автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование динамики экосистемы горного заповедника

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Вопросы качественной устойчивости экологических систем заповедника «Дашти-Джум»

§1 Климатические условия и биологическое описание структур заповедника «Дашти-Джум»

§2 Условия качественной устойчивости

§3 Анализ устойчивости конкретных биологических структур заповедника на основе характеристического уравнения

§4 Исследование структур заповедника на основе критерия качественной устойчивости

§5 Способ регуляризации неустойчивых структур заповедника

Глава 2 Математические задачи охраняемых биологических популяций

§1 Задача охраны популяции в стационарном случае

§2 Задача охраны модельных популяций в нестационарном случае

§3 Необходимое и достаточное условия существования решения задачи охраны изолированной популяции в общем случае

§4 Решение задачи охраны редких животных экологических систем с учетом возрастного состава и пространственных распределений

§5 Задача охраны редких животных с учетом возрастного состава и пространственных распределений в нелинейном случае

Глава 3 Вычислительная модель задачи охраны заповедника

§ 1 Алгоритм определения неизвестных коэффициентов в экосистеме заповедника

§2 Структура вычислительной модели

§3 Инструкция по работе с вычислительной моделью

§4 Результаты вычислительных экспериментов

биологических видов, естественно, требует прогноза динамики биологических популяций, сообществ и экосистем, при тех или иных антропогенных воздействиях. При этом, эксперименты на реальных системах весьма дороги, продолжительны и часто невозможны, поэтому возникает необходимость разработки различного рода математических моделей. При помощи математических моделей стало возможным экспериментальное изучение последствий тех или иных планируемых мероприятий, затрагивающих функционирование природных систем, прямые эксперименты с которыми трудно осуществимы. Все это определяет особую актуальность исследуемой темы.

Цели и задачи исследования. Диссертация посвящена разработке моделей и методов исследования задачи управления охраняемыми биологическими популяциями, которая и состоит в моделировании процесса охраны ценных биологических видов систем (заповедников, заказников). При этом для ценных или редких видов задаются наиболее эффективные диапазоны изменения их численности (естественно, эти границы зависят от параметров рассмотренного заповедника, заказника и т.д.), а границы изменения численности остальных биологических видов определяются с учетом решения данной задачи - охраны численности ценных или редких видов. В частности, эта задача предусматривает и определяет желаемые диапазоны изменения численности всех видов.

Целью данной работы является моделирование проблем управления охраняемыми популяциями и разработка методологической основы использования полученных результатов в научных исследованиях и на практике.

Заметим, что моделируемым задачам посвящена обширная библиография, насчитывающая десятки названий. Мы будем рассматривать лишь те работы, которые использованы нами для получения отдельных результатов или близко примыкают к нашей работе, дополняют ее содержание ([1] - [67]).

Научная новизна. Для осуществления практически необходимого контроля за численностью «ценных» видов заповедников, заказников разработан и исследован комплекс математических моделей с учетом временного, возрастного и пространственного распределения.

Проведено математическое исследование новые системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих состояние биологических систем заповедников.

Для широкого класса моделей пространственного распределенных интегро-дифференциальных систем изучены вопросы устойчивости стационарных решений. Задача исследования устойчивости сводится к задаче нахождения корней нелинейного характеристического уравнения. Найден класс коэффициентов рождаемости и смертности, для которого стационарная численность модельных популяций асимптотически устойчива. Показано, что в моделях популяций с учетом возрастного состава введение пространственных параметров «улучшает» их устойчивость.

Практическая и научная ценность. Полученные результаты существенно расширяют масштабы использования возможности теоретического анализа пространственной, возрастной и временной организации популяции, сообществ и биосистем. Высокая общность рассматриваемых моделей и методов исследования позволяет применять их не только для изучения экосистем заповедников, но и задач химии, физики и др. С помощью разработанных моделей и полученной общей матрицы сообщества изучены устойчивость конкретных экологических систем заповедника и выявлены их устойчивые структуры. Изучение временной, возрастной и пространственной изменчивости популяций и определение их численности необходимы для разработки методики натурных измерений, оптимизации и мониторинга. Использование установленных теоретических выводов, носящих общий характер, позволяет существенно облегчить и ускорить разработку больших моделей конкретных экологических систем.

Важное практическое значение имеет создание комплекса прикладных программ.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на ежегодных апрельских конференциях преподавателей ТГНУ, на научных семинарах кафедр «Информатика и моделирование» ТГНУ (1998-2002) и «Высшая математика и информатика» ИПС (2000-2002), на научных конференциях «Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения» (Курган-Тюбе, 1997), «Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения» (Душанбе, 1999), «Математическое моделирование и компьютерные эксперименты -1СММСЕ-2000» (Душанбе, 2000), «Classical problems of matematical physics and analysis» (Samarkand, 2000), «Математическое моделирование и компьютерные эксперименты» (Ташкент, 2002) и др.

Основные результаты работы полностью опубликованы в работах [68]

74].

Объем диссертации и ее структура. Общий объем диссертации составляет 93 страниц, включает 11 рисунков и 76 литературных источников. Работа состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка использованной литературы. Эта структура отражает этапы исследования и их взаимосвязь.

Результаты работы с программой РОО показали, что для различных видов оптимальными могут быть как ведение охоты, так и смешанная борьба, что, впрочем, еще определяется стоимостями интродукции новых видов в экосистему. в) Численные эксперименты с подпрограммой РКК.

Подпрограмма РКК позволяет при заданном уровне биомассы растений, вычислять пороговые значения популяций жертв и хищников экосистемы. Необходимыми входными данными для подпрограммы являются: матрица взаимодействия экосистемы А, скорость поступления внешнего ресурса, усредненные коэффициенты естественной смертности растений, травоядных животных и хищников, а также отбора биомассы.

Вычисления производились для различных матриц взаимодействия, скоростей поступления внешнего ресурса и уровня планируемого отбора биомассы.

1 вариант Матрица взаимодействия :

•0.0 -0.1 0.0 0.0

0.09 0.0 -0.6 0.01

0.0 0.3 0.0 -0.9

0.0 0.001 0.5 -0.23

Скорость поступления внешнего ресурса равна 1000. Усредненные коэффициенты естественной смертности растений, травоядных животных и хищников соответственно составляют 0.1, 0.9, 0.8. Необходимый уровень планируемого отбора составляет 28.0.

II вариант Матрица взаимодействия :

0.0 - 0.6 0.0 0.0

0.4 0.0 -2.0 0.0

А = 0.0 1.5 0.0 -0.7

0.0 0.0 0.6 - 0.8

Скорость поступления внешнего ресурса равна 4000. Усредненные коэффициенты естественной смертности растений, травоядных животных и хищников соответственно составляют 0.1, 0.9, 0.8. Необходимый уровень планируемого сбора биомассы 30.0.

III вариант Матрица взаимодействия : "О.О -0.9 0.0 0.0

0.8 0.0 - 1.2 0.0 0.0 0.9 0.0 -0.6

0.0 0.0 0.2 - 0.3 А

Скорость поступления внешнего ресурса -149. Усредненные коэффициенты естественной смертности растений, травоядных животных и хищников соответственно равны: 0.1, 0.9, 0.8. Необходимый уровень планируемого сбора биомассы составляет 22.0.

А =

0.0 0.2

0.0 0.0

IV вариант Матрица взаимодействия: -0.5 0.0

0.0 0.5 0.0

-0.9 0.0 0.2

0.0" 0.0 -0.6 -0.9

Скорость поступления внешнего ресурса - 725. Усредненные коэффициенты естественной смертности растений, травоядных животных и хищников соответственно равны 0.1, 0.9, 0.8. Необходимый уровень планируемого сбора биомассы составляет - 40.

V вариант Матрица взаимодействия:

А =

0.0 0.5 0.0 0.0

-0.7 0.0 0.6 0.005

0.0 -0.8 0.0 0.5

0.0 - 0.01 -0.0 -0.7

Скорость поступления внешнего ресурса -1000. Усредненные коэффициенты естественной смертности растений, травоядных животных и хищников - 0.1, 0.9, 0.8. Необходимый уровень планируемого сбора биомассы составляет 38.0.

VI вариант Матрица взаимодействия: А

0.0 0.5 0.0 0,0

-0.7 0.0 0.6 0.005

0.0 -0.8 0.0 0.5

0.0 -0.01 -0.7 - 0.7

Скорость поступления внешнего ресурса -1000. Усредненные коэффициенты естественной смертности растений, травоядных животных и хищников - 0.1, 0.9, 0.8. Необходимый уровень планируемого сбора биомассы составляет 30.0.

Результаты численных экспериментов каждого варианта находятся в таблице, приведенной ниже:

Номер варианта Пороговые значения травоядных животных Пороговые значения хищников

1 2 3

1 5983 7,333

2 3504 8,14

3 5919 7,889

4 79444 31,83

5 23370 31,29

6 29640 .24,43 г) Численные эксперименты с программой DENT

Результаты численных экспериментов с программой DENT изображены на рисунках 3.3 - 3.4. Большинство экспериментов проведены для системы типа „хищник-жертва", где жертвой является винторогий козел, а хищниками - его естественные враги - снежный барс, волк (рис. 3.3, 3.4). Биологические данные взяты из книг [75,76]. На рис. 3.3 приведена динамика численности винторогого козла и его хищников (волк, снежный барс) по годам, полученная в результате вычислительных экспериментов. Из анализа полученных результатов следует, что они удовлетворительно аппроксимируют натурные данные, полученные в отделе охраны природы. Полевые натурные данные являются среднегодовыми в течение 15 лет с интервалом 5 лет, полученные в заповеднике „Дашти-Джум" Таджикистана. Они на рисунке обозначены • • • • • — для винторогого козла, * * * * * * — для снежного барса.

J i А

400 280 *

380 . 260 / " \ w * \* \

360 - -24 - * / /* \

340- -23- / */ • /

320 20 • ^ • \ —1- • 1 ■ * ь

5 10 15 годы Рис. 3.3. Динамика численности винторогого козла (модельные-, натурные

• • • •) и снежного барса (модельные---, натурные *****) по годам [75].

На рис. 3.4 изображена динамика численности винторогого козла и его хищников в течение 9 лет. Как видно из рисунка, из-за нехватки информации имеется некоторое расхождение между модельными и натурными данными (15%- 18%).

Рис, 3.4. Динамика численности винторогого козла (модельные-, натурные • . • .) и снежного барса (модельные---, натурные ****) по годам [75].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как видно по приведенным мероприятиям по охране редкого вида, необходимо решить две задачи: подготовительную и оптимизационную. Подготовительная задача решается для определения критических значений популяций, входящих в экосистему заповедника.

Если условия существования решения подготовительной задачи не выполняются, то решается оптимизационная задача, т.е. находятся оптимальные значения параметра охоты на хищников (или жертв).

Это случается в том случае, когда численность охраняемых животных не принадлежит желаемому диапазону и тогда решается задача оптимального изъятия („охоты") или оптимального добавления особей „ценного" вида.

Из полученных результатов по рассмотренным примерам, можно сделать некоторые выводы методического характера, которые имели бы значение при проектировании заповедников и охраны ценных видов в заповедниках и заказниках. В первую очередь, эти выводы относятся к биологическим методам влияния (интродукция новых видов, добавление к популяции вида хищника стерилизованных особей и т.д.), поскольку именно эти методы существенно влияют на структуру биологических воздействий в сообществе. Применение охоты не затрагивает, как правило, этой структуры, а приводит лишь к снижению численности популяции, причем часто оказывается, что погибают не только хищники, но и управляющие их численностью хищники и паразиты. Разрушение этих механизмов приводит к возникновению вспышек некоторых травоядных. Поэтому эти мероприятия должны планироваться так, чтобы вызванное ими изменение структуры взаимодействий улучшало свойство данной структуры с точки зрения условий качественной устойчивости, примененные к общей матрице сообщества. Например, введение стерилизованных особей популяций вызывает тем самым усиление конкуренции за брачного партнера, может, по-видимому, рассматриваться как появление самолимитирования у данного вида. Важно при этом, чтобы был выбран вид, занимающий такое положение в структуре сообщества, чтобы его самолимитирование приводило бы к нарушению „черно-белого теста". С аналогичных позиций следует подходить и к анализу интродукции новых видов хищников, а также комплексных методов биологической борьбы, включающих разнообразные мероприятия.

Полученные результаты могут применяться при определении оптимальных режимов использования естественных экологических систем. При этом определенный вид экосистемы объявляется наиболее „ценным", и его численность стараются сохранить в заданных допустимых пределах. Затем определяются соответствующие критические значения для остальных видов экосистемы. Если численность „ценного" вида для полученных значений находится в допустимых пределах, то мы можем этот вид сохранить, а если же это условие нарушается, то мы с помощью методов регуляции численности видов можем добиться выполнения нарушенных условий. Причем методы регуляции численности видов должны проводиться так, чтобы вызванное ими изменение структуры взаимодействий не только восстановило нарушенное равновесие, но вместе с этим улучшало свойства данной структуры с точки зрения условий качественной устойчивости.

Из рассмотренной структуры взаимодействия экосистемы заповедника „Дашти-Джум" можно также сделать некоторые выводы методологического характера, которые могли бы иметь значение при определении оптимальных режимов использования экосистем заповедника. Это относится к методам регуляции численности видов (изъятие некоторых компонентов - растений и некоторых травоядных животных, например, бухарского горного барана, интродукция нового вида и.т.д.), поскольку именно эти методы существенно влияют на структуру воздействий в сообществе. Эти методы должны планироваться так, чтобы вызванное ими изменение структуры взаимодействий улучшало свойства данной структуры с точки зрения условий качественной устойчивости. Например, изъятие (отстрел) некоторых видов хищников и пресмыкающихся при их высокой численности должно проводиться таким образом, чтобы их самолимитирование нарушалось, и это приводило бы к нарушению „черно-белого теста". Или мы должны охранят тот вид, который связан с другими видами отношением „хищник-жертва", и это позволило бы появлению самолимитирования у этого вида (2-го вида), нарушающего условие теста. К примеру, охота (изъятие) должна проводиться таким образом, чтобы шестой вид (рис.1.1) потерял бы самолимитирование, а штриховые линии исчезли. С аналогичных позиций следует подходить и к анализу эффектов интродукции нового вида. Заметим, что хотя нами допускается возможность изъятия отдельных компонентов экосистемы заповедника „Дашни-Джум" в случае их высокой численности, приводящей к нарушению балансового режима, но нынешнее состояние свидетельствует о необходимости принятия мер по восстановлению численности некоторых других редких видов в целях создания более устойчивого равновесия. Из полученных результатов следует, что, вообще говоря, заповедники с учетом всех составляющих их видов не являются качественно устойчивыми. Этот результат, в общем, неудивителен, поскольку, с одной стороны, отсутствие качественной устойчивости не означает, что рассматриваемая система не может быть устойчивой в некоторых областях значений параметров модели, а с другой стороны, реальное поведение этой сложной системы (изменения численности различных видов и их местообитание в зависимости от многих внешних факторов) не дает оснований предполагать наличие качественной устойчивости. Но для заповедника „в целом" выполняются необходимые и достаточные условия качественной устойчивости, и поэтому он является качественно устойчивым. Наиболее важным результатом является разработка концепции устойчивости (асимптотически) стационарного состояния популяций- сообществ на основе введенного понятия биологического потенциала. Если биологический потенциал популяции сообществ меньше единицы, и матрица выживаемости положительна, то их стационарное состояние асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Математические формулы и выводы относительной временной, возрастной пространственных моделей популяции, сообществ, экосистем необходимы для разработки натурных измерений, оптимизации, мониторинга. Использование установленных теоретических выводов, носящих общий характер, позволяет существенно облегчить и ускорить разработку и проектирование больших конкретных экологических систем.

Таким образом, основные результаты работы можно кратко охарактеризовать следующим образом:

1. Создана концептуальная модель заповедника «Дашти-Джум» и на основе критерии качественной устойчивости выявлены устойчивые и неустойчивые структуры заповедника, а также приведен способ регуляризации соответствующих структур;

2. Сформулирована и обоснована математическая постановка задачи охраны редких видов заповедника в стационарном и в нестационарном режимах с учетом временного, возрастного и пространственного распределения;

3. Предложен и обоснован способ определения неизвестных коэффициентов модельной точечной экосистемы заповедника «Дашти-Джум» в случае напряженности трофических связей;

4. Создан комплекс прикладных программ и проведена серия вычислительных экспериментов с конкретными экосистемами. Найдено численное решение задачи охраны редких видов в различных режимах функционирования заповедника.

1. Абросов Н.С., Ковров Б.Г. Анализ видовой структуры трофического уровня одноклеточных. - Новосибирск: Наука, 1977. - 186 с.

2. Алексеев В.В. Человек и биосфера. М.: Изд-во МГУ, 1973. - 133 с.

3. Антонов Ю.П. Моделирование биологических систем. Киев.: Наукова Думка, 1977.-260 с.

4. Абдусаломов И. Заповедник „Тигровая балка'7/Кн. Заповедники Советского Союза. М.: Колос, 1969. - С. 432-437.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. -М.: Наука, 1976. 351 с.

6. Беллман Р, Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 548 с.

7. Беляев В.И. Теория сложных геосистем. Киев.: Наукова Думка, 1977. -186 с.

8. Будак Б.И., Васильев Ф.П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1969. - 299 с.

9. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.-400 с.

10. Ю.Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.-286 с.11 .Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 575 с.

11. Гаузе Р.Ф. Исследования над борьбой за существование в смешанных популяциях //Зоологический журнал. -1935. -Т.2, № 2. С.243-270.

12. З.Грин М.Б., Хартли Г.С., Вест Т.Ф. Пестициды и защита растений. М.: Колос, 1979.-384 с.

13. М.Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии. -М.: Мир, 1981.-252 с.

14. Динамическая теория биологических популяций (Под ред. Р.А.Полуэктова). М.: Наука, 1974. - 455 с.

15. Давлатов A.C. К классификации тугаев „Тигровая балка". //Кн. Ученые записки каф. Ботаники ТГУ. Душанбе.: ТГУ, 1970. - №2. - С.65-70.

16. Заповедник „Тигровая балка". Сталинабад: Дониш, 1959. - 200 с. 18.Зоологические науки Таджикистана за 60 лет. - Душанбе.: Дониш, 1985. -245 с.

17. Интегрированная защита хлопчатника от вредителей (Под ред. А.Н.Махсумова, М.Н.Нарзикулова). Душанбе.: Дониш, 1981. - 248 с.

18. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1977. - 392 с.

19. Логофет Д.О. Матрицы и графы: Проблема устойчивости в математической экологии (Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук). Красноярск, 1986. - 55 с.

20. Логофет Д.О., Юнусов М.К. //Вопросы качественной устойчивости и регуляризации в динамических моделях агробиоценоза хлопчатника. Вопросы кибернетики, вып. 52. М.: Наука, 1979. - С.62-74.

21. Логофет Д.О., Ульянов Н.Б. Необходимые и достаточные условия зна-коустойчивости матриц. //Докл. АН СССР, 1982. -Т.264, № 3. С.542-546.

22. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М.: Наука, 1972.-232 с.

23. Мэрди Дж. Модели популяций. //Кн. Математическое моделирование. -М.: Мир, 1979. С. 109-127.

24. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. -М.: Мир, 1983.-397 с.

25. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982. - 320 с.

26. Новосельцев В.Н. Теория управления и биосистемы. -М.: Наука, 1978 -59 с.

27. Модели управления природными ресурсами (Под ред. В.И.Гурмана). -М.: Наука, 1981.- 264 с.

28. Моисеев H.H. Модели экологии и эволюции. Математика, кибернетика, 1983, № 10.-30 с.31 .Новосельцев В.Н. Теория управления и биосистемы. М.: Наука, 1978. -320 с.320 дум Ю. Основы экологии. М.: Мир, 1975. - 740 с.

29. ЗЗ.Олейник O.A., Калашников A.C., Чжоу-Юи-Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнения типа нестационарной фильтрации. //Изв. АН СССР. Сер. математ. 1958. -Т. 22, № 5. - С. 667-704.

30. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975. - 343 с.

31. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. - 352 с.

32. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Математическое моделирование биологических систем. -М.: Наука, 1972. 159 с.

33. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. - 366 с.

34. Смит Дж. Модели в экологии. М.: Мир, 1976. - 183 с.

35. Самарский A.A., Курдюмов С.П., Галактионов В.А., Михайлов А.Г. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. - 477 с.

36. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1986. - 151 с.

37. Форестер Дж. Мировая динамика. -М.: Наука, 1978. 167 с.

38. Уаат К. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971.-463 с.

39. Юнусов М.К. Существование решения одной интегро-дифференциальной задачи. //Докл. АН Тадж.ССР. 1976. -Т. 19, № 7. -С.3-6.

40. Юнусов М., Асимова Г. Об анализе качественной устойчивости некоторых экосистем заповедника „Тигровая балка". //Известия АН Тадж. ССР, отд. биол. Наук. 1980, № 4. - С. /86-92.

41. Юнусов М.К., Князьков В., Асимова Г. О математическом моделировании экосистемы Кашка-Кум заповедника „Тигровая балка". //Респуб. научно-теор. конф. молодых учёных -1980. С. 64.

42. Юнусов М.К. Оптимальное управление в биосистеме „хищник-жертва". //Известия АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат. наук, 1981, № 2. С. 81-85.

43. Юнусов М.К. О решении одной оптимальной задачи. // Известия АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат. наук, 1982, № 4. С. 106-108.

44. Юнусов М.К. Математическая модель динамики насекомых-вредителей с учетом их возрастной структуры. // Известия АН Тадж. ССР, отд. физ.-мат. наук, 1982, № 1. С. 103-105.

45. Юнусов М.К. Математический способ определения критических значений экосистем трех трофических уровней. //Журнал общей биологии. -1982. -Т.43, № 6. С. 836-841.

46. Юнусов М.К. Исследование интегро-дифференциальных систем, связанных с биосистемой „хищник-жертва". //Материалы республ. конф. по уравнениям матем. физики. Душанбе. -1983. С. 136-137.

47. Юнусов М.К. Решение одной интегро-дифференциальной задачи методом Фурье. //Докл. АН Тадж. ССР. -1984. -Т. 27, № 9. С. 491-494.

48. Юнусов M.K. Приближенное решение одной интегро-дифференциальной задачи. // Докл. АН Тадж. ССР. -1985. -Т. 28, № 9. -С. 504-506.

49. Юнусов М.К. Оптимальное управление экосистемой трех трофических уровней. // Докл. АН Тадж. ССР. -1987. -Т. 30, № 5. С. 277-281.

50. Юнусов М.К. Динамика изолированных популяций с учетом возрастного состава и пространственных распределений. //Математическое моделирование в проблемах рационального природоиспользования. -Ростов-на Дону- 1988.-С. 118-119.

51. Юнусов М.К. Об одном классе нелокальных задач. -М: ВЦ АН СССР, 1991. 30с.

52. Юнусов М.К. Математические модели защиты растений и охраны популяций животных. Душанбе. - 1988. - 290 с.

53. Юнусов М.К. Некоторые математические вопросы охраны популяций животных. //Докл. АН Тадж. ССР, 1989. -Т.32, № 2. - С.87-92.

54. Юнусов М.К. Решение одного класса интегро-дифференциальных задач и его приложения в биологии. Душанбе. - 1989. - 53 с.

55. Юнусов М.К. Математические модели охраняемых популяции. -М: ВЦ АН СССР, 1991. -29с.

56. Юнусов М.К. Решение некоторых интегро-дифференциальных задач. //Докл. АН Тадж. ССР, 1990. -Т.ЗЗ, № 3.

57. Юнуси М.К. Математические модели борьбы с вредителями агроцено-зы. Душанбе, Дониш, 1991. - 142с.

58. Кутеминский В.Я., Леонтьева P.C. Почвы Таджикистана. Душанбе: Ирфон. - 1966,- 226 с.

59. Халимов А. Широколиственные мезофильные леса Придарвазья. //Известия АН РТ, отд-ние биол. и мед. наук. 2001. - С. 88-94.

60. Р.В.Комелин, А.Халимов. Ландшафты Западного Дарваза и Придарва-зья,- Деп. в ВИНИТИ 30 июля 1986 г., № 552 В 86. - 29 с.

61. Семашко Г.Л., Салтыков А.И. Программирование на языке „Паскаль". -М.: Наука, 1988. 125 с.

62. Юнуси М., Давлатов А., Мирзоев С. Об анализе экосистем заповедника «Дашти-Джум». //Тезисы докладов научной конференции, «Дифференциальные уравнения с частными производными». Кургантюбе, КГУ, 1997, с. 35.

63. Мирзоев С. Математическая модель экосистем заповедника «Дашти-Джум». // Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. ТГПУ им. К.Джураева, выпуск №8. Душанбе, 2000, с. 115117.

64. Мирзоев С. Условия качественной устойчивости экосистем заповедника «Дашти-Джум».// Вестник ТГНУ №2 Душанбе, 2000, с. 66-74.

65. Мирзоев С. Математическая модель экосистем заповедника «Дашти-Джум» с учетом возрастной структуры. //Материалы научной теоретической конференции. ТГНУ. Душанбе, 1999, с.42.

66. Мирзоев С., Ниязов Р. Решение задачи прогнозирования на указанный период времени с учетом потребности заповедника «Дашти-Джум». -Душанбе, ТГНУ, 2000, с.42.