автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование некоторых моделей риска на основе асимптотического анализа и численных методов

На правах рукописи

Скварник Евгений Святославович

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ

РИСКА НА ОСНОВЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2005

Работа выполнена в лаборатории вероятностных методов и системного анализа Института прикладной математики ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Красноярский институт вычислительного моделирования СО РАН

Защита состоится ЛЦ. 2005 года в 10 часов на заседании

диссертационного совета Д 005.007.01 в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН по адресу: С90041, г. Владивосток, ул. Радио 5, ИАПУ ДВО РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и процессов управления ДВО РАН

Автореферат разослан " " 2005 года

профессор Цициашвили Гурами Шалвович

профессор Бадюков Владимир Федорович кандидат физико-математических наук, доцент Трищенко Елена Константиновна

И.о. ученого секретаря

диссертационного совета

д.т.н.

Актуальность темы. Одним из значимых направлений в математической теории риска является теория вероятности разорения в случае, когда условие Крамера не выполняется, и в особенности, когда распределение выплат имеет тяжелый хвост, то есть когда у него нет конечного экспоненциального момента. При этом механизм разорения отличается от существующего в крамеровском случае. Если в крамеровском случае разорение наступает в результате накопления многих выплат "умеренного размера", то в случае тяжелых хвостов типичный механизм разорения сводится к одной большой выплате. Экономическим обоснованием для случая тяжелых хвостов служат очень убыточные и редкие события, такие как наводнения, землетрясения, террористические акты. События последних лет в России и за рубежом подтвердили необходимость постановки такого рода задач в математической теории риска.

В последние годы в области страховой математики получено значительное количество асимптотических результатов. Известно, что асимптотические формулы для определения вероятности разорения страховой компании хорошо работают только при достаточно больших значениях начального капитала, а для некоторых асимптотик точность вообще остается неизвестной. Однако крупных капиталов у российских страховщиков зачастую просто нет. Наиболее актуальным для российского страхового рынка является случай небольших и средних начальных капиталов. В свете этого значимость численных методов исследования вероятности разорения в данной ситуации трудно переоценить, и появляется необходимость в их развитии. В свою очередь, для правильного и ресурсоэко-номного применения численных методов необходимо предварительное асимптотическое исследование вероятности разорения. Таким образом, нельзя говорить о приоритете численных или строго аналитических методов для получения наиболее объективных оценок вероятности разорения, а следует признать необходимость их симбиоза для достижения наилучших результатов. Основная идея работы состоит в том, что процесс исследования вероятности разорения разбивается на три условных этапа. На первом этапе проходит аналитическое исследование определенной математической модели риска. На втором этапе на основе предварительно проведенного аналитического исследования модели строится гипотеза о поведении решения задачи и план вычислительного эксперимента для проверки этой гипотезы. На третьем проводится вычислительный эксперимент и с его помощью осуществляется проверка гипотезы о поведении решения задачи, а также анализ известных результатов в страховой математике. В диссертационной работе внимание сосредоточено на задаче

з

оценки вероятности разорения в рамках трех моделей математической теории риска: классической модели риска, классической модели риска с постоянным приростом капитала и модели риска с дискретным временем.

Цель работы. Разработать и исследовать алгоритмы вычисления вероятности разорения страховой компании на основе аналитического исследования некоторых моделей риска в случае, когда распределения выплат имеют тяжелые хвосты.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Провести предварительное аналитическое исследование вероятности разорения в некоторых математических моделях риска.

2. Разработать и исследовать алгоритм вычисления вероятности разорения на бесконечном интервале времени в классической модели риска без прироста начального капитала

3. Разработать и исследовать алгоритм получения оценок вероятности в классической модели риска с постоянным приростом капитала, на основе предварительного аналитического исследования.

4. Разработать и исследовать алгоритм вычисления вероятности разорения в дискретной модели риска со случайным приростом капитала.

Научная новизна.

1. Разработан и исследован алгоритм быстрого вычисления интегралов от регулярно меняющихся и непрерывно дифференцируемых на больших отрезках функций с априорной оценкой точности. Дана оценка скорости сходимости этому алгоритму.

2. Разработан и исследован численный метод решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, представленного в классической модели риска. В процессе вычислительного эксперимента проверена гипотеза о быстрой сходимости этого метода. С помощью данного численного метода получены оценки вероятности разорения на бесконечном интервале времени в классической модели риска.

3. Обнаружено контрастное изменение вероятности разорения в модели риска с дискретным временем, случайным приростом капитала и логарифмически устойчивым распределением финансового риска. Практическая ценность. Комплекс программ на основе разработанных и исследованных в работе алгоритмов был внедрен в страховые компании города Владивостока. По фактам внедрения подписано 2(два) акта о внедрении.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано

10 работ, список которых приведен в конце автореферата. Апробация результатов. Результаты реферируемой работы докладывались на 3-х Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (2001-2003гг.), на 2-х Дальневосточных математических школах-семинарах имени Е.В. Золотова (20012002гг.), на семинаре ИПМ ДВО РАН (2004г.), на Третьей всероссийской конференции по финансовой и актуарной математике(Красноярск, 2004г.).

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, за-ключения,приложения и списка литературы из 142 названий, которые изложены на 118 страницах с 37 таблицами.

Содержание работы

Во введении описывается состояние проблемы на сегодняшний день, включая литературный обзор, поясняется актуальность затронутой тематики, дается краткое содержание работы.

В первой главе приводятся примеры распределений с тяжелыми хвостами. Рассматривается классическая модель риска с однородным пуассоновским потоком платежей интенсивности А > 0 и постоянной ставкой премий. Проводится обзор и сравнение известных аналитических и численных методов оценки вероятности разорения. Описываются классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала и модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые'хвосты.

Пусть х > 0 обозначает начальный капитал страховой компании. Тогда размеры страховых выплат в классической модели риска 1, представляют собой последовательность независимых, одинаково распределенных, неотрицательных случайных величин с общей функцией р а с п р В{х) — 1 - В(х) — P(Zi < х), х > 0.1 и я распределения В ¡удовлетворяет условию В(х) > 0 для всех х > 0, и ее математическое ожидание равно 6. Функцию

в математической теории риска принято называть интегрированным хвостом распределения В, а параметр р = ХЬ коэффициентом загрузки страховой компании.

В последнее время широкое распространение в страховой математике получил частный случай распределений с тяжелыми хвостами, ко-

гда функция распределения принадлежит субэкспоненциальному классу По определению функция распределения (ф.р.) определенная на [0,00), принадлежит классу S, если для любых >п2 справедливо равенство

где - n-кратная свертка функции распределения Л

Эмбрехтсом и Вераверберке получен фундаментальный результат, сущность которого состоит в том, что если Р принадлежит классу 5 и р < 1, то справедлива асимптотика для вероятности разорения

■ф0{х)

Р —

F(x), х —> оо.

1 -р

(1)

Также в классической модели риска с вышеуказанными условиями и параметрами было выведено уравнение

-ф0{х) = А / -фо(z)B(x - z)dz + AF(x)

J о

для вероятности разорения ^о(х), х > 0. Функция

(2)

(3)

позволяет определить качество асимптотики (1).

Анализ соотношений (1),(2) подчеркивает актуальнось постановки задачи о вычислении вероятности разорения при средних значениях начального капитала. На основе свойства монотонности ^о(я) Дюфресне и Гербером был предложен алгоритм численного решения уравнения (2), базирующийся на аппроксимации интеграла в (2) интегральной суммой (с фиксированным шагом) с последующей оценкой решения сверху и снизу. Существенным недостатком рекурсивного алгоритма Дюфресне и Гербера явилась низкая скорость работы, чтобы можно было за приемлемое время досчитать до тех значений х, когда с допустимой точностью начинают работать асимптотические формулы. Так при относительной ошибке численного решения, не превосходящей £ = 0.03, этот алгоритм в случае А = 0.7 и паретовского распределения при о = 3 за машинное время 40 минут на PC Pentium 3-800 дает решение лишь при х < 500. Более того с увеличением тяжести хвоста или с ростом х время счета становится настолько большим, что дальнейшее использование данного алгоритма делается невозможным. В свою очередь, известно,что асимптотические формулы для хорошо работают только при достаточно

больших значениях начального капитала, примерно при х > 104 единиц (где за единицу принимается средняя страховая премия в единицу времени), а для некоторых асимптотик точность вообще остается неизвестной. В результате возникает задача вычисления 4>о(х) при средних значениях аргумента, где не работают известные асимптотики и алгоритм Дю-фресне и Гербера. Данная задача была поставлена В.В.Калашниковым, на ее важность указывал С.Асмуссен.

Вторая решаемая в диссертационной работе задача связана с определением вероятности разорения в классической модели риска с ненулевым постоянным процентом прироста капитала. В работах Асмуссена показано, что введение ненулевого постоянного процента прироста капитала в классическую модель риска в случае больших выплат приводит к асимптотическому поведению вероятности разорения, отличающемуся от (1). Для субэкспоненциальных распределений Асмуссеном предложена следующая асимптотика для расчета вероятности разорения с постоянным положительным коэффициентом прироста капитала (постоянным интересом) г > 0:

Третья задача, решаемая в диссертационной работе, связана с определением вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском. Страховой рынок России в последнее десятилетие, в отличие от своих западных аналогов, характеризуется большей нестабильностью, вызванной влиянием дополнительных факторов риска. В связи с этим возникла объективная необходимость наряду с долгосрочными прогнозами проводить оценку ситуации и на небольших отрезках времени с учетом дополнительных рисков. Основой для исследований в данном направлении послужила модель риска с дискретным временем и случайным финансовым риском. В этой модели исследуется вероятность разорения 'ф(х,п) = Р(т(х) < п) на п отрезках времени с учетом поступлений средств в страховую компанию и начальным капиталом у страховщика х О, где

Ап, п = 1,2,... - суммарные поступления средств в компанию минус суммарные выплаты компании в году п, Вп - коэффициенты инфляции от года п — 1 к году п. Последовательности {Ап : п = 1,2, • • • } и

(4)

ф) = тГ{п = 1,2,"-: < 0| = 1}, 5о = х, й'п = ДА-! + Ап, п = 1,2,--•

[П)

{Вп :п— 1,2,---} взаимно независимы и каждая из них в свою очередь состоит из независимых случайных величии, распределенных с общей функцией распределения на (—1,оо) в рамках своей последовательности. Случайная величина Уп — В'1 называется дисконтным фактором от года п к году п— 1, п = 1,2, • • •. Согласно принятой в страховой математике терминологии, случайные величины X — — А и V есть страховой и финансовый риск соответственно.

Вторая глава содержит аналитическую часть работы. В ней приводится строгий с математической точки зрения алгоритм построения двусторонних оценок для интегралов вида

где /(т) непрерывно дифференцируемая и неубывающая функция и го > 0,0 < 2 < 2 >> 1,а > 0. Подобного рода интегралы используются в представлении интегрированных хвостов для некоторых распределений, некоторых асимптотик и потому методика их точного и быстрого вычисления имеет большое значение для страховой математики в целом.

Предположим, что модели последовательности чисел го < г\ < ... < ¿п < % < г,1+1 удовлетворяет соотношениям

справедлива следующая двусторонняя оценка:

П — 1 71-1

где a(zo, = zHIл+z~af"> z) = £*гл+znau к=0 к=0

причем

A(z0, Z)

1-е,

B(z0, Z)

Таким образом число п, характеризующее чис^ю слагаемых в суммах A(z0, Z), B(zq, Z) (HpkWr вр|мя их^чеТа), асимптотически пропор-

ционально !п Z :

В диссертационной работе производится численный анализ качества известных асимптотик на основе приведенного алгоритма и показывается, что для небольших и средних начальных капиталов асимптотические результаты существенно уступают численным. Более того, высокая точность и скорость работы этого алгоритма послужили источником для гипотезы о существовании быстрого численного метода решения задачи о средних значениях начальных капиталов в классической модели риска.

Также во второй главе приводятся собственные асимптотические и двусторонние оценки для вероятности разорения в рамках двух математических моделей риска: модели риска с постоянным приростом начального капитала и модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Данные оценки легли в основу оригинальных алгоритмов нахождения вероятности разорения, представленных в третьей главе работы.

С целью исследования двусторонних оценок для 1рт{х) с г > 0 вводится вспомогательная функция Г(х), которая играет ту же роль, что и функция в случае без прироста начального капитала.

Г(х) =

Фг(х)__

X > О,

представляет собой относительную ошибку приближения (4). Теорема 1 послужила основой для решения второй задачи, связанной с определением вероятности разорения в классической модели риска с постоянным положительным коэффициентом прироста капитала.

Теорема 1 В классической модели риска с постоянным положительным коэффициентом прироста капитала г > 0, еслир < 1, тогда для любыхх > О верны неравенства

где

Одним из главных результатов второй главы стало доказательство теорем 2,3 и следствие из этих теорем. Этот результат обозначил резкое изменение в поведении модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском при изменении определенного параметра, а именно тяжести хвоста финансового риска, и тем самым послужил основой для исследования поведения решения третьей задачи.

Обозначение 1. Щ = Р(Х+ > «), Щ = Р(У > 4) с Х+ = шах(0, X) и положим = Р{\пХ+ > &.(*) = Р(\пУ > £).

Теорема 2 Предположим, что функция распределения С» является устойчивой и имеет характеристическую функцию ехр({с1и—а\и\ь), а > О, 0 < Ь < 2, -оо < (1 < оо. Если хвост распределения страхового риска Р(х) является регулярно меняющейся функцией с параметром а> Ь, то при х —* оо

где

ф(х,п) ~ Сп\\пх\ ь 26Г(3 - Ь)

п*)

■ф(х,п)

О,

С-

пЬ

аЬ(2 — Ь)(Ь — 1) С08 ~2

-1

Теорема 3 Предполоэюим, что функция распределения О* является нормальной и имеетхарактеристическуюфункцию ехр(¿с/и—сш2), а > О, —00 < (1 < 00. Если хвост распределения страхового риска F(x) является регулярно меняющейся функцией с параметром а > 0, то при х —> оо

где

Следствие 1 Из теорем 2,3 следует, что имеет место быть контрастное изменение вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском, когда параметр Ь достигает критического значения равного 2, и, значит, распределение

финансового риска преобразуется из логарифмически устойчивого в логарифмически нормальное.

Следствие 1 находит свое подтверждение в вычислительном эксперименте, проводимым в третьей главе работы.

В третьей главе приводятся оригинальные алгоритмы расчета вероятности разорения страховой компании, основанные на аналитическом исследовании моделей риска, проведенном во второй главе. Даются оценки точности алгоритмов.

Первый алгоритм разработан с целью нахождения оценок вероятности разорения в классической модели риска без прироста начального капитала. Результаты работы этого алгоритма подтверждают гипотезу о существовании быстрого численного метода решения задачи о средних значениях начальных капиталов в классической модели риска. Этот алгоритм, базируется на аппроксимации интеграла в (2) интегральной суммой с переменным шагом. Идея предложенного алгоритма может быть проиллюстрирована с помощью следующих нестрогих рассуждений. Пусть и при некотором

Ми)+1) Ми])

1-е.

Тогда естественно ожидать выполнения следующего соотношения: и,

"■3

Ч/+1

(1-е)1/с\ и,->оо.

Такой выбор шага ^ приводит к его увеличению и как следствие - к сокращению времени счета. Так, количество точек и3 в отрезке [О,Н] становится порядка

Поэтому, если удается приближенно оценить

то возникает быстрый алгоритм оценки функции "фо(и) В точках > 1.

Основываясь на этих обстоятельствах, был разработан алгоритм нахождения вероятности разорения в классической модели риска без постоянного интереса. Пусть

и при I > 0 выполняются следующие рекуррентные соотношения:

Фо(

г)(иг+1) = / В(иг+1 - г)йг + ХГ{и1+1))

-1

X - А ^ В(иг+! -

С учетом указанных условий были доказаны леммы. Лемма 1 При всех г > 0 выполняются неравенства

< троЫ ^ Фо\и^

и следовательно,

Фо(*)(щ+1) < Фа{и) < <и< и1+1.

Лемма 2 Если при некоторых г > 0 и е,0 < е < 1, выполнены соотношение

Фо(*)Ы >

^о'Н".-!)

и равенство и,+х = и„ то справедливо неравенство

■фо(*){и,+1)

> 1-е.

Суть алгоритма состоит в том, что для каждого г > 0 по известным иг, ■0о(»)(и,+1), фц\и,) определяем иг+\, удовлетворяющее неравенству

> 1-е.

Далее с помощью формулы (б) находим ^[^(и^). В силу лемм 1 и 2 функция фо(и) будет удовлетворять соотношениям "0о(*)(и1+1) 5: Фо(и) < Фц\и,) при и, < и < и,+1.

Предпологается, что нестрогой оценкой числа шагов для приведенного алгоритма будет соотношение (5). Эта гипотеза проверяется непосредственно в ходе вычислительного эксперимента.

С помощью приведенного алгоритма за приемлемое время до 5 минут удалось получить двусторонние оценки вероятности разорения для всего спектра начальных капиталов (маленьких, средних и больших). Результаты работы алгоритма, содержащиеся в таблицах диссертации

позволяют сделать вывод о подтверждении гипотезы о быстрой сходимости разработанного алгоритма и тем самым решении проблемы средних значений в классической модели риска.

Был проведен численный анализ качества асимптотики (1) в соответствии с формулой (3). Для этого проводились вычисления вероятности разорения по описанному алгоритму с относительной погрешностью

Таблица 1. Результаты численного анализа качества асимптотики (1)

Результаты, представленные в таблице 1, получены с учетом того, что р = 0.7, а в качестве интегрированного хвоста Т*1 бралось распределение

с параметрами а = 3, 1 = 0 5. Значения относительной ошибки Д(и) асимптотики (1) в таблице 1 говорят о том, что эта асимптотика плохо работает при малых и. Становится очевидным, что в области малых и так называемых средних значений аргумента и гораздо предпочтительнее пользоваться предложенным алгоритмом, а не асимптотикой (1).

Второй алгоритм, приводимый в третьей главе, предназначен для расчета вероятности разорения страховой компании в классической модели риска с постоянным приростом капитала и с небольшой заданной точностью на основе представленных во второй главе двусторонних оценок:

где - верхняя оценка для вероятности разорения с постоянным ин-

тересом, 'ф~(х') - нижняя оценка для вероятности разорения. Итоговые значения численных оценок вероятности разорения являются ре-

зультатом работы вычислительного комплекса, представляющего собой комбинацию двух алгоритмов. Первый алгоритм позволяет с небольшой заданной относительной ошибкой строить двустороннюю оценку вероятности разорения в модели без постоянного интереса 1ро{х). Этот алгоритм представлен выше. Оценка фо{х) позволяет определить Д(х). Второй алгоритм используется для нахождения с заданной относительной ошибкой функций -О(х) И /?г(х), необходимых для вычисления ф^[х) и фт (х). Этот алгоритм представлен во второй главе работы и по своей сути является быстрым численным методом интегрирования.

Третий алгоритм предназначен для расчета вероятности разорения страховой компании в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском. В основу третьего алгоритма был положен метод статистических испытаний Монте-Карло. На основе метода Монте-Карло был разработан параллельный алгоритм для нахождения оценок вероятности разорения в модели страхования с дискретным временем на многих отрезках времени.Результаты работы третьего алгоритма используются для подтверждения гипотезы о существовании контрастного изменения вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и логарифмически устойчивым распределением финансового риска. Проведен обширный вычислительный эксперимент, позволяющий на качественном уровне подтвердить аналитические результаты, приведенные во второй главе, для вероятности разорения на конечном числе шагов в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском.

Основные результаты работы

1. Проведено аналитическое исследование вероятности разорения в нескольких математических моделях риска.

2. Построен и протестирован оригинальный алгоритм вычисления интегралов от регулярно меняющихся на больших отрезках функций. Дана оценка скорости сходимости этого алгоритма и на его основе получены численные оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом капитала на бесконечном интервале времени.

3. Разработан и исследован численный метод решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, представленного в классической модели риска. В процессе вычислительного эксперимента проверена гипотеза о быстрой сходимости этого метода. С помощью данного численного метода получены оценки вероятности разорения на бесконечном интервале времени в классической модели риска.

4. Обнаружено контрастное изменение вероятности разорения в модели страхования с логарифмически устойчивым распределением финансового риска.

5. Разработан параллельный алгоритм метода Монте-Карло и с его помощью получены оценки вероятности разорения в модели страхования с дискретным временем на конечном числе шагов.

Основные публикации по теме диссертации

1. Скварник Е.С. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным интересом в случае тяжелых хвостов

//Дальневост. мат. журн. 2004. Том 5, вып. 1, С. 72-82.

2. Скварник Е.С. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом капитала Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН. 2004. 13 С.

3. Цициашвили Г.Ш., Скварник Е.С., Кольев А.Н. Фазовый переход в модели страхования с логарифмически устойчивым распределением финансового риска. //Тез. докл. Третьей Всерос. конф. по финанс. и актуар. математике. Красноярск, 2004. С. 25-27.

4. Скварник Е.С. Быстрый алгоритм численного интегрирования медленно меняющихся функций //Тез. докл. Дальн. школы им. Е. В. Золо-това. Владивосток: Дальнаука. 2002. С. 64-65.

5. Скварник Е.С. Оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным интересом//Тез. докл. 5-й Дальневост. конф. студентов и аспирантов по мат. моделированию. Владивосток : Дальна-ука. 2001. С. 21

6. Скварник Е.С. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска//Тез. докл. Дальн. школы им. Е. В. Золотова. //Владивосток: Дальнаука. 2001. С. 64-65.

7. Цициашвили Г.Ш.,Скварник Е.С. Численное решение задачи о средних значениях в классической модели риска

// Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 1. № 1. Москва: ТВП. 2001. С. 127-128

8. Цициашвили Г.Ш.,Скварник Е.С. Численное решение задачи о средних значениях в классической модели риска//Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН. 2001. 11 С.

Личный вклад автора. Все результаты, составляющие основное содержание диссертационной работы, получены автором самостоятельно. В опубликованных в соавторстве работах [3,7,8] автору принадлежит определение плана вычислительного эксперимента и его проведение.

Евгений Святославович СКВАРНИК

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ РИСКА НА ОСНОВЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Автореферат

Изд. лиц. № 05497 от 01.08.2001 г. Подписано к печати 16.03.2005 г. Формат 60x90/16. Печать офсетная. Усл. п. л. 0,88. Уч.-изд. л. 0,69. Тираж 100 экз. Заказ 59

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство «Дальнаука» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7

Ж12.-ШЗ

1132

Введение

1. Математические модели риска и актуальные вопросы страховой математики

1.1 Классическая модель риска.

1.2 Распределения выплат с тяжелыми хвостами и известные результаты

1.2.1 Вероятность разорения и геометрические суммы

1.2.2 Двусторонние оценки для функции распределения геометрической суммы.

1.2.3 Построение нижних оценок методом пробных функций

1.2.4 Численные результаты.

1.2.5 Проблема средних значений начальных капиталов в классической модели риска.

1.3 Классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала.

1.3.1 Асимптотическая формула для вероятности разорения

1.4 Модель риска с дискретным временем и случайным финансовым риском.

2. Асимптотические и двусторонние оценки вероятности раv зорения

2.1 Быстрый алгоритм численного интегрирования

2.2 Двусторонние оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом начального капитала

2.3 Оценки вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском.

2.3.1 Оценки вероятности разорения на одном временном отрезке.

Ф 2.3.2 Оценки вероятности разорения на многих отрезках времени

2.3.2.1 Формулировка основных результатов

2.3.2.2 Доказательство основных результатов

3. Алгоритмы вычисления вероятности разорения страховой компании

3.1 Решение задачи о средних значениях в классической модели риска.

3.1.1 Единственность решения интегрального уравнения в классической модели риска.

3.1.2 Основная идея решения задачи.

3.1.3 Алгоритм решения задачи и его свойства.

3.1.4 Численные оценки вероятности разорения.

3.2 Алгоритм нахождения оценок вероятности разорения с постоянным интересом.

3.2.1 Результаты численного эксперимента по вычислению функций ф+(х), ф~(х).

3.2.2 Асимптотические формулы для вычисления функции Dr(x).

3.2.3 Численный анализ качества асимптотик Jp(x) и j(y(x) 71 3.3 Численные оценки вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и случайным финансовым риском . . 72 3.3.1 Оценки вероятности разорения на одном отрезке времени

Щ 3.3.2 Оценки вероятности разорения на многих отрезках времени

Основной целью настоящей работы являются разработка и исследование численных и аналитических методов построения оценок вероятности разорения для распределений выплат с большими хвостами, сравнение этих оценок с известными асимптотическими результатами. Толчком к проведению этой работы послужил хорошо известный страховщикам факт, который состоит в том, что некоторые из известных оценок, равно как и знаменитые асимптотические разложения, могут давать значительные ошибки. Данный факт не противоречит известным математическим результатам, но ясно показывает, что, прежде чем использовать какое-либо приближение, следует оценить его погрешность. Это естественное ограничение было принято во многих инженерных дисциплинах. Скажем, никто не станет производить механическое устройство, если допустимые ошибки размеров деталей не заданы. В теории надежности и теории массового обслуживания это требование учитывается достаточно давно. По-видимому, пришло время сделать нечто подобное и в теории страхования. Следует отметить, что создатели теории страхования ясно понимали необходимость таких оценок (достаточно вспомнить знаменитое неравенство Лундберга (см. [102]), которое дает пессимистическую границу вероятности разорения). Аналогичная картина типична для теории вероятности в целом. Например, А. Ляпунов и А. Марков уделяли большое внимание оценкам скорости сходимости в известных предельных теоремах.

В последние годы в области страховой математики получено значительное количество асимптотических результатов. Известно, что асимптотические формулы для определения вероятности разорения страховой компании хорошо работают только при достаточно больших значениях начального капитала, а для некоторых асимптотик точность вообще остается неизвестной. Однако крупных капиталов у российских страховщиков зачастую просто нет. Наиболее актуальным для российского страхового рынка является случай небольших и средних начальных капиталов. В свете этого значимость численных методов исследования вероятности разорения в данной ситуации трудно переоценить, и появляется необходимость в их развитии. В свою очередь, для правильного и ресурсоэкономного применения численных методов необходимо предварительное асимптотическое исследование вероятности разорения. Таким образом, нельзя говорить о приоритете численных или строго аналитических методов для получения наиболее объективных оценок вероятности разорения, а следует признать необходимость их симбиоза для достижения наилучших результатов. Основная идея работы состоит в том, что процесс исследования вероятности разорения разбивается на три условных этапа. На первом этапе проходит аналитическое исследование определенной математической модели риска. На втором этапе на основе предварительно проведенного аналитического исследования модели строится гипотеза о поведении решения задачи и план вычислительного эксперимента для проверки этой гипотезы. На третьем проводится вычислительный эксперимент и с его помощью делается проверка гипотезы о поведении решения задачи, а также анализ известных результатов в страховой математике. В диссертационной работе внимание сосредоточено на задаче оценки вероятности разорения в рамках трех моделей математической теории риска: классической модели риска, классической модели риска с постоянным приростом капитала и модели риска с дискретным временем.

Прежде всего раскроем понятие вероятности разорения. Вероятность разорения представляет собой удобный показатель, характеризующий процесс коллективного риска. Такой процесс (процесс риска) удобно трактовать как изменение капитала, принадлежащего страховой компании. Существуют две причины его изменения: из-за поступления взносов от клиентов (премии) и из-за страховых выплат. Как правило (хотя и не всегда), рассматриваются модели с детерминированным процессом поступления премий. Однако процесс страховых выплат всегда считается стохастическим. Следовательно, и процесс риска является случайным. Политика страховой компании состоит в назначении размеров премий и выплат. Понятно, что при этом следует принять во внимание стохастичность процесса риска. На практике такой учет часто реализуется на основе центральной предельной теоремы. Именно, считается, что наличие достаточно большого числа выплат за некоторый промежуток времени гарантирует нормальность распределения суммарных выплат и, следовательно, дает возможность рассчитать размер премии с требуемым уровнем достоверности. Привлечение теории больших уклонений позволяет уточнить подобного рода оценки. Однако при принятии различного рода решений, в том числе и при расчете премий, целесообразно иметь критерий, который оценивает качество принимаемых решений и чувствителен к изменению параметров процесса риска. Одним из широко распространенных критериев служит вероятность разорения, трактуемая как вероятность того, что процесс риска опустится ниже определенного уровня (например, нулевого) за данный промежуток времени (конечный или бесконечный). Обычно вероятность разорения рассматривается как функция начального капитала страховой компании.

Математическое исследование вероятности разорения началось с классических работ Г. Крамера [32,33], результаты которых вошли во многие учебники по теории вероятностей. В последние годы данная проблематика стала чрезвычайно популярной. Возникающие задачи интересны математически и требуют разработки новых методов исследования. Достаточно заметить, что даже при анализе классических моделей были востребованы факторизация Винера-Хопфа, тождество Спицера, теория мартингалов, теория марковских процессов и случайного блуждания. Желание рассматривать более реалистичные модели приводит как к учету новых факторов (инфляция, перестрахование и др.), так и к неизбежному расширению спектра применяемых методов, а также к новым качественным закономерностям. Например, асимптотика вероятности разорения (при бесконечном увеличении начального капитала страховой компании) совершенно различна в ситуациях, когда случайные размеры выплат имеют экспоненциальный момент и когда их распределения имеют тяжелые хвосты.

Нужно упомянуть несколько работ, посвященных оценкам вероятностей разорения. Следующий перечень содержит наиболее важные работы. Первая группа работ затрагивает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют экспоненциальный момент: Россберг и Сигель [108], Калашников [93], Фуррер и Шмидли [62]. Вторая группа работ рассматривает модели страхования, когда распределения размеров выплат имеют тяжелые хвосты: Калашников [92,93], Лин [100], Уиллмот [125], Уиллмот и Лин [126].

Невозможность получения явного вида вероятности разорения во многих моделях приводит к необходимости нахождения различных аппроксимаций. К подобным аппроксимациям можно отнести асимптотические формулы, дающие выражения для вероятностей разорения при больших значениях начального капитала. Примером может служить знаменитая формула Крамера-Лундберга (см. [59]). Другими примерами являются аппроксимации типа эвристической формулы де Вильдера (см. [120,121]) или получаемые как следствия предельных теорем, например диффузионная аппроксимация. Существенным недостатком упомянутых типов аппроксимаций является отсутствие оценок их точности. Более того, существуют примеры, когда их применение приводит к большим относительным ошибкам. В этом плане предпочтительнее иметь двусторонние оценки вероятностей разорения. Часть диссертационной работы посвящена разработке методов получения подобных оценок, которые по меньшей мере достоверно указывают область изменения искомой функции и в известном смысле согласуются с существующими асимптотическими формулами. При нахождении аппроксимаций вероятностей разорения в работе используются не только аналитические и численные методы, но и методы компьютерного моделирования. Эффективность и достоверность их использования часто требуют решения нетривиальных математических задач. Например, стандартные методы математической статистики не работают при попытке их использования для оценивания вероятности разорения на основе моделирования процессов риска просто потому, что разорение является редким событием. Это приводит к необходимости моделирования, например, процессов, получаемых из исходных процессов риска путем соответствующего преобразования вероятностной меры. Однако вид такого преобразования и его реализация на компьютере далеко не тривиальны.

В первой главе определяется случай тяжелых хвостов и приводятся примеры распределений с тяжелыми хвостами. Рассматривается классическая модель риска с однородным пуассоновским потоком платежей интенсивности Л > 0 и постоянной ставкой премий с. Проводится обзор и сравнение известных аналитических и численных методов оценки вероятности разорения, а также рассматривается проблема средних значений начальных капиталов для данной модели риска. Описываются классическая модель риска с постоянным приростом начального капитала и модель риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты.

Вторая глава содержит основную аналитическую часть работы. Здесь приводятся собственные асимптотические и двусторонние оценки для вероятности разорения в рамках двух математических моделей риска: модели риска с постоянным приростом начального капитала и модели риска с дискретным временем при условиях, что начальный капитал стремится к бесконечности и распределения страхового и финансового рисков имеют тяжелые хвосты. Главным результатом второй главы явилось доказательство нескольких теорем.

В третьей главе приводятся оригинальные алгоритмы расчета вероятности разорения страховой компании, основанные на аналитическом исследовании моделей риска, расмотренных в первой и второй главах работы. Даются оценки точности всем алгоритмам и оценка скорости сходимости одного из этих алгоритмов. Результаты работы другого алгоритма подтверждают гипотезу о существовании быстрого численного метода решения задачи о средних значениях начальных капиталов в классической модели риска. Результаты работы третьего алгоритма используются для подтверждения гипотезы о существовании контрастного изменения вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и логарифмически устойчивым распределением финансового риска. Производится численный анализ качества известных асимптотик на основе приведенных алгоритмов и показывается, что для небольших и средних начальных капиталов асимптотические результаты существенно уступают численным.

Заключение

В диссертационной работе приводятся оригинальные численные алгоритмы нахождения вероятности разорения в различных моделях риска в основе которых лежит глубокое аналитическое исследование. Производится сравнение численных результатов, полученных с помощью этих алгоритмов, с хорошо известными и самыми последними асимптотическими результатами в математической теории риска. Делается вывод, что для небольших и средних начальных капиталов асимптотические результаты существенно уступают численным.

Основными результатами работы являются:

1. Построение и тестирование оригинального алгоритма вычисления интегралов от регулярно меняющихся на больших отрезках функций и на его основе получение численных оценок вероятности разорения на одном шаге в дискретной модели риска со случайным приростом капитала и в классической модели риска с постоянным приростом капитала. Получение оценки скорости сходимости данного алгоритма.

2. Получение двусторонних и асимптотических оценок вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом капитала и в дискретной модели риска со случайным приростом капитала.

3. Разработка и исследование численного метода решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, представленного в классической модели риска. Проверка гипотезы о быстрой сходимости этого метода. С помощью данного численного метода получены оценки вероятности разорения на бесконечности в классической модели риска. Таким образом, можно говорить о решении проблемы средних значений в классической модели риска.

4. Обнаружение контрастного изменения вероятности разорения в модели риска с дискретным временем и логарифмически устойчивым распределением финансового риска.

5. Программная реализация параллельного алгоритма метода Монте-Карло на основе асимптотического исследования вероятности разорения и с его помощью получение оценок вероятности разорения в модели страхования с дискретным временем на многих отрезках времени.

1. Abate J., Choudhury G.L., Whitt W. Waiting time tail probabilities in queues with long-tail service time distributions // Queueing Systems - 1994. - V. 16. - P. 311-338.

2. Asmussen S. Conditioned limit theorems relating a random walk to its associate, with applications to risk reserve processes and the GI/G/1 queue // Adv. Appl. Prob. 1982. - V. 14. - P. 143-170.

3. Asmussen S. Approximations for the probability of ruin within finite time // Scand. Actuarial J. 1984. - P. 31-57.

4. Asmussen S. Applied Probability and Queues. Chichester: J. Wiley, 1987.

5. Asmussen S. Risk Theory in a Markovian enviroment // Scand. Actuarial J. 1989. - P. 69-100.

6. Asmussen S. Ladder heights and the Markov-modulated M | G J 1 queue // Stoch. Processes and Their Applications 1991. - V. 37 - P. 313-326.

7. Asmussen S. Stationary distributions via first passage times // Advances in Queueing. Theory, Methods, and Open Problems (ed. J. Dshalalow). -Boca Raton: CRC Press, 1995. P. 79-102.

8. Asmussen S. Ruin Probabilities. Singapore: World Scientific, 1996.

9. Asmussen S., Frey A., Rolski Т., Schmidt V. Does Markov-modulation increase the risk? // ASTIN Bull. 1995. - V. 25. - P. 49-66.

10. Asmussen S., Henriksen L.F., Kliippelberg C. Large claims approximations for risk processes in a Markovian environment // Stoch. Proc. Appl. 1994. - V. 54, P. 29-43.

11. Asmussen S., Kliippelberg C. Large deviations results in the presence of heavy tails, with applications to insurance risk.// Preprint of J. Gutenberg-Universitat Mainz, 95-1, April 1995.

12. Asmussen S., Nielsen H.M. Ruin probabilities via local adjustment coefficients // J. Appl. Prob. 1995. - V. 33. - P. 736-755.

13. Asmussen S., Petersen S.S. Ruin probabilities expressed in terms of storage processes // Adv. Appl. Prob. 1989. - V. 20. - P. 913-916.

14. Asmussen S., Rolski T. Computational methods in risk theory: a matrix-algorithmic approach // Insurance: Math, and Econom. 1991. - V. 10. -P. 259-274.

15. Asmussen S., Rolski T. Risk theory in a periodic environment: the Сгатёг-Lundberg approximation and Lundberg's inequality // Mathematics of Oper. Res. 1994. - V. 19. - P. 410-433.

16. Asmussen S. Subexponential asymptotics for stochastic processes: extremal behaviour, stationary distributions and first passage probabilities //The Annals of Applied Probability. 1998. V. 8. P. 354-374.

17. Asmussen S., Schmidt V. Ladder height distribution with marks // Stoch. Proc. Appl. 1995. - V. 58. - P. 105-119.

18. Asmussen S., Teugels J.L. Convergence rates for M/G/l queues and ruin problems with heavy tails // 1995.19. von Bahr B. Ruin probabilities expressed in terms of ladder height distributions // Scand. Actuarial J. 1974. - P. 190-204.

19. Barndorff-Nielsen O., Schmidli H. Saddlepoint approximations for the probability of ruin in finite time // Res. Report, No 284. Dept. Theor. Statist., Aarhus University, 1994.

20. Beekman J. A ruin function approximation // Trans, of the Soc. of Actuaries. 1969. - V. 21. - P. 41-48, P. 275-279.

21. Beekman J. Two stochastic processes. Stockholm: Almqvist & Wiksel, 1974

22. Benckert L.G., Jung J. Statistical models of claim distributions in fire insurance // ASTIN Bull. 1974. - V. 8. - P. 1-25.

23. Bingham N.H., Goldie C.M., Teugels J.L. Regular variation. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.

24. Bjork Т., Grandell J. An insensitivity property of the ruin probability // Scand. Actuarial J. 1985. - P. 148-156.

25. Bjork Т., Grandell J. Exponential inequalities for ruin probabilities in the Cox case // Scand. Actuarial J. 1988. - P. 77-111.

26. Bohman H. The ruin probability in a special case // ASTIN Bull. 1971. - V. 1. - P. 66-68.

27. Boogaert P., Crijns V. Upper bounds on ruin probabilities in case of negative loadings and positive interest rates // Insurance: Math, and Econ.- 1987. V. 6. - P. 221-232.

28. Boogaert P., Delbaen F., Haezendonck J. Limit theorems for the present value of the surplus of an insurance portfolio // Insurance: Math, and Econ.- 1988. V. 7. - P. 131-138.

29. Bowers N., Gerber H., Hickman J., Jones D., Nesbitt, C. Actuarial mathematics. Ithaca: Soc. of Actuaries, 1986.

30. Buhlmann H. Mathematical methods in risk theory. Berlin: Springer, 1970.

31. Cramer H. On the mathematical theory of risk // Skandia Jubilee Volume, Stockholm 1930.

32. Cramer H. Collective risk theory // Skandia Jubilee Volume, Stockholm -1955.

33. Christ R., Steinebach J. Estimating the adjustment coefficient in an ARMA(p,q) risk model // Insurance: Math, and Econom. 1995. - V. 14.- P. 149-161.

34. Croux K., Veraverbeke N. Nonparametric estimators for the reliability of ruin // Insurance: Math, and Econom. 1990. - V. 9. - P. 127-130.

35. Dassios A., Embrechts P. Martingales and insurance risk // Stoch. Models- 1989. V. 5. - P. 181-217.

36. Deheuvels P., Steinebach J. On some alternative estimates of the adjustment coefficient in risk theory // Scand. Actuarial J. 1990. - P. 135-159.

37. Dembo A., Zeitouni O. Large deviations. Techniques and Applications. -Boston: Jones and Bartlett, 1993.

38. Dickson D.C.M., Waters H.R. The probability and severity of ruin in finite and infinite time // ASTIN Bull. 1992. - V. 22. - P. 177-190.

39. Dufresne F., Gerber H.U. The probability and severity of ruin for combinations of exponential claim amount distributions and their translations // Insurance: Math, and Econom. 1988. - V. 7. - P. 75-80.

40. Dufresne F., Gerber H.U. The surpluses immediately before and at ruin, and the amount of claim causing ruin // Insurance: Math, and Econom. -1988. V. 7. - P. 193-199.

41. Dufresne F., Gerber H.U. Three methods to calculate the probability of ruin // ASTIN Bull. 1989. - V. 19. - P. 71-90.

42. Dufresne F., Gerber H.U. Risk theory for the compound Poisson process that is perturbed by diffusion // Insurance: Math, and Econom. 1991. -V. 10. - P. 51-59.

43. Dufresne F., Gerber H.U. Rational ruin problems a note for the teacher // Insurance: Math, and Econom. - 1991. - V. 10. - P. 21-29.

44. Dufresne F., Gerber H.U. The probability of ruin for the inverse Gaussian and related processes // Insurance: Math, and Econom. 1993. - V. 12. -P. 9-22.

45. Dufresne F., Gerber H.U., Shiu S.W. Risk theory with the gamma process 11 ASTIN Bull. 1991. - V. 21. - P. 177-192.

46. Durrett R. Conditioned limit theorems for random walks with negative drift // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 1980. - V. 52. - P. 277-287.

47. Eade J. The ruin problem for mixed Poisson risk processes // Scand. Actuarial J. 1983. - P. 193-210.

48. Embrechts P. Martingales in non-life insurance // Vilnius Conference Proceedings, VNU Press 1990. - V. 1. - P. 314-322.

49. Embrechts P., Goldie C.M. On closure and factorization properties of subexponential and related distributions // J. Austral. Math. Soc. 1980. - V. A29. - 243-256.

50. Embrechts P., Goldie C.M., Veraverbeke N. Subexponentiality and infinite divisibility // Z. Wahr. verw. Gebiete 1979. - V. 49. - P. 335-347.

51. Embrechts P., Grandell J., Schmidli H. Finite-time Lundberg inequalities in the Cox case // Scand. Actuarial J. 1993. - P. 17-41.

52. Embrechts P., Kliippelberg C., Mikosch T. Modelling extremal events, with special emphasis on insurance and finance. Book manuscript, 1995.

53. Embrechts P., Schmidli H. Ruin estimation for a general insurance risk model. Adv. Appl. Prob. 1994. - V. 26. - P. 404-422.

54. Embrechts P., Schmidli H. Modelling of extremal events in insurance and finance // Zeitschrift fur Oper. Res. 1994. - P. 1-33.

55. Embrechts P., Veraverbeke N. Estimates of the probability of ruin with special emphasis on the possibility of large claims // Insurance: Math, and Econ. 1982. - V. 1. - P. 55-72.

56. Embrechts P., Villasenor J.A. Ruin estimates for large claims // Insurance: Math, and Econ. 1988. - V. 7. - P. 269-274.

57. Engelander S. Konfidenzintervalle fur empirische Ruinwahrscheinlickeiten: asymptotisches Verhalten und Monte-Carlo Simulation. Diploma thesis, University of Cologne, 1987.

58. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 2. -М.: Мир, 1984.

59. Frees E.W. Nonparametric estimation of the probability of ruin // ASTIN Bull. 1986. - V. 16. - P. 81-90.

60. Furrer H. Risikoprozesse destort durch Diffusion. Diplomarbeit, ETH Zurich, 1993.

61. Furrer H., Schmidli H. Exponential inequalities for ruin probabilities of risk processes perturbed by diffusion // Insurance: Math, and Econom. -1994. V. 15. - P. 23-36.

62. Gerber H.U. Martingales in risk theory // Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker. 1973. - 73. Band. - Heft 2. - P. 205-216.

63. Gerber H.U. An extension of the renewal equation and its application in the collective theory of risk // Skand. Aktuar. Tidskr. 1970. - V. 53. - P. 205-210.

64. Gerber H.U. An Introduction to mathematical risk theory. Philadelphia: University of Pennsylvania, 1979.

65. Gerber H.U. Mathematical fun with ruin theory // Insurance: Math, and Econom. 1988. - V. 7. - P. 15-23.

66. Gerber H.U. Mathematical fun with the compound binomial process // ASTIN Bull. 1988. - V. 18. - P. 161-168.

67. Gerber H.U. From the convolution of uniform distributions to the probability of ruin // Mitteilungen der Schweizerischen Vereinigung fur Versicherungsmathematiker. 1989. - P. 283-292.

68. Gerber H.U. When does the surplus reach a given target? // Insurance: Math, and Econom. 1990. - V. 9. - P. 115-119.

69. Gerber H.U. On the probability of ruin for infinitely divisible claim amount distributions // Insurance: Math, and Econom. -1992. V. 11. - P. 163-166.

70. Gerber H.U. Martingales and tail probabilities // ASTIN Bull. 1994. -V. 24. - P. 145-146.

71. Gerber H.U., Goovaerts M.J., Kaas R. On the probability and severity of ruin // ASTIN Bull. 1987. - V. 17. - P. 151-163.

72. Goldie C.M. Subexponential distributions and dominated-variation tails // J. Appl. Probab. 1978. - V. 15. - P. 440-442.

73. Goovaerts M. J., De Vylder F. A stable algorithm for calculation of ultimate ruin probability // ASTIN Bull. 1984. - V. 14. - P. 53-59.

74. Grandell J. A class of approximations or ruin probabilities // Scand. Actuarial J. 1977. - P. 38-52.

75. Grandell J. A remark on 'A class of approximations of ruin probabilities' // Scand. Actuarial J. 1978. - P. 77-78.

76. Grandell J. Empirical bounds for ruin probabilities // Stoch. Processes and Their Applications 1979. - V. 8. - P. 243-255.

77. Grandell J. Aspects of risk theory. New York: Springer-Verlag, 1991.

78. Grandell J. Finite time ruin probabilities and martingales // Informatica.- 1992. V. 2. - P. 3-32.

79. Grandell J., Peiram L. A note on the ruin problem for a class of stochastic processes with interchangeable increments // ASTIN Bull. 1973. - V. 7.- P. 81-89.

80. Grandell J., Segerdahl C.O. A comparison of some approximations of ruin probabilities // Scand. Aktuar. Tidskr. 1971. - V. 54. - P. 144-158.

81. Henriksen L.F. Large claims in ruin probability theory simulation studies and the case of a Markovian environment. - Cand. act. thesis, Lab. of Insurance Math., University of Copenhagen, 1992.

82. Herkenrath U. On the estimation ot the adjustment coefficient in risk theory by means of stochastic approximation procedures // Insurance: Math, and Econ. 1986. - V. 5. - P. 305-313.

83. Hipp C. Efficient estimators for ruin probabilities Proc. 4th Prague Symp. Asympt. Statist., 1988.

84. Hoglund T. An asymptotic expression for the probability of ruin within finite time // Ann. Prob. 1990. - V. 18. - P. 378-389.

85. Janssen J. Some transient results on the M | SM | 1 special semi-Markov model in risk and queueing theories // ASTIN Bull. 1980. - V. 11. - P. 41-51.

86. Janssen J., Reinhard J.M. Probabilites de ruine pour une classe de modeles de risque semi-Markoviens // ASTIN Bull. 1985. - V. 15. - P. 123-133.

87. Калашников В.В. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций. М.: Наука, 1978.

88. Kalashnikov V.V. Two-sided estimates of geometric convolutions // LN in Math., Springer, Berlin. 1993. - V. 1546. - P. 76-88.

89. Kalashnikov V.V. Mathematical methods in queueing theory. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994.

90. Kalashnikov V.V. Topics on regenerative processes. Boca Raton: CRC Press, 1994.

91. Kalashnikov V.V. Bounds for geometric sums in the presence of heavy-tailed summands. Pr6publications de l'Equipe d'Analyse et de Math£matiques Appliqu6es, Universite de Marne-La-Vallee, No 27, Septembre 1995.

92. Kalashnikov V.V. Two-sided bounds of ruin probabilities // Scand. Actuarial J. 1996. - P. 1-18.

93. Kling B.M., Goovaerts M.J. A recursive evaluation of the finite time ruin probability based on an equation of Seal // Insurance: Math, and Econom. 1991. - V. 10. - P. 93-97.

94. Kliippelberg С. Subexponential distributions and integrated tails // J. Appl. Probab. 1988. - V. 25. - P. 132-141.

95. Kliippelberg C. Estimation of ruin probabilities by means of hazard rates // Insurance: Math, and Econ. 1989. - V. 8. - P. 279-285.

96. Kliippelberg C., Mikosch T. Large deviations of heavy tailed random sums with applications in insurance and finance. Preprint of J. Gutenberg-Universitat Mainz, 95-2, April 1995.

97. Kliippelberg C., Mikosch T. Delay in claim settlement and ruin probability approximations // Scand. Actuarial J. 1996. - в печати.

98. Kliippelberg С., Stadtmuller U. Ruin probabilities in the presence of heavy tails and interest rates. Preprint of J. Gutenberg-Universitat Mainz, 95-7, Dezember 1995.

99. Lin X. Tail of compound distributions and excess time // J. Appl. Probab. 1996. - V. 33. - в печати.

100. Lindley D.V. The theory of queues with a single server // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1952. - V. 48. - P. 277-289.

101. Lundberg O. On radnom processes and their application to sickness and accident statistics. Uppsala: Almqvist and Wiksell, 1964.

102. Meyer P. Processus a accroissements independants et positifs // Seminaire de ргоЬаЬПШёэ III, Lecture Notes in Mathematics. 1969. -V. 88.

103. Meyers G., Beekman J.A. An improvement to the convolution method of calculating ip(u) // Insurance: Math, and Econ. 1988. - V. 7. - P. 267-274.

104. Reinhard J.M. On a class of semi-Markov risk models obtained at classical risk models in a Markovian enviroment // ASTIN Bull. 1984. - V. 14. -P. 23-43.

105. Pakes A.G. On the tails of waiting-time distributions // J. Appl. Prob. -1975. V. 12. - 555-564.

106. Richter W.-D., Steinebach J., Taube S. On a class of estimators for an exponential tail coefficient with applications in risk theory // Statistics & Decisions. 1993. - V.ll. - P.145-173.

107. Schmidli H. A general insurance risk model. Doct. thesis, Diss. ETH, Nr. 9881, ETH Zurich, 1992.

108. Schmidli H. Diffusion approximations for a risk process with the possibility of borrowing and investment // Comm. in Statistics and Stochastic Models. 1994. - V. 10. - P. 365-388.

109. Schmidli H. Cramer-Lundberg approximations for ruin probabilities of risk processes perturbed by diffusion // Insurance: Math, and Econ. 1995.- V. 16. P. 135-149.

110. Schmidli H. An extension to the renewal theorem and an application to risk theory. Res. Report, Dept. of Theoretical Statistics, Univ. of Aarhus.- No 333. October 1995.

111. Sundt В., Teugels J.L. Ruin estimates under interest force. Preprint, 1995.

112. Taylor G.C. A heuristic review of some ruin theory results // ASTIN Bull. 1985. - V. 15. - P. 73-88.

113. Teugels J.L., Veraverbeke N. Cramer-type estimates for the probability of ruin // C.O.R.E. Discussion paper. 1973. - V. 7316.

114. Thorin O. Ruin probabilities when the claim amounts are gamma distributed // Fotsakringstekniska forskingsnamnden. 1986. - V. 69.

115. Thorin O., Wikstad N. Calculation and use of ruin probabilities // Trans, of the 20th Intern. Congress of Actuaries. 1976. - V. III. - P. 773-781.

116. Thorin O., Wikstad N. Calculation of ruin probabilities when the claim distribution is lognormal // ASTIN Bull. 1977. - V. 9. - P. 231-246.

117. Tijms H.C., Van Hoorn M.H. Algorithms for the state probabilities and the waiting times in single server queueing systems with random and quasirandom input and phase-type service times // OR Spectrum. 1981. - V. 2. - P. 145-152.

118. De Vylder F. Martingales and ruin in a dynamical risk process // Scand. Actuarial J. 1977. - P. 217-225.

119. De Vylder F. A practical solution to the problem of ultimate ruin probability // Scand. Actuarial J. 1978. - P. 114-119.

120. Waters H.R. Excess of loss reinsurance limits // Scand. Actuarial J. -1979. P. 37-43.

121. Willekens E., Teugels J.L. Asymptotic expansions for waiting time probabilities in an M | G | 1 queue with long-tailed service time // Queueing Systems 1992. - V. 10. - P. 295-312.

122. Willmot G. The total claims distribution under inflationary conditions // Scand. Actuarial J. 1989. - P. 1-12.

123. Willmot G. Refinements and distributional generalizations of Lundberg's inequality // Insurance: Math, and Econom. 1994. - V. 15. - P. 49-63.

124. Willmot G., Lin X. Lundberg bounds on the tails of compound distributions // J. Appl. Prob. 1994. - V. 31. - P. 743-756.

125. Kalashnikov V.V., Tsitsiashvili G.Sh. Tails of waiting times and their bounds//Queueing Systems. 1999. V. 32. P. 257-283.

126. Konstantinides D.G., Tang Q.H., Tsitsiashvili G.Sh. Estimates for the ruin probability in the classical risk model with constant interest force in the presence of heavy tails //Insurance: Mathematics and Economics. 2002. V. 31. N. 3. P. 447-460.

127. Ortobelli S.I., Huber I., Rachev S.T., Schwartz E. Portfolio Choice Theory with non-Gaussian Distributed Returns. Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance. North Holland Handbooks of Finance. Series Editor Zimba W.T.

128. Rogozin, B.A., Sgibnev, M.S. Banach algebras of measures on the line with given asymptotics of distributions at infinity. Siberian Math. J. 40, 1999, 565-576.

129. Tang Q., Tsitsiashvili G.Sh. Precise Estimates for the Ruin Probability in Finite Horizon in a Discrete-time Model with Heavy-Tailed Insurance and Financial Risks. Stochastic Process. Appl., 108, 2003, pp. 299-325.

130. Скварник E.C. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным интересом в случае тяжелых хвостов //Дв. мат. журнал 2004, том 5, выпуск 1,С. 72-82.

131. Скварник Е.С. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным приростом капитала//

132. Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН. 2004.

133. Цициашвили Г.Ш.,Скварник Е.С.,Кольев А.Н. Фазовый переход в модели страхования с логарифмически устойчивым распределением финансового риска. //Пятый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике(Кисловодск, 2 мая-8 мая 2004 г.)

134. Скварник Е.С. Численные оценки вероятности разорения в классической модели риска//Тез. докл. Дальн. школы им. Е. В. Золотова. Владивосток: Дальнаука. 2001. С. 64-65.

135. Скварник Е.С. Оценки вероятности разорения в классической модели риска с постоянным интересом//Тез. докл. 5-ой Дальн. конф. студентови аспирантов по мат. моделированию, Владивосток: Дальнаука, 2001, С. 21

136. Цициашвили Г.Ш.,Скварник Е.С. Численное решение задачи о средних значениях в классической модели риска//Препринт. Владивосток: ИПМ ДВО РАН. 2001.

137. Цициашвили Г.Ш.,Скварник Е.С. Численное решение задачи о средних значениях в классической модели риска//

138. Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 1. Jf« 1. Москва: ТВП. 2001. С. 127-128

139. Скварник Е.С. Численные оценки вероятности разорения в дискретной модели риска с конечным числом шагов на основе метода Монте-Карло //Тез. докл. 6-ой Дальн. конф. студентов и аспирантов по мат. моделированию, Владивосток: Дальнаука, 2003, С. 24

140. Скварник Е.С. Оценки вероятности разорения в дискретной модели риска на одном шаге// Тез. докл. 6-ой Дальн. конф. студентов и аспирантов по мат. моделированию. Владивосток: Дальнаука. 2002. С. 20-21.

141. Скварник Е.С. Быстрый алгоритм численного интегрирования медленно меняющихся функций //Тез. докл. Дальн. школы им. Е. В. Зо-лотова. Владивосток: Дальнаука. 2002. С. 64-65.