автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование оценки численности хищников в экосистемах горных заповедников

На правах рукописи

005054Ои*

ОДИНАЕВА С АФАРГУЛ АТАБЕКОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛЕННОСТИ ХИЩНИКОВ В ЭКОСИСТЕМАХ ГОРНЫХ ЗАПОВЕДНИКОВ

(на примере заповедника «Дашти-Джум»)

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 5 ОКТ 2012

Душанбе-2012

005054002

Работа выполнена в Таджикском национальном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор М.К. Юнуси,

кандидат физико-математических наук, доцент С.Х. Мирзоев

Официальные оппоненты: Борздыко Вероника Ивановна

доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики АН РТ, главный научный сотрудник отдела математического моделирования

Исматов Набиджон Мухаммаджонович кандидат физико-математических наук, доцент. Институт предпринимательства и сервиса, заведующий кафедрой информатики

Ведущая организация: Российско-Таджикский (Славянский)

Университет

Защита состоится «И»-ноября 2012 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета К 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан: (734063, г. Душанбе, ул. Айни 299/4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан «|0 » октября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Каримов У.Х.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА?АБОТЫ

Актуальность темы исследования. Активное проникновение научных методов в практику современного промышленного и сельскохозяйственного производства стало характерной особенностью нашего времени. Это особенно проявляется при рассмотрении ряда вопросов, решения которых связаны с созданием строгих, научно обоснованных методов в проблеме охраны окружающей среды. Решение этих животрепещущих вопросов невозможно без привлечения современных методов математической науки. Разработка методов охраны ценных биологических видов естественно требует прогноза динамики биологических популяций, сообществ и экосистем, при тех или иных антропогенных воздействиях. При этом эксперименты на реальных системах весьма дороги, продолжительны и часто невозможны, поэтому возникает необходимость разработки различного рода математических моделей. При помощи математических моделей и математического моделирования стало возможным экспериментальное изучение последствий тех или иных планируемых мероприятий, затрагивающих функционирование природных систем, в частности заповедников и заказников, прямые эксперименты над которыми трудноосуществимы. Все это определяет особую актуальность выбранной темы диссертации.

Степень разработанности проблемы. Построение математических моделей оценки редких и исчезающих видов (на примере хищников) является одним из ключевых вопросов прогнозирования их состояния, без решения которого невозможно наладить охраны окружающей среды в целом.

Вопросам моделирования и прогнозирования динамики экосистем посвящены работы Вольтерра В., Костицына Р., Полуэктова P.A.. Алексеева A.A., Моисеева H.H., Свирежева Ю.М., Логофета Д.О., Разжевайкина В.Н., Р.Мэй, К. Джифриса, Усманова З.Д., Борздыко В.И., Комилова Ф.С., Исматова Н., Юсупова А., Джалилова X, Мирзоева С., Одинаева Р., Шарапова Д., Юнуси М.К. и ряда других ученых.

Задача охраны редких и исчезающих видов с учетом временного, возрастного и пространственного распределения была сформулирована и математически обоснована профессором Юнуси М. К. Конкретные югиональные экосистемы Таджикистана изучались в работах Усманова 3. Д. Тигровая балка), Юнуси М. К. (агроценоз хлопкового поля), Юнуси М. К. и Сеймовой Г. (Тигровая балка), Юнуси М. К. и Комилова Ф. (рыбные популяции), Юнуси М. К. и Мирзоева С. X. (Дашти-Джум). однако в них оказалась [езатронутой оценка роли хищника в экосистемах горных заповедников. В щссертации именно этот вопрос является основным предметом изучения. В дополнении к этому предпринята попытка исследовать математические вопросы сравнения экосистем.

Проблема исследования. В современных условиях создание инструмента прогнозирования в виде математической модели динамики природных экосистем

играет немало важную роль в решениях государственных задач, связанных с охраной окружающей среды, в частности с охраной региональных заказников и заповедников.

Цель диссертации — разработать математическую модель оценки численности биологических популяций на примере экосистемы заповедника «Дашти - Джум». Для достижения цели решаются следующие основные задачи:

- Построить концептуальную модель взаимодействия биологических видов заповедника и выявить качественную устойчивость и неустойчивость его структуры. Построить математическую модель динамики экосистемы заповедника «Дашти-Джум».

- Поставить и исследовать задачи оценки и охраны редких и исчезающих видов экологических систем региональных заповедников в стационарном и нестационарном режимах с учетом временного, возрастного и пространственного распределения.

- Поставить и исследовать математические задачи сравнения экосистем.

- Обосновать определения неизвестных коэффициентов модельной точечной экосистемы заповедника «Дашти-Джум» в случае напряженности трофических связей.

- Создать комплекс прикладных программ и провести серию вычислительных экспериментов с конкретными экосистемами. Найти решения задачи охраны редких видов заповедника «Дашти-Джум» в различных режимах его функционирования.

Теоретическую и методологическую основу исследования составили труды зарубежных и отечественных ученых в области математического моделирования и прогнозирования биологических популяций с использованием аппарата теории дифференциальных уравнений, постановление правительства Республики Таджикистан о национальной стратегии и плане действий по сохранению и рациональному использованию биоразнообразия.

Объект исследования — экосистема заповедника «Дашти-Джум»

Предмет исследования - популяция хищника

Методы исследования. В работе использованы современные методы математического анализа и дифференциальных уравнений, методы математического моделирования, а также вычислительного эксперимента.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Построена уточненная концептуальная схема взаимодействий биологических видов заповедника «Дашти-Джум» и математическая модель динамики конкретных экологических систем. Выявлены качественно устойчивые структуры заповедника.

2. Получены оценки численности редких и исчезающих биологических видов (на примере хищника) в стационарном и в нестационарном режимах с учетом временного, возрастного и пространственного распределения,-

3. Доказана теорема сравнения экосистем горных заповедников с учетом временного, возрастного и пространственного распределения.

4. Предложен и обоснован способ определения неизвестных коэффициентов модельной точечной экосистемы заповедника «Дашти-Джум» в случае напряженности трофических связей.

5. Создан комплекс прикладных программ для решения задач математического моделирования состояния экосистем трех трофических уровней и проведена серия вычислительных экспериментов с конкретными экосистемами. Найдено численное решение задачи оценки и охраны редких видов в различных режимах функционирования заповедника.

Работа имеет непосредственное отношение к областям исследований 1-5, 7, указанным в паспорте специальности 05.13.18 - «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в ней исследована задача оценки и охраны редких и исчезающих видов с учетом временного, возрастного и пространственного распределения и переменной по времени скорости поступления внешнего ресурса.

Практическая ценность. Высокая общность рассматриваемых моделей и методов исследования позволяет применять их не только для изучения экосистем заповедников, но и для решения задач химии, физики и др. Изучение временной, возрастной и пространственной изменчивости популяций и определение их численности необходимы для разработки методики натурных измерений, оптимизации и мониторинга. Использование установленных теоретических выводов, носящих общий характер, позволяет существенно облегчить и ускорить разработку больших моделей конкретных экологических систем. Важное практическое значение имеет создание комплекса программ с целью прогнозирования состояния хищников заповедника в целом.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на ежегодных апрельских конференциях преподавателей ТГНУ и ТНУ, на научных семинарах кафедр «Информатика» ТНУ (2008-2012) и «Высшая математика и информатика» ИТТС (2008-2012), на научных конференциях «Математическое моделирование и компьютерные эксперименты - ICMMCE-2008» (Душанбе, 2008), на международной конференции "по компьютерному анализу проблем науки и технологии" (Душанбе -2011), на международной конференции "Современные проблемы математического анализа и теории функций", на международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан Шабозова М. Ш. (Душанбе, 2012) и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах, из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 2-х глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации

составляет 105 страниц, включающих в себя 12 рисунков и список использованной литературы из 93 наименовании.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации и дается краткая характеристика изучаемой проблемы.

Глава 1 посвяшена описанию климатических условий и экосистемы заповедника «Дашти-Джум», качественно устойчивых и качественно неустойчивых структур заповедника, оценке и сохранению редких видов заповедника в заданных допустимых пределах. Здесь же строится концептуальная схема заповедника, а также вводится способ регуляризации качественно не устойчивых биологических структур и исследуется устойчивость конкретных экологических систем.

В целях сохранения природных богатств и приумножения редких видов флоры и фауны в Таджикистане был создан ряд заповедников таких, как Тигровая балка, Рамит, «Дашти-Джум» и др. Среди них особое место по ряду своих параметров и природных условий занимает заповедник «Дашти-Джум», расположенный на юго-восточных склонах хребта Хазратишо вдоль реки Пяндж с юга на север на 40-45 км. Доминирующий ландшафт - крутые каменистые скалы ] осыпи среднегорного пояса. Заповедник создан для сохранения оригинальных экосистем среднегорного пояса центрального и юго-восточного Таджикистана ] охраны редких видов диких животных и растений. Здесь сохранилась сама крупная популяция винторогого козла, обитают снежный барс, каменная кунице бурый медведь, среднеазиатская выдра, сибирский козерог.

Рис. 1. Концептуальная модель экосистемы заповедника «Дашти-Джум».

6

При изучении состояния экосистем заповедника «Дашти-Джум» первостепенную роль имеет, выявление устойчивых структур его биологических сообществ методами теории качественной устойчивости. Общая схема взаимодействия биологических видов любого заповедника согласно проф. Юнуси представлена на рис. 1.

На основе анализа результатов наблюдений было установлено, что п заповеднике доминирующую роль играют следующие виды: растительность (юган, ячменник;; джузгун, ...), травоядные животные (муфлон азиатский, винторогий козел, бухарский баран, кабан, заяц и др.) и хищники (снежный барс, волк и др.). Взаимодействия видов экосистемы показаны рис.2:

Юган Ячменник Джузгун - первый

уровень

Рис. 2. Концептуальная модель экосистемы «Дашти - Джум». Пусть .V, = л/,(/) - биомасса растительности и Л', = ¿а,,Л', , где

<« I

А^,, -биомасса югана, л',, -биомасса ячменнпков, д/,, -биомасса джузгуна. Через л'2 = N,(1) обозначим численность травоядных животных и положим

4 ___ ""

где ^2) - \М2/(а^)с1а соответственно средние по возрасту

численности муфлона, вишорогэго козла, бухарского барана и кабана. Дапее

пусть А'. = Л',(О-численность ХИЩНИКОВ, А'з, = _ру.;(оиН'. Н.=уа,К.

« 7*1

^ = а;Д,(г)-Л'1:(г) : = 1,2,3,

I 2т=1 С'А^(г)

' t * ' ' < з . м т

или в агрегированном виде получим следующую модель

сШ_

И

¿/У

¿/У, 1к

— = -Ь2Ы 2 + -&2М2Ы3

- = 0 + Л',), :Л;, -^(Л,,, /V,, Л'2), = ЛЛ, -^(Л',. ,У2, /V,),

- = ЛГ, ■F:ЛN2, Ы.), 0</<(,

В главе 2 приведено математическое обоснование предложенных моделей для задачи оценки и охраны экологических систем с учетом временной-возрастной и пространственных распределений.

Рассмотрим следующую модельную экосистему, имеющую три трофических уровня

¿А',

• Л (1)

Л

АЫ,

где л-,, = ;у„(г)-биомасса ресурса в момент времени /, поступающая с переменной скоростью о = 0(1): /V, = /V,(о-биомасса (численность) популяции /-ого уровня, /=1,2,3. Пусть при 1 = 0 значения

дГ = Л',(0). ; = 0.1.2.3 (2)

известны. В дальнейшем будем предполагать, что состояние популяций, входящих в модель (1) экологической системы, описывается при помощи закона Вольтера

=-а N N 'о о'V

Е, =Л1аг,Л/'1 -пи, /"з =кга2Ы2 -аУ, -ти3

где а, >о, г =о. 1,3; ш, > о, ) = I, 2, 3; £>о , означают биологические параметры модельной экосистемы (1).

Сформулируем нестационарную задачу охраны для экологических систем, состоящих из следующих видов: растительности, травоядных животных и хищников. Введем понятие средней численности /-ой популяции

для

на промежутке времени 0<£<г по формуле N1 / = 1,2,3 ,

Т о

любого т >0. Задача охраны ценного вида для модельной экосистемы (1) в нестационарном (непрерывном) случае ставится следующим образом: Пусть

[iV,""", ,v;""vj желаемый диапазон изменения численности z'-ro вида популяции входящего в экосистему (1) таков, что

д^min < N, < jVnu. ^ ^

где i - зафиксировано, /'-1,2,3. Задача охраны этой «ценной» /'-й популяции состоит в нахожденшт NJ"\ Л™" диапазонов изменения остальных популяций, входящих в экосистему (1) N™" < N' < N"", j = 1, 2, 3; j * i, (5)

которые обеспечивали бы условие (4).

Теорема 1. Пусть взаимодействие между видами экосистемы происходит по закону Вольтера, т.е. функции F, (•) определяются по формулам (3) и N„(0) = Q/a„N""°, Q = const >0. Тогда для того чтобы для любого г > 0 имело место

n; г л»,™",

NAT)

k.a.. та, W, (0) ' er. , .-V, (т)

ш. + —Чп —5-

г Л',(0)

(6)

(7)

необходимо и достаточно, чтобы N1 < /V™\ N™ = KnQ/at NT - m, /at -1 /ajIn /V, (r)/ /V, (0), n; > N3n,in, yv:,,m = A>, /а,/У,тш-m2/cc2 -l/a,rln/V2(r)/,V2(0),

ГДе g = const > 0.

Теорема2.Пусть О = Q (t) s C[(1.,(], Ö" = \\Q ||£. = max |0 |. if = min |

Q = ll<?!lc = m.a.vjt?!, Q = m!'n|(?! и выполняются условия теоремы . Тогда в качестве Q в теореме 1 следует брать Q = ||o|j(. = тах|о| и аналогично e=min|e|.

В § 3 главы 2 приводится задача оценки и охраны модельных популяций в нестационарном случае. Рассмотрим модельную экосистему:

0 + ^0 Л', А Nl=Nl-Fl(NB.Ni.N1),

' = Nj-FjfN^N^N,). (8)

между видами которых происходят взаимодействия по закону Вольтерра, т.е. функции /=;(■) определяются по формулам (8). Сформулируем необходимое и достаточное условие существования решения задачи охраны. Введем определение понятия средней биомассы растительности и средних численностей за время г с по формуле

,v; = Ljyv,.(/)л. i = 1,2.3, г > о (9)

Т А

Сформулируем задачу охраны популяции в нестационарном (непрерывном) случае. Пусть .У,""", Л',"т - желаемые диапазоны изменения /-го вида экосистемы такие, что

Л';"" < .у; < 7у;,а\ / = 1,2.3 (Ю)

Задача охраны /-ой популяции состоит в нахождении Л'™", Л""", которые обеспечивают выполнение условия (10) и для которых приу-^/, справедливо

/V;""1 < д-; < л-;,ш\ (11)

Теорема 3. Пусть л/,,(()) =———. Тогда для выполнения условий

Л',' > .V,..... , V,'"" 6

т, I , Л/, (Г) к „О

-1п -

к а. а. г .V, (0) ' а Ы,(г)

11 1 - т. + —1п —---

г Л',(0)

Для любого Г>0, необходимо и достаточно, чтобы —'20,

Л', < Л'Г , /V" = ——------1п ' , Лз > .У™:, N = -1—!- N ""----1п 2 7

а. Л7™" а^ а,т N¡(0) а2 а, ог,г N,(0)

§ 4 главы 2 посвящен математическим моделям оценки численности хищников экосистем. Разработка методов охраны ценных биологических видов требует прогноза динамики биологических популяций, сообществ и экосистем при тех или иных антропогенных воздействиях. При помощи математических моделей стало возможным теоретическое изучение последствий тех или иных планируемых мероприятий, затрагивающих функционирование природных систем, прямые эксперименты с которыми недопустимы. Мы будем рассматривать задачу охрану в случаях, когда экосистема находится в стационарном и нестационарном режимах и когда в популяциях учитываются их возраст и пространственные распределения.

Рассмотрим модельную экосистему, имеющую три трофических уровня, в которую извне поступает ресурс - N0 со скоростью В общем случае суммарные биомассы (или численности) видов, принадлежащих соответствующим трофическим уровням (М, /=7,2,3), в равновесном режиме удовлетворяют следующей системе алгебраических уравнений:

Л'2 •Г2(Л'1.А':.А',) = 0. С2)

где /=о,з удельные скорости /-го трофического уровня, причем

<?/-' 31- д/•' ' П^П

-—-5 0: -— < 0 когда у< /: -- > 0 когда ;>

дN д к <ЭЛ'

.мотрена стационарная задача охраны для растительности, травоядных .ивотных и хищников. Для нахождения критических значений, т.е. решения адачи охраны, рассмотрен случай, когда состояние популяций, входящих в кологическую систему, описывается законом Вольтерра Fo=-aoN()Ni, Fi-koOLf^o- asN2-mi. F2= k1a.jNi - a2Ni - ш;, F3=k2a2N2 - eN} - m3, (14)

Рассмотрены следующие случаи:

1. Требуется сохранить численность редкого хищника в пределах

N^.N?-**, т.е.

АГ'П < А'з < jV."ax (15)

Критические значения Л'™" j=l,2 определены так, чтобы с учетом

15) и

/V""" < д'( < л'™л, j-=l,2, (16)

[мело место неравенство (16). Используя (15) и учитывая условие N=(Nh Л\ h)>0, система (12) принимает вид:

küa0Na -ör,i\2 -т, =0. kl<x{Nx -a2N; —т2 = 0, к2а1 \'2 - г/У, — т~ = 0.

Критические значения биомассы растительности и травоядных животных >пределяются по формулам:

v„„„ _а:Л'""п + тг _a,N"'" пи

' k^t, 1 А,а, а[к[ '

NT = max{/V™, /7™"}, Л'!"" = mir, {.Л7Г\ N™" }.

2. Пусть в экосистеме ценным видом объявляется «растительность», т.е. аданы Л/"™, N™\ которые эбеспечивают выполнение (15). Требуется >пределить .V™, А'™, j=2,S для которых справедливы неравенства: Л7" <n, <iv;™, j=2,3

Аналогичным образом • шеем: д', < л'"'"4 - ^ = л7.™4

а: а,

.vr=max{,vr, = 1Шп{д73та\

3. Пусть теперь N™m, Л'ГХ - заданные (в каком-то смысле) наилучшие :ритические значения численности травоядных животных, в пределах которых необходимо сохранить их количество, т.е. л < л, < л'™'4

На основе предложенной методики получено

Д7ПШ, _ kua„Q < дг < к „а „О _

' а,Л']"" +т, ~ ' " а,Л/Г° + ш,

I 1

Л':™" = maxi — [а

А'-™4 = min < • ["г

1 г Л„а„Л,а.е . ^ — (к2а2N™K + щ)

" ' ' +пи

'у

мтт Д^тах

Теорема 4. Пусть теперь 2 ' 2 соответствующие в каком -то смысле наилучшему значению численности травоядных животных, в пределах которых мы хотим сохранить количество травоядных животных, т.е.

NT" < Л', < Л™"4:.

Задача состоит в нахождении , nг ,нг" -Легко видеть, что решение

задачи охраны в данном случае имеет вид

nun к „а иО Д, mnx _ k «а IIQ

1 а2Л'2""5 +/я, ' ' a2NT + '

AT - max \—{т2 + У^0"' Q),-(k2a2Nr + w3)}.

[а2 сс2 '+»»,£■ J

Л'Г " min { —+ Q).X-{k2a2Nr + m3

[а, £ü|iV2 + /и, e

Задача оценки модельных популяций в нестационарном случ Рассмотрим задачу оценки модельных популяций в виде:

N, =Nt-F1(Na,Nl,Nt), N2 = N\-F2(NlN2.N,), Л'., = Л', • Л',),

между видами которых происходят взаимодействия по закону Вольтерра. Введем определение понятия средней биомассы растительности и средних

J г

численностей за время т: NJ = — JN,(t)dt, i =■ 1,2,3, г > О и сформулируем

Т о

задачу оценки модельных популяций в нестационарном (непрерывном) случае. Пусть Л',™". /V™4 - желаемые диапазоны изменения /(Гго вида экосистемы, такие

что

N™<Nl<N™\ /0 е {1,2,3} (17)

Задача оценки г-ой популяции состоит в нахождении .V™"', Л'™\ которые обеспечивают вьшолнении условия (16) и для которых при справедливо

N';"<NTJ <N"'"X, j=l,2,3.

Теорема 5. Пусть имеет место неравенство с, = ш,-A-,ar,л/T,, <о, т.е.

Г" >

при этом

-пц +кга2М"

сВД

-тъ + N7" еЫ,(О)

Л* о.

Тогда

-пц + ^ I '(•>, , „ - т.

гч

Теорема 6. Пусть существуют 5 , г<3<?

йх,. йд^йдг, ]

Тогда для того чтобы модельная популяция супцествовала стабильно, необходимо и достаточно, чтобы максимальный вещественный корень

}г.оп<'1-л; 2 у г

уравнения = 1 равняйся числу 8,= У —— .

о м Щ

Если вместо изолированной популяции рассмотреть модельную экосистему,

т.е. N = (Л^.Л'г,..., Л'^), то в задаче следует брать входные функции в виде

' Р\\(а) - Ъп(а)\ ... Ь1и(а)^

Р0(а)= .......... Ва(а)= .........

Ь„,(а) ... Ъпп(а)

V, =

V,, О

0 V,,

О О

О ^

о

д =

<г/,, О О

о о

Vй " V

и для нее задачу охраны и оценки можно сформулировать следующим образом. Пусть Л^1™", Лг'пач - положительные вектора (часть компонентов этих векторов для некоторых видов задается, а часть находятся в результате решения задачи). Требуется найти условия относительно модельной экосистемы, обеспечивающие неравенство:

Ыт[п <К'(х,а,0<1\"шх (18)

Решение задачи представляется в виде (при любом

где

"У ж ТП-] V- ТПл у

„,„,=1

г(а) = Х 2,(я), г„,(а)= /^(1)2,2„(а) = 1.

^».»ЛО - является решением следующего интегрального уравнения /и,у,/0= \В(4)Мщ„/1-1;Н4 + /(1), Л/„|„:(0=

II II

где #(£) = Ва{£,Щ£)Е';л{И;) является матрицей выживаемости возрастно-

иространственно-распределениых сообществ.

Теперь рассмотрим задачу охраны редких животных с учетом возрастног

состава и пространственных распределений в нелинейном случае:

ЯМ РЦ ^ г)1 N

+ — + — + --. хев, 0 < а < 0<1<1к,

р\гI Ял- ' -

8! да ^ 8х: ^ дх]

х.а.О) = х.а). х ей, 0 < а < да.

\(х.0,1) = ^В(М(х4.1))с1с. д еС. О < ( <

О

где Л'= (.¥,....,Л',„), А', = Л;,(х,а,0, / = 1,/н,

(19)

' 1-й ( N ) /-',,„ С .V ) ' « „ ( N ) «1 л ЛГ ,Г

В „ ( и >

N ) , я „ I с л' ; я „, , 1 N ),

0 0 ' ' '1 „ 0 0

V . = 0 V ( , 0 = 0

„ 0 0 гт 0 0 (У/?/

Введя длт = лг(а;,в, О - л- (я), где ■= г(лг*),

л- (о) = е(л")аа. для линеаризованной задачи получено

\-н--+ > V , -= Л ^ + > В, -

I 5/ Зя ' дх, 5х/

Сформулируем задачу охраны. Пусть лг1". Л'"" - положительные вектор (часть компонентов этих векторов для некоторых видов задается, а част находится в результате решения задачи). Требуется найти условия дл модельной экосистемы, обеспечивающие неравенство

/V""" < А\'(х.а,1)< Д'™\ (20)

Решение задачи (20) при любом т >/представляется в виде:

„,, , 2 . Г-1 , . т-Хл

Х(х.а.и= _Да) > „ (а)М., ,, {Т-а)-пп——зЫ——&>„(*.).

VI* ' " - ¿1 ¿2

где в(О = является матрицей выживаемости возрастно-

пространственно-распределенных сообществ.

В § 5 главы 2 рассматривается необходимое и достаточное условие существования решения задачи охраны изолированной популяции в общем случае. Пусть лг™. N""ч - некоторые положительные числа, означающие желаемые диапазоны изменения численности некоторой популяции животных, и N = N(x,a,t) - численность этой популяции возраста а, 0<а<со, в точке хеб в момент времени /, 0</<^ где 6 = 6+5, 6 = {(х,,.т2): Ос*, <¿,,/=1,2},

5 граница области О.

Предположим, что численность рассматриваемой модельной популяции удовлетворяет уравнению:

— +--1-У V, — =F„(a)N + YD—(2 )

81 да ^ ' дх, ^ ' дх ; У '

х ей , 0 < а < =о , 0 <1 </,.. начальному и граничному условиям:

а, 0) = Л'„(дг, а), лб^ 0 < а < ю

лг(*,0,/)= }в а^)Щх4,1)с14, (22)

dN

--а Л1

дх.

rW

= 0, —~a,N

Здесь V, и D¡ - заданные положительные числа, a, =I^/(2D,), ¡=1.2; N„, Ц,. -заданные неотрицательные и непрерывные функции, которые характеризуют начальную численность, коэффициенты рождаемости и смертности.

Задача охраны популяции животных состоит в нахождении условий, которые обеспечивают выполнение неравенства

Nmm <Ñ{x,t)<N'm\ xeG, 0<t<tk (23)

или

ЛГ™ < J Ñ(x,t)dx < Л""", 1 > 0, (24)

а

где Ñ(xj)= \P(a)N(x,a.t)da, Р(а) - весовая функция т.е.

о

Р(а) >0. 0 < а < то, | P(a)da = I

Определение. Скажем, что популяция животных существует стабильно, если найдутся положительные числа N"m, /V1"14 и весовая функция Р(а) такие, что осредненная численность модельной популяции удовлетворяет условию (23).

Теорема 7. Пусть существуют обобщенные производные

ох, дх1дх1 „

Тогда для того чтобы модельная популщия (21), (22) существовала стабильно, необходимо и достаточно, чтобы максимальный вещественный корень уравнения

о

равнялся числу и?.е. =й„.

Теорема 8. Пусть с)пцествуют обобщенные производные

- ° Л" ■ /' = 1.2 . Тогда решение задачи (21) - (22) шкет вид: Ох, атДт, Оасх, дадх,дх,

.\'(х,а.1) £ М^-ав-^' соз^соэ»,

•*„,„, 1 фунщия М„^ (0 - является решением интегрального

уравнения типа восстановления.

м.....//;= \в.....ш^а-е щ

(27)

а т к /

-----„ „ и

Вп^(а>=ВЛ(а)еЛ '-|4/>' 12 , 0 < я < со

В § 6 главы 2 решена задача оценки охраны редких животных экологических систем с учетом возрастного состава и пространственных распределений.

Рассмотрим модельную экосистему:

ц^г, х-=о, о о<,*п

81 да т^1 сх. ^ сх,

Л'(л\ а,0) = Л'п (л, а). хей, 0 < а < со

Л'и.0./)= «С, 0</ <

Л'|. =0.

где N = (N,.Nt.....NJ.C=C+S, G = {{x„xz): 0<x, <L„ i = 1,2}, S - граница области

(«1 ... />,„(« f

G.

«„(«) =

/>„, ( И )

"v„ 0 ... (i 'i/„ 0 0 "

V ( - 0 - (i ■ и, = 0 0

. 0 о ... v - , 0 (I

Сформулируем задачу охраны. Пусть N'mn,

Л ,„, (»),

/ = 1.2

вектора (часть компонентов этих векторов для некоторых видов задается, а часть находятся в результате решения задачи). Требуется найти условия для модельной экосистемы (28), обеспечивающие неравенство:

Л<ЛЧ>,£/,/)</У,гах (29)

Решение задачи (28) представляется в виде (при любом т>1):

«,и2 =1

где

Z(a)= £ Zja), Z ,tl( а) = J Fa( £ )Z,( = )dc . Zjaj= 1.

Т7Г7 „

0

о 0

. £,„■ г -v )

0

0

i ^77"-

является решением следующего интегрального уравнения типа восстановления (<) =

С'

A/„i„:(o = ]ii(i).v;„]„;(?-i)i/i. (31)

о

где В(£) = Sn(£)Z(£) £,*„(£) является матрицей выживаемости возрастно-пространственно-распределенных сообществ. Решение (31) будем искать з виде

М (г) = С ехр(<5П.

где С - неотрицательный вектор, S - const. Тогда для определения S получим уравнению q>(5) = det(I-= 0, (32)

о

которое эквивалентно уравнениям <р(5) = ски1- $В(а)е~&'<1а) = 0, <1еи1-В) = О

п

или

= (33)

где 3(5) = \В(а )е~*(1а, В = 3(0),

О

В=( В({)с1{. 1? = (/-В)"1д,= I а'Б(а)аа

•-с- ' ' -о

Таким образом, если вещественные части корней (32) или (33) отрицательны, то м .-»0 при ?->«>. Следовательно, в силу равномерной

сходимости (30) и в силу (34) имеем N(x,a,t)^0, I -> оо

Это означает, что нулевое решение задачи (28) асимптотически устойчиво.

Теорема 9. Для того чтобы имело место неравенство (29), необходимо и достаточно, чтобы выполняпись условия

Ь11(а)>0, Ъ,,(5)<<*, ¿^ = 1. НИ = 1,

т.е. единица является максимальным собственным значением обгцей

матрицы выживаемости В (или 5„= О является простым корнем характеристического уравнения (32), вещественные части остальных корней отрицательны), где Ь.:, (а) — элементы матрицы В(а), Ь^ (5) —элементы В (¡5), Ь, , —элементы В.

Теорема 10. Для того чтобы имело место (29), необходимо и достаточно, чтобы было 6,;(о)>0, Ьп(5)<<а, ^П ^ <1

В § 7 главы 2 рассматривается задача охраны редких животных с учетом возрастного состава и пространственных распределений в нелинейном случае. Рассмотрим модельную экосистему:

гЛ' 5Ы ^ д.М -Л м с?2 А' „ п п ...

— + — -= Р(М) + 2_.01—г-, хеС, 0 < а < со, 0<г<^.,

д! да ' йх, дх,

Л'(х, £7,0) = Л'и (л, а), хе(7, 0 < а < со,

' Щх,0,1) = ]в(А(х,£,г))с/£ х е С, 0 < г < г(. ^^

М,=о- (1-1,-)

где -V = (.V,.....„л Л', = Л', Гл'. а,о. ' = I

F =

... F,JN)

FJK) - F,„. ).

BJNJ =

B„ (N )

B„t(N )

В и ,(N )

B„„C'-V >

v,l 0 о 4

0 v,.2 0

0 0 • • v„,,

' d,t 0 0 dl2

0

0

Введя дЛ' = Лг(х,а.О-Л'*(а), где N\a): — = лГ(0) = ffi(/V"№, для

/У/7 J

I)

а2д/У

линеаризованном задачи имеем ЭД/V д&N

dt

да

, v> <3A/V ^

Теорема 11. Для того чтобы имело место неравенство N " < Д7У(х, а, С) < /Утах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

В(а) > 0, 0 < а < со, В(5) = В(а)с!а < оо, (1е!(1-Ъ) = Ъ. (И = \). В = ^В(а)с1а,

о II

т.е. единица является максимальным собственным значением популяционной матрицы потенциалов В (или <5„ =о является простым корнем

характеристического уравнения /(3) = деЦ/~ ) = 0,, вещественные

о

части остальных корней отрицательны).

§ 8 главы 2 посвящен оценкам численности биологических популяций на основе принципа максимума.

Рассмотрим модельную популяцию типа

КЮ

dt ¿к ' 1

(35)

дх. - ' «-■» " dxi х EG, 0 < а < со, 0 < t < ¡ч iVCv,fl,0) = jYj (v, a), x e G, 0 < a < go, (36)

Л'(г-,0,0 = J0X B(N(x,(,t))d(, x eff, 0 < f < tk. (37)

(S-^)L-o. ^38>

где С -заданная область из E2, 6 = G +S, S -граница области. G. n -внешняя нормаль к границе S, а -постоянное число,

Di = const > О, Л = const > 0, ¡' = 1,2. F е Lip (L > 0). Заметим, что рассмотренная модель является квазилинейной моделью.

Теорема 12. Пусть для любого решения задачи (35)-(38) имеют место условия:

и), из того, что Г(Д;) > 0, следует N < 0.

б). О. > 0, а < О (если а > О,то соответствующей заменой можно добиться, чтобы а < 0);

в). /?(л',ад)ЛГ < В (Л0 < 0о(х,а,г)М + р.Хх.а, г), • - I О < тт{А,0 /ол рйа < 1, гпаг(л,г) рсаа < 1, = тах,хГ) (З^а < оо, г/ ЛГ0 (.V, а) > 0, х еС, 0 < а < со.

Тогда справедливы оценки:

- N(x, а, г) > 0, для всех (я, а, О еСх [0,со) х [О, г.] = (2

{Шс^. (39)

Теорема 13. Пусть имеют место условия теоремы (35) и, кроме того,

гЗ). й-,, (х, а, ОМ < йВ < (г,о, г)ДЛ', где ДА' = М - Ди, •= В(ЛЛ) - В(М2),

О < тт/0 а0с?а < 1, 0 < а? = тах/^а.са < со, тах£ а0а'а < а?, Л', —решения задачи (35) соответственно с начальными функциями Л'.". ¡' =1,2. Тогда справедливо неравенство ;;ггп{0, шш(ы1 ДЛ'°, ттДД?|с=0} £ М £ (40)

< лт.г|о. гаахМ0. тахД.ЛПл=о] из которого следует:

1). Если Л№ = Л',° - Л?2° > 0, то ДЛГ = - Л'7 > О,

2). ЦМ||с(й < тах(1,^) IIДД?0!)^^ при < 1.

§ 9 главы 2 посвящен вычислительной модели задачи охраны заповедника. Рассмотрим следующую математическую модель биологической системы:

= + ]Г л„ ; + од/), / (41)

А _ А . _£. .¡. V > _£_ ^ а / 3

¿-¿дх \ Злу/

где Лг, - биомасса /-го вида (или /-го трофического уровня), й, - коэффициент смертности (или коэффициент рождаемости, взятый с обратным знаком) /-го вида. (),(1) - функция, характеризующая внешние воздействия на /-й вид, А = (ач) - матрица взаимодействия биосистемы. Ниже рассматривается один из алгоритмов определения матрицы взаимодействия экосистем по результатам наблюдений за биосистемой.

Пусть заданы наблюдения за биосистемой в моменты времени (к, к-1,2...лг, которые независимы и искажены случайными помехами:

N„ = N,(1^ + 4,,,

где - ошибки наблюдений, которые, как предполагается, удовлетворяют следующим услевиям: = Л'О^М М [1,с,]=Л~'а).гце М -

символ математического ожидания, а Л - дисперсионная матрица вектора ошибок ... Коэффициенты матрицы взаимодействия А

определяются в результате решения следующей задачи минимизации 1(А*)=тт 1(А), АеП , где П - некоторая область пространства И". выбираемая из чисто практических соображений, а также таким образом, чтобы решения системы дифференциальных уравнений были ограничены константой Лл"" : (г) | < УУ"*", ¡=1, ...,т. /У""л - например, максимальное число, которое может быть задано машине, на которой реализуется указанный алгоритм. Функционал 1(А) определяется следующим образом:

' (А ) = I Р к [Л' - N (,„ . Л )}' Л (,, )[Л , - Л- , А )] (42)

к =1

или в развернутом виде: /Ы) =£/'.£ £ я,., [.V „ - .V д,(, л)] [л? „ - л< Д,,. А)] где Рг - весовая функция-, I £ р1 = \), Рк> О, л,у - элементы матрицы

Л'Ч'Д - результаты наблюдений за /'-м видом в момент времени Г*, Л', (н, А) - решение системы при заданной матрице А.

Для нахождения минимума функционала строится минимизирующая последовательность матриц {А5"; методом градиентного спуска.

Пусть йУ - начальное при элиженне элементов матрицы взаимодействия, тогда минимизирующая последовательность {«;*/} строится при помощи следующего итерационного процесса: а Ур'=а ур'" - 1( (А ) где

г, < 31

, а р., — константа, выбираемая из условия:

Итерационный процесс прекращается на п-ом шаге, когда достигается необходимая точность, т.е. когда на двух соседних шагах модели компонент вектор-градиента не превышает'по модулю заданной точности.

Величины У11р(А'*>) в силу функционала 1(Л) определяются следующим образом:

дА> ,

В этой формуле Д/д определяется как и выше, Л', Д) - решение системы

97/,. |

дифференциальных уравнений, а

ар

|чк,А) - как решение следующей задачи

Коши (задача чувствительности):

<зI дЫ,

Л да.,

ЗЛГ,

, дЫ, ^

' да„,. , -

, дЫ, Л ■ Ь,-- + > а„

Л/ Л' ^

/V,—— +

1 да.

I

а/1

дЫ. ш, -Л\ +-—Ы.

Кда.ф

+Ы,хЫр, / = а

(43)

■ 0, а = \.т, Р = \,т, г = 1 ,т

Численные эксперименты системы хищник-жертва" . Программа предназначена для вычисления динамики численности взаимодействующих популяций по типу „хищник-жертва" или „растения - травоядные животные -хищники".

Результаты численных экспериментов изображены на рисунках 4-5. Большинство экспериментов проведены для системы типа „хищник-жертва", где жертвой является винторогий козел, а хищниками - его естественные враги - снежный барс и волк (рис. 4, 5). На рис. 5. приведена динамика численности винторогого козла и его хищников (волк, снежный барс) по годам, полученная в результате вычислительных экспериментов. Из анализа полученных результатов следует, что они удовлетворительно аппроксимируют натурные данные Отдела охраны природы. Полевые натурные данные являются среднегодовыми в течение 10 лет с интервалом 5 лет, полученные в заповеднике „Дашти-Джум" Таджикистана.

КЧ'иЗ -

юо

280-

* X-

ч

\ *

/ \

* \ *

Г """ - •.....••■ --—1—- —1. **_______________Л.

; а годы

Рис. 4. Динамика численности винторогого козла (модельные-

натурные

Рис. 5. Динамика численности винторогого козла (модельные -,

натурные • • • ) и снежного барса (модельные —, натурные ****).

Они на рисунке обозначены • • • —для винторогого козла, **** — для снежного барса. На рис. 5. изображена динамика численности винторогого козла и его хищников в течение 9 лет. Как видно из рисунка, из- за нехватки информации имеется некоторое расхождение между модельными и натурными данными (15%- 18%).

III. Список работ по теме диссертации Статьи в журналах, включенных в перечень ВАК РФ:

1. Мирзоев С., Одинаева С. А. Математическое моделирование экосистемы заповедника «Дашти-Джум».// Вестник Таджикского национального Университета 3(59), Душанбе- Сино, 2010, стр. 12-15.

2. Одинаева С.А. Задача охраны редких видов экосистемы заповедника Дашти-Джум с учетом переменной скорости ресурса.// Вестник Таджикского национального университета (Спецвыпуск посвященный году образования и технических знаний), Душанбе-Сино,2010, стр.45-50.

3. Одинаева С. А. Математические модели оценки численности хищников экосистем (на примере заповедника «Дашти-Джум»).// Вестник Таджикского национального университета 1(65), Душанбе-Сино, 2011, стр. 7-19.

Публикации в журналах, сборниках н трудах конференций:

4. Мирзоев С., Одинаева С.А. О математической модели заповедника «Дашти -Джум».//Материалы юбилейной научно-теоретической конференции посвященной 18-летию Независимости Республики Таджикистан. ТНУ - Душанбе, 2009, стр. 12.

5. Мирзоев С., Одинаева С.А. О численном решении модельных экосистем заповедника «Дашти - Джум».//Магериалы научно-теоретической конференции посвященной 18-летию Независимости Республики Таджикистан. ТНУ - Душанбе, 2009, стр. 16.

6. Одинаева С. А. О задачах охраны редких видов экосистемы заповедника Дашти-Джум с учетом переменной скорости ресурса.//Материалы научно-теоретической конференции посвященной Году образования и технических знаний. ТНУ-Душанбе, 2010, с.

7. Мирзоев С., Одинаева С.А. Математическое моделирование экосистемы заповедника «Дашти-Джум».//Вестник Института предпринимательства и сервиса №20, Душанбе-2010, стр.66-71.

8. Юнуси М., Одинаева С.A. Models of comparison ecosystems.//Международная конференция по компьютерному анализу проблем науки и технологам. ТНУ-Душанбе-2011, стр.26-27.

9. Одинаева С. А., Мирзоев С., Юнуси М. Оценка численности биологических популяций на основе принципа максимума // Современные проблемы математического анализа и теории функций, материалы международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан Шабозова М. Ш., Душанбе, 2012, стр. 116-117.

Подписано в печать 27.09.2012 г. Формат 60x84 Vis. Тираж 100 экз.

Типография Министерство образования Республики Таджикистан г. Душанбе, 1-й проезд, ул. Лахути 6.

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Качественное описание региональных экосистем заповедников (на примере заповедника «Дашти-Джум»)

§1 Климатические условия и биологическое описание структур и общая схема взаимодействий структур заповедника «Дашти-Джум»

§2 Построение математической модели с учетом возрастной структуры и способы определения неизвестных параметров

§3 Анализ концептуальной модели заповедника «Дашти

Джум» на основе условия качественной устойчивости

§4 Анализ устойчивости конкретных биологических структур заповедника «Дашти-Джум» на основе характеристического уравнения

§5 Исследование структур заповедника «Дашти-Джум» на основе критерия качественной устойчивости

Глава 2 Математические модели оценки численности биологических популяций

§1 Постановка задачи оценки и охраны редких видов экосистемы заповедника «Дашти-Джум» с учетом переменной скорости ресурса

§2 Задача оценки и охраны популяции в стационарном случае

§3 Задача оценки и охраны модельных популяций в нестационарном случае

§4 Математические модели оценки численности хищников экосистем

§5 Необходимое и достаточное условие существования решения задачи охраны изолированной популяции в общем случае

§6 Решение задачи оценки охраны редких животных экологических систем с учетом возрастного состава и пространственных распределений

§7 Задача охраны редких животных с учетом возрастного состава и пространственных распределений в нелинейном случае

§8 Оценка численности биологических популяций на основе принципа максимума

§9 Вычислительная модель задачи охраны заповедника и результаты компьютерных экспериментов ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Богата и разнообразна флора и фауна заповедника «Дашти-Джум». Характерными его обитателями являются - дикий кабан, дикобраз, барсук, куница, каменная лиса, винторогий козел, бухарский горный баран и др. Многие виды животных и растений заповедника являются редкими и исчезающими, некоторые из них занесены в "Красную книгу Таджикской ССР" [68]. Несколько эндемичных видов флоры Таджикистана, собранные с территории заповедника "Дашти-Джум" и описанные в этой книге, встречаются только в этом регионе. Сохранение растительного и животного мира этого прекрасного уголка природы представляет собой большую научную и практическую ценность. Как известно, для сохранения, приумножения и рационального использования растительного покрова лесов, заповедников, заказников и других охраняемых территорий, необходимым условием является всестороннее изучение его флоры и фауны. Это дает возможность изучать динамические процессы, происходящие в растительных ценозах под влиянием того или иного экологического фактора и сделать прогноз относительно их возникновения, дальнейшего развития и оценки результатов их завершения.

Актуальность темы исследования. Активное проникновение научных методов в практику современного промышленного и сельскохозяйственного производства стало характерной особенностью нашего времени. Это особенно проявляется при рассмотрении ряда вопросов, решение которых связано с созданием строгих, научно обоснованных методов в проблеме охраны окружающей среды. Решение этих животрепещущих вопросов невозможно без привлечения современных методов математической науки. Разработка методов охраны ценных биологических видов естественно требует прогноза динамики биологических популяций, сообществ и экосистем, при тех или иных антропогенных воздействиях. При этом эксперименты на реальных системах весьма дороги, продолжительны и часто невозможны, поэтому возникает необходимость разработки различного рода математических моделей. При помощи математических моделей и математического моделирования стало возможным экспериментальное изучение последствий тех или иных планируемых мероприятий, затрагивающих функционирование природных систем, в частности заповедников и заказников, прямые эксперименты над которыми трудноосуществимы. Все это определяет особую актуальность выбранной темыдиссертации.

Степень разработанности проблемы. Построение математических моделей оценки редких и исчезающих видов (на примере хищников) является одним из ключевых вопросов прогнозирования их состояния, без решения которого невозможно наладить охраны окружающей среды в целом.

Вопросам моделирования и прогнозирования динамики экосистем посвящены работы Вольтерра В., Костицына Р., Полуэктова P.A., Алексеева A.A., Моисеева H.H., Свирежева Ю.М., Логофета Д.О., Разжевайкина В.Н., Р.Мэй, К. Джифриса, Усманова З.Д, Борздыко В.И., Комилова Ф.С., Исматова Н., Юсупова А., Джалилова X, Мирзоева С., Одинаева Р., Шарапова Д., Юнуси М.К. и ряда других ученых.

Задача охраны редких и исчезающих видов с учетом временного, возрастного и пространственного распределения была сформулирована и математически обоснована профессором Юнуси М. К. Конкретные региональные экосистемы Таджикистана изучались в работах Усманова 3. Д. (Тигровая балка), Юнуси М. К. (агроценоз хлопкового поля), Юнуси М. К. и Асимовой Г. (Тигровая балка), Юнуси М. К. и Комилова Ф. (рыбные популяции), Юнуси М. К. и Мирзоева С. X. (Дашти-Джум), однако в них оказалась незатронутой оценка роли хищника в экосистемах горных заповедников. В диссертации именно этот вопрос является основным предметом изучения. В дополнении к этому предпринята попытка исследовать математические вопросы сравнения экосистем.

Проблема исследования. В современных условиях создание инструмента прогнозирования в виде математической модели динамики природных экосистем играет немаловажную роль в решениях государственных задач, связанных с охраной окружающей среды, в частности, с охраной региональных заказников и заповедников. Создание методов математического моделирования региональных горных экосистем является проблемой исследования.

Цель диссертации- разработать математическую модель оценки численности биологических популяций на примере экосистемы заповедника «Дашти - Джум». Для достижения цели решаются следующие основные задачи:

- Построить концептуальную модель взаимодействия биологических видов заповедника и выявить качественную устойчивость и неустойчивость его структуры. Построить математическую модель динамики экосистемы заповедника «Дашти-Джум».

- Поставить и исследовать задачи оценки и охраны редких и исчезающих видов экологических систем региональных заповедников в стационарном и нестационарном режимах с учетом временного, возрастного и пространственного распределения.

- Поставить и исследовать математические задачи сравнения экосистем.

Обосновать новые алгоритмы определения неизвестных коэффициентов модельной точечной экосистемы заповедника «Дашти-Джум» в случае напряженности трофических связей.

- Создать комплекс прикладных программ и провести серию вычислительных экспериментов с конкретными экосистемами. Найти решения задачи охраны редких видов заповедника «Дашти-Джум» в различных режимах его функционирования.

Теоретическую и методологическую основу исследования составили труды зарубежных и отечественных ученых в области математического моделирования и прогнозирования биологических популяций с использованием аппарата теории дифференциальных уравнений, методов математического моделирования, постановление правительства Республики Таджикистан о национальной стратегии и плане действий по сохранению и рациональному использованию биоразнообразия.

Объект исследования - математические модели экосистем заповедника «Дашти-Джум»

Предмет исследования - охрана и оценки численностей популяции хищников

Методы исследования. В работе использованы современные методы математического анализа и дифференциальных уравнений, методы математического моделирования, а также вычислительного эксперимента.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построена уточненная концептуальная схема взаимодействий биологических видов заповедника «Дашти-Джум» и математическая модель динамики конкретных экологических систем. Выявлены качественно устойчивые структуры заповедника.

2. Получены оценки численности редких и исчезающих биологических видов (на примере хищника) в стационарном и в нестационарном режимах с учетом временного, возрастного и пространственного распределения.

3. Доказана теорема сравнения экосистем горных заповедников с учетом временного, возрастного и пространственного распределения.

4. Предложен и обоснован алгоритм определения неизвестных коэффициентов модельной точечной экосистемы заповедника «Дашти-Джум» в случае напряженности трофических связей.

5. Создан комплекс прикладных программ для решения задач математического моделирования состояния экосистем трех трофических уровней и проведена серия вычислительных экспериментов с конкретными экосистемами. Найдено численное решение задачи оценки и охраны редких видов в различных режимах функционирования заповедника.

Работа имеет непосредственное отношение к областям исследований 15, 7, указанным в паспорте специальности 05.13.18 - «математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в ней исследована задача оценки и охраны редких и исчезающих видов с учетом временного, возрастного и пространственного распределения и переменной по времени скорости поступления внешнего ресурса и с учетом сравнения различных экосистем.

Практическая ценность. Высокая общность рассматриваемых моделей и методов исследования позволяет применять их не только для изучения экосистем заповедников, но и для решения задач химии, физики и др. Изучение временной, возрастной и пространственной изменчивости популяций и определение их численности необходимы для разработки методики натурных измерений, оптимизации и мониторинга. Использование установленных теоретических выводов, носящих общий характер, позволяет существенно облегчить и ускорить разработку больших моделей конкретных экологических систем. Важное практическое значение имеет создание комплекса программ с целью прогнозирования состояния хищников заповедника в целом.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на ежегодных апрельских конференциях преподавателей ТГНУ и ТНУ, на научных семинарах кафедр «Информатика» ТНУ (2008-2012) и «Высшая математика и информатика» ИПС (2008-2012), на научных конференциях «Математическое моделирование и компьютерные эксперименты - 1СММСЕ-2008» (Душанбе, 2008), на международной конференции" по компьютерному анализу проблем науки и технологии" (Душанбе -2011), на международной конференции "Современные проблемы математического анализа и теории функций", на международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН Республики Таджикистан Шабозова М. Ш. (Душанбе, 2012) и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в девяти работах, из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, 2-х глав, заключения и списка использованной литературы. Общий объем диссертации составляет 105 страниц, включающих в себя 14 рисунков и список использованной литературы из 93 наименований.

Заключение

Как видно из приведенных мероприятий по охране редкого вида, необходимо решить две задачи: подготовительную и оптимизационную. Подготовительная задача решается для определения критических значений популяций, входящих в экосистему заповедника.

Если условия существования решения подготовительной задачи не выполняются, то решается оптимизационная задача, т.е. находятся оптимальные значения параметра охоты на хищников (или жертв).

Это случается в том случае, когда численность охраняемых животных не принадлежит желаемому диапазону и тогда решается задача оптимального изъятия („охоты") или оптимального добавления особей „ценного" вида.

Из полученных результатов по рассмотренным примерам, можно сделать некоторые выводы методического характера, которые имели бы значение при проектировании заповедников и охраны ценных видов в заповедниках и заказниках. В первую очередь, эти выводы относятся к биологическим методам влияния (интродукция новых видов, добавление к популяции вида хищника стерилизованных особей и т.д.), поскольку именно эти методы существенно влияют на структуру биологических воздействий в сообществе. Применение охоты не затрагивает, как правило, этой структуры, а приводит лишь к снижению численности популяции, причем часто оказывается, что погибают не только хищники, но и управляющие их численностью хищники и паразиты. Разрушение этих механизмов приводит к возникновению вспышек численности некоторых травоядных. Поэтому эти мероприятия должны планироваться так, чтобы вызванное ими изменение структуры взаимодействий улучшало свойство данной структуры с точки зрения условий качественной устойчивости, примененные к общей матрице сообщества. Например, введение стерилизованных особей популяций вызывает тем самым усиление конкуренции за брачного партнера, может, по

94 видимому, рассматриваться как появление самолимитирования у данного вида. Важно при этом, чтобы был выбран вид, занимающий такое положение в структуре сообщества, чтобы его самолимитирование приводило бы к нарушению „черно-белого теста". С аналогичных позиций следует подходить и к анализу интродукции новых видов хищников, а также комплексных методов биологической борьбы, включающих разнообразные мероприятия.

Полученные результаты могут применяться при определении оптимальных режимов использования естественных экологических систем. При этом определенный вид экосистемы объявляется наиболее „ценным", и его численность стараются сохранить в заданных допустимых пределах. Затем определяются соответствующие критические значения для остальных видов экосистемы. Если численность „ценного" вида для полученных значений находится в допустимых пределах, то мы можем этот вид сохранить, а если же это условие нарушается, то мы с помощью методов регуляции численности видов можем добиться выполнения нарушенных условий. Причем методы регуляции численности видов должны проводиться так, чтобы вызванное ими изменение структуры взаимодействий не только восстановило нарушенное равновесие, но вместе с этим улучшало свойства данной структуры с точки зрения условий качественной устойчивости.

Из рассмотренной структуры взаимодействия экосистемы заповедника „Дашти-Джум" можно также сделать некоторые выводы методологического характера, которые могли бы иметь значение при определении оптимальных режимов использования экосистем заповедника. Это относится к методам регуляции численности видов (изъятие некоторых компонентов — растений и некоторых травоядных животных, например, бухарского горного барана, интродукция нового вида и.т.д.), поскольку именно эти методы существенно влияют на структуру воздействий в сообществе. Эти методы должны планироваться так, чтобы вызванное ими изменение структуры взаимодействий улучшало свойства данной структуры с точки зрения условий качественной устойчивости. Например, изъятие (отстрел) некоторых видов хищников и пресмыкающихся при их высокой численности должно проводиться таким образом, чтобы их самолимитирование нарушалось, и это приводило бы к нарушению „черно-белого теста". Или мы должны охранять тот вид, который связан с другими видами отношением „хищник-жертва", и это позволило бы появлению самолимитирования у этого вида (2-го вида), нарушающего условие теста. К примеру, охота (изъятие) должна проводиться таким образом, чтобы шестой вид (рис. 1.1) потерял бы сам о лимитирование, а штриховые линии исчезли. С аналогичных позиций следует подходить и к анализу эффектов интродукции нового вида. Заметим, что хотя нами допускается возможность изъятия отдельных компонентов экосистемы заповедника „Дашти-Джум" в случае их высокой численности, приводящей к нарушению балансового режима, но нынешнее состояние свидетельствует о необходимости принятия мер по восстановлению численности некоторых других редких видов в целях создания более устойчивого равновесия. Из полученных результатов следует, что, вообще говоря, заповедники с учетом всех составляющих их видов не являются качественно устойчивыми. Этот результат, в общем, неудивителен, поскольку, с одной стороны, отсутствие качественной устойчивости не означает, что рассматриваемая система не может быть устойчивой в некоторых областях значений параметров модели, а с другой стороны, реальное поведение этой сложной системы (изменения численности различных видов и их местообитание в зависимости от многих внешних факторов) не дает оснований предполагать наличие качественной устойчивости. Но для заповедника „в целом" выполняются необходимые и достаточные условия качественной устойчивости, и поэтому он является качественно устойчивым. Наиболее важным результатом является разработка концепции устойчивости (асимптотически) стационарного состояния популяций- сообществ на основе введенного понятия биологического потенциала. Если биологический потенциал популяции сообществ меньше единицы, и матрица выживаемости положительна, то их стационарное состояние асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Математические формулы и выводы относительно временных, возрастных и пространственных моделей популяции, сообществ, экосистем необходимы для разработки натурных измерений, оптимизации, мониторинга. Использование установленных теоретических выводов, носящих общий характер, позволяет существенно облегчить и ускорить разработку и проектирование больших конкретных экологических систем.

Таким образом, основные результаты работы можно кратко охарактеризовать следующим образом:

1. Изучена и построена уточненная концептуальная схема взаимодействий биологических видов заповедника «Дашти-Джум» и построена математическая модель состояния конкретных экологических систем. С помощью предложенной общей матрицы взаимодействия сообщества на основе метода качественной устойчивости и неустойчивости выявлены качественно-устойчивые структуры заповедника и проанализированы полученные результаты.

2. Построены и обоснованы математические модели оценки и охраны редких и исчезающих биологических видов (на примере хищника). Найдены решения поставленных задач в явном виде, математически исследованы для конкретных экосистем заповедника в зависимости от матрицы выживаемости сообщества и его биологического потенциала.

3. Сформулирована и обоснована математическая постановка задачи оценки охраны редких видов заповедника в стационарном и в нестационарном режимах с учетом временного, возрастного и пространственного распределения.

4. Доказана теорема о сравнения экосистем горных заповедников с учетом временного, возрастного и пространственного распределения.

5. Предложен и обоснован способ определения неизвестных коэффициентов модельной точечной экосистемы заповедника «Дашти-Джум» в случае напряженности трофических связей.

6. Создан комплекс прикладных программ для решения задач математического моделирования состояния экосистем трех трофических уровней и проведена серия вычислительных экспериментов с конкретными экосистемами. Найдено численное решение задачи оценки и охраны редких видов в различных режимах функционирования заповедника.

1. Абросов Н.С., Ковров Б.Г. Анализ видовой структуры трофического уровня одноклеточных. - Новосибирск: Наука, 1977. - 186 с.

2. Алексеев В.В. Человек и биосфера. М.: Изд-во МГУ, 1973. - 133 с.

3. Антонов Ю.П. Моделирование биологических систем. Киев.: Наукова Думка, 1977.-260 с.

4. Абдусаломов И. Заповедник „Тигровая балка'7/Кн. Заповедники Советского Союза. М.: Колос, 1969. - С. 432-437.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1976. 351 с.

6. Беллман Р, Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.-548 с.

7. Беляев В.И. Теория сложных геосистем. Киев.: Наукова Думка, 1977. -186 с.

8. Будак Б.И., Васильев Ф.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 299 с.

9. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.-400 с.

10. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.-286 с.

11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 575 с.

12. Гаузе Р.Ф. Исследования над борьбой за существование в смешанных популяциях //Зоологический журнал. -1935. -Т.2, № 2. С.243-270.

13. Грин М.Б., Хартли Г.С., Вест Т.Ф. Пестициды и защита растений. М.: Колос, 1979.-384 с.

14. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии. -М.: Мир, 1981.-252 с.

15. Динамическая теория биологических популяций (Под ред. Р.А.Полуэктова). М.: Наука, 1974. - 455 с.

16. Давлатов A.C. К классификации тугаев „Тигровая балка". //Кн. Ученые записки каф. Ботаники ТГУ. Душанбе.: ТГУ, 1970. - №2. - С.65-70.

17. Заповедник „Тигровая балка". Сталинабад: Дониш, 1959. - 200 с.

18. Зоологические науки Таджикистана за 60 лет. Душанбе.: Дониш, 1985. -245 с.

19. Интегрированная защита хлопчатника от вредителей (Под ред. А.Н.Махсумова, М.Н.Нарзикулова). Душанбе.: Дониш, 1981. -248 с.

20. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1977. -392 с.

21. Логофет Д.О. Матрицы и графы: Проблема устойчивости в математической экологии (Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук). Красноярск, 1986.-55 с.

22. Логофет Д.О., Юнусов М.К. //Вопросы качественной устойчивости и регуляризации в динамических моделях агробиоценоза хлопчатника. Вопросы кибернетики, вып. 52. М.: Наука, 1979. - С.62-74.

23. Логофет Д.О., Ульянов Н.Б. Необходимые и достаточные условия знакоустойчивости матриц. //Докл. АН СССР, 1982. -Т.264, № 3. -С.542-546.

24. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М.: Наука, 1972.-232 с.

25. Мэрди Дж. Модели популяций. //Кн. Математическое моделирование. М.: Мир, 1979.-С. 109-127.

26. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. -М.: Мир, 1983.-397 с.

27. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 320 с.

28. Новосельцев В.Н. Теория управления и биосистемы. -М.: Наука, 1978 -59 с.

29. Модели управления природными ресурсами (Под ред. В.И.Гурмана). -М.: Наука, 1981.-264 с.

30. Моисеев H.H. Модели экологии и эволюции. Математика, кибернетика, 1983, № 10. - 30 с.

31. Новосельцев В.Н. Теория управления и биосистемы. М.: Наука, 1978. -320 с.

32. Одум Ю. Основы экологии. М.: Мир, 1975. - 740 с.

33. Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу-Юи-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнения типа нестационарной фильтрации. //Изв. АН СССР. Сер. математ. 1958. -Т. 22, № 5. - С. 667-704.

34. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975. - 343 с.

35. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1978.-352 с.

36. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем. М.: Наука, 1972. - 159 с.

37. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. - 366 с.

38. Смит Дж. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. - 183 с.

39. Самарский A.A., Курдюмов С.П., Галактионов В.А., Михайлов А.Г. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. - 477 с.

40. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1986. 151 с.

41. Форестер Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978. - 167 с.

42. Уаат К. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971.-463 с.

43. Юнусов М.К. Существование решения одной интегро-дифференциальной задачи. //Докл. АН Тадж.ССР. 1976. -Т. 19, № 7. -С.3-6.

44. Юнусов М., Асимова Г. Об анализе качественной устойчивости некоторых экосистем заповедника „Тигровая балка". //Известия АН Тадж. ССР, отд. биол. Наук. 1980, № 4. - С. /86-92.

45. Юнусов М.К., Князьков В., Асимова Г. О математическом моделировании экосистемы Кашка-Кум заповедника „Тигровая балка". //Респуб. научно-теор. конф. молодых учёных -1980. С. 64.

46. Юнусов М.К. Оптимальное управление в биосистеме „хищник-жертва". //Известия АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат. наук, 1981, № 2. С. 81-85.

47. Юнусов М.К. О решении одной оптимальной задачи. // Известия АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат. наук, 1982, № 4. С. 106-108.

48. Юнусов М.К. Математическая модель динамики насекомых-вредителей с учетом их возрастной структуры. // Известия АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат. наук, 1982, № 1. С. 103-105.

49. Юнусов М.К. Математический способ определения критических значений экосистем трех трофических уровней. //Журнал общей биологии. -1982. -Т.43, № 6. С. 836-841.

50. Юнусов М.К. Исследование интегро-дифференциальных систем, связанных с биосистемой „хищник-жертва". //Материалы республ. конф. по уравнениям матем. физики. Душанбе. -1983.- С. 136-137.

51. Юнусов М.К. Решение одной интегро-дифференциальной задачи методом Фурье. //Докл. АН Тадж. ССР. -1984. -Т. 27, № 9. С. 491-494.

52. Юнусов М.К. Приближенное решение одной интегро-дифференциальной задачи. // Докл. АН Тадж. ССР. -1985. -Т. 28, № 9. -С. 504-506.

53. Юнусов М.К. Оптимальное управление экосистемой трех трофических уровней. // Докл. АН Тадж. ССР. -1987. -Т. 30, № 5. С. 277-281.

54. Юнусов М.К. Динамика изолированных популяций с учетом возрастного состава и пространственных распределений. //Математическое моделирование в проблемах рационального природоиспользования. -Ростов-на-Дону 1988. - С. 118-119.

55. Юнусов М.К. Об одном классе нелокальных задач. -М: ВЦ АН СССР, 1991.-30с.

56. Юнусов М.К. Математические модели защиты растений и охраны популяций животных. Душанбе. - 1988. - 290 с.

57. Юнусов М.К. Некоторые математические вопросы охраны популяций животных. //Докл. АН Тадж. ССР, 1989. -Т.32, № 2. - С.87-92.

58. Юнусов М.К. Решение одного класса интегро-дифференциальных задач и его приложения в биологии. Душанбе. - 1989. - 53 с.

59. Юнусов M.K. Математические модели охраняемых популяции. -М: ВЦ АН СССР, 1991.-29с.

60. Юнусов М.К. Решение некоторых интегро-дифференциальных задач. //Докл. АН Тадж. ССР, 1990. -Т.ЗЗ, № з.

61. Юнуси М.К. Математические модели борьбы с вредителями агроценозов. Душанбе, Дониш, 1991.- 142с.

62. Кутеминский В .Я., Леонтьева P.C. Почвы Таджикистана. Душанбе: Ирфон. - 1966,- 226 с.

63. Халимов А. Широколиственные мезофильные леса Придарвазья. //Известия АН РТ, отд-ние биол. и мед. наук. 2001. - С. 88-94.

64. Р.В.Комелин, А.Халимов. Ландшафты Западного Дарваза и Придарвазья.- Деп. в ВИНИТИ 30 июля 1986 г., № 552 В 86. - 29 с.

65. Агроклиматические ресурсы Таджикской ССР, часть 1. -Л.: Гидрометеоиздат, 1976. 216 с.

66. З.Д.Усманов, Г.Н.Сапожников, М.А.Исмаилов, С.И.Черенков, С.Г.Благовещенская, Е.П.Яковлев. Моделирование динамики пустынных сообществ заповедника „Тигровая балка". ДАН Тадж.ССР, 1982. - T.XXI, №10. - С.3-5.

67. Семашко Г.Л., Салтыков А.И. Программирование на языке „Паскаль". -М.: Наука, 1988.- 125 с.

68. Красная книга Таджикской ССР. Издательство «Дониш» 1988.

69. Асоев X., Хикматов С. Общая характеристика заповедников Таджикистана и их экологическое состояние (на тадж. языке). -Душанбе, 1999.-74 с.

70. Грин Н., Стаут У., Тейлор Д. Биология: В 3-х т. Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

71. Коли Г. Анализ популяций позвоночных. Пер. с англ. М.: Мир, 1979. -364 с.

72. Лукьянов O.A. Оценка демографических параметров популяций мелких млекопитающих методом безвозвратного изъятия // Экология. 1988. -№ 1. - С.47-55.

73. Bailey N.T.J. On estimating the size of mobile population from recapture data // Biometrika. 1951. - V.38. - P.293-306.

74. Bailey N.T.J. Improvements in the interpretation of recapture data // J.Anim.Ecol 1952. - V.21. - P. 120-127.

75. Begon M. Investigating animal abundance: Capture-recapture for biologists. -Baltimore: University Park Press, 1979. 97 p.

76. Jolly G.M. Explicit estimates from capture-recapture data with both death and immigration stochastic model // Biometrika. - 1965. - V.52. - P.225-247.

77. Jolly G.M. Mark-recapture models with parameters constant in time //

78. Biometrics. 1982. - V.38. -P.301-321.

79. Kelker G.H. Estimating deer populations by differential hunting loss in the sexes // Proc.Utah.Acad.Sci.Arts and Letters. 1940. - V.17. - P.65-69.

80. Kelker G.H. Sex ratio equations and formulas for determing wildlife populations // Proc.Utah.Acad.Sci.Arts and Letters. 1944. - V.20. - P. 189198.

81. Lincoln F. C. Calculating waterfowl abundance on the basis of banding returns // Cir.U.S.Dept.Agric. 1930. - No. 118.

82. Petersen C.G.J. The yearly immigration of young plaice into Limfjord from the German sea etc. // Rept.Danish Biol.Stn. 1896. - V.6. - P. 1-48.

83. Poole R. W. An introduction to quantitative ecology. New-York: McGraw-Hill, 1974.-532 p.

84. Schumacher F.X., Eschmeyer R. W. The estimation of fish populations in lakes and ponds // J.Tenn.Acad.Sci. 1943. - V. 18. - P.228-249.

85. Seber G.A.F. A note on thy multiple-recapture census // Biometrika. 1965. -V.52. - P.249-259

86. Статьи в журналах, включенных в перечень ВАК РФ:

87. Одинаева С. А.,Мирзоев С. Математическое моделирование экосистемы заповедника «Дашти-Джум».//Вестник Таджикского национального Университета 3(59), Душанбе- Сино, 2010, стр. 12-15.

88. Одинаева С. А. Математические модели оценки численности хищников экосистем (на примере заповедника «Дашти-Джум»).// Вестник

89. Таджикского национального университета 1(65), Душанбе-Сино, 2011, стр. 7-19.

90. Публикации в журналах, сборниках и трудахконференций:

91. Одинаева С.А.,Мирзоев С.О математической модели заповедника «Дашти -Джум».//Материалы юбилейной научно-теоретической конференции, посвященной 18-летию Независимости Республики Таджикистан. ТНУ Душанбе, 2009, стр. 12.

92. Одинаева С.А.,Мирзоев С.О численном решении модельных экосистем заповедника «Дашти Джум».//Материалы научно-теоретической конференции, посвященной 18-летию Независимости Республики Таджикистан. ТНУ - Душанбе, 2009, стр. 16.

93. Одинаева С. А. О задачахохраны редких видов экосистемы заповедника Дашти-Джум с учетом переменной скорости ресурса./ТМатериалы научно-теоретической конференции, посвященной Году образования и технических знаний. ТНУ-Душанбе, 2010, с. 7.

94. Одинаева С.А., Мирзоев С. Математическое моделирование экосистемы заповедника «Дашти-Джум».//Вестник Института предпринимательства и сервиса №20, Душанбе-2010, стр.66-71.

95. Юнуси М., Одинаева С.А. Modelsofcomparisonecosystems.//Meждyнapoднaя конференция по компьютерному анализу проблем науки и технологии. ТНУ-Душанбе-2011, стр.26-27.