автореферат диссертации по энергетике, 05.14.16, диссертация на тему:Исследование задач практической стойкости с помощью недифференцированных функций Ляпунова, оптимизация оценок и их использование

г ь од

К ИЇВС Ь К И Й 11ЛI и 011ЛЛI» Н И 11 N'111 ннрс итет

ім. Тараса Шевченка

на правах рукопису ОСИПЧУК Марина Володимирівна

УДК

ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАДАЧ ПРАКТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ЗА ДОПОМОГОЮ Н ЕДИФЕРЕН ЦІ ПОВНИХ ФУНКЦІЙ ЛЯПУНОВА, ОПТИМІЗАШЯ ОЦІНОК ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Спеціальність 05.1 З Л 6 — застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання і математичних методів у наукових дослідженнях

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1994

Роботу виконано на кафедрі моделювання складних систем Київського національного університету ім. Тараса Шевченка.

На\ковніі керівник: доктор технічних н;п’к. професор ' ГА РАЩЕН КО Ф.Г.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук ІІОІІЛДИН ЕЦЬ В.І., кандидат фізико- математичних наук ВЕРЧЕНКО П.І. ‘

Провідна установа: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова АН України

Захист відбудеться 29 грудня 1994 року о 14.00 на засіданні спеціалізованої ради К.068.18.10 при Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка за адресою:

252127, м. Київ, просп. акад. Глушкова, 6, факультет кібернетики.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (вул. Володи-мирська, 58).

Автореферат розіслано 28 листопада 1994 року.

Вчений секретар спеціалізованої ради, '

доктор техн. наук, професор

БЕИКО І.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми

Н процесі Маїї'М.ІТІІ'ІІІііПі МоДеЛКЖаІІНЯ динамічних систем велика увага приділяється дослідженню стійкості розв'язків відносно збурень початкових умчи, праних частин га параметрів. Такі дослідження с актуальними для багатьох предметних областей. При створенні теорії СТІІІКОСТІ pvxv А.М ЛяіІУНчВ ДЛЯ систем звичніших диференціальних рівнянії іа 111 )< ції пі ував зага.'іьнніі метод, що пов'язаний з ідеями Пуанкаре.

Більшість прикладних задач потребують досліджень технічної або практичної стійкості руху. При виконанні умови практичної стійкості збурена траєкторія буде знаходитися від незбуреної в кожний момент часу на "відстані" , що не перевищує заданих обмежень. Поняття практичної стійкості було введено в результаті досліджень М.Г.Четаева, М.М.Моісєєва, Ж.Ла-Салля, С.Лефшеця. Великий вклад у розвиток методів практичної стійкості був зроблений завдяки роботам Б.М.Бублика. М.Ф.Кириченка. Ф.Г.Гаращенка.

Для деяких систем існують ефективні методи побудови функцій Ляпунова. Ллє все ж таки, при застосуванні другого метода Ляпунова до розв'язування конкретних задач головною залишається проблема, що пов'язана з відсутністю алгоритму побудови функції Ляпунова. Дисертація є подальшим розвитком досліджень в цій галузі. Розвивається метод побудови оптимальних недиференційовних функцій Ляпунова для дослідження задач практичної стійкості, що описуються системами звичайних диференціальних рівнянь.

При розв'язуванні інженерних задач виникають, як правило, проблеми оитимізації отриманих екстремальних оцінок областей практичної стійкості. А це, в свою чергу, приводить до мінімаксних траєкторних оитимізаційних задач. Останні досліджувалися у роботах Ф.Кларка, В.Ф.Дем'янова, В.М.Малоземова, В.Г.Болтянського, Р.ІІ.Федоренка та Ф.Г.Гаращенка. Часто зустрічаються прикладні задачі з обмеженнями на фазові змінні, в яких функція керування задається в структурно-параметричному вигляді, а стан системи визначається деякою матрицею. Наприклад, в задачах керування пучком траєкторій динаміка пучка описується матричним диференціальним рівнянням Ляпунова. Для розв'язування класу таких задач. що описуються матричними диференціальними рівняннями, доречно використовувати компактне формулювання принципу макси-

муму в матричнііі формі. В дисертації розглядаються задачі матричної параметричної оптнмізації при обмеженнях на фазові координа-тн. Розвинуті методи застосовуються для оптнмізації обвідної пучка траєкторій.

Створене алгоритмічне та програмне забезпечення орієнтовано, насамперед, для розв'язування актуальних задач оптимального проектування систем прискорення та фокусування.

Мета роботи

Мета роботи полягає в отриманні оптимальних за об'ємом оцінок для аналізу практичної стійкості руху, що описується системами звичайних диференціальних рівнянь, оптнмізації даних оцінок, створенні програмного забезпечення для побудови областей практичної стійкості, застосуванні отриманих результатів для розв'язання задач оптимального проектування систем прискорення та фокусування.

Методика досліджень

Теоретичні дослідження задач практичної стійкості базуються на методі функцій Ляпунова. Оптимальні функції Ляпунова будувалися за допомогою загального інтегралу системи диференціальних рівнянь. Це вимагало широкого застосування теорії звичайних диференціальних рівнянь у проведених дослідженнях.

Використання чисельного експерименту в процесі досліджень мало суттєве значення при розробці оптимальних структур областей практичної стійкості для лінійних стаціонарних систем диференціальних рівнянь.

Для розробки алгоритмів оптнмізації отриманих екстремальних оцінок використовувалися ідеї недиференційовної оптнмізації Ф.Кларка, В.Ф. Дем'янова, В.М.Малоземова, В.Г.Болтянського, Р.П.Федоренка. При розв'язуванні задач керування пучками траєкторій використовувався метод структурно-параметричної оптиміза-ції, розроблений Ф.Г.Гаращенком.

Наукова новизна

В процесі досліджень отримані наступні нові результати:

• загальні теореми практичної стійкості поширені на випадок недиференційовних функцій Ляпунова;

• на базі апарату недиференційоїшнх функції! Ляпунова для широкого класу динамічних систем отримані критерії практичної стійкості;

• для лінНіїшх стаціонарних систем другого порядку розроблені аналітичні оцінки оптимальних областей практичної стійкості;

• досліджені задачі мітмаксної "ігтимізації матричних ди-ферснціалмшх рівняні) при обмеженнях на фазові змінні, отримані необхідні умови оптимальіюсті та запропоновані конкретні алгоритми розв'язування цих задач;

• на основі розроблених алгоритмів для чисельного аналізу задач практичної стійкості створено програмне забезпечення;

• отримане алгоритмічне та програмне забезпечення застосовувалось для розв'язування задач оитимізації динаміки пучків заряджених частинок.

Практична та теоретична цінність

Застосування розробленої в дисертаційній роботі методики побудови оптимальних оцінок для аналізу практичної стійкості руху, що описується системами звичайних диференціальних рівнянь, дозволило розв'язувати задачі оитимізації області захвату частинок у процес прискорення та фокусування по радіальних координатах.

Запропоновані методи мінімаксної оптимізації матричних диференціальних рівнянь при обмеженнях на фазові змінні можуть бути застосовані при проектуванні оптимальних систем прискорення та фокусування, в яких урахування радіальних коливань пучка заряджених частинок здійснюється згідно відповідного матричного диференціального рівняння Ляпунова.

Апробація роботи

Основні результати роботи доповідалися на II Всесоюзній науково-технічній конференції "Актуальні проблеми сучасного приладобудування" /Москва, 1988 р. , на Українській конференції "Моделювання та дослідження стійкості систем" Київ, 1993 р. , на Кримській осінній математичній школі "Метод функцій Ляпунова та його застосування Алушта. 1993 р. , на Українській конференції "Моделювання та дослідження стійкості систем" Київ, 1994]). , та на наукових семінарах кафедри моделювання складних

систем Київського національного університету ім. Тараса Шевченка 1993-1994 р./ ' '

Публікації

Основні результати проведених досліджень опубліковані в семи роботах | 1-7].

Структура та обсяг дисертації

Дисертація складається з вступу, чотирьох глав, висновку, переліку використаної літератури та додатку. Обсяг роботи складає №0 сторінок машинописного тексту, що включає 21 малюнок. Перелік літератури налічує 111 найменувань.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі приводиться короткий огляд літератури з питань практичної стійкості та задач оптимального керування з фазовими обмеженнями, що стосується даної роботи. Обгрунтовується актуальність теми дисертації та викладено основний зміст отриманих результатів.

В першому розділі розглядаються основні теореми практичної стійкості, узагальнені на випадок недиференційовної функції Ляпунова.

Перший параграф містить допоміжні відомості. Вводиться поняття загальної похідної опуклої недиференційовної функції Ляпунова в силу системи звичайних диференціальних рівнянь

£=/(х. г>,в[,0.7]. (0

а також в силу системи зі збуреннями із заданої області

^ =/(*,,)+ Я(.М), /є[/0,7-]. (2)

Незбуреннй рух дг(/) = 0 системи (1) називають {0>, "

стійким, якщо Г є[/0,7'] лише тільки початкові умови задо-

вольняють співвідношенню -ї(г0)єО0.

Гут Ф, допустим:» множима стану вектора л(() и момент

і е[г„,Г].

І Іезбуреішіі рух = 0 системи (1) наливають

{(7, „ /’, ІІЦ } -СТІЙКИМ ІІ|)І1 ІІ"(ТІЙНо-діюЧИХ збурем цях, якщо

л(?)єФ,. І є[/„, /'] ЛИІІІО ТІЛЬКИ початкові уМ"Н|| і .»бурения задовольняють співвідношенням л(г„) є(7,. Л(л.г) є£2я .

Для множин початкових умов

(гп = 0'„р = |л-:тгіх|/7*(л-)| < /?|,

де р*(л‘) »«перервні функції, та <7(1 = С7о’ = <1, і=1,п|

конкретизується поняття практичної г| - та

{Л,,п,Ф„Г0,Т}- стійкості. Причому, при розробці критеріїв для аналізу стійкості використовується принцип ускладнення як математичної моделі, так і фазових обмежень та множини початкових умов. Для цього розглядаються лінійна однорідна нестаціонарна система диференціальних рівнянь

^ = л(ф.-. ,<е[,0.Г]. (3)

та лінійна система вигляду

^ = А(г)х+ /(г), і є[ґ0, Г]. (4)

В другому параграфі ряд основних теорем практичної стійкості узагальнено з урахуванням недиференційовності функції Ляпунова.

Теорема 2.1. Якщо для системи диференціальних рівнянь (1) знайдеться додатньо-стала функція Ляпунова ї'(.V,/■) , що задовольняє умовам

{л: І '(л\г) < і} с Ф„ і є [^. /’] , (5)

+ ^-<0. при л є |л:Г(л,/) <і}, гє[/0,Г], (6)

<ІГ

<Н

<?У <]х а- ’ (П

(;ос{л-:Г(л-,/„)<і) , (7)

то незбурепий розв'язок системи (1) {С0,Фг,/0,7} -стійкий.

(ІХ

т . , гГ <іх

1 \'т під I-------------------,—

' СХ (ІІ

д\' (/.V

дх ' (іг

1ІШ

розуміємо похідну за напрямком

і/х

сії

Л->-О ІІ

Теорема 2.2. Якщо для системи диференціальних рівнянь (1) знайдеться додатиьо-стала функція Ляпунова Г(.х',г) , яка задовольняє умовам (5),(6) теореми 2.1 і

|.ї:пш|/7*(.ї)| </>|с |л:К(х(г0)/0) < і) , (8)

то незбурений розв'язок лг(/) = 0 системи (1) {(?„',Ф^.г} -стійкий.

Показана зворотність цієї теореми, для чого побудована відповідна недиференційовна функція Ляпунова

К(л-д) = тафДір(м0іл-)| (9)

де = ^(г,г0,л) —загальний інтеграл системи (1).

Доведена також теорема про асимптотичну стійкість системи диференціальних рівнянь (1) при і>[0.

В параграфі 3 досліджуються питання практичної стійкості систем диференціальних рівнянь при постійно-діючих збуреннях

(2). Для такої системи доведена

Теорема 3.1. Якщо для системи диференціальних рівнянь (2) існує додатньо-означена функція Ляпунова і 0 <£<1, які за-

довольняють умовам

{л: і '(л\г) < і|с Ф^, і є[г„,7’] , (10)

іІУ_

(І! О

¿V

+ ^<0, а.

-,/(л-,0 + Л(х,г)

коли л є Ф, \ |л: І’(-V,/) < 1 - ¿|, єПя ,

Є0 е{л:Г(л,г0)<і} ,

(11)

б

то інибуреіппї розв'язок л(() = 0 системи (I) Ф,,Ги, 7’,ПЛ } -стій-киіі.

/1ля лінійної неоднорідної системи диференціальних рівнянь (4) доводиться також теорема про практичну 7’| -стійкість

при Р1ДОМИХ І (і) .

15 четвертому пар/ирафі висвітлюються деякі питання практичні ї стійкості .)а напрямком систем звичайних диференціальних рівнянь. Для чисельної побудови оптимальних оцінок розглядаються конкретні фазові обмеження:

Ф, = 4' ={л:„/(.ї,г)<і}, гє[г,„Г], -

Ф, = Г, = |л:|/*(/)л|<1, л = 1,Л;| , і є[/„, / ] ,

ф, = и; = |л:х'п(і)х < (У21, і є[л,,/'],

де —неперервні вектор-функціі розмірності п\ у/(х,і) —

скалярна функція, неперервна по і разом зі своїми частинними похідними за компонентами вектора V, Т, — замкнена опукла множина при будь-якому І , що містить внутрішню точку ,ї(/) = 0.

Наведені в даному параграфі критерії практичної стійкості за напрямком використовувались при створенні алгоритмів чисельної побудови оптимальних за об'ємом областей практичної стійкості.

Другий розділ присвячено розробці критеріїв для аналізу практичної стійкості та конструктивним алгоритмам побудови оптимальних за об'ємом областей практичної стійкості. Критерії отримані з використанням апарату неднференційовних функцій Ляпунова на базі доведених загальних теорем практичної стійкості.

В п'ятому параграфі розглядаються критерії стійкості лінійних систем для різних класів фазових множин Н| . Для облас-

ті практичної стійкості (7^ справедливе

Твердження 5.1. Для того, щоб система диференціальних рівнянь (3) була |Со’,Ч'р/0,г| -стійкою, необхідно і достатньо, щоб виконувалось співвідношення:

[Т|?л|а(л-МИ </>!<= {^(л,/) < і} , і є[г,„ 7’] , (13)

Де х (r,i0) нормована матриця фундаментальнії* розв'язків системи (.4).

Для деяких конкретних рк можна визначити умови виконання співвідношення (13), використовуючи методи нелінійного програмування. Наприклад, наведемо достатні умови практичної стійкості, коли

рк=х’Вк\\ к = \.іп. де Ик відомі, додатньо-визначені матриці розмірності п х п .

Твердження 5.2. Для того, щоб система диференціальних рівнянь

(3) була |с?0'’,Г,,?о,7 j -стійкою, достатньо, щоб справджувалась умова:

р~ < rnijL min шіа_| y'.Ql V,І’ (14)

де о;1 -симетрична пхп матриця, іцо задовольняє матричному диференціальному рівнянню

^■ = A(i)Q;l + Qt-lA-(t). Qtl(ea)=ßt,k = [^- (15)

Якщо т =1 , то твердження 5.2 визначає необхідну та достатню умо-

ву |G0f,r,,f0,r І -стійкості.

Твердження 5.3. Для того, щоб система (3) була |g0'. Ч',,і0,Т J -стійкою, достатньо, щоб виконувалась нерівність:

2. • ■ • (rg’(rt.r)/)2 (lfi)

р < min min mm —г--:;—■.-- ’ ми/

4-І.и іф:.г] /(ІЦ-0 g (rl.t)QH g(rl , /)

де / —довільний вектор з простору Е", г — додатня скалярна

функція, що є розв’язком рівняння y/{rl,t)= 1 для будь-яких ґ та І ,

g{rl.t)= gradxy(rl,t) ■

Аналогічно записуються достатні умови ^'.іг,,r0,7 J -стійкості. Також були отримані достатні оцінки практичної стійкості для множини початкових умов Gq та фазових обмежень Г,

Твердження 5.5. Для того, щоб система (3) була ,,п% Г,,/0,Т } -стій-

кою, достатньо, щоб виконувалась оцінка:

У я,,1 'о)|"т т~ < °г = чип.•/)(/)(; '■

' ' ‘АЛ, івг. Г > » = і V і

7=1 ' 1 1

до (/ (-.причті мат])ііці 0(/) . що <- розв'язком матричного дифе-

ренціального рівняння

= -Л'<2 -О.-!, С/ (л,) = й • (18)

»їли фазсиих обмежені) Ч' доведені достатні умови практичної стій-

кості.

Твердження 5.6. Для того, щоб система (3) була {Я,,м,1Р(,?0,7’} -стііікою, достатньо щоб виконувалась умова:

N7 : , І І ’ . - \Ч (гі.і)і) ^19)

/ 1 'о )-----<с = т|п піт ——----------;----;—;--------г' "•'ї

1 Ч л, -Ф:Г]І 71-1. г (г/л)0.;)г(г/>г)

В шостому параграфі представлені критерії практичної стійкості розв'язків відносно збурень правих частин. Твердження отримані на основі загальних теорем про практичну стійкість завдяки представленню розв’язків системи (4) у формі Коші.

і' сьомому параграфі розглядаються задачі практичної стійкості нелінійних систем вигляду

<20>

на замкнених множинах фазового простору Г, Ч*. В фазовому просторі, що визначається повною системою лінійно-незалежних функцій з заданими властивостями, узагальнюється поняття (а0, Г,г0,Г} - та

{о0, 4*.і0.Т } -стійкості. Тоді дослідження практичної стійкості системи (20)

зводиться до визначення умов {о0, Г,.г0,Г } - та |о0, Ч',,/0,7’ } -стійкості руху лінійних систем більш високого порядку, ніж порядок системи (20). Тут

Г(,Т| визначають множини в новому фазовому просторі.

У восьмому параграфі розглядаються чисельні алгоритми побудови оптимальних за об'ємом областей практичної стійкості в заданих структурних формах багатогранника, еліпса, узагальненого еліпсоїда та узагальненого паралелепіпеда. При цьому точки, що визначають границю області практичної стійкості, знаходимо за до-

ііомогиі« описаних і) параграфі 4 критеріїв практичної стійкості за напрямком. Знайдені точки апрокснмуємо вказаними множинами, знаходячи елементи матриці», що визначають еліпсоїд, узагальнений еліпсоїд чи узагальненні! паралелепіпед.

В параграфі 9. на основі аналізу фазових портретів лінійної стаціонарної системи, записані аналітичні формули оптимальних областей практичної стійкості для двовимірного фазового простору та лінійних фазових обмежень. Для даних систем досліджується оптимальна структура недиференційовних функцій Ляпунова. Запропоновано алгоритм побудови області'!! практичної стійкості в залежності від власних чисел матриці лінійної системи.

В третьому розділі досліджуються деякі матричні задачі параметричної оптимізації.

Параграф 10 присвячений дослідженню задач параметричної оптимізації матричних диференціальних рівнянь. Для чисельного розв'язування поставлених задач ітераційшіми методами записані градієнти розглянутих функціоналів за матричними параметрами, точками переключення та початковими умовами. Представлені необхідні умови оптимальності функціоналів.

В одинадцятому параграфі розглядаються задачі мінімаксної параметричної оптимізації для матричного диференціального рівняння

= Q(tí))=R(B), (21)

з фазовими обмеженнями

^ = {е(0:Ф(0)20}- <22)

При розв'язуванні задачі знаходження оптимальної матриці параметрів, що задовольняє мінімаксному критерію

;И = тачф(Є(Г,ВХ)) -> ті п (23)

виділяється множина Мв матриць В , для яких тахф(2(7\В,;.)) = /(;.).

гірип ускаеться, що область значень параметрів І)1 має властивість: для кожного існує опуклий конус К/ з вершиною

в точці Ь.

На базі знайдених похідних функціоналу па напрямком представлені необхідні умови онтимальності в матричній формі.

Теорема 11.1. Для того, щоб матриці параметрів L та траєкторії Q(t) були оптимальними в смислі мінімуму функціоналу /(/,) , необхідно існування такої ненульової неперервної матричної функції I’(t). щоб HiiKoiivna.'iiich vmoihi:

<1П(і) сі,,, \ *, л cll(O.P,L,t)

■ 4.f (о)=- ^ '■

Р Г =------" , (24)

cQ ■

де //(Q,P,L,f) функція Гамільтона;

2. Якщо для деякого оптимального L траєкторія р раз виходить на обмеження (22), то будь-яка допустима варіація 8L матричного параметра L повинна задовольняти додатковим умовам

tr[ELj, <0, j = 1, р , (25)

ГМ^Т>)) 51Ы . ' *■ ,

траєкторії на обмеження. Співвідношення (25) визначають у

матричному просторі значень DL опуклий конус Kl \

3. Для будь-якого напрямкуSL єKlV\Kl і будь-якого ВеМв варіація функціоналу

Um^bü, *.-]**„. <25)

і \ sl ;

^0

Для розв'язування задачі мінімаксної траєкторної оптимізації

JlL) = шах Ф(0(t, LS) -> min (27)

1 ’ гф„.Г] ^ >> LeJ)L

виділяється множина А/ точок і , в яких

Також отримані необхідні умови оптимальності в матричній

формі.

де ELj = tr

, Гі,..., г.—моменти виходу

Розглянута задача мінімаксної онтимізації за початковими даними

1 (/?) = тах ф(р(г,/?)) -» min . (28)

Область значень DB мас структуру, аналогічну до множини Dl в задачі (23).

Виділяється множина Xi точок ! . :цо заді• «о/іі>иякгп> 4iaxo(ßf,ß))=/(5).

На основі проведених викладок доводяться необхідні умови оптимальності.

Теорема 11.3. Для того, щоб матриці початкових параметрів В та траєкторії були оптимальними в смислі мінімуму функ-

ціоналу і{В), необхідно існування такої неиульової неперервної

матричної функції , t є Л/ , щоб виконувались умови

t <лр(г.ї) ¿(F(e(i).,),p-(,,;))

' dt cQ ’

f,i)

*и0 =—(29)

2. Якщо для деякого В оптимальна траєкторія р раз виходить на обмеження (22), то будь-яка допустима варіація дВ матричного параметра В є Бв повинна задовольняти додатковим умовам

п(евг<5в*)<о, і = \Гр, (ЗО)

Г сіЯ.*(В)

--5--- -ть...,тр —моменти виходу траєкторії

де Ев . = tr

¿О('о) ’ ¿В '

на обмеження. Співвідношення (ЗО) визначають у матричному просторі значень опуклий конус Кв '.

3. Для будь-якого напрямку 5В еКвС\Кв та будь-якого гєМ варіація функціоналу

>//(/\Я.г0.Г) ) (31)

--і-------¿, Л'Л 20'

/К ,,/j функція Гамільгопа, обчислена в початковий

момент часу.

Для 'incivn.мого розв'язування оптіїмізацпімих задач використовується ітграційний метод.

Такий підхід був застосований для розв'язування задач опти-мізації областей практичної стійкості, досліджених у дванадцятому параграфі . При цьому динаміка системи описується матричним диференціальним рівнянням Ляпунова. Для таких задач також записані необхідні умови оптимальності.

Опису програмного забезпечення для розв'язування задач практичної стійкості та його застосуванню у прикладних задачах присвячено четвертий розділ.

В тринадцятому параграфі описано пакет програм Direction, що реалізує розрахунок оптимальних областей практичної стійкості на базі критеріїв стійкості за напрямком. Пункт 13.1 включає опис програми побудови таких областей для лінійних стаціонарних систем. При розрахунках квазіоптимальних областей практичної стійкості для лінійних нестаціонарних систем виникає необхідність в ін-терпритації введених з екрана правих частин системи диференціальних рівнянь. В пункті 13.2 описано модифікований модуль розпізнавання елементарних функцій та операцій. Пункт 13.3 включає аналіз роботи програми Direction в залежності від інтегральних кривих стаціонарної системи. Такий аналіз був доцільним при побудові аналітичних формул оптимальних областей практичної стійкості наведеної системи, що розглядаються в параграфі 9.

Для розрахунку областей практичної стійкості в заданих структурних формах використовувався масив граничних точок стійкості за напрямком, отриманий в процесі роботи програми Direction. Згідно алгоритмів, які описані в параграфі 8, будувалися області стійкості у вигляді еліпса, узагальненого еліпсоїда та узагальненого паралелепіпеда. Створене програмне забезпечення описано в параграфі 11.

Алгоритм, описаний в параграфі 9, був реалізований для створення пакету приграм побудови оптимальних областей практичної

стійкості з урахуванням їх структури. Програмне забезпечення для таких розрахунків описано в параграфі 15.

Викладені результати застосовувались при розв'язуванні задачі оитимізації області захвату частинок у процес прискорений та фокусування за радіальними координатами. В останньому параграфі розглядається задача побудови оптимальної оцінки області захнаіу. Пункт 16.1 включає опис рівнянні» руху іонів у прискорюючій га фокусуючій системах. Задача розрахунку оптимальної за об'ємом області захвату частинок в процес прискорення за постановкою співпадає з задачею побудови екстремальної за об’ємом множини практичної стійкості. В пункті 16.2 для розв'язування задачі оптимального захвату частинок застосовуються розроблені в другому розділі критерії. В пункті 16.3 описане в попередніх параграфах програмне забезпечення застосовується для розрахунку множини захвату частинок в процес прискорення. Граничні точки області захвату обчислюємо за допомогою методу практичної стійкості за напрямком. Побудову області в заданих структурах багатогранника, еліпса, узагальненого еліпсоїда або узагальненого паралелепіпеда реалізуємо, використовуючи описані в параграфах 13 та 14 програмні модулі.

В додатку наводяться малюнки оптимальних областей практичної стійкості для різних фазових обмежень, отримані в процесі реалізації чисельного експерименту.

ОСНОВНІ ВИСНОВКИ РОБОТИ

1. Узагальнені основні теореми практичної стійкості на випадок недиференцшовних функцій Ляпунова.

2. На основі теоеретичних досліджень для широкого класу динамічних систем отримані критерії практичної стійкості.

3. Для лінійних стаціонарних систем другого порядку досліджена структура та розроблені аналітичні формули для побудови оптимальних областей практичної стійкості.

4. Досліджені задачі мінімаксної оитимізації матричних диференціальних рівнянь при обмеженнях на фазові змінні. Отримані необхідні умови оптимальності та запропоновані конкретні алгоритми розв'язування цих задач. Розвинуті в даній роботі методи застосовуються для оитимізації динаміки пучка трекгорій, що описується матричним диференціальним рівнянням Ляпунова.

5. Для чисельного розв'язування задач практичної стійкості створене програмне забезпечення.

(і. Отримані в роботі результати застосовувались при розв'язуванні задач онтимізації області захвату частинок v процес прискорення та фокусування за радіальними координатами.

Роботи автора за темою дисертації

1. Матвиенко В.Т., Осішчук М.В. О конструировании малочувствительных регуляторов и построении максимальных по объему областей практический устойчивости. -13 кн.: Актуальные проблемы современного приборостроения. Сборник тезисов.докладов II Всесоюзной научно-технической конференции. Москва, 1988г. с. 18.

2. Garaschenko F.G., Osipchuk M.V. On estimation of the sta-

bility areas with maximal volume. - В кн.: Украинская конференция: Моделирование и исследование устойчивости систем. Киев, 1993, Ч.II с.72-73. '

3. Осипчук М. В. Оценка оптимальных областей практической устойчивости с помощью недифференцируемых функций Ляпунова. - В кн.: Метод функций Ляпунова и его приложения. Крымская осенняя математическая школа. Алушта, 1993. с.44.

4. Осипчук М. В. Использование недифференцируемых функ-

ций Ляпунова для анализа задач практической устойчивости. — В кн.: Украинская конференция: Моделирование и исследование

устойчивости систем.Киев, 1994. с. 100.

5. Осипчук М.В. Исследование задач практической устойчи-

вости с помощью недифференцируемых функций Ляпунова. Деп. в УкрИНТЭИ 21.07.92 #1111-Ук92.'11 с. ' '

6. Осипчук М.В. Дослідження задач практичної стійкості за допомогою недиференційовних функцій Ляпунова. Вісник Київського університету. Моделювання і оптнмізація складних систем. 1993. „Ч?І, с. 102-110.

7. Гаращенко Ф.Г., Куценко И.А., Осипчук М.В. Оптималь-

ное проектирование систем ускорения и фокусировки на основе дискретных математических моделей. Сб.: Кибернетика и вычислительная техника. Дискретные системы управления. 1994. вып. 101, с.89-ЮЗ. '

Оснпчук М.В

Исследования задач практической устойчивости с помощью недифференциру'мых функций Ляпунова , оптимизация оценок и их применение. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.16-Прнменение вычислительной н-хники. математического моделирования н математических методов в научных исследованиях. Киевский национальный университет, Киен. ИМИ.

Диссертация содержит сведения, нашедшие отражение в семи "публикованных работах автора. Основными результатами диссертации являются критерии практической устойчивости, полученные на основе аппарата недифференцируемых функций Ляпунова, аналитические оценки оптимальных областей практической устойчивости для линейных стационарных систем второго порядка. Для задач минимаксной оптимизации матричных диференцнальных уравнений при ограничениях на фазовые переменные получены необходимые условия оптимальности н предложены алгоритмы решения.

Разработанное алгоритмическое и программное обеспечение применялось для решения задач оптимизации динамики пучков заряженных частиц.

Marina Osipchuk

The Practical Stability Problem Investigations by means of Nonsmooth Liapunov Functions, Estimate Optimization and their Application. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, speciality 05.13.16 Application of Computers. Mathematical Modelling and Mathematical Methods in Research. Kiev National University, Kiev. 1994.

The thesis contains of information published in the seven author's papers. The main results achieved are the practical stability criteria delivered on the basis of nonsmooth Liapunov function apparatus, the analitical estimations of the optimal practical stability areas for second order linear steadystate systems. The necessary optimality conditions are received for the minimax optimization problem ot matrix differential equations with constraints on phase variables. The solution algorithms are suggested. The developed algorithms and software were used for the solution of the charged particle beam dynamic optimization problem.