автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Исследование моделей функционирования организационно-экономических систем в условиях научно-технического прогресса

кандидата технических наук
Кононов, Дмитрий Алексеевич
город
Москва
год
1994
специальность ВАК РФ
05.13.10
Автореферат по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Исследование моделей функционирования организационно-экономических систем в условиях научно-технического прогресса»

Автореферат диссертации по теме "Исследование моделей функционирования организационно-экономических систем в условиях научно-технического прогресса"

Российская Академия наук рр3 ОД ордена Ленина

ИйстиТут проблем управления

, 0 Г'.'.з

На правах руко*

КОНОНОВ Дмитрий Алексеевич

Исследование моделей функционирования организавдонно-зконошческих свсте»-в условиях научно-технического про"

специальность 05.I3.Iu Управление в социальных и экономически

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1994 год

Работа выполнена в Ордена Ленина Интнтуте проблем управления Российской Академии наук и Московском государственном университете шэни Ы. В.Ломоносова на факультете вычислительной математики и кибернетики

Научные руководители: доктор фазико-математических наук,

профессор С.А.Ашанов, доктор технических наук, профессор В.В.Кульба.

Офщиальние оппоненты: доктор технических наук В.Н.Бурков, кандидат фтенко-математических наук Э.И.Волынский.

эконогшки РАН.

Защита состоится " ¿5 " МОН^Ь- 1994 года в && часов на заседании специализированного Совета N5 (Д002.68. ЮЗ) йнтитута проблем управления РАН по адресу; 117808, Москва, ул.Профсоюзная, д.65.

Телефон Совета:

С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке Института проблем управления РАН.

Автореферат разослан " Цо " 1994 года.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат технических наук

С.А.Власов

Общая характеристика работы

Актуальность теш. Интенсификация экономической деятельности, повышение ее эффективности состоит правде всего в том, чтобы результаты производства росли быстрее, чем затраты на него, чтобы вовлекая сравнительно меньше ресурсов, можно было добиться большего. Решению этой задачи должны быть подчинены планирование, научно-техническая, организационная и структурная политика. На повышение эффективности должны работать и методы хозяйствования, политика в области управления. Настоящая работа посвящена вопросам математического моделирования и анализа влияния научно-технических достижений на становление, функционирование и развитие сложных организационно-экономических систем. Научно-технический прогресс представляет собой широчайший социально-экономический процесс, описанием, изучением и прогнозированием которого занимается ряд социально-экономических дисциплин. Между тем в связи с бурным развитием вычислительной техники, информационных технологий при разработке и принятии решений и широким применением математических методов исследования целесообразно выявление такого влияния с количественной стороны.

В математической экономике достаточно подробно изучены линейные модели производства и потребления, получены результаты, которые с успехом могут применяться на практике. Однако из-за нелинейного характера экономических связей и влияния научно-технического прогресса на экономический рост линейные модели часто неадекватно отражают процесс, функционирования рассматриваемой организационно-экономической системы.

Изучение оптимальных режимов роста системы с помощью подобных моделей часто приводит к решению задач оптимального управления, характерной особенностью которых является наличие особых тракторий и управлений, причем именно такие движения являются наиболее эффективными. Соответствующие исследования приведены в работе.

Целью исследования является построение и изучение комплекса экономико-математических моделей, учитывающих влияние достижений научно-технического прогресса, при создании, функционировании и развитии организационно-экономических систем различных уровней

управления и форм собственности.

Комплекс охватывает такую группу проблем, как рациональное размещение производительных сил; выбор правильных пропорций между функционирующими отраслями; выбор оптимального технологического способа производства; решение задач, связанных с оптимальным взаимодействием мевду производством и потреблением, а также оптимального распределения капиталовложений в производственную и непроизводственную сферы, в том числе на формирование инфраструктуры.

Научная новизна. Построенный и изученный в работе комплекс математических моделей организационно-экономических систем существенно отличается от ранее изучавшихся как по своим исходным характеристикам, так и по методам исследования. На основе математического исследования нелинейных динамических моделей, изучения особых траекторий и управлений, а также доказанных магистральных свойств предлагаются ноше подходы к изучению— влияния научно-технического прогресса на создание, развитие и функционирование организационно-экономических и производственных систем.

Практическая ценность работы заключается в возможности практической реализации полученных результатов в процессе разработки и реализации сбалансированной программы развития российской экономики в период перехода к рыночным отношениям.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на Третьем советско-польском научном семинаре по математическим методам в планировании и управлении экономикой, на Конференции молодых ученых факультета ВМ и К, посвященной 225-летию МГУ имени М.В.Ломоносова и 10-летию факультета ВЫ и К, на семинаре по прикладной математической экономике во ВНИИ системных исследований и на научно-исследовательском семинаре кафедры исследования операций ВМ и К МГУ.

руАл^стпщ. по теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Структура 2 объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 66" наименования. Объем диссертации страниц машинописного текста. .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность теш, сформулирована цель я определены основные задачи работы; на основе обзора литературы проводится краткий анализ результатов диссертации по сравнению с ранее имевшимися исследованиями в этой области.

Первая глава посвящена математическому исследованию нелинейной динамической модели, построенной в терминах производственной функции и описывающей процесс функционирования экономической системы, наиболее ярко выраженный для государственного сектора. В ¿1 главы I приведена постановка задачи.

Модель I. Рассматривается система, совокупный выпуск в которой описывается неотрицательной производственной функцией Q, зависящей от n+m факторов производства z=(x1,x2,...,xn+rn). Распределение совокупного продукта СЦх) происходит мевду сектором потребления и сектором накопления, т.е. на увеличение факторов х.

Пусть v(t) - норма накопления в момент времени t, т.е. v(t)Q(t) -количество совокупного продукта, идущее на расширение производства, (1-7(t)]Q(x(t) ) - количество продукта, расходуемое в секторе потребления в момент времени t. Пусть u^(t) - доля накопления фактора х^. Чтобы изменить величину факторов xi(i=TTn), необходимо произвести затраты, диктуемые технологией их производства: соответствующие затраты описываются функциями /^(х)

В исследуемой модели также предполагается, что часть факторов производства изменяется, следуя заданным экзогенно законам роста -ф^ (x,t) (J^TTm), независимо от того, каково управление в системе, при этом норма накопления стеснена условиями

а., (х) s v(t) < s2(x), s2(x) - a1(x) a в > О,

где з^х) - некоторые заданные функции, ô - число.

Математически исследование предлагаемой системы сводится • к решению задачи оптимального управления: в момент времени t=0 заданы начальные значения факторов х±(0) =îj>0 (i = 1 ,n+m).

Требуется найти управления u(t)eRn и v(t)eR1 - непрерывные

справа на отрезке t«=[Q,T] и соответствующую траекторию x(t)«Rn+m,

удовлетворяющие системе (I), ограничениям (2) и доставляющие

максимальное значение функционалу (3):

х = v(t)u (t)Q(z(t)) - / (х ( t ) ) i=TTn;

_ (I)

V «pjdiUi.t) i=1 .m;

OiUittli 1 ( 1=1 .n ), • J u^t) = 1;

1=1

(2)

S.,(X) s T(t) s s2(x), 32(x) - 5,(1)^8) 0,

1

J= Xî(c.t) (3)

0

~гдэ~С~=~И~y(t)]Q(x(t))—общеe потребдение_зa_.зa даншй отрезок времени telO.TJ, т.е. моменты времени tQ = О и t1 = Т фиксированы,

a F(C,t) - критерий эффективности управления.

Далее формально изучается задача оптимального управления с закрепленным левым и свободным правым концами и фиксированным временем, с фазовыми ограничениями на управление, при этом удобно использовать иную форму постановки задача (I) - (2). Сделаем замену переменных:

UqU) =

v(t) - B1 (x(t))

s2(x(t)) - s^xCt)).

Пологим w(t) = (UQ(t), u,(t)....,^(t)) и перепишем задачу в виде:

max х0(Т) (4)

weW и

Xq = Р[(1 - з,- (в2- s^UQJQ.Î); = а1+ (s2- s1 )Uq)Q - i=T^n; (5)

i^f i-TS:

n

W = {Wl2Ui = 1,0-Ui£1' 0 S Ug Î 1 }

1=1

К модели I могут быть сведены известные методики исследования влияния научно-технического прогресса на динамику развития социально-экономических систем. Так, если некоторые переменные рассматриваются как макрофакторы, описывапцие качественные характеристики экономического роста (наука, образование, затраты на НИОКР и т.п.), дифференцированные по основным видам деятельности, то подход будет отражать концепцию эндогенного научно-технического прогресса . Посредством функций ф(х,1;) в модель могут Суть включены переменные, учитывающие влияние факторов экономического роста, определяемых вне системы; в последнем случае учитывается влияние экзогенного, в частности нейтрального технического прогресса.

Эффективным инструментом аналитического решения задач типа (4)-(5) служит принцип максимума Понтрягина. В ряде случаев его применение непосредственно приводит к выделению всех управлений "подозрительных" на оптимальность и позволяет записать последние в виде синтеза фазовых координат. Однако условие максимума гамильтониана становится неэффективным, если экстремум достигается на грани ненулевой размерности множества ограничений Я. Это приводит к возникновению особых управлений и траекторий.

В £2 главы I обсуждаются проблемы, связанные с понятием особых управлений и траекторий, формулируются применительно к исходной постановке задачи используемые в дальнейшем при доказательстве теорем известные утверждения необходимых условий первого, второго порядка, а также достаточные условия оптимальности. При этом под экстремалью Понтрягина задачи (4)-(5) на отрезке Л£[0,Т1

понимается допустимое управление, удовлетворяющее принципу максимума Понтрягина.

главы I посвящен изучению особых экстремалей и особых поверхностей, на которых могут лежать особые траектории.

4

См.: Зеликина Л.Ф. Многомерный синтез и теоремы о магистрали. - В кн.: Вероятностные проблемы управления в экономике. М., 1977.

Для фиксированной экстремали Понтрягина w(t) обозначим 5>(w,A)

n+m+1

- множество всех функций <p(t)eR , удовлетворяющих вместе с w(t) и соответствующей траекторией x(t) принципу максимума Понтрягина с гамильтонианом Н без условий трансверсальности. Для фиксированных

<p(t), x(t), t положим P(t)=Argnax H(<p,x,w,t).

WeW

Экстремаль Понтрягина w(t) задачи (4)-(5) на отрезке Д будем

называть особой на этом отрезке, если множество P(t) при всех t«A

содержит более одного элемента для любых <p(t)6$(w,A).

Соответствующая допустимая траектория называется особой.

Экстремаль Понтрягина w(t) задачи (4)-(5) на отрезке Л будем

называть (1,э)-особой на этом отрезке, если для некоторой функции

11,i2,...,iB

(,-Д) —размерность ^грани-JH_ многогранника й, на

которой достигается максимум гамильтониана Н, равна s и для любой" другой v(t)e$(w,i) размерность соответствующей грани не менее з

для любого teA, при ЭТОМ I = CI, , i2.....10>.

Траекторию x(t), соответствующую (1,з)-особой w(t), будем называть (1,а)-особой. Если w(t), x(t) - (1,з)-особые управление и соответствующая траектория, то возможны следующие случаи: 1) а < UQ(t) < b; 2) UQ(t) = 1, ii^t) = 0, где

a = 1иГ u, Ъ = sup u, P = Argmax ,H. UaP UeP 0 < Uq £ 1

(1,8)—особую траекторию назовем главной (1,а)-особой, или (1,з)-магистралью, если для нее имеет место случай 1. Птадполокения

1. Все рассматриваемые функции принадлежат классу C3(R£+D1).

2. F(C,t): R* R1, F^C.t) > 0 при С > 0.

3. Q(x) > 0 при х > О.

* л. л

Теорема I. Пусть v!(t),x(t) - главная (1,а)-особая экстремаль Понтрягина и соответствующая траектория задачи (4)-(5) на отрезке ДеСО.ТЬ. Если выполнены предположения А, то для любого telntA справедливо:

*G0 <92F(C,t)

P«(0.t) -- --

ь ex . »0 ât

v

X = X (t) ДЛЯ любого Jel,

Л

w = w (t)

где Gq = Q - fv при этом FçC(C,t) = 0.

Теорема 2. Пусть w(t),x(t) - (1,з)-особая экстремаль Понтрягана и соответствущая траектория задачи (4)-(Б) на отрезке As[0,Th Если выполнены предположения А, то для любого teint А справедливо:

1) если UQ(t)=q-1 для всех telntA (q=1,2), то существует непрерывная скалярная функция a(t) и постоянная aQ такие, что

2 2 *Fq 'V1'

aQ+ a (t) "О telntA a(t)=OQ--a(t)-для всех J«I;

2) если UQ(t)e(0,1 ) для всех telntA, то

ва (i) oGn(I)

—-----— = Aw^íGnd)) =0 для всех k.pel.

ахк лхр leí ^ 0

Теоремы I, 2 определяют необходимые условия, при которых могут существовать (1,з)-особые экстремали, а также описывают особые поверхности з-"го порядка в фазовом пространстве, где могут находиться соответствующие (1,з)-особые траектории. Здесь же изучается вопрос о вычислении особых управления.

В случае F<C,t) = F (С) поверхности особых траекторий и сами управления синтезируются по фазовым координатам следующим образом:

Для любого IsN рассмотрим множества

Г ^о^ 1

XII) = I Х20 I —У-= 0 V kel ^

I J

Zqd> = I 2>0 I Aák(Gq(I)) =0 V k,3el, q=0,1,2 j,

Y^d.a'.t) = J X20 | A3k(Fq) = aqAák(Gq(I)), v k,J«I(t) J,

*?q aGq(I)

где aq(t) = - - -aq(t); a aq(t) - некоторые

¿rrj exi

непрерывно дифференцируемые функцаи параметра t (q=0,l,2).

Замечание. Определение множества Y^d.^.t) следует понимать следухщш образом: выбирается непрерывно дифференцируемая функция aq(t), определенная на некотором отрезке te А. Для каздого фиксированного момента времени Ы& множество содержит

все точки J¿0 такие, что выполняются соотношения, указанные в скобках. Определение остальных кноезств не вызывает затруднений.

Введенные даошства представляют собой поверхности а-го порядка, на которых могут располагаться (1,з)-особые траектории. Достаточные условия существования главных (I,s)-особых траекторий

-фэдол2руазтся--с-шг,ю1дьалаа:грд^ sxs._

Пусть aá(I) - алгебраическое дополнение j-го элемента последней строки матрицы íí(I), тогда (1,а)-особое управление ??(х) моют быть вычислено по фордаам:

u^U^O 1*1,

03Ш

бк(1)

-----3=т75гт (6)

бк(1) - s10eQ

Ы

Положим

о- ■ CB(I)Q(s2-31)

V(I) =

s-1

У ek(I)

XcX(I){ <g(X),V(Q-13-)>=0

es(I)

где g(x) - вектор фазовой скорости системы (5) с управлением (6).

Теорема 3. Пусть матрица 41(1) является слабой Р-матрицей в точке ieV(I), дая которой выполнено:

a) sign вв(1) = alga б«*(1) для любого 3 = 1 ,s-i,

B-1 s-1

У ök(i) У ek(i)

б) а.< —s-< 8р. в) р" а---Щ- = о,

ö S(I)Q 2 ^

то существует такое s>0, что в е-окрестности точки x«U(s,x)n7(I) существует единственная главная (1,а)-особая траектория задачи

(4)-(5), выходящая из точки х. Поровдавдее ее управление задается соотношениями (6) и траектория осуществляет дюгаение' по поверхности V(I) в U(e,x).

Вычисление экстремалей и соответствующих им (1,з)-особых траекторий, расположенных на множествах Yq и Zq, проводятся аналогично, если ввести матрицы $Iq(I), Sq(I) размеров (а+1)х(а+1), вид которых можно получить при помощи дифференцирования соотношений, определяющих эти множества, в силу системы (5) и последующего исключения При этом все матрицы являются лишь функциями аргумента х. Пусть Л(1) - диагональная матрица размера

(э+1) с элементами Г(Д, , (G„(I)))2.....(Л, , <G il)>)2.1,ll.

L i-i i2 4 s—11s q J

Теорема 4. Пусть в некоторой точке i > О выполнены условия:

а) существует Ilm J A(I)0tq(I) j = Dq(I), для которого выполнены

х-»х

условия теоремы 3, либо

б) Dq(I) не существует, но 3Sq(I) является слабой Р-матрицей в

точке х, для которой выполнено sign S®+1 (I)=slgn vj=T7a.

Тогда существует е>0, что в некоторой окрестности U(e,x) точки х существует единственная (1,з)-особая траектория xq задачи (4)-(5), выходящая из х. При выполнении условия а) теоремы 4 порождающее ее управление задается в виде (6); траектория xq(t) осуществляет движение по поверхности Y^d.a^.t), где aq(t) и xq(t) определяются единственным образом. При выполнении условия б) теоремы 4 траектория xq(t) находится на поверхности Zq(I).

Замечание. Теоремы 3,4 задают достаточные условия существования в точке х особых управлений s-ro порядка, а также соответст-

вупцих им траекторий, расположенных в некоторой окрестности исследуемой точки. Отметим, что особые поверхности второго порядка в нашем случае зависят от неопределенных параметров-функций. Однако условие "х принадлежит (I,s)-особой траектории", приводит к тому, что соответствующие величины определяются по фазовым координатам. Порождающее управление обладает тем же свойством.

¿4 главы I посвящен исследованию условий регулярного, магистрального поведения оптимальных траекторий модели I..

Предположения gj,

а) /1(х) = /jdj.y), /¿(х) i О при х^ О;

б) (pjix.t) s <J>.j(y,t), где х = (z,y). z^rf1, y^R®;

в) vz(Q - > О при 12 0 (q = 1,2).

--Для -какдой-точки ____

г(х) = вах -gf- = (1-3£П), XeR£+D1 .

Положим I=ii1.....is> и введем множества

V(I)={XeV(I) I Г(Х)=0), Z1={XeZ1 (I) |r(X)S0>, 22=(X<sZ2 (I) |Г(Х)2:0> . H(x,a)=max CF(C(x,u))+a(Gn(N)-C(x,u))],

0£U<1 u

где C(x,u)=[1-s1 (x)-(s2(x)-s1 (x))u]Q(3p.

Пусть на множестве выполнено условие

г) vzC(1-s1 (x)Q(x)3 2 8 > 0 при z > 0.

Для каждого xeV(N) рассмотрим дифференциальное уравнение относительно <p(t):

aj öG.n

<P(t)— -5^-(x(t))- -g^—(x(t))<p(t)

с начальным условием ф(0)=Р (С(х)), где x(t) - решение системы (5) с управлениями из теоремы 4 для q=1 и начальными условиями х(0)=х. Условие г), предположения А, Б обеспечивают существование момента времени t(x), когда <p(t (х))=0.

Пусть задан промежуток планирования Т. Тогда в каждой точке

<X,t)eR+

x«V<)

,n+mf1

определим синтез управления слэдущими соотношениями:

x«V()

а)

0, г(х)<0 или t(x)a:T-t;

1, г(х)>0; г(х)=0;

О , >1;

* , -г

u... J«I;

б)

О, t(x)=T-t; Uq t(z)"T-t;

(7)

Ujf t(x)=T-t;

Uj. t(X)*T-t

Величины

Uj(Jel).

,n) суть особые управления,

u0*

вычисленные ранее.

Теорема 5. Пусть выполнены услошя:

1) существование "главной магистрали": V(N)*e и выполнение на ней условий "обеспечения движения":

G2(N)>0 при г(х)гО, G1 (N)<0 при r(x)sO, vzt(1-s )Q]aO <q=1,2).

2) выпуклость функции Цх,а) по аргументу z при фиксированных yetfj1, а>0;

3) условия существования и "обеспечения движения" на особых множествах: в каждой точке x«V(I) (IsN) выполнено

а) главная подматрица порядка з+1 матрицы 31 (I) является Р-матрицей;

б) sign Sk(I) = sign 6S(I) для yk=1,s—1 ;

в) условия согласования для функционала: условия О) теоремы 3;

4) условия существования и "обеспечения движения" на особых

множествах: в каждой точке x<=zq(I) (q=0,1,2) выполнено

а) главная подматрица порядка з матриц 58ч(1) является Р-матрицей;

б) sign e£(I) = sign as+1<I) ДЛЯ vk=T7s.

Тогда для всякого существует такое положительное

число T0(i0), не зависящее от Т, что синтез (7) является оптимальным синтезом задачи (4)-(5).

Когда средствами экономико-математического моделирования изучается динамика влияния на организационно-экономическую систему факторов научно-технического прогресса, под таковым понимается возрастание эффективности производства, в частности увеличение выпуска продукции, без дополнительных затрат производственных ресурсов, т.е. только за счет рационального ведения хозяйства, либо за счет совершенствования исходной технологии производства (применение новых вадов энергии, средств труда и т.п.). Основными вобшеностши и, соответственно, направлениями исследований здесь являются: рациональное разке^ение производительных сил, совершенствование производственных связей, выбор оптимального способа производства из возможных технологических способов на основе оптимального долгосрочного планирования производства по выбранной технологии, выбор направлений« для финансирования

ЕаучшгиссдедоБйтодьсге1х--н-опытам__(НИОКР),

отбор предлагаемых к реализации инновационных проектов и др. Сюда же можно отнести такой важный аспект экономических исследований, как изучение рационального распределения капиталовложений между производством в фондообразующих отраслях и инфраструктурой, поскольку последняя мояэт в значительной мере влиять на рост основного производства, будучи вместе с тем необходимым элементом функционирования экономической система.

Основная задача сегодня - реализация программы развития реформ и стабилизации российской экономики, направленной на создание рыночной социально-ориентированной, конкурентоспособной, высокотехнологичной организационно-зкономической системы, способной динамично развиваться на основе собственных внутренних ресурсов, восприятия прогрессивных научно-технических достижений, прочного и органичного включения в мирохозяйственные связи при обеспечении экономической неуязвимости и экономической безопасности отдельных регионов и страны в целом.

В этой связи результаты исследований рассматриваемых во II главе моделей экономической динамики могут быть использованы для решения задач, содержащихся в принятой программе.

В ¿1 главы П доказана теорема о магистрали в сильной форме для модели фон Неймана с нетерминальной целевой функцией.Поскольку

изучаемая задача (модель 2) является дискретной динамической, получений результат позволяет выделять из вариантов развития и размещения производств те, что действительно целесообразно учитывать при долгосрочной структурной политике.

Как известно, модель фон Неймана определяется двум неотрицательны.® матрица!® А,В (матрицы затрат и выпуска), описывающими технологию производства в системе, в которой функционируют га отраслей, производящих п продуктов, и продукция которых монет быть использована как затраты в слэдукдем производственном цикле.

Пусть (А,0, г, р) - неймановское состояние равновесия модели (А,В), А0,В0~ подматрицы матриц А,В размеров гхк, соответствувдие

ненулевым компонентам вэкторов а, р. Предположения о модели (А,В).

1. Матрицы А и В нэотрицательшэ размеров п*я.

2. Существуют неймановские лучи ! и р в точке равновесия (Х0,1,р), причем 2 единствен.

3. В матрицах А0,В0 существуют подматрицы А1,В1 размеров кхк, что уравнение йе1(ХА1-В1)=0 на круге радиуса \0 имеет лишь простой корень к=Х0.

Пусть z^t) - вектор, описывавдяй состояние системы в момент времени г; г(О) - состояние в начальный период'времени при 1;=0. Рассматривать функционирование модели в дискретные моменты времени г=0,1,...,Т, Т - длина отрезка планирования, приходам к задаче:

ш

шах У(г^) = шах £ лМгКЮ),

Аа(1;) < Вг(1;-1), 1;=Т7Т, (8)

2(1;) гО,

где X - некоторый параметр, а у(2) - выпуклая вверх монотонно возрастающая гладкая функция, определенная на Н^.

При некоторых технических предположениях о функции у(й) справедлива теорема о магистрали в сильной форме для задачи (8). Отне-

тим, что результат получен нетрадиционным способом и задает необходимые и достаточные условия существования магистрали для модели фон Неймана с неотрицательными прямоугольными матрицами затрат и выпуска и нетерминальной целевой функцией.

Широко известно, какое заметное влияние на рост основного производства может оказывать недостаточное развитие обслуживающих производств, поэтому актуальным вопросом моделирования становится распределение капиталовложений между производственным накоплением и сектором развития инфраструктуры. Более точно: недостаточное развитие инфраструктуры не позволяет использовать весь произведенный совокупный продукт на производство и потребление (например, недостаточное развитие транспорта, связи, нехватка трудовых ресурсов, связанных с недостатком жилья, и т.п.). Часто эти вопросы не могут быть рассмотрены в рамках модели I из-за недостаточной глад-~костТпртшводстветой-функции ,-построешо^ на^отошпрактиче ских данных.

Учитывая эти обстоятельства, в ¿2 предлагается новый подход, реализованный с помощью модели, в которой наряду с сектором основного производства товаров выделен в качестве самостоятельного сектор развития инфраструктуры.

Модель 3. Пусть x(t) - основные фонда, занятые в основном производственном процессе в момент времени t; y(t) - основные фонды, занятые при производстве инфраструктуры в момент времени t; z(t) - объем услуг инфраструктуры в момент времени t, выраженный в некоторых суммарных единицах, например в денежном выражении. Производство объемов продукции основного производства и инфраструктуры описываются с помощью неоклассических производственных функций F(x) и ф(у). Нормы амортизации в каждом секторе ni(i=1,2,3) соответственно. Для определенности считается, что F(x), z и ф(у) измеряются в единообразных единицах.

Пусть P(F(x),z) - часть произведенного совокупного продукта, которую можно использовать на расширенное воспроизводство и потребление, допускаемая объемом услуг инфраструктуры z и соответствующим выпуском Р(х). Если u(t) -доля отчисления в основное производство, a w(t) - доля отчислений, реализуемая в производстве, то задача состоит в максимизации функционала

т

S (1-co(t))P(F(x) ,z)dt о

при ограничениях

x = uitJuCtJPtPCxi.zi^x x(O) = x0,

у = <o(t)(1-u(t))P(F(x),z)-ti2y y( 0) = y0,

z = ф(у)-ц3г z(0) = z0.

Величины u(t) и u(t) удовлетворяют условиями

О < Gd(t) < 1 , 0 < U(t) < 1 . Такая задача решается для функции P(F,z) = min (F(x),z).

Модель 3 имеет единственную точку равновесия Я.

Теорема Пусть начальная, точка й(0) такова, что существуют допустимые управления w(t), u(t), переводящие И(О) в Э по траекториям модели 3. Тогда существуют такие числа Т1 и Т2, зависящие от Н(0), но не зависящие от Т, что при Т>Т1+Т2 для любой оптимальной траектории M(t) модели 3 выполнено: M(t) = й при t < Т - Т2.

Таким образом, хотя функция f(F,z) и не обладает достаточной гладкостью, необходимой при использовании классического принципа максимума Понтрягина, тем не менее для такой модели теорема о магистрали также справедлива.

Для большинства функциональных оптимизационных моделей, факторами, определяющими процесс динамики экономической системы, являются производственная функция Q(x), также функции /¿(х), имеющие смысл амортизационных отчислений, и функции з^(х), ограничивающие норму накопления в системе. Определение последних является малоисследованной задачей.

В ¿3 главы П предлагается один из возможных способов построения такого рода ограничений путем введения иерархической структуры, в которой участников производства объединяет координирующий орган (Центр), задающий соответствующие уровни нормы накопления.

Модель 4. Предполагается, что экономическая система, функционирующая на отрезке времени tetO.Tl, включает две ступени иерархии: производственную (первую) и Центр (вторую). •

На первой (низшей) ступени функционируют п производителей,

1- й участник производства осуществляет производственный процесс фактора х^ в соответствии с заданной производственной функцией

01(х1), распределяя выделенные ему в момент времени г ресурсы

1^(1;), т.е. доли произведенного продукта между накоплением

и потреблением. Задача 1-го участника системы - осуществить

т

шах ^(и) = шах (1^- г1)01(х1)йг о

при условиях

х-р т1(г)01(х1) -

о < £ и^),

_____х(0) = I.

ц^ - норма амортизации фактораТр-

Центр (выедая ступень иерархии) имеет возможность управлять производством, распоряжаясь ресурсами UjCt), т.е. назначать программное управление. Задача Центра так назначить величины u(t) на отрезке telO.T], чтобы осуществлялся

Т п

шах 7 (и) = шах Г У СЛ1 -u, (х, )dt = J*. U«K q т 1 Iii

где Cj- цена на i-й фактор производства,К - n-мерный единичный куб Если время Т достаточно велико и Центр сам осуществляет производственный процесс, то оптимальное решение задачи Центра кусочно-постоянно.

Пусть V(U) = | V = (71,v2,..,7n) I VieATg^X JjfU) };

U®- множество всех кусочно-постоянных, непрерывных справа, имеющих не более га точек разрыва п-мэрных вектор-функции со значениями в К Вектор-функция üd^U® называется решением задачи Центра,

если

¡Г (и) = max min J(u).

Ustf11 veV(u)

Для достаточно большого Т определение 2 корректно. Пологим

^ 1

Р1(Х) = (1 - н1(х))01(х), И1(х1) = - ,

тогда существует решение х*- уравнения Р^х*) = О.

Пусть и* = ^(х*), Введем вектор и*= (гц, и^), множества

1р(е) = { иеН® I II и - и* II > е

Ки) = 3 I 0 5 3 ^ т, и^Ы^е) и число Т(и) = 2

Теорема 7. Пусть х(0) > 0 и йШ - оптимальная траектория задачи Центра. Тогда для любого е > 0 и любого фиксированного натурального т существует такое число Т т(е), не зависящее от Т, что при Т > Т ш(е) выполнено: Г(и) < Т т(е).

Последнее утвервдение является теоремой о магистрали в слабой форме для модели 4, когда Центру разрешено использовать кусочно-постоянные управления с фиксированным числом т точек разрыва; сильная теорема для рассмотренной задачи справедлива лишь для т=1, что показано на соответствующем примере. Интерпретировать этот достаточно важный факт для планирующего органа можно следующим образом: если одной из целей оперирующей стороны является хотя бы минимальная стабильность поведения участников системы, то необходимо придерживаться квантованной политики управления.

В заключительном ¿4 главы П на основе изученных моделей обсуждаются новые подходы к учету влияния научно-технического прогресса при создании, функционировании и развитии организационно-экономических систем.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1) предложена функциональная нелинейная динамическая модель организационно-экономической системы, проведено ее качественное исследование методами теории оптимального управления;

2) установлены условия существования особых траекторий модели, проведено вычисление особых управлений исследуемой задачи оптимального управления, исследованы условия регулярного поведения оптимальных управлений и соответствующих траекторий, сформулированы условия и доказана теорема о магистрали в сильной форме для рассматриваемой модели;

3) теоретически исследована модель экономической динамики фон Неймана с нетерминальной целевой функцией, для которой установлена теорема о магистрали в сильной форме;

4) построена и изучена средствами теории оптимального управления ^ьгодель-оптшальнога_распр8де_л^ш_кЕШталовложэний между производственной сферой и инфраструктурой, построен~ешггез—оптимальнокх управления исследуемой задачи;

5) предложена и изучена иерархическая модель выбора рационального механизма влияния координирующего органа на политику производителей; показано, что в определенных условиях в такой модели оптимальное управление обладает магистральным свойством в слабой форме;

6) проведен анализ методологических принципов при моделировании влияния научно-технического прогресса на динамику развития, функционирование и формирование программного управления в организационно-экономических системах, предложены конкретные области приложений полученных результатов -диссертационной работы и даны рекомендации по постановке и решению ряда задач организационно-экономического управления.

Список основных публикаций автора по теме диссертации

1. Аграчев А. Е., Гольд Г. С., Кононов Д. А., Смирнов ЕС. К опыту решения задачи оптимизации развития сырьевой базы на перспективу (медная промышленность).- В сб.: Проблемы экономического анализа минерально-сырьевой базы. М., ЦЭШ АН СССР, 1977.

2. Кононов Д. А. Теорема о магистрали в сильной форме для модели Неймана с нетерминальной целевой функцией. - Вестн. МГУ, сер. вычислит, мат. и киберн.. 1979, N1, с. 26-33.

3. Кононов Д. А. Оптимальное управление научно-техническим прогрессом в иерархической модели. - В сб.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ. - М., МГУ, 1979.

4. Кононов Д. А. Моделирование рационального механизма влияния Центра на политику производителей в условиях полного хозяйственного расчета и самофинансирования. - Депонировано в ЦНИИТЭИ приборостроения 25 мая 1987 г. , N 3794-пр, 23 с.

5. Кононов Д. А. Оптимальный синтез в моделях экономической динамики. - В сб.: Прикладная математика и математическое обеспечение ЭВМ., М., МГУ, 1980.

6. Кононов Д. А. Двухэтапное распределение ресурсов в двух-секторной экономике. Тезисы Советско-польского научного семинара по математическим методам в планировании и управлении экономикой. М. , ГОМИ АН СССР, 1979.

7. Распределение ресурсов с учетом развития инфраструктуры. - Депонировано в ИНФОРМПРИБОР 7.12.87 М4040-пр87, 42 с.

8. Магистральное поведение оптимальных стратегий в иерархической игре Центр-производители. В сб.: Программное обеспечение и модели системного анализа. М., МГУ, 1991.

Личный вклад автора. Все результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В работе [11, опубликованной в соавторстве, автором проведена подготовка исходной информации, разработана программная реализация и осуществлены многовариантные расчеты развития сырьевой базы медной промышленности на перспективу.