автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей процесса инвестирования

На правах рукописи

Егорова Диана Валерьевна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССА ИНВЕСТИРОВАНИЯ

05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск - 2004

Работа выполнена на кафедре актуарной и финансовой математики образовательного учреждения высшего профессионального образования Чувашский государственный университет им. И.Н.Ульянова

Научные руководители: кандидат физико-математических наук,

доцент Алексеев Борис Васильевич; кандидат физико-математических наук, профессор Иваницкий Александр Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Горбунов Владимир Константинович; доктор физико-математических наук, профессор Бронштейн Ефим Михайлович

Ведущая организация: Башкирский государственный университет

Защита состоится 3 марта 2004г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете в аудитории 703 корпуса Набережной реки Свияги.

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432700, г. Ульяновск, ул. Толстого, д. 42, УлГУ, научная часть.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного университета.

Автореферат разослан 31 января 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Веревкин А.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы в нашей стране активное развитие банковской, страховой, инвестиционной деятельности, стимулировало распространение применения методов финансовой и актуарной математики.

Развитие финансовой теории шло в двух направлениях - в предположении, что экономические процессы протекают в условиях определенности и, с другой стороны, что имеет место случайность, неопределенность.

В первом направлении определяющую роль сыграли работы И. Фишера, Ф. Модильяни и М. Миллера, в которых рассматривались задачи определения оптимальных стратегий для индивидуумов и фирм соответственно.

Во втором направлении классическими стали работы Г. Марковитца, В. Шарпа, С. Росса, Ф. Блека и М. Шоулза, Р. С. Мертона, посвященные проблемам инвестиционных решений в условиях неопределенности.

Среди отечественных работ наиболее известными в мире являются исследования в области стохастической финансовой математики А. Н. Ширяева, А.В. Мельникова и др., в которых используются теория случайных процессов, стохастическое исчисление.

Интенсивное развитие финансовой математики объясняется, прежде всего, необходимостью применения математических методов для уменьшения финансового риска, для оценки и управления финансовыми проектами.

В мировой практике финансового менеджмента используются различные методы анализа инвестиционных проектов, но практически во всех методах для подсчета инвестиционного дохода используется функция сложных процентов, что не всегда адекватно описывает реальность, так как такие модели линейны относительно вложенного капитала. Более общий подход к анализу эффективности инвестиционных проектов изложен в работе Виленского П.Л., Смоляка С.А.1, где доходность рассматривается как некоторый функционал в пространстве проектов, для которого выполняются некоторые аксиомы.

В данной работе предложен также аксиоматический подход, но уже к выбору функции, по которой определяются накопленные значения. Такой подход хорошо зарекомендовал себя в теории полезности2, где важнейшие результаты теории финансов можно вывести из нескольких аксиом, а также в теории производящих функций.

В финансовой математике ранее описывались основные свойства, которым должна удовлетворять функция накопления (например, строгое и последовательное изложение теоретических основ классической финансовой математики предложили Бочаров П.П. и Касимов Ю.Ф.3). У различных авторов эти свойства формулировались по-разному, но все использовали отторг лиг.г-п. по первоначальному капиталу, откуда следовала линейнос{гы?ос. НАЦИОНАЛЬНАЯ I

Г БИБЛИОТЕКА I

--! ^уарм}

1 Виленский П.Л., Смоляк С.А. Показатель внутренней ■ нормы' дтауШости и" его

модификации //Аудит и финансовый анализ. № 4, 1999.

2 Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. Неоклассические теории финансов. СПб: Изд-во «Питер», 2000.

3 Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник. М.: Гардарики, 2002.

3

Задача данного исследования — отказаться от однородности до пгрзокачальному капиталу, что позволяет произвести обобщение существующих моделей.

Цель диссертационной работы:

• постановка, анализ и численное решение задач теории инвестиций с выделением и использованием наиболее общих свойств функции накопления инвестиционного проекта;

• применение разработанных методов к практическим задачам моделирования финансовых потоков, возникающих в страховом, банковском и финансовом бизнесе;

• решение задачи восстановления параметров модели накопления по экспериментальным данным, адекватно отражающей реальный процесс инвестирования.

Методы исследования. В работе применяются методы математического и функционального анализа, дифференциальных уравнений, теории вероятностей.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Научная новизна заключается в

• выделении в форме аксиоматической модели наиболее общих свойств функции накопления, характеризующей процесс аккумулирования капитала в сложном инвестиционном проекте с учетом внешних финансовых потоков;

• применении предложенной теории в долгосрочном страховании;

• доказательстве теорем существования и единственности различных характеристик контрактов страхования жизни и пенсионного страхования;

• решении различных случаев задачи восстановления параметров модели инвестиций по данным реального инвестиционного процесса.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) основные свойства функций накопления, определяемых аксиомами;

2) условия, при которых рассматриваемый класс функций можно описать с помощью системы дифференциальных уравнений и, наоборот, границы, в которых решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяет аксиомам;

3) методы определения различных характеристик дискретных и непрерывных потоков платежей, обоснование существования этих характеристик для функций накопления общего вида;

4) методы определения одиночных, периодических нетто-премий для контрактов страхования жизни, пенсионного страхования для функций

накопления общего вида;

5) доказательства теорем их существования и единственности в каждом случае;

6) способы определения параметрического семейства функций накопления по реальным данным инвестиционного процесса.

Теоретический и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для исследования широкого круга теоретических и прикладных задач финансового анализа. При этом общность модели позволяет учесть нелинейность накопленного значения, что расширяет круг решаемых задач по сравнению с традиционными методами.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на всероссийской научно-практической конференции «Математическое моделирование экономических систем и процессов» (Чебоксары, 2000), на конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2000), на Шестой международной конференции молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и реформы в России» (Санкт-Петербург, 2001), на IV международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001), на конференции «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (Воронеж, 2003).

Личный вклад. Все приведенные аналитические доказательства, изложенные в диссертационной работе, а также результаты расчетов, получены автором лично, научное руководство осуществлялось к.ф.-м.н., доцентом Б.В. Алексеевым и к.ф.-м.н., профессором А.Ю. Иваницким.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 108 наименований. Содержит 22 рисунка. Общий объем работы 128 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, дан обзор литературы по затронутым вопросам, кратко изложено содержание работы.

В первой главе рассматриваются детерминированные модели финансовых операций и процессов инвестирования, в частности, такие задачи классической финансовой математики, как определение накопленных и дисконтированных (современных) значений одиночных платежей, потоков платежей, нахождение различных параметров кредитных операций и т.д. Но, в отличие от классической финансовой математики, все вышеперечисленные характеристики высчитываются не на основе формул простых или сложных процентов, а на основе функции накопления, удовлетворяющей некоторым свойствам.

В § 1.1 дается аксиоматическое описание класса функций накопления. Предполагается, что математически инвестиционный процесс описывается однозначной функцией накопления

у = А(.с,{0,1), (1.1)

где с - первоначальный капитал, вложенный в момент времени ? — текущий момент времени. Запись процесса (1.1) с выделением параметров (е^,)

ппеттолагает. что рассматривается не один индивидуальный процесс, а их семейство.

Основываясь на некоторых общих финансово-экономических принципах, можно выделить ряд свойств, которым могут удовлетворять финансовые законы, связанные с наиболее распространенными и типичными классами инвестиционных процессов. Эти свойства имеют различную степень общности. Постулируя ряд из них или все вместе, можно определить все более узкие классы финансовых схем.

Сформулируем эти свойства.

1. Нормироватостъ

Это свойство указывает на то, что величина капитала не увеличивается мгновенно.

2. Транзитивность

Л(Л(с, /0,),/[,/) = А(с, г0,0.

Это свойство показывает, что величина накопленного капитала при инвестировании на один срок такая же, как и при последовательным

инвестированием на два последовательных срока , /х ], ['!»*]•

3. Однородность по первоначальному капиталу

Л(с,/0,О = сЛ( 1,/„>')-

В этом случае накопленное значение произвольной инвестиции пропорционально накопленному значению при инвестировании единичной суммы.

4. Автономность

То есть накопленное значение зависит только от двух переменных: первоначального капитала и длины промежутка времени, на который инвестирован капитал.

Показано, что свойствам 1-4 удовлетворяет только функция сложных процентов с постоянной интенсивностью начисления процентов, свойствам 1-3 удовлетворяет функция сложных процентов с переменной интенсивностью. Приведен пример функции накопления, имеющей реальный экономический смысл, удовлетворяющей только свойствам 1 и 2.

Далее приведены четыре теоремы о поведении функции накопления, удовлетворяющей свойствам 1 и-2. В частности, показано строго монотонное возрастание (1.1) по первому аргументу при произвольных фиксированных втором и третьем.

В § 1.2 свойства 1 и 2 формулируются для случая, когда в проекте участвуют несколько инвесторов, то есть предполагается, что в некотором проекте т участников инвестируют суммы в момент времени и

накопленное значение участника является функцией от первоначальных

капиталов всех инвесторов, момента вложения Г0 и момента изъятия I

Для этих функций предполагаются выполненными следующие свойства: Свойство 1. Величина капитала не увеличивается мгновенно, то есть если момент вложения (0 совпадает с моментом изъятия I, то накопленное значение равно первоначальному капиталу

Свойство 2. Для произвольного момента t1 имеют место соотношения А(А(С......Ст>*0> 11)>-~>Ат(С1> — >СтАА)>*1>0 = ...,Ст,10,О , 1 = 1

которые показывают, что величина накопленного капитала при инвестировании на один срок /Го,Г/ остается такой же, как и при последовательном инвестировании на два срока

Запишем в векторной форме свойства 1 и 2. Введем множества моментов времени Т С К, первоначальных капитбс и функцию накопления А: СхТхТ —»С. Тогда указанные выше свойства можно переписать в виде

А(с,Г,0 = с, (1.6)

А(А(с,*0,/Д^О = А(с,г0,г), (1.7)

где

Далее везде будем предполагать, что функция однозначна на всей области определения и является непрерывной функцией.

В § 1.3 рассматривается связь аксиоматически описанного класса функций, дифференцируемых по третьему аргументу, с решением системы дифференциальных уравнений.

Теорема 5. Если в системе дифференциальных уравнений

где у ={У\, — Ут), Г0,/еГ = [а,|3], сеС=[а1,г!1]х...х[аи)^], все функции непрерывны в области следовательно,

ограничены, |/,| < М,, и удовлетворяют в этой области условию Липшица

|/,(у,0-/,(2,флф(1.9)

где N — постоянная, то решение у(/) = у(с,?0,/) системы (1.8) удовлетворяет свойствам

в области

где

А ={(С1.....стЛ.'):'о>'6[а1>Р1]с[а>Р1>

с, е[а, +2-МДР, -а,),Ь, -2-М.Ф1 -а,)],'= 1,-,/»},

р, -а! < тш(Р - а,

1

тЫ' 4Л/, ""' 4М,

(1.10) (1.11)

(1.12)

(1.13)

Теорема 6. Пусть в области О, определяемой с{ е[а,,Ь,], I = ],...,т, определена функция

у = А(с,/0,0,

[п уоаОвияМи

0-14)

каждая координата этой функции у, =/4Дс,/0>/), / = 1 ,...,т имеет непрерывные,

а значит, ограниченные частные производные

34 д2А, 81 ' д1оС] '

дА,

&

<М, / = !,...,т,

]= \ ,...,т, для функции

дА, (с,?0,О

Э/

,/ = 1,...,«, (1.15)

определяемой соотношениями

выполняется (1.8). Если (1.14) в области (1.12) и (1.13) удовлетворяет свойствам (1.6) и (1.7), то в этой области существует единственное решение у(с,/о,Г) системы дифференциальных уравнений

у',=МУ,О, о) = с,, 1 = 1

которое совпадает с (1.14).

В § 1.4 рассматривается случай, когда каждый участник проекта инвестирует не одиночную сумму, а несколько сумм в различные моменты времени. При этом термин "инвестировать" будем понимать в общем смысле, то есть если сумма больше нуля, то происходит вложение средств, а если меньше, то заем.

Объединение моментов вложения по всем инвесторам обозначим как ,.../„}, при этом вектор сумм, инвестируемых в момент времени

обозначим ] = \,...,« (/-я координата — сумма, инвестируемая /-м

участником, 1 = 1,..., от). Считаем, что ] = упорядочены по

возрастанию. Если в момент времени участник не вкладывает средства, то

=0. Таким образом определенные пары j = l,...,n будем называть

дискретным потоком платежей.

Будем также предполагать, что функция накопления такова, что для любого если

Обозначим через накопленное значение капитала /-го инвестора на

момент времени учетом только тех которые поступили до

момента времени а через - вектор таких накопленных значений.

Теорема 7. Если в инвестиционный проект, описываемый функцией накопления , для которой

существует константа

то накопленное значение этого потока на момент в р е м I^^(^¡ествует и определяется по формуле

А»)

где у1-"' находится рекуррентно .О) = АЛ,0-1)

у- = + ] = 1,...,п, у'

В § 1.5 рассматривается случай, когда кроме вложения в момент времени tg первоначального капитала каждый участник проекта инвестирует свои средства не в дискретные моменты времени, а непрерывно, на определенном промежутке времени.

Обозначим через Л/Д/0,/) количество всех денег, поступивших за период |/0,Г] от г-го инвестора, 1 = 1,...,т.. Интенсивностью потока платежей назовем вектор-функцию р(1), где каждая координата определяется по формуле

МХУ + Ар-М,^) _ 5М,((,со)

.(I)

(1.16)

Р,(0= ton-

Д/->0

Д t

да

, ' = 1.....т.

Обозначим через вектор-функцию s(c,f0,f) — накопленное значение непрерывного потока платежей к моменту времени /. Будем предполагать, что эта функция такова, что накопленное значение к моменту времени t + At можно представить как сумму из 1) аккумулированного за промежуток времени At накопленного к моменту времени t значения, 2) поступивших за промежуток At средств, и 3) слагаемого, бесконечно малого по сравнению с длиной промежутка то есть

s,(с,т,t + At) = A,(s(c,t0,t),t,t + At)+pl(0Ai + o(Ai), i = \,...,m. (1.17)

Теорема 8. Пусть инвестиционный проект описывается функцией накопления у=А(с,t0,t), i0>*e[a>P]> с, е[—а,,«,], i = l,...,m, которая имеет

ЗА, а2д

непрерывные, а значит, ограниченные частные производные ЗА,

dt ' ÔtdCj '

dt

области

<М, / = 1,...,/я, j = l,...,m„для функции (1.15) выполняется (1.9), а в

1 CI

P,-a, <min(p-a, —,-rp mN Mi

M,

удовлетворяет свойствам (1.6) и (1.7). Если в инвестиционный проект осуществляется непрерывный поток платежей с непрерывной, а значит, ограниченной интенсивностью р(0» ' = 1.....и»на промежутке

tíL^lcIa,,!},], t2-tx <niin(p2 -a„

1

mN' Л/,+/?,'"" Mn+R»'

то накопленное значение этого потока на момент в р е м t i е £ij»] я е т с я решением системы дифференциальных уравнений

s' = f(s,i) + p(0, S(i!) = C, (1.18)

где f(s,t) определяется из (1.15), С, - количество средств i-ro инвестора на момент времени t1, i = 1,...,m, которое существует и единственно в области D:

В § 1.6 рассматривается, следующая задача: по заданным величинам задолженностей в различные моменты времени требуется определить сумму первоначального вклада в фонд, обеспечивающего погашение долга.

Доказана теорема 9 о существовании решения этой задачи в случае погашения долга дискретным потоком и теорема 10 в случае погашения непрерывным потоком.

В § 1.7 рассматриваются различные примеры с конкретными функциями накопления.

Во второй главе рассматривается применение вышеизложенной теории к математическим моделям, описывающим долгосрочное страхование жизни и пенсионное страхование, где при расчетах принимается во внимание изменение реальной стоимости денег с течением времени. Обычно при этом используется техническая процентная ставка. В этой главе теория обобщается на случай, когда все параметры контракта определяются на основе функции накопления (1.1), удовлетворяющей свойствам 1 и 2. Определяются методы вычисления одиночных и периодических премий, резервов, стоимостей пожизненных рент в пенсионном страховании. Доказываются теоремы существования и единственности этих характеристик.

В дальнейшем будем рассматривать человека в возрасте х лет с будущим временем жизни Тх, К = ] - число полных лет, прожитых этим человеком. Для определения различных характеристик контрактов страхования используется принцип эквивалентности финансовых обязательств, который может быть описан как равенство нулю математического ожидания от современного значения величины убытка страховщика.

Обозначим через ^ вероятность того, что человек в возрасте х лет проживет k лет, qx+k вероятность того, что человек в возрасте х+k лет умрет в

течение года, \ix - силу смертности, Р - нетто-премию, которой страхователь оплачивает контракт, b - страховую сумму, выплачиваемую в случае смерти.

В этой главе будем предполагать, что функция накопления (2.1) определена в области £) = Сх7'хГ>где С-[-а,а],Т = [0,+оо].

В § 2.1 рассматриваются самые простые случаи страхования жизни, когда контракт оплачивается в момент заключения договора одной премией.

Для определения одиночной нетто-премии в случае дискретного бессрочного страхования жизни доказана Теорема 11. Если

sup A(b,t0 + k,t0)< +оо, ^inf A(~b,t0 +k,t0)>-co, (2.6)

то нетто-премия Р определяется из уравнения

]Гл(Л(/УоЛ + к +1) ■- b,t0 +к + l,t0)kpxqx+k = 0,

к=0

(2.7)

(2.8)

решение которого существует и единственно на отрезке

/ = [0, Бир ¿(¿Мо+Мо)]-

/Ы.2....

Подобным образом определяются нетто-премии для срочных контрактов, контрактов чистого дожития, дожития.

В § 2.2 находятся периодические премии для контрактов различного вида. Для определения периодических премий в случае дискретного контракта страхования, оплачиваемого дискретным потоком доказана Теорема 12. Если выполняются неравенства (13), а также

sup A(Ak i-1,2,..

sup A(b,t0 + i,t0) ^=1,2,..

где Ак, к = 1.2.....определяются из соотношений

Л (0 = A(At. 1 (0 + Q,t0 + к - Uo + к), к = 2,3. Л,(0 = Л(2,/О>'о+1). Qel-

то нетто-премия Р определяется из уравнения

2 MA (Р) -b,t0 + к, t0)kpxqx+k = О,

(2.13)

(2.15)

к=О

решение которого существует и единственно на отрезке (2.8).

Также рассматривается непрерывный случай контракта, когда страховая выплата совершается в момент смерти. Предполагается, что премии поступают непрерывно с постоянной интенсивностью р. Согласно теореме 8, накопленное значение этого потока является петттением лигЬгЬепенттиального уравнения

*'(') = /(*.') +Р. (2.19)

дА(с,10,1)

начальным условием ¿(¿о) = 0, a f(s,t) = -

dt

iw)

Теорема 14. ЕСЛИ правая часть дифференциального уравнения (2.19) з области СхГ удовлетворяет условию Липшица

где

р- „т Хф+А^М+О) -Аа-дх

К - Бир ; — , Л1--

»е[1,+оо)

1-е'"' * Рх

то чистая интенсивность потока определяется из уравнения

(2.20) (2.21)

аз

|лО('о +1)~Ь,10 у,рх-ц^Ж = О, (2.22)

решение которого существует и единственно на промежутке 0 < р < Я.

Если дискретный контракт оплачивается непрерывным потоком, то имеет место

Теорема 15. Если правая часть дифференциального уравнения (2.19) удовлетворяет условию Липшица (2.20) в области СхТ с константой Ы, неравенству (2.21), а также

„Щк+т) .

БЦр Бир

¿=0Дг..те[0,1;

N

я,1п + к + х,Ц+к +1

- + к + \,t^

.'0

<+оО,

где

_ Ы{А(Ь + А(Аи10,;0 +к + 1),Г0 +к + 1,10+к + х)

Зл

А ,

то чистая интенсивность потока определяется из уравнения 00 1

^кРх- Ях+к + * + т>>'о + * + т.Ч + +1) ■-

А=0 о

/0 + * + и0),Рх+А • = 0. (2.25)

решение которого существует и единственно на отрезке

Аналогичным образом определяется величина периодической нетто-премии для других видов контрактов.

В § 2.3 определяются резервы чистых премий контрактов страхования жизни. Резерв ¡Ув ¿-й год для бессрочного контракта страхования, когда страхователь выплачивает премии дискретным потоком с постоянными

смерти, определяется из соотношения

оо

X А(А* (« К)'О + ЪкчРхн ' Ях*к = 0 .

к=1

где

Лк(,К) = АСА^С, V) + Р,1 + к -1,/ + к), к = I, I +1,...

В случае, когда контракт оплачивается непрерывным потоком с постоянной интенсивностью р, соотношение для определения резерва выглядит как

где функция $(т) является решением (19) с начальным условием

В § 2.4 рассматриваются пожизненные ренты, которые возникают в пенсионном страховании.

Рассмотрим пенсионный контракт, оплачиваемый в момент времени 10 нетто-премией Р , по которому начиная с конца первого года застрахованному выплачивается ежегодная пожизненная рента, каждый платеж которой равен С. Теорема 16. Если

где АК определяется как

Ам{Р) = А{Ак{Р),1ь(м)-С, к = 1,2,-, (2.32)

Ах=Р\

то одиночная нетто-премия дискретного потока платежей вычисляется из соотношения

X А(АЫ + * + !.'(>УкРх *Ях+к = 0 ,

ы о

решение которого существует и единственно на отрезке

•М-р,

Ях

(233)

(2.34)

В § 2.5 рассматриваются различные примеры с конкретными функциями накопления. Показывается, что случай классической функции накопления приводит к известным результатам.

В третьей главе рассматривается задача определения функции (1.1) по одной или нескольким кривым изменения во времени величины накопленной суммы при конкретных первоначальных капиталах и моментах вложения. Решение этой задачи зависит от способа построения всего параметрического семейства функций по конечному множеству данных кривых. В этой главе предложены три различных метода.

В $ 3.1 разрабатывается метод определения функции (1.1) по одной заданной кривой. То есть по функции cp(i) требуется определить функцию A(c,t0,t), удовлетворяющую свойствам 1 и 2, а также соотношению

Л(ф('о)>'о>') = ф(0-

Один из способов нахождения семейства функций A(c,t0,t) - покрытие всей плоскости кривыми, полученными путем сжатия и произвольного сдвига исходной кривой. Показывается, что всем требуемым условиям формально удовлетворяет функция вида

А(с, t0,t) = c+у (с, î0 )[ср(/ - р (с, t0 )) -ф(/0 - Р(с, t о ))],

где

Р,0 (Р) = бр1 (Р) + 5т(8р'(Р))[ср(/°0 - Р) - cp(i. - Р)],

8р И 5у— произвольные функции, имеющие обратные, с ограничениями при

5р(ф(/.)) = 0, 5у(ф(/,)) = 1.

В § 32 дается метод нахождения семейства функций накопления по двум данным, то есть по двум конкретным функциям ф(/) и V|/(f) требуется найти функцию А{с, t0, t), удовлетворяющую свойствам 1 и 2, а так же соотношениям

Л(ф('о ), t0,t) = ф(0 ; ДчЧ'о ). 'о>0=v(0 •

A{c,t0,t) = c

Усл.

у (f о - р(с, f 0 )) - ф(/0 - Р(с, t0 ))

+y(c,t0)

y(t0 -Р(с,(0))-(р(/0 -Р(с,/0))

где

5В И 5у— произвольные функции, имеющие обратные, с ограничениями при

t = t.

5р(ф(/.)) = 0,5т(ф(*.)) = 1( Sp(4/(i.)) = 0,5r(vi/(/,)) = l.

а

В §3.3 определяется метод нахождения функции накопления по конечному множеству фазовых траекторий (р((?),' = ! - Функция накопления ищется как решение дифференциального уравнения

В §3.4 рассматриваются различные примеры.

Выводы. В данной работе были поставлены задачи теории инвестиций с выделением и использованием наиболее общих свойств функции накопления инвестиционного проекта, проведен их анализ и численное решение; разработанные методы применялись к практическим задачам моделирования финансовых потоков, возникающих в страховом, банковском и финансовом бизнесе; решалась обратная задача восстановления параметров модели накопления, наиболее адекватно отражающей реальный процесс инвестирования.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Б.В. Алексеев, Д.В. Афанасьева, А.Ю. Иваницкий. Дискретные и непрерывные потоки платежей для функции накопления, определенной аксиомами//Численный анализ: теория, приложения, программы. - Изд-во МГУ, 1999.-С. 154-159.

2. Б.В. Алексеев, Д.В. Афанасьева. Актуарные потоки платежей для функции накопления, определенной аксиомами//Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. - Воронеж, 2000. - С. 44.

3. Д.В. Афанасьева, Б.В. Алексеев. Модель накопления капитала в инвестиционном проекте с участием нескольких инвесторов/Математические модели экономических систем и процессов. Материалы всероссийской научно-практической конференции. - Чебоксары, 2000. - С. 23-27.

4. Д.В. Афанасьева. Учет изменения процентной ставки при расчете контрактов страхования жизни//Материалы работы Шестой международной конференции молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и реформы в

России». - Изд-во Института страхования. С-Пб, 2001. — С. 10-11.

5. Б.В. Алексеев, Д.В. Егорова, А.Ю. Иваницкий. Введение в финансовую и актуарную математику. - Изд-во Чув.ГУ. Чебоксары, 2001. - 324 с.

6. Егорова Д.В., Алексеев Б.В. Нахождение функции накопления инвестиционного проекта по одной экспериментальной кривой // Вестник Чув.ГУ, №3-4. - Изд-во Чув.ГУ, 2001. - С. 15-21.

7. Егорова Д.В. Нахождение функции накопления по двум экспериментальным кривым // Вестник Чув.ГУ, №3-4. - Изд-во Чув.ГУ, 2001. -С. 11-14.

8. Егорова Д.В. Математические модели экономики инвестиций. - Изд-во Чув.ГУ. Чебоксары, 2002.- 56 с.

9. Егорова Д.В. Функция накопления, определяемая по конечному множеству кривых // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. - Воронеж, 2003. - С. 45.

И /1

(0-9,(0 . (0-ф,(0

Формат 60х80/16.Бумага писчая. Объем 1.0 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ № 9.

Чувашский государственный университет

Типография университета 428015 Чебоксары, Московский просп., 15

^- 2580

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Функция накопления.

§ 1.1. Функция накопления инвестиционного проекта с участием одного инвестора.

§ 1.2. Функция накопления инвестиционного проекта с участием нескольких инвесторов.

§ 1.3. Описание инвестиционного процесса с помощью системы дифференциальных уравнений.

§ 1.4. Дискретный поток платежей.

§ 1.5. Непрерывный поток платежей.

§ 1.6. Погашение задолженности частями.

§1.7. Примеры.

ГЛАВА 2. Подсчет различных характеристик контрактов страхования жизни и пенсионных схем.

§ 2.1. Одиночная нетто-премия.

§ 2.2. Периодические нетто-премии.

§ 2.3. Резервы чистых премий.

§ 2.4. Пенсионное страхование.

§ 2.5. Примеры.

ГЛАВА 3. Обратная задача.

§ 3.1. Построение функции накопления инвестиционного проекта по одной экспериментальной кривой.

§ 3.2. Построение функции накопления инвестиционного проекта по двум экспериментальным кривым.

§ 3.3. Обратная задача по конечному множеству кривых.

§ 3.4. Примеры.

В последние годы в нашей стране активное развитие банковской, страховой, инвестиционной деятельности стимулировало распространение применения методов финансовой и актуарной математики.

В начале зарождения теории финансов применение математического аппарата сводилось, в сущности, к подсчету сложных и простых процентов, и основной интерес лежал в области бухгалтерских расчетов, связанных с будущими платежами, прибылями и убытками.

Последующее развитие финансовой теории шло в двух направлениях - в предположении, что экономические процессы протекают в условиях определенности и, с другой стороны, что имеет место случайность, неопределенность.

В первом направлении определяющую роль сыграли работы И. Фишера [99], Ф. Модильяни и М. Миллера [106], в которых рассматривались задачи определения оптимальных стратегий для индивидуумов и фирм соответственно. С математической точки зрения дело сводилось к максимизации функций многих переменных при наличии ограничений.

Во втором направлении классической стала работа Г. Марковитца [102], посвященная проблемам инвестиционных решений в условиях неопределенности. Соответствующий этой модели анализ, называемый "mean-variance analysis", нашел свое продолжение в целом ряде работ, связанных с оптимизацией и управлением на финансовых рынках.

Развитием идей Марковитца явилась работы В. Шарпа [88,108], представившие модель САРМ (Capital Asset Pricing Model). Следующим важным результатом стала модель АРМ (Arbitrage Pricing Model), появившаяся в работе С. Росса [107], где для описания состояния рынка были привлечены идеи арбитража.

В работах Ф. Блека и М. Шоулза [96], Р. С. Мертона [104, 105] рассматривалась оценка производных инструментов и динамические стратегии хеджирования соответствующих контрактов. Существенный вклад в этом направлении внесли Дж. Фон Нейман, Дж. Тобин, JI. Крушвиц [53]. В актуарной математике это работы Н. Бауэрса, Г. Гербера, Дж. Хикмана, Д. Джонса, В. Бенджамина, Дж. Полларда [28, 95] и многие другие.

Среди отечественных работ наиболее известными в мире являются исследования в области стохастической финансовой математики А. Н. Ширяева [90], А. В. Мельникова [61-63] и др., в которых используются теории случайных процессов, стохастического исчисления.

Однако такой подход не всегда способствует быстрому приложению результатов. Поэтому существует большой интерес к более простым математическим методам финансового анализа, прошедшим "обкатку" в практической финансовой деятельности.

Наиболее распространенные в этом направлении задачи можно условно классифицировать следующим образом: портфельное инвестирование, определение оптимальных параметров модели (используется математическое программирование) [14, 19, 20, 39, 81, 89]; игровые модели [64, 69]; средне-дисперсионный анализ вероятностных моделей [74, 93]; динамические модели, описываемые дифференциальными уравнениями [37, 48, 73, 82]; применение интервальной математики [1, 2, 31]; имитационное моделирование; применение нечеткой логики [71]. Новейшие модели используют математическую теорию хаоса, теорию катастроф, нейронные сети [90].

Современное состояние и огромный интерес к финансовой математике объясняется, прежде всего, применениями математических методов для уменьшения финансового риска, для оценки и управления финансовыми проектами.

В мировой практике финансового менеджмента используются различные методы анализа инвестиционных проектов: метод корректировки нормы дисконта [13], метод достоверных эквивалентов (коэффициентов достоверности), анализ чувствительности критериев эффективности (чистый дисконтированный доход, внутренняя норма доходности) [16, 17, 22, 23], метод сценариев, анализ вероятностных распределений потоков платежей, деревья решений, метод Монте-Карло и др. [11, 18, 21, 24, 26, 27, 30, 37, 38, 39,41-42,48, 49, 52, 53, 54, 60, ]

Во всех перечисленных методах для подсчета инвестиционного дохода используется функция сложных процентов, что не всегда адекватно описывает реальность, так как такие модели линейны относительно вложенного капитала.

Более общий подход к анализу эффективности инвестиционных проектов изложен в работе Виленского П.Л., Смоляка С.А. [25], где доходность рассматривается как некоторый функционал в пространстве проектов, для которого выполняются некоторые свойства. Аксиоматический подход также используется в теории производящих функций, в теории полезности [53], где важнейшие результаты теории финансов можно вывести из нескольких аксиом.

В данной работе также предложен аксиоматический подход, но уже к выбору функции, по которой определяются накопленные значения. В дальнейшем эту функцию накопления капитала в инвестиционном проекте будем для краткости называть функцией накопления инвестиционного проекта или просто функцией накопления.

Определим основные понятия, встречающиеся в диссертации.

Финансовым процессом будем называть отображение

А:Т->С, где Т - промежуток времени, С - промежуток значений денежных сумм. Соответствующую величину у = A(t) будем называть состоянием процесса в момент времени t.

Наиболее распространенным видом финансовых процессов являются инвестиционные процессы, которые начинаются с вложением в момент времени t0 первоначального капитала с. Пара (c,t0) описывает начальное состояние инвестиционного проекта. Поэтому математически финансовый процесс удобно описать функцией накопления y = A(c,t0,t) (1)

Запись процесса (1) с выделением параметров (c,t0), по существу, предполагает, что мы имеем дело не с одним индивидуальным процессом, а с их семейством. В частности, предполагается, что можно "запустить" процесс при другом начальном состоянии. При этом будем предполагать, что функция (1) является однозначной.

Основываясь на некоторых общих финансово-экономических принципах, можно выделить ряд свойств, которым удовлетворяют финансовые законы, связанные с наиболее распространенными и типичными классами финансовых процессов. В финансовой математике ранее описывались основные свойства, которым должна удовлетворять функция накопления. У разных авторов они формулировались по-разному, но все использовали однородность по первоначальному капиталу, откуда следовала линейность [9,16,38].

В русскоязычной литературе об общих принципах, которым должна удовлетворять функция накопления, одним из первых писал Башарин Г.П.

9].

Функция накопления в [9] рассматривается в виде y = cA(t0,t), (3) где коэффициент наращения A(t0,t) удовлетворяет свойствам

A(t,t) = l, (4)

A(t0,tl)A(tl,t2) = A(t0,t2). (5)

Свойство (5) в [9] называется принципом стабильности рынка. Сформулирована теорема о том, что непрерывная функция (3), удовлетворяющая свойствам (4) и (5) имеет вид t у = се'° где 8(5) - непрерывная функция.

В монографии [66] функция накопления, которая в этой работе называется функцией роста, удовлетворяет свойствам стационарности (зависимость только от длины промежутка / -/о), аддитивности по вложенному капиталу (откуда следует линейность) и аналог свойства (5), который называется согласованностью по времени.

Свойство (5) также упоминается в [38], где называется принципом согласованности.

Наиболее строгое и последовательное изложение теоретических основ классической финансовой математики дается Бочаровым П.П., Касимовым Ю.Ф. в [16]. Здесь говорится, что математически финансовый процесс можно описать функцией (1), которая удовлетворяет некоторым свойствам. Эти свойства имеют различную степень общности. Постулируя ряд из них или все вместе, можно определить все более узкие классы финансовых схем.

Сформулируем эти свойства, при этом будем придерживаться терминологии [16].

1. Нормированностъ

A(c,t,t) = c.

Это свойство указывает на то, что величина капитала не увеличивается мгновенно, и оно является одним из самых универсальных. Можно предполагать, что ему удовлетворяют все финансовые законы.

2. Транзитивность

A(A(c,t0,tx\tx,t) = A(c,to,t).

Это свойство не такое универсальное, как первое. Оно показывает отсутствие разницы в величине накопленного капитала при инвестировании на большой срок по сравнению с последовательным инвестированием на два меньших срока. Ему не удовлетворяет схема простых процентов, для которой свойство состоятельности будет выполняться при реинвестировании капитала на каждом промежутке времени.

3. Однородность по первоначальному капиталу

Это свойство показывает, что накопленное значение пропорционально вложенному капиталу.

4. Стационарность

A(c,t0 + t,tx +t) = A{c,tQ,tx)

Это свойство показывает, что накопленное значение зависит только от длины промежутка времени, на который инвестирован капитал.

В [16] перечисляются еще несколько свойств, которым могла бы удовлетворять функция (1), например, свойство возрастания. В дальнейшем изложении они не используются, поэтому не приводятся.

Хотя в первой главе [16] говорится о том, что функция накопления может иметь самый общий вид, в дальнейшем излагается теория, основанная на однородности функции (1).

В теории рентных платежей использовалось предположение об аддитивности накопленного и современного значений потоков, о чем говорится в [38]. Так как функция накопления в данной работе не обязательно удовлетворяет свойству (3), то и все характеристики потоков платежей не являются аддитивными.

Во всех перечисленных работах функция накопления зависит от первоначального капитала только одного инвестора. Случай многих участников одного проекта не рассматривался, так как вследствие свойства (3) накопленные значения каждого инвестора не зависят от вложения других. Цель данного исследования - отказаться от однородности по первоначальному капиталу, что позволяет произвести обобщение существующих моделей.

В данной работе рассматривается случай, когда накопленные значения каждого инвестора являются функциями, зависящими от первоначальных капиталов всех участников проекта. Приводится пример функции накопления, когда в проекте участвуют два инвестора, причем проявляется эффект "монополии". В случае, когда первоначальный капитал первого инвестора значительно превышает первоначальный капитал второго, накопленное значение первого является возрастающей функцией, а второго -убывающей.

Данная работа посвящена анализу наиболее общих свойств функции накопления, удовлетворяющей лишь свойствам 1 и 2, а также ее применение в теории рент, страховании жизни и пенсионных схемах, где с помощью этой функции определяются резервы, нетто-премии, современное значение пожизненных рент.

Свою основную функцию - выполнение обязательств по страховым выплатам - страховая компания реализует за счет специальных страховых резервов. Поэтому от того, насколько правильно рассчитываются эти страховые резервы, зависит финансовая устойчивость страховой компании, ее платежеспособность, возможность выполнить принятые обязательства по страховым выплатам.

Структура страхового взноса (брутто-премии) определяется двумя структурными элементами: нетто-премией, которая отвечает обязательствам страховой компании по несению риска, принятого от страхователя, и нагрузки, в которой учитываются затраты на ведение дела и прибыль страховой компании.

Так как страховые резервы предназначены для осуществления выплат, т.е. для выполнения обязательств перед страхователями, то теоретически они должны формироваться за счет нетто-премии.

Расчет тарифных ставок проводится на основе принципа эквивалентности финансовых обязательств - равенства нулю математического ожидания от современного значения величины убытка страхователя, то есть разности между накопленным значением премии страхователя и страховой выплаты. При расчете нетто-премий современное значение находится на момент заключения контракта, а при расчете резервов - на начало года, на который ищется резерв.

В различных математических моделях рост накопления в резерве взносов осуществляется по формуле сложного процента [4, 15, 28, 29, 44, 45, 47, 50, 55, 56, 65, 77, 78, 95]. В данной работе эта теория обобщается на случай, когда функция накопления удовлетворяет лишь свойствам нормированности и транзитивности. В дальнейшем такую функцию будем называть функцией накопления общего вида.

Целью диссертационной работы является:

1) построение конструктивной теории функций накопления общего вида, применение этой теории для анализа дискретных и непрерывных потоков платежей, а также моделей погашения задолженности частями;

2) применение этой теории в страховании жизни и пенсионном страховании;

3) решение обратной задачи определения функций накопления общего вида по экспериментальным данным.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе поставлены задачи теории инвестиций с выделением и использованием наиболее общих свойств функции накопления инвестиционного проекта. Построена конструктивная теория функций накопления общего вида

Эта теория применена для анализа дискретных и непрерывных потоков платежей, а также моделей погашения задолженности частями в случае, когда в инвестиционном проекте участвуют несколько инвесторов. Определены границы применимости этой теории. Было показано, что в этом случае накопленные и современные значения потоков не являются аддитивными, накопленное значение каждого инвестора зависит от вложений других, в отличие от классических моделей, когда вследствие однородности по первоначальному капиталу такой зависимости нет. Приводится пример функции накопления, когда в проекте участвуют два инвестора, причем проявляется эффект "монополии". В случае, когда выплаты первого инвестора значительно превышает выплаты второго, накопленное значение первого является возрастающей функцией, а второго - убывающей.

Приведено применение теории в страховании жизни и пенсионном страховании для определения одиночных, периодических нетто-премий и резервов чистых премий дискретного и непрерывного контрактов страхования жизни, одиночных нетто-премий контрактов пенсионного страхования. Эти характеристики определялись из принципа эквивалентности финансовых обязательств: требовалось равенство нулю математического ожидания от современного значения убытка страховщика, при этом накопление и дисконтирование проводилось с использованием функции накопления общего вида. Доказаны теоремы существования и единственности этих характеристик.

Решена обратная задача восстановления по экспериментальным данным параметров модели накопления, адекватно отражающей реальный процесс инвестирования.

1. Авдеенеко С.Н., Домбровский В.В. Анализ инвестиционных проектов в условиях интервальной неопределенности // Вестник Томского гос. ун-та. -Томск, 2000. №271. - С.125-126.

2. Авдеенеко С.Н., Домбровский В.В. Применение обобщенной интервальной арифметики в анализе потоков платежей // Вестник Томского гос. ун-та. Томск, 2000. №271. - С. 122-124.

3. Алексеев Б.В., Афанасьева Д.В. Актуарные потоки платежей для функции накопления, определенной аксиомами // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. Воронеж, 2000. — С. 254.

4. Алексеев Б.В., Афанасьева Д.В., Иваницкий А.Ю. Дискретные и непрерывные потоки платежей для функции накопления, определенной аксиомами // Численный анализ: теория, приложения, программы. — Изд-во МГУ, 1999.-С. 154-159.

5. Алексеев Б.В., Егорова Д.В., Иваницкий А.Ю. Введение в финансовую и актуарную математику. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2001. - 324 с.

6. Алексеев Б.В., Егорова Д.В., Иваницкий А.Ю. Введение в финансовую и актуарную математику. Изд-во Чув.ГУ, 2001. - 324с.

7. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.:ИНФРА-М, 1998. -160 с.

8. Беленький А.Г., Федосеева И.Н. Прогнозирование состояния динамически сложных систем в условиях неопределенности. М.: Изд-во ВЦ РАН. 1999. - 60с. (Сер. Сообщения по приклад, мат.).

9. Беленький В.З. Экономическая динамика: анализ инвестиционных проектов в рамках линейной модели Неймана-Гейла. М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 2002. - 78с.

10. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. М.:Финансы и статистика, 2002. -229 с.

11. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ инвестиционных проектов. -М.:ЮНИТИ, 1997.

12. Блачев Р.Н., Гусев В.Б. Моделирование оптимизационных задач финансирования инвестиционных проектов // Труды Института проблем управления РАН. 2002. - С. 87-92.

13. Борисов А.А. Определение оптимального уровня удержания риска страховой компании // Методы математического моделирования: Труды факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. М.: Диалог-МГУ, 1998. - С.151-159.

14. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник. — М.: Гардарики, 2002. 289 с.

15. Браун С. Дж., Кришмен М.П. и др. Количественные методы финансового анализа: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1996.

16. Бромович М. Анализ экономической эффективности капиталовложений: Пер. с англ. М.:ИНФРА-М, 1996. - 432 с.

17. Бронштейн Е.М. Математические проблемы теории портфельных инвестиций // Вестник УГАТУ. 2001, №1. - С. 53-58.

18. Бронштейн Е.М., Спивак С.И. О применении выпуклых структур в теории инвестиций // Труды средневолжского математического общ-ва. -1998. №1.-С. 5-15.

19. Бронштейн Е.М., Черняк Д.А. Показатели финансовой эффективности инвестиционных проектов // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002 - № 1 - С. 109-110.

20. Буров А.В. Управление произвольным потоком платежей на основе показателя обобщенной внутренней нормы доходности //Межд. конф. по проблемам управления. Москва, 29 июня-2 июля, 1999. - М.: СИНЕГ. 1999 -С. 193-194.

21. Васильев К.П., Спивак С.И. О числе решений уравнения доходности. //Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сборник. — Уфа: Изд-во УГАТУ, 1999. С. 14-20.

22. Ващенко Т.В. Математика финансового менеджмента. М.: Перспектива, 1996. - 82 с.

23. Виленский П.Л., Смоляк С.А. Показатель внутренней нормы доходности и его модификации // Аудит и финансовый анализ. 1999 - №4.

24. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов: Теория и практика: Учеб.-практ. пособие. М.: Дело, 2002.

25. Воронцовский А.В. Инвестиции и финансирование: Методы оценки и обоснования. СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 1998. - 528 с.

26. Гербер X. Математика страхования жизни. М.: АНКИЛ, 1995.

27. Голоколосова Т.В., Подгорная Е.А. Прогнозирование и анализ технических резервов страховой компании // Вестник Кемеровского гос. унта.-2001.-№3.-С. 43-48.

28. Дмитриев М.Н., Кошечкин С.А. Методы количественного анализа рисков инвестиционных проектов. // Экономика строительства. 2001 - №5-С.27-34.

29. Домбровский В.В. Интервальные методы в управлении финансами //Межд.конф. по проблемам управления, Москва, 29 июня-2 июля, 1999. -М.: СИНЕГ, 1999.-С. 202-209.

30. Дубов A.M., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю., Барановская Т.П. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие. -М.: Финансы и статистика. -2001.

31. Егорова Д.В. Функция накопления, определяемая по конечному множеству кривых //Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. — Воронеж, 2003. — С. 45.

32. Егорова Д.В. Математические модели экономики инвестиций. Изд-во Чув.ГУ. Чебоксары, 2002. - 56с.

33. Егорова Д.В. Нахождение функции накопления по двум экспериментальным кривым //Вестник Чув.ГУ, №3-4. Изд-во Чув.ГУ, 2001. — с.11-14.

34. Егорова Д.В., Алексеев Б.В. Нахождение функции накопления инвестиционного проекта по одной экспериментальной кривой. //Вестник Чув.ГУ, №3-4. Изд-во Чув.ГУ, 2001. - С. 15-21.

35. Егорова Н.Е., Хачатрян С.Р., Маренный М.А. Дифференциальный анализ развития малых предприятий, использующих кредитно-инвестиционный ресурс //Аудит и финансовый анализ. 2000.- №4- С.5-17.

36. Жуленев С.В. Финансовая математика. Введение в классическую теорию. М.: Изд-во МГУ, 2001. - 464 с.

37. Иванов A.M., Лапушинская Г.К., Перевозчиков А.Г. Оптимизация кредитных линий в инвестиционном менеджменте // Применение функционального анализа в теории приближений: Сборник научных трудов. Тверский гос. ун-т. Тверь: Изд-во ТвГУ. 2000.- С. 58-67.

38. Иванова Г.П. Дискретная модель задачи оптимизации деятельности страховой компании // Методы математического моделирования: Труды факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. М.: Диалог-МГУ. 1998. - С.165-170.

39. Идрисов А.Б., Картышев С.В., Постников А.В. Стратегическое планирование и анализ эффективности инвестиций. 2-е изд., стер. М.: Информ.-изд. дом «Филинъ», 1997. - 272 с.

40. Капельян С.Н., Левкович О.А. Основы коммерческих и финансовых расчетов. Мн.: НТЦ «АПИ», 1999. - 224с.

41. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. Учеб.-практ. пособие для вузов. М.:"ПРИОР", 1998. - 144 с.

42. Капустин Е.В. Математические модели функционирования страховых компаний с учетом перестраховки и банковского процента: Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. Томский гос. ун-т. Томск, 2001 - 18 с.

43. Касимов Ю.Ф. Начала актуарной математики (для страхования жизни и пенсионных схем). Зеленоград, 1995.

44. Ковалев В.В. Введение в финансовый менеджмент. М.: Финансы и статистика, 1999.-768 с.

45. Ковалев О.Н. Моделирование финансовой деятельности страховой компании: Автореф. дис. на соиск. учен. степ. канд. экон. наук. Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации. Москва, 2000.- 24с.

46. Козинцев Т.О. Использование техники динамического моделирования в менеджменте процентных рисков. М.: Диалог-МГУ. 2000,- 20с.

47. Конюховский П.В. Модели управления процессами привлечения средств в финансовой фирме //Вест. С.-Петерб. ун-та. 2000 —№3 — С. 115-128.

48. Корнилов И.А. Основы актуарных расчетов: Учебное пособие. М.: Издательство МЭСИ, 1997. - 117с.

49. Кочович Е. Финансовая математика: Теория и практика финансово-банковских расчетов. М.: Финансы и статистика, 1994. - 268 с.

50. Кошелев В.М. Моделирование динамики развития инвестиционных проектов //Экономико-математические методы в АПК: история и перспективы: мат-лы международного науч. симпозиума. — Москва, 13-25 апр., 1999. — с.130-133.

51. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. Неоклассические основы теории финансов. СПб: Издательство «Питер», 2000. - 400 с.

52. Кудрявцев А.А. Математика страхования жизни. Оценка обязательств компании страхования жизни. СПб.: Изд-во Института страхования. 1999,. -258с.

53. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М.: Дело, 1998.-304с.

54. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.-247с.

55. Маршалл Джон Ф., Бансал Випул К. Финансовая инженерия: Полное руководство по финансовым нововведениям: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1998.-784 с.

56. Мелкумов Я.С. Экономическая оценка эффективности инвестиций и финансирование инвестиционных проектов. М.: ИКЦ «ДИС», 1997. - 160 с.

57. Мельников А.В. О единстве количественных методов расчетов в финансах и страховании //Тр. математического института РАН. 2002-С. 57-79.

58. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг. М. ТВП, 1997.

59. Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001. - 260 с.124

60. Морозов В.В. Игровая модель перестрахования. //Методы математического моделирования: Труды факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ. М.: Диалог-МГУ. 1998. - С. 160-164.

61. Пономаренко Б., Смирнов JI. Метод расчета нетто-ставок по страхованию жизни при переменной доходности. //Политика. Экономика. Социология.-2000.-№1-2. С. 158-161.

62. Радионов Н.В., Радионова С.П. Основы финансового анализа. Математические методы. Системный подход. СПб: Альфа, 1999. - 592 с.

63. Ротарь В.И., Бенинг В.Е. Введение в математическую теорию страхования. Обозрение прикл. и пром. мат-ки .- 94 г. —Т.1. — вып 5.

64. Салин В.Н., Ситникова О.Ю. Техника финансово-экономических расчетов: Учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2000. -80с.

65. Силкина Г.Ю. Моделирование динамики инновационных процессов: Автореф. на соиск. уч. степ. докт. экон. наук. Санкт-Петербургский гос. ун-т экономики и финансов. С.-Пб. 2000. - 35с.

66. Сиразетдинов Т.К., Сорокин Е.В. Динамическое моделирование финансовых операций с использованием сложных процентов // Вестник Казанского гос. технич. ун-та. 1999. -№1. -с.31-34.

67. Смоляк С.А. О критериях сравнения инвестиционных проектов с нечеткими результатами // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. - № 1. - С. 326-327.

68. Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопределенности: теория ожидаемого эффекта. — М.:Изд-во ЦЭМИ РАН. 2001. - 142с.

69. Соловьев С.А. Математическое моделирование динамики инвестиций вдали от насыщения рынка. Преп. // Институт прикладной математики РАН. -2001.-№21.-С. 1-24.

70. Спивак С.И., Шагапонова Н.В. Сравнительный анализ различных финансовых инструментов // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч. сборник. Уфа: Изд-во УГАТУ. - 1999. - С. 2132.

71. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах: Учеб. пособие для вузов: Пер. с англ. /Под ред. М.Р. Ефимовой. М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999.-527 с.

72. Фабоцци Ф. Управление инвестициями: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2000.-932 с.

73. Фалин Г.И. Математические основы страхования жизни и пенсионных схем. М.: Изд-во МГУ, 1998. - 220 с.

74. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М. Рос. юридич. изд.дом ,1994. - 130 с.

75. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. М.: Финансы и статистика, 2001.

76. Хелферт Э. Техника финансового анализа: Пер. с англ. /Под ред. Л.П. Белых. М.:Аудит, ЮНИТИ, 1996. - 663 с.

77. Хмыз О.В. Минимизация риска при принятии инвестиционных решений предприятием // 2 Всероссийский симпозиум "Стратегическое планирование и развитие предприятий". Тезисы докладов и сообщений. — М.: Изд-во ЦЭМИРАН. 2001.-С. 120-122.

78. Чернавский Д.С., Щербаков А.В., Соловьев С.А., Зайцев С.В. Математическая модель деятельности малого инновационного предприятия. Явление "скрытого" банкротства. Преп. //Институт прикладной математики РАН. 2001. - №82. С. 1-30.

79. Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном пенсионном и медицинском страховании. М.:"Дело", 2002. - 272 с.

80. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995.

81. Четыркин Е.М. Пенсионные фонды. М.: АРГО, 1993.

82. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. М.: Дело, 2000. -400 с.

83. Четыркин Е.М. Финансовый анализ производственных инвестиций. -М.: Дело, 2002.-256 с.

84. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: Пер. с англ. -М.:ИНФРА-М, 1999.- 1028 с.

85. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг: Пособие для студентов, изучающих портфельную теорию и теорию финансовых деривативов. М.: ГУ ВШЭ, 1999. - 144 с.

86. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2 т. -М: ФАЗИС, 1998.- 1056 с.

87. Экономико-математические методы и модели в маркетинге: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева. М.: Юнити-Дана, 2001.

88. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие /Н.И. Холод, А.В. Кузнецов, Я.Н. Жихар и др.; Под общ. ред. А.В.Кузнецова; БГЭУ.- Минск, 1999.-413с.

89. Юдаков О. Методы оценки финансовой эффективности и рисков реальных инвестиций в условиях неопределенности. //Инвестиции в России.-1999.-№3.-С. 27-31.

90. Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J. Actuarial Mathematics. 2-nd ed. 1997.

91. Borch K. The mathematical theory of insurance. Lexington Books, 74.

92. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy. 1973. № 3. P.637-659.

93. Fama E. Foundation of finance. Blackwell, 1971.

94. Fama E. Risk ,return and equilibrium. J. Political Economy. 79 (1971) p.30-55.

95. Fisher I. The theory of interests. New York: Macmillan, 1930.

96. Hodges S.D. and Brealey R.A. Portfolio selection in a dinamic and uncertain world. Financial Analists J. 29 no,March (1973) p.50-65.

97. Hodges S.D. Problems in application of portfolio selection. Omega internat. J. Management Sci. 4(1976) p.699-709.

98. Markowitz H. Portfolio selection. Journal of Finance, 1952, March, p. 77-91.

99. Marcowitz H.M. Mean-variance in portfolio choice and capital markets. Blackwell 1987.

100. Merton R.C. An analitic derivation of the efficient portfolio frontier. J.Financial and Quantitative Anal. 7(1972) p. 1851-1872.

101. Merton R. C. Theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics and Management Science, 1973,4 (Spring), p. 141-183.

102. Modigliani F., Miller M. The cost of capital, corporation finance and theory of investment. American Economic Review, 1958, June, p. 261-297.

103. Ross. S. The arbitrage theory of asset pricing. Journal of Economic Theory, 1976, December, p. 343-362.

104. Sharpe W.F. Portfolio theory and capital markets. Mc.Grow-Hill,1970.