автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследования математических моделей трудовых ресурсов с учетом возрастной структуры и пространственного распределения

На правах рукописи

□□3461788

Гулова Маърифат Табаровна

Исследования математических моделей трудовых ресурсов с учетом возрастной структуры и пространственного распределения

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе - 2009

003461788

Работа выполнена в Кургантюбинском государственном университете им. Н. Хисрава

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Юнуси Махмадюсуф Камарзода

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, член-корреспондент АН РТ Муминов Хикмат Халимович кандидат физико-математических наук Исматов Набиджон Мухаммаджонович

Российско - Таджикский Славянский Университет

Защита состоится 25 февраля 2009г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан 23 января 2009г.

Ученый секретарь диссертационного совета Каримов У.Х.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Активное проникновение научных методов и практику современной экономики как и сфере производства примышлен- постп так и в сфере сельскохозяйственного производства стало характерной особенностью нашего времени. Это особенно проявляется при рассмотрении ряда вопросов, решение которых связано с созданием строгих, научно обоснованных методов в проблемах экономики и экономического развития. Решение этих животрепещущих вопросов невозможно без привлечения современных методов математической пауки.

Создание научного аппарата для исследования и прогнозирования состояния экономических ресурсов во всем мире является одной из важнейших государственных задач. Разработка методов качественного исследования и следовательно, количественного прогноза систем экономического развития, естественно, требует всестороннего изучения параметров экономики предприятий, городов и стран, при тех или иных значениях параметров антропогенных и социальных факторов. При этом, эксперимент^ на реальных системах весьма дороги, продолжительны и часто недопустимы, поэтому возникает необходимость разработки различного рода математических моделей. При помощи математических моделей стало возможным качественное и экспериментальное изучение последствии тех или иных планируемых мероприятий, -затрагивающих функционирование экономических систем, прямые эксперименты с которыми недопустимы. Все это определяет особую актуальность выбранной и исследуемой темы нашей диссертации. Проблема изучения трудовых ресурсов является ключевым вопросом в рыночной экономике, и не решив ее, невозможно наладить эффективную деятельность экономики. Особенно остро проблема трудовых ресурсов и безработицы стоит сейчас перед многими странами, и в частности перед странами СНГ, так как состояние экономики многих стран СНГ сейчас находится па низком этапе экономического развития. Огромный экономический спад, развалив промышленность, не мог не затронуть рынок труда. Математическим вопросам прогнозирования трудовых ресурсов посвящена обширная библиография. Начиная с работы К. Маркса, а также работ Мапкыо И. Г., Запга Н.Б., Митина 11. Л., Петрова Л. Л., Черпоиекова Д. С., Дадаяпа В. С., Ивапилова Ю., Лотова А., Поспелова И. Г., Шанашша А. А., Котлобовекого И., Королева В., Соколова И., Чернявского Д. С., Старкова Н. И., Щербакова А. В., Аликарисва Н.С., и ряда других ученых изучаются различные аспекты математического моделирования экономических систем и прогнозирования их состояния. Одной из первых математических моделей величины трудовых ресурсов является модель Мальтуса. В модели Мальтуса

принят, что скорость роста пропорциональна численности и в пен не учитываются факторы возраста. и пространства. Разработке моделей динамики популяции с учетом временного, временного - возрастного и временного - иоз-растного - пространственного распределения посвящены работы Волтеррн В.. Джефреса Дж., Всбба Дж., Гаузо Р., Алексеева А., Свнрсжсва Ю.М., Логофета Д., Разжсвайкпна В., Полуэктова Р., Моисеева Н. и многих других. Одним из значительных явлений науки последнего времени стала феноменологическая теория роста населения Земли С.П. Капицы, в которой с хорошей точностью рост народонаселения Земли в течение лесьмадиителыюго времени он интерпретировал как гиперболический рост вследствие квадратичной зависимости скорости роста от численности. В этих и других работах заложены основы построения аппарата качественного и количественного исследования численности популяции. Разработки моделей с учетом возрастного и пространственного распределения популяции и задачи, связанные с охраной редких видов, рассмотрены в работах Юнуси М. В его работах рассмотрены вопросы корректности моделей биологических популяций с учетом возрастной структуры и пространственного распределения. Некоторые идеи из перечисленных работ Юнуси М. были использованы им для описания состояния величины рабочей силы т.е. трудовых ресурсов. Несмотря па это многие математические вопросы моделирования, связанные с трудовыми ресурсами в рамках моделей с учетом возрастной структуры и пространственного распределения остаются не исследованными. Это, прежде всего, исследование вопросов, связанных с учетом временного- возрастного и пространственного распределения в моделях трудовых ресурсов и их влияния па динамику экономики в целом. Эти вопросы стали основой диссертационной работы. Для широкого класса возрастных пространственных распределенных моделей, описываемых пнтегроднфференцнальными уравнения мм, изучены вопросы моделирования величины трудовых ресурсов в довольно общих случаях. Одним из достижений нашей работы является также исследование построенных моделей в экстремальных режимах.

Цель работы. Цель диссертации состоит в разработке моделей и методов исследования математических моделей динамики трудового ресурса в экономических системах с учетом временного- возрастного и пространственного распределения и исследовании величины трудового ресурса в моделях с экстремальными свойствами. Исследование сопряженных задач, связанных с задачами описывающих состояние трудового ресурса и па о слове смоделированных функционалов величины рабочей силы в виде интеграла от численности людской популяции получение основного уравнения. Обоснование полу ченного уравнения для функционала рабочей силы в случаях, когда числен

нот. людской популяции зависит от возраста. и пространственных фактором. Математическое обоснование исходных математических моделей, связанных о величиной рабочей силы.

Разработка методов оценки величины рабочей силы и рамках моделей с учетом временного, временного-возрастного и времеиного-возраетпого-цространствснпого распределения п связанные с ними модели трудовых ресурсов в экстремальных режимах. Проведение вычислительных экспериментов.

Методика исследований. В работе использованы современные методы теории уравнений в частных производных математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Это прежде в сего методы решения дифференциальных уравнений, построения сопряженных задач и вычислительного эксперимента.

Научная новизна. Построены и обоснованы математические модели определения величины трудовых ресурсов с учетом временно-возрастного п возрастного-нрострапственпого распределения.

Показано, что величина рабочей силы с учетом параметров возрастного состава и пространственного распределения является решением уравнения типа Мальтуса с коэффициентом роста, зависящего от этих параметров.

Доказан колебательный характер трудовых ресурсов с учетом возрастной структуры п пространственного распределения. Доказаны оценки сверху и снизу для величины трудового ресурса с учетом возрастных и пространственных факторов. Найдены условия функционирования трудовых ресурсов в экстремальных режимах. Проведены серии вычислительных экспериментов.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты существенно расширяют масштабы использования возможности теоретического анализа пространственной, возрастной и временной организации в проблеме прогнозирования состояния величины трудового ресурса и для функционирования экономики в целом. Общность рассматриваемых моделей и методов исследования позволяет применять их не только для изучения экономических систем, но и для изучения ряда идентичных моделей биологии, химии, физики и других. С помощью разработанных моделей изучены вопросы устойчивого функционирования конкретных экономических систем о учетом временной возрастной структуры. Изучение временной, возрастной и пространственной изменчивости величины рабочей силы и определение и прогнозирование численности рабочих необходимы для разработки методики натурных измерений, оптимизации н мониторинга за динамикой экономических систем. Использование установленных теоретических выводов, носящих общий характер, позволяет существенно облегчить и ускорить разработку больших моделей конкретных экономических систем.

J Важное практическое значение имеет создание комплекса прикладных программ для определения величины рабочей силы.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались па ежегодных апрельских конференциях преподавателей Таджикскою национального университета (ТНУ), Курган Тюбинского госуниверситета, на научных семинарах кафедр "Информатики" ТНУ п Кургап-Тюбинского госу-шшсрситста (2004-2006), па научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения, и смежные вопросы анализа" (Душанбе, ТГНУД995), на научных конференциях г. Курган-Тюбе (2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в десяти научных работах, список которых приведен в автореферате и в списке использованной литературы в диссертации.

Структура и объём работы. Общий объем диссертации составляет 92 страницы, 165 литературных источников. Работа состоит из введения, 11 параграфов, заключения и списка использованной литературы.

Нумерация параграфов сквозная, а теорем - для каждого параграфа еиоя. Ссылки па материалы внутри параграфов задаются номером параграфа и формулы. Заключительная часть работы содержит перечень основных результатов работы.

Содержание диссертации

Современное состояние проблемы. Математическое моделирование динамики трудовых ресурсов имеет достаточно длительную историю. Одной из первых работ в этом направлении следует считать модель Мальтуса об экспоненциальном роете численности людской популяции, послужившей отправным пунктом по созданию математических моделей. Следующим эта-поМ~раЗиитня математических моделей естественно назвать логистическую модель, которая послужила основой для целого ряда замечательных работ Вольтсрра. Лотки, Костицина и др. В этих и последующих работах большое внимание уделяется разработке проблемы построения и устойчивости точечных моделей. 11ри этом, основным математическим аппаратом моделирования в этих работах являются нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, т.е. непрерывные по времени уравнения динамики трудовых ресурсов н численности людской популяций. Также необходимо указать экономические работы К. Маркса, который тщательно изучил состояние экономики с помощью диаграмм Кенэ.

Модели Мальтуса, логистическая модель, и некоторые другие модели получили экспериментальные подтверждения при изучении динамики численности людской популяции. Вместе е тем, сравнительно мало внимания уделялось

моделированию динамики трудовых ресурсов с учетом возрастного «хгомш и пространственных распределений в классе дифференциальных уравнений.

Для экономических систем с учетом возрастного состава п пространственных распределений в работах М. Юиусн имеются некоторые идеи по вопросу построения математических моделей с: учетом временного возрастного распределения. В пре;у)агае.\юй дна ертацнопнон работе предложен и обоснован общий метод решения соответствующих математических задач с ••<»и>:ныо сис-цпальпого введенного функционала. Дальнейшее продолжение и иеедед'глшно трудовых ресурсов в рамках математических моделей с учетом ирсм-.-.ших, возрастных н пространственных связей в экстремальных случаях, также стало предметом изучения нашей диссертации.

Во введении дано краткое изложение современного состояния моделей трудовых ресурсов н их классификация, основные понятия, связанные с трудовыми ресурсами, а также проблемы занятости населения п ряд других.

Первый параграф посвящен вопросам построения модели трудоиых ресурсов с учетом возрастной структуры в рамках линейных .моделей.

Для построения линейных моделей трудовых ресурсов, следу*' работам М.К. ГОнуси. рассматриваются функционалы типа

где у(с) > 0> ./ <р(и)(1а — 1, т.е. -р --- у?(и)- средняя функция характеризу-

ющая потенциал трудовых ресурсов, в котором должны учитываться такие характеристики, как работоспособность, половые, национальные и др.. ашш ашзх - -минимальные и максимальные возраста трудящихся, I -время, функция .V = Л'(а./) является решением следующей задачи с функциональным:; услиипнмп

Зчесъ Р -- /' (.), В -■■■-- ./>(•)- заданные функция своих аргументов, харак:ч> РНЛУЮЩИО «.МСрТНОСГЬ И роЖДЛСМ'КЯЬ людской ПОПУЛЯЦИИ.

1,

о

о

s

В дальнейшем предположим, что F(.) — — fa(a).V, В(.) ~ Д)(о)Л', т.е.

(3)

Ж + f = -ГаШ, о < а < 00,0 < t < tk <V(ci,0) = Ща),О < а < оо

W(0,t) = J' Bu{a)N(a,t)da, о

Fofa) > 0 , Ba(a) > 0 являются коэффициентами смертности и рождаемости.

Основным результатом данного параграфа является построение модели трудовых ресурсов на основе задачи (1), (2), т.е. показано, что функционал (1) является решением уравнения Мальтуса.

Теорема 1.1 Пусть величина трудового ресурса L(t) определяется с по-мощыо функционала (1), тогда она удовлетворяет уравнению Мальтуса с коэффициентом роста 6:

ос fttttax

J В{а)еГ*а,1а = 1 или J = 1 (4)

О «.Uli,

т.е. уравнению

^~SL,L(0) = Lfí, (5)

и следовательно

эс

Щ = 0<t<tt,

3=0

где функция В = £(а) = Вц(а)е~ i» называется функцией вы-

живаемости. 60 = áj = + H3j, j = 1,2, —. Cj - константы представления (например С0 —L(0)).

Кроме того, справедливо утверждение; потенциальная функция ç(a) в

''щах

общем случае представляется в виде: с f В(а)е~6пда, с — const > 0.

о

Аналогичный результат для (1), (2), (3) справедлив, когда ¡р — <p(a,t.), то есть, когда потенциальная функция трудовых ресурсов зависит от времени,

О < t < ÍA..

Второй параграф посвящен вопросам построения модели трудовых ресурсов с учетом пространственного распределения. В данном случае вместо функционала (1) вводится функционал

00 L ОС h

m = J J Ф, a.. t)N{:x, a, t)da, ф, a, t.) > 0, J J ф. Ç,t)dÇ = 1, 0 0 0 0

Л' --- A'(x,a,t)~ является решением следующей зидлчн:

7н + лГ + 1-

N\l=о = ^(.г,«).

о\~ , ол' , ,.av _ L"*, .л ,v

N(x,0,t) = / 50(a)yV(3:,<i.f)Ai,

о

где функции Fo(a) и Вп(а) соответственно являются коэффициентами смертности и рождаемости, а г = г (.г) - заданная неотрицательная функция, характеризующая скорость изменения численности но направлению х.

Доказано, что функция трудовых ресурсов L = L(t) также удовлетворяет уравнению (4)

Теорема 2.1. Пусть функция L = L(t) опреде.шется с помощью функционала (V), тогда она удовлетворяет уравнению (5) и представляется в видь L(t.) = YlCje*J' > где Sj являются решением уравнения типа уравнения

В третьем параграфе дается и обосновывается общая постановка задачи, связанной с моделями трудовых ресурсов с учетом возрастной структуры. Доказана теорема 3.1 о том, что величина трудового ресурса в рамках рассмотренных моделей удовлетворяет уравнению (5).

Параграф четвертый посвящен вопросам корректной разрешимости скалярной задачи людской популяции, находящейся в стационарном режиме

j

(4)-

AM do

f- = F(M,о),0 < a < оо

DC

M{ 0) = fB(M,a)da,

' о

(6)

L = jv{a)M{a)da

о

Справедлива следующая теорема:

Теорема 4.1 Пусть имеют место условия:

a) F[M, а) = F(M, а)М, |F(.)| < F0(a), J F0{£)dS < оо.

о

D(M,a) = В(М,пМ + /3(a)). |Д(.)| < Д,(п),

ni

ft-! J j Л/*) da < 4

î.

dB (W

> O.V.W : 0 < M < v.

■-X

с) I p{u)d(i. - 1, 9(«) > О, 0 < m < <x-. «

тогда существует cdimamonw клиссичсскос. pt.nic.nw: -чад-ми (fi). «/ •-c,»:at >0 L< шах |А/(o)J - p/j|,.

Пятый параграф посвящен вопросам обоснования стационарных шстчшшП '¡еодлороцшн'о ''ОСТЛБП ТрУДОВЫХ ресу1НЧ)В (мужчины н жсшцииьО. 1) виде системы дифференциальных уравнении с функциональными и начальными условиями1.

' ------ F(M,а), 0 <а< по,

M{ii) = fB(M(t).№

ЛФ). M {a)) da,

M (а) = Л'И < (/ - Н) 1

Р+ j Во(ОХ{ОХ'1(ч) * а(»,)</,,<

m

где Л/ «Ш,....,А/т), F(.),..., F,u{a), В{.}....,11,,.{»), у (уч.....у-,,.}.

Док :зано представление решения линейной задачи (7) в .ni д.-

■ j Х'^а^Щ

гдо я F<s(a)X, А'(0) - /; F0(a), Д)(") еоотвеитвсшю являются ммгри-цми) смертности и рождаемости. В случае нелинейной задачи (7) доказана с, 1 е. i v юн 1ая теорел i а :

Теорема 5.1. Пусть имеют место утопия

a) F(-) = F(M,a)M + a (a). |F(.)| < F0(n) В(:) = В{М, a)M + .8(и), ]В(.)\ < Вй{а),

где. Foin), Ва(а) заданные матрицы m-го порядки с неотрицательными .ъп'ментами, а(а) т- мерная л(¡данная ве.ьтор функция, /.' — f x'/%(a)<la> 0, < понимаются поплементно.

Ь) А = II ВЦ < 1 Ш(1 - В) Ф 0) мк

711В,.. . сIX (1Р

гавг..., сIX </р „ ч ,

в

о

> О, \/Л/ : 0 < Л/ < ос, тогда существует единственное. решение нелине.апой задачи (7) и справедлива оценка Ь < р/||е

Теорема 5.2. Пусть функции Р(-), В(.) удовлетворяют уемвиям

|Р(М',а) - Р(М",и)\ £ Ь](а)\М' - М"|,

|В(АГ,а) - В(М",а)\ < Ь2{а)\М' - Д/"|, 0 < а < оо,

где

о < > и

£ {Шда

тогда .задача (5.1) имеет единственное. решение.

Теорема 5.3. Рассмотрим one.jyi.mop ТМ = Л/. где М € А-. где.

К = {Л7 : М 6 С1 [0,1], ЦМЦ, < Мшлх} ,

Д/1Пах определяется как а неравенстве (5.7), и мкыент М опргдемг.тся как в решении следующей задачи Коши :

( Ш = р(Л/,а), Л/(0) = /В(Д7(О,О^.0 < а < оо, (8)

\ Ь = !0х р(а)М(а)е1а.

Тогда задача (5.8) при Р € Ыр(Ьо > 0) имеет единственное решение из пространства С1.

В параграфе 6 рассматриваются вопросы устойчивости стационарного состояния трудовых ресурсов. В данном параграфе рассматривается система 1-го приближения возле стационарного состояния трудовых ресурсов.

АМ = Рп(а)1г. О < и < оо,

и(а,0) = и0(а), 0 < а < оо, ^

о где

п д 3 ТГ < \ I п г \ НВ I

- Ш + Та' Р[){а) = Ш |л=-и(л) ; Д,(л) = 1Й |л"=л/(п) '

и = N - М, иа = А(, - Л/0.,

U(a,t)— решение нестационарной чадами. М — М(в)— стационарное состояние трудовых ресурсов.

Теорема 6.1. Пути, В{и) = Д,(о): Х(а) > 0, 0 < о < оо. В(п)

00

J B(u)e~dada < оо, тогда корни характеристического уравнения о _

det(I — В(а)) = 0 для системы

С JВ{а)с "da j = 0 (10)

при h ~ ||J3|| < 1 неположительны, и существует единственный макси-ма.шмй ■корень уравнения, который при h < 0 отрицателен, а при Ii = О щвеи пулю.

Данная теорема нами применяется непосредственно к устойчивости стационарного решения. Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция U(а, t) — X(a)ß(t — а), где

dx da

ОС'

; = F0(a)X, Х(0) = /, /;.(/•) = J B{a)/i(t - a)da

является решением (10). Взяв //(<) = сен для нахождения 5, получим уравнение (10). Следовательно

Теорема 6.2. Пусть

f (/„(а) >0, 0 < а < оо, т = 1 \ ¿г,(а) > 0

тогда

Г ЩаЛ) > 0, АГ[(а, I) > ЛГ3(«,<) 1 Д1 > 0, 11(0 > Ь2(<) для любых (а, А) > 0.

Параграф седьмой посвящен исследованию нелинейной нестационарной задачи, которая связана с трудовыми ресурсами. Это задача сводится к задаче

нахождения функции N -- N(a,t) in условия

D„,N = F(N, а; t), 0 < а < oo, ü < t < tk, N(u,0) = Na(a). 0 < а < oo,

N(0,t) = ]B(N(^t))cli, 0<t<tk, (11)

о

L{t) = j ¡p{u,t)N(a,t)da, о

При обычных условиях для функции смертности F(-) п функции рождаемости В(-) нелинейная нестационарная задача имеет единственное решение.

Теорема 7.1. Пусть тлеют место условия а) б) , тогда задачи (И) имеет единственное решение.

В восьмом параграфе рассмотрены вопросы влияния пространственных факторов на трудовые ресурсы. Для этой цели рассматривается модельная система уравнений в следующем виде

DlaxN = F0{n.)N. х € G, 0 < а < oo, 0 < t < tk, iV|1=0 = N0(x, а), x 6 G, 0 < а < oo,

N{x,0,t) = fBo(t)JV(x,£,t№, 0<t< tk, i)

22-1 =() 0.V u>

W) = / а, /), N(x, a, t))dadx,

(12)

G 0

где

Dlu, =

1 dt

о Лг Ö в д \]

N = (ЛГ1,..., ДГ,„), N..; = а, г), ¿ = 1,2,..., т;

/•«(а), /?о(а), V], .Е^- заданные матрицы, характеризующие свойства трудовых ресурсов, (,) знак скалярного произведения. В данном параграфе, следуя работам М.1ч. Юпуси решается задача стабильности '¡'рудовых ресурсов. Пусть Л*""", Л'П1ах положительные векторы (часть компонентов этих векторов задаются из практических соображений, а другая часть определяется из решения задачи). Требуется найти условия и входные параметры задачи (12), которые бы обеспечивали неравенство

Д*Ш1И £ШШ

< N(x, а, t) < Nmax, х eG. О < а < oo, t > О

< L(t) < L",ax

или

дпшп < < ДТП

I'iii'm fi L{t) < ^шах

xeG

(13)

_ ос

где N - J N(x,a,t)ria. Доказаны теоремы о необходимых и достаточных

(I

условиях выполнения неравенства (13) пли (13'). Теорема 8.1. Пусть выполняются условия

а). Функции F()(.), В(i(.), N(){.), (щи'.дежпы и пепрершты по совокупности переменных:

б). |Fo(.)| < /0, |В„(.)| < Ьа, |ЛГ„(.)| < где /„, N0 const > 0;

в). Функция Nq = Na(x,a) имеет обобщенные производные ш)хф2 ■ * == 1»2 и они ограничены по а, 0 < а < оо;

г). ¡|Во|1л.[().ос] < 00• Тогда решение задачи (12), (13), представляется в виде

ПС

N(x,a,t.) = ,»a=i(«)/*«.«а(* ~ «)cos —г—cos-

гс?е матрица 2 является решение.ч зидачи ^ = = /, и вектор-

функция /1ЩТ12(1) является решением системы интегральных уравнений восстановления

lmr,2{t) = J B(a)ii.1lin,(t'- а

)da ,

где В {а} = Bo(a)Z(a)Ent„.,(a) называется матрицей аыжиапелюсти

(ГА"|"2(п) 0 ... 0

О) = '

0 0 ... e^W f о ... о

t'i

Efjx) =

V 0 0 ... с-1 "" / Теорема 8.2. Пусть В(а) >0, 0 < а, < ос

ос

В{6) = IV <оо, <5 6 [¿т„„ сю), < О, о

тогда веществен) ш,е части корней характеристического уравнения при /г =

___ X

||В|| <1, В ~ [ В(а)ди неположительные, и существует максимальный о

fr un ir! i,' и nun простои коргпь, когт/рьр: yù> м. -г. -ли аорягт .юччям

( < 0 при h < I Л :■-- I О 1ЦЩ h - 1 при ¡I > 1

I

Tl.'OpOAlH 8.3 Я VI Wvïu, чгпопи VMVMt лк:аы> !" т,.'7.7 i III OÍ.rOiill.Mii il. àoi итпю'шо. чтобы ьытынлхись i/САоьин tí l'a) > (J, 0 S " •» HIS) < эо, h — 1 т.е. иЫпици м&штся макамм ¡шы.\> fair»,*«*;«» мл» ■тшус.-.ии'.м митраиы чоаь:нииалов В.

.Дли то;о. чтобы «мело место неравсистш (13) необходимо и достлты'шо. чтобы кыаи-шышсь усъмия Bin) > О, О 5.' " < ос-, #-(«) < ¡х- и /. — 1. Т.» Kl!м обрамл дтм стабильности людских иоиулглшй необходимо л достаточно, чтобы '. .uiiiüim бы иг собственным значенном матрицы шр'чци-.иим И.

IJíijcu'p.vj'i девятый посня.пен излучению .ы-обм-диммх и достотс-шнх yi.'nv вий д ¡и ма;сл:лтичоских моделей людсксп: популяции в . :чиейчом ел\

1ТрОДЛо.т(,,.;<:1М, 'ПО ЧНгЛгНМ-ИЛп Л'ОДСКОЙ ПОÜVVIHíI'Uí уДОВ.1«"Г!!|»рЙ<:Г VC'JOBiUI»

¡)U,,N /<'„(>!)¡V, X е С, 0 < ч < ос,0</</г. íVj<=o ™ A'o(jr.rt). X i? ¿7. О < a < оо,

Л'(а:.О,<) - Л'fr,£,<}'/£.

х

/.(/; J' J'î,.:;:.£.'./!. А';.'•.,v./ !),/(;, f." i)

(Mi

Задача сЫшльиосги людской ииау.чнции ¡¡нушули^ум гледуюнцш оорымм. Рассмотрим неравенство

Дт'"'" < Л'(л:, f) < .V1'

i е (7. / > о

пли

дгпнп <

I J I Ñ(x,t)dxdl

< N"

о с

Пб!

или

I Х(х, í)(h- <

Отличительна;! черта рассматриваемых задач стабильности людских ноиуля-цщЧ от других подстановок заключается в том, что функция А7(:г,/) определяется следующим образом:

ЭС 00

= ! <р{а)М{х,а,г)(к1, ¡р{а) > 0, ^ <р{а.)д.а = 1. о о

Скажем, что трудовые ресурсы существуют стабильно, если существуют

ос

положительные числа Я""", дгшах н функция <р = ¡р(а) > 0, /(р(а)с!а = 1,

о

для которых справедливо неравенство (15), или одно из неравенств (1С).

Теорема 9.1. Пусть существует частные производные ,

~ ж

Мо(х) = / Р(а)Ма(х, а)(1а. тогда для того, чтобы модельное, состояние, тру-о

довых ресурсов существовало стабильно, необходимо и достаточно, чтобы максимальный вещественный корень уравнения

ос

I В{а)е-6айа = 1 о

, Л V? , „, ч п/ , /Л«)« равнялся числу до — где В(а) = Во(а)е.»

¿=1

В десятом параграфе изучены свойства моделей трудовых ресурсов с экстремальными свойствами на специальных классах возможных решений и найдены эти решения. В основном исследуются уравнения с экстремальными свойствами в линейных случаях. Уравнения с экстремальными свойствами были введены и исследованы в работах М.К. Юиуси:

где Ь, Л,- некоторые заданные операторы, характсризпрующие изменения состояния объектов с неизвестной плотностью распределения Л' = Лг(.), на множестве

А/

= < о = (»!......ат) : 0 < а^ < 1, = 1, п > т > 1

I ¿=1

Парамртры могут характеризовать доли наилучшего изменения общего состояния, образовавшегося из суммы частных изменений объекта. В работах М.К. Юнуси показано, что последнее уравнение эквивалентно уравнению

(LN)'" — £ ". В данном параграфе также изучены »опросы пред-

ставлення решения задач, связанных е трудовыми ресурсами. Для этой цели рассмотрим случай, когда общее уравнение имеет вид

0.\т 0АТ {л дМ\Л'

ш / \ п

(ж + ж)" = Е(л^) • Д™ носледне-4 "

и, следовательно, уравнение го уравнения рассматривается специальный класс возможных решении тина

называет-

(f + f) N = { cN ; = { пли, где £с? = С"

ся координационным уравнением. Следует заметать, что при замене а' = а, а + т = ¥>(х,а,а + т) = <р(х,а,т) уравнение (— + N = СЛГ сводится к уравнению тина -j^p = С<р, которое очень хорошо было изучено в диссертационной работе . Таким образом

N(x, а, t) = ß(t - ü)e™+<'bTI+c,.r,

для любой непрерывно-дифференцируемой функции д = ß(t) . Это функ-

ос

ция определяется из условия ß(t) = f Bo(a)e"'ß(t — a)da то сеть p(t) —

о

где Cj коэффициенты, которые подаются определению, Sj яв-

j=1

ос

ляются решением уравнения f Bn(a)(f"~s"da = 1. Следовательно,'

о

ОС1

N(x,a,t.) = 22cJe?'('-at+mir,Jri+r'*i j=i

характеризует плотность людской популяции в экстремальных режимах. Уравнения в экстремальных режимах для трудовых ресурсов будут изучаться н различных случаях непрерывных коэффициентов, а также будут получен/./ соответствующее представления решений.

Последний параграф посвящен вычислительным экспериментам с модельными данными. модельной экономики (величины капитала, величины рабочей силы) проведены серии численных расчетов по формулам:

Ki = [Ä'01-ft + /1(e«1-)'-l)/j]I/(,-o) ,

= Iqc'S К = Уо(КуКо)Ч^/Ьи)1-" , С/ = (1-еЖ".

где <5 определяется k;iK решение уравнении

(V '••.,...

j HU; ■:-. 1 i| '.'!• I /)•(.••;,.• •'•di. ■=--■ 1 о

e функцией В {и) = &,(</) ex р ( - / п

и < а,„и.

!\и "игл, < " < «шах О, ff > «.да,;

!/», О < «Шн.

Л, «и„ <: « < <W •

.fi> « >. «m«

а также с функцией тина В(а) ¿»«а* ехр(--оа) . Для написанных входных функций одна ю расчетных формул представляется в сде^уюшем виде:

ЦП » | & у'.'сщ!^. 1,

Pik

—-J: = 0.1.2.....Pi = 3.14.

а

Таким образом на защиту выносятся следующие основные

результаты:

1. Построена и обоснована модель величины трудового ресурса с учетом возрастной структуры и пространственного распределения;

2. Показано, что величина трудового ресурса является решением исходного математического уравнения i ина уравнения .Мальтуса с коэффициентом рост, зависящего от параметров возрастного состава и пространственного распределения. Доказан колебательный характер величина трудового ресурса в зависимости от возрастных параметров.

3. Исследованы н изучены .математические .модели, описывающие состояние величины трулогюго ресурса в экстремальных режимах;

4. Создана компьютерная модель трудовых ресурсов п проведены сстлпг вычислительных экспериментов с модельными данными.

Публикации но теме диссертации

1. Г улова М.Т. Необходимое и достаточное условие существования решения ■задачи стабильности потенциала трудовых ресурсов. Вестник Национального университета (научный журнал). Душанбе, 2005. с.23 27.

2. Гулова М.Т. Асимптотическая устойчивость стационарного решения задач связанных с трудовыми ресурсами. Вестник Национального университета (научный журнал). -Душанбе, 2006. е.14-18.

3. Гулова М.Т. Модель оценки трудовых ресурсов. Материалы Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа". Душанбе, 2005, с.23.

4. Гулова М.Т. Исследования нелинейной нестационарной задачи распределения численности трудовых ресурсов. Материалы республиканской научно-теоретической конференции "Накшн Хатлонзамин дар рушди тамаддуни оридихо ". -Курган-тюбе-2006, с.143-144.

5. Гулова М.Т. Вопросы корректной разрешимости скалярной задачи, связанной с трудовыми ресурсами. "Накши ориенхо дар рушди тамаддуни чахони". Материалы республиканской научно-теоритичсс- кой конференции, посвященной 2700- летию города Куляба//. Курган-тюбе, 2006, с. 122-123.

0. Гулова .М.Т. Модели трудовых ресурсов с: экстремальными свойствами. Материалы республиканской научно-теоретической конференции "Накшн Хатлонзамин дар рушди тамаддуни opueini'V/ Посвященной 2700-летню города Куляба/;'. Курган-тюбе, 2006, с.144-145.

7. М. Юпуеи., Гулова М.Т. Numerical soltions of differential equations in partial derivations. Ежегодная конференция, GAMM(2006).

8. Гулова М.Т. Некоторые модели трудовых ресурсов с экстремальными свойствами. Материалы научно-тсорстмчсской конференции профсссор-ской-преподавательского состава и студентов, посвященной "15-й годовщине Независимости Республики Таджикистан", "2700-летию города Ку-ляба"и "Го;(у арийской цивилизации". Душанбе, 2006,с. 52.

9. Гулова М.Т. Модель потенциала трудовых ресурсов с учетом пространственного распределения. Материалы международной паучно-иракти-ческой конференции «Прикладные аспекты информатики и математической экономики». Душанбе , 2008, с. 117.

10. Гулова М.Т. Вопросы обоснования стационарных состоянии неоднородного состояния трудовых ресурсов. Вестник Таджикского государственного национального университета (научный журнал), 1 (42), Душанбе, 2008, с. 61 68.

Сдано в 13.01.09. Подписано в печать 17.01.09. Формат 60x84 Бумага офсетная. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ №4. Цена договорная.

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон» г.Душанбе ул.Дж.Расулова 6/1

Введение

§1. Модель трудового ресурса с учетом возрастного состава

§2.Модель трудовых ресурсов с учетом пространственного распределения

§3. Общая постановка задачи, связанной с моделями трудовых ресурсов с учетом возрастной структуры

§4.Вопросы корректной разрешимости скалярной задачи, связанной с трудовыми ресурсами

§5.Вопросы обоснования стационарных состояний неоднородного состава трудовых ресурсов

§б. Асимптотическая устойчивость стационарного состояния трудовых ресурсов

§7. Исследование нелинейной нестационарной задачи

§8. Решение задачи стабильности людских популяций с учетом возрастной структуры и пространственного распределения

§9.Необходимое и достаточное условие существования решения задачи стабильности потенциала трудовых ресурсов

§10. Модели трудовых ресурсов с экстремальными свойствами

§11. Результаты компьютерных экспериментов для трудовых ресурсов

Актуальность темы. Активное проникновение научных методов в практику современной экономики как в сфере производства промышленности так и в сфере сельскохозяйственного производства стало характерной особенностью нашего времени. Это особенно проявляется при рассмотрении ряда вопросов, решение которых связано с созданием строгих, научно обоснованных методов в проблемах экономики и экономического развития. Решение этих животрепещущих вопросов невозможно без привлечения современных методов математической науки.

Создание научногЬ аппарата для исследования и прогнозирования состояния экономических ресурсов во всем мире является одной из важнейших государственных задач. Разработка методов качественного исследования и следовательно, количественного прогноза систем экономического развития, естественно, требует всестороннего изучения параметров экономики предприятий, городов и стран, при тех или иных значениях параметров антропогенных и социальных факторов. При этом, эксперименты на реальных системах весьма дороги, продолжительны и часто недопустимы, поэтому возникает необходимость разработки различного рода математических моделей. При помощи математических моделей стало возможным качественное и экспериментальное изучение последствий тех или иных планируемых мероприятий, затрагивающих функционирование экономических систем, прямые эксперименты с которыми недопустимы. Все это определяет особую актуальность выбранной и исследуемой темы нашей диссертации. Проблема изучения трудовых ресурсов является ключевым вопросом в рыночной экономике, и не решив ее, невозможно наладить эффективную деятельность экономики. Особенно остро проблема трудовых ресурсов и безработицы стоит сейчас перед многими странами, и в частности перед странами СНГ, так как состояние экономики многих стран СНГ сейчас находится на низком этапе экономического развития. Огромный экономический спад не мог не затронуть рынок труда. Математическим вопросам прогнозирования трудовых ресурсов посвящена обширная библиография. Это в первую очередь работы [175]. Начиная с работы К. Маркса, а также работ Манкью Н. Г., Занга В.В., Митина Н. А., Петрова А. А., Черновекова Д. С., Дадаяна В. С., Иванилова Ю., Лотова А., Поспелова И. Г., Шананина А. А., Котлобовского И., Королева В., Соколова И., Чернавского Д. С., Старкова Н. И., Щербакова А. В., Аликариева Н.С., и ряда других ученых изучаются различные аспекты математического моделирования экономических систем и прогнозирования их состояния. Одной из первых математических моделей величины трудовых ресурсов является модель Мальтуса. В модели Мальтуса принято, что скорость роста пропорциональна численности и в пей не учитываются факторы возраста и пространства. Разработке моделей динамики популяции с учетом временного, временного - возрастного и временного - возрастного -пространственного распределения посвящены работы Волтерра В., Джеф-реса Дж., Вебба Дж., Гаузе Р., Алексеева А., Свирежева Ю.М., Логофета Д., Разжевайкина В., Полуэктова Р., Моисеева Н. и многих других. Одним из значительных явлений науки последнего времени стала феноменологическая теория роста населения Земли С.П. Капицы, в которой с хорошей точностью рост народонаселения Земли в течение весьма длительного времени он интерпретировал как гиперболический рост вследствие квадратичной зависимости скорости роста от численности. В этих и других работах заложены основы построения аппарата качественного и количественного исследования численности популяции. Разработки моделей с учетом возрастного и пространственного распределения популяции и задачи, связанные с охраной редких биологических видов, рассмотрены в работах Юнуси М. В его работах рассмотрены вопросы корректности моделей биологических популяций с учетом возрастной структуры и пространственного распределения. Некоторые идеи из перечисленных работ Юнуси М. были использованы им для описания состояния величины рабочей силы т.е. трудовых ресурсов. Несмотря на это многие математические вопросы моделирования, связанные с трудовыми ресурсами в рамках моделей с учетом возрастной структуры и пространственного распределения остаются не исследованными. Это, прежде всего, исследование вопросов, связанных с учетом временного- возрастного и пространственного распределения в моделях трудовых ресурсов и их влияния на динамику экономики в целом. Некоторые эти вопросы стали основой диссертационной работы. Для широкого класса возрастных - пространственных распределенных моделей, описываемых интегро - дифференциальными уравнениями, изучены вопросы моделирования величины трудовых ресурсов в довольно общих случаях. Одним из достижений нашей работы является также исследование построенных моделей в экстремальных режимах.

Цель работы. Цель диссертации состоит в разработке моделей и методов исследования математических моделей динамики трудового ресурса в экономических системах с учетом временного- возрастного и пространственного распределения и исследовании величины трудового ресурса в моделях с экстремальными свойствами. Исследование сопряженных задач, связанных с задачами описывающих состояние трудового ресурса и на основе смоделированных функционалов величины рабочей силы в виде интеграла от численности людской популяции получение основного уравнения. Обоснование полученного уравнения для функционала рабочей силы в случаях, когда численность людской популяции зависит от возраста и пространственных факторов. Математическое обоснование исходных математических моделей, связанных с величиной рабочей силы.

Разработка методов оценки величины рабочей силы в рамках моделей с учетом временного, временного -возрастного и временного-возрастного-пространственного распределения и связанные с ними модели трудовых ресурсов в экстремальных режимах. Проведение вычислительных экспериментов.

Методика исследований. В работе использованы современные методы теории уравнений в частных производных, математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Научная новизна. Построены и обоснованы математические модели определения величины трудовых ресурсов с учетом временно-возрастного и возрастного-пространственного распределения.

Показано, что величина рабочей силы с учетом параметров возрастного состава и пространственного распределения является решением уравнения типа Мальтуса с коэффициентом роста, зависящего от этих параметров.

Доказан колебательный характер трудовых ресурсов с учетом возрастной структуры и пространственного распределения. Доказаны оценки сверху и снизу для величины трудового ресурса с учетом возрастных и пространственных факторов. Найдены условия функционирования трудовых ресурсов в экстремальных режимах. Проведены серии вычислительных экспериментов с модельными данными трудовых ресурсов.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные результаты существенно расширяют масштабы использования возможности теоретического анализа пространственной, возрастной и временной организации в проблеме прогнозирования состояния величины трудового ресурса и для функционирования экономики в целом. Общность рассматриваемых моделей и методов исследования позволяет применять их не только для изучения экономических систем, но и для изучения ряда идентичных моделей биологии, химии, физики и других. С помощью разработанных моделей изучены вопросы устойчивого функционирования конкретных экономических систем с учетом временной - возрастной структуры.

Изучение временной, возрастной и пространственной изменчивости величины рабочей силы и определение и прогнозирование численности рабочих необходимы для разработки методики натурных измерений, оптимизации и мониторинга за динамикой экономических систем. Использование установленных теоретических выводов, носящих общий характер, позволяет существенно облегчить и ускорить разработку математических моделей конкретных экономических систем.

Важное практическое значение имеет создание комплекса прикладных программ для определения величины рабочей силы.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на ежегодных апрельских конференциях преподавателей Таджикского национального университета (ТНУ), Курган-Тюбинского госуниверситета, на научных семинарах кафедр "Информатики" ТНУ и Курган-Тюбинского госуниверситета (2004-2006), на научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения, и смежные вопросы анализа" (Душанбе, ТГНУД995), на научных конференциях г. Курган-Тюбе (2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в десяти научных работах, список которых приведен в автореферате и в списке использованной литературы в диссертации.

Структура и объём работы. Общий объем диссертации составляет 92 страницы, 165 литературных источников. Работа состоит из введения, 11 параграфов, заключения и списка использованной литературы.

1. Манкью П.Г. Макроэкономика. М.: МГУ, 1994. -735 с.

2. Ивапилов Ю., Лотов А. Математические модели в экономике. Москва: Наука, 1979, -304 с.

3. Автухович Э. В., Гуриев С. М., Оленев Н. Н., Петров А. А., Поспелов И. Г., Шанании А. А., Чуканов С. В. Математическая модель экономики переходного периода. М.: ВЦ РАН. 1999.

4. Ахромеева Т. С., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Самарский А. А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука. 1992.

5. Владимиров В. А., Воробьев Ю. Л., Малинецкий Г. Г. и др. Управление риском. М.: Наука. 2000.

6. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир 1999. ;

7. Малинецкий Г. Г. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: УРСС, 2000.

8. Митин Н. А. Математическое моделирование информационных потоков в социальных средах. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша №16, 1999 г.

9. Митин Н. А., Трофимова И. Н., Потапов А. Б. Малинецкий Г. Г. Описание ансамблей с переменной структурой. Новые модели математической психологии. Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша №34, 1997г.

10. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. М. Энергоиздат.: 1996.

11. Режимы с обострением. Эволюция идеи. М.: Наука 1999.

12. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

13. Чернавский Д. С., Старков Н. И., Щербаков А. В. Динамическая модель закрытого общества (институциональные ловушки и кризисы). Препринт ФИАН №36, 1999 г.

14. Yunusi М. Mathematical model of workers potential function and some its applications. Материалы 11-ой Международной Байкальской школы-семинара. Иркутск, 1998, часть 4, с.195-210с.

15. Юнуси М., Саломова Г. Модели долгосрочной развития экономики с учетом возраста трудовых ресурсов. Проблемахои тараккицти иктисодии Точикистон. Душанбе, 1997 с. 176-278.

16. Юнуси М. Математическая модель охраняемых популяций. М. ВЦ АН СССР, 1991. 29с.

17. Юнуси М. Решение одного класса не локальных задач. Москва, ВЦ АН СССР, 1991, -28р.

18. Юнуси М. Математическая модель потенциальной функции трудящихся и, связанный с ними новый класс дифференциальных уравнений. Сб. Дифференциальные и интегральные уравнения и их применения. Душатбе, 1998, №7, р. 115-118.

19. Yunusi М. About general economic model with regard to workers age. Материалы международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту. Душанбе, Сентябрь 25-30, 1998, с.7.

20. Юнуси М. Учет возрастных факторов. Кн. Национальная экономика. Душанбе, 1998, с. 191-193.

21. Юнуси М. О наилучших модельных производствах и, связанные с ними экономические системы. Вестник Таджикского государственного национального университета, Том 1, №2 , 1999, с. 15-24.

22. Свиреоюев. Ю. М., Логофет Д .0. Устойчивость биологических сообществ. ~М.: Наука , 1978г. -352с.

23. Логофет Д.О., Ульянов Н.Б. Необходимые и достаточные условия знакоустойчивости матриц. ДОКЛ. АН СССР. 1982,т.263, №3, с. 542546.

24. Юнуси М.К. Математические модели борьбы с вредителями агроценозов. Душанбе, Дониш,1991, -148 с.

25. Юнуси М.К. Вопросы качественной устойчивости экосистем заповедника Тигровой Балки. Известия АН Таджикистана №4 , 1980 , с. 86-92.

26. Yunusi М. On the theory of problems with functional initial conditions and its applications. Вестник педагогического университета, №5, часть 1, 1999, с. 33-49.

27. Yunusi М. One model function and solution of Fermat's problem. Там же. с. 115-119.

28. Yunusi M. Solutions of problems with functional conditions. Сб. Дифференциальных и интегральных уравнений. Душанбе, Вып.8,1999, с. 40-49.

29. Yunusi М. About solutions of the equations = ■ Вестник национального университета, №4, 2000, с. 3-8.

30. Таха X. Введение в исследование операций (Кн.2). -Мир, 1989, 496с.

31. Юнуси М. Модель межгосударственных отношений. Вестник национального университета №4. 2001, с. 13-17.

32. Юнуси М. Введение в модельную экономику. Душанбе, ТГНУ, 2001, -37 с.

33. Yunusi. М. About some model of chaining world. Dushanbe , TGNU,2000. -21p.

34. Yunusi. M. General model production with corresponding economical systems and its applications. ICM 2002. Beijing, Chine 2002, p.385. (See also: The same name, Preprint. TGNU. Dushanbe. 2002. -22p.).

35. ДуЗорин В.И., Алексеев Ю.Н. Системной анализ экономики на ЭВМ. М. Статистика 1986 -191 с.

36. Моделирование народно-хозяйственных процессов. Под редакцией B.C. Дадаяна. М. Экономика. 1973 472 с.

37. Юнуси М. Об одном классе модельных уравнений с экстремальным свойством. //Вестник национального университета, 2004 серия математика, №1,с.128 -135.

38. Yunusi. M. Solition of equation ]T¡ X? = Zn and its application. //Bookiof Abstracts: ICMMCE 2000, Dushanbe, October 7-10, 2000, p. 9-11.

39. Юнуси M. Об одном методе решения нелинейных уравнений. //Докл. АН РТ, том 18, №4, 2000, с. 3-8.

40. Теория выбора и принятия решений: Учебное пособие. М.: Наука, 1982, -328с.

41. Юнуси М. Об одной модификации правила Лопиталя. Матер, науч.теор. конф. поев. 80-летию г. Душанбе. -Душанбе: ТГНУ, 2004, с.27.

42. Yunusi. М. About solutions of one class model equations and its applications. Book Abstracts, Annual Scientific GAMM conference, Feb. 12-16 2001, Zurich, p.164.

43. Хафизов. X. Об уравнениях в частных производных первого порядка с экстремальными свойствами. Кандидатская диссертация. Душанбе, ТГНУ, 2004.-72с.

44. Юнуси М., Одииаев Р. Тадкики амалиет. Душанбе: ТГНУ, 2001, 142с.

45. Юнуси М. Методхои оптимизациони. Душанбе: ТГУ, 1987, 92с.

46. Yunusi М. Construction of mathematical model of workers potential function and its applications. ICM 2002, Berlin, 1998.

47. Юнуси M. Выводы уравнения математической экономики. Проблемы математики и информатики. Сборник. Изд.-во Сохибкор, 2001, с.34-45.

48. Yunusi М. Actuarial education policy in Tajikistan Sixth Inter/ Profesional Meeting in Europe "Building global actuarial profession", April 22-24, Dubrovnik, Groatia.

49. Yunusi M. Workers potential function and its applications The Book Abstracts. Edinburg,, Scotland, July 5-9, (ICIAM1999), 1999, p.338.

50. Аликариев H.C. Управление трудовыми ресурсами и занятостью в региональных системах: на примере республики Узбекистан. Дис. докт. экон. наук. Ташкент, 1991.

51. Аллен Р. Математическая экономия. М.: Иностранная литература, 1963.

52. Ананьев А.Н. Новые процессы в занятости населения в условиях перехода к рыночной экономике (вопросы методологии анализа и прогноза).Дис. докт. экон. наук. -М., 1995.

53. Андрюнин A.B., Коровкин А.Г., Парбузип К.В. Взаимодействие региональных рынков труда: опыт анализа и прогнозирования движения населения рабочей силы. // Проблемы прогнозирования. -2001, №2, с. 97-110.

54. Арнольд В.И. "Жесткие"и "мягкие"математические модели. М.: МЦНМО, 2000.

55. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

56. Бабосов Е. Экономическая активность населения в трансформирующемся обществе. // Общество и экономика. 1999, т, с. 113-124.

57. Бреев Б.Д. Подвижность населения и трудовых ресурсов. М.: Статистика, 1977.

58. Бреева Е.Б. Население и занятость. М.: Финансы и статистика, 1984.

59. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: Ин-фра-М, 1997.

60. Коровкин А.Г. Движение трудовых ресурсов: анализ и прогнозирование. М.: Наука, 1990.

61. Коровкин А.Г., Зайцев Н.М., Парбузин К.В., Полежаев A.B. Перспективы отраслевой занятости населения Республики Таджикистан: опыт оценки // Проблемы прогнозирования. 1999, №4, -С. 116-128.

62. Костин Л.А. Трудовые ресурсы в одиннадцатой пятилетке. -М.: Экономика, 1981.

63. Костркэюов В.А. Государственное регулирование занятости населения в современных условиях. Дис. док. экон. наук. М.: 1999.

64. Котляр А. О понятии рынка труда // Вопросы экономики. -1999. -№1 -с. 33-41.

65. Крюков В. П. Управление занятостью населения и трудовыми ресурсами крупного города. На примере Москвы. Дисс. докт. экон. наук. -М., 1996.

66. Кузнецов С. Г. Прогнозирование спроса на рабочую силу // Вопросы статистики. -2000, №7, с. 14-17.

67. Кузьмин С.А. Рыночная экономика и труд. -М.: Наука, 1993.

68. Адамчук В.В., Романов О.В. Сорокина М.Е. Экономика и социология труда. -М.: ЮНИТИ, 1999.

69. Азбелев Н.В., Рахматуллипа Л.Ф., Максимов В.П. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

70. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. -М.: ЮНИТИ, 1998.

71. Вагриновский К.А. Модели и методы экономической кибернетики. М.: Экономика, 1973.

72. Вагриновский К.А. Современные методы управления технологическим развитием. М.: РОССПЭН, 2001.

73. Вагриновский К.А., Бусыгин В.П. Математика плановых решений.-М.: Наука, 1980.

74. Бартоломью Д. Статистические модели социальных процессов /Пер. с англ./ М.: Финансы и статистика, 1985.

75. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969.

76. Басалаева H.A. Моделирование демографических процессов и трудовых ресурсов. М., Наука, 1978.

77. Бахметова Г.Ш. Методы демографического прогнозирования. -М.: Статистика, 1982.

78. Белявский М.О., Коровкин А.Г., Полежаев A.B. Рынок труда в Таджикистане и динамика изменения номинальной заработной платы // Проблемы прогпозирования.-2002, №3 С. 84-91.

79. Бергстром А. Построение и применение математических моделей -М.: Прогресс, 1970.

80. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе.-М.: Дело, 1994.

81. Блинова Т.В., Русановский В. А. Экономическая политика, структура занятости и безработица в таджикских регионах. М.: РПЭИ, 2002.

82. Бокс Дж., Джепкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. М.: Мир, 1974.

83. Большой экономический словарь / Под ред. А.Н.Азрилияна. -М.: Институт новой экономики, 2002.

84. Бреев Б.Д. Подвижность населения и трудовых ресурсов. М.: Статистика, 77.

85. Бреева Е.Б. Население и занятость. М.: Финансы и статистика, 1984.

86. Бруй Б.П, Курилина Е.В., Варшавская Н.Е., Чумарина В.Ж. О развитии демографических процессов в Республики Таджикистан в 1998 году // Вопросы статистики. 1999, №10. - С. 30-38.

87. Брук СИ., Коб уз au В. M. Миграционные процессы в Таджикистане и СССР-М.: 1991.

88. Вагнер Г. Основы исследования операций / В трех томах. М.: Мир, 1972.

89. Валентен Д.И., Кваша А.Я. Основы демографии М.:Наука, 1990.

90. Васильев А.Н. Модель самоорганизации рынка труда // Экономика и математические методы. 2001, №2. - С. 123-127.

91. Васильев Я. Т. Совершенствование региональной занятости населения в условиях становления рынка труда. Дисс. . докт. экон. наук. -М., 1997.

92. Вебер М. Избранные произведения. М.: Прогресс, 1990.

93. Ведерникова Н., Гендлер Г. Информационная асимметрия на российском рынке труда // Человек и труд. 2001, №2 - С. 57-60.

94. Веиецкий И.Г. Статистические методы в демографии. М.: Статистика, 1977.

95. Винокуров Г.А. За цивилизованный рынок труда // ЭКО: Экономика и организация промышленного производства. 1999, №2. - С. 109-112.

96. Вишневский А.Г. Демографический потенциал Таджикистане // Вопросы экономики. 1998, №5. - С. 62-71.

97. Власова Н, Куликова Е. Российский рынок труда в 2000 году // Человек и труд. 2001, №4. - С.40-42.

98. Волков А.Г. Население и рабочая сила в РФ. Тенденции и перспективы // Вопросы статистики. 1999, №10. - С. 39-44.

99. Восколович Н. Формирование цены рабочей силы на рынке труда переходного периода // Человек и труд. 2000, №1,- С. 84.

100. Гатаулин A.M. Моделирование системы оптимальных цен экономического равновесия // АПК: экономика и управление. 1991, №5.

101. Гильдингерш М.Г. Безработица в Таджикистане: сущность, формы, социальные последствия в условиях перехода к рынку. Дисс. . докт. экон. наук. СПб., 1995.

102. Гимпелъсон В. Политическая экономия дерегулирования занятости // Вопросы экономики. 2003, №4. -С. 101-113.

103. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. Т. 1-3. -М.: Наука, 1971, 1973, 1975.

104. Гликман Н. Эконометрический анализ региональных систем. -М.: Прогресс, 1980.

105. Горбачева Т.Л., Рыжикова З.А. Методология и некоторые итоги выборочного обследования населения по проблемам занятости в 1998 году // Вопросы статистики. 1999, №6. - С. 18-26.

106. Горелов H.A. Экономика трудовых ресурсов. М.: Высшая школа, 1989.

107. Гривина И. Рынок труда в Таджикистане // Aima mater. 1999, №9. -С. 11-14.

108. Громыко B.B. План и рынок воспроизводства рабочей силы: опыт развитых индустриальных стран. М.: Издательство ВЗПИ, 1992.

109. Гундарев И.А. Демографическая катастрофа в Таджикистане: причины, механизмы, пути преодоления. М.: ЭКСМО-Пресс, 2001.

110. Гутман Г.В., Мироедов A.A., Федин СВ. Управление региональной экономикой. М.: Финансы и статистика, 2001.

111. Демографический ежегодник Таджикистане: Стат. сб. М.: Госкомстат, 1997, 2001.

112. Демографический энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1985.

113. Денисова И., Фрибелъ Г., Садовникова Е. Особенности таджикского рынка труда:что тормозит его развитие? // Человек и труд. 1999, №11. -С. 19-25.

114. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. М.: Ин-фра-М, 1997.

115. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973.

116. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

117. Закон Республики Таджикистан от 19.04.1991 №1032-1 (ред. от 25.07.2002) "О занятости населения в Республики Таджикистан".

118. Замков 0.0.,Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: МГУ, Издательство "ДИС", 1998.

119. Занятость и рынок труда: новые реалии, национальные приоритеты, перспективы. М.: Наука, 1998.

120. Занятость населения: изучение и регулирование /Под ред. А.Э. Котляра, В.В. Трубина, и др.- М.: Финансы и статистика, 1983.

121. Занятость, безработица, служба занятости. Толковый словарь терминов и понятий. М., 1996.

122. Хатлонская область в 1995 году. Статистический сборник. -Душанбе, Облкомгосстат, 1996.

123. Хатлонская область в 2000 году. Статистический сборник. -Душанбе, Облкомгосстат, 2001.

124. Хатлонская область: инвестиционный климат, законодательство, программа, проекты. -Душанбе, 2001.

125. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975.

126. Исаков В.И., Исаков A.B., Кузнецов Е.И. Статистическое моделирование и прогнозирование демографического развития Таджикистане в XXI веке. //Вопросы статистики. 2002, №3. -С. 23-29.

127. Капелюшников Р. Ненужный спасательный круг // Эксперт. -2003, №22. С. 64-66.

128. Капелюшников Р. Российская модель рынка труда: что впереди? // Вопросы экономики. 2003, №4. - С. 83-100.

129. Капелюшников Р. Российский рынок труда: Адаптация без реструктуризации. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

130. Караханов М.Н. Экономические реформы и региональные проблемы занятости (на примере республики Дагестан). Дисс. на соискание ученой степени докт. экон. наук. Махачкала, 1997.

131. Карташов С.А. Занятость и безработица методология и механизм государственного регулирования. Дисс. на соискание ученой степени докт. экон. наук. - М., 1998.

132. Катульский Е.Д. Регулирование трудовых отношений в переходный период к рыночной экономике. Дисс. на соискание ученой степени докт. экон. наук. М., 1996.

133. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 1 и 2. -М: Статистика, 1977.

134. Кейнс Дою. Общая теория занятости, процента и капитала. М.: Экономика, 1993.

135. Кендалл А., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976.

136. Кендалл А., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. -М.: Наука, 1973.

137. Китайгородский В.И., Котов В.В. Моделирование экономического развития с учетом замещения не возобновляемых энергетических ресурсов. М.: Наука, 1980.

138. Киян Л.П. Рынок труда: методология исследования и особенности формирования в современном Таджикистане. Дисс. на соискание ученой степени докт. экон. наук. -Воронеж, 1998.

139. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.

140. Кобринский Н.Е. Введение в экономическую кибернетику. -М.: Экономика, 1977.

141. Кобринский Н.Е., Кузьмин В. И. Точность экономико-математических моделей. М.: Финансы и статистика, 1981.

142. Коков В. Как управлять миграцией в Таджикистане // Экономист. -2002, №2 С. 75-82.

143. Колесников Н.Е. Развитие социально-трудовых отношений при переходе к рыночной экономике. Дисс. на соискание ученой степени докт. экон. наук. СПб, 1994.

144. Колесниченко А. Л. Управление межотраслевым движением трудовых ресурсов. // Трудовые ресурсы. Вопросы теории и практики управления трудовыми ресурсами. Сб. науч. трудов. Вып.11. - М., 1983. -С. 46-59.

145. Корелъ Л.В., Корелъ И. И. Напряженность рынка труда в Таджикистане: особенности региональной дифференциации // Регион: экономика и социология. 2001. - №1. - С. 93-115.

146. Корнай Д. Дефицит. М.: Мир, 1994.

147. Коровкин А.Г. Балансы движения населения и трудовых ресурсов и моделирование на их основе // Экономика и математические методы.- 1989, T. XXV, вып.2. С. 260-269.

148. Коровкин А.Г. Движение трудовых ресурсов: анализ и прогнозирование. М.: Наука, 1990.

149. Коровкин А.Г. Согласование динамики вакантных мест и рабочей силы/Проблемы прогнозирования. 1999, №2. - С. 73-84.

150. Коровкин А.Г., Зайцев Н.М., Парбузин К.В., Полежаев A.B. Перспективы отраслевой занятости населения Республики Таджикистан: опыт оценки // Проблемы прогнозирования. 1999, №4.- С. 116-128.

151. Коровкин А.Г., Наумов A.B. Социально-экономические проблемы формирования рациональной занятости // Экономика и математические методы. 1990, T. XXVI, вып. 5. - С. 861-870.

152. Гулова М. Т. Необходимое и достаточное условие существования решения задачи стабильности потенциала трудовых ресурсов. Вестник национального университета (научный журнал). Душанбе-2005,с.23-27.

153. Гулова М. Т. Асимптотическая устойчивость стационарного решения задач связанных с трудовыми ресурсами. Вестник Таджикского национального университета (научный журнал). Душанбе~2006,с. 1418.

154. Гулова М.Т. . Модель оценки трудовых ресурсов. Материалы Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа". Душанбе-2005, с.23.

155. Гулова М.Т. Исследования нелинейной нестационарной задачи распределения численности трудовых ресурсов. Материалыреспубликанской научно-теоритической конференции "Накши Хатлонзамин дар рушди тамаддуни ориеихо Курган-тюбе-2006, с.143-144.

156. Гулова М. Т. Модели трудовых ресурсов с экстремальными свойствами. Материалы республиканской научно-теоритической конференции "Накши Хатлонзамин дар рушди тамаддуни ориеи"// Посвященным 2700- летию города Куляба//. Курган-тюбе-2006, с. 144-145.

157. М. Юнуси., Гулова М. Т. Numerical soltions of des in partial derivations. Ежегодная международная конференция, GAMM(2006).

158. Гулова М.Т. Стационарное состояние неоднородного состава трудовых ресурсов. Вестник Национального университета (научный журнал) mi (42). Душанбе, 2008, с. 61-68.

159. Гулова М.Т. Модель потенциала трудовых ресурсов с учетом пространственного распределения. Материалы международной научно-практической конференции «Прикладные аспекты информатики и математической экономики». Душанбе, 2008, с. 117.

160. Гулова М.Т. Вопросы обоснования стационарных состояний неоднородного состояния трудовых ресурсов. Вестник Таджикского государственного национального университета (научный журнал), 1 (42), Душанбе, 2008, с. 61-68.