автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование устойчивости по Хиллу в математических моделях задачи трех тел

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ.

§1.1. О математических моделях Небесной механики.

§1.2. Задача трех тел — классическая модельная задача.

§1.3. Дифференциальные уравнения ньютоновой задачи трех тел и их интегралы.

§1.4. Ограниченная круговая задача трех тел;

Интеграл Якоби.

§1.5. Обзор некоторых качественных исследований в общей Задаче трех тел.

ГЛАВА II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ ОТ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ К ОГРАНИЧЕННЫМ ЗАДАЧАМ

§2.1. Объединение интегралов энергии и площадей в математической модели общей задачи трех тел.

§2.2. Необходимые и достаточные условия существования лагранжево частных решений в общей задаче трех тел.

§2.3. Вывод интеграла типа Якоби в математических моделях ограниченной задачи трех тел.

§2.4. Новый способ получения интеграла Якоби.

§2.5. Линейные размеры поверхностей Хилла.

§2. 6 Области возможности движения в ограниченной эллиптической задаче трех тел.

ГЛАВА JIJ. АБСОЛЮТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ХИЛЛУ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЩЕЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ.

§3.1. Скорость изменения барицентрического момента инерции в движениях лагранжевого типа.

§3.2. О параметрах, входящих в уравнение орбиты движения лагранжевого типа.

§3.3. Уравнение границы областей возможности движения для одного из тел.

§3.4. Новая методика определения абсолютной устойчивости по Хиллу в общей задаче трех тел.

§3.5. Второй вариант уточнения уравнения Голубева.

ГЛАВА IV. РАСЧЕТ ПРИМЕРОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ.

§4.1. Задача Солце-Земля-Луна.

§4.2. Интеграл типа Якоби в ограниченной эллиптической задаче трех тел.

§4.3. интеграл типа Якоби в ограниченной гиперболической задаче трех тел.

§4.4. Установление устойчивости по Хиллу в круговой ограниченной задаче без вычисления критических энергий.

§4.5. Ограниченная эллиптическая задача трех тел

Солнце-Земля-Луна

Настоящая диссертация посвящена качественным исследованиям математических моделей классической задачи трех тел в случае отрицательной постоянной энергии. Из первых интегралов задачи выводятся следствия, справедливые для любых моментов времени и касающиеся свойств взаимных расстояний и скоростей. Уста-пав ливг — ч взаимосвязь между основными соотношениями разных математических моделей задачи трех тел.

Актуальность темы. Непреходящая актуальность исследований по проблемам, связанным с фундаментальными понятиями классической небесной механики, несомненна. Очевидно, что научно обоснованные результаты, получаемые при такого рода исследованиях, будут справедливы на бесконечных промежутках времени и могут быть приложимы не только для решения практических проблем изучения космоса, но и для решения задач космогонии, астрофизики^ теории устойчивости движения небесных тел и т.д.

Вопросы, связанные с задачей об устойчивости Солнечной системы, являются предметом исследований математиков и механиков, начиная с Лагранжа и Лапласа [49]-[50]. Именно из этой неприступно сложной математической проблемы выделен ряд более частных, например, тех, которые изучаются в теории устойчивости по Хиллу в математических моделях ограниченной и общей задач трех тел [9],[30]. В научной литературе лишь в рамках круговой ограниченной задачи трех тел эти вопросы изучены в полном объеме. В других математических моделях ограниченных задач (эллиптической и гиперболической) вопрос устойчивости по Хиллу вовсе не рассматривался. Однако с точки зрения прикладных проблем изучения космоса вопрос устойчивости по Хиллу, например, в математической модели ограниченной эллиптической задачи трех тел мог бы иметь даже большее значение, чем в математической модели краевой ограниченной задачи, т.к. в природе не существует идеально кругового варианта ограниченной задачи.

Ввиду изложенного являются актуальными результаты настоящей диссертации, обобщающие известные из научной литературы результаты, полученные для математической модели круговой ограниченной задачи, на математическую модель произвольной ограниченной задачи.

В рамках математической модели общей задачи трех тел вопросы устойчивости по Хиллу изучались, в основном, московским ученым Голубевым В.Г. [6]-[9]. Аналогичными проблемами занимались Marchal С. (Франция) и Saari D.G. (США) [47].

Необ^^имо, однако, отметить, что в работах этих ученых не было дано точного уравнения кривых, ограничивающих области возможности движения какого-либо из тел системы по отношению к двум другим в рамках математической модели общей задачи трех тел, т.е. такого уравнения, которое бы являлось в общей задаче трех тел полным аналогом известного уравнения Хилла для кривых нулевой скорости в ограниченной круговой задаче трех тел.

Сделанные ими те или иные допущения и упрощения приводят к некоторому огрублению получаемых результатов. Например, в задаче Солнце—Земля—Луна теория Голубева В.Г. [8] дает полное отсутствие зон невозможности движения для Луны в любой момент времег "отя такие зоны, как показано в данной работе, должны существовать.

Актуальность настоящей работы связана с необходимостью получения точного уравнения указанных кривых (чтобы затем применить его к проблеме устойчивости по Хиллу в математической модели общей задачи трех тел).

Цель работы — изучение взаимосвязи математических моделей общей и различных вариантов ограниченных задач трех тел, получение (в случае отрицательной постоянной энергии и ненулевого вектора момента количества движения) из классических интегралов возможно более общих качественных сведений по проблеме устойчивости по Хиллу в математической модели общей задачи трех тел и исследование некоторых других задач из области небесной механики и космодинамики, имеющих прикладной характер.

Методика исследований. Для обоснования взаимосвязи математических моделей общей и различных вариантов ограниченных задач трех тел используется методика предельного перехода.

При изучении проблемы устойчивости по Хиллу в математической модели общей задачи трех тел используется методика, разработанная В.Г.Голубевым [6]-[9]. В эту методику внесены существенные изменения и дополнения, которые позволяют уточнить полученные В.Г.Голубевым результаты.

Оказалось, что достаточно содержательные качественные следствия можно получить не столько из самих классических интегралов, сколько из их сочетаний, т.е. из соотношений, построенных на их основе. Эта идея и составила основу методики наших исследований.

Научная новизна. Впервые показана возможность и найдены условия обращения известного в небесной механике неравенства Сундмана в равенство. Доказаны необходимость и достаточность тождественного выполнения равенства в неравенстве Сундмана для существования лагранжево частных решений в общей задаче трех тел. Интеграл Якоби математической модели ограниченной круговой За.,.трех тел получен из интегралов движения математической модели общей задачи трех тел новым предельным переходом (при стремлении одной из трех масс к нулю).

Для математической модели произвольной ограниченной задачи трех тел получено соотношение, аналогичное интегралу Якоби ограниченной круговой задачи трех тел, накладывающее общие ограничения на координаты и компоненты скорости точки бесконечно малой массы. Полученное соотношение в случае круговой задачи обращается в обычный интеграл Якоби. Таким образом, найдено обобщение интеграла Якоби, справедливое во всех без исключения ограниченных задачах трех тел. Впервые рассмотрен вопрос об областях типа Хилла в рамках ограниченной эллиптической задачи, построена методика исследования устойчивости по Хиллу в этой задаче. Найдено условие, которое выполняется при попадании частицы малой массы на граничные многообразия в рамках ограниченной эллиптической задачи трех тел.

Для математической модели общей задачи трех тел найден точный аналог уравнения Хилла для кривых нулевой скорости (известных в математической модели ограниченной круговой задачи трех тел). С помощью полученного уравнения задачи доказана абсолютная устойчивость по Хиллу движения Луны в системе Солнце-Земля-Луна. При этом найдены два взаимо-преобразуемых варианта уточнения уравнения Голубева В.Г. для областей возможности движения в общей задаче трех тел. Кроме того, предложена принципиально отличная от методики Голубева новая методика определения абсолютной устойчивости по Хиллу в общей задаче трех тел.

Новые результаты проанализированы на согласование с известными результатами. Некоторые из них проиллюстрированы примерами.

Практическая ценность работы - в результативности методик, примененных к математическим моделям ограниченных задач общей задачи трех тел.

При численном интегрировании дифференциальных уравнений движения, ^^сывающих математические модели небесной механики, важное значение имеет контроль верности вычислений. Только имея возможность такого контроля, можно быть уверенным, что орбита в рассматриваемой математической модели строится верно. До сих пор имелась возможность такого контроля лишь в рамках математической модели круговой ограниченной задачи трех тел (благодаря наличию в этой задаче интеграла Якоби).

Выводом в настоящей работе соотношения, обобщающего интеграл Якоби на другие типы ограниченных задач, дан способ контроля верности вычислений и в этих задачах, например, в ограниченной эллиптической задаче трех тел. В частности, при изучении эволюции орбиты спутника в задаче Земля—Луна—Спутник дана возможность контроля точности вычислений с учетом эллиптичности орбиты Луны.

Предложенная методика исследования устойчивости по Хиллу в рамках ограниченной эллиптической задачи позволяет точнее, чем ранее, оценивать устойчивость по Хиллу движения искусственных спутников Земли (в задаче Солнце-Земля-Спутник) и Луны (в рамках задачи Земля-Луна-Спутник).

Новые результаты настоящей работы, относящиеся к математической модели общей задачи трех тел, в принципе позволяют уточнить подход к проблемам космогонии и Небесной механики, в частности, к анализу абсолютной устойчивости по Хиллу.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Доказательство возможности и нахождение условий достижения равенства в неравенстве Сундмана.

2. Получение необходимых и достаточных условий существования лагранжево частных решений в общей задаче трех тел.

3. Вывод интеграла Якоби для математической модели ограниченной круговой задачи трех тел непосредственно из интегралов движения в общей задаче трех тел.

4. Обобщение понятия интеграла Якоби, известного для ограниченной круговой задачи трех тел, на другие ограниченные задачи трех тел.

5. Исследование устойчивости до Хиллу в ограниченной эллиптической задаче трех тел.

6. Доказательство абсолютной устойчивости по Хиллу движения Луны в рамках ограниченной эллиптической задачи трех тел Солнце-Земля-Луна.

7. Уточнение в общей задаче трех тел уравнения кривых, ограничивающих области возможности движения одного из тел относительно двух других.

8. Доказательство абсолютной устойчивости по Хиллу движения Луруы ^ рамках математической модели общей задачи трех тел (задача Солнце—Земля—Луна).

Апробация работы. Настоящая работа охватывает результаты, полученные в течение продолжительного промежутка времени. Основные результаты докладывались и обсуждались в разное время в период 1975—1990 гг., на научных семинарах "Небесная механика и ко см о динамика" (руководитель семинара — проф. 1Демин В.Г.}) и "Механика космических полетов" (руководитель семинара — проф.

Егоров В.А. ) кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Выносимые на защиту результаты докладывались и обсуждались также на Апрельских научных конференциях профессорско-преподавательского состава пурган-Тюбинского пединститута (1980—1998 гг.), на республиканских конференциях молодых ученых и специалистов Таджикистана (Душанбе — 1985 г., Курган-Тюбе — 1991 г.), на научной конференции по "Дифференциальным уравнениям с частными производными и их приложениям" (Курган-Тюбе, 12—20 ноября 1997 г.), на международной конференции по "Математическому моделированию и вычислительному эксперименту", посвященной 50-летию ТГНУ (Душанбе, 1998 г.).

Публикации. Результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях автора:

1. Вывод неравенства Сундмана и интеграла Якоби из интегралов движения общей задачи трех тел. Письма в АЖ, т.З, № 1, с. 43 46, Москва, 1977.

2. Движение спутникового вида в предельном варианте ограниченной гиперболической задачи трех тел. Республиканская научно-теоретическая конференция молодых ученых и специалистов Таджикской ССР. Тезисы докладов. (Секция физико-математических наук), с. 73-74, Душанбе, 1985.

3. Оценка снизу величины скорости в ограниченной круговой задаче трех тел. Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Таджикистана, с. 91, Курган-Тюбе, 1991.

4. Об Областях возможности движения в общей задаче трех тел. Научная конференция по дифференциальным уравнениям с частными производными и их приложениям. Тезисы докладов, с. 57, Курган-Тюбе, 1997.

5. Движение спутникового вида в предельном варианте ограниченной гиперболической задачи трех тел. Докл. АН Респ. Таджикистан, т.ХЬ, К9 8, Душанбе, 1997.

6. К вопросу об интегралах движения в ограниченных задачах трех тел. Материалы международной конференции по математическому моделированию и вычислительному эксперименту, посвященной 50-летию ТГНУ, с. 16, Душанбе, 1998.

7. К вопросу об областях невозможности движения в общей задаче трех тел. Докл. АН Респ. Таджикистан, т.XL/, JV8 9, Душанбе, 1998.

8. К вопросу о существовании интеграла движения в ограниченных задачах трех тел. Докл. АН Респ. Таджикистан, T.XL7, № 10, Душанбе, 1998.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 50 названий и приложения. Общий объем работы 115 стр., из них 90 стр. основного текста, 2 стр. заключения, 5 стр. списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В пространственном случае общей задачи трех тел материальных точек тьгд2,га3 получены необходимые и достаточные условия существования известных лагранжево частных решений (в том числе и тех, в которых взаимные расстояния изменяются).

2. Предложен новый способ доказательства неравенства Сундмана и получены необходимые и достаточные условия его обращения в равенство. Оказалось, что эти условия совпадают с аналогичными условиями существования лагранжево частных решений.

3. Доказано существование интеграла типа Якоби в любой ограниченной задаче трех тел (не только в круговой), который имеет вид:

1 2 г,дЩ. дщ. тт где Н - const, w—скорость малой частицы т3 в барицентрической невращающейся системе координат, U* = + —силовая функция задачи, г 13 = |raira3|, r23 = |m2m3|, ж2,г/2—координаты точки га2 в mi-центрической системе координат, (ж2,у2) — компоненты скорости, / — постоянная тяготения.

Интеграл Якоби в ограниченной круговой задаче трех тел получен непосредственно из интегралов движения общей задачи трех тел с помощью предельного перехода при т3 —> 0.

4. Предложен новый подход к проблеме устойчивости по Хиллу в круговой ограниченной задаче трех тел, заключающийся в установлении такой устойчивости без вычисления критических энергий.

5. Исследовано явление устойчивости по Хиллу движения частицы ш3 в ограниченной эллиптической задаче трех тел. Доказано, что условию «з = 0 в круговой ограниченной задаче, соответствующего моменту попадания частицы ш3 на границу области возможности движения во вращающейся системе координат, в ограниченной эллиптической задаче соответствует условие:

2 ГпГпРР

V = -2-,

12 где г 12 и р—соответственно расстояния |mi"m2| и |Oi2m3|, Оп—барицентр системы тел гаьга2.

6. Вопрос об устойчивости по Хиллу движения Луны в системе Солнце-Земля-Луна исследован в рамках ограниченной эллиптической задачи трех тел и показано, что граничное многообразие содержит в этом случае точку либрации L\.

7. Даны два взаимно-преобразуемых варианта уточнения известного уравнения Голубева граничного многообразия в общей задаче трех тел. Уточненные уравнения позволяют предельно точно устанавливал (или опровергать) наличие абсолютной устойчивости по Хиллу движения точки ш3.

8. Предложен принципиально отличный от методики Голубева подход к выявлению абсолютной устойчивости по Хиллу в неограниченной задаче трех тел (с помощью понятия средних расстояний), когда задача сводится, по-существу, к вычислению коэффициентов и решению квадратного уравнения.

9. Вопрос об абсолютной устойчивости по Хиллу движения Луны в системе Солнце-Земля-Луна исследован в рамках общей задачи трех тел и с помощью уточненного уравнения Голубева, и с помощью новой методики. Показано, что граничное многообразие содеротт точку либрации L\.

1. Абалакин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. "Наука", М., 1971.

2. Аразов Г.Т., Демин В.Г. "Об одном предельном случае гиперболической задачи трех тел". Циркуляр Шемахинской астрофизической -^".ерватории. № 4, 1970, с. 10-13.

3. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Перев. с англ. под ред. А.А. Маркова, В.В.Немыцкого и В.В.Степанова. Гостехиздат, 1941.

4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. "Наукова Думка", Киев, 1969.

5. Bruns Н. Uber die Integrale des Vielkorper-Problems. Acta Mathe-matica, II, 1887.

6. Голубев В.Г. Об областях невозможности движений в задаче трех тел. ДАН СССР, т.174, № 4, 1967.

7. Голубев В.Г. Об устойчивости по Хиллу в неограниченной задаче трех тел. ДАН СССР, т.180, № 2, 1968.

8. Голубев В.Г. Об устойчивости по Хиллу в неограниченной задаче трех тел. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. ф.-м. наук, МЭИ, 1972.

9. Голубев В.Г., Гребеников Е.А. Проблема трех тел в Небесной механике. М., Изд-во МГУ, 1985, 240 с.

10. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. "Наука", М., 1971.

11. Демин В.Г. Судьба солненчой системы. "Наука", М., 1969.

12. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. Гос. изд-во физ.-мат. литературы. М., 1963.

13. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. "Наука", М., 1964.

14. Иод ред. Г.Н. Дубошина. Справочное руководство по небесной механикеи астродинамике. "Наука", М., 1971.

15. Егоров В.А. К вопросу о захвате в ограниченной круговой проблеме трех точек. — ИСЗ, вып.З, 1959, с.4-12.

16. Егоров В.А., Гусев Л.И. Динамика перелетов между Землей и Луной. "Наука". М., 1980.

17. Журавский A.M. Справочник по эллиптическим функциям. Изд-во АН СССР, 1941.

18. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во ЛГУ, Л., 1955.

19. Мак-Лахлан Н.В. Теория и приложения функций Матье. ИЛ , М., 19оо.

20. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Гостехиздат, М., 1952.

21. Рахимов Ф.С. К вопросу об интегралах движения в ограниченных задачах трех тел. Материалы Международной конф. по математическому моделированию, с. 16', 1998, Душанбе.

22. Рахимов Ф.С. Вывод неравенства Сундмана и интеграла Якоби из интегралов движения общей задачи трех тел. Письма в АЖ, т.З, № 1, с.43-46, М., 1977.

23. Рахимов Ф.С. Оценка снизу величины скорости в ограниченной круговой задаче трех тел. Материалы респ. науч.-прак. конф. молодых ученых и специалистов Таджикистана, с.91, Курган-Тюбе, 1991.

24. Рахимов Ф.С. Об областях возможности движения в общей задаче трех тел. Науч. конф. по дифф. уравнениям с частными производными и их приложения. Тезисы докладов, с.57, Курган-Тюбе, 1997.

25. Рахимов Ф.С. Движение спутникового типа в предельном варианте ограниченной гиперболической задачи трех лет. Докл. АН Респ. Таджикистан, т. XL, № 8, Душанбе, 1997.

26. Рахимов Ф.С. Об областях невозможности движения в общей задаче трех тел. Докл. АН Респ. Таджикистан, т. XLI, N5 9, Душанбе, 1998, с.89-94.

27. Рахимов Ф.С. К вопросу о существовании интеграла движения в ограниченных задачах трех тел. Докл. АН Респ. Таджикистан, т. XLI, № 10, Душанбе, 1998, с.76-81.

28. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. ИЛ., т. /,//, М., 1954.30. ьуоботин М.Ф. Курс Небесной механики, т.//., ОНТИ, Л. М., 1937.

29. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. "Наука". М., 1968.

30. Sundman К. Me'moire sur le proble'me des trois corps. Acta Math. 36, 1912.

31. Слудский Ф.А. К задаче о многих телах. Мат. сборник, т.IX, 1878.

32. Смирнов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Физмат-гиз, М., 1959.

33. Hill G.W. Researches in the Lunar Theory. Amer. Journ. of Mathem., I, 1878.

34. Смарт У.М. Небесная механика. Перев. с англ. "Мир", М., 1965.

35. Уинтнер А. Аналитические основы небесной механики. Перев. с англ. "Наука", М., 1967.

36. Хильми Г.Ф. Качественные методы в проблеме п тел. Изд-во1. АН СССР, М., 1958.

37. Chasy F. Comptes Rendus, 168, 1919.

38. Шинкин В.Н. Об интегрируемых случаях планетной задачи трех тел при резонансе первого порядка. Космич.исследования, 1992, т.ЗО, вып.4, с.455—461.

39. Шинкин В.Н. Бифуркации сепаратрис в осредненной планетной задаче трех тел при резонансах первого и второго порядков. Астрон.вестн., 1993, т.27, № 4, с.109—115.

40. Шинкин В.Н. Интегрируемые случаи осредненной пространственной ограниченной круговой задачи трех тел при резонансе второго порядка. Космич.исследования, 1994, т.32, N2 3, с. 124—127.

41. Шинкин В.Н. Интегрируемые случаи неограниченной и ограниченной эллиптической пространственных задач трех тел при резонансах высших порядков. Космич.исследования, 1995, т.ЗЗ, № 3.

42. Шинкин В.Н. Спутниковый вариант задачи трех тел при резонансах второго и третьего порядков. Космич.исследования, 1995, т.ЗЗ, № 4.

43. Якоби К. Лекции по динамике. Перев. с нем. ОНТИ, 1936

44. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. "Наука", М., 1972.

45. Christian Marchal, Donald G.Saari. Hill regions for the general three-body problem. Celestial Mechanics, 12 (1975) 115-129.

46. P~ware' H. Les me'thodes nouvelles de la me'canique ce'leste, I, Paris, 1892

47. Lagrange J. Mecanique analytique, P., 1788.

48. Laplace P., Traite de mecanique celeste, t.l, P., 1798.