автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.03, диссертация на тему:Исследование газового демпфирования в микромеханических приборах

На правах рукописи

ШЕВЦОВА Екатерина Викторовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ГАЗОВОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ В МИКРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРИБОРАХ

Специальность: 05.11.03. - Приборы навигации

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2005

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Коновалов Сергей Феодосьевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Распопов Владимир Яковлевич

кандидат технических наук, доцент Курносое Валерий Иванович

Ведущая организация: ФГУП НПЦ АП им. академика

Н.А.Пилюгина

Защита диссертации состоится «_!&_» еЛСЩЬ 2005г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.141.11 в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 107005, г. Москва, 2-я Бауманская улица, д.5.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан «_»_2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н.

И.Б. Власов

%о1-н 2&3999

' Общая характеристика работы

33 1© Актуальность. В последнее десятилетие широкое распространение получили микромеханические гироскопы и акселерометры, изготовленные на базе монокристаллического кремния. В этих приборах широко используются плоские газовые демпферы с плоскопараллельным перемещением чувствительного элемента.

При проектировании приборов данного класса, одним из наиболее важных является вопрос расчета газодинамических сил.

Расчет газодинамических параметров традиционно проводился с использованием формул линейной теории, полученных на основании решения приближенного дифференциального уравнения Рейнольдса для смазочного слоя в случае сдавливания вязкой несжимаемой среды двумя плоскими параллельными плоскостями.

Эксперименты, проводимые с приборами, использующими плоские газовые демпферы, показывают на наличие ряда проблем, объяснение которых не укладывается в рамки линейной теории, в частности снижение коэффициента демпфирования на высоких частотах, а также появление постоянной составляющей в демпфирующей силе при колебательных движениях чувствительного элемента плоского газового демпфера.

В настоящее время рядом авторов предпринимаются попытки уточнить известные зависимости для определения газодинамических сил в рабочем зазоре приборов с плоским газовым демпфером с учетом сжимаемости газа. Однако, в силу того, что используются математические модели течения вязкой сжимаемой среды в трубе и между неподвижными пластинами, а также то, что процесс полагается изотермическим, получаемые формулы количественно не отображают возникающие нелинейные эффекты йри работе приборов на высоких частотах, а также не учитывают влияние на них температурных процессов. Использование численных методов не позволяет получать соотношения для инженерных расчетов.

Для уточнения соотношений определяющих газодинамические силы в рабочем зазоре приборов с плоским газовым демпфером с учетом сжимаемости газа и температурных процессов, необходимо построить адекватную математическую модель течения вязкого сжимаемого газа, исследовать поведение вязкой сжимаемой среды в рабочем зазоре прибора, и проанализировать аналитическое решение предложенной математической модели.

Настоящая диссертационная работа посвящена разработке и уточнению известных методик расчета аэродинамических сил в плоском газовом демпфере с учетом сжимаемости на основе полученного аналитического решения математической модели течения вязкого

сжимаемого газа.

Целью диссертационной работы является развитие теории плоских газовых демпферов микромеханических гироскопов и акселерометров, ее уточнение с точки зрения полученных количеств ^ да^же

создание инженерных методик расчета параметров плоских газовых демпферов.

Указанная цель потребовала решения следующих задач:

1. Исследования методов расчета аэродинамических сил в микромеханических приборах с плоскопараллельным перемещением чувствительного элемента;

2. Анализа методов решения моделей, построенных на основе системы уравнений Навье - Стокса вязкого сжимаемого газа;

3. Разработке адекватной математической модели, описывающей течение вязкого сжимаемого газа в рабочем зазоре прибора;

4. Аналитического решения математической модели течения вязкого сжимаемого газа на основе системы уравнений Навье - Стокса с учетом особенностей краевых условий для выбранной модели;

5. Анализа полученного решения и разработки методик расчета аэродинамических сил и коэффициента демпфирования в рабочем зазоре плоского газового демпфера;

6. Исследования влияния сжимаемости газа на вибрационные погрешности приборов с плоским газовым демпфером.

Методы исследования в диссертации базируются на математических методах решения нелинейных уравнений в частных производных; нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений; асимптотических разложениях решений обыкновенных дифференциальных уравнений в регулярных и иррегулярных особых точках, имеющих Жорданову главную матрицу; методах усреднения распределенных параметров в зазоре прибора.

Достоверность результатов, выводов и рекомендаций, сформулированных в работе, обоснована использованной математической моделью течения газа в рабочем зазоре прибора, теоретических подходов и математических методов и подтверждена сравнительным анализом с известными теоретическими результатами и практическими исследованиями.

Научная новизна Основные научные результаты заключаются в следующем.

1. Разработана математическая модель течения вязкого сжимаемого газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

2. Получено аналитическое решение системы уравнений температурного пограничного слоя для случая плоского стационарного течения вязкого сжимаемого газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

3. Разработаны методики расчета аэродинамических сил в рабочем зазоре плоского газового демпфера, уточняющие существующие зависимости.

Практическая ценность работы. Полученные в диссертации методики определения коэффициентов демпфирования и упругого противодействия, связанных с эффектом сжимаемости и изменения температуры газа в плоском газовом демпфере позволяют производить правильную оценку динамических свойств приборов при высокочастотной вибрации и разрабатывать приборы, удовлетворяющие требованиям практики.

Апробация работы Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на V, VI и VII конференциях молодых ученых «Навигация и управление движением» (г. Санкт - Петербург, ЦНИИ «Электроприбор», 13.03.2003, 17.03.2004, 16.03.2005), на XXIX академических чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С.П. Королева (г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 27.01.2005)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 научных труда.

Структура и объем работы Диссертационная работа изложена на 111 страницах и содержит введение, три главы, заключение и список литературы из 108 наименований. Работа содержит 19 рисунков.

Во введении обоснована актуальность работы, определена ее цель и задачи исследования.

В первой главе диссертационной работы построена математическая модель течения газа в плоском газовом демпфере; содержатся решения для двух моделей: точное решение уравнений Навье - Стокса для вязкого несжимаемого газа, и решение для температурного пограничного слоя вязкого сжимаемого газа. В обоих случаях полученные аналитические решения сравнивались с известными численными результатами.

Кинематическая схема плоского газового демпфера представлена на

рис Л

Краткое содержание работы

\ -

Рис.1

Кинематическая модель плоского газового демпфера

Работа прибора моделируется движением двух плоских параллельных пластин. Нижняя пластина (стенка) неподвижна (1,3 на рис.1), а подвижная пластина (2 на рис.1) движется с постоянной скоростью. Учитывая, что расстояние между пластинами мало, длина газового демпфера много больше толщины воздушного зазора между пластинами, газ вязкий и сжимаемый, числа Рейнольдса велики (при этом течение ламинарное), движение газа в приборе рассматривается как набегание его на неподвижную пластину с постоянной скоростью, равной скорости движения верхней пластины. Такое течение газа описано в литературе и носит название течение в окрестности критической точки - рис.2. Вблизи стенки газ течет вдоль нее в

противоположные от критической точки стороны.

V

шищщщзжигт

— * I.

__±4 1_____»-

Рис.2

Течение в окрестности критической точки

Математической моделью описываемого течения газа является:

• система уравнений Навье - Стокса для стационарного вязкого сжимаемого течения газа, имеющая вид:

Р'{"'дх+У'ду) дх+^\дх2+ ду2+ з' дх[дх + ду))

( дv аИ др (д2у д\ 1 д(ди

р-\и— + У— =—-+ц-\ —7+—г+---— + —

У дх ду) ду [дх2 ду2 3 Эу^йс ду),

• уравнение неразрывности: д[ри) ( 8(р-у)=()

дх ду

• уравнение баланса энергии:

• уравнение состояния: р = р-Я-Т

В настоящее время не найдено способов интегрирования системы уравнений Навье - Стокса в общем виде.

Точное решение уравнений Навье - Стокса для вязкого несжимаемого

газа

Течение газа стационарное, двумерное, отсутствуют внешние массовые силы. Математической моделью описываемого течения является: Система уравнений Навье - Стокса

ди ди 1 др . (д*и д*и и — + у — = —-Г- + 9- —т +

дх ду р дх ^йс ду

&v dv 1 dp „ (tfv d2v

и--+ v--=----— + &Л —J- + —г-

дх ду p ду ^cbc ду

и уравнение неразрывности, в случае р = const:

UU UV Л — + — = 0. дх ду

Для рассматриваемой математической модели течения вязкого несжимаемого газа, уравнение баланса энергии не влияет на уравнение движения.

Традиционно, в классической теории пограничного слоя принимается, что в вязком течении при набегании несжимаемого газа на пластину распределение скоростей и давлений имеет вид:

u = xf'(y), v = -f(y), P =

При этом уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно.

Дифференцируя выражения для распределения скоростей и давлений, и подставляя полученные зависимости в исходную математическую модель течения вязкого несжимаемого газа, переходим от системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

¿.у*+/./»_/<■+!_ = о

YL ' 8г V2 2-S

с граничными условиями:

/ = 0, /'=0, F = 0 при у = 0,

г! У

/ =- при у = 5.

о

Первое уравнение системы обыкновенных дифференциальных уравнений не содержит функцию Р. В силу этого целесообразно сначала найти из него функцию /, а затем проинтегрировать второе дифференциальное уравнение системы.

Первое дифференциальное уравнение системы допускает аффинное преобразование:

приводящее его к виду:

Ч>"'{Т1)+<р{Г1)<Р"{Г,)-Ч><'(71) + \ = О, с граничными условиями:

<р = 0, ч>' = 0 при 7 = 0, (р! = 1 при /7 оо.

Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение является нелинейным, с особой точкой при 7 оо. Исходя из краевого условия <р' ~ 1 при оо, получим <9 = 7 + 0(7), и в линейной постановке уравнение имеет иррегулярную особую точку.

Решение дифференциального уравнения найдено, применяя разложение функции <р(т]) в степенной ряд при 7 = 0, и асимптотическое разложение при «-»оп, а затем согласовывая обз решения в некоторой, выбранной определенным образом, точке. При этом решение при 7-»оообозначим (').

Полученные решения дифференциального уравнения запишем в виде: <р (7) = 0.6298 • 72 - 0.1667 • 73 + 0.0132 • 75 + 0(7" );

£ ^ 1

<р (7) = 7 + 2 • (0.03• 7"2 -0.046+0.10275• 7"6 + 0(7^))-1.09375• £/1 г]1

С учетом аффинного преобразования, а также второго дифференциального уравнения системы, решение математической модели течения вязкого несжимаемого стационарного газа запишем в виде: V ,, Л ¡ГШ , .

и=-Х-<р{т}) у = <р(г})

гяег7=Шу

Температурный пограничный слой в случае плоского течения вязкого сжимаемого газа.

Математической моделью течения вязкого сжимаемого теплопроводного газа является:

Система уравнений Навье - Стокса для плоского стационарного вязкого сжимаемого газа в пограничном слое:

ди ди др д ( ди

р и--+ рм--- —— + — ¡1--

дх ду дх ду

— = 0; ду

уравнение неразрывности: д(ри) | д(р.у) дх ду

уравнение баланса энергии для пограничного слоя:

дТ дТ др , дгТ --+С „■ р-у--= и- — + л--Г--

дх п ду дх дуг

Ш'

уравнение состояния: р = р-ЯТ.

Записанная система уравнений представляет собой систему уравнений для плоского течения сжимаемого стационарного газа в пограничном слое. В классической теории пограничного слоя она носит название системы уравнений температурного пограничного слоя.

А.А. Дородницын в 1942г. указал общее преобразование координат, придающее уравнениям пограничного слоя для газа форму, близкую к уравнениям пограничного слоя для несжимаемой жидкости.

Запишем преобразование Дородницына, модифицированное Стюартсоном и Иллингвортом.

При этом преобразовании вводятся две новые координаты которые определяются следующими соотношениями:

¿А-к.&.Д; 'ЛОу.

о °о Ро аооРо

Введем функцию тока >//(х,у), у которой частные производные равны:

ду__р_ ду/ _ р

дх /£>„ ду р0 '

Введем в рассмотрение безразмерную «температурную функцию» (безразмерную удельную полную энтальпию):

Запишем уравнение движения и уравнение баланса энергии, с учетом преобразования координат, выражений для функции тока и безразмерной удельной полной энтальпии, в следующем виде:

дС дС <1$ д?

' дС

Решение записанных уравнений ищем в классе функций, описывающих локальное подобие профиля скоростей:

и„

— V

При этом: и«=—£

8

После преобразований получаем систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

с граничными условиями: ф = ф'=0, 5 = при Т] = О,

ф'= 1, 5 = 0 при 7 = оо.

В случае теплоизолированной стенки 5 з о, вместо системы уравнений остается одно дифференциальное уравнение - уравнение движения, определяющее распределение скоростей:

Г(п)+Ф(ч)-Г(ч)-/(п)+1 = о

с граничными условиями:

ф = ф'= 0, при г] = О,

ф' = 1, при т] — оо.

Уравнение движения в данном случае тождественно совпадает с уравнением, полученным для случая вязкой несжимаемой среды. Решение дифференциального уравнения, определяющего распределение скоростей, имеет вид:

ф{ц) = 0.6298• 72 -0.1667• т? + 0.0132■ту' + о^6),

1

2

Решение системы уравнений температурного пограничного слоя в случае теплоизолированной стенки имеет вид:

Р.

ф' (г/) = Т] + е~* • (0.03 • г]~г - 0.046 т}'4 + 0.10275 - т^ + о [г] 6)) -1.09375 ■ Е1 (■- - • ^ ].

v = -Ь

Ро "о где ^

[И.Ь.'г^

У^'^о ао оРо

или в случае адиабатического течения газа:

fH.il

' Ц, Л у04 '

ЯТ ^

В случае теплопроводящей стенки 8*0, и необходимо решить совместно оба уравнения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

При этом заметим, что уравнения системы нелинейны, а первое из них содержит особую точку. Решение обыкновенных дифференциальных

8

уравнений, входящих в систему, найдено, применяя ту же методику, что и для случая вязкого несжимаемого газа.

В случае теплопроводящей стенки решение системы уравнений температурного пограничного слоя вязкого сжимаемого газа имеет вид:

Ро Яо V д

Ро \<>о) 8

Г = Г0(5(/7) + 1)-

2 С.

где ч

- — ■2*. \S-dy Р-Ъ а0 !рв или в случае адиабатического течения газа:

п = -2.5 • — • — ■

«о Ро У

Р.

Р =

ЯТ ^

При этом необходимо отметить, что решение найдено для случая ^ = 1, для сравнения полученных результатов с известными численными решениями, описанными в литературе.

Во второй главе разработаны инженерные методики расчета аэродинамических сил и коэффициента демпфирования в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

Система уравнений Навье - Стокса для вязкого несжимаемого газа преобразована к следующему виду: д2р о1р дх2 + ду2 где

дх у дх) дхду ду ^ ду б - расход.

Используя зависимости для распределения скоростей и давлений в вязком течении при набегании несжимаемого газа на неподвижную пластину, а также полученное в главе 1 решение системы уравнений Навье -Стокса для вязкого несжимаемого газа, запишем формулу для определения аэродинамических сил:

ур _ 12.5 // V

Система уравнений Навье — Стокса для вязкого сжимаемого газа преобразована к следующему виду:

82р д2р (4 Л 4 Л 4 д\ 4 8\

дх1 ду1+М\ъ' дхъ + 3 дхду2 +3 дх2ду ' 3 V

Используя зависимости для распределения скоростей и давлений в вязком течении при набегании сжимаемого газа на неподвижную плэстину, а также, полагая процесс в рабочем зазоре демпфера адиабатическим, и используя полученное в главе 1 решение системы уравнений температурного пограничного слоя вязкого сжимаемого газа, запишем формулу для определения аэродинамических сил:

Таким образом, при расчете коэффициента демпфирования в плоских газовых демпферах при необходимости учета сжимаемости газа необходимо пользоваться уточненной формулой для расхода.

В выражении для расхода газа второй член, стоящий в круглых скобках, нелинейно зависит от скорости движения пластины, а также от положения колеблющейся пластины относительно неподвижной пластины. Наличие нелинейного члена обусловлено сжимаемостью газа.

В случае небольших скоростей перемещения чувствительного элемента, а также для случая постоянной плотности, нелинейный член обращается в нуль, и данная формула переходит в известную формулу линейной теории.

График зависимости расхода газа под пластиной от частоты колебания чувствительного элемента представлен на рис.3.

Рис 3

Зависимость расхода газа под пластиной от частоты колебаний чувствительного элемента - - расход газа в случае использования формул линейной

теории;

---- - расход газа в случае учета сжимаемости газа в

математической модели течения газа при внешнем давлении 101325 Па;

---- расход газа в случае учета сжимаемости газа в

математической модели течения газа при внешнем давлении 60795 Па;

Рассмотрен следующий частный случай: рабочий зазор прибора равен 20мкм, амплитуда колебаний чувствительного элемента равна 5мкм, давление воздуха в приборе внешнее, равное 101325 Па (1 атм) и 60795 Па (0.6 атм).

В случае использования зависимостей линейной теории расход газа линейно увеличивается с возрастанием частоты колебаний чувствительного элемента. В этом случае коэффициент демпфирования остается постоянным.

Учет сжимаемости в математической модели течения газа приводит к уменьшению расхода газа под пластиной. Вследствие чего происходит уменьшение демпфирующей силы.

На основании анализа полученного решения можно заключить, что уменьшение расхода газа под пластиной происходит в силу того, что при высоких частотах колебания чувствительного элемента растет позиционная составляющая, нелинейно зависящая от величины зазора, а также от частоты колебаний пластины.

В третьей главе исследовано влияние сжимаемости газа на вибрационные погрешности приборов с плоским газовым демпфером.

* При работе акселерометров с плоским газовым демпфером в условиях

больших вибрационных возмущений в контуре электрической пружины могут возникать явления «захвата», заключающиеся в возникновении колебаний, амплитуды которых значительно превышают зону линейности прибора.

Большие амплитуды колебаний подвижного узла акселерометра приводят к возникновению значительных вибрационных погрешностей,

поэтому работа контура акселерометра в режиме «захвата» должна быть исключена.

Главной причиной возникновения явления «захвата» является пропадание электрического демпфирования при насыщении контура прибора, в результате чего жесткость электрической пружины становится равной нулю. При этом амплитуда колебаний подвижного узла прибора резко возрастает, и возрастает кинетическая энергия, запасаемая подвижным узлом к моменту его возвращения в зону линейности.

Если уровень вибрационного воздействия соответствует частоте и амплитуде точки В (рис.4), то прибор работает в линейной зоне, и амплитуда колебаний возрастает линейно (рис.5).

При увеличении вибрационного возмущения, при переходе границы области захвата, амплитуда колебаний возрастает скачком. Большие амплитуды колебаний сопровождаются значительными вибрационными погрешностями.

При последовательном уменьшении вибрационного воздействия эти колебания сохраняются вплоть до уровня вибрации, соответствующего отпусканию (рис. 4).

а/а*

V

\ \

\ Члив И—_

о \ тусжш в

Область, вызванная упрупшн деформациями

•О)/'(О а

Рис. 4.

Зона «захвата» прибора с плоским газовым демпфером при гармонической вибрации. А

1

1

Эш

Рис. 5 Область «захвата» Поэтому желательно комбинировать в приборах электрическое и механическое демпфирование. При правильном выборе параметров корректирующей цепи и наличия механического демпфирования, можно полностью устранить возникновение режимов «захвата» в контуре акселерометра.

При проектировании приборов с плоским газовым демпфером рассчитывается величина электрического и воздушного демпфирования в зазоре приборов.

Если расчет механического демпфирования вести без учета сжимаемости газа, с учетом известных формул для модели вязкого несжимаемого газа, то при расчетной оценке динамики акселерометра можно установить отсутствие явления «захвата». Однако из-за уменьшения демпфирования вследствие сжимаемости газа такая оценка может оказаться неверной.

Этот факт был экспериментально обнаружен при вибрационных испытаниях акселерометров КИ67-3, КА-400 , проведенных на вибростендах. Для КИ67-3, в холе эксперимента акселерометр устанавливался таким образом, чтобы его ось совпадала с осью вибрационных возмущений, и давалось плавное изменение вибрационного воздействия по частоте. В области частот 1500 - 1800 Гц уровень вибрационных погрешностей, регистрируемых при испытаниях, составлял 0.6 g при давлении в приборе, равном 0.6 атмосферы (рис.6).

При увеличении давления газа до 1 атмосферы эффект захвата пропадал, что хорошо объясняется из рассмотрения, полученных в работе соотношений, а именно: при увеличении давления газа в приборе, влияние сжимаемости среды уменьшается.

Рис.6

Вибрационные погрешности акселерометра с газовым демпфером при гармонической вибрации

В настоящей работе проводились исследования акселерометра с кремниевым маятником (КА-400М, разработка МГТУ им.Н.Э. Баумана). Конструкция его представлена на рис.7.

Рис. 7

Конструкция маятникового компенсационного акселерометра Патент РФ № 99113694 от 23.06.1999г.

При испытаниях акселерометра на вибростенде фирмы Link, при различной ориентации измерительной оси прибора относительно оси вибрации, регистрировались следующие вибрационные погрешности (рис. 8, 9,10):

Рис.10

Наибольшие погрешности имели место при вибрации, ориентированной по измерительной оси прибора. Следует отметить, что прибор имеет 3 механических резонанса на частотах 420, 670,1529 Гц.

При вибрационных воздействиях по измерительной оси акселерометра, эти резонансы вводят контур акселерометра в режим захвата, сопровождающегося вибрационными погрешностями порядка 10~2£, и сохраняются до частот 2000 Гц.

Уменьшение уровня вибрационных воздействий приводит к резкому уменьшению погрешностей, как и следует из теории.

Изменение параметра компенсационного контура с учетом сжимаемости газа позволяет устранить явление захвата в указанной области частот.

Заключение

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Проанализирована структура течения газа в плоском газовом демпфере и предложена математическая модель несжимаемого течения газа.

2. Аналитическое решение предложенной математической модели адаптировано к течению в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

3. Получена математическая модель течения вязкого сжимаемого газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

4. Получено аналитическое решение системы уравнений, описывающих течение газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера, учитывающее сжимаемость т температурные процессы в газе.

5. Разработаны инженерные методики расчета аэродинамических сил и коэффициента демпфирования в рабочем зазоре плоского газового демпфера с учетом сжимаемости газа, уточняющие существующие зависимости.

6. Показано, что при больших скоростях движения подвижной пластины газового демпфера, происходит уменьшение демпфирующей силы, из-за появления позиционной составляющей, что приводит к заметным погрешностям в случае несимметричного положения чувствительного элемента демпфера относительно неподвижных частей.

7. Экспериментально подтверждено влияние сжимаемости газа на динамические характеристики акселерометра с плоским газовым демпфером. Определены уровни вибрационных погрешностей акселерометров с кварцевым и кремниевым маятником, вызванных сжимаемостью газа.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Шевцова Е.В. Расчет плоского газового демпфера с учетом сжимаемости // Навигация и управление движением: Материалы V конференции молодых ученых. - Санкт - Петербург, 2004. - С.65 - 70.

2. Шевцова Е.В. Газовое • демпфирование в микромеханических приборах // Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики: Труды XXIX академических чтений по космонавтике. - Москва, 2005. - С.284.

3. Шевцова Е.В. Влияние сжимаемости газа на вибрационные погрешности акселерометров с плоским газовым демпфером

// Навигация и управление движением: Материалы VI конференции молодых ученых. - Санкт - Петербург, 2004. - С. 181 - 186.

Подписано к печати Ц. С ч. С 7 Зак.'й? Объем 1.0 п.л Тир 100 Типография МГТУ им. Н.Э.Баумана

РНБ Русский фонд

2007-4 3310

/ t

Обозначения, принятые в работе.

Введение.

Глава 1. Математическая модель течения газа в плоском газовом демпфере.

1.1 Математическая модель плоского газового демпфера.

1.2 Точное решение системы уравнений Навье - Стокса для вязкого несжимаемого газа.

1.3 Температурный пограничный слой в случае плоского течения вязкого сжимаемого газа.

Глава 2. Методика расчета аэродинамических сил и газового демпфирования в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

2.1 Методика расчета аэродинамических сил в случае вязкого несжимаемого газа.

2.2 Методика расчета аэродинамических сил в случае вязкого сжимаемого газа.

Глава 3. Влияние сжимаемости газа на вибрационные погрешности акселерометров с плоским газовым демпфером.

Перспективы современного приборостроения связаны с разработкой приборов, обладающих малыми массой, габаритами, низкими себестоимостью и энергопотреблением и достаточно высокой надежностью. Указанные характеристики обеспечиваются технологиями, развитыми в последние десятилетия 20-го столетия в твердотельной микроэлектронике.

В последнее десятилетие широкое распространение получили микромеханические гироскопы и акселерометры, электромеханические узлы которых формируются из неметаллических материалов (монокристаллический кремний, плавленый кварц, карбид кремния и др.) методами фотолитографии и изотропного или анизотропного травления. В этих приборах используются плоские газовые демпферы с плоскопараллельным перемещением чувствительного элемента. Различный варианты конструкций таких акселерометров и гироскопов описаны в литературе [29, 53, 79].

При проектировании приборов данного класса, одним из наиболее важных является вопрос расчета газодинамических сил.

Расчет газодинамических параметров традиционно проводился с использованием формул линейной теории [29, 40, 47], полученных на основании решения приближенного дифференциального уравнения Рейнольдса для смазочного слоя в случае сдавливания вязкой несжимаемой среды двумя плоскими параллельными плоскостями, имеющего следующий вид [60, С. 201]: д2р д2р 12-ju-V дх2+ду2~ дг (ВЛ)

Эксперименты, проводимые с приборами, использующими плоские газовые демпферы, показывают на наличие ряда проблем, объяснение которых не укладывается в рамки линейной теории, в частности, снижение коэффициента демпфирования на высоких частотах, а также появление постоянной составляющей в демпфирующей силе при колебательных движениях чувствительного элемента плоского газового демпфера.

В ряде работ отмечается [29, 101, 102], что постоянная составляющая в демпфирующей силе возникает вследствие сжатия пленки газа между двумя параллельными поверхностями, при их движении.

Впервые оценка влияния сжимаемости газа при расчетах цилиндрических воздушных демпферов, применявшихся в авиационной промышленности на начальной стадии разработки авиационных приборов, была сделана в работе [78, С. 349 - 356].

В работе [78] рассматривается одномерное течение газа в рабочей полости цилиндрического демпфера. При этом правая часть уравнения (В.1), представляющая собой расход газа, преобразована таким образом, что коэффициент динамической вязкости заменяется произведением плотности на коэффициент кинематической вязкости. Плотность определяется из условия изотермического или адиабатического истечения газа.

Полученные аналитические соотношения позволяют с высокой степенью точности определять газодинамические параметры для цилиндрических воздушных демпферов.

Однако в случае плоского газового демпфера необходимо рассматривать двумерные течения. Кроме того, используемая в расчетах модель течения газа является линейной, и не дает объяснения эффектов, возникающих при больших скоростях перемещения чувствительного элемента плоского демпфера.

В работе [29] получены аналитические соотношения, объясняющие возникающие на высоких частотах работы микромеханических приборов, нелинейные эффекты. Ввиду того, что рассмотрены изотермические процессы в сжимаемом газе в линейной постановке задачи и анализируются упрощенные модели газовых демпферов, получаемая оценка носит скорее качественный, а не количественный характер.

Кроме того, в той же работе получены результаты вибрационных испытаний акселерометров, демонстрируются погрешности, возникающие при работе прибора на высокой частоте и, по результатам проведенных экспериментов, отмечается, что вышеуказанные погрешности возникают вследствие сжимаемости газа.

В работе [87], в предположении, что перемещение чувствительного элемента плоского газового демпфера, а также изменение давления малы, получены аналитические решения линеаризированного сжимаемого изотермического уравнения Рейнольдса, имеющего следующий вид: р.вКК±)Мр.8ККМУ-П.М±(Р-6) (В.2) дх\ дх J ду у ду J dt v где:

К = 1 + 9.638 -(Кп)1159- поправочный коэффициент для больших чисел Кнудсена.

В работе [10] рассматривается вопрос определения аэродинамической силы сопротивления движению подвижного узла интегрального микродатчика с использованием системы уравнений Навье — Стокса, для которой сделаны следующие допущения:

• На неподвижных стенках отсутствует проскальзывание (скорость молекул газа равна нулю);

• Давление по толщине зазора не изменяется;

• Нормальные составляющие скорости малы;

• Газ несжимаемый;

• Газ вязкий.

Для решения системы уравнений Навье — Стокса с учетом уравнения неразрывности и вышеописанных допущений используется вихревая теория расчета.

На основании полученных решений определяются коэффициенты демпфирования для различных форм поверхностей подвижного узла.

Для получения соотношений учитывающих сжимаемость газа и нелинейные эффекты на высоких частотах работы приборов с плоским газовым демпфером, при расчетах газодинамических параметров таких приборов, необходимо уточнить имеющиеся математические модели течений газа в рабочем зазоре и получить аналитические решения предложенных математических моделей.

В основе изучения течений жидкости и газа лежит система уравнений Навье — Стокса для вязкого, сжимаемого, нестационарного случая.

В работе [36] рассмотрена задача существования решения и показано, что общего аналитического решения полных уравнений Навье - Стокса для вязкой сжимаемой нестационарной среды не существует, решение существует лишь для частных случаев.

Следует отметить, что аналитические решения системы уравнений Навье — Стокса получены для вязких несжимаемых течений, или для вязких сжимаемых течений в линейной постановке задачи[16, 17, 20, 38, С. 491 — 498, 49, 57, 65, 75, С. 86 - 108, 86].

В работе [16] исследованы автомодельные решения уравнений Навье — Стокса при осесимметричном течении вязкой несжимаемой жидкости. Исходные уравнения преобразованы по методу Слезкина. На основании анализа физических свойств течения и общего уравнения Слезкина показано, что кроме известных ранее решений этого уравнения, существует ряд других решений, имеющих физический смысл. Рассмотрен простейший случай безвихревых течений, для которых линиями тока могут служить окружности, параболы, и гиперболы. Эти течения трактуются как неструйные (в отличие от решений Ландау и Сквайра) при втекании или вытекании в однородное пористое осесимметричное тело.

В работе [57] представлено новое семейство точных решений уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости. В его рамках могут быть рассмотрены задачи о течении жидкости над одной или между двумя бесконечными твердыми плоскостями, которые произвольно движутся и вращаются, оставаясь ортогональными по отношению к одному фиксированному направлению. В качестве частных случаев найденное семейство решений включает в себя два хорошо известных семейства точных решений уравнений Навье - Стокса: закрученные течения Кармана и плоские течения типа Хименца. Рассматриваются принципиально новые точные решения, принадлежащие найденному классу, которые описывают течение, возникающее при столкновении двух противопоставленных потоков между двумя неподвижными твердыми плоскостями. Показано, что при определенных условиях могут сосуществовать три различных типа течений. Устойчивость найденных решений исследуется в рамках задачи Коши, когда возмущения, вносимые в поток, принадлежат тому же классу, что и исследуемое течение. Установлено, что из трех сосуществующих типов течений только одно является устойчивым в указанном смысле.

Ряд современных авторов анализировали математические модели вязких сжимаемых течений [3, 4, 12, 23, 25, 33, 42, 69, 70, 83, 84, 88, 89, 99, 101, 103, 105, 107]. Однако, ввиду существенной нелинейности входящих в указанные математические модели уравнений, и наличия в них ряда особенностей, предпочтение отдается численным методам.

Среди работ, посвященных численному интегрированию системы уравнений Навье - Стокса для вязкой сжимаемой нестационарной среды необходимо отметить работы [ 7, 8, 27, 71].

В работе [83] предлагается метод, в котором конечные объемы применяются для конвективной, а конечные элементы - для диффузионной составляющей. Для случая вязкого потока используется аппроксимация центрированными конечными элементами.

В работе [84] представлен конечно-элементный алгоритм для моделирования течений сжимаемой жидкости. Алгоритм имеет два важных свойства: адаптивности для увеличения точности вычислений при помощи выборочного улучшения конечно-элементной сетки и эффективной реализация на параллельных компьютерах. Алгоритм для аппроксимации уравнений Навье - Стокса для сжимаемой жидкости является версией устойчивого метода конечных элементов. Реализованы три метода интеграции по времени: явный, линейно неявный и нелинейно - неявный. Для параллельной реализации алгоритма используется специальный прием разбиения сетки. Эффективность алгоритма продемонстрирована на решении двух задач сверхзвуковых течений: невязких и вязких. Приведено много пространственных графиков.

В работе [34] предложен новый надежный метод решения уравнений Навье - Стокса в естественных переменных. Он основан на совместном, на каждом временном слое решении уравнений движения и уравнения неразрывности. В линейном приближении доказана безусловная устойчивость алгоритма.

В работе [88] рассматривается применение асимптотического численного метода, представляющего собой комбинацию метода возмущений и метода конечных элементов, для решения нелинейных задач теории упругости и гидромеханики, описываемых стационарными уравнениями Навье - Стокса при формулировке по Петрову - Галеркину. Показано, что данный метод позволяет трансформировать нелинейную задачу в последовательность линеаризированных задач, которые' допускают применение тех же самых тангенциальных матриц. В качестве примеров приводятся результаты расчетов при обтекании уступов, полостей и цилиндров при различных числах Рейнольдса.

Основными общими недостатками численного моделирования является невозможность получения аналитической зависимости для аэродинамических параметров у различных приборов; а также то, что численные методы хорошо работают на гладких решениях, то есть, в области исследования нет особых точек.

Таким образом, в настоящее время рядом авторов предпринимаются попытки уточнить известные зависимости для определения газодинамических сил в рабочем зазоре приборов с плоским газовым демпфером с учетом сжимаемости газа. Однако, в силу того, что используются математические модели течения вязкой сжимаемой среды в трубе и между неподвижными пластинами, а также то, что процесс полагается изотермическим, получаемые формулы количественно не отображают возникающие нелинейные эффекты при работе приборов на высоких частотах, а также не учитывают влияние на них температурных процессов. Использование численных методов не позволяет получать соотношения для инженерных расчетов.

Для уточнения соотношений определяющих газодинамические силы в рабочем зазоре приборов с плоским газовым демпфером с учетом сжимаемости газа и температурных процессов, необходимо построить адекватную математическую модель течения вязкого сжимаемого газа, исследовать поведение вязкой сжимаемой среды в рабочем зазоре прибора, и построить, и проанализировать аналитическое решение предложенной математической модели.

Настоящая диссертационная работа посвящена развитию теории плоских газовых демпферов, ее уточнению с точки зрения полученных количественных оценок, а также созданию инженерных методик, позволяющих в дальнейшем проводить расчеты параметров плоских газовых демпферов.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Проанализирована структура течения газа в плоском газовом демпфере и предложена математическая модель несжимаемого течения газа.

2. Аналитическое решение предложенной математической модели адаптировано к течению в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

3. Получена математическая модель течения вязкого сжимаемого газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера.

4. Получено аналитическое решение системы уравнений, описывающих течение газа в рабочем зазоре плоского газового демпфера, учитывающее сжимаемость т температурные процессы в газе.

5. Разработаны инженерные методики расчета аэродинамических сил и коэффициента демпфирования в рабочем зазоре плоского газового демпфера с учетом сжимаемости газа, уточняющие существующие зависимости.

6. Показано, что при больших скоростях движения подвижной пластины газового демпфера, происходит уменьшение демпфирующей силы, из-за появления позиционной составляющей, что приводит к заметным погрешностям в случае несимметричного положения чувствительного элемента демпфера относительно неподвижных частей.

7. Экспериментально подтверждено влияние сжимаемости газа на динамические характеристики акселерометра с плоским газовым демпфером. Определены уровни вибрационных погрешностей акселерометров с кварцевым и кремниевым маятником, вызванных сжимаемостью газа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. - М.: Мир, 1990. — 727с.

2. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. / В.К. Андреев, О.В. Капцов, В.В. Пухначев, А.А. Родионов- Новосибирск: Наука, 1994. 319с.

3. Андриевский А.П., Коровкин В.Н. К расчету свободно конвективного теплообмена на вертикальной полубесконечной пластине. // Журнал Инженеров — физиков. — 2001. - Т. 74. - №2. - С.68 - 72.

4. Рыжов О.С., Терентьев Е.Д. О применении законов сохранения к решению задач газовой динамики при помощи асимптотических методов. // Аэромеханика и газовая динамика /Под ред. Струминского В.В. М.: Наука, 1976. - С.179 - 205.

5. Бай Ши-и Введение в теорию течения сжимаемой жидкости. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. — 408с.

6. Белоносов С.М., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навье Стокса. - М.: Наука, 1985. - 312с.

7. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1982. - 391с.

8. Березин Ю.А., Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Разностный метод решения задач обтекания в «естественных» координатах // Аэромеханика: Сборник статей. М.: Наука, 1976. -С. 253-259.

9. Бернулли Д. Гидродинамика или записи о силах и движениях жидкостей. — Издательство академии наук СССР, 1959. -551с.

10. Вавилов В.Д., Поздяев В.И., Шеянов В.Н. Об аэродинамическом демпфировании. // Труды НИТИ. 1986. -Вып.2. -С.89-93.

11. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1968. — 464с.

12. Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. - М.: Мир, 1967. - 310с.

13. Ворожцов Е.В., Яненко Н.Н. Методы локализации особенностей при численном решении задач газодинамики. -Новосибирск: Наука, 1985.- 224с.

14. Воротников Д.А. О задаче Навье Стокса в подобластях R". // Вестник Воронеж. Государственного Университета. Физ. Мат. - 2001. - №1. - С.65 - 74.

15. Выскребцев В.Г. Новые точные решения уравнений Навье Стокса для осесимметричных автомодельных течений жидкости. // бывш. Математические методы и физико-механические поля - 1998. - Т. 41. -№3. - С.44 - 51.

16. Глушко А.В. Асимптотические методы в задачах гидродинамики. Воронеж: Изд-во Воронеж. Государственного Университета, 2003. - 300с.

17. Голубев В.В. Труды по аэродинамике. Москва — Ленинград: Государственное издательство технико - технической литературы, 1957.— 979с.

18. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. М.: Энергия, 1971.-480с.

19. Демьянов Ю.А., Феоктистов В.В. Численное решение задачи формирования пограничного слоя на пластине за движущейся ударной волной // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. -1976. -№1. С.32-42.

20. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. — М.: Мир, 1983.-200с.

21. Зубков В.Г. Математическое моделирование течений жидкости и газа. М.: МГИУ, 2001г. - 191с.

22. Киреев В.И., Войновский А.С. Численное моделирование газодинамических течений. — М.: Издательство МАИ, 1991.-253с.

23. Клюев Н.И. Асимптотические методы решения уравнений с пограничным слоем. Самара: Самарский университет, 2001.

24. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. - 304с.

25. Козлов Л.Ф. Теоретические исследования пограничного слоя. Киев: Наукова Думка, 1982. — 294с.

26. Коновалов С.Ф. Теория виброустойчивости акселерометров. М.: Машиностроение, 1992. - 271с.

27. КочинаП.Я. Гидродинамика и теория фильтрации. (Избранные труды). М.: Наука, 1991. - 352с.

28. Кузнецов Д.С. Гидродинамика. Ленинград: Гидрометеорологическое издание, 1951. - 391с.

29. Регулярные асимптотические алгоритмы в механике. /Н.Г. Кузнецов, Ю.Ф. Орлов, В.Б. Черепенников, Р.Ю. Шлаустас Новосибирск: Наука, 1989. - 274с.

30. Кульнев С.С. Численное исследование структуры течения сжимаемого газа около лобовой поверхности типа игла — конус цилиндр при наличии вдува. // Математика, компьютер, образование: 10 международная конференция. - Пущино, 2003. — Вып. 10. - С. 128.

31. Курганов Д.В., Мажорова О.С., Попов Ю.П. О методах решения уравнений Навье Стокса в естественных переменных. - 2001. - №39. - С.1 - 31. (Препринт Института прикладной Мат. РАН.)

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1977. — 408с.

33. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1970. -288с.

34. Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. 480с.

35. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. - 847с.

36. Мили Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. -М.: Мир, 1964. -655с.

37. Мостовенко П.П., Уткин В.И., Харламов С.А. Некоторые методы и результаты теории газовой смазки. Подшипники с газовой смазкой. М.: Мир, 1966. - С. 353 - 387.

38. Некорректные задачи теории возмущений (асимптотические методы механики) / Под ред. А.Н. Панченкова Новосибирск: Наука, 1984. 248с.

39. Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука (Физматлит), 1997.-512с.

40. Остапенко Н.А. Об асимптотическом решении задачи входа тонкого пространственного тела в сжимаемую жидкость. // Механика жидкости и газа. Избранное. Квосьмидесятилетию академика РАН Г.Г. Черного М.: Физматлит. — 2003.-С.76 .

41. Полежаев В.И., Простомолов А.И., Федосеев А.И. Метод конечных элементов механики вязкой жидкости. М.: ВИНИТИ, Серия механика жидкости и газа, 1987. - С.З - 92.

42. Полинский А.Б. Методика определения коэффициента демпфирования в плоских жидкостных пленках //Отчет НИИ ПМ им. Академика Кузнецова

43. Полянин А.Д. Преобразования и точные решения уравнений пограничного слоя, содержащие произвольные функции. //Доклад РАН. 2001. -№3. - С.334 - 339.

44. Полянин А.Д. Точные решения уравнений Навье -Стокса с обобщенным разделением переменных // Доклад РАН. — 2001. — №4. С.491 - 496.

45. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики. Справочник. М.: Издательская фирма «Физико-математическая литература», 2002. — 431с.

46. Проблема пограничного слоя и вопросы теплопередачи. Сборник оригинальных статей. Москва — Ленинград, Государственное энергетическое издательство, 1960. — 394с.

47. Распопов В. Я. Микромеханические приборы. Учебное пособие. Тула: Тульский Государственный университет, 2002 . - 392с.

48. Газовая динамика. /Х.А. Рахматуллин, А .Я. Сагомонян, А.И. Бунимович, И.Н. Зверев М.: Высшая школа, 1965. -722с.

49. Романенко П.Н. Гидродинамика и теплообмен в пограничном слое. Справочник. -М.: Энергия, 1974. -464с.

50. Романенко П.Н. Теплообмен и трение при градиентном течении жидкостей. М.: Энергия, 1971. - 568с.

51. Рыскин А.Б. Общее представление двух классов точных решений уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. // Теплофизика и аэромеханика. 2002. - №2. - С.289 -299.

52. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980.-352с.

53. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1987. - 400с.

54. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Издательство технико-технической литературы, 1955.-519с.

55. Темам Р. Уравнения Навье Стокса. Теория и численный анализ. -М.: Мир, 1981. -408с.

56. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 724с.

57. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. М.: Наука, 1990. -230с.

58. Фабер Т.Е. Гидроаэродинамика. М.: Постмаркет, 2001.-559с.

59. Франк A.M. Дискретные модели несжимаемой жидкости. М.: Физматлит, 2001. - 206с.

60. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973. - 711с.

61. Хирмель Э., Кордулла В. Сдвиговое течение сжимаемой жидкости. Численный расчет пограничного слоя. — М.: Мир, 1987.-253с.

62. Четверушкин Б.Н. Моделирование течений вязкого сжимаемого газа на многопроцессорных вычислительных машинах. // 8 Всероссийский съезд по теоретической и прикладноймеханике: Аннотации докладов. — Екатеринбург: Издательство УрО РАН. 2001. - С.596 - 597.

63. Численные методы в механике жидкостей (Сборник избранных трудов) / Под ред. О.М. Белоцерковского М.: Мир,1973. -184с.

64. Шевелев Ю.Д. Пространственные задачи вычислительной динамики. М.: Наука, 1986. — 367с.

65. Шевелев Ю.Д. Трехмерные задачи теории ламинарного пограничного слоя. М.: Наука, 1977. - 224с.

66. Шкадов В.Я., Запрянов З.Д. Течения вязкой жидкости. М.: Издательство Московского университета, 1984. — 200с.

67. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука,1974.-711с.

68. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985. - 364с.

69. Шатров А.В. Эволюция идеи пограничного слоя: от гидродинамики до синергетики. // 2 Международный междисциплинарный симпозиум «Фракталы и прикладная синергетика». М.: Изд-во МГОУ- 2001- С. 15 - 17.

70. Тихменев С.С. Элементы точных приборов. М.: Оборонгиз, 1956. - 360с.

71. Северов J1.A., Пономарев В.К., Панферов В.К. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, технологии, пути развития // Известия Вузов, Приборостроение. -1998. Т.41. - №1 - 2 . - С.57 - 73.

72. Дородницын А.А. Пограничный слой в сжимаемом газе // Прикладная математика и механика. — 1942. — Т.6. — С.449 — 486.

73. А.С. 99113694 (РФ). Маятниковый компенсационный акселерометр / С.Ф. Коновалов, А.А. Коновченко, А.С. Ларшин// 1999.

74. A dynamic model, including contact bounce, of an electrostatically actuated microswitch /G.G. Adams, B. McCarthy, N.E. McGruer, D.Potter // IEEE Journal of Microelectromechanical Systems.- 2002. Vol. 11. - №3. - P.276 - 283.

75. Banas K. A parallel adaptive code for compressible Navier Stokes simulations. // TASK Quart - 1999. - Vol.3. - №1. -P. 17 - 37.

76. Belon M., Tordella D. A new matched asymptotic expansion for the intermediate and far flow behind a finite body. //Physics Fluids.- 2003. Vol. 15. - №7. - P. 1897 - 1906.

77. Simulation of gas damping in microstructures with nontrivial geometries / D. Billep, W. Dotzel, C. Kaufmann, K. Kerr, S. Kurth, J. Mehner // IEEE MEMS'98 Conf, 1998. -P.172.

78. Blesh J.J. On isothermal squeeze films // Journal of Lubrication Technology.- 1983. Vol. 105. - P.615 - 620.

79. ANM for stationary Navier Stokes equations and with Petrov - Galerkin formulation / J.M. Cadou, B.Cochelin, N. Damil, M.

80. Potier Ferry // International Journal of Numerical Method Engineering.- 2001. - Vol.50. - №4. - P.825 - 845.

81. Cho Y.-H., Howe R.T., Pisano A.P. Viscous damping model for laterally oscillating microstructures. // Journal of Microelectromechanical systems. 1994. - Vol.3. - P.81 - 87.

82. Desjardins B. On the regulary of solutions of the compressible isentropic Navier — Stokes equations. // Hyperbolic problems: Theory, Numeric Applications: 7th Int. Conf., Zurich, 1998. — Vol.50.-P.215-224.

83. Dick E., Merci В., Vierendeels J. Blended AUSM method for all speeds and grid aspect ratios. // AIAA Journal. 2001. -Vol.39. - №12. - P.2278 - 2282.

84. Dimon P., Putkaradze V. Nonuniform two-dimensional fluid flow from a point source. // Physics Fluids. 2000. - Vol.12. — №1. —P.66-70.

85. Feifelal E. On the long-time behavior of solutions to the Navier Stokes equations of compressible flow. // Nonlinear Analysis and Its Applications to Differential Equations. Boston etc.: Birkhauser. -2000. -P.23-35.

86. Gretillat M.A., Senturia S.D., Yang Y.J. Effect of air damping on the dynamics of nonuniform deformations of microstructures. // Proceeding of Transducers'97, Chicago, 1997. — P.1093 -1096.

87. Guedda M. Nonuniqueness of solutions to differential equations for boundary-layer approximations in porous media. // C.r. Mec. Acad. Sci., Paris.- 2002. №4. - P.279 - 283.

88. Hongxia L., Kenji N., Tao P. Asymptotic behavior of a one-dimensional compressible viscous gas with free boundary. // SIAM Journal of Mathematics Analytical. 2002. - №2. - P.273 - 291.

89. Hyuseok K., Ili Jun C. Isoleted singularity for the stationary Navier Stokes system. // Journal of Mathematics and Fluid Mechanics. - 2000. - Vol.2. - №2. - P. 151 - 184.

90. Karniadakis G.E., Liu D., Maxey M. A fast method for particulate microflows. // IEEE Journal of Microelectromechanical Systems.-2002.-Vol. 11.-№6.-P.691 702.

91. Kubby J., Mukherjee S., Pan F., Prrters E., Tan A.T. Squeeze film damping effect on the dynamic response of a MEMS torsion mirror. // MSM'98, Santa Clara, CA, USA, 1998. P.474 - 479.

92. Equivalent-circuit model of the squeezed gas film in a silicon accelerometer / H. Kuisma, J. Lahdenpera, T. Ryhanen, T. Veijola // Sensors and Actuators. 1995. - Vol. 48. - P.239 - 248.

93. The influence of gas-surface interaction on gas film damping in a silicon accelerometer / H. Kuisma, J. Lahdenpera, T. Ryhanen, T. Veijola // Sensors and Actuators. 1998. - Vol. 66. - P.83 -92.

94. Lai Y. G., Przekwas A. A finite-volume method for fluid flow simulations with moving boundaries. // Journal Computer Fluid Dynamics. 1994. - Vol.2. - P.l9 - 40.

95. Liao S.-J. An explicit, totally analytic solution of laminar viscous flow over a semi-infinite plate. // Commun. Nonlinear science and numerical simulations. 1998. - Vol. 3. - №2. - P.53 - 57.

96. Nicoud F. Conservative high-order finite-difference schemes for low — Mach number flows. // Journal of Computer Physics.- 2000. Vol.158. - №1. - P.71 - 97.

97. Paullet J.E., Weidman P.D. Analytical results for а В VP describing radial stagnation flow with transpiration. // Journal of Mathematics Analytical and Applied. 2000. - № 1. - P.246 - 254.

98. Senturia S.D., Yang Y.-J. Numerical simulation of compressible squeezed-film damping. // Solid-State sensors and actuator Workshop. Hilton Head, SC - 1996. - P.76 - 79.

99. Zeytounian RKh. A historical survey of some mathematical aspects of Newtonian fluid flows. // Applied Mechanics Review 2001. - Vol.54. - №6. - P.525 - 562.