автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование стратегий контроля сигнала оповещения о конфликте в математических моделях сетей случайного доступа

На правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ КОНТРОЛЯ СИГНАЛА ОПОВЕЩЕНИЯ О КОНФЛИКТЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ СЕТЕЙ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск -

2003

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Назаров Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Воробейчиков Сергей Эрикович,

Ведущая организация:

Белорусский государственный университет (г. Минск)

Защита состоится:

18 декабря 2003 г. в 10.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан « /3 » ноября 2003г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент Змеева Елена Евдокимовна

доктор технических наук, доцент

2оо5 - /\

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Быстрое развитие систем сбора, обработки, хранения и передачи информации привели к появлению информационно-вычислительных сетей (ИВС).

Потребности в качественной и быстрой связи возрастают, поэтому постоянно ведется проектирование и усовершенствование информационно-вычислительных сетей.

Использование вычислительных сетей открывает новые возможности, такие как, например, улучшение доступа к информации, разделение дорогостоящих ресурсов. Однако много проблем связано с транспортировкой сообщений по каналам связи. Основные задачи здесь — обеспечение надежности (чтобы передаваемые данные не терялись и не искажались) и производительности (чтобы обмен данных происходил с приемлемыми задержками). В структуре общих затрат на вычислительную сеть расходы на решение этих вопросов составляют существенную часть.

Успешное развитие информационных технологий невозможно без теоретических исследований. Сложность и высокая стоимость современных ИВС требуют оценки производительности проектируемой сети или её пропускной способности.

Основным современным методом исследования сложных информационных систем на всех стадиях их разработки, проверки и модернизации является моделирование. По результатам моделирования могут быть найдены условия устойчивого функционирования сети, определены основные характеристики и решены задачи, связанные с выбором оптимальных параметров и построением рациональной стратегии управления. Исследование математических моделей сетей связи проведено в работах Бочарова П.П., Фалина Г.И., Степанова С.Н., Дудина А.Н., Клименок В.И., Назарова A.A., Хомичкова И.И., Рыкова В.В., Меликова А.З, Вишневского В.М., Одьгшева Ю.Д., Шохора С.Л., Туенбаевой А.Н, Кузнецова Д.Ю. и др.

Таким образом, данная работа, в которой находятся условия существования стационарного режима и основные вероятностно-временные характеристики сетей связи, является актуальной.

Целью работы является исследование математических моделей сетей связи с протоколами случайного доступа для нахождения вероятностно-временных характеристик сетей связи с дискретным и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте и для нахождения условий, при которых сети связи функционирует устойчиво.

Таким образом, были поставлены следующие задачи:

1. Построение математических моделей сетей связи с протоколами случайного множественного доступа С пиитятним и НРГТПРПЫВНЫМ

контролем сигнала оповещения о конфликте.

2. Разработка методики нахождение условий существования или отсутствия стационарного режима для математических моделей таких сетей связи.

3. Исследование предложенных марковских и немарковских моделей сетей связи случайного доступа с дискретным и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте, функционирующих в стационарном режиме.

4. Определение вероятностно-временных характеристик исследуемых сетей связи.

Методика исследований.

Исследование математических моделей сетей связи случайного доступа проводилось с использованием методов теории вероятностей, теории случайных процессов, эргодических теорем, теории массового обслуживания, асимптотического анализа марковизируемых систем.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. Предложена математическая модель сети связи случайного доступа с непрерывной стратегией контроля сигнала оповещения о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания с источником повторных вызовов и очередью.

2. Разработана методика нахождения условий существования стационарного режима для цепей Маркова с неоднородным ленточным графом.

3. Показано применение этой методики для математических моделей сетей связи с дискретным или непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте и сети связи с протоколом Ethernet.

4. Предложен подход к доказательству отсутствия стационарных режимов для математических моделей сетей связи.

5. Развит метод асимптотического анализа марковских и немарковских моделей сетей связи случайного доступа при непрерывном контроле сигнала оповещения о конфликте.

Теоретическая ценность работы.

Построены и исследованы математические модели сетей случайного доступа с непрерывным и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте.

Практическая ценность работы.

Приведенные в работе результаты могут быть применены при проектировании новых сетей связи, а также для анализа процессов функционирования существующих сетей.

Апробация работы.

Основные положения диссертации и отдельные ее результаты по мере их псшунеша докладывались и обсуждались: ! t '< 4 t

: f 4 * «r*4ti*i>Si >

1. На Всероссийской научно-практической конференции "Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство" (г. Анжеро-Судженск, 2001 г.).

2. На IV всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" (г. Томск, 2002 г.).

3. На Всероссийской научно-практической конференции " Наука и практика: диалоги нового века " (г. Анжеро-Судженск , 2003 г.).

4. На научных семинарах кафедры ТВиМС факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета 1998 - 2003 гг.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано научных 9 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 108 наименований. Объем диссертации составляет 136 страниц, в том числе: основной текст - 122 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, изложены цель исследования, научная новизна, теоретическая и практическая ценность результатов, методика исследования, сделан обзор литературы.

В первой главе исследуются условия существования или отсутствия стационарных режимов для математических моделей сетей случайного доступа с дискретной или непрерывной стратегией контроля сигнала оповещения о конфликте и с протоколом Ethernet.

В качестве математической модели сети случайного доступа с контролем сигнала оповещения о конфликте рассмотрим однолинейную систему массового обслуживания (СМО), на вход которой поступает простейший поток заявок с параметром X. Если прибор свободен, поступающая заявка начинает обслуживаться. Время обслуживания, случайная величина, имеющая функцию распределения В(х). Если за это время другие требования не поступают, то заявка, завершив обслуживание, покидает систему. Если во время обслуживания поступает другая заявка, то возникает конфликт. Все заявки, попавшие в конфликт, переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). В ИПВ каждая заявка находится случайное время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром су , по завершении которого она вновь обращается к прибору для повторной попытки обслуживания. На приборе начинается этап оповещения о конфликте, продолжительность которого есть случайная величина с функцией распределения А(х).

В случае дискретного контроля сигнала оповещения все заявки, поступающие в систему на этапе оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов. Так как повторные обращения происходят в дискретные моменты времени, в которых определяется состояние канала, то эту ситуацию будем называть дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте.

В случае непрерывного контроля все заявки, поступающие в систему на этапе оповещения о конфликте, становятся в очередь. После его завершения, каждая заявка, находящаяся в очереди обращается к прибору. В рассматриваемой ситуации момент окончания сигнала оповещения обнаруживается мгновенно всеми заявками, находящимися в очереди, поэтому такую ситуацию будем называть непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте. Если в очереди не было заявок, прибор остается свободным, если в очереди одна заявка, она начинает обслуживаться. Если в очереди больше одной заявки, то все они попадают в конфликт и с вероятностью 1 уходят в ИПВ, а на приборе начинается этап оповещения о конфликте.

В марковских моделях функции распределения А(х) и В(х) являются экспоненциальными с параметрами ц, и ц соответственно.

Для анализа условий эргодичности таких моделей рассмотрим цепь Маркова с дискретным временем, множество состояний которой определяется двумерным вектором (£,/)> где & принимает значения из конечного множества к = 1, К, а - г счетное. Такой марковский процесс будем называть цепью Маркова с ленточным графом. Функционирование цепи Маркова определяется не только структурой графа, но и вероятностями Яп№>Л перехода за один шаг из состояния («,/') в состояние [к,у')-Здесь мы будем рассматривать условия эргодичности для цепей Маркова с неоднородными ленточными графами, вероятности переходов д„,(£,./)

которой имеют вид цп,(к,_/) = дП1 (к,г+т) и удовлетворяют условиям: для любых п, г, к, т существуют конечные пределы

Шп^ (*,! + /») = ?„(*, то).

(1)

Пусть существуют следующие конечные пределы

ю к

(2)

Матрица = {Чп №} является стохастической матрицей для некоторой неприводимой, непериодической цепи Маркова с конечным числом состояний. Система уравнений

к _

У к ~ 5Лл<7п(^)> к =

Л=1

относительно ук имеет ограниченное ненулевое неотрицательное решение.

ТЕОРЕМА 1. Пусть вероятности переходов <7Л|,(^,7') неприводимой, непериодической марковской цепи с неоднородным ленточным графом удовлетворяют условию (1). Тогда для того чтобы эта цепь была эр-годична, достаточно существования натурального /0 и набора неотрицательных чисел хк (¿), имеющих вид хк (г) = А1 + Вк, таких, что

к

<0, для ¿>/0, (4)

п=1

К 00 _

<00, для г < /0, п -1,К. (5)

4=1

Данная теорема применяется для нахождения условий существования стационарных режимов в математических моделях сетей случайного доступа. Не менее полезным является метод доказательства отсутствия стационарных режимов для цепей Маркова. Возможный подход в этом направлении реализуется применением теоремы Пуанкаре

Способ применения этой теоремы для доказательства отсутствия стационарного распределения цепи Маркова заключается в следующем. Пусть цепь Маркова такова, что если бы для этого процесса существовало стационарное распределение, то оно бы удовлетворяло уравнению в конечных разностях вида

а0ОХ' + п) + а,(г)Яг + и -1) + • • • + а„_,ОМ' + •) + «„ О'МО = 0. (6) Если значение всех корней гр уравнения

«о2" + ^М""1 +.. • + о.п_хг + а„ = 0, (7)

где а, =1ипаг0'), 5 = 0,1,2,...,и, таково, что соответствующие решения

у(г) уравнения (6) не могут определять стационарное распределение вероятностей, например, для решений >'(г) выполняется признак расходимости Даламбера, тогда для рассматриваемой цепи Маркова не существует стационарных режимов.

При этом наиболее сложная ситуация возникает для решений у(г), отвечающих корню г = 1. Рассмотрим этот случай более подробно для уравнения (6), в котором коэффициенты а1 (/), при г —> <ю, имеют вид

а, (0 = <*,+£?- +оф. (8)

ЛЕММА. Если коэффициенты а ДО уравнения (6) имеют вид (8), и г = 1 является корнем уравнения (7), то для решения _у(г) уравнения (6), удовлетворяющему условию

имеет место равенство

Л о

y(i) i

П / П-1

где 5 = £р,/^(п-я)аг.

Данная лемма позволяет применять признак расходимости Раабе.

В диссертации рассматриваются четыре класса сетей случайного доступа: с 1-настойчивым доступом, с А,-настойчивым доступом, с h2 -настойчивым доступом и с протоколом Ethernet.

Рассмотрим вопрос отсутствия стационарного режима сети связи с протоколом 1-настойчивого доступа и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте. Для этого состояние системы определим вектором (к, i), где к состояние прибора: 1) к-0, прибор свободен, 2) к = 1, прибор занят обслуживанием заявки, 3) к = 20, на приборе реализуется сигнал оповещения о конфликте, и в очереди нет заявок, 4) к = 21, на приборе реализуется сигнал оповещения о конфликте и в очереди одна заявка, 5) к = 22 , на приборе реализуется сигнал оповещения о конфликте и в очереди больше чем одна заявка, i - число заявок в системе.

Процесс {&(f), i(f)} изменения во времени состояния системы является цепью Маркова с непрерывным временем. Если бы для этого процесса существовало стационарное распределение вероятностей Рк (г), то, полагая X = р, ц = 1, ц, = —, для него можно было бы записать систему а

уравнений:

(р+1у)Ро(0 = ^0'+1)+-Р2О(0,

а

(р + (г-\)у+Щ (0 = рР0 (г -1) + ¿уЯ0 (0+- Р21 (0,

1

а

р + гу+-]/>„(/) = рРх (г -1) + (г - 1)у/^ (г)+—Ргг (г),

1

а

а

р + (г - 1)у+- И, (0 = рР20(г - 1) + гуР20(г),

1

а

р+- к» (о=р*21(''-1)+(«-1)у^1(о+ррм(»-1)-

(9)

ТЕОРЕМА 2. В марковской модели сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте не существует стационарного режима.

В диссертации, используя сформулированную лемму, показано, что любое решение системы (9) не является стационарным распределением

Далее рассмотрены марковские модели сети связи с протоколами Л1-настойчивого доступа с дискретной или непрерывной стратегией контроля сигнала оповещения о конфликте. В математической модели сети связи с протоколом /¡^настойчивого доступа и дискретным контролем сигнала оповещения отличие заключается в том, что, если за время обслуживания другие требования не поступают, то заявка, завершив обслуживание, покидает систему. Если во время обслуживания поступает другая заявка, то возникает конфликт. Каждая заявка, попавшая в конфликт, с вероятностью /г, переходит в ИПВ, и с вероятностью 1-й, теряется. На приборе начинается этап оповещения о конфликте. Все заявки, поступившие в систему на этапе оповещения о конфликте, с вероятностью 1 уходят

ется цепью Маркова с непрерывным временем.

Построена вложенная цепь по моментам времени /„ - моменты, непосредственно следующие за моментами изменения состояния прибора. Получена цепь Маркова с дискретным временем, множество состояний которой определяется двумерным вектором (А:,г), и вероятностями цп-,(к,]) - вероятности перехода за один шаг из состояния (я,0 в состояние (А:, у) , которые имеют вид:

в ИПВ.

процесс {к(1),1\1)} изменения во временя состояния системы явля-

ю

9 (0,0=—-H-, qu{2,i-\) = (l-A]): .

Л. + кг + ц /, + ю + ц

92,,(0,0 = 9l„(2,/ +1) =

л + ц, А. + гст + ц

i(2, о = ^.(i-ZQ+AM.)2

?». + г'ст + ц

Из вида вероятностей перехода следует, что данная цепь неприво-дима и непериодична.

ТЕОРЕМА 3. При условии р < ———, где р = —, а = —, в мара Ц Ц,

ковской модели h{ - настойчивой сети связи с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим.

Далее аналогично получены условия существования и отсутствия стационарных режимов для математических моделей других сетей.

ТЕОРЕМА 4. В марковской модели А, -настойчивой сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте не существует

1

стационарного режима, если загрузка сети р > — .

а

ТЕОРЕМА 5. При условии h2 <1, в марковской модели h2-настойчивой сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим для любых значений параметра X,

ТЕОРЕМА 6. При условии Л2 < 1 в марковской модели h2 -настойчивой сети связи с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим для любых значений параметра X.

В качестве математической модели сети связи Ethernet рассмотрена однолинейная СМО, на вход которой поступает простейший с параметром X поток заявок. Если прибор свободен, заявка начинает этап резервирования. Время резервирования распределено по экспоненциальному закону с параметром |.ц. Если за это время другие требования не поступают, то начинается передача, продолжительность которой распределена по экспоненциальному закону с параметром ц2 • Если во время передачи поступает другое сообщение, то оно переходит в ИПВ, не искажая исходной заявки. Завершив передачу, сообщение покидает систему. Если во время резервирования поступает другая заявка, то возникает конфликт. Все заявки, попавшие в конфликт, переходят в ИПВ. На приборе начинается этап оповещения о конфликте. Его продолжительность распределена по экспо-

ненциальному закону с параметром ¡дс. Все заявки, поступившие в систему на этапе оповещения о конфликте, поступают в ИПВ, где каждая заявка находится случайное время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром а.

Состояние системы определим вектором (к, /), где

1) к состояние канала: к = 0, прибор свободен, к = 1, резервирование, к = 2, передача сообщения, к = с, в системе реализуется сигнал оповещения о конфликте,

2) г - число заявок в ИПВ.

Если бы для процесса {&(*)> *(0} существовало стационарное распределение вероятностей Рк (г) = Р{к^) = &,;'(/) = г}, тогда, полагая

А. = р,ц, =1,ц2 = = —, Для него можно было бы записать систему V а

уравнений

(р+гу)/»о(0=-Р2(0+-Ре(0,

V а

(р + iy + Щ(1) = pP0(i) + (i + l)yP0(i +1), P2(i) = Pl(i) + pP2(i-l),

p + -v,

p + i jpf (i) = p Px (i - 2) + (f - l)7p, (I -1) + p P2 (i -1).

Показано, что любое решение этой системы не может быть распределением вероятностей, для этого используется теорема Пуанкаре.

ТЕОРЕМА 7. В сети связи с протоколом Ethernet не существует стационарного режима для любых значений загрузки сети.

Построена модифицированная модель протокола Ethernet с h-настойчивым доступом. Здесь имеет место, следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 8. При условии h < 1, в сети связи h -настойчивый Ethernet существует стационарный режим для любых значений параметра X.

В этой главе проводится исследование условий существования стационарных режимов для немарковских моделей сетей связи

В немарковской модели сети связи с Aï-настойчивым протоколом доступа и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте вероятности q„j(k,j) перехода за один шаг из состояния (n,i) в состояние (А:, у) имеют вид

0о,1 (М) = 5(0 > </0,(U-l) = l-5(/),

g2,((0,i+m) = am, m = 0,1... 9i,/(0,0 = Po(0.

^,,(2,/-1) = (1 - А,)2 р2(0, (2,/ + 2) = А,2р,(0,

<^,(2,0 = 2Л( (1 - А, )р2 (0 + (1 - А, ^ Р, (/),

91,1 (2> I +1) = А, 2р2 (г) + 2А, (1 - А, )р, (г). Здесь

Л + го о

Р,(0 = -^-(1-Ро(0)> р2(0 = -^-(1-ро(0),

Х + ку А, + 1ст

П и!

2(1-А,)

ТЕОРЕМА 9. При выполнении условия: X <-—, в немарковской модели ^ - настойчивой сети связи с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим, где а\ - среднее время продолжительности сигнала оповещения о конфликте.

Аналогично доказано:

ТЕОРЕМА 10. При условии А2 < 1, в немарковской модели А2 -настойчивой сети связи с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим для любых значений параметра X.

ТЕОРЕМА 11. При условии А2 < 1 в немарковской модели А2 -настойчивой сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим для любых значений параметра X.

Во второй главе проводится исследование марковских моделей для /г2-настойчивых сетей связи случайного доступа с дискретным и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте.

В качестве марковской модели А2 -настойчивой сети связи с дискретным контролем сигнала оповещения предлагается однолинейная СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с параметром X. Если прибор свободен, поступающая заявка начинает обслуживаться. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром (х. Если за это время другие требования не поступают, то заявка, завершив обслуживание, покидает систему. Если во время обслуживания поступает другая заявка, то возникает конфликт. Все заявки, попавшие в конфликт, переходят в ИПВ. На приборе начинается этап оповещения о конфликте, продолжительность которого распределена экспоненциально с

параметром р.,. Каждая заявка, поступившая в систему на этапе оповещения о конфликте, с вероятностью Л2 переходит ИПВ, а с вероятностью (1- /|2) теряется. В ИПВ заявка находится случайное время, распределенное по экспоненциальному закону с параметром а.

В марковской модели сети связи с кг -настойчивым протоколом случайного доступа и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте, в отличие от рассмотренного выше, если во время обслуживания поступает другая заявка, то возникает конфликт. Каждая заявка, попавшая в конфликт, переходит в ИПВ с вероятностью 1. На приборе начинается этап оповещения о конфликте. Все заявки, поступившие в систему на этапе оповещения о конфликте, становятся в очередь. После окончания этапа оповещения о конфликте, все заявки, находящиеся в очереди обращаются к прибору. Если в очереди нет заявок прибор, остается свободным, если в очереди одна заявка, она начинает обслуживаться, если в очереди больше одной заявки, то каждая из них с вероятностью к2 уходит в ИПВ, а с вероятностью 1 - кг теряется. На приборе начинается этап оповещения о конфликте.

Для исследования математической модели сети связи с к2~ настойчивым протоколом доступа и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте введем вероятности Рк (/,*) = Р{/:(?) = к,г(1) = г'}.

В диссертации показано, вероятности Рк(г) удовлетворяют следующей системе разностных уравнений

(р + гу)Р0 (г) = Р, (г) + - Р2 (0, а

(р + гу + Щ (г) = рР0(/) + (I + 1)уР0 (/ +1),

Д2р + (1 - к2 )1у + -)р2 (0 = рР, (/ - 2) + 0: - 1)уЛ (I -1) +

а) (10)

+ к2рР2 (« -1) + (1 - А2)(/ + 1)уР2 (г +1).

Проводится исследование системы (10) методом асимптотического анализа в условиях большой задержки (у -> 0). В диссертации доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 12. Асимптотически при у -> 0 среднее значение л: нормированного числа заявок в ИПВ находится из уравнения

С + (1-й2)аС3 Р" а02+ Ю + 1 '

где (/ = * + р.

Распределение вероятностей гк состояний канала имеет вид

е + 1 в ав2

' и ">г1 ~ 1 > Г2 —

ТЕОРЕМА 13. Асимптотически при у -»0 распределение вероятностей состояний (к, /) определяется распределением вида

Ък(у) = гкп(у).

Функция п(у) - распределение величины отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от асимптотического среднего х имеет вид

1 _ У

2

п(у) = . -ехр

_ (1-/г2)аС2(С + 2)-ра(;((7 + 2)--(р + <3;) 1 + (1 -к2)аОг

у =-------

(аС2+2С + 1)(С + 1) яб +Ю + \

' р(1 -а) + С + {\-И2)аОЛ в2 +2ра + /|2раС2 ай2 +26 + 1 J а02+2С + 1

Для исследования сети связи с й2-настойчивым протоколом случайного доступа и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте состояние системы определяется вектором (к, i,j), где к - состояние канала, г - число заявок в ИПВ, если к = 2 , то ] - число заявок в очереди, если кф2,ю компонента у не определяется.

Показано, что вероятности удовлетворяют следующей сис-

теме разностных уравнений

(р+ц+1 )р, (о=рр0 (О+('+('+о+- (о,

а

(р + /у+-)Р2,о (0 = Р^, (' - 2) + (г - 1)уР, (г -1) + а

а У=25-о

(р + /у + -)Р2 ■ (0 = р/>2 (0 + (г + 1)уР2 (г +1), 7 ^ 1. а

ТЕОРЕМА 14. Асимптотически при у -> 0 среднее значение х нормированного числа заявок в ИПВ находится из уравнения (1-А2)д2С?4(2 + аС) + а(1 + 2дС) Р~а3<74+2а2С73+4аС72+ 2а(7 + 2<? + 1 '

Распределение вероятностей гк состояний канала имеет вид

С(1 + аС) + 1 + 2а<?

Гп —

г, =

а3 С* +2 агвъ +4а02 +2аС + Ю + \'

_С(1 + 2аС)_

а3 в4 + 2а2в3 +4 ав2 +2аО + 2С + \'

__дС2(1 + аС)_

2,0 ~ а3<74 +2а2С3 + 4яС2 + 2дС +2(7 + 1'

г А «О V_аС2(\ + аО)_

^ и + аС^ д304+2а2а3+4аС2+2аС + 2С! + Г ТЕОРЕМА 15. Асимптотически при у 0 распределение вероятностей состояний (к, /') определяется распределением вида = гкп(у), где функция - распределение величины отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от асимптотического среднего х имеет вид

и(>0=т====ехр]-- У

рпв2/в, 1 2 02/е,

Значения для 05 приведены в диссертации.

В третьей главе проводится исследование немарковских моделей сетей связи, управляемых Л2-настойчивым протоколом случайного доступа, где В(х) - функция распределения времени обслуживания и А(х) -функция распределения времени распространения в системе сигнала оповещения о конфликте.

Для исследования сети связи с дискретным контролем сигнала оповещения, обозначим г - число заявок в ИПВ, к принимает значения: к = 0, прибор свободен, к = 1, если он занят обслуживанием заявки и к = 2, в системе реализуется сигнал оповещения о конфликте.

Процесс {&(<), г(0} - немарковский. Для исследования математической модели данной сети связи воспользуемся методом дополнительной переменной. Введем переменную - длина интервала от момента I до момента изменения текущего состояния канала. Процесс изменения состояний системы {&(*)> г(0>2(*)} является марковским.

Введем вероятности

Р0(/,/) = />{*(*) = 0,1(0 = »},

/>*(/, г, 0 = Р{Щ = £,/(0 = < г), к* 0.

В диссертации показано, что вероятности состояний Р0(г), Рк(г,г), к = 1,2, удовлетворяют системе уравнений

дг дг

се о2

йг йг

+ (1 - А2 )(г + 1)<хР2 (г +1, г) + (Я^ (г - 2) + (г - 1)а/>, <7 -1))Л(г). Здесь т = =

1=0

йг йг

Проводится исследование данной системы методом асимптотического анализа в условиях большой задержки (о -» 0).

ТЕОРЕМА 16. Асимптотически при а-»0 среднее значение х нормированного числа заявок в ИПВ находится из уравнения

,(204Л<?Ра)

р = 0-61 + |3 + Ора

где

С = + т=7(1- , Р = —/е"®* (1 - В{\)УЫ, а = -1(1 - А{з)УЬ, о т о т о

Распределение вероятностей гк состояний канала имеет вид

1 Р _ ера

го~~, 7, I - , . п . ™ 'г2

1 + Р + ОРа 1 1 + р + СРа 1 + р + Сра ТЕОРЕМА 17. Асимптотически при а -> 0, распределение вероятностей состояний (к, /) определяется распределением вида пк(у) = гкп(у).

Функция л(>>) - распределение величины отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от асимптотического среднего х имеет вид

где значения для приведены в диссертации.

Аналогично в диссертации проводится исследования сети связи с /г2-настойчивым протоколом случайного доступа и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте асимптотически при о —> 0. Находятся среднее значение х нормированного числа заявок в ИПВ, распределение вероятностей гк состояний канала и функция п(у) - распределение величины отклонения нормированного числа заявок в ИПВ от асимптотического среднего х.

Выпишем основные вероятностно-временные характеристики для сетей связи с дискретным и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте:

1. Вероятность простоя канала для дискретного контроля:

1

Г°~1 + р + СРа '

для непрерывного контроля:

1-02р8 + 03р8,-аг51 Г° ~ 1 + Ср(1 -68) + С2(ра -8,)'

1 °° -С- 1 00 с-

где8 =— [е '(1 -А(х)\1х, 8. =-т IV 1 (1 - А(х)\Ьс. Г 1 Г '

о

2. Число заявок в ИПВ:

. _ х + л/стту

от

где плотность распределения вероятностей величин у определяется в соответствующих теоремах.

3. Асимптотическое среднее значение х нормированного числа заявок в ИПВ определяется уравнением

для дискретного контроля:

(Ц-^ора),

1 + р + Сра

для непрерывного контроля:

= (1 - А2>^((78, - 8 + а) + 6(1 - ву + С3Р8, - ) Р 1 + бр(1 - С8) + О2 (ра - 8,)

где О = р + х.

4. Среднее число заявок в ИПВ:

/=*.

У

5. Среднее время пребывания сообщения в сети:

Р

здесь единицей времени служит среднее время передачи одного сообщения.

6. Вероятность передачи сообщения с нулевым временем ожидания:

!

Д0 = г0Р(Т <§) = ф \е-°хВ(х)с1х,

о

здесь т - время передачи сообщения, а £ - длина интервала между моментами поступления сообщений в канал связи, тогда для дискретного контроля

Яо = с\е-°*В(х)<1х,

1 + р + бра ■>

для непрерывного контроля

Л0 =-£-¡Ц-.-Ц- в Ге-СхВ(х)ек.

В заключение приводятся основные результаты работы.

В данной работе разработана методика, которая позволяет найти условия, при которых сеть функционирует устойчиво, в стационарном режиме, также предложен подход для доказательства отсутствия стационарного режима в математических моделях сетей связи случайного доступа. Исследуются марковские и немарковские модели сетей связи с протоколами случайного доступа с непрерывной и дискретной стратегией контроля сигнала оповещения о конфликте методом асимптотического анализа в условиях большой задержки.

Полученные результаты дают новые возможности для нахождения вероятностно-временных характеристик сетей связи.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Назаров A.A., Никитина М.А. Сравнение стратегий контроля сигнала оповещения о конфликте // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1999. -С. 99-108.

2. Назаров A.A., Никитина М.А. Эргодичность цепей Маркова с неоднородными ленточными графами и их применение к задачам анализа условий существования стационарных режимов в сетях связи с протоколами случайного множественного доступа // Статическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. -3. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. - С. 101-109.

3. Назаров A.A., Никитина М.А. Исследование сети связи с h- , настойчивым протоколом случайного множественного доступа //

Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Часть II (Математика). КемГУ, 2001. - С. 54-56.

4. Никитина М.А. Исследование немарковской модели сети связи, управляемой А2-настойчивым протоколом доступа с дискретным

контролем оповещения о конфликте // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. Томск: Изд-во Томского ун-та, 2003.-С. 136-143.

5. Никитина М.А. Исследование сети связи с А2-настойчивым протоколом доступа и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте // Вестник ТГУ, материалы научных конференций. -

2002.-С. 87-89.

6. Назаров A.A., Никитина М.А. Исследование условий существования стационарного режима в сетях связи с /¡-настойчивым доступом // Вестник ТГУ. - 2002. - №275. - С. 191-198.

7. Назаров A.A., Никитина М.А. Применение условий эргодичности цепей Маркова к исследованию существования стационарных режимов в сетях связи // Автоматика и вычислительная техника. -

2003.-№1.-С. 59-66.

8. Никитина М.А. Исследование марковских моделей для h2-настойчивых сетей связи случайного доступа // Изв. Вузов. Физика. - 2003. -№3.~ С. 69-75.

9. Никитина М.А. Исследование немарковской модели /г-настойчивой сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте // Наука и практика: диалоги нового века. (Материалы Всероссийской научно-практической конференции). КемГУ, 2003. - С. 34-37.

Подписано к печати 11.11.03. Формат 60x84/16. Бумага «Гознак». Печать RISO. Усл. печ. п. 1.11. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ 754. Типография ТПУ. 634050, Томск, пр. Ленина, 30.

2 ooS-Д

'«77/

1774"

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ В СЕТЯХ СВЯЗИ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА.

1.1. Условия эргодичности цепи Маркова с неоднородным ленточным графом.

1.2. Отсутствие стационарных режимов в сетях связи случайного доступа.

1.3. Отсутствие стационарного режима в сети связи с непрерывным контролем.

1.4. Исследование условий существования стационарных режимов в сетях связи с hi -настойчивым случайным доступом.

1.4.1. Сеть связи с протоколом Л|-настойчивого случайного доступа с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте.

1.4.2. Сеть связи с протоколом /гi-настойчивого доступа с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте.

1.5. Исследование условий существования стационарного режима в сетях связи с h2- настойчивым случайным доступом.

1.5.1. Математическая модель сети связи с /^-настойчивым протоколом случайного доступа с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте.

1.5.2. Существование стационарного режима в сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте.

1.5.3. Сеть связи с /г2-настойчивым протоколом случайного доступа с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте.

1.6. Исследование условий существования стационарного режима в сети связи Ethernet.

1.6.1. Отсутствие стационарного режима в сети связи Ehernet.

1.6.3. Существование стационарного режима в /г-настойчивой сети связи Ethernet.

1.7. Исследование условий существования стационарных режимов для немарковских моделей сетей связи.

1.7.1. Немарковская модель сети связи с h(-настойчивым протоколом доступа и дискретным контролем сигнала оповещения.

1.7.2. Немарковская модель сети связи с hi -настойчивым протоколом доступа и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте.

1.7.3. Немарковская модель сети связи с /^-настойчивым протоколом доступа и непрерывным контролем сигнала оповещения.

Выводы по первой главе.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕЙ СВЯЗИ С Л2-НАСТОЙЧИВЫМ ПРОТОКОЛОМ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА.

2.1. Исследование сети связи с /^-настойчивым протоколом доступа и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте

2.2. Исследование сети связи с /^-настойчивым протоколом случайного доступа и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте.

2.3. Основные вероятностно-временные характеристики сетей связи.

Выводы по второй главе.

3. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕМАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕЙ СВЯЗИ С кг -НАСТОЙЧИВЫМ ПРОТОКОЛОМ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА.

3.1. Исследование сети связи с /22-настойчивым протоколом случайного доступа и дискретным контролем сигнала оповещения

3.2. Исследование сети связи с /^-настойчивым протоколом случайного доступа и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте.

3.3. Основные вероятностно-временные характеристики исследуемых сетей.

ВЫВОДЫ ПО ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ.

Актуальность темы. Быстрое развитие систем сбора, обработки, хранения и передачи информации привели к появлению информационно-вычислительных сетей (ИВС).

Потребности в качественной и быстрой связи возрастают, поэтому постоянно ведется проектирование и усовершенствование информационно-вычислительных сетей.

Использование вычислительных сетей открывает новые возможности, такие как, например, улучшение доступа к информации, разделение дорогостоящих ресурсов. Однако много проблем связано с транспортировкой сообщений по каналам связи. Основные задачи здесь - обеспечение надежности (чтобы передаваемые данные не терялись и не искажались) и производительности (чтобы обмен данных происходил с приемлемыми задержками). В структуре общих затрат на вычислительную сеть расходы на решение этих вопросов составляют существенную часть.

Сложность и высокая стоимость современных ИВС требуют оценки производительности проектируемой сети или её пропускной способности. Успешное развитие информационных технологий невозможно без теоретических исследований

Основным современным методом исследования сложных информационных систем на всех стадиях их разработки, проверки и модернизации является моделирование. По результатам моделирования могут быть найдены условия устойчивого функционирования сети, определены основные характеристики и решены задачи, связанные с выбором оптимальных параметров и построением рациональной стратегии управления.

Таким образом, данная работа, в которой проводится математическое моделирование сетей связи, находятся условия существования стационарного режима и основные вероятностно-временные характеристики сетей связи, является, безусловно, актуальной и своевременной.

Цель работы. Целью работы является исследование математических моделей сетей связи с протоколами случайного доступа для нахождения вероятностно-временных характеристик сетей связи с дискретным и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте и для нахождения условий, при которых сеть связи функционирует устойчиво.

Таким образом, были поставлены следующие задачи:

1. построение математических моделей сетей связи с протоколом случайного множественного доступа с дискретным и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте;

2. разработка методики нахождение условий существования или отсутствия стационарного режима для математических моделей таких сетей связи;

3. исследование марковских и немарковских моделей сетей связи случайного доступа с дискретным и непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте, функционирующих в стационарном режиме;

4. определение вероятностно-временных характеристик исследуемых сетей связи.

Методика исследований. Исследование математических моделей сетей связи случайного доступа проводилось с использованием методов теории вероятностей, теории случайных процессов, эргодических теорем, теории массового обслуживания, асимптотического анализа марковизируемых систем.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем:

1. предложена математическая модель сети связи случайного доступа с непрерывной стратегией контроля сигнала оповещения о конфликте в виде однолинейной системы массового обслуживания с источником повторных вызовов и очередью;

2. разработана методика нахождения условий существования стационарного режима для цепей Маркова с неоднородным ленточным графом;

3. предложен подход к доказательству отсутствия стационарных режимов для математических моделей сетей связи;

4. показано применение этой методики для сетей связи с контролем сигнала оповещения о конфликте и для сети Ethernet;

5. развит метод асимптотического анализа марковских и немарковских моделей сетей связи случайного доступа при непрерывном контроле сигнала оповещения о конфликте.

Теоретическая ценность работы. Построены и исследованы математические модели сетей случайного доступа с непрерывным и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте для марковского и немарковского случаев.

Практическая ценность работы. Приведенные в работе результаты могут быть применены при проектировании новых сетей связи, а также для анализа процессов функционирования существующих сетей.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 9 научных работ:

1. Назаров А.А., Никитина М.А. Сравнение стратегий контроля сигнала оповещения о конфликте // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1999. — С. 99-108.

2. Назаров А.А., Никитина М.А. Эргодичность цепей Маркова с неоднородными ленточными графами и их применение к задачам анализа условий существования стационарных режимов в сетях связи с протоколами случайного множественного доступа // Статическая обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 3. Томск: Изд-во Томского ун-та, 2001. - С. 101-109.

3. Назаров А.А., Никитина М.А. Исследование сети связи с h-настойчивым протоколом случайного множественного доступа // Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство. Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Часть II (Математика). КемГУ, 2001. - С. 54-56.

4. Никитина М.А. Исследование немарковской модели сети связи, управляемой /г2-настойчивым протоколом доступа с дискретным контролем оповещения о конфликте // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 5. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. - С. 136-143.

5. Никитина М.А. Исследование сети связи с /г2-настойчивым протоколом доступа и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте // Вестник ТГУ, приложение №1 (материалы научных конференций). —

2002. - С. 87-89.

6. Назаров А.А., Никитина М.А. Исследование условий существования стационарного режима в сетях связи с //-настойчивым доступом. // Вестник ТГУ - 2002. - №275. - С. 191-198.

7. Назаров А.А., Никитина М.А. Применение условий эргодичности цепей Маркова к исследованию существования стационарных режимов в сетях связи // Автоматика и вычислительная техника. - 2003. — №1. — С. 59-66.

8. Никитина М.А. Исследование марковских моделей для /*2 — настойчивых сетей связи случайного доступа // Изв. Вузов. Физика.

2003.-№3.-С. 69-75.

9. Никитина М.А. Исследование немарковской модели /z-настойчивой сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте // Наука и практика: диалоги нового века. (Материалы Всероссийской научно-практической конференции). - КемГУ, 2003. - С. 34-37. Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты по мере их получения докладывались и обсуждались:

1. На Всероссийской научно-практической конференции "Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство" (г. Анжеро-Судженск, 2001 г.).

2. На IV Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" (г. Томск, 2002 г.).

3. На Всероссийской научно-практической конференции " Наука и практика: диалоги нового века " (г. Анжеро-Судженск , 2003 г.).

4. На научных семинарах кафедры ТВиМС факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета 1998 -2003 гг.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 136 страниц, в том числе: титульный лист - 1 стр., оглавление - 4 стр., основной текст - 123 стр., библиография из 108 наименований - 9 стр.

Выводы по третьей главе

В третьей главе рассмотрены немарковские модели /г2-настойчивых сетей связи случайного доступа с непрерывным и дискретным контролем сигнала оповещения.

В качестве математических моделей сетей связи рассматриваются однолинейные СМО с источником повторных вызовов и очередью, на вход которых поступает простейший поток заявок с параметром X. Время обслуживания - случайная величина, имеющая функцию распределения В(х). Продолжительность этапа оповещения о конфликте есть случайная величина с функцией распределения А(х).

Проведено исследование этих моделей методом асимптотического анализа. Найдено асимптотическое среднее числа заявок в ИБП и плотность распределения вероятностей значений отклонения числа заявок в ИПВ от асимптотического среднего. Найдены основные вероятностно-временные характеристики сетей связи.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе разработана методика для нахождения условий существования стационарных режимов в математических моделях сетей связи случайного доступа, основанная на применении теоремы Мустафы.

Предложен подход для доказательства отсутствия стационарного режима в сетях связи случайного доступа, основанный на применении теоремы Пуанкаре.

Предложены марковские и немарковские модели сетей связи с непрерывным и дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте с разными видами настойчивости.

Рассмотрены четыре класса сетей случайного доступа: 1-настойчивые, с Лрнастойчивым доступом, с /г2-настойчивым доступом и протоколом Ethernet. Показано, что в 1-настойчивой сети связи с непрерывным контролем сигнала оповещения о конфликте не существует стационарного режима, в h г настойчивых моделях сетей связи с дискретным контролем сигнала оповещения о конфликте существует стационарный режим, если выполняется 2(1-/1,) условие р<—--—, а с непрерывным контролем сигнала оповещения о а, конфликте отсутствует стационарный режим, если р > —. В /гг-настойчивых а моделях сетей связи при условии h2 < 1 существует стационарный режим.

Рассмотрена также математическая модель сети связи Ethernet, показано, что в данной сети не существует стационарного режима. Предложена модифицированная А-настойчивая модель сети связи, в которой существует стационарный режим.

Во второй главе рассмотрена марковская модель h2 -настойчивой сети связи случайного доступа с непрерывным контролем сигнала оповещения в виде однолинейных СМО с источником повторных вызовов и очередью.

Также рассмотрена марковская модель h2 -настойчивой сети связи слу-Ф чайного доступа с дискретным контролем сигнала оповещения в виде однолинейных СМО с источником повторных вызовов.

Проведено исследование этих математических моделей методом асимптотического анализа в условиях большой задержки. Найдено асимптотическое среднее х числа заявок в ИПВ и плотность распределения вероятностей значений отклонения числа заявок в ИПВ от асимптотического среднего. Найдены основные вероятностно-временные характеристики рассматриваемых сетей связи.

В третьей главе рассмотрены немарковские модели h2 -настойчивых сетей связи случайного доступа с непрерывным и дискретным контролем сигнала оповещения.

В качестве математических моделей сетей связи рассматриваются однолинейные СМО с источником повторных вызовов и очередью, на вход которых поступает простейший поток заявок с параметром X. Время обслуживания - случайная величина, имеющая функцию распределения В(х). Продолжительность этапа оповещения о конфликте есть случайная величина с функцией распределения А(х). * Проведено исследование этих моделей методом асимптотического анализа. Найдено асимптотическое среднее числа заявок в ИПВ и плотность распределения вероятностей значений отклонения числа заявок в ИПВ от асимптотического среднего. Найдены основные вероятностно-временные характеристики сетей связи.

1. Авен О.И, Турин Н.Н., Коган Я.А. Оценка качества и оптимизация вычислительных систем. М.: Наука, 1982. — 296с.

2. Азларов Т.А., Тахиров А. Предельные распределения для одноканальной системы с ограниченным числом мест ожидания // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1974. - № 5. - С. 53-57.

3. Андронов A.M., Литвинчук A.M. Однолинейная система массового обслуживания с конечным числом поступающих требований // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1973. -№ 3. - С. 53-58.

4. Апанасович В. В., Коледа А. А., Чернявский А. Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. — Минск: 'Университетское', 1988.-254 с.

5. Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган А.Я. Анализ очередей в вычислительных сетях. М.: Наука, 1989. — 333с.

6. Башарин Т.П., Харкевич А.Д., Шнепс М.А. Массовое обслуживание в телефонии. М.: Наука, 1968. - 213с.

7. Бергман О.С., Назаров А.А. Сравнение стратегий контроля несущей в протоколе МДКН/ОК //Автоматика и вычислительная техника. — 1996. — №2-С. 59-68.

8. Бертсекас Д., Таллагер Р. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989. -542с.

9. Блэк Ю. Сети ЭВМ: протоколы, стандарты, интерфейсы. М.: Мир, 1990.-510с.

10. Боровков А.А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1980. - 21 Ос.

11. Бочаров П.П., Павлова О.И., Пузикова Д.А. Система M/G/1/r с повторными заявками и приоритетным обслуживанием первичных заявок // Вестник Российского Университета дружбы народов. Серия прикладной математики и информатики. — 1997. № 1. - С. 37-51.

12. Бочаров П.П., Вишневский В.М. G-сети: развитие теории мультипликативных сетей // Автоматика и телемеханика. — 2003. №5. — С. 46-74.

13. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания. — М.: Издательство Российского университета дружбы народов, 1995. — 529с

14. Бутакова E.JI., Назаров А.А. Распределение времени доставки сообщения в сетях связи с протоколами случайного множественного доступа// Автоматика и вычислительная техника. 1997. - №6. — С.65-75.

15. Вишневский В.М., Жожикашвили В.А. Сети массового обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ. — М.: Радио и связь, 1988.

16. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.:ОНТИ, 1936.

17. Ги К. Введение в локальные вычислительные сети. М.: Радио и связь, 1986.-210с.

18. Гнеденко Б.В., Коваленко И.И. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. - 210с.

19. Горцев A.M., Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Управление и адаптация в системах массового обслуживания. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1978.-110с.

20. Добрушин Р.Л., Прелое В.В. Асимптотический подход к исследованию сетей коммутации сообщений линейной структуры с большим числом узлов// Проблемы передачи информации. 1979. - Т. 15, № 1. - С. 61- 73.

21. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Мн.: БГУ, 2000. - 175с.

22. Иванова О.В., Назаров А.А. Асимптотический анализ протокола множественного доступа "синхронная Алоха" к локальной сети // Радиотехника.- 1991.-№ 5.-С. 20-24.

23. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971. — 341с.

24. Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. М.: Радио и связь, 1981.-300с.

25. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями. М.: Мир, 1979.-600с.

26. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. -М.: Наука, 1966.

27. Коган Я.А., Нерсесян С.Г. Асимптотические методы анализа замкнутых сетей в условиях большой загрузки. // Автоматика и телемеханика. — 1984. — №8. -С.93-103.

28. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1984. 831с.

29. Королюк B.C. Стохастические модели систем. Киев: Наукова думка, 1989.-300с.

30. Кочегаров В.А., Фролов Г.А. Проектирование систем распределения информации. Марковские и немарковские модели. М.: Радио и связь, 1991.-300с.

31. Кузнецов Д. Ю., Назаров А. А. Исследование немарковских моделей сетей связи с адаптивными протоколами случайного множественного доступа // Автоматика и телемеханика. 2001. - № 5. - С. 124-146.

32. Кузнецов Д. Ю., Назаров А. А. Исследование сетей связи с конечным числом абонентских станций, управляемых адаптивными протоколами случайного множественного доступа в условиях перегрузки // Автоматика и телемеханика. 1999. - № 12. - С. 99-113.

33. Кузнецов Д. Ю., Назаров А. А. Определение асимптотической плотности распределения вероятностей для сетей связи с адаптивными протоколами случайного множественного доступа для бесконечного числа станций // Вестник ТГУ. 2000. - Т. 271, № 6. - С. 52-55.

34. Лебедев Е.А., Чечельницкий А.А. Диффузионная аппроксимация немарковских сетей обслуживания в переходном режиме // Аналитические методы исследования стохастических систем. — Киев: КГУ, 1989. — С.61-66.

35. Лебедев Е.А., Чечельницкий А.А. Диффузионная аппроксимация сети с полумарковским входным потоком // Кибернетика. 1991. - №2. -С. 100-103.

36. Лившиц Б.С., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теория телетрафика. — М.: Связь, 1979. -223с.

37. Малинковский Ю.В. Инвариантность стационарного распределения состояний модифицированных сетей Джексона и Гордона-Ньюэлла // Автоматика и телемеханика. 1998. - №9. - С. 29-36.

38. Малинковский Ю.В. Сети массового обслуживания с обходами узлов заявками // Автоматика и телемеханика. 1991. - №2. - С. 102-110

39. Медведев Г.А. Об оптимизации замкнутой системы массового обслуживания // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1975. - №6. -С.65-73.

40. Медведев Г.А. Замкнутые системы массового обслуживания // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1978. - №6. - С. 199-203.

41. Меликов А.З., Пономаренко Л.А., Рюмшин Н.А. Математические модели многопотоковых систем обслуживания. — Киев: Техника, 1991.

42. Меликов A3. Фаттахова М.И. Задачи оптимизации показателей качества обслуживания в узлах интегральных сетей. // АВТ. 2003. -№1 — С.67-73.

43. Михайлов В.А. Геометрический анализ устойчивости цепей Маркова в R" и его применение к вычислению пропускной способности адаптивного протокола случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1988. — № 1. - С. 61 -73.

44. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. -Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 158 с.

45. Назаров А.А. Асимптотический анализ многолинейных систем массового обслуживания с повторными вызовами // Автоматика и вычислительная техника. 1990.-№3.-С. 65-71.

46. Назаров А.А. Исследование явления бистабильности в спутниковых сетях связи // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 10. - С. 117-124.

47. Назаров А.А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа // Проблемы передачи информации. 1997. - №2. - С. 101 -111.

48. Назаров А.А., Невольно М.П., Пичугин С.Б. Аналитическое соотношение для расчета производительности спутниковой системы связи с множественным доступом // Известия РАН. Техническая кибернетика. — 1993. — №6. — С.90-97.

49. Назаров А.А., Одышев Ю.Д. Исследование сетей связи с протоколами "адаптивная Алоха" для конечного числа станций в условиях перегрузки // Проблемы передачи информации. 2000. - Т. 36, № 13. - С. 83-93.

50. Назаров А.А., Пичугин С.Б. Исследование спутниковой сети связи методом математического моделирования // Известия ВУЗов. Физика. — 1992. № 9. - С. 120-127.

51. Назаров А.А., Шохор C.JI. Исследование управляемого несинхронного множественного доступа в спутниковых сетях связи с оповещением о конфликте // Проблемы передачи информации. 2000. - Т.36, № 1. -С. 77-89.

52. Назаров А.А., Шохор C.JJ. Сравнение асимптотической и допредельной модели сети связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа // Математическое моделирование и теория вероятностей /

53. Под ред. И.А. Александрова и др. Томск: Изд-во "Пеленг", 1998. -С. 233-241.

54. Назаров А.А., Шохор C.JJ. Стационарный режим в сети, управляемой динамическим протоколом доступа с оповещением о конфликте // Вестник ТГУ. 2000. - Том 271, № 6. - С.55-59.

55. Назаров А.А., Юревич Н.М. Исследование сети с динамическим протоколом случайного множественного доступа Алоха // Автоматика и вычислительная техника. 1995. - № 6. - С. 53-59.

56. Назаров А.А., Юревич Н.М. Исследование сети с протоколом случайного множественного доступа Алоха без повторной передачи искаженных сообщений // Автоматика и вычислительная техника. 1993. — № 3. -С. 52-56.

57. Назаров А.А., Юревич Н.М. Исследование сети со статическим h-настойчивым протоколом случайного множественного доступа Алоха //Автоматика и вычислительная техника. 1995. — № 31. — С. 68-78.

58. Назаров А.А., Юревич Н.М. Исследование явления бистабильности в сети с протоколом Алоха для конечного числа станций // Автоматика и телемеханика. 1996. -№ 9. - С. 91-100.

59. Новиков Ю.В, Кондратенко С.В. Локальные сети. — М.: ЭКОМ, 2001

60. Одышев Ю.Д. Исследование сети связи с динамическим протоколом "синхронная Алоха" в условиях большой загрузки // Автоматика и вычислительная техника. — 2001. № 1. - С. 77-84.

61. Одышев Ю.Д. Исследование сети связи с протоколом "синхронная Алоха" для конечного числа станций // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. — Томск: Изд-во Томского ун-та, 1999. — С.115-119.66