автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование специальных классов случайнфх процессов, описывающих некоторые механические системы

, ГЛЛ1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.МАРАСУЛЗАДЕ

на правах рукописи ШУКЮРОВ АЛИШИРИН САЯДУЛЛА оглы

ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ .ОПИСЫВАЮЩИХ НЕКОТОРЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

05.13.16 -- Применение вычислительной техники,математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

А В ТОРЕФЕ PAT

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

БАКУ -1997

Работа выполнена в Азербайджанском Государственном Педагогическом Университете им. Н.Туси Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент Джафаров К. М.

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор Муратов И. X.

- кандидат физико-математических наук АхмедоваХ. М.

Ведущее предприятие: Азербайджанский Государственный

экономический институт.

Защита состоится ■Л.лХ^'шД- 1997 г.

в {Ч час, на заседании Специализированного Совета Н 054.03.02 при Бакинском Государственном Университете им.М.А.Расулзаде по адресу: 370141, ул. акад. З.Халилова, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке БГУ.

Автореферат разослан ¿, 1997 г.

Ученый секретарь

¡ета .

М}с

Специализированного Совета ,

п ¡фащу7

доктор технических наук, профессор (у^Ъ Расулов М.А

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Изучение случайных процессов, возникающих в технике - одно из бурно развивающихся областей теории вероятностей. Среди многих случайных процессов одними из важ-зейпих являются процессы с дискретным вмешательством случая, юлумарковские процессы и т.п. Их изучение представляет не кэлько теоретический, но и значителный практический интерес в :вязи с тем, что они являются математической моделью многих ре-1льн0 встречающихся явлений в технике.

Но возрастающая потребность практики и дальнейшее развитие еории требуют рассматрения более сложных процессов. В частнос-и, многочисленные задачи теории надежности, теории массового бслуживания, управления запасами и др сводятся к изучению, так азываемых, процессов с дискретным вмешательством случая с двумя {ранами, полумарковские процессы с двумя экранами. В связи с гам, вопросы связанные с изучением различных аспектов процессов дискретным вмешательством случая с двумя экранами и полумарков-аю процессы с двумя экранами, являются актуальными как с точки юния теории, так и практики.

Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение зличных аспектов процессов с дискретным вмешательством случая двумя экранами, описывающих поведение технических систем с час-чньм восстановлении ресурса и полумарковских процессов, описы-шщх поведение технических систем с утраченными ресурса?®.

Методы исследования. В диссертации использованы общие методы зрии случайных процессов, эргодической теории, теории восстановим и теории надежности.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются чили:

1. Найдены одномерные функции распределения процесса, описывающего поведение технических систем с частичным восстановлением ресурса.

2. Доказана эргодическзя теорема и найдзн явный вид эргодическо-го распределения.

3. Получены асимптотические формулы для некоторых вероятностных характеристик рассматриваемого процесса.

4. Найдены одномерные функции распределения процесса,описывающего поведение технических систем с утраченными ресурсами.

5 Найдено математическое ожидание первого момента достижения на верхний экран рассматриваемого процесса.

Практическая ценность. Результаты диссертацинонной работы представляют не только теоретический, но и большой практический интерес. Так результаты диссертационной работы могут быть применены в теории надежности, обслуживания, управления запасами и др.

Апробация работы.Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры "Теория вероятностей и математическая статистика" КРУ им. М.Э.Расулзаде, кафедры " Вычислительная математика и теория вероятностей" АТОУ им.Н. Туси, сектора "Управляемые системы массового обслуживания" ИК АН Азербайджана Результаты диссертации также докладывались на научной конференции аспирантов Педагогических ВУЗов реслублики.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приводятся в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Объем диссертации ИЗ страниц.Библиография содеркит 59 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. 1о введении дан краткий обзор работ .относящихся к теме диссертации I изложены ее основные результаты.

В первой и во второй главах работы изучаются различные аспекты гроцесса с дискретным вмешательством случая с двумя экранами, опирающего поведение технических систем с частичным восстановлением зесурса.

Пусть на некотором вероятностном пространстве |п,т,р| заданы юследоЕательности ), {т^}, »1=1»«

»зависимых одинаково распределенных случайных величин с функциями Распределений, соответственно Р^(х), Р^Сх), Р^-(х), причем ^, т)1, ; являются независимыми случайными величинами между собой и

Р££ 1 ¡Ю^РСт^ гО}=Р£С130>=1

В § I гл.1 построен случайный процесс, описнваюций поведение технической системы с частичным восстановлением ресурса.

хт=

[ \ +т -ъ , 1

п п * г» п+1

ь п *г>*и+' п+1 п+1* '

А.0=г; гвСОДЗ, Т>0 \ = пйпСТ; тахШ;\ г 5 )+ С

П * * п- 1 "п *

01= т1п{Д.0; ^ ъ 0 ^ = 9 +"4 + о1пС\ ; £ . з,

п+1 п "п п' ^п+1 *

r n f а' ° > ° ° = 1 О, а ^ О

Посстровнный случайный процесс X(t), описывающий поведение не которой стохастической технической системы с ограниченным ресурсом (Т>0) является хорошей моделью для вычисления остаточного ресурса этой технической системы. Действительно .если fL интерпретировать как продолжительность работы системы, т}. как продолжительность обслуживания системы до восстановления, как величины получения импульса в момент восстановления, тогда процесс X(t) означает состояние системы в момент t.

В §2 гл. I найдены одномерные функции распределения процесса X(t) и распределение момента 7t> который интерпретируется как пери< до первого капитального ремонта рассмотренной технической системы.

Положим

Q(t,x,a)=P£X(t)<x /X(0)=s>= p.{X(t)<x)

Обозначим через i(?0и £ (Л.) соответственно преобразования Лапласа i Лапласа-Стильтесв функции i(t)no t, а через f(t, )усреднение фугаа i(t,a)no аргументу z.

rv

Теорема I.2.I.Q(\,xtz) имеет следуиций вид:

Q(\,X,Z)=G(A.,X,Z)- [л. G(X,co,z)- l]

К §(?..,со,.)

где

G(t,X,3)=F2 j XCtXxij^t j, G(t,oo,z)= lim G(t,x,z)r

I-»co

7±= Inf | t>7t;X(t)>0 J ,

7t= inf | t>0 ;X(t)=0 |

Здесь функции G( t,x,z ), G(t,f»,s ) и Gt (t.co.s) вырааены через вероятностные характеристики исходных случайных величин.

Полученное выражение для Gt (t,<a,z)=P,i71>t} имеет важное значение в практике, так что дает вероятность того, что техническая система за время (0,t) не пойдет в капитальный ремонт.

Gj (t,<D,a)=Pj,i71>t}= A(t;T;z)+B(t,s)*A(t;T;T)+

Ш n+ i

+B(t,S>*[ £ B(t,T)7 *A(t,T,T)J,

n=2

где со

A(t,x,z)= £ Pjz+St+1(C- £)- lt>0;s + Sk(Q~£)<T; ЫТп ;

n=0

[atSn(Tj* C)]9 (tjt+xJjS^e+TjJi^d+iD+^^J +

П- rt v

CO

2+sv_i (C-E)-Ev>0;z+sl! (C-g)<T;k=T7n;

n=0

Зк (С )= ^ , для всех натуральных к.

03 г _

г+з^ <С-5 )-?п>о;2+зп <с-е)*т;8п <£+т|)<^

В § 1.3.Г гл. доказана эргодаческая теорема для Ха) Теорема 1.3.1. Пусть 1)С1-нерешетчатая положительная случайная величина,

2) Мт?х< со , >0) >0,

тогда процесс Х(1;) эргодичен и для любой измеримой ограниченной функции Г(х) выполняется следующее соотношение:

то

Ия ¡Т = "н^-щ- [ /^(0.-..) +■ А/(0,.,Т)[1-В*(0,Т)]1.

. В*(0,.)+/(0)Кг)],

где

г

1^.(0,.,| /(х)йхА(0,х,и) для всех аеСОД!

A(t,x,z) и B(t,z) являются вероятностными характеристиками исход-х последовательностей случайных величин }, {tj. ), iCtï. t=l,oo

со

A(t,x,z)=^> p{s+S1c_1 (C-Ç)-ft>0;s+Sk(C-£)<T,k=ï7n;

n=0

[z+Sn(Tff|)]e [t;t+xJ;Sn(5+T])<t<Sn(ç+T|)+en+1j +

со n=0

[z+sn (C-i )-en+1]e[o;x) ;Sn (Ç«i)+Çnt, «t<Sn (£«})}, 00

B(t,B)-£ Pfz+s^, (C-ç)-çl>0;z+sA (C-£)<T;i=i,n-i ;

n=l

z+sn_1 (C-Ç)-Çn>0;z+Sn(C-Ç)3T;Sn(Ç+T})<t j

§ 4 гл.1 получен явный вид эргодичеекого распределения, най-ю математическое ожидание и дисперсия процесса Х(1;)прй I ■* со .

Следствие 1.4.1. Если выполняются условия теоремы 1.3.1., то ^одическое распределение процесса Х(£) существует и имеет следую-I вид:

Q(y)=Zira Р_{x<t)<y) = —-Г А (О,у,. ) +

i-«o -1 ) М71+Мт]1 L

+ В*(0,.)[1-В*(0,Т)] 11(0,У^)+МТ) ]

где

А(0,у,.)={ 1(0,у,в)ИРс(г),

в*(0,.)=| в*(0,а)а?с(а)

о

Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса ХШ при I -» ю получены в следущем виде

МТ^Ыт),

— -1 [т [1-В*(0,Т)] . А(0,Т,Т) Б*(0,.)-

*

-| £ 1(0>х,.)+А(0,1Д).[1-В*(0Д)] 'в'ш,.)]^

1 ~ -1 ""

Х)Х= - Гта АСО.Т.О+Г2 р!-В*(0,Т)] А(0,Т,Т) В*(0,.)-

М71 +Мт]1 «- 1 -1

1 1 - г| х Д(0,х,.)0х- 2[1-В*(0,Т)] 'в'Чо,.) х А(0,х,т)йх ]-[мх]

1

В §4 гл.1 вычислено математическое ожидание 71, интерпретируемый сак первый момент попадания процесса X(t) в нулевое состояние

HTl= А(0,3\.)+А(0,Т.Т) [1-В*(0,Т)] 1 В*(0,.)

Во второй главе найдены асимптотические формулы некоторых ва-юятностных характеристик случайного процесса Х(Ъ), имащиа прак-гический интерес в теории надежности, в теории управления запасами Í ДР-

В §1 гл.2 найдены асимптотические формулы для математического зжидания и дисперсии случайного процесса X(t) при больших значениях Г и при t со .

Щ, - Щ

í£X(t)- —--— t + 0(1)

Hít+ Mtj,

(МГ-ВД.)2 (БР+Dn.) ux(t)= —---—=—--^— t + o;i)

(К^+Кг;,)3

Здесь учитывается, что M£t< MCt

В §2 гл.2 найдены фэрмуды для MX(t) и DX(t), характеризущие :ложную систему, состоящуп из двух последовательных подсистем. Рассмотрены частные случаи.

В §3.гл.2 найден алгоритм вьгпюлнния некоторых числовых характеристик первого шмеЕтз попадания процесса X(t> в нулевое состояние при Т оо .

К£4+ ftl»

Полученное выражение для М71 есть среднее значение продолжительности работы до первого капитального ремонта рассмотренной технической сис теш. Здесь учитыавется,что ЫС1< М^

В 5 4 гл.2 найдены формулы для К71 и Бт1,характеризующие сложну систему, состоящую из двух последовательных и параллельных подсистем Рассмотрен частный случай, когда последовательности случайных величи имеют показательное распределение.

В третьей главе изучаются некоторые вероятностные характеристики случайного процесса, описывающего поведение технических систем с утраченными ресурсами.

Цусть на некотором вероятностном пространстве £П, т, Р} задана последовательность независимых, одинаково распределенных случайных пар С,т)к)}, к=1,2.....с независимыми, положительными компонентами, т.е.:

и соответствующими функциями распределений

В § I гл.3 построен следующий случайный процесс:

п

г у Г)к при Тп < г < а.п+1 У(1;)= к=1

1 при X 1; < т .

п х п +-1 п+1

,П=0,са ,

где 1а=т1п<4;£1, Т- любое положительное числа.

V0- П,- п е И

Если через обозначим длительность работы технической системы до к-го текущего ремонта, а через т^ случайное время до к-го момента восстанавлвния, тогда построенный случайный процесс У*(1;)=Т-У(1;) является хорошей математической моделью для эпределения остаточного ресурса технической системы с утраченными ресурсами к моменту 1;.

В § 2 гл. 3 найдено преобразование Лапласа одномерной функции распределений процесса У(1;) . Золояим

0(1)=11га 0(1:,х)=Р

где

*

Обозначим через Г (Д.) и Г соотвестзенно преобразования Лапласа и Лапласа-Стильтеса функции 1(1;) по г

Теорема 1.2.3. Если случайные величины имеют абсолютно непрерывные распределения, то преобразование Лапласа одномерных, функций распределений процесса У(1;) имеет следующий вид:

1 5(А.,х)

<3(А.,х)= - —*-

К й^)

Функция О^^рСв^т} выражена через вероятностные характеристики исходных последовательностей случайных величин {д.}, (к = 1 ,со) и означает вероятность того, что техническая система с утраченными ресурсами за время (0,1;) не пойдет в капитальный ремонт.

I 1-й

йт = + | ал | Ф(г-и-у)?(у;и)!3у +

11-Т1 о +

1т_ Ч * 1"у

+ | Рсг- у)<р(у)<эу + |с!у |ф(у-у)йи |у(и;и)Р(г-у-и)аи ,

О ООО

где ф(и) и 1 (и) функции плотностей случайных величин | и т), соотве тственнс

Ф(1;)=1-Ф(1;), Р^Ы-РСЮ, 7(и;и)=п|:1фп(о)Г(и)>

, е(Т-г) = ] □, Ц), ад

В 5 3 гл.З найдено математическое ожидание первого момента рстихения случайного процесса У(1) на верхний экран, когда лучайные величины ,т]1 ,1=1 ,оо , распределены по показательным аконам с параметрами ЪО ,ц>0 , соответственно.

Теорема 1.3.3. Если случайные величины ^ ,т)1 распределены по пказательным законам с параметрами Я.>0, ц>0 соответственно, то ^тематическое ожидание 61 имеет .следующий вид:

4

Кб.

1=1

1-е*1

а,

да 1-еХ1

V- (И л) г г

С2(Т)=) —--уВСп+Ьп) Г(2п+1 ,Т,\) +

(п+1 )(п+2)... (п+к) т

- - Г(2п+к+2,Т,Л.)Н

. (2п+1) (2п+2) — (2п+к+2) (к+1)! J

-М

Т Тп+1 е

+ -Г(п,Т,ц)+ - —--Г(п)] ,

? ? и" J

о3(Т)=

1- е

2 цп

-Я.Т

Г г Г

п [<п-<Н]2 1 I

^ (п+1 )(п+2)____(гн-к+1) (ц-М 1

+ ) - - Г(2хн-к+3,Т,р.)

(2п+2)(2п+3)"■*(2п+к+2) (к+1)! ]

Т"*1 е п

ГГГ(п1) ],

В(«,р)- Бетта функция, Г(с<)-полная Гамма функция, Г (п, Т, М -неполная Гамма функция Эйлера в виде

т

Г(п,ТД)= | х^е'^сИ о

Полученное выражение для М81 означает среднее значение продолжительности работы до первого капитального ремонта стохостической технической системы с утраченными ресурсами, если длительность обслуживания до восстановления распределены по показательным законам.

ОСНОВЗЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ и выводы.

1. Построен случайный процесс с двумя экранами, описывающий поведение стохастической технической системы с частичным ...

восстановлением ресурса. Построенный случайный процесс является хорошей математической моделью для вычисления остаточного ресурса этой технической системы.

2. Найдены одномерные функции распределения процесса и распределение первого момента попадания случайного процесса в нуле-

вое состояние. Распределение первого момента попадания случайного процесса в нулевое состояние дает вероятность того,что техническая система с частичным восстановлением ресурса за время (ОД) не пойдет в капитальный ремонт.

3. Доказана эргодачесная теорема и найден явный вид эргоди-ческого распределения случайного процесса, описывающего поведение технической системы с частичным восстановлением ресурса.

4. Из эргодической теорема получены формулы для математического ожидания и дисперсии рассматриваемого процесса.

5. Получены асимптотические формулы для математического ожидания и дисперсии рассматриваемого случайного процесса.Эти формулы обобщены для сложной технической системы, состоящей из двух последовательных подсистем. Рассмотрены частные случаи.

6. Получены асимптотические формулы математического ожидания и дисперсии для первого момента попадания случайного процесса в нулевое состояние. Эти формулы обобщены для сложной технической системы. Полученные формулы имеют важное практическое значение.

Математическое ожидание первого момента попадания случайного процесса означает среднее Еремя до первого капитального ремонта технической системы с частичным восстановлением ресурса.

7. Построен случайный процесс, описывающий поведение стохастической технической системы с утраченными ресурсами. С помощью этого случайного процесса можно определить остаточный ресурс этой технической системы.

8. Найдены одномерные функции распределения процесса и распределение первого момента достижения случайного процесса верхнего

экрана, распределение первого момента достижения случайного процесса верхнего экрана определяет вероятность того, что техническая система с утраченными ресурсами за время (0,t) не пойдет в капитальный ремонт.

9. Найдено математическое ожидание первого момента достижения случайного процесса верхнего экрана. Полученная формула для математического ожидания означает среднее время до первого капитального ремонта технической системы с утраченными ресурсами. Здесь предпологается, что длительность работы до текущего ремонта и время обслуживания до восстановления распределены да показательным законам.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОХИМЯ ДИССЕРТАЦИЙ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУШЩ РАБОТАХ

1.Ханиев Т.А., Шукюров A.C. Конечномерные распределения случайного процесса, описывающего поведение некоторых систем с утраченными ресурсами. ВИНИТИ "Деп.науч.раб.".» 2/256/1993.

2.Ханиев Т.А., Щуквров A.C. О вероятностных характеристиках случайного процесса описывающего функционирование механической системы с частичным постановлением ресурса. ВИНИТИ "Двп.науч.рзб." * 2 /256 /1993.

3.Ханиев Т.А.Щуквров А.С.Преобразование Лапласа одномерных функций распределения полунепрерывного случайного процесса с двумя экранами. Аз.НИИНГИ "ДЕП.науч.раб." J6 2, 1993.

4.Шукуров Э.С. Ики екранлы асылы олма.]ан компонентлэрэ малик Ларым-кэсилмэз твсэдуфи просес учун ергодик теорем. Дз.респ.педаг.али

мэк.аспирант. Елми конфрансы 1993. б.Джафаров K.M..Шукюров A.C. Явный вид эргодического распределения полунепрерывного случайного процесса с двумя экранами.Тэбиет елм-лери cepnJacH, JK-2, Бакы, 1995.

ЛИЧБШ ВКЛАД СОИСКАТЕЛЯ В РАБОТАХ, ВЫПОЛНЕННЫХ

в (I)-доказана теорема и найдено распределение первого момента попадания случайного процесса в нулеве? состояние; в (2)-найдено математическое ожидание случайного процесса; в (3)-доказана теорема и найдено распределение первого момента попадания случайного прцесса в нулевое состояние; в (5)-найден явный вид эргодического распределения.

В СОАВТОРСТВЕ

итогов в.с.

MYBJJBH МЕХАНИКИ СИСТЕМЛБРИ ТВСВИР Е№Н ГГСУСИ СИНИФ ТЭСАДУФИ ПРОСЕСЛЭРИН тэдгиги.

XYMca

Тэгдим олунаи ишдэ MBjjeH механики системлэрин вэзкЛJbthhi' тесвир еден хусуси синиф тэсадуфи просе слэрин бэзи еПтимаг характеристикалары еЛрэнилмитдир Бу тэсадуфи просеслэр yip бирелчулу паЛланма функсиЛасы тапшынш, ергодик теорем исбат олунмуш.ергодик паЛланмаинн ашкар шэкли талылмышдар. Ejmi заманда бу просеслэр синфинин бэзи еИтимал характеристикалары учун асимптотик дустурлар апынмышдыр.

ДиссертасиЛа ишинин нэтичэлэри етибарлнлыг нэзэри„Цэсиндэ, кутлеви хидаэт назэриjЛэсиндэ, ейтиЛатларын идарэ олунмасы нэзэриЛЛэсикдэ вэ с тэтибиг олуна билэр.

SHUKOP.OV A.S.

ШЕ RESEARCHES OF SPECIAL CLASS OP SUDDHi PROCESS DI5CRIBIHG SEVERAL HECAHICAL SYSTHiS.

SUMMARY

The thesis Is dedicated to the investigation of processes with two random screens descrlblind some mechanical systems In this a 1 dl-imensional distribution function of processes Is found, It was proved that the processes are ergodlc and explicit form of ergodic distribution is obtained. Asymptotic eguatlons for the зоте pobab-llity characteristics of process are also obtained. In general, the results of thesis may be applied In Rellbity theory, Resaurce control theory. Queuing theory and etc.