автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде

На правах рукописи

Вавилов Вячеслав Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2006

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Назаров Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Змеев Оле! Алексеевич,

кандидат физико-математических наук, Никитина Марина Анатольевна

Ведущая организация: Томский политехнический университет

Защита состоится:

18 мая 2006 г. в 10 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 654050, г. Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах, заверенные печатью) просьба высылать по адресу: 654050, г. Томск, пр. Ленина, 36, Томский государственный университет, ученому секретарю университета Буровой НЛО.

Автореферат разослан «. 5Г » апреля 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, доктор технических наук, доцент

А.В. Скворцов

/.о® 6 fr

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Развитие информационных технологий расширяет сферу применения сетей связи. Наибольшее распространение получили сети, управляемые протоколами случайного множественного доступа. Важнейшими требованиями к сетям в настоящее время являются высокая скорость и надежность передачи различного типа информации. В связи с этим создается новое аппаратное обеспечение, расширяющее пропускную способность физических каналов связи; разрабатываются модификации сетевых протоколов с целью повышения производительности. Однако, несмотря на предпринимаемые усилия, полного решения проблемы еще не существует. Именно поэтому ведется математическое моделирование сетей связи.

Инструментом математического моделирования сетей множественного доступа является аппарат теории массового обслуживания, с помощью которого изучаются стохастические свойства сетей. Исследованию систем с повторными вызовами посвящены работы Бочарова ПЛ., Дудина А.Н., Клименок В.И., Назарова A.A., Шохора С. Л., Оды-шева Ю.Д., Степанова С.Н., Фалина Г.И., Хомичкова И.И. В трудах Назарова A.A. и Юревич Н.М. теоретически показана возможность возникновения в сетях явления бис-табильности. Много внимания уделяется проблеме устойчивости сетей связи. В работах Фалина Г. И., Назарова A.A. и Никитиной М.А. показано, что сети с постоянной интенсивностью входящего потока и бесконечным числом абонентских станций не имеют стационарного режима, то есть задержка в передаче пакетов растет по мере продолжительности работы сети. Проблему стабилизации сетей решают модификацией протоколов. Так в работах Кузнецова Д.Ю. и Назарова A.A. проводится исследование сетей с адаптивным протоколом. Основным толчком к исследованию характеристик потоков информации в системах связи послужило несоответствие между проектируемой нагрузкой и существующей. Изучению потоков в локальных сетях посвящены работы Богуславского Л.Б., Назарова A.A. и Колоусова Д.В., Лебедева Е.А. и Чечельницкого A.A.

Важно подчеркнуть, что для организации оптимальной работы сети недостаточно учитывать физические особенности построения сетей и стохастические свойства протоколов. Производительность сетей зависит еще и от воздействий случайной среды - изменяющихся неконтролируемых внешних условий, влияющих на пропускную способность каналов связи. К таким условиям относят: состояние ионосферы для радиосетей, атаки вирусов на компьютерные сети, функционирование локальное сети, подключенной к глобальной, несанкционированный доступ в сети и т.д.

Необходимость оптимизации сетей привела к рассмотрению управляемых СМО (СМО с переменными параметрами). Если переменной является интенсивность обслуживания, то такие системы называют СМО, функционирующими в случайной среде. В данных моделях возможные значения параметров СМО связываются со значениями некоторого управляющего процесса. Исследования СМО в случайной среде, управляемой

цепью Маркова, рассматривались в работах Ycchiali U., Naor P., Purdue P., Neuts M.P. В работах H.H. Попова представлены исследования СМО, управляемых полумарковскими процессами. В трудах Дудина А.Н. можно найти результаты исследования СМО в случайной среде применительно к сетям связи.

Исследованию сетей множественного доступа в случайной среде, уделялся недостаточно внимания. Таким образом, данная работа является весьма актуальной.

Цель данной работы - исследование математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде.

При выполнении данной работы ставились следующие задачи.

(1). Построить математические модели сетей множественного доступа в виде СМО для бесконечного и для конечного числа абонентских станций (АС) с функционированием в случайной среде, управляемой цепью Маркова; для бесконечного числа АС с функционированием в диффузионной и полумарковской средах.

(2). Исследовать построенные модели с использованием аппарата теории массового обслуживания и асимптотического анализа систем, а именно, для математических моделей сетей в случайной среде, управляемой цепью Маркова, найти асимптотические средние характеристики; исследовать величины отклонения от этих средних; доказать возможность явления многостабильности; аппроксимировать процесс функционирования сети однородным диффузионным процессом; найти плотность распределения вероятностей значений этого процесса и доказать ее многомодальность; исследовать среднюю длительность времени стабильного функционирования сетей; рассмотреть функционирование сетей в условиях предельно редких изменений состояний случайной среды. Для моделей сетей, функционирующих в диффузионной и полумарковской средах провести аналогичные исследования.

Методика исследований. Исследование математически--, моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, асимптотического анализа марковизируемых систем.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту.

1. Впервые предложен метод асимптотического анализа для исследования математических моделей сетей множественного доступа в случайной среде.

2. В условиях большой задержки для математических моделей сетей с бесконечным числом АС и в условиях большого количества АС для модели сетей с конечным числом АС найдены распределения вероятностей состояний канала, асимптотическое среднее нормированного числа заявок в ИПВ, величины отклонения от этого среднего. Также проведена диффузионная аппроксимация процесса изменения состояний сети, найдена плотность распределения вероятностей этого процесса.

3. Для моделей сетей в случайной среде, управляемой цепью Маркова, доказана возможность явления многостабильности, показана многомодальность плотности распреде-

ления вероятностей значений процесса функционирования сети, исследована средняя длительность времени стабильного функционирования сети.

4 Показано, что сети множественного доступа с конечным числом АС даже в случайной среде отличаются устойчивым функционированием.

5. Рассмотрено функционирование математических моделей сетей множественного доступа s условиях предельно редких изменений состояний случайной среды.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что метод асимптотического анализа марковизируемых систем модифицирован для исследования математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде. Построенные модели сетей связи в случайной среде могут быть использованы в качестве основы построения более сложных моделей.

Практическая ценность работы состоит в том, что результаты, полученные в работе, могут быть использованы для анализа реальных сетей, а также при проектировании новых сетей.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались:

1. На VIII Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи» (г. Анжеро-Судженск, 16-17 апреля 2004 г.);

2. На Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (г. Новосибирск, 2-5 декабря 2004 г.);

3. На III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 11-12 декабря 2004 г.);

4. На Международной научной конференции «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей» (г. Минск, 22-24 февраля 2005 г.);

5. На IX Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи» (г. Анжеро-Судженск, 15-16 апреля 2005 г.);

6. На IV Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 18-19 ноября 2005 г.);

7. На научных семинарах кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Публикации. По материалам данной работы опубликовано 11 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 158 страниц, в том числе титульный лист - 1 стр., оглавление - 3 стр.. основной текст - 137 стр., библиография - 207 наименований - 17 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, изложена цель исследования, научная новизна, теоретическая и практическая ценность результатов, методика исследования, сделан обзор литера1уры.

В первой главе исследуются математические модели сетей множественною доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью Маркова. В качестве математической модели сети с оповещением о конфлиюе рассматривается однолинейная СМО, на вход которой поступает прооейший с параметром "К поток заявок. Прибор этой СМО может находиться в одном из трех состояний: к = О, если он свободен; к = 1, если он занят обслуживанием заявки; к = 2. если на приборе реализуется э ran оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если в течение обслуживания этой заявки другие требования на прибор не поступают, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то возникает конфликт. От этого момеша начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а ткже поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходя г в ИПВ. Повторное обращение заявок к прибору из ИПВ происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром у. Число заявок в ИПВ обозначим /. Длины интервалов оповещения о конфликте также имеют экспоненциальное распределение с параметром М а.

Сеть функционирует н случайной среде. В качестве математической модели случайной среды рассматривается однородная цепь Маркова s(t) с конечным множеством состояний s = 1,2,...,5 и непрерывным временем, для которой заданы ее инфинитезималь-ные характеристики qs s^. Влияние случайной среды на функционирование сети связи определяется зависимостью интенсивности ц обслуживания заявок от состояний s(t) = s случайной среды, то есть ц = n(s). Вероятность окончания обслуживания заявки на приборе за бесконечно малый промежуток времени At равна h(j)A/ + o(At).

В силу свойств приведенной математической модели, трехмерный случайный процесс {k(t),i{t),s{t)} является цепью Маркова с непрерывным временем.

Обозначим P(k(t) = k,i(t) = i,s(t) = j) = Pk(i,s,t). Можно показать, что распределение Pk(i,s,t) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Колмогорова

dP^t) + {Х + jy)PoU s [) = ,)0 + 1р2(/)5;/) + ^/> (/f, >t)q ,

+ (X + ¿у + (/, s,t) = ХР0(/, s, О + (/ +1 )уР0 (i +1,5,0 + Р} (;„у, „t)qv,

от V а)

Исследование данной системы проводится методом асимптотического анализа в условиях большой задержки у —> 0. Для этого выполняется замена вида

у = е\ е2/ = т, е2/ = х(т) + еу, -/>*(/",*,/) = Нк(у,$,х,г). (1)

£

Здесь х(х) имеет смысл асимптотического среднего значения нормированного числа заявок в ИПВ, у(х) имеет смысл величины отклонения от этого среднего.

Вообще, под асимптотическими средними характеристиками сетей множественного доступа в случайной среде, будем понимать распределение вероятностей состоя-

ний к канала и функцию х = х(т). В диссертации доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Асимптотически при у—>0 распределение вероятностей состоя-

ний к канала имеет вид

яо(х) =---; ад = .

а(Х + х)2 + 2(Х + х) + у(х) а(Х + х)2 + 2(Х + х) + ц/(х)

=--, (2)

а(Х + х) + 2(Х + х) + ц/(х)

где а н X заданы, х = х(т) - детерминированная функция, определяемая обыкновенным

дифференциальным уравнением вида

*'(т) = А.-Ч/(х)ад, (3)

в котором у(х) есть величина

ш(х) = / , (4)

1=1 / 3=1

здесь определяется решением <2к(х,х), к = 0,1,2 системы

1 х

(X + Х)е0 (х, = (*, ) + - £?2 (*.«) ■+ £ во (X, 5, ■

5

(X + X + Ц(5))б, (д:,5)=(Х+ Х)0о (X,5) + ]Г а (X,.$•, ,

«1=1

5

= (X + х)0,(х„О + (5)

2 5

и условием нормировки = 1.

к=0*=1

Проводится исследование величин отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от их асимптотического среднего. Доказывается следующая теорема.

Теорема 2. Асимптотически при у —» 0 случайный процесс у(т) определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида

ау{1) = А'х (*)Мт) А + В{х)М т),

где и>(т) ее 1Ь стандартный винеровский процесс, ,4(х) определяется равенством

А(х) = к-чШ,(х), (б)

функция В(х) определяется равенством

В2(х)=--х'(т) + 2ху(хЩ(х)

а(Х+х) +х Х+х

Я0(х) +

Х+х

Я,(х)

, (7)

если выражение правой части больше нуля, здесь параметры а и X заданы, Лк(х) есть распределения (2), \у(х) определяется равенством (4).

Решение _у(т) стохастического дифференциального уравнения (1) имеет вид

у{т) = е° )В(х(и))е 0 сЫ>(и).

о

В работе также доказывается, что для достаточно малых значений параметра £ случайный процесс ~(т) = х(х) + гу, аппроксимирующий процесс изменения числа заявок в

ИПВ 62/(т/е2), является однородным диффузионным процессом.

Теорема 3. С точностью до о(г) случайный процесс г(т) является решением стохастического дифференциального уравнения (¿(г) = А(:)<Ь + гВ(:)сЫ>{т), где и^т) есть стандартный винеровский процесс, А(~) определяется равенством (6), а В(-) - (7).

Следствие 3.1. Плотность распределения вероятностей значений процесса г(т) изменения состояний сети имеет вид

2 \ Л{и)

вЧ=)

Л/

Г 1 ±

¡в (=)

(8)

Точки покоя дифференциального уравнения (3) определяются уравнением X = чН*)/?! (*) • Устойчивые точки покоя этой модели назовем точками стабилизации сети. В окрестности этих точек может достаточно долго оставаться процесс функционирования сети. Аналитическое решение дифференциального уравнения (3), а также соответствующего уравнения для точек покоя представляет трудоемкую задачу в связи с наличием в их правых частях функции \(/(.х). Поэтому рассматривается случай предельно редких изменений состояний случайной среды щ ->0. В пределе система (5) 35 уравнений распадается на 5 систем уравнений, решение каждой их которых имеет вид

00 (*'■*) =

а(Х + хУ +2(к + х) + \1($)

—-Ф), 5) =

а. + х

а(Х + х)2

а{К + хУ +2(к + х)+ф)

Ф),

где стационарное распределение вероятностей состояний среды.

Уравнение для определения точек покоя в случае 9 -> 0 принимает вид

Х + х

1

= 1"

-ц(^)ф).

(9)

Для примера рассмотрим вариант с тремя состояниями случайной среды л -1,2,3. Определим значения параметров г(1) = 0,99915, г(2) = 0,00079, /-(3) = 0,00006, <2 = 1, л-0,0047, ц(1) = 0,0111, ц(2) = 100, ц(3) = 30000. На рис. 1 правая часть уравнения (9) изображена сплошной линией, а левая - пунктирной. Уравнение (9) при заданных параметрах имеет шесть корней: х, =0,0278, х2 =0,6484, х3 = 4,3492, х4 = 18,2406, х5 =63,8292, х6 =309,0236, которые на рис. 1 соответствуют точкам пересечения изображенных линий. Из этих корней х,, х3 и х5 являются устойчивыми точками покоя дифференциального уравнения (3), то есть точками стабилизации сети, поэтому такую сеть можно назвать трехстабильной.

0000

Рис I. Явление трехстабшьности в неустойчивых сетях множественного доступа Поведение траекторий асимптотического среднего х(т) в зависимости от начальных условий отображено на графиках, представленных в диссертационной работе. Плотность распределения вероятностей (8) значений процесса г(т) функционирования сети для рассматриваемого случая является трехмодальной. Ее вид изображен на рис. 2.

In(z+1)

Рис 2 Трехмодальная плотность распределения вероятностей F(::)

Рассматривается функционирование сети в случайной среде, управляемой цепью Маркова с четырьмя состояниями. В работе подобраны значения параметров, при которых возникает явление четырехстабильности. Плотность распределения вероятностей (8) значений процесса г(т) для данного случая является четырехмодальной. Ее вид изо-

(n(z+1)

Рис. 3 Четырехмодальиая плотность распределения вероятностей F(:)

В работе также подобраны значения параметров, при которых в сетях множественного доступа может возникать явление пятистабильности. Представлен график соответствующей иятимодальной плотности Е^). В общем случае показано, что для сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, уравнение (9) может иметь 25 корней, где 5 - число состояний случайной среды (управляющей цепи Маркова), из которых 5 корней будут являться устойчивыми точками покоя дифференциального уравнения (3). то есть точками стабилизации сети множественного доступа. Таким образом, в рассматриваемых сетях может возникать явление многостабильности. Данный результат является своего рода обобщением результатов работ других авторов, исследовавших явления моностабильности или бистабильности в сетях множественного доступа. Важно подчеркнуть, что многомодальность плотности ^(г) объясняется зна-копеременностью коэффициента переноса А(г), определяемого равенством (6).

Временем стабильного функционирования сети случайного доступа в окрестности точки стабилизации назовем интервал времени Т{1), в течение которого ; -юцесс г(т) находится в окрестности этой точки до достижения ближайшей неустойчивой точки. Исследуется среднее значение длительности интервала времени Г(т).

Теорема 4. Среднее значение продолжительности интервала времени Г(т), при условии, что в начальный момент времени х значение процесса 7(т) равно г, имеет вид

где А(г) определяется равенством (6), В{г) определяется равенством (7), С, и Сг -произвольные константы, которые для точки стабилизации хх определяются краевыми условиями Е(0)= 0, Е'(хг) = 0, а для точек , я -2,3,...,5 определяются краевыми условиями Е'С*2(,_1)) = 0' Е\хг,) = 0-

Во второй главе рассматривается математическая модель сети множественного доступа с оповещением о конфликте в виде однолинейной СМО, на вход которой поступают заявки от конечного числа N АС. Время генерирования заявки от одной АС имеет экспоненциальное распределение с параметром X/N. Суммарный поток требований от всех АС поступает на обслуживание. Прибор этой СМО может находиться в одном из трех состояний: к = О, если он свободен; к = 1, если он занят обслуживанием заявки; к = 2, если на приборе реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если в течение обслуживания этой заявки другие требования на прибор не поступают, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему. Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то возникает конфликт. От этого момента

\

у

начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на этапе оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). Повторное обращение заявок к прибору из ИПВ происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром у/N. Число заявок в ИПВ обозначим / Длины интервалов оповещения о конфликте также имеют экспоненциальное распределение с параметром 11а.

Математическая модель случайной среды аналогична модели случайной среды, рассмотренной в первой главе. Влияние случайной среды на функционирование сети связи определяется аналогичным образом.

В силу свойств приведенной математической модели, трехмерный случайный процесс {¿(0,'(0,5(0', является цепью Маркова с непрерывным временем.

Обозначим />(£(0 = £,/(/) = /,5(0 = 5) = /*(/, .у, О- Распределение />*(/,$,*) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Колмогорова

^'Ш. 4 "

дс

дРМ.

/+1 5

8Р2( Э/

+ - - 2,5,01,5,0+ •

Данная система исследуется методом асимптотического анализа в условиях большого количества АС N —» <ю. Для этого выполняется замена

\/N = ег, гг1~1, е2/ = х(т) + еу, -Рк{1,$,()=Нк{у,з,1,г).

£

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 5. Асимптотически при распределение вероятностей Як(х) со-

стояний к канала имеет вид

«.(х)--М1-х) + трг + у(х)

а(Х.(1 - х) + ух)2 + 2(Ц1 - х) + ух) + 1у(х)

/г, (х)«--,

а(Х(1 - х) + ух)2 + 2(Х.(1 - х) + ух) + ц/(х)

Я2(х) =--, (Ю)

а(Я.(1 - х) + ух)г+ 2(Х(1 - х) + ух) + у(х)

12

где а. X и у заданы, х = х(т) - детерминированная функция, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением

х\х) = Ц\-х)-чЦхЩ(х), в котором \\>(х) есть величина вида

£ ¡Я

Ч/(х) = £ Ц(5)2, (X, .9) / £ 0, (X, 5) ,

/ .1=1

здесь £>[(х,5) определяется решением Й(х,5), к = 0,1,2 системы

1 5

(Ц1 - X) + ух)2о(х,5) = Ц(.г)01 (х,5) + -02(X,)<7V>

(П)

(12)

а

s,~ I

(А.( 1 - х) + ух + n(i ))<2, (х, s) = (Х(1 - х)+ ух)б0 (х, s)+ £ Qt (х, s, )<7V,

i,=l

1 s

-Q2(x,s) = (Ц1 -x) + yx)Qi(x,Q2(*, s.

2 5

и условием нормировки £ £ (х, в) = 1.

Теорема 6. Асимптотически при N —> да случайный процесс ^(т) определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида

ф(т) = л; (х)у(т)Л + В{х)сЫ>(х), где и<(т) есть стандартный виперовский процесс. Жх) определяется равенством

А(х) = Х(1 - х) - ц/(х)Л,(х), (13)

функция В(х) определяется равенством

Ух

Я (х) = х'(т) + 2ц/(х)

а(Ц1-х) + ух) +

А.(1 - х) + ух

R0(x)Ri(x) +

+ 2 ч»(х)

1 + х'(т) а +

1

- а\Кх)й0(х)

Л?(х),

(14)

^ хо-х)+гх;

если выражение в правой части больше нуля, здесь параметры а, А. и у заданы, Rk(х) есть распределения (10), у(х) определяется равенством (12).

По аналогии с первой главой проводится глобальная аппроксимация процесса е2;'(т/е2) изменения состояний сети процессом z(x) = х(т) + еу. Доказывается теорема.

Теорема 7. С точностью до о(е) случайный процесс z(x) является решением стохастического дифференциального уравнения <£(т) = A(:)ch + zB(z)dw(т), где w(t) есть стандартный винеровский процесс, функция А(:) определяется равенством (13), а функция В(:) определяется равенством (14).

Следствие 7.1. Плотность распределения вероятностей значений процесса г(т) изменения состояний сети имеет вид

]

В2(:)

4(4"'*

,£!оЯ-<")

г 1 ±

\в\=)

(15)

Численное исследование проводится аналогично в условиях предельно редких изменений состояний случайной среды -> 0. Уравнение для определения точек покоя в этом случае имеет вид

Ц1-х) + ух

А.(1-*) = £-

(16)

а(Н 1 - х) + ух)2 + 2(Ц1 - х) + ух) + ц(*)' Для примера рассмотрим случайную среду с двумя состояниями: 5 = 1,2. Определим значения параметров: г(1) = 0.985, г(2) = 0,015, а = 1, Х = 0,25, у = 500, ц(1) = 1, \х(2) = 1000. На рис. 4 правая часть уравнения (16) изображена сплошной линией, а левая - пунктирной. Уравнение (16) при заданных параметрах имеет пять корней-х, =0,0009. х2 =0,0035, х3 =0,0321, х4 =0,1022, х5 = 0,8513, которые на рис. 1 соответствуют точкам пересечения изображенных линий. Из этих корней х,, х3, х5 являются устойчивыми точками покоя дифференциального уравнения (11), то есть точками стабилизации устойчивой сети, а поэтому такую сеть можно назвать трехстабильной.

0.05-

1п(200х+1)

Рис. 4 Явление трехстабильности в устойчивых сетях множественного доступа

Поведение траекторий асимптотического среднего х(т) в зависимости от начальных условий отображено на графиках, представленных в диссертационной работе. Плот-

ность распределения вероятностей (15) значений процесса г(т) функционирования устойчивой сети для рассматриваемого случая является трехмодальной. График этой плотности также представлен в диссертационной ра(хне.

Теорема 8. Среднее значение длительности времени Т(т), при условии, что в начальный момент времени т значение процесса г(т) равно г, имеет вид

где А(:) определяется (13). B(z) определяется (14), С\ и С2 - произвольные константы. которые для точки стабилизации дг, определяются краевыми условиями Е(0) = 0, £'(х2) = 0, для точек i - 2,3,...,S определяются краевыми условиями

E\x2(,-i))~ 0, E'(x2s) = 0, а для точки краевыми условиями E'(xs) = 0 и £(1) = 0.

В третьей главе рассматривается математическая модель сети множественного доступа с оповещением о конфликте аналогичная модели, рассмотренной в первой главе. В качестве математической модели случайной среды рассматривается диффузионный процесс, определяемый уравнением ds{t) = a(s)dt + p(j)dw(f). Влияние случайной среды на функционирование сети определяется аналогичным образом.

В силу свойств данной математической модели, трехмерный случайный процесс {&(/),/(/),s(/)} является марковским процессом.

Обозначим P(k(t) = k,i(t) = i.s< s{t) < s + ds) I ds = Pt (i,s,t).

Теорема 9. Распределение вероятностей Pk{i,s,t) удовлетворяет прямой системе дифференциальных уравнений Колмогорова

dP°U>S>l) +{Х + iy)P0 (/, 5,0 = ц(*)/>, (/, 5,0 + - Р2 (i, s,0 -

dP^l'S't}- + (X + п + Ф))Рг (/, i, /) = ХР0 (/, i, t) + (/ + 1)у/>0 (1 +1, s, t)-

8(

p2(i,s,t)=xp2(i - i,5,o+w», а - 2,s,o+

ct

+ (; - i)yP 0 -1, Jf I) - W(s)P2 (i, 0} + ^ ~ (', i,<)}

ds

2 ds2

Полученная система исследуется методом асимптотического анализа в условиях большой задержки у 0. Для этого выполняется замена, аналогичная (1). В работе доказываются следующие теоремы.

Теорема 10. Асимптотически при у—>0 распределение вероятностей Rk(x) состояний к канала имеет вид

*<*) =-^^-, *,« =--FAtf--,

а(Х + х)+ 2(Х + х) + ц/(х) а(Х + ху + 2(Х + х) + vj/( х)

*,(„— , (17)

а(Х + х)2 +2(x + x) + v|/(jc) где а и X заданы, х = х(х) - детерминированная функция, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением вида

х'(т)=Х-\|;(*)Я,(х), в котором vj/(x) есть величина вида

+00 /+оо

у(х) = \\i{s)Q,(x,s)ds j Jg, (*,*)«*> (18)

—со / —да

здесь Qt(x,s) определяется решением Qk(x,s), к = 0,1,2 системы

(X + x)Q0(x,s) = rti)fl(jt.s) + -Q2i.x,s)~ |"{a(j)0o(x,j)}+ -~{p2(j)G0(*.J)}'

a ds 2 ds

(X + x + ^(sm(,x,s) = (X+x)Q0(x,s)- J\a(s)Qi(x,s)} + \~{p2 (.v)C?i(x,i)},

5s 2 Qs

-Q2(x,S) = (X+x)Ql(x,s)-~{am2M}+^l^2(s)Q2(x,s)} a 8s 2 ds

2 +«>

и условием нормировки £ {fit (x> s)ds =' ■

k=о-«,

Теорема 11. Асимптотически при у-»0 случайный процесс у(х) определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида

dy{%) = А'х (хМт)Л + B(x)dw( т), где и'(т) - стандартный винеровский процесс, функция А(х) определяется равенством

A(x) = X-W(x)R](x), (19)

функция В(х) определяется равенством

В2(х)=хЬ) + 2фЩ(х)

а(Х+х)2 +х

R0(x) +

Х+х

, (20)

Х+х

если выражение в правой части больше нуля, здесь параметры а и А. заданы, Як(х) есть распределения (17), *(/(*) определяется равенством (18).

Теорема 12. С точностью ло о(е) случайный процесс _(т) = дг(т) + £>' является решением стохастического дифференциального уравнения dz(x) = A(z)dx + zB(z)dw(x) где w(t) есть стандартный винеровский процесс, функция A(z) определяется равенством (19). а функция В(г) определяется равенством (20).

В работе найдена плотность распределения вероятностей значений процесса г(т).

В четвертой главе рассматривается математическая модель сети множественною доступа с оповещением о конфликте аналогичная модели, представленной в i лаве 1.

В качестве математической модели случайной среды рассматривается иолумарков-ский процесс s{t) с непрерывным временем t и конечным множеством состояний s = 1,2,...,5. Для определения процесса s(t) задается стохастическая матрица одношаговых вероятностей переходов вложенной цепи Маркова

Pj,s, = P(s({n+1)= s2 И',,) = при этом ра =0, а также задается набор функций распределения (х) значений времени пребывания полумарковского процесса в 5-м состоянии. Влияние случайной среды на функционирование сети определяется по аналогии с предыдущими главами.

В силу свойств приведенной математической модели трехмерный случайный вектор {k(t),i(t),s(t)) является полумарковским процессом. Марковизируем этот процесс методом дополнительной переменной. Введем переменную Ç(/), имеющую смысл длины интервала времени от момента t до момента смены текущего состояния среды, тогда процесс изменения значений четырехмерного вектора {k(t),i{t),s{t),C,(t)} является марковским процессом.

Обозначим p(k(r) = k,i(t) = i,s(t) = s,Ç(i)<Ç)= Pk(i,s,Ç„t). Для распределения Pt(i,s£,t) можно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова

at дС, ci,

а £ а;

al ex, oQ

+ХР0 (i,s,ç,t)+0 + 1)ур0 (,+1,5,;,/)+GS(QÎ a/>'('J,0,° Ps,s,

dt l ni2 s a; eç

Данная система исследуется методом асимптотического анализа в условиях большой задержки у —► 0. Для этого выполняется замена

у = £2, ч21 = т, Е2/ = х(т) + еу. Нк(у,з£,т.,ъ).

г

Теорема 13. Асимптотическое при у » 0 среднее значение нормированного числа заявок в ИПВ х(т) - есть детерминированная функция, определяемая обыкновенным дифференциальным уравнением вида

х'(т) = -хЯ0(х) + ХЯ2 (х) + (2Х + х)Л, (х), здесь Чк (х) определяется равенством

Ик(х) = 1ип (21)

с-».

5=1

в котором функции О4(х,5,0 определяются решением системы

(X + х)а (Х,5,0 = - &&& + м(»)й (Х,'А) +

оС, дС,

+

оС,

Г 3,Л у

а СЧ Съ СЧ

2 Я

и условием нормировки (х,л-,оо) = 1.

4=0 л=1

Теорема 14. Асимптотически при у 0 случайный процесс у(т) определяется стохастическим дифференциальным уравнением вида

М т) = А'х(х)у(т)<к + В(хШх), где м'(т) есть стандартный винеровский процесс, А(х) определяется равенством

4х)= -хЛ0(х) + А./г2(х) + (2Х + х)Л!(х), (22)

функция В(х) определяется равенством

В2(х) = хЯо (х) + ХИ2 (х) + (4Я. + хЩ (х) + 2^" (х) - Ц" (х) - (2Х + х)/г,(1) (х) +

+ (- хЛд (х) + ХЯ2 (х) + (2Х + хЩ (х)> £ Л<!> (х)

к=0

(23)

если выражение в правой части больше нуля, здесь а и X. заданы, /?4(х) определяются

равенствами (21), h[l\x)= lim y\h[l\x,s,Q, здесь есть решение системы

- (X + x)hg> (x, s,Q+ ц(5)/7,(|) (x,s,Q + - h^Hx, s,Q +

a

О dhjl\x,s,0) ^ 0)

+-~----r^---P,t,=-x(*)Qo(x>s),

«» сч

a; a;

i, = l

a (X, oC,

s яг,0)/„ - m

Теорема 15. С точностью до о(б) случайный процесс ;(t) = jc(t) + eу является решением стохастического дифференциального уравнения db(i) = A{:)dx + zB(z)dw(x), где w{т) есть стандартный винеровский процесс, функция Л(г) определяется равенством (22), а функция В{:) определяется равенством (23).

В работе найдена плотность распределения вероятностей значений процесса -(т).

1. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде П Научное творчество молодежи: Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 16-17 апреля 2004 г.). Ч. 1. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - С. 15-17.

2. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - С. 14-24.

3. Вавилов В.А. Исследование влияния случайной среды на величины отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего в неустойчивых сетях множественного доступа // Наука. Технологии. Инновации: Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых в 6-ти частях (г. Новосибирск, 25 декабря 2004 г.). - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. Часть 1. - С. 12-13.

4. Вавилов В.А. Исследование асимптотических средних характеристик и величин отклонения в неустойчивых сетях множественного доступа в случайной среде // Вестник ТГУ. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - №284. - С. 130-136.

" 7 14В ^^

5. Вавилов В.А. Исследование времени стабильного функционирования неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде // Вестник ТГУ. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - №284. - С. 126-129.

6 Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей случайного множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы III Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 11-12 декабря 2004 г.). 4 2,- Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - С. 7-9.

7. Вавилов В.Л., Назаров A.A. Исследование математических моделей устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети: Материалы международной научной конференции «Магматические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей» (г Ni'hck, 22-24 февраля 2005 г.). Вып. 18 (редкол.: А.Н. Дудин (отв. Ред.) [и др.]). - Мн.: БГУ, 2005. - С. 226-231.

8 Вавилов В.А. Аппроксимация процесса изменения состояний в математической модели неустойчивых сетей множественного доступа в диффузионной среде // Научное творчество молодежи: Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 15-16 апреля 2005 г.). Ч. 1. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. -С. 12-15.

9. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование математических моделей многостабильных сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 7. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - С. 17-30.

10. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик устойчивых сетей множественного доступа в диффузионной среде // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 18-19 ноября 2005 г.). Ч. 2. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - С. 7-9.

11. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в полумарковской среде // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 18-19 ноября 2005 г.). Ч. 2. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005.-С. 10-12.

Подписано к печати » иШ^ША,2006 г. Формат 60x84 1/16 Тираж 100 экз. Заказ № У&Ё

Кемеровский государственный университет. 650043, г. Кемерово, ул. Красная, 6. Филиал Кемеровского государственного университета в г Анжеро-Судженске Опечатано на Участке оперативной полиграфии филиала Кем1~У в г. Анжеро-Судженске

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ, УПРАВЛЯЕМОЙ ЦЕПЬЮ МАРКОВА.

1.1. Математическая модель неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью Маркова.

1.2. Исследование асимптотических средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью Маркова.

1.3. Исследование величин отклонения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего.

1.4. Глобальная аппроксимация процесса изменения состояний в математической модели неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью

Маркова.

1.5. Численное исследование математических моделей неустойчивых ,■» сетей множественного доступа, функционирующих в условиях предельно редких изменений состояний случайной среды.

1.5.1. Многостабильность неустойчивых сетей множественного доступа.

1.5.2. Многомодальность плотности распределения вероятностей значений процесса изменения состояний в неустойчивых сетях множественного доступа.

1.6. Исследование времени стабильного функционирования неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде,

УПРАВЛЯЕМОЙ ЦЕПЬЮ МАРКОВА.

1.7. резюме.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ УСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ, УПРАВЛЯЕМОЙ ЦЕПЬЮ МАРКОВА.

2.1. Математическая модель устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью Маркова.

2.2. Исследование асимптотических средних характеристик устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью Маркова.

2.3. Исследование величин отклонения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего.

2.4. Глобальная аппроксимация процесса изменения состояний в математической модели устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью Маркова.

2.5. Численное исследование математических моделей устойчивых ' сетей множественного доступа, функционирующих в условиях предельно редких изменений состояний случайной среды.

2.5.1. Многостабилыюсть устойчивых сетей множественного доступа.

2.5.2. Многомодалыюсть плотности распределения вероятностей значений процесса изменения состояний в устойчивых сетях множественного доступа.;.

2.6. Исследование времени стабильного функционирования устойчивых* сетей множественного доступа в случайной среде, управляемой цепью Маркова.

2.7. Резюме.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В ДИФФУЗИОННОЙ СРЕДЕ.

3.1. Математическая модель неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде.

3.2. Исследование асимптотических средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде.

3.3. Исследование величин отклонения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего.

3.4. Глобальная аппроксимация процесса изменения состояний в математической модели неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде.

3.5. Резюме.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕУСТОЙЧИВЫХ СЕТЕЙ МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В ПОЛУМАРКОВСКОЙ СРЕДЕ.

4.1. Математическая модель неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в полумарковской среде.

4.2. Исследование асимптотических средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в полумарковской среде.

4.3. Исследование величин отклонения нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего.

4.4. Глобальная аппроксимация процесса изменения состояний в математической модели неустойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в полумарковской среде.

4.5. Резюме.

Актуальность работы. В настоящее время бурное развитие информационных технологий и их внедрение в экономическую, производственную и образовательную деятельность расширяют сферу применения средств передачи информации. Оперативный обмен и использование новой информации позволяют повысить производительность и качество труда, организовать наиболее эффективный процесс управления. Следствием этого является необходимость усовершенствования существующих концепций и средств построения сетей передачи данных, а также внедрение инновационных технологий. Важнейшими требованиями к сетям связи в настоящее время являются высокая скорость и надежность передачи различного типа информации. В связи с этим создается новое аппаратное обеспечение, призванное расширить пропускную способность физических каналов связи; разрабатываются сетевые протоколы, целью которых является повышение производительности сетей.

Однако, несмотря на предпринимаемые усилия, полного решения выше изложенных проблем еще не существует. Именно поэтому ведется исследование математических моделей сетей передачи информации. Наибольшее распространение в современном мире получили сети, управляемые протоколами случайного множественного доступа. Такого рода сети отличаются своими стохастическими свойствами. Инструментом математического моделирования таких сетей является аппарат теории массового обслуживания [7, 8, 14, 20, 25, 39, 40, 43, 47, 48, 51, 55, 59, 74, 77, 83, 89, 110, 114, 115, 118, 119, 123, 125], с помощью которого строятся аналитические модели сетей. Теория массового обслуживания является одним из разделов теории вероятностей [19, 44, 107]. Важнейшей составляющей является теория случайных процессов [4, 41, 79, 107]. Такие исследования служат для оценки качественных показателей функционирования систем обработки и передачи информации. Под качественными показателями здесь понимаются вероятностно-временные характеристики, такие как вероятность потерь, вероятность простоя канала, среднее время стабильного функционирования, среднее значение числа повторных попыток передачи сообщений вследствие искажения или потерь. Оценка этих параметров позволяет выработать рекомендации построения систем связи, обеспечивающих компромисс между требованиями абонента, качеством их обслуживания и критериями эффективности сети.

Важно подчеркнуть, что для организации правильной работы сети недостаточно учитывать физические особенности построения сетей, стохастические свойства >7 протоколов передачи данных, требования абонентов и экономические показатели.

Производительность сетей связи зависит еще и от воздействий случайной среды. Случайной средой будем называть изменяющиеся неконтролируемые внешние условия, влияющие на пропускную способность каналов связи. К таким условиям можно отнести: состояние ионосферы для радиосетей, атаки вирусов на компьютерные сети связи, функционирование локальное сети, подключенной к глобальной ( сети, несанкционированный доступ в сети связи и т.д.

На сегодняшний день ряд вопросов, связанных с негативным влиянием случайной среды, зачастую решается системными администраторами эмпирическим путем в зависимости от конкретной ситуации. Понятно, что невозможно обойтись без антивирусной защиты, защиты от эксплоитов и т.п. Необходимость информационной безопасности вытекает из самой природы сетевых служб, сервисов и услуг. ^ Однако, даже проведение успешной информационной защиты приводит к замедлению передачи данных в сети вследствие потери времени на обнаружение и уничтожение вредоносного кода. Более того, существует ряд факторов, против которых средства информационной безопасности бессильны. Так, например, изменение степени ионизации ионосферы, электромагнитные возмущения Земли непосредственно влияют на работоспособность спутниковых сетей связи и радиосетей.

По результатам математического моделирования сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, могут быть найдены условия устойчивого функционирования таких сетей, а также решены задачи выбора оптимальных параметров работы сети, выработаны принципы создания новых, более совершенных сетей. р Таким образом, данная работа, в которой проводится математическое моделирование сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, исследуются основные вероятностно-временные характеристики этих сетей, в настоящее время является весьма актуальной. к

Цель данной работы - исследование математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде.

При выполнении данной работы ставились следующие задачи.

1). Построить математические модели сетей множественного доступа в виде г - систем массового обслуживания:

Для бесконечного числа абонентских станций с функционированием в случайной среде, управляемой однородной цепью Маркова с непрерывным временем;

Для конечного числа абонентских станций с функционированием в случайной среде, управляемой однородной цепью Маркова с непрерывным временем;

Для бесконечного числа абонентских станций с функционированием в диффузионной среде;

Для бесконечного числа абонентских станций с функционированием в полумарковской среде.

2). Применить аналитические и численные методы для исследования построенных математических моделей сетей связи с использованием аппарата теории вероятностей и теории массового обслуживания. Для математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью Маркова:

Найти средние характеристики сетей при больших задержках для сетей с бесконечным числом абонентских станций и при большом количестве абонентских станций для сетей с конечным числом абонентских станций;

Исследовать величины отклонения от этих средних характеристик;

Доказать возможность возникновения явления многостабильности в такого рода сетях;

Показать возможность аппроксимации числа сообщений в источнике повторных вызовов однородным диффузионным процессом;

Найти плотность распределения вероятностей значений этого процесса и до> казать ее многомодальность;

Исследовать среднюю длительность времени стабильного функционирования сетей;

Рассмотреть функционирование сетей в условиях предельно редких изменений состояний случайной среды; Для математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в диффузионной и полумарковской средах провести аналогичные исследования.

Методика исследований. Исследование математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, асимптотического анализа марковизируемых систем.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту.

1. Впервые предложен метод асимптотического анализа для исследования математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде.

2. В условиях большой задержки для математических моделей сетей с бесконечным числом абонентских станций и в условиях большого количества абонентских станций для модели сетей с конечным числом абонентских станций найдены распределения вероятностей состояний канала, асимптотическое среднее нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов, величины отклонения от этого среднего. Также проведена диффузионная аппроксимация процесса изменения состояний сети, найдена плотность распределения вероятностей значений процесса изменения состояний сети.

3. Для моделей сетей, функционирующих в случайной среде, управляемой однородной цепью Маркова с непрерывным временем доказана возможность возникновения явления многостабилыюсти, показана многомодальность плотности распределения вероятностей значений процесса изменения состояний сети, исследовано среднее значение продолжительности интервалов времени стабильного функционирования сети в окрестности точек стабилизации.

4. Показано, что сети множественного доступа с конечным числом абонентских станций даже в случайной среде отличаются устойчивым функционированием.

5. Рассмотрено функционирование математических моделей сетей множественного доступа в случайной среде, управляемой однородной цепыо Маркова с непрерывным временем в условиях предельно редких изменений состояний среды.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что метод асимптотического анализа марковизируемых систем получил свое непосредственное развитие, а именно модифицирован для нестационарных распределений и применен для исследования математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде. Построенные модели сетей связи в случайной среде могут быть использованы в качестве основы построения более сложных моделей, описывающих поведение сетей множественного доступа в случайной среде.

Практическая ценность работы состоит в том, что результаты, полученные в работе, могут быть использованы для анализа реальных сетей, определения значений параметров функционирования сетей, при проектировании новых сетей.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались:

1. На VIII Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи» (г. Анжеро-Судженск, 16-17 апреля 2004 г.);

2. На Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (г. Новосибирск, 2-5 декабря 2004 г.);

3. На III Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 11-12 декабря 2004 г.);

4. На Международной научной конференции «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей» (г. Минск, 22-24 февраля 2005 г.);

5. На IX Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи» (г. Анжеро-Судженск, 15-16 апреля 2005 г.);

6. На IV Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии и математическое моделирование» (г. Анжеро-Судженск, 18-19 ноября 2005 г.);

7. На научных семинарах кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Публикации. По материалам данной работы опубликовано И печатных работ.

1. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде // Научное творчество молодежи: Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции t г. Анжеро-Судженск, 16-17 апреля 2004 г.) Ч. 1. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. -С. 15-17.

2. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей / Под ред. А.Ф. Терпугова. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. Вып. 6. - С. 14-24.

3. Вавилов В.А. Исследование влияния случайной среды на величины отклонения числа заявок в источнике повторных вызовов от их асимптотического среднего в неустойчивых сетях множественного доступа // Наука. Технологии. Инновации: Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых в 6-ти частях (г. Новосибирск, 2-5 декабря 2004 г.). - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. Часть 1.-С. 12-13.

4. Вавилов В.А. Исследование асимптотических средних характеристик и величин отклонения в неустойчивых сетях множественного доступа в случайной среде // Вестник ТГУ: общенаучный периодический журнал. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. №284.-С. 130-136.

5. Вавилов В.А. Исследование времени стабильного функционирования неустойчивых сетей множественного доступа в случайной среде // Вестник ТГУ: общенаучный периодический журнал. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. №284. - С. 126129.

6. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей случайного множественного доступа, функционирующих в диффузионной среде // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы III Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 11-12 декабря 2004 г.) Ч. 2. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - С. 7-9.

7. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование математических моделей устойчивых сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети: Материалы международной научной конференции «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей» (г. Минск, 22-24 февраля 2005 г.). Вып. 18 (редкол.: АЛ I. Дудин (отв. Ред.) [и др.]). - Мн.: БГУ, 2005. - С. 226-231.

8. Вавилов В.А. Аппроксимация процесса изменения состояний в математической модели неустойчивых сетей множественного доступа в диффузионной среде // Научное творчество молодежи: Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 15-16 апреля 2005 г.). Ч. 1. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - С. 12-15.

9. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование математических моделей многостабильных сетей множественного доступа в случайной среде // Обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей / Под ред. А.Ф. Терпугова. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. Вып. 7. - С. 17-30.

10. Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик устойчивых сетей множественного доступа в диффузионной среде // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 18-19 ноября 2005 г.) Ч. 2. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - С. 7-9.

П.Вавилов В.А., Назаров A.A. Исследование средних характеристик неустойчивых сетей множественного доступа в полумарковской среде // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции (г. Анжеро-Судженск, 18-19 ноября 2005 г.) Ч. 2. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - С. 10-12.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 158 страниц, в том числе титульный лист - 1 стр., оглавление - 3 стр., основной текст - 137 стр., библиография - 207 наименований - 17 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в данной работе представлены следующие математические модели сетей множественного доступа в виде систем массового обслуживания:

1. Для бесконечного числа абонентских станций с функционированием в случайной среде, управляемой однородной цепью Маркова с непрерывным временем;

2. Для конечного числа абонентских станций с функционированием в случайной среде, управляемой однородной цепью Маркова с непрерывным временем;

3. Для бесконечного числа абонентских станций с функционированием в диффузионной среде;

4. Для бесконечного числа абонентских станций с функционированием в нолу-марковской среде.

Применены аналитические и численные методы для исследования данных математических моделей сетей связи с использованием аппарата теории вероятностей и теории массового обслуживания.

Для математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в случайной среде, управляемой цепью Маркова с найдены средние характеристики сетей при больших задержках для сетей с бесконечным числом абонентских станций и при большом количестве абонентских станций для сетей с конечным числом абонентских станций. Также найдены величины отклонения от этих средних. Доказано существование явления многостабильности в такого рода сетях. Показана возможность аппроксимации числа сообщений в ИПВ однородным диффузионным процессом. Найдена плотность распределения вероятностей значений этого процесса и доказана ее многомодальность. Исследовано среднее значение продолжительности времени стабильного функционирования таких сетей. Рассмотрено функционирование сетей в условиях предельно редких изменений состояний случайной среды.

Для математических моделей сетей множественного доступа, функционирующих в диффузионной и полумарковской средах найдены средние характеристики сетей при больших задержках и величины отклонения от этих средних. Показана возможность аппроксимации числа сообщений в ИПВ однородным диффузионным процессом. Найдена плотность распределения вероятностей значений этого процесса.

Результаты данной работы могут быть использованы при анализе реальных сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа, при определении параметров функционирования сетей, а также при проектировании нок вых сетей.

Построенные модели сетей связи множественного доступа в случайной среде могут служить в качестве основы построения более сложных моделей, точнее описывающих поведение сетей множественного доступа в случайной среде.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю доктору технических наук, профессору Анатолию Андреевичу Назарову.

1. Авен О.И., Турин H.H., Коган Я.А. Оценка качества и оптимизация вычислительных систем. М.: Наука, 1982. - 296 с.

2. Анисимов В.В., Закусило O.K., Донченко B.C. Элементы теории массового обслуживания и асимптотического анализа систем. — Киев: Вища школа, 1987. — 248 с.

3. Ананасович В.В., Коледа A.A., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. Минск: Университетское, 1988. - 254 с.

4. Баруча-Рид А.Г. Теория марковских процессов и ее приложения. М.: Наука, 1969.-511 с.

5. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчета. М.: Наука, 1989. - 336 с.

6. Башарин Г.П., Кокотушкин В.А., Наумов В.А. Метод эквивалентных замен в теории телетрафика. М.: Электросвязь, 1980. Т. II. - С. 82-122.

7. Башарин Г.П., Харкевич А.Д., Шнепс М.А. Массовое обслуживание в телефонии.-М.: Наука, 1968.-213 с.

8. Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1996. - 542 с.

9. Блэк Ю. Сети ЭВМ: протоколы, стандарты, интерфейсы. М.: Мир, 1990. -510 с.

10. Богуславский Л.Б. Управление потоками данных в сетях ЭВМ. М.: Энер-гоатомиздат, 1984. - 168 с.

11. Боровков A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. -М.: Наука, 1980.-210 с.

12. Бочаров П.П. Сеть массового обслуживания с сигналами со случайной задержкой // Автоматика и телемеханика. 2002. №9. С. 85-97.

13. Бочаров П.П., Печинкин A.B. Теория массового обслуживания. М.: Издательство Российского университета дружбы народов, 1995.-529 с.

14. Бутакова Е.Л., Назаров A.A. Распределение времени доставки сообщения в сетях связи с протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и вычислительная техника. 1997. №6. С. 65-75.

15. Вычислительные сети с коммутацией пакетов: Тезисы докладов у Всесоюзной конференции. Рига: Зинатне, 1987. Т.12.-231 с.

16. Ги К. Введение в локальные вычислительные сети. М.: Радио и связь, 1986.-210 с.

17. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. - 354 с.

18. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. - 400 с.

19. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. - 336 с.

20. Головко Н.И., Коротаев H.A. Анализ некоторых систем массового обслуживания с переменной интенсивностью входящего потока // Поиск сигнала в многоканальных системах. Томск, 1987. Вып. 2. - С. 65-76.

21. Головко Н.И., Коротаев H.A. Время задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Автоматика и вычислительная техника. 1989. №2. С. 36-39.

22. Головко H.H., Коротаев H.A. О времени задержки сообщения в узле сети при переменной интенсивности входящего потока // Вычислительные сети коммутации пакетов. Рига: ИЭВТ, 1987. Т.1. С. 107-111.

23. Головко H.H., Коротаев H.A. Приближенный расчет средней длины очереди в системах массового обслуживания с переменной интенсивностью входящего потока // Управляемые системы массового обслуживания. Томск, 1986. Вып. 4. -С. 28-34.

24. Горцев A.M., Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1978. - 110 с.

25. Джевелл B.C. Управляемые полумарковские процессы // Кибернетический сборник. М.: Мир, 1967. Вып. 4. - С. 97-137.

26. Добрушии Р.Л., Прелов В.В. Асимптотический подход к исследованию сетей коммутации сообщений линейной структуры с большим числом узлов // Проблемы передачи информации. 1979. Т.15. №1. С. 61-73.

27. Дудин А.Н. Анализ характеристик процесса передачи данных в канале цифровой сети интегрального обслуживания // Автоматика и вычислительная техника. 1987. №6. С. 44-52.

28. Дудин А.Н. Модель процесса передачи данных в интегральных цифровых сетях связи с адаптивной коммутацией // Вычислительные сети коммутации пакетов. Рига: ИЭВТ, 1987. Т.1. С. 121-124.

29. Дудин А.Н. Об обслуживающей системе с переменным режимом работы // Автоматика и вычислительная техника. 1985. №2. С. 27-29.

30. Дудин А.Н. Оптимальное гистерезисное управление ненадежной системой BMAP/SM/1 с двумя режимами работы // Автоматика и телемеханика. 2002. №11. С. 58-73.

31. Дудин А.Н., Клименок В.И. О системе обслуживания BMAP/G/1 с альтернирующим режимом функционирования // Автоматика и телемеханика. 1999. № 10. С. 97-107.

32. Дудин А.Н., Клименок В.И. Расчет характеристик однолинейной системы обслуживания, функционирующей в Марковской синхронной случайной среде // Автоматика и телемеханика. 1997. № 1. С. 74-84.

33. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Мн.: Изд-во БГУ, 2000. - 175 с.

34. Дудин А.Н., Клименок В.И., Царенков Г.В. Расчет характеристик однолинейной системы массового обслуживания с групповым Марковским потоком, полумарковским обслуживанием и конечным буфером // Автоматика и телемеханика. 2002. №8. С. 87-102.

35. Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового обслуживания. Теория и применения к сетям ЭВМ. М.: Радио и связь, 1988. - 192 с.

36. Иванов П. ATM over ADSL: основы технологии и варианты реализации // Сети. 2000. № 1.С. 16-26.

37. Иванова О.В., Назаров A.A. Асимптотический анализ протокола множественного доступа «синхронная Алоха» к локальной сети // Радиотехника. 1991. №5. С. 20-24.

38. Ивницкий В.А. Теория сетей массового обслуживания. М.: Изд-во: «Физико-математическая литература», 2004. - 770 с.

39. Калашников В.В., Рачев С.Т. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания. М.: Наука, 1988. - 310 с.

40. Карлин С. Основы теории случайных процессов. -М.: Мир, 1971.-536 с.

41. Каспарсон В.А. Об обслуживании пуассоновского потока требований со случайной интенсивностью // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1969. №6. С. 52-57.

42. Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981.-300 с.

43. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов A.B., Сиротин А.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. М.: Физматлит, 2002. - 224 с.

44. Клейнрок J1. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979. -600 с.

45. Клейнрок JI. Коммуникационные сети: стохастические потоки и задержки сообщений. М.: Наука, 1970. - 256 с.

46. Клейнрок JT. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.-432 с.

47. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. -243 с.

48. Коган Я. А., Нерсесян С.Г. Асимптотические методы анализа замкнутых сетей в условиях большой загрузки. // Автоматика и телемеханика. 1984. №8. С. 93103.

49. Коган Я.А., Литвин В.Г. К вычислению характеристик системы массового обслуживания с конечным буфером, работающей в случайной среде // Автоматика и телемеханика. 1976. №12. С. 49-57.

50. Кокс Д. Р., Смит У. JI. Теория очередей: Пер. с англ. М.:Мир, 1966 -218 с.

51. Колоусов Д.В. Исследование потока заявок, отправленных в источник повторных вызовов сети связи случайного доступа с конечным числом станций // Обработка данных и управление в сложных системах. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. Вып. 5.-С. 57-66.

52. Колоусов Д.В., Назаров A.A. Исследование выходящего потока локальной вычислительной сети с протоколом случайного доступа // Вестник ТГУ. 2002. №275. С. 193-194.

53. Колоусов Д.В., Назаров A.A. Исследование двумерного выходящего потока сети связи случайного доступа с конечным числом станций // Вестник ТГУ. 2003. №280. С. 217-221.

54. Королюк B.C. Стохастические модели систем. Киев: Паукова думка, 1989. -300 с.

55. Коротаев И. А. Системы массового обслуживания с переменными параметрами. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 167 с.

56. Коротаев И.А. Приближенный расчет средней длины очереди в адаптирующихся системах массового обслуживания с переменной интенсивностью обслуживания // Управляемые системы массового обслуживания. Томск, 1984. Вып. 3. - С. 50-57.

57. Коротаев И.А., Терпугов А.Ф. Приближенный расчет характеристик адаптирующихся многолинейных систем массового обслуживания со вспомогательными приборами // Автоматика и вычислительная техника. 1982. №6. С. 61-65.

58. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложения. М.: Мир, 1965.-302 с.

59. Кочегаров В.А., Фролов Г.А. Проектирование систем распределения информации. Марковские и немарковские модели. -М.: Радио и связь, 1991.-300 с.

60. Кузнецов Д.Ю., Назаров A.A. Адаптивные сети случайного доступа. -Томск: Дельтаплан, 2002. — 254 с.

61. Кузнецов Д.Ю., Назаров A.A. Исследование сетей связи с конечным числом абонентских станций, управляемых адаптивными протоколами случайного множественного доступа в условиях перезагрузки // Автоматика и телемеханика. 1999. №12. С. 99-113.

62. Кузнецов Д.Ю., Назаров A.A. Исследование сетей связи с конечным числом абонентских станций, управляемых протоколами случайного множественного доступа // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. - С. 89-98.

63. Кузнецов Д.Ю., Назаров A.A. Определение асимптотической плотности распределения вероятностей для сетей связи с адаптивными протоколами случайного множественного доступа для бесконечного числа станций // Вестник ТГУ. 2000. Т. 271. №6. С. 52-55.

64. Лебедев Е.А., Чечельницкий A.A. Диффузионная аппроксимация немарковских сетей обслуживания в переходном режиме // Аналитические методы исследования стохастических систем. Киев: КГУ, 1989. - С. 61-66.

65. Лебедев Е.А., Чечельницкий A.A. Диффузионная аппроксимация сети с полумарковским входным потоком // Кибернетика. 1991. №2. С. 100-103.

66. Лившиц Б.С., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. М.: Связь, 1979.-223 с.

67. Лихтциндер Б. Я., Кузякин М.А., Росляков A.B., Фомичев С.М. Интеллектуальные сети связи. М.: Эюо-трендз, 2000. - 206 с.

68. Малышев В.А. Случайные блуждания. Уравнения Винера-Хопфа в четверти плоскости. Автоморфизмы Галуа. М.: Изд-во МГУ, 1970. - 201 с.

69. Марголис Н.Ю. Исследование нестабильных сетей случайного доступа // Обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей / Под ред. А.Ф. Терпугова. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. Вып. 5. - С. 91 -96.

70. Марголис Н.Ю., Назаров A.A. Исследование неустойчивых сетей случайного доступа, управляемых статическими протоколами и оповещением о конфликте // Автоматика и телемеханика. 2004. №8.

71. Матвеев, В.Ф.; Ушаков, В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-воМГУ 1984.-240 с.

72. Медведев Г.А. Замкнутые системы массового обслуживания // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. №6. С. 199-203.

73. Медведев Г.А. Об оптимизации замкнутой системы массового обслуживания // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1975. №6. С. 65-73.

74. Меликов А.З., Пономаренко JI.A., Рюмшин H.A. Математические модели многопотоковых систем обслуживания. Киев: Техника, 1991.

75. Меликов А.З., Фатгахова М.И. Задачи оптимизации показателей качества обслуживания в узлах интегральных сетей // АВТ. 2003. №1 С. 67-73.

76. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. М.: Физматлит, 2002. - 320 с.

77. Назаров A.A. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. - 158 с.

78. Назаров A.A. Асимптотический анализ многолинейных систем массового обслуживания с повторными вызовами // Автоматика и вычислительная техника. 1990. №3. С. 65-71.

79. Назаров A.A. Исследование явления бистабильности в спутниковых сетях связи // Автоматика и телемеханика. 1994. №10. С. 117-124.

80. Назаров A.A. Управляемые системы массового обслуживания и их оптимизация. Томск: Изд-во Том. уи-та, 1984. - 234 с.

81. Назаров A.A. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1997. №2. С. 101-111.

82. Назаров A.A., Неволько М.П., Пичугин С.Б. Аналитическое соотношение для расчета производительности спутниковой системы связи с множественным доступом // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1993. №6. С.90-97.

83. Назаров A.A., Никитина М.А. Исследование условий существования стационарного режима в сетях связи с h-настойчивым доступом // Вестник ТГУ. 2002. №275. С. 195-198.

84. Назаров A.A., Одышев Ю.Д. Исследование сетей связи с протоколами «адаптивная Алоха» для конечного числа станций в условиях перезагрузки // Проблемы передачи информации. 2000. Т. 36. №13. С.83-93.

85. Назаров A.A., Пичугин С.Б. Исследование спутниковой сети связи методом математического моделирования // Известия ВУЗов. Физика. 1992. №9. С. 120-127.

86. Назаров A.A., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2004.-228 с.

87. Назаров A.A., Уразбаева С.У. Исследование систем массового обслуживания в дискретном времени и их применение к анализу оптоволоконных сетей связи // Автоматика и телемеханика. 2002. №12. С. 59-71.

88. Назаров A.A., Цой С.А. Исследование математической модели двухканаль-ной сети случайного доступа // Обработка данных и управление в сложных системах: Сборник статей / Под ред. А.Ф. Терпугова. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. Вып. 5.-С. 124-135.

89. Назаров A.A., Шохор С.Л. Исследование управляемого несинхронного множественного доступа в спутниковых сетях связи с оповещением о конфликтах // Проблемы передачи информации. 2000. Т.36. №1. С. 77-89.

90. Назаров A.A., Шохор С.Л. Стационарный режим в сети, управляемой динамическим протоколом доступа с оповещением о конфликте // Вестник ТГУ. 2000. Т. 271. №6. С. 55-59.

91. Назаров A.A., Юревич Н.М. Исследование сети с динамическим протоколом случайного множественного доступа Алоха // Автоматика и вычислительная техника. 1995. №6. С. 53-59.

92. Назаров A.A., Юревич Н.М. Исследование явления бистабильности в сети Алоха для конечного числа станций// Автоматика и вычислительная техника. 1996. №9. С. 91-100.

93. Наумов В.А. Марковские модели потоков требований // Системы массового обслуживания и информатика. М.: Изд-во УДН, 1987. - С. 67-72.

94. Нейман В. И. Новое направление в теории телетрафика // Электросвязь. 1998. №7. С. 27-30.

95. Одышев Ю.Д. Исследование сети связи с динамическим протоколом «синхронная Алоха» в условиях большой загрузки // Автоматика и вычислительная техника. 2001. № 1.С. 77-84.

96. Олифер В.Г., Олифер H.A. Компьютерные сети. Принципы, технологии, протоколы. СПб.: Питер, 2001. - 672 с.

97. Петров М.Н. Вероятностно-временные характеристики в сетях и системах передачи интегральной информации. Красноярск: КГТУ, 1997. - 220 с.

98. Попов H.H. Системы массового обслуживания, управляемые нолумарков-скими процессами // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1977. №1. С. 94-101.

99. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. -М.: Наука, 1968.-321 с.

100. Радюк JI.E., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988. 174 с.

101. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. — М.: Высш. шк., 1998.-383 с.

102. Рыков B.B. Управляемые системы массового обслуживания // Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1975. Т. 12. С. 43-154.

103. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио. 1971.-520 с.

104. Самойленко С.И. Сети ЭВМ.-М.: Наука, 1986.- 159с.

105. Сатовский Б.Л. Технология ATM и современные корпоративные сети // Сети и системы связи. 1998. №10. С. 94-98.

106. Скляревич Ф.А. Анализ эффективности фрагментов вычислительных сетей при полумарковском процессе смен режимов работы // Автоматика и вычислительная техника. 1984. №4. С. 38-43.

107. Тихоненко О.М. Модели массового обслуживания в информационных системах. М.: Изд-во: Технопринт, 2003. - 327 с.

108. Тихоненко О.М. Модели массового обслуживания в системах обработки информации. Мн: Университетское, 1990.- 191 с.

109. Тихоненко О.М. Определение характеристик систем обслуживания с ограниченной памятью // Автоматика и телемеханика. 1997. №6. С. 105-110.

110. Убайдуллаев P.P. Волоконно-оптические сети. М.: Экю-трендз, 2000. -267 с.

111. Уолрэнд, Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания. М.: Мир, 1993.-336 с.

112. Файнберг М.А., Файнберг Е.А. Управление в системах массового обслуживания // Зарубежная радиоэлектроника. 1975. №3. С. 3-34.

113. Фалин Г.И. Время ожидания в одноканальной системе обслуживания с повторением вызовов // Вести. Москов. ун-та. Серия 15. Выч. мат-ка и кибернетика. 1997. №4. С. 66-69.

114. Фалин Г.И. О неустойчивости сети Алоха // Проблемы передачи информации. 1990. № 1.С. 79-82.

115. Флиит Д . Локальные сети ЭВМ. -М.: Финансы и статистика, 1986. 859с.

116. Франкен П., Кениг Д., Арндт У., Шмидт Ф. Очереди и точечные процессы: Пер. с англ. Киев: Наукова думка, 1984. - 284 с.

117. Фриц Дж.Н. Технология Gigabit Ethernet берет очередную высоту // Сети: Network World. 2000. №5. С. 60-64.

118. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. -М.: Физматгиз, 1963. 236 с.

119. Хомичков И.И. Исследование моделей локальной сети с протоколом случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. 1993. №12. С. 8990.

120. Хомичков И.И. Об оптимальном управлении в сети передачи данных со случайным множественным доступом // Автоматика и телемеханика. 1991. №8. С. 176-188.

121. Цыбаков Б.С., Бакиров B.JI. Анализ устойчивости сети с коммутацией пакетов и его приложения к построению единого подхода к синхронным и асинхронным радиосетям Алоха // Проблемы передачи информации. 1988. №2. С. 70-85.

122. Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование, анализ. М.: Наука, 1992.

123. Шварц М. Сети ЭВМ: Анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1981. - 400с.

124. Шохор СЛ. Распределение числа сообщений в сети связи с резервированием канала и динамическим протоколом доступа // Вестник ТГУ. 2000. Т. 271. №6. С.77-81.

125. Шохор СЛ. Распределение числа сообщений в спутниковой сети связи с динамическим протоколом доступа // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: Сб. статей. / Под ред. A.M. Горцева. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999.-С. 162-166.

126. Штагер В.В. Цифровые системы связи. Теория, расчет и оптимизация. М.: Радио и связь, 1993. - 312 с.

127. Щербо В.К. Стандарты вычислительных сетей: взаимосвязи сетей. М.: Кудиц-образ, 2000. - 272 с.

128. Эльсгольц J1.E. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М.: Наука, 1969.-424 с.

129. Яшков С.Ф. Анализ очередей в ЭВМ. М.: Радио и связь, 1989. - 216 с.

130. Ananasso F., Delli Pricoli F. The Role Satellites in Personal Communications

131. Services // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 1995. V. 13. #2. P. 180195.

132. Bocharov P.P., Albores F. J. On two-stage exponential queuing system with internal losses or blocking // Problems of control and Information Theory. 1980. V. 9. #7. P. 365-379.

133. Bolot J., Grepin H., Garcia A. V. Analysis of Audio Packet Loss in the Internet // Proceedings Workshop on Network and Operating System Support for Audio and Video. 1995. P. 163-174.

134. Bolot J.S. Characterizing end-to-end packet delay and loss in the Internet // Journal of High Speed Networks. 1993. #2. P. 289-298.

135. Borella M.S., Brewster G B. Measurement and Analysis of Long-Range Dependent Behavior of Internet Packed Delay // Proceedings of IEEE Infocom'98. 1998. P. 497504.

136. Bremaud P. Point processes and queues. Springer Verlag. New York, 1981. -354 p.

137. Chen Y., Deng Z., Williamson C. L. A model for self-similar Ethernet LAN traffic: design, implementation and performance implication // Proceedings Summer Computer Simulation Conference. Ottawa. 1995. P. 831-837.

138. Clark A.B. A waiting-line process of Markov type // Analyses of Mathematical Statistics. 1956. Vol. 27. #3. P. 452-459.

139. Crovella M.E., Bestavros A. Self-Similarity in World Wide Web Traffic: Evidence and Possible Gauses // IEEE/ACM Transactions on Networking. 1997. Vol. 5. P. 835-846.

140. Disney R.L., Farrell R.L. etc. A characterization of M/G/l queues with renewal departure process // Management Sciencc. 1973. V.19. #11. P. 1222-1228.

141. Dudin A., Klimenok V.I. A retrial BMAP/SM/1 system with linear repeated request //Queuing Systems. 2000. #34. P. 47-66.

142. Dudin A., Klimenok V.I. Multi-dimensional quasitoeplitz Markov chains// Journal of applied Mathematics and Stochastic Analysis. 1998. V.ll. P. 1-23.

143. Dudin A.N. About queuing system operating in the random environment // Izves-tia of USSR Academy of Sciences. Technical Cybernetics, 1985.

144. Dudin A.N. Enhanced analysis and optimization of the random multiple access protocols via the retrial queuing models with unreliable service and two-phase service // Engineering Simulation, 2001. V.19. #2.

145. Dudin A.N. Queueing systems in a random environment // Bulletin of Moscow University, 1992. #6.

146. Dudin A.N. Queuing system M/M/infinity operating in a random environment // In "Probabilistic modelling of queueing systems and networks", Petrozavodsk, 1988.

147. Dudin A.N., Klimenok V.I. BMAP/SM/1 model with Markov modulated retrials //Top, 1999. V.7. #2. P. 267-278.

148. Dudin A.N., Klimenok V.I. Characteristics calculation for the single server queueing system, which operates in the synchronized Markov random environment // Automation and Remote Control, 1997. #1.

149. Dudin A.N., Klimenok V.I. Retrial BMAP|SM|1 system operating in a synchronous random environment // International Conference "Probabilistic Analysis of Rare Events: Theory and Problems of Safety, Insurance and Ruin", Riga, 28.06-3.07. 1999.

150. Falin G.I. A survey of retrial queues // Queuing Systems, 1990. #7. P. 127-169.

151. Falin G.I. Estimation of retrial rate in retrial queue // Queuing Systems. 1995. #19. P. 231-246.

152. Falin G.I., Artalejo J.R. A finite source retrial queue // European Journal of operation Research. 1998. #108. P. 409-424.

153. Falin G.I., Artalejo J.R., Martin M. One the single server retrial queue with priority customers // Queuing Systems. 1993. #14. P. 439-455.

154. Falin G.I., Temppletton J.G.C. Retrial Queues. London: Chapman and Hall,1997.-395 p.

155. Feldman A. Characteristics of TCP connections arrivals // Technical report, AT&T Labs Research. 1998.

156. Feldmann A. Gilbert A.C., Willinger W. Data networks as cascades: Investigating the multifractal nature of Internet WAN traffic // Proceedings of ACM SIGCOMM.1998. P. 42-55.

157. Floyd S., Paxon V. Difficulties in Simulating the Internet // IEEE/ACM Transactions on Networking. 2001. Vol. 9. P. 392-403.

158. Foster F.C. On the stochastic matrices associated with certain queuing processes

159. Ann. Math. Stat. #24 (1953). P. 355-360.

160. Fowler H.J., Leland W. E. Local area network traffic characteristic, with implications for broadband network congestion management // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. 1991. Vol. 9. P. 1139-1149.

161. Gelenber E. Probabilistic models of computer systems. Diffusion approximation waiting times and batch arrivals // Acta Informatica. 1979. V.12. P. 285-303.

162. Harrison J.M., Lemoine A.J. Limit Theorems for periodic queues // Journal of Applied Probability. 1977. Vol. 14. #3. P. 566-576.

163. Heyman D.P., Whitt W. The asymptotic behavior of queues with time-varying arrival rates // Journal of Applied Probability. 1984. Vol. 21. #1. P. 143-156.

164. Hoorn M.N. van, Seelen L.P. The SPP/G/1 queue: a single server queue with a switched Poisson process as a input process // O.R. Spectrum. 1983. Vol. 5. #4. P. 207218.

165. Khomichkov I.I. Calculation of the characteristics of local area network with persistent protocol of multiple random access // Automations and Remote Control. 1995. V.56. #2. P.208-218.

166. Khomichkov I.I. Study of models of local networks with multiple-access protocol //Automations and Remote Control. 1993. V.54. #12. P.1801-21811.

167. Kim J.B., Simha R., Suda T. Analysis of a finite Buffer Queue with Heterogeneous Markov Modulated Arrival Processes: A Study of Traffic Burstiness and Priority Packet Discarding // Computer Networks and ISDN systems. 1996. P. 653-673.

168. Kingman J.F. On doubly stochastic Poisson process // Proceedings of Cambridge Philosophical Society. 1964. Vol. 60. #4. P. 923-930.

169. Klimenok V. Optimization of dynamic management of the operating mode of data systems with repeat calls // Automatic Control and Computer Sciences. 1990. V.24. #1.P. 23-28.

170. Kobayashi H. Application of diffusion approximation to queuing network // Journal of ACM. 1974. V.21. #2-3. P.316-328, 456-469.

171. Kogan Ya.A., Litvin V.G. Piesewise diffusion approximations for queuing problems with heterogeneous arrivals and service // Problem of Operation and Theory Information. 1979. Vol. 8. #5-6. P. 133-143.

172. Kramer G., Mukherjee B., Pesavento G. Ethernet PON (ePON): Design and Analysis of an Optical Access Network // Photonic Network Communication. 2001. Vol. 3. P. 307-319.

173. Labovitz C., Ahuja A., Bose A., Jahanian F. Delayed Internet Routing Convergence // Proceedings of ACM SIGCOMM. 2000. P. 175-187.

174. Leland W. E., Taqqu M.S., Willinger W., Wilson D.V. On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic // Proceeding ACM SIGCOMM'93. San Francisco, CA. 1993. P. 183-193.

175. Li S.Q., Chong S., Hwang C.L. Link capacity allocation and network control by filtered input rate in high-speed networks. // IEEE/ACM Transactions on Networking. 1995. 3. P. 678-692.

176. Lipsky L., Hatem J.E. Buffer Problems in Telecommunications Networks // 5th Int. Conf. On Telecommunications Systems. 1997. P. 556-566.

177. Massey W.A. Asymptotic analysis of the time dependent M/M/l queue // Mathematics of Operations Research. 1985. Vol. 10. #2. P.305-327.

178. Neuts M.P. A queue subject to extraneous phase changes // Advances in Applied Probability. 1971. Vol. 3. #1. P. 78-119.

179. Neuts M.P. Further results of the M/M/l queue with randomly varying rates // Opsearch. 1978. Vol. 15. #4. P. 139-157.

180. Paxon V. Growth trends in Wide Area TCP connection. // IEEE Network. 1994. #8. P. 8-17.

181. Paxon V., Floyd S. Wide Area Traffic: The Failure of Poisson Modeling // IEEE/ACM Transactions of Networking. 1995. #3. P. 226-244.

182. Purdue P. The M/M/l queue in a Markovian environment // Operations Research. 1974. Vol. 22. #3. P. 562-569.

183. Regtershot G.J.K., de Smid J.H.A. The queue M/G/l with Markov Modulated arrivals and services // Mathematics of Operations Research. Vol. 11. #3. P. 465-483.

184. Rivest R.L. Network Control by Bayessin Broadcast (Report MIT/LCS/NV-285). -Cambridge: MA: MIT, Laboratory for Computer Science, 1985.

185. Rolsky T. Approximation of periodic queues // Advances in Applied Probability. 1987. Vol. 19. #3. P. 691-707.

186. Ryu B., Loven S.V. Point process models for self-similar network traffic, with application // Stochastic models. 1998. Vol. 14. P. 735-761.

187. Ryu B.K., Elwalid A. The importance of long-range dependence of VBR video traffic in ATM traffic engineering: Myths and realities // Proceedings SIGCOMM'96. 1996. P. 3-14.

188. Semke J., Mahdavi J., Mathis M. Automatic TCP Buffer Tuning // Proceedings of ACM SIGCOMM. 1998. P. 315-323.

189. Stepanov S.N. Asymptotic analysis of models with repeated calls in case of extreme load // Problems of Information Transmission. 1993. V.29. №3. P. 54-75.

190. Stepanov S.N. Generalized model with repeated calls of extreme load //Queuing Systems. 1997. №27. P. 131-151.

191. Stepanov S.N. Markov Models with Retrials: The Calculation of Stationary Performance Measures Based on the Concept of Truncation // Mathematical and Computer Modeling. 1999. Vol. 30. P.207-228.

192. Stepanov S.N. Numerical calculation accuracy of communication models with repeated calls // Problems of Control and Information Theory. 1985. #14. P. 25-32.

193. Stidham S. Optimal control of admission to a queuing system // IEEE Transactions on Automatic Control. 1985. Vol. AC 30. #8. P. 705-713.

194. Sztrick J. On the heterogeneous M/G/N blocking system in a random environment // Journal of Operations Research Society. 1987. Vol. 38. #1. P. 57-63.

195. Takahashi H., Akimaru H. A diffusion model for queues in a randomly varying environment//The Transactions of The IECE of Japan. 1986. Vol. E69. #1. P.13-20.

196. Tripathi S.K., Duda A. Time dependent analysis of queuing system // INFOR. 1986. Vol. 24. #3. P. 199-220.

197. Veres A., Kenessi Zs., Moln S., Vattay G. On the Propagation of Long-Range Dependence in the Internet// Proceedings of ACM SIGCOMM. 2000. P. 243-254.

198. Willinger W., Paxon V. Where Mathematics Meets the Internet // Notices of the American Mathematical Society. 1998. Vol. 45. #8. P. 961-970.

199. Yechiali U. A queuing-type birth-and-death process defined on a continuous-time Markov Chain // Operations Research. 1973. Vol. 21. P. 604-609.

200. Yechiali U., Naor P. Queuing problems with heterogeneous arrivals and services // Operations Research. 1971. Vol. 19. P. 722-734.