автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и исследование статистических моделей гелио- и геофизических характеристик на основе динамического регрессионного моделирования

На правах рукописи

Куркина Светлана Владимировна

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ГЕЛИО-И ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК НА ОСНОВЕ ДИНАМИЧЕСКОГО РЕГРЕССИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ульяновск - 2006

Диссертация выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель:

д ф.-м.н., профессор Валеев Султан Галимзянович

Официальные оппоненты:

д.т.н, профессор (УлГУ) Семушин Иннокентий Васильевич

д.т.н., профессор (УлГТУ) Негода Виктор Николаевич

Ведущая организация:

Институт астрономии РАН (ИНАСАН), г. Москва

Защита состоится « 30 » июня 2006г. в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу:432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32, ауд.211

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета

Автореферат разослан « 2 ?-» мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.т.н., профессор

Крашенинников В.Р.

15Ы9

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Среди прецизионных задач астрометрии, небесной механики и геофизики особое место занимают задачи моделирования динамики гелио- и геофизических характеристик, а также задачи выявления статистических зависимостей между временными рядами* (ВР). Для ВР такого типа актуальными являются вопросы постулирования модели, выбора алгоритма обработки, совмещения требований к точности результатов и возможностей, обеспечиваемых выборкой данных, методами прикладной математической статистики и компьютерными технологиями.

В настоящее время в практике сложился определенный подход к решению задач обработки и анализа гелио- и геофизических временных рядов (ГВР), при котором возникают две основные проблемы: 1) применение для ГВР только трендовой и полигармонической составляющих, используемых для описания физики процесса, приводит к постулированию модели, обладающей невысокой точностью прогнозирования; остатки после нее обременены заметными систематическими ошибками и не распределены нормально; 2) в большинстве случаев полигармоническая компонента ГВР, принятая исследователем, содержит шумовые и коррелирующие гармоники, а также «эхо» основных гармоник; для нестационарных ГВР периоды и амплитуды гармоник - нестационарны Во втором случае снижается не только точность прогноза, но искажается в определенной мере физическое описание процесса.

Обе проблемы по сути формируют одну общую - проблему постулирования модели ГВР, с которой непосредственно связана проблема выбора критерия оптимальности модели. Применяемые в настоящее время критерии не всегда соответствуют назначению модели ГВР.

Вторая группа проблем возникает на этапе оценивания параметров модели методом наименьших квадратов (МНК). Моделирование динамики временных рядов на классических схемах МНК не всегда осуществимо с достаточной точностью из-за нарушения условий их применения, таких как, например, высокая степень автокорреляционной зависимости остатков е, ненормальность их распределения из-за наличия систематического смещения и непостоянной дисперсии процесса и др.

В итоге при использовании стандартного подхода к обработке ГВР возникает ряд ограничений: 1) отсутствует комплексная модель динамики ГВР, позволяющая достаточно полно выявить физику процесса и с высокой точностью прогнозировать поведение ГВР; 2) не в полной мере используются соответствующие критерии качества модели; 3) не учитывается возможность нарушения предположений МНК; 4) существующее программное обеспечение не дает возможности комплексно проанализировать тенденции ВР и построить соответствующее математическое

описание. ____

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА 3 С.-Петербург

ОЭ 200 4>кт ¿Ф?

В силу сказанного решаемые в диссертационной работе задачи прецизионной обработки и анализа гелио- и геофизических временных рядов на основе подхода динамического регрессионного моделирования (ДРМ-подхода), предложенного Вапеевым С.Г., являются актуальными.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является решение научно-технической задачи прецизионного математического описания гелио- и геофизических временных рядов на основе применения адаптивного динамического регрессионного моделирования путем создания предметно-ориентированного программного комплекса.

Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ результатов, полученных другими исследователями по моделям, методам и программному обеспечению для обработки ГВР

2. Обоснование применимости ДРМ-подхода для моделирования поведения

ГВР.

3. Разработка алгоритма структурно-параметрической идентификации при построении комплексной модели ГВР.

4. Разработка методики применения адаптивного регрессионного моделирования (АРМ-подхода) к решению линейных задач МНК для модели ГВР.

5. Разработка функционального наполнения и оболочки специализированной программной системы, обеспечивающей построение, комплексный анализ и поиск оптимальной структуры ГВР.

6. Получение статистических моделей динамики временных рядов на основе динамического регрессионного моделирования.

7. Статистический анализ солнечно-земных связей.

Диссертационная работа выполняется в соответствии с г/б направлением НИР УлГТУ «Оптимизация математических моделей обработки данных и информационные технологии». Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных исследований № 04 - 02 - 16633 в 2004 - 2006 годах.

Методы исследования

В диссертационной работе используются методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, численные методы, а также объектно-ориентированного программирования.

Достоверность полученных результатов, выводов и рекомендаций подтверждена результатами вычислительных экспериментов, корректным применением методов математического моделирования, а также результатами использования материалов диссертации и программного обеспечения при внедрении.

Научная новизна положений, выносимых на защиту Впервые

1. разработаны:

-алгоритм структурно-параметрической идентификации модели ГВР, -методика применения АРМ-подхода к задачам МНК для составляющих ГВР, -пакет прикладных программ для построения комплексных моделей временных рядов гелио- и геофизических характеристик на основе ДРМ-подхода, - комплексные модели,

позволяющие осуществлять прецизионное моделирование ГВР;

2. применены:

-«внешние» меры качества для компонент и комплексной модели ГВР в целом, позволяющие оценивать их точность прогнозирования за пределами временного ряда, -методы структурной идентификации для фильтрации шумов и «эховых» гармоник в полигармонических компонентах, мартингал для описания случайного процесса;

3. получены и исследованы комплексные модели характеристик солнечной активности (чисел Вольфа и потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см), координат X и У Северного полюса Земли, вариации длительности суток и скорости вращения Земли, применение которых позволяет с более высокой точностью прогнозировать их динамику;

4. Выявлен ряд новых особенностей в солнечно-земных связях, учет которых в случае подтверждения на более обширном материале может помочь уточнить причинно-следственный механизм взаимосвязей.

Практическая значимость работы

Разработанный информационно-математический комплекс, созданный на основе ДРМ-подхода и предложенных алгоритма и методики обработки временных рядов, практически используется в научно-практической деятельности для моделирования гелио- и геофизических характеристик во времени, позволяя получать с высокой степенью адекватности математические описания их динамики и с более высокой по сравнению со стандартными подходами точностью прогноз их значений.

Внедрение результатов

Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты внедрены в Институте астрономии РАН в рамках темы по гранту РФФИ, в Гидрометцентре РФ, а также в учебном процессе УлГТУ при курсовом и дипломном проектировании по специальности «Прикладная математика».

Личный вклад автора

Автором выполнен обзор по методам и проблемам изучения солнечно-земных связей. С учетом выявленных недостатков существующих подходов к обработке ГВР сделаны выводы относительно актуальных вопросов анализа гелио- и геофизических характеристик. Обоснована применимость ДРМ-подхода для моделирования поведения ГВР. Разработан алгоритм структурно-параметрической идентификации при построении комплексной модели ГВР. Разработана методика применения адаптивного регрессионного моделирования (АРМ-подхода) к решению линейных задач МНК для модели ГВР. Разработан пакет прикладных программ автоматизированная система динамического регрессионного моделирования (АС ДРМ 2.0) на основе первой версии АС ДРМ 1.0, позволяющий проводить анализ ГВР, определение оптимальной структуры модели и оценивать ее параметры. Получены и исследованы комплексные модели гелио- и геофизических характеристик на основе разработанных алгоритма СПИ и методики. Проведен сравнительный анализ полученных комплексных моделей в АС ДРМ по точности с моделями в пакете STATISTICA. Проанализированы некоторые взаимосвязи ГВР.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и симпозиумах:

- 42nd Vemadsky-Brown Mycrosymposium (Москва, 2005г.);

- международный симпозиум «Астрономия-2005: Состояние и перспективы развития» (Москва);

- международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2005 и 2006 гг.);

- конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (Ульяновск, 2005 и 2006 гг.);

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 5 статей.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Основное содержание изложено на 168 страницах, включая 82 рисунка и 12 таблиц. Список литературы включает 150 наименований использованных литературных источников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель и задачи исследований, научная новизна и практическая ценность полученных результатов, приведены сведения об использовании, реализации и апробации результатов работы, структуре диссертации.

В первой главе выполнен обзор математических методов и программного обеспечения, применяемых для обработки временных рядов в астрометрии, геофизике и небесной механике, а также разработанных моделей гелио- и геофизических характеристик.

Временным рядом принято называть последовательность наблюдений, обычно упорядоченную по времени, хотя возможно упорядочение по какому-то другому параметру. Основной чертой, выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа, является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если во многих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они, как правило, зависимы, и характер этой зависимости может определяться положением наблюдений в последовательности.

Различают две основные цели анализа ВР. - определение природы исследуемого объекта; - предсказание будущих значений ВР по предыдущим значениям. Для достижения этих целей необходимо, чтобы модель ряда была идентифицирована и формально описана.

С учетом поставленной цели необходимо изучить имеющуюся априорную информацию о некоторых характеристиках ряда и получить нужные для анализа и обработки данные. На этом же этапе полученные данные приводятся к необходимому для обработки виду. Наблюдения предоставляются международной службой вращения Земли (МСВЗ) и астрономическими обсерваториями в ежегодно публикуемых отчетах.

В общем виде при моделировании временного ряда выполняются следующие этапы.

После получения наблюдательных данных анализируются свойства временного здда набором методов: - по графику динамики ряда; - основным описательным содистикам;- по тестам на стационарность; - спектральным анализом (СА); -сингулярным спектральным анализом; - вейвлет-анализом; - по автокорреляционной фунюии;- методом прерванных временных рядов.

На этапе структурной идентификации следует учитывать, что применение достаточно сложных функций для аппроксимации ВР снижает устойчивость модели, но хорошо приближает к наблюдаемым значениям. Для структурной идентификации модели используются аппроксимация ВР алгебраическим или тригонометрическим многочленом, авторегрессионные модели, модели со скользящим средним, авторегрессионные модели со скользящим средним.

Для оценивания параметров модели применяются: - метод наименьших квадратов; - метод максимального правдоподобия;- байесовский подход; - фильтр Калмана.

Оценка качества моделей обычно выполняется по «внутренним» мерам, характеризующим точность привязки математического описания к наблюдениям.

На последнем этапе аппроксимирующая модель BP используется для прогнозирования; в последнее время для этой цели применяются и нейронные сети.

В первой главе нрсдставлен также обзор разработанных на сегодняшний день пакетов обработки BP. Следует отметить, что в этих программных комплексах не реализованы для анализа свойств BP все известные методы и их модификации (например, спектрального и вейвлет-анализа). Данные коммерческие продукты разрабатывались с учетом практического применения в той или иной научно-технической области и, соответственно, включают только те процедуры, которые позволяют решать конкретные поставленные задачи. На сегодняшний день не существует универсального пакета, который можно было бы применить во всех сферах деятельности. В целом имеющееся программное обеспечение предназначено прежде всего для краткосрочного прогнозирования динамики BP. Реализацией стандартного подхода к обработке BP является модуль «Временные ряды и прогнозирование» пакета STATISTICA. Достаточно универсальными и дорогостоящими можно считать программный комплекс финской разработки STSA (The Time Series Analysis Toolbox) для среды O-Matrix; испанский продукт TRAMO (Time Series Regression with Arima Noise, Missing Observations and Outliers) и его различные модули поставки SEATS (Signal Extraction in ARIMA Time Series), TERROR (TRAMO for errors), американский пакет RATS (Regression Analysis of Time Series). Среди российских разработок известны интерактивная программа Spectra Analyser для разведочного анализа свойств скалярных временных рядов (Любушин А.А, ИФЗ РАН, г. Москва), реализация сингулярного спектрального анализа временных рядов «Гусеница» - Caterpillar SSA (GistaT Group, Санкт-Петербургский университет).

В результате многолетних исследований установлено, что вращение Земли происходит неравномерно. Меняется скорость вращения, перемещаются географические полюсы, ось вращения колеблется в пространстве. Являясь совокупным отражением различных процессов, нестабильность вращения несет ценную информацию об этих процессах и может быть использована для разработки и проверки различных геофизических моделей.

Известно, что движение полюсов Земли имеет периодический характер. Основными периодами являются 14-месячный период Чандлера и 12-месячный (годовой) период.

В работах некоторых авторов утверждается, что в спектре BP координат Северного полюса выявлена еще одна гармоника, сопоставимая по амплитуде и близкая по частоте с Чандлеровской компонентой.

В работе Зотова JI.B. (г. Москва) проведено сравнение различных методов CA в применении их к рядам параметров вращения Земли (ПВЗ). Проведен вейвлет-анализ рядов движения полюса. С использованием различных методов получены краткосрочные прогнозы ПВЗ. Предложен метод прогноза с использованием

сингулярного спектрального анализа и нейронных сетей. Получен прогноз траектории движения полюса с использованием возбуждающей функции и фильтра Калмана.

По результатам спектрального анализа ряда вариации длительности земных суток (Length of day - LOD) выделены гармоники с периодами: - 22.7 лет, происхождение которого связано с вековым колебанием LOD; - год и полгода, соответствующие изменениям периода вращения Земли под действием сезонных атмосферных перемещений; - 27.3, 13.66, 9.1 суток, обусловленные действием лунных приливов.

Изучение и прогнозирование процессов на Солнце позволяет уменьшить или минимизировать последствия негативных факторов их влияния на планету Земля.

Установлено, числа Вольфа имеют очень высокую корреляцию с индексом солнечной активности F 10,7 - плотностью потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см. Также обнаружена значимая корреляция между солнечной активностью в числах Вольфа и скоростью вращения Земли.

В результате обработки ряда чисел Вольфа (1749-1998гг. с дискретностью 1 сутки) группой исследователей выделено 226 частотно-временных компонент. Среднеквадратическое отклонение между рядом чисел Вольфа и моделью, собранной из среднего значения ряда и суммы частотно-временных компонент, составляет менее 1.06 единиц чисел Вольфа.

Утверждается, что принципиальная трудность математического прогнозирования солнечных вспышек и корональных выбросов массы состоит в сильной нелинейности и сложном неустойчивом характере связанных с ними физических процессов. Малая статистика достоверных солнечных циклов и отсутствие физической модели развития цикла солнечной активности ставит пока непреодолимые рамки достоверности прогноза цикла до его начала.

Выполненный обзор позволил сделать следующие выводы.

1. Применение новых методов измерения (радиоинтерферометров со сверхдлинными базами (РСДБ/VLBI), систем глобального позиционирования (СГП/GPS), лазерной локации спутников (JIJIC/SLR), Луны (ЛЛЛ/LLR) и др.), позволило увеличить точность наблюдений почти на три порядка, но точность аппроксимации и прогнозирования динамики ГВР существенно ниже точности наблюдений.

2. При обработке ГВР не используются оптимальные комплексные математические описания, что снижает точность прогнозирования и идентификации причинно обусловленных членов ряда.

3. При выделении полигармонической составляющей ГВР не применяется статистический анализ ряда Фурье, что приводит к ограничениям в выборе гармоник после спектрального анализа (недоопределенности, наличию шумов, «эхо», коррелированное™).

4. При описании случайного процесса e{t) для ГВР не полностью используется имеющийся в теории математический инструментарий, что не позволяет строить оптимальные описания.

5. Аппроксимация ГВР чаще всего проводится по критерию минимума «внутренней» среднеквадратической ошибки (СКО), получаемой по тем же наблюдениям, по которым строилась модель.

6. При решении задач линейного МНК для выделения регулярных составляющих (обычно тренда, полигармонической составляющей и др.) не проверяется соблюдение условий применения МНК, что привносит дополнительные ограничения при построении модели ГВР.

7. Существующее программное обеспечение по обработке временных рядов не обеспечивает возможность построения оптимальных комплексных моделей ГВР.

8. Исследователи делают акцент на анализе свойств ГВР, устранении трендовых, периодических сезонных и циклических компонент, сглаживании шумов, оставив без внимания саму математическую модель динамики ГВР и не проверяя остатки на выполнение условий схемы МНК.

В связи с вышесказанным актуальным является подход динамического регрессионного моделирования, согласно которому ГВР может быть представлен в виде оптимального комплексного математического описания; условия применения схемы МНК при структурно-параметрической идентификации должны быть проверены; на каждом этапе расширения модели дискриминация различных моделей должна проводиться по так называемым внешним мерам качества.

Во второй главе рассматриваются математические методы, используемые в работе для анализа и обработки, а также прогнозирования динамики ГВР.

Ряд наблюдений *(ii). *(<2)>-•■*(<*) анализируемой случайной величины ¿¡(t), выполненных в последовательные моменты времени tu t2,..., tN, называется временным рядом.

Пусть (Д F, Р) - вероятностное пространство, на котором задан стационарный процесс Y(t), наблюдаемый в равноотстоящие моменты времени tf, t2,..., t :

У(0 -/« +<p(t)+ Vit) + e(t), t = 1~TN, (1)

где УЦ), У(/2)..... y(/N) - ряд наблюдений случайной функции £ (0, называемый

временным рядом; / {t) - неслучайная (долговременная) функция тренда; (flit) -неслучайная (сезонная) периодическая функция; i/Af) - неслучайная (долговременная, циклическая) функция; s(t) - нерегулярная компонента (случайная величина, ошибка).

Анализ BP сводится к выделению регулярных компонент/(t), <p(t), ц/J), если они существуют в реальности, и описанию нерегулярной ее части e(t) при условии стационарности ряда в узком (строгом) или широком смысле.

Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы- - графическое представление и описание поведения временного ряда; - выделение и удаление неслучайных составляющих временного ряда, зависящих от времени: тренда, сезонных и циклических составляющих; - выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация); -исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих; - построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности; -прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом.

Функцию тренда f(t) и в определенной степени !// (t) приближают полиномом достаточно низкой степени; могут бьггь использованы и различные нелинейные по оцениваемым параметрам выражения. При этом для оценивания применяется линейный или нелинейный МНК.

Чаще всего остатки Yfi) после первого регулярного представления обременены автокорреляцией. Поэтому на следующем этапе пытаются выделить и оценить периодические сезонные и, если окажется возможным, долговременные циклические колебания <р (/), ц/ (/). Сама задача выявления периодичностей носит название задачи гармонического анализа; при ее решении выявляются гармоники, содержащие основную информацию о процессе. Для выявления периодических компонент применяется спектральный анализ. Однако преобразование Фурье не позволяет достаточно полно исследовать иррегулярные функции, т.е. функции, характеристики которых эволюционируют во времени. Для устранения этого недостатка нужно локализовать преобразование Фурье на промежутках конечной длины. С этой целью в последнее время при анализе ВР применяется вейвлет-анализ.

Целью анализа ВР на следующем этапе является моделирование случайных остатков e(t), т.е. представление e(t) в виде модели, которая позволяла бы предсказать их значения по значениям в предыдущие моменты времени. Параметры этой модели также могут быть получены МНК.

Наиболее распространенные модели £(f) описываются авторегрессионными моделями со скользящими средними (АРСС - модели):

где слагаемые Д е (t-i) называются авторегрессионными; Д, ..., ßp - весовые коэффициенты; а (г) - временная последовательность, образующая так называемый «белый шум».

Остаточные колебания сглаживаются методом мартингальной аппроксимации.

Для анализа временных рядов Бутовым A.A. предложена функция следующего вида:

р

ч

s(t) = I ßi e(t - i) + c(t) - E 9} a(t - j),

(2)

y = ax-(l-b|*|c),

(3)

где а, Ь, с - некоторые коэффициенты

Для построения комплексной модели ГВР на основе вышеописанных методов предложен следующий алгоритм структурно-параметрической идентификации (СПИ).

1. Проверка соблюдения условий стационарности ряда по критериям: непараметрический критерий сдвига, инверсий, Кокрена, рассеяния, согласия Пирсона.

2. Идентификация оптимального (по «внешнему» СКО) описания тренда, в качестве которого может быть использована одна из 17-ти зависимостей (парных регрессий), алгебраический полином т-ой степени по / (множественная регрессия с реализацией МНК по схеме Хаусхолдера) При наименьшем СКО 2 < СКО 1, где СКО I - среднеквадратическая ошибка исходных наблюдений, соответствующий тренд принимается; остатки после тренда центрируются.

3. Анализируются свойства ГВР, представленного остатками первого порядка, методами СА и вейвлет-анализа с целью предварительного выделения полигармонической составляющей. На этом этапе при обнаружении последняя может содержать статистически незначимые гармоники («шум»), «эхо», коррелирующие между собой гармоники.

4. Методами «Пошаговая регрессия» или «Случайный поиск с адаптацией» идентифицируется оптимальный по критерию минимума СКОЗ набор статистически значимых ортогональных гармоник. При наименьшем СКО 3 < СКО 2 соответствующая полигармоническая составляющая (ПС) принимается.

5. Анализируются свойства ГВР, представленного в виде остатков от ПС с целью выявления по АКФ авторегрессии (АР). ГВР на этом этапе может содержать АР различных порядков и иметь возможность быть описанной проинтегрированной скользящей средней (СС).

6. При обнаружении АР строятся АР- или АРСС- модели, из множества которых выбирается одна, характеризуемая наименьшим СКО 45 СКО 3.

7. Если СКО не снижается, то очередной оптимальной структурой признается модель предыдущего шага.

8. Делается попытка сгладить последние остаточные колебания мартингальной аппроксимацией.

9. Формируется по всем оптимальным структурам комплексная модель, с помощью которой вычисляется прогноз ГВР на заданный период времени.

При реализации алгоритма СПИ одновременно используется методика адаптивного регрессионного моделирования (АРМ- подхода), которая в применении к обработке ГВР содержит два основных этапа.

1. Анализ качества моделей ГВР: - может быть выполнен по внутренним мерам («внутреннее» СКО, коэффициент множественной корреляции Я, ^ - критерий), смешанным (мера Мэллоуса и др.) и внешним мерам («внешнее» СКО <тд,

систематическая ошибка |Д|, Лд. вычисляемые по контрольной части ряда);

- выполняется для всех структур ГВР по остаткам различных порядков;

- соответствующий модуль интегрирован в программный комплекс в виде

библиотеки Б1.

2. Диагностика соблюдения основных условий применения МНК'

- по соответствующим критериям проверяется соблюдение условий определенности структуры, нормальности распределения остатков, их несмещенности, однородности дисперсии, независимости остатков; - выполняется для всех различных моделей ГВР по их остаткам; - модуль диагностики программно представлен библиотекой Б2,

- результаты диагностики используются в алгоритме СПИ.

В третьей главе описано программное обеспечение «Автоматизированная система динамического регрессионного моделирования» (АС ДРМ), разработанное на основе предложенных алгоритма СПИ, методики применения АРМ-подхода к решению линейных задач МНК для модели ГВР, а также некоторых процедур совместной обработки ВР.

В АС ДРМ моделирование ГВР осуществляется по разработанному алгоритму СПИ. При этом имеется возможность поиска лучших наборов параметров в смысле среднеквадратической ошибки. Все результаты преобразований и остатки доступны для дальнейшего анализа и вывода на график. Построение оптимальной комплексной модели может быть выполнено в интерактивном и автоматизированном режиме.

Кроме стандартных статистических тестов, таких как тест на нормальность выборки, построение автокорреляционной функции, спектральный анализ ряда по временной и частотной областям, в пакет включен ряд тестов на стационарность. При построении гармонической модели ВР важным является вопрос стационарности базовых гармоник. Методы вейвлет-анализа, включенные в пакет, позволяют делать статистические выводы о стационарности таких характеристик, как период и амплитуда базовых гармоник.

Построение прогнозов временных рядов возможно как по комплексным моделям, так и отдельно по трендовым моделям, гармонической модели с автоматическим выбором базовых гармоник методом пошаговой регрессии или случайного поиска с адаптацией, АР-моделям с оценкой порядка моделей, АРСС-моделям, мартингалу. Стандартный набор результатов построения модели содержит оценки параметров, стандартные ошибки и корреляции. Такое разнообразие различных методов позволяет обрабатывать ВР различного происхождения.

В АС ДРМ в виде библиотеки Б1 включены критерии качества для анализа остатков. Эти критерии позволяют выявить степень адекватности модели наблюдениям и степень пригодности для аппроксимации в данном выборочном пространстве.

Для получения оптимальной модели в системе существует возможность диагностики соблюдения ряда предположений МНК (определенность модели,

нормальность распределения ошибок, нулевое математическое ожидание ошибок, однородность дисперсии, независимость ошибок), реализуемая библиотекой Б2.

Кроме того в пакете можно выполнить совместный спектральный анализ. При изучении общих характеристик двух временных рядов используется понятие взаимного спектра мощности. В области оценок этому понятию соответствует взаимная периодограмма (кросс-периодограмма). Кросс-периодограмма предназначена для выявления гармоник с общими периодами. Совместный спектральный анализ предназначен для изучения взаимосвязей между гармониками двух временных рядов. Кросс-амплитуда может интерпретироваться как мера ковариации между соответствующими частотными компонентами двух рядов.

Возведя в квадрат значение кросс-амплитуды и разделив на произведение оценок спектральной плотности каждого ряда, получают коэффициент, называемый квадратом когерентности. Его обычно интерпретируют как квадрат коэффициента корреляции, т.е. значение когерентности - это квадрат корреляции между циклическими компонентами двух рядов соответствующей частоты.

В четвертой главе анализируются результаты применения программного обеспечения, разработанного на основе ДРМ-подхода и предложенных алгоритма структурно-параметрической идентификации ГВР, методики применения АРМ-подхода к задачам МНК для анализа, моделирования и прогнозирования динамики гелио- и геофизических характеристик.

Координаты Северного полюса, вектора вращения Земли, ряд вариации длительности земных суток вычислены International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS) ежедневно (eopc04) за 1995-2004 годы 3653 наблюдений (www.iers.org).

Комплексная модель, полученная для динамики координаты Северного полюса X, представлена в виде (4):

X(t)=0,03134+ 0,000038-1 + 0,07924- sir^ +195,79j+0,048682- sir^ - 3 7,914j+

+0,[5i5-sir(~+104,4 j+1,292- Z(M)-0,23716- X(t-2) -0,037789- X(t~3)- (4)

- 0,15574- X(t-4)+0,025464- *(/-5) - 0,052975- X{t-6) +1,17 • X{tA) • (l-19-|X(M) |'-03)

Рис. 1. Прогноз на два года

СКО итоговой модели о = 0,0042; внешнее од =0,01319. Для модели, построенной в пакете ЯТА'ПЙТГСА в виде тренд + АРПСС (4,1,2)(3,2,2), СКО а = 0,031398.

При анализе и обработки ряда динамики координаты Северного полюса У выделены линейный тренд, три гармоники с периодами 1 год, 1.2 года, 1.35 года, причем наибольшая амплитуда соответствует периоду колебания Чандлера (1.2 года), авторегрессия шестого порядка и мартингал. Комплексная модель представлена соотношением (5)

У(1) = 0,27814861- 0,0001441/ + 0,072931- ли^ - 74,403^+ОД 6633- «и^Ц +194^+

+0,01662-м^-71,25^+1,5549- У(М)-0,43106- У(/-2)-0,21846- У(Г-3) + (5)

+0,028919- 7(1-4) - 0,006684- У(/-5) - 0,043349- У(/-6)+1,41 ■ У(/-1) • (1-2 • | У(М) ¡°'38) СКО итоговой модели ст = 0,0098; внешнее СКО од = 0,02612.

Промоэ комплексной модели

Рис. 2. Прогноз по комплексной модели на два года

Для модели, построенной в пакете STAT1STICA в виде тренд и АРПСС(2,1,0)(2,1,0), СКО о = 0,013389.

Ряд вариации длительности суток (Length of day - LOD) описан моделью (6) в виде суммы квадратичного тренда, периодического тренда и авторегрессии (рис. 3)

ALOD(t)= 2,551-0,0012-t+ 0,000000И2+¿/4, -¡¡г\— + <р, 1+2,5888- ALOD(t-\)-

м V T¡ )

-3,0329- ALOIXt-2) + 2,5436- Ж0Д/-3)-1,8875- Ж(9ДМ)+0,893- ALOD(t-5)- (6)

-0,1445- Ж.ОДг-6)+0,91 • ALOD(t-\) • (l-20-\ALOO,t-\) |0'71) Р

где £ Л - sin /=1

А„ Т„ д>, - соответственно амплитуды, периоды и фазы выделенных гармоник, приведенных в табл. 1.

СКО итоговой модели а = 0,00000994; внешнее СКО ад =0,0000055. Для модели, построенной в пакете STATISTICA в виде тренд и АРПСС (2,0,1)(1,0,0), СКО а = 0,000033.

2nt

-+ <Pi

Ji

сумма выделенных гармонических компонент,

Рис. 3. Комплексная модель ДЬСЮ

Таблица 1.

Выделенные гармоники для ряда вариации длительности суток

№ Период, Амплитуда Фаза № Период, Амплитуда Фаза

п/п дней п/п дней

1 9 1,8211Е-6 -39,293 12 91 4,5088Е-5 231,55

2 14 1.7673Е-5 -29,052 13 96 3.7869Е-5 235,63

3 27 1.5907Е-5 4,8973 14 146 3.1907Е-5 202,26

4 32 1.9053Е-5 165,95 15 166 4.4584Е-5 117,25

5 39 2.7568Е-5 230,18 16 183 0,00033566 238,39

6 45 3,5079Е-5 99,844 17 215 5.093Е-5 248,76

7 51 1,9818Е-5 -70,656 18 281 3.6415Е-5 37,641

8 63 5.0834Е-5 184,52 19 365 0,00035336 60,589

9 69 3.7238Е-5 183,4 20 913 8.9776Е-5 79,846

10 73 4,1665Е-5 104,63 21 1217 8.554Е-5 137,07

11 76 5.0126Е-5 -89,683

При моделировании ряда чисел Вольфа за период с 1995 по 2004 годы с дискретностью 1 сутки выделен квадратичный тренд, гармонические составляющие и авторегрессионная модель, графики которых соответственно приведены на рис. 4,5.

Рис. 4. Гармоническая модель

Рис. 5. Авторегрессионная модель

Комплексная модель динамики имеет вид:

Г2к1

+ <Pi 1+2,0691 VolfJtA)-

- ^

- сумма выделенных гармонических компонент,

Volf_ = —33,1534+ 0,121-i — 0,0000278-/ + £ A, - sin

i=l

-1,2243- VolfJt-2) + 0,10755- Volf _{t-3) + 0,022989- VolfJt-4) - 0,089234 Volfjt-5) + O) + 0,10382- VolfJt-6),

£ . . (2xt

где X Aj • sin]— + rp,

(=1 I Ti

A„ T„ (p, - соответственно амплитуды, периоды и фазы выделенных гармоник, приведенных в табл.2.

СКО итоговой модели ст = 2,0493; внешнее СКО стд = 7,1912. Для модели, построенной в пакете STATISTICA в виде тренд и АРПСС (7Д4)(4Д2), СКО а= 10,57608.

Таблица 2.

Основные выделенные гармоники

№ Период Амплитуда Фаза № Период Амплитуда Фаза

1 24 1,9282 227,44 8 114 7,0142 199,8

2 26 4,6902 41,37 9 130 4,4924 148,65

3 36 3,1733 -62,033 10 146 5,0315 27,975

4 45 2,8282 248,25 11 215 5,5726 122,12

5 73 4,7006 42,439 12 365 5,0498 255,83

6 83 5,794 136,92 13 406 8,8439 53,355

7 94 4,5993 -21,102 14 822 11,546 0,12267

200 «О 000 МО 1 ООО ) 200 1 400 1ЯЯ 1800 2 000 2 200 2400 2В00 2ИВ 3000 3 200 3 400 ЗЮ) 3000

Рис. 6. Прогноз комплексной модели

Анализ ВР солнечной активности в числах Вольфа был проведен за более длительный период времени - с 1749 по 2005 годы с дискретностью 1 месяц. Спектральный анализ показывает преобладание низкочастотных компонент (рис. 7). Выделено 46 значимых гармоник.

900 000 400 000

яоооо

300 000 100 ООО

о

0 200 400 600 000 1000 1 200 1400 0 0(05 0,1 0,15 0,2 О,Я 0,3 0,3$ 0,4 0,45 5

а) б)

Рис. 7. Спектральный анализ ряда чисел Вольфа а) по периоду; б) по частоте.

Проведенный вейвлет-анализ позволил выявить периодическую составляющую с наибольшим значением энергии с изменяющимся периодом от 118,42 года до 114,75 года (приближенно соответствующую 11 циклам солнечной активности с длительностью 10,7 лет).

В таблице 3 обобщаются результаты проведенного анализа по всем временным рядам гелио- и геофизических характеристик.

Таблица 3.

Обобщение результатов сравнения по точности

№ п/п сг (БТАТгеПСА) <т(АС ДРМ) од (АС ДРМ)

X1 0,005423 0,00046 0,0014388

X2 0,031398 0,0042 0,01319

У' 0,006073 0,000197723 0,00061325

У* 0,013389 0,0098 0,02612

1ХЮ 0,000033 0,00000994 0,0000055

\У 10,57608 2,0493 7,1912

\У3 23,2125 18,374 20,777

' дискретизация ряда 1 день, длительность - с 1995 по 2004 гт. 2 дискретизация ряда 0,05 года, длительность - с 1995 по 2004 гг. 3 дискретизация ряда 1 месяц, длительность - с 1749 по 2005 гг.

I

При проведении взаимного анализа рядов подтверждается тесная отрицательная зависимость скорости вращения Земли У(() и длительности земных суток ЮО(1). При увеличении К(г) уменьшение Ю£>(() происходит в течение примерно 7 суток, причем наибольшее изменение в ряде ЬОЩ?) наблюдается в первые сутки; далее коэффициенты кросс-корреляции этих рядов постепенно снижаются от -0.98 до -0.8.

Кросс-спектральный анализ, результаты которого показаны в табл. 4, позволяет сделать вывод о взаимосвязи компонент двух рядов на периодах 1826.0,405.78,365.2,

182.6, 27.5, 13.7, причем наибольшие кросс-амплитуды (рис. 8) характерны для компонент с периодами 1 год, полгода и 14 дней. В спектре этих рядов, возможно, присутствуют компоненты с периодами больше 10 лет.

Таблица 4.

Результаты кросс-анализа ряда изменения скорости вращения Земли и ЬСЮ

№ п/п Частота Период Кросс-плотность Квадр-плотность Кросс-амплитуда Фазовый спектр

1. 0,000274 3652,000 -0,021003 0,000020 0,021003 3,14065

2. 0,000548 1826,000 -0,016530 0,000015 0,016530 3,14070

3. 0,002464 405,778 -0,044642 0,000010 0,044642 3,14136

4. 0,002738 365,200 -0,086273 0,000015 0,086273 3,14142

5. 0,003012 332,000 -0,044599 0,000009 0,044599 3,14138

6. 0,005476 182,600 -0,078774 0,000030 0,078774 3,14121

7. 0,005750 173,905 -0,040659 0,000017 0,040659 3,14117

8. 0,036418 27,459 -0,017676 0,000018 0,017676 3,14057

9. 0,073111 13,678 -0,065082 -0,000018 0,065082 -3,14132

10. 0,073384 13,627 -0,043394 -0,000008 0,043394 -3,14140

При сдвиге ряда чисел Вольфа/индекса F10,7 на 30 дней относительно ряда V(t) выявляются небольшие пики кросс-коррелеляционной функции (рис. 9), повторяющиеся через 14-18 дней и указывающие на то, что влияние рядов носит периодический характер и присутствует умеренная кросс-корреляционная связь в диапазоне от 0.43 до 0.6.

По графикам динамики этих рядов отчетливо видно, что при увеличении числа пятен на Солнце скорость движения Земли увеличивается, длительность суток -снижается.

о го «о во ai ш га ш но но ai а м я a w по м ж

Рис. 9. Сдвиг ряда чисел Вольфа относительно V(t) на 1 год

Рис. 10. Кросс-амплитуда рядов чисел Вольфа и а) координаты X; б) координаты У.

Совместная обработка ВР солнечной активности и координат Северного полюса (рис. 10) показывает зависимость компонент рядов солнечной активности и координаты X Северного полюса на периодах 1217.3, 608.7, 521.7, 405.8, 365.2, 332 дней; и солнечной активности и координаты У Северного полюса на периодах 3652, 608.7,521.7,405.8,365.2,332 дней.

Как видно из табл. 5, существует зависимость компонентов рядов солнечной активности и параметров вращения Земли на периодах примерно 10 лет, 5 лет и 1 год.

\

Таблица 5.

Результаты кросс-анализа рядов чисел Вольфа и ЬСЮ

Частота Период Кросс-плотность Квадр-ллотность Кросс-амплитуда Фазовый спектр

1 0,000274 3652,000 -5,89680 0,895180 5,964356 2,99094

2 0,000548 1826,000 -3,81772 0,388577 3,837442 3,04016

10 0,002738 365,200 -1,85356 0,513088 1,923262 2,87154

Таким образом, проведенный кросс-корреляционный анализ гелио- и геофизических характеристик позволил обнаружить, что изменение параметров вращения происходит после сильных солнечных вспышек.

Обобщим полученные результаты.

1. Из табл. 3 видно, что точность моделей, построенных в АС ДРМ, значительно выше, чем для моделей тренд+АРПСС в пакете 8ТАТ18Т1СА, что подтверждает обоснованность применения предложенного алгоритма и методики, реализованных в виде пакета, для прецизионного моделирования динамики ГВР.

2. Комплексные модели, полученные предложенными алгоритмом СПИ и методикой, не опровергают, а дополняют и уточняют результаты других авторов, и с этой точки зрения могут быть применены для уточнения прогнозов солнечной активности, параметров вращения Земли.

3. Подтверждена сильная корреляционная связь между рядами чисел Вольфа и интегральным потоком радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см. Указано на достаточно сильное влияние числа солнечных пятен на параметры вращения Земли, причем это влияние продолжается в течение не менее полугода после изменения солнечной активности. По графикам динамики этих рядов отчетливо видно, что при увеличении числа пятен на Солнце скорость движения Земли увеличивается, длительность суток - снижается. Существует зависимость компонент рядов солнечной активности и параметров вращения Земли на периодах примерно 10 лет, 5 лети 1 год.

4. Выявленные новые свойства отдельных ГВР и их взаимосвязи могут помочь уточнить физику процессов и явлений, происходящих в системе Солнце-Земля.

5. Перспективными представляются дальнейшее исследование солнечно-земных связей, для чего необходимо: - расширение списка обрабатываемых ВР; -применение методов многомерных процессов, фильтрации, подбора эволюционно неустойчивых коэффициентов модели, зависящих от времени.

В заключительной части сформулированы основные результаты работы и представлен ряд перспективных направлений для дальнейших исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Обоснована применимость подхода динамического регрессионного моделирования для обработки и анализа временных рядов гелио- и геофизических характеристик с высокой точностью.

2. Предложен алгоритм прецизионной структурно-параметрической идентификации модели ГВР, включающий - проверку соблюдения условий стационарности ряда по критериям, - идентификацию оптимального описания тренда, - анализ свойств ГВР методами спектрального и вейвлет-анализа, -идентификацию оптимальной по критерию минимума СКО статистически значимых гармоник методами пошаговой регрессии или случайного поиска с адаптацией, -

анализ свойств ГВР с целью выявления автокорреляции, - построение АР- или АРСС-моделей, - сглаживание остаточных колебаний мартингальной аппроксимацией.

3. Предложена методика адаптивного регрессионного моделирования в применении к временным рядам, предусматривающая - анализ качества моделей ГВР по внутренним, смешанным и внешним мерам, - диагностику соблюдения основных условий применения МНК.

4. Разработан программный комплекс АС ДРМ на основе алгоритма структурно-параметрической идентификации и методики применения адаптивного регрессионного моделирования, позволяющий повысить степень адекватности моделей исследуемых временных рядов и получить более точный прогноз по сравнению со стандартным подходом.

5. Описана и исследована динамика гелио- и геофизических характеристик (солнечной активности - чисел Вольфа и плотности потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см, координат X и Y Северного полюса Земли, вариации длительности суток и скорости вращения Земли) в виде комплексных моделей, позволяющих с более высокой точностью прогнозировать поведение этих временных рядов.

6. Проанализированы свойства ГВР и их взаимосвязи, выявлены некоторые корреляции процессов, учет которых в случае подтверждения на более обширном материале может помочь уточнить причинно-следственный механизм этих зависимостей.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи

1. Валеев С.Г., Куркина C.B. Регрессионное моделирование динамики земных суток// Вестник. - Ульяновск: изд. УлГТУ, 2005. С. 23-27.

2. Валеев С.Г., Куркина C.B., Михайлова А.И. О применении динамического регрессионного моделирования для обработки некоторых геофизических и гелиофизических характеристик// Труды междун. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике»: Информатика, системы искусственного интеллекта и моделирование технических систем (том 2). Ульяновск: изд. УлГТУ, 2005. С.22-24.

3. Валеев С.Г., Куркина C.B. Программный комплекс для обработки временных рядов// Вестник. - Ульяновск: изд. УлГТУ, 2005. №4. С. 27-31.

4. Валеев С.Г., Куркина C.B., Кувайскова Ю.Е. Модели сглаживания временных рядов// Труды междун. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике»: Информатика, системы искусственного интеллекта и моделирование технических систем. Ульяновск: изд. УлГТУ, 2006. С. 83-85.

5. Валеев С.Г., Куркина C.B., Фасхутдинова В.А. Модели динамики среднемесячной сейсмической и солнечной активности// Труды междун. конф.

«Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике»: Информатика, системы искусственного интеллекта и моделирование технических систем. Ульяновск: изд. УлГТУ, 2006. С. 86-88.

Тезисы конференций

1 Куркина С.В Проблемы и перспективы применения динамического регрессионного моделирования при обработке временных рядов// В сб. тез. XXXV НТК УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». - Ульяновск: изд. УлГТУ, 2005. С. 3.

2. Валеев С.Г., Куркина С.В , Михайлова А.И. Статистический анализ гелио- и геофизических характеристик на основе ДРМ-подхода// Труды ГАИШ (Том LXXVIII). Тез. докл. междун. симп. «Астрономия-2005: Состояние и перспективы развития». М.: изд. МГУ, 2005. С.37.

3. Valeev S.G., Kurkina S.V. The statistical analysis of seismic activity of the Earth on the basis of the DRM-APPROACH// Abstracts of paper to the 42nd mycrosimposium on comparative planetology. - M. Vernadsky Institute of Geochemistry and Analitical Chemistry Russian Academy of Science, 2005. www geokhi.ru/~publications/theses/.

4. Kurkina S.V. Application of adaptive dynamic regression modeling for processing and the analysis of some changes of duration of terrestrial average day// Abstracts of paper to the 42nd mycrosimposium on comparative planetology. - M. Vernadsky Institute of Geochemistry and Analitical Chemistry Russian Academy of Science, 2005. www geokhi ru/~publications/theses/.

5. Куркина С.В. Математическая модель для описания динамики земных суток II В сб. тез. XXXVI НТК УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях». -Ульяновск: изд. УлГТУ, 2006. Т. 2.

Подписано в печать 25.05.06. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,40. Тираж 100 экз. Заказ МЬ

Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, 32

р1 5 2 2 9

ВВЕДЕНИЕ.

1. МЕТОДЫ И ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ СОЛНЕЧНО-ЗЕМНЫХ СВЯЗЕЙ.

1.1. Виды математических моделей и методы их построения.

1.2. Обзор программного обеспечения для моделирования динамики BP.

1.3. Проблемы математического моделирования динамики гелио- и геофизических характеристик.

1.3.1. Координаты Северного полюса.

1.3.2. Скорость вращения Земли.

1.3.3. Длительность земных суток.

1.3.4. Числа Вольфа.

1.3.5. Поток радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см.

1.4. Постановка задач исследования.

2. АДАПТИВНОЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ РЕГРЕССИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ (ДРМ).

2.1. Адаптивное регрессионное моделирование (АРМ).

2.1.1. Задача статистического моделирования.

2.1.2. Основные предположения.

2.1.3. Методология АРМ-подхода.

2.2. Модели и методы динамической регрессии.

2.2.1. Введение.

2.2.2. Автокорреляция.

2.2.3. Проверка стационарности ряда.

2.2.4. Спектральный анализ.

2.2.5. Вейвлет анализ.

2.2.6. Трендовые модели.

2.2.7. Тригонометрические тренды.

2.2.8. Авторегрессионые модели.

2.2.9. Методы мартингальной аппроксимации.

2.3. Динамическое регрессионное моделирование.

2.3.1. Методология ДРМ.

2.3.2. Алгоритм структурно-параметрической идентификации.

2.2.3. Методика применения АРМ-подхода к решению линейных задач МНК.

3. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ «АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА ДИНАМИЧЕСКОГО РЕГРЕССИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ» (АС ДРМ).

3.1. Структура АС ДРМ.

3.2. Функциональное наполнение АС ДРМ.

3.2.1. Общее описание.

3.2.2. Модули анализа BP.

3.2.3. Вейвлет-анализ.

3.2.4. Моделирование BP.

3.2.5. Случайный поиск с адаптацией (СПА).

3.2.6. Фильтрация на входе.

3.2.7. Модели авторегрессии и скользящего среднего.

3.2.8. Сценарии обработки BP.

3.2.9. Библиотека проверки качества модели.

3.2.10. Библиотека анализа соблюдения предположений МНК. fc 3.2.11. Многооткликовая задача (совместная обработка рядов).

4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ГЕЛИО- И ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

4.1. Описание исходных данных.

4.2. Моделирование динамики координат Северного полюса.

4.2.1. Модель по координате X.

4.2.2. Модель по координате Y.

4.3. Анализ динамики земных суток.

4.4. Модели для описания ряда чисел Вольфа.

4.4.1. Ряд чисел Вольфа за 1994-2004 гг.

4.4.2. Ряд чисел Вольфа за 1749-2005 гг.

4.5. Моделирование плотности потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см.

4.6. Кросс-анализ временных рядов.

Актуальность темы. Среди прецизионных задач астрометрии, небесной механики и геофизики особое место занимают задачи моделирования динамики гелио- и геофизических характеристик, а также задачи выявления статистических зависимостей между временными рядами (BP). Для BP такого типа актуальными являются вопросы постулирования модели, выбора алгоритма обработки, совмещения требований к точности результатов и возможностей, обеспечиваемых выборкой данных, методами прикладной математической статистики и компьютерными технологиями.

В настоящее время в практике сложился определенный подход к решению задач обработки и анализа гелио- и геофизических временных рядов (ГВР), при котором возникают две основные проблемы: 1) применение для ГВР только трендовой и полигармонической составляющих, используемых для описания физики процесса, приводит к постулированию модели, обладающей невысокой точностью прогнозирования; остатки после нее обременены заметными систематическими ошибками и не распределены нормально; 2) в большинстве случаев полигармоническая компонента ГВР, принятая исследователем, содержит шумовые и коррелирующие гармоники, а также «эхо» основных гармоник; для нестационарных ГВР периоды и амплитуды гармоник - нестационарны. Во втором случае снижается не только точность прогноза, но искажается в определенной мере физическое описание процесса.

Обе проблемы по сути формируют одну общую - проблему постулирования модели ГВР, с которой непосредственно связана проблема выбора критерия оптимальности модели. Применяемые в настоящее время критерии не всегда соответствуют назначению модели ГВР.

Вторая группа проблем возникает на этапе оценивания параметров модели методом наименьших квадратов (МНК). Моделирование динамики временных рядов на классических схемах МНК не всегда осуществимо с достаточной точностью.из-за нарушения условий их применения, таких как, например, высокая степень автокорреляционной зависимости остатков е, ненормальность их распределения из-за наличия систематического смещения и непостоянной дисперсии процесса и др.

В итоге при использовании стандартного подхода к обработке ГВР возникает ряд ограничений: 1) отсутствует комплексная модель динамики ГВР, позволяющая достаточно полно выявить физику процесса и с высокой точностью прогнозировать поведение ГВР; 2) не в полной мере используются соответствующие критерии качества модели; 3) не учитывается возможность нарушения предположений МНК; 4) существующее программное обеспечение не дает возможности комплексно проанализировать тенденции BP и построить соответствующее математическое описание.

В силу сказанного решаемые в диссертационной работе задачи обработки и анализа гелио- и геофизических временных рядов на основе подхода динамического регрессионного моделирования (ДРМ-подхода), предложенного Валеевым С.Г., являются актуальными.

Целью диссертационной работы является решение научно-технической задачи прецизионного математического описания гелио- и геофизических временных рядов на основе применения динамического регрессионного моделирования путем создания предметно-ориентированного программного комплекса.

Для достижения указанной цели в работе решались следующие задачи:

1. Анализ результатов, полученных другими исследователями по моделям, методам и программному обеспечению для обработки ГВР.

2. Обоснование применимости ДРМ-подхода для моделирования динамики ГВР.

3. Разработка алгоритма структурно-параметрической идентификации для построения комплексной модели ГВР.

4. Разработка методики применения адаптивного регрессионного моделирования (АРМ-подхода) к решению линейных задач МНК для модели ГВР.

5. Разработка функционального наполнения и оболочки специализированной программной системы, обеспечивающей построение, комплексный анализ и поиск оптимальной структуры ГВР.

6. Получение статистических моделей динамики временных рядов на основе динамического регрессионного моделирования.

7. Статистический анализ солнечно-земных связей.

Диссертационная работа выполняется в соответствии с г/б направлением НИР УлГТУ «Оптимизация математических моделей обработки данных и информационные технологии». Работа поддержана грантом Российского Фонда Фундаментальных исследований № 04 - 02 - 16633 в 2004 - 2006 годах.

В диссертационной работе используются методы математического моделирования, теории вероятностей и математической статистики, численные методы, а также объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна положений, выносимых на защиту

Впервые

1. разработаны:

-алгоритм структурно-параметрической идентификации модели ГВР,

-методика применения АРМ-подхода к задачам МНК для составляющих ГВР,

-пакет прикладных программ для построения комплексных моделей временных рядов гелио- и геофизических характеристик на основе ДРМ-подхода, позволяющие осуществлять прецизионное моделирование ГВР;

2. применены:

-«внешние» меры качества для компонент и комплексной модели ГВР в целом, позволяющие оценивать их точность прогнозирования за пределами временного ряда,

-методы структурной идентификации для фильтрации шумов и «эховых» гармоник в полигармонических компонентах, мартингал для описания случайного процесса;

3. получены и исследованы комплексные модели характеристик солнечной активности (чисел Вольфа и потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см), координат X и Y Северного полюса Земли, вариации длительности суток и скорости вращения Земли, применение которых позволяет с более высокой точностью прогнозировать их динамику;

4. Выявлен ряд новых особенностей в солнечно-земных связях, учет которых в случае подтверждения на более обширном материале может помочь уточнить причинно-следственный механизм взаимосвязей.

Достоверность полученных результатов, выводов и рекомендаций подтверждена результатами вычислительных экспериментов, корректным применением методов математического моделирования, а также результатами использования материалов диссертации и программного обеспечения при внедрении.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанный информационно-математический комплекс, созданный на основе ДРМ-подхода и предложенных алгоритма и методики обработки временных рядов, практически используется в научно-практической деятельности для моделирования гелио- и геофизических характеристик во времени, позволяя получать с высокой степенью адекватности математические описания их динамики и с более высокой по сравнению со стандартными подходами точностью прогноз их значений. 4

Программное обеспечение, алгоритмы и практические результаты внедрены в Институте астрономии РАН в рамках темы по гранту РФФИ, в

Гидрометцентре РФ, а также в учебном процессе УлГТУ при курсовом и дипломном проектировании по специальности «Прикладная математика».

Автором выполнен обзор по методам и проблемам изучения солнечно-земных связей. С учетом выявленных недостатков существующих подходов к обработке ГВР сделаны выводы относительно актуальных вопросов анализа гелио- и геофизических характеристик. Обоснована применимость ДРМ-подхода для моделирования поведения ГВР. Разработан алгоритм структурно-параметрической идентификации при построении комплексной модели ГВР. Разработана методика применения адаптивного регрессионного моделирования (АРМ-подхода) к решению линейных задач МНК для модели ГВР. Разработан пакет прикладных программ автоматизированная система динамического регрессионного моделирования (АС ДРМ 2.0) на основе первой версии АС ДРМ 1.0, позволяющий проводить анализ ГВР, определение оптимальной структуры модели и оценивать ее параметры. Получены и исследованы комплексные модели гелио- и геофизических характеристик на основе разработанных алгоритма СПИ и методики. Проведен сравнительный анализ полученных комплексных моделей в АС ДРМ по точности с моделями в пакете STATISTICA. Проанализированы некоторые взаимосвязи ГВР.

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и симпозиумах:

- 42nd Vernadsky-Brown Mycrosymposium (Москва, 2005г.);

- международный симпозиум «Астрономия-2005: Состояние и перспективы развития» (Москва);

- международная конференция «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2005 и 2006 гг.);

- конференции профессорско-преподавательского состава УлГТУ (Ульяновск, 2005 и 2006 гг.).

По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, в том числе 5 статей.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Основное содержание изложено на 168 страницах, включая 82 рисунка и 12 таблиц. Список литературы включает 150 наименований использованных литературных источников.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ДРМ-подход для прецизионной обработки и анализа временных рядов, практически реализованный на основе алгоритма структурно-параметрической идентификации и методики применения адаптивного регрессионного моделирования в виде 111 111 АС ДРМ, предусматривает оценивание качества построенных моделей не только по внутренним, но и внешним мерам качества; анализ степени выполнения условий РА-МНК и применение адаптивных процедур в случае необходимости позволяет повысить степень адекватности моделей исследуемых временных рядов и получить более точный прогноз по сравнению со стандартным подходом.

Использованные в диссертации методы позволяют проанализировать дополнительно ряд свойств ГВР, идентифицировать статистическую модель для описания поведения ГВР с высокой точностью, проверять соблюдение предположений МНК, применять внешние меры качества для дискриминации моделей, а также проводить совместный спектральный анализ двух рядов для выявления общих тенденций данных характеристик.

Разработанные и исследованные статистические модели динамики BP, описывающие солнечную активность, параметры вращения Земли, а также выявленные корреляционные зависимости между рядами позволяют более точно моделировать поведение временных рядов, прогнозировать параметры неравномерного вращения Земли с учетом влияния активности Солнце.

Спектральный и вейвлет-анализ координат Северного полюса X и Y указывают на периодические смещения чандлеровской частоты, что может быть обусловлено упругими деформациями Земли.

Гармонические модели движения по координатам X и Y коротких рядов наблюдений с дискретностью 0,05 года 10 лет), не учитывающие вековых колебаний, указывают на то, что чандлеровское и годовое колебания по координате Y находятся в противофазе. По координате X амплитуда годовых колебаний незначительно больше амплитуды колебаний на чандлеровской частоте. Но для рядов с дискретностью 1 сутки такой же длительности

10 лет) отмечается, что амплитуды колебаний практически равны. Это может быть обусловлено достаточно малой выборкой, не позволяющей выделить колебания меньшей частоты.

Анализ остатков после выделения гармонической компоненты указывает на существование автокорреляции, порождаемой нестационарностью периода и амплитуды чандлеровской компоненты. В целом модель можно считать пригодной для прогноза на тех временных интервалах, где сохранятся стационарность периода колебаний Чандлера.

Модель динамики ряда вариации длительности земных суток достаточно хорошо аппроксимирует исходные данные с СКО итоговой модели 0,00000994 и «внешним» СКО сгд =0,0000055, однако добиться нормальности в остатках не удалось. В связи с этим перспективным направлением дальнейших исследований можно считать применение методов адаптации к нарушениям основных предпосылок МНК с целью улучшения прогностических свойств комплексной модели.

Солнечная активность не является стационарной, что приводит к нарушениям основных положений существующих схем МНК. В частности, попытки моделирования солнечной активности по большому интервалу наблюдений в виде суммы гармоник с постоянными периодами приводят к построению неадекватных моделей из-за отсутствия нормальности в данных. Планируется разработка методики подбора эволюционно неустойчивых коэффициентов модели, зависящих от времени, адаптация к нарушениям предположений МНК и дальнейшее выделение полигармонических составляющих.

Обобщим основные положения и выводы.

1. Обоснована применимость подхода динамического регрессионного моделирования для обработки и анализа временных рядов гелио-геофизических характеристик.

2. Предложен алгоритм структурно-параметрической идентификации модели ГВР, включающий - проверку соблюдения условий стационарности ряда по критериям, - идентификацию оптимального описания тренда, -анализ свойств ГВР методами спектрального и вейвлет-анализа, -идентификацию оптимальной по критерию минимума СКО статистически значимых гармоник методами пошаговой регрессии или случайного поиска с адаптацией, — анализ свойств ГВР с целью выявления автокорреляции, -построение АР- или АРСС-моделей, - сглаживание остаточных колебаний мартингальной аппроксимацией.

3. Предложена методика адаптивного регрессионного моделирования в применении к временным рядам, предусматривающая - анализ качества моделей ГВР по внутренним, смешанным и внешним мерам, - диагностику соблюдения основных условий применения МНК.

4. Разработан программный комплекс АС ДРМ на основе алгоритма структурно-параметрической идентификации и методики применения адаптивного регрессионного моделирования, позволяющий повысить степень адекватности моделей исследуемых временных рядов и получить более точный прогноз по сравнению со стандартным подходом.

5. Описана и исследована динамика гелио- и геофизических характеристик (солнечной активности - чисел Вольфа и плотности потока радиоизлучения Солнца на длине волны 10,7 см, координат X и Y Северного полюса Земли, вариации длительности суток и скорости вращения Земли) в виде комплексных моделей, позволяющих с более высокой точностью прогнозировать поведение этих временных рядов.

6. Проанализированы свойства ГВР и их взаимосвязи, выявлены некоторые корреляции процессов, учет которых в случае подтверждения на более обширном материале может помочь уточнить причинно-следственный механизм этих зависимостей.

1. Безручко Б.П, Смирнов Д.А. Современные проблемы моделирования по временным рядам// Известия Саратовского госуниверситета, серия «Физика», 2005. Т. 2. Вып. 2. 39 с. www.nonlinmod.sgu.ru/doc/review.pdf

2. Льюнг JL Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.-432 с.

3. Gouesbet G., Meunier-Guttin-Cluzel S., Menard О. (eds) Chaos and Its Reconstructions //Nova Science Publishers, New York, 2003. 320 p.

4. Yule G.U. On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer's sunspot numbers// Phil. Trans. R. Soc. London A, 1927, v. 226, pp. 267-298.

5. Вальвачев Н.И., Римжа М.И. Статистический метод в медицинской практике с применением микроЭВМ и персональных компьютеров. Минск: Беларусь, 1989.-111 с.

6. Елисеева ИИ. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2002.- 342 с.

7. Бокс Дж., Дженкинс Т. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. -242 с.

8. Богачев В.В. Моделирование нестационарных процессов авторегрессионными моделями. В сб.: Моделирование экономических процессов.-М.:МЭСИ, 1989.

9. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы.-М.: Наука, 1985.-560 с.

10. Farmer J.D., Sidorowich J.J. Predicting chaotic time series// Phys. Rev. Lett., 1987, v. 59, pp. 845-848.

11. Casdagli M. Nonlinear prediction of chaotic time series. Physica D, 1989,v. 35, -pp. 335-356.

12. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. -336 с.

13. Gouesbet G., Meunier-Guttin-Cluzel S., Menard О. Global reconstructions of equations of motion from data series, and validation techniques, a review//

14. Chaos and Its Reconstructions, Nova Science Publishers, New York, 2003, -pp. 1160.

15. Аносов О.JI., Бутковский О.Я., Кравцов Ю.А. Восстановление динамических систем по хаотическим временным рядам (краткий обзор)// Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, 2000, Т. 8, № 1, -С. 29-51.

16. Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке наблюдений. М.: Наука, 1991. -272 с. (второе издание, дополненное и переработанное: Валеев С.Г. Регрессионное моделирование при обработке данных. - Казань: ФЭН, 2001. -296 с.)

17. Гинсберг К.С., Басанов Д.М. Идентификация и задачи управления// Тез. Докл. IV Междунар. Конф. «Идентификация систем и задачи управления». Москва, 2005. -С. 56-63.

18. Горчаков А.А. Математический аппарат для инвестора // Аудит и финансовый анализ, 1997. № 3. -С. 164-219.

19. Horbelt W., Timmer J. Asymptotic scaling laws for precision of parameter estimates in dynamical systems, Phys. Lett. A, 2003, v. 310, -pp. 269-280.

20. Judd K. Chaotic time series reconstruction by the Bayesian paradigm: Right results by wrong methods?// Phys. Rev. E, 2003, v. 67. www.maths.uwa.edu.au/~kevin/Papers/PRE26212.pdf

21. Breeden J.L., Hubler A. Reconstructing equations of motion from experimental data with unobserved variables// Phys. Rev. A, 1990, v. 42, -pp. 5817-5826.

22. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М.: Наука, 1979. -528 с.

23. Shalizi C.R. Methods and Techniques of Complex Systems Science: An Overview, 2003. http://arxiv.org/abs/nlin.AQ/0307015

24. McSharry P.E., Smith L.A. Better Nonlinear Models from Noisy Data: Attractors with Maximum Likelihood// Phys. Rev. Lett., 1999, v. 83, p. 4285-4288.

25. Pole A., West M., Harrison J. Applied Bayesian Forecasting and Time Series Analysis, 1994. -432 p. http://www.crcpress.com/

26. Meyer R., Christensen N. Bayesian reconstruction of chaotic dynamical systems// Phys. Rev. E, 2000, v. 62,-pp. 3535-3542.

27. Bremer C.L., Kaplan D.T. Markov chain Monte Carlo estimation of nonlinear dynamics from time series// Physica D, 2001, v. 160, -pp. 116-126.

28. Чучупал В.Я., Чичагов A.C., Маковкин K.A. Цифровая фильтрация зашумленных речевых сигналов. -М.: Вычислительный центр РАН, 1998.

29. Михеев А.А. Применение фильтра Калмана к модели Риккера «Запас-пополнение». Владивосток, 2004.

30. Кордунов Д.Ю., Битюцкий С.Я. Прогнозирование конъюнктуры рынка нефтехимических предприятий//Нефтегазовое дело, 2004. С. 1-5. http://www.ogbus.ru

31. Панкрушин В.К. Математическое моделирование и идентификация геодинамических систем. Новосибирск: СГТА, 2002. 424 с.

32. Комаров B.C., Попов Ю.Б. Оценивание и прогнозирование параметров состояния атмосферы с помощью алгоритма фильтра Калмана// Оптика атмосферы и океана, 2001. № 04. Том 14. С.255-264.

33. Климова Е. Г. Асимптотическое поведение схемы усвоения метеорологических данных, основанной на алгоритме фильтра Калмана // Метеорология и гидрология, 1999. N 8. С. 55-65.

34. Harvey А. С. Forecasting, structural time series models and the Kalman filter. Cambridge, New York : Cambridge University Press, 1991. 570 p.

35. Герасимов И.А. Функции Вейерштрасса и их применение в механике и астрономии. М.: Изд-во МГУ, 1990.

36. Judd К., Mees A.I. On'selecting models for nonlinear time series// Physica D, 1995, v. 82, p. 426-444.

37. Aguirre L.A., Freitas U.S., Letellier C., Maquet J. Structure-selection techniques applied to continuous-time nonlinear models// Physica D, 2001, v. 158,ф p. 1-18.

38. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 758с.

39. Витязев В.В. Спектрально-корреляционный анализ равномерных временных рядов. СПб.: Изд. С.-Петерб. унив-та, 2001. 48 с.

40. Guo J. Y., Greiner-Mai H., Dierks О., Ballani L., Neumeyer J., Shum C. K. Application of the Folding-Averaging Algorithm for the Determination of the Periods of the Earth's Free Oscillation Using Superconducting Gravimeter Data//

41. Bulletin d'Information des Marees Terrestres (BIM), 2005. V. 139, pp. 1102511036.

42. Santamaria I., Pantaleon, C., Ibanez J. A comparative study of high-^ accuracy frequency estimation methods// Mechanical Systems and Signal

43. Processing, 2000. № -14(5). p. 819-834.

44. Ziirn W. and Rydelek P.A. Revisiting the phasor-walk out method for detailed investigation of harmonic signals in time series// Survey in Geophys, 1994. №-15. p. 409-431.

45. Руководство пользователя Statistica http://www.exponenta.ru/soft/Statist/

46. Makridakis S.G., Wheelwright S. C. Interactive forecasting: Univariate Ф and multivariate methods (2nd ed.). San Francisco, CA: Holden-Day, 1978.

47. Makridakis S.G., Wheelwright S.C., McGee. Forecasting: Methods and Applications//Second ed. N.Y.: Wiley, 1983.

48. Montgomery D.C., Johnson L.A., Gardiner J.S. Forecasting and Time Series Analysis.-N.Y.:Mc Graw-Hill, 1990. 394p.

49. Hoff J.C. A practical guide to Box-Jenkins forecasting. London: Lifetime1.arning Publications, 1983.

50. Pankratz A. Forecasting with univariate Box-Jenkins models: Concepts and cases. N. Y.: Wiley, 1983.

51. Vandaele W. Applied time series and Box-Jenkins models. N. Y.: Academic Press, 1983.

52. McDowall D., McCleary R., Meidinger E.E., Hay R.A. Interrupted time series analysis. Beverly Hills, CA: Sage Publications, 1980.

53. Judge G.G., Griffith W.E., Hill R.C., Luetkepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometrics// 2nd Edition. N. Y.: Wiley, 1985.

54. Maddala G.S. Econometrics. N. Y.: McGraw-Hill, 1977.

55. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов// Экономический журнал ВШЭ, 2002. №-4. С. 498-523.

56. Sims С.A. Macroeconomics and Reality// Econometrica. 1980. V. 48. P. 1-48.

57. Bloomfield P. Fourier analysis of time series: An introduction. New York: Wiley. 1976.

58. Elliott D.F., Rao K.R. Fast transforms: Algorithms, analyses, applications. New York: Academic Press. 1982.

59. Shumway R.H. Applied statistical time series analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1988.

60. Giona M., Lentini F., Cimagalli V. Functional reconstruction and local prediction of chaotic time series// Phys. Rev. E, 1991. v. 44. p. 3496-3502.

61. Smith L.A. Identification and prediction of low-dimensional dynamics// Physica D, 1992. v. 58. p. 50-76.

62. Jimenez J., Moreno J.A., Ruggeri G.J. Forecasting on chaotic time series: a local optimal linear-reconstruction method// Phys. Rev. A, 1992, v. 45, P. 35533558.

63. Gibson J.F., Farmer J.D., Casdagli M., Eubank S. An analytic approach to practical state space reconstruction// Physica D, 1992. v. 57. p. 1-30.

64. Liebert W., Schuster H.G. Proper choice the of time delay for the analysis of chaotic time series// Phys. Lett. A, 1989. v. 142. p. 107-111.

65. Judd K., Mees A.I. Embedding as a modeling problem// Physica D, 1998. v. 120. p. 273-286.

66. Ланда П.С., Розенблюм М.Г. Сравнение методов конструирования фазового пространства и определения размерности аттрактора по экспериментальным данным// ЖТФ, 1989. т. 59. № 11. С. 1-8.

67. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Применение статистических методов при решении задачи глобальной реконструкции// Письма в ЖТФ, 1997. т. 23. вып. 8. С. 7-13.

68. Уоссерман Ф. Нейрокомпьютерная техника. Теория и практика. М: Мир, 1992.

69. Ежов А., Шумский С. Нейрокомпьютеринг и его применение в экономике и бизнесе. М., 1998.

70. Данилкина Е.Б., Куандыков Е.Б., Макаренко Н.Г. Может ли нейронная сеть предсказывать прошлое? //Neu-2003. http://zhukov.wallst.ru/neu2003/index.htm

71. Макаренко Н.Г. Современные методы нелинейного прогноза временных рядов//http://helios.izmiran.troitsk.ru/Solter/prog2005/prog/abstracts.htm

72. Cao L., Mees A.I., Judd К. Dynamics from multivariate time series// Physica D, 1998, v. 121, p. 75-88.

73. Casdagli M., Eubank S. (eds.) Nonlinear Modeling and Forecasting// SFI Studies in the Sciences of Complexity, Proc. v. XII, Addison-Wesley, 1992.

74. Anosov O.L., Butkovskii O.Ya., Kravtsov Yu.A., Protopopescu V.A. Predictability of linear and nonlinear autoregressive models// Physics of Vibrations, 1999, v. 7, no.2, p. 61-75.

75. Crutchfield J.P., McNamara B.S. Equations of motion from a data series// Complex Systems, 1987. v. 1. p. 417-452.78. http://www.statsoft.ru79 http://www.omatrix.com/products.html

76. Enders W. RATS Handbook for Econometric Time Series. Wiley, 1996. 204 p.

77. Любушин А.А. Программы выделения скрытых периодичностей в потоке событий и разведочного анализа свойств скалярных временных рядов//84. http://www.gistatgroup.com

78. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky А.А. Analysis of Time Series Structure: SSA and Related Techniques, 2001. 320 p. http://www.crcpress.com/

79. Валеев С.Г., Сергеев Е.С. Алгоритмическая реализация подхода динамического регрессионного моделирования //Труды междунар. конф. «Методы и средства преобразования и обработки аналоговой информации». Ульяновск: Изд. УлГТУ, 1999, Т.З. С.58-62.

80. Валеев С.Г., Сергеев Е.С. Методика, алгоритмы и программное обеспечение динамического регрессионного моделирования// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2003. № 5. С.

81. Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения Земли. М.: Наука. Физматлит, 2002. 384 с.

82. Кокоуров В.Д. Многолетние изменения в системе Солнце-Земля// Солнечно-земная физика, ИСЗФ СО РАН. Иркутск. http://www.kosmofizika.ru/

83. Курбасова Г.С., Рыхлова Л.В., Стационарные колебания амплитуды чандлеровской составляющей движения полюса Земли// Тез. докл. Конф. «Астрометрия, геодинамика и небесная механика на пороге XXI века», 2000. С. 98-99.

84. Kurbasova G.S. and Rykhlova L.V. Chandler motion of the Earth's pole in the Earth-Moon system// Astronomy Reports, 1995. V. 39, Issue 6, pp. 845-850. http://scitation.aip.org/getabs/servlet/

85. Зотов JI.B. Вращение Земли: анализ вариаций и их прогнозирование. Автореферат диссертации. М.: ГАИШ МГУ, 2005. 22 с.

86. Akulenko L.D., Kumakshev S.A., Markov Yu.G. A model and prediction of earth's pole motion// http://svrte.obspm.fr/iournees2004/PDF/Akulenko.pdf

87. Akulenko L.D., Kumakshev S.A., Markov Yu.G., Motion of the Earth's Pole// Doklady Physics, 47. 2002. N 1. pp. 78-84.

88. Akulenko L.D., Kumakshev S.A., Markov Yu.G., and Ryhlova L.V. Forecasting the Polar Motions of the Deformable Earth// Astronomy Reports, 46. 2002. N 10, pp. 858-865.

89. Kiryan G.V., Kiryan D.G. Motion of the Earth's Center of Mass. Physical Principles// Papers of the Conf. «Kinematics and Physics of Celestial Bodies», 2005.N 5. pp. 376-380. http://www.mao.kiev.ua/mao-2004/public.htm

90. Пасынок С.Jl. О влиянии жидкого ядра на движения полюса// Труды ГАИШ (Том LXXVIII). Тез. докл. междун. симп. «Астрономия-2005: Состояние и перспективы развития». М.: изд. МГУ, 2005. С. 18.

91. Glitches In The Earth's Wobble Help Geophysicists Probe The Planet's Core//A posting of January 30, 2001, from the University of California. http.7/www.huttoncommentaries.com/PSResearch/UandM PS2001/

92. S. Nagel, T. Seitz, and H. Schuh, DGFIPoster 1999/2000, EGS, Nizza.

93. Guo J.Y., Greiner-Mai H., Dierks O., Ballani L., Neumeyer J., Shum C.K. On the double-peak spectrum of the Chandler wobble// Journal of Geodesy, http ://www3 .gfz-potsdam.de/gfzFrames/

94. Бакулин П.И., Кононович E.B., Мороз В.И. Курс общей астрономии. М.: Наука, 1983.

95. Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения Земли. М.: Наука, Физматлит, 2002. 384 с.

96. Андрианова О.Р., Белевич P.P. О связи колебаний некоторых океанографических характеристик с вариациями угловой скорости вращения Земли//Метеорология и гидрология, 2003. № 11. С. 64-72.

97. Сидоренков Н.С. Природа нестабильностей вращения Земли/УПрирода, 2004. №8.http://www.ibmh.msk.su/vivovoco/VV/JOURNAL/NATURE/Q8 04/

98. Витязев В.В. Спектрально-корреляционный анализ равномерных временных рядов. СПб.: Изд. С.-Петерб. унив-та, 2001. 48 с.

99. Жадин Е. А. Скорость вращения Земли и возможный метод прогноза катастрофичеких ситуаций//Экология и промышленность России, 2001. №5. С.22-25.

100. Liu L., Hsu Н., Grafarend Е. Wavelet coherence analysis of Length-Of-Day variations and El Nino-Southern Oscillation// Geophysical Research Abstracts, Vol. 7, 2005.

101. Landscheidt T. New ENSO Forecasts Based on Solar Model, 2003. (Schroeter Institute for Research in Cycles of Solar Activity, Germany) http://www.iohn-daly.com/theodor/new-enso.htm

102. Thomas J.J. Possible Role of the Oceans in the Variations of Length of Day at High Frequencies//IERS Technical Note, №30. Vol. 150-152.

103. Hopfner J. Seasonal oscillations in length-of-day// Scientific Technical Report STR96/03. Paper presented at the XXI General Assembly European Geophysical Society. The Hague, The Netherlands, 6-10 May, 1996.

104. Hopfner J. Seasonal length of day changes and atmospheric angular momentum oscillations in their temporal variability// Scientific Technical Report STR98/10.

105. Salstein David A. Atmospheric mass and motion signals in the Earth's orientation and other properties // Abstracts of the «Journees Luxembourgeoises de Geodynamique», 2002. http://www.ecgs.lu/pdf/ilg90/ilg90 Salstein.pdf

106. Gambis D., Bizouard C., Francou G., Carlucci Т., Sail M. Prediction of UT1 and length of day variations // Fundamental Astronomy: New concepts and models for high accuracy observations, Observatoire de Paris, 2004.

107. Varga P., Gambis D., Bizouard C., Bus Z. What can we say on the relationship between the global seismicity and the rotation vector of the Earth// Observatoire de Paris, 2004. http://syrte.obspm.fr/iournees2004/Abstract/

108. Антонов А.Е., Якушев Д.И. О сверхвековом цикле солнечной активности// Тез. докл. научно-технич. конф. "Мониторинг и прогнозирование чрезвычайных ситуаций". СПб: СПбГЭТУ (ЛЭТИ), 1998г.

109. Куклин Г.В., О связи чисел Вольфа и потока радиоизлучения Солнца на частоте 2800 МГц. // Солнечные данные. 1984. №1. С. 87-95.

110. Максимов В.П., Максимова А.В. О корреляции чисел Вольфа и индекса F 10.7// http://bsfp.iszf.irk.ru/bsfp2002/articles/Maksimova.htm

111. Храмова М.Н., Красоткин С.А., Кононович Э.В. Прогнозирование солнечной активности методом фазовых средних// Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ», 2001. С. 1169-1176. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/107.pdf

112. Джимбеева Л.Н., Сабрукова М.Н. К вопросу анализа временных рядов на примере чисел Вольфа// Тез. докл. всерос. астр. конф. СПбГУ, 2001. http://www.astro.spbu.ru/ASTROCONF/sun.html

113. Барляева Т.В., Морозова А.Л., Пудовкин М.И. влияние космических факторов на развитие землетрясений// Материалы междунар. научно-практич. конф. Молодых ученых и специалистов «Геофизика-99». СПб., 2000. С. 8-19.

114. Ишков В.Н., Кононович Э.В. Солнечная активность// Альманах «Вселенная и мы», 1994. №-1. С. 22-24. http://crydee.sai.msu.ru/Universe and us/lnum/v lpap4.htm

115. Веселовский И.С. Гелиосфера и солнечный ветер в максимуме 23-го цикла// Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. Вып. 115,2002. С. 50-53.

116. Морозова А.Л., Пудовкин М.И., Черных Ю.В. Особенности развития циклов солнечной активности// Геомагнетизм и аэрономия, 1999. Т. 39. № 2. С. 40-44.

117. Ковалевский Ж. Современная астрометрия //Пер. со 2-го англ. изд. под ред. В.Е. Жарова. Фрязино: Век 2, 2004. - 480 с.

118. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 464 с.

119. Брандт 3. Статистические методы анализа наблюдений. Пер. с англ. -М.: Мир, 1975. 312 с.

120. Жовинский А. Н., Жовинский В. Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов. -М.: Энергия, 1979.

121. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. Пер. с англ. -М.: Наука. 1976. 736 с.

122. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 536 с.

123. Daubechies I. Ten lectures on wavelets. Society for industrial and applied mathematics. Philadelphia, Pennsylvania: SIAM, 1992.

124. Витязев B.B. Вейвлет-анализ солнечной активности за 300 лет. С.-Пб: НИАИ им. В .В. Соболева, СПбГУ.

125. Meyer Y. Wavelets: Algorithms and Applications// Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphia, 1993. pp. 13-31, 101-105.

126. Худсон Д. Статистика для физиков. Пер. с англ. М.: Мир, 1970. 296 с.

127. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1024с.

128. Бутов А.А. Некоторые вероятностные задачи, возникающие при построении моделей //Обозрение прикладной и промышленной математики, 1997. Т. 4. Вып. 1.-С. 5-17.

129. Теребиж В.Ю. Анализ временных рядов в астрофизике. М.: Наука, 1992.

130. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. М.: Наука, 1986. 230 с.

131. Валеев С.Г. Автоматизированная система обработки астрометрических баз данных// Современная астрометрия/под ред. Д.Д. Положенцева.- Л.: Изд. ГАО АН СССР, 1987.- С. 379-385

132. Антамошкин А.Н. Оптимизация функционалов с булевыми переменными. Томск: Изд. Том. ун-та, 1987. 99с.

133. Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. М.: Финансы и статистика, 1999. 384 с.