Исследование нечетких и неопределенных нечетких методов анализа и интерпретации данных

Фаломкина, Олеся Владимировна

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование нечетких и неопределенных нечетких методов анализа и интерпретации данных

кандидата физико-математических наук: Фаломкина, Олеся Владимировна
город: Москва
год: 2006
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Исследование нечетких и неопределенных нечетких методов анализа и интерпретации данных»

Автореферат диссертации по теме "Исследование нечетких и неопределенных нечетких методов анализа и интерпретации данных"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Фаломкина Олеся Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ НЕЧЕТКИХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА И ИНТЕРПРЕТАЦИИ ДАННЫХ

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006 г.

Работа выполнена на кафедре компьютерных методов физики Физического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Ю.П.Пытьев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Л. Г. Деденко доктор физико-математических наук, профессор М. И. Киселев

Ведущая организация: Московский Энергетический Институт

ею

Защита состоится « № » 2006 г. в ¿¿> на заседании Диссер-

тационного Совета К 501.001.17 при Московском Государственном Университете им,М.В.Ломоносова (г. Москва, Ленинские горы, МГУ, Физический факультет,

ауд-Ж%).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического факультета МГУ.

Автореферат разослан » 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 501.001.17 д.ф.-м.н., профессор

П. А. Поляков

Общая характеристика работы Актуальность темы

Для последних нескольких десятилетий характерен возрастающий интерес к математическим моделям неясности, неопределености и т.п., характеризующим неполноту знаний, их недостоверность, и — нечеткости, случайности, и т.п., относящихся к их содержанию.

Как известно, теория вероятностей, как математическая основа моделирования случайности и неопределенности, на практике неэффективна чаще всего в связи с невероятностной природой последних, но и в тех случаях, когда стохастический характер нечеткости и неопределенности очевиден, принципиальные трудности, как правило, возникают при эмпирическом построении вероятности [Пытьев, 2005]1.

С этим связано появление ряда фундаментальных математических работ, посвященных невероятностым методам моделирования нечеткости, случайности и неясности. Субъективная вероятность Сэведжа [Сэведж, 1972]2 как мера неуверенности субъекта, суждения которого удовлетворяют определенным условиям «рациональности»; верхние и нижние вероятности Демпстера [Демпстер, 1967]3, характеризующие неполноту наблюдений и отражающие неопределенность в теории вероятностей, моделируемую многозначными отображениями; правдоподобие и доверие Шеффера [Шеффер, 1976]4, обобщающие конструкции Демпстера в теории принятия решений; возможность Заде [Заде, 1978]5, основанная на его теории нечетких множеств [Заде, 1965]®, — далеко не полный перечень таких работ. Следует отметить также работы [Куман, 1997а]7, [Куман, 19976]8, [Куман, 1997в]9, теории возможностей [Дюбуа, Прад, 1988]10 и [Пытьев, 2000]11. На последней работе остановимся подробнее, поскольку представленная в ней теория возможностей используется в диссертации.

В [Пытьев, 2000] возможность принимает значения в ранговой шкале £ = ([0, 1], < ,+,•), в которой сложение «+» определено как «шах», а умножение «•» определено

1Пытьев Ю.П. Стохастические и нечеткие модели. Эмпирическое построение и интерпретация. Сборник трудов 1-й международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование», 2005, с. 482-492. 2Savage L. J The Foundation of Statistic N.-Y., 1972.

'Dempster A. P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. Ann. Math. Statist. 38 (1967) 325-339.

4Shafer G. A mathematical theory of evidence. Princeton University Press, Princeton N.J., 1976. 5L. A. Zadeh, Fuzzy Sets as a basis for a theory of possibility, Fuzzy Sets and Systems 1 (1978) 3-28. eL. A. Zadeh, Fuzzy Sets, Inf. Control 8 (1965) 338-353.

7G. de Cooman. Possibility theory I: the measure- and integral- theoretic groundwork. International Journal of General Systems, 25 (1997), pp. 291-323.

8G. de Cooman. "Possibility Theory П: Conditional Possibility". International Journal of General Systems, 25 (1997), pp. 325-351.

9G. de Cooman. "Possibility Theory III: Possibilistic Independence". International Journal of General Systems. 25 (1997), pp. 353-371. 10D. Dubois, H. Prade. Theorie des Possibilities. Masson, Paris-Milano-Barselona-Mexico, 1988. 11Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применениеЭдиторшш УРСС Москва

2000. рос- НАЦИОНАЛЬНАЯ 1

БИБЛИОТЕКА {

оэ

как «min». Тот факт, что L имеет обширную группу Г автоморфизмов, порожденную непрерывными строго монотонными преобразованиями отрезка [0, 1] в себя, оставляющими неподвижными точки 0 и 1, в [Пытьев, 2000] использован для формулировки принципа относительности возможности, согласно которому каждый исследователь может использовать для представления результатов исследований свою шкалу, все шкалы считаются эквивалентными, а содержательно истолкованы могут быть лишь результаты, не зависящие от выбора шкалы. Последнее существенно отличает вариант теории возможностей, рассмотренный в [Пытьев, 2000]. от перечисленных выше.

В частности, принцип относительности позволил построить стохастические модели возможности, и, как следствие, решить проблему эмпирического восстановления стохастически измеримой возможности, что существенно расширяет класс стохастических объектов, математические модели которых могут быть получены эмпирически, и т.д. В [Пытьев, 2005] показано, что при эмпирическом построении теоретико-возможностной модели стохастического объекта его теоретико-вероятностная модель в течение всего времени наблюдений может произвольно эволюционировать в пределах одного из известных классов, в то время как при эмпирическом построении его теоретико-вероятностной модели последняя, как известно, должна быть неизменна в течение всего времени наблюдений. Более того, при достаточно слабых ограничениях на характер эволюции вероятностей теоретико-возможностная модель может быть построена почти наверное безошибочно на основании конечного числа наблюдений, тогда как теоретико-вероятностная модель такого стохастического объекта эмпирически не может быть построена принципиально. Наконец, принцип относительности позволяет определять возможность и на основе экспертных оценок.

В диссертации представлены результаты двух направлений научных исследований. Первое направление посвящено исследованию варианта теории возможностей, фрагментарно рассмотренного в [Пытьев, 2000], в котором возможность принимает значения в шкале £ = ([0,1], +, •), где сложение «+» определено как «тах», умножение «•» - как «обычное» умножение «•», который далее будем называть вторым вариантом теории возможностей, в отличие от варианта, которому в основном посвящена монография [Пытьев, 2000]. В [Пытьев. 2000] для второго варианта приведены лишь основы теории и закон больших чисел. Вне рассмотрения остались принцип относительности возможности, методы оптимального оценивания, анализа и интерпретации данных, эмпирического построения теоретико-возможностных моделей.

Одной из целей диссертации является исследование принципа относительности для этого варианта возможности, его стохастических моделей, методов анализа и интерпретации данных и т.д. В диссертации приведены результаты этих исследований, в частности, разработан принцип относительности и построена стохастическая модель возможности, для случая априори известной упорядоченности вероятностей элементарных исходов стохастического эксперимента разработан метод эмпирического построения его теоретико-возможностной модели, метод анализа и интерпретации данных и т.д.

Второе направление посвящено исследованиям по неопределенной нечеткой (НН) математике [Пытьев, 2004]12, в частности, математическим методам и алгоритмам анализа и интерпретации данных для неопределенных нечетких (НН) моделей; разработке математических методов моделирования и анализа неопределенных стохастических объектов.

В работах, посвященных моделированию случайности, нечеткости, неясности и неопределенности, и имеющих непосредственное отношение к этому направлению исследований, выделим фундаментальные результаты, относящиеся к моделированию неопределенности, обусловленной неполнотой знаний. Это мера правдоподобия Фридмана и Халперна [Фридман]13, обобщающая доверие Демпстера-Шеффера, возможность Заде и нечеткую меру Сугено14, верхнее и нижнее предвидение Вэлли [\Valley, 1996]15, обобщающие вероятность, возможность Заде и доверие Демпстера-Шеффера, контекстная модель Гебхардта и Круза[СеЫ1аг<К;, 1993]16, использующаяся для опвсаг ния нечеткости и неопределенности, позволившая дать альтернативную формулировку теории Демстера -Шеффера, и, наконец, мера правдоподобия (доверия) возможности (необходимости) Пытьева [Пытьев, 2004], имеющая непосредственное отношение ко второму направлению исследований в диссертации.

Среди всех рассмотренных публикаций не удалось обнаружить работ, кроме [Пытьев, 2004], в которых методы моделирования содержали бы математические средства для формального выражения как мнений исследователя по поводу адекватности используемой модели и основанных на ней выводов, так и эволюции этих мнений, обусловленной получением новых данных. В разработанных в [Пытьев, 2004] неопределенных нечетких (НН) моделях нечеткость, неточность формулировок, относящаяся к содержанию информации, охарактеризована в терминах значений мер возможности и (или) необходимости, а достоверность формулировок, истинность которых не может быть абсолютной в силу принципиальной неполноты знаний, охарактеризована в терминах значений мер правдоподобия и (или) доверия.

Принцип построения НН модели в [Пытьев, 2004] состоит в следующем: рассматривается класс теоретико-возможностных моделей, на котором задается распределение правдоподобий, что позволило разработать правила принятия решений, в которых критерии оптимальности решения основаны на значениях правдоподобия (доверия) возможности и (или) необходимости ошибки решения, при этом возможность и (или) необходимость определяют содержательную характеристику качества решения, тогда как правдоподобие тех или иных значений возможности (необходимости) ошибки, показывающее, в какой степени им следует доверять, является дополнительной ха^

"Пытьев Ю.П. Неопределенные нечеткие модели и их применения Интеллектуальные системы 8 (2004), вып. 1-4. 147-310.

13N. Friedman, J. Y. Halpern. Plausibility Measures and Default Reasoning. In Proc. National Conference on Artificial Intelligence (AAAI '96).

"Sugeno. M. Fuzz Measure and Fuzzy Integral. Trans. SICE 1972, 8, №2, pp. 95-102.

15P. Walley. Measures of uncertainty in expert systems. Artificial Intelligence, 83:1-56, 1996.

18 J. Gebhardt and R. Kruse, The context model: An integrating view of vagueness and uncertainty, International Journal of Approximate Reasoning 9 (1993) 283-314.

рактеристикой качества.

В диссертационной работе по этому направлению предложены и исследованы новые правила принятия решений для НН моделей и, в частности, два новых критерия оптимальности, разработана и исследована неопределенная стохастическая (НС) модель идентификации и построен критерий качества идентификации для этой модели.

Цель работы.

Одной из целей диссертационной работы является исследование второго варианта теории возможностей:

1. разработка принципа относительности возможности, построение ее стохастической модели и разработка математических методов эмпирического построения возможности;

2. разработка математических методов анализа и интерпретации данных для обоих вариантов теории возможностей, разработка и реализация программного комплекса на базе платформы МаШЬ, позволяющего решать широкий спектр задач анализа и интерпретации данных, проверять адекватность модели и выводов.

В направлении исследований по НН математике целью является

1. разработка и исследование новых методов принятия решений для НН моделей, в которых в критерии оптимальности решения, основанном на значении меры правдоподобия возможности (и, или необходимости) ошибки решения, либо правдоподобие является основной, а возможность (необходимость) — дополнительной характеристикой качества, либо возможность (необходимость) и правдоподобие являются равноценными характеристиками качества;

2. разработка и реализация программного комплекса на базе платформы МаЙаЬ для решения задач редукции измерений, восстановления функциональной зависимости для НН моделей, позволяющего исследователю вести интеллектуальный диалог с компьютером, в том числе изменять параметры модели и наблюдать, как эти изменения влияют на выводы и на адекватность НН модели и основанных на ней выводов; проведение на его базе вычислительного эксперимента для сравнения теоретик» возможностных и НН методов моделирования анализа и интерпретации данных;

3. построение неопределенной стохастической модели идентификации и правила идентификации, в котором критерий качества основан на значении правдоподобия вероятности ошибки идентификации, вероятность ошибки — более важная характеристика качества идентификации, чем правдоподобие.

Методы исследования

Теоретическая часть диссертационной работы выполнена с использованием абстрактной теории меры и интеграла, теории частично упорядоченных множеств, теории решеток, теории вероятностей, математической статистики, теории возможностей и неопределенной нечеткой математики. Численные эксперименты реализованы с использованием программ, составленных на базе платформы МаЫаЬ.

Достоверность полученных результатов. Достоверность полученных теоретических результатов обоснована корректным применением использованных матема-

тических методов. Достоверность прикладных результатов обоснована возможностью эффективно проверять адекватность используемых моделей и основанных на них выводов, что являлось одной из целей исследований.

На защиту выносятся

1. Принцип относительности возможности и его следствия — стохастическая модель возможности и метод ее эмпирического восстановления.

2. Новые методы оптимальных решений, в том числе для эмпирически восстановленных теоретико-возможностных моделей.

3. Новые методы принятия решений для НН моделей, в том числе новые критерии оптимальности решения, и методы решения задач анализа и интерпретации данных.

4. Комплекс программ для решения задач теоретико-возможностного и НН моделирования, анализа и интерпретации данных, и пользовательский интерфейс исследователя.

Научная новизна. В диссертационной работе по второму варианту возможности получены следующие новые результаты:

1. разработан принцип относительности, построена стохастическая модель возможности, для случая априори известного упорядочения вероятностей элементарных исходов стохастического эксперимента разработан и исследован метод эмпирического построения его теоретико-возможностной модели;

2. разработаны теоретико-возможностные методы анализа и интерпретации данных;

3. для обоих вариантов возможности разработан и реализован на базе платформы \latlab программный комплекс для решения задач редукции измерений, восстановления функциональной зависимости и прогнозирования.

По неопределенной нечеткой математике получены следующие новые результаты:

1. предложены и исследованы новые правила принятия решений для НН моделей и, в частности, новые критерии оптимальности, основанные на значении меры правдоподобия возможности (необходимости) ошибки, в которых основной характеристикой качества решения является правдоподобие, дополнительной — возможность или необходимость, и критерии, в которых одинаково важны как возможность (необходимость), так и правдоподобие;

2. разработан и реализован программный комплекс на базе платформы МаШЬ для решения задач редукции измерений, восстановления функциональной зависимости для НН моделей, позволяющий исследователю вести интеллектуальный диалог с компьютером, в частности, изменять параметры модели и наблюдать, как эти изменения влияют на выводы, на адекватность НН модели и основанных на ней выводов, и выполнен вычислительный эксперимент, в котором продемонстрирован существенно более широкий арсенал средств НН моделирования по сравнению с теоретико-возможностным моделированием решений задач анализа и интерпретации данных;

3. разработана и исследована неопределенная стохастическая (НС) модель идентификации и построен критерий качества идентификации, основанный на значении правдоподобия вероятности ошибки идентификации.

Практическая ценность и апробация работы

1 Для второго варианта возможности, который занимает «промежуточное» положение между вероятностью и возможностью, представленной в [Пытьев, 2000], разработан метод эмпирического построения стохастически измеримой возможности, и теоретико-возможностных моделей объектов исследований. Этот результат позволяет существенно расширить класс стохастических объектов, математическая модель которых может быть построена эмпирически.

2. Практическая ценность разработанных в диссертации новых правил принятия решений для НН моделей состоит в том, что разработан новый инструмент для научных исследований и решения прикладных задач, который

• позволяет при построении и использовании модели и основанных на ней выводов отражать мнение исследователя об адекватности модели и выводов, и выражать его эволюцию, обусловленную получением новых знаний;

• позволяет исследователю при решении задач реализовывать свои предпочтения, выбирая тот или иной критерия качества решения.

Практическая ценность разработанного на основе новых правил принятия решений и реализованного на базе платформы МаЙаЬ программного комплекса заключается в том, что исследователь получил новые средства интеллектуалного диалога с компьютером, в частности

• возможность реализовать свои предпочтения при выборе того или иного критерия качества решения,

• возможность формально выражать свое мнение по поводу адекватности модели и основанных на ней выводов,

• возможность изменять модель и наблюдать, как эти изменения влияют на выводы, на адекватность НН модели и основанных на пей выводов.

Результаты диссертационной работы доложены на конференциях "Ломоносов-2000", "Математические методы распознавания образов-10", "Медицинская физика

- 2001 "1-го Евразийского конгресса по медицинской физике и инженерии, "Ломоносов - 2003", "Математические методы распознавания образов - 11", "Математические методы распознавания образов - 12"(доклад удостоен 2-й премии на конкурсе докладов молодых ученых), и на научных семинарах кафедры «Математическая теория интеллектуальных систем» (механико-математический факультет МГУ им. М В. Ломоносова) и компьютерных методов физики ( физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова).

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 11 работ

- 3 статьи в журналах, 8 — в трудах конференций.

Личный вклад. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Содержание работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Во введении дан обзор состояния исследований по моделированию случайности, нечеткости, неясности и неопределенности, обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе «Теория возможностей и неопределенная нечеткая математика. Концепции, факты» дан обзор теории возможностей [Пытьев, 2000] и неопределенной нечеткой математики [Пытьев, 2004], которые используются в работе.

Дополнительные сведения из теории возкожностей и неопределенной нечеткой математики приведены в соответствующих главах в связи с полученными в них результатами.

Во второй главе «Стохастическая модель и эмпирическое построение возможности, принимающей значения в шкале £ = ([0, 1],^,тах, •)» даны результаты исследований возможности, принимающей значения в шкале £ = ([0,1], +, •), где сложение «+» определено как «тах», а умножение «•» определено как «•» (обычное умножение), инвариантной относительно группы преобразований Г = {7(-) : [0.1] —» [0,1], у(х) = Xa, а > 0. же [0, 1]}. В этой шкале отношение логарифмов значений возможностей инвариантно относительно преобразований из Г, и может быть содержательно истолковано.

Результаты, полученные во второй главе, перечислены выше в разделе «Научная новизна».

Принцип относительности возможности является содержательной интерпретацией инвариантности шкалы £ относительно преобразований из Г, а именно, любые определения, доводы и заключения объявляются эквивалентными, если в некоторых шкалах их формулировки совпадают, а содержательно истолкованы могут быть лишь те аспекты теоретико-вероятностных моделей и основанных на них выводов и решений, формулировки которых не зависят от выбора шкалы.

Дуально изоморфная £ шкала £ = ([0, 1], +, •) значений необходимости получат

ется преобразованием 9 :£—►£, 9 е в, где 0 — класс строго монотонно убывающих функций в(-) : [0, 1] —> [0, 1], при этом

а < Ь О в{а) > 9{Ъ) 9(а) < 9(Ь), а+Ъ ± e~l((9(a)) +(9(Ь))) = min(a, Ь), а, Ь € [0,1], (*)

9{а*Ь) = 9(а + Ь-аЬ) = в(а)9{Ь), а,be [0, 1], в € в. (**)

Условие (*) выполняется при любом 9 € в. В диссертации фунцкция в, определенная согласно условию (**), имеет вид 9{b) = (1 — b)a, b € [0, 1], а > 0; соответственно 0-i(b) = 1 - Ь^а, Ъ € [0, 1], а > 0.

В общем случае принцип относительности формулируется следующим образом: если исследователь использует пару дуально изоморфных шкал £, £ то, как показано в диссертации, они должны преобразовываться одновременно по следующему правилу:

•С —► & 7&1 гДр 7 € Д? — {в ° ч о в 0 е в}, 7 6 Г, и при этом все определения, модели, выводы и т.п., допускающие содержательное толкование, должны

формулироваться одинаково в любой паре шкал уС, уС., 7 е Дгу, 7 6 Г.

Стохастическая модель возможности. В диссертации рассмотрена теоретико-возможностная модель У = {(П,3'(О), Р), Р е Р} стохастического эксперимента Э, моделью которого является класс Тг = {(П, !Р(П),Рг), Рг е Рг}, где Рг — класс всех вероятностей, распределенных согласно

1 ^ РП > рг2 > •.. ^ 0, ргх + рг2 + ... = 1, (1)

Р — класс всех возможностей, распределенных согласно

1 = Р1 > Рг > - - - > 0. (2)

Определение 1. Возможность Р(-) : У(Г2) —> [0, 1] называется максимально согласованной с вероятностью Рг(-) • 3>(0) —» [0, 1], Рг «> Р, если существует функция 7(-) е Г = Г (Рг), такая, что 7(0) = 0 а = 0, и для любого А е 0»(П) Р( А) = 7(Рг(,4)); Г(Рг) — класс монотонно неубывающих функций у(-) • [0, 1] —> [0, 1], инвариантный относительно преобразований из группы Г: У7(-) € Г Г(Рг) = {70 7(-), 7(-) е Г (Рг)}, и удовлетворяющий условиям (5), (6) (ср. с [Пытьев, 2002]) Максимально согласованная с вероятностью Рг возможность Р называется Рг-измеримой.

Максимальная согласованность возможности с вероятностью устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами Рг¡д вероятностей и классами Р^. в € Ъ, эквивалентных возможностей с помощью следующих условий: 1 - рг, - ... - рг,-1 1-ргх ^ рг,_! " РГ!

V РП РП /

Классы возможностей образуют разбиение класса возможностей Р: Р =

иР(/з), Р € Ъ, Ъ = {{А,А,...}, А € [0, 1],г = 1,2,...}, откуда следует разбиение

класса вероятностей Рг = иРг(/?)> 0 £ ъ> ® = {{А.А, ■ ■ ■}, А е [0, 1], г = 1,2,...}.

В диссертации конструктивная связь между вероятностью Рг и возможностью Р. Рг «> Р, определена с помощью функций 7(-) Р Г(Рг), удовлетворяющих следующим условиям: на интервалах Дх, Дг,...,

Д, 4 [рг„ 1 - рп-----рг,.!], г = 1,2,..., (4)

7(0) = 0, 7(х) = с* х е Д,, г = 1,2,..., а > 0, й = 1, с, = с*!, с, е [0, 1],

0 $ Д < 1 Д, П Д.+1 = 0, 0, = 1 Д, П Д,+1 ф 0, г = 1,2,..., (5)

а в промежутках между интервалами Д1, Д2,..., т.е. на множестве [0,1]\ и Д1

»=1

7(ж) = (<7,х)а, х е [1 - ргх - ... - рг,, рг,], если Д, П Д,+1 = 0, » = 1,2,..., а > О, 1<?1 <2, = д1=1~РГ1~---~рГ,-1д,„1,..., ¿ = 2,3,... (6)

А 6 [0, 1] о р, = р£

Пример функции 7(-) для случая Q = {и^012,^3}, Д. П A,+i = 0, г = 1,2, (см. (4)) представлен на рис. 1 а). На рис. 1 б) изображен класс Р и классы ^({о/?'1'})' ^({о/З^};'

О < < < 1, на рис. 1 в) представлен «треугольник вероятностей» р?^ + pr2 + ргз = 1, на котором выделен класс Рг и классы вероятностей Рг^^м^, i = 1,2.

Эмпирическое построение возможности. В диссертации получены следующие результаты.

Теорема 1. Если вероятность Рг, контролирующая исходы стохастического эксперимента Э, принадлежит одному из классов Рг^), /? 6 Ъ, то V е > 0 п.н. безошибочно на основании наблюдений результатов конечного числа п(е) взаимно независимых повторений Э восстанавливается множество U Р(#) классов

36»,

возможностей, где 0(с) — замкнутый шар радиуса е с центром в точке Рг.

Теорема 2. Пусть Э^Эг, -. — последовательность взаимно независимых стохастических экспериментов (Г2,3,(П),Рг1),(Г2,3>(П),Рг2),...; причем среди вероятностей Pri,Pr2, ... конечное число различных, например, Рг1,..., Prfc. Если существует возможность Р, максимально согласованная с вероятностями Рг1,..., Рг*, каждая из которых принадлежит классу Ртда, Р Е Ъ, то на основании наблюдений результатов конечного числа экспериментов Э1.Э2,. ■. V е > 0 п.н. безошибочно может быть восстановлено множество (J Р^) классов возможностей, где

Ъ' = {/? е Ъ, Рг(/9)ПФ / 0}, V — U 0(£)(Рг), где 0(£)(Рг) - замкнутый

РгеЕ л^Рг1, ¿A,=i, А(€(0,1), «=1, ,к.

шар радиуса е с центром в точке Рг.

Таким образом, было показано, что в отличие от варианта, расмотренного в [Пы-тьев, 2000], во втором варианте теории возможностей на основании конечного числа наблюдений результатов стохастического эксперимента нельзя восстановить неприводимую теоретико-возможностную модель, а можно восстановить лишь семейство таких моделей. В этом смысле второй вариант теории возможностей оказался су-

щественно «ближе» к теории вероятностей по сравнению с вариантом, которому в основном посвящена монография [Пытьев, 2000].

Правило принятие решения для эмпирически восстановленной модели.

Поскольку эмпирически восстановливается не отдельная неприводимая теоретико-возможностная модель, а их семейство, в диссертации рассмотрена задача оценивания нечеткого элемента £ е X, распределение которого у^(-) : X —> [0, 1] неизвестно, известен их класс Ф

max. Р(^(.),з/)~1шп, (7)

*>£()еФ уах

где Р(р((-),у) = вар{<р*(х)Кх,у)), КХ<У) = 0, х = у, 1{х,у) >0, х ф у, т.е. ошибка iex

невозможна только при совпадении оценки и оцениваемого элемента.

В диссертации показано, что решением задачи (7) является решение задачи

У€Х

при самом «плохом» распределении £>*(•), удовлетворяющем условию

х & X, i^(-) е Ф. Тем самым показано, что эмпирически восстановленная теоретико-возможностная модель может быть использована для эффективного решения задачи оценивания.

В третьей главе «Правила решения для неопределенных нечетких и неопределенных стохастических моделей» рассматриваются правила принятия решений для НН моделей, и, в частности, два новых критерия оптимальности, разработана и исследована неопределенная стохастическая (НС) модель идентификации и построен критерий качества идентификации для этой модели.

Неопределенный нечеткий элемент, его распределение. НН элемент {Пытьев, 2004] при НН моделировании играет такую же роль, какую играет случайный элемент при стохастическом моделировании и нечеткий элемент при нечетком моделировании.

Пусть (У, У (У), Р4) - пространство с возможностью, которое состоит из множества У элементарных событий, <т-алгебры !Р(У) всех подмножеств У, называемых событиями, и функции Р|?(-): У(У) —► [0, 1], называемой мерой возможности (возможностью).

Возможность Р',(-) определяется ее значениями fv(y) = Р4 ({?/}) = Р^(г) = у), у £ У, на одноточечных подмножествах {у} с У, а именно, Рп(Л) = Рч(г/ е А) = sup /"(у), А € !Р(У).

уел

Функция Р(-) : У —> [0,1] называется распределением возможностей значений канонического для (У, !Р(У), Р4) нечеткого элемента 77: У —»(У, !Р(К), Рч(-)) и распределением возможности Рч(-).

Пусть аналогично (It, iP(1i.), Plu(-)) — пространство с правдоподобием, состоящее из множества IX элементарных высказываний, ст-алгебры 7(11) всех подмножеств (высказываний), и функции Р/"(-) : 7(11) —> [0, 1], называемой мерой правдоподобия. Аналогично возможности Рч(-), правдоподобие Р/"(-) определяется распределением правдоподобий §"(•) • IX —> [0, 1] значений канонического неопределенного элемента й: (U,?(U),Pls(-))->U.

Определение ([Пытьев, 2004]). НН элементом, принимающим значения в X,

называется образ £ = q(r/, и) (упорядоченной) пары (г/, и) — нечеткого г/ и неопределенного и элементов при отображении <?(•, •) : У х U —* X.

Функция тi(p) = Рl(P(S = х) = р) = sup {/(и) | и G К, /«"(ж) = р}, х 6 X, р 6 [0, 1], называется распределением правдоподобия возможностей значений НН элемента или короче - распределением Ее значение т|(р) определяет правдоподобие истинности «элементарного» высказывания, согласно которому р — возможность равенства £ = х & X.

Шкала значений правдоподобия возможностей. В работе [Пытьев, 2004] введено понятие шкалы {Т, V, Л} значений правдоподобия возможностей, которая определяется четырьмя элементами: множеством Т распределений правдоподобия возможностей, отношением упорядоченности на Т и двумя бинарными операциями — сложением V : Т х 7 —» 7 и умножением Л : 7 х 7 —» 7. В [Пытьев, 2004] 7 — класс функций, определенных на [0, 1], принимающих значения в [0, 1], удовлетворяющих условию нормировки sup r(p) = 1, и содержащий

O^p^l

1. вместе с каждой функцией т(-) функции

т*(р) = sup г (а), т„(р) = sup г (а); (8)

а^р а^р

2 вместе с каждой парой функций ri(-) и г2(-) их сумму (ti V т2)(-) и произведение (п Л г2)(-), определенные равенствами

(tí V т2)(р) = sup{min(ri (а), т2(6)) \а,Ье [0,1], inax(a, Ь) = р}, ^

(г2 Л т2)(р) = sup{min(ri (а), т2 (6)) | а, 6 £ [0,1], min(a, b) = р}, ре [0, 1], п(-) < т2(-), если r*(p) < т2*(р), т;и(р) < r2.(p), Р 6 [0, 1].

В диссертационной работе введены и исследованы два других отношения упорядоченности на 7, а именно, tí(-) ^ г2(-), если т*(р) < т*(р), г+(р) < т2+ (р), р 6 [0, 1], где

т+(р) = infr(a), р е [0, 1], (10)

а>Р

И п(-) ^ г2(-), если 7Í(p) < т2*(р), п+(р) < г2+(р), р 6 [0, 1], где

т+(р) = Ыт(а), р€[0, 1]. (И)

Пусть & — НН элементы, принимающие значения в X, т^'(-): X х [0, 1] —» [0, 1], г^'(-) £ 7, i = 1,2,— их распределения. Отношение г|{ (■) ^ свидетельствует в пользу равенства f2 = z2, причем в диссертации показано, что согласно (10) правдоподобие является более важной характеристикой равенств = хи г = 1,2, чем возможность, а согласно (11) возможность и правдоподобие являются одинаково важными характеристиками, значения которых позволяют предпочесть равенство £2 = хъ равенству & = х\.

Свойства операций (10), (11) охарактеризованы в следующей лемме:

Лемма 1. Имеют место равенства 1. (ti V т2)+(р) = тах(г+(р),т+(р)), (п а г2)+(р) = тш(т+(р), т+(р)), ^ £ (П V т2)+(р) = max(ri+(p),т2+(р)), (n А т2)+(р) = min(ri+(p),т2+(р)),

2. Если т(р) = ( Д г, ) (р), то г+(р) = min т+(р), r+(p) = min т*+(р), p e [О, 1].

V j—J у l^fc^n l^fc^n

3. Если r(p) ^ I V Ь J (p), ™ r+(p) = max rt+(p), r+(p) = шах т*+(р), p e [0, 1].

\j=l I l^ÄV» l^K^n

Оценивание для HH модели. Пусть f — НН элемент, принимающий значения в X, т^(-) : X х [0, 1] —> [0, 1] — распределение правдоподобия возможностей его значений, А(у), у е У, — семейство НН множеств, принимающих значения в 'Р(Х),

тА(">(-) — индикаторная функция множества у € К, и пусть £ и Л(„) независимы при любом у €Y. Качество оценивания охарактеризовано значением

Р1(Р(|б = р) = sup{infri«>(9l)| sup?, = р} 4 ( V rj») ) (р), р 6 [0, 1]. (12)

*€Х _ ,, VxeJí / правдоподобия возможности р включения £ € А[у)> которое интерпретируется как правдоподобие возможности р ошибки оценивания НН элемента f значением у eY. В (12) TÍ"'(g) = вир{тш(т£(а), т>(6))|а, Ъ е [0, 1], miaja, 6) = g} 4 (т£Лт>)(д), g е [0, 1], и считается, что неопределенная функция — х, х е Л(„)), i £ X, имеет независимые значения при любом17 у EY. _

Если при решении задачи оценивания НН элемента £ правдоподобие — основная, возможность — второстепенная характеристика качества оценивания, оптимальная оценка у+ е Y НН элемента ( £ I определяется как решение двукритериальной задачи

sup Р1(Р($ в A(V)) = а) ~ min, (13)

a>p veY

ЫР1(Р((€ Ä(y)) = a) ~ mm, p e [0, 1]. (14)

o^P J/tí

Ele разрешимость для определенного случая охарактеризована в следующей лемме:

Лемма 2. Пусть Л(„), у 6 У, — семейство определенных четких множеств, индикаторные функции которых определены выражением

*^>(х) = {о! '¡¡I; (15)

Тогда, если разрешима задача (13), то разрешима и задача (14), всякое решение задачи (13) является решением задачи (14).

Если же возможность и правдоподобие — одинаково важные характеристики качества оценивания, то оптимальная оценка у+ е У — решение двукритериальной задачи вирР»(Р(£ е Л(„)) = а) ~ тш, тШ(Р(££ 1Ы) = р) ~ тт, р е [0, 1]. (16)

Пример интерпретации данных для НН модели. Сформулированные критерии применены для решения задачи интерпретации данных [Пытьев, 2000], [Пытьев,

17В этом случае РЦУг е X Р(£ = х, х 6 А(у)) = дх) = т{(т| л г*"")Ы, 9 : X -»[0, 1] [Пытьев, 2004].

Ъ-r-, ! Ш

(в)

Jis:1^!!2

Рис. 2.

2002а]18. Пусть измеряется

£ = Aip + v,

(17)

— искаженный шумом v 6 Лп выходной сигнал Atp прибора А, на вход которого поступил сигнал ip G А : 31т —► — заданный оператор, моделирующий измерительный прибор, С %п — множество, априори содержащее tp, Olm, ~ конечномерные евклидовы пространства, т, п — их размерности. В задаче интерпретации измерения (17) требуется определить правило (интерпретации) d(-) :%l—*U так, чтобы элемент d{£) можно было считать наиболее точной версией значения Utp параметра исследуемого объекта. Оператор U моделирует идеальный измерительный прибор.

В НН модели [А, т^(-), т"(-)] схемы (17) ошибка измерения (шум) и — НН вектор входной сигнал $ - НН вектор Хп, tp(-)j х [0, 1] — [0, 1], : 3" х [0, 1] —- [0, 1]

— их распределения; выходной сигнал £ — НН элемент, его распределение т*(р) = ^_л/(р)> х е Xi, зависит от значений неизвестного входного сигнала !р как от парат метра. Наконец, параметр rj исследуемого объекта — НН элемент U [Пытьев, 2004].

В диссертации качество НН интерпретации охарактеризовано значением

правдоподобия необходимости п ошибки интерпретации, обусловленной использованием правила <!(•), где $(■) : [0, 1] —* [0, 1] — непрерывная, строго монотонная функция,

d(-): 3t„ —► IX, ieS».

НН модель ошибки задана распределением нечеткого элемента ии = г7|а=и для

18Пытьев Ю.П Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. - Изд. 2-е, перераб. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 400 с.

хе%,

каждого значения и £ Д+ неопределенного элемента и равенством

/-.(*) - и) А1' 0 < И2"1^"2 <

(О, если ЦЕ"1^!!2 > и, и > 0, х €

Г(0) = М0,0)= 1,

см.рис. 2(а), где Е : —» Хп — положительно определенный оператор. Распределение ди(-) представлено на рис. 2(6), распределение т"(-) определяется выражением [Пы-тьев, 2004] (см. рис. 2(в))

7*(р) = 8ир{рй(и)| и € Д+, /»(ЦЕ-^хЦ2, и) = р} =

З^Е"^/^ - р)) > 0, если 0 < р < 1, ш < ||Е-Ч*хГ/{1 -р)< иг,

'ИЕ-^р/а-рХм!

^ИЕ-^/^-р), (18) 1, если р = 1, ||£-1/2а:|| =0, ж 6 Я„,

О, если р = 1, ЦЕ-^ггЦ > 0.

НН модель входного сигнала задана распределением аналогично тому, как определена модель V (с заменами ||Е-1/2:г||2 —> — /о)||2, и —» у, щ —> VI, щ

V2, где : ? —► — положительно определенный оператор, /об?). Если о входном сигнале априори ничего не известно,

если р = 1, / €

0, если 0 < р < 1, i

(19)

если 0 < р < 1, / G J.

В качестве семейства А^хц выбрано семейство «определенных четких» (04) множеств, эквивалентных обычным множествам <!(■) : 3Î„ —► U, х € Их индикаторные функции имеют вид

' > = 1, d(x) ф Uf,

Л .i, если \р I' ^ФО, t//eu.

ти/ (р) = < |? = 0, ф) = и/, (20)

[о, если 0 < р < 1.

Оптимальное правило интерпретации 2/+(-) : —» 11 определяется как решение двукритериальной задачи

supPÍ(JV(if(-)) = fl) ~ , njn , n е [о, 1], (21)

inf P/(i%(-)) = а) ~ mm п 6 [0, 1], (22)

а^п у\ у.лп—»и

если при решении задачи НН интерпретации правдоподобие — более важная характеристика качества интерпретации, чем необходимость, и оптимальное правило у+(-) : %¡ —► И — решение двукритериальной задачи

sup Pl(N(y(-)) = а) ~ min , п 6 [0. 1], (23)

aisn У( ):&>"• U

inf Р¿(N(y(-)) = а) ~ min , п € [0, 1], (24)

а^п у() эг„-»и

если необходимость и правдоподобие - одинаково важные характеристики качества НН интерпретации.

Проверка адекватности модели. Как показано в [Пытьев, 2004], адекватность НН модели можно проверить, лишь если она удовлетворяет определенным условия. В диссертации разработаны новые методы для проверки адекватности НН модели в задаче интерпретации данных, рассмотренной в предыдущем пункте. Получен следующий результат.

Теорема 3. Пусть £ = х — результат измерения по схеме (17), / = /х -решение задачи (21)-(22) или (23)-(24). Модель измерения (17) допускает проверку ее адекватности, если в НН модели погрешности щ = й2 = м, в НН модели входного сигнала щ = щ = V, и результат наблюдения х С X = {х е Я», ||£-1/2(х - Af)||2 ^ й} П {х £ -К, ||F~V2(f- /0)||2 < v\. При этом если х G X = {х € ||£-V»(i - Af)||2 < й} П {х е Я,, \\F~V\f - /„)||2 < v},^mo

значение £,= х не свидетельствует против модели, но если сверх того х £ X = Х\{х 6 Я», ||E~1/,2(z - А/)Ц2 < jfa} n{ie^„ HF-^í/- /о)||2 < ах}, то значение £ — х не противоречит модели, но дает повод сомневаться в ее адекватности. Наконец, если х € X = Х\Х, то наблюдение f = х противоречит модели.

В диссертации исследована разрешимость задач (21)-(22), (23)-(24). Полученные результаты сформулированы в следующей теореме:

Теорема 4. Пусть A(d(z)), d(-) ■ %п —> U, x £ — 04 множества, их индикаторные функции определены выражением (20), распределение ошибки задано выражением (18). 1. Если распределение т^(-) НН элемента <р задано выражением (19), то задача НН интерпретации (21)-(22) неразрешима, задача НН интерпретации (23)-(24) разрешима, причем ее решением является любое решение задачи (23). 2. Если априорная информация о tp задана распределением х е Я„ ~ фиксированный результат измерения, то задачи НН интерпретации (21)-(22), (23)-(24)

а) неразрешимы, если {/ € Я™, ИЕ"1^® - Af)||2 < й} U {/ 6 Я™, F~1/2(f - /0)||2 < €} = 0;

б) имеют единственное решение, если {/ е %п, ||Е-1/2(х — Л/)||2 ^ й} U {/ 6 %П, F-W(f - /о)||2 V} Ф 0, {/ € %п, ||E-Va(x _ Af)f « «,} U {/ € Яm, F~1/2(/ - /о)||2 ^ «!> = 0. Обозначим Д(ж) = ||(/ - Е"1/М(Е~1>'М)-)Е-1/2(а; --А/о)||2 - ||(E-V2AF1/2)-E-1/2(x - А/о)||2:

• если А(х) < 0, то решение задач (21)-(22), (23)-(24) дается выражением f{x) = /о + FA*(AFA* + uj(x)T,y l(x - Af0), где ш = ш{х) — корень уравнения ш\\(ВВ' + ш1)~1у\\ = ||В'{ВВ' +ш1)^у1 в котором В = Tr^AF1!2, у = Е"1^ - Af0);

• если А(х) = 0, то решение задач (21)-(22), (23)-(24) дается выражением f(x) =

/о + _ Afo).

• если А(х) > 0, то решение задачи (21)-(22), (23)-(24) f{x) = /0 + F]/2(E""1'/2AF1/2)~E""1/'2(k — А/о) -I- а, где а —любой элемент Х(А), удовлетворяющий условию 0 ^ ||F^2a||2 < Д(х).

в) Имеют множество решений 6 3", если = {/ £ Ят, ||Е_1^2(а; — А/)||2 С

15г

1ги ЛК

-0.5.

ш ////

! \

Ж)

Йх} и {/ 6 Г'1^/ - Л)ца < ф 0.

На рис. 3 приведен результат численного моделирования решения задачи интерпретации данных, полученный с помощью разработанного на базе платформы Ма^аЬ программного комплекса. На рис. 3. а) изображен сигнал /, поданный на вход измерительного прибора, аппаратная функция которого изображена на рис. 3. б); на рис. 3. в) изображен результат измерения £ = х, полученный по схеме (17). В НН моделях погрешности измерения и и входного сигнала !р щ = й2 = щ = 52 = 20, Ух = Уа = Ш = Уз = 10, Е = а21, Р = /?2/, <т2 = /З2 = 10, I — единичная матрица размера 100 х 100. На рис. 3. г) сплошная линия — оценка /, полученная как решение задачи НН интерпретации (21)-(22), совпадающее с решением задачи НН интерпретации (23)-(24), пунктирная линия — входной сигнал /.

На рисунках 3. д)-и) изображены диаграммы, иллюстрирующие проверку адекватности модели измерения. На каждом рисунке изображены области X, X, X (см. теорему 4), и точка х0 с координатами ||Е~1/,2(х — А/)||2, |^'~1/2(/ — /о)||2, имеющими разные значения на каждом из рис. 3. д)-и); значение ||Е_1/2(х — А/)||2 отложено по горизонтальной, значение — /о)||2 — по вертикальной оси. Взаимное рас-

положение точки х0 и областей X, X, X позволяет судить об адекватности модели

измерения. На рис. 3. д) хо 6 X, при этом х0 X, поэтому результат измерения £ не противоречит модели. На рис. 3. е) модель не допускает проверки на адекватность,

поскольку Хо ^ X и X. На рис. 3. ж), з) модель сомнительна, т.к. х0 € X, причем на рис. З.з) модель более симнительна, чем на рис. 3. ж), поскольку точка хо находится

ближе к внешней границе области X. Наконец, на рис. З.и) Хо € X, поэтому результат наблюдения £ противоречит модели измерения, и ее следует признать неадекватной.

Данных, представленнвх на рис. 3 достаточно, чтобы в диалоге с компьютером получить ответы на любые вопросы о качестве интерпретации и об адекватности модели измерения. Если при решении задачи интерпретации исследователь, получив решение, сталкивается с ситуациями, изображенными на рис. 3. е)-и), он понимает, что нужно изменить параметры модели таким образом, чтобы модель стала непротиворечивой, и программный комплекс предоставляет ему такую возможность.

Неопределенная стохастическая модель идентификации. В третьей главе принцип построения НН модели проиллюстрирован на примере стандартной задачи теории статистических решений — задачи идентификации [Пытьев, 2006]19.

Пусть £ — случайный элемент, принимающий значения в множестве X согласно одному из распределений рг(-11),... ,рг(-|п) вероятностей Рг1,..., Рг„; рг(-\к) — плотность вероятности Рг* относительно некоторой фиксированной меры ц, к = 1,... ,п. Речь идет о стохастической системе, которая может находиться в одном из п состояний, значение х е X случайного элемента £ определяет результат наблюдения за системой, причем если система находится в состоянии с номером к, то значения случайного элемента £ контролируются распределением рг(-\к), к = 1,..., п. В задаче идентификации требуется по наблюдению значения £ = х принять одно из п решений о состоянии системы.

В диссертации задача идентификации рассмотрена для байесовской модели системы, в которой задано распределение вероятностей к = 1,... ,п состояний и распределение рг^"(-\к) : X —► переходной вероятности [Пытьев, 2006] наблюдения £ для каждого состояния к = 1,... ,п, определяющих совместное распределение £ и х равенством рг*'"(х, к) = рг*^*(х\к)д*, х 6 X, к = 1,.. , п.-

Правило принятия решения о состоянии системы состоит в следующем: если наблюдаемое значение £ = х е Х&, то принимается решение в пользу распределения рг(-\к) случайного элемента к = 1,..., п, где Х\,... Хп — некоторое упорядочен-

ное измеримое разбиение множества X значений £ : X = и Х3, Х1()Х] = 0, г ^

,=1

], г, з = 1,... ,п. Каждое разбиение X = у Х^, обозначаемое далее {X,}, определяет

7=1

правило идентификации.

Обозначим 1/с] величину потерь, сопутствующих решению в пользу состояния «/»,

19Пьпъев Ю.П. Статистические и нечеткие оптимальные решения. I. Статистические решения. // Pattern Recognition and Image Analysis, в печати.

в то время как на самом деле система находится в состоянии «к», k,j = l,...,n. Для правила решения, определенного разбиением {X,}, ожидаемый риск

L = f SJ(x)ß(dx) = L({X3}), (25)

где

S3{x) = Е 'niP^^l^ef • * € X, j = 1,..., п. (26)

*=1

Задача

(27)

решена в [Пытъев, 2006].

Один из способов учесть мнение исследователя в задаче (27) - считать элементы 1к3 матрицы потерь {/^} в (26) значениями независимых неопределенных элементов hj, k,j = 1,...,га. В этом случае ожидаемый риск Ь({Х}\) в (25) является неопределенной величиной, и правдоподобие истинности высказывания, согласно которому ожидаемый риск равен е, дается выражением

Щ(ЩХ}})) = е) = sup{ min е [0, 1], k,j = l,...,n,

l^KJ^tl

n M n

Е / Е^'Ч*.*)^) = е>' е 6 Ч> (28)

где й^(-) : [0, 1] —> [0, 1] — распределение правдоподобия неопределенного элемента = имеющее следующий вид = 0, £ Л,], g'^ihj) =

Ii 'ifej = (ivtj + hj/2), строго монотонно возрастает на [i^, l'k]], строго монотонно

убывает на [l'kj,hj]-

Оптимальным в диссертации названо упорядоченное разбиение X* = (J X*, ми-

з=1

нимизирующее правдоподобие больших и максимизирующее правдоподобие малых значений ожидаемого риска, т.е. решение двукритериальной задачи

supP/((L({Xj})) = а) ~ min, (29)

ajx Iхл

supPl{(L({Xj})) = о) ~ max, е € [0, 1]. Как показано в диссертации, задача (29) сводится к задаче

П у. п

Е / Е^pri'"(x,k)ß(dx) ~ irnn, } 1Х^ к— 1

решением которой, как известно, [Пытьев, 2006], является любое упорядоченное разбиение X = X* IJ... 1JX* (Х*Г|Х* = 0, г ф j, i,j = 1,... ,п). удовлетворяющее условию X* С {х е X, 5'(ж) = S'(x) = min S,'(x)} = XJ: j = 1, ...,n, где

J ^t^fl

= Exex, ¿ = i,...,n.

В четвертой главе «Восстановление функциональной зависимости» рассмотрена следующая задача. В эксперименте регистрируются пары точек20 х, £ «д £ Ям, г = 1,..., N по схеме

(&=&+/*.,

rj, = V, + »i, (30)

* = /(&). « = Лг-

В равенствах (30) £ Хд-, rj, € - нечеткие векторы, значения которых х, £ Як,Уг £ регистрируются в эксперименте, £ Лк, % G Ям — нечеткие векторы, значения которых х, £ Лк и ух = /(х,) £ Хм — суть значения аргумента и соответственно функции /(•) : Лк —> ненаблюдаемые в эксперименте: ßI £ € З^м, '< — 1,...', JV — нечеткие векторы ошибок регистрации.

Требуется по наблюдениям 3? = ,..., хлг} и у = {jjij,____ул-} восстановить функцию /(•) £ 1, где 7 - известный класс функций, определенных на %к и принимающих значения в Хм- Искомая функция /(•) рассматривается как значение нечеткого элемента ¡р(-) £ 1.

Теоретико-возможностная модель схемы (30) определяется классом 3", совокупностью распределений 7г"'(-), г = 1,..., Лг, априорными распределениями тг^(-) и 7г«'('). г = 1,..., iV, а также требованием взаимной независимости нечетких векторов /х, ..., ß = {/¿J,..., Длг}, v = {vi, ..., г/jv} в теоретико-возможностном смысле.

Качество восстановления функциональной зависимости охарактеризовано величиной N(d(-, •)) = Jnf max(tf о у, /(•)),/(/(■),¿(х,у))), необходи-

1€(Як)л,,уе(згм)",л )€?

мости ошибки востановления. Решением задачи восстановления является решение заг дачи на минимум

JV(d(.,.))~ min . (31)

В [Пытьев, 2000] показано, что для функций /(и, v) = | ^. q ^ ^ u v & U шением задачи (31) является оценка j(-) £ 7 максимальной возможности

(32)

В четвертой главе показано, что для класса линейных, кусбчно линейных, экспоненциальных и кусочно-экспоненциальных зависимостей задача (32) сводится к семействам задач линейного программирования, и приведены результаты численных экспериментов, моделирующих восстановление перечисленных зависимостей методом минимизации необходимости ошибки восстановления, полученные с помощью программного комплекса, реализованного на базе платформы Matlab. На рис. 4 представлен результат численного моделирования восстановления кусочно-линейной функции fi{x) = х,х = {-5,-4, ...,4,5}, /2(х) = 5,х = {5,6,..., 14,15}. Пунктирными линиями обозначены истинные прямые, сплошными — прямые, полученные в результате восстановления. В центре каждого прямоугольника находится экспериментально измеренная точка, которая могла быть получена из любой точки прямоугольника

^Як, ~ евклидовы пространства размерностей К и М соответственно.

добавлением ошибки измерения, но с разной возможностью. Чем темнее точка внутри прямоугольника, тем больше эта возможность. Верхний и нижний рисунки соответствуют различным моделям эксперимента. На нижнем рисунке график восстановленной кусочно-линейной функции пересекает не все прямоугольники и возможность восстановленной кусочно-линейной функции равна 0, т.е. модель неадекватна.

В диссертации дан краткий обзор стандартных методов Л^д»- восстановления функциональной зависимости — метода наи-■ г ™ меньших квадратов и метода минимизации эмпирического / риска [Вапник, 1984]21, приведено сравнение восстановления

^ линейной зависимости методом минимизации необходимости

ошибки восстановления и МНК, иллюстрирующее преимущества теоретико-возможностного метода.

В четвертой главе также рассмотрен теоретико-

-1ТГ-5Т5' 5 10-Й~~20

возможностный метод решения следующих задач прогнозирования, основанный на минимизации необходимости ошибки прогноза:

• задачи прогноза результата физически нереализуемого эксперимента, в которой, в отличие от стандартной задачи восстановления функциональной зависимости, требуется восстановить не функцию /(•) е У, а ее значение /(то) в точке х0 € Я*;

• задачи восстановления линейной модели измерения, в которой требуется на основании измерений

& = А/, + а, + 1/„ г = 1,..., 5, (33)

тестовых сигналов /1,..., /я £ с ошибками ..., 1>$ £ выполненных на неточно известном приборе, уточнить его модель — линейный оператор А : 31м и вектор «смещения» а € Ялг;

• задачи прогнозирования отклика прибора на сигнал, в которой на основании тестовых измерений (33) требуется, уточнив модель прибора А, оценить его отклик на входной сигнал /о, который реально не может быть подан на его вход; критерием качества уточнения является точность прогнозирования.

Как показано в диссертации, эти задачи сводятся к семействам задач линейного программирования.

На рис. 5 приведены результаты численного моделирования восстановления модели и прогноза, полученные с помощью разработанного и реализованного на базе платформы МаЙаЬ программного комплекса. На верхнем рисунке представлены (слева направо): график матричных элементов матрицы, строки которой — суть тестовые сигналы, график матричных элементов матрицы, строки которой — результаты тестовых измерений, и сигнал /0, отклик на который нужно получить; на втором сверху рисунке представлены (слева направо): истинный отклик Хд; отклик Х\, полу-

21 Алгоритмы и программы восстановления зависимостей, ред. Вапник В.Н. — М.: Наука, 1984 г

ченный с помощью аппаратной функции А1г являющейся решением задачи восстановления модели; отклик Х2, являющийся решением задачи прогноза при наличии априорной информации, изображенной в виде пунктирного «коридора»; на нижнем рисунке представлены (слева направо): истинная аппаратная функция Л; результат решения задачи восстановления модели А1, аппаратная функция А2, полученная при прогнозировании при наличии априорной информации об х0.

20 40

Рис. 5.

В этой главе задача восстановления функциональной зависимости также решена методом минимизации ошибки восстановления. Оптимальная оценка истинной функциональной зависимости определяется как решение задачи

та*: ||/(.) -<*(.)|| ~ тт (34)

где одг, у) = {/(•) € 7 : у, /(•)) (Я*)", у е * 6 [0, 1].

В диссертации задача (34) для линейной зависимости сведена к семествам задач линейного программирования. На рис. 6 приведен результат численного моделировав

ния восстановления линейной зависимости /(г) = 2х, х = {1,2,..., 14,15} методом минимизации необходимости ошибки восстановления (первый рисунок) в сравнении с результатом восстановления методом минимизации ошибки восстановления (второй рисунок). На третьем рисунке изображена область ¿^((¡е, у), на которой овалом обознаг чено решение, полученное с помощью второго метода, крестом — решение, полученное первым методом.

0 0 2 4 6 8 10 12 14 16° 0 2 4 6 8 10 12 14 16 ° 1751.8 1.85 1 9 1.95 2 2.052 1 2 15

Рис. 6.

Наконец, в четвертой главе на основе результатов, полученных в главе «Оптимальные решения для неопределенных нечетких и неопределенных стохастическая моделей» решена НН задача восстановления функциональной зависимости. Полученные результаты позволяют устранить существенный недостаток обычного моделирования, представленный на рис. 4, иллюстрирующем «бинарный» ответ на вопрос об адекватности модели. Метод восстановления функциональной зависимости, разработанный для НН модели, позволяет исследователю увидеть все градации адекватности: модель вполне адекватна, сомнительно адекватна, сомнительно неадекватна, и, наконец, вполне неадекватна.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Жучко О.В., Пытьев Ю.П. Теоретико-возможностный метод восстановления функциональных зависимостей по экспериментальным данным. // Искусственный интеллект, No.3, 2000, с. 142-148.

2. Pyt'ev Yu. P., Zhuchko O.V. The Methods of the Possibility Theory in the Problems of Optimal Estimation and Decision Making: VII. Reconstruction of Functional Dependences from Experimental Data // Pattern Recognition and Image Analysis, Vol. 12, No. 2, 2002, pp.116-129

3. Жучко O.B., Пытьев Ю.П. Восстановление функциональной зависимости теоретике-возможностными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 43, N 5, 2003, с. 767-783.

4. Жучко О.В., Пытьев Ю.П. Теоретико-возможностный метод восстановления функциональных зависимостей по экспериментальным данным// Труды 5-й Международной конференции "Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии"РОАИ-5-2000, Самара, 2000 г., № 3, с. 110-114.

5. Жучко О.В., Пытьев Ю.П. Теоретико-возможностные методы восстановления функциональных зависимостей по данным измерений с ошибками // Доклады 10-й

Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», 2001 г., с. 57.

6. Фаломкина О.В. О стохастической модели меры возможности // Доклады 11-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», Москва 2003, с. 196-198.

7. Фаломкина О В., Пытьев Ю.П., О критериях оптимальности для неопределенных нечетких моделей. // Доклады 12-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», Москва 2005, с.222-226.

8. Пытьев Ю.П., Фаломкина О.В., Матвеева Т.В. Неопределенная стохастическая модель. // Доклады 12-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», Москва 2005, с.219-222.

9. Фаломкина О.В., Пытьев Ю.П., Неопределенные нечеткие, неопределенные стохастические модели и их применения. Сборник трудов международной научно-практической конференции "Современные информационные технологии и ИТ-образование", Москва, 2005, г. 493-500.

10. Жучко О В. Теоретико-возможностные методы восстановления функциональных зависимостей. // Сборник тезисов 7-й Международной конференции студенгов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», 2000 г., с. 282 285.

11. Фаломкина О.В. Задача оптимального оценивания в теоретико-возможностной модели наблюдения. // Сборник тезисов 10-й Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003», 2003г., с. 70-71.

Подписано к печати ог об: Тираж Заказ <г"К

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Введение 2006 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Фаломкина, Олеся Владимировна

С этим связано появление ряда фундаментальных математических работ, посвященных невероятностым методам моделирования нечеткости, случайности и неясности. Субъективная вероятность Сэведжа [2] как мера неуверенности субъекта, суждения которого удовлетворяют определенным условиям «рациональности»; верхние и нижние вероятности Демпстера [3], характеризующие неполноту наблюдений и отражающие неопределенность в теории вероятностей, моделируемую многозначными отображениями; правдоподобие и доверие Шеффера [4], обобщающие конструкции Демпстера в теории принятия решений; возможность Заде [5], основанная на его теории нечетких множеств [6], — далеко не полный перечень таких работ. Следует отметить также работы [7]-[9], теории возможностей [10], [И] и [12]. Отметим также работы [14],[15], непосредственно не связанные с проблемой моделирования нечеткости и неопределенности, но в которых полученные результаты и разработанный формализм могут быть успешно применены для решения этой проблемы [16] .

Остановимся подробнее на работах [11], [12] остановимся подробнее, поскольку представленная в них теория возможностей используется в диссертации.

В [11], [12] возможность принимает значения в ранговой шкале £ = ([0, 1], <,+,•), в которой сложение «+» определено как «max», а умножение «•» определено как «min». Тот факт, что L имеет обширную группу Г автоморфизмов, порожденную непрерывными строго монотонными преобразованиями отрезка [0, 1] в себя, оставляющими неподвижными точки 0 и 1, в [11], [12] использован для формулировки принципа относительности возможности, согласно которому каждый исследователь может использовать для представления результатов исследований свою шкалу, все шкалы считаются эквивалентными, а содержательно истолкованы могут быть лишь результаты, не зависящие от выбора шкалы. Последнее существенно отличает вариант теории возможностей, рассмотренный в [11], [12] от перечисленных выше.

В частности, принцип относительности позволил построить стохастические модели возможности, и, как следствие, решить проблему эмпирического восстановления стохастически измеримой возможности, что существенно расширяет класс стохастических объектов, математические модели которых могут быть получены эмпирически, и т.д. В [1] показано, что при эмпирическом построении теоретико-возможностной модели стохастического объекта его теоретико-вероятностная модель в течение всего времени наблюдений может произвольно эволюционировать в пределах одного из известных классов, в то время как при эмпирическом построении его теоретико-вероятностной модели последняя, как известно, должна быть неизменна в течение времени наблюдений. Более того, при достаточно слабых ограничениях на характер эволюции вероятностей теоретико-возможностная модель может быть построена почти наверное безошибочно на основании конечного числа наблюдений, тогда как теоретико-вероятностная модель этого же стохастического объекта эмпирически не может быть построена принципиально. Наконец, принцип относительности позволяет определять возможность и на основе экспертных оценок.

В диссертации представлены результаты двух направлений научных исследований.

Первое направление посвящено исследованию варианта теории возможностей, фрагментарно рассмотренного в [11], в котором возможность принимает значения в шкале £ = ([0,1], +, •), где сложение «+» определено как «max», умножение «•» — как «обычное» умножение «•», который далее будем называть вторым вариантом теории возможностей, в отличие от варианта, которому в основном посвящена монография [11]. В [11] для второго варианта приведены лишь основы теории и закон больших чисел. Вне рассмотрения остались принцип относительности возможности, методы оптимального оценивания, анализа и интерпретации данных, эмпирического построения теоретико-возможностных моделей.

Одной из целей диссертации является исследование принципа относительности для этого варианта возможности, его стохастических моделей, методов анализа и интерпретации данных и т.д. В диссертации приведены результаты этих исследований, в частности, разработан принцип относительности и построена стохастическая модель возможности, для случая априори известной упорядоченности вероятностей элементарных исходов стохастического эксперимента разработан метод эмпирического построения его теоретико-возможностной модели, рассмотрен метод анализа и интерпретации данных и т.д.

Второе направление посвящено исследованиям по неопределенной нечеткой (НН) математике [12], в частности, — математическим методам и алгоритмам анализа и интерпретации данных для неопределенных нечетких (НН) моделей; разработке математических методов моделирования и анализа неопределенных стохастических объектов.

В работах, посвященных моделированию случайности, нечеткости, неясности и неопределенности, и имеющих непосредственное отношение к этому направлению исследований, выделим фундаментальные математические конструкции, ориентированные на моделирование неопределенности, обусловленной неполнотой знаний. Это мера правдоподобия Фридмана и Халперна [17], обобщающая доверие Демпстера-Шеффера, возможность Заде и нечеткая мера Сугено [18], верхнее и нижнее предвидение Вэлли [19], обобщающие вероятность, возможность Заде и доверие Демпстера-Шеффера, контекстная модель Гебхардта и Круза [20], использующаяся для описания нечеткости и неопределенности, позволившая дать альтернативную формулировку теории Демстера -Шеффера, и, наконец, мера правдоподобия (доверия) возможности (необходимости) Пытьева [12], имеющая непосредственное отношение ко второму направлению исследований в диссертации.

Среди всех рассмотренных публикаций (кроме уже упомянутых, это — [23]—[45] ) не удалось обнаружить работ, кроме [12], в которых методы моделирования содержали бы математические средства для формального выражения как мнений исследователя по поводу адекватности используемой модели и основанных на ней выводов, так и эволюции этих мнений, обусловленной получением новых данных. В разработанных в [12] неопределенных нечетких (НН) моделях нечеткость, неточность формулировок, относящаяся к содержанию информации, охарактеризована в терминах значений мер возможности и (или) необходимости, а достоверность формулировок, истинность которых не может быть абсолютной в силу принципиальной неполноты знаний, охарактеризована в терминах значений мер правдоподобия и (или) доверия.

Принцип построения НН модели в [12] состоит в следующем: на классе теоретико-возможностных моделей объекта задается распределение правдоподобий, что позволило разработать правила принятия решений, в которых критерии оптимальности решения основаны на значениях правдоподобия (доверия) возможности и (или) необходимости ошибки решения, при этом возможность и (или) необходимость определяют содержательную характеристику качества решения, тогда как правдоподобие тех или иных значений возможности (необходимости) ошибки, показывающее, в какой степени им следует доверять, является дополнительной характеристикой качества.

Одной из целей диссертационной работы является исследование второго варианта теории возможностей:

2. разработка математических методов анализа и интерпретации данных для обоих вариантов теории возможностей, разработка и реализация программного комплекса на базе платформы Matlab, позволяющего решать широкий спектр задач анализа и интерпретации данных, проверять адекватность модели и выводов.

В направлении исследований по НН математике целью является

2. разработка и реализация программного комплекса на базе платформы Matlab для решения задач редукции измерений, восстановления функциональной зависимости для НН моделей, позволяющего исследователю вести интеллектуальный диалог с компьютером, в том числе изменять параметры модели и наблюдать, как эти изменения влияют на выводы и на адекватность как НН модели, так и основанных на ней выводов; проведение на его базе вычислительного эксперимента для сравнения теоретико-возможностных и НН методов моделирования анализа и интерпретации данных;

3. построение неопределенной стохастической модели идентификации и правила идентификации, в котором критерий качества основан на значении правдоподобия вероятности ошибки идентификации, вероятность ошибки — основная характеристика качества идентификации, правдоподобие — дополнительная.

На защиту выносятся

1. Принцип относительности во втором варианте теории возможностей (гл. 2, § 1, с. 33

36) и его следствия — стохастическая модель возможности (гл. 2, § 2, с. 37-45) и метод ее эмпирического восстановления (гл. 2, § 3, с. 45-51).

2. Новый метод оптимальных решений для эмпирически восстановленных теоретико-возможностных моделей во втором варианте теории возможностей (гл. 2, § 3, с. 51).

3. Новые методы принятия решений для НН моделей, в том числе новые критерии оптимальности решения, и методы решения задач анализа и интерпретации данных (гл. 3, § 4-7, с. 67-93).

4. Комплекс программ для решения задач теоретико-возможностного и НН моделирования, анализа и интерпретации данных, проверки адекватности модели и пользовательский интерфейс исследователя (гл. 3, § 7, с. 86-93, и гл. 4).

Научная новизна.

В диссертационной работе по второму варианту теории возможностей получены следующие новые результаты:

2. разработаны теоретико-возможностные методы анализа и интерпретации данных;

3. для обоих вариантов теории возможностей разработан и реализован на базе платформы Matlab программный комплекс для решения задач редукции измерений, восстановления функциональной зависимости и прогнозирования.

По неопределенной нечеткой математике получены следующие новые результаты: 1. предложены и исследованы новые правила принятия решений для НН моделей и, в частности, новые критерии оптимальности, основанные на значении меры правдоподобия возможности (необходимости) ошибки, в которых основной характеристикой качества решения является правдоподобие, дополнительной — возможность или необходимость, и критерии, в которых одинаково важны как возможность (необходимость), так и правдоподобие;

2. разработан и реализован программный комплекс на базе платформы Matlab для решения задач редукции измерений, восстановления функциональной зависимости для НН моделей, позволяющий исследователю вести интеллектуальный диалог с компьютером, в частности, изменять параметры модели и наблюдать, как эти изменения влияют на выводы, на адекватность НН модели и основанных на ней выводов, и выполнен вычислительный эксперимент, в котором продемонстрирован существенно более широкий арсенал средств НН моделирования по сравнению с теоретико-возможностным моделированием решений задач анализа и интерпретации данных;

Практическая ценность и апробация работы

1. Для второго варианта возможности, который занимает «промежуточное» положение между вероятностью и возможностью [11], разработан метод эмпирического построения стохастически измеримой возможности и соответствующей теоретико-возможностной модели объекта исследований. Этот результат позволяет существенно расширить класс стохастических объектов, математическая модель которых может быть построена эмпирически.

• позволяет при построении и при использовании модели и основанных на ней выводов отражать мнение исследователя об адекватности модели и полученных выводов, и выражать его эволюцию, обусловленную получением новых знаний;

Практическая ценность разработанного на основе новых правил принятия решений и реализованного на базе платформы Matlab программного комплекса заключается в том, что исследователь получил новые средства интеллектуалного диалога с компьютером, в частности

• возможность реализовать свои предпочтения при выборе того или иного критерия качества решения,

• возможность формально выражать свое мнение по поводу адекватности модели и основанных на ней выводов,

• возможность изменять модель и наблюдать, как эти изменения влияют на выводы, на адекватность НН модели и основанных на ней выводов.

Результаты диссертационной работы доложены на конференциях «Ломоносов-2000», «Математические методы распознавания образов-10», «Медицинская физика - 2001» I-го Евразийского конгресса по медицинской физике и инженерии, «Ломоносов - 2003», «Математические методы распознавания образов - 11», «Математические методы распознавания образов - 12» (доклад удостоен 2-й премии на конкурсе докладов молодых ученых), и на научных семинарах кафедры «Математической теории интеллектуальных систем» (механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова) и Компьютерных методов физики ( физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова).

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 11 работ — 3 статьи в журналах, 8 — в трудах конференций.

Личный вклад. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Заключение диссертация на тему "Исследование нечетких и неопределенных нечетких методов анализа и интерпретации данных"

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

3. Жучко O.B., Пытьев Ю.П. Восстановление функциональной зависимости теоретико-возможностными методами // Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 43, N 5, 2003, с. 767-783.

5. Жучко О.В., Пытьев Ю.П. Теоретико-возможностные методы восстановления функциональных зависимостей по данным измерений с ошибками // Доклады 10-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», 2001 г., с. 57.

6. Фаломкина О.В. О стохастической модели меры возможности // Доклады 11-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», Москва 2003, с.

196-198.

7. Фаломкина О.В., Пытьев Ю.П., О критериях оптимальности для неопределенных нечетких моделей. // Доклады 12-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов», Москва 2005, с.222-226.

10. Жучко О.В. Теоретико-возможностные методы восстановления функциональных зависимостей. // Сборник тезисов 7-й Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», 2000 г., с. 282-285. ►>

11. Фаломкина О.В. Задача оптимального оценивания в теоретико-возможностной модели наблюдения. // Сборник тезисов Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2003», 2003г.

Заключение

Библиография Фаломкина, Олеся Владимировна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Пытьев Ю.П. Стохастические и нечеткие модели. Эмпирическое построение и интерпретация. Сборник трудов 1-й международной научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование», 2005, с. 482-492.

2. Savage L. J. The Foundation of Statistic N.-Y., 1972.

3. Dempster A. P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping. Ann. Math. Statist. 38 (1967) 325-339.

4. Shafer G. A mathematical theory of evidence. Princeton University Press, Princeton N.J., 1976.

5. L. A. Zadeh, Fuzzy Sets as a basis for a theory of possibility, Fuzzy Sets and Systems 1 (1978) 3-28.

6. L. A. Zadeh, Fuzzy Sets, Inf. Control 8 (1965) 338-353.

7. G. de Cooman. Possibility theory I: the measure- and integral- theoretic groundwork. International Journal of General Systems, 25 (1997), pp. 291-323.

8. G. de Cooman. "Possibility Theory II: Conditional Possibility". International Journal of General Systems, 25 (1997), pp. 325-351.

9. G. de Cooman. "Possibility Theory III: Possibilistic Independence". International Journal of General Systems. 25 (1997), pp. 353-371.

10. D. Dubois, H. Prade. Theorie des Possibilities. Masson, Paris-Milano-Barselona-Mexico, 1988.

11. Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения. — Изд-во Эдиториал УРСС. Москва 2000.

12. Пытьев Ю.П. Неопределенные нечеткие модели и их применения. Интеллектуальные системы 8 (2004), вып. 1-4, 147-310.

13. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применения. — М.: Физматлит, 2006 (в печати).

14. С. М. Авдошин, В.В. Белов, В.П. Маслов. Математические аспекты синтеза вычислительных сред, М.: МИЭМ, 1984.

15. Г.Л. Литвинов, В.П. Маслов, Г.В. Шпиц. Идемпотентный функциональный анализ: алгебраический подход // Математические заметки, 2001, т. 69, №5, с. 758-797.

16. R. Mesiar, Е. Pap. Different Interpretations of triangular norms and related operations. Fuzzy Sets and Systems, 96 (1998) pp. 183-189.

17. N. Friedman, J. Y. Halpern. Plausibility Measures and Default Reasoning. In Proc. National Conference on Artificial Intelligence (AAAI '96).

18. Sugeno. M. Fuzzy Measure and Fuzzy Integral. Trans. SICE 1972, 8, №2, pp. 95-102.

19. P. Walley. Measures of uncertainty in expert systems. Artificial Intelligence, 83:1-56, 1996.

20. J. Gebhardt and R. Kruse, The context model: An integrating view of vagueness and uncertainty, International Journal of Approximate Reasoning 9 (1993) 283-314.

21. Ван-дер-Варден Б.Л. Современная алгебра. M.: Госуд. техн.-теор. изд-во, 1934.

22. Пытьев Ю.П. О стохастических моделях возможности. // Интеллектуальные системы, т.6, вып. 1 4, с. 25 - 63, 2002 г.

23. Z. Wang and J. Klir. Fuzzy Measure Theory. Plenum Press, New York, 1992.24. (1998), Handbok of Fuzzy Sets and Possibility Theory, Operations Research and Statistics, Kluwer Academic Publishers.

24. Possibility Theory with Applications to Data Analysis,. Research Studies Press, 1998.

25. M. Goldzsmidt and J. Pearl. Qualitative probabilities for default reasoning, belief revisions and casual modeling. Artificial Intelligence, 84:57-112, 1996.

26. W. Spohn. Ordinal conditional functions a dynamic theory of epistemic states. In W. Harper and B. Skyrms, editors, Causation in Decision, Belief Change, and Statistics, vol. 2, pp. 105-134. Reidel, Dordrecht, Netherlands, 1988.

27. P. Walley, Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities (Chapman and Hall, London, 1991).

28. D.V. Lindley, Making Decisions (Wiley, London, 1971).

29. Орловский C.A. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.:Наука, 1981.

30. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. Под ред. Д.А.Поспелова. М.: Наука, 1986.

31. Заде JI.A. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.:Мир. 1976.

32. Goodman I.R. Fuzzy sets and equivalent classes of random set s. In R.R.Yager (ed.) Fuzzy sets and possibilities theory. Pergamon Press, Oxford, 1982, p.327-343.

33. Прикладные нечеткие системы. Сб. под ред. Т.Тэрано, К.Асан, М.Сугено. М.:Мир, 1993.

34. L. Farinas del Cerro, A. Herzig: A modal analysis of possibility theory, in: Symbolic and Qualitative Approaches to Uncertainty, Lecture Notes in Comput. Sci. 548 (R. Kruse and P. Siegel, Eds.), Springer-Verlag, 58-62, 1991.

35. Joslyn, Cliff: (1995) "Towards an Independent Possibility Theory with an Objective Semantics", in: Proc. 1995 Int. Workshop on Foundations and Applications of Possibility Theory.

36. D. Dubois and H. Prade, "A synthetic view of belief revision with uncertain inputs in the framework of possibility theory,"Int. J. of Approximate Reasoning, vol. 17, no. 2/3, pp. 295-324, 1997.

37. Nikolaidis, E., Haftka, R., and Rosea, R., 1997, "Comparison of Probabilistic and Possibility Theory-Based Methods for Design against Uncertainty", Aerospace and Ocean Engineering Department, Virginia Tech, Blacksburg, VA 24061-0203.

38. D. Cayrac, D. Dubois and H. Prade, "Handling Uncertainty with Possibility Theory and Fuzzy Sets in a Satellite Fault Diagnosis Application", IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Vol. 4, N. 3 (1996) pp. 251-269.

39. D.Dubois, H.Fargier, H.Prade Possibility Theory in Constraint Satisfaction Problems: Handling Priority,Preference and Uncertainty Applied Intelligence 6, pp. 287-309, 1996

40. D. Dubois and H. Prade (with the collaboration of H. Farreny, R. Martin-Clouaire and C. Testamale) . Possibility Theory: An Approach to Computerised Processing of Uncertainty. Plenum Press, New York. 1998.

41. Dubois D., Prade H. 1997. Constraint satisfaction and decision under uncertainty based on qualitative possibility theory. Proc. of the 6th Int. Conf. on Fuzzy Sytems (FUZZ-IEEE'97), 23-30.

42. К. Танака. Итоги рассмотрения факторов неопределенности и неясности в инженерном искусстве. // Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. Ред. Р.Ягер. Радио и связь. М.: 1986.

43. Т. Bilgic and I. В. TYirksen. Measurement of membership functions: theoretical and empirical work. In H. Prade D. Dubois and H.J. Zimmermann, editors, International Handbook of Fuzzy Sets and Possibility Theory. Kluwer Academic, Norwell, MA, 1998.

44. A. M. Норвич, И. Б. Турксен. Построение функции принадлежности. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения. Ред. Р.Ягер. Радио и связь. М.: 1986, с. 64- 71.

45. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: «Наука», 1984 г., 582 с.

46. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

47. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. Изд. 2-е, перераб. — М.: Физматлит, 2004. — 400 с

48. Жучко О.В., Пытьев Ю.П. Восстановление функциональной зависимости теоретико-возможностными методами. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. - Т. 43, № 5. - с. 767 - 783.

49. Пытьев Ю.П., Жучко О.В. Теоретико-возможностный метод восстановления функциональных зависимостей по экспериментальным данным. // Искуственный интеллект-2000. № 3. - с. 142 - 148.

50. Пытьев Ю.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента. — М.: Изд-во МГУ, 1990. 288 с

51. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей, ред. Вапник В.Н. — М.: Наука, 1984 г

52. Худсон Д. Статистика для физиков. — М.: Мир.,1970. — 294 с

53. Румшиский J1.3. Математическая обработка результатов эксперимента. — М.: Наука, 1971 г.

54. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. — М.: Наука 1983.— 200 с

55. Пытьев Ю.П. К теории нелинейных измерительно-вычислительных систем. // Математическое моделирование, 1992, т.4, №2, — с. 76-94

56. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. — Изд. Моск. Ун-та. 1983 г. — 252 с

57. Боровков A.JI. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез. — М.: Наука. 1984

58. Теребиж В.Ю. Восстановление изображений при минимальной априорной информации. // Успехи физических наук, 1995, т.4, №2, — с. 143-175

59. Уфимцев М.В. Методы многомерного статистического анализа. — Изд-во ВМиК МГУ, 1997

60. Кнуренко А.В., Пытьев Ю.П. Метод наименьших квадратов в случае неточно заданных значений функции и ее аргумента. // Вестн. Моск. ун-та, сер. 3, Физика, Астрономия, 1992, т.ЗЗ, №6 с. 7-11

61. Математическая теория планирования эксперимента./ Под ред. С.М Ермакова. — М.: Наука, 1983. — 392 с

62. Pukelsheim F. On linear regression designs wich maximize information. — J. Statist. Planning and Inference, 1980,4,p.339-364

63. Rao C.R. Estimation of parameters an a linear model. — Ann. Statist., 1976,4,p. 1023-1037

64. Cote R., Manson A.R., Hader K.J. Minimum bias approximation of a general regression model. — J. Amer. Statist. Ass., 1973, 68, №343, p. 633-638

65. Yu. P. Pyt'ev. Statistical and Fuzzy Optimal Decisions. I. Statistical Decisions. // Pattern Recognition and Image Analysis (to be published).b1. Благодарности

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00