Обобщенные функции и действия над ними. -М.: Ф-М. -1959. вып.1. -470с.
22. Bracewell R.N., Strip Integration in Radio Astronomy. // Aust. J. Pliys. -1956,- Vol.9, -p.198-217.
23. Cormack A.M, Representation of a Function by Its Line Integrals, with Some Radiological Applications, II. j j Journal of Applied Physics. -1964. -Vol.35, NolO. -p.2908-2913.
24. Cormack A.M., Representation of a Function by Its Line Integrals, with Some Radiological Applications. // Journal of Applied Physics. -1963. -Vol.34, No9. -p.2722-2727.a.
25. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН. -1983. -т.141, вып.З. -с.469-498.
26. Camacho J.F., Granetz R.S., Soft X-ray tomography diagnostics for the Alcator С tokamak. // Rev. Sci. lustrum. -1986. -Vol.57, No3. -p.417-425.
27. Granetz R.S., Smeulders R, X-ray tomography on JET. // Nucl. Fusion. -1988. -Vol.28, No3. -p.457-476.
28. Hino M., Aono Т., Nakajima M., Yuta S., Lite emission computed tomography system for plasma diagnostics. // Appl. Opt. -1981. -Vol.26, No22. -p.4742-4746.
29. Ingesson L.C., Koning J.J., Donne A.J.H., Schram D.C., Visible light tomography using an optical imaging system. // Rev. Sci. Instrum. -1992,-Vol.63, NolO. -p.5185-5187.
30. Басов Н.Г., Захаренков Ю.А., Pyпасов А.А., Склизков Г.В., Шиканов А.С., Диагностика плотной плазмы. -М.: Наука, -1989. -367с.
31. Hertle A., Continuity of the Radon Transform and its Inverse on Euclidean Space. // Math. Z. -1983. -Vol.184, -p.165-192.
32. Hamaker C., Smith K.T., Solmon D.C., Wagner S.L., The divergent beam X-ray transform. // Rocky Mountain J. Math. -1980. -Vol.10, Nol. -p.253-283.
33. Smith К.Т., Solmon D.C., Lower dimensional integrability of L2 functions. // J. Math. Anal. Appl. -1975. -Vol.51, -p.539-549.
34. Bracewell R.N. Strip integration in radio astronomy. // Ausralian Journal of Physics. -1956. -Vol.9, -p. 198-217.
35. Kinsey J.L. Fourier transform Doppler spectroscopy: A new means of obtaining velocity-angle distributions in scattering experiments. // The journal of chemical physics. -1977. -Vol.66, No6. -p.2560-2565.
36. Баландин A.JI., Преображенский Н.Г., Седельников А.И., Томографическое восстановление распределения частиц по скоростям. // Прикладная механика и техническая физика. -1989. -No6. -с.34-37.
37. Баландин А.Л., Преображенский Н.Г. Методы вычислительной томографии в пространстве скоростей. // В кн. 1-я Всесоюзная школа-семинар по оптической томографии, -Куйбышев, -1988. -с.23.
38. Баландин А.Л., Преображенский Н.Г., Седельников А.И., Исследование возможностей томографической реконструкции распределения молекул по скоростям. // Труды Всесоюзного семинара "Оптическая томография". -Таллии: ИК АНЭССР, -1988. -с.32-35.
39. Баландин A.JL, Фурье анализ радиальных скоростей звезд. Метод восстановления функции распределения пространственных скоростей звезд. // Кинематика и физика небесных тел. -1989. -т.5, No4. -с.88-91.
40. Баландин A.JI., Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Трёхмерная реконструкция объектов с непрозрачным включением по неполному набору 2D проекций. //IV Всес. симпоз. вычисл. томографии. Тез. докл. -4.1. Новосибирск: ИМ СОРАН СССР, -1989. -с.68-69.
41. Баландин А.Л., Пикалов В.В., Трёхмерная реконструкция объектов по неполному набору двумерных зашумленных проекций. // Международная школа-семинар по методам оптимизации и их приложениям. Тез. докл., Иркутск: СЭИ СОРАН СССР, -1989. -с. 18-19.
42. Пикалов В.В., Казанцев Д.И., Голубятников В.П., Обобщение теоремы о центральном сечении на задачу веерной томографии. // Вычисл. методы и программирование. -2006. -т.7, No2. -с. 180-184.
43. Хургин Я.И., Яковлев В.П., Финитные функции в физике и технике. -М.: Наука. -1971. -408 с.
44. Айзенберг JI.A., Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. -Новосибирск: Наука, -1990. -246 с.
45. Вайнштейн Б.К., Современная кристаллография. -М.:Наука. -1990. -709 с.
46. Эрнст Р., Боденхаузен Дж., Вокаун А., ЯМР в одном и двух измерениях. -М.: Мир. -1979, т1, 450 р.
47. Клуг А., От макромалекул к биологическим ансамблям: Нобелевская лекция по химии. // УФН. -1984. -т. 142, Nol. -с.3-30.
48. Джоунс Р., Уайкс К., Голографическая спекл-интерферометрия. -М.: Мир. -1986. -327 с.
49. Barret Н.Н., Swindel W., Radiological imaging. The theory of image formation, detection and processing. -NY: Academic Press. -1981. -693 p.
50. Вишняков Г.Н., Восстановление томограмм трёхмерных объектов по двумерным проекциям, // Оптика и спектроскопия. -1988. -т.65, вып.З. -с.677-682.
51. Вишняков Г.Н., Шебалин А.Г., Восстановление томограмм трёхмерных объектов при планарной схеме регистрации двумерных проекций. // Оптика и спектроскопия. -1990. -т.68, вып.1. -с. 140-144.
52. Levin G.G., Vishnyakov G.N., On the possibilities of chronotomography of high speed process. // Opt. Commun. -1985. -Vol.56, No4. -p.231-234.
53. Gerchberg R.W., Superresolution thriugh error energy reduction. // Optica Acta. -1974. -Vol.21, No9. -p.709-720.
54. Papoulis A., A new algorithm in spectrum analysis and band-limited extrapolation. // IEEE Trans. -1975. -Vol.CAS-22. -p.735-742.
55. Gull S.F., Daniell G.J., Image reconstruction from incomplite and noisy data. // Nature. -1978. -Vol.272, No20. -p.686-690.
56. Хермен Г., Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. -М.:Мир, -1983. -349b.
57. Koslover R., McWilliams, Measurement of multidimensional ion velocity distributions by optical tomography. // Rev. Sci. Intr. -1986. -Vol.57, NolO. -p.2441-2448.
58. Jaynes E.T., Information Theory and Statistical Mechanics. // Physical Reviews. -1957. -Vol.106, -p.620-630.
59. Jaynes E.T., Information Theory and Statistical Mechanics, II. // Physical R,eviews. -1957. -Vol.108, -p.171-190.
60. Леонов А.С., Ягола А.Г., К обоснованию метода максимальной энтропии для решения некорректных задач. // Вестник МГУ: сер.З, Физика, Астрономия. -2000. -No2. -с.14-16.
61. Skilling J., Bryan R.K., Maximum entropy image reconstruction: general algorithm. // Mon. Not.R. astr. Soc. -1984. -Vol.211, -p.111-124.
62. Gull S.F., Skilling J., Maximum entropy method in image processing. // Proc. IEEE. -1984. Vol.-131, Pt.F, No6. -p.646-659.
63. Gull S.F., Daniell G.J., Image reconstruction from incomplete and noisy data. // Nature. -1978. -Vol.272, -p.686-690.
64. Livesey A, Skilling J., Maximum entropy theory, // Acta Cryst. -1985. -V61.A41. -p.113-122.
65. Steenstrup S., Hansen S., The Maximum-Entropy Method without the Positivity Constraints Applications to the Determination of the Distance-Distribution Function in Small-Angle Scattering. // J. Appl. Cryst. -1994. -Vol.27, -p.574-580.
66. Gilmore Christopher J., Maximum Entropy and Bayesian Statistics in Crystallography: a Review of Practical Applications. // Acta Cryst. -1996. -V61.A52. -p.561-589.
67. Borwein J.M., Lewis C.S., Convergence of best entropy estimates, // SIAM J. Optim. -1991. -Vol.1, -p.191-205.
68. Eggermont P.P.B., Maximum Entropy Regularization for Fredholm integral equations of the first kind., // SIAM J. Math. Anal. -1993. -Vol.24, -No6. -p. 1557-1576.
69. Amto U., Hughes W., Maximum entropy regularization of Fredholm integral equation of the first kind. // Inverse Problems. -1991. -Vol.7. -p.793-808.
70. Elfving Т., An algorithm for maximum entropy image restoration from noise data. // Math. Comput. Modelling. -1989. -Vol.12, -p.729-745.
71. Frieden B.R., Picture Processing and Digital Filtering ed. T.S.Huang. -NY: Springer. -1975, -p. 179-249.74j Kuliback S., Leibler R.A, On Information and Sufficiency. // Ann. Math. Stat. -1951. -Vol.22, -p.79-86.
72. Minerbo G., MENT: A maximum entropy algorithm for reconstructing a source from projection data, // Computer graphics and image processing. -1979. -Vol.10, -p.48-68.
73. Bazaraa M.S., Shetty C.M., Nonlinear Programming Theory and Algorithms. -NY: Wiley, -1979. -580 p.
74. Klaus M., Smith R.T., A Hilbert space approach to maximum entropy reconstruction. // Mathematical Methods in the Applied Sciences. -1988. -Vol.10, -p.397-406.
75. Balandin A.L., Kaneko A., Maximum entropy method for sign-altering functions. // Inverse Problems. -1999. -Vol.15, -p.445-463.
76. Balandin A.L., Tomographic Analysis of Sign-Altering Functions by Maximum Entropy Method. // An international journal computer & mathematics with applications. -2000. -Vol.39, -p. 15-24.
77. Денисова Н.В., Пикалов В.В., Баландин A.JL, Модифицированный метод максимума энтропии в томографии плазмы. // Оптика и спектроскопия. -1996. -т.81, Nol. -р.43-48.
78. Воскобойников Ю.Е., Преображенский Н.Г., А.И. Седельников, Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука, -1984. 255 с.
79. Balandin A.L., Ono Y., Tawara Т., Design study of 3-D tomography diagnostic for spherical tokamaks. /'/ European Physical Journal D. -2001. -Vol.14, -p.97-103.
80. Papoular R.J., Vekhter Y., Coppens P., The Two-Channel Maximum-Entropy Method Applied to the Charge Density of a Molecular Crystal: a—Glycine. // Acta Cryst. -1996. -Vol.A52, -p.397-407.
81. David W.I.F., Extending the power of powder diffraction for structure determination. // Nature. -1990. -Vol.346, -p.731-734.
82. Balandin A., Tomography of dynamical objects. // Preprint Series, Graduate School of Math. Sci. Univ. of Tokyo. -1997. -No97-9, -p.1-16.
83. Ortega J. M. and Rheinboldt W. C., Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. -NY: Academic Press, -1970. -250 p.
84. Ambatsumian V.A., On the determination of the frequency function of space velocities of the star from the observed radial velocities. // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. -1935. -Vol.96, No2. -p.172-178.
85. Баландин A.JL, Фурье-анализ лучевых скоростей звёзд. Метод восстановления функции распределения пространственных скоростей звёзд. // Кинематика и физика небесных тел. -1989. -т.5, No4. -с.88-91.
86. Амбарцумян В.А., О некоторых тенденциях в развитии астрофизики. // Изв. АН Армянской ССР, Физика. -1981. -вып.16. -с.239-251.
87. Deans S.R., Gegenbauer transform via the Radon transform. // SIAM J. Math. Anal. -1979. -Vol.10, -p.577-585.
88. Mijnarends P.E., Determination of Anisotropic Momentum Distribution in Positron Annihilation. // Physical Review. -1967. -Vol.B160(3). -p.512-519.
89. Majumdar C.K., Determination of the Total Momentum Distribution by Positron Annihilation. // Physical Review. -1971. -Vol.B4(7). -p.2111-2115.
90. Pecora L.M., 3D tomographic reconstruction from 2D data using spherical harmonics. // IEEE Transactions on Nuclear Science. -1987. -Vol.NS-34(2). -p.642-650.
91. Wang L., The X-ray transform and its inversion for the series expansion basis functions in three-dimensional tomography. /7 SIAM J. Appl. Math. -1992. -Vol.52(5). -p.1490-1499.
92. Driscoll J.R., Healy D.M. Jr., Computing Fourier Transforms and Convolutions on the 2-Sphere. // Advances in Applied Mathematics. -1994. -Vol.15. -p.202-250.
93. Биденхарн Л., Лаук Дж., Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. -М.: Мир, -1984. -т.1. -302 е.
94. Edmonds A.R., Angular Momentum in Quantum Mechanics. -Princeton: Princeton University Press. -1974. -Vol.NJ. -146 p.
95. Ake Bjorck, Numerical Methods for Least Squares Problems. -Philadelphia: SIAM. -1996. -408 p.
96. Akaike H., A new look at the statistical model identification. // IEEE Transactions on Automatic Control. -1978. -Vol.AC-19. -p.716-723.
97. Гелъфанд И.M., Гиндикин С.Г., Граев М.И., Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. -М:, -1980. -т.18, -р.53-227.
98. Шарафутдинов В.А., Интегральная геометрия тензорных полей, Новосибирск: Наука. -1993. -231 с.
99. Johnson S., Greenleaf J. , Tanaka M., Flandro G., Reconstructing three-dimensional temperature and fluid velocity vector fields from acoustic transmission measurements. // ISA Transactions. -1977. -Vol.16(3). -p.3-15.
100. Norton S.J., Tomographic reconstruction of 2-D vector filds: application to flow imaging. // Geophysical Journal. -1988. -Vol.97, -p.161-168.
101. Norton S.J., Unique tomographic reconstruction of vector fields using boundary data. // IEEE Transaction on signal processing. -1992. -Vol.1, No3. -p.406-412.
102. Braun H., Hauck A., Tomographic reconstruction of vector fields. // IEEE Transaction on signal processing. -1991. -Vol.39, No2. -p.464-471.
103. Prince J.L., Tomographic reconstruction of 3-D vector fields using product probes. // IEEE Transactions on Image Processing. -1994. -Vol.3, No2. -p.216-219.
104. Prince J.L., Convolution backprojection formulars for 3-D vector tomography with applications to MRI. // IEEE Transactions on Image Processing. -1996. -Vol.5, NolO. -p. 1462-1472.
105. Sparr G. , Strâhlént К., Lindstrôm К., Persson H.W., Doppler tomography for vector fields. // Inverse Problems. -1995. -Vol.11, -p.1051-1061.
106. Natterer F., Wubbeling F., Mathematical Methods in Image Reconstruction. -Philadelphia: SIAM. -2001. -216 p.
107. Balandin A.L., Kaneko A., 3D Vector Tomography reconstruction by Series Expansion Mtthod. //' Inverse Problems in Engineering Mechanics IV , M. Tanaka (Editor), Elsevier Ltd. -2003. -p.513-520.
108. Balandin A.L., Fichs G., Pickalov V., Rapp J., Soltwisch H., Vector tomography of Plasmas Using Faraday Rotation, Computerized
109. Tomography, Editor-in-Chief: M.M. Lavrent'ev. // Pro с. of the fourth International Symposium, Novosibirsk, Russia, Utrecht, The Netherlands. -1995. -p.79-81.
110. Balandin A.L., Pickalov V., Fichs G., Some applications of tomographic methods for vector fields. // International Symposium on Computerized Tomography for Industrial Applications, Berlin, June 8-10. -1994. -p.82-87.
111. Howard J., Vector tomography applications in plasma diagnostics. // Plasma Physics and Control Fusion. -1996. -Vol.38, -p.489-503.
112. Bell Ronald E., An inversion technique to obtain full poloidal profiles in a tokamak plasma. // Revew of Scientific Instruments. -1997. -Vol.68, -p.1273-1280.
113. Balandin A.L., Ono Y., Tomographic determination of plasma velocity with the use of ion Doppler spectroscopy. // European Physical Journal D. -2001. -Vol.17, -p.337-344.
114. Balandin A.L., Ono Y., Tomographic Reconstruction of the Vector Fields by Doppler Spectroscopy Measurements. /'/ Inverse Problems in Engineering Mechanics IV , M. Tanaka (Editor), Elsevier Ltd. -2003, p.521-529.
115. Balandin A.L., Murata Y., Ono Y., Radial velocity profile reconstruction by Doppler spectroscopy measurements. // European Physical Journal D. -2003. -Vol.27, -p.125-130.
116. Balandin A.L., Ono Y., The method of series expansion for 3-D vector tomography reconstruction. // Journal Computational Physics. -2005. -Vol.202, -p.52-64.
117. Баландин A.Jl., Метод полиномиальных разложений в задачах трехмерной векторной томографии. // Математическое моделирование. -2005. -т. 17, No5. -р.52-66.
118. Balandin A.L., Vector spherical harmonics application to 3-D tomography problem. // Computer Physics Communications. -2007. -Vol.176, -p.457-464.
119. Dinh H.Q., Xu L., Measuring the similarity of vector fields using global Distributions. //http://www.cs.stevens.edu/~quynh/vfieldglobal.html
120. Баландин A.JI., Векторные сферические гармоники в 3-D векторной томографии. // Сибирский Журнал Вычислительной Математики. -2009. -т.12, No2. -с.131-143.
121. Gulberg G.T., Roy D.G., Zeng G.L., Alexander A.L., Parker D.L., Tensor Tomography. // IEEE Transaction on Nuclear Science. -1999. -Vol.46, No4. -p.991-1000.
122. Dautray R. and Lions J.-L., Mathematical analysis and numerical methods for science and technology, Integral Equations and Numerical Methods. -Berlin: Springer. -2000. Vol.4. -494 p.
123. Вейль Г., Избранные труды. Серия "Классики науки", Математическая и Теоретическая физика. -М.: Наука, -1984. -с.275-307.
124. Foias С., Temam R., Remarques sur les equations de Navier-Stokes stationaires et les phenomenes succcssifs de bifurcation. // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. -1978. -Vol.5, -p.29-63.
125. Бэтчелор Дж., Введение в динамику жидкости, -М.: Мир. -1973. -757 с.
126. Блатт Д.Ж., Вайскопф В., Теоретическая ядерная физика, -М.: ИЛ. -1954. -556 с. Приложение II.
127. Gel'fand I.M., Shapiro Z.Y., Representation of the Group of Rotation in Three-dimensional Space and their Applications. // Am. Math. Soc. Transl. -1956. -Vol.2, -p.207.
128. Edmonds A.R., Angular Momentum in Quantum Mechanics. -Prinston: Prinston University Press. -1957. -146 p.
129. Freeden W., Gervens Т., Schreiner M., Constructive Approximation on the Sphere (With Applications to Geomathematics), Oxford Science Publication, Clarendon Press. -1998. -427 p.
130. Годунов С.К., Михайлова Т.Ю., Представления группы вращения и сферические функции. -Новосибирск: -1998. -208 с.
131. Moses Н.Е., The Use of Vector Spherical Harmonics in Global Meteorology and Aeronomy. // J.Atmospheric Sci. -1974. -Vol.31, -p. 14901500.
132. Wang L., Granetz R.S., Series expansion method in three-dimensional tomography. // J.Opt. Soc. Am. A. -1993. -Vol.10, Noll, -p.2292-2295.
133. Izen S.H., Inversion of the k-plane transform by orthogonal function series expansion. // Inverse Problems. -1989. -Vol.5, -p.181-202.
134. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Херсонский В.К., Квантовая теория углового момента. -JL: Наука, -1975. -436 с.
135. Hill Е.Н., The theory of vector spherical harmonics. // Amer. J. Phys. -1953. -Vol.22, -p.211-214.
136. Морс Ф.М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, т.1, -М.: ИЛ. -1958. -930 с.
137. Derevtsov E.Yu, S.G.Kazantsev S.G., Schuster Th., Polynomial bases for subspaces of vector fields in the unit ball. Method of ridge functions. // J. Ill-Posed Problems. -2006. -Vol.15, Nol. -p.1-38.
138. Kazantsev S.G., Bukhgeim A.A. The Chebyshev ridge polynomials in 2D tensor tomography. // J. Ill-Posed Problems. -2006. -Vol.14, No2. -p.157-188.
139. Шарафутдинов В.А., Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, -1993. 231 с.
140. Ake Bjorck, Numerical Methods for Least Squares Problems. -Philadelphia: SIAM. -1996. -408 p.
141. Bellari Paul M., Fundamentals of Plasma Physics. -Cambridge: Cambridge Univ. Press. -2006. -628 p.
142. Oks E., Plasma Spectroscopy: The Influence of Microwave and Laser Fields. Springer Series on Atoms and Plasma, -1995. -No9. -325 p.
143. Kuznetsov E.I., Shcheglov D.A., High Temperature Plasma Diagnostic, -M.: Atomizdat, -1980. -255 c.
144. Bell R.E., An Inversion technique to obtain full poloidal velocity profiles in a tokamak plasma. // Rev. Sci. Instrum. -1997, -Vol.68, No2. -p.1273-1280.
145. Howard J., Vector tomography applications in plasma diagnostics. // Plasma Phys. Control. Fusion. -1996. -Vol.38, -p.489.
146. Shaw R.S., Plasma-rotation determination from spectral intensity measurements. // J.Opt. Soc. Am., A. -1987. -Vol.4, Nol2. -p.2254-2259.
147. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В., Неустойчивые задачи диагностики плазмы. -Новосибирск: Наука, -1982. -238 с.
148. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г., Реконструктивная томография в газовой динамике и физике плазмы. -Новосибирск: Наука, -1987. -230 с.
149. Winters К.В., Rouseff D. Tomographic reconstruction of stratified fluid flow. // IEEE Trans. Ulrason., Ferroelectr. Freq. Control. -1993. -Vol.40, -p.26-33.
150. Lochte-Holtgreven W. (ed.), Plasma Diagnostics. -NY: AIP Press. -1995. -295 p.
151. Ono Y., Yamada M., Akao Т., Ion Acceleration and Direct Ion Heating in Three-Component Magnetic Reconnection. //' Phys. Rev. Lett. -1996. -Vol.76, -p.3328-3331.
152. Kaczmarz S., Approximate solution os systems of linear equations. // International Journal of Control. -1993. -Vol.57, No6. -p.1269-1271.
153. Ильин В.П., Об итерационном методе Качмажа и его обобщениях. // Сиб. журн. индустр. матем. -2006. -т.9, No3. -с.39-49.
154. Shafranov V.D., Plasma Equilibrium in a Magnetic Field. // Rev. Plasma Phys. -1966. -Vol.2, -p.103.
155. Sauthoff N.R. , S. von Goeler, Techniques for the reconstruction two-dimensional images from projections. // IEEE Trans. Plasma Sci. -1979. -Vol.7, No3. -p.141-147.
156. Myers B.R., Levin M.A., Two-dimensional spectral line emission reconstruction as plasma diagnostic tool. // Rev. Sci. Instrurn. -1978. -Vol.49, No5. -p.610-616.
157. De Marco F., Segre S.E., The polarization of an e.m. wave propagating in a plasma withmagnetic shear. The measurement of poloidal magnetic field in tokamak. // Plasma Phys. -1972. -Vol.14, -p.245-252.
158. Soltwisch H., Current density measurements in tokamak devices. // Plasma Phys. and Contr. Fusion. -1992. -Vol.34, Nol2. -p.1669-1696.
159. Faris G.W., Byer R.L., Beam-deflection optical tomography. // Optics Letters. -1987. -Vol.12, No2, -p.72-74.
160. Okoshi Т., Nishimura M., Measurement of axially nonsymmetrical refractive-index distributions of optical fiber perforins by a triangular mask method. // Appl. Opt. -1981. -Vol.20, Nol4, -p.2407-2411.
161. Zhang Y., Coplan M.A., Moore J.H., Bercnstein C.A., Computerized tomographic imaging for space plasma physics. //J. Appl. Phys. -1990. -Vol.68, Noll. -p.5883-5889.
162. Градштейн И.С., Рыжик И.М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: ФМ. -1962, -1100с.
163. Апарцин А.С.,Неклассические уравнения Вольтерра I рода: Теория и численные методы. -Новосибирск: Наука. -1999. -192 с.
164. Kawamori Е., Sumikawa Т., Ono Y., Balandin A., Measurement of global instability of compact torus by three-dimensional tomography. //' Review of Scientific Instruments. -2006. -Vol.77, issue 9. -p.093503-1-093503-3.
165. Параметризация используемая в определении преобразования Радона в!2. 25
166. Процедура замены фурье-спектра на известные значения фурье-спектра из проекционных данных. 32
167. Геометрия-1: а)- Схема регистрации проекций, Ь)- двумерные фурье-образы в трёхмерном пространстве. 33
168. Геометрия-2: а)- Схема регистрации проекций, Ь)- двумерные фурье-образы в трёхмерном пространстве. 34
169. Сечения (х-у), (х-г), (у-г) точной модели, левый столбец, и соответствующие сечения реконструированной модели. . 37
170. Ошибка реконструкции в зависимости от числа проекций. . 38
171. Сечения (х-у), (х-г), (у-г) модели с затенением в центральной области, левый столбец, и соответствующие сечения реконструированной модели. 39
172. Показаны двумерные проекции для одного направления без затенения, левый рисунок и с затенением, правый рисунок. . 40
173. Ошибка реконструкции в зависимости от числа проекций при наличии непрозрачных включений. 40110 3-Б пространство скоростей. Вектор наблюдения п перпендикулярен плоскости. Все вектора v, лежащие на плоскости имеют одинаковые радиальные скорости у. 47
174. Трёхмерная томографическая схема измерений для диагностики плазмы. 64
175. Веерная геометрия измерения. 1) Тороид возмущённый модой N=0 с аспектным отношением А=3.5 и 2) его реконструкция. Относительная ошибка реконструкции 20.1%. 65
176. Веерная геометрия измерения. 3) Тороид возмущённый модой N=3 с аспектным отношением А=3.5 и 4) его реконструкция. Относительная ошибка реконструкции 25.3%. 66
177. Веерная геометрия измерения. 5) Тороид возмущённый модой N=5 с аспектным отношением А=1.0 и 6) его реконструкция. Относительная ошибка реконструкции 3.35%. 66
178. Веерная геометрия измерения. 7) Тороид возмущённый модой N=5 с аспектным отношением А=3.5 и 8) его реконструкция. Относительная ошибка реконструкции 20.2%. 67
179. Ошибка реконструкции (в процентах) в зависимости числа проекций для различных тороидальных мод: N= 1 (—!—), N=2 (-х-), N=3 (-*-). 67
180. Схема измерения в спектроскопическом эксперименте. Положения линий наблюдения определяются вектором £ и расстоянием u = ОД £-»7 = 0. 82
181. Веерная схема измерений в одной из позиций регистрации проекций. Положение детекторов задается расстоянием ОВ = в, и углом в^ между положительным направлением осей1. Х- и Ху. 86
182. Первая модель с параметрами, ро = 0.0, Ар = 0.55. ф- функции: точная (верхний левый рисунок), восстановленная (верхний правый рисунок). Относительная ошибка реконструкции составляет 1.2 %. Соответствующие векторные поля показаны в нижнем ряду. . 87
183. Вторая модель с параметрами, /?о = 0.45, Ар = 0.1. ф- функции: точная (верхний левый рисунок), восстановленная (верхний правый рисунок). Относительная ошибка реконструкции составляет 11.0 %. Соответствующие векторные поля показаны в нижнем ряду. 88
184. Ошибка реконструкции (в процентах) ф- функции в зависимости от числа проекций и уровня шума: шум 5% (—о—),(— -I—) и шум 10% (—*—), (—о—) для первой и второй моделей соответственно. 89
185. Схема регистрации данных. Положения хордовых линий наблюдения определяются вектором расстоянием и = О А, €-г. = 0. 90
186. Ошибка реконструкции (в процентах) в зависимости от числа хордовых измерений для первой модели, (— * —), и (— х —)для второй модели,соответственно. 92
187. Путь интегрирования Ь{р, а, /?, 7) и углы Эйлера для \>х преобразования. у, г) и у', г')- системы координат: лабораторная и объекта, соответственно. Интегрирование всегда выполняется вдоль оси 2 при различных значениях параметров (р, а, 3,7). .103
188. Проекции £(р, а. ¡3,7) вычисленные по формулам (3.2.4) (сплошная жирная линия) и (3.2.9)-(3.2.11) (тонкая линия), соответственно, при некоторых фиксированных значениях углов (а,/?, 7). Ю7
189. Первая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля для Ь — 3 на плоскости Z = 0. 112
190. Первая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля для Ь — 3 на плоскости У = 0. 112
191. Первая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля для Ь = 3 на плоскости X = 0.113
192. Вторая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля на плоскости Z = 0. 113
193. Вторая модель: точное, (левое) и восстановленное, (правое) векторные поля на плоскости У = 0. 113
194. Фазовые кривые точной модели и восстановленной для произвольных линий на плоскостях изображённых на Рис. 3.14. Относительная ошибка составляет соответственно 32%. 10% и 42%. Реконструкция достаточно хорошо воспроизводит исходную модель.119
195. Сравнение восстановленного векторного поля (справа) и точного (слева) в плоскостях z = 0 и х = 0. Реконструкция выполнена при следующих параметрах: (iVp, Na, Nß. TV"7) = (10,11,11,11), Lmax = 5, Nmax = 2, ошибка реконструкции
196. X2 ~ 0.6 (см. Рис. 3.16) . 120
197. Реконструкция в плоскости: сечения точной модели (слева) и реконструкция (справа) в плоскости У=0. Векторное поле восстанавливается для геометрии измерений показанных на
198. Рис.(4.6,4.8). Параметры в алгоритме реконструкции: Ьтах — 4, Мтах = 2., (Л/р, ЛГа, Мр, Щ) = (31,2, 31,2).122
199. Реконструкция в плоскости: сравнение фазовых кривых точной модели (слева) и реконструированной модели (справа). Относительная ошибка соответственно 46%, 45%, 50%, сверху вниз. 122
200. Гистограммы для полей, изображённых на Рис.(3.17).123
201. Путь интегрирования Ь(р,а,/3,7). Интегрирование выполняется вдоль оси Z при различных значениях углов а-, ¡3,7,р = ОЛ.128
202. Матрица проекций и отдельная 2-Б проекция.13742 а)- Временная эволюция полоидальной функции потока. Ь)-Трёхмерное изображение эмиссии плазмы, полученное с использованием данных Рис.4.1.138
203. Конфигурация магнитного поля: 180/^, до пересоединения, 193/хй, в момент и 200^, после пересоединения.140
204. Хордовые измерения спектра излучения плазмы в момент эволюции плазмы 180/хв.— до момента пересоединения. . . . 142
205. Радиальное распределение скорости (безразмерной) в различные моменты времени эволюции плазмы: 180цв. (— х —) линия, 193^, (—□—) линия, 200//5, (— о —) линия. 143
206. СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт динамики систем и теории управления1. На правах рукописи05201150493
207. Баландин Александр Леонидович
208. Итерационные и полиномиальные методы малоракурсной скалярной и векторной физической томографии0513.18- Математическое моделирование, численные методыи комплексы программ
209. Итерационные фурье методы (П^М).3012.1 Реконструкция трёхмерных изображений поодномерным проекциям.3012.2 Реконструкция трёхмерных изображений подвумерным проекциям .3212.3 Численное моделирование .3512.4 Непрозрачные включения .36
210. Томография в пространстве скоростей.4113.1 Восстановление функции распределения.4113.2 Функция распределения в задаче звёздной статистики.44
211. Принцип максимума энтропии.4714.1 Обобщённый метод максимума энтропии (МЕМ.1) .
212. Параллельная геометрия измерения.5114.2 Численное моделирование. Параллельная геометрия.5614.3 Обобщённый метод максимума энтропии (МЕМ.1) .
213. Веерная геометрия измерения.5814.4 Численное моделирование. Веерная геометрия.62
214. Двумерная векторная томография 6921 Введение.6921.1 Векторные интегральные преобразования.7221.2 Ух- преобразование.7321.3 Уд- преобразование .7421.4 Теорема о центральном сечении (Х>х -преобразование).75
215. Доплеровская томография.7822.1 Физические основы.7922.2 Доплеровская спектроскопия и метод обращения.8022.3 Численное моделирование. 2-Б векторное поле.8422.4 Аксиальная симметрия.
216. Метод обращения и численное моделирование.86
217. Поляризационная томография .9123.1 Метод обращения.9223.2 Численное моделирование .95
218. Трёхмерная векторная томография 9831 Введение.98
219. Разложение по скалярным сферическимгармоникам. БЭ^ГО метод.9932.1 Метод обращения.10132.2 Численное Моделирование.110
220. Разложение по векторным сферическимгармоникам. УБИБ метод .12333.1 Представление соленоидального поля. .12533.2 Процедура обращения.12633.3 Численное моделирование.131
221. Томография плазменных процессов 135
222. Восстановление радиального распределенияскорости.139
223. Восстановление 2-D полоидального поля скоростей.1411. Заключение 150
-
Похожие работы
- Итерационные методы реконструкции изображений в малоракурсных томографических системах
- Восстановление изображений и свойств объектов путем решения обратных задач малоракурсной рентгеновской томографии и магнитошумовой структуроскопии
- Вычислительные технологии решения задач рефракционной, векторной и тензорной томографии
- Приближение решений задач тензорной томографии рядами по локальным и ортогональным базисам
- Разработка и исследование итерационных методов в вычислительной малоракурсной томографии
-
- Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)
- Теория систем, теория автоматического регулирования и управления, системный анализ
- Элементы и устройства вычислительной техники и систем управления
- Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (по отраслям)
- Автоматизация технологических процессов и производств (в том числе по отраслям)
- Управление в биологических и медицинских системах (включая применения вычислительной техники)
- Управление в социальных и экономических системах
- Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей
- Системы автоматизации проектирования (по отраслям)
- Телекоммуникационные системы и компьютерные сети
- Системы обработки информации и управления
- Вычислительные машины и системы
- Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)
- Теоретические основы информатики
- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
- Методы и системы защиты информации, информационная безопасность