автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.07, диссертация на тему:Исследование задачи Вышнеградского при некулоновой модели сухого трения

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

1.1. Обзор исследований задачи И.А. Вышнеградского и влияние сухого трения на динамику САУ.

1.2. Сухое трение и его моделирование.

1.3.Математическая модель задачи И.А. Вышнеградского при некулоновой аппроксимации закона сухого трения.

1.4. Технические задачи, приводящие к исследованию принятой модели

1.4.1. Прямое регулирование

1.4.2. Непрямое регулирование.

1.5. Целевая установка исследования. Постановка задачи.

1.6. Методы исследований, принятые в работе.

1.6.1. Метод точечных отображений.

1.6.2. Теория разрывных колебаний (гипотеза скачка).

1.6.3. Машинные методы исследования динамических систем

1.7. Краткое содержание диссертации

2. ПОЛУЧЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИВЕДЕННОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ВЫШНЕГРАДСКОГО.

2.1. Сведение математической модели задачи Вышнеградского к приведенной математической модели.

2.2. Исследование приведенной математической модели задачи Вышнеградского методом точечных отображений на фазовой плоскости.

2.2.1. Получение необходимых для исследования приведенной модели функций соответствия, построение фазового портрета системы.

2.2.2. Исследование приведенной модели методом точечных отображений.

2.2.3. Разбиение пространства параметров приведенной модели задачи Вышнеградского на области качественно отличного поведения.

2.3. Исследование динамики приведенной модели машинными методами.

2.3.1. Исследование динамики приведенной модели при нейтральном саморегулировании объекта.

2.3.2. Исследование динамики приведенной модели при положительном саморегулировании объекта.

2.4. Выводы по разделу 2.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ИСХОДНОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ

ВЫШНЕГРАДСКОГО.

3.1. Исследование исходной модели задачи Вышнеградского методом компьютерного моделирования.

3.1.1. Исследование исходной модели при нейтральном саморегулировании.

3.1.2. Исследование исходной модели при положительном саморегулировании.

3.2. Разбиение пространства параметров исходной модели задачи Вышнеградского методом компьютерного моделирования . . 176 3.2.1 Разбиение пространства параметров модели при i нейтральном саморегулировании объекта.

3.2.2. Разбиение пространства параметров модели при положительном саморегулировании объекта.

I 3.3. Натурный эксперимент.

I 3.3.1. Описание экспериментальной установки.

I 3.3.2. Измерение некулоновского трения.

I 3.3.3. Анализ результатов эксперимента.

I 3.4. Выводы по разделу

Комплексная автоматизация технологических процессов и производств является решающим фактором повышения надежности и безопасности работы транспорта, технико-экономических показателей работы технических средств, производительности труда и улучшения качества продукции. Снижение удельной массы машин и механизмов, интенсификация их рабочего процесса выдвигают повышенные требования к проектированию средств автоматизации по учету факторов, оказывающих влияние на надежную работу технических средств непосредственно у границ своей максимально возможной энергонапряженности.

Одним из таких факторов является сухое трение в элементах локальных автоматических систем широкого назначения, заполняющих нижний уровень в иерархической структуре комплексной автоматизации технологических процессов и производств и выполняющих непосредственные функции по управлению и регулированию. Динамика большинства таких систем при определенных упрощающих допущениях соответствует основной задаче теории прямого регулирования - задаче Вышнеградского.

Среди явлений, связанных с автоматическим управлением и регулированием, большой научный и практический интерес представляет самовозбуждение механических автоколебаний в автоматических системах. Нередко причиной возникновения этих механических автоколебаний (если только они не вызваны специальными мерами) является сухое трение в элементах управляющих и регулирующих устройств.

Большинство известных аналитических исследований проблемы влияния сухого трения на устойчивость автоматических систем было осуществлено с учетом кулоновской модели сухого трения (кулоновского трения), что позволило в некоторых практически важных случаях получить строгое определение влияния кулоновского трения на устойчивость авто5 матических систем. Однако, известны случаи возбуждения автоколебаний, которые не могут быть объяснены с позиции кулоновского трения [1].

В связи со сказанным, исследование задачи Вышнеградского при не-кулоновой аппроксимации закона сухого трения является актуальным.

Основным отличием некулоновской идеализации является превышение сил трения покоя над силами трения движения. Учет некулоновского трения в задаче Вышнеградского приводит к динамической модели с переменной структурой, относящейся к классу логико-динамичсеких систем. Такие системы могут иметь сложную структуру фазового пространства с наличием в нем предельных циклов, устойчивых притягивающих множеств, исследование которого приводит к определенным трудностям аналитического и вычислительного характера.

Исследование задачи Вышнеградского при некулоновой модели сухого трения сводится к следующему: создать непротиворечивую модель, адекватно отображающую влияние сухого трения на устойчивость автоматических систем этого класса, по возможности доступную аналитическому исследованию; аналитически обосновать влияние некулоновского сухого трения на устойчивость этих систем; выявить возможные режимы (в первую очередь автоколебательные), возникающие в системах и обусловленные наличием некулоновского сухого трения в элементах систем; исследовать средствами вычислительного эксперимента пространство параметров (коэффициентов) на предмет выделения в нем областей с качественно отличным динамическим поведением системы; определить «механизм» влияния основных параметров (коэффициентов) модели на возникновение того или иного динамического режима в системе; подтвердить результаты аналитического исследования и корректность исходной математической модели вычислительным и натурным экспериментами.

В пространстве параметров определить области качественно отличных динамических режимов. Подтвердить результаты аналитического исследования компьютерным экспериментом (цифровая вычислительная ма6 шина), физическим экспериментом (аналоговая вычислительная машина), а также качественным экспериментом (механическая модель).

В первом разделе работы рассматриваются условия проявления сухого трения, обзор исследований этого физического явления, различные его аппроксимации (идеализации), приводится традиционная формулировка и обзор исследований задачи Вышнеградского, анализ результатов, полученных в этих работах, дается математическая постановка задачи Вышнеградского при некулоновой аппроксимации сухого трения, приводится описание принятых методов исследования, к которым относятся методы теории нелинейных колебаний, разрывных (релаксационных) колебаний, метод точечных отображений на фазовой плоскости, методы вычислительного эксперимента (компьютерного моделирования), формулируется задача и цели исследования.

Во втором разделе с помощью теории разрывных колебаний задача сводится, к так называемой, приведенной математической модели, которая позволяет провести строгое аналитическое исследование методом точечных отображений на фазовой плоскости. На основе проведенного аналитического исследования делаются выводы в отношении влияния некуло-новского сухого трения на устойчивость систем, относящихся к исходной задаче, определяются типы автоколебательных режимов, вызываемых в системах присутствием некулоновского сухого трения, условия их возникновения и области существования, приводится разбиение пространства параметров приведенной модели на области качественно отличного поведения системы в обобщенных коэффициентах (параметрах), а потом приведено это же разбиение в исходных коэффициентах, приводится исследование приведенной модели, поставленной задачи, методами машинного (компьютерным и аналоговым) моделированием.

В третьем разделе производится исследование полной задачи Вышнеградского методом компьютерного моделирования и натурным экспериментом. Определяются все типы движений, присущих задаче при некуло-I новом трении, условия их возникновения и области существования. При 7 этом используются аналитические результаты, полученные при исследовании приведенной модели. Все результаты, полученные методом компьютерного моделирования, сравниваются с результатами аналогового моделирования на электронной модели.

В приложениях приведены программы, написанные в среде Turbo Pascal 7.0, используемые в работе для моделировании динамики, разбиения пространства обобщенных параметров и коэффициентов на области качественно отличного динамического поведения систем, относящихся к задаче Вышнеградского.

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ В ЦЕЛОМ

Исследование задачи Вышнеградского в работе осуществлялось следующим образом. Вначале была построена новая математическая модель задачи Вышнеградского, учитывающая в законе сухого трения превышение сил трения покоя над силами трения движения (некулоновская аппроксимация). Затем данная математическая модель (полная модель) задачи Вышнеградского при некулоновской аппроксимации сухого трения (2.1) с помощью теории релаксационных колебаний была приведена к так называемой приведенной математической модели (2.3).

Упрощенная математическая модель задачи Вышнеградского исследовалась точным аналитическим методом - методом точечных отображений на фазовой плоскости.

В результате исследования для приведенной модели были получены определяющие динамическое поведение системы аналитические соотношения, которые имеют наглядную геометрическую интерпретацию в виде разбиения пространства обобщенных параметров (или исходных коэффициентов) на области, соответствующие различным режимам работы системы. Все границы полученных областей были определены аналитически точно. Разбиение позволило увидеть возможные для данной системы режимы, понять зависимость существования того или иного режима от значений коэффициентов, либо по смене режима судить об изменении того или иного параметра (коэффициента). Анализ полученных аналитических соотношений позволил в отношении приведенной модели сделать следующие основные выводы.

1). В случае, если по устойчивости объект управления является нейтральным (0 = 0), система всегда автоколебательна вне зависимости от значений остальных коэффициентов. Состояния равновесия неустойчивы, на фазовой плоскости системы существует устойчивый предельный цикл. Возбуждение автоколебаний происходит при любых начальных отклоне

190 ний - областью притяжения предельного цикла является вся фазовая плоскость системы.

2). В случае устойчивого объекта управления (0>О) в зависимости от значений своих коэффициентов система может быть либо устойчивой в целом (области 1а и 16), либо автоколебательной (области 2а, 26, 36 и 46). Для определенного соотношения коэффициентов (области 36 и 46) возбуждение автоколебаний происходит при любых начальных отклонений достаточных для приведения в движение регулирующего устройства (областью притяжения предельного цикла является вся фазовая плоскость системы). Для другого соотношения коэффициентов (области 2а и 26) возбуждение автоколебаний происходит не при любых начальных отклонений достаточных для приведения в движение регулирующего устройства. Областью притяжения предельного цикла является лишь часть фазовой плоскости системы (см.рис.2.25 и 2.29)

3). Увеличение основных коэффициентов настройки системы у и Та определенно способствует устойчивости системы. Изменение коэффициентов Та, Тк, 0 по отдельности в ту или другую сторону может как способствовать устойчивости так и вызывать автоколебания, что связано с влиянием значений остальных коэффициентов (см. рис. 2.46 - 2.49). В соответствии с теорией релаксационных колебаний (применение гипотезы скачка) все движения, наблюдаемые в приведенной модели, должны существовать и в полной модели хотя бы в малой окрестности этих движений.

Теоретические выводы, полученные для приведенной модели были распространены на полную модель, что позволило успешно провести вычислительный эксперимент и осуществить разбиение пространства обобщенных параметров на области качественно различного динамического поведения. При этом получены новые для рассматриваемой проблемы области динамического поведения, обусловленные наличием некулоновского трения.

Согласно этому в отношение полной модели задачи Вышнеградского делаются следующие заключения.

191

4). Некулоновское трение в полной модели задачи Вышнеградского вызывает автоколебания. Характер автоколебаний в некоторой области сохраняет характер автоколебаний приведенной модели.

5). Область автоколебаний. В обобщенных параметрах область располагается в пространстве, где для кулоновского трения система устойчива.

6). Область автоколебаний при ограниченных начальных отклонениях от состояний равновесия и неустойчивости при больших отклонениях. Область располагается в пространстве, где для кулоновского трения система была условно устойчива (устойчива при ограниченных начальных отклонениях неустойчива при больших отклонениях).

7). Помимо этих областей в системе также как и при кулоновском трении присутствуют область устойчивости в целом (только при устойчивом объекте управления) и область неустойчивости. При нейтральном по устойчивости объекте области устойчивости нет.

8). Наибольшая область автоколебаний при <2=1'. При увеличении параметра (11! —> Ь) область автоколебаний сужается. Автоколебания связаны лишь с превышением ¿ил трения покоя над силами трения движения и не зависят от их конкретной величины. При С)= со (Ь| = Ь) автоколебания отсутствуют и задача соответствует задаче при кулоновской аппроксимации сухого трения.

Таким образом с помощью приведенной модели аналитически обосновывается влияние некулоновского сухого трения на возникновение автоколебаний в динамических системах, относящихся к задаче Вышнеградского. Также с помощью приведенной модели обосновывается наличие автоколебательных режимов с определенными свойствами :

- автоколебания (по переменной х) амплитуда, которых определяется шириной отрезка равновесия и не зависит от значения параметров (коэффициентов) в области их наблюдения, данные колебания могут возникать как при любых начальных отклонениях (все фазовое пространство исходной задачи), так и при определенных начальных отклонениях областью притяжения является часть фазового пространства исходной задачи);

- автоколебания амплитуда, которых зависит от значений параметров (коэффициентов) в области их наблюдения.

При исследовании задачи Вышнеградского (методами машинного моделирования) режимов отличных от режимов присущих приведенной модели выявлено не было.

Влияние основных коэффициентов (у, Т^, Та, Тк, 0) на возникновение того или иного режима в системе соответствует влиянию параметров системы в приведенной модели.

В тех случаях, когда трудно с достаточной точностью оценить соотношение сил трения покоя и трения движения, либо когда это соотношение не сохраняется постоянным в процессе эксплуатации системы, гарантией устойчивой работы системы является проектирование ее с параметрами, соответствующими области устойчивости при <2=1, что является достаточным условием устойчивости независимо от величины сил трения.

Расположение рабочей точки должно выбираться достаточно далеко от границ требуемой области для обеспечения необходимого запаса, компенсирующего влияние неучтенных факторов, погрешностей в определении исходных коэффициентов, и возможные изменения параметров системы в процессе ее эксплуатации.

Все результаты полученные аналитически были подтверждены моделированием динамики на аналоговой и цифровой вычислительной технике, а также натурным экспериментом.

193

1. Петров Б.Н., Попов Е.П., Воронов A.A., Храмой A.B. Развитие теории автоматического регулирования в СССР.- В кн.: Тр.И Всесоюзное совещание по теории автоматического регулирования. M.-JL: Изд. АН СССР, 1955, т.1, с. 11 -50.

2. Техническая кибернетика. Кн.1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования / Под ред. В.В.Солодовникова. М.: Машиностроение, 1967. 768 с.

3. В.И.Крутов. Развитие автоматического регулирования двигателей внутреннего сгорания. М., Наука, 1979.

4. В.И.Крутов.Автоматическое регулирование двигателей внутреннего сгорания М.: Машиностроение, 1989, 416 с.

5. Шифрин М.Ш., Новопашенный В.Н., Кадыров Ю.М. Проектирование автоматических систем управления судовыми паротурбинными установками. JL: Судостроение, 1974. 587 с.

6. Автоматизация судовых энергетических установок / под. ред. Р.А.Не-лепина. JL: Судостроение, 1975. 536 с.

7. Wishnegradski I. Comptes rendus, t. 83, 1876.

8. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия. Известия СПб. Технологического института, т.1, 1877

9. Wishnegradski I. Der civilingenieur, t. 23, 1877.

10. Андронов A.A., Майер А.Г. Задача Мизеса в теории прямого регулирования и теории точечных преобразований поверхностей. ДАНСССР, T.XLIII, №2,1942.

11. Андронов A.A., Майер А.Г. О задаче Вышнеградского в теории прямого регулирования. ДАН СССР, т. XLVII, № 5,1945.

12. Андронов A.A., Майер А.Г. О задаче Вышнеградского в теории прямого регулирования. Автоматика и телемеханика, т.VIII, № 5, 1947.

13. StodolaA.ZS.VDY, t. 53,1899.194

14. Грдина Я.И. Устойчивость движения машины, управляемой центробежным регулятором. Вестник общества технологов, 1900

15. Грдина Я.И. К вопросу о динамической устойчивости центробежных регуляторов. Известия Днепропетровского горного института, т.ХУ, 1927.

16. Mises R. Electrotechnik und Maschinenbau, t. 26, 1908.

17. Begtrup 1. Theorie of steam engine governors. 4.- American Machinist, vol.17, 1894, N9.

18. Toile M. ZS. VDY, t. 43, 1895.

19. Lecornu L. Régularisation du mouvement dans les machines Paris, 1896.

20. Жуковский H.E. Теория регулирования хода машин. M., 1909.

21. Рерих К.Э. Влияние трения на процесс регулирования центробежных регуляторов прямого действия. Известия Екатеринославского горного института, t.XIY, 1924.

22. Николаи E.J1. Юбилейный сборник научно-технического кружка Ленинградского технологического института, 1928.

23. Николаи Е.Л. Регулирование машин. Л., 1930.

24. Poschl Т. Elektrotechnik und Maschinenbau, t. 54, 1936.

25. Schmidt W. Unmittelbare Regelung. Berlin, 1939.

26. Д.К. Максвелл, И.А. Вышнеградский, А.Стодола. Теория автоматического регулирования (линеаризованные задачи). Редакция и комментарии А.А.Андронова и И.Н.Вознесенского. М.: АН СССР, 1949.

27. Таль A.A. Задача Вышнеградского в теории прямого регулирования (с учетом саморегулирования объекта и воздействия по производной регулируемого параметра). Автоматика и телемеханика, t.XIV, №5, 1953.

28. Петров В.В., Гордеев A.A. Нелинейные сервомеханизмы М.: Машиностроение, 1979. - 471 с.

29. Казакевич В.В. Об автоколебаниях, порождаемых в системах регулирования падающими характеристиками трения в сервомоторах. Автоматика и телемеханика, т.ХП, № 6,1951.195

30. Горская Н.С., Крутова И.Н., Рутковский В.Ю. Динамика нелинейных сервомеханизмов. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 320 с.

31. Шамберов В.Н. Исследование типовой промышленной системы автоматического регулирования с некулоновой моделью сухого трения: Автореферат диссертации канд.тех.наук / ЛГУ.Л.,1988.12 с.

32. Словарь-справочник по трению, износу и смазке деталей машин / K.JI. Шведков , Д.Я.Ровинский, В.Д.Зозуля, Э.Д. Браун, Киев.: Наукова думка, 1979. 185 с.

33. Гаркунов Д.Н. Триботехника. М.: Машиностроение, 1985. 424 с.

34. Крагельский Н.В., Щедров B.C. Развитие науки о трении. М.: АН СССР, 1956.

35. Дерягин Б.В. Что такое трение ?. М.: АН СССР, 1963.

36. Филонович С.Р. Люди науки : Шарль Кулон. М.: Просвещение, 1988.

37. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Комбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977.

38. Ишлинский А.Ю., Крагельский И.В. О скачках при трении. М.: Журнал технической физики, 1944, т. 14.

39. Кайдановский Н.Л., Хайкин С.Э. Механические релакционные колебания. М.: Журнал технической физики, 1933, т. 3, вып. 1.

40. Heimann Н. Versuche über Lagerneibung nash dem Verfahren von detfman. Zeitsch. des Vereines deushh. Ind 1905, Bd 49, Nn 2b, s. 11611168.

41. Sommerfeld A. Zur hydrodynamishen Theorie her Schmiermittelreibung. Zeitsch. diir Mathem und Physik, 1904, Bd 50, H.1.8, s. 7-15.

42. Баунтин H.H. Динамическая теория часов: Стабилизация периода в колебательных системах с двумя степенями свободы. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1986. 192 с.

43. Андронов A.A., Баунтин H.H., Горелик Г.А. Теория непрямого регулирования при учете кулоновского трения в чувствительном элементе. //Автоматика и телемеханика, 1946, 7, № 1, с. 15-41.196

44. Андронов A.A., Баунтин H.H. О влиянии кулоновского трения в золотнике на процесс непрямого регулирования. //Известия АН СССР, ОТН, 1955, № 7, с. 34-48.

45. Нелепин P.A. Вопросы динамики систем автоматического регулирования с силовой обратной связью при учете кулоновского трения. //Энергомашиностроение, 1957, № 9, с. 25-29.

46. Нелепин P.A. Динамика непрямого регулирования при учете кулоновского трения в золотнике и сервомоторе и нелинейной характеристики сервомотора типа насыщения //Изв. АН СССР, ОТН, Энергетика и автоматика, 1959, № 1.

47. Нелепин P.A. Динамика непрямого регулирования с переменной скоростью сервомотора при учете кулоновского трения в золотнике и сервомоторе. //Автоматическое управление и вычислительная техника, выпуск 4, Машгиз, 1961, с. 355-382.

48. Льюис Э., Стерн X. Гидравлические системы управления. М: Мир, 1966

49. Архангельский B.C. Регуляторы частоты вращения судовых дизелей. JL: Судостроение, 1989. 176 с.

50. Архангельский B.C. Автоматика и аппаратура судовых энергетических установок. Л.: Судостроение, 1991. 264 с.

51. Наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования: Справочное пособие / А.С.Клюев, А.Т. Лебедев, С.А. Клюев А.Г. Товарное; Под. ред А.С.Клюева. 2-е изд., перераб. и доп. - М. Энер-гоатомиздат,1989. - 368 с.

52. Элементы судовой автоматики (справочник) /Под ред. Р.А.Нелепина, Судостроение. Л., 1976, 361 с.

53. Нелепин P.A. Точные аналитические методы в теории нелинейных автоматических систем (с примерами из судовой автоматики). Судостроение. Л. 1967. 447 с.

54. Беляев И.Г. Автоматизация судовых пароэнергетических установок. М., Транспорт, 1991, 367 с.197

55. Березин С .Я., Тетюев Б.А. Системы автоматического управления движением судов по курсу. Судостроение. Л., 1974, 263 с.

56. Нелепин P.A. Об исследовании нелинейных автоматических систем методом сечений пространства параметров. Изв. АН СССР, Технологическая кибернетика, № 6, 1964.

57. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления /Нелепин P.A., Камачкин A.M., Турин И.Н., Шамберов В.Н.; Под ред. Р.А.Нелепина.-Jl.: Изд-во ЛГУ. 1990.- 240 с.

58. Шамберов В.Н., Согонов С.А. Пример настройки нелинейной автоматической системы высокого порядка с использованием точных аналитических методов /СПбГМТУ. Л., 1996. 8с, Рукопись депонирована в ВИНИТИ 10.12.96 № 3600-В96.

59. Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, перев. с франц. Гостехиздат, 1947.

60. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы, пер. с англ. Гостехиздат, 1940.

61. Андронов A.A., Витт A.A. и Хайкин С.Э. Теория колебаний (Издание второе. Переработка и дополнения Н.А.Железцова). Изд-во физико-математической литературы. М. 1959.

62. Баутин H.H. Динамическая теория часов: стабилизация периода в колебательных системах с двумя степенями свободы. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. - 192с.

63. Неймарк Ю.Н. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // Изв. Вузов. Радиофизика. 1958. - т.1, № 1.2.

64. Гаушус Э.В. исследование динамических систем методом точечных преобразований. Изд. «Наука», гл. ред. физ.-мат. лит. М. 1976, 368 с.

65. Петров В.В. Применение метода точечных отображений к анализу нелинейных систем автоматического регулирования. В кн.:«Основы автоматического регулирования», под ред. В.В.Солодовникова , т.1 Машгиз. 1954.

66. Нелепин P.A. О построении фазовых портретов некоторых автоматических систем с неоднозначной кусочно-линейной характеристикой198при исследовании их методом точечных преобразований. Труды ВВМИОЛУ им. Ф.Э.Дзержинского, № 20. 1957.

67. Неймарк Ю.Н. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний М.: «Наука» 1972.

68. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.Н., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит. 1987, - 384 с.

69. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости (издание второе дополненное). Изд-во «Наука», гл. ред. физ.-мат. лит. М. 1990, 486с.

70. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы. Доклад АН СССР, т.14,№ 15, 1937.

71. Хайкин С.Э. О влиянии малых параметров на характер стационарных состояний динамической системы. ЖТФ 5,1389 (1935).

72. Железцов H.A. К теории разрывных колебаний в системах второго порядка. Радиофизика 1, №1, 1958.

73. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний (Издание второе. Переработка и дополнения Н.А.Железцова). Изд-во физико-математической литературы. М. 1959.

74. Понтрягин Л.С., Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Изв. АН СССР, сер. матем. 21, № 5 (1957), 605-626.

75. Понтрягин Л.С., Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Тр. 3-го Всесоюзного математического съезда, т.Ш, Изд-во АН СССР, 1958, 570-577.

76. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, «Наука», М.,1965.

77. Мищенко Е.Ф., Асимптотическая теория релаксационных колебаний, описываемых системами второго порядка, Матема.сб.44, № 4, 1958, 457-480.

78. Мищенко Е.Ф. Асимптотические методы в теории релаксационных колебаний, Успехи матем.наук 14, N6 (1959), 229-236.

79. Розов Н.Х., К асимптотической теории релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы. II. Вычисление периода предельного цикла, Вестн.Моск.ун-та, сер.матем.,механ., N 3 (1964), 56-65.

80. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

81. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику с позиций математического моделирования / Авт. Пред. А.А.Самарский. М.: Наука, 1988. - 176 с. ил.-(серия «Кибернетика -неограниченные возможности и возможные ограничения»).

82. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Физ-матлит, 1994.- 192с.

83. Алексаков Г.Н., Гаврилин В.В., Федоров В.А. Персональный аналоговый компьютер. М.: Энергоатомиздат, 1992. - 256 с.

84. Камачкин А.М., Шамберов В.Н. Существенно нелинейные автоматические системы. СПб.: Изд.центр СПбГМТУ, 1995, 74 с.

85. Соок Р.А. (1986) «Nonlinear dynamical system», PHI (UK), 216 p.

86. Гелднер К., Кубик С. Нелинейные системы управления: пер. с нем. М.: Мир, 1987. 368 с.

87. Чепуренко В.Г., Нижкин В.Г., Соколова Н.И. Вычисление погрешности измерений. Киев, Вища школа, 1978.

88. Leaute H. Sur les oscillations a longues periods dans les machines actionnées par des moteurs hydraulique et sur les moyens de prévenir ces oscillations. Jour de Г ecole Polytechnique, 55, 1, 1885.200