автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Использование методов теории вполне положительных полугрупп в исследовании динамики открытых спиновых систем

ИНСТИТУТ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ

На правах рукописи

АРТЕМЬЕВ Александр Юрьевич

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ВПОЛНЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПОЛУГРУПП В ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ ОТКРЫТЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

длгстшш}

¡Ь...йЕЕ4

1 I ИНСТИТУТ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ

к,.¡с.ш с

Опяоя: I_

а^рттци» {|

На правах рукописи

АРТЕМЬЕВ Александр Юрьевич

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ВПОЛНЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПОЛУГРУПП В ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИКИ ОТКРЫТЫХ СПИНОВЫХ СИСТЕМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Диссертация выполнена в Институте физико-технических проблем

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук ФИСУН О.И.

доктор физико-математических наук, профессор ХОЛЕВО A.C.

кандидат физико-математических наук ЗАЙЦЕВ М.В.

Ведущая органивациа:

Институт теоретической фнвнки АН УССР

Защита состоится * 30 * января 1992 г. в 11 часов на заседании специализированного Совета ССД 109.02.01 при Институте фнзико-техничес-ких проблем по адресу: 119034, г. Москва, ул. Кропоткинская, д. 13/7.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института физико-технических проблем.

Автореферат разослан " * декабря 1991 г.

Ученый секретарь спецналивировани кандидат технических наук

специ.«.аиро..нного Совета, Н.Н.Заличев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации центральный объектом исследования являются процессы релаксации спиновых систем. Спиновые системы широко представлены в природе и играют определяющую роль в магнитных и поляризационных явлениях, а релаксационные процессы в таких системах аффективно используются в радноспектроскопических исследованиях строения вещества. В качестве примера можно привести возникающую в процессах радикальных реакций химическую поляризацию на ядрах, обладающих спином (например на ядрах "С, "О, 1ЭЬ'). Данное явление связано с неравновесной заселенностью ядерных зее-мановских уровней и наблюдается лишь короткое время после возникновения продуктов реакций, т.к. равновесное состояние быстро восстанавливается за счет взаимодействия спиновой системы с окружением.

Обычно при моделировании временной эволюции открытой квантовой системы со спином 1/2, находящейся во внешнем магнитном поле, используют феноменологические уравнения Блоха. Эволюцию многоуровневых спиновых систем моделируют квантовыми марковскими полугрупповыми уравнениями для статистического оператора, в которых влияние окружения учитывается введением матрицы релаксации. Как правило, вид матрицы релаксации в таких уравнениях выбирается из соображений простоты их решения. Однако, подобный подход часто приводит к решениям, не соответствующим физическим ситуациям (например, приводит к появлению отрицательных или мнимых вероятностей). Кроме того, упрощенное описание процессов релаксации ведет к потере информации

о поведении изучаемого физического объекта. При таком подходе нет никаких гарантий, что модельное поведение открытой спиновой системы будет соответствовать поведению реальной системы.

Цель работы - найти единый подход к описанию релаксационных процессов в спиновых системах.

В ней решаются следующие проблемы:

1. Корректное обобщение уравнений Блоха на многоуровневые спиновые системы и на спиновые системы с разрушением.

2. Нахождение новых универсальных ограничений на элементы матрицы релаксации, позволяющих устранить появление решений, не соответствующих физическим ситуациям.

3. Изучение роли симметрии окружения в процессах релаксации спиновых систем.

Результаты работы представляют собой последовательное развитие теории анизотропной релаксации спиновых систем. В качестве исходного положения в диссертации принято утверждение, что эволюция открытой спиновой системы описывается вполне положительным квантовым динамическим полугрупповым уравнением. Учтено, что отличительной чертой процессов релаксации спиновых систем является наличие сферической или аксиальной симметрии окружения.

Общая методика исследований.

В работе систематически используются методы вполне положительных квантовых динамических полугрупп, групп симметрии и техника неприводимых тензорных операторов группы 50(3).

Научная новнвна:

1. Заложены основы теории анизотропной релаксации спиновых сис-

тем, построенной на строго математическом уровне и связанной с использованием методов вполне положительных квантовых динамических полугрупп.

2. Дана классификация вполне положительных квантовых динамических полугрупповых уравнений, описывающих эволюцию открытых спиновых систем, по непрерывным группам симметрии окружения, являющимся подгруппами группы ортогональных преобразований пространства Я3.

3. Установлен вид вполне положительных квантовых полугрупповых уравнений для спиновых систем в представлении мультиполей состояния. (Переход к представлению мультиполей состояния общепринят при исследовании поляризационных явлений в атомной, ядерной и молекулярной физике).

4. Получено обобщение вполне положительных квантовых динамических полугрупповых уравнений, описывающих эволюцию спиновых систем без разрушения, на спиновые системы с разрушением.

5. Проведен анализ роли симметрии окружения в явлении квантовых биений поляризации света в условиях анизотропной релаксации.

Показано, что условие вполне положительности совместимо с условием реализации квантовых биений поляризации света. Доказано, что необходимым условием существования квантовых биений поляризации света является нарушение инвариантности относительно отражения в плоскости, содержащей ось аксиальной симметрии окружения. Для исследования использовалась модель открытой спиновой системы со спином ./ = 1.

Как частный случай, для спин-1/2 системы, находящейся в аксиально-

симметричном окружении, на основе общей теории вполне положительных квантовых динамических полугрупп выведены хорошо известные феноменологические уравнения Блоха.

Для ряда частных случаев найдены в явном виде (в форме неравенств) новые ограничения на параметры матрицы релаксации, вытекающие из условия вполне положительности квантовой динамической полугруппы, отвечающей за процеесы релаксации.

Теоретическая и практическая вначимость.

Результаты и предложенные подходы к описанию открытых спиновых систем, имеют самое непосредственное отношение к поляризационным явлениям в атомных, ядерных и молекулярных ансамблях, а также к задачам вкспериментальной и теоретической спектроскопии.

Апробация работы.

Основные результаты работы, представленной в диссертации, докладывались на семинаре "Алгебраические методы в квантовой и классической статистике" (руководитель семинара А.С.Холево) при отделе теории вероятностей Математического института им. В.А.Стеклова Академии наук СССР и на XIII международном коллоквиуме по теоретико-гр>иц^>-ВЫМ методам В физике (XIII International Colloquim On Group Theoretical Methods in Phyeice, Moecow, 1990).

По теме диссертации опубликовано шесть работ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, разбитых на 10 подразделов, заключения и списка литературы из 103 наименований. Общий объем работы - 114 страниц машинописного текста.

Содержанке диссертации

Во введении в виде краткой аннотации изложено то новое, что вносится в теорию открытых спиновых систем, а также основные положения, выносимые на защиту. Здесь же дается обоснование темы диссертации.

Глава 1 В первой главе приводятся основные определения, имеющие непосредственное отношение к теории открытых квантовых систем, и основные результаты, полученные к настоящему времени. Здесь же проведен анализ современного состояния теории анизотропной релаксации, основанный на рассмотрении соответствующих научных работ, и дана критическая оценка известных подходов к описанию неравновесных процессов в спиновых системах. В первую очередь подчеркнута роль условия вполне положительности квантовой динамической полугруппы, отвечающей за процесс релаксации, в построении теории открытых спиновых систем (условие вполне положительности позволяет устранить появление в теории решений, соответствующих нефизическим ситуациям), а также значение анизотропности окружения для понимания физических процессов, протекающих в таких системах. Цель этой главы - обоснование важности научных положений, выносимых на защиту.

Обозначим через 21 связанную с квантовой системой Т С*-алгебру с единицей 1, обычной инволюцией и скалярным произведением

(а, в) = Тг(Л'В) , для всехЛ,ВеЯ(Я).

Определение 1 Пусть М„ - С* алгебра лхл комплексных матриц и 1. -тождественное отображение М„ —« М„ . Линейное отображение

V ■■ Я(в) —» же)

называется n-положительным, если отображение

*>„ = : а(й)®м„ —. а(я)®мл,

¥>„М®М) = *>(Л)®М , положительно для всех А е 2l(f)) и всех M € М„. Отображение <р называется вполне положительным, если оно n-положительно для всех чисел

п > 1.

Теперь пусть Л - {Л(, t € R+} - динамическая полугруппа и пусть 21 - с'- алгебра ограниченных линейных операторов на 5), 2ЦЯ) ç £(£>)• Пусть Л* : t —> Л; ,i е R+ , является положительной, нормальной (ультраслабонепрерывной) и сохраняющей единицу полугруппой Л* : —• , дуальной Л , определяемой как

Тг[(Л,а)Л] = Тг[а(Л;Л)] , а € ®(Я) , А € Ю(Я) , t 6 R+ ,

где ÎB(ft) - банахово пространство следового класса операторов со следовой нормой ||<7|| = Тг(а'а)113 . Тогда Л* задает эволюцию квантовой системы Т в представлении Гейзенберга.

Определение 2 Квантовой динамической полугруппой {Л(, t е R*} квантовой системы Т называется однопараметрическая непрерывная полугруппа положительных, сохраняющих след линейных отображений {Л„ < е R+} .

Квантовая динамическая полугруппа {Л(, t е R+} называется вполне положительной, если дуальная ей полугруппа {Л;, ( € R+} состоит из вполне положительных отображений.

Теорема 1 Линейное отображение l 2Цф) —> 2l(ft) является генератором вполне положительной квантовой динамической полугруппы

{Л,, < € R+} если и только если его можно представить в виде

L\p) = -.-[А, р] + \ е'£?„{[/;, pf;j + [Кр, <■>

rp.ep,h,f, еа(я),

h = /i+, Trh = 0, TrF. = 0, (f., f,) = S.„ 1 < ., j < iV2 - 1 , (2)

{¿U";-' > 0, (3)

{<?,, - комплексная неотрицательная матрица. Причем оператор Л однозначно определяется условием TV/t = 0, а матрица {С,,}^'",1 однозначно определяется выбором операторов {^Л"',-1.

Отмечено, что в уравнении эволюции

jtp = (4)

открытой квантовой системы следует использовать генераторы обладающие именно такой структурой. Использование генераторов с иной структурой приводит к появлению нефизических решений уравнения эволюции.

В главах 2-5 изложены результаты, полученные и выносимые на защиту автором диссертации.

Глава 2 В этом разделе решается проблема классификации вполне положительных квантовых динамических полугрупповых уравнений, описывающих динамику открытых спиновых систем, по непрерывным группам симметрии окружения, являющимся подгруппами 0(3) ортогональных преобразований пространства R3. Основные результаты сфор-мульрованы в следующих леммах и теоремах.

Пусть 5 -открытая спиновая система, определенная на комплексном гильбертовом пространстве £),

а = ф тл#л = Ф &'(<*) - dim« = n. (5)

где {-М^, - множество значений полного спина системы, тА - кратность ?)■'* в Я.

Лемма 1 Пусть {^ч}"',-1 - множество линейных операторов, удовлетворяющих условию (2), Г, е . Верно утверждение: в качестве {/ч},'!',-1 можно выбрать следующее множество компонент неприводимых тензорных операторов Т¡,(aJл(IJв) и их линейных комбинаций:

= {Тко(^лШ,К* 0},

= {Тао{аЗАрЗА),аф =+1}, (6)

Здесь ТКС1{а]л1Нв) - (^-компонента неприводимого тензорного оператора Тк(а^^^в) ; Jл,Jв - значения полного спина системы 5; а,/9 - совокупность остальных квантовых чисел, необходимых для задания состояния системы 5, А'- ранг тензорного оператора Тк(аУА(ЗУв),| - |< К < 3А + ; С} - проекция тензорного оператора, -К < <? < А ; Д./д(з) и Дя - нормировочные коэффициенты; 1 < з < тА - 1; 1 < Я < р -

- четность чистого состояния | aJлM ) системы 5;

1^(0) = (2 Jл + \У|1T<я(aIAaJл)^u = £ 1л(а),

Л = 1 а>в

Ч - число нечетных операторов T0o(aJл|SJл), для которых выполняется условие (-1)*-+'» = -1.

Для описания структуры подгрупп группы 0(3) учтем, что группа 0(3) расщепляется: О(З) = 50(3) х здесь 1% = { 1,1' } - центр группы 0(3). Поэтому перечислим лишь подгруппы группы 50(3) :

50(2) С 0(2) С 50(3).

Заметим, что существуют два разных вложения группы 0(2) в группу 50(3) :

0(2) = 50(2)1^50(2) • а„, 0(2)" = 50(2^50(2) • (РаД

Здесь а„ • оператор отражения в плоскости уг (г - ось аксиальной симметрии ), р - оператор пространственной инверсии.

Теорема 2 Пусть группа 50(3) - группа симметрии окружения. Тогда верно следующее уверждение: генератор £[ - ] вполне положительной квантовой динамической полугруппы ^-уровневой спиновой системы 5, определенной на комплексном гильбертовом пространстве £) (5), имеет

вид

Цр) = -«[Л, р] +

где

+ 1/2 £ Ск^л/Мв.а'ир^,) х

хбкк^о' {[Ткя^л/Мв), рТ£.<г{Мл.№в.)]+ (7)

а.р = а, Г

+ 1)"3/г(аГаГ) = О,

а.г

(8)

> О, О)

С/Г >0, 1 < К < (10)

здесь Ск - матрицы вида

(С= ск(азлрзв> а^лф'^в')-

Теорема 3 Пусть ортогональная группа 0(3) - группа симметрии окружения. Тогда оператор А и матрица {с,, удовлетворяют следующим

дополнительный требованиям

ЦаМЬ) = (-1 )•^+•>h(aJл0Jл),

{с.,у, =<(,+1> Ск = с; 'фС^ \ Здесь матрицы соответствуют четным, а - нечетным операторам TKQ{aJA0Jв).

Теорема 4 Пусть группа 50(2) - группа симметрии окружения. Тогда генератор Ц • ] вполне положительной квантовой динамической полугруппы {Л,, х е /У-уровневой спиновой системы 5, определенной на комплексном гильбертовом пространстве 5) (5), имеет вид

¿И = + \ т, ся(ар0а,к-,а'гр'с,к,)х

к', я', с', г, /?', с <2,3'* о

х6яя, { [ТА-д(а^/?0), + (П)

+ 5 е' + [/-.л Г/]} + ."[Л, р] ,

(12)

где

Л = £ Мо,Г0О)Гкв(оГ0С) ,

а.^ДО.К

о./1

а

{сч}Г;4+1 > о, с0 > о, -27,<<г<27р) с* о. (13)

Здесь Сд - матрицы вида

(Сдиео^^гск' = ся(о,рро, А>'Г/?'С'А"). 13

Теорема 5 Пусть группой симметрии окружения является одна из групп: 1) 50(2) X гс2\ 2) 0(2); 3) 0(2)"; 4) 0(2) х 1\. Тогда имеют место следующие дополнительные ограничения на диссипативные параметры:

1 )Ик(асЗлрЗв) = (-1 У'+''И(сЗАрЗв),

Г„ - Г'+'ШГ<_1 1С. Л"'-* -

где С(±) - матрица, соответствующая четным (нечетным) операторам Г,

2) Л к(<ил0^) = (-1 )"+"+к/.л-(аЛ№), С^л^в.К^Злф'Зв^К') = (-1 )<С-Я(а^в,К;а,^лф'Гв.,К'),

где ( = (тга + 1Г0 + К) - (тв< + Ър + К').

Выделим подмножество операторов в множестве операторов

такое, что а„/>? = тогда

3) Ла-(ОГ^^В) = (-1)кик(^аш,

ся(^арзв, к-,а,'3афчв., к') = (-1 к')

Выделим во множестве операторов подмножество операторов

с нечетным рангом {Г.}^, = {^(а^л/^в), (-1)А = }1 тогда

4) }х(а3л03в) = (-1)*-+"М«-М.Ы. ЧМ^-М = (-1)кЛкМдМ Сд = С(д+> ф Сд

= С(+)фС(-'.

Пусть 5 - спин-1/2 открытая квантовая система, помещенная во внешнее магнитное поле, а окружение аксиально-симметрично. Обычно для описания эволюции такой системы используют уравнения Блоха

"о 0 ^ 0

0 0 4-

гн /

+ | о I , (14)

где Я = -ш0/2сг3 - гамильтониан системы, а, - матрицы Паули, Тх(Тц) - время поперечной (продольной) релаксации,

и — Тг(сг,/з), V = Тг(сгэр), ш = Тг(сгзр)

-компоненты вектора Блоха, (О, 0, ш„о) - равновесное состояние системы.

Теорема в Квантовое марковское кинетическое уравнение

^Р - ¿[у*з, Р] = Цр] (15)

для спин-1/2 открытой квантовой системы во внешнем магнитном поле (окружение аксиально-симметрично) эквивалентно уравнению Блоха (14) с эффективным гамильтонианом

и

Я = -у73.

Глава 3 В ней находится вид вполне положительного квантового динамического полугруппового уравнения, описывающего необратимую эволюцию открытой спиновой системы, в представлении мультиполей состояния. Основные результаты этой главы содержатся в следующих утверждениях.

Лемма 2 Пусть Ткя(аРрС!) и T^ч{aIЬJ) - компоненты неприводимых тензорных операторов группы 50(3), определенные на гильбертовом пространстве А (5). Имеют место следующие соотношения:

ТкдМ7?0):Г*,(аШ) = ^'^(а/'ДС.аШ^Ь.С^Да,^ 6.С,),

{р с? к ]

^ ; ^ | - коэффициенты Клебша-Гордона и 6;-символы, соответственно; [Г*д(в/?0), Г*,(аШ)] = ЕГь.(в,Л6,С1)х

* &кд.фрро^ъз-а^ь^),

Е^д^аРрв.аМ-^Ь^) = ( —1)Г|+°'[(2А' + 1)(24 + 1)]''2х

где

= ^рьюьаа^ыч & г г, , ¿1 = ¿Ьа^Г^аб^/^Ь^ОО,.

Воспользуемся разложением статистического оператора р по неприводимым тензорным операторам 1к(аР(Ю) группы 50(3)

где {(Ткя{аРра))}$=_к - мультиполи состояния спиновой системы 5, | F-G|< К < F + G.

Теорема 7 Пусть 5 - открытая спиновая система, определенная на комплексном гильбертовом пространстве (5), и ее эволюция описывается квантовым динамическим полугрупповьш уравнением (4) с генератором

£[ • ] (1). Тогда эволюция мультиполей состояния {(ТцЧаГДО))}^.* задается уравнением

х (ъЪ^аП^аРрв) = (16)

= - («Г^С.аШ),

где Я = Я„ + Л = Е(Я1Ь(в1/1»|0.))Гьл(в,/•,»,(?,),

х • аз^з^Сз; о^/ЗС) + (17)

+ к<з(а1 •"з^эбзСз) х

Матричные элементы </*,„>,„(а,Г,б^,«^/^^) связаны простыми соотношениями с элементами матрицы {С,,}*'",1, соответствующей операторам {/-,}."=',-' (6).

Теорема 8 Пусть выполнены требования теоремы 7. Бели окружение изотропно, (50(3))-инвариантно), то скорости релаксации дц^аР^Ю, а/6./) мультиполей состояния спиновой системы имеют вид

<ц,,л-<,(а/7?С,аШ) = ^(аГДС.аШ)«*»«^, (18)

-»(аГ^о/У) =

1 1 ' ' (19)

- з 1, 27+1 + 2/+1 ' '

,«1

Следствие 1 Для систем 5, определенных на гильбертовом пространстве оператор Л = 0, а скорости релаксации мультиполеВ состояния имеют

вид

= + [i ^ 5 } - 57ТТ

ЬУ), ад > о.

Теорема 9 Если выполнено соотношение (10), то верно утверждение

«ьЛ

, . г ¿к, КЛа/.а^а/)

-„ . . .- —--

27+1 2/+1

(20)

Теорема 10 Пусть Т - спиновая система, определенная на комплексном гильбертовом пространстве

я =

1

Если окружение аксиально-симметрично, а элементы матрицы релаксации системы Т имеют вид

- 9кч,кя(*ера,аш) = 1Е^„1>,в(а,ЛЬ,011а3/'3ЬаС2)х х ЕЙ*«.*,« ЬзОааа^э; а^Ь^) X

* Е^^а^Оиа^Ь^-аРра) + (21)

то выполнено условие

£ = 0 . (22)

Глава 4 В этой главе найдено обобщение вполне положительных квантовых динамических полугрупповых уравнений на случай спиновых систем с разрушением. Приведены ограничения, при которых такие уравнения получаются из вполне положительных квантовых полугрупповых уравнений. Приведем основное утверждение, сформулированное и доказанное в данном разделе.

Теорема 11 Пусть 5 - открытая спиновая система, определенная на комплексном гильбертовом пространстве Я (5), и ее эволюция задается квантовым динамическим полугрупповым уравнением (4) с генератором 1[ ■ ] (!)•

Верны утверждения:

1. Квазилинейное уравнение, описывающее поведение спиновой системы 5 на подпрострапстве Я, с Я, можно задать тогда и только тогда, когда выполнены следующие требования:

х Е[(2* + 1)(2Ь + 1 )]"3С£» { £ [ £ } №„(»И/?С)),

(23)

х П(2Л-+1)(2£+1Г'С£»{ I I % }(Я£М№)) ,

дъ,,кЯ(<*Р№,мт1]) = Л,(а/Ж?)(2.- + 1),/35.,М*05<го. (24)

2. Это уравнение имеет вид

i + Z(TKl("IbJ))(HLu(a'F'tl'G')) X

х e&^a'f'fg.albjiafpg) = = - E gkq,KQ(aF(iG, aIbJ)(TKq(aIbJ)) -

(25)

1 - 53(2/ + l)''3(T00+(a/a/))

a,l

- gi,q{aFfiG)

Глава S Эта глава посвящена применению изложенных в предыдущих

разделах результатов к изучению явления квантовых биений поляризации света, индуцированных анизотропной релаксацией. Основные утверждения содержатся в леммах и теоремах, приводимых ниже.

Лемма Э Пусть

Л%м = (-l)W+i[(2^+l)(2t+l)pC^{ Jk JL Kj) , тогда имеют место следующие соотношения

alu _ i ,\k+).-lalu

■A kg to — (-lJ'^tM.i-, •

причем при J — 1

¿iUi-f) = i(-l)'[(t + 9)(i-9 + l)]'/a,

(26)

Л11

-,) = *(-!)<

1/3

1/3

^i.U+iX'-i)

1)'

(l-2g)

! 1/3

(2Jk+l)(2Jfc+3)

(t-,+ I)(4-g + 2)

(* + 29) •

•(27)

Уравнение эволюции спиновой системы со спином ./ = 1, находящейся в аксиально симметричном окружении имеет вид

= (*!' - г)(п) + я\чт+),

(28)

¿(тй) = тю + № - г)(гг) + мм.

Систему уравнений (28) следует решать при начальных условиях, соответствующих нулевым значениям величин (Т,+,) и (Т2+,) при 4 < 0. Характер решения системы определяется значениями величины

0 = [4Я|2Л?' + (Л'1 - Л?3)3] (29)

Если О > 0, то решение имеет вид

12

(7Я> = -^-ехр-'пв^,

где

Д" + Д" „ 1 1/а г Д."-Я"

о = Г - 1 2 1 , Р = -О1'3 , в = агс16 1 20 ' .

Таким образом, при положительных значениях величины О аксиально-симметричное окружение вызывает затухающие биения величин (77,(0) и (Г/ДО) с частотой /3. Поскольку компоненты ориентации (Г,±,(4)) определяют степень круговой поляризации света, а компоненты выстраивания (Г2+±1(()) - степень линейной поляризации света относительно двух взаимно перпендикулярных осей, то эти биения вызывают квантовые биения поляризации индуцированного сигнала.

Лемма 4 Пусть величина О определяется соотношением (29). Тогда ее

можно представить в виде

-d = 4 Е¿f4kk)<ff\ir)bl$4b%}\ +

+ e^hkk^ilr) х (зо)

^ / Dil,11 Dil,11 , Ы1.31 D31.31 on31.Jl oll.11 l

где

bkq,kq = ÜL [' ~ (—l)r+l,+I'] ^l',,tм^Kg.LW I l,m

^kkk) = , C, > 0.

Теорема 12 Пусть 50(2) - группа симметрии окружения спиновой системы s со спином j = 1. Если эволюция этой системы во времени задается уравнением (28), то величина d, определяющая характер поведения спиновой системы 5, имеет вид

-d = (iу ((С,11 - с1\) + (с?- С?,) + 2(с? - с1\) +

+ 2(ReC,13 + 2v^3ReC" + ReCi2,)]1'3 + (31)

[(<7," - с?3) - гйтс'3) [(ci\ - с") - г^шС!3,] , С, >0, (9 = ±2, ±1,0) .

Теорема 1S Пусть выполнены условия теоремы 12, но группой симметрии окружения спиновой системы 5 является либо группа 0(2), либо группа 0(2)~, либо группа 0(2) ж 1С2. Тогда соотношение (20) принимает следующий вид

d = - [(CJ1 - cff + 4(JmC1li)1] < 0 . (32)

Таким образом можно сделать следующие выводы:

1. Условия существования квантовых биений поляризации света, порожденных аксиально-симметричным окружением, совместимы с требованием вполне положительности квантовой динамической полугруппы, описывающей процесс релаксации.

2. Необходимым условием существования квантовых биений поляризации света является нарушение инвариантности относительно отражения в плоскости, содержащей ось аксиальной симметрии. Это имеет место, например, при наличии сильного магнитного поля.

В рассмотренном случае исследования проводились на модели, в которой атомы возбуждаются на атомный уровень с уьм-л.ш моментом J = Отметим, что случаи возбуждения на уровень с угловым моментом ] > 1 менее интересны, поскольку с ростом ./ убывает эффективность взаимопревращения выстраивания и ориентации.

На ващиту выносятся следующие основные положения:

1. Дана классификация квантовых динамических полугрупповых уравнений, г.- . них эволюцию открытых спиновых систем, по группам симметрии окружения, являющимся подгруппами группы ортогональных преобразований пространства Я3 .

2. Получены квантовые динамические полугрупповые уравнения в представлении мультнполей состояния спиновой системы.

3. Найдено обобщение квантовых динамических полугрупповых уравнений, описывающих эволюцию спиновых систем без выбывания из ансамбля, на случай разрушающихся спиновых систем.

4. Показано, что вполне положительное квантовое динамическое полугрупповое уравнение, описывающее эволюцию спнн-1/2 открытой квантовой системы, находящейся в аксиально-симметричном окружении, эквивалентно уравнению Блоха.

5. Из условия вполне положительности в явном виде (в форме неравенств) найдены новые соотношения, которым должны удовлетворять элементы матрицы релаксации.

6. Возможности полученных результатов продемонстрированы на примере исследования явления квантовых биений поляризации света, излучаемого атомами, в условиях анизотропной релаксации.

Показано, что условие существования квантовых биений поляризации света, порожденных аксиально-симметричным окружением, совместимо с требованием вполне положительности квантовой динамической полугруппы, описывающей процесс релаксации. Найдены необходимые и достаточные условия такой совместимости.

Доказано, что необходимым условием существования квантовых биений поляризации света является нарушение инвариантности относительно отражения в плоскости, содержащей ось аксиальной симметрии.

Даны рекомендации по постановке экспериментов, связанных с обнаружением данного явления.

Автор выражает сердечную благодарность своему научному руководителю О.И.Фисуну за поддержку и постоянное внимание к работе, а также руководителю семинара 'Алгебраические методы в квантовой и классической статистике" при отделе теории вероятностей Математического института им. В.А.Стеклова Академии наук СССР АХ.Холево и участникам семинара за полезные обсуждения работы.

Спасок работ, опубликованных по теме диссертации

1. Магнитоактивные эффекты в биохимических реакциях. / А.Ю.Артемьев, С-А-Семенов, О.И.Фнсун. // Сб.научн.тр. Методы численного и аналитического моделирования многочастичных систем. М.: ИФТП, 1989. С. 93 - 102.

2. Квантовое марковское кинетическое уравнение спиновой системы

в изотропном окружении. / А.Ю.Артемьев. // Сб.научн.тр. Методы численного и аналитического моделирования многочастичных систем. М.: ИФТП, С. 117 -124.

3. Классификация квантовых марковских кинетических уравнений спиновых систем по группам симметрнй окружения. / АЛО.Артемъев. //Теоретическая и математическая физика. 1989. Т. 79. № 3. С. 323 -333.

4. Квантовое марковское кинетическое уравнение для спиновой системы с разрушением. / А-Ю.Артемьев. //Теоретическая и математическая физика. 1990. Т. 83. № 3. С. 447 - 454.

5. Квантовые биения поляризации света и условие вполне положительности. / А-Ю.Артемьев. // Теоретическая и математическая физика. 1991. Т. 87. № 1. С. 34 - 39.

6. Зависимость квантовых биений поляризации света, индуцированных анизотропной релаксацией, от группы симметрии окружения. / А.Ю.Артемьев, О.И.Фисун. // Оптика и спектроскопия. 1991. Т. 71 . В 1. С. 21 - 24.