автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование разностных схем для нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих фильтрационные и гидравлические процессы

/ и - ~ А Г''

чгомстерство народного образования республики казахстан казахский ордена трудового красного знаю ¡и гооудаготвеншй унирегситет ЯМ. а.пъ-флраеи

на правах рукоптч»

о .<"

ЛЙТОПвВ АбДУЛрПХИМ АЙДУЛХПК'.'МОРИЧ

исследорагогс рмшостшх г ли 5 длп

'тштйных диивгантллыш твиапй, опигшдиш «и/пугращомм? и гидравлический плшги,

'6.13.16 - применошга внчис.т1тчльной техники, математического модэлирорвняя ч мотумэштоских методов в илучинт

исслодоряииях

АВТОРВФВ Р'А Т

, г

диссертации иа соискание ученой степени каялидатч физике-мате эп.»еских наук

Алма-Ате 1992

Ра&на ьшыштш ь Казахском ордмна Трудового красного Знамени гоеударственоы университете им. Аль-Фараэи

Научный руководитель; доктор физико-матйматичвских наук,

профессор СМАГУЛОВ Ш.С. (Казахский госундверситет).

ифцщиалише оппаноцти: член-корреспондент Российской АН,

доктор физико-математических наук, профессор МОНАХОВ В.Н, (Носоомоирский.госуяиверситет).

кандидат <|маюш-математических наук

доцент ИЛСБАКВ Ь.Р.

(Казахский сель.-хоз. институт)

Вадущая организация: Институт Гидродинамики СО РАН

(г.Новосибирск)

Защита состоится " 1992 г. в ^ часов

ць ааседании а ш ци али ь и ров анис го сонета К 0йь.01.16 при Казахском государственной университете им. Аль-Фараби по адресу: Республика Казахстан, г.Алма-Ата, ул.Маоьнчи,39/47, в ауд.

0 диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КааГУ.

Отзыви на автореферат шеилать по адресу:

Республика Казахстан, г.Алма-Ата, 48012), ул. Тимирязева,4Л, Казахский государственный университет имени Аль-ФараОи. Ученому секретарю.

Автореферат разослан пЯЗ " ^¿¡^г?/**-^ \ 992 г.

Учеьий секретарь специализированного совета, доктор физико-математических о,'^

наук, пр-фссор ЖЕРЕБЯТЬЕВ И.Ф.

0ШМ1 ЯАГЛКТК1МСТ1ЛСА ГЛВОШ

Актуялмюот»! И|>оЛЖ>»ЯЛ. В СГШГН1 Г т»пЛ*ОДИМООТЬМ 1»>|!!<?|Н1Я л.тач«Р;<Пм »'¡кЛтч, пчишйшх о нирушипмл остостионного подлого Заллпсч« hl.ii болмчуп тступл?.нооть лриоЧротчют н-трог."' охрлн;< Я

рПЦНОЧЛЛЫЮГП исггп.пьппгщит' рпГПШХ Р')^У|)Г(,П. ОДЧ!"' ЦП п С/1ГН'Ч!!Х млг.тлтии П(."Ч Г'ТИХ 1Ч1Г,Г1ЛПМ ЯПЛЯОТС.1! 1".К'тропццп мотг.мм I и -

Ч<?ОКИХ МЛДОЛОЙ ПТЮЦОССОИ ЛМЖЧНИН ГруП'ГОИЧХ И П01'0рхчог:тп"г, РОД, Ц|НГ!!ПЦ1К1 П°Д!< V ОТКрПТМХ 1.".'ДОТОКЧХ МОМЮ СП'ИСНИЧТЬ Д'.1'№'ПИ'>ЧТ:"Ч щчюлнж'чтом ур'лш'.чтй Син-иштлип (ДПУОГО, п дккжонио грунтопнх ;'Г)Д ургадгчтом БуСОИ№<'К'!. УтИ урДОШ'ЧЬ»! ЯНЛЯШГРЛ ШЧЧИПОЙНММИ И

ш.чтанямп.пм'х'я. По^т^му осгчЗий иитор*>с продотянлнмт яощю'л;, о»<я-яошш" с чиглешшми глотолями их рокешш при помета рнзностннх

"хрм, И удс.г.одовпии') СПОЙСТЛ ЭТНА СХОМ.

Цель рлОотм. Кгслелошнк" ргкчюотмх ухом для дК'Млрониимлъ-них у'р'ТТйГ'ЛТй^"апио'ипмех^ик дшшчш« груитош* и попархностнчх ги>д, я именно:

I. .чршчп^! для отощюнирного ДШСВ;

пячпл!№.>-1.,'юной поп.'Г"г для эгглаюшгсшного Д1ОТВ; л. ппдпчи Лирихле для иллиптичоекого доумернога кничилипеЛиого УрЛПИеНИЯ ЛТОрОГО ПОрЯДДЧ С ДИТОрГОПТНОЙ ГЛПШЮР ЧПСТЫО.

Урпин>ч|цч Г.усстюскя, огтош.«бтоо устансвтичееел точошю груптогпп иод, как иэнестно, яачяется частным случаем последней рядпчи.

Нпучппн ногтгчт. Мсслодуошо в работе рпэностшо схемч для диДОуда »»пи приОлйвдппй урпинопиП 'эн-Ионани широко применяются при прЕттичпеких шчислснилх. Однако, попроси, относящиеся к изучению споПстз этих ртоностннх схем в обьимо, прпдотпгленном в ипстолщмП диепортпции, но толп достаточного отрпкптш в теоретических 1тсслпд0плпиях. Продложотшя рПЗНОСТНЧП охрмп для двуморио-ГО КВЯИИЛИИеШюГО урчпнопия эллиптического типе С ДИПЧрГП!1ТП0Й гллгчюй чпетыо япляэтея оригинальной. Свойства птоЛ схем» исследуются и диссертации достаточно полно. Для укпзшшчх зпдпч лрод--лягяютея ллгоритгли реализации ча ЭВМ.

Теоретическое и практическое аиачеше результатов. Уст^иов-лишчё и диссортшцш результаты и иаюльзопошше при этом методы имеют теоретическое значение. В работе получен« условия устойчи-

вости и сходимости разностных схем, которые могут быть полезными при практических вычислениях на ЭВМ. Вопроси, связанные о построением и иссле дованием р&аностшх схем для указанных нелинейных уравнений, представляют немалый интерес о точки зрения теории разностных схем.

А:/рсйьция работы. Основные результаты диссертации докладывались на XXVI Всесокной студенческой неучной конференции (1988, г. Новосибирск), на конференции молодых ученик и специалистов в КазГУ (1988, г. Алма-Ата), на заседаниях научного семинара "Численные метода 'механики сплошной среди", проводимых под руководством. д:ф.-м.н., профессора С-агулова Ш.С.' (КазГУ). По результатам диссертации опубликовано две работы. Две статьи находятся в печати.

С-уручтура диссертации. Работа состоит из введения, списка иопользовашюх~ос5ознвчэний, четырех гнав, заключения и списка литературы.

краткое содьишш; рашш

В диссертации и автореферате в основном использовались обозначения принятые в Ш и 121.

Во введении дана постановка задачи; перечислены осноыше допущения, при выполнении которых выводятся исследуемые уравнения; проделан небольшой об?чр литературы по изучаемым вопросам; представлено краткое содержание материала диссертации и отмечены

основные результаты, полученные в работе.

* * *

Первая глава диссертации посвящена исследованию разностной охьш для краевой задачи для стационарного диффузионного приближения уравнений Сен-Венаца. Как известно, это уравнение описывает установившееся неравномерное движение воды в открытых руслах рек и каналов. Приведем математическую формулировку втой задачи.

Требуется найти на интервале II = 10,11 непрерывную функцию и(х), удовлетворяющую уравнению

^ |ф(х,и)<р[ ~ + /(г) = 0. (1)

и уиювиям:

ц(0) я и(1) = О. - (2)

Здесь <р(р) =/|р7 а ф(.т,и) и /(ж) - некоторые извест-

ней функции, определенные на множествах П « (р! |р| (Ь оепяи

и П соответственно. В области П строитоя равномерная оетка

Й = (Г{ ! X, = «I, I =» О, I ,., . ,Н, Н п К"1 ),

гд° Н > О - целоэ число. Краевая задача ИМ?) аппройсймирует-ся разностной схемой

■ч '

^-1/а фг,« )]я + «е = . <3>

у0 = 0. =0. ' (Д)

Здесь полагается:

>), в, -/(*,) + о(пр->:

В 41 выводятся априорнне оценки не решение разностной шима. Доказывается теорема, характеризующая функцкопвЛЫШВ свойства втого решения:

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия: I. а < ф < о-1,

,<9ф. ,<5ф

М &•&}-•

3. 8 € Ьр,„. р е 12.«»], ( Ь^ - 0Н ).

Тогда решение разностной схемы (3),(4) обладает следующий свойспва.ш

У;*

% С, ¡у-^1 < 0, 0 = СОПв*.

¡•х' "

Получензше в §1 априорнне оценки позволяют докввать устойчивость разностнсл схемы (3),(4) но правой части* Этот рейульта"' формулируется в §2 в виде:

Теорема 1.2. Пусть у{х) и V (лм являются решениями схем (3),(4) с правыми частями и г и) самётсмвенно. Путь

дополнительно к условиям теорема I выполнено'.

II 0 < ф < М, Я) { в, г >'« ЬЙ Тогдаt

1. При ф(а'.и) = Ф(^), разностная схема устойчива по правой части 6 норяз пространства

2, При наличии в Ф асвисимоти от и, схема устойчива в той же норма еоли выполнено дополнительное условие

Э) —I сен1.

"du"

Так ие в атом параграфе доказывается сходимость решения разностной схемы к обобщенному решению задачи (1),(2) и устанавливается ее порядок)

Теорема 1.3. Пусть диполтни условия теоремы 1.2 и дополнительно

и t *]№, ф < С'(П . 8Ш - S/(x), Г i Ь,Ш).

Toeöa решение разностной охемы (о), (9) аходтся к и(х) в сеточной норме W*,iv со скоростью 0(fx), так что вьиюлнвна оцвщса

¡у - u|t < О h /nw» ,

а

где постоянная 0 не зависим от h и и(х).

При етом используются полученные априорные опенки, устойчивость разностной охемы и формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

* * *

Во второй главе исследуется разностная схема для начально-краевой задачи ноотационарного диф£уоионного приближения уравнений Оен-БвнаПа. Это уравнение описывает неустановившееся неравномерное движение воды реках. Дифференциальная задача формулируется В BiSE6!

В области Qr= О «[О,!], П = Сх: 0 < х < 1), ищется решение - u(£,t) дифференциального уравнения

в д ( гдй.)

— ш(х,и)--ф(х,и)-«р —- = f(x,t), (5)

öt вх { - Ldx Jj -

удовлетворяющее следующим начальному и краевым условиям:

u(z,0) « u0(x), u(0,t) = u(l,t) = 0. (6)

Вдбсь ч>(р) « |p|1/2egn(p), a w(x,u), Ф(ж,и), f(x,t), u0(x) -некоторая Функции, о{феделенные в соответствующих областях. В области UT строится разностная сатка

- { U{Iin): £ öh, tH i 5x }

'де

<7>. - (г, = ( I = 0,1.....N-1; П = 1Г1}.

гг I

'о = а = п х: п = 0,1.....М; г = Т/И),

т п

[ и N - некоторые целые положительные числа. Задача (5),(6) шпрокситруется следующей разностной схемой

n't -

/а ф( У

=■ ф, при (x,t) « (7)

!/" = «0Гт4), = j/JJ = 0, при i=0.....N, ... ,М, (8)

'Д9

В §1 устанавливаются нэкоторге вспомогательные предлог нйя, ;асагшооя оценки норм сеточных функций. Также приводятся доказа-'вльства различных формулировок разностного аналога лвммн Грону-1Л.па. §?. посвящен получению первой априорной оценки и доказа-ельству принципа максимума:

Лемия 2.2. Пусть выполнены условия

О < К"1 $ i Мх.и), ßw(x,u)/öu ) < К < о». М-1

шах |U'(r.)| + К max V |ф?|т ( С < ».

{ 'fed 'огда решение( разностной схе.ш 17),(в) принадлежит пространству

!(шл), т.е. имеет место щенка

пах . « С.

Если выполнены условия ф^ » 0, uQUt) > б > 0, 1=0,...,N, И ,... ,М, то справедлива оценка снизу

min уп. > б > 0.

(,п

Априорные оценки на старшие производные решения схемы выводятся в §3 :

Теорема 2.11 Пусть выполнены условия

0 < К-1 ^ { Ф(х,и), ди){х,и)/ди } ^ К < со,

г ,с)ф, ,с1ф, flu» , а2®)-»

I 'От' W' 6u' lfl(iai Iбивх')

{ Juol,„v 14-i.^J « 0 < { * 0 < »,

, , (еф/öu)2. . ф . «ахЦ/lj шах —--- < 0 mint - ,

1 J < .Ii A.i/Лп J <• Л.1/ЛИ J

Ф би)/ди } cWflu

при er,и) < fl « В^ » (и: |и| 4 М < «) и

Тогда на реиазнив paaпостой схемы ff),(В) илет место щегйса

+ иах|<и7>в| + + 11Уа11д « О <

В §4 докйвыпвбтоя устойчивость разностной охемы по начальным данным и правой части в пространстве сеточных функций - Н, определяемом нормой

ы

1/г

, у к Я.

шах ü/V + ) U/JJl8* fei '

Этот ревультйт формулируемся в теорема 2.2t

"Теореме 8.Яi ifyoяь втолчены условия иворвлы /ЭЛ. Tosöo, при t < t0 < С"', 0 « conet > 0, равнаапшя асвАиъ (7},(в) уегло&чйдй по пробой Uamj и Начальны,* Оацтым в норм» й'юсщхшашк; Н» h,«t снравеголидо сгоопаютние

р

Inf, < |г|г + 0г £ - Т!н1га.

В 56 устанавливается, Что решзйие ревностной Охемы сходится в норме* »того ие простррйотиа Н н обобщенному реш&ивю «cid&ldi зйДочй из irpocipertöTEa К);'* <0Х >»

•Теорема С.St Пусть выпоЛНвкы уоладин теоремы E.Bi ТОкба решение разданной 0хемы (7), (В) аобйтоя В 1>ормё пространства Н А усрвОнёШяо обМщбШдёО решеНШ йава-Ш (8)i (в) Ü» ПрОЩХШПда

Hli«¿в.

И/ - ий}н — о. при М — о* ■

При доказательств иепояызуютЬй yotoiMtiadöiрааностной схема и jisteetHMfe свойства куоочво-Лййвйймх и к» „очяо-цостояйнй* воойолйчуЙ сеточник функций i

* * *.

В третьей главе диссертации предлагается одна разностная схема для задачи Дирихле двумерного квазилинейного уравнения зл-

липтического типа с дивергентной главной частью. Приведем постановку задачи в диФ1»ренциельной форме.

Пусть О = { .т>(.тх ,хг): 0 <1, а=1,2) - квадрат со сторонами, паралелышмн осям координат, а Г - его граница. В области П = П и Г ставится задача Дирихле для с. здущяго уравнения

Ох,

в и а(х,и)-

дх^} вх2

ди "I

а{х,и)— + /(х) = 0, х € П, (9)

дХ^

и(х) = О, х ( Г. (10)

Эта задача аппроксимируется разностной схемой:

+ <р(.г) = 0, х £ ы, (11)

' т.

(-1 1 4 ) у'*1*'

Га(лг,т)сгх ( 1г1~1 Та(сс.х)с1т:I + <р(.т) = О,

^ 1/ -г 1/ т

у(х) = 0, х € 7. '.12)

Здесь полагается, что сеточная функция ф аппроксимирует функцию / о вторым порядком по Н = гаах(Ь1,Нг). При произвольной а(х,и) втп разностнпя схема представляет из себя систему нелинейных алгебраических уравнений.

§1 посвящен полутени» априорных оценок на решение разностной схемы (11),(12). Полученный результат представлен в видо: Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

1) Ф €

2) 0 < а « а(х,и) 4 0~1,< го, (Х.и) € О - Й^, Ш:|и|< л < <л).

3) ( \да/дх^^\дга/дх^1,\да/ви1 ) < 0 I,} = 1,2.

Тогда решение ваС'зчи'(Л),(12) - сеточушя функция у(х) принадлежит классу функций т.е. имеет место априорюя

оценка •

М2>ы $ М < «.

В §2 доказывается устойчивость разностной схемы по .правой части:

Теорема 3.2, Пусть выполнены ¡/еловая:

2) 0 < 8 § а(х,и) < 0"1< от, (х,и) € о ■« Си:|и|< Л < «>>.Э>

( 1да/вх11,1дга/дх^1;10а/^ } < 3~) (Л = 1,2. Тогда:

hj

J. Rt.'.iU UlX,U) ~ f',(.!') , Ш t>i'lU!Hlie ¡K13!l0ClHH0a CXUHUi III),(¡ei)

yoHa/iiHiuui t) прощштва И'''1, ы.в. иммт мето оцгьаса

|ui|«,u i 3l/26"! -• CI,

co.-j w - у - г, ii и z - (йшнии futmau/iam шчми с пешими

чмиыап $ и С сслмош сшбенно.

a. Ъ'сли d Функции а нлиюпсл иайисимоспъ т и, то сю.аа успюй-чьш по ц[хЮМ части и баполнона аришуь^я оценка гцлt осмолни-Ю(Ы|0» yiUQtiltU

41 aim

иД )

Oci — (*,£)

йи

16 Vl^-J

■ I

13 §3, t; использованием у ко нилучошшх результатов, долаииьа-01ч;я сходимость кусочно-линейних восполнений решении разностной cxgmu к обобщенному решению исходной задачи. йти свойства формулируется ь виде двух теорем:

Ttiopoub 3.3, Пусть Ьиполпани условия:

, V'W\

1) <р(Х) = г- Г Г /({,,i4)U{ d£ , / i

hth. J J 1 г »,

2) a < 6 к a(x,u) i u>, (x,u) t ii - ii^, KjJj- w:|ti|< iI

3) t jdu/,1r11, \t)w'tm\ > < fl ~1, t - 1,2.

Тогда Kpoetia* задача it)), (10) илвьт оаоащипноь jtdiuuni« u(i )

и

ни Wj((l) и интерполяции tj/Д>, nocmpooiutua no рвтниял (yh) разностной ехелш ill),(¡2) сгодимся сшыю б 1^(0) к uU'b а их ирм.эвооиие idy^/rn^) схоОатси слсиЮ в 1^(0) к 0и/0хк, к - 1,2.

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия шореми 3.1. Тогой интерполяции jlV^, й=1,2, построенные по ритщым lyh) роа-

ностной схема (II), (lit), сходятся сильно в La(tl) к ди/дхк, где и (я) это обобщенное решение краевой иаЗачи (9),(10) из

a иг произйоОные /0х(| агобяпся слабо в (П) к

0ги/0хкдхj, ik, 1) =.1,2.

В ¡54 исследуется сходимость в сеточной норме разност-

ный cxoHii (11), (12) к обобщенному решении исходной краевой задачи (1.1) из пространства W*(il). При втом используется метод, ос-

, 1/К

.'юйш.м ьюминус.! которого яьлльтся щад^иэияй л6(й«( ¿1()£,1..г>л<1 Гильбарга, Он гклшолиёъ' получить оценку, соглнооикинум о ¡'ла.1 костью решения исходной задачи. Зт {мьулыпю формулкруугсн ь ииде

'¡ьСц.иШ 3.а. 11у<№1> (¡ЦНШЦиц ЩХ) ибляиш,оооЛ^шт ро¿0 ышм ии/ичи (в),(10) ыа ¡смочи л щш.цгш ни,и) щтао

.(кладя мизжвству С*(Ц » В*). Путь ьшюмени условия ювор&ш З.к..

решите разностной схомч (II >,(12) ■• а.-тчшм Ф^исцил у(х) ■■ ахадшсн в неточней норма ^ <п к и(х.) со ыырснмш 0(1/11), пиис чт бтоиньна оценка

№ - ц«1(и < о(в) 1М(|и|^„ 1- «<>() <

сое пистяшш 0 но ъемиат от |/1| ц и (л-).

Разностная схема (11), (12) ггродотшшэт из сйоя сиогому Но лш1сй1шх алгебраических уравнений. Поп ранении тпинк систем на нрыешке используется какой-нибудь па цгор^с-юпщи Г'.итсдпи. Например, матод линеаризации Ньютона- и §5 обосковшььдеся ¡юзммн ¡гость использования а того метода при раштщ постмллний раз постиой задачи. При атом уоташшц.ийетая, что, как обцчно, имеет моста квадратичная сходимость нторацт-.. Другими одоьаш, сирпаед-ливо утьорадешю:

Теоремы 3.6. чуть ■ елшлшм уелооил теок-п Д. У. Шин )и> чеиыюе прюлижемт у1"* Пиб^'М пи~щ,что

Ч.ц, < Р < I1 а к 7'<п'>

ас ¡ищид моаю оценка

»гЛ1-- ч1|и<Р,аП-,,и/1в'-

па п - шов щлизмиакш к и(;г) рбиипиа аийичи (111,(12), и

оценю

п > пи(е) - ^ 1 1п е/1п р|, е > О,

дли числи итераций.

Очевидно, что решение несколько видоизмененной разностной

схемы

Л.' Г а(х,х)йх i п:1 Г а(х,г)4х 1 <-1- 1 .(-1.)

+ ф(Т) а С) ¡ледаианнс

(11),(12). Из отих двух схем моишо состепить одну следующим образом.

у % у

обладает теми же снойотвимш, что и решение и ¡лвдоиашюй схему

O.fi jjhj1 | a(x,T)d'i|_ + | a(xtn)rttj_ | + c' 1< ; ' v' 1*' *

u'4'»' v' + 1i'

0.6 | a(x.T)dtj_ + ^h"1 J a(i,t)di|_ J + ip(.x) = О

v

где ф(х) определяется по формуле <2

Ята схема имеет второй порядок аппроксимации и ее решение также обладает всеми установленными выше свойствами. По&тому она рекомендуется нами для использования при проведении вычислительных экспериментов. Отметим, что если функция а(х,и) имеет вид 1гф(ч - ио), то представленная схема преобразуется в известную в

гидрогеологии схему Каменского.

* * *

В последней - четвертой главе приводятся примеры расчетов на ЭВМ уже для некоторых модольных задач. Результаты проделанных вычислений представляются в виде таблиц и графиков. Здесь приведем лишь некоторые из них.

Как уже отмечалось во введении, уравнение (9) с функцией

а{х,и) =г kfu - uQ(x) описывает движение грунтовых вод в водоносных пластах с водоупо-ром uQ(x) и коэффициентом фильтрации грунта равным

Функция и(х,у) - 3 + sinr cosy является точным решением уравнения (9) в области П = [0,3it/2bt0,3it/2l с правой частью

f{x,y) = 2 sirix cosy(3 + slnx cosy) - (alnx sint/)£ - (cosx cosy)2 и начальными условиями

u((J,у) = 3, u(3ic/2,yJ = 3 - cosy,

u(x,0) = 3 + s.lnx, u(x,3ic/2) = 3,

при uQ(x) =0, = 5 .

Эта задача решалась по схеме (13) на сетке С количеством узлов 31 «31 (h = 1.571-Ю-1) методом Ньютона. Для решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при линеаризации

рааноошой схемы, использовал:1 циклический попвремецно-треугодьный метод о уотойчдац« чабцшвьским наборои параметров (Количество шагов на однсм цикле равно 16). Решение искалось о точностью е « Ю-6. Итерационный процеоо оишелся после 5 итераций. Среднеквадратичная оценка невязки решения схемы о решением дифференциального уравнения равна таз = 1.3МО"1. На рио.1 приложения в конце автореферата представлены карта изолиний и форма поверхности точного решения исходной задь а, а на рис.2 - найденного решения разностной схемы. Нетрудно убедиться в том, что йти графики совпадают в достаточной степени. Отметим, что при расчетах с Л = 1.571 ИО-3 укапанная оценка невязки решения равна пвв « 2.68.10~б.

* # *

В заключении кратко формулируются основные результата, полученные Ъ работе, а именно«

1. - Решение предложенной разностной схемы (3),(4) для кре лей задачи стационарного ДПУСВ принл. <;эки? пространству са точных функций

- Схема устойчива по правой часта в норке пространства Ш*(ы).

- Рекение схемы сходится _ о порядком 0(Ь) к обобщенному ройенм» исходной краеЕсй задачи из ьаокеогва

2. - Н6 решение ревностной схемы (Т),(8) для начально-крНййоЙ задачи йволюцйойнсго ДПУСВ имеют мэото оцчнкш

■ тах(ш«18 + 1па*|((фв1 + + 0 < *

- ОхеМа устойчива по правой чесги и начальным денным на множества о&точнйх функций Н» определяемом нормой;

М/1

и

ЯМ |*/м1е + ) ¡¿£[

■ * (Л

и р 1/г

*т

У < й.

- Реагейи» ревностной схемы сходится в норма атого т пpootpaн-ства Н н усрвднанйй обобщенного рёйанйЯ нехаднеп ййдйчй йй нрйстрвнстй* (Ор) -

3. - Рвйеййв реййостййЙ еяемы (11),(12) ^ля задачи Дирихле двумерного каеейлйнвйдаго вллиптиЧйского урашШй с дймзрНй'ШЬй главной Частей (9) I (10) прйшшеют Множеству >»¡¡(01)1

- Р*Мёййе устсй1' \ю Ао ггрвмй ¡'мстя й пь^ме пространстве

- Кусочно-линейные воинол»ган«я, построэшшэ Но рймёичям схемы

и ил PB3H0CI1ШМ произволом, сходится сильно в *'(П) и сл800 в W* к обобщенному решению исходной задачи из множество И^(П).

- Решение схемы сходится к такому обощенному решению в норме пространства H'Uo) со скоростью 0(fi).

- Метод Ньютона для данной разностной схеш сходится, причем, о квадратичной скоростью.

Некоторые из этих результатов опубликованы в работах:

I. Айтбаев А. Исследование разностной схемы для диффузионной аналогии уравнений Свн-Венвна (априорные оценки) // Тезисы конференции молодых ученых и специалистов КазГУ, Алма-Ата, 1988, с.260.

'¿. Айтбаев А. Иссл^цованст разностной схемы-для диф^узиошюго приближения уравнений Сен-Венана (устойчивость и сходимость) // Материалы XXVI Всесоюзной студончэской научной конференции. Математика / Новосибирск: изд.-во ИГУ, 1988.

3. АТгбаев А., Смагулов Ш.С. Оценка скорости сходимости решения одной разностной схемы для двумерного квазилинейного уравнения эллиптического типа к ее обобщенному решению из пространства *^(П) // Препринт ВЦ 00 РАН (в печати).

4. Айтбаев А., Смагулов Ш.С. Решение разностной схемы для двумерного квазилинейного уравнения эллиптического типа методом Ньютона // Доклады AH PK (в печати).

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский A.A., Лазаров Р.Д., С жаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. - М: Высшая школе, 19ЯТ.

2. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. - М: Наука, 1973.

ПРИЛОЖЕНИЕ