автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Осредненная нелинейная математическая модель гемодинамики на графе сосудов

Введение.

Глава 1. Математическая модель гемодинамики.

§ 1. Приближения.

§ 2. Уравнения гемодинамики в отдельном сосуде.

2.1 Уравнения гемодинамики

2.2 Свойства уравнений гемодинамики

2.3 Постановка граничных условий

2.4 Линейное приближение

2.5 Стационарное течение

§ 3. Уравнения гемодинамики на графе сосудов.

3.1 Описание сердечно-сосудистой системы с помощью графа. Общая структура графа

3.2 Ребра

3.3 Вершины ветвления сосудов

3.4 Вершины, моделирующие капиллярные ткани

3.5 Вершины, моделирующие сердце

3.6 Вершины, моделирующие почку

3.7 Ребра, моделирующие резистивные сосуды

3.8 Ребра, моделирующие емкостные вены

Глава 2. Осредненная нелинейная модель гемодинамики на графе.

Разностная схема и методы ее решения.

§ 1. Построение осредненной нелинейной модели.

1.1 Профили скорости и давления

1.2 Интегральные соотношения

1.3 Осредненная нелинейная модель на одном сосуде

1.4 Постановка корректных граничных условий

1.5 Обобщение на граф полной системы кровообращения

§ 2. Разностная схема для решения нелинейной осредненной модели.

2.1 Разностная схема на одном сосуде

2.2 Линеаризация разностной схемы на одном сосуде

2.3 Исследование устойчивости разностной схемы

2.4 Исследование порядка аппроксимации

2.5 Обобщение разностной схемы для одного сосуда на граф сосудов

§ 3. Итерационный алгоритм.

3.1 Описание итерационного процесса на одном сосуде

3.2 Обобщение на граф сердечно-сосудистой системы

§ 4. Тестирование разностной схемы и итерационного метода на модельной задаче.

4.1 Масштабирование переменных

4.2 Численные данные для модельного сосуда

4.3 Свойства итерационного алгоритма

4.4 Исследование влияния весового множителя разностной схемы

4.5 Исследование зависимости решения от шага по времени

§ 5. Сглаживание решения с помощью регуляризаторов.

§ 6. Исследование реальной точности расчетов.

6.1 Сравнение с другой моделью гемодинамики

6.2 Сравнение с точным решением линеаризованной задачи гемодинамики

6.3 Сравнение с точным решением в случае стационарного течения

6.4 Исследование минимального числа разбиений сосуда

Глава 3. Численное исследование гемодинамики большого круга кровообращения. Моделирование фильтрационной функции почки.

§ 1. Граф большого круга кровообращения.

§ 2. Задание начальных данных.

2.1 Задание начальных данных на ребрах графа

2.2 Задание начальных данных в вершинах графа

§ 3. Основные свойства течения крови в большом круге кровообращения.

3.1 Обзор общих закономерностей течения

3.2 Влияние длительности систолы на артериальное давление

3.3 Влияние величины коэффициента вязкости крови

§ 4. Исследование влияния группы резистивных сосудов на величину артериального давления.

4.1 Влияние периферического сопротивления на величину артериального давления

4.2 Моделирование физической нагрузки

§ 5. Почечная система контроля артериального давления.

§ 6. Реакция модельной почки на изменение артериального давления.

6.1 Моделирование мгновенного увеличения почечного давления

6.2 Моделирование мгновенного уменьшения почечного давления

6.3 Повышение давления за счет увеличения периферического сопротивления

§ 7. Моделирование изменения объема системы. Влияние повышенного поступления жидкости.

1. Начало современным представлениям о сердечно-сосудистой системе было положено У. Гарвеем, открывшим в первой трети 17 в. наличие замкнутой системы кровообращения. Математическое описание течения крови было положено Д. Бернулли, установившем связь между давлением и сопротивлением в струе идеальной жидкости, а также J1. Эйлером, применившем для изучения пульсации крови в сердечно-сосудистой системе принципы, опубликованные им в работе «Общие принципы движения жидкости». К середине 18 века определились пути непрерывного кругового движения крови, было измерено давление в артериях и венах, стал известен порядок величины расхода и объема циркулирующей крови и было положено начало разработки учения о гидравлическом сопротивлении току жидкости в сосудах. Формирование основных этих сведений характеризует начальный этап математического описания физиологии кровообращения [1].

Во второй половине 20 века развитие вычислительной техники обусловило новый этап в моделировании сердечно-сосудистой системы. К этому моменту были сформулированы основные принципы функционирования и регуляции кровообращения, разработана широкая описательная база физиологических закономерностей. В первую очередь следует отметить работы Гайтона [2,3]. В литературе приведено большое количество качественных и частных физико-математические закономерностей физиологических процессов, оказывающих влияние на гемодинамику. Особо следует отметить, закон Пуазейля изменения давления вязкой жидкости в жесткой трубе [4].

Однако многие аспекты функционирования сердечно-сосудистой системы еще далеки от окончательного понимания. В основном это объясняется наличием большого многоуровневого числа факторов, влияющих на регуляцию гемодинамических течений.

2. Одной из ведущих медицинских проблем последнего времени являются болезни сердечно-сосудистой системы. В этой связи возникает настоятельная задача получения количественной информации о важнейших гемодинамических показателях [5]. При этом требуются такие методы и способы получения информации, которые отличались бы малой трудоемкостью, отсутствием травматичности, а желательно и полной неинвазивностью, обладали бы достаточной информативностью и могли бы использоваться в амбулаторной и клинической практике.

В настоящее время широкое распространение в различных областях естествознания получило математическое моделирование разнообразных явлений. Математическое моделирование системы кровообращения, основанное на сочетании математических и медицинских исследований, имеет как теоретическую, так и практическую значимость. С одной стороны оно позволяет систематизировать и объединять знания о сердечнососудистой системе, способствует пониманию различных аспектов функционирования системы кровообращения и развитию теоретических представлений о сложных закономерностях циркуляции крови.

С другой стороны использование эффективных математических моделей может помочь в решении таких важных практических задач, как количественное определение трудноизмеряемых на практике показателей, быстрой и эффективной проверке гипотез без обращения к клиническому эксперименту, моделирование поведения кровеносной системы в тех или иных условиях, в том числе и нестандартных.

Возможность успешного математического моделирования обуславливается тем, что, несмотря на то, что сердечно-сосудистая система является частью организма, и организм как целое формирует ее функцию, ее можно представить как автономную, функционально целостную подсистему.

Математическое исследование сердечно-сосудистой системы является одной из актуальных проблем современной фундаментальной медицины и количество работ в этой области постоянно растет (представления о направлениях исследования могут дать, например, работы [6-26]).

К настоящему времени создано большое количество математических моделей кровообращения, как отдельных участков, так и всей системы в целом. Математические модели гемодинамики обладают различной спецификой и выделяют различные аспекты течения крови в сердечнососудистой системе. Однако в основу любой модели положены физические законы, описывающие движение крови по сосудам.

Математические модели системы кровообращения различаются по характерной размерности задачи. Существуют детально проработанные двух- [20] и трехмерные [12] модели отдельных участков кровеносной системы. Недостатком большинства многомерных моделей является большой объем вычислений и сложность применения модели ко всей сердечно-сосудистой системе. Для конструктивного описания сердечнососудистой системы необходимы упрощения физической модели, основанные на выделении существенных свойств и закономерностей течения. Таким образом, модель должна с одной стороны быть простой для удобства ее использования, с другой стороны передавать основные свойства и закономерности реального объекта. Поэтому в данной работе рассматривается квазиодномерная модель течения крови. В моделях, использующих квазиодномерное приближение [14, 18], для учета упруго-механических свойств сосуда предполагается зависимость площади поперечного сечения сосуда от давления. Такой закон учитывает эластические свойства сосуда, пренебрегая при этом эффектами продольного растяжения и изгиба.

В зависимости от времени задачи авторы предлагают стационарные и нестационарные [19,24] модели циркуляции крови. Следует отметить, что в медицинской практике все чаще возникает необходимость изучения динамики параметров нестационарного течения в сердечно-сосудистой системе. Вследствие этого наибольшую перспективу практического применения имеют именно нестационарные задачи.

Дополнительную сложность при моделировании кровеносной системы представляет реология крови [27]. Реология крови также варьирует при математическом моделировании сердечно-сосудистой системы. Существуют модели, представляющие кровь как многокомпонентную реагирующую смесь. В данной работе основное внимание уделяется изучению распределения давления скорости и других показателей течения, поэтому кровь моделируется однокомпонентной ньютоновской жидкостью.

Математические модели сердечно-сосудистой системы различаются по количеству, объему и общности включенных в рассмотрение участков и подсистем организма. Например, модель L. Pater и J. Berg [15] имеет свыше 500 моделируемых участков, модель I. Benken и В. de Wit [16] около 20, в моделе Р. Бохмана [17] имеется шесть отдельных компартментов и два генератора, поставляющих кровь в систему, а модель Windkessel О.Франка [23] представляет, по сути, эластичный резервуар. Особое внимание в литературе уделено математическому моделированию течения крови в артериях [7,12,13,20]. Для практических целей наиболее перспективным представляется модель с возможностью как: полного, так и фрагментарного рассмотрения системы кровообращения, т.е. модели с изменяемым числом элементов.

Для теоретических и практических целей несомненно актуальным является изучение системообразующих составляющих сосудистого русла, таких, например, как большой круг кровообращения. Большой круг кровообращения представляет особый интерес, т.к. обслуживает много тканей и органов, имеет изменяющие потребности кровоснабжения, обилие регуляторных механизмов, а высокое давление в артериях и высокое сопротивление усложняют моделирования протекающих процессов. Поэтому при фрагментарном рассмотрении системы кровообращения наибольший интерес представляет большой крут кровообращения и его отдельные области, такие, например, как портальное, церебральное кровообращение и др.

Имеется серия работ, посвященных моделированию сердца и отдельных участков сосудистого русла. Первые модели сердца опирались на закон Старлинга [22]. Позднее во многих работах сердце представлялось переменными электрическими емкостями. Затем появились работы учитывающие биофизические экспериментальные данные [23]. В диссертации используется несколько моделей сердца. В большинстве численных расчетов используется так называемая незамкнутая модель сердца, в которой выброс крови из сердца во время систолы не зависит от количества крови, притекшей к сердцу во время диастолы. Однако моделирование некоторых аспектов функционирования сердечнососудистой системы невозможно без поддержания в системе постоянного объема циркулирующей крови. В этом случае использовалась замкнутая самосогласованная модель сердца [33]. В этой модели происходит регуляция сердечного выброса в зависимости от наполнения сердца.

В литературе развитие получило формальное описание организма как совокупности вегетативных подсистем организма, таких как дыхание, терморегуляция, транспорт метаболитов, гормонов, питательных веществ и др.[6]. Такое совместное описание нескольких вегетативных систем, например, кровообращения и дыхания, позволяет изучить перенос веществ, в первую очередь кислорода [9].

Некоторые математические модели кровообращения наряду с описанием гемодинамики включают и регуляторные процессы. Одним из первых исследование нейрорефлекторной регуляции кровообращения с применением математических моделей провел Гродинз [22]. В качестве механизмов, регулирующих кровообращение, отдельный интерес представляет почечный механизм контроля среднего артериального давления. В настоящей работе проведено моделирование фильтрационной функции почки, регулирующей артериальное почечное давление. Особый интерес представляет исследование влияния таких важных функциональных элементов как почка, сердце и др. на основные характеристики системы кровообращения, в первую очередь на артериальное давление.

Параметры сердечного выброса, сечения и эластичность сосудов различных типов зависят от большого количества факторов - нервной и гуморальной регуляции, тонуса сосудов, местных метаболитов и т.д. Проявление этих факторов приводит к изменению сечений и эластичности сосудов, а изменение нагнетательной функции сердца - к изменению сердечного выброса и его частоты. В данной работе рассматривается течение крови с заданными свойствами сосудов.

В работах [28-31] предложена иерархическая нелокальная математическая модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов. В этих работах сердечно-еосудиетую систему формально описывают графом, состоящим из набора ребер и вершин. При этом ребра графа соответствуют отдельным сосудам или жгутам однотипных более мелких сосудов, а вершины графа моделируют либо участки сочленения двух или более сосудов, либо участки фильтрации крови через капиллярные сети мышечных тканей или отдельных органов, либо отдельные органы, например, сердце. Модель, предложенную в этих работах, будем называть базовой моделью гемодинамики.

На основе этой модели создан программный комплекс CVSS (Cardiovascular System Simulation). Программный комплекс позволяет пользователю в интерактивном режиме проводить моделирование течения крови в выбранном из базы данных или самостоятельно построенном графе сосудов, изменять в процессе расчета параметры сосудов и органов, изменять топологию графа сердечно-сосудистой системы.

При исследовании нелинейных моделей важную роль играют решения задач гемодинамики, полученные в упрощенных постановках. Такие решения могут использоваться для обеспечения дополнительной надежности при решении нелинейных задач, а в случае возможности получения аналитического решения для верификации методики численного решения. Точные решения линеаризованных задач базовой модели гемодинамики приведены в [32].

С другой стороны, с этой точки зрения особый интерес представляют нелинейные упрощенные модели гемодинамики. В работе автора интересовало развитие такой упрощенной, но нелинейной математической модели гемодинамики, основанной на предположении о линейности пространственных профилей входящих в уравнения функций.

Преимуществом модели, обсуждаемой в диссертации, является возможность как детализации описываемых участков сердечно-сосудистой системы, так и возможность ее упрощения для рассмотрения только качественной картины течения. При этом количество разбиений каждого сосуда может быть снижено по сравнению с базовой моделью.

3. Основные цели работы состоят в следующем:

1) Развитие математической модели кровообращения с учетом влияния резистивных сосудов и фильтрационной функции почки.

2) Разработка эффективного алгоритма решения соответствующих математических задач на графе сосудов.

3) Включение алгоритма в программный комплекс CVSS и проведение численного моделирования кровеносной системы на базе этого комплекса.

4) Воспроизведение в численных расчетах качественной и количественной картины гемодинамического течения в большом круге кровообращения. Исследование механизмов регуляции величины артериального давления.

4. Диссертация состоит из трех глав и приложения, содержит 62 рисунка, 8 таблиц. Библиография насчитывает 60 наименований.

Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, сформулированы цели работы, излагается краткое содержание, сформулированы результаты, которые выносятся на защиту.

Первая глава диссертации, состоящая из 3 параграфов, посвящена базовой математической модели гемодинамики, описанию ее основных свойств, а также краткому рассмотрению аналитических решений некоторых модельных задач гемодинамики.

В первом параграфе описываются: используемые при математическом моделировании приближения физической модели течения крови в системе эластичных сосудов. Основным приближением является квазиодномерность течения крови. Стенка сосуда представляется эластичной изотропной тонкой оболочкой, упруго-механические свойства сосуда учитываются уравнением состояния. Кроме этого предполагается, что кровь представляет собой несжимаемую вязкую не реагирующую жидкость. Течение крови предполагается ламинарным во всех отделах сердечно-сосудистой системы.

Во втором параграфе рассматриваются уравнения гемодинамики базовой модели на отдельном сосуде. Рассматриваются их свойства, в частности, выясняется вопрос о типе системы уравнений. Показано, что система уравнений базовой модели гемодинамики имеет гиперболический тип. В параграфе рассмотрен вопрос о корректных граничных условиях, а также возможных случаях вырождения системы. Далее в этом параграфе рассматриваются модельные случаи, такие как линейное приближение, стационарное нелинейное течение. Для линейного приближения системы уравнений гемодинамики на одном сосуде для граничных условий определенного вида указано точное решение. Для стационарного нелинейного течения с учетом силы трения в сосуде можно получить аналитическое решение, а также оценки изменения давления под действием силы трения с различными порядками точности.

В третьем параграфе рассматриваются особенности применения модели на граф сердечно-сосудистой системы. При математическом моделировании сердечно-сосудистой системе формально сопоставляется некоторый граф, состоящий из ребер и вершин. В параграфе обсуждаются основные типы ребер и вершин. Указываются уравнения, применяемые для стыковки отдельных сосудов в вершинах различных типов. В параграфе отмечены основные подходы к моделированию работы сердца и фильтрационной функции почки. Указывается на необходимость использования модельных сосудов для описания участков микроциркуляторного русла, например сети артериол или емкостных вен и венул.

Вторая глава диссертации, состоящая из шести параграфов, посвящена построению и выяснению свойств осредненной нелинейной модели гемодинамики, построению эффективного численного алгоритма решения задачи на графе сосудов, сравнению численного решения с точными решениями модельных задач.

В первом параграфе с помощью метода интегральных соотношений в предположении линейности профилей скорости и давления на сосуде исходная система уравнений гемодинамики в частных производных сведена к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом параграфе исследуется вопрос о корректных граничных условиях на одном сосуде для системы уравнений осредненной нелинейной модели. Показано, что постановка граничных условий для осредненной нелинейной модели согласуется с постановкой граничных условий для базовой модели гемодинамики.

Во втором параграфе рассматривается семейство разностных схем с весовым множителем <т для решения нелинейной осредненной модели. Исследуются свойства предложенной разностной схемы. Анализ устойчивости соответствующей линеаризованной разностной схемы показал, что схема устойчива при значении весового множителя сг > 0.5 . При значении весового множителя сг = 0.5 схема имеет второй порядок по пространственной и временной переменным. При других значениях схемного множителя схема имеет первый порядок по времени и второй по пространственной переменной. Далее в параграфе указываются уравнения, используемые для согласования отдельных ребер на графе и получения полной системы уравнений гемодинамики для моделирования всей сердечно-сосудистой системы.

В третьем параграфе дано описание итерационного алгоритма для решения разностной схемы на одном сосуде. Использование предложенного в параграфе итерационного алгоритма сводит систему к системе линейных уравнений.

Четвертый параграф посвящен численному исследованию свойств разностной схемы и итерационного алгоритма на примере модельного сосуда. В частности указывается число итераций, затрачиваемых для обеспечения заданной точности итерирования при различных порядках аппроксимации. Результаты численных расчетов показали, что метод характеризуется слабой зависимостью решения от точности итерирования, а качественный вид решения формируется уже при невысокой точности итерирования. Также рассматривается влияние весового множителя разностной схемы на качественный вид решения. Численные расчеты показали, что увеличение весового множителя разностной схемы ведет к дополнительному сглаживанию решения. В этом параграфе также рассматривается зависимость решения от шага по времени. Результаты расчетов сравниваются с расчетом, проведенным с шагом Куранта.

В пятом параграфе обсуждается механизм дополнительного сглаживания и подавления нефизических осцилляций решения с помощью введения регуляризаторов.

В шестом параграфе проводится исследование точности расчетов. Численное решение, полученное с помощью осредненной нелинейной модели гемодинамики, сравнивается с точным решением линеаризованной задачи, с точным решением нелинейной стационарной задачи, а также с численным решением базовой модели гемодинамики на графе сосудов.

Проведенное сравнение позволяет утверждать, что численное решение хорошо воспроизводит характер поведения аналитических решений модельных задач.

В параграфе оценивается минимальное число интервалов разностной сетки, введенной вдоль одного ребра (сосуда), при котором средние характеристики системы передаются без значительных изменений. Численные расчеты показывают, что достоинством предложенного метода является возможность использования лишь небольшого числа интервалов, что значительно снижает время расчета больших систем.

В третьей главе диссертации, состоящей из семи параграфов, проводится численное исследование гемодинамики большого круга кровообращения. Обращается особое внимание на влияние резистивных сосудов и фильтрационной функции почки на общие параметры системы, в первую очередь на артериальное давление.

В первом параграфе обсуждаются основные элементы графа большого круга кровообращения человека. Приводится пример графа большого круга кровообращения человека, используемого в численных расчетах.

Во втором параграфе обсуждается последовательность задания начальных данных для графа сердечно-сосудистой системы. Процесс задания начальных данных состоит из нескольких этапов. На первом этапе из медицинских источников собирается доступная информация о параметрах сосудов. Такая информация в основном существует для магистральных артерий и некоторых вен. На втором этапе эта информация для различных сосудов (ребер) согласуется с целью обеспечения требований модели. На третьем этапе на основе согласованных данных и известных физиологических закономерностей задаются данные для прочих сосудов.

В этом параграфе рассматриваются различные способы моделирования работы сердца. Обсуждаются условия, задаваемые для моделирования стационарного потока из сердца, незамкнутой модели сердечно-сосудистой системы, а также самосогласованной модели сердца. Рассматриваются способы моделирования работы фильтрационной функции почки по выводу жидкости из системы.

В третьем параграфе обсуждаются результаты численных расчетов моделирования течения крови в большом круге кровообращения человека. Отмечается, что численный расчет позволил воспроизвести ряд основных физиологических закономерностей циркуляции крови в сердечно-сосудистой системе. В частности, воспроизведена квазипериодическая картина течения крови, по мере удаления от сердца наблюдается увеличение амплитуды колебаний волны давления. Показано, что для оценки среднего давления можно использовать стационарное течение, которое является фоновым для периодического течения. Численно исследуется влияние на величину давления длительности периода сердечного сокращения систолы). Рассматривается количественная зависимость величины давления от величины коэффициента вязкости крови.

В, четвертом параграфе исследуется влияние отдельной группы модельных резистивных сосудов на общие показатели гемодинамического течения, в особенности на величину артериального давления. При этом описывается картина распределения давления вдоль выделенных маршрутов большого круга кровообращения при стационарных и периодических граничных условиях. Проводится моделирование перераспределения потоков крови через различные органы при изменении периферического сопротивления системы на ткани нижних конечностей, соответствующего мышечной нагрузке.

В пятом параграфе моделируется равновесное состояние системы с активной почкой. Функционирование почки в нормальном режиме характеризует равновесное состояние, при котором объемная скорость поступающей жидкости равна объемной скорости жидкости удаляемой из системы почками. В параграфе при заданных параметрах всех ребер графа численно определяются опорные значения, характеризующие нормальную работу фильтрационной функции почки.

В шестом параграфе для сопоставления работы модельной почки с известными физиологическими закономерностями проведено моделирование мгновенного изменения давления в системе. Рассмотрено несколько вариантов изменения давления в почечной артерии. В частности рассмотрен случай реакции модельной почки на изменение давления вследствие изменения периферического сопротивления.

В седьмом параграфе проведено моделирование реакции почки на постепенное увеличение объема циркулирующей крови. Сопоставление результатов численных расчетов с известными физиологическими фактами, позволяет отметить, что предложенная модель отвечает основным физиологическим закономерностям функционирования фильтрационной функции почки.

В приложении приведен атлас данных по сосудам, собранный из различных медицинских источников. На основе этих данных для графа сердечно-сосудистой системы составлена база данных и параметров сосудов, пригодная для проведения широкого круга прикладных задач на основе программного комплекса CVSS.

Итак, в диссертации построена упрощенная нелинейная модель гемодинамики. Предложен численный алгоритм реализации соответствующей модели на графе сосудов. Для модели на одном сосуде проведена верификация точности численного решения на модельных задачах, таких как линеаризованная задача и стационарная нелинейная задача. Проведено математическое моделирование течения крови в большом круге кровообращения с учетом резистивных сосудов и фильтрационной функции почки.

5. Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Построена нелинейная осредненная модель гемодинамики на графе сосудов и разработан эффективный численный алгоритм ее реализации, включенный в качестве модуля в программный комплекс CVSS. Реальная точность метода верифицирована на основе аналитических решений модельных задач, в том числе и нелинейных.

2. Математическое моделирование гемодинамических течений в большом круге кровообращения под действием периодически сокращающегося сердца позволило воспроизвести ряд основных физиологических закономерностей работы кровеносной системы. Результаты численных расчетов продемонстрировали существенное влияние резистивных сосудов на формирование величины артериального давления, а также их важную роль в осуществлении активации групп мышц при увеличении физической нагрузки.

3. На основе численного моделирования фильтрационной функции почки проведено рассмотрение одного из механизмов почечной регуляции артериального давления в двух характерных случаях: при изменении величины регулирующего почечного давления и при поступлении дополнительного количества жидкости в организм.

4. Собран атлас данных по сосудам большого круга кровообращения. На этой основе разработана база данных, необходимых для решения широкого круга прикладных задач гемодинамики с помощью программного комплекса CVSS.

Основные результаты опубликованы в работах [33]-[37] и докладывались:

1) на школе-семинаре молодых ученых факультета ВМиК МГУ (г. Дубна, октябрь, 2001);

2) на научном семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ под рук. академика А. А. Самарского;

3) на совместном заседании научных семинаров отдела № 11 ИПМ РАН под рук. чл.-кор. РАН Ю.П. Попова и отдела № 4 ИММ РАН под рук. проф. В.Ф. Типикина;

4) на семинаре НАЛ РАН под руководством академика О.М. Белоцерковского и чл.-кор. РАН А.С. Холодова.

Автор выражает благодарность научным руководителям д.ф.-м.н. проф. А.П. Фаворскому и к.ф.-м.н. доценту С.И. Мухину за внимание к работе, к.ф.-м.н. Н.В. Соснину за постоянную поддержку, д.м.н. проф. В.Б. Кошелеву за ценные рекомендации и замечания в процессе работы.

1. Г. П. Конради Регуляция сосудистого тонуса. Л.: Наука, 1973

2. Guyton А.С., Coleman T.G. Circulation Research, 1969, V24, №1

3. Guyton. A.C., Coleman T.G., Grander H.J. Circulation: overall regulation. Ann.Rev Physiol, 1972

4. Ландау Л.Д., Лифпшц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988.

5. Саго C.G., Pedley T.J., Schroter R.S., Seed W.A. The mechanics of the circulation. Oxford University Press, New York Toronto, 1978.

6. B.A. Лищук. Математическая теория кровообращения. М.:Медицина 1991г

7. Wilmer W.Nicols, Michael F.O'Rourke. Blood flow in arteries. London, Edward Arnold,1990

8. M.S. Laening, H.E.Pullen, E.R. Carson, L.Finkelshtein. Modeling a complex biological system: the human cardiovascular system. 1. Methodology and model description. Trans.Inst.M C, v.5.№2 Apr-Jun 1993, p.71-86

9. Холодов A.C. Некоторые динамические модели внешнего дыхания и кровообращения с учетом их связности и переноса веществ. Сборник Информатика и медицина, 2001

10. К. Perktold, М. Resell, R.O. Peter. Three-Dimensional Numerical Analysis of pulsatile Flow and Wall Shear Stress in Carotid Artery Bifurcation. J. Biomechanics, vol.24, No 6., 1991

11. C.A. Taylor, I.J.R. Hughes, C.K. Zarins. Finite Element Modeling of Blood Flow in Arteries. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. Vol.158, 1998

12. Martin Zacek, Egon Krauset. Numerical simulation of blood flow in human cardiovascular system. J. Biomechanics, vol. 29, No 1, 1996

13. De Parter L., Van den Berg J.M. An electrical analogue of the entire human circulation system. Med. Electronics and Biol.Eng., 1964 №2 p. 161-166

14. Beneken I.E.W., De Wit B. A physical approach to hemodynamic aspects of the human cardiovascular system. In: Physical bases of circulatory transport: Regulation and exchange. Philadelphia, 1967, p.46-67

15. Бохман P. Математическое моделирование системы кровообращения и его применение для изучения некоторых физиологических и патофизиологических процессов. Дисс. д.ф-м.н., 1990г

16. Chakravarty S., Mandal P.H. A nonlinear two-dimensional model of blood flow in an overlapping arterial stenosis subjected to body acceleration. Math. Comput. Modeling V.24 (1996), N1 pp.43-58

17. Cancelli C., Pedley T.J. A separated-flow model for collapsible-tube oscillation. J.Fluid Mech., V 157(1985) pp.375-404

18. Гродию Ф. Теория регулирования и биологические системы. М.:Мир, 1966

19. В.А. Лищук. Математические модели сердечно-сосудистой системы. Итоги науки и техники. Бионика, биокибернетика, биоинженерия, т. 7, М.: ВИНИТИ, 1990

20. Савенков И.В. О нестационарных осесимметричных течениях в трубках с упругими стенками. ЖВМиМФ, V.36 N2 (1996), с. 147-164

21. Регирер С.А. Лекции по биологической механике. М., 1980

22. Волобуев А.Н. Биофизика. Самара: самарский дом печати, 1999, с. 16-70

23. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. М. .Медицина, 1982. -270с.

24. Абакумов М.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин А.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно сосудистой системы // Дифференциальные уравнения. 1997. Т.ЗЗ. № 7. С. 892 - 898

25. М.В. Абакумов, К.В. Гаврилюк, Н.Б. Есикова, В.Б. Кошелев, А.В. Лукшин, С.И.Мухин, Н.В.Соснин, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский. Математическая модель гемодинамики сердечно сосудистой системы, препринт ИПМ РАН, № 104, 1996г, 25 с.

26. Абакумов М.В., Есикова Н.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностная схема решения задач гемодинамики на графе Препринт. М.: Диалог-МГУ. 1998, 17с.

27. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин НВ., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Частные решения уравнений гемодинамики: Препринт. М: Диалог МГУ. 1999.

28. Буничева А.Я., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Осредненная нелинейная модель гемодинамики в одном сосуде: Препринт. М.: МАКС-Пресс. 2000.

29. Буничева А.Я., Лукшин В.А., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Численное исследование гемодинамики большого круга кровообращения. Препринт. М.: МАКС-Пресс. 2001.

30. Буничева А.Я., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Осредненная нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов. // Дифференц. уравнения 2001, т.37, №7, с.905-912

31. Буничева А.Я., В.Б. Кошелев, Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. «Математическое моделирование фильтрационной функции почки», препринт М.: МАКС-Пресс. 2001.

32. Р. Рашмер. Динамика сердечно-сосудистой системы. Пер. с англ. М.: Медицина, 1982. -440с.

33. Р. Шмидт, Г. Тевс. Физиология человека. Т.2. М.: Мир, 1996.

34. В.Фолков, Э. Нил. Кровообращение. М.Медицина, 1981. 600с

35. Tichner E.G., Sacks А.Н. A theory for the static elastic behavior of blood vessels. Boirheology, 1967, vol.4 №4 p. 151-168

36. Greenfield J.C., Patel D.J. Relation between pressure and diameter in ascending aorta of men. Circulation Res.,1962 Vol.l0№5, p.778-781

37. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М: Наука, 1968 592с

38. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Решение общей задачи для ЛГД уравнений на одном сосуде: Препринт. М.: МАКС-Пресс. 2001.

39. Тихонов АН, Самарский АА Уравнения математической физики. М: Наука, 1977

40. Ткаченко Б.И. Венозное кровообращение. JL: Медицина, 1979г., 224 с.

41. М.Р. Сапин, Г.Л. Билич «Анатомия человека», кн.2, М: ОНИКС: Альянс -В, 1999г, 432 с

42. А.Вандер. Физиология почек. СПб.: Питер, 2000г.

43. Р. Шмидт, Г. Тевс. Физиология человека. Т.З. М.: Мир, 1996

44. Б.И.Ткаченко. Физиология кровообращения: Регуляция кровообращения, Л.: Медицина, 1986

45. Черниговский В.Н. О механизмах регуляции тонуса кровеносных сосудов. 1954.

46. Дородницын А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. Тр. III Всесоюз. Матем. Съезда. 1956. T.III М.: изд-во АН СССР. С. 447 453

47. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

48. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.

49. Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Линейный анализ волн давления и скорости в системе эластичных сосудов: Препринт. М.: МАКС-Пресс. 2001

50. Ультразвуковая доплеровская диагностика сосудистых заболеваний под ред. Ю.М. Никитина, А.И. Труханова. М.: Видар, 1998.

51. Лелюк В.Г., Лелюк С.Э. Ультразвуковая ангиология. М.: Реальное Время, 1999.

52. Пуриня А., Касьянов В.А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека, 1976 г.

53. Чиркин А.А. Окороков А.Н. Гончарик И.И. Диагностический справочник терапевта. Минск: Беларусь, 1993 г.