автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей потоков в сетях случайного множественного доступа

На правах рукописи

Колоусов Денис Васильевич

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОТОКОВ В СЕТЯХ СЛУЧАЙНОГО МНОЖЕСТВЕННОГО ДОСТУПА

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2004

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Назаров Анатолий Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Воробейчиков Сергей Эрикович,

кандидат физико-математических наук, доцент Змеева Елена Евдокимовна

Ведущая организация: Томский политехнический университет

Защита состоится:

18 ноября 2004 г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете по адресу 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан «О;» октября 2004г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, доцент

А.В. Скворцов

4UY3

g ?

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В последние полтора десятилетия идет активное развитие сетей связи случайного множественного доступа, обусловленное повышенной потребностью в высокоскоростных каналах передачи данных. Данный процесс связан с продолжающимся технологическим развитием и повышением темпов жизни. Развитие и повсеместное внедрение сети Internet также влияет на потребность в высокоскоростных каналах, обеспечивающих передачу больших объемов информации за максимально короткое время. В связи с этим становится важной задача модернизации существующих сетей связи. При модернизации и оптимизации сетей связи наиболее действенным инструментом является математическое моделирование. Конечно, для анализа существующих сетей возможно изпользование различных анализаторов протоколов, которые позволяют получить некоторые вероятностно-временные характеристики сети связи, однако, данные анализаторы никоим образом не смогут объяснить природу того или иного наблюдаемого явления. В данных случаях, необходимо использовать средства моделирования, с помощью которых, по результатам наблюдения за выходящими потоками, и проводится всесторонний анализ сетей связи. В настоящее время методы моделирования и анализа наиболее широко применяются к сетям с протоколами случайного множественного доступа. Вопросам анализа сетей связи и протоколов случайного множественного доступа посвящены работы Башарина Г.П., Бочарова П.П., Фалина Г.И., Степанова С.Н, Дудина А.Н., Клименок В.И., Назарова А.А., Хомичкова И.И., Одышева Ю.Д., Шохора С.Л., Кузнецова Д.Ю. и др.

Очевидно, что тема работы по исследованию математических моделей выходящих потоков сетей связи с протоколами случайного множественного доступа является актуальной на сегодняшний день.

Целью работы является исследование математических моделей потоков в сетях связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа с оповещением о конфликте. Знание распределения вероятностей состояний системы, вида распределения и параметров распределения вероятностей выходящего потока позволяет находить, оценивать и анализировать параметры входящего потока и эффективность работы существующей сети связи.

Очевидно, что возникает вопрос, что мы понимаем под потоком? Под потоком мы понимаем случайный поток однородных событий, который может задаваться одним из трех способов:

1) <i < <2 < ¿з < ... — последовательностью моментов наступления событий;

2) гь т2, г3,... - длинами интервалов между моментами наступления событий;

3) n(t) — числом событий, наступивших :

В дайной работе используется третий способ задания потоков. Таким образом, при проведении исследования математических моделей потоков были поставлены следующие задачи:

1) построение математических моделей потоков в сетях связи, управляемых протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте;

2) применение численных, аналитических методов и методов имитационного моделирования исследования потоков марковских сетей связи с использованием аппарата теории вероятностей и теории массового обслуживания;

3) построение оценок параметра Л входящего потока и нормированного асимптотического среднего значения 6 числа заявок находящихся в ИПВ по результатам наблюдений за выходящими потоками сети связи;

4) доказательство независимости распределения вероятностей состояния системы, вида распределения и параметров распределения вероятностей выходящего потока от вида распределения длительности задержки заявки в ИПВ перед повторным обращением на обслуживающий прибор:

5) исследование влияния явления бистабильности сети на структуру потока.

Методика исследований. Исследование математических моделей потоков в сетях связи случайного множественного доступа проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории статистического анализа, асимптотического анализа марковизируемых систем.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. Определяя случайный поток однородных событий как случайный процесс изменения числа событий, наступивших за время t, получены следующие результаты:

1) показано, что выходящие потоки в марковских моделях сетей связи являются компонентами многомерных марковских процессов;

2) впервые предложен метод асимтотического анализа потоков в сетях связи случайного множественного доступа;

3) показана асимптотическая нормальность исследуемых потоков в моделях:

сети связи, управляемой динамическим протоколом случайного множественного доступа; (Ь) сети связи с конечным и бесконечным числом станций, управляемой статическим протоколом случайного множественного доступа;

4) доказана асимптотическая нормальность двумерного выходящего потока сети связи с конечным числом станций, найдена в явном виде матрица ковариаций данного потока;

5) показано существование явления бистабильности в потоках сетей связи, управляемых статическим протоколом случайного множественного доступа для конечного числа абонентских станций;

6) получены оценки параметров сети по наблюдениям за выходящими потоками, доказана их асимптотическая несмещенность и состоятел ьность.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что проведено аналитическое и численное исследование математических моделей потоков сетей связи случайного множественного доступа с конечным и бесконечным числом абонентских станций, с оповещением о конфликте. На основе полученных данных построены оценки параметров сети связи по наблюдениям за выходящими' потоками. Обоснована корректность математического аппарата статистического анализа оценок параметров сети связи по наблюдениям за выходящими потоками. Показана непротиворечивость полученых данных гипотезе об инвариантности распределения вероятностей состояния системы, вида распределения и параметров распределения вероятностей выходящего потока к виду распределения длительности задержки заявки в ИПВ в условиях большой задержки.

Практическая ценность работы состоит в том, что результаты, полученные в работе, могут быть применены для анализа реальных сетей связи, определения состояния и параметров данных сетей по наблюдениям за выходящими потоками, а также при проектировании новых сетей.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались:

1) на Всероссийской конференции "Новые технологии и комплексные решения: наука, образование и производство", (г. Анжеро-Судженск, 2001

г-);

2) на IV Всероссийской конференции "Новые информационные технологии в исследовании сложных стуктур"(г. Томск. 2002 г.);

3) на Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование" (г. Анжеро-Судженск, 2002

г.);

4) на международной научной конференции "Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей", (г. Минск, 2003 г.);

5) на научных семинарах кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета 2001-2004 гг.

Публикации. По материалам данной работы опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 126 наименований. Объем диссертации составляет 141 страниц, в том числе: основной текст -129 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, изложена цель исследования, научная новизна, теоретическая и практическая ценность результатов, методика исследования, сделан обзор литературы.

В первой главе исследуются потоки успешно обслуженных заявок — п(£) и заявок, выходящих из ИПВ — сети связи,

управляемой динамическим протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте.

В разделе 1.1 доказывается асимптотическая, при -- длина

интервала наблюдения), нормальность потока п({) успешно обслуженных заявок, находятся параметры-распределения.

В качестве математической модели сети связи, управляемой динамическим протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, предлагается однолинейная СМО, обслуживающий прибор которой может находиться в одном из трех состояний: к — 0, если он свободен; к — 1, когда он занят обслуживанием заявки: к — 2, когда в сети реализуется этап оповещения о конфликте. Заявка, заставшая в момент поступления прибор свободным, начинает немедленно обслуживаться. Если за время обслуживания другие требования не поступали, то исходная заявка по завершении обслуживания покидает систему, попадая в выходящий поток п(Х) успешно обслуженных заявок Если во время обслуживания одной заявки поступает другая, то они вступают в конфликт. От этого момента начинается этап оповещения о конфликте. Заявки, попавшие в конфликт, а также поступившие на интервале оповещения о конфликте, переходят в источник повторных вызовов(ИПВ), из которого вновь обращаются к прибору с попыткой повторного обслуживания.

Число заявок в ИПВ обозначим I. Повторное обращение происходит после случайной задержки, продолжительность которой случайная и характеризуется тем, что вероятность окончания задержки за бесконечно малый интервал ¿ +с о с т а в— Д£ 4- о(Д^.Д е м считать, что

г .

на вход системы поступает простейший поток с параметром Время обслуживания заявки, имеет экспоненциальное распределение с параметром ц.. Длины интервалов оповещения о конфликте, также имеют экспоненциальное распределение с параметром

Для исследования математической модели выходящего потока сети связи введем вероятности Рк(1,П,1) ~ Р(к(1) — к,1{£) = г,п(4) ~ п). Автором показано, что удовлетворяют следующей системе дифференциально-

разностных уравнений:

Исследование данной системы проводится методом асимптотического анализа в условиях длительного времени наблюдения за системой (Г —* оо), для чего выполняется замена вида:

Здесь х(т) имеет смысл асимптотического среднего значения нормированного числа успешно обслуженных заявок за время т — t52.

В диссертации доказана следующая теорема:

Теорема 1.1 Асимптотическое среднее х(т) числа успешно обслуженных заявок имеет вид

Распределение F(y, т), величины отклонения нормированного числа успешно обслуженных заявок за время т от асимптотичекского среднего, удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка вида

дт

ду2

L константа, вид которой приведен в тексте диссертации.

Данная теорема применяется для доказательства асимптотической нормальности выходящего потока успешно обслуженных заявок — n(t). Поскольку нормированным решением уравнения Фоккера-Планка является плотность нормального распределения с нулевым средним и дисперсией равной 2Lr, то переходя к n(i). на основе выполненой замены и вида-х(г) можно сделать вывод, что выходящий поток успешно обслуженных заявок имеет нормальное распределение с параметрами

n(t) ~ N{Xt,2Lt).

Более того, можно сформулировать и доказать следующее утверждение

n<Tf\ ^

Следствие 1.1.1 П р о——— — х(т) + —г=у(т) m с я

Т yjT

диффузионным процессом арифметического броуновского движения.

В разделе 1.2 доказывается асимптотическая, при Т —¥ ос, нормальность потока .s(i) заявок, выходящих из ИПВ. Находятся параметры этого распределения.

Аналогично результатам раздела 1.1 показано, что при Т оо имеет место асимптотическая эквивалентность

где <2, Яа(0) ~ константы, вид которых приведен в диссертации. Сформулировано и доказано следующее утверждение:

л(тТ) , . 1

Следствие 1.2.1 Процесс

= Ф) т ^v(r)

является

диффузионным процессом арифметического броуновского движения.

Во второй главе исследуются потоки успешно обслуженных заявок /г(£), сигналов оповещенея о конфликте - s(t), двумерного потока успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте -{n(i),s(i)} сети связи с конечным чистом абонентских станций, управляемой статическим протоколом. Рассматривается, возникающее в потоках, явление бистабильности, определяется время стабильного функционирования.

В разделе 2.1 доказывается асимптотическая, при Т ос, нормальность потока n(t) успешно обслуженных заявок. В асимптотике, при находятся в явном виде параметры распределения.

В качестве математической модели сети связи с конечным числом абонентских станций, управляемой статическим протоколом случайного множественного доступа, предлагается однолинейная СМ О с N внешними источниками заявок(АС абонентскими станциями) и ИПВ. Отличие рассматриваемой СМО от модели первой главы заключается в том, что повторное обращение происходит после случайной задержки, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром —. Будем считать, что обращение каждой АС к серверу происходит через случайный интервал времени, распределенный по экспоненциальному закону с одинаковым для всех станций параметром

Введя вероятности аналогично разделу 1.1, показано, что

данные вероятности удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений:

Исследование проводится методом асимптотического анализа в условиях длительного времени наблюдения за системой (Т —»• оо), для чего выполняется замена вида:

1

1.

- б2,ts ~ т,nS2 - х{т) + Syh-гPk(i,п,t) = Ft(t,уит,6).

В диссертации доказана следующая теорема:

Теорема 2.1 Асимптотическое среднее х(т) числа успешно обслуженных ЗАЯВОК имеет вид

Распределение Р{у\,т\ величины отклонения нормированного числа, успешно обслуженных заявок за время т от асимптотического среднего, удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка вида

где .Рк ~ Р^), а. -Р^(г) определяются как решение системы

Данная система с учетом краевых условий при I = 0,1,2, N — и условия нормировки, решается численно для любых N.

определены как

решение системы

которая также решается численно для любых N.

Данная теорема используется для доказательства асимптотической нормальности выходящего потока п({) успешно обслуженных заявок, так как нормированным решением уравнения Фоккера-Планка является плотность нормального распределения с нулевым средним и дисперсией

1,

Таким образом, переходя к п(() получаем, что

Более того, на основании результатов, полученных в ходе доказательства теоремы 2Л, сформулировано утверждение:

Следствие 2.1.1 В асимптотике, прЩ —> оо,Т —» ос,

п(Ь) ~ N (¡лЯ^, 2I.it),

где

Як определены следующим образом

щ Ы + С) 0 щв

Яа —

Д -2 '

с2

Ф + ^щв+щц' + +1X111 - +

где а величина имеет смысл асимптотического среднего

нормированного числа заявок, находящихся в ИПВ. Величина Ь определяется решением G уравнения

В общем случае данное уравнение имеет три корня. Анализ уравнения показал, что значения определяют стабильные состояния, а

так называемое квазистабильное состояние, при условии, что все три корня вещественны и (?1 < £?2 < Сз- В этом случае система и выходящий поток в целом бистабильны, причем можно отметить, что состояние, определяемое значением £?з, является "плохим"состоянием, т.к. производительность сети в этом состоянии существенно меньше производительности в состоянии, определяемом величиной G\ В случае, когда вещественный корень один -система моностабильна, однако и в этом случае стабильное состояние может оказаться "плохим"и система будет функционировать неэффективно.

Также, аналогично предыдущим разделам, показано, что

п(тТ)

Следствие 2.1.2 Процесс

— л:(т) + —^¿¡/1(7") является

диффузионным процессом арифметического броуновского движения.

В разделе 2.2 доказывается асимптотическая, при Т —> оо, нормальность потока сигналов оповещения о конфликте, в асимптотике, при находятся в явном виде параметры распределения.

Сформулированы следующие результаты: в асимптотике, при Т —у оо, N->00

где

ю

Также сформулировано и доказано следующее утверждение

Следствие 2.2.2 Процесс ^ ^ — х(т) 4- —^у%{т) является

диффузионным процессом арифметического броуновского движения.

В разделе 2.3 доказывается асимптотическая, при Т ос, нормальность двумерного потока .■>(?)} успешно обслуженных заявок и сигналов

оповещения о конфликте, в асимптотике, при N со, находятся в явном виде параметры распределения

Сформулированы следующие результаты: в асимптотике, при Т ос. N ос двумерный выходящий поток успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте имеет нормальное распределение со средними равными

и матрицей ковариаций вида

где определены выше.

Однако, по прежнему неясной остается структура бистабильности сети, в частности, время пребывания в окрестности каждого из стабильных состояний, поэтому раздел 2.4 посвящен более подробному изучению эффекта бистабильности в рассматриваемой СМО

Для исследования математической модели сети связи с конечным числом абонентских станций введем вероятности В

диссертации показано, что вероятности удовлетворяют следующей

системе дифференциально-разностных уравнений:

Исследование данной системы проводится методом асимптотического анализа в условиях большого числа абонентских станций для чего

выполняется замена вида:

1

Л

2 Л <7

N ¡X ¡л

■ 7, — - «е2 = т,к2 = 6(г) + -у,-Рк{г,- П*(у,т,г). ц а £

Здесь 6(г) имеет смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок, находящихся в ИПВ в момент времени 7— (<52. Вид 6(т) мы определим ниже.

В диссертации доказана следующая теорема

Теорема 2.4 Распределение вероят ноетеА Як состояний обслуживающего прибора имеет вид

С +1 С „ ав2

Но ■

г, Я,

Г, #2 -

аС2 + 2С + Г"' о(?2 + 2С+Г

асимптотическое среднее 6(т) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

а распределение П(у, г) величины отклонения нормированного числа, заявок, находящихся в ИПВ в момент времени т от асимптотического среднего, удовлетворяет уравнению Фокксра-Планка вида

где в-р( 1 - Ь{т)) + ->Ь(г), а Л', =

Здесь П(у, г) является плотностью распределения вероятностей значений диффузионного процесса у(т). который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

коэффициент переноса процесса у (г)

2Д, , — Д;

й в

коэффициент диффузии этого процесса

Определяя диффузионный случайный процесс 2(Т) следующим образом'

получим, что процесс г(т) однозначно определяет нормированное число £2г(т)

2 ! \ г(т) ~ Р

заявок в ИПВ, так как £ 1(т) ~ ■

Далее, для

процесса дифференциальное уравнение

записывается

йг{т) А{г)6л +гВ(г)сЬ(т),

стохастическое

Используя полеченное стохастическое дифференциальное уравнение для процесса г(т), найтена статическая тотность распределения вероятностей Н{£) "значений этого процесса

где С константа приведенная в диссертации

Отметим, что функция А(г) на интервале \р, 7] ЯРЛЯРТСЯ знакопеременной A(z) > 0 при z € \р <?i), A(z) < 0 при г € (Сь Со), А{г) > 0 при г € (С>,С3) A(z) < 0 при z € (С3,7] 0 06f

10 20 г 30 40 50 60

Рис 1 П тотность распределения вероятностей Н[г) значений процесса г(^)

Таким образом, определена основная вероятностная характеристика рассматриваемой бистабильной сети связи Отметим, что плотность является двумодальной, где моды определяют точки стабилизации сети Двумодальноаь объясняется знакопеременностью функции А(г) на интервале Используя распределение нетрудно найти и

другие вероятностные характеристики бистабильной сети случайного доступа, такие как вероятности пребывания в окрестности первой и второй точки стабилизации, условные средние значения процесса при \словии пребывания в окрестности одной из точек стабилизации, и другие характеристики

Будем говорить, что сеть функционирует устойчиво, если процесс изменения состояний ее математической модели остается в некоторой

окрестности постоянного асимптотического среднего, являющегося устойчивой точкой покоя дифференциального уравнения. Проведем исследование времени устойчивого функционирования рассматриваемой сети связи. Обозначим Т(т) -длину интервала от момента г до момента достижения процессом г(т) значения Со. Данная величина необходима для определения времени пребывания в окрестности каждого из двух стабильных состояний процесса г(т). Как было сказано выше, состояния, определяемые величинами О] и Gi, являются стабильными состояниями процесса z{r), состояние, определяемое величиной О^ является квазистабильным состоянием. Момент перехода из окрестности одного стабильного состояния в окрестность другого определяется достижением процессом значения

Введя обозначение можно сформулировать и

доказать следующую теорему.

Теорема 2.5 Время устойчивого функционирования бистнбильной сети случайного доступа, определяется равенствами

где <?1, Сто; Сз являются корнями /ур^не^^япричем < С?2 < Сз-

КАК ВИДНО ИЗ данных формул, время пребывания в окрестности стабильного состояния стремится к при Данный результат

позволяет нам строить оценки парметров сети связи по наблюдениям за выходящими потоками не опасаясь того, что момент перехода сети связи из одного стабильного состояния в другое придется на интервал наблюдения.

В третьей главе рассмотрены оценки интенсивности входящего потока по наблюдениям за выходящим потоком успешно обслуженных заявок в сетях связи, управляемых динамическим протоколом случайного множественного доступа, параметра Ь - асимптотического среднего

Л

нормированного числа заявок, находящихся в ИПВ и интенсивности обращения каждой из N абонентских станций к обслуживающему прибору по наблюдениям за двумерным выходящим потоком успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте в бистабильных сетях связи случайного множественного доступа с конечным числом абонентских станций.

В разделе 3.1 рассмотрены оценка интенсивности входящего потока А вида

Доказана следующая теорема.

Теорема 3,1 Оценка, является несмещенной и состоятельной для параметраХ.

В разде-ч 3 2 рас< молр< ны оценки параметра b и интенсивности — вида п°(Т, <,{Т) пг(Т)

^ ° rj-П ß rj~

X~~Mf) s(T) v>(T) Ь~ MT)

~--ß—^---a rr-

T T T2 T

Сфо1зм\тирована и доказана < ieaviouxaa теорема Теорема 3 2 Оценки являются несмещенными и состоя-гельпыми ля плрачегрор А и b соответгтьенно

В четвертой главе исследована математическая чодечь выходящего готокя заярок m ИПВ сети связи с протоколом случайною множественного достчпа с оповещением о конфликте Кроме того реалпована программа имитационного моделирования ргссматриваемой сети связи с помощью которой »далось показать непротиворечивость полученых данных гипотезе об инвариантности распределим вероятностей состояний канала и ветчины интенсивности выводящего потока заявок из ИПВ к в \д\ распределения длительности задержки заявки перел, повторным обращением из ИПВ на обсаживающий прибор дня математи iecKoR моден! рассматриваемой сети сл\ чайного доступа

В разделе 4 1 доказывается чю число заявок вышедших из ИПВ за время t — Тт в асимптотике при Т тс иод шняется нормальному закону Найдены в явном виде параметры распределения в асимпютике при а -» О С формл тированы следующие результаты r асимптотике при Т оо, (7 —> G поток заявок выходящих из ИПВ имеет нормальное распре телет е со следующими параметрами

n(t) - М (bt bt),

где Ь найпепо в явном виде

_ -2Ад1 - - у/(2Ад! - доО2 -4А2щ^ ^ 2А

В разделе 4 2 приводится отание программы, с помощью которой проводится имитационное моделирование Про1рамма позволяет по аучить чис ленные характеристики для рассматриваемой модели сети связи такие как распределение вероятностей состояний канала и интенсивность потока заявок выходящих из ИПВ Рез\льтааы работы программы приведены в виде таблиц и графиков Полеченные результаты позволяют говорить о непротиворечивости полутеных данных гипотезе об инвариантности распределения вероятностей состояний канала и интенсивности выходящего потока заярок из ИПВ к вид> распределения длительности задержки заявки перед повторным обращениеу из ИПВ на обслуживающий грибор для мате\'ати теской люде иг рассматриваемой сети слу чайного доступа

1э

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТА1||»| £ £ ^ 8

1. Колоусов Д. В., Назаров А. А. Дважды стохастический поток, управляемый марковским процессом с дискретным множеством состояний// Материалы Всероссийской конференции "Новые технологии и комплексные решения: наука, образование и производство", г. Анжеро Судженск 2001 г. Часп ь II (математика). КсмГУ, 2001. С. 33-37.

2. Колоусов Д.В.. Назаров А. А. Исследование выходящего потока локальной вычислительной сети с протоколом случайного доступа ,. / Вестник ТГУ, 2002. - №275. - С. 193-194.

3. КолоусовД.В... Назаров А.А. Исследование выходящего потока локальной вычислительной сети с протоколом случайного доступа // Вестник ТГУ.. 2002. Приложение 1. Материалы IV Всероссийской конференции "Новые информационные технологии в исследовании сложных стуктур— С. 68-72.

4. Колоусов Д.В., Назаров А.А. Исследование выходящего потока сети случайного доступа с конечным числом станций // Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование". 15 ноября 2002 г., г. Анжеро-Судженск. Томск: "Твсрдыня"2002. С 173-374.

о. Колоусов Д.В. Исследование потока заявок, отправленных в источник повторных вызовов сети связи случайного доступа с конечным числом станций // Обработка данных и управление в сложных системах. — Вып.5 - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. - С. 57-66.

6. Колоусов Д.В:, Назаров А.А. Исследование двумерного выходящего потока сети связи случайного доступа с конечным числом станций // Вестник ТГУ, 2003. - №280. - С. 217-221.

7. Колоусов Д.В., Назаров А.А. Оценки параметров сети случайного доступа с конечным числом станций по наблюдениям, за двумерным выходящим потоком // Материалы международной научной конференции "Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей". — Минск: БГУ, 2003. — С. 139-143.

Введение

1 Исследование выходящих потоков в сетях связи, управляемых динамическим протоколом случайного множественного доступа

1.1 Исследование выходящего потока успешно обслуженных заявок в сетях связи, управляемых динамическим протоколом случайного множественного доступа.

1.1.1 Математическая модель выходящего потока

1.1.2 Вывод системы уравнений.

1.1.3 , Исследование математической модели выходящего потока

1.2 Исследование потока заявок, выходящего из ИПВ, в сетях связи, управляемых динамическим протоколом случайного множественного доступа.

1.2.1 Математическая модель потока заявок, выходящего из ИПВ.

1.2.2 Вывод системы уравнений.

1.2.3 Исследование математической модели потока заявок, вышедших из ИПВ.

1.3 Резюме.

2 Исследование выходящих потоков в бистабильных сетях связи случайного множественного доступа с конечным числом абонентских станций

2.1 Исследование выходящего потока успешно обслуженных заявок в бистабильных сетях связи случайного множественного доступа с конечным числом абонентских станций

2.1.1 Математическая модель выходящего потока

2.1.2 Вывод системы.

2.1.3 Исследование математической модели выходящего потока

2.2 Исследование выходящего потока сигналов оповещения о конфликте в бистабильных сетях связи случайного множественного доступа с конечным числом абонентских станций.

2.2.1 Математическая модель потока сигналов оповещения о конфликте.

2.2.2 Вывод системы.

2.2.3 Исследование математической модели выходящего потока

2.3 Исследование двумерного выходящего потока успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте в бистабильных сетях связи случайного множественного доступа с конечным числом абонентских станций

2.3.1 Математическая модель выходящего потока

2.3.2 Вывод системы.

2.3.3 Исследование математической модели двумерного потока

2.4 Исследование вероятностно—временных характеристик бистабильных сетей связи случайного множественного доступа с конечным числом абонентских станций.*.

2.4.1 Математическая модель сети связи.

2.4.2 Вывод системы.

2.4.3 Исследование математической модели сети связи.

2.4.4 Время устойчивого функционирования

2.5 Резюме.

Построение оценок внесистемных параметров сети связи по наблюдениям за выходящими потоками

3.1 Оценка интенсивности входящего потока заявок сети связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, по наблюдениям за выходящим потоком успешно обслуженных заявок

3.2 Оценки параметров сети связи в бистабильных сетях случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, по наблюдениям за выходящим потоком успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте.

3.3 Резюме.

Сравнительный анализ математического и имитационного моделирования выходящего потока заявок из ИПВ, при различных функциях распределения времени задержки заявки перед повторным обращением на обслуживающий прибор

4.1 Исследование выходящего потока заявок из ИПВ, при экспоненциальном распределении времени задержки перед повторным обращением.

4.1.1 Математическая модель потока заявок, выходящего из ИПВ.

4.1.2 Вывод системы уравнений.

4.1.3 Исследование математической модели потока заявок, вышедших из ИПВ.

4.2 Имитационное моделирование выходящего потока заявок из ИПВ, при различных функциях распределения времени задержки заявки перед повторным обращением на

• обслуживающий прибор.

4.3 Резюме.

Актуальность работы. В последние полтора десятилетия идет активное развитие сетей связи случайного множественною доступа, обусловленное повышенной потребностью в высоскоростных каналах передачи данных. Данный процесс связан с продолжающимся технологическим развитием и повышением темпов жизни. Развитие и повсеместное внедрение сети Internet также влияет на потребность в высокоскоростных каналах, обеспечивающих передачу больших объемов информации за максимально короткое время. В связи с этим становится важной задача модернизации существующих систем связи. При оптимизации сетей связи наиболее действенным инструментом является использование математического моделирования. Конечно, для анализа существующих сетей связи возможно изпользование различных анализаторов протоколов, которые позволяют получить некоторые вероятностно-временные характериспжи сети связи, однако, данные анализаторы никоим образом не смогу i объяснить природу того или иного наблюдаемого события. В данных случаях необходимо использовать средства моделирования, с помощью которых, по результатам наблюдения за выходящими потоками, и проводится всесторонний анализ сетей связи. В настоящее время для моделирования и анализа сетей связи наиболее широко применяются протоколы случайного множественного доступа. Очевидно, что тема работы по исследованию математических моделей выходящих потоков сетей связи с протоколами случайного множественного доступа является актуальной на сегодняшний день.

Цель работы. Целью работы является исследование математических моделей потоков в сетях связи управляемых протоколами случайного множественного доступа с оповещением о конфликте. Знание распределения вероятностей состояния системы, вида распределения и параметров распределения вероятностей выходящего потока позволяет находить, оценивать и анализировать параметры входящего потока и эффективность работы существующей сети связи.

Очевидно, что возникает вопрос, что мы понимаем под потоком? Под потоком мы понимаем случайный поток однородных событий, который может задаваться одним из трех способов:

1. ¿! < ¿2 < ¿з < • • • -временем наступления событий,

2. Ti,T2,T3,. - длинами интервалов между моментами наступления событий,

3. n(t) - числом событий, наступивших за время t.

В данной работе используется третий способ задания потоков.

Таким образом, при проведении исследования математических моделей потоков, были поставлены следующие задачи:

1. построение математических моделей потоков в сетях связи с протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте;

2. применение численных, аналитических методов и методов имитационного моделирования исследования потоков марковских сетей связи с использованием аппарата теории вероятностей и теории массового обслуживания;

3. построение оценок параметра Л входящего потока и нормированного асимптотического среднего значения 6 числа заявок находящихся в ИПВ по результатам наблюдений за выходящими потоками сети связи;

4. доказательство независимости распределения вероятностей состояния системы, вида распределения и параметров распределения вероятностей выходящего потока от вида распределения длительности задержки заявки в ИПВ, перед повторным обращением на обслуживающий прибор;

5. исследование влияния явления бистабильности сети на структуру потока.

Методика исследовании. Исследование математических моделей потоков в сетях связи случайного множественного доступа проводилось с использованием аппарата теории вероятностей, теории случайных процессов, теории массового обслуживания, теории статистического анализа, асимптотического анализа марковизируемых систем. Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. Определяя случайный поток однородных событий как случайный процесс изменения числа событий, наступивших за время получены следующие результаты:

1. показано, что выходящие потоки в математических моделях сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, для конечного и бесконечного числа абонентских станций являются компонентами многомерных марковских процессов;

2. предложен метод асимтотического анализа потоков в сетях связи случайного множественного доступа;

3. показана асимптотическая нормальность исследуемых потоков в моделях: a) сети связи, управляемой динамическим протоколом случайного множественного доступа; b) сети связи с конечным и бесконечным числом станций, управляемой статическим протоколом случайного множественного доступа;

4. доказана асимптотическая нормальность двумерного выходящего потока сети связи с конечным числом станций, управляемой статическим протоколом случайного множественного доступа, найдена в явном виде матрица ковариаций данного потока;

5. показано существование явления бистабильности в потоках сетей связи со статическим протоколом случайного множественного доступа для конечного числа абонентских станций;

6. получены оценки параметров сети но наблюдениям за выходящими потоками, доказана их асимптотическая несмещенность и состоятельность.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что проведено аналитическое и численное исследование математических моделей потоков сетей связи случайного множественного доступа с конечным и бесконечным числом абонентских станций, с оповещением о конфликте, для марковского случая. На основе полученных данных построены оценки параметров сети связи по наблюдениям за выходящими потоками. Не опровергнут гипотеза независимости распределения вероятностей состояния системы, вида распределения и параметров распределения вероятностей выходящего потока от вида распределения длительности задержки заявки в ИПВ перед повторным обращением на обслуживающий прибор. Обоснована корректность математического аппарата статистического анализа оценок параметров сети связи по наблюдениям за потоками.

Практическая ценность работы состоит в том, что результаты, полученные в работе, могут быть применены для анализа реальных сетей связи, определения состояния и параметров данных сетей по наблюдениям за выходящими потоками.

Публикации. По материалам данной работы опубликовано 7 работ:

1. Колоусов Д.В., Назаров А.А. Дважды стохастический поток, управляемый марковским процессом с дискретным множеством состояний// Материалы Всероссийской конференции "Новые технологии и комплексные решения: наука, образование и производство", г. Анжеро-Судженск 2001г. Часть II (математика), - КемГУ, 2001. - С.33-37.

2. Колоусов Д.В., Назаров A.A. Исследование выходящего потока локальной вычислительной сети с протоколом случайного доступа// Вестник ТГУ 2002. - №275. - С.193-194.

3. Колоусов Д.В., Назаров A.A. Исследование выходящего потока локальной вычислительной сети с протоколом случайного доступа// Вестник ТГУ 2002. Приложение 1. Материалы IV Всероссийской конференции "Новые информационные технологии в исследовании сложных стуктур— С.68-72.

4. Колоусов Д.В., Назаров A.A. Исследование выходящего потока сети случайного доступа с конечным числом станций// Материалы Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование", 15 ноября 2002г., г. Анжеро-Судженск. - Томск: "Твердыня"2002. — 368с. С.173-174.

5. Колоусов Д.В. Исследование потока заявок, отправленных в источник повторных вызовов сети связи случайного доступа с конечным числом станций// Обработка данных и управление в сложных системах. — Вып.5. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. - 238с. С.57-66.

6. Колоусов Д.В., Назаров A.A. Исследование двумерного выходящего потока сети связи случайного доступа с конечным числом станций// Вестник ТГУ 2003. - №280. - С.217-221.

7. Колоусов Д.В., Назаров A.A. Оценки параметров сети случайного доступа с конечным числом станций по наблюдениям за двумерным выходящим потоком// Материалы международной научной конференции "Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей". — Минск: БГУ, 2003. - С.139-143.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались:

1. на Всероссийской конференции "Новые технологии и комплексные решения: наука, образование и производство", (г. Анжеро-Судженск, 2001г.);

2. на IV Всероссийской конференции "Новые информационные технологии в исследовании сложных стуктур"(г. Томск, 2002г.);

3. на Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и математическое моделирование"(г. Анжеро-Судженск, 2002г.);

4. на международной научной конференции "Современные математические методы анализа и оптимизации телекоммуникационных сетей", (г. Минск, 2003г.);

5. на научных семинарах кафедры теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной ¿математики и кибернетики Томского государственного университета 2001-2004гг.

Обзор литературы. Моделирование является одним из основных методов научного познания, при котором исследуемый объект заменяется другим объектом, называемым моделью, которая, в свою очередь представляет собой совокупность связей, определяющих процесс изменения состояний системы в зависимости от ее параметров, начальных условий и времени. Методы математического моделирования удобно использовать для изучения тенденций поведения системы при определенных условиях [3, 7, 18, 37], они позволяют эффективно исследовать достаточно сложные реальные системы, такие, как сети связи, управляемые протоколами случайного множественного доступа [11]. Такой подход реализован в работах [61, 62] для исследования компьютерных оптоволоконных сетей связи, реализованных на топологии двойной шины с протоколом распределенной очереди (DQDB - distributed queue dual bus - распределенная очередь к двойной шине), в рабспах [63, 66, 101,102] для исследования сетей случайного доступа с динамическими протоколами. Аналогично определены математические модели и проведено их исследование в работах [42, 45, 58, 51, 120], где рассмотрены сети, управляемые адаптивными протоколами и в работах [56, 73, 74, 75], где рассмотрены /¿-настойчивые протоколы. В этих работах определены математические модели рассматриваемых сетей случайного доступа в виде однолинейных марковских либо немарковских систем массового обслуживания [29] с повторными требованиями, к исследованию которых применяются различные варианты метода асимптотического анализа [52].

Также математическое моделирование используется при оптимизации и проектировании сетей передачи данных [32], позволяет получа!ь количественные оценки для сетей, находящихся в стадии проектирования [100], с его помощью разрабатываются модели [8, 59], воссоздающие информационные процессы, протекающие в сетях.

Одной из проблем , возникающих в сетях связи, является потеря данных вследствие нестабильного функционирования сети. Исследованию проблемы нестабильного функционирования сети связи посвящены работы [40, 48, 93, 98]. Динамические [64, 65], адаптивные [43, 44] и h-настойчивые [57, 68, 72] протоколы позволяют стабилизировать функционирование сети связи.

Для описания процессов, протекающих в сетях связи, обычно используются модели теории массового обслуживания в виде систем массового обслуживания, исследованию которых посвящено достаточно большое количество научных трудов [33, 50, 83, 84, 87, 88, 115]. Аппарат теории массового обслуживания дает исследователям возможность строить адекватные модели сетей связи и проводить аналитические исследования их функционирования [60, 94], для чего используются различные методы исследований [2, 12, 22, 52, 124].

В работах Ивановой О.В. [27], Юревич Н.М. [67, 69, 70], Одышева Ю.Д. [76, 77, 78], Цыбакова Б.С. [99] исследуются вероятностно-временные характеристики сетей связи с протоколом случайного множественного доступа Алоха, рассматривается возникающий в подобных сетях эффект бистабилыюсти [54], предлагаются пути стабилизации состояний сети [55]. Свойство бистабильности возникает в так называемых дважды стохастических потоках [13, 20] или случайных потоках однородных событий, управляемых стохастическими процессами. Такие потоки в диссертации названы бистабильными.

Знание распределения вероятностей состояний исследуемой сети, ее вероятностно-временных характеристик, дает возможность прогнозировать и контролировать процессы, протекающие в сетях [6, 9, 30]. Так, в работах Фалина Г.И. [108, 109, 110, 111, 112], Степанова С.Н. [85, 121, 122, 123], Клименок В.И. [116], Назарова А.А. [53, 63], Хомичкова И.И. [98, 114] проводится анализ систем массового обслуживания с повторными вызовами, которые служат адекватными моделями одноканальных сетей связи с протоколами случайного множественного доступа. Также широко известными системами массового обслуживания являются системы с потерями, с ожиданием , а также комбинированный класс — системы с ограниченным числом мест для ожидания [34, 89, 91].

Примерами протоколов случайного множественного доступа являются ALOHA [103], CSMA/CD [118], CSMA/CD(C) [36, 105, 117] и TCP [1, 21, 79, 90], входящий в стек протоколов TCP/IP.

За время, прошедшее с появления первых локальных сетей, было разработано множество самых разных сетевых технологий, однако заметное распостранение получили всего несколько из них. Прежде всего, это связано с поддержкой технологий известными фирмами и с высоким уровнем стандартизации принципов их организации. Наибольшее распостранение среди стандартных сетей получила сеть Ethernet. Сеть Ethernet стала международным стандартом (IEEE 802.3) и она является наиболее популярной в мире [97]. Стандарт определяет множественный доступ к моноканалу типа "шина"с обнаружением конфликтов и контролем передачи, то есть с методом доступа CSMA/CD [95, 96].

Также, большое внимание уделяется протоколу DQDB, принятому в качестве стандарта IEEE 802.6 для городских сетей связи [82, 119]. В соответствии с IEEE 802.6 стандарт DQDB может быть использован для построения частных, базирующихся на волоконно-оптических носителях сетей MAN.

В современных телекоммуникационных сетях потоки часто имеют существенно не пуассоновский характер. Они могут быть коррелироваными и обладать "взрывным"трафиком, при котором интенсивность поступления вызовов может существенно колебаться в течении суток, а также существует вероятность поступления группы вызовов сколь угодно большого размера. Хорошие модели таких потоков - марковские потоки с групповыми поступлениями, или ВМАР - потоки (Batch Markovian Arrival Process) [35, 107]. Более подробное описание ВМАР - потока, его свойств и известных ранее случаев в [24].

В последние годы беспроводные сети передачи данных становятся одным из основных направлений развития сетевой индустрии. Успех беспроводных сетей во многом связан с разработкой сетевых программных продуктов, обеспечивающих множественный доступ к беспроводной среде, и наличием соответствующих стандартов. Один из таких международных стандартов -это протокол IEEE 802.11 [14,126], обеспечивающий детальные спецификации уровней MAC и PHY для беспроводных локальных сетей. В протоколе IEEE 802.11 фундаментальным механизмом доступа к беспроводной среде является Функция Распределенной Координации (DCF), реализующая метод CSMA/CD.

Несмотря на большое количество работ, посвященных системам массового обслуживания (СМО), остается еще много проблем, требующих дополнительных исследований. Подавляющее число авторов рассматривает ситуации, когда все параметры, характеризующие СМО, точно извесшы. Однако, в реальности дело, как правило, обстоит иначе. Если в отношении параметров, характеризующих обслуживающий прибор, можно сказать, что они известны и не меняются со временем, то в отношении интенсивности входящего потока такого сказать нельзя.

Таким образом, для СМО, функционирующей в условиях частичной априорной неопределенности, важной задачей является оценка тех или иных параметров входящих потоков заявок. В научной литературе данные потоки исследуются с двух точек зрения: построения оценок состояний и параметров ненаблюдаемой интенсивности потока [10, 15, 19, 31, 38, 71, 86, 92, 125] и анализа процессов функционирования СМО с такого рода входящими потоками [23, 25, 39, 49, 80, 81, 106, 113].Анализ СМО можег производиться, в частности, по наблюдениям за выходящими потоками систем массового обслуживания, так как но наблюдениям за такими потоками удается диагностировать состояние сети, а также оценивать ее некоторые параметры, такие как загрузка сети, ее производительность или пропускная способность и т.д. Можно отметить несколько работ, в которых проводится исследование выходящих потоков систем массового обслуживания. Это работы A.M. Александрова [4, 5], Е.В. Глуховой [16, 17], В.А. Ивницкого [28j, Р.В. Амбарцумяна [104] и некоторых других.

Отметим, что своевременное обнаружение и устранение аварийных ситуаций в функционировании современной сети связи невозможно без применения современных методов оценки состояния сети, поэтому вопросы оценки текущего состояния сети, параметров ее функционирования, являются одной из основных целей научных исследований и технических разработок.

Заключение

В данной работе исследованы модели потоков в сетях связи с протоколами случайного множественного доступа для конечного и бесконечного числа станций. Построены оценки для интенсивностей входящих потоков, доказана несмещенность и состоятельность оценок. Кроме того, не опровергнута гипотеза об инвариантности распределения вероятностей состояния системы, вида распределения и параметров распределения вероятностей выходящею потока к виду распределения длительности задержки заявки в ИПВ перед повторным обращением на обслуживающий прибор.

В Главе 1 исследована математическая модель выходящих потоков успешно обслуженных заявок и заявок, выходящих из ИПВ, сети связи с динамическим протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, в случае бесконечного числа станций. Длительность интервала оповещения о конфликте и время передачи сообщения распределены по экспоненциальному закону. Доказано, чю число успешно обслуженных заявок п(£) за время в асимптотике, при Т —У оо, подчиняется нормальному закону. Найдены в явном виде параметры распределения числа успешно обслуженных заявок, а также параметры распределения вероятностей состояний системы. Доказано, что процесс является диффузионным процессом арифметическо1 о броуновского движения. Показана применимость полученных результатов в вопросе получения оценки интенсивности входящего потока заявок, по наблюдениям за выходящим потоком успешно обслуженных заявок. Кроме того, доказано, что число заявок, вышедших из ИПВ з[Ь) с обращениями на повторное обслуживание за время £, в асимптотике, при Т —> оо, подчиняется нормальному закону. Найдены в явном тт виде параметры распределения. Доказано, что процесс является диффузионным процессом арифметического броуновского движения.

В Главе 2 исследованы математические модели выходящего потока успешно обслуженных заявок, выходящего потока сигналов оповещения о конфликте, двумерного выходящего потока успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте бистабильной сети связи случайного множественного доступа с конечным числом абонентских станций и оповещением о конфликте. Исследованы вероятностно-временные характеристики данной сети связи. Длительность интервала оповещения о конфликте и время передачи сообщения распределены по экспоненциальному закону. Доказано, что число успешно обслуженных заявок п(£) за время в асимптотике, при Т —> оо, подчиняется нормальному закону. Найдены в явном виде параметры распределения числа успешно обслуженных заявок, а также распределения вероятностей состояний системы, в асимптотике при

N —у оо. Доказано, что процесс является диффузионным процессом арифметического броуновского движения. Доказано, что число сигналов оповещения о конфликте за время £, в асимптотике, при Т —>■ оо, подчиняется нормальному закону. Найдены в явном виде параметры распределения, в асимптотике при N -> оо. Доказано, что процесс является диффузионным процессом арифметического броуновского движения. Кроме того, найдена матрица ковариаций процессов п(£), з(£), в асимптотике, при N —> оо. Показана применимость полученных результатов в вопросе получения оценки интенсивности входящего но I ока заявок, оценки асимптотического среднего нормированного числа заявок, находящихся в ИПВ, по наблюдениям за выходящими потоками успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте. Теоретически показана возможность существования в таких сетях явления бистабильности, определяемого наличием двух точек стабилизации, в окрестности которых флуктуируют значения фазовых координат сети. Найдено в явном виде время пребывания в окрестности каждого из стабильных состояний бистабильной сети связи. Как видно из данных формул, время пребывания в окрестности стабильного состояния стремится к оо, при N —> оо.

В Главе 3 рассмотрена оценка интенсивности входящего потока А по наблюдениям за выходящим потоком успешно обслуженных заявок в сетях связи, управляемых динамическим протоколом случайною множественного доступа в случае бесконечного числа станций. Доказана несмещенность и эффективность данной оценки. Также рассмотрены оценки 6-асимптотического среднего нормированного числа заявок, находящихся в источнике повторных вызовов и интенсивности — обращения каждой из N абонентских станций к обслуживающему прибору по наблюдениям за двумерным выходящим потоком успешно обслуженных заявок и сигналов оповещения о конфликте в бистабильных сетях связи случайного множественного доступа с конечным числом абонентских станций. Доказана несмещенность и эффективность данных оценок.

В Главе 4 исследована математическая модель выходящего потока заявок из ИПВ, сети связи с протоколом случайного множественного доступа с оповещением о конфликте, в случае бесконечного числа станций. Длительность интервала оповещения о конфликте и время передачи сообщения распределены но экспоненциальному закону. Доказано, что число успешно обслуженных заявок за время ¿, в асимптотике, при Т —> оо, подчиняется нормальному закону. Найдены в явном виде параметры распределения в асимптотике, при <т 0. Кроме того, реализована программа имитационного моделирования рассматриваемой сети связи, с помощью которой удалось показать непротиворечивость полученых данных гипотезе об инвариантности распределения состояний канала и интенсивности выходящего потока заявок из ИПВ к виду распределения длительности задержки заявки перед повторным обращением из ИПВ на обслуживающий прибор для математической модели рассматриваемой сети случайного доступа.

Совокупность полученных теоретических результатов, подтвержденых имитационным моделированием, обеспечивает возможность использования данных результатов при решении важных прикладных задач, таких как оценка состояний сети, прогноз результатов деятельности сети и т.д., а также при теоретическом исследованиии иных сетей связи и построении оценок для данных сетей.

1. Адресация в 1.-сетях// Linux Park. — linux.webclub.ru

2. Азларов Т.А., Тахиров А. Предельные распределения для одноканальной системы с ограниченным числом мест ожидания// Изв. АН СССР, Техническая кибернетика. 1974. - №5. - С.53-57.

3. Александров A.M. Некоторые свойства однолинейных СМО с ограниченным ожиданием// Труды Ленинградского политехнического института. 1966. Т.275. - С.22-29.

4. Александров A.M. О выходящих потоках некоторых систем массового обслуживания// Труды Ленинградского политехнического институт. 1966. Т.275. - С.18-21.

5. Апанасович В.В., Коледа A.A., Чернявский А.Ф. Статистический анализ случайных потоков в физическом эксперименте. — Минск: "Университетское". — 1988. — 254с.

6. Ашигалиев Д.У Математическая модель распределенного управления канальными ресурсами интегральной цифровой сети связи с обходными направлениями// Научные приборы и автоматизация научных исследований. — Алма-Ата. — 1992. — С.92-105.

7. Башарин Г.П., Толмачев JI.A. Теория сетей массового обслуживания и ее приложения к анализу информационно-вычислительных систем// Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. Т.21. - М.: ВИНИТИ. - 1983. - С.3-119.

8. Башарин Г.П., Харкевич А.Д., Шнепс М.А. Массовое обслуживание в телефонии. — М.: Наука, 1968. — 213с.

9. Бертсекас Д., Галагер Р. Сети передачи данных. — М.: Мир, 1989.— 544с.

10. Боровков A.A. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. — М.: Наука,1980. —210с.

11. Васильев JI.A., Горцев A.M. Оценивание параметров дважды стохастического потока событий, в условиях его неполной наблюдаемости// Автомеханика и вычислительная техника. — 2002. -т. С.179-183.

12. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1975.

13. Глухова Е.В. Оптимальная линейная фильтрация интенсивности пуассоновского потока событий при наличии мертвого времени// Известия вузов. Физика. 1993. - Т. 36. - №12. - С.54-60.

14. Гнеденко Б.В., Коваленко И.И. Введение в теорию массового обслуживания. — М.: Наука,1966. — 210с.

15. Горцев A.M., Паршина М.Е. Оценка параметров альтернирующего потока событий в условиях мертвого времени// Известия вузов. Физика.- 1999. Т.42. - №4. - С.8-13

16. Горцев A.M., Шмырин И.С. Оптимальная оценка состояний дважды стохастического потока событий при наличии ошибок в измерении21 222324 2526