автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование одномерных хаотических моделей на основе оператора Фробениуса - Перрона

На правах рукописи

НИКАНДРОВА Юлия Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРА ФРОБЕНИУСА - ПЕРРОНА

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

г"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2005

Работа выполнена в ГОУ ВПО "Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского"

Научные руководители- доктор физико-математических наук, профессор

Голубенцев Александр Федорович

кандидат физико-математических наук, доцент Аникин Валерий Михайлович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Вадивасова Татьяна Евгеньевна

Ведущая организация: Саратовское отделение Института радиотехни-

ки и электроники РАН

Защита состоится 22 июня 2005 года в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО "Саратовский государственный технический университет" по адресу: 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77. Саратовский государственный технический университет, корпус 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно - технической библиотеке ГОУ ВПО "Саратовский государственный технический университет" по адресу: 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан « ÍS » мая 2005 года.

Ученый секретарь »___

диссертационного совета Vt/^o^cw^- А.А. Большаков

■//оЗН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

Одной из важнейших задач математического моделирования является построение и анализ математических моделей нелинейных явлений. Традиционно нелинейные динамические системы (например, колебательные) описывали с помощью дифференциальных уравнений. В настоящее время все чаще для этих же целей используют дискретные отображения, заданные разностными уравнениями. Как известно, дискретные математические модели (например, одномерные хаотические отображения) являются одними из простейших базовых моделей.

Подобные хаотические модели интенсивно исследуются последние 2530 лет. Была выявлена их теоретико-методическая ценность. Именно при исследовании их поведения и свойств были открыты и изучены явления, характерные для гораздо более сложных нелинейных систем. Например, на основе одномерных хаотических отображений открыты сценарии перехода в динамических системах от регулярного режима к хаотическому, впоследствии неоднократно подтвержденные многочисленными экспериментами для систем различной природы. Это говорит о важной практической значимости дискретных хаотических моделей (отображений) при решении проблем в самых различных областях науки: в физике, химии, экономике, социологии и т.д. (Шустер Г., Лихтенберг А., Либерман М., Малинецкий Г.Г., Трубецков Д.И., Кузнецов С.П.)

Важным и эффективным методом исследования хаотических моделей является операторный подход (Пригожин И., Стенгерс И.,Бланк М.Л), в частности, связанный с применением оператора Фробениуса - Перрона. Оператор Фробениуса - Перрона - оператор изменения во времени распределений вероятности в системах с дискретным временем (отображениях).

Знание спектральных свойств (собственных функций и собственных чисел) оператора Фробениуса - Перрона позволяет охарактеризовать асимптотические свойства (например, скорость сходимости начального распределения к инвариантному), корреляционные свойства (вид автокорреляционных функций) одномерных хаотических моделей.

Вместе с тем проблемы анализа спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона пока далеки от полного решения, также не рассмотрены некоторые важнейшие базовые модели на их основе. Это определило актуальность решаемых в диссертационной работе задач.

Цель диссертационной работы - исследование одномерных хаотических моделей на основе спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона; выявление конкретной роли собственных функций данного оператора при аналитическом расчете автокорреляционных функций, влияния собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона на скорость сходимости начального распределения к инвариантному в одномерных хаотических ото-

бражениях.

В процессе работы решались следующие задачи:

1. Определение производящих функций для собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями (сдвигов Бернулли с произвольным целым коэффициентом, пирамидального, "двойного" пирамидального и др.) Исследование влияния собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона на скорость сходимости начального распределения к инвариантному

2. Решение задачи на собственные значения и выявление структуры собственных функций для оператора Фробениуса - Перрона кусочно-линейных хаотических отображений с неполными ветвями - 0-отображения (частного случая отображения Рен^* = fixn mod 1, р е К, с коэффици-

3. Расчет автокорреляционных функций отображений с использованием собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов диссертации подтверждена проверочными (альтернативными) и (или) взаимно дополняющими друг друга аналитическими расчетами, а также согласованностью с данными, полученными другими авторами.

Научная новизна работы и научно-практическая значимость результатов.

Показано, что для одномерных хаотических кусочно-линейных моделей (отображений) с полными ветвями могут быть определены аналитические ("производящие") функции, которые в компактном виде содержат информацию о собственных функциях и собственных числах соответствующего оператора Фробениуса - Перрона. Подобные производящие функции построены для ряда "классических" отображений: сдвигов Бернулли, пирамидального, N - образного и инверсных отображений к данным. Выяснено, что производящие функции собственных функций эволюционных операторов для данных типов отображений могут быть образованы комбинацией производящих функций неортогональных полиномов двух типов - Бернулли и Эйлера.

Разработан метод последовательного построения инвариантных подпространств различной размерности для оператора Фробениуса - Перрона с целью нахождения его собственных функций. Подобным образом найдено несколько первых функций и чисел оператора Фробениуса - Перрона для кусочно-линейного ф -отображения с неполными ветвями (в качестве параметра - число Фидия (# = ^1 + 75^2, заметим, что ф~х =^/5-1^2 - золотое сечение), а также, для базового эндоморфизма, то есть для сопряженного ф-отображению кусочно-линейного отображения, обладающего равномерным инвариантным распределением (само сопряженное отображение построено впервые). Выведены общие соотношения для построения собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона.

ентом, равным числу Фидия ф = (1

+

и ему сопряженного.

. л *

Аналитически рассчитаны автокорреляционные функции на основе знания собственных функций и собственных чисел Фробениуса - Перрона, в том числе новых хаотических отображений, построенных в работе.

Продемонстрирована эффективность предложенных методов для нахождения собственных функций и собственных чисел операторов Фробениуса -Перрона кусочно-линейных отображений, основанных на построении производящих функций и на выявлении структуры инвариантных подпространств для данного оператора.

На защиту выносятся следующие положения

1. Производящие функции для собственных функций оператора Фробениуса - Перрона таких одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями (переводящими отдельные отрезки области определения (единичного интервала) на весь единичный интервал), как сдвиги Бернулли, пирамидальное, "двойного" пирамидального, N - образного, а так же хаотических отображений, полученных их суперпозицией, инверсией и топологическим сопряжением, могут быть представлены линейной комбинацией производящих функций полиномов Бернулли и (или) Эйлера соответствующих конкретному отображению аргументов.

2. Структура собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных кусочно-линейных хаотических отображений, ф -отображения и ему сопряженного, обладающего равномерным инвариантным распределением, с неполными ветвями (не переводящими отдельные отрезки области определения (единичного интервала) на весь единичный интервал) представляет собой кусочно-степенные функции (с одним разрывом).

3. Собственные функции и соответствую Еще собственные числа могут быть рассчитаны методом построения инвариантных подпространств для оператора Фробениуса - Перрона и перехода к базису, состоящему из собственных функций данного оператора. Обобщение решения задачи на собственные значения может быть получено с помощью метода неопределенных коэффициентов.

4. Вид автокорреляционных функций рассмотренных кусочно-линейных одномерных хаотических моделей (отображений) определяется конечным набором первых собственных функций оператора Фробениуса - Перрона.

Апробация результатов исследований.

Основные результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях: 6th International School on chaotic oscillations and pattern formation. (Saratov, Russia, October 2-7, 2001), Fourth IEEE International Vacuum Electron Sources Conference (Saratov, Russia, July 15-19, 2002), международной конференции "Physics and Control" (August 20-22, 2003, Saint-Petersburg, Russia). (5 тезисов докладов.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ (2 статьи в центральной печати и 12 статей в научных сборниках).

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Диссертация содержит 115 страниц текста, 23 ил-

люстрации, таблицу, список использованной литературы из 110 наименований на 12 страницах. Общий объем работы -151 страница.

Личный вклад

Автором получены выражения для производящих функций собственных функций оператора Фробениуса - Перрона рассмотренных кусочно-линейных симметричных отображений с полными ветвями; представлены разложения начальных распределений в ряды по собственным функциям оператора; проведены расчеты собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона кусочно-линейного несимметричного ^-отображения и его базового эндоморфизма, рассчитана автокорреляционная функция базового эндоморфизма ^-отображения. Постановка задач, разработка методов их решения и корректировка расчетов осуществлялись совместно с научными руководителями.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая характеристика диссертационной работы.

Объектом исследования являются одномерные хаотические модели в форме разностных уравнений (отображения) - одни из базовых математических моделей, и вместе с тем, одни из простейших. В общем виде одномерные хаотические модели задаются с помощью итерационного соотношения.

= <Р(хпЛ),п = 0,1,2,..., х„ е[а,Ъ], (1)

где <р{х) - кусочно-монотонная итерационная функция, X - параметр.

В диссертационной работе исследовались такие модели, итерационная функция которых преобразует интервал области определения [а,й] в себя, и при этом модель демонстрирует хаотическое поведение. Итерационная функция обладает чувствительностью к начальным условиям х0, то есть траектории (орбиты) х0,х1,хг,... рассматриваемой модели не обладают устойчивостью по Ляпунову (соответствующие показатели Ляпунова положительны). Как следствие, одномерная модель (1) демонстрирует квазислучайное поведение (в этом контексте и говорят о "детерминированном" хаосе), что делает, в принципе, невозможным траекгорное описание математической модели. В связи с этим, переходят от траекгорного описания к вероятностному, вводят плотности распределения вероятности, с помощью которых описывают вероятность попадания хп,п = 0,1,2,... в тот или иной подынтервал области определения [а, 6].

Основным математическим аппаратом описания и исследования подобных хаотических моделей является операторный подход Строится эволюционный оператор, описывающий трансформацию плотностей вероятности во времени, на основе которого исследуются хаотические модели. В случае, когда в качестве моделей исследуются одномерные хаотические отображения, эволюционным оператором является оператор Фробениуса - Перрона, кото-

рый описывает трансформацию распределений вероятности во времени (Шустер Г.):

о

где рп(х) - плотность вероятности на п -м шаге итераций (начальное значение ДГр).

Неподвижная точка оператора Фробениуса - Перрона называется инвариантной плотностью модели (1). В асимптотике, при итерациях, начальная плотность распределения стремится к инвариантной, это соотносится с понятием установления равновесного состояния модели

Оператор Фробениуса - Перрона (знание его собственных функций и собственных чисел) позволяет исследовать одномерные хаотические модели, предсказывать их поведение во времени, а также изучать их свойства (например, исследовать скорость установления инвариантного распределения -инвариантной плотности; автокорреляционные функции).

В первой главе развивается метод построения аналитических производящих функций для нахождения собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона Производящая функция имеет вид:

где \еп{х) - собственная функция соответствующего линейного эволюционного оператора (Фробениуса - Перрона). Действие этого оператора на ¥(х,() дает одновременно полный набор и собственных функций, и собственных чисел этого оператора. Метод производящих функций применим к кусочно-линейным отображениям, которые можно получить с помощью комбинации преобразований (сдвиг, растяжение, отражение) из сдвигов Бернулли, а также посредством суперпозиции данных кусочно-линейных отображений.

Показано, как на основе метода производящих функций одновременно получить выражения для собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса -Перрона для ряда хаотических кусочно-линейных отображений: для сдвига Бернулли, пирамидального, "двойного" пирамидального, N - образного отображения и для отображений, инверсных вышеперечисленным.

0 5

Рис.1.График итерационной функция двойного пирамидального отображения

0 5

Риг.2.График итерационной функции Л?-образного отображения

Демонстрируется символический вывод модифицированных формул Эйлера - Маклорена. "Классическая" формула Эйлера - Маклорена применяется в основном для исследования свойств рядов и нахождения сумм (Гель-фонд А О. Исчисление конечных разностей), "модифицированные" формулы выведены с целью получения разложения бесконечно дифференцируемой функции <р(х) по системе неортогональных полиномов Бернулли 5п(лг), Эйлера Еп (л) и их композиции:

<р(х) = \<р(х)<1х + ¿^М • Н<р" (1) + ^>(0)), 0 < х < 1,

<р{х) = ^ф(х)с!х +

0

1

<р(х) = \(р(х)/Ь + о

где <р^"\х) - и-я производная <р(х).

Собственные функции эволюционных операторов имеют индивидуальные особенности, в связи с этим полезными оказываются различные модификации формулы Эйлера - Маклорена, использующие разложения функций не только по полиномам Бернулли, но и по системе полиномов Эйлера, а также по комбинированной системе, содержащей оба типа полиномов, упомянутых выше.

Построены два нелинейных хаотических отображения, инвариантная плотность которых отлична от равномерной и описывается экспоненциальным распределением (одно - сопряжении.* График итерационной функции ное ы _ образному, другое - инверсно-отображения,сопряженного N - образному ., . _

му N - образному отображениям). Соответственно обобщена техника использования модифицированных формул Эйлера - Маклорена для подобных отображений. Получены выражения для "нестационарных" плотностей:

/.(х) = ЯеЧ] + ±^В2п(е-*) + (е^)], « = 0,1,2,...;

\ л-1 -> Л*1 )

- для отображения, сопряженного N - образному;

Ш-Ь-

(-1ГА,

00 ^ со

1 + ) + ■г2""

л=1 -3 1-1

, т = 0,1,2,...,

- для отображения, сопряженного инверсному N - образному, коэффициенты вычисляются по формулам:

°2л У(2я)!/ к\

В.

1 2л-1

. = —V

¿А, ¿_о

("О2

к\

-Хх(2 п-к)

V^

-Хх(2 п-к)

5

(начальное значение х0 является случайным и имеет плотность распределения /о (л), /т(х) - плотность распределения т-й итерации х).

Подобные разложения позволяют оценить скорость установления инвариантного распределения.

Во второй главе изучаются спектральные свойства эволюционных операторов - операторов Фробениуса - Перрона - ^-отображения:

О йх^ф~1 ,-1, ф~1<хяй 1 (ф = {1 + у[Еу2я 1,618 - число Фидия) и 1

ему сопряженного отображения с равномерной инвариантной плотностью р'(х) = 1 (хаотическая модель базового эн- 0 5

доморфизма 0-отображения построена впервые):

.={**.} = 1

Рис.4.График итерационной функции отображения, сопряжены ого инверсному N - образному отображениям

а.

0 <ап < г

1 + ф~г

ф-1 Ф'1

1 + ф-27 1 + ф~2

Фг 1

1 + ЙГ2 ' 1 + ф-

1 / / * /

/ ; /-

/ 1 /

/ ! /

/ /

/ *

<а<

1

1 + ф-г «х„<> 1

О 05 1

Рис.5.График итерационной функции ¿-отображения

Построены ранее неизвестные собственные функции и собственные числа для этих операторов. Отличительной особенностью ф -отображения является кусочно-постоянная инвариантная плотность:

«п+1 0 5-

Л*)«

1 + ф

,-2 '

0 <,хйф~

Оператор Фробениуса - Перрона ф-отображения имеет вид:

РиеЛГрафик итерационной функции базового эндоморфизма ^-отображения

Щх) =

/ (х\ /к \

/ л А + /

ч кФ) 1 ф У

,1|0<х<1

г/

(-1 ,ф)

Поиск собственных функций оператора Фробениуса - Перрона осуществлялся по новому методу, суть которого заключается в следующем:

1. Выделение конечномерных инвариантных относительно действия оператора Фробениуса - Перрона подпространств в функциональном пространстве, ассоциированном с эволюционным оператором (с соответствующим инвариантным базисом).

2 Переход в данных подпространствах к новому базису, состоящему из собственных функций оператора.

По данной методике определены следующие собственные числа и соответствующие собственные функции оператора Фробениуса - Перрона ф-отображения:

А>=1:

Лг=(

Л з =-|

[1,*б[о ,<г']

где 0(л:) = -! ^ - индикаторная функция отрезка Го.^Г1].

В дополнение к изучению спекгральных свойств оператора Фробениуса - Перрона ^-отображения исследуются спектральные свойства так называемого модифицированного оператора Фробениуса - Перрона, имеющего вид:

\ф~10{ф~1х) + ф-Щф'1 (х +1)), 0 5 х ^ ф'1

и0{х)[0{ф-1х),ф-><х<\

Л, = — i

Найдены собственные числа и соответствующие собственные функции модифицированного оператора Фробениуса - Перрона ^-отображения1:

л> =1 - со(*)=1,

Далее в работе предложен новый алгоритм вычисления собственных функций и собственных чисел модифицированного оператора Фробениуса -Перрона на основе метода неопределенных коэффициентов. Записываем собственные функции в обобщенном виде:

(*) = Мп,о + Ипл ■ ®(*) + + - + Мп,2тхт + М„.2^хт®(х) + •••> где п =0,1,2,... - номер собственной функции у/п(х) и соответствующего собственного числа \ = Хгк+р, р - 0,1 - степень @{х) в последнем слагаемом разложения. Тогда четные собственные функции (п = 2к, р- 0) можно записать как

^ (*) = ЕК^*" + ^т«хт®{х))+МпЛкхк,

где коэффициенты цп к (соответственно для каждой функции) находятся из решения системы линейных уравнений:

Ал,2» = {м„,2п, + РпЛтн)Ф"">

нечетные собственные функции ( и = 2& +1, р = 1):

= +М„Лт^т<д(х)),

а система линейных уравнений для определения коэффициентов.

1В работе Mori Н, So В -Ch, Ose Т Time-correlation functions of one-dimensional transformations//Progress in Theoretical Physics. 1981 V 66 No 4 P 1266-1283 указаны без вывода только первая и вторая собственные функции модифицированного оператора Фробениуса - Перрона с соответствующими собственными числами.

До- = {и„Лт + И„,2т+\){-фМ~т),

А„,2т+1 = МпЛ^к'а " 1(0 * гп +1 * к) ■ £

Собственные числа можно представить в виде: Лп - Хгк+р = (~ф~2у ■ ф~к.

Знание собственных функций модифицированного оператора Фробе-ниуса - Перрона автоматически дает знание собственных функций "обычного" оператора Фробениуса - Перрона и, наоборот, зная собственные функции "обычного" оператора Фробениуса - Перрона, простым пересчетом можно найти собственные функции модифицированного оператора Фробениуса -Перрона (собственные числа операторов Хк и , соответственно, совпадают). Если у/к{х) - собственная функция "обычного" оператора Фробениуса - Перрона, - собственная функция модифицированного оператора

Фробениуса - Перрона, то они удовлетворяют соотношению ц>к (*) = /*(*)• ^ {х), где /'(■*) - инвариантная плотность "обычного" оператора Фробениуса - Перрона.

Далее во второй главе решается несколько необычная по постановке задача сопряжения двух кусочно-линейных отображений: для ф -отображения с кусочно-постоянной инвариантной плотностью (она описывается ступенчатой функцией) строится базовый эндоморфизм - отображение единичного интервала с непрерывным равномерным распределением топологически эквивалентное данному.

Для базового эндоморфизма ^-отображения построены: итерационная функция (см. выше), оператор Фробениуса - Перрона

ир{а) =

ф-1р(ф-1а) + ф-2р

,-2

ОС —

1

ОС —

1

1+ф-

■<а<, 1

О <,ай-

1

1 + ф-

1 + ф-2)' 1 + ф~2

и определены следующие собственные числа и соответствующие собственные функции оператора Фробениуса - Перрона по вышеописанной методике:

4= "Г2:

^(х) = 1-(1 + ф-2)&{х);

(х) = -7^1=2 + Г+ * ~ Ф~2х®(х);

\ + ф 1 + ф

1

1

2 1 + ф~2 1 + ф'

-®(х) + х:-2ф-'х&(х),

где ©(*)

ция отрезка

индикаторная функ-

Рис.7.0-отображение Трансформация начального распределения *+1/2

'1 + ф~\ На рис.7 проиллюстрирована трансформация начального распределения /0 (*) = х +1/2 к инвариантному кусочно-

линейному распределению под действием оператора Фробениу-са - Перрона ф -отображения. На рис.8 - трансформация начального распределения р0(;с) = х+1/2 к инвариантному равномерному распределению под действием оператора Фро-бениуса - Перрона базового эндоморфизма ф -отображения.

Таким образом, при решении задачи построения сопряженного отображения:

во-первых, определяется конкретная модель - кусочно-линейное отображение, состоящее из трех линейных ветвей, каждая из которых не переводит область своего задания в единичный интервал, но в целом характеризуется непрерывной инвариантной плотностью;

во-вторых, наглядно иллюстрируются свойства инвариантности некоторых важных характеристик хаотических отображений при нелинейной обратимой замене переменных (в частности, инвариантность собственных чисел оператора Фробениуса -Перрона и показателя Ляпунова);

в-третьих, проводится точный аналитический расчет собственных функций и соответствующих собственных чисел эволюционного оператора;

в-четвертых, устанавливаются правила, по которым определяется действие линейных операторов на выражения, включающие индикаторные функции отрезков из единичного интервала.

Рис.8.Егзовыйэндоморфизм Трансформация начального распределения - х+1/2

В третьей главе демонстрируется техника расчета автокорреляционных функций2 одномерных хаотических отображений посредством неоднократного действия, ассоциированного с данным отображением оператора Фробе-ниуса - Перрона на х. Успех подобных вычислений напрямую зависит от знания собственных функций оператора Фробениуса - Перрона. В этой главе проиллюстрирован алгоритм для аналитического расчета автокорреляционных функций простейших моделей хаотических систем - одномерных кусочно-линейных отображений, обладающих равномерным инвариантным распределением на единичном отрезке, а также для ^-отображения (с кусочно-постоянным инвариантным распределением) и для его базового эндоморфизма. Приведем примеры полученных результатов аналитического расчета автокорреляционных функций.

Инверсный сдвиг Бернулли Итерационная функция (ИФ):

• Перрона (ОФП):

'к-х\ ..„ 1 (

G> 2.

Оператор Фробениуса -

U"x =

(-Gf

х--

1

+ —. 2

Автокорреляционная функция (АКФ):

1

- = -е

-An

ИФ-

ОФП:

АКФ:

ИФ:

ОФП:

<Р(Х)= Up{x) = \

(-Gf

"V" - образное отображение

1-2х,0йхй1/2

2х-\,\/2<,хй\ '

1-х

+ Р

1 + х

= 0

= 8,

я0-

<Р(Х) =

2 1,л

Двойное пирамидальное отображение

4х, 0 < х < 1/4 4х-\,\/4<хй\/2 3 — 4jc, 1/2 ^ JC < 3/4 4-4х,Ъ/4<.х<.\

Up(x) = j 4

ш

+р\

3-х

■н

Суть метода описана в работе Mori Н, So В -Ch, Ose Т Time-correlation functions of one-dimensional transformations //Progress in Theoretical Physics 1981 V 66 No 4 P 12661283 В данной работе метод был адаптирован для одномерных хаотических моделей (в частности, исключено требование нормировки величин )

АКФ:

ИФ:

ОФП: АКФ:

ч 1»И = 0 о

7?(«)=J = <5

V ' 10.«> 1 n0

Ф) =

Двойное "V" - образное отображение

\-4х,0<,хй1/4 2 -Ах, 1/4^*^1/2 4jc — 2,1/2 < JC < 3/4 4х - 3,Ъ/А<>х<.\

fjf + 2) (х + Ъ — 1 +

1, и = 0

яО'

^ - отображение

(О, и > 1 Модифицированный ОФП:

^.^-"(^(i-NrjieW-^rl^-Y:

АКФ: Я (и) = (1 - (l - (-1)" в"*) V*,

где Я = ln<i - показатель Ляпунова.

Базовый эндоморфизм ф - отображения

2 ф" / / ч 1/ ,_2я_| / \1 1

ОФП. =

АКФ: Я (и) = Ц?"' (4е~я (l + е1К ) +(-1)" (l + е"")) ■ е", где Х = \пф - показатель Ляпунова.

0123456789 10 п

Рис.9.График автокорреляционное функции (¿-отображения

0123456789 10

Рис.Ю.График автокорреляционной функции базового эндоморфизма ^-отображения

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона занимает центральное место при изучении хаотических моделей (в частности, дискретных моделей, заданных разностными уравнениями, - одномерных кусочно-линейных отображений) Кроме того, знание собственных функций эволюционного оператора позволяет получить выражения нестационарных решений уравнения Фробениуса - Перрона, оценить скорость сходимости начального распределения к инвариантному, точно рассчитать автокорреляционную функцию.

На основании исследований, проведенных в диссертации, получены следующие основные результаты:

1. На основе операторного символического подхода получены модифицированные формулы Эйлера - Маклорена для разложения аналитических функций, определенных на единичном интервале, по трем системам неортогональных полиномов:

- на основе полиномов Эйлера Е„(л), п- 0,1,...;

- на основе четных полиномов Эйлера Еи[х), п = 0,1,... и нечетных полиномов Бернулли В2я+1 (х), и = 0,1,...;

- на основе нечетных полиномов Эйлера В2я+1(х), и = 0,1,... и четных полиномов Бернулли В2п (х), п = 0,1,....

2. Построены производящие функции для собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических кусочно-линейных моделей- сдвига Бернулли, пирамидального, V - образного, двойного пирамидального, двойного У-образного, инверсного сдвига Бернулли, N - образного, инверсного N - образного отображений, а также нелинейных отображений с экспоненциальной плотностью распределения, построенных на базе N - образных.

3. Построена новая математическая модель - одномерное хаотическое кусочно-линейное отображение, топологически эквивалентное ф - отображению - базовый эндоморфизм ф - отображения с равномерным инвариантным распределением. Выведено нестационарное уравнение Фробениуса - Перрона и получен в явном виде оператор Фробениуса - Перрона базового эндоморфизма.

4. Разработан метод нахождения собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических моделей (на примере ф - отображения и его базового эндоморфизма) путем построения инвариантных подпространств для данного оператора. Оператор Фробениуса - Перрона рассмотрен в двух формах: «классической» и «модифицированной». Найдено несколько первых собственных функций и собственных чисел данного оператора (для ф - отображения - 4 для "классического" оператора Фробениуса - Перрона и 6 - для "модифицированного", для базового эндоморфизма ф - отображения - 4). Указан общий вид собст-

венных функций и собственных чисел эволюционных операторов ф - отображения и его базового эндоморфизма в случае повышения размерности инвариантных подпространств.

5. Вычислена аналитически автокорреляционная функция базового эндоморфизма ф - отображения. Описан алгоритм точного аналитического расчета автокорреляционной функции, для которого требуется знание ряда первых собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона, линейной комбинацией которых можно представить независимую переменную х.

С помощью данного алгоритма найдены автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным распределением.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Барулина (Никандрова) Ю.А. Вероятностное описание хаотических генераторов биологических ритмов / А.Ф. Голубенцев, В.М Аникин, Ю А Барулина (Никандрова) // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. № 1. С.39-42.

2. Barulina (Nikandrova) Yu.A. Regression Equations Modelling Diffusion Processes / A.F. Goloubentsev, V.M. Anikin, Yu.A. Barulina (Nikandrova) // Applied Surface Science 215 (2003) P.185-109.

3. Барулина (Никандрова) Ю.А. Спектральные задачи для хаотических отображений с инвариантными экспоненциальными распределениями / А Ф. Голубенцев, В М Аникин, Ю А. Барулина (Никандрова) // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 6. С. 27-31.

4. Барулина (Никандрова) Ю.А. О спектральной задаче для одного кусочно-линейного хаотического отображения / А.Ф. Голубенцев, В.М Аникин, Ю.А. Барулина (Никандрова) // Вопросы прикладной физики. Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000 Вып. 6. С. 33-35

5. Барулина (Никандрова) Ю.А. Формула Эйлера - Маклорена в теории детерминированного хаоса / А.Ф Голубенцев, В.М Аникин, Ю.А. Барулина (Никандрова) // Вопросы прикладной физики: Межвуз науч. сб Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 7. С.74-76.

6. Барулина (Никандрова) Ю.А К решению спектральной задачи для эволюционного оператора методом производящих функций / А.Ф. Голубенцев, В.М. Аникин, Ю.А. Барулина (Никандрова) // Моделирование: Сб. науч. статей. Саратов: Исток-С, 2002. С. 24-30.

7. Барулина (Никандрова) Ю.А. О моделировании случайных процессов, основанных на броуновском движении / А Ф Голубенцев, В М. Аникин, Ю.А. Барулина (Никандрова) // Моделирование: Сб науч статей. Саратов: Исток-С, 2002. С. 31-37.

8 Barulina (Nikandrova) Yu.A. On Difference Schemes and Dynamical Systems Corresponding to Fluctuayion Phenomena / A.F. Goloubentsev, V.M. Anikin, Yu.A. Barulina (Nikandrova) // Fourth IEEE International Vacuum Electron Sources Conference. Proceedings. Saratov, Russia, July 15-19, 2002 P. 407-409

9 Барулина (Никандрова) Ю.А. Автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным распределением / А Ф Голубенцев, В.М. Аникин, Ю А. Барулина (Никандрова) // Вопросы прикладной физики: Межвуз науч. сб. Саратов. Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Т, 9. С. 72-74

10. Barulina (Nikandrova) Yu.A. Difference Scheme with Instant Transition "from Order to Chaos" / A F. Goloubentsev, V.M. Anikin, Yu.A. Barulina (Nikandrova) // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P 446-451.

11 Barulina (Nikandrova) Yu.A. Chaotic Maps Generating White Noise / A.F. Goloubentsev, V.M. Anikin, Yu.A. Barulina (Nikandrova) // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P 452-455.

12 Baker Transformation as Autoregression System / A.F. Goloubentsev, V.M. Anikin, S A. Noyanova, Yu A. Barulina (Nikandrova) // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22,2003. P.654-656.

13. Барулина (Никандрова) Ю.А. Кусочно-линейное хаотическое преобразование с равномерным инвариантным распределением, топологически эквивалентное ф -отображению / В М Аникин, Ю.А. Барулина (Никандрова) // Вопросы прикладной физики' Межвуз. науч сб. Памяти А.Ф. Го-лубенцева / Под ред. Ю.В. Гуляева, Н.И Синицына, В.М. Аникина. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 11. С. 201-210.

14. Барулина (Никандрова) Ю А. Собственные функции эволюционного оператора ^-отображения / АФ. Голубенцев, В М. Аникин, Ю.А. Барулина (Никандрова) // Вопросы прикладной физики: Межвуз науч. сб Памяти А Ф Голубенцева 1 Под ред. Ю.В. Гуляева, Н.И. Синицына, В.М. Аникина. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 11. С.50-60.

НИКАНДРОВА Юлия Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРА ФРОБЕНИУСА - ПЕРРОНА

Автореферат

Корректор O.A. Панина

Лицензия ИД № 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 17.05.05

Бум. тип. Усл. печ.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 202

Саратовский государственный технический университет 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Копипринтер СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Формат 60x84 1/16 Уч.-изд.л. 1,0 Бесплатно

О 5"139 9 t

РНБ Русский фонд

2006-4 11034

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ПОЛНЫМИ ВЕТВЯМИ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРА ФРОБЕНИУСА - ПЕРРОНА. МЕТОД

ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ.

Введение.

1.1. Исследование некоторых кусочно-линейных отображений на основе оператора i Фробениуса - Перрона с помощью метода производящих функций.

1.1.1. Классические примеры применения метода производящих функций.

1.1.2. Инверсный сдвиг Бернулли.

V 1.1.3. Двойное пирамидальное отображение.

1.1.4. Двойное V-образное отображение.

1.2 Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена.

1.2.1. Символический вывод формулы суммирования Эйлера - Маклорена.

1.2.2. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Бернулли.

1.2.3. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Эйлера.

1.2.4. Вывод модифицированной формулы Эйлера - Маклорена на основе разложения функции по системе полиномов Бернулли и Эйлера.

1.3. Примеры применения модифицированных формул Эйлера - Маклорена для исследования одномерных хаотических нелинейных моделей.

Ф 2.1. ^-отображение.68

2.1.1. Уравнение Фробениуса - Перрона. Оператор Фробениуса - Перрона.68

2.1.2. Инвариантная плотность.70

2.1.3. Модифицированный оператор Фробениуса - Перрона.76

2.1.4. Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона.78

2.2. Базовый эндоморфизм ф - отображения.104

2.2.1. Построение базового эндоморфизма ф -отображения.104

2.2.2. Уравнение и оператор Фробениуса - Перрона.107

2.2.3. Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона.110

Заключение.115

ГЛАВА 3. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ

МОДЕЛЕЙ.118

Введение.118 3.1. Определение автокорреляционной функции.118 j 3.2. Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей с равномерными инвариантными распределениями и их нелинейных преобразований.120

3.3. Автокорреляционные функции одномерных хаотических моделей: ^-отображения и его базового эндоморфизма.128

Заключение.135

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.138

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.140

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.149

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

Одной из важнейших задач математического моделирования является построение и анализ математических моделей нелинейных явлений. Традиционно нелинейные динамические системы (например, колебательные) описывали с помощью дифференциальных уравнений. В настоящее время все чаще для этих же целей используют дискретные математические модели (отображения), заданные разностными уравнениями. Как известно, дискретные модели (например, одномерные хаотические отображения) являются одними из простейших базовых моделей [2-7,19-24,26-33,41,46-52, 54, 73-78, 88-90].

Подобные хаотические модели интенсивно исследуются последние 25-30 лет. Была выявлена их теоретико-методическая ценность [63, 64, 81, 90]. Именно при исследовании их поведения и свойств были открыты и изучены явления, характерные для гораздо более сложных нелинейных систем. Например, на основе одномерных хаотических отображений открыты сценарии перехода в динамических системах от регулярного режима к хаотическому, впоследствии неоднократно подтвержденные многочисленными экспериментами для систем различной природы. Это говорит о важной практической значимости дискретных хаотических моделей (отображений) при решении проблем в самых различных областях науки: в физике, химии, экономике, социологии и т.д. [20, 24, 45,61-66,81,90, 99,100].

Приведем несколько примеров: а) одномерные хаотические модели используются при реализации датчиков псевдослучайных чисел, с заданным распределением [51, 99]; б) при описании хаотических генераторов биологических ритмов [3, 99]; в) на основе одномерных хаотических моделей разрабатываются новые методы реализации схем кодирования и обработки информации [22, 36].

Важным и эффективным методом исследования хаотических моделей является операторный подход [6, 7, 37, 71, 73-78], в частности, связанный с применением оператора Фробениуса - Перрона. Оператор Фробениуса - Перрона -оператор изменения во времени распределений вероятности в системах с дискретным временем (отображениях).

Знание спектральных свойств (собственных функций и собственных чисел) оператора Фробениуса - Перрона позволяет охарактеризовать асимптотические свойства (например, скорость сходимости начального распределения к инвариантному), корреляционные свойства (вид автокорреляционных функций) одномерных хаотических моделей [28, 34, 52,101,103-105,109,110].

Вместе с тем проблемы анализа спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона пока далеки от полного решения, также не рассмотрены некоторые важнейшие базовые модели на их основе. Это определило актуальность решаемых в диссертационной работе задач.

Цель диссертационной работы - исследование одномерных хаотических моделей на основе спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона; выявление конкретной роли собственных функций данного оператора при аналитическом расчете автокорреляционных функций, влияния собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона на скорость сходимости начального распределения к инвариантному в одномерных хаотических отображениях.

В процессе работы решались следующие задачи:

1. Определение производящих функций для собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями (сдвигов Бернулли с произвольным целым коэффициентом, пирамидального, "двойного" пирамидального и др.). Исследование влияния собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона на скорость сходимости начального распределения к инвариантному.

2. Решение задачи на собственные значения и выявление структуры собственных функций для оператора Фробениуса - Перрона кусочно-линейных хаотических отображений с неполными ветвями - ^-отображения (частного случая отображения Реньи хл+1 = /Зхп mod 1, р е R, с коэффициентом, равным числу Фидия ф = {\ + л/5 j jl) и ему сопряженного.

3. Расчет автокорреляционных функций отображений с использованием собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов диссертации подтверждена проверочными (альтернативными) и (или) взаимно дополняющими друг друга аналитическими расчетами, а также согласованностью с данными, полученными другими авторами.

Научная новизна работы и научно-практическая значимость результатов.

Показано, что для одномерных хаотических кусочно-линейных моделей (отображений) с полными ветвями могут быть определены аналитические ("производящие") функции, которые в компактном виде содержат информацию о собственных функциях и собственных числах соответствующего оператора Фробениуса - Перрона. Подобные производящие функции построены для ряда "классических" отображений: сдвигов Бернулли, пирамидального, N - образного и инверсных отображений к данным. Выяснено, что производящие функции собственных функций эволюционных операторов для данных типов отображений могут быть образованы комбинацией производящих функций неортогональных полиномов двух типов - Бернулли и Эйлера.

Разработан метод последовательного построения инвариантных подпространств различной размерности для оператора Фробениуса - Перрона с целью нахождения его собственных функций. Подобным образом найдено несколько первых функций и чисел оператора Фробениуса - Перрона для кусочно-линейного ф -отображения с неполными ветвями (в качестве параметра — число

Фидия ф = {\ + л/5 ) Jl, заметим, что -l)/2 - золотое сечение), а также, для базового эндоморфизма, то есть для сопряженного ф -отображению кусочно-линейного отображения, обладающего равномерным инвариантным распределением (само сопряженное отображение построено впервые). Выведены общие соотношения для построения собственных функций и собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона.

Аналитически рассчитаны автокорреляционные функции на основе знания собственных функций и собственных чисел Фробениуса - Перрона, в том числе новых хаотических отображений, построенных в работе.

Продемонстрирована эффективность предложенных методов для нахождения собственных функций и собственных чисел операторов Фробениуса - Перрона кусочно-линейных отображений, основанных на построении производящих функций и на выявлении структуры инвариантных подпространств для данного оператора.

Апробация результатов исследований.

Основные результаты диссертации докладывались на международных научных конференциях: 6th International School on chaotic oscillations and pattern formation. (Saratov, Russia, October 2-7, 2001), Fourth IEEE International Vacuum Electron Sources Conference (Saratov, Russia, July 15-19, 2002); международной конференции "Physics and Control" (August 20-22, 2003, Saint-Petersburg, Russia). (5 тезисов докладов.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ (2 статьи в центральной печати и 12 статей в научных сборниках).

На защиту выносятся следующие положения

1. Производящие функции для собственных функций оператора Фробе-ниуса - Перрона таких одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями (переводящими отдельные отрезки области определения (единичного интервала) на весь единичный интервал), как сдвиги Бернул-ли, пирамидальное, "двойного" пирамидального, N - образного, а так же хаотических отображений, полученных их суперпозицией, инверсией и топологическим сопряжением, могут быть представлены линейной комбинацией производящих функций полиномов Бернулли и (или) Эйлера соответствующих конкретному отображению аргументов.

2. Структура собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных кусочно-линейных хаотических отображений, ^-отображения и ему сопряженного, обладающего равномерным инвариантным распределением, с неполными ветвями (не переводящими отдельные отрезки области определения (единичного интервала) на весь единичный интервал) представляет собой кусочно-степенные функции (с одним разрывом).

3. Собственные функции и соответствующие собственные числа могут быть рассчитаны методом построения инвариантных подпространств для оператора Фробениуса - Перрона и перехода к базису, состоящему из собственных функций данного оператора. Обобщение решения задачи на собственные значения может быть получено с помощью метода неопределенных коэффициентов.

4. Вид автокорреляционных функций рассмотренных кусочно-линейных одномерных хаотических моделей (отображений) определяется конечным набором первых собственных функций оператора Фробениуса - Перрона.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы. Диссертация содержит 115 страниц текста, 23 иллюстрации, таблицу, список использованной литературы из 110 наименований на 12 страницах. Общий объем работы -151 страница.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследование спектральных свойств оператора Фробениуса - Перрона занимает центральное место при изучении хаотических моделей (в частности, дискретных моделей, заданных разностными уравнениями, - одномерных кусочно-линейных отображений). Кроме того, знание собственных функций эволюционного оператора позволяет получить выражения нестационарных решений уравнения Фробениуса - Перрона, оценить скорость сходимости начального распределения к инвариантному, точно рассчитать автокорреляционную функцию.

На основании исследований, проведенных в диссертации, получены следующие основные результаты:

1. На основе операторного символического подхода получены модифицированные формулы Эйлера - Маклорена для разложения аналитических функций, определенных на единичном интервале, по трем системам неортогональных полиномов:

- на основе полиномов Эйлера Еп(х), п = 0,1,.;

- на основе четных полиномов Эйлера Е1п (х), п- 0,1,. и нечетных полиномов Бернулли В2п+1 (х), п~ 0,1,.;

- на основе нечетных полиномов Эйлера Е2п+Х (х), п = 0,1,. и четных полиномов Бернулли В2п(х), п = 0,1,.

2. Построены производящие функции для собственных функций оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических кусочно-линейных моделей: сдвига Бернулли, пирамидального, V - образного, двойного пирамидального, двойного V-образного, инверсного сдвига Бернулли, N - образного, инверсного N - образного отображений, а также нелинейных отображений с экспоненциальной плотностью распределения, построенных на базе N - образных.

3. Построена новая математическая модель - одномерное хаотическое кусочно-линейное отображение, топологически эквивалентное ф - отображению -базовый эндоморфизм ф - отображения с равномерным инвариантным распределением. Выведено нестационарное уравнение Фробениуса - Перрона и получен в явном виде оператор Фробениуса - Перрона базового эндоморфизма.

4. Разработан метод нахождения собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона одномерных хаотических моделей (на примере ф - отображения и его базового эндоморфизма) путем построения инвариантных подпространств для данного оператора. Оператор Фробениуса - Перрона рассмотрен в двух формах: «классической» и «модифицированной». Найдено несколько первых собственных функций и собственных чисел данного оператора (для ф - отображения - 4 для "классического" оператора Фробениуса - Перрона и 6 - для "модифицированного", для базового эндоморфизма ф - отображения - 4). Указан общий вид собственных функций и собственных чисел эволюционных операторов ф - отображения и его базового эндоморфизма в случае повышения размерности инвариантных подпространств.

5. Вычислена аналитически автокорреляционная функция базового эндоморфизма ф - отображения. Описан алгоритм точного аналитического расчета автокорреляционной функции, для которого требуется знание ряда первых собственных функций и соответствующих собственных чисел оператора Фробениуса - Перрона, линейной комбинацией которых можно представить независимую переменную х.

С помощью данного алгоритма найдены автокорреляционные функции одномерных кусочно-линейных отображений с равномерным инвариантным распределением.

1. Abramowitz М, Stegun I. Hand book of mathematical functions. Dover, New York, 1964. - 830p.

2. Adler R.L., Rivlin T J., Ergodic and Mixing Properties of Chebyshov polynomials //Proc. Amer. Math. Soc., 1964. Vol. 15, N5. P.794-796.

3. Anikin V.M., |Goloubentsev A.F.| Analysis of biological chaotic rythmes // Proc. SPIE. Vol. 5330. Complex dynamics, Fluctuations, Chaos and Fractals in Biomedical Photonics / V.V. Tuchin, Ed. 2004.

4. Antoniow I., Tasaki S. Generalized spectral decomposition of mixing dynamical systems // Int. J. of Quantum Chemistry, 1993. Vol. 46, P.425 474.

5. Antoniow I., Tasaki S. Spectral decomposition of the Renyi maP. // J. Phys. A: Math. Gen., 1993. Vol. 26P.73-94.

6. Driebe D.J., Ordonez G.E. Using symmetries of the Frobenius Perron operator to determine spectral decompositions. // Physics Letters A, 1996. Vol. 211 P.204-210.

7. Dorfle M. Spectrum and Eigenfimctions of the Frobenius-Perron Operator of the Tent Map // Journal of Statistical Physics. 1985. Vol. 40 P.93-132.

8. Gaspard P. Diffusion in uniformly hyperbolic one-dimensional maps and Appell polynomials // Physics Letters A, 1992. Vol. 168 P. 13-17.

9. Gaspard P. R-adic one-dimensional maps and the Euler summation formula // J. Phys. A., Math. Gen., 1992. Vol. 25 P.483 485.

10. Goloubentsev A.F., Anikin V.M. The Explicit Solutions of Frobenius Perron Equation for the Chaotic Infinite Maps // International Journal of Bifurcations and Chaos. 1998. Vol. 8. N 5. P.1049-1051.

11. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Arkadaksky S.S. Ergodic Maps with Lyapunov Exponent Equal to Zero // 2000 2nd International Conference "Control of Oscillation and Chaos". Proceedings / Edited by F.L. Chernousko and A.L. FradkoVol. Vol.1. P. 44 47.

12. Grossman S., Thomae S. Invariant distributions and stationary correlation functions of one-dimensional discrete processes // Z. Naturforsh. 1977. Vol. 32a. P. 1353-1363.

13. Hasegawa H.H., Driebe D.J. Spectral determination and physical conditions for a class of chaotic piecewise-linear maps // Physics Letters A, 1993. Vol. 176 P. 193-201.

14. Hasegawa H.H., Saphir W.C. Decaying eigenstates for simple chaotic systems // Physics Letters A. 1992. Vol. 161 P.471-476.

15. Karl E Kurten, Gregoire Nicolis. Moment equations and closure schemes in chaotic dynamics // J. Phys. A: Math. Gen. 1998 Vol.31 P.7331-7340. Printed in the UK.

16. Katsura Sh., Fukuda W. Exactly solvable models showing chaotic behavior // Physica. 1985. Vol. 130A. No 3. P. 597-605.

17. Knuth D.E. The Art of Computer Programming. Vol.2 Seminumerical Algorithms, Addison-Wesley Longman. Inc., 1998. Third Ed.

18. Kuipers L., Niederreiter H. Uniform Distributions of Sequences. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1974.

19. Lakshmibala, Satyanayana. Phase estimation, photon cloning and the Bernoulli map // Physics Letters A, 2002. Vol. 298 P. 1-6.

20. Lasota A., Mackey M.C. Probabilistic properties of deterministic systems / Cambridge: Cambridge University Press, 1985. 358p.

21. Machado R.F., Baptista M.S., Grebogi C. Cryptography with chaos at the physical level. // Chaos, Solitions and Fractals, 2004. V.21, P.1265-1269.

22. Mori H., So B.-Ch., Ose T. Time-correlation functions of one-dimensional transformations // Progress in Theoretical Physics. 1981. V. 66. No. 4. P. 12661283.

23. Nagatani T. Chaotic motion of Shuttle buses in two-dimensional map model // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. V.18. P731-738.

24. Pratley P., Box В., Schrage L. A Guide to Simulation. Berlin: Springer, 1987.

25. Renyi A. Representation for real numbers and their ergodic properties // Acta. Math. Acad. Sc. Hungar. 1957. Vol. 8. P. 477-493.

26. Risken H. The Fokker Planck equation. - Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.

27. Sello S. Auto-Correlation Functions and Solar Cycle predictability. Topic Note Nr.001004, Los Almos National Laboratories Preprint Arhive, Astro-Ph/0010106. 2000.

28. Tabor M. Chaos and Integrability in Nonlinear dynamics. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1989.

29. Tsuchiya T. An exactly solvable difference equation that gives pure chaos for a continuous range of a parameter// Z. Naturforsh. 1983. Vol. 39a. P. 80-82.

30. Ulam S.M., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bulletin of the American Mathematical Society. 1947. Vol. 53. N. 11. P. 1120.

31. Umeno K. Method of constructing exactly solvable chaos // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. N5. P. 5280-5284.

32. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой. Лекции соровского профессора: Учебное пособие. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2000.-180с., ил.

33. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман А.Б., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

34. Бейтман Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965.-296с.

35. Бланк М.Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике. М.: МЦНМО, 2001.-352 с.

36. Быков Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к теории устойчивости. М.: 1966.

37. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984

38. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

39. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. Пер. с англ. Под ред. Стратоновича P.JI. М.: Мир, 1986. - 528с., ил.

40. Гельфонд А.О. Вычеты и их приложения. М., Наука, 1966.

41. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М. - Л., ГИТТЛ, 1952 — 480с.

42. Гельфонд А.О. Об одном общем свойстве систем счисления // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23. С. 800-814.

43. Голубенцев А.Ф.|, Аникин В.М. Модифицированная задача Гаусса // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. памяти Голубенцева А.Ф. / Под ред. Гуляева Ю.В., Синицына Н.И., Аникина В.М. Саратов: изд-во Са-рат. ун-та, 2004. Вып. 11. С.41-50.

44. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М. Специальные функции в теории детерминированного хаоса // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8. № 3. С. 50-58.

45. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Двухточечные граничные задачи в практикуме по моделированию физических процессов: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 2001. - 20с.

46. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. О некоторых свойствах оператора Фробениуса Перрона для сдвигов Бернулли // Изв. Вузов. -Прикладная нелинейная динамика, 2000. Т.8. №2. С.67 - 73.

47. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Аркадакский С.С. Операторы Фробениуса Перрона для сопряженных хаотических отображений // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1999. Т. 5. С.44-46

48. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Богомолов А.В. Хаотические генераторы биологических ритмов // Медицинская радиоэлектроника. 2000. № 2. С. 38 -41.

49. Голубенцев А.Ф., Ноянова С.А. Авторегрессионные методы спектрального анализа временных рядов: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 2002. - 32с., ил.

50. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.

51. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. -М.: Постмаркет, 2001. 184с.

52. Де Брёйн Н.Г. Математические методы в анализе. М., Иностранная литература, 1961 -247с.

53. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М., Наука, 1979.

54. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. M.-JL, 1936

55. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В. Введение в теорию вероятностей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.- 188с.

56. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 316с.

57. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. Пер. с англ. Под ред. Арамановича И.Г. М.: Наука, 1974. - 831с.

58. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Пер. с англ. Кренкеля Т.Э. и Соловейчика А.А. Под ред. Кренкеля Т.Э. — М.: Постмаркет, 2000. 352с, ил.

59. Кузнецов А.П. Наглядные образы хаоса. // Соровский образовательный журнал, 2000. Т.6, №11. С. 104-110.

60. Кузнецов С.П. Динамический хаос. Курс лекций. М.: Наука, 2001. — 218с.

61. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. Пер. с англ. / Под ред. Чирикова Б.В. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. -528с.

62. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 266с.

63. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336с.

64. Мешков О.Ф. Некоторые вопросы теории обобщенных функций: Учебное пособие. Саратов: Изд-во СГУ, 2001. - 48с., ил.

65. Микиша A.M., Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов. М.: Рус. яз., 1989. -244с, ил.

66. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002.-320с.

67. Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: Специальные курсы. 2-е изд. СПб.: Изд-во "Лань", 2002. - 640с.

68. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. Введение. Пер. с англ. Изд. 2-е, стереотипное. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 344с.

69. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. М.: Просвещение, 1966. - 336 с.

70. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы.- Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 208с.

71. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. Череповец, Меркурий-ПРЕСС, 2000.

72. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. Пер. с англ. / Под ред., с предисл. и послесл. Ю.Л. Климонтовича. Изд. 2-е, доп. М.: Едиториал УРСС, 2002. - 288с.

73. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. Пер. с англ. Данилова Ю.А. 3-е изд. М.: Эдиториал УРСС, 2001.- 240с.

74. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. Пер. с англ. Изд. 3-е. -М.: Едиториал УРСС, 2001. 312с.

75. Пригожин И.Р. От классического хаоса к квантовому // Природа,1993, №2, С. 13-23.

76. Рохлин В.А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем. // Успехи мат. наук, 1967, тЗО, №2, с.57-128.

77. Рюэль Д. Случайность и хаос. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 192с.

78. Трубецков Д.И. Введение в синегретику. Хаос и структуры. / Предисл.Г.Г. Малинецкий. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240с. (Синергетика: от прошлого к будущему.)

79. Уитгекер Э.Т., Ватсон Дж.Н., Курс современного анализа: В 2-х ч.: Пер. с англ. / Под ред. Широкова Ф.В. Изд. 3-е. М., Едиториал УРСС, 2002

80. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М., Наука, 1987 - 544с.

81. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1. Пер. с англ. -М.: Мир, 1984. 528с., ил.

82. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.2. Пер. с англ. -М.: Мир, 1984. 738с., ил.

83. Харди Г. Расходящиеся ряды. М., Иностранная литература, 1951 - 504с.

84. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в популяционной биологии. М.: Наука, 1983. - 134 с.

85. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. - 216с.

86. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Пер. с англ. Данилова Ю.А., Логунова А.Р. Под ред. Борисова А.В. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.-528с.

87. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-240с, ил.856с.

88. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции. Справочник. Изд. 2-е, доп. Киев: Наукова думка, 1976. - 686с.

89. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ2

90. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. Формула Эйлера Маклорена в теории детерминированного хаоса // Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 7. С.74-76

91. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. О спектральной задаче для одного кусочно-линейного хаотического отображения И Вопросы прикладной физики: Межвуз. науч. сб. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 6. С. 33-35

92. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. О моделировании случайных процессов, основанных на броуновском движении // Моделирование: Сборник науч. статей. Саратов: Изд-во Исток-С, 2002. С. 3137

93. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. К решению спектральной задачи для эволюционного оператора методом производящих функций // Моделирование: Сборник науч. статей. Саратов: Изд-во Исток-С, 2002. С. 24-302

94. Никандрова Юлия Александровна до апреля 2004г. носила фамилию Барулина.

95. Голубенцев А.Ф., Аникин В.М., Барулина (Никандрова) Ю.А. Вероятностное описание хаотических генераторов биологических ритмов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. 2002. № 1. С.39-42

96. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Noyanova S.A., Barulina (Nikandrova) Yu.A. Baker Transformation as Autoregression System // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P.654-656

97. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Nikandrova) Yu.A. Regression Equations Modelling Diffusion Processes // Applied Surface Science 215 (2003) 185-109

98. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Nikandrova) Yu.A. Difference Scheme with Instant Transition "from Order to Chaos // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P.446-451

99. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Nikandrova) • Yu.A. Chaotic Maps Generating White Noise // International conference "Physics and Control". Proceedings. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P.452-455

100. Goloubentsev A.F., Anikin V.M., Barulina (Nikandrova) Yu.A. Chaotic Maps Generating White Noise // International conference "Physics and Control". Final program and Abstracts. Saint-Petersburg, Russia, August 20-22, 2003. P.75