автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Сложные системы с хаотическими элементами. Фазовые переходы хаос-локализация

Российская Академия наук Институт проблем передачи информации

РГ6 од

то Г ГГЦ ',007

с- Lui' Ma правах рукописи

БЛАНК МИХАИЛ ЛЬВОВИЧ

СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ С ХАОТИЧЕСКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ. ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ХАОС - ЛОКАЛИЗАЦИЯ.

Специальность 05.13.17 - Теоретические основы информатики

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук

Москва - 1997

Работа выполнена в Институте проблем передачи информации РАН

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор А.Ю.Веретенников Доктор физико-математических паук, профессор В.И. Оселедец Доктор физико-математических наук, профессор М.В. Меньшиков

Ведущая организация - Институт прикладной математики Р'АП

Защита состоится _ 1997 года в _часов на заседании

диссертационного совета Д.003.29.01 при Институте проблем передачи информации РАН по адресу: 101447 Москва, Б. Каретный пер., 19.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации РАН.

Автореферат разослан_ 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, Д.003.29.01

доктор технических наук, профессор Степанов С.И.

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1 Актуальность темы.

Б последние десятилетия все возрастающий интерес был адресован к динамическим системам, поведение которых обнаруживает статистические закономерности, несмотря на большое количество ранних пионерских результатов в этой области, полученных Пуанкаре, Бпрнгофом, Крыловым и другими. Следует отметить, что систематические работы по хаотической динамике начались только в конце 1050-х - начале 1960-х годов. Основные результаты и идеи, предложенные в этот период, принадлежат Колмогорову, Арнольду и Мозеру для гамильтоновых систем, н Эно и Сменлу для более общих диффеоморфизмов. Следует отметить также роль численных исследовании Лоренца хаотической динамики в детерминированных днеенна-тнвпых системах. Формализация статистических закономерностей, обнаруженных в задачах хаотической динамики, приводит к понятию стохастического аттрактора. К настоящему времени среди систем, имеющих стохастический аттрактор, наиболее глубоко изучены гладкие динамические системы с гиперболической структурой (13.М.Алексеев, Д.В.Аносов, Р.Боуэп, Д.Рюзль, Я.Г.Синай, С.Смейл).

Весьма интересна взаимосвязь между детерминистическим хаосом и случайным шумом, с одной стороны, и активным развитием численных методов для их анализа но экспериментальным данным, с другой. Отметим, что характер пространственных н временных переменных - дискретный или непрерывный, играет здесь чрезвычайно существенную роль. Другим предметом активного изучения в последнее время является хаотическое поведение в квантовых системах, и черты, которые характеризуют н ограничивают квантовые системы по сравнению с классическими. Неудивительно, что дискретная природа этого класса систем вновь привлекла внимание к проблеме дискретности фазового пространства при численном моделировании, которую мы детально обсуждаем в настоящей работе. Следует отметить также-еще одно недавно появившееся приложение - идея передачи информации при помощи хаотических колебаний. Оказывается, что, несмотря на их неустойчивость, специально подобранные генератор "хаоса" (кодер) и приемник сигнала (декодер) могут вести себя идентично. Это явление было открыто сравнительно недавно (в начале УО-х) и дало новый толчок развитию приложений методов хаотической динамики, особенно в ч'ом, что касается влияния дискретизации, неизбежной при цифровой передаче аналоговых сигналов.

Фундаментальной проблемой хаотической динамики является вопрос о том, каким способом физическая система, описываемая детерминированными уравнениями эволюции, может демонстрировать квазислучайное поведение. Ответ на этот вопрос состоит в том, что для хаотического отображения характерна чрезвычайно высокая чувствительность относительно начальных условий. Это означает, что малая неопределенность в начальном условии очень быстро (обычно экспоненциально быстро) растет со временем. Ввиду этого, если начальное условие было известно только с некоторой точностью, то поведение системы становится непредсказуемым после относительно небольшого интервала времени. В некотором смысле этот эффект

может рассматриваться как потеря информации относительно начальных условии.

Ввиду отмеченной "непредсказуемости", представляется более естественным описывать поведение хаотической системы при помощи статистических характеристик, нежели просто изучать динамику отдельных траекторий (которая может сильно зависеть от выбора траектории (начальной точки)). Заметим, что это наблюдение типнчно также для траекторий (реализаций) случайных процессов. Оказывается, что даже статистические свойства хаотической динамики могут быть весьма чувствительны по отношению к сколь угодно малым возмущениям (шуму). Мы рассмотрим различные типы этих возмущений, начиная с детерминированных (возмущения связанные со слабыми взаимодействиями, ошибки округления, квазислучайные возмущения), и кончая чисто случайными (случайный марковский аддитивный шум). Будет показано, что как устойчивость, так и неустойчивость могут проявляться под действием рассматриваемых возмущений. Под устойчивостью мы понимаем то, что статистические характеристики возмущенной системы сходятся к соответствующим характеристикам исходной системы, когда величина возмущения стремится к нулю. Неустойчивость же означает противоположный тип поведения. Следует заметить, что хаотичность обычно соответствует ситуации, когда "типичные" траектории "заполняют" большую часть фазового пространства. С этой точки зрения, неустойчивость, которую мы обсуждаем, приводит к тому, что траектории возмущенной системы "локализуются" в некоторой малой области (например, окрестности неустойчивой неподвижной точки), объем которой стремится к нулю вместе с величиной возмущения. С другой стороны, описанная ситуация может рассматриваться также и как стабилизация неустойчивого инвариантного множества (напомним тот же пример неустойчивой неподвижной точки).

Явление локализации разбивает фазовое пространство на дискретные инвариантные компоненты. Отметим, что это может произойти также в случае, если сама природа возмущения дискретна (как в случае ошибок округления), или, если рассматриваемое отображение является только аппроксимацией динамики на дискретном фазовом пространстве. Примеры последнего типа дает квантовое описание природных явлений, согласно которому пространство дискретно, а не непрерывно. Взаимосвязь между дискретностью и непрерывностью, с одной стороны, и устойчивостью и неустойчивостью, с другой стороны, являются основными объектами настоящей работы.

В изучаемых в диссертации примерах мы в основном рассматриваем кусочно растягивающие (одномерные или многомерные) отображения. Следует подчеркнуть, что подобный выбор примеров объясняется не просто интересом к этому специальному классу систем. С одной стороны, очевидный довод для их исследования - это их простота. С другой стороны, практически все явления, известные для хаотических динамических систем, могут быть обнаружены при анализе кусочно растягивающих отображений. Другим преимуществом этого класса систем является то, что для него разработан прямой операторный метод описания динамики мер и их плотностей. В наших исследованиях мы развиваем и активно используем этот метод. Интересно отметить также, что этот класс является практически единственным классом хаотических динамических систем с особенностями, для которых имеется

хороший контроль их статистических характеристик.

1.2 Цель работы

Целыо диссертационной работы является систематическое изучение эргоднческих свойств сложных (многокомпонентных) хаотических динамических систем с особенностями, и исследование устойчивости асимптотических свойств подобных систем относительно малых возмущений. О конечном итоге, построение теории, которая позволит с единой точки зрения рассматривать как статистические свойства исходной хаотической динамической системы, так и таких различных ее возмущений, как чисто случайные возмущения, детерминированные хаотические возмущения и возмущения типа ошибок округления.

1.3 Методы исследования

Основными методами исследования является применение аппарата теории вероятностей и теории динамических систем, а также теоретико числовые и комбинаторные методы. В доказательствах активно используются идеи и методы теории функции ограниченной вариации и их многомерные обобщения.

1.4 Научная новизна

Разработанные в диссертационной работе теоретические положения и методы анализа сложных многокомпонентных систем (в частности, анализ воздействия на пик ошибок округления) являются существенным вкладом в развитие фундаментальных исследований в области информатики. Выполненные исследования приводят к качественно новому уровню построения и анализа математических моделей сложных хаотических систем.

В диссертационной работе получены следующие основные научные результаты:

• Детально разработан операторный подход для изучения эргодических свойств (наличие гладкой инвариантной меры, выполнение ЦПТ, скорость убывания корреляций) сложных хаотических динамических систем с особенностями.

• Проведен анализ устойчивости хаотической динамики относительно малых случайных возмущений. Обнаружено явление "локализации" под действием подобных возмущений, приводящее к стабилизации неустойчивых инвариантных множеств (мер).

• Показано, что эффекты, связанные со слабым взаимодействием в СМЬ , близки и по природе и по результатам к эффектам, вызываемым чисто случайным шумом. Как и в предыдущем случае было обнаружено и исследовано явлении "локализации", возникающее при сколь угодно слабых взаимодействиях. Получены достаточные условия устойчивости конечных неоднородных СМЬ с общим графом взаимодействия локальных отображений.

• Исследовано влияние пространственных дискретизаций, описывающих возмущения типа ошибок округления, на хаотическую динамику. Описан ряд новых явлений, возникающих под действием сколь угодно малых возмущений этого типа. Отметим эффект "умножения периода", анализ статистической вероятности явлении, возникающих под действием ошибок округления, н построения версии теории KAM для случая ошибок округления,

• Проведен детальный анализ нескольких методов численного моделирования хаотической динамики. Отметим метод Улама, состоящий в аппроксимации детерминированной системы конечной цепью Маркова, и вопросы, связанные со свойством отслеживания траекторий динамической системы.

1.5 Практическая ценность.

Результаты и методы настоящей работы могут быть использованы при изучении статистических свойств многомерных динамических систем с особенностями, возникающих в биологии, гидродинамике, статистической физике, теории передачи информации и технике. Результаты, относящиеся к влиянию малых возмущений, могут быть использованы для исследования сходимости и устойчивости широкого круга вычислительных процессов.

1.6 Апробация работы.

Результаты диссертации многократно докладывались на научных семинарах по динамическим системам и эргодической теории при МГУ им. М.В.Ломоносова (19811996), на семинаре им. И.Г.Петровского (1994,1995) и семинаре Добрушинской математической лаборатории ИППИ РАН (1994-1997), на 4-ой школе-семинаре по взаимодействующим марковским процессам в биологии (Пущино, 1984), на 6-ом международном симпозиуме по теории информации (Ташкент, 1984), на 20-й международной конференции по математической геофизике (Villefranshe, 1994), международной конференции "Levy flights and relative phenomena in physics" (Nice, 1994), международной конференции "Динамические системы" (Москва, 1994), международном конгрессе по математической физике ICMP (Leipzig, 1991) и (Paris, 1994), международной конференции "Small-scale structures in three-dimensional hydro and magnetohydrodynamic turbulence" (Nice, 1995), международной конференции общества Бернулли (Vienna, 1996), международной конференции по дифференциальным уравнениям совместно с семинаром им. И.Г.Петровского (Москва, 1996), международном семинаре "Physics and Dynamics between Chaos, Order, and Noise" (Berlin, 1996).

1.7 Публикации

По теме диссертации опубликовано 34 печатных работы, в том числе монография "Discreteness and continuity in problems of chaotic dynamics" - Amer. Math. Soc. (ISSN: 0065-9282), 1997, 161 c.

1.8 Структура диссертации

Диссертация состоит из шести глав, изложенных иа 205 страницах, содержит 21 рисунок [г библиографию из 106 наименований.

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава представляет собой короткий обзор базовых понятий хаотической динамики и основных объектов, рассматриваемых в диссертационной работе.

Основная идея современного анализа задач хаотической динамики состоит в том, чтобы описывать сложное поведение траекторий нелинейных динамических систем при помощи методов, заимствованных из статистической механики. Основания этого подхода восходят к работам Синая, Рюэлля и Боуэна в начале 70-х годов. Для описания хаотического поведения используются такие типично термодинамические понятия, как энтропия, свободная энергия, убывание корреляций, инвариантная мера, и т.д. Некоторые из этих понятий уже и раньше были приняты в таких разделах математики, как общая статистика и теория информации.

Во-первых, ответим на вопрос, что мы имеем в виду под хаотической системой, или хаотическим отображением. Мы будем рассматривать только динамические системы с дискретным временем, то есть пары (/, А'), где А' С К' - это компактное фазовое пространство (например, X = [0,1)''), а / : X —> X - это несингулярное отображение, итерации которого определяют траектории динамической системы. Несингулярность отображения означает, что т(/~1А) > 0 для любого измеримого множества Л С А' с положительной мерой Лебега т(А) > 0.

Пас в основном будут интересовать асимптотические (когда время стремится к бесконечности) свойства рассматриваемых систем. Главный объект интереса здесь это аттрактор системы, т.е., такое замкнутое подмножество А С А', что имеется открытая окрестность V (область притяжения) этого множества, обладающая следующими свойствами: /11 С С/ и (Из1;(/пх,Л) -» 0 при п -юо для любой точки х 6 1!. Простейшим примером аттрактора является устойчивая неподвижная точка нли устойчивый цикл (периодическая траектория). Ответим теперь на вопрос, что мы имеем в виду, говоря, что система является хаотической. Грубо говоря, это означает, что типичная траектория системы может рассматриваться как реализация чисто случайного процесса (например, цепи Маркова). Имеется много определении этого тппа поведения. В настоящей работе мы будем использовать определение, основанное на понятии стохастического аттрактора, введенном Я.Г.Синаем (смотри также [11]). Определим действие нашей системы в пространстве вероятностных мер М(А') с носителем в X. Обраа меры ^ € М(Х) под действием отображения / определяется как (//1)(А) ^(/_1Л) для любого измеримого множества А. Отметим, что мера р. является /-инвариантной тогда и только тогда, когда = р. Под стохастическим аттрактором понимается пара (А,/*/), состоящая из замкнутого множества КС X и вероятностной меры ¿1/, таких что

(а) А - это аттрактор отображения / с областью притяжения Ц С А';

(б) под действием отображения / образы любой гладкой (абсолютно непрерывной по отношению к мере Лебега) вероятностной меры /( 6 М[X) с носителем в U слабо сходятся в среднем по Чезаро к мере /1/:

1 Л_1

- £ /V /I/;

(в) имеется разбиение множества Л на непересекающиеся /"-инвариантные подмножества Л.1,...,Л„, такие что /Л; = Л,>1 при г < и и /Л„ = Лv; и система (/",Л|,/«у), ограниченная на Л,-, является слабо перемешивающей при любом г.

Мера /;/, фигурирующая в этом определении, часто называется мерой Синая-Боуэиа-Рюэлля (СВР ) . Обычно для хаотических динамических систем эта мера является гладкой (абсолютно непрерывной по отношению к мере Лебега на неустойчивом многообразии).

Какие еще (дополнительно к существованию гладкой СВР меры) статистические свойства можно потребовать от детерминированной динамической системы (/, Л',/i)? Список подобных свойств обычно включает следующие понятия:

• Эргодичность: Нт„_юо ; ХГыо ¡.i(f~hA Л В) = р.(А)^{В) для всех измеримых подмножеств А, В С. X. Другими словами,

S&ñ'f JЬ(/*(*№*Ш*) = /Adfi J Нdp

для любой пары квадратично интегрируемых тест функций Л, II £ Ъ2(Х,р).

Перемешивание: lim„-n»/i(/~"/4 П В) = ft{A)¡i{B) для всех измеримых подмножеств А, В. Другими словами,

~ Шп I h{Jn) II dtt = J h dfi J II d¡i

для любой пары квадратично интегрируемых тест функции Л,// £ LJ(.Y,fi). Центральная предельная теорема (ЦПТ'): Пусть S„(/i,i) = £"=о М/'1)- Тогда Sn(h,x) - n(S„(h})__

•Je

Напомним, что Cov(S„(/i)) = ^(S„(/i)J) — ¿i(S„(/i))J. Кроме того, Cov(S„(/i)) = na\ + °(п)> гДе

o\ = Caa(0)+2¿Cm(Í;) <oo

ifc=i

это асимптотическая дисперсия, а

Сл.яМ = /*(А(/*)Я) - ,<(%(#)

это корремционная функция для двух наблюдаемых /г и Я.

Шп /Í{.t: < > f Л

,/rws'~ Y/5* /-<»

• Принцип слабой инвариантности: Для любого .г £ А' рассмотрим кусочно линейную функцию 1'К„(Д,¿), г е [0,1], принимающую значения

Щк.к/п) = Щ

при к = 0,1,...,)!, и являющуюся линейной функцией между точками к/п и (к + 1 )/п при всех 0 < к < п — I. Тогда {№'„} индуцирует меру в пространстве непрерывных функции на [0,1]. Принцнп слабой инвариантности утверждает, что эта мера слабо сходится к мере Винера при п -> оо. Другими словами, частичные суммы процесса {5„} после правильной нормировки в пространстве и времени сходятся но распределению к процессу Винера. Это утверждение может быть также названо функциональной ЦПТ.

• Положительность (объемных) показателей Ляпунова.

• Стохастическая устойчивость; устойчивость статистических характеристик хаотической динамики относительно малых случайных возмущений.

Скорость убывания корреляций (перемешивания) играет критическую роль в статистической физике, отметим, например, ее роль в изучении скорости релаксации и вычислении коэффициентов переноса для динамических переменных. Выполнение центральной предельной теоремы является одним из центральных мест при изучении диффузии и при статистическом анализе динамических систем. Принцип слабой инвариантности дает возможность аппроксимировать поведение детерминированной динамической системы при помощи броуновского движения для больших пространственных и временных шкал. В статистической физике подобное пространственно-временное шкалирование часто означает переход от микроскопических временных шкал к макроскопическим. В результате вполне детерминированная модель может вести себя на макроскопической временной шкале как броуновское движение.

Во второй главе дается детальное описание операторного подхода в хаотической динамике.

Хорошо известный метод символической динамики недостаточно эффективен при изучении отображений, не являющихся взаимно однозначными и (или) имеющих разрывы или критические точки. Несмотря на большое число статей посвященных этой тематике, для отображений с особенностями существенные результаты были получены при помощи метода символической динамики только для биллиардных динамических систем и для 1-мерных марковских отображений. Мы полагаем, что операторный подход более естественен и удобен для анализа отображений с особенностями, особенно в многомерном случае.

В первом разделе этой главы изучается оператор Перрона-Фробениуса и его свойства.

Обозначим через т = т^ ¿-мерную меру Лебега на единичном (/-мерном торе (кубе) X с равномерной нормой |х| = тах{|.т,| : х 6 Ш.1*}, а через Ь'(А') = (Ь1 (А', т), ||-| - Банахово пространство интегрируемых по Лебегу функций. Пусть / - это несингулярное преобразование А' в себя, то есть, из т(А) = 0 следует ?п(/~'А) = 0 для

любого Борелевского множества А. Обозначим через /" - п-уго итерацию /, через /¡(У, к) - интеграл 1г др., и через с1/.1/с1т - плотность меры /1 по отношению к мере т (если эта плотность существует).

Определим оператор Перрона-Фробеннуса Р/ : Ь'(Х) Ь'(Л'), соответствующий отображению / : А' X, как

J ¡рРу/г с1т = J Л(.г) ¥>(/.г')Лт

для всех к 6 Ь1(А') и 6 ЬГ-°(А'), где ЬК,(А') = (Ьсо(Л')1 Н-Ц^) обозначает Банахово пространство »«-существенно ограниченных функций.

Абстрактнад зргодическая теорема Иоиеску-Тульчи и Марг.песку, которую мы сейчас сформулируем, дает возможность в целом ряде случаев получить весьма эффективное описание свойств оператора Перрона-Фробениуса.

Теорема 2.2.1. Пусть (-64,11 • ||+) и (В.,|| • ||.) - эта два Банаховых пространства, где В. плотно в и пусть замкнутый шар из В. компактен в топологии пространства В+. Пусть Р : В+ —> - ограниченный линейный оператор, 8ир„ ||Р"||+ < оо, Р В. С В. и предположим, что найдутся такие действительные числа 0<г<1,Л<оо и такое натуральное что

1|Р"Л||.<г||Л||.+ Я||Л||+ (1)

дм всех 1г £ В.. Тогда справедлива декомпозиция В+ = В° + В\. а виде прялюй суммы инвариантных подпространств со следующими свойствами:

(а) найдутся 0 < д < 1, < оо, такие что для любого натурального числа п справедливо:

(б) в; С В., сПт(В|) < оо и Р|01 - диагонализуемый оператор с унитарным спектром.

Эта модификация формулировки теоремы появилась впервые в [18|. Как мы увидим позже, неравенство (1) играет очень важную роль в операторном подходе, и мы в дальнейшем будем ссылаться на него как на ключевое неравенство. Следующее простое утверждение удобно для приложений теоремы 2.2.1.

Лемма 3.3.1. Пусть имеется конус В£ о В+, и оператор Р : —> В£, такие что ||Р/>||+ = ||Л||+ для всех Л б Тогда при выполнении условий теоремы 8.3.1 найдется функция € В+, такая что Р/г+ = Л+, то есть, Р имеет единичное собственное значение.

Эти результаты показывают, что, если оператор Перрона-Фробениуса удовлетворяет условиям теоремы 2.2.1, то мы немедленно получаем его спектральное представление в виде суммы конечномерных проекторов и сжимающего оператора. Последнее представление совпадает со спектральным представлением оператора перехода стохастического марковского процесса, удовлетворяющего условию Деблина.

Поэтому, с одной стороны, все методы разработанные для марковских стохастических процессов могут быть применены в этой ситуации, и, с другой стороны, это соображение позволяет применять один и тот же подход для анализа эргоднческпх свойств детерминированных динамических систем п их случайных возмущении.

Опишем некоторые приложения теоремы Монеску-Тульчи и Маринеску к анализу статистических свойств хаотических отображений.

Пусть / : Л' -* Л' - это несингулярное отображение, такое что его оператор Перрона-Фробеннуса Р/ удовлетворяет условиям теоремы 2.2.1 на паре Банаховых пространств (ß+,|| • ||+) и (В., || • ||,), чьи свойства мы специализируем ниже.

При нашем подходе мы часто используем следующие предположения о пространствах (ß+,|| • ||+) п (В.,|| • ||.) (или некоторые из них) :

(Л1) В+ - это пространство функций Л : X IR1, и определено непрерывное отображение ж : {Ü+, || • ||+) (L'(A'), IHli), такое что ||/i||+ = ЦетЛП, для Л € Ü+;

(Л2) - < IK'II* Для любого измеримого разбиения {51}

пространства А', любой гладкой меры ¡1, и любой функции Ii £ В.;

(A3) ||/ilv||. < П(К)||Л||. + Q(K)||ftli'||+, для любой измеримой области У С X, где функционалы П(У) и О(Y) зависят только от области Y.

Определение Область К С А' называется регулярной (по отношению к пространствам (ß+,|| • ||+) и (Д., || • ||.)), если значения функционалов П(У) и 0(У), определенных в предположении (A3), конечны.

Определение Разбиение компакта X на непересекающиеся открытые связные регулярные области А'; называется специальным разбиением для отображения / : X —> Л', если для каждого г ограничение /; = /|/nf(Arj) отображения / на внутреннюю часть области А',- является гомеоморфизмом множества Int(Xi) на его образ.

Теорема 2.S.S. Пусть динамическая система (/,А') удовлетворяет свойству слабого перемешивания и пусть выполнено предположение (AI). Тогда найдется функция Л. 6 В,, такая что P/h, = h,, и для каждой функции h 6 В+, удовлетворяющей условиям h > 0 и ||/i||+ = 1, средние по Чезаро

, п-1

А» =-ЕР/Л

п к=а

сходятся в || ■ H+-KOj).«e к функции Ii, 6 В, при п оо.

Определение n-ым коэффициентом корреляции для динамической системы (/, Х,р) и достаточно гладких тест-функций Ii, Н : X -»• IR1 называется функционал

Л-}я)(/г,Я) = И(Ло/")Я)-^(/1МЯ)|,

где ц{h) = ц(Х,1г).

Теорема 2.8.3. ('Экспоненциальное убывание корреляций) Пусть динамическая система (/, Х,т) с конечным специальным разбиением {Л',}^, обладает свойством слабого перемешивания, и пусть выполнены предположения (AJ)-(A3). Тогда найдутся постоянные А, В > 0, такие что для любых двух Митиицевых функций h,H : X —> !Rl выполняется следующий неравенство:

&f\h,H) < A (Lip(fc) + ||/i|U(LiP(H) + |]//||JeXp(-B»),

где

Класс тест-функций в теореме 2.2.3 не может быть существенно расширен, поскольку даже в случае гиперболического автоморфизма тора известны примеры тест-функций из L'(A') с произвольно медленным убыванием корреляций.

Сформулируем теперь центральную предельную теорему (ЦПТ) для рассматриваемого класса детерминированных динамических систем.

Определение Будем говорить, что для динамической системы (/, А', /() выполняется ЦПТ, если для любой достаточно гладкой функции h : X —» HI1

= - /<(/»))2 + 2 f>( (Л - /#))(/> о f - /((/г))) < оо t= 1

и, если s ф 0, то для любого действительного числа t

оо

Иш „{* : 1> о /"(.г-) - /<(Л))/(^) < <}

к=0

= (2ТГ)-1/2 Г ехр(—л,2/2) dx.

J-ОО

Теорема 2.2.4■ (ЦПТ) Пусть ¿инали-ческад система (/, X, р) удовлетворяет условиям теоремы 2.2.3 и предположим дополнительно, что конечное специальное разбиение {Х;}-^., для отображены f является равномерно генерирующим, то есть, иэлельчение

п-ого прообраза разбиения {X,} под действием f удовлетворяет неравенству

diam(A'!n)) < Vdqn

с той же постоянной q. Тогда ЦПТ выполняется для этой системы для класса Липшицевых тест-функций h : Lip(/i) < оо.

Отметим, что предположение (А1) показывает, что пространство (В+,|| • ||+) должно быть близко по свойствам к (L^A'), ||-||,), а предположения (А2) и (A3) демонстрируют, что второе пространство (£f,, || • ||.) является пространством типа пространства функций ограниченной вариации. Практически во всех рассматриваемых приложениях мы будем иметь дело с некоторыми вариантами или обобщениями этих двух пространств.

В третьем разделе главы 2 приводится ряд (многомерных) обобщений теории функций ограниченной вариации. Введем следующие обозначения:

/,(!', Л) =frh(x)dp(x)\ р(К)=МУ,1); Овс(Л, У, х) = вир{|Л(я) - %)| : у € У}; Osc(/i,V) = esssup{ Osc(/i, У,.т) : a: G У};

Z?«(.x) = {;/ 6 A' : \x — j/| < i}; W(h, Y,t) = Jv Osc(/>, B,(.r) П У, s) c/i;

var(/j, У) = ^ lira sup inf (-Щ/i, У,«) : A 6 Л С L1! ;

о i-»o л I i J

var(fc) = vai(/i, A'), ||ft||K = var(A) + ||/i||, , ||/i||, = m(A', |Л|).

Через ЗУ обозначим границу области У С X, а через dim-i(s) - дифференциал по отношению к мере Лебега m := mj на гиперповерхности коразмерности 1.

Определение Функционал var(/i, У) называется обобщенной вариацией (или просто вариацией) функции Л на множестве У.

В дальнейшем в этом разделе мы будем предполагать, что ||Л||ОТ < °о. В четвертом разделе главы 2 вводятся и изучаются кусочно растягивающие отображения.

Определение Отображение / называется конечно (счетно) кусочно С1 , если

(а) имеется конечное (счетное) специальное разбиение {АГ,-^jj

(б) /( = /|Int(A',) является С'-диффеоморфизмом;

(в) найдется число С < оо, такое что для всех х б А',- выполняется следующее неравенство:

Osc(| det(D/)|, Bt(x) П X¡, х)

limsup---~ С <<х>.

i->o ¿ I defc(Z7/(.Tj)|

Здесь 1пЬ(У) обозначает внутреннюю часть области У, Df - матрица Якоби отображения /, a det(/l) - это определитель матрицы А.

Определение Отображение / называется кусочно растягивающим (КР ) с коэффициентом растяжения А = Xj > 0, если оно является кусочно С'-отображением, и образы элементов его специального разбиения регулярны; и для всех .т 6 U¡(/nt(X¡) матрица Якоби DJ отображения / является A-растягивающей. Последнее означает, что для любого вектора £ £ ^выполняется неравенство |Df > А|£|.

Лемма 24.1. Оператор Перропа-Фробениуса Р/ кусочно растягивающего отображения / со специальным разбиением {А',} может быть представлен в следующем виде:

р/ги=2:/г(/-1.т)/(/Г1.т)1№(х)1 ■

где J(gx) := |с1е1(Д;(.г'))| - Якобиан отображетш д, а 1у(&) - характеристическая функция множества У.

Теорема 2.^.1. Пусть / - кусочно растягивающее отображение с конечным специальным разбиением {А,}, и пусть динамхтеская система (/, А') явмется слабо перемешивающей. Тогда найдется число А0, зависящее только от этого специального разбиения, такое что, если коэффициент растяжения Ау удовлетворяет условию X/ > Ао, то отображение / имеет гладкую инвариантную меру /1, и скорость убывания корреляций по отношению к этой мере экспоненциальна. Кроме того, относительно меры /.I выполнена ЦПТ.

Рассмотрим несколько контрпримеров.

Лемма 2.6.1. Пусть размерность фазового пространства с1 > 1. Тогда существует кусочно С1 -отображение / с произвольно большим коэффициентом растяжения А/, не имеющее гладкой /-инвариантной меры.

Следующий результат показывает, что даже в 1-мерном случае, если специальное разбиение не является конечным, имеются примеры кусочно растягивающих отображении с произвольно большими коэффициентами растяжения, не имеющих гладкой вероятностной инвариантной меры.

Теорема 2.6.1. Дм любого А > 1 имеется кусочно растягивающее кусочно линейное отображение } со счетным марковским разбиением и с коэффициентом растяжения большим А, такое что под действием отображения любая гладкая вероятностная мера сходится к дельта-мере с носителем в одной точке.

В главе 3 изучаются случайные возмущения динамических систем. В первом разделе даются общие определения и приводится краткий обзор результатов относительно устойчивости стохастических аттракторов гладких гиперболических динамических систем.

Определение Пусть @е(х,А) это семейство переходных вероятностен (из точки х 6 А' в Борелевское множество Л), и пусть / : А' —> А' это некоторое несингулярное отображение. Марковский процесс /, на фазовом пространстве X, определенный переходными вероятностями С2с(/х, А), называется случайным возмущением динамической системы (/, А).

Часто определяются два различных оператора, соответствующих марковскому процессу с переходными вероятностями А). Первый из них - это, так называемый, оператор условного математического ожидания:

Л(-) /

Второй - это оператор перехода (трансфер-оператор), который определяет динамику плотностей мер под действием марковского процесса. Этот оператор, который мы обозначим той же буквой С}с, определяется следующим образом:

I &/»(*) Ах := <5.(2/. АЩу) <1у

для любого Борелевского множества А и интегрируемой функции к 6 Ь1. Нас в основном будут интересовать возмущения малые в том смысле, что

||<2с'» - '»П] 0 при £ —> 0 для любого Л 6 Ь', (2)

где ||-||, обозначает Ь'-норму. Дополнительно мы предположим, что рассматриваемые возмущения локальны, то есть,

<2с(х, Д) = 0 для любой пары, (.г, А), такой что сПб^т, А) > е. (3)

Поэтому параметр £ здесь играет роль "амплитуды" возмущения. Однако это условие локальности не влечет стохастической устойчивости даже для очень "хороших" гладких хаотических отображений. Поэтому для того, чтобы получить какую бы то ни было стохастическую устойчивость, возмущения должны удовлетворять как минимум некоторым условиям типа перемешивания (например, условию тина Деблппа). Одно из наиболее общих предположений этого типа для случайных возмущений было предложено впервые в [25]:

\ai\Qch) < уаг(/г) + С ЦЛЦ, (условие регулярности) (4)

для любой функции Л ограниченной вариации (уаг(/г) < оо).

Лемма 3.2.1 (смотри ниже) дает достаточное условие для нашего предположения (4) о регулярности и показывает, что переходные вероятности должны быть не слишком далеки от переходных вероятностей типа свертки (то есть, от трансляцн-ошго инвариантных: £?(х + Л + £) = (](х, А)). Отметим, что в последнем случае постоянная С в неравенстве (4) равна нулю. Поэтому соответствующий оператор перехода не увеличивает вариацию для любой функции к € ВУ .

Во втором разделе изучаются случайные возмущения динамических систем с особенностями.

Теорема 3.2.3. Пусть кусочно растягивающее отображение / с коэффициентом растяжения Ау удовлетворяет предположениям теоремы 2.4-1 и А/ > До (определенной в теореме 3-4-1), в то время как оператор перехода случайного возмущения (¿е удовлетворяет предположению о регулярности (4)- Тогда, д^ия каждого достаточно малого с > 0, стохастически возмущенная система имеет единственную гладкую инвариантную меру ре, и меры ре слабо сходятся к единственной гладкой инвариантной мере /1. исходной системы при е0.

Сравнивая условия теорем 3.2.3 и 2.4.1, мы видим, что в действительности мы доказали устойчивость СВР меры ц, относительно случайных возмущений при тех же самых предположениях относительно отображения /, что и при доказательстве существования гладкой инвариантной меры. Конечно, теорема 3.2.3 дает только достаточные условия стохастической устойчивости, например, предположение о том, что коэффициент растяжения является достаточно большим (А/ > А0), может быть значительно ослаблено. Мы проанализируем это позже для случал 1-мерных отображений п решеток отображений.

Обсудим теперь условие регулярности. Рассмотрим случайный марковский процесс на (¡-мерном единичном торе (кубе) X с плотностями переходных вероятностей q(x,y). Тогда / q(x,y)dy = 1, я оператор перехода Q : L'(.V) L'(Л') имеет вид: Qh(x) = fh(y)q(y,x)dy.

Лемма 3.2.1. Пусть имеется постоянная 0 < С < оо, такая что

В следующем разделе приводятся контрпримеры к теореме об устойчивости и описывается явление стабилизации сингулярных инвариантных мер (локализации).

Покажем, что далее для сколь угодно гладкого хаотического отображения и абсолютно непрерывных возмущений условие локальности (3) само по себе еще не влечет стохастической устойчивости. Более того, невыполнение условия регулярности может привести к абсолютно другому типу поведения возмущенной системы, когда имеет место явление локализации (то есть, стабилизации сингулярной инвариантной меры с носителем на неустойчивой периодической траектории).

Лемма 3.3.1. Предположим, что отображение f : X —► Л' 6 RJ luiecm цикл (периодическую траекторию) с = ci,...,c„ и удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности этого цикла. Тогда имеется семейство локальных случайных возмущений с плотностями вероятностей перехода qe[x,y), Ли которого возмущенная система имеет гладкую инвариантную меру сходящуюся к S-мере на этом цикле при е —» 0.

Поэтому для стохастической устойчивости необходимы дополнительные предположения, препятствующие действию возмущения в точности против детерминированной динамики системы. Это и является одной из главных целей введения нашего условия регулярности (4).

Однако даже этого условия регулярности недостаточно для стохастической устойчивости. Зафиксируем число 10 < ¡3 < оо и рассмотрим следующее семейство плотностей переходных вероятностей:

(5)

для любой пары точек у, z 6 Л'. Тогда

var{Qh)< vav(h) + С ЦЛЦ,.

если (1 - i)e < -х + у < (1 4 £)е;

иначе .

Отметим, что случайные возмущения с подобными плотностями переходных вероятностей (типа свертки) обладают очень сильными перемешивающими свойствами, в частности, экспоненциальной скоростью убывания корреляций.

Лемма 3.3.2. [25] Пусть 1 < X < 2 — 1//3, и пусть отобраокенче / определяется следующим образом:

П-ТГЩ, если 0 <х < (1 - 1/А)/2; /(г-) = | Л® - если (1 - 1/А)/2 < < 1/2; (7)

(,/(1 — .г), иначе.

Тогда, при всех достаточно малых е > 0, возмущенное отображение /£ имеет единственную инвариантную меру, сходящуюся к 5-мере в точке 1/2 при е —> 0.

Отметим, что при |/'(.т:)| = А < 2 в некоторой окрестности неподвижной точки с 6 X отображение / в некотором смысле не является растягивающим, поскольку оно отображает любую достаточно малую симметричную окрестность / неподвижной точки в интервал /1 меньшей длины: .

В более широком контексте, неравенство |//| < |/| может быть интерпретировано как "перемешивание" устойчивого и неустойчивого многообразий под действием случайных возмущений. Действительно, в окрестности неподвижной (или периодической) точки устойчивое и неустойчивое многообразия подходят произвольно близко друг к другу. Поэтому произвольно малое (в С0 топологии) возмущение может сдвинуть точку, лежащую на устойчивом многообразии, па неустойчивое, и наоборот. Следующая теорема иллюстрирует эту идею.

Теорема 3.3.1. Пусть С%-гладкое отобраэюение / : В/ И1' имеет гиперболическую неподвижную точку с € И1', такую что линейная часть отображения Ос/ в этой точке удовлетворяет следующим условиям:

И' = Е'с + £с", сИт(Е'с) > с1т(Е») = И,

|£>с/(.г)[ < А,|а:| для всех х 6 Е',

*«\х\ < \DJix)| < Л„|х| для всех х 6

и АаЛ„ < 1. Тогда имеется семейство локальных перемешивающих случайных е-возмугцений, такое что дм всех достаточно малых £ > 0 е-возмущенное отображение /е имеет гладкую инвариантную меру в малой окрестности точки с, и эти .иеры сходятся к дельта-мере в топке с при 6 —V 0.

Четвертый раздел главы 3 посвящен более детальному анализу случайных возмущений общих 1-мерных кусочно растягивающих отображений.

Как уже было отмечено, предположение о том, что коэффициент растяжения должен быть больше чем До > 1 в теореме 3.2.3, может быть существенно ослаблено. Наиболее полно этот вопрос удается исследовать в случае 1-мерных кусочно растягивающих отображений. (Напомним, что Ао = 2 при с( = 1.) Действительно, в этом случае мы можем доказать существование гладкой СВР меры для кусочно растягивающего отображения с произвольно малым (но положительным) коэффициентом растяжения. Однако пример, изученный в лемме 3.3.2, показывает, что при этом система может оказаться стохастически неустойчивой, и для устойчивости, как минимум, необходимы некоторые дополнительные предположения.

При анализе контрпримера в лемме 3.3.2 становится ясно, что основным препятствием для стохастической устойчивости является наличие неподвижных (млн, в общем случае, периодических) точек, в которых производная отображения / не определена. А именно, под действием случайных возмущений около этих периодических точек могут появиться."ловушки" или "абсорбирующие множества", что приводит к появлению новых эргодических компонент возмущенной системы.

Определение Точкой поворота отображения / называется точка, в которой производная отображения не определена. Множество точек поворота мы обозначим через ТП , а множество периодических точек поворота через ПТП .

В этом разделе мы рассматриваем три различных предположения о "гиперболичности" отображения /:

• / 6 Я«,, если / - общее КР отображение;

• / £ ЯI, если / - КР отображение с А/ > 1;

• / £ Я£,, если / - КР отображение, и найдется число А > 1, такое что |/'(/е Х)1 ^ А" для каждой е-траекторни (/^(ыд,....

Ясно, что Н1 С Н'^С Я«.

Мы будем предполагать, что все возмущения С}е удовлетворяют условиям (2), (3) и (4).

Теорема 3-4-1. Пусть / £ Я«,, ПТП = 0, и предположим, что / имеет единственную гладкую СВР меру /Л/. Тогда для любого достаточно малого £ > 0 возмущенная система /е также имеет гладкую инвариантную СВР меру сходящуюся слабо при £->0 к гладкой СВР мере /</.

Этот результат позволяет изучать стохастическую устойчивость КР отображений с маленькими коэффициентами растяжения, а также показывает, что единственным топологическим препятствием для стохастической устойчивости статистических свойств 1-мерного КР отображения является существование периодических точек поворота. Соответственно, типичное 1-мерное КР отображение устойчиво (поскольку для него ПТП = 0). Однако, для того чтобы изучать свойство устойчивости для семейств отображений (а не только отдельного отображения), необходимо

также рассматривать отображения с периодическими точками поворота. Поэтому мы вводим следующее предположение типа случайного блуждания RW :

Семейство Q, (е > 0) принадлежит к классу R.W , если найдутся такие постоянные 0 < 9,6 < 1, что

Qe(.tr, [0, x - 0г]) > 5, Qt(z,[.t + Be, 1]) > 8 при всех х. (S)

Для следующих двух теорем мы предположим дополнительно, что имеет место локальный вариант условия (4).

Теорема 3.4-2. Пусть f 6 ПТП не обязательно пусто, и предположим, ■что переходные вероятности Qc принадлежат к классу RW и имеют плотности qt(x,y), удовлетворяющие неравенству

var(i/t-> qc(x,y)) < — при всех х .

Тогда для любого достаточно малого е > 0 возмущенная система fc имеет гладкую инвариантную СВР меру fie, сходящуюся слабо к гладкой СБР мере р./ при £ —» 0.

Для того, чтобы сформулировать результаты о более общих сингулярных возмущениях, нам необходимо понятие ренормализуемости. Грубо говоря, ренормалн-зуемость означает, что для любого достаточно малого £ > 0 отображение (и возмущение) может быть ренормализовано к фиксированному виду в малой окрестности (порядка е) периодической точки поворота.

Теорема 3.4.3. Пусть / £ HПТП не обязательно пусто, и Qc 6 RW. Тогда djui любого достаточно малого s > 0 возмущенная система /е имеет гладкую инвариантную СБР меру fic, и оператор перехода QcР удовлетворяет неравенству типа JIacoma-Йорке. Если, дополнительно, как отображение, так и возлцщения ренормализуемы, то мера fit сходится слабо при е —¥ 0 к гладкой СБР мере /1/.

В главе 4 проводится анализ многокомпонентных систем со слабым взаимодействием.

Недавно для изучения сложных динамических явлений был введен и получил широкое распространение новый класс моделей - многокомпонентные системы со слабым взаимодействием. Согласно латинской аббревиатуре, мы будем обозначать подобные системы CML (coupled map lattices). Математический анализ эргодических свойств подобных систем был впервые проведен при помощи идей и методов статистической физики Я.Г.Синаем и Л.А.Бунимовичем (для однородных гладких CML ) и в дальнейшем был продолжен в целом ряде работ. Основным результатом, полученным в этих работах, было доказательство устойчивости статистических свойств CML в пределе слабого взаимодействия. В этой главе мы изучаем эргодические свойства конечных неоднородных CML с общим графом связей их элементов в пределе слабого взаимодействия и показываем, что в подобных системах могут наблюдаться

обобщенные фазовые переходы типа хаос - локализация. Впервые это явление было обнаружено и исследовано в [24].

Начнем с обсуждения природы явления локализации. Предположим, для начала, что в отсутствии взаимодействия наша система является прямым произведением одинаковых гиперболических отображений. Рассмотрим периодическую траекторию этого отображения, в малой окрестности которой отображение строго гиперболично. Тогда около любой точки этой траектории локальные устойчивые и неустойчивые многообразия подходят произвольно близко одно к другому. Поэтому устойчивые и неустойчивые направления могут быть "перемешаны" под действием произвольно малых возмущений. В результате динамика системы определяется тем, является ли сжатие сильнее чем растяжение (что ведет к локализации), или наоборот (что ведет к устойчивости гиперболического поведения). CML , которые мы будем рассматривать, не обязательно будут удовлетворять условиям гиперболичности, но аналогичную роль здесь играет отсутствие свойства локального растяжения. Отсутствие локального растяжения объясняет различие между ситуациями, описанными в теоремах 4.1.1 и 4.1.2 ниже. Для того, чтобы показать, что явление локализации в CML не является чем-то экзотическим, характерным только для разрывных отображений, мы доказываем его также для хорошо известного семейства логистических отображений.

Пусть fi'X—)X = [0,1] это последовательность 1-мерных несингулярных отображений единичного интервала в себя. Обозначим через Xd прямое произведение этих интервалов, и пусть х = (xi,...,Xi) £ Xd это точка в полученном прямом произведении.

Определение Под многокомпонентной системой со слабым взаимодействием (CML ) мы будем понимать отображение Ft : Xd —> Xd определенное формулой:

Fc(x) = Ф£ о F(;г),

где отображение F это прямое произведение отображений /,- (то есть, (F(x))j := fi(xi)), а отображение Ф£ : Xi —> Xi, описывающие взаимодействие, определяется как

(Ф»5){ = (1 -ф;

j

Здесь стохастическая матрица Г = (7¡,), описывает граф связей между отдельными отображениями /¡, которые мы будем называть локальными отображениями.

Матрица Г не обязательно должна быть симметричной, поэтому связи (взаимодействия) могут быть ориентированы. Мы, в основном, будем рассматривать CML , локальные отображения которых являются кусочно растягивающими (КР ) отображениями. Отметим, что результаты этой главы могут рассматриваться как анализ устойчивости статистических свойств КР отображений по отношению к малым хаотическим детерминированным возмущениям. Действительно, каждое из локальных отображений является хаотическим, a CML в целом, ввиду наличия связей между элементами, может обладать более сложным поведением.

Зафиксируем последовательность отображений /,• и матрицу Г. Ясно, что для достаточно малого е > О, отображение Р, является кусочно растягивающим ¿-мерным отображением. Если мы предположим также, что все А/( > А, которое также является достаточно большим (в действительности, много большим 1), то все эргоди-ческие свойства соответствующих СМЬ следуют из общей теории многомерных КР отображений (смотри главу 2). Однако мы знаем только, что коэффициенты растяжения \¡¡ положительны и превосходят 1 для некоторой итерации отображения /,-. Поэтому общие утверждения не могут быть применены в этом случае, и для анализа СМЬ нужно воспользоваться характерной структурой отображения Рс. В дальнейшем мы будем предполагать, что каждое отображение /,- имеет только одну СВР меру р,-.

Начнем с хорошо известного результата.

Теорема 4ЛЛ. [Щ] Пусть А> А > 2 для всех 1. Тогда для любого достаточно ,чалого е СМЬ ^ имеет гладкую инвариантную СВР меру цс, сходящуюся слабо при 6 0 к прямому произведению 1-мерпых гладких СВР мер Ц{.

Основным результатом этой главы являются следующие утверждения, обобщающие теорему 4.1.1 и показывающие необходимость некоторых дополнительных предположений для устойчивости прямого произведения СВР мер /1,- относительно рассматриваемого класса возмущений.

Теорема 4-[34] Пусть для любого г коэффициенты растяжения КР отображений /,• отделены от нуля А/. > А > 0, и нет периодических точек поворота. Тогда для любого достаточно малого е > О СМЬ имеет гладкую инвариантную СВР меру ¡.I,, сходящуюся слабо при £ 0 к прямому произведению 1-мерных гладких СВР мер /1;.

Таким образом, единственным топологическим препятствием для устойчивости статистических свойств СМЬ по отношению к слабому взаимодействию является наличие периодических точек поворота. Мы существенно используем отсутствие периодических точек поворота в доказательстве теоремы 4,1.2 при построении декомпозиции трансфер-оператора Рд, соответствующего СМЬ .

Теорема 4-1-4- [34] Существует последовательность КР отображений /,- с А/,- > 1, которые могут иметь периодические точки поворота, таких что для любого достаточно малого е > О СМЬ Ре имеет несколько гладких инвариантных СВР мер, сходящихся (при £ 0,) к прямому произведению сингулярных инвариантных мер отображений /, с носителями на траектории периодической точки поворота.

Это утверждение показывает, что система хаотических отображений может быть стабилизирована при помощи произвольно слабого взаимодействия между его элементами. Мы показываем также, что система связанных устойчивых отображений также может качественно изменить поведение при произвольно слабых взаимодействиях.

Описанные выше результаты могут рассматриваться в качестве некоторого обобщенного фазового перехода, поскольку в пределе пулевого взаимодействия (е -+ 0) мы можем наблюдать два качественно различных типа поведения - имеются две различные "фазы": фаза с единственной СВР мерой, и фаза с несколькими подобными мерами.

Отметим, что утверждения о неустойчивости не зависят от размерности системы CML (в предположении, что эта размерность конечна) и мы, в действительности, доказываем их для 2-мерного случая (</ = 2) с одинаковыми кусочно линейными отображениями. Существование локализовании* инвариантных мер может быть доказано также (используя ту же технику) и для бесконечно-мерного случая, но ответ на вопрос о сходимости к этим мерам (то есть, являются ли эти меры СБР мерами) остается открытым.

В главе 5 Мы изучаем вопросы, связанные с пространственной дискретизацией в динамических системах.

Применяя численные методы для решения дифференциальных уравнений или других динамических систем, мы неизбежно сталкиваемся с возмущениями, вызванными различными типами дискретизации. Первым из них является дискретизация по времени, то есть, переход от дифференциального уравнения или потока к разностному уравнению (системе уравнений) или отображению. Второй тип - это пространственная дискретизация, то есть, переход от непрерывного фазового пространства к дискретной решетке. Конечно, имеются также и другие типы дискретизации, например, частичная дискретизация по времени и по пространству, когда некоторые уравнения, описывающие нашу систему дискретны по пространству, или по времени, а другие нет. Типичным примером здесь является станок с числовым программным управлением, когда вычислительное устройство, которое использует только дискретные переменные, управляет работой станка, динамику которого естественно описывать непрерывными переменными. Мы будем рассматривать динамическую систему (ДС) полученную в результате дискретизаций произвольного типа как возмущенную ДС. В основном, нас будут интересовать соотношения между асимптотическими свойствами исходной и возмущенной систем при достаточно мелких дискретизациях.

Определение Под е-дискретизацисй, е > 0, компактного множества X С IR'' мы будем понимать выбор упорядоченной конечной решетки (набора точек) Xt в множестве X, такой что расстояния между соседними элементами не превышают е. Под оператором е-дискретизации мы будем понимать отображение Dc : А' A't, ставящее в соответствие каждой точке х 6 X ближайшую к ней точку решетки хе = De(x) 6 A'j (если имеется несколько подобных точек на одинаковом расстоянии от точки х, то мы выбираем точку с наименьшим номером). Наименьшее возможное значение параметра е > 0 мы называем диаметром е-дискретизации или амплитудой соответствующего возмущения.

Определение с-дискретизованной (возмущенной) системой для отображения / с компактным фазовым пространством X называется пара (/t, A't), где fc — Dt о f.

Отметим, что, в отличие от обычных возмущений, дискретпзованная (возмущенная) система определена не на исходном фазовом пространстве X, а на решетке Хс.

В случае ошибок округления при численном моделировании мы нмеем дело с равномерной £-днскретизацией. Если фазовое пространство системы X - это единичный (/-мерный куб (или тор) и е = 1 /Лг, N € то решетка Хс состоит из точек х 6 X с рациональными координатами со знаменателем N. Интересно отметить, что только бинарные дискретизации се — 2~" (то есть, N = 2") могут встречаться в "компьютерной" арифметике.

Влияние ошибок округления при численном моделировании рассматривалось в целом ряде работ (особенно прикладного типа), и, на первый взгляд, может показаться, что, если ошибки округления достаточно малы, то эффект от их воздействия также пренебрежимо мал, особенно в случае грубых (робастных) систем (то есть, устойчивых относительно малых гладких возмущений) й достаточно высокой точности вычислений. Однако мы покажем, что воздействие сколь угодно малых ошибок округления может в некоторых случаях даже качественно изменить поведение системы. Например, устойчивая периодическая траектория может изменить свой период, или хаотическая траектория может превратиться в периодическую с очень малым периодом. Для понимания подобных явлений требуется изучение специального вида возмущений динамических систем. Эти возмущения являются детерминированными по своей природе, но их влияние близко в некотором смысле к влиянию чисто случайных возмущений. Заслуживает внимания то, что конечность фазового пространства дискретизованной системы приводит к потере хаотичности, поскольку любая траектория подобной системы является периодической или препе-риодическон (то есть, со временем попадает в периодическую траекторию). С другой стороны, некоторые из патологий (такие, как умножение периода и разрушение, или стабилизация неустойчивых циклов), которые мы рассмотрим ниже, являются типичными при произвольно мелких дискретизациях динамических систем. Относительно других патологий, паши результаты показывают, что они также типичны в некотором открытом множестве в пространстве динамических систем. Однако следует подчеркнуть, что многочисленные компьютерные эксперименты убедительно показывают, что это открытое множество должно быть мало.

Первые два раздела главы 5 посвящены анализу свойств отдельных периодических траекторий под действием малых пространственных дискретизаций.

В третьем разделе этой главы мы изучаем вопрос о типичности поведения дискретизованной системы, для чего мы вводим понятие статистической вероятности тех или иных событий для дискретиэованных систем.

Начнем с вопроса о существовании цикла е-дискретизованной системы (при достаточно малых значениях с > 0) в малой окрестности неустойчивого цикла невозмущенной системы. При различных значениях е цикл е-дискретизованной системы может появляться и исчезать при сколь угодно малых изменениях е при фиксированном выборе набора решеток Хс. Поэтому для ответа на поставленный выше вопрос необходимо сделать некоторые дополнительные предположения о структуре дискретизаций. Мы ограничимся наиболее интересным для приложений случаем равномерных дискретизаций (/-мерного единичного куба X. В этом случае, е принимает

значения вида е = 1/п, н 6 52+. Далее при подобном жестком ограничении, наличие или отсутствие цикла у равномерно l/n-дискретизоваиной системы зависит от п весьма нерегулярным образом. Поэтому наиболее естественным представляется применение статистического подхода для описания подобной ситуации.

Определение Под статистической вероятностью некоторого явления (по отношению к данному семейству пространственных дискретизаций) мы будем понимать отношение количества всех тех дискретизаций, при которых это явление имеет место, к общему количеству различных дискретизаций.

Поэтому, исходя из этого определения, статистическая вероятность р(х\, хг, • ■ ■, хп) стабилизации неустойчивого цикла (х^х?,- • •, !•„) отображения / равна плотности множества тех натуральных чисел N, для которых набор точек (Di/nXi, Di/fjx?,- ■ ■, Di/t/Xn) является циклом равномерно 1 /ЛР-дискретиэованной системы. Напомним, что плотность подмножества А множества натуральных чисел определяется как следующий предел (если он существует):

Пт #(АГЩ,п»

п-»оэ JJ

Смысл этого определения состоит в том, что в случае равномерных дискретизаций наличие цикла дискретизованной системы в малой окрестности исходного неустойчивого цикла приводит к возможности наблюдать неустойчивую траекторию в вычислительном моделировании. Поэтому естественно называть эту ситуацию "стабилизацией неустойчивого цикла". Численный эксперимент показывает, что при моделировании хаотических динамических систем, все циклы которых неустойчивы, некоторые циклы наблюдаются заметно чаще других. Следующее утверждение дает одно из возможных объяснений этого явления.

Теорема 5.3.1. Пусть х = (х1,х2, ■.. ,г„) это неустойчивый ци>сл отображения /, непрерывно дифференцируемого в окрестности этого цикла, и пусть координаты точек xi, xj,... ,хп рационально независимы. Тогда статистическая вероятность стабилизации р{х) корректно определена и зависит только от производных отображения f в точках цикла: р(х) равняется объему dn-мерного многогранника fl = П(/, 5), определенного следующей системой полу-линейиых неравенств:

lf'(xi)*i ~ ъ] < 1/2

|f'(x2)z2 - г3| < 1/2

!/'(*»)*..<1/2

М<1/2, i = 1,2,..., п,

где f'(x) это матрица частных производных отображения f в точке х, а |г| = тах;{|г'''|} для вектора z 6 IR<i.

Одним нз наиболее интересных и сложных объектов при исследовании влияния ошибок округления являются нейтральные системы, траектории которых не являются ии устойчивыми, ни неустойчивыми. Простейшим примером такой системы является поворот единичного тора Т на угол а.

Определение Под статистической вероятностью эргодичности р(а) мы будем понимать плотность множества тех натуральных чисел N, для которых равномерно l/W-днскретизованная система 7i//v) является эргодической.

Теорема 5.4.1. Пусть коордгшаты вектора а £ К1 рационально независимы. Тогда р(а) корректно определена и не зависит от а. В 1-мерном случае справедлива оценка 0.3S89 < р(а) < 0.5678, в то врем как в многомерном случае-р(а) экспоненциально быстро стремится к нулю с ростом размерности.

В пятом разделе главы 5 мы строим версию теории KAM для систем с ошибками округления. Численный анализ показывает, что влияние дискретизаций на отображение поворота, или закручивающее отображение, выглядит близко к ситуации, описанной в теории KAM. Мы строим обобщение теории KAM для закручивающих отображений с ошибками округления и обсуждаем препятствия для применения этой идеи для чистого отображения поворота (без дополнительного закручивания).

Определение Отображение F кольца

Л(г_, r+) := {(tp, г) 6 И2 : 0 < г. < г < г+ < оо}

в ГО.2 называется закручивающим, если в полярных координатах (0 < < 1, 0 < г < оо) оно может быть записано в виде

| у>-> + Ф(г) (mod 1) ^

где функция Ф 6 С°° и удовлетворяет неравенству [</Ф(г)/(/г| > 0.

Теорема 5.5.2. [32] Для любых постоянных 0 < г_ < г_ < г+ < г+ < оо имеется ео > 0, такое что для каждого 0 < е < ео, если г_ < г < г+, то r_ < (De о F)n(<p, г) < г+ для любого п £ Z5+ и любого угла у £ [0,1). Более того, если дополнительно предположить, что \d<b(r)(dr\ > с, то для каждого е > 0 любая траектория е-дискретизованного закручивающего отображения (9) является асимптотически периодической.

Возмущения, связанные с ошибками округления в вычислительном моделировании разрывны, и, поэтому, мы не можем использовать результаты типа теории KAM о гладких возмущениях закручивающих отображении. Мы разработали специальную аппроксимационную схему для построения двух гладких периодических по <р возмущений закручивающего отображения, аппроксимирующих дискретизованное

отображение сверху и снизу. Используя хорошо известную теорему Мозера, мы доказываем существование инвариантных кривых для этих гладких аппроксимаций, что позволяет при помощи некоторого специального свойства отслеживания доказать ограниченность траекторий дискретизованного закручивающего отображения, и, следовательно, их асимптотическую периодичность.

Шестая глава посвящена анализу эргодических свойств некоторых методов численного моделирования хаотической динамики.

В первом разделе этой главы изучаются две численных процедуры аппроксимации СВР мер хаотических динамических систем. Первая процедура основана иа введении специального случайного возмущения, позволяющего регуляризировать результаты численного моделирования. Мы доказываем корректность этой процедуры для класса КР отображений.

Вторая процедура, называемая конструкцией Улама, состоит в аппроксимации хаотической динамики марковской цепью с конечным числом состояний. Рассмотрим разбиение фазового пространства X на конечное число непересекающихся компонент {Д,}^, 0 < 9е < |Д;| < е, 0 < в < 1, которые мы будем рассматривать как состояния марковской цепи. Тогда можно сравнивать статистические свойства отображения / со свойствами марковской цепи с К состояниями, переходные вероятности которой определяются следующим образом:

Гипотеза Улама состоит в том, что инвариантные меры конечных марковских цепей, соответствующих аппроксимациям этого типа с max |Д<| —> 0 (и, следовательно, К —» оо), слабо сходятся к СВР мере отображения /. Отметим, что эта задача непосредственно связана с проблемой стохастической устойчивости, поскольку аппроксимация Улама соответствует специальному марковскому случайному возмущению с вероятностью перехода из точки х 6 X в измеримое множество А С X, равной

в то время как соответствующий оператор перехода <Э£ : Ъ1 Ь' определен как

Теорема 6.1.1. [31] Пусть / зто общее 1-мерное КР отображение, имеющее единственную СБР меру щ. Тогда инвариантные меры, построенные по процедуре Улама, слабо сходятся к ц/.

В двух последних разделах главы 6 изучаются различные аспекты свойства отслеживания в хаотической динамике. В первом из них предлагается алгоритм для

(10)

(П)

проверки выполнения свойства отслеживания отдельных траекторий систем,не являющихся гиперболическими. Во последнем разделе вводится обобщение понятия отслеживания - отслеживание в среднем, необходимое для изучения отдельных траекторий систем под действием возмущений, которые малы лишь в среднем. Пусть р это метрика в X.

Определение Последовательность х = {.г^.г'2,...} £ Xм называется е-с-траек-торией, если имеется число N = N(e), такое что для всех т> N, k 6 ZZ+

1 т

— 52p[xn+k+i,fxn+k) < е.

т П=1

Теорема 6.3Л. Для любого а > 0 имеется е > О, такое что для любой е-с-траектории х € Х°° имеется траектория отображения f, отслеживающая в среднем траекторию х с точностью сг, то есть, найдется точка х € X, такая что выполняется следующее неравенство:

1 "

limsup — £>(:rnJnx) < а.

Список работ, опубликованных по теме диссертации:

[1] М.Л. Бланк, О стохастической стабилизации неустойчивых ¿иадлическш си-етем, Успехи матем. наук., 36:5(1981), 165-166.

[2] М.Л. Бланк, Оценка скорости убывания корреляций в одномерных динамических системах, Функц. анализ и его прил., 18:1 (1984), 61-62.

[3] М.Л. Бланк, Эргодические свойства дискретизаций динамических систем, ДАН СССР 278:4 (1984), 779-782.

[4] М.Л. Бланк, О сопряжении некоторых классов одномерных эндоморфизмов с классом кусочно растягивающих отображений, Успехи матем. наук. 40:1 (1985), 187-188.

[5] М.Л. Бланк, Малые возмущения и стабилизация неустойчивы! траекторий, Рукоп. деп. в ВИНИТИ 1.04.85, н.2201-85 ДЕП. 1985.

[6] М.Л. Бланк, Эргодические свойства динамических систем со стохастическими аттракторами и их малых возмущений, Взаимодействующие марковские процессы в биологии, Пущино, 1986, 34-48.

[7] M.L. Blank, Stochastic attractors and their small perturbations, Math. Problems of Statistical Dynamics, Reidel. Holland, 1986, pp. 161-197.

[S] M.JI. Бланк, Малые возмущения квазистохастических динамических систем, Труды семинара И.Г.Петровского. 11 (1986), 166-189.

[9] М.Л. Бланк, Конечномерные стохастические аттракторы бесконечномерных динамических систем, Функц. анализ и его прил. 20:2 (19S6), 54-55.

[10] M.L. Blank, Stochastic properties of deterministic dynamical systems, Sov. Sci. Rev. C. Math./Phys. 6 (1987), 243-271.

[11] M.L. Blank, Metric properties of e-trajectories of dynamical systems with stochastic behaviour, Erg. Theory & Dyn. Sys. 8:3 (1988), 365-378.

[12] M.JI. Бланк, Асимптотические свойства стохастических отображений, Успехи матем. наук. 43:4 (1988), 201-202.

[13] М.Л. Бланк, Детерминированные свойства стохастически возмущенных динамических систем, Теор. вер. и ее прил. 33:4 (198S), 659-671.

[14] М.Л. Бланк, Минимальные ре тенил дискретных периодических вариационных задач, Успехи матем. наук, 43:4,1988, 187.

[15] М.Л. Бланк, Конечномерные аттракторы в одной модели турбулентности, Дифференциальные уравнения, 24:11 1988, 1854-1862.

[16] М.Л. Бланк, Размерность аттрактора в одной модели турбулентности, Методы качественной теории и теории бифуркаций, Горький, 198S.

[17] М.Л. Бланк, Эргодические свойства одного метода численного моделирования хаотических динамических систем, Матем. Заметки. 45:4 (1989), 3-12.

[18] М.Л. Бланк, Малые возмущения хаотических динамических систем, Успехи матем. наук. 44:6 (1989), 3-28.

[19] M.L. Blank, Metric properties of minimal solutions of discrete periodical variational problems, Nonlinearity, 2:(1989), 1-22.

[20] М.Л. Бланк, Хаос и порядок в многомерной модели Френкели - Конторовой, Теор. и мат. физика, 85:3(1990), 349-367.

[21] M.L. Blank, Shadowing of e-trajectories of general multidimensional mappings, Wiss. Z. Tech., 40:2(1991), 157-159.

[22] M.L. Blank, Phase space discretization in chaotic dynamical systems, Dynamical systems and statistical mechanics (Ya.G.Sinai, editor-) Adv. in Sov. Math. ser. 3 (1991), 1-13.

[23] M.L. Blank, Marginal singularities, almost invaria/it sets, and small perturbations, Chaos 1:3 (1991), 347-356.

[24] M.L. Blank, Chaotic maps and stochastic Markov chains, Abstracts of Congress IAMP-91, 1992, 6p.

[25] M.JI. Бланк, Сингулярные явления в хаотических динамических системах, ДАН РАН 328:1 (1993), 7-11.

[2G] L. Biferale, M.L. Blank, U. Frisch, Chaotic cascades with Kolmogorov 1941 scaling, J. Stat. Phys. 75:5-6(1994), 7S1-795.

[27] М.Л. Бланк, Явление локализации в хаотических динамических системах, Успехи матем. наук,48:4(1993)

(28J M.L. Blank, Pathologies generated by round-off in dynamical systems, Physica D 78:1-2 (1994), 93-114.

[29] M.L. Blank, Round-off induced instabilities and some unusual arithmetics, Comptes Rendus CRAS, II, 321 (1995), 139-145.

[30] М.Л. Бланк, Одна проблема Улама и малые случайные возмущения динамических систем, Успехи Матем. Наук, 51:5(1996), 170.

[31] M.L. Blank, G. Keller, Stochastic stability versus localization in chaotic dynamical systems, Nonlinearity, 10:1 (1997), 81-107.

[32] M.L. Blank, T. Kruger, L. Pustyl'nikov A KAM type theorem for systems with roundoff errors, preprint Univ. Bielefeld, 765/3/97, 1997.

[33] M.L. Blank, Discreteness and continuity in problems oj chaotic dynamics, Monograph, Amer. Math. Soc., 1997.

[34] M.L. Blank, Generalized phase transitions in finite coupled map lattices, Physica D, 103(1997), 34-50.