автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование стохастических моделей взаимодействующих информационных потоков

На правах рукописи

Межуева Татьяна Ивановна

ИССЛЕДОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПОТОКОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2006

Работа выполнена

в Дальневосточной государственной социально - гуманитарной академии по адресу 679015, ЕАО, г. Биробиджан, ул. Широкая, 70-а.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Дубко Валерий Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Демин Николай Серапионович

кандидат физико-математических наук Змеева Елена Евдокимовна

Ведущая организация:

Томский Политехнический Университет

Защита состоится «23» марта 2006 г. в 15 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, в аудитории 102, II учебного корпуса ТГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба посылать по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, Томский государственный университет, ученому секретарю ТТУ Буровой Н.Ю.

Автореферат разослан «_» февраля 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, доцент

Скворцов А.В.

№¿>6 А

Актуальность темы. Развитие стохастического анализа доказало важность подхода, основанного на стохастическом описании природы многих сложных физических и технологических проблем. Примером области, где широко применяются методы стохастического анализа, может служить теория связи.

Наблюдается расширение использования вероятностных методов и для прогнозирования развития научных областей.

Поскольку любая реальная система не может рассматриваться как изолированная и подчиняться строго детерминированным законам, то этот факт отражается при моделировании реальных динамических систем при помощи введения случайного воздействия. Эффективные методы для осуществления такого моделирования представляет теория стохастических уравнений, основы которой были заложены H.H. Боголюбовым, И.И. Гихманом, К. Ито. Интерес к изучению моделирования информационных потоков на основе стохастических уравнений заметно возрос. Большой вклад в развитие теории внесла и школа A.B. Скорохода. Новые направления теории стохастических уравнений, в том числе и в связи с применением к объяснению реальных явлений многоэлементных систем, отражены в монографии В.А. Дубко «Метод диффузной аппроксимации в исследовании моделей стохастических динамических систем». - Владивосток- Дальнаука, 1995. и др. Успехи в развитии теории стохастических уравнений, приводят к возможности более широкого их применения для моделирования информационных потоков на основе стохастических уравнений.

Исследования в области кодирования информации основываются на теории К. Шеннона, в основу которой с самого начала были им заложены вероятностные подходы. В этом направлении работали такие известные отечественные математики как А.Я. Хинчин, И М. Гельфанд, А.Н. Колмогоров, A.M. Яглом, которые внесли большой вклад в развитие математического фундамента теории информации. Однако, несмотря на большие успехи, задачи теории моделирования и исследования информационных потоков далеки еще от достаточно полного решения. Прежде всего, не решена проблема универсальности: конкретные практические задачи требуют разработки новых моделей и их исследования на основе новых подходов.

К таким задачам относится проблема моделирования процессов взаимодействия информационных потоков. Естественно, возникает вопрос, насколько это взаимодействие существенно и может быть отображено современными методами математического моделирования'

К другому классу задач, который рассмотрен в диссертации, относится задача построения и исследования алгоритма, позволяющего решить вопрос: возможно ли оценить то, что принимаемый сигнал не является шумом и связан с передачей информации, не в даваясь в ее содержание?

Цель работы. Разработка и исследование новых математических моделей продуцирования потоков информации и их взаимодействия в условиях сильной неопределенности.

В соответствии с целью исследования определены следующие задачи:

1. Рассмотреть особенности и недостатки имеющихся моделей возникновения, переработки, преобразования и продуцирования информации, на примере потоков научных публикаций.

2. Исследовать эмпирическую информацию и пшика*1' публикаций в

различных научных областях кам для

СПемр| OS МО

выяснения необходимости развития моделей продуцирования научной информации с учетом взаимодействия потоков информации.

3. Разработать и исследовать стохастические билинейные, интегро-дифференциальиые модели информационных потоков с простой структурой, позволяющие качественно определить особенности динамики поведения многокомпонентных систем с сильной взаимосвязью, как моделей взаимодействия информационных потоков.

4. Разработать и исследовать алгоритм передачи и приема сигналов как пуассоновских последовательностей, позволяющего, после прохождения ими стохастизированной среды, при приеме определить, что в передаваемых сигналах заложена смысловая информация, не раскрывая ее содержания.

Достоверность полученных результатов. В работе используются методы и результаты теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории стохастических уравнений.

Достоверность полученных результатов обеспечена строгостью математических выкладок и приемов. Обоснования допущений и ограничений подтверждаются непротиворечивостью результатов моделирования эмпирическим данным.

Научная новизна.

1. Впервые разработаны модели взаимодействия информационных потоков с учетом значимой стохастической компоненты.

2. Исследованы особенности свойств точных решений для одного класса стохастических моделей многоэлементных систем на основе представления о коллективной переменной и дана интерпретация этих свойств с точки зрения взаимодействия информационных потоков.

3. Впервые разработан и обоснован алгоритм определения содержательности передаваемой информации в сигналах после прохождения через сильно стохастизированную среду на основе создания двух пуассоновских последовательностей сигналов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные и исследованные математические модели позволяют исследовать предельные свойства решений, описывающих динамику взаимодействующих информационных потоков при учете значительных случайных возмущений, выделять системные законы для многоэлементных систем.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях:

1. «Проблемы информатизации региональных систем образования»: Хабаровск, 2001 г.

2. «Интеграция науки и образования с целью развития творческого потенциала специалистов»: Биробиджан, 2001 г.

3. Первая международная научно-практическая конференция «Открытые эволюционирующие системы»: Киев, 2002 г.

4. «IX Международная научная конференция имени академика М. Кравчука (1892 -1942)»: Киев, 2002 г.

5. Вторая международная научно-практическая конференция «Открытые эволюционирующие системы»: Киев, 2003 г.

6. «Интеграция науки и образования основа развития и возрождения национально-регионального менталитета»: Биробиджан, 2004 г.

7. Вторая Всеукраинская научно-практическая конференция «Информационные технологии и безопасность в управлении»: Севастополь, 2005 г.

На кафедрах:

1. Математики и информатики Биробиджанского государственного педагогического института, 2002 г.

2. Математической физики механико-математического факультета Киевского национального университета им. Тараса Шевченко, 2002 г.

3. Информационных технологий Украинской академии государственного управления при президенте Украины, 2002 г.

4. Высшей математики и информатики Академии муниципального управления: Киев, 2002 г.

5. Высшей математики и информатики ВМУРоЛ «Украина»: Киев, 2002 г.

6. На научно-техническом совете факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ: Томск, 2003г.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, приложения и списка литературы. Полный объем работы содержит 117 страниц машинного текста. Список литературы содержит 102 наименования.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность проводимых исследований, сформулирована цель, определены задачи работы и ее научная новизна.

В первом разделе работа рассмотрены математические модели продуцирования научной информации (потока научных публикаций), не взаимодействующего с другими потоками информации. На основе критического анализа выявляются особенности и ограничения существующих математических моделей, намечаются пути дальнейшего поиска более реальной математической модели информационных потоков.

Краткий анализ математических моделей потоков научных публикаций показал, что многие важные вопросы моделирования не решены. Установлено; что исследователи ограничиваются рассмотрением однопоточных математических моделей, не рассматривают взаимодействие информационных потоков, наличие внешних, случайных воздействий. Такой подход является частным и не охватывает всего многообразия реальных ситуаций. Подавляющее число методов ориентированы на конкретные ситуации и являются частными с ограниченной областью применимости.

Исследование по поиску и анализу моделей в научной литературе показало, что не решена проблема построения моделей взаимопроникновения информации из одной области в другую, их динамики при наличии факторов неопределенности в их взаимодействии.

Это и приведенные эмпирические данные в диссертации послужили основанием для построения и исследования моделей информационных потоков с помощью введения в математическую модель случайных составляющих.

Во втором разделе работы проведено исследование статистических данных развития некоторых научных областей (использован «Сборник рефератов НИР и ОКР») с целью выяснения необходимости построения математической модели взаимодействующих информационных потоков.

Для проведения исследования используются статистические данные по продуцируемости новой научной информации в различных областях и

применяются к полученным данным критерий значимости и проверки гипотез, методы корреляционно-регрессионного анализа.

Проведено исследование по следующим областям:

- Геодезия (./,);

- Фотограмметрия. Аэрокосмические методы (У2);

- Прикладная геодезия. Топография

- Геохимия (У4);

- Минералогия (./,);

- Инженерная геология (У6);

- Ускорители заряженных частиц и плазмы (У,);

- Квантовая электроника (./,);

- Запись и воспроизведение сигналов (/,).

Построены гистограммы распределения числа статей; распределение авторов по продуктивности. Для иллюстрации приведем один результат по потоку Jt -запись и воспроизведение сигналов.

Рассмотрен выход статей потока за указанные годы по месяцам (табл 1).

Таблица 1

месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1986 5 5 8 5 11 16 5 6 10 15 10 10

1987 2 8 9 5 14 12 8 14 9 7 13 17

1988 5 , 5 6 10 14 3 7 7 6 8 3 4

1989 7 10 3 6 6 5 9 7 5 16 9 8

1990 8 6 6 4 9 5 4 2 7 1 1 5

График зависимости количества публикаций в месяц по годам отображен на рисунке 1.

1 23456789 10 11 12 месяц

Рис. 1. Зависимость количества публикаций в месяц по годам

На рисунке 2 построена гистограмма распределения числа публикаций по потоку J, - запись и воспроизведение сигналов.

12

а

§ 10 к

О о Ф о

г

0 а

01 О 1-

и

9 *

х

§ 2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 количество публикаций

Рис. 2. Гистограмма распределения

Построены уравнения регрессии для информационных потоков /,(0, рассмотренных областей знаний, и корреляционная таблица для исследуемых потоков, где /Дг) - число публикаций отрасли ] в месяце Выяснилось, что существуют следующие положительные и отрицательные коэффициенты корреляции (табл. 2).

_Таблица 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 _ 0,254 0,755 0,493 0,382 0,709 0,185 0,204 0,023

2 . 0,517 0,501 0,620 0,216 0,323 -0,25 0,539

3 0,681 0,389 0,700 0,451 0,349 0,138

4 0,139 0,650 0,851 0,552 0,511

5 -0,06 -0,31 -0,52 0,343

6 _ 0,605 0,681 0,156

7 0,736 0,386

8 0,004

9

Рассмотренные данные зависимости количества публикаций в месяц по годам проверены по % - квадрат критерию на нормальность распределения.

На основе результатов исследования, проведенных в первом разделе, сделаны следующие выводы:

1. Исследуемые потоки информации во времени не подчиняются нормальному закону распределения. Многовершинность гистограмм числа публикаций указывает на сложные процессы организации продуцирования информации. Есть основания для предположения, что взаимодействия между

потоками научных публикаций могут быть существенными, и они носят стохастичный характер.

2. Результаты, полученные во втором разделе, дают основания для того, чтобы:

- исследовать информационные потоки, как взаимодействующие открытые системы со случайными воздействиями;

- воспользоваться теорией стохастических дифференциальных уравнений, как эффективным методом математического моделирования и исследования информационных потоков.

В третьем разделе работы рассмотрены некоторые особенности поведения сложных систем, общие закономерности и возможности использования уравнений для реализаций случайных процессов, в том числе, и при моделировании динамик информационных потоков; исследованы модели, демонстрирующие образования когерентной случайной коллективной переменной (воздействия) в ансамбле динамических систем. Найдено точное решение и исследованы его особенности. Рассматривались две модели взаимодействующих информационных потоков.

Первая модель - интегро-дифференциальная стохастическая билинейная модель взаимодействующих потоков информации.

Предположим, в отличие от моделей Риденура-Гартмана-Холтона, что существует взаимодействие между потоками. В уравнениях Риденура-Гартмана-Холтона учитывается зависимость только от числа производителей информации, функция для которых зависит только от времени. Взаимодействие потоков информации и даже билинейная зависимость не учитывается. Анализ эмпирических корреляций, проведенный во втором разделе, показал, что нельзя не учитывать взаимодействие между потоками.

Пусть и(1,у) е Я' - интенсивность информационного потока, порождаемой областью знаний у в момент Г При этом интеграл по времени от и(1,у) е есть количество информации произведенной в данной области у. Если множество потоков счетное, то у индексируют, отождествляют с набором чисел, чаще всего, (если индексацию не связывать с попыткой заложить в число - индекс какую-то информацию о потоке) целыми числами. В ситуации, когда число потоков велико, можно полагать, что у непрерывно и у е [а; б), поскольку любые непрерывные интервалы - равномощные множества, то в качестве такого интервала индексации выберем у е [0;1).

Для и(1,у) используется новая модель в форме стохастического интегро-дифференциального уравнения

I

Ли(1,у) = а(1,у)и(1,у)Л + и{1,у)\р(!,у,2)иЦ,2)1Ь ■ Л +

о

+ сг {¡,у)и{1,у)с1п и, у),

где: М.(;у) - зависимые \/у скалярные винеровские процессы; р{$,у,2) - весовая функция, характеризующая взаимодействия между информационными потоками 2 и у.

Относительно а(.),/5(.) - предполагается, что они непрерывны по I, удовлетворяют условиям Липшица по переменным у, г и ограничены; в(/, у) > 0.

В приведенной модели нет ограничений на количество взаимодействующих информационных потоков. Обоснованием того, что можно определить и искать решения данного уравнения для бесконечного числа взаимодействующих потоков служат выводы Леммы 1* и Леммы 2*. Основную роль при этом играют ограничения на весовую функцию, обеспечивающие переход от суммирования к интегрированию.

Для этого уравнения существует при указанных ограничениях точное решение и оно имеет вид:

ехр

и((,у) =

fcb.y)-

'(г.УУ

dr + jcr (т, y)dw (т, у)\и (0, у)

t 1 г

\~\dT\dyu{Q,y)p(t,y)s*p { 0 0 0

d&+ ¡сг(т,у)сЫ>(т,уУ> 0

Элемент неопределенности, вносимый и>(г, у), можно трактовать как возмущения процесса генерации информации. В силу свойств стандартные винеровские процессы могут принимать любые значения и быть произвольными по знаку. Несмотря на это, обеспечивается положительность значения и(1,у), интерпретируемой в данной модели как интенсивность продуцирования информации в области у, с вероятностью 1, то есть достоверно на любой из реализаций, если выполнены следующие начальные условия:

(/3(1,у,2)и(0,г))<0Уг.

Это соответствует отрицательному влиянию всех остальных потоков информации на конкретный. Последнее вполне согласуется с представлениями о том, что информационные потоки конкурируют за производящие их ресурсы Кроме того, выполняется условие не убывания объема накопленных знаний:

(

¡и(т, y)dt +и(0, у) г и(0, у) > 0, Vt, Vy б [0,1).

о

В качестве второй модели взаимодействующих информационных потоков используется модель взаимодействия динамики подсистем в многоэлементной системе с сильным взаимодействием в виде системы стохастических дифференциальных уравнений.

А» (0 = 0(*„ (f)) + х„ (t)b{x„ (O)K, (t)dt + е, (in)dw, (f),

' *„(0 = 1>,,(0, К(0)| < const У1 = ГпУп>1, i-i

где {■*;(')}"./ _ переменные состояния элементов многокомпонентной эволюционирующей системы. Предполагается, что выполнены условия Lt):

а) а(),й( ),£,(я) - скалярные функции; х,(г) е / = Ля;

б) »,(/) - независимые винеровские процессы.

С точки зрения информационных потоков это соответствует зависимости динамики конкретного информационного потока от интегрального влияния всей совокупности информационных потоков, порожденных различными подобластями Выясняется (теорема 1), что существует два режима функционирования системы в зависимости от величины параметра а:

1) когда « = 0,5, то решения уравнений (1) аппроксимируются решением системы

dx.it) = (а(х(.0)+Ь(х(.1))х(0)х,(0сИ, ' сЫ„ (0 = К*(0) + Ь(х(0)х(0]х(0Ж + огЩ0;

2) когда а > 0,5 - решением системы

=(Ф, с»+ьт)т*, (о.

~ = (Ф(0)+Ь(х(0)х(0)х(0. . ш

Для того чтобы пояснить разницу между моделями приведем ряд вспомогательных утверждений из работы. Лемма 1*.

Пусть - решение системы уравнений

я /.I

Относительно коэффициентов этого уравнения предполагаем: 1)а(.),Д(.),(7(.),и„(0,)'Д - непрерывны по I, удовлетворяют условиям Липшица по переменным у, 2 и ограничены; Д.)ип(0,у1)< 0; 2- независимые винеровские процессы, V/. Тогда

1Л.т. = 0Ут > 0.

Лемма 2*.

Пусть выполнены условия Леммы 1 а также условия:

3) А'.-Иу.)=/?('.*,), ) = <*(').

4) 1™—^ у?(0, г, )и„ (0, г,) = ^(0).

Тогда при п -> та для последовательности

существует следнеквалратический предел

I-i m. <,„(/) = ?(0, V/ е [О,'/'),

который совпадает с решением уравнения для макроперемеиной вида

с1д(<) = («(/)?(/) + Г('№ ?(')Ц=</(0).

Из всею выше изложенного следует, что макропеременная информационного потока не будет хаотичной. В таких случаях:

а) взаимодействие выделенного информационного потока у со всеми остальными осуществляется на основе осредненного влияния

те. когда один поток реагирует на усредненную интенсивность всех потоков (первая модель);

б) когда поток реагирует на суммарную интенсивность вссх потоков, но развитие каждой из информационных компонент происходит при малых возмущениях порядка 1/V, (а >0,5), п - число взаимодействующих информационных потоков (вторая модель).

При or = 0,5 - макроперемешшя становится хаотичной, и влияние этого хаоса на каждый из потоков - существенно. Появление наблюдаемой хаотичности макропеременной во второй модели показывает, что при сильном взаимодействии между потоками влияние бесконечно малых возмущений на каждый из потоков может становиться существенным на уровне управляющей переменной, i.e. на макроуровне.

Как для первой, так и для второй модели определены точные решения, уравнения для коллективной переменной.

Исследованы особенности поведения решений моделей, в том числе и при неограниченном возрастании числа взаимодействующих потоков.

Выявленное явление (в рассмотренных стохастических моделях взаимодействия потоков информации) означает сохранение положи 1Сльн0С1 и решений на произвольном временном интервале при сильных возмущениях. Определены обеспечивающие >то свойство условия.

В четвертом разделе работы рассматривается модель возможной оценки содержательности случайных сигналов и вопрос о возможности исключения влияния среды и искажения приборов.

В модели «Возможноаь оценки содержательности случайных сигналов» рассмотрен случай, когда последовательность сигналов (по предположению, каждый из которых содержит информацию) передается согласно пуассоновскому закону распределения.

Рассмотрим задачу определения содержательности информации на основе передачи двух последовательных независимых сигналов разной «цветности» через

случайную среду при условии, что характеристики поглощающей среды являются одинаковыми для каждого из потоков.

В рамках принятых ограничений поток «цветности» «1» является пуассоновским процессом с параметром Л,, и поток «цветности» «2» -пуассоновским процессом с параметром Д,, причем полагаем, что

где с - безразмерная известная величина, например число к или другая, наперед заданная величина, по договоренности с принимающей сигнал стороной.

В качестве критерия оценки того, что передаваемые случайным образом сигналы содержат информацию, возьмем отношение

с = А- -( код содержательности).

Л

Определение 1,, Л, основывается на наблюдениях. Если при статистической обработке наблюдений приходим к этому соотношению, то это и будет являться тестом на то, что передаваемые сигналы несут осмысленную информацию.

Исследуется вопрос о сходимости соответственно их статистических оценок.

*

Пусть Т - полное время наблюдения. Тогда Т = Д,, где к - число

м

интервалов Д,, на которые разбит интервал Т.

В качестве статистик для оценки параметров Л,, А^ возьмем выражение

z(tÄ/) = Trt(T-2^)), д,Пд,=0, ]*t,

/.I Ы J-1

где: /сj (1) - случайная величина, принимающая значение либо ноль, либо единица с соответствующей вероятностью; «(/) - величина, характеризующая случайное число скачков на интервале А,; Я, - некоторая фиксированная интенсивность, соизмеримая с Л,,Л}.

Введете ^связано с тем, что технически удобно работать с безразмерными и ограниченными показателями

С, ¿const (г = 1,2).

Л

Для простоты изложения полагали, что Д, = Д. Пусть выполнены условия Г:

О Г = £д(; Д,пДг =0,1*1', 1-1

(Т - полное время наблюдения, к - число интервалов наблюдения);

¿2) и(М = п{1) - случайное число появления событий (поглощения или не поглощения сигнала) на / - том временном интервале Д, и подчиненное распределению Пуассона;

4) *">(') ~ случайные величины, независимые между собой V/',/ и принимающие значение либо ноль, либо единица, с соответствующей вероятностью

р{«А')=о)=?(/)=1 - р{1\ р{*, (/)=1)=т

Для оценки Лг,(г = 1,2) воспользовались тем, что процесс пуассоновский. Для таких процессов

ЛфДОМА. Дк(0МА-

Следовательно м\

^ [Ьрю

(2)

где г,(Т),г2(Т) - независимые случайные величины вида

= Г-*.

ы ¡-\ к^цА

М >1

А

Таким образом, отношение (2) не зависит от изменений случайных реализаций и характеристик среды прохождения сигнала со временем.

В заключении сделаны выводы по основным результатам исследования.

Основные результаты работы.

1. Для моделирования информационных потоков разработанные и исследованные билинейные интегро-дифференциальные модели взаимодействия информационных потоков, позволяющие определить особенности динамики поведения многокомпонентных систем с сильной взаимосвязью.

2. Впервые выявлены особенности свойств точных решений для одного класса стохастических моделей многоэлементных систем на основе представления о коллективной переменной, то есть нахождения зависимости динамики конкретного информационного потока от интегрального влияния всей совокупности информационных потоков, порожденных различными подобластями.

3. Предложен новый подход к передаче информации для повышения надежности в правильности оценки ее осмысленности в получаемых сигналах.

4. Разработан алгоритм определения содержательности передаваемой информации в сигналах прошедших через сильно стохастизированную среду.

Публикации по работе.

1. Межуева Т.И. Исследование информационных потоков для целей выявления тенденций развития отраслей // Россия и Китай: Интеграция в сфере экономики, науки и образования. Тезисы и доклады 1-ой Международной конференции. - Биробиджан, 1998. - С. 120 - 123.

2. Межуева Т.И. Вероятностные методы прогнозирования развития научной области // Проблемы информатизации региональных систем образования. Научно-педагогический сборник. - Хабаровск: ХГПУ, 2001. - С. 63 - 66.

3. Межуева Т.И. Модели эволюции, селекции и интеграции знаний // Интеграция науки и образования с целью развития творческого потенциала специалистов. Межвузовский сборник научных трудов. - Биробиджан, 2001. -С. 220-224.

4. Межуева Т.И. Вероятностный подход к моделированию освоения минеральных ресурсов // Интеграция науки и образования - ресурс развития региона: Сборник докладов региональной научно-практической конференции, Биробиджан, 2002. - Т. 2. - С. 214 - 216.

5. Межуева Т.И. Билинейная модель взаимодействия информационных потоков. - Владивосток: Дальнаука, 2002. - 7 с. (Препринт ДВО РАН, Хабаровское отделение Института прикладной математики: 02).

6. Межуева Т.И. Математическая модель информационного потока // Научный сборник международной конференции «Открытые эволюционирующие системы». - Киев, 2002. - С. 42-43.

7. Межуева Т.И. Определения осмысленности сигнала на основе исключения случайных факторов // Научный сборник международной конференции «Открытые эволюционирующие системы». - Киев, 2002. - С. 43 - 44.

8. Межуева Т.И. Модели жизненного цикла информации // Труды ДВГТУ. Выпуск № 133, Владивосток, 2003. - С. 242-245.

9. Межуева Т.И. Математическая модель оценки содержательности случайных сигналов // Труды ДВГТУ. Выпуск № 133, Владивосток, 2003. - С. 245247.

10. Межуева Т.И. Оптимизация в условиях открытости систем // Научный сборник второй международной научно-практической конференции «Открытые эволюционирующие системы». - Киев, 2004. - Т. 2. - С. 78—79.

11. Межуева Т.И. Исследование прогнозной модели для проведения перспективного анализа функционирования научных отраслей II Интеграция науки и образования основа развития и возрождения национально-регионального менталитета: Сборник докладов международной научно-практической конференции, Биробиджан, 2004. - Ч. 1. - С. 27 - 29.

»-3934

Заказ 149. Тираж 100. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

Введение.

Часть 1. Математические модели эволюции информационного потока.

Раздел 1. Современное состояние проблемы моделирования информационных потоков.

1.1. Роль информации и информационных потоков в деятельности человека.

1.2. Распределение информации в потоке. Ранговое распределение.

1.3. Математические методы обработки статистических данных об информационных потоках.

1.4. Определение ценности информации.

1.5. Математические модели информационного потока

1.6. Вероятностная модель информационного потока.

1.7. Модели рассеяния информационных потоков.

1.8. Математические модели жизненного цикла информации

1.9. Прогнозирование развития науки на основе анализа потоков научной информации.

Выводы по первому разделу.

Раздел 2. Изучение продуцируемости новой научной информации в различных областях

2.1. Рост числа статей в некоторых научных областях.

2.2. Распределение авторов по продуктивности.„

2.3. Построение моделей тенденции развития и корреляции между информационными потоками различных областей.

Выводы по второму разделу

Часть 2. Стохастические модели информационных потоков.

Раздел 3. Открытые информационные системы.

3.1. Метод коллективных переменных. Обобщенный принцип

Ланжевена. 3.2. Модель динамики подсистем в многоэлементарной системе с * сильным взаимодействием.

3.3. Билинейная модель взаимодействия информационных потоков.

3.4. Теорема о предельном поведении решений стохастических систем.

Выводы по третьему разделу.

Раздел 4. Содержательность случайных сигналов.,

4.1. Модель возможной оценки содержательности случайных сигналов.

4.2. Основная теорема. ф Выводы по четвертому разделу.

Основные результаты.

Актуальность темы исследования. Развитие стохастического анализа доказало важность подхода, основанного на стохастическом описании природы многих сложных физических и технологических проблем. Многие понятия и методы анализа в теории управления, математической физике могут заменяться более простыми, наглядными в стохастическом случае, в тех ситуациях, когда исследуемые процессы являются не детерминированными, а зависящими от множества случайных факторов. Большие надежды в настоящее время связываются с использованием вероятностных методов и для прогнозирования развития научных областей, созданием на их основе моделей информационных потоков для отображения широкого класса явлений и универсальных алгоритмов их построения, практическим применением получаемых выводов в современной технике. Примером области, где широко применяются методы стохастического анализа, может служить теория связи [64; 60].

Поскольку любая реальная система не может рассматриваться как изолированная и подчиняться строго детерминированным законам, то этот факт отражается при моделировании реальных динамических систем при помощи введения случайного воздействия. Эффективные методы для осуществления такого моделирования представляет теория стохастических уравнений, основы которой были заложены H.H. Боголюбовым, И.И. Гихманом, К. Ито [6; 18; 19; 20; 93; 94]. Интерес к изучению моделирования информационных потоков на основе стохастических уравнений заметно возрос. Большой вклад в развитие теории внесла и школа A.B. Скорохода [62; 63]. Новые направления теории стохастических уравнений, в том числе и в связи с применением к объяснению реальных явлений многоэлементных систем, отражены в монографии В.А. Дубко и др. [29; 30; 31; 32].

Исследования в области кодирования информации основываются на теории К. Шеннона, в основу которой с самого начала были им заложены вероятностные подходы [74; 75]. В этом направлении работали такие известные отечественные математики как А.Я. Хинчин, И.М. Гельфанд, А.Н. Колмогоров, A.M. Яглом [14; 42; 70; 71], которые внесли большой вклад в развитие математического фундамента теории информации. Однако, несмотря на большие успехи, задачи теории моделирования и исследования информационных потоков далеки еще от достаточно полного решения. Прежде всего, не решена проблема универсальности: конкретные практические задачи во многих случаях требуют разработки новых моделей, и их исследование на основе новых подходов.

К таким задачам относится проблема моделирования процессов взаимодействия информационных потоков. В связи с бесспорно сильной взаимосвязью всех областей знаний, возникает вопрос: насколько это взаимодействие существенно и может быть отображено современными методами математического моделирования?

К другому классу задач, который рассмотрен в диссертации, относится задача построения и исследования алгоритма, позволяющего решить вопрос: несет ли принимаемый сигнал смысловую информацию?

Все вышеизложенное определило пути и методы исследования в диссертационной работе.

Целью исследования является разработка и исследование новых математических моделей продуцирования потоков информации и их взаимодействия в условиях сильной неопределенности.

В соответствии с целью исследования определены следующие задачи

1. Рассмотреть особенности и недостатки моделей возникновения, переработки, передачи, преобразования, взаимодействия потоков информации, на примере потоков научных публикаций.

2. Исследовать эмпирическую информацию о потоках в различных научных областях по их статистическим характеристикам для выяснения необходимости развития моделей продуцирования научной информации с учетом взаимодействия потоков информации.

3. Разработать и исследовать билинейные интегро-дифференциальные модели с простой структурой, позволяющие качественно определить особенности динамики поведения многокомпонентных систем с сильной взаимосвязью, как моделей взаимодействия информационных потоков.

4. Разработать и исследовать алгоритм передачи и приема сигналов как пуассоновских последовательностей, позволяющего, после прохождения ими стохастизированной среды, при приеме определить, что в передаваемых сигналах заложена смысловая информация, не раскрывая ее содержания.

Достоверность полученных результатов. В работе используются методы и результаты теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории стохастических уравнений.

Достоверность полученных результатов обеспечена строгостью математических выкладок и приемов. Обоснования допущений и ограничений подтверждаются непротиворечивостью результатов моделирования эмпирическим данным.

Научная новизна.

1. Впервые разработаны модели взаимодействия информационных потоков с учетом значимой стохастической компоненты.

2. Исследованы особенности свойств точных решений для одного класса стохастических моделей многоэлементных систем на основе представления о коллективной переменной и дана интерпретация этих свойств с точки зрения взаимодействия информационных потоков.

3. Впервые разработан и обоснован алгоритм определения содержательности передаваемой информации в сигналах после прохождения через сильно стохастизированную среду на основе создания двух пуассоновских последовательностей сигналов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенные и исследованные математические модели позволяют исследовать предельные свойства решений, описывающих динамику взаимодействующих информационных потоков при учете значительных случайных возмущений, выделять системные законы для многоэлементных систем.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях:

1. «Проблемы информатизации региональных систем образования»: Хабаровск, 2001 г.

2. «Интеграция науки и образования с целью развития творческого потенциала специалистов»: Биробиджан, 2001 г.

3. Первая международная научно-практическая конференция «Открытые эволюционирующие системы»: Киев, 2002 г.

4. «IX Международная научная конференция имени академика М. Кравчука (1892 - 1942)»: Киев, 2002 г.

5. Вторая международная научно-практическая конференция «Открытые эволюционирующие системы»: Киев, 2003 г.

6. «Интеграция науки и образования основа развития и возрождения национально-регионального менталитета»: Биробиджан, 2004 г.

7. Вторая Всеукраинская научно-практическая конференция «Информационные технологии и безопасность в управлении»: Севастополь, 2005 г.

На кафедрах:

1. Математики Биробиджанского государственного педагогического института, 2002 г.

2. Математической физики механико-математического факультета Киевского национального университета им. Тараса Шевченко, 2002 г.

3. Информационных технологий Украинской академии государственного управления при президенте Украины, 2002 г.

4. Высшей математики и информатики Академии муниципального управления: Киев, 2002 г.

5. Высшей математики и информатики ВМУРоЛ «Украина»: Киев, 2002 г.

6. На научно-техническом совете факультета прикладной математики и кибернетики ТГУ: Томск, 2003г.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, библиографического списка используемой литературы и приложения. Полный объем работы содержит 117 страниц машинного текста. Список литературы содержит 102 наименования.

Основные результаты работы.

1. Для моделирования информационных потоков разработанные и исследованные билинейные интегро-дифференциальные модели взаимодействия информационных потоков, позволяющие определить особенности динамики поведения многокомпонентных систем с сильной взаимосвязью.

2. Впервые выявлены особенности свойств точных решений для одного класса стохастических моделей многоэлементных систем на основе представления о коллективной переменной, то есть нахождения зависимости динамики конкретного информационного потока от интегрального влияния всей совокупности информационных потоков, порожденных различными подобластями.

3. Предложен новый подход к передаче информации для повышения надежности в правильности оценки ее осмысленности в получаемых сигналах.

4. Разработан алгоритм определения содержательности передаваемой информации в сигналах прошедших через сильно стохастизированную среду.

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. -М.: ЮНИТИ, 2001, 1 т. 656 с.

2. Айламазян А.К. Информация и информационные системы. М.: Радио и связь, 1982. - 160 с.

3. Арапов М.В., Ефремов E.H., Шрейдер Ю.А. О смысле ранговых распределений // НТИ, 1975. Серия 2. - № 1. - С. 9 - 20.

4. Ахмеров Ф.Р. Некоторые методологические вопросы разработки региональных автоматизированных систем. // НТИ, 1972. Серия 2. - № 5. -С. 9 - 13.

5. Бережная Е.В. Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем М.: Финансы и статистика, 2001. -С. 137-184.

6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Физматгиз, 1963. -403 с.

7. Бонич Манфред. Научное исследование и научная информация. М.: Наука, 1976.- 156 с.

8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 2001 -575с.

9. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. - 380 с.

10. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2000. - 477 с.11 .Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979. - 424 с.

11. Владимирова А. В. Анализ состояния словаря УДК на примере разделов УДК 623/627 // Гидротехническое строительство, 1976. — №8. С. 15-22.

12. Вопросы моделирования и оптимизации информационных систем. / Под ред. Малинина С.Г., Сумарокова JI.H. М.: Информэлектро, 1973. -С. 46-68.

13. М.Гельфанд И.М., Колмогоров А.Н., Яглом А.М. К общему определению количества информации. ДАН СССР, 1956. - т. 111. - № 4. -С. 745-748.

14. Гергей Т., 1вахненко О.Г., Лемшевський Г.А. Про виб1р "стилю" або "мови" випадкових прототишв перцептрона // Автоматика, 1966 № 3. - С. 24-34.

15. Гергей Т., Несходовский В.И. Об одном подходе к теории адекватности // Автоматика, 1968 № 1 - С. 27 - 31.

16. Гипотезы прогнозы. Международный ежегодник. М.: Знание, 1989.-№22.

17. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук, думка, 1988. - 352 с.

18. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов в 3 томах-М.: Наука, 1971-1975. Т. 1. -664 с.

19. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов в 3 томах-М.: Наука, 1971-1975. Т.З. 496 с.

20. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наук, думка, 1982. - 610 с.

21. Глушков В.М. Гносеологическая природа информационного моделирования // Вопросы философии, 1963. № 10. - С.13 - 18.

22. Голик Ф.В. Многомерные импульсные потоки в теории асинхронных радиотехнических систем // Радиотехника, 1991. С. 18-19.

23. Горькова В.И., Меллион С.П. Закономерности распределения публикаций в периодических и продолжающихся изданиях по электротехнике и энергетике// НТИ, 1968. Серия 2. - № 11. - С. 3 - 7.

24. Горькова В.И., Меллион С.П. Закономерность распределения в периодичных и продолжающихся изданиях по электротехнике и энергетике // НТИ, 1968. Серия. 2 - № 11.

25. Горькова В.И., Наумычева К.И. Частотное распределение множества ключевых слов // НТИ, 1970. Серия 2. - № 6.

26. Горькова В.А. Системные исследования документального информационного потока. М.: Наука, 1980. - С. 240 - 264.

27. Давыдов М. Г. Стандартизация информации. М: Знание, 1978.63 с.

28. Дубко В.А. Вопросы теории и применения стохастических дифференциальных уравнений. Владивосток: ДВО АН СССР, 1989. - 85 с.

29. Дубко В.А. Применение метода обходного мышления // Педагогический процесс в условиях перехода к новому состоянию общества / Тезисы и докл. 3-й науч-практ. Межвуз. конфер. т. 4. - Биробиджан: БГПИ, 1995.

30. Дубко В.А, Рянский Ф.Н. и др. В поисках скрытого порядка. -Владивосток: Дальнаука, 1995. 185 с.

31. Дубко В.А. Метод диффузионной аппроксимации в исследовании моделей стохастических динамических систем. Владивосток: Дальнаука, 1994.- 107 с.

32. Дубко В.А., Нестеренко Т.В. Аппроксимация компонент решений бесконечных систем уравнений Ито / Асимптотичш та яюсш методи в теорп нелшшних коливань Кшв : 1н-т математики HAH Украши 1997. С.54 - 55.

33. Иванов Ю.В., Капустян В.М., Махотенко Ю.А. Об одном подходе к оценке роста документальных информационных потоков по времени // НТИ, 1973. Серия 2. - № 2. - С. 3 - 6.

34. Дж. Кайзер. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. М.: Мир, 1990. - 607 с.

35. Кендалл М. Ранговые корреляции. М.: Статистика, 1975. - 203 с.

36. Кучин Б.Л., Якушева E.B. Управление развитием экономических систем. -М.: Экономика, 1990. 157 с.

37. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю., Шуренков В.М. Случайные процессы. -Киев: Наук, думка, 1983. 366 с.

38. Козачков JI.C., Хурсин JI.A. Основное вероятностное распределение в системах информационных потоков // НТИ, 1968. Серия 2. - № 10.

39. Козачков JI.C. О некоторых проблемах релевантности в информации и науковедении // НТИ, 1969. Серия 2 - № 8, С. 3 - 11.

40. Козачков Л.С., Хурсин Л.А. О моделировании количественных закономерностей распределения публикаций в периодических изданиях // НТИ, 1967. Серия 2. - № 9. - С.З - 9.

41. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия «количество информации».- Проблемы передачи информации, 1965 т. 1.- jSisl.— С.З—11.

42. Межуева Т.И. Исследование информационных потоков для целей выявления тенденций развития отраслей // Россия и Китай: Интеграция в сфере экономики, науки и образования-Биробиджан, 1998.-С. 120- 123.

43. Межуева Т.И. Оптимизация в условиях открытости систем // Научный сборник международной научно-практической конференции «Открытые эволюционирующие системы». Киев, 2004. - Т. 2. - С. 78-79.

44. Межуева Т.И. Вероятностный подход к моделированию освоения минеральных ресурсов // Интеграция науки и образования ресурс развития региона, Биробиджан, 2002. -Т. 2. - С. 214-216.

45. Межуева Т.И. Вероятностные методы прогнозирования развития научной области // Проблемы информатизации региональных систем образования. Научно-педагогический сборник. Хабаровск: ХГПУ, 2001. - С. 63 - 66.

46. Межуева Т.И. Модели эволюции, селекции и интеграции знаний // Межвузовский сборник научных трудов. Биробиджан, 2001. - С. 220 - 224.

47. Межуева Т.И. Билинейная модель взаимодействия информационных потоков. Владивосток: Дальнаука, 2002- 7 с. (Препринт ДВО РАН, Хабаровское отделение Института прикладной математики: 02).

48. Межуева Т.И. Математическая модель информационного потока // Научный сборник международной конференции «Открытые эволюционирующие системы». Киев, 2002. - С. 42.

49. Межуева Т.И. Определения осмысленности сигнала на основе исключения случайных факторов // Научный сборник международной конференции «Открытые эволюционирующие системы».- Киев, 2002 С. 43 - 44.

50. Межуева Т.И. Модели жизненного цикла информации // Труды ДВГТУ 133 выпуск, Владивосток 2003. С.242 - 245.

51. Межуева Т.И. Математическая модель оценки содержательности случайных сигналов // Труды ДВГТУ 133 выпуск, Владивосток 2003.- С.245-247.

52. Межуева Т.И. Исследование прогнозной модели для проведения перспективного анализа функционирования научных отраслей // Сборник докладов международной научно-практической конференции, Биробиджан, 2004. -Ч. 1.- С. 27-29.

53. Основы математической статистики: Учебное пособие / Под ред. B.C. Иванова.-М.:ФиС, 1990.-С. 171.

54. Письмен JI. Круги литературы и физики // Знание-сила, 1973 № 2. - С. 34-36.

55. Понтрягин А.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1974.-331 с.

56. Прайс Д. Малая наука, большая наука. М.: Прогресс, 1966. - С.281385.

57. Радченко С.Г. Алгоритм устойчивого оценивания коэффициентов статистических моделей с использованием фиктивных факторов // Математичне моделювання, 2001. -№1.- С. 56-58.

58. Самков Л.М. Математическая информатика // Проблемы информатики. Вып. 1. Новосибирск, 1970. - С. 52 - 65.

59. Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И., Кречет Т.В. Теория информации и кодирование. Ростов-на-Дону: Феникс, 2002. - 287 с.

60. Свирижев Ю.М., Лагоферт Д.О. Устойчивость Биологических сообществ. М.: Наука, 1978. - 352 с.

61. Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем. М.: Наука, 1983.- 189 с.

62. Скороход A.B.Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. Киев: Наук, думка, 1987 - 328 с.

63. Снайдер Д. Метод уравнения состояния для непрерывной оценки к применению в теории связи. М.: Энергия, 1973. - Б-ка по автоматике -Вып. 501.-104 с.

64. Суханов А.П. Мир информации. М.: Мысль, 1986. - 202 с.

65. Теплов Д.Ю., Горохова Т.А., Футько З.А. // Некоторые результаты изучения информационных потоков. НТИ, 1969. - Серия. 2. - № 2.

66. Толстошев В.В. Информационная инфраструктура. М.: Знание, 1980.-64 с.

67. Хасминский Р.З. Устойчивость дифференциальных уравнений при случайном возмущении их параметров. М.:Физматгиз, 1969. - 368 с.

68. Херринг К. Потонуть в потоке информации или отобрать существенное. Необходимость в образах. УФН, 1969. - 369 с.

69. Хинчин А. Я. Понятие энтропии в теории вероятностей. УМН, 1956.-Т. 8. - вып. 3.-С. 3-20.

70. Хинчин А. Я. Об основных теоремах теории информации. УМН, 1956. - Т. 11.-вып. 1.-С. 17-75.

71. Хурсин Л.А. Система научно- технических журналов, структура и информация. НТИ, 1970. - Серия 2. - № 11.

72. Черенга B.C. Расчёт и проектирование технических средств обмена и передачи информации. М: Высшая школа, 1990. - 223 с.

73. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетики. М.: Иностранная литература, 1963. - С. 243 - 622.

74. Шеннон К. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - С.243 — 332.

75. Шрейдер Ю.А. О возможности теоретического вывода статистических закономерностей текста // Проблемы передачи информации, 1967. -№3.

76. Шрейдер Ю.А. Информация и метоинформация // Проблемы передачи информации, 1974. №4. - С. 3 - 7.

77. Яновский В.И. Научная информация и система публикаций // Науковедение и информатика. Вып. 7. - Киев: Наукова думка, 1972, с. 37 -42.

78. Яблонский А.И. Стохастические модели научной деятельности // Системные исследования. Ежегодник. 1975. М.: Наука, 1976. - С. 16-23.

79. Яблонский А.И. Модели и методы математического исследования науки: Научно- аналитический обзор. М.: ИНИОН, 1977. - 106 с.

80. Bonitz М. Eine Methode zur Optimierung des Zeitschriften bestandes in grosse forschungs bibliotheken. 1976.S 25-40.

81. Bradford S.C. Documentation. L.: Lockwood. 1948, p 63 69.

82. Brookes B.C. The complete Bradford-Zipf "bibliograph"// J.Doc.1969 Vol 25.p 58-60.

83. Carnap R. a Bar-Hiller Y. An Outline of Theory of Semantic Information, M. J. Research Lab. Elechronics Tech. Rept. 247, 1953.

84. Ciganik Marek. Tok informacii a jego ovladanie. Jn: Bibliogr. sp.1966. Martin, 1967, p. 56-82.

85. Ciganik Marek. Modely prestupu informacii. "Met. a techn. inform.", 1970, v.12, N 4, p. 14-30.

86. Dawkins Young P. The individual in an age change.-"Amtr. Docum.",1968, v. 19, N 3, p. 269.

87. Fattorello F. La documentazione e la tecnica sociale delP'informazione.-"Congr.- rassegna internaz. docum. e inform, scient.-tecn.", Roma, 1964, v. 1, p. 3 12.

88. Garvey William D., Griffith Beivar C. Scientific information exchange in psychology.-"Science", 1964, v. 146, N3562, p. 1655 1659.

89. Geplante Forschund planmassiger Fortschritt / Gesprach mit U. Hofmann / Spectrum. 1974. Bd 5/7. s.5 - 8.

90. Hermann Peter, Rudolf Dieter. Informationsfluss und Information fur leitende Kader. "ZIID-Schriftner", 1967, N 17, s. 102- 118.

91. Ito K. On a formula concerning stochastic differentials.- Nagoya Math. J., 1951,3,55.

92. Ito K. Stochastic differential equations on a differentiable manifold. -Nagoya Math. J., 1950, 1,35

93. Lotka A. J. The freguency distribution of schientific productivity/ I .Wash. Acad. Sei 1926. Vol 16.P 317.

94. Moles Abraham A. Cybernetique, creation intellectuelle et perception des formes. -"Inform. UFOD", 1962, v. 9, N 8, p. 42 44.

95. Regan John E. The dynamic aspects jf information flow within a society.-"JEEE Trans. Eng. Writ, and Speech", 1960, v. 13, N2, p. 65-73.

96. Sonka Jaroslav. Tok informaci ve VTEL.-"Yechn. Knih". 1970, v. 14, N 12, p. 377-380.

97. Vontorcik Emil. K teoretickemu modeiu informatiky.-"Knizn.avedeck. inform.", 1970, N3, p. 97 100.

98. Waiter Rudoif. Zum Verhältnis von gesellschaftswissen schafllichtr Information und Leitungsinformation. - "ZIID-Zeitschrift", 1968,Bd. 15, N1, s. 10 -13.

99. Weil B.H. The eitation outlook for 1985/ Jntern. Forum of Jnform and Doc. 1976. Vol 1/3 p.9-11.

100. Yablonsky A.I. On fundamental regularities of the distribution of scientific productivity. Scientometrics, 1980, v. 2.

101. Zipf G. K. Human behaviour and the principle of least effort. Gambridge (Mass.): Addison-Wesley.1949.1. Формула Ито

102. Пусть /(/) = /(х; непрерывная и ограниченная вместе со своими частными производными /"х , /, . — 1, п, - вещественная функция.1. Тогда4Я*(0;0 =я 1 я т•»')+2>,(0/4 +т 116« «ОС, (*;/)и /я (•=1 /Ы1. Лемма Гронуола Беллмана

103. Пусть и(/) > 0, /(0^0, с>0;/йеС(/0,оо) и \/t>t0и(/) < с + |и(т)/(т)^т.о1. Тогда справедлива оценкаи(/) < сехр<^ \/(т)с1т