автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование взаимосвязи процессов насыщенной и ненасыщенной фильтрации

я* о» ,

гсП

• " НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах ругютсг

С

СЕМНЙКО Татьяна Ивановна

Ш 532.546

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗИ ПРОЦЕССОВ НАСЫЩЕННОЙ И НЕНАСЫЩЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

05.13.16- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических ме.одоз в научных исследования!

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Новосибирск- 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Швосибирского государственного университета

Научные руководители - доктор физико- математических наук, профессор с'.Н.Аятонцев, кандидат фазино-математатеских наук, с. н. с. A.A.Кашеваров. Официальны© оппонента: доктор физико-математических наук А.О.Воеводин,

кандидат физико-математических наук С.Г.Пятков.

Ведущая организация - Институт водных и экологических cipoC/лем СО РАН.

Защита состойся '/fп PA^t^f/t*^ 1994 г. в //) часов на заседании специализированного совета К 063.98.05 при Новосибирском государственном университете но адресу: 630090, г.Новосибирск, ул.ГМроговз, Z.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НГУ.

Автореферат разослан ¿l^^C^fTf■ 1994 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, /7 /, ./

кандидат физ.-маг. наук " \ Н.Н.Оргеев-Альбов

ОБЩАЯ ХЛРАКГЬЖСТККА FABOTU

Актуальность темь' При гидрологических расчетах оросительных и дреначшых систем часто возникает необходимость учетп взаимосвязи процессов миграции вода в насыщенной и ненасыщенной гонзх грунта. 37о особенно вакно при поземе грунтовых вод близко к поверхности земли. Обнчно для описания процесса наекданно-ненасищенной фильтрации используется так наедаемая гидродинамическая модель, основанная на трехмерном уравнении Ричарде а-1', /ля которого б случае конкретного гидромелиоративного объекта необходимо численно резать сложную трехмерную начально-краевую задачу.- Возникающие при этом вычислительные трудности, как правило, не позволяет осуществлять _ расчета таких задач а общей постановке. Чаще всего ограничиваются рассмотрением профлльннх и;и стационарных задач.

В работе^ была предложена приближенная гидравлическая модель насыщенно- ненасыщенной фмьтрэции (ГОТ,!)- модель взаимодействия грунтовых вод (зоны полного насыщения- ЗПН) с зоной неполного насыщения (ЗНК). Приближенная гидравлическая модель насыщенно-ненасшенной фильтрации предполагает, что в ЗНН течение / преимуществе! ио вертикальное, а в ЕШ справедливо гидравлическое приближение3 ■'. Сопряжение ЗНН и ЗПН осуществляется на основе

1'развитие исследований по теории фальтрации в СССР. -П.: Наука, 1969, -664 с.

^Актонцев С.Н., Епихов Г.П., Кашеваров A.A. Системное математическое моделирование процессов водообмена. -Новосибирск: Fajка, 1985,-216 С.

3)П~дубарлкшз-Ночина П.Я. Теория движения грунтовых вод.-^-М.:

'J-pr, но7, -664 О.

баланса влаги для всей системы в целом.

Следует отметить, что приближенные модели, учитнваюшде только одномерное по вертикали движение влага в ЗКК, рассматривались и в другая работах, нвпример4^'5^'^. Однако в них заранее предполагаюсь извеспшм положение грунтовых вод либо из дополнительных сэобракений определялся коэф$нциент водоотдачи в уравнении Буссинеска, а по нему, соответственно, и уровегь грунтовых вод. Все. это существенно ограничивало применение теки ь-.оделай для расчета практических задач. Заложенные же в БГН предположения о характере течения справедливы для большинства практических случаев.

Пусть течение происходит в области

<3=|(х,г): ьеП, х«(х4,зе4), Н^аСН^. Здесь и далее Н^х),

нп(х)-соответственно отметки поверхностей водоушра и земли, отсчитываемые вверх от горизонтальной плоскости г=0.

ПГМ представляет собой начально- краеЕую задачу для Функций Н(хД)- уровня грунтовых вод (НдСй^Вд) и давления

почвенной влаги, приведенного к атмосферному:

4^Рыбакова С.Т., Сабинин В.И. За/чча неустановившейся .наснщенно-нэввсшиенной фильтрации к горизонтальным дренам. -Изв. АН СССР, Механика падкости и газа, 1981, JS5, с.81-89.

5^Кучмент Л.С., Демидов • В.К., Мотоешюв Ю.Г. Сормироваиие речного стока. -М.: Наука, 1983, -216 с.

^ Ошейник А.Я., Нремез B.C., Тежма C.B. Численно- аналитическое решение задач фильтрации и влагопереноса б зоне аэрац:*1' при ксследовашш процессов подтопления и идентафикащм гидрогеологических ' параметров.- В сб.: Математическое иоделирование гидрогеологических, процессов.- Новосибирск, I9B4, с.И2-ПУ.

а дф е4*р (ф)ф.—<Е(Х.Т),Ф) (--1) )+Р (х.'пд). (1)

* г 51] дц

К П, 0<Т]<Нп(х)-Н(зЛ), Ъ>0; <Эф

К(*,0,ф)(--1)«11(з:,1), Т1=0, х « О, ЪО; (2)

дц

ф=0, "Т^Нц-Н, х е О, (3)

, х € П, (4)

тгНп-н

аи

ом-^ +-(1-а)Н=Ф(х,г), о«;^, х 6 60, +>0; (5)

ф=ф0(1.7|). t=0, х е.п. 0<71СНа-Н(х,0). (6)

Здесь т^Нд-я- вертикальная координата, отсчитываемая вниз от поверхности земли; (1)- одномерное уравнение Ричардса, полученное в предположении о вертикальности течения в ЗНН; 6=9(ф)~ обьеиная влажность (предполагается известной зависимость б от ф), р=е'(Ф); К(х,т),ф)- коэффициент влагопроводности, р(хл]Д)-функция источников, учитывающая поглощение влаги корнями растений.

(2)- граничное условие, задающее расход воды н(хД) на поверхности земли.

(3)- условие равенства давления почвенной влаги атмосферному на поверхности грунтовых вод т^Нд-ЖхД).

Условие ' (4) следует из уравнения Ричардса для ЗНН, гидравлического приближения для ЗПН и баланса влаги то всей толще грунта от поверхности до водоупора2 ^; и=Кф(Н-нв), Кф- коэффициент фильтрации грунта.

(5)- общий вид граничного условия для уровня грунтовых ВОД, (ЗЛ - граница Я, й - вектор внешней нормали к 50.

(6)- начальное распределение давления а ЗНН.

ПГО позволяет расщепить исходную трехмерную фильтрационную'" задачу на связавнуп систему подзадач: одномерную по пространству

для <р и двумерную для н. Последние не могут решаться известными коьчтао- разностным? методами. При этом дискретизации но перешввш т; н х=(ж4,1ау могут аыбиратьса независимыми.

Модель ПГМ представляет собой новую нестандартную начально-краевую задачу со свободной граница® т^Нд-Жх, *) для уравнения (1), содержащего горизонтальные переменные е в качестве параметров. В уравнение (4) (условие на свободную границу) параметрически входит временная перемешая. Следует отметать такув ванную особенность юдела, как саоная связь уравнений (1) и (4) через правую часть уравнения (4) и граничное условие О).

Актуальной проблемой является исследование корректности ПГМ к построение числевдшс методов ее рас.:га.

Цель работа. Исследование корректности ИГУ. разработка и обоснование методов численного расчета, проведение численных экспериментов с целью определения границ применимости данной модели для описавия реальных фильтрационная процессов.

Научная новизна. В работе исследована приближенная гидравлическая модель фильтрации и дез ее варианта: упрощенная модель ПГМ(л) и услокненная, позволяющая приближенно учесть горизонтальный переток в зоне неполного насыщения.

Получены следующие основные _ озультаты:

1.Доказаны теоремы существования и единственности решения в некоторых классах Соболева для модели ПЩл). Для полученной на ее основе путей замораживания коэффициентов линейной задачи, кроме того, исследована зависимость гладко^ ла решения от

■ гладкости начальных данных.

2.На основе балансовых соотношений, лвкавдх в основе ПГМ, х/остроены разностные схемы для. численного решения задачи. Ередложен итерационны! метод численного речения разностной: задачи с учетом постоянного взаимодействия насыщенной и ненасыщенной

зои. Для некоторых вариантов ПГМ на дифференциальном уровне исследована сходимость . лтарационных мотодоз численного решения.

З.На примере задачи о неустановившейся фильтрации к систематическим горизонтальным дренам исследована точность расчетов по ПГМ и ее вариантам для различных наборов исходных параметров, влияющих на характер фильтрационного течения и создающих теоретически благоприятные либо неблагоприятные' ситуации для применимости ПШ> При этом расчеты по ПГМ сравнивались с расчетами по гидродинамической модели как с эталоном. Во всех случаях, теоретически благоприятных, получено хорошее совпадение с расчетами по гидродинамической модели. В неблагоприятных ситуациях отмечены случаи, когда использование модели с присчитанным учетом горизонтального пврегока в ЗНН ведет к существенному повышению точности расчетов. Выделены ситуации, когда достаточно высокую точность обеспечивает упрощенная модель -ЦГМ<л)..

Методика исследования. Используются методы общей теории дифференциальных уравнений в частных произзодных, функционального анализа, теории разностных схем.

Практическое значэние результатов. Предложенные в диссертации методы численного решения задачи о насыщенно- ненасыщенной фильтрации и созданные на их основе компьютерные программы могут быть использозаны для расчета реальных фильтрационных задач. В частности, оку: включены в пакет програш для численного расчета взаимосвязанных поверхностных и подземных течений, разработанный з лаборатория фильтрации ИГиЛ СО РАН.

Апробация работы. Осноеныэ результаты диссертации докладывались в Институте гидродинамики СО РАК- на семинаре лаборатоши фильтрация (рук.- проф. С.Н. Ангонцэв), на семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" (рук.- ггроф.

В.Н.Монахов), на семинаре "Прикладная гидродинамика" (рук.- проф. В.В.Духначев); в Институте математики СО РАН- на "семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (рук.- проф. В.Н.Врагоз); на ВЦ СО РАН- на • семинаре "Больше задачи математической: физики" (рук.- проф. А.Н.Коновалов), в Институте боевых и экологических проблем СО РАН- на семинаре под рук. акад. О.Ф.Вас&льева и на Восьмой международной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики" (г.Красноярск. 1392г.)о

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения к . списка литературы, изложенных на 138 страшцёх машИЕ-;-тисного текста, включая 3 рисунка, а также приложения, содержааего 6 рисунков и 14 таблиц. Список литературы содержит 61 наименование.

СОДЕШШБ РАБОТЫ

Во ввздэшга дается краткий исторический обзор, показывается актуальность исследований и кратко излагаются результаты диссертации.

Первая глава посвящена постановке задачи о насыщенно-ненасыщенной фильтрации в гидравлическом приближении, а также математическим'вопросам ее корректности.

В §1 рассмотрена общая постановка задачи. Приводятся исходные для нее балансовые соотношения, которые в дальнейшем (гл.2) будут использованы для построения разностной схемы. Описывается упрощенный вариант общей модели (ПГЖл)), полученный в результате перехода к области с постоянной границей с частичной линеаризацией уравнения О) вблизи стационарного решения и

представляющий собой начально- краевую задачу для функций t(x,t)=Hn-H(s,t) и y=ytsfO,il- новая вертикальная

пвременная. Далее приводятся две модельные задачи. Пврвая-линейная задача (I)- получена из ПШ(д) замораживанием коэффициентов в уравнениях и граничных условиях л моделирует лишь условия сопряжения насыщенной и ненасыщенной зон в наиболее простом варианте. Вторая- нелинейная задача (II)- является частным случаем ПГМ(л).

В §2 сформулированы вспомогательные сведения из теории дифференциальных уравнений и математического анализа, необходимые в дальнейшем. Затем методом Фурье доказывается существование и единственность обобщенного решения задачи (I) в классе

e=f(it,I): vraimazIJuS2 +8<U2 +Pä2 +8M2 <4 • (. o<t<T 2„q 7 г.Ор 2,Oj x г.Ор J

0=Q» (0,1), Qjr-Qx (o,d), fi^fl» (о,т). Далее исследуется зависимость гладкости решения задачи (I) от гладкое.,! начальных данных.

В §3 доказываются теоремы существования и единственности решения задачи (II) а классе

o<t<т у 2.Q х г,а 77 2,от г,пт х 4,Цу >

Вторая глаза посвящена численному шделироваяию процесса насыщенно- ненасыщенной фильтрации на основе приближенной гидравлической модели и ее вариантов.

В §1 на основе балансовых соотношений, приведенных в главе I, строится нелинейная разностная схема для профильной задачи.

В §2 приводится общее описание итерационного алгоритма решения нелинейной разностной задачи , а также рассматриваются конкретные варианты его реализации.

§3 посвящен описанию численных экспериментов для ЕГМ. Обсуждается направленность численных экспериментов, выделяются

фзкторы, влияющие на характер течения в насыщенной и ненасыщенной зонах и создающие благоприятную либо неблагоприятную ситуацию для применимости двух основных предположений«, лвтщх в основе ЛГМ. Влияние выделенных факторов рассматривается на примере задачи о горизонтальном систематическом дренаке. Описываются результаты численных экспериментов, в процессе проведения которых варьировались входные параметры задачи, влиявшие на характер течения: интенсяшосгь инфильтрации на поверхности земли и, соотяояепие продольных и поперечных размеров области фильтрации, соотношение мощностей ЗШ ж ЗКН, параметр несовершенства дрены и т.д. Отмечено, что расчеты по ЛГМ и гидродинамической модели совпадают с высокой степень» точности в теоретически благоприятных ситуациях, когда:

1)продсдьше ра. еры области фильтрации существенно превосходят поперечные (что является обг^да ' условием применимости гидравлического приближения);

2)коцность ЗНН существенно меньше кощности ЗПН и, следовательно, роль горизонтального перетока в ЗКН невелика.

В ряде случаев, когда предположение 2) о структуре насыщенно-ненасыщенного течения не выполнено, можно приближенно учесть горизонтальный переток в ЗНН, заменив в (4) М-<7Я на где

горизонтального потока в ЗНН, полученное в предположении о том, что прЪфала давления ю вертикали в ЕНН в различных точках подобны и различается лгазь на.величину разности уровней-грунтовых вод з этах - точках. Приводятся тримерн, для которых такое усовершенствование модели пргводит к существенному повипеяин "' точности рэс-штов. Яарагиа} завернется о»ич екздтзом результатов численных расчогл1..

*п

приближенное значение суммарного

§4 посвящен численному моделированию фильтрации на основе упрощенной гидравлической модели - ПГМ(л), которая, в отличие от ПГМ, представляет собой задачу в фиксированной области. Описан численный метод решения ПГМ(л), аналогичный общему методу для ПГМ. Рассматриваются примеры численных расчетов модельных задач с различными входными параметрами. Результаты расчетов сравнивзятся с расчетами по ПГМ и по гидродинамической модели. На этой основе делается общий вывод о применимости ЕГИ(л). В частности отмечается, что при плавном изменении во времени давления влаги в ЗНН и уровня грунтовых вод ПГМ(л) дает достаточно точные результаты.

В третьей' главе на дифференциальном уровне исследуются различные варианты итерационного алгоритма решения для стационарной задачи.

В 51 ДЛЯ профильной задачи рассматривается итерационный алгоритм расчета ПГМ, учитывасоий взаимосвязь насыщенной и ненасыщенной зон с отставанием на одну итерации. Устанавливаются достаточные условия его сходимости, приводятся примеры расходимости.

В 52 для плановой стационарной задачи доказывается сходимость на дифференциальном уровне описанного в главе 2 численного метода расчета ПГМ (о линеаризацией по Ньютону потока из зоны неполного насыщения)„

В -заключении кратко сформулированы, основные результаты диссертации.

Автор выражает искреннюю благодарность проф. О.К.Ангонцеву и с.н.с. А.А.Кашеварову за научное руководство ц постоянную помощь в работе.

По теме диссертаций опубликованы следующие работы:

1. Антонцев С.Н., Кашеваров I.A., Ускова Т.П. Приближенная гидравлическая модель взаимодействия грунтовых вод с зоной неполного насыщения. -В сб.: Динамика сплошной среда. Новосибирск, вып.76, с.19-31-

2. Агтоьцвв А.Н., Кашеваров A.A.. Семенко Т.И. Итерационный метод решения стационарной задачи Ъ насыщенно- ненасыщенной {ильтращи в гидравлическом приближении. -В ed.: Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1989, вып.90. с.3-15.

3. Семенко Т.К. О корректности приближенной, гидравлической модели насыщенно- ненасыщенной фильтрации. -В сб.: Динамика сплошной среда, Новосибирск, 1991, вып.102, с.114-132.

4. Семенко Т.Н. О корректности приближенной гидравлической модели насыщенно- ненасыщенной фильтрыда. -Тезисы докл. Восьмой мехдунар. школы- семинара: Качественная теория дифференциальных уравнений гидродинамики. Красноярск, IS92, С.27-28.