автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование стабилизирующих управлений для уравнений Хилла и Матье

На правах рукописи

Учватова Наталья Николаевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ХИЛЛА И МАТЬЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 2006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Щенников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.Т. Терехин

кандидат физико-математических наук, доцент П.А. Шаманаев

Ведущая организация: Балтийский государственный технический

университет («Военмех») имени Д.Ф. Устинова

Защита состоится 1 марта 2006 года в 14 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета КМ 212.117.07 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68,225 ауд. (1 корп.).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан 25 января 2005 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

J1.A. Сухарев

аооб/А 2-ОЙ 5-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Известно, что математическое моделирование применяется в научных исследованиях и при решении прикладных задач в различных областях науки и техники. Эта методология основана на изучении свойств и характеристик объектов различной природы посредством исследования их естественных или искусственных аналогов (моделей).

В процессе проведения компьютерного эксперимента удается выявить степень влияния воздействий на исследуемый объект, т.е. удается проводить исследование математической модели при параметрических и постоянно действующих возмущениях, зависимости решения от того или иного параметра. Это позволяет целенаправленно использовать теорию управления для получения необходимых свойств математической модели. Наличие или отсутствие тех или иных качественных свойств математической модели свидетельствует о возможности или невозможности создания модели, обладающей требуемыми свойствами. Так, например, если построенная модель удовлетворяет определенным критериям качества, но не будет устойчивой, то она и не будет «работоспособной».

Представляет значительный интерес исследование управляемых математических моделей, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами, так как многие динамические процессы моделируются указанными дифференциальными уравнениями. Во многих случаях законы механики, управляющие теми или иными процессами, могут быть выражены в форме дифференциальных уравнений второго порядка, а расчет этих процессов сводится к их решению. В частности, исследование динамических процессов источников света, а также изучение механизмов и узлов машин и агрегатов легкой и химической промышленности приводят к задаче исследования

устойчивости и неустойчивости, колеблемости и неколеблемости решений уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом х + p(t)x = 0.

Исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго порядка, поставило исследователей перед необходимостью создания математического обеспечения ПЭВМ, которое позволило бы эффективно решать вопросы прочности и устойчивости. Вследствие отсутствия точных методов решения указанных уравнений исключительно важная роль принадлежит качественной теории данных уравнений.

Развитию качественных методов исследования поведения решений указанных уравнений посвящены научные работы выдающихся ученых математиков, механиков и инженеров (А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, A.A. Андронов, Н.Е.Жуковский и др.)

Их исследования и поныне продолжаются и развиваются, особенно вопросы колеблемости и устойчивости. Фундаментальный вклад в развитие теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами внесли М.Г. Крейн, Н.П. Еругин, В.А. Якубович, В.М. Старжинский, И.Г. Малкин, К.Г. Валеев, Н.В Адамов, А.Ф. Зубова, Н.В. Азбелев и его ученики, И.В. Каменев, И.Т. Кигурадзе, K.P. Коваленко, М.Г. Крейн, И.М. Гельфанд, В.Б. Лидский, В.А. Кондратьев, М. Бартушек, А.И. Булгаков, Б.А. Сергеев, Ю.И. Домшлак, И.И. Ендовицкий, Д.В. Изюмова, Я. Курцвейль, Ч.А. Скаляхо, Т.А. Чантурия и др.

Следует отметить, что в современном мире информационных технологий важным фактором любой теории (в том числе и теории устойчивости) является возможность автоматизации исследования устойчивости.

Следует отметить, что актуальной проблемой является развитие методов математического моделирования стабилизирующих управлений и

решения задачи оптимальной стабилизации программного движения

j

(переходного процесса) уравнений Хилла и Матье.

Задачи математического моделирования стабилизирующих управлений программного движения на уровне существования и единственности линейных периодических систем затрагивались в работах В.И. Зубова, Е.Я. Смирнова и С.С. Войтенко, Е.Л. Тонкова, В.Н. Лаптинского, В.М. Морозова. На базе развитой качественной теории поведения решений уравнений Хилла и Матье и с учетом специфики названных уравнений, является важным развитие теории оптимальной стабилизации применительно к названным уравнениям и разработка практических способов решения задачи оптимальной стабилизации.

Целью данной работы является исследование математических моделей управляемых динамических процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами и разработка способов математического моделирования стабилизирующих управлений, включая и оптимальную стабилизацию программного движения при наличии постоянно действующих возмущений.

Методика исследования и степень обоснованности научных результатов. Исследование устойчивоподобных (устойчивость, асимптотическая устойчивость, ограниченность, стабилизация до устойчивости и асимптотической устойчивости, оптимальная стабилизация управляемых систем) свойств решений линейных управляемых дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами при отсутствии и наличии постоянно действующих возмущений проводится на основе общей теории указанных уравнений, математической теории устойчивости и теории стабилизации. Все утверждения диссертации обоснованы на должном математическом уровне и даны их полные доказательства.

Научная новизна. Решена задача математического моделирования стабилизирующих управлений для дифференциального уравнения второго

порядка с тем, чтобы его решения принадлежали (л-1) и п- зоне устойчивости. Составлены алгоритм и программа определения принадлежности решения дифференциального уравнения второго порядка п-зоне устойчивости или неустойчивости. Разработан метод математического моделирования стабилизации (до асимптотической устойчивости) программного движения для дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами, а также решения задачи оптимальной стабилизации для дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами при наличии постоянно действующих возмущений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанные методы математического моделирования с целью решения задач стабилизации до устойчивости и асимптотической устойчивости управляемого дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами (управляемого уравнения Хилла), а также решения задачи оптимальной стабилизации управляемого уравнения Хилла являются развитием математических методов теории управления динамических процессов. Полученные результаты имеют и прикладную ценность, которые найдут применение при решении задач механики управляемого движения (в частности, при исследовании динамических процессов в светотехнике). Разработанная программа позволяет автоматизировать процесс определения зон устойчивости.

Ап^робация диссертации. Основные результаты работы были доложены на: 1) Международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 1994 г., 1996 г., 1998 г.), 2) Международной конференции «Математика в вузе. КГГУ» (г. Кострома, 1996г.), 3) VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (г. Казань, 1997г.), 4) Международной математической конференции «Еругинские чтения» (БГУ,

Могилев, 1998г.), 5) Международной математической конференции «Еругинские чтения VI» (г. Гомель, 1999г., ГГУ), 6) 31 научной конференции факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 2000г.), 7) VIII Белорусской международной математической конференции, ,ч.4 (г. Минск, БГУ, 2000г.), 8) Abstracts IFAC САО, 2000 (S.-Peterburg, 2000), 9) 33 конференции «Процессы управления и устойчивости» (Санкт-Петербург, 2002г.), 10) Международной математической конференции «Еругинские чтения VIII» (Брест, БГУ, 2002г.), 11) ежегодной научной конференции «Огаревские чтения» (1993 - 2005гг.), 12) научном семинаре кафедры 1 дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета

им. Н.П. Огарева (1993 - 2005гг.), 13) научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (2006г.).

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в [1-9] публикациях, список которых помещен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, t трех глав, заключения, библиографического списка литературы и

приложения. Объем диссертации - 124 страницы машинописного текста, в том числе 5 страниц приложение. Библиографический список содержит 153

Ь

наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В первой главе приведены необходимые сведения из теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В частности, излагаются вопросы устойчивости и колеблемости. Дано описание того, что задача отыскания последовательных значений периодической и антипериодической задач, определяющих границы зон устойчивости и неустойчивости решений, эквивалентна решению экстремальных задач. Приведены формулировки задачи оптимальной стабилизации программного

режима (переходного процесса) и вспомогательной задачи по отношению к задаче оптимальной стабилизации. Следует при этом отметить, что вспомогательная задача решается на конечном промежутке времени в отличие от задачи оптимальной стабилизации.

Вторая глава посвящена определению зон устойчивости и неустойчивости (п.2.1) для управляемого дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами (управляемого уравнения Хилла), а также разработке (п.2.2) алгоритма и программы расчета зон устойчивости и неустойчивости решения уравнения Матье.

Приведем результаты, касающиеся управляемого уравнения Хилла. Рассмотрим дифференциальные уравнения х + p(t)x = 0 и х + p(t)x = qit)v, где pit) и q(t) - непрерывные ft) -периодические функции, а v есть управляющее воздействие, которое выбирается в виде v = c(t)x.

Введем обозначения:

Р= sup p(t), Р* = inf р(0,

о <.t<<a ОЯ<а

Q= sup q(t), Q' = inf <7(0-

0 <l<0) Oíííúj

Теорема 2.1.1. Если p{t) > 0 и для какого-нибудь п = 0,1,2, • • • выполняются неравенства

(О2 ft)2 '

то функция pit) принадлежит п -й зоне устойчивости.

Теорема 2.1.2. Пусть pit) > 0, q(t) > 0. Существует номер и in = 1,2, • • •), для которого выполняются неравенства

(и- 1)2?г2 . п2л2 jn + l)2*2

1 2 7 '

(О Cú¿ О)

Р-Р" <

с2п-[)П2

Зсо

(2и - 1)я Зсо2

<а < Р <

2(2п - \)к 3со2

Тогда, если функция c(t) такова, что

а в

Q* Q

то функция p{t) - q(t)c(t) принадлежит (п - 1)-й зоне устойчивости.

Теорема 2.1.3. Пусть p(t)>0, q{t) < 0. Существует номер

п (п = 0,1,2, • • •), для которого выполняются неравенства

(.п-\)2п2 <р, Уп2 ,рс(п + 1)2я2 ^ СО2 бо2 со2

р_р.<(2п + 1)п2

Зсо2

(2п + 1)л2 а 2{2п + \)л2

--^—<а< Р <—-^—

Зсо Зсо2

Тогда, если функция c(t) такова, что

Q Q

то функция pit) - q(t)c(t) принадлежит п -й зоне устойчивости.

В пункте 2.2 рассматривается устойчивость и колеблемость в специальном случае, когда p(t) имеет вид тригонометрического полинома первого порядка. В частности, рассматривается уравнение Матье, для которого разработан алгоритм и составлена программа определения принадлежности решений к п и (я- 1)-ой зонам устойчивости или неустойчивости.

В третьей главе разработан метод математического моделирования стабилизирующего управления для линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами.

Рассматривается уравнение

z + p(t)z = q(t)v, (1)

где p(t), q(t) - непрерывные О) -периодические функции, v=v(i,z,z)-управление. Уравнение (1) равносильно линейной системе

x = A(t)x + B(t)u, (2)

где A(t), В(0- непрерывные со -периодические матрицы,

А(0 =

f о Is r 0 ,

-Pit) о , B(t) = ■ *=

1*2 J

и =

V

V

- управление. Здесь дс, ::= г, х2 ::= г.

Промежуток [О,С0] разбивается точками 0 = Г0 </,<•••<*„,_, <tm =со

на m частей hk = Atk = it+1 - tk. Матрица A(t) заменяется кусочно-

постоянной матрицей

А * (0 = А* при tk<,t<tw (к =0,1, ••■,/«-1),

где min A(i) < Ак < шах A(i), а матрица 5(f) - матрицей '£(<».'»♦ il til

B*(t) = Bk при tk<t<tk+l (к = 0,1,• • •,/я -1),

где min S Вк й max B(i).

«I'i^i+ll «('J

__1 '»-И __1 '»*!

Ak =— j A(t)dt, Bk=~ ¡B(t)dt, К ;t К ft

1 1 '?■

Р* = —- | р(Ой, (0=— I яШ.

"к ,к "к ,к

Таким образом, на каждом промежутке < г < получается линейная управляемая система с постоянными коэффициентами в матричной форме, т.е.

х,1 = Ацх,, + Вкик, (3)

Ранг матрицы Кк = {я,Д Я,} равен 2, а это условие является необходимым и достаточным условием стабилизируемости данной системы.

Управление для системы (3) выбирается в виде ик =СкХ11 (Ск = (<?,['\с;2))) • Коэффициенты усиления определяются в

замкнутой форме через элементы матрицы Ак и вектора Вк

-,„=р* ; =а1/' ^ (4)

Я„ Чк

где 4« - корни характеристического уравнения системы (3). Систему (3) можно записать в виде

ХЛ=М*ХА

где Мк =Ак + ВкСк.

Далее на промежутке [0, со] рассматривается система

Х„ (5)

где Л/ * (/) = Мк при <1<1к+1, (к = 0,1, •••,т — 1). и строится ее решение. Матрица С * (0 = Ск при ¿К, (Л = 0,1,•• •,т -1) - управление для системы для системы (5). Теорема 3.1.1. Для любого £>0 можно построить разбиение отрезка [0,(о] на части точками 1к, такое, что тах Ик = 1к+1 - ^ < е и подобрать

значения Л*" и Л^2', что при этом будет выполняться неравенство

|С*(0|£в,

где .V определяется из неравенства 0< .5 = сои.«, ге[0,б>], а

элементы матрицы С * (/) определяются на каждом отрезке [г,, ] по формулам (4).

Здесь и далее норма матрицы согласована с нормой вектора.

Теорема 3.1.2. Пусть для системы (5) построено управление I/ = С*(1)Х с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (4). Тогда, если для системы (2) выбрать управление вида и = С(()х, такое, что

где Х(/)~ решение системы (2), X * (г) - решение системы (5), £-некоторое положительное число, Ь- число, ограничивающее норму матрицы В, Я- число, ограничивающее норму матрицы М .

В пункте 3.2 разработан метод математического моделирования оптимального управления для линейной неоднородной системы второго порядка с периодическими коэффициентами в предположении, что постоянно действующие возмущения стремятся по экспоненциальному закону к нулю при /—>+«=. Здесь по аналогии с пунктом 3.1 построена система дифференциальных уравнений вида (5) с кусочно-постоянной матрицей, для которой находится оптимальное стабилизирующее управление. Дано обоснование того, что найденное управление может быть принято за сколь угодно точное оптимальное управление исходной системы.

Рассматривается система

\\С(!)~С*(1)\\<~

ъь'

то

||Х(о -X *(0|< ше2Ш,

Д»1 —

х2 = -р(г)х, + <7(г)у + /(О

(6)

или в матричной форме

х= А(г)* + В(г)и + ^(0,

где х, и, Л(/) и В(г) те же, что и в системе (2), F(/) =

Предполагается, что pit) и q{t) со-периодические непрерывные функции. Функция fit) непрерывна и удовлетворяет условию |/(/)| < /3 е'а при всех / > 0, где а и ¡3 - некоторые положительные величины.

Для системы (6) рассматривается задача об оптимальной стабилизации при условии, что вдоль траектории этой системы минимизируется функционал

Ду] = |(дг2+/2+у2)Л. (8)

о

Также как и в пункте 3.1 разобьем промежуток [0,iO] точками О = t0 <ts <•••<?„,_! <t„, =û) на m частей, hk = tk+l -tk. Матрица A(t) в системе (7) заменяется матрицей Ак, а матрица 6(f) - матрицей Вк при tk<t<tM ik=0, l,-",w -1).

Таким образом, на каждом промежутке tk < t < tk+l получается система с постоянными коэффициентами

x = lkx + Blu + Fit). (9)

'О дЛ

_ =2 при qk На каждом

0

< * /

промежутке [tk, tk+l ) подбирается управляющее воздействие таким образом, чтобы Re A (At +ВкСк)< 0 ik= 0, 1, • • •, /п — 1; j = 1, 2). На каждом отрезке te [tt, i<+1] решается вспомогательная задача оптимальной стабилизации. В качестве критерия оптимальности выбран функционал

Ли]= /с*,2 +х\ +u2)dt + vitk+l,xlitk+l),xi(tk+i)).

Таких промежутков (длиной со) счетное число, т.е. [pw, ip + l)w], р = 0,1, 2,- • •. Решение задачи оптимальной стабилизации (7) -

rang Кк = rang {вк, Ак Вк }= rang

(8) Проводится на промежутке [0, со], т.е. для р = 0. Задача (7) - (8) при

р= 1, 2,• •• решается аналогичным образом, что и при р = 0.

Исходя из условий теоремы H.H. Красовского об оптимальной

стабилизации для определения функции Ляпунова для системы (9), получена

система уравнений

ЭК dV dV _ _ .... 2 2 о2 n — + —x2+—(-pkxi+qkv + f(t)) + xi +х2 +v" =0, ot сЦ <xc2

Чк + 2v° = 0. dx2

Оптимальная функция Ляпунова находится из уравнения

dV_+ ЭУ Эг Эх,

1

ЭУ Эх,

— г Эк _ Ii

qk | + /(')) + •*/ +-V =0'

ас2

решение которого ищется в виде

У (Л,, *2 .0 = V"^ С*1, *2 ) + V10 (*1. *2 -1) + V<0> С)' где символ (0 означает порядок формы относительно дг, и дг2, / = 0, 1, 2. Функция У(2,(х,,х2) есть некоторая квадратичная форма с постоянными коэффициентами; функция V*1' (лг,, лг2, /) -форма первого порядка относительно переменных л, и л:2 с коэффициентами, зависящими от времени I, а У<0)(0 - есть некоторая скалярная функция времени Г, не зависящая от величин я,, х2. Оптимальное управление V0 находится в виде

U ЭК(2) _]__ ЭГ(1) 2^ Эх2

2 Эх2

Для определения форм V"1 (Z = 1,2) и У(0) (f) получены уравнения:

Эг Эх, 2 дх2 дх2 дх2 '

дУ (2> + /0 = 0, ах2

ЭК(0> 1

дУ

дх2

(К

\2

ОХ л

Э/ 4

Формы V[2) (л-,, х-,) и V11'(',•*) задаются в виде:

V (Х[, Х2 ) — С| | Х^ + 2С|2Л| Х2 с22х2 , У(1>«,х1,х2) = 5кЬ)х1 +гкЦ)х 2.

Коэффициенты форм У<2)(*{,х2) и V(|)(?,л,,х2)находятся из системы (10). Следует отметить, что, кроме того, выбирается так,

чтобы выполнялось равенство

Си С/1+1 )х2 ('*+! ) + 2с!2 )*('*+! ) + С22у2(1к+1 ) = -5к )*(/*+, ) -

Таким образом, функции зк (г) и гк (г) (& = 0,1, • • •, т -1) задаются так, чтобы выполнялось равенство (11), а коэффициенты су (», _/ = 1,2) находятся

так же, как они отыскиваются при решении задачи оптимальной стабилизации линейной системы с постоянной матрицей. На промежутке [0, й)] рассматривается система

х = М(1)х + Ф((), (12)

где Л?(г) = М4, Ф(0 = Ф, при (к <кгк4Л, к=Ъ,\,---,т-\. Лемма. Пусть > 0. Тогда

(г >¡1 < [1 + Фо»],

где X(t)- решение системы (15), R- число, ограничивающее норму матрицы Miji), Ф - число, ограничивающее норму матрицы Ф(г), т.е.

||M(i)|<Ä, ||Ф(0||<Ф.

Теорема 3.2.1. Пусть для системы (12) с кусочно-постоянной матрицей построено управление и = C(t)x + 7(t). Тогда, если для системы (7) выбрать управление вида и = Cit)x + rit), такое, что

\\rit)-rit)\<ÏL,

где N - число, ограничивающее норму матрицы Bit) (||В(г)|| S N), е-некоторое положительное число, то

¡X (г) - X (()[ < е(1 + Фш2 + û))e2"*, 0 < t < (О,

где Xit)-решение системы (7), X(f)- решение системы (12).

Таким образом, согласно теореме 3.2.1, исходная задача оптимальной стабилизации решается с любой степенью точности, если (к & р) —> °°. Справедлива также теорема.

Теорема 3.2.2. Для того, чтобы задача оптимальной стабилизации (7) -(8) имела решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие lim VkMl itM, х, (f<+, ), x2 (tt+l )) = V° it, x, (г), X, it)).

Здесь Vk_M itk+i, x, iti+l ), x2 itM )) есть функция Ляпунова, решающая вспомогательную задачу оптимальной стабилизации на отрезке [tk,tk+l], V°(t,xl(t),x1it)) есть функция Ляпунова, решающая задачу оптимальной стабилизации (7)-(8).

Следовательно, задавая ik & р) сколь угодно большими, можно получить сколь угодно точное решение задачи (7)-(8).

Примечание 3.2.1. В процессе решения задачи (7)-(8) обеспечивается асимптотическая устойчивость множества 0={jc:jc = O} относительно системы (7), т.е. система (7) при оптимальном управлении является эвентуально асимптотически устойчивой.

РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зубова А.Ф., Учватова H.H. Исследование устойчивости и колебательности решений дифференциальных уравнений второго порядка // Математическое моделирование,- 1997,- Т. 5, № 10.- С. 26 -27.

2. Учватова H.H. Расчет зон устойчивости и неустойчивости для уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом // В сб. «Труды семинара по дифференциальным уравнениям Мордовского государственного университета».- Деп. ВИНИТИ № 3222 - В 97 -101.

3. Учватова H.H. Метод расчета зон устойчивости дифференциального уравнения второго порядка // В сб. «Математическое моделирование сложных систем»,- Санкт-Петербург,- 1999,- С. 83 - 87.

4. Учватова H.H. Определение зоны устойчивости управляемого движения // Материалы научной конференции «XXX Огаревские чтения» (естеств. и техн. науки).- Саранск,- 2001.- С. 267 - 269.

5. Учватова H.H., Щенников В.Н. Приближенное построение стабилизирующего управления для системы второго порядка с периодическими коэффициентами // Морд. гос. ун-т им. Н.П.Огарева.- Саранск, 2002,- 16 с. Деп. В ВИНИТИ № 375 - В2002 от 26.02.02.

6. Учватова H.H., Щенников В.Н. Построение оптимального управления для линейной неоднородной управляемой системы

второго порядка с периодической матрицей II Морд. гос. ун-т им. Н.П.Огарева.- Саранск, 2002. - 21 с. Деп. в ВИНИТИ № 715 - В2002 от 18.04.02.

7. Учватова H.H. К вопросу нахождения зоны устойчивости управляемого движения // Труды 33 научной конференции «Процессы управления и устойчивости».- СПб, СПбГУ.- 2002.- С. 140 - 143.

8. Щенников В.Н., Учватова H.H. Предельный переход от вспомогательной задачи к задаче аналитического конструирования оптимального регулятора для системы второго порядка с периодической матрицей // Методы возмущений в гомологической алгебре и динамика систем: Межвуз. сб. науч. тр.- Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2004.- С. 125 - 129.

9. Учватова H.H., Щенников В.Н. Моделирование управления в динамической системе второго порядка // Саранск: Средневолжское математическое общество, 2005, препринт № 90.

Подписано в печать 20.01.06. Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 105. Типография Издательства Мордовского университета 430000, г. Саранск, ул. Советская, 24

1

I

4

I

1

!

V

i I t

is 1

i I

XOOG& 2_0 85"

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБЛЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

1.1 Дифференциальные уравнения Хилла и Матье.

1.2 Условия устойчивости и колеблемости решений дифференциального уравнения второго порядка.

1.3 Метод расчета устойчивости решений дифференциального уравнения второго порядка.

1.4 Постановка задачи об оптимальной стабилизации. Достаточные условия оптимальности управления. Вспомогательная задача.

Глава И. ОТЫСКАНИЕ ЗОН УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА.

2.1 Определение зоны устойчивости управляемого движения.

2.2. Расчет зон устойчивости и неустойчивости для уравнения Матье

Глава III. СТАБИЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ, МОДЕЛИРУЕМОГО ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРИОДИЧЕСКИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ.

3.1. Построение стабилизирующего управления.

3.2. Построение оптимального управления для линейной неоднородной управляемой системы второго порядка с периодической матрицей.

Актуальность темы. Известно, что математическое моделирование применяется в научных исследованиях и при решении прикладных задач в различных областях науки и техники. Эта методология основана на изучении свойств и характеристик объектов различной природы посредством исследования их естественных или искусственных аналогов (моделей).

В процессе проведения компьютерного эксперимента удается выявить степень влияния воздействий на исследуемый объект, т.е. удается проводить исследование математической модели при параметрических и постоянно действующих возмущениях, зависимости решения от того или иного параметра. Это позволяет целенаправленно использовать теорию управления для получения необходимых свойств математической модели. Наличие или отсутствие тех или иных качественных свойств математической модели свидетельствует о возможности или невозможности создания модели, обладающей требуемыми свойствами. Так, например, если построенная модель удовлетворяет определенным критериям качества, но не будет устойчивой, то она и не будет «работоспособной».

Представляет значительный интерес исследование управляемых математических моделей, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами, так как многие динамические процессы моделируются указанными дифференциальными уравнениями. Во многих случаях законы механики, управляющие теми или иными процессами, могут быть выражены в форме дифференциальных уравнений второго порядка, а расчет этих процессов сводится к их решению. В частности, исследование динамических процессов источников света, а также изучение механизмов и узлов машин и агрегатов легкой и химической промышленности приводят к задаче исследования устойчивости и неустойчивости, колеблемости и неколеблемости решений уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом х + p(t)x = 0.

Исследование систем, описываемых дифференциальными уравнениями л второго порядка, поставило исследователей перед необходимостью создания математического обеспечения ПЭВМ, которое позволило бы эффективно решать вопросы прочности и устойчивости. Вследствие отсутствия точных методов решения указанных уравнений исключительно важная роль принадлежит качественной теории данных уравнений.

Развитию качественных методов исследования поведения решений указанных уравнений посвящены научные работы выдающихся ученых математиков, механиков и инженеров (А.Пуанкаре [146], [147], А.М.Ляпунов [78] - [85], А.А. Андронов [6], [87], Н.Е.Жуковский [28] и др.)

Их исследования продолжаются и развиваются (в особенности вопросы колеблемости и устойчивости). Фундаментальный вклад в развитие теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами внесли М.Г.Крейн [68] - [73], Н.П.Еругин [26] - [27], В.А.Якубович [109] -[113], В.М.Старжинский [109], И.Г.Малкин [86], К.Г.Валеев [17] - [18], Н.В.Адамов [1] - [3], А.Ф.Зубова [30] - [34], Н.В.Азбелев и его ученики [4], # И.В.Каменев [41] - [61], И.Т.Кигурадзе [62] - [63], К.Р.Коваленко [64], М.Г.Крейн [64], И.М. Гельфанд [21], В.Б.Лидский [21], В.А.Кондратьев [66], М.Бартушек [7], Л.М.Беркович [8] - [9], В.В.Болотин [10], А.И.Булгаков [11] - [12], А.И.Булгаков и Б.А.Сергеев [13], Б.Ф.Былов и Э.А.Тихонова [14] -[16], Ю.И.Домшлак [23], И.И.Ендовицкий [24] - [25], Д.В.Изюмова [36] -[40], Я.Курцвейль [75], Коддингтон Э.А. и Н.Левинсон [65], Я.Г.Пановко и И.И.Губанова [89], Ч.А.Скаляхо [90] - [96], Т.А. Чантурия [106], Л.Чезари [107]. Много интересных результатов содержится и в работах [115] - [153]. ^ Следует отметить, что в современном мире информационных технологий важным фактором любой теории (в том числе и теории устойчивости) является возможность автоматизации исследования устойчивости.

Следует отметить, что актуальной проблемой является развитие методов математического моделирования стабилизирующих управлений и решения задачи оптимальной стабилизации программного движения (переходного процесса) уравнений Хилла и Матье.

Задачи математического моделирования стабилизирующих управлений программного движения на уровне существования и единственности линейных периодических систем затрагивались в работах В.И.Зубова [29], Е.Я.Смирнова и С.С.Войтенко [19], Е.Л.Тонкова [97] - [98], В.Н.Лаптинского [76] - [77], В.М.Морозова [88].На базе развитой качественной теории поведения решений уравнений Хилла и Матье и с учетом специфики названных уравнений, является важным развитие теории оптимальной стабилизации применительно к названным уравнениям и разработка практических способов решения задачи оптимальной стабилизации.

Целью данной работы является исследование математических моделей управляемых динамических процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами и разработка способов математического моделирования стабилизирующих управлений, включая и оптимальную стабилизацию программного движения при наличии постоянно действующих возмущений.

Методика исследования и степень обоснованности научных результатов. Исследование устойчивоподобных (устойчивость, асимптотическая устойчивость, ограниченность, стабилизация до устойчивости и асимптотической устойчивости, оптимальная стабилизация управляемых систем) свойств решений линейных управляемых дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами при отсутствии и наличии постоянно действующих возмущений проводится на основе общей теории указанных уравнений, математической теории устойчивости и теории стабилизации. Все утверждения диссертации обоснованы на должном математическом уровне и даны их полные доказательства.

Научная новизна. Решена задача математического моделирования стабилизирующих управлений для дифференциального уравнения второго порядка с тем, чтобы его решения принадлежали п- ой зоне устойчивости. Составлены алгоритм и программа определения принадлежности решения дифференциального уравнения второго порядка «-зоне устойчивости или неустойчивости. Разработан метод математического моделирования стабилизации (до асимптотической устойчивости) программного движения для дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами, а также решения задачи оптимальной стабилизации для дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами при наличии постоянно действующих возмущений.

Теоретическая и практическая ценность работы. Разработанные методы математического моделирования с целью решения задач стабилизации до устойчивости и асимптотической устойчивости управляемого дифференциального уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами (управляемого уравнения Хилла), а также решения задачи оптимальной стабилизации управляемого уравнения Хилла являются развитием математических методов теории управления динамических процессов. Полученные результаты имеют и прикладную ценность, которые найдут применение при решении задач механики управляемого движения (в частности, при исследовании динамических процессов в светотехнике). Разработанная программа позволяет автоматизировать процесс определения зон устойчивости.

Апробация диссертации. Основные результаты работы были доложены на: 1) Международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 1994 г., 1996 г., 1998 г.), 2)

Международной конференции «Математика в вузе. КГГУ» (г. Кострома, 1996г.), 3) VII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (г. Казань, 1997г.), 4) Международной математической конференции «Еругинские чтения» (БГУ, Могилев, 1998г.), 5) Международной математической конференции «Еругинские чтения VI» (г. Гомель, 1999г., ГГУ), 6) 31 научной конференции факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 2000г.), 7) VIII Белорусской международной математической конференции, ч.4 (г. Минск, БГУ, 2000г.), 8) Abstracts IF АС САО, 2000 (S.-Peterburg, 2000), 9) 33 конференции «Процессы управления и устойчивости» (Санкт-Петербург, 2002г.), 10) Международной математической конференции «Еругинские чтения VIII» (Брест, БГУ, 2002г.), 11) ежегодной научной конференции «Огаревские чтения» (1993 - 2005гг.), 12) научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (1993 - 2005гг.), 13) научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского (2006г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 9 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы и приложения. Объем диссертации - 124 страницы машинописного текста, в том числе 5 страниц - приложение. Библиографический список содержит 153 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено исследование математических моделей управляемых динамических процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с периодическими коэффициентами и разработан метод моделирования стабилизирующих управлений, включая и оптимальную стабилизацию программного движения при наличии постоянного действующих возмущений.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных в диссертации исследований и выносятся на защиту, являются следующие:

1) результаты принадлежности решений управляемого дифференциального уравнения Хилла к и и к (и-1)-ой зонам устойчивости;

2) алгоритм и программа определения принадлежности решений уравнения Матье к п ик(и-1 )-ой зонам устойчивости;

3) метод математического моделирования управления, решающего задачу стабилизации управляемого дифференциального уравнения Хилла;

4) метод математического моделирования управления, решающего задачу оптимальной стабилизации управляемого уравнения Хилла при наличии постоянно действующих возмущений.

Следовательно, разработанные в диссертации методы исследования уравнений Хилла и Матье позволят решать прикладные задачи механики управляемого движения, машиностроения, а также при исследовании динамических процессов в источниках света.

1. Адамов Н.В. О колебаниях интегралов уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами и некоторых условиях устойчивости // Математ. сб.- 1935.- Т.42, В.6. С. 651 668.

2. Адамов Н.В. О колебаниях уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами и некоторых условиях устойчивости // Математ. сб. 1935. - Т.42, В.6. С. 647 -651.

3. Адамов Н.В. О некоторых колебаниях, не меняющих интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка // Математ. сб., Новая серия.- 1948. Т. 23 (65), В. 2. С. 187-228.

4. Азбелев Н.В., Цалюк З.Б., Чичкин Е.С. О неосцилляции решений нелинейных уравнений второго порядка // Изв. вузов. Матем. 1958 -№ 2 — С. 3 — 4.

5. Альбрехт Э.Г., Шелементьев Г.С. Лекции по теории стабилизации.-Свердловск: УрГУ, 1972.-273 с.

6. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний, изд. 2.- М.: Физматгиз, 1959.

7. Бартушек М. О нулях колеблющихся решений уравнения // Диф. уравнения.- 1976.- Т. 12. № 4. С. 621 - 625.

8. Беркович Л.М. Преобразование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Куйбышев, 1978.- 92 с.

9. Беркович Л.М., Розов Н.Х. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приводимые к автономному виду // Тр. Семинара по диффер. ур-ям. Вып.1. Куйбышев. 1975. С. 130-145.

10. Ю.Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем.- М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

11. П.Булгаков А.И. О колеблемости решений дифференциальной системы второго порядка // Докл. расшир. заседаний семинара Ин-та прикл. мат. им. Векуа Тбилис. гос. ун-та.- 1985.- Т.1, № 3.- С. 19 22.

12. Булгаков А.И. О колеблемости решений систем дифференциальных уравнений второго порядка // Диф. уравнения.- 1987.- Т. 23, № 2.- С. 204-217.

13. З.Булгаков А.И., Сергеев Б.А. Осцилляционные свойства решений одной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Диф. уравнения.- 1984.- Т. 20, № 2.- С. 207 214.

14. Былов Б.Ф., Тихонова Э.А. О показателях некоторых линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянной матрицей второго порядка//Диф. уравнения.-1986. -Т. 22, № 3.- С. 378 390.

15. Былов Б.Ф., Тихонова Э.А. О стабилизации некоторых линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянной матрицей второго порядка // Диф. уравнения.- 1986.- Т.22, № 4.- С. 581 592.

16. Былов Б.Ф., Тихонова Э.А. Об оценке роста решений кусочно-постоянной системы // Диф. уравнения.- 1983,- Т. 19, № 8.- С. 1310 -1316.

17. Валеев К.Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // ПММ.- I960.- Т. 24, В. 4. С. 585-602.

18. Валеев К.Г. К методу Хилла в теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Определение характеристических показателей // ПММ.- 1961.- Т. 25, В. 2. С. 314 -318.

19. Войтенко С.С., Смирнов Е.Я. К задаче аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем с периодическими коэффициентами // Диф. уравнения.- 1975.- Т. И, № 6.-С. 1131-1132.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.- 575 с.

21. Гельфанд И.М., Лидский В.Б. О структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений спериодическими коэффициентами (4) // УМН. 1955.- Т. 10: 1 (63). С. 3 -40.

22. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.- 472 с.

23. Домшлак Ю.И. О колеблемости решений дифференциальных уравнений второго порядка // Диф. уравнения. 1971.- Т. 7, № 2.- С. 205-214.

24. Ендовицкий И.И. К вопросу о колебаниях решений линейных уравнений второго порядка // Изв. вузов. Матем. 1981 - № 10. - С. 18 -22.

25. Ендовицкий И.И. О колебаниях решений линейных уравнений второго порядка с ограниченными коэффициентами // Изв. вузов. Матем. -1977.- №6.- С. 44-49.

26. Еругин Н.П. Приводимые системы // Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 12, 1946.

27. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами.- Минск: Изд-во АН БССР, 1963.

28. Жуковский Н.Е. Условия конечности интегралов уравнения d2 vт + РУ = 0// Матем. сб., Т. XVI, 1892. (См. также: Жуковский Н.Е. dx

29. Собрание сочинений, т. I, Гостехиздат, 1948).29.3убов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.

30. О.Зубова А.Ф., Учватова Н.Н. Исследование устойчивости и колебательности решений дифференциальных уравнений второго порядка // Математическое моделирование.- 1997.- Т. 5, № 10.- С. 26 -27.

31. Зубова А.Ф. Исследование колебаний балок переменного сечения // Диф. уравнения. 1978.- Т. 14, № 9.- С. 1698 - 1700.

32. Зубова А.Ф. Математические методы исследования колебательных систем.- Саранск: Изд-во Саратовского ун-та. Саранский фил., 1989.324 с.

33. Зубова А.Ф., Учватова Н.Н. Об устойчивости и колебательности решений дифференциального уравнения второго порядка // Тезисы докл. Международ, матем. конф. «Еругинские чтения VI».- Гомель, ГГУ.- 1999.-С.94.

34. Изюмова Д.В. Заметка о колеблемости решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. -1967. Т. 17, № 1.- С. 19-24.

35. Изюмова Д.В. К вопросу колеблемости решений нелинейных дифференциальных неравенств и уравнении второго порядка // В сб.: «Исследования некоторых уравнений математической физики»,-Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1976.- С. 63 -70.

36. Изюмова Д.В. О колеблющихся решениях нелинейных дифференциальных неравенств второго порядка // В сб.: «Исследования некоторых уравнений математической физики». Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1972,- С. 17 22.

37. Изюмова Д.В. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Диф. уравнения. 1966.- Т.2, № 12.-С. 1572 - 1586.

38. Изюмова Д.В., Торошелидзе И.А. Осцилляционные теоремы для некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Тр. Ин-та прикл. мат. им. И. Н. Векуа Тбилис. гос. ун-та.- 1980.- Т. 8.- С. 13—23.

39. Каменев И. В. Критерии колеблемости решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связанные с осреднением //Диф. уравнения,- 1974.- Т. 10, № 2.- С. 246 252.

40. Каменев И.В. О колеблемости решений нелинейного уравнения второго порядка со знакопеременным коэффициентом // Диф. уравнения.-1970.-Т. 6, № 9.-С. 1718-1721.

41. Каменев И.В. О колеблемости решений нелинейного уравнения с мультипликативно разделенной правой частью // Диф. уравнения-1970.-Т. 6, №8 — С. 1510-1513.

42. Каменев И.В. О некоторых специфически нелинейных осцилляционных теоремах // Мат. заметки.- 1971.- Т. 10, № 2.-С. 129 -134.

43. Каменев И.В. Об одной специфической нелинейной осцилляционной теореме // Диф. уравнения.- 1973.- Т. 9, № 3.- С. 574—576.

44. Каменев И.В. Замечание к одной специфически нелинейной осцилляционной теореме // Диф. уравнения.- 1974.- Т. 10, № 11.- С. 2073-2074.

45. Каменев И.В. Замечание о существовании неограниченного решения линейного уравнения второго порядка // Диф. уравнения.- 1971.- Т. 7, № 12.- С. 2275.

46. Каменев И.В. К вопросу колеблемости решений дифференциального уравнения 2-го порядка с «интегрально малым» коэффициентом // Диф. уравнения.-1977.-Т. 13, № 12.- С. 2141 2148.

47. Каменев И.В. К вопросу неколеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка // Мат. заметки.- 1975.-Т.18, № 1.- С. 51-56.

48. Каменев И.В. К теореме В.А. Кондратьева о распределении нулей решений линейного дифференциального уравнения второго порядка // Диф. уравнения,-1981.- Т. 17, № 4.- С. 598 603.

49. Каменев И.В. К теореме сравнения Хартмана для линейных уравнений второго порядка// Диф. уравнения.- 1975.-T.l 1, № 6.- С. 1136-1137.

50. Каменев И.В. Колеблемость и ограниченность решений нелинейного уравнения второго порядка с мультипликативно разделенной правой частью // Диф. уравнения.- 1968.- Т. 4, № 5.- С. 845 849.

51. Каменев И.В. О колеблемости решений линейного дифференциального уравнения второго порядка // Диф. уравнения.- 1972.- Т.8, № 6.- С. 1108 -1110.

52. Каменев И.В. О критериях колеблемости линейного уравнения второго порядка, связанных с существованием «главного» решения // Диф. уравнения.- 1973.- Т.9, № 2.- С. 370 373.

53. Каменев И.В. О необходимых и достаточных условиях неколеблемости решений линейного уравнения второго порядка // Диф. уравнения.-1976.- Т. 12, № 4.- С. 751 753.

54. Каменев И.В. Об интегральном сравнении и неколеблемости линейных систем второго порядка // Диф. уравнения.- 1978.- Т.14, № 6.- С. 1136 — 1139.

55. Каменев И.В. Об интегральных критериях неколеблемости // Мат. заметки.- 1973.- Т. 13, № 1.- С. 51 54.

56. Каменев И.В. Об одной асимптотической формуле Хартмана в теории линейных уравнений второго порядка // Диф. уравнения.- 1987,- Т.23, №2.- С. 348-350.

57. Каменев И.В. Об одном достаточном условии колеблемости решений дифференциального уравнения высшего порядка // Мат. заметки. -1971.- Т. 9. № 4.- С. 421 423.

58. Каменев И.В. Об одном интегральном признаке колеблемости линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Мат. заметки.- 1978.- Т.23, № 2.- С. 249 252.

59. Каменев И.В. Об одном критерии колеблемости решений обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка // Мат. заметки,- 1970.- Т.8, № 6.- С. 773 776.

60. Кигурадзе И. Т. Об условиях колеблемости решений уравнения и" + a(t) \ы\" sign и = 0//Gas. pest, mat.- 1962.- Т. 87, № 4.- S. 492 -495.

61. Кигурадзе И.Т. О колеблемости решений некоторых обыкновенных, дифференциальных уравнений //Докл. АН СССР.- 1962.- Т. 144, № 1.-С.ЗЗ -36.

62. Коваленко К.Р., Крейн М.Г. О некоторых исследованиях A.M. Ляпунова по дифференциальным уравнениям с периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР.- 1950.- Т.75, № 4.- С. 100 105.

63. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: ИЛ, 1958.

64. Кондратьев В.А. Достаточные условия неколеблемости и колеблемости решений уравнения у" + р{х)у = 0 // Докл. АН СССР.-1957.- Т.113, № 4.- С. 742 745.

65. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.-М.: Физматгиз, 1959.- 211с.

66. Крейн М.Г. О признаках устойчивости ограниченности решений периодических канонических систем (4) // ПММ. 1955.- Т. 19. С. 641 -680.

67. Крейн М.Г. О характеристической функции А(Л) линейной канонической системы дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами // ПММ. 1957. - Т. 21. С. 320 -329.

68. Крейн М.Г. Об обратных задачах теории фильтров и Л.-зон устойчивости (4, 5) // ДАН СССР.- 1953.- Т. 93. С. 767 770.

69. Крейн М.Г. Обобщение некоторых исследований А.М.Ляпунова о линейных дифференциальных уравнениях с периодическими коэффициентами // ДАН СССР.- 1950.- т. 73, № 3. С. 445 448.

70. Крейн М.Г. О некоторых задачах на максимум и минимум для характеристических чисел и о ляпуновских зонах устойчивости // ПММ.- 1951.-Т. 15, В. 3. С. 323-348.

71. Крейн М.Г. Основные положения теории Я-зон устойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами // Сб. памяти А.А. Андронова,- М.: Изд-во АН СССР, 1955. С. 413-498.

72. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. М.: Машиностроение, 1984. - 216 с.

73. Курцвейль Я. Заметка по колеблющимся решениям уравнения / + f(x)y2n~l = 0 //Gas.pest.math. -1960.- Т. 85, № 3.- С. 357 358.

74. Лаптинский В.Н. К теории стабилизации линейных периодических систем управления // Диф. уравнения.- 1987.- Т.23, № 12.- С. 2163 -2164.

75. Лаптинский В.Н. Оптимальная стабилизация периодических систем управления // Диф. уравнения.- 1988.- Т.24, № 12.- С. 2075 2083.

76. Ляпунов A.M. Sur une equation transcendante et les equations differentielles lineaires du second ordre a coefficients periodiques, C. R., 1899. V. 128, № 18. C. 1085 - 1088; Собр. соч. т. II, 1956.

77. Ляпунов A.M. Sur une serie relative a la theorie des equations differentielles lineaires a coefficients periodiques, C. R., 1896. 1896. V. 123, № 26. P. 1248 - 1252; Собр. соч., т. II, 1956. С. 387 - 390.

78. Ляпунов A.M. Sur une equation differentielle lineaire du second ordre, C. R., 1899.-V. 128, № 15. P. 910-913; Собр. соч., т. II, 1956. С. 401 -403.

79. Ляпунов A.M. Sur une serie dans la theorie des equations differentielles lineaires du second ordre a coefficients periodiques // Зап. Акад. наук по физ.-мат. отд. 8-я серия, 1902. М. 13, № 2. С. 1 - 70; Собр. соч. т. II, 1956. С. 410-472.

80. Ляпунов A.M. Sur une serie relative a la theorie d une equation differentielle lineaire du second ordre, C. R., 1900.- V. 131, № 26. P. 1185 -1188; Собр. соч., т. И, 1956. С. 407 408.

81. Ляпунов A.M. Об одном вопросе, касающемся линейных дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами // Сообщ. Харьк. матем. общ., 2-я серия, 1896 1897, Т.5, №3, С. 190 - 254; Собр. соч., т. II, 1956, С. 332 - 386.

82. Ляпунов A.M. Об устойчивости движения в одном частном случае задачи о трех телах// Сообщ. Харьк. матем. общ., 2-я серия. 1889. -Т.2, №1-2; С. 1 - 94; Собр. соч. т.1, 1954, С. 324 - 401.

83. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.-471с.

84. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. - 530с.

85. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д., Андронов А.А., Витт А.А., Горелик Г.С., Хайкин С.Э. Новые исследования нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат., 1936.

86. Морозов В.М., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. М.: Изд-во МГУ, 1988. 144 с.

87. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1967. 420 с.

88. Схаляхо Ч.А. О нулях решений двумерных линейных дифференциальных систем со знакопеременными коэффициентами // Тр. Ин-та прикл. мат. им. И. Н. Векуа Тбилис. гос. ун-та.- 1980.- Т. 17.- С. 135 152.

89. Схаляхо Ч.А. Необходимые и достаточные условия колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Сооб. АН ГССР.— 1985.- Т. 120, № з. с. 469 471.

90. Схаляхо Ч.А. О колеблемости и неколеблемости решений одной двумерной системы нелинейных дифференциальных уравнений // Диф. уравнения.-1981.- Т. 17, № 9,- С. 1702 1705.

91. Схаляхо Ч.А. О колеблемости решений некоторых двумерных систем дифференциальных уравнений // Изв. Сев.-Кавказ. науч. центра высш. школы. Естсст. н.- 1981.- № 2.- С. 19 22.

92. Схаляхо Ч.А. О неколеблемости решений одной системы двух дифференциальных уравнений // Gas. pest, mat.- 1982. Т. 107, № 2. - S. 139 - 142.

93. Схаляхо Ч.А. О нулях решений одной системы двух дифференциальных уравнений со знакопеременными коэффициентами // Докл. расшир. заседаний семинара Ин-та прикл. мат. им. И. Н. Векуа Тбилис. гос. ун-та.- 1985.- Т. 1,№3.- С. 138- 141.

94. Схаляхо Ч.А. Условия колеблемости решений одной двумерной дифференциальной системы // В сб.: «Краевые задачи».— Пермь: Изд-во Пермского политехи, ин-та. 1980. С. 113 - 116.

95. Тонков E.J1. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Математическая физика.- 1977.- В. 2. С. 45 59.

96. Тонков E.JI. Оптимальные периодические движения управляемой системы // Математическая физика.- 1977.- В. 22. С. 47 54.

97. Учватова Н.Н. К вопросу нахождения зоны устойчивости управляемого движения // Труды 33 научной конференции «Процессы управления и устойчивости».- СПб, СПбГУ.- 2002.- С. 140 143.

98. Учватова Н.Н. Метод расчета зон устойчивости дифференциального уравнения второго порядка // В сб. «Математическое моделирование сложных систем»,- Санкт-Петербург.- 1999.- С. 83 87.

99. Учватова Н.Н. Определение зоны устойчивости управляемого движения // Материалы научной конференции «XXX Огаревские чтения» (естеств. и техн. науки).- Саранск.- 2001.- С. 267-269.

100. Учватова Н.Н. Расчет зон устойчивости и неустойчивости для уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом // В сб. «Труды семинара по дифференциальным уравнениям Мордовского государственного университета».- Деп. ВИНИТИ № 3222 В 97 - 101.

101. Учватова Н.Н., Щенников В.Н. Построение оптимального управления для линейной неоднородной управляемой системы второго порядка с периодической матрицей // Морд. гос. ун-т им. Н.П.Огарева.-Саранск, 2002. 21 с. Деп. в ВИНИТИ № 715 - В2002 от 18.04.02.

102. Учватова Н.Н., Щенников В.Н. Приближенное построение стабилизирующего управления для системы второго порядка с периодическими коэффициентами // Морд. гос. ун-т им. Н.П.Огарева.-Саранск, 2002.- 16 с. Деп. В ВИНИТИ № 375 В2002 от 26.02.02.

103. Учватова Н.Н., Щенников В.Н. Моделирование управления в динамической системе второго порядка // Саранск: Средневолжское математическое общество, 2005, препринт № 90.

104. Чантурия Т. А, О неколеблющихся решениях нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР.-1969.-Т. 55, №1.- С. 17-20.

105. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений,- М.: Мир, 1964. 480 с.

106. Якубович В.Я., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука, 1972. 800 с.

107. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем. I // Сиб.мат.журн.- 1986.Т. 27, №4. С. 181 -200.

108. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимизации и частотная теорема для периодических систем. II // Сиб.мат.журн.-1990.- Т. 31,№ 6. С. 176-191.

109. Якубович В.А. Необходимость в квадратичном критерии абсолютной устойчивости систем с периодически нестационарной линейной частью // АиТ.-2000.- № 12. С. 62 74.

110. Якубович В.А. Применение теории линейных периодических гамильтоновых систем к задачам абсолютной устойчивости нелинейных систем с периодически нестационарной линейной частью //Вестн. ЛГУ.- 1987.- Сер. 1.В.З,№ 15. С. 55-60.

111. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения.- М.: Наука, 1972. 720 с.

112. Atkinson F.V. On second-order non-linear oscillations // Pacif. J. Math.- 1955.-V. 5, № 1.- P. 643 647.

113. Bartusek M. On oscillatory solutions of the differential equation of the w-th order // Arch. math. (Brno).- 1986.- T. 22, № 3.- P.145 150.

114. Bobisud L.E. Oscillation of nonlinear second order equations // Proc. Amer. Math. Soc.- 1969.- V. 23, № 3.- P. 501 505.

115. Butler G.J. On the oscillatory behaviour of a second order nonlinear differential equation// Ann.math. Рига ed appl. 1975.- V. 105. - P. 159 -171.

116. Butler G. J. Oscillation theorems for a non-linear analogus of Hille's equation// Quart. J. Math 1976.- V. 27, № 106.- P. 159 - 171.

117. Goffman С. V., Wong J. S. W. On a second order nonlinear oscillation problem // Trans. Amer. Math. Soc.- 1970.- V. 147, № 2.- P. 357 -366.

118. Grammatikopoulos M. K. Oscillatory and asymptotic behaviour of differential equations with deviating arguments // Hiroshima Math. J.-1976.-V. 6, № 1.- P. 31 -53.

119. Hamel G. Uber die lineare differentialgleichungen zweiter ordnung mit periodichen koeffizienten // Math. Ann. 1913. Bd. 73. h. 3, S. 17-27.

120. Hartman P. On non- oscillatory linear differential equations of second order // Amer. J. Math. 1952.- V. 74, № 2.- P. 389 - 400.

121. Haupt O. Uber lineare homogene differentialgleichungen 2 ordnung mit periodichen koeffizienten // Math. Ann. 1919. Bd. 79, S. 278 285.

122. Heidel J. W., Hinton D.B. The existence of oscillatory solutions for a nonlinear differential equation // SIAM J. Math. Anal.-1972,- V. 3, № 2.- P. 344-351.

123. Heidel J. W., Kiguradze I. T. Oscillatory solutions for a generalized sublinear second order differential equation // Proc. Amer. Malh. Soc -1973.-V. 38, № 1.- P. 80-82.

124. Hille E. Non-oscillation theorems // Trans. Amer. Math. Soc.- 1948.-V. 64.- P. 234 -252.

125. Kiguradze I. Т. On the oscillatory and monotone solutions of ordinary differential equations // Arch. Math. (Brno).- 1978.- T. 14, № 1.- P. 21- 44.

126. Kim W. J. Oscillation and nonoscillalion criteria for n-th order rlifl'orential equations// J. Different, Eguat.- 1986.- № 3.- P. 317 335.

127. Koplatadze R.G. On oscillatory solutions of second-order delav differential inequalities //J. Math. Anal, and Appl.- 1973.- V. 42, № 1.- P. 148- 157.

128. Kreith K. Oscillation properties of weakly nonlinear differential equations // Lect. Notes Math.- 1981.- V. 846.- P. 203 209.

129. Kreith K. Oscillation theory.- Berlin, Heidelberg, New-York: Springer, 1973.

130. Kura T. Existence of oscillatory solutions for fourth order siiperlinear ordinary differential equations//Hiroshima Math. J. 1983.- V. 13, № 3.- P. 653 - 664.

131. Kura T. Oscillation theorems for a second order sublinear ordinary differential equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1982.- V. 81, № 4.- P. 535 -538.

132. Kusano T. Onose H. On the oscillation of solutions of non linear functional differential equations //Hiroshima Math. J. 1976,- V. 6, № 3.-P. 635 - 645.

133. Kwong M. K., Vong J. S. W. Linearization of second-order non-linear oscillation theorems //Trans. Amer. Math. Soc. 1983.- V. 279, № 2.- P. 705 - 712.

134. Kwong M. K, Zettl A. Asymptotically constant functions ann soi-ond older linear oscillation // J. Matli. Anal, and Appl.- 1983.- V.83, № 2. P. 475 -494.

135. Ladas G., Lakshmikantham V. Oscillations caused by retarded actions // Appl. Anal.- 1974.- V. 4, № 1.- P. 9 15.

136. Lazer A.C. A stability condition for the differential equation У" + Р(Х)У = 0 // Mich. Math. J.-1965.- V. 12 P. 193 - 196.

137. Muller-Pfeiffer E. An oscillation theorem for self-adjoint differential * ' equations // Math. Nachr.- 1982.- Bd. 108.- S. 79 92.

138. Myshkis A.D., Bainov D.D., Zahariev A.I. Oscillatory and asymptotic properties of a class of operator-differential inequalities // Proc. Roy. Soc. Edinburgh.-1984.-V. 96 A, №1.- P. 5 13.

139. Naito M. Oscillations of differential inequalities with retarded arguments //Hiroshima Math. J.- 1975.- V. 5, № 2.- P. 187 192.

140. Nehari Z. A nonlinear oscillation theorem // Duke Math. J.- 1975.- V. 42, N l.-P. 183 189.

141. Neuman F. On two problems on oscillations of linear differential equations of the third order //J. Different. Equal.- 1974.-V. 15, № 3.-P. 589 -596.

142. Onose H. A comparison theorem and the forced oscillalion // Bull. Austral. Math. Soc.-1975.-V. 13, № i. p. 13 . 19.

143. Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. Paris, 1.1-III. P. 1892-1899.

144. Poincare H. Sur le probleme des trois corps et les equations de la dynamique // Acta Math.-1890. V. 13. P. 5 - 270

145. Rab M. Kriterien fur die oszillation der Losungen der differentialgleichung p(x)y'.' + q(x)y = 0 //Gas. pest, mat.- 1959.- T. 84, № 35.-S. 335 370.

146. Ryder G. H., Wend D. V. V. Oscillation of solutions of certain ordinary differential equations of n- th order I I Proc. Amer. Malh. Soc.-1970.-V. 25, № 3.-P. 463 469.

147. Schrader K. Oscillation and comparison for second order differentialequations // Proc. Amer. Math. Soc.-1975.-V. 51, № l.-P. 131 135.

148. Waltman P. An oscillation criterion for a nonlinear second order equation I I J. Math. Anal, and Appl.- 1965.- V. 10, № 2.- P. 439 441.

149. Werbowski J. Oscillations of differential inequalities caused by several delay arguments // J. Math. Anal, and Appl.- 1987.- V. 124, № 1.- P. 200-212.

150. Wintner A. A criterion of oscillatory stability // Quart. Appl. Math.-1949.- V.7.- P. 115-117.