автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование и численное решение многомерных обратных граничных задач теплопроводности, обладающих полугрупповой симметрией

9

99-5"

2.38 О -9

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Факультет Вычислительной математики и кибернетики

На правах рукописи УДК 519.642 + 519.633.9

ИВАНОВ ДМИТРИЙ ЮРЬЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ОБЛАДАЮЩИХ ПОЛУГРУППОВОЙ СИММЕТРИЕЙ

05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА — 1999

Работа выполнена на кафедре математической фязики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного универститега им. М. В. Ломоносова и в Научно-исследовательском институте импульсной техники.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Е. В. Захаров

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Р. П. Тарасов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. И. Прилепко

кандидат физико-математических наук, доцепт Н. В. Музылев

Ведущая организация: Московский государственный авиационный институт (технический университет)

Защита диссертации состоится 13" окпггяЛрл 1999 года в час. ЗОмин. на заседании Диссертационного совета К.053.05.87 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, 2-ой гуманитарный корпус, факультет Вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ф-та ВМиК МГУ

Автореферат разослан " 40 » СС Й 1999

года

Ученый секретарь

Диссертационного совета К.053.05.87 доцент ) В. М. Говоров

Российская Г осудяпственная библиотека |

-ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория обратных задач для уравнений математической физики является одной из быстро развивающихся областей современной математики. Такие задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов с целью исследования различных свойств физических объектов и процессов, недоступных для непосредственного наблюдения. Современная теория обратных задач и методов их решения создана и развита в фундаментальных трудах А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова и работах целого ряда других авторов.

Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием теплофизических процессов. В основе математических моделей таких процессов лежит уравнение теплопроводности. Важный класс обратных задач для уравнения теплопроводности образуют обратные граничные задачи теплопроводности (ОГЗТ), состоящие в определении граничных условий по данным температурных измерений в теле. Так. например, часто возникает необходимость оценивания нестационарных плотностей тепловых потоков на поверхности тела, удаленной от области, где проводятся непосредственные измерения.

Среди таких задач наиболее сложными с точки зрения численной реализации считаются многомерные (по пространственным переменным) задачи, заключающиеся в восстановлении непрерывных пространственно-временных зависимостей граничных условий. Это связано с повышенной неустойчивостью многомерных ОГЗТ по сравнению с одномерными, а также со зиачительным увеличением объёма вычислений, возникающим при переходе от одномерных обратных задач к многомерным. В связи с этим большое значение приобретает разработка экономных методов численного решения многомерных ОГЗТ, обладающих возможностью достаточно эффективной стабилизации решений.

Цели диссертационной работы. Цель работы состояла в построении, а также теоретическом и практическом обосновании экономного алгоритма численного решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе, учитывающего полугрупповую симметрию таких задач. Для решения сеточных уравнений использовась методика численной факторизации, предложенная Р. П. Тарасовым для

одномерных ОГЗТ [1].

Научная новизна. Разработан экономный метод решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе, обладающий возможностью достаточно эффективной стабилизации решений. В основе предлагаемого метода лежат сеточные уравнения, которые могут быть получены в результате разностно-аналитической аппроксимации интегральных уравнений или абстрактных задач, соответствующих указанным ОГЗТ, и допускающие решение при помощи экономных разностных схем. В отличие от известных методов решения ОГЗТ, использующих разностные схемы, при решении таких сеточных уравнений разностные схемы применяются для реализации только устойчивых блоков, соответствующих некоторым частным прямым задачам. Предлагаемый метод, вообще говоря, не является прямым .и может быть отнесен к классу итерационных градиентных методов; но при этом существенной его особенностью является использование эффективного переобусловливания, которое позволяет значительно уменьшить число необходимых для получения решения итераций, а в случае достаточно хорошо обусловленных задач сразу приводит к решению. Еще одной особенностью данного метода является разделение процессов собственно решения сеточного уравнения и стабилизации решения. Здесь на этапе решения сеточного уравнения не используются никакие регуляризующие алгоритмы; стабилизация осуществляется на самом последнем этапе, когда решение сеточного уравнения уже получено, и заключается в сглаживании решения низкочастотными цифровыми фильтрами.

В качестве теоретического обоснования возможности использования полученных сеточных уравнений для решения указанных ОГЗТ показано, что аппроксимации регуляризованных решений соответствующих интегральных уравнений в пространстве Ь2 могут быть построены при помощи решений сеточных уравнений и некоторых спектральных проекторов в Ь-2, связанных со спектральным разложением интегральных операторов и соответствующих компактным спектральным множествам.

Наряду с интегральной постановкой для построения сеточных уравнений может быть использована абстрактная постановка, где рассматриваемые ОГЗТ имеют вид обратных краевых задач для дифференциально-операторных уравнений. В абстрактной постановке до-

казана единственность решений ОГЗТ и продемонстрировано отсутствие непрерывной зависимости решений от входных данных. Доказана эквивалентность абстрактной и интегральной постановок ОГЗТ в ¿2 •

Методы исследований. В работе широко применялись теория и методы функционального анализа, например, теория полугрупп и различные операторные методы. Кроме того, использовались сведения из области уравнений математической физики, теории аналитических функций, вычислительной математики.

Практическая ценность. Предлагаемый метод решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе может быть использован на практике для идентификации и диагностики тепловых потоков, имеющих достаточно сложную пространственно-временную форму.

Апробация. Результаты работы докладывались на международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1996 г.), посвященной памяти А. Н. Тихонова, на пятой конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, МГУ, фак-т ВМиК, 1999 г.) и на семинарах кафедры математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [1-у], перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав и заключения, содержит 132 страницы текста, в том числе 32 графика (по 4 на одной странице), список и указатель обозначений и список литературы из 101 наименования,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы, сформулированы основные проблемы, исследуемые в настоящей работе. В § 0.1 рассмотрены области практического применения ОГЗТ. В § 0.2 описаны дифференциальные постановки ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе, рассматриваемые в диссертации.

В автореферате будет рассматриваться только ОГЗТ на тонкой

прямоугольной пластине. Соответствующая ей прямая начально краевая задача имеет вид:

\ихх = wt — Муу - рш, ю = го(х, 4, у) ,

(х, у) е (0, Ъх) х (0, оо) х (0,6У) (р > 0) ;

дхю(х = О, Ь, у) = -и(*,у) , дхи)(х = Ьх,г,у) — 0 ,

(*,у)€[0,оо)х[0А] 5 (1)

дуы(х, <, у = 0) = духи{х, г, у = Ьу) = 0 ,

(х,*) е [0,6,] х [0, оо) ;

и{х, * = о, у) = о, (х, у) е [о, ьх] х [о. ьу].

ОГЗТ заключается в нахождении такой причинной функции д(4,у), чтобы классическое решение прямой задачи (1) удовлетворяло следующему дополнительному граничному условию:

Цх = <М,у)=г(*,у), (*,у)€ [0,оо) х [0,6„] (<* € (0, Ьх}) . (2)

При этом функция и(4,у) считается известной.

В § 0.:? сделан обзор литературы по вопросам, связанным с единственностью решений ОГЗТ и соответствующих им интегральных уравнений, рассмотрена физическая природа неустойчивости этих задач.

В § 0.4 перечислены наиболее хорошо известные численные методы решения ОГЗТ. В основу классификации методов положен способ регуляризации решения. Кратко отмечены способы получения сеточных уравнений и принципы их решения.

В § 0.5 описан метод, предложенный в [1,2] для решения одномерных ОГЗТ, аналогичных (1), (2). В рамках данного метода при построении сеточных уравнений существенно используется полугрупповая симметрия задач, а при решении сеточного уравнения — функциональное исчисление в алгебре формальных полиномов.

В § 0.6 по аналогии построен алгоритм численного решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине (1), (2) и трехмерном брусе. Опишем основные моменты вывода сеточного уравнения и схемы его численного решения для (1), (2). Для этого в первую очередь отметим,

что формальные полиномы порядка N имеют вид дЛ-(Л) = Як складываются и перемножаются, как и обычные полиномы, но при умножении считается, что = 0 при к > 0. Формальные поли-

номы образуют алгебру, где могут быть конструктивно определены экспоненциальная и степенные функции.

Сеточное уравнение выводится на основе аппроксимации абстрактной обратной краевой задачи, соответствующей ОГЗТ (1), (2) и имеющей вил

с*2\у(х)/с*х2 = —Оя+хП лу(х) , х 6 (0, Ьх) ;

= 0)/(1х = -а , = Ьх)/сЬ = о ; (3)

w(x = d)=v (</е(0А]). (4)

Здесь \у(х) = ги(ху) — векторная функция со значениями в пространстве /^(И* х $2) (11+ = (0, оо), И — (0, Ьу))] и = и(Ь, у), v = г>(<, у), о = 0 элементы х О); Вп^хн — линейный замкнутый опе-

ратор в /уо(Н.( х П), определяемый дифференциальным выражением — дх — р и граничными условиями /(£ = 0, у) = 0, ду{(1,у — 0) = ду/{1,у = Ьу) = 0. Оператор —Г)ц х<; — абстрактный эллиптический. Решение прямой краевой задачи (3) (ослабленное) определено согласно С. Г. Крейну [3] для эллиптического случая. Обратная задача (3), (4) заключается в нахождспии такой причинной функции и, чтобы ослабленное решение прямой задачи (3) удовлетворяло дополнительному краевому условию (4). При этом функция v считается известной.

Оператор порождает С0-полугруппу (сильно непрерыв-

ную на [0, оо) полугруппу ограниченных операторов) вида Тд, хп(т) = ехр(—рт)Тц_( (т)Тп(т). При этом Тк+(т) — СУполугруппа операторов правого сдвига по временной переменной V. (Тя( (т) Г)(4, •) = /(£ — т, •) при т < г, (Тк+(т) •) = 0 при т > £; Тц(т) — Со-полугрунпа, порождаемая дифференциальным оператором Пц: (В!г Т)(-,у) = дуу/(-,у), ду/(-,У = 0) = ду/(-, У = Ьу) = 0.

Задача (3) может быть представлена в символической форме

А»(«)/Лв2 = Л ги(х) , х £ (0, Ьх) ; ш'(0) = -и , и/(Ь.) = 0 , (5)

где гу(х) € Н (х е (0А)), и £ К. Решение (5) имеет вид ю(х) = у(х; Л) и. На основе этого делается предположение, что для решения (3) имеет место равенство w(x) = д(х;-&н+хп) и, где функция

д(х\ ■) от оператора — Da+хп определена согласно [4]: д(х\ —Dr^xjj) 11 = /£°а(х;т) Tr+xji(t) udr, д(х\\) - /0°°ä(x;r) ехр(-Л r)dr. В этом контексте обратной задаче (3), (4) соответствует операторное уравнение

g{d\- DR+Xii)u = v. (6)

Используя аппроксимацию Иосиды Djuxn ~ Я-1 (Tr,хп(Я) — Ir(xq), где Ijuxn — тождественный оператор в L2(R+ х П), Я = T/N при некотором Т > 0, и осуществляя дискретизацию функций и и v по переменной t, получаем некий дискретный аналог уравнения (6), который может бы ть записан в терминах формальных полиномов:

Й„( Tfl,A)uJV(A) = vw(A). (7)

Здесь Я„(Т£, А) = ЕьТо1«* ехр(-* р Я) (Tn)1 А* (Tn = Т„(Я)), u*(A) = Е,^1 u. vn(A) - Е^1 v, А' (щ = u(t = i Я, •), v, = v(t = г Я, ■)). Коэффициенты а* вычисляются как коэффициенты полинома А) = Ffi/{\)) на основе функционального исчисления в алгебре формальных полиномов, при этом />(А) = Н~1( 1 — А).

Численное решение уравнения (7) предлагается проводить в два этапа. На первом этапе осуществляется собственно решение уравнения (7) на основе метода факторизации. На втором этапе полученное решение сглаживается низкочастотными цифровыми фильтрами.

В основе первого этапа лежит численная факторизация вида Я^(А) ~ Ял)'(А) Яд?1 (А) [1,2]. В результате факторизации полипом Я^ (А) получается устойчиво обратимым, т.е. с машинной точностью выполняется соотношение Я^'(А) А) яа eN(\) (eN(\) = 1). Эле-

мент Яд-'(А) теоретически равен единичному, но на практике может отличаться от ед(А) в силу плохой обусловленности Ядг(А). Основьша-ясь на факторизации, численное решение (7) проводится следующим образом. Сначала вычисляется функция йдг = Н^ А) Vyy(A).

Если при этом А) и ед(А), то полагаем ид ~ йд. Если соотношу ние Яд'(А) ~ едг(А) существенно нарушено, то методом сопряженных градиентов решается переобусловленное уравнение

fif (T&,A)uw(A)=ü*(A). (8)

Операторы Нц){ ' '(Tq, Л) и Z/Jj^Tfj,Л) строятся но аналогии с /7лг(Тц,А), но при этом вместо коэффициентов полинома Н,\(Х) используются коэффициенты Д^'~''(А) и Яд'(А) соответственно. Основываясь на равенстве (А) = е\(Х), можно предположить, что для решения (8) требуется меньше итераций, чем для решения (7) тем же градиентным методом. Полученное решение Ujv(A) сглаживается низкочастотными цифровыми фильтрами. Степень сглаживания определяется экспериментально.

Для вычисления элементов вида (Тп)'" и, и (Tn)* v, могут быть использованы устойчивые разностные схемы, аппроксимирующие частные прямые задачи типа

9т = 9уу , 9 = 9{т,у) , (г, у) € (0,2') х (0,Ь„) J

дуд(т, у = 0) = дуд(т, у = by) = 0 , т е [0, Т) ; (9)

<7(т = 0,у) = /(у), у € [0, Ь„] ,

т.к. д(т,у) = (Tn(r) f)(y).

Аналогично строится алгоритм для численного решения ОГЗТ на трехмерном брусе.

В § 0.7 сформулированы основные проблемы, возникающие в связи с обоснованием построенного в § 0.6 алгоритма. Во-первых, это вопросы корректности обратной задачи (3), (4) (единственность решения, устойчивость), а также вопрос эквивалентности задачи (3), (4) какой-либо из традиционных математических моделей, соответствующих ОГЗТ (1), (2). Во-вторых, это более строгий вывод предлагаемого сеточного уравнения и исследование его аппроксимирующих свойств. В-третьих, это экспериментальная проверка эффективности описанного в § 0.6 алгоритма численного решения сеточного уравнения, а также экспериментальное подтверждение возможности использования сеточного уравнения (7) для решения ОГЗТ (1), (2). Указанные три группы вопросов разбираются соответственно в главах I, II и 111 диссертационной работы. В § 0.7 дано краткое содержание этих трех глав.

В связи с тем, что оператор DiU*n является абстрактным эллиптическим (Dr. „и порождает экспоненциально убывающую С0-полугруппу), центральное место в главе I занимает рассмотрение обратной краевой задачи

<i*w(x)/dx2 = A w(x) , х € (OA) ;

(1ч/(х = 0)/(1х = -и , сЛу(х = 6х)Д£е = о ; (10)

лу(х = ¿) = V (¿€[0,6,]), (11)

аналогичной (3), (4), где А — произвольный абстрактный эллиптический оператор в банаховом пространстве Е. Задача (10), (11) сводится к решению операторного уравнения

6(4; А) и = V .

Здесь в(<*; А) = [I - Т(26х; -А1/2)]-1 [Т(<*; -А1'2) - Т(2 Ъх - - А1/2)], I — тождественный оператор в Е, Т(г; —А1/2) — Со-полугруппа, порождаемая оператором -А1'2, А1/* — квадратный корень из А.

Используя аналитичность Со-полугруппы Т(т; - А1/2), в § 1.1 установлена единственность и достаточные условия неустойчивости решения обратной задачи (10), (11):

Лемма 1. Оператор (*(£<; А) (с1 6 [0,6Х]) имеет тривиальное ядро. Лемма 2. Пусть комплексное банахово пространство Е рефлексивно. Тогда оператор А)]-1 (<1 6 [0,6Х]) всюду плотно определен в Е, а в случае неограниченного оператора А неограничен при

¿е{о,ьх].

При помощи функционального исчисления для абстрактного эллиптического оператора в § 1.2 получено интегральное представление оператора А) через резольвенту оператора А. На основе такого представления доказана следующая лемма:

Лемма 3. Если оператор —А является генератором экспоненциально убывающей Со-полугруппы, то при с1 € (0,6Т] обратная задача (10), (11) сводится к решению интегрального уравнения

гоо

/о а(й; т) Т(т; — А) и ¿т = V .

Здесь Т(т; — А) — Со-полугруппа, порождаемая —А; функция а{(1\ т) определена в § 0.6.

Полагая А = —Оц.+хц, в § 1.3 как следствия лемм 1-3 получены следующие утверждения:

Утверждение 1. Обратная краевая задача (3), (4) если имеет решение, то это решение единственное. При этом отсутствуе т устойчивость решения и к возмущениям правой части V в норме X $7).

Утверждение 2. Обратная краевая задача (3), (4) эквивалентна интегральному уравнению

¿г 6(т, 0, у, V) и(I - т, и) ¿V = , у) (12)

в пространстве Х2(Н^ х £2).

Здесь &(т,х,£,у,и) — функция Грина прямой задачи (1). Утверждение 3. Интегральное уравнение (12) если имеет решение, то это решение единственное в пространстве х О). Отсутствует непрерывная зависимость решения уравнения (12) и от правой части V в норме х 12).

Аналогичные выводы сделаны для ОГЗТ на трехмерном брусе. В главе II, основываясь на интегральном уравнении в пространстве ¿2(Я X 12)

СКхПи = у, (13)

сделан подробный вывод сеточного уравнения типа (7) (также и для трехмерного бруса). Здесь СКх$2и = /0°° а(<1; т)Тнхц(т)и ¿г, ТКхН( г) — дилатация Со-полугруппы Т^хиМ в £2(К х [5]- При V £ Ь2(К+ X 12) уравнение (13) тождественно совпадает с (12).

Используя спектральное разложение оператора Сл.хп, в § 2.1 для уравнения (13) построено регуляризутощее в норме /'2(В х 12) семейство операторов вида

ёяхк^(<5), т) -14,- а3) <П>»К (Г.е,-)^)} е,- .

Здесь Г 6 Ь2(Н х О), {Рд) — разложение единицы оператора —г Од (г2 = — 1), Г)ц — генератор Со-полугруппы Ти(т), унитарной дилата-ции Тя( (т) в £2(П); {<т7}, {е_,} — собственные значения и нормированные собственные функции оператора . Функция д(с1] А) определена в § 0.6; (^ е^(п)(«) = ¿' /(«, у) е,{у) ¿у, \У{6), J{S) - числовые функции, осуществляющие согласование с погрешностью ё.

В § 2.2 построена аппроксимация в норме Ь2(К X 12) операторов операторами вида Рд.хп

Н^Х\\[Я] при Я +0 (Я >

0). Здесь

7=0

n=0

При этом — коэффициенты разложения в ряд Тейлора функции

h Л(Н; w) по степеням w, h(H-, w) = g(d\ (1 — w)/H).

В § 2.3 при помощи операторов Н^хП[Н] = е£г01 &п{~1} Т/гхП(п Я) построена аппроксимация в норме i/-2 (R. х fl) регуляризованного решения уравнения (13) с точной правой частью v € х fi):

Um Hlimo Um {РлНх1г (HJrlxa[H] P^xU vÄ)} = u . (14)

При этом vs £ L2(R+ x fi): ||уг - v^a^ii) < 8\ Р'^хП — оператор проектирования пространства ¿г(К-+ х ty в (1т х Uт = (О, Т), Т > 0); Т;.гхП(т) — проекция С0-полугруппы Тц^^т) в Ь2{1тХ&) [5]; N = int /* (Т/Я) (int (•) — функция округления положительного числа до большего значения).

В § 2.4 построены сеточные аппроксимации оператора Й/тХ'п[Я], которые могут быть записаны в терминах формальных полиномов. Введем линейное пространство {<1м(3)(А)} полиномов вида Чм(*)(А) =

Е^"1 Чш Am, qm - (qmU..., qmI), qmt 6 R; M(») = int / (T/At), At = II/s; s, I 6 Z+. В {qM(.i)(A)} определим операторы —

Еп=о ехр(—пр Я) (f*)» Aen:

я(г1>(т^,г)Чм(4)(А) =

Ai(s)—1 int\(m/s)

= Е Е ехр(—п р Я) (Т/)" qm_3n Am .

m=0 n—0

При этом int \ (•) функция округления положительного числа до меньшего значения. — К-ая степень оператора шага устойчивой разностной схемы

- Я-'1) = h-\gl, - 2 fl? + fltJ , г = 1.....1;

= .9? , fl? = flm , k = ly..., К (15)

fl? = /, , t = 1,..., 7 , аппроксимирующей прямую задачу (9). Здесь /iT = Я/А', = 6,,//,

к е Z+.

Введем в рассмотрение множество РС(1т; Ь2{Щ) С Ь2(1т х П) кусочно-непрерывных векторных функций f(t, ■) со значениями в /уимеющих конечное число разрывов в норме 1/2(П) на замыкании 1т- Введем также множество 5тп С /^г(^) непрерывных функций /(у), обеспечивающих необходимую для аппроксимации схемой (15) гладкость функций д(т, у). Определим операторы Р^«,, действующие из Sm в {чм(,)(А)}: f = Члф)(А), qmi = f(t = mAt,y = (i-

1/2) Ay), и операторы P*' >£, действующие из {qM(s)(A)} в L2(It X Pqi,L 4a#w(A) = f, /(i,y) = 9rn< при t 6 (mA!,(ffl+ 1)Д*)П/Т,

В норме L2{It x i2) имеет место следующее предельное соотношение:

lim Jm^ {p;i£ яИСГ7/, A') P£q f} = ЙЦ>0[Л] f (16)

для f G PC(It\L2(Q)): f(«,•) € 5m, i G /т.

На основании предельных соотношений (14) и (16) делается вывод о возможности построения аппроксимации регуляризованного решения уравнения (12) при помощи спектральных проекторов Prx{j и решений сеточных уравнений вида

Й„(Т^, У) чЦа)(А) = чЦл)(А) , (17)

^ = Р&, PLxn Vs. При этом HN(T>/,\°) = EnW=o' а* х

х ехр(—пр Я) (Т/,к)" А*"; аЦ — коэффициенты разложения в ряд Тейлора функции h(H-,w) по степеням w. совпадают с о„, определенными в § 0.6, т.е. могут быть получены на основе функционального исчисления в алгебре формальных полиномов. Операторы и Тр'К,У) взаимно обратны.

Необходимо отметить, что полученный результат не является обоснованием возможности использования (17) для численного решения (12) в силу абстрактного характера стабилизирующих множителей Рн.хП> действующих в Ьг(Н х i2).

В главе III приведены результаты вычислительных экспериментов. В § 3.1 детально описан алгоритм численного решения сеточного уравнения (17) и аналогичного уравнения для трехмерного бруса,

построенный на основе метода факторизации в соответствии со схе мой § 0.6. Алгоритм реализован в виде комплекса программ. В § 3.2 приведены результаты численного решения (17) на основе разработанного алгоритма. При этом использовалась правая часть Ч\/|,)(А), вычисленная при помощи самого уравнения (17) и заданной функции Дополнительно в той или иной степени возмущенная случайным шумом. Экспериментально установлено, что переобусловливание сеточного уравнения позволяет существенно уменьшить число итера ций, необходимых для получения его численного решения методом сопряженных градиентов, а в случае достаточно хорошо обусловленных уравнений сразу приводит к решению. Гак же экспериментально установлено, что низкочастотные цифровые фильтры оказывают на решения сеточных уравнений стабилизирующее действие. В § 3.3 представлены результаты численного решения ОГЗТ для трехмерного бруса. Разработанная методика в данном случав также позволяет использовать для стабилизации решений низкочастотные фильтры. Необходи мо отметить, что объём вычислений, требуемый для решения ОГЗТ на трехмерном брусе на основе предлагаемой методики, можно оценить как /V2 N. (/V,, Ny, N. — количество шагов дискретизации по переменным I, у, г соответственно). Для сравнения, если аппроксимировать интегральное уравнение (12) на основе квадратурных формул и решать полученное сеточное уравнение методом Гаусса или методом сопряженных градиентов, то оценка будет /V,2 ЛГ2 Л'2. В случае ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине соответствующие оценки Л/2 ЛГу и Л/2 /V2.

В § 3.4 представлены результаты численного сравнения построенных здесь разностно-аналитических аппроксимаций интегральпьгх операторов (12) с их традиционными квадратурными аппроксимациями. Результаты такого сравнения вместе с результатами экспериментов, представленных в § 3.2, позволяют сделать вывод о возможности практического использования (17) для численного решения (12).

В § 3.5 рассмотрена возможность построения сеточных уравиепий, аналогичных (17), для некоторых других обратных граничных задач параболического типа.

В заключении сделан краткий обзор результатов, полученных в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

I. Установлена эквивалентность абстрактной и интегральной формулировок некоторых обратных граничных задач теплопроводности для тонкой прямоугольной пластины и трехмерного бруса. При этом описана полугрупповая симметрия, присущая данным задачам.

II. С учетом полугрупповой симметрии интегральных уравнений построены их разностно-аналитические аппроксимации, допускающие экономное решение с использованием устойчивых разностных схем.

III. Разработан градиентный метод численного решения таких сеточных уравнений, основанный на фак торизации сеточных операторов. Метод реализован в виде комплекса программ, при помощи которого проведен ряд вычислительных экспериментов по численному решению интегральных уравпений, соответствующих обратным граничным задачам на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе. В частности, установлено, что переобусловливание, осуществляемое на основе факторизации, позволяет значительно уменьшить число итераций, необходимых для решения сеточных уравнений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

i. Иванов Д. Ю., Тарасов Р. П. Численное решение интегральных уравнений с однопараметрической полугруппой симметрий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996. Т. 36, N 7. С. 54-76.

ii. Tarasov R. P., Ivanov I). Yu. The method for the numerical solution of one case of inverse problems of multidimensional unsteady heat conduction // Тезисы международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (ПРР-96), посвященной памяти акад. А. Н. Тихонова. М.: Диалог-МГУ, сентябрь 1996 г. С. 177.

iii. Иванов Д. Ю. О краевых задачах с граничными условиями первого и второго рода для дифференциально-операторного уравнения в эллиптическом случае / МГУ. М., 1998. 14с. Деп. в ВИНИТИ, N 107 — В98.

iv. Иванов Д. Ю. Обоснование одного алгоритма численного решения обратных граничных задач теплопроводности, построенного с учетом полугрупповой симметрии таких задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998. Т. 38, N 12. С. 2029-2043.

v. Иванов Д. Ю. Экономный метод решения одной многомерной обратной граничной задачи теплопроводности // Тезисы пятой конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: МГУ, июнь 1999 г. С. 29.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Тарасов Р. П. Численное обращение причинных операторов Винера- Хопфа и метод цифровых фильтров в обратных задачах теплопроводности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993. Т. 33, N 11. С. 1603-1625.

2. Тарасов Р. П. Вычисление функций в алгебре формальных полиномов и алгоритмы цифровой обработки многомерных сигналов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1992. Т. 32, N 10. С.1523-1544.

3. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967.

4. Хилле Э-, Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: Иэд-во иностр. лит., 1962.

5. Секефальви-Надь В., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Мир, 1970.

Издательство АО "Диалог-МГУ" ЛР N 063999 от 04 04.95 Подписано к печати 09 09.99 г. Усл.иеч.л. 1,0. Тираж 80 экз Заказ 883 Тел. 939-3890, 939-3891, 928-1042 Тел /Факс 939-3891 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ

029 0

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫ ШВЕРСМТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет Вычислительной математики и кибернетики Кафедра математической физики

УДК 519.642 +519.633.9 На правах рукописи

Иванов Дмитрий Юрьевич

ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ОБЛАДАЮЩИХ ПОЛУГРУППОВОИ СИШЕТРИЕИ

05.13.18. - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Захаров Е.В.

кандидат физико-математических наук, ст. науч. сотрудник Тарасов Р.П.

МОСКВА - 1999

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория обратных задач для уравнений математической физики является одной из быстро развивающихся областей современной математики. Такие задачи возникают при обработке и интерпретации результатов экспериментов с целью исследования различных свойств физических объектов и процессов, недоступных для непосредственного наблюдения. Современная теория обратных задач и методов их решения создана и развита в фундаментальных трудах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и работах целого ряда других авторов.

Большое практическое значение имеют задачи, связанные с исследованием теплофизических процессов. В основе математических моделей таких процессов лежит уравнение -.теплопроводности. Важный класс обратных задач для уравнения^'теплопроводности образуют обратные граничные задачи теплопроводности (ОГЗТ), состоящие в определении граничных условий по данным температурных измерений в теле. Так, например, часто возникает необходимость оценивания нестационарных плотностей тепловых потоков на поверхности тела, удаленной от области, где проводятся непосредственные измерения.

Среди таких задач наиболее сложными с точки зрения численной реализации считаются многомерные задачи, заключающиеся в восстановлении непрерывных пространственно-временных зависимостей граничных условий. Это связано с повышенной неустойчивостью многомерных ОГЗТ по сравнению с одномерными, а также со значительным увеличением объема вычислений, возникающим при переходе от одномерных обратных задач к многомерным. В связи с этим большое значение приобретает разработка экономных методов численного решения многомерных ОГЗТ, обладающих возможностью достаточно эффективной стабилизации решения. Цели диссертационной работы. Ставится целью построение, а также теоретическое и практическое обоснование экономного алгоритма численного решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и

трехмерном брусе, учитывающего полугрупповую симметрию таких задач. В качестве основы такого алгоритма предполагается использовать методику численной факторизации в алгебре формальных полиномов, предложенную Р.П. Тарасовым для решения одномерных (по пространству) ОГЗТ [1]. Исследуются вопросы, связанные с единственностью и устойчивостью решений указанных обратных задач в абстрактной и интегральной постановках.

Научная новизна. Разработан экономный метод решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе, обладающий возможностью достаточно эффективной стабилизации решения. В основе предлагаемого метода лежит сеточное уравнение, полученное в результате разностной-аналитической аппроксимации интегральных уравнений, соответствующих указанным ОГЗТ, и допускающее решение при помощи экономных разностных схем. В отличие от известных методов решения ОГЗТ, использующих разностные схемы, при решении такого сеточного уравнения разностные схемы применяются для осуществления только устойчивых блоков, соответствующих некоторым частным прямым задачам. Кроме того, предлагаемый метод, вообще говоря, не является прямым и может быть отнесен к классу итерационных градиентных методов. Но при этом существенной его особенностью является использование эффективного переобусловливания, которое значительно уменьшает число необходимых для получения решения итераций, а в случае достаточно хорошо обусловленных задач сразу приводит к решению. Еще одной особенностью данного метода является разделение процессов собственно решения сеточного уравнения и стабилизации решения. Здесь на этапе решения сеточного уравнения не используются никакие регуляризующие алгоритмы; стабилизация осуществляется на самом последнем этапе, когда решение сеточного уравнения уже получено, и заключается в сглаживании решения низкочастотными цифровыми фильтрами.

В качестве теоретического обоснования возможности использования полученного сеточного уравнения для решения

указанных ОГЗТ показано, что аппроксимация регуляризованного решения интегрального уравнения в пространстве Ъг может быть построена при помощи решений сеточного уравнения и некоторых спектральных проекторов в 12, связанных со спектральным разложением интегрального оператора и соответствующих компактным спектральным множествам.

Предложена абстрактная постановка рассматриваемых ОГЗТ в виде обратных краевых задач для дифференциально-операторных уравнений в пространстве Ъг, где проявляется полугрупповая симметрия, присущая данным задачам. В абстрактной постановке доказана единственность решений ОГЗТ и продемонстрировано отсутствие непрерывной зависимости решений от входных данных. Доказана эквивалентность абстрактной и интегральной постановок ОГЗТ в Х2. Метода исследований. В работе широко применяются теория и методы функционального анализа, например, теория полугрупп и различные операторные методы. Кроме того, используются сведения из области уравнений математической физики, теории аналитических функций, вычислительной математики.

Практическая ценность. Предлагаемый метод решения ОГЗТ на тонкой прямоугольной пластине и трехмерном брусе может быть использован на практике для идентификации и диагностики тепловых потоков, имеющих достаточно сложную пространственно-временную форму. Апробация. Результаты работы докладывались на международной конференций "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, МГУ, 1996 г.), посвященной памяти А.Н. Тихонова, на пятой конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, МГУ, фак-т ВМиК, 1999 г.) и на семинарах кафедры математической физики факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Публикации. Основные результаты работы опубликованы в работах [2-61.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав и заключения, содержит 132 страницы текста, в

том числе 32. графика (по 4 на одной странице), список и указатель обозначений и список литературы из 101 наименования.

ВВЕДЕНИЕ

0.1. Области практического применения обратных граничных задач

теплопроводности

Теория некорректно поставленных задач, основы которой были заложены в трудах видных советских математиков А.Н. Тихонова, В.К. Иванова и 1.1. Лаврентьева еще в 50-х - 60-х годах нашего века, является сравнительно новым и весьма бурно развивающимся направлением вычислительной математики. Неослабевающий интерес к ней объясняется прежде всего постоянно расширяющимся кругом приложений в самых различных отраслях науки и техники, а также возросшими возможностями вычислительной техники. Наиболее широкую область применения теории некорректных задач представляют собой обратные задачи, в которых по измерениям состояния системы или процесса требуется определить некоторый набор причинных характеристик. В частности, большое практическое значение имеют так называемые обратные задачи тепло- и массообмена, необходимость решения которых появляется при проведении различных теплофизических исследований, создании и эксплуатации теплонагруженных технических объектов, отработке технологических процессов.

При экспериментальном исследовании нестационарных процессов тепломассообмена, протекающих при взаимодействии потоков жидкостей и газов с твердыми телами, возникает необходимость определения в эксперименте плотности тепловых потоков к телу. Во многих случаях единственный путь нахождения этих величин как функций времени и пространственных координат заключается в решении обратных граничных задач теплопроводности (ОГЗТ) по результатам измерений температуры внутри тела. Это связано, во-первых, с тем, что непосредственно измерить изменяющиеся во времени плотности тепловых потоков, как правило, не представляется возможным. Во-вторых, довольно часто оказывается недоступной для проведения

прямых измерений поверхность исследуемых объектов. В то же время имеется возможность замеров температуры в отдельных точках внутри тела или на части его поверхности. Таким образом, в ходе тепловых экспериментов появляется необходимость решать ОГЗТ - расчетным путем определять граничные условия по данным температурных измерений в теле [7-293.

Подобные теплометрические задачи распространены при моделировании тепловых режимов на газодинамических стендах, в тепловакумных камерах, при исследовании теплообмена в трубопроводах и газопроводах, при тепловом зондировании горячих газовых струй, при испытании различных двигательных установок, в ходе летного моделирования, испытаний технических объектов, в различных технологических процессах, связанных с нагревом и охлаждением изделий и т.д. Методы теплометрии, основанные на решении ОГЗТ, позволяют проводить практически безъынерционную тепловую диагностику как медленно развивающихся, так и быстро текущих процессов теплообмена.

Так, в ходе различных тепловых экспериментов может оказаться

необходимым управлять тепловыми нагрузками в соответствии с

/

некоторой временной программой в пределах заданной точности ее воспроизведения. Построение следящей системы регулирования теплонагружения предполагает получение информации от контрольных датчиков нестационарных тепловых потоков. При этом в качестве основного алгоритма обработки этой информации в системе математического обеспечения автоматизированных систем управления может выступать алгоритм решения ОГЗТ при условии его работы в реальном масштабе времени. В частности, при проведении тепловакуумных испытаний космических аппаратов такое управление требуется для компенсации различных погрешностей: неравномерности поля тепловых потоков от имитаторов Солнца и планет, непараллельности лучей, влияния исследуемого объекта на температурный режим имитаторов, фоновых источников тепла. Оперативная настройка источников тепла под требуемый режим работы

и программное изменение режима в этом случае будут выполняться с помощью ЭВМ по мере обработки первичной информации, поступающей от датчиков тепловых потоков, чувствительные элементы которых снабжены теплоприемниками.

Методы ОГЗТ могут быть использованы для контроля интенсивности теплопередачи и температуры на теплонагруженных участках поверхности космических летательных аппаратов в процессе их полета. В этом случае алгоритм решения обратной задачи реализуется в бортовой ЭВМ.

Еще одна важная область применения ОГЗТ - технические процессы, связанные с нагревом и охлаждением обрабатываемых заготовок и деталей, в частности, при закаже изделий и горячей штамповке деталей. Применительно к таким технологическим процессам требуется идентифицировать условия теплообмена на поверхности тела для определения требуемых тепловых режимов обработки.

Достоверность определения причинных характеристик методами обратных задач может в значительной мере зависеть от качества исходных данных. Поэтому важно, чтобы первичные тепловые измерения были выполнены с необходимой степенью точности.

Наиболее распространенными в теплометрии являются датчики тепловых потоков с "одномерными" чувствительными элементами (ЧЭ), выполненными из материалов с хорошо известными теплофизическими характеристиками. Указанные датчики конструируются таким образом, чтобы температурное поле внутри ЧЭ можно было бы с приемлемой точностью отождествить с одномерным температурным полем. В частности, ЧЭ выполняются в виде сплошного цилиндра высотой Ь и достаточно малого диаметра г (г«Ь) с теплоизолированной боковой поверхностью. На один из его торцов действует измеряемый тепловой поток q(t), в то время как на другом обеспечиваются условия теплоизолированности или постоянства температуры. Последнее условие реализуется за счет интенсивного теплосъёма, например, путем омывания поверхности охлаждающей жидкостью с достаточно большим расходом. Тогда с точки зрения единственности решения

обратной задачи по определению величины q(t) нужно осуществить термометрирование в некоторой точке ЧЭ с координатой й (сЫО9Ы для теплоизолированного торца и сЫО,Ь) для термостатированного торца).

Одномерные датчики дают возможность измерить нестационарные плотности тепловых потоков. Для определения дискретных полей этих величин необходимо установить требуемое количество датчиков в разных точках пространства. Однако, если перейти к решению двух- и трехмерных обратных задач теплопроводности, то можно восстанавливать непрерывные пространственно-временные зависимости а1(8Л) (здесь Б - текущая точка поверхности). При этом измерения температуры обычно выполняются на части теплоизолированной границы тела (линии для двумерного случая, поверхности - для трехмерного). Датчики с подобными чувствительными элементами могут быть установлены на модели или макете исследуемого объекта, а также на изделии, тепловой режим которого определяется в условиях эксплуатации. Иногда измерения температуры могут быть выполнены и внутри твердого тела.

Традиционно одномерная постановка является основной расчетной моделью, для которой должны быть построены эффективные методы и алгоритмы обработки экспериментальных данных. Наиболее распространенной является модель тонкого стержня. Тем не менее нужно отметить, что существуют ситуации, когда одномерные модели теплопроводности не могут дать удовлетворительных результатов и требуется переходить к более сложным постановкам задач. Так, при моделировании тепловых режимов летательных аппаратов, других машин и оборудования может появиться необходимость решения обратных граничных задач в двух- и даже трехмерной постановках. Поэтому различные возможности эффективного с точки зрения экономии и качества численного решения обратных граничных задач многомерной теплопроводности в настоящее время представляют достаточно большой практический интерес.

0.2, Формулировки основных математических моделей

Рассмотрим некоторые ОГЗТ, которые могут быть использованы для идентификации тепловых потоков. Будем считать, что теплофизические характеристики среды, в которой происходит теплообмен, постоянны.

Трехмерная модель. Допустим, что чувствительный элемент имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина, ширина и высота которого равны соответственно I , Такой прямоугольный параллелепипед мы будем именовать в дальнейшем трехмерным брусом т,ухГ0,ухГ0,у. Температурное поле во внутренней области бруса описывается уравнением вида

(0.1) а/а) д^№,х,у,г) = + д^Ва,х,у,г) +

¿¿¿л

а,х,у,г) € (0,и)х(0,1М0Л)х(0,1 ) .

Л у ¿1

Здесь а>0 - коэффициент температуропроводности, Ц(В(1,х,у,г)) -плотность внутренних источников теплоты, определяемая равенством х,у,г))=-кв№,х,у,г), где &>0 (линейные температурные стоки). Будем считать, что на одной из граней £=0 бруса по некоторому закону действует входящий тепловой поток q(t,y,z), тогда как остальные грани х=1^, у=0, у=1 , 2=0, теплоизолировании. Запишем наши предположения в виде следующих граничных условий {К - коэффициент теплопроводности):

(0.2) -ь дВа,х=0 ,у,г) = q(t,y,z) , д В(г,х=1 ,у,г) = 0 ,

л. . л. л

<= [о,м)х[олмо,и ;

(0.3) дт,х,у=0,г) = д№,х,у=1.г) = 0 ,

Ч/ V V

а,х,г) е го,со)х[о,1?]х[о,12] ;

(0.4) д^В(1,х,у,г=0) = дВ(г,х,у^=1 = 0 ,

а,х,у) е [05да)хГ0?1.>/■(],! .

Будем также предполагать, что начальное распределение температур при имеет характер однородного поля:

(0.5) ва=0,х,у,г) = !гп , (х,у,г) е ГОЛ, МОД МОД^ .

и Л У

Начально-краевая задача (прямая) для уравнения (0.1) с граничными условиями (0.2)-(0.4) и начальным условием (0.5) заключается в восстановлении температурного поля в пространственно-временной области (0,®)х(0,1у)х(0,1^)х(0,1у)-задача рассматривается в классической постановке, т.е. ищется

о

решение в(1,х,у,г) уравнения (0.1), непрерывно дифференцируемое в замкнутой области Г0, «МОД МОД МО Д,Д, непрерывно

х у ¿1

дифференцируемое по переменной t и дважды непрерывно дифференцируемое по переменным х, у, z в открытой области

, удовлетворяющее граничным условиям (0.2)-(0.4) и начальному условию (0.5). Решение задачи единственно в классе