автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Использование метода скользящей аппроксимации при геометрическом моделировании поверхностей

На правах рукописи

005052293

Гувеннов Максим Борисович

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 8 АПР 2013

Нижний Новгород - 2013

005052293

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Шеховцов Геннадий Анатольевич

Официальные оппоненты: Кучуганов Валерий Никанорович, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет», заведующий кафедрой автоматизированных систем обработки информации и управления

Шебашев Виктор Евгеньевич кандидат технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Марийский государственный технический университет», первый проректор

Ведущая организация

ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Защита состоится «26» марта 2013 года в 13-00 на заседании диссертационного совета Д 212.162.09 при ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Ильинская, д. 65, корпус 5, аудитория 202.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»

Автореферат разослан «22» февраля 2013 г. Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат педагогических наук, доцент

Н. Д. Жилина

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Процессы конструирования и моделирования изделий, проектирования объектов народного хозяйства и инфраструктуры во многих случаях связаны с созданием и использованием поверхностных геометрических моделей или поверхностей. Поверхностями могут описываться не только визуально фиксируемые предметы и объекты, но и всевозможные поля, значения физических величин, имеющих распределение в окружающем нас пространстве и исследуемых при инженерном анализе изделий.

Все многообразие поверхностей можно условно разделить на поверхности, имеющие точное аналитическое представление, и сложные криволинейные поверхности, не имеющие точного аналитического представления. Усложнение машин и механизмов, необходимость геометрического моделирования скалярных полей при проведении инженерного анализа изделий, физических исследований и геодезических измерений определяют актуальность разработок в области совершенствования методов, методик и процедур представления и построения сложных криволинейных поверхностей.

В настоящее время в практике проектно-конструкторских работ для моделирования сложных криволинейных поверхностей существуют хорошо разработанные математические подходы и методы, такие, например, как сплайновые методы, регулярные и нерегулярные триангуляционные сети (TIN) и др.

Сложные поверхностные модели могут быть условно разделены на две группы, имеющие определенные общие признаки:

1) Поверхности, описывающие большую часть объекта или весь объект. Примерами могут служить судовые поверхности, задаваемые сплайнами,

поверхности крыльев самолета и пр.

2) Поверхности, имеющие частые перегибы на ограниченном участке изделия или объекта. В качестве примера можно привести рельеф участка всхолмленной местности, описываемый либо кусочно-гладкой сплайновой поверхностью, либо сетью TIN.

В том случае, когда исследуется локальный участок сложной криволинейной поверхности, и когда исследуемая поверхность образует плавные волны, построение сложных в математическом смысле моделей

нецелесообразно. Это усложняет задачу, требует больших затрат времени и ресурсов машинной памяти. Локальный участок такой поверхности в большинстве случаев удается заменить отсеком плоскости без ущерба для точности получаемых результатов исследования. Отсек плоскости может скользить по поверхности, заменяя отдельные ее участки с определенной наперед заданной точностью. На основе данного принципа является актуальной задача разработки нового варианта метода скользящей аппроксимации, который должен отвечать следующим условиям: 1) быть простым с математической точки зрения; 2) реализуемым без привлечения больших вычислительных ресурсов и сложного программного обеспечения; 3) доступным для применения на местности. Выполнение перечисленных условии сделают новый вариант метода практически значимым в современных проектно-конструкторских и проектно-изыскательских работах, например, при аппроксимации плоскоравнинных участков рельефа земной поверхности, выполнении строительного контроля вертикальной планировки рельефа, геометрическом моделировании поверхности квазигеоида.

В настоящем исследовании предлагается использовать термин «скользящая аппроксимация» по отношению к локальной аппроксимации сложных криволинейных поверхностей в окрестности произвольной точки, принадлежащей поверхности. Новый вариант метода скользящей аппроксимации в нашем исследовании для упрощения изложения будем называть методом скользящей аппроксимации.

Объект исследования - сложные криволинейные поверхности, не имеющие точного аналитического представления.

Предмет исследования - методы, методики и процедуры локальной аппроксимации сложных криволинейных поверхностей.

Цель исследования - разработка методов, методик и процедур, позволяющих аппроксимировать локальные участки сложных криволинейных поверхностей с наперед заданной нормативной точностью.

Задачи исследования:

- разработать новый вариант метода скользящей аппроксимации (далее -метод скользящей аппроксимации) на примере поверхности квазигеоида, при этом показатели точности скользящей аппроксимации не должны превышать заданных нормативных значений;

- разработать инструмент вычисления параметров уравнения плоскости с

учетом ошибок исходных данных;

- разработать методику подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности отсеком скользящей плоскости, изучить особенности применения метода скользящей аппроксимации на поверхностях, имеющих большую протяженность;

- разработать методику создания гибридных геометрических моделей

высот квазигеоида.

Методы исследования. Решение поставленных в работе задач базируется на использовании теории и методов инженерной геометрии и компьютерной графики, теории ошибок измерений и теории математической обработки геодезических измерений, методов нелинейного программирования, аналитической геометрии в пространстве, вычислительной геометрии, методов аналогий и анализа.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- на основе анализа метода скользящей аппроксимации разработан новый вариант метода применительно к аппроксимации сложных криволинейных поверхностей, не имеющих точного аналитического представления;

- разработана вычислительная процедура для определения параметров уравнения текущего отсека плоскости с учетом ошибок исходных данных;

- разработана методика подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности отсеком скользящей плоскости;

- разработана методика создания гибридных геометрических моделей

высот квазигеоида.

Практическая значимость работы. Результаты исследований рекомендованы ФГУП «Центральный ордена «Знак почета» научно-исследовательский институт геодезии, аэросъемки и картографии им. Ф.Н. Красовского» (ЦНИИГАиК) для внедрения при производстве инженерных изысканий. Авторские разработки используются организациями, выполняющими инженерные изыскания для строительства: Нижегородским филиалом ОАО «ГипродорНИИ», ООО «ЭТС-Проект».

На защиту выносятся:

- новый вариант метода скользящей аппроксимации;

- вычислительная процедура, позволяющая определять параметры уравнения отсека плоскости с учетом ошибок исходных данных;

- методика подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности отсеком скользящей плоскости;

- методика создания гибридных геометрических моделей высот квазигеоида.

Апробация результатов исследований. Основные положения диссертации докладывались на 17-й Нижегородской сессии молодых ученых, на XIV Международном научно-промышленном форуме «Великие реки», на заседании геодезической секции Ученого Совета ЦНИИГАиК.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты исследований опубликованы в 6 научных работах, 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка. Общий объем составляет 138 страниц машинописного текста, 24 рисунка, 6 таблиц, одно приложение. Библиографический список включает 113 наименований, в том числе 19 на английском языке.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, анализируется степень разработанности проблемы, определяются объект и предмет, ставятся цель и задачи, формулируются результаты, выносимые на защиту, обосновываются научная новизна и практическая значимость работы.

В первой главе рассматриваются особенности предложенного метода скользящей аппроксимации, приводятся общие сведения о его применении в решении задач геометрического моделирования.

Первый раздел главы посвящен обзору методов описания и представления сложных криволинейных поверхностей, в частности, изучены научные труды С. Кунса, П. Безье, A.B. Погорелова, Б.Н. Делоне, Ю.Л. Кеткова, М. А. Сабина, Д. Ф. Роджерса, Д. Петерса, Д. Фарина, A.B. Скворцова, O.P. Мусина, В.М. Огаркова.

Рассмотрены основные виды геометрических моделей, при помощи которых реализуется каркасное и поверхностное моделирование сложных

б

криволинейных поверхностей, не имеющих точного аналитического представления: растровая модель, регулярно-ячеистая модель, модели, задаваемые сплайнами, регулярными и нерегулярными триангуляционными сетями. Анализируются особенности применения указанных моделей и отмечаются общие признаки описываемых ими поверхностей: такие поверхности охватывают большую часть объекта или весь объект и образуют частые перегибы с различной кривизной на ограниченном фрагменте. Делается вывод, что при геометрическом моделировании локальных участков сложных криволинейных поверхностей, образующих очень плавные волны, применение описанных выше видов моделей нецелесообразно.

Во втором разделе предлагается метод скользящей аппроксимации, отличный от существующих методов геометрического моделирования сложных криволинейных поверхностей.

Термин «скользящая аппроксимация» встречается в научном обиходе и в большинстве случаев дублирует термин «скользящее среднее» - общее название для семейства функций, значения которых в каждой точке определения равны среднему значению исходной функции за предыдущий период. Приведем несколько примеров употребления данного термина и соответствующего ему метода в научных публикациях за последние 10 лет. В ряде работ зарубежных исследователей (И. Батыршин, Г. Фашауэр, Д. Левин) термин применяется при статистической обработке данных, имеющих разброс, а также при обработке временных рядов. В работах отечественных ученых скользящая аппроксимация применяется в отношении обработки сигналов, их фильтрации от шумов (А. В. Майстренко), при построении системы обработки результатов измерений в условиях априорной неопределенности (А. И. Шерстобитов), в теории робастного управления (М. Ю. Медведев).

В настоящем исследовании предлагается использовать термин «скользящая аппроксимация» по отношению к локальной аппроксимации сложных криволинейных поверхностей. Суть метода в данном контексте состоит в аппроксимации сложной криволинейной поверхности отсеком плоскости, скользящим по поверхности и приближающим локальные ее участки с определенной степенью точности. При этом осуществляется вычисление погрешностей аппроксимации и контроль того, чтобы погрешности не превышали известных нормативных значений.

В третьем разделе первой главы делается вывод о том, что метод скользящей аппроксимации применим при геометрическом моделировании сложных криволинейных поверхностей, описывающих скалярные поля, в частности, при моделировании поверхности квазигеоида, образующей плавные волны большой протяженности.

Во второй главе рассматривается применение метода скользящей аппроксимации на примере моделирования поверхности квазигеоида.

В первом разделе главы описывается введете в проблему перехода от геодезических высот определяемых из спутниковых измерений и

отсчитываемых от поверхности эллипсоида Ягв^Л, к нормальным высотам /Г, принятым на территории России и отсчитываемым от поверхности квазигеоида. Для осуществления перехода к нормальным высотам необходимо знать высоты квазигеоида ¡¡как в опорных, так и в определяемых пунктах спутниковых геодезических сетей (СГС).

0)

Высоты квазигеоида в опорных пунктах СГС можно вычислить по формуле (1), поскольку значения нормальных высот здесь известны, а значения геодезических высот мы получаем непосредственно из спутниковых измерений. Вычисление высот квазигеоида в определяемых пунктах сети может быть выполнено двумя методами: физическим и геометрическим (методом

скользящей аппроксимации).

Физический метод получил свое развитие в трудах крупнейшего советского ученого М.С. Молоденского и его коллег. Вычисление высот квазигеоида физическим методом, так называемых гравиметрических высот квазигеоида, осуществляется с использованием информации об аномалиях силы тяжести на поверхности Земли. Но в условиях засекреченности гравиметрической информации и необходимости знать аномалии силы тяжести по всей поверхности Земли, непосредственное применение теории Молоденского для массовых топографо-геодезических работ в принципе невозможно.

С другой стороны, разрабатываемая изначально с целью установления на территории СССР единой системы высот, теория Молоденского в настоящее время находит свое применение при создании глобальных цифровых моделей высот квазигеоида иностранными исследователями. В 2008 году на сайте

Национального геопространственного информационного агентства США была опубликована цифровая модель (ЦМ) гравитационного поля Земли (ГПЗ) ЖШ2008. На этом же сайте представлены вспомогательные файлы и утилиты, позволяющие переводить информацию об аномалиях ГПЗ в гравиметрические высоты квазигеоида со среднеквадратической ошибкой (СКО) для равнинных территорий 5-10 см. Эти данные делают возможным применение глобальной ЦМ гравиметрических высот квазигеоида взамен расчетных формул и их описания, составляющих теорию Молоденского. Вычисление нормальных высот при этом производится с точностью технического нивелирования. Для достижения точности не хуже IV, Ш класса геометрического нивелирования (соответственно в 2.5 и в 5 раз точнее), необходимо использовать более точные модели, которые могут быть созданы с использованием геометрического метода - метода скользящей аппроксимации.

Метод скользящей аппроксимации не требует привлечения секретной информации и знания аномалий силы тяжести по всей поверхности Земли. Суть метода состоит в определении геометрических связей между опорными пунктами СГС в 3-мерном пространстве. На первом этапе мы вычисляем высоты квазигеоида в опорных пунктах сети по формуле (1), в научной литературе такие высоты получили название геометрических высот квазигеоида. На втором этапе мы определяем вид и параметры функции зависимости высоты квазигеоида от координат - уравнение некой аппроксимирующей поверхности. На третьем этапе, имея уравнение аппроксимирующей поверхности, методом интерполяции или экстраполяции можно вычислить высоты квазигеоида в любом определяемом пункте сети. Особый интерес представляет второй этап решения задачи. Схематично сложная криволинейная поверхность квазигеоида, образующая малые и большие волны, показана в профиле на рис. 1.

Колебание малых волн может иметь значения до нескольких сантиметров на километр расстояния. Большие волны образуют в профиле участки, близкие к плоским, на стыках этих участков имеются плавные перегибы. Колебание больших волн по высоте может достигать 1.5 м на 30 км расстояния.

Теоретически, поверхность квазигеоида наиболее точно можно аппроксимировать сплайн-поверхностью. Для достоверной аппроксимации необходимо знать высоты квазигеоида не только в опорных пунктах 1 - 4, расположенных друг относительно друга на расстоянии от 5 до 25 км, но и в

точках между опорными пунктами. Следовательно, с практической точки зрения аппроксимация сплайн-поверхностями невозможна по причине недостаточности исходной информации для построения данной геометрической модели.

Рис. 1. Поверхность квазигеоида и геометрически связанные с ней поверхности

Поскольку амплитуда малых волн квазигеоида невелика, существует возможность пренебречь их колебаниями по высоте в пределах больших волн. Отдельные участки поверхности квазигеоида могут быть с высокой точностью (СКО 4 см) аппроксимированы одним или несколькими отсеками скользящей плоскости (рис. 1). Созданные при этом геометрические модели поверхности квазигеоида позволяют обеспечить точность технического нивелирования, нивелирования IV и даже III класса. При этом должны быть учтены геометрический фактор и фактор аномальности исследуемого района.

Влияние геометрического фактора проявляется в пространственной ориентации длин каждого вектора СГС в отдельности, общей протяженности СГС и ее конфигурации к малым и большим волнам поверхности квазигеоида.

10

На рис. 2 показан принцип интерполяции высоты квазигеоида с использованием отсека плоскости, аппроксимирующего локальный участок поверхности протяженностью не более 20-30 км. Также на рисунке в горизонтальной проекции представлена схема СГС, профиль построен по линии «репер 1 - репер 2 - репер 3». С использованием значений координат пяти опорных пунктов СГС и вычисленных в этих пунктах высот квазигеоида осуществляется вывод уравнения аппроксимирующей плоскости. Данная плоскость описывает наклон поверхности в определенном направлении и усредняет ошибки аппроксимации. Эти ошибки обусловлены как малыми волнами поверхности квазигеоида, так и небольшими ошибками, которые всегда содержатся в значениях нормальных высот опорных пунктов СГС (так называемые ошибки исходных данных).

Рис. 2. Схема интерполяции высоты квазигеоида с использованием отсека плоскости

На участке поверхности протяженностью более 20-30 км учитывать большие волны квазигеоида становится сложно. В данном случае необходимо либо использовать ЦМ гравиметрических высот квазигеоида, созданную по

и

данным ЕвМ1Ш, либо использовать более точный метод - аппроксимировать поверхность квазигеоида несколькими отсеками скользящей плоскости.

Фактор аномальности района изысканий выражается в сложности поверхности квазигеоида, обусловленной аномалиями силы тяжести. Геометрический фактор и фактор аномальности находятся в тесной взаимозависимости. Например, если в районе инженерных изысканий отмечаются незначительные аномалии силы тяжести, то поверхность квазигеоида будет иметь простую форму, что позволит аппроксимировать ее одним отсеком плоскости на расстояния, значительно превышающие 20-30 км. В противном случае, отсеком плоскости возможно аппроксимировать только участок поверхности, ограниченный диаметром 10 км и менее.

Во втором разделе эторой главы метод скользящей аппроксимации применяется при разработке геометрической модели поверхности квазигеоида на участке, не превышающем по протяженности 20-30 км. В данном случае модель представлена в виде отсека плоскости, который «опирается» на значения высот квазигеоида, вычисленные на исходных пунктах СГС. Исходные данные для моделирования получены в результате построения экспериментальной СГС небольшой протяженности (рис. 3).

Р*г_«в< 77ЛЗв

Рис. 3. Схема экспериментальной СГС небольшой протяженности (до 20-30 км)

Предложенный метод математически реализуется в электронной таблице MS Office Excel, содержащей специальную вычислительную процедуру, которая работает по алгоритму нелинейного программирования Generalized Reduced Gradient Method 2 (GRG2). Вычислительная процедура в своей работе использует математическую модель, описанную системой (2): К„х, + КуУх + Я0 + ¿>, = (#" - Я%

КЛ + КуУг + Я0+ <*>> = (Я° -иг\,

КЛ + КуУз + Я„ + * = (Я° - Я%

+ +Я0+^ = (Я° - Я04,

АГЛ + + Я0 + ^ = (Я° - Я')5,

[<J2]- min,

В системе уравнений Кх, Ку, Н0 - постоянные коэффициенты плоскости, х„у,- плоские прямоугольные координаты опорных пунктов СГС (м), (Яс-Н')г высоты квазигеоида (м); требуется найти минимум функции [<52] =

min, где Si - погрешности аппроксимации (м).

В разделе также описаны подготовительные операции с исходными данными для реализации метода скользящей аппроксимации (геодезическими и нормальными высотами). Состав и порядок вычислительных действий зависит от принятой геометрической схемы построения каркаса СГС.

В конце раздела описана методика подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности отсеком скользящей плоскости. Цель априорной оценки - определить в первом приближении возможность аппроксимации поверхности квазигеоида отсеком плоскости. Для выполнения априорной оценки создается вспомогательная модель поверхности квазигеоида, представляющая собой поверхность TIN, а также наглядное изображение поверхности в виде изолиний. Подготовка вспомогательной геометрической модели поверхности квазигеоида осуществляется на основе данных ЦМ ГПЗ EGM2008. Выполняются следующие операции и процедуры:

- вычисление по данным ЦМ ГПЗ EGM200S значений гравиметрических высот квазигеоида в системе пространственных эллипсоидальных координат WGS84 с использованием программы hsynth_WGS84.exe;

- пересчет пространственных эллипсоидальных координат из системы WGS&4 в систему плоских прямоугольных координат в проекции Гаусса-Крюгера;

- построение ЦМ поверхности в виде сети TIN по алгоритму Делоне;

- построение изолиний вспомогательной поверхности с шагом по высоте 10 см;

- совмещение ЦМ гравиметрических высот квазигеоида и геометрической схемы проектируемой СГС в единой системе плоских прямоугольных координат.

По кривизне изолиний, расстоянию между смежными изолиниями специалист может выделить участки, близкие к плоским, оценить приблизительную точность аппроксимации. Методика позволяет избежать грубых ошибок при создании геометрической модели поверхности с применением метода скользящей аппроксимации.

В третьем разделе второй главы метод скользящей аппроксимации применяется при разработке геометрической модели поверхности квазигеоида на участке, превышающем по протяженности 20-30 км. В данном случае, имеющем место при изысканиях и проектировании линейных объектов большой протяженности (автомобильных и железных дорог, трубопроводов и т.п.), геометрическая модель представлена в виде нескольких отсеков скользящей плоскости. При этом каждый отсек приближает определенный локальный участок поверхности, заключенный между линиями перегиба большой волны поверхности (рис. 1).

Экспериментальные данные для моделирования получены в результате построения СГС большой протяженности (90 км). На рис. 4 экспериментальная СГС совмещена с ЦМ гравиметрических высот квазигеоида, созданной по данным EGM200&. Попытка смоделировать поверхность квазигеоида одним отсеком плоскости дает неудовлетворительные результаты: наибольшие погрешности аппроксимации на опорных пунктах СГС имеют значения 0,082 и -0,099 м. Как показал эксперимент, разбиение СГС на фрагменты позволяет наилучшим образом учесть сложную поверхность квазигеоида на исследуемом участке. В результате фрагментации СГС наибольшие погрешности аппроксимации на опорных пунктах имеют следующие значения: 0.049 и -0.038. ЦМ геометрических высот квазигеоида в данном случае представлена тремя отсеками скользящей плоскости.

Вариант развития нескольких независимых опорных сетей имеет очевидное преимущество, которое приобретает особую значимость в случае повышения требований к точности вычисления нормальных высот определяемых пунктов СГС.

------- экспериментальные уиастки аппроксимации

поверхности квазигеоида тремя отсеками плоскости

- - векторы СГС. посредством КОТОРЫХ осные-

ствляется привязка контрольных реперов I и 5 к фрагментам каркасной сети

Рис. 4. Схема экспериментальной СГС большой протяженности (90 км)

В четвертом разделе второй главы приводится оценка точности нормальных высот определяемых пунктов СГС в зависимости от используемой геометрической модели высот квазигеоида. Применение геометрических моделей, созданных с использованием метода скользящей аппроксимации, как минимум в 2 раза повышает точность вычисления нормальных высот определяемых пунктов СГС в сравнении с применением модели, построенной по данным ЕСМЮОЯ. Использование первого вида моделей во всех случаях

практики удовлетворяет по точности IV классу и в большинстве случаев - III классу геометрического нивелирования. В свою очередь, высокая точность определения нормальных высот позволяет повысить точность проектных решений, а также точность разбивочных работ при строительстве инженерных сооружений.

В пятом разделе анализируются особенности применения метода скользящей аппроксимации на примере участка поверхности квазигеоида, имеющего большую протяженность.

3. Лрмснвмеюмс метод» И моделей лф<кома*м шмк «рмгамйш поверхности

4. Выбор «тгечетной (шаюш исяьиай) вокухности

ее аачовви« асм^нагр паяж (им»)

¿АЩХЖЕЖШ** яокяшюго учмтагпмсряюстнотсехам (ШМЮ)ПЙ

7, Очна» фмцичсксй то^юсЭД ОООДЫШСЙ «ПфСКПМММ

8. Ллпрскомяда лопмносо учасм поверхности неосошм«

отсашм сяшввяейпшясоеж

9. Лрмшоме рвультато» ■пююкци * рсдои* адкаеждамх грждудс мд»

Рис. 5. Последовательность операций при реализации метода скользящей аппроксимации

16

В заключительном, шестом разделе данной главы описываются операции и процедуры, реализующие метод скользящей аппроксимации в общем случае, в последовательности, представленной на рис. 5.

В третьей главе рассматривается применение метода скользящей аппроксимации в решении некоторых прикладных задач современной геодезии:

• создание гибридных геометрических моделей высот квазигеоида (раздел 1);

• определение исходных пунктов, имеющих грубые ошибки по высоте (раздел 2);

• восстановление утраченных пунктов государственных и местных геодезических сетей (раздел 3).

Основные результаты и выводы

В процессе исследования получены следующие результаты.

1. Разработан новый вариант метода скользящей аппроксимации, который применяется, в отличие от существующего, для аппроксимации сложных криволинейных поверхностей, не имеющих точного аналитического представления. Скользящая аппроксимация поверхности выполняется с наперед заданной нормативной точностью.

2. Разработан инструмент вычисления параметров уравнения плоскости с учетом ошибок исходных данных — вычислительная процедура в среде табличного процессора MS Office Excel. Инструмент позволяет реализовать новый вариант метода скользящей аппроксимации без больших затрат на разработку специального программного обеспечения.

3. Разработана методика подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности отсеком скользящей плоскости. Методика позволяет избежать грубых ошибок при создании геометрической модели поверхности с применением нового варианта метода скользящей аппроксимации.

4. На основе нового варианта метода скользящей аппроксимации разработана методика создания гибридных геометрических моделей высот квазигеоида. В случае недостаточности данных для создания модели геометрических высот квазигеоида методика позволяет дополнять модель данными о приращениях гравиметрических высот квазигеоида. Использование гибридных моделей при постобработке результатов спутниковых измерений

дает возможность расширить границы применения метода спутникового нивелирования в составе инженерно-геодезических изысканий.

Все теоретические разработки, выполненные в рамках диссертационного исследования, проверены экспериментально.

Приведенные результаты исследования, их практическая реализация представляют ценность для организаций, выполняющих проектно-изыскательские работы с применением метода спутникового нивелирования.

Апробация нового варианта метода скользящей аппроксимации выполнена на примере геометрического моделирования участков поверхности квазигеоида различной протяженности.

Теоретические результаты исследования могут быть использованы при создании руководства, раскрывающего методику применения спутникового нивелирования в составе инженерно-геодезических изысканий в части перехода от геодезических высот определяемых из спутниковых измерений, к нормальным высотам Н1, используемым в России при проектировании и строительстве инженерных сооружений.

Публикации по теме диссертационной работы

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАК:

1.Гувеннов, М. Б. Разработка методики научно обоснованного выбора модели высот квазигеоида при постобработке результатов спутникового нивелирования в составе инженерно-геодезических изысканий для строительства / М. Б. Гувеннов // Инженерные изыскания. - 2011. - № 8. - С. 34-46.

2. Гувеннов, М. Б. Разработка методики научно обоснованного выбора модели высот квазигеоида при постобработке результатов спутникового нивелирования на линейных объектах большой протяженности / М. Б. Гувеннов И Инженерные изыскания. - 2012. - № 2. - С. 46-63.

3. Гувеннов, М. Б. Создание гибридных цифровых моделей высот квазигеоида для постобработки результатов спутникового нивелирования в составе инженерно-геодезических изысканий для строительства / М. Б. Гувеннов // Геодезия и картография. - 2012. - № 3. - С. 16-21.

Статьи, опубликованные в других изданиях:

4. Гувеннов, М. Б. Полевое трассирование линейных сооружений с использованием технологий ГНСС / М. Б. Гувеннов // Геопрофи. - 2009. - № 5. -С. 37-39.

5. Гувеннов, М. Б. Уравнивание опорных геодезических сетей, созданных с применением GP5/TJIOHACC технологий, в среде программы Microsoft Office Excel / М. Б. Гувеннов // Сб. тр. аспирантов и магистрантов. Архитектура. Науки о Земле. Экология / Нижегор. гос. архитектур.-строит. ун-т. - Н. Новгород, 2010.-С. 149-154.

6. Гувеннов, М. Б. Уравнивание системы нивелирных линий (полигонов) в среде программного продукта MS Office Excel / М. Б. Гувеннов // Вопросы проектирования и строительства автомобильных дорог: опыт и инновации : сб. науч. тр. / ГИПРОДОРНИИ. - Екатеринбург, 2010. - Вып. 1(60). - С. 83-93.

Подписано в печать BO-Oci.f3.i~ Формат 60x90 1/16 Печать трафаретная. Бумага офсетная. Усл.печл. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ № ЛТ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образовании «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65. Полиграфцектр ННГАСУ, 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет» (ННГАСУ)

На правах рукописи

Гувеннов Максим Борисович 04201355699

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель доктор технических наук, профессор Шеховцов Г. А.

Нижний Новгород - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................4

ГЛАВА 1. Метод скользящей аппроксимации в решении задач геометрического моделирования.............................................................9

1.1 Краткий исторический обзор развития методов описания и представления сложных криволинейных поверхностей.................................9

1.2 Метод скользящей аппроксимации и его отличия от существующих методов геометрического моделирования сложных криволинейных поверхностей ........................................................................................ 16

1.3 Метод скользящей аппроксимации в решении задач геометрического моделирования поверхностей, описывающих скалярные поля............. 18

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 ...............................................20

ГЛАВА 2. Метод скользящей аппроксимации при геометрическом моделировании поверхности квазигеоида..............................................22

2.1 Введение в проблему перехода от геодезических высот к нормальным высотам при реализации метода спутникового нивелирования..........22

2.1.1 Физический метод вычисления высот квазигеоида.............24

2.1.2 Метод скользящей аппроксимации и его применение при вычислении высот квазигеоида...........................................................29

2.2 Геометрическое моделирование поверхности квазигеоида на участке, не превышающем по протяженности 20-30 км.................................36

2.2.1 Описание вычислительной процедуры, позволяющей определять параметры уравнения плоскости................................................47

2.2.2 Геометрические схемы построения каркаса СГС и обусловленные ими подготовительные операции с высотами..............................51

2.2.3 Методика подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности квазигеоида отсеком плоскости............................................................................................60

2.3 Геометрическое моделирование поверхности квазигеоида на участке, превышающем по протяженности 20-30 км.....................................68

2.4 Оценка точности нормальных высот определяемых пунктов СГС в зависимости от используемой геометрической модели высот квазигеоида..............................................................................................79

2.5 Особенности применения метода скользящей аппроксимации на поверхностях, имеющих большую протяженность..................................86

2.6 Последовательность операций и процедур при реализации метода

скользящей аппроксимации.............................................................90

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2...............................................96

ГЛАВА 3. Применение метода скользящей аппроксимации в решении специфических задач современной геодезии....................................98

3.1 Методика создания гибридных геометрических моделей высот квазигеоида .....................................................................................99

3.2 Определение исходных пунктов, имеющих грубые ошибки по высоте ............................................................................................ 107

3.3 Восстановление утраченных пунктов государственных и местных

геодезических сетей.................................................................... 115

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3 ............................................. 117

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.................................... 118

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................... 120

ПРИЛОЖЕНИЕ........................................................................ 133

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Процессы конструирования и моделирования изделий, проектирования объектов народного хозяйства и инфраструктуры во многих случаях связаны с созданием и использованием поверхностных геометрических моделей или поверхностей. Поверхностями могут описываться не только визуально фиксируемые предметы и объекты, но и всевозможные поля, значения физических величин, имеющих распределение в окружающем нас пространстве и исследуемых при инженерном анализе изделий.

Все многообразие поверхностей можно условно разделить на поверхности, имеющие точное аналитическое представление и сложные криволинейные поверхности, не имеющие точного аналитического представления. Усложнение машин и механизмов, необходимость геометрического моделирования скалярных полей при проведении инженерного анализа изделий, физических исследований и геодезических измерений определяют актуальность разработок в области совершенствования методов, методик и процедур представления и построения сложных криволинейных поверхностей.

В настоящее время в практике проектно-конструкторских работ для моделирования сложных криволинейных поверхностей существуют хорошо разработанные математические подходы и методы, такие, например, как сплайновые методы, регулярные и нерегулярные триангуляционные сети (TIN) и др. [13, 18,44, 74, 84].

Сложные поверхностные модели могут быть условно разделены на две группы, имеющие определенные общие признаки:

1) Поверхности, описывающие большую часть объекта или весь объект. Примерами могут служить судовые поверхности, задаваемые сплайнами, поверхности крыльев самолета и пр.

2) Поверхности, имеющие частые перегибы на ограниченном участке изделия или объекта. В качестве примера можно привести рельеф участка

всхолмленной местности, описываемый либо кусочно-гладкой сплайновой поверхностью, либо сетью TIN.

В том случае, когда исследуется локальный участок сложной криволинейной поверхности, и когда исследуемая поверхность образует плавные волны, построение сложных в математическом смысле моделей нецелесообразно. Это усложняет задачу, требует больших затрат времени и ресурсов машинной памяти. Локальный участок такой поверхности в большинстве случаев удается заменить отсеком плоскости без ущерба для точности получаемых результатов исследования. Отсек плоскости может скользить по поверхности, заменяя отдельные ее участки с определенной наперед заданной точностью. На основе данного принципа является актуальной задача разработки нового варианта метода скользящей аппроксимации, который должен отвечать следующим условиям: 1) быть простым с математической точки зрения; 2) реализуемым без привлечения больших вычислительных ресурсов и сложного программного обеспечения; 3) доступным для применения на местности. Выполнение перечисленных условий сделают новый вариант метода практически значимым в современных проектно-конструкторских и проектно-изыскательских работах, например, при аппроксимации плоскоравнинных участков рельефа земной поверхности, выполнении строительного контроля вертикальной планировки рельефа, геометрическом моделировании поверхности квазигеоида.

В настоящем исследовании предлагается использовать термин «скользящая аппроксимация» по отношению к локальной аппроксимации сложных криволинейных поверхностей в окрестности произвольной точки, принадлежащей поверхности. Новый вариант метода скользящей аппроксимации в нашем исследовании для упрощения изложения будем называть методом скользящей аппроксимации.

Объект исследования - сложные криволинейные поверхности, не имеющие точного аналитического представления.

Предмет исследования - методы, методики и процедуры локальной аппроксимации сложных криволинейных поверхностей.

Цель исследования - разработка методов, методик и процедур, позволяющих аппроксимировать локальные участки сложных криволинейных поверхностей с наперед заданной нормативной точностью.

Задачи исследования:

- разработать новый вариант метода скользящей аппроксимации (далее - метод скользящей аппроксимации) на примере поверхности квазигеоида, при этом показатели точности скользящей аппроксимации не должны превышать заданных нормативных значений;

- разработать инструмент вычисления параметров уравнения плоскости с учетом ошибок исходных данных;

- разработать методику подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности отсеком скользящей плоскости, изучить особенности применения метода скользящей аппроксимации на поверхностях, имеющих большую протяженность;

- разработать методику создания гибридных геометрических моделей высот квазигеоида.

Теоретическую и методическую базу исследования в части изучения основ описания и представления поверхностей составили научные труды С. Кунса [98], П. Безье [97], A.B. Погорелова [71], Б.Н. Делоне [75, 76].

В части практического применения теорий поверхностей основой для диссертационной работы послужили исследования Ю.Л. Кеткова [43], М. А. Сабина [111], Д. Ф. Роджерса [110], Д. Петерса, Д. Фарина [101, 108], A.B. Скворцова [75, 76], O.P. Мусина [61-63] и В.М. Огаркова [67].

Применение авторских разработок в решении прикладных задач потребовало изучения специальной литературы: фундаментальных трудов по физической геодезии М.С. Молоденского [59] и Г. Морица [24, 60, 103], работ Г.В. Демьянова и А.Н. Майорова по спутниковому нивелированию [32-36, 51-53].

Решение поставленных в работе задач базируется на использовании теории и методов инженерной геометрии и компьютерной графики [1, 7, 8, 47, 64, 87], теории ошибок измерений и теории математической обработки геодезических измерений [10, 11, 22, 42, 49, 91], метода наименьших квадратов [14, 37, 50], методов нелинейного программирования [81, 89, 104, 105], аналитической геометрии в пространстве, вычислительной геометрии [72, 86], методов аналогий и анализа.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) на основе анализа метода скользящей аппроксимации разработан новый вариант метода применительно к аппроксимации сложных криволинейных поверхностей, не имеющих точного аналитического представления;

2) разработана вычислительная процедура для определения параметров уравнения текущего отсека плоскости с учетом ошибок исходных данных;

3) разработана методика подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности отсеком скользящей плоскости;

4) разработана методика создания гибридных геометрических моделей высот квазигеоида.

Практическая значимость работы. Результаты исследований рекомендованы ФГУП «Центральный ордена «Знак почета» научно-исследовательский институт геодезии, аэросъемки и картографии им. Ф.Н. Красовского» (ЦНИИГАиК) для внедрения при производстве инженерных изысканий. Авторские разработки используются крупными организациями, выполняющими инженерные изыскания для строительства: Нижегородским филиалом ОАО «ГипродорНИИ», ООО «ЭТС-Проект».

На защиту выносятся:

1) новый вариант метода скользящей аппроксимации;

2) вычислительная процедура, позволяющая определять параметры уравнения отсека плоскости с учетом ошибок исходных данных;

3) методика подготовки исходных данных для априорной оценки возможности аппроксимации поверхности отсеком скользящей плоскости;

4) методика создания гибридных геометрических моделей высот квазигеоида.

Апробация результатов исследований. Основные положения диссертации докладывались на 17-й Нижегородской сессии молодых ученых, на XIV Международном научно-промышленном форуме «Великие реки», на заседании геодезической секции Ученого Совета ЦНИИГАиК.

Публикации по теме диссертации

Основные результаты исследований опубликованы в 6 работах: 1 - в журнале «Геодезия и картография» [28], 2 - в журнале «Инженерные изыскания» [25, 27]. Указанные журналы входят в Перечень изданий, определенных ВАК Минобрнауки РФ. Одна работа опубликована в журнале «Геопрофи» [26], 1 - в Сборнике трудов аспирантов и магистрантов Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета [29], 1 - в Сборнике научных трудов ОАО «ГипродорНИИ» [30].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка. Общий объем составляет 138 страниц машинописного текста, 24 рисунка, 6 таблиц, одно приложение. Библиографический список включает 113 наименований, в том числе 19 на английском языке.

ГЛАВА 1. Метод скользящей аппроксимации в решении задач геометрического моделирования

1.1 Краткий исторический обзор развития методов описания и представления сложных криволинейных поверхностей

Одним из первых способов строгого с научной точки зрения представления (задания) поверхности является использование нескольких ортогональных проекций. Метод прямоугольного проецирования, как принято считать, был введен в науку и производство французским ученым Гаспаром Монжем, опубликовавшим в 1798 г. свой научный труд «Начертательная геометрия». Впоследствии этот труд лег в основу проекционного черчения, являющегося основой машиностроительного черчения. Известно, что задолго до возникновения начертательной геометрии как науки в отдельных чертежах русских изобретателей (И. И. Ползунов, И. П. Кулибин) использовался метод прямоугольного проецирования. В архиве также сохранился чертеж весельного шлюпа, выполненный в 1719 г. Петом I, с соблюдением проекционной связи [8].

В 60-х годах XX века произошла революция в разработке методов описания и представления поверхностей. Переворот в инженерной геометрии связан с изобретением и внедрением в практику проектно-конструкторских работ методов, основанных на неаналитических кривых - сплайнах [15].

Профессор Массачусетского технологического института (США), Стивен Куне, был одним из первых зарубежных ученых, кто предложил аппарат граничных кривых и функций сопряжения, задающих поверхности с двойной кривизной, получившие его имя - поверхности Кунса (Coons patch) [98]. Лоскут Кунса позволял контролировать форму поверхности на ее границах, но не между ними.

Необходимость контролировать форму внутри хорошо понимал Безье, разрабатывавший в начале 1960-х гг. систему UNISURF для проектирования

поверхностей автомобилей Renault [97]. Безье, как истинный представитель французской математической школы, хорошо знал труды Шарля Эрмита, в частности аппарат кубических кривых, названных в его честь. Эрмитова кривая (Hermite curve) является геометрическим способом задания кубической кривой: с помощью концевых точек и касательных векторов в них. Варьируя направлениями и величинами этих векторов, можно контролировать форму Эрмитовой кривой. Однако, задавая Эрмитову кривую, возможно изменить только ее поведение в концевых точках, но нельзя влиять явным образом на форму кривой между этими точками. Поэтому Безье разработал конструктивно задаваемую кривую (позднее получившую его имя), форму которой можно контролировать в промежуточных, так называемых контрольных, точках. Кривая Безье (Bézier curve) всегда выходит из первой контрольной точки, касаясь первого отрезка ломаной, соединяющей все контрольные точки, и заканчивается в последней контрольной точке, касаясь последнего отрезка. При этом любая точка кривой всегда остается внутри выпуклого замыкания множества контрольных точек. Также Безье разработал алгоритмы перехода от кривых к поверхностям.

Безье опубликовал работу по своим кривым в 1962 г., но когда двенадцать лет спустя компания Citroën рассекретила свои исследования, выяснилось, что эти кривые были известны Полю де Кастельжо как минимум за три года до Безье. Де Кастельжо описывал их конструктивно, и соответствующий алгоритм получил название в его честь.

Кривые и поверхности Безье, являясь безупречным геометрическим конструктивом, имеют, однако, некоторое свойство, существенно ограничивающее их область применения: алгебраическая степень кривых Безье растет вместе с числом контрольных точек, что весьма затрудняет численные расчеты. Чтобы избежать работы с высокими алгебраическими степенями сложных кривых, достаточно построить кривую, состоящую из гладко сопряженных сегментов, каждый из которых имеет ограниченную алгебраическую степень (чаще всего не выше третьей). Такие кривые называются сплайнами.

В математический обиход их ввел американский математик румынского происхождения Исаак Шёнберг (1946). Его теоретические работы с точки зрения практики (в контексте САПР) переосмыслил Карл де Бур, американский математик немецкого происхождения. Его работа «On calculating with В-Splines», равно как и вышедшая в том же году (1972) статья Кокса «The numerical evaluation of В-Splines» установили связь между геометрической формой составной кривой и алгебраическим способом задания 5-сплайнов [85].

5-сплайны являются обобщением кривых и поверхностей Безье: они позволяют аналогичным образом задавать форму кривой с помощью контрольных точек, но алгебраическая степень 2?-сплайна от числа контрольных точек не зависит. Область задания параметра 5-сплайна разбита на узлы, которые соответствуют точ