автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование применимости регрессионного моделирования при решении прецизионных задач астрометрии и небесной механики

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Прецизионные задачи оценивания параметров в астрометрии и небесной механике.

1.1 Задачи оценивания параметров.

1.2. Математические модели обработки данных.

1.3 Оценивание параметров теорий орбитального движения и вращения Луны по лазерным данным.

1.4 Оценивание параметров теорий вращения Земли по радиоинтерферометрическим данным.

1.5 Основные проблемы при оценивании констант теорий вращения и движения планет и пути их разрешения.

1.6 Задачи исследований.

Глава 2. Элементы подхода регрессионного моделирования.

2.1 Основные понятия регрессионного анализа.

2.1 Последствия невыполнения условий применения теоремы Гаусса-Маркова.

2.3 Критерии невыполнения условий РА-МНК.

2.4 О способах адаптации к нарушению условий РА-МНК.

Глава 3. Методы адаптации к нарушениям условий РА-МНК для моделей дифференциальных поправок.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Методы структурной идентификации по снижению размерности модели.

3.3 Методы параметрического оценивания для снижения эффекта мультиколлинеарности.

3.3.1 Стандартные методы.

3.3.2 Методы ступенчатого оценивания.

3.4 Методы робастного оценивания.

3.5 Комбинированные способы.

3.5.1 Пошаговая регрессия.

3.5.2 Методы ступенчатого оценивания на основе алгоритма Хаусхолдера.

3.5.3 Методы ступенчатого оценивания на основе алгоритма Хубера и Андрюса.

Глава 4. Программное обеспечение для решения задач параметрического оценивания.

4.1 Назначение и структура пакета.

4.2 Оболочка пакета.

4.3 Функциональное наполнение пакета.

Глава 5. Применение методов адаптации для оценивания поправок к постоянным теорий движения и вращения планет.

5.1 Уточнение поправок к константам теорий движения и вращения Луны по лазерным данным.

5.2 Уточнение поправок к константам теорий вращения Земли по радиоинтерферометрическим данным.

В последние годы в связи с освоением околоземного пространства, многочисленными запусками космических аппаратов, расширением круга задач народнохозяйственного, научного и оборонного значения, решаемых с их помощью, проявляется значительный интерес к проблеме уточнения из прецизионных наблюдений констант теорий вращения и движения планет, а также различных астрономических и геодезических постоянных.

Под системой астрономических постоянных понимают сравнительно небольшую группу параметров, определяющих динамику Солнечной системы, необходимую для предвычисления положений небесных объектов, редукции и интерпретации их наблюдений [53]. В эту систему входят также геодезические постоянные, связанные с Землей. Таким образом система астрономических постоянных составляет численную основу всех редукционных вычислений в астрометрии. Так как позиционные наблюдения небесных объектов проводятся с поверхности Земли и дают топоцентрические положения небесных объектов, то для перехода от точки наблюдения (топоцентра) к центру масс Земли в систему астрономических постоянных включены параметры, характеризующие фигуру и размеры, вращение и гравитационное поле Земли (земного сфероида). Далее обычно переходят к барицентру Земля +Луна и к центру масс Солнца, поэтому в систему астрономических постоянных включены параметры геоцентрического движения Луны и гелиоцентрического движения Земли.

Для астрономических исследований важно сохранение системы астрономических постоянных неизменной в течение возможно более длительного времени. Это необходимо, чтобы обеспечить единую, однородную основу для сравнения теорий движения Солнца, Луны и планет с наблюдениями и последующего анализа расхождений О-С (наблюденное значение минус вычисленное значение), цель которого в уточнении всех или по меньшей мере части параметров, лежащих в основе соответствующей теории движения. Поэтому в общепринятой системе астрономических постоянных независимо от новых определений и уточнений сохраняются старые значения некоторых постоянных.

Предполагается, что истинные значения постоянных заключены в некоторых пределах, то есть эти значения верны с точностью до приведенных знаков. Переход к новым значениям постоянных осуществляется при этом непосредственно повторным вычислением эфемерид (таблицы числовых значений планетоцентрических систем координат) с новыми значениями соответствующих постоянных.

Требования, предъявляемые астрономией и астродинамикой к системе астрономических постоянных, качественно различны. При астрономических исследованиях необходима система строго согласованных и совместных значений астрономических постоянных, пригодная для вычисления эфемерид и редукций наблюдений небесных тел в течение многих десятилетий. При решении задач астродинамики необходимо знать с максимальной точностью значения всех тех астрономических постоянных, с которыми связано проведение эксперимента. Поэтому для астродинамики важное значение имеет непрерывное улучшение и уточнение постоянных, их соответствие современному уровню наблюдений.

Первая система астрономических постоянных была создана в 1896 году. Следующая — через 68 лет, в 1964 году. Потом — в 1976 (через 12 лет). В 1984 году образовалась Международная служба вращения Земли. Эта служба помимо основной деятельности публикует с интервалом 3-4 года (1989, 1992, 1996 и 2000) так называемые "Конвенции" (Соглашения), в которых приводятся рекомендации для астрономических вычислений. В том числе и рекомендованные значения для астрономических постоянных — скорости света, радиуса Земли, постоянной гравитации и т.д. И вся эта система постоянных регулярно обновляется. Причина этого — качественный рывок, который сделала астрономия в технике точных наблюдений за последнее время. С конца 18 века и до 80-х годов 20 века техника астрометрии (раздела астрономии, который создает системы координат и времени) использовала только наземные оптические инструменты. Почти 200 лет техника оставалась на одном и том же уровне! Поэтому первая система астрономических постоянных и "жила" так долго. Но в середине 80-х годов картина изменилась. Появились радиоинтерферометрические наблюдения квазаров и искусственных спутников Земли (ИСЗ), лазерная локация ИСЗ и, наконец, космическая астрометрия. Как следствие, система астрономических постоянных стала пересматриваться каждые 3-4 года. Именно космическая астрометрия позволяет существенно обновить наши знания о строении Галактики. Если каталоги, построенные традиционными оптическими методами, содержали точную информацию лишь для нескольких тысяч звезд, то запущенный в 1994 году аппарат "Hipparcos" получил данные для 115 тысяч звезд. А недавно стало известно, что американцы выделили средства на проект "FAME". В рамках этого проекта предполагается с помощью нового космического телескопа пронаблюдать 40 миллионов звезд, то есть в 10000 раз больше, чем содержится в старых каталогах. Причем результаты проекта "FAME" станут доступны к 2006 году. Таким образом, можно говорить, что за 20 лет чисто количественный объем наших знаний о Галактике увеличится, по крайней мере в 10000 раз.

Среди современных типов высокоточных астрономических наблюдений можно выделить радиоинтерферометрию со сверхдлинными базами (PCДБ) и лазерную локацию [47]. С тех пор как в 1609 году Галилей впервые направил на небо телескоп, возможности астрономических наблюдений возросли в очень сильной степени. Космические тела излучают электромагнитную энергию в очень широком диапазоне частот - от гамма-лучей до самых длинных радиоволн. В настоящее время космическое излучение исследуется в длинах волн от одного миллиметра до нескольких десятков метров. Радиотелескопы, предназначенные для приема сигнала, состоят из антенн (параболических отражателей) и очень чувствительного приемника. Так как длины волн в радиодиапазоне очень велики, то радиоастрономические антенны значительно уступают по угловому разрешению оптическим. Тем не менее с помощью радиоинтерферометра возможности тех и других телескопов сравниваются. Радиоинтерферометр представляет собой систему из двух антенн, разнесенных на некоторое расстояние, которое называется базой интерферометра. Базу можно сделать очень большой, поэтому интерферометрами можно разрешить очень близко расположенные точечные источники. В последние годы разработана методика радиоинтерферометрических наблюдений с использованием двух раздельных приемников. В этом случае антенны интерферометра могут быть разнесены на тысячи километров. С помощью таких систем в радиоастрономии удалось получить угловое разрешение порядка 10"4 секунды дуги - это намного лучше, чем дают оптические телескопы.

Работы по прецизионному исследованию Луны с помощью сверхкоротких лазерных импульсов (лазерная локация) были развернуты в конце 1960-х и начале 1970-х годов после установки на лунной поверхности нескольких уголковых отражателей в ходе американских пилотируемых экспедиций по программе «Аполлон» и советских беспилотных экспедиций «Луноход-1 и -2» [11,14]. Большая часть установленного оборудования успешно функционирует до настоящего времени. Проводившаяся в течение трех десятилетий систематическая лазерная локация Луны позволила добиться кардинального улучшения в определении целого ряда параметров, существенных для астрономии, геодезии, геодинамики и других наук.

Переход астрономических наблюдений на микросекундный уровень точности нуждается в соответствующей адаптации методов математической обработки результатов измерений и вычислений параметров объектов. В полной мере это относится и к параметрам орбит, так как необходимо точное наведение инструмента.

В настоящее время для улучшения астрономических постоянных наиболее эффективным является метод дифференциальных поправок рассчитанный на применений современной вычислительной техники и позволяющий использовать всю совокупность наблюдений данного небесного тела [17,35]. Уравнения дифференциальных поправок получаются в результате разложения разностей наблюденных и вычисленных значений в ряд Тейлора до производных первого порядка по поправкам к постоянным теории. Членами порядка выше первого пренебрегают. Эти уравнения называют условными.

С давних пор в практике сложился определенный подход к выбору способа решения задач оценивания параметров математической модели в виде метода наименьших квадратов (МНК). В адрес стандартной методологии можно выдвинуть ряд критических замечаний: 1) ограничен круг применяемых мер качества модели; 2) принятая модель является жестко фиксированной; 3) не учитывается возможность нарушения предположений МНК; 4) существующее универсальное программное обеспечение, используемое в других отраслях науки и техники, не учитывает всех требований для решения задач астрометрии как в программном смысле (по объему обрабатываемых данных и требуемой памяти), так и в математическом (в виду использования узкого круга стандартных методов обработки).

В реальных условиях предположения МНК в задачах оценивания астродинамических констант или поправок к ним нарушаются. В соответствии с теорией это приводит к значительным случайным и систематическим ошибкам и понижению точности оценок в первую очередь из-за взаимозависимости параметров в исходных уравнениях (эффекта мультиколлинеарности), в результате чего их оценки не являются наилучшими линейными оценками (НЛ-оценками).

Применение подхода регрессионного моделирования (РМ-подхода)[17] в рассматриваемой области подразумевает исследование и выбор оптимальных методов получения НЛ-оценок параметров и проверку эффективности получаемой модели по соответствующим критериям.

Данная работа посвящена: 1) исследованию применимости ряда методов структурно-параметрической идентификации (СПИ) для решения обремененной эффектом мультиколлинеарности системы уравнений дифференциальных поправок к постоянным теорий орбитального движения и вращения планет и других констант на примере данных по лазерной локации Луны и радиоинтерферометрических наблюдений внегалактических источников; 2) исследованию эффективности полученных моделей в выборочном пространстве и пространстве параметров. Разработанные методы позволяют снизить влияние эффекта мультиколлинеарности при решении избыточной системы уравнений и тем самым повысить точность оценивания параметров.

С учетом вышесказанного, рассматриваемая в диссертационной работе задача исследования применимости регрессионного моделирования при решении прецизионных задач астрометрии и небесной механики является актуальной.

Целью диссертационной работы является решение научно-технической задачи разработки, исследования и использования методов оценивания параметров математических моделей на примере решения задачи уточнения поправок к постоянным теорий орбитального движения и вращения планет по лазерным и радиоинтерферометрическим наблюдениям на основе статистического (регрессионного) моделирования путем создания специализированной, предметно-ориентированной программной системы.

Для достижения указанной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Модификация и численное исследование классических методов структурно-параметрической идентификации в применении к задачам прецизионного решения систем уравнений дифференциальных поправок;

2. Исследование применимости метода ступенчатой ортогонализации базиса модели с целью адаптации к нарушениям предположений регрессионного анализа и МНК (РА-МНК) для систем уравнений дифференциальных поправок;

3. Исследование полученных моделей по набору критериев эффективности;

4. Решение и численный анализ систем уравнений поправок к постоянным теории вращения и орбитального движения Луны по лазерным наблюдениям;

5. Решение и численный анализ систем уравнений поправок к постоянным теории вращения Земли по радиоинтерферометрическим наблюдениям внегалактических источников;

6. Разработка функционального наполнения и оболочки специализированной системы, обеспечивающей построение и выбор оптимальной модели и предусматривающей решение задач большой размерности.

Основные положения, выносимые на защиту:

- исследованы возможности применения ряда методов адаптации к нарушениям некоторых условий РА-МНК для систем уравнений дифференциальных поправок;

- предложен новый алгоритм структурно-параметрической идентификации, снижающий эффект мультиколлинеарности - метод ступенчатой ортогонализации базиса модели;

- проведено сравнение моделей обработки данных для определения поправок к постоянным теории вращения и орбитального движения Луны по лазерным наблюдениям и Земли по радиоинтерферометрическим наблюдениям;

- создан пакет прикладных программ (ППП) СПИ для задач МНК в условиях мультиколлинеарности;

- получены предварительные значения поправок к постоянным теории вращения и орбитального движения Луны и Земли, являющиеся наилучшими линейными оценками для используемых рядов наблюдений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Впервые выполнено исследование возможности применения ряда методов оценивания и критериев эффективности для решения и анализа систем уравнений дифференциальных поправок;

2. Предложены новые методы ступенчатого параметрического оценивания для снижения эффекта мультиколлинеарности -взаимозависимости переменных (регрессоров);

3. На основе подхода регрессионного моделирования и компьютерных технологий разработан новый пакет прикладных программ решения задач оценивания параметров для систем уравнений дифференциальных поправок и определения эффективности полученных моделей по ряду критериев;

4. Получены предварительные значения поправок к постоянным теории вращения и орбитального движения Луны и Земли, являющиеся наилучшими линейными оценками для используемых рядов наблюдений.

Практическая значимость работы: предложены алгоритмы и соответствующая программная система, позволяющие повысить точность определения констант теории орбитального движения и вращения планет (в том числе параметров вращения Земли), координат пунктов наблюдения, координат звезд и внегалактических источников. Новый подход после дополнительных исследований может быть исследован для решения задач МНК, в которых математические модели обработки обременены эффектом взаимозависимости.

Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты внедрены в МГУ (ГАИШ) при обработке радиоинтерферометрических измерений внегалактических источников, в ИНАСАН в рамках темы по госконтракту с РКА, а также в учебном процессе УлГТУ в рамках курсовых и дипломных работ по специальности «Прикладная математика».

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и симпозиумах:

- Всероссийская конференция с международным участием «Компьютерные методы небесной механики - 95» (Санкт-Петербург 1995г.);

- Всероссийская научно-техническая конференция «Информационно-управляющие системы и специализированные вычислительные устройства для обработки и передачи данных» (Махачкала 1996г.);

- XXVII радиоастрономическая конференция «Проблемы современной радиоастрономии» (Санкт-Петербург 1997г.);

- международная научно-техническая конференция «220 лет геодезическому образованию в России» (Москва 1999г.);

- 30nd mycrosymposium on comparative planetology. Vernadsky Institute of Geochemistry and Analitical Chemistry Russian Academy of Science (Москва 1999г.);

- 32nd mycrosymposium on comparative planetology. Vernadsky Institute of Geochemistry and Analitical Chemistry Russian Academy of Science (Москва 2000г.);

- 37nd mycrosymposium on comparative planetology. Vernadsky Institute of Geochemistry and Analitical Chemistry Russian Academy of Science (Москва 2002г.);

- Ill всероссийская научно-практическия конференция (с участием стран СНГ) (Ульяновск 2001г.);

- IV всероссийское совещание-семинар «Информационные технологии в учебном процессе кафедр физики и математики» (Ульяновск 2002г.);

- конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ с 1996 по 2002год.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и 7 приложений.

Результаты работы в полной мере опубликованы, апробированы и внедрены в МГУ (ГАИШ) при обработке радиоинтерферометрических измерений внегалактических источников, в ИНАСАН в рамках темы по госконтракту с РКА, а также в учебном процессе УлГТУ в рамках курсовых и дипломных работ по специальности «Прикладная математика».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научно-техническая задача разработки, исследования и использования методов оценивания параметров математических моделей на примере решения задачи уточнения поправок к постоянным теорий орбитального движения и вращения планет на примере данных по лазерным и радиоинтерферометрическим наблюдениям на основе статистического (регрессионного) моделирования путем создания специализированной, предметно-ориентированной программной системы, поставленная в диссертационной работе, решена. Исследована эффективность полученных моделей в выборочном пространстве и пространстве параметров. Разработанные методы позволяют снизить влияние эффекта мультиколлинеарности при решении избыточной системы уравнений и тем самым повысить точность оценивания параметров.

Основными результатами диссертационной работы являются следующие:

1. Исследована эффективность методов структурно-параметрической идентификации при решении задач оценивания параметров моделей дифференциальных поправок;

2. Разработан метод ступенчатой ортогонализации базиса модели и доказана его эффективность при построении моделей поправок к постоянным теорий орбитального движения и вращения Луны по лазерным данным и Земли по радиоинтерферометрическим наблюдениям внегалактических источников;

3. Для выбора оптимальной модели предложены к использованию критерии минимума смещения, основанные на анализе двух непересекающихся выборок из исходных данных;

4. Проведено исследование влияния уровня значимости на получаемые оценки и выбран наиболее подходящий для задач дифференциальных поправок (се =0.025);

5. Разработан пакет прикладных программ для решения задач МНК в условиях мультиколлинеарности. В него вошли как модифицированные стандартные методы оценивания, так и разработанный метод ступенчатого оценивания, включающий несколько вычислительных схем и стратегий оценивания. Разработанный пакет ориентирован на решение задач большой размерности.

6. Получены предварительные оценки поправок к постоянным орбитального движения и вращения Луны и Земли по лазерным и радиоинтерферометрическим данным.

Работа выполнялась в соответствии с планами НИР кафедры «Прикладная математика и информатика» Ульяновского государственного технического университета.

1. Peter J. Shelus Fundamental coordinate ties using laset ranging data / Celect. Mech. 1985/ vol. 37. № 3. p. 243 - 246.

2. Dickey J.O., Newhall X.X., Williams J.G. Earth orientation from lunar laser ranging and an error analysis of polar motion services / Journal of Geophysical Research, vol. 90. № B11. p. 9353 - 9362.

3. Rosch Jean Laser measurements of Earth Moon distances / The Moon, -1972. vol. 3. № 4. p. 448 - 455.

4. Mulholland D. How high the Moon: a decade of laser ranging / Sky and Telescope, 1980. vol. 60. № 4. p. 274 - 279.

5. Mulholland D. Coordinate systems in lunar ranging / Int. Astron. Union Collog. № 26, Torun, 1974, Ref. Coord. Syst. Earth Dyn. p. 433 443.

6. Valeev S.G., Rodionova Т.Е. Estimation of efficiency of mathematical models of processing the radiointerferometer observation// Тез.докл.Всерос. конф. «Компьютерные методы небесной механики-95» С.-Пб.:Изд.ИТА РАН, 1995. с. 54-57.

7. O.Williams J. G. Results from lunar laser ranging (summary only) / Phil. Trans, of the Royal Society of London, 1977. vol. 284. № 1326. p. 419 - 623.

8. П.Абалакин B.K., Кокурин Ю.Л. Оптическая локация Луны // Успехи физических наук, 1981. т. 134. № 3. с. 526 - 535.

9. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. -М.:Ф и С, 1985. -487с.

10. З.Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы экономертики. Учебник для вузов.-М.:ЮНИТИ, 1998.-1022с.

11. Алешкина Е.Ю., Васильев М.В., Красинский Г.А. Некоторые результаты анализа лазерных наблюдений Луны 1970-1995гг. Труды ИПА РАН. Вып. 1. Астрометрия и геодинамика.-СПб.:ИПА РАН, 1997.С.262-274.

12. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ / Пер. с англ.: Под ред. Г. П. Башарина. М.:Мир, 1982. 486с.

13. Байкова А.Т., Пятунина Т.Б., Финкелыптейн A.M. Результаты картографирования компактных внегалактических радиоисточников по геодезическим РСДБ наблюдениям. Труды ИПА РАН. Вып.1. Астрометрия и геодинамика.-СПб.:ИПА РАН, 1997.С.22-63.

14. Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений. М.:Наука, 1991. 272с.(2-е издание: Регрессионное моделирование при обработке данных. Казань:ФЭН,2001. 296с.)

15. Валеев С.Г., Петров Л.Ю., Родионова Т.Е. Применение метода регрессионного моделирования для обработки радиоинтерферометрических наблюдений //Тез.докл. XXIX н.-т. конф. УлГТУ. Ульяновск,Изд. УлГТУ, 1995. с. 113-114.

16. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. Анализ методов оценки параметров при мультиколлинеарности переменных//Журнал «Известия Вузов. Серия: Геодезия и аэрофотосъемка». М., 1999, - №5. с. 20-28.

17. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. Анализ устойчивости параметров математической модели обработки лазерных наблюдений Луны//Тез.докл. XXXII н.-т. конф. УлГТУ. Ульяновск,Изд. УлГТУ, 1998. с. 17-18.

18. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. О моделях обработки радиоинтерферометрических наблюдений внегалактических источников//Тез.докл. XXX н.-т. конф. УлГТУ. Ульяновск,Изд. УлГТУ, 1996. с. 107-109

19. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. Последовательная ортогонализация базиса в задачах метода наименьших квадратов//Вестник УлГТУ. -Ульяновск,Изд. УлГТУ, 1998. с. 4-9

20. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. Последовательная ортогонализация базиса математической модели обработки данных//220 лет геодезическому образованию в России: Тез.докл. Всерос.конф. Москва :МГУ ГиК, 1999. с.19-19.

21. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. Последовательная ортогонализация базиса математической модели обработки данных//220 лет геодезическому образованию в России: Труды Всерос.конф. Москва :МГУ ГиК, 2000. с.126-131.

22. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. Применение ступенчатого метода ортогонализации базиса при построении моделей прогноза//Тез.докл. XXXIV н.-т. конф. УлГТУ. Ульяновск,Изд. УлГТУ, 2000. с. 62-62.

23. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. Проектирование экспертной системы оптимального оценивания астрометрических параметров//Проблемы современной радиоастрометрии: Тез.докл. XXVII радиоастрономической конференции. С.-Пб.:Изд.ИТА РАН, 1997. с. 231-232.

24. Валеев С.Г., Родионова Т.Е. Разработка и исследование методов ортогонализации моделей обработки данных//Тез.докл. Всерос. астрономической конференции «ВАК-2001»- С-Пб.:Изд.ИТА РАН, 2001. с. 28-28.

25. Валеев С.Г., Родионова Т.Е., Благова О.В. О методах ортогонализации моделей обработки данных//Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем:Тез.докл. 3 Всерос. науч.-практ. конф. УлГТУ. Ульяновск,Изд. УлГТУ, 2001. с. 52-54.

26. Валеев С.Г., Родионова Т.Е., Валеев А.С., Кадырова Г.Р. Проект базы знаний для экспертной системы поиска оптимальных регрессий//Тез.докл. XXXI н.-т. конф. УлГТУ. Ульяновск,Изд. УлГТУ, 1997. с. 47-47.

27. Валеев С.Г., Титов О.А., Родионова Т.Е. Опыт обработки радиоинтерферометрических наблюдений методом регрессионногомоделирования//Тез.докл. XXVIII н.-т. конф. УлГТУ. Ульяновск,Изд. УлГТУ, 1994. с. 102-103.

28. Валеев С.Г., Фурсенко М.А., Бойко В.Н. Оценка динамических параметров Луны по данным светолокации // Астрон. Вестн., 1989. т. 23. № 24. с. 304-312.

29. Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной регрессионный анализ.-М.:Ф. и С.,1987.239с.

30. Грачев В.Г. Методические особенности РСДБ наблюдений космических аппаратов и навигационных ИСЗ. Труды ИПА РАН. Вып. 1. Астрометрия и геодинамика.-СПб.:ИПА РАН, 1997.С.184-197.

31. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. -М.:Ф.иС., 1981.302с.

32. Думин Ю.В. Прецизионные измерения параметров системы Земля-Луна и их использование в релятивистской астрофизике и космологии.//Сб. трудов конф. «Околоземная астрометрия XXI века». Звенигород. -М.:ГЕОС,2001.с.431-434.

33. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Статистика, 1973. 392 е.; 2-е изд. М.:Ф. и С., Кн. 1,1986. 365 е.; Кн. 2, 1987. 349 с.

34. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для ПЭВМ. М.:Наука,1987

35. Ивахненко А.Г. Мюллер Й.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. Киев:Техника, 1985.223с.

36. Кислюк B.C. Комплексное изучение динамики системы Земля-Луна с помощью наземной и космической астрометрии. Сборник научных трудов

37. Астрономические аспекты освоения Луны и поиск внеземных ресурсов». Изд. МГУ, 1993. с. 136-144.

38. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов/Пер. с англ. -М.:Наука, 1986.232с.

39. Малкин З.М., Петров Л.Ю., Финкелыптейн A.M., Воинов А.В., Скурихина Е.А. Служба определения ПВЗ ИПА РАН. Труды ИПА РАН. Вып.1. Астрометрия и геодинамика.-СПб.:ИПА РАН, 1997.С. 101-111.

40. Мориц Г.,Мюллер А. Вращение Земли:Теория и наблюдения/ Пер. с англ. -Киев:Наук. думка, 1992.512с .

41. Петрович М.Л. Регрессионный анализ и его математическое обеспечение на ЕС ЭВМ. М.: Ф. и С.,1982. 200с.

42. Родионова Т.Е. Последовательно-независимые МНК-оценки небесно-механических постоянных//Тез.докл. XXXIII н.-т. конф. УлГТУ. -Ульяновск,Изд. УлГТУ, 1999. с. 48-48.

43. Сборник научных программ на Фортране / Пер. с англ. ; Под ред. Л.И. Ганиной. М.:Статистика, 1974. Вып. 1. 316 с.

44. Себер Д. Линейный регрессионный анализ / Пер. с англ. ; Под ред. М. Б. Малютова. М.:Мир, 1980. 450 с.

45. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Г. Н. Дубошина. М.:Наука, 1976. 862с.

46. Хьюбер П. Робастность в статистике: Пер. с англ. М.:Мир, 1984.304с.

47. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.:Наука, 1980. 512 с. 56.Эльясберг П. Е. Современный подход к задаче определенияфизических параметров по результатам измерений //Обработка информации, получаемой по программе «Интеркосмос». М.:Наука, 1982. с. 160- 188.