автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Интегральные многообразия со сменой устойчивости и моделирование критических явлений в химических системах

На правах рукописи

Щепакина Елена Анатольевна

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ СО СМЕНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В ХИМИЧЕСКИХ

СИСТЕМАХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Иванова Авигея Николаевна,

доктор физико-математических наук, профессор

Кащенко Сергей Александрович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Покровский Андрей Николаевич

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится » Ок-МиЯ^^Я 2004 г. в на заседании

диссертационного совета Д 215.001.01 при Военно-воздушной инженерной академии им. проф. Н. Е. Жуковского по адресу: 125190, Москва, А-190, ул. Планетная, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Военно-воздушной инженерной академии им. проф. Н. Е. Жуковского.

Автореферат разослан

»се&ГЛ^ЬЯ2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Анфиногенов А. Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Работа посвящена математическому моделированию критических явлений в химических системах на основе новых методов геометрической теории сингулярных возмущений.

Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. Так, в моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы.

Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А. Н. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Обычное предположение теории сингулярных возмущений состоит в том, что основной функциональный определитель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако во многих прикладных задачах, в частности в моделях химических систем, это условие нарушается, и возникают различные критические ситуации.

Нарушение этого условия может привести к возникновению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки),.то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.

Приложение траекторий-уток к моделированию критических явлений в химических системах позволило решить ряд интересных задач.

В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных применению траекторий-уток в различных задачах биологии, механики, химии, экономики и электроники.

Одним из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем является метод интегральных многообразий Боголюбова-Митропольского. Под интегральным многообразием здесь понимается инвариантная поверхность дифференциальной системы. Интегральное многообразие называется медленным, если движение по нему осуществляется со скоростями порядка единицы (в полной системе есть движения со скоростями порядка отрицательной степени малого параметра). Использование медленных интегральных многообразий позволяет понижать размерность изучаемых моделей и избавляться от вычислительной жесткости.

Данная работа посвящена и с

, . „ чдаообразий о

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ Г БИБЛИОТЕКА I

С Петер г ^ I 09 100 «

сменой устойчивости систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и применению полученных результатов для моделирования критических явлений в химических системах.

Как уже отмечалось, для широкого круга химических процессов характерно резкое различие скоростей превращения веществ, участвующих в этих процессах и резкое различие скоростей тепловых и концентрационных изменений.

В каталитических системах скорости реакций, происходящих на поверхности катализатора, на порядок или даже на несколько порядков выше, чем скорости реакций в газовой фазе. Как правило, реакции на поверхности катализатора идут при сравнительно небольших температурах и скорость выделения тепла существенно ниже, чем скорости изменения концентраций реагирующих веществ.

Для задач теории горения является характерной высокая скорость тепловыделения при сравнительно низкой скорости расходования горящего вещества. Это различие носит настолько резкий характер для газофазных систем, что явление самовоспламенения приобрело название теплового взрыва.

Более того, в химической кинетике устоявшимся принципом является различение участвующих в процессе веществ по скоростям их превращения. В газофазной кинетике по этому принципу различают активные центры и основные вещества.

В последнее время существенно вырос интерес к изучению влияния на основной процесс так называемых буферных явлений. Для каталитических систем это может быть учет старения катализатора, адсорбции нереакционного продукта реакций на поверхности катализатора. Естественно, скорости буферных явлений на порядок ниже скорости реакции.

Исследования химических систем, разделенных на медленную и быструю подсистемы в силу различия скоростей, производится, как правило, методом квазистационарных концентраций Боденштейна-Семенова. Идея метода проста: предполагается, что система "подстраивается" под медленную подсистему за счет быстро приходящей к равновесию (квазистационарному режиму) быстрой подсистемы. Это позволяет учитывать при анализе значительно меньшее число параметров, что приводит к существенным упрощениям при исследовании модели. Формализм метода квазистационарных концентраций сводится к замене части дифференциальных уравнений в модели процесса алгебраическими, что позволяет понизить размерность модели.

При исследовании моделей химических процессов особенно интересен качественный анализ. Если размерность дифференциальной системы, описывающей поведение химического процесса, больше двух, то ее исследо-

вание методами качественной теории дифференциальных уравнений, как правило, связано с существенными трудностями. Особенно это проявляется в неизотермических моделях из-за сильной нелинейности системы. Возможности численного анализа таких моделей при наличии существенно разномасштабных переменных также ограничены. Причиной этого является вычислительная жесткость системы, то есть высокая чувствительность к малым погрешностям вычислений. Метод квазистационарных концентраций пригоден только для анализа грубых ситуаций, когда дифференциальная система имеет притягивающее медленное интегральное многообразие.

Наличие в системе быстрых и медленных переменных позволяет использовать асимптотические методы, которые, как правило, предназначены для решения краевых и начальных задач на конечных промежутках и не приспособлены для качественного исследования. В данной работе используется метод качественного исследования систем с быстрыми и медленными переменными, являющихся типичными для моделей химических систем, так, в частности, для рассматриваемых моделей лазеров, каталитических реакторов и теплового взрыва.

Основная задача математической теории теплового взрыва заключается в исследовании динамики процесса горения при заданных размерах реакционного сосуда, теплофизических и кинетических характеристиках реагирующего вещества, коэффициенте теплоотдачи. Для классической модели теплового взрыва эти характеристики отражает некоторый параметр, значение которого определяется начальным состоянием химической системы. В зависимости от значения этого параметра происходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к затуханию реакции, либо реакция переходит в режим самоускорения, что приводит к взрыву. Численные расчеты для сосредоточенной двумерной модели показывают, что переход от медленного режима к взрывному происходит в чрезвычайно узком промежутке изменения параметра, характеризующего начальное состояние системы. При некотором значении этого параметра, которое называется критическим, реакция идет максимально долго, не срываясь в режим взрыва и не переходя в медленный режим выгорания. Соответствующий режим будем называть критическим.

Задачи определения критических значений параметров и моделирования критических режимов для многофазных и многотемпературных систем и являются главными в рамках исследования моделей. Формализм решения этих задач сводится к обоснованию существования и построения асимптотических разложений медленных интегральных поверхностей со сменой устойчивости.

Ряд важных прикладных задач биологии, биофизики, механики, лазерной оптики, экономики и теории управления также приводит к необходи-

мости изучения медленных процессов со сменой устойчивости.

Цель работы. Разработка математического аппарата для исследования динамических моделей с сингулярными возмущениями, в которых может наблюдаться явление смены устойчивости медленных режимов, и применение полученных математических результатов для исследования моделей химических систем.

Методы исследования. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, численные методы исследования сложных явлений нелинейной динамики, идеи теории сингулярных возмущений и интегральных многообразий.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

В работе вводится новый математический объект — интегральные многообразия со сменой устойчивости, доказаны теоремы о существовании и свойствах таких многообразий. Этот объект может быть рассмотрен как естественный многомерный аналог траекторий-уток, развитию теории которых также уделяется значительное внимание в работе. Доказаны новые теоремы о существовании и свойствах траекторий-уток многомерных систем сингулярно возмущенных уравнений.

Проведено численно-аналитическое исследование ряда математических моделей химических систем: моделей лазеров, каталитических реакторов и теплового взрыва. Изучена динамика химических процессов, описаны основные режимы химических реакций, найдены критические условия самовоспламенения. Установлен новый тип бегущей волны, представляющей собой одномерное медленное интегральное многообразие со сменой устойчивости.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое и практическое значение.

Полученные в диссертации теоремы могут рассматриваться как основа общей теории нелинейных динамических моделей с быстрыми и медленными переменными и со сменой устойчивости медленных режимов.

Разработанные в диссертации методы приближенного построения асимптотических разложений медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений различной природы, так как имеют универсальный характер.

Результаты численно-аналитического исследования моделей химических систем, рассмотренных в диссертации, имеют практическое значение, так как могут быть использованы для определения динамики процесса в химической системе при заданных начальных условиях. Найденные критические условия самовоспламенения позволяют обеспечить безопасность

протекания химических процессов разной природы.

Диссертационная работа содержит результаты, полученные в ходе выполнения научных исследований в рамках международных и отечественных грантов: гранта 96-1173 международной программы INTAS в области химии, тема: "Combustion processes in porous medium as a base for new industrial technologies"; гранта УР 16/ 93-95 по программе "Университеты России" раздел "Разработка фундаментальных исследований по математике и механике", тема: "Траектории-утки в задачах химической кинетики"; гранта РФФИ 94.01-00175 раздел "Математика. Информатика. Механика", тема: "Понижение размерности задач управления нелинейными динамическими системами с разномасштабными переменными"; программы "Динамика" Минобразования РФ; гранта для молодых ученых с участием зарубежных партнеров ЭОО-2.0-7, тема: "Моделирование критических явлений в задачах теории горения".

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международных конгрессах по индустриальной и прикладной математике ICIAM-95 (г. Гамбург, Германия, 1995) и ICIAM-99 (г. Эдинбург, Великобритания, 1999), Всемирном конгрессе по нелинейному анализу (г. Афины, Греция, 1996), Всемирных конгрессах по моделированию и прикладной математике 15th IMACS Word Congress (г. Берлин, Германия,

1997) и IMACS-2000 Word Congress (г. Лозанна, Швейцария, 2000), Ш Европейской конференции Euromech-97 (г. Геттинген, Германия, 1997), Международном конгрессе математиков ICM-98 (г. Берлин, Германия, 1998), IV-VII Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (г. Москва, 1996, 1998, 2000, 2002), Международной конференции, посвященной 90-летию Л. С. Понтрягина (г. Москва,

1998), Международном семинаре "Asymptotics for ODE: Applications and Implantations" (Марсель - Лумини, Франция, 1998), Международной конференции "Физические методы для исследования катализа на молекулярном уровне", посвященной памяти академика К. И. Замараева (г. Новосибирск, 1999), Международных конференциях "Математика. Компьютер. Образование"(Москва - Дубна - Пущино, 1995, 1996, 1997, 2000), конференции, посвященной памяти академика А. Н. Тихонова "Математическая физика, математическое моделирование и приближенные методы" (Москва - Обнинск, 2000), на XII Международном симпозиуме по горению и взрыву (г. Черноголовка, 2000), Международной конференции "Математическое моделирование" (г. Самара, 2001), Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященных 100 и 103-летию со дня рождения И. Г. Петровского (г. Москва, 2001, 2004), Международных семинарах по релаксационным колебаниям и гистерезису (г. Корк, Ирландия, 2002, 2004), Международной конференции,

посвященной 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова "Колмогоров и современная математика"(г. Москва, 2003), конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (г. Воронеж, 2003), Международной конференции по горению и детонации - Мемориал Зельдовича (г. Москва, 2004) и ряде других конференций. Результаты обсуждались на научных семинарах Университета Гумбольдта, Свободного Университета Берлина и Института Вейер-штрасса прикладного анализа и стохастики (г. Берлин, Германия, 1998, 2001, 2002, 2003, руководители семинаров — проф. Б. Фидлер (В. Fiedler), доктор К. Р. Шнайдер (К. R. Schneider), семинаре в Католическом Университете под руководством проф. Жана Мовена (Jean Mawhin) (г. Лу-вен, Бельгия, 1998), семинарах по прикладному анализу факультета математики и прикладных наук Университета Бен-Гуриона (г. Беер-Шева, Израиль, 1998, 2000), семинаре по нелинейному и прикладному анализу Института нелинейных наук Национального Университета Ирландии (г. Корк, 2002), семинарах по сингулярным возмущениям кафедры математики физического факультета МГУ (г. Москва, 2001, 2004, руководители семинара — проф. В. Ф. Бутузов и проф. А. Б. Васильева), семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (г. Москва, 2002, руководители семинара — проф. Н. В. Миллионщиков и проф. Н. X. Розов), семинаре "Будущее прикладной математики" в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (г. Москва, 2003, руководители семинара — член-корр. РАН С. П. Курдюмов, проф. Г. Г. Малинецкий).

Личный вклад и публикации. По теме диссертации опубликовано 68 работ, список основных публикаций приведен в конце автореферата. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 285 страницах, состоит из введения, четырех глав, содержащих 18 параграфов и 101 рисунок, заключения и списка литературы, включающего 202 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность избранной темы, излагаются цели и задачи исследования, дается общая характеристика работы и краткий обзор литературы, связанной с тематикой диссертации. Более детальный обзор результатов по теме работы и смежным с ней вопросам, а также соответствующие библиографические ссылки даются непосредственно в тексте глав. Кроме того, во Введении показана новизна полученных в работе результатов и сформулированы научные положения, представляемые к защите.

Хорошо известно, что сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. В работе рассматриваются системы вида

где е — малый положительный параметр, а — скалярный параметр, х — скалярная переменная, у кг векторные переменные размерности п и т+1, соответственно, /, д и р — достаточно гладкие функции. Уравнение для скалярной переменной х выделяется по техническим соображениям. Обычно в качестве переменной х используется одна из медленных переменных, строго монотонная по времени.

Под медленной поверхностью системы (1) понимается поверхность, описываемая уравнением

Основное предположение обычно состоит в том, что ^(х, у, ф(X, у, а), а, 0) ф 0,

где -г = ф(х, у, а) — изолированное решение уравнения (2). Нарушение этого условия может привести к возникновению так называемых траекторий-уток.

Лист медленной поверхности устойчив, если собственные числа матрицы

У) Ф(х1 У> а)>а> о)

имеют отрицательные вещественные части. Если хотя бы у одного из собственных чисел этой матрицы вещественная часть становится положительной, то лист теряет устойчивость. Листы медленной поверхности разделяются так называемыми поверхностями срыва, имеющими размерность

вектора на которых

^ У' =

В е-окрестности устойчивого и неустойчивого листов медленной поверхности лежат устойчивое и неустойчивое медленные интегральные многообразия. Медленное интегральное многообразие представляет собой инвариантную поверхность, движение по которой осуществляется со скоростью порядка единицы.

Наличие дополнительного скалярного параметра а обеспечивает условия для того, чтобы устойчивое и неустойчивое интегральные многообразия можно было склеить в одной точке поверхности срыва. Именно через эту точку проходит траектория, которая является уткой.

Определение. Траектория сингулярно возмущенной системы (1) называется траекторией-уткой, если она проходит вначале вдоль устойчивого листа медленной поверхности, а затем вдоль неустойчивого, причем оба раза расстояния порядка единицы.

Следует отметить, что для случая dim у = 0, dimz = 1 уже в первых работах, посвященных траекториям-уткам, было установлено существование единственной траектории-утки, отвечающей единственному значению параметра а = а* (точнее, значение параметра а* существует на интервале порядка

В случае же dim у = 1 картина принципиально иная: в работе установлено существование однопараметрического семейства траекторий-уток, так как наличие параметра а позволяет выбрать точку склейки устойчивого и неустойчивого интегральных многообразий.

Из вышесказанного следует, что траектория-утка представляет собой одномерное медленное интегральное многообразие, склеенное из устойчивой и неустойчивой частей.

Во Введении обсуждаются как математические примеры, так и модели лазерных систем и задачи теории управления, в которых возникают траектории-утки.

Первая глава диссертации посвящена развитию теории траекторий-уток сингулярно возмущенных систем.

Вопрос существования траектории-утки для автономной системы (1) часто сводится к исследованию неавтономной системы вида

^ = Y{x,y,Zl,z2,e), yeRn, X€R; (3)

dz

= 2xzx + Zx{x,y,zbz2,ct,£), zx e R, \zi\ < r; (4)

dz

= A{x)z2 + Z2{x,y,zuz2,a,e), z2 e Rm, ||г2|| < r (5)

обычным приемом исключения переменной t и использования в качестве независимой переменной одной из фазовых координат. В связи с этим мы будем использовать термин "траектория" и для вспомогательных систем сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (3)-(5).

Здесь У, Z\ и Z2 — достаточно гладкие функции, А(х) — ограниченная матрица, удовлетворяющая условию Липшица, собственные числа А,(х) которой удовлетворяют условию ДеА,(х) < —2/3 < 0 (г = 1,2,..., тп).

В первом параграфе вводятся основные понятия и определения, обозначенные во Введении.

Второй параграф посвящен случаю одной быстрой переменной (dim у = и более сложной зависимости правых частей системы от па-

раметра а. Рассматриваются системы дифференциальных уравнений вида ^ = Г(х, у, z, а, е), у G Rn, х G Д; (6)

dz

е— — 2xz + Z(x,y,z,a,e), z G R, (7)

где a — скалярный параметр, а функция Z(x, у, z, a, s) имеет вид

Z{x, у, z, a, е) = Нх (а;, у, z) + е(С + аС0) + еЕ2(х, у, z, а, е). (8)

Здесь С, С0 — некоторые константы, а функции Y, Zx и Z2 определены, ограничены и непрерывны в области

П = {х G R, у G Д", \z\ < г, |a + C<V| [0,£„]}

и удовлетворяют в этой области следующим условиям ||Y{x, у, z, а, е) - Y(x, у, г, â, е)|| < M (||у - у|| + \г- z\) + ц\а - â|, (9) \=.i{x,y,z)\<M\z\\ \Е2{х,у,г,а,е)\<Мц, (10)

\Zr(x, y, z) - Ег(х, y, z) | < M (\z\ + \z\)2 ||y - y|| + ^ (\z\ + \z\) \z - z\, (11) |H2(x, y, z, a, e) - E2(x, y, z, â,e)| < M (||y - y|| + \z- z|) + ц\а - â|. (12)

Здесь M, v — некоторые положительные константы, ц — достаточно малая положительная константа.

Медленная поверхность системы (6), (7) в силу тождества Z{x,y, 0,a, 0) = 0 описывается уравнением z = 0.

Как известно, в е-окрестности каждого из устойчивых и неустойчивых листов медленной поверхности существуют устойчивое (х < 0) и неустойчивое (х > 0) медленные интегральные многообразия z = h(x,y,a,e). Наличие параметра а позволяет выбрать точку склейки этих медленных интегральных многообразий. Фиксируя точку склейки (0,у*), мы тем самым выделяем траекторию у = ф(х,а) (ф(0,а) = у*) на многообразии h(x,y,a,£), которая, пройдя по устойчивой его части до точки склейки, продолжает движение по неустойчивой части (зависимость функции от здесь и далее опускается для сокращения записи).

Имеет место

Теорема 1.1. Пусть выполняются условия (9)-(12). Тогда существует такое число £q > 0, что для всех е G (0, £о) существуют а = а' и траектория-утка системы (6), (7), проходящая через точку (0,у*) и отвечающая данному значению параметра а.

При доказательстве теоремы рассматривается пространство £) функций ф(х,а,е), непрерывных и ограниченных в 1], = {1 ё Д, |а + СС0_1| < V, е € (0, £о)} и удовлетворяющих условиям

\Ф(х,а,е)\<^ц, (13)

|ф(х, а, е) — ф(х, а, е)| < — (14)

где q, 8 — положительные константы, не зависящие от /л, е. Пространство 5} — полное метрическое пространство с метрикой

¿(ф, ф) = вир \ф(х, а, е) - ф(х, а, е) I, ф,фе^. Для любой функции ф из 55 определим оператор

7Ш«7,0 =

-е-1/е^-^'^а.^в.а^^а.а.е),«,^ , т] > О,

ч

ц

£-1 f ¿'>2-^/ег{8,ф{з,а),ф{8,а,е),а,е)<1з , ц < 0.

Здесь функция а) является решением задачи

у' = У(х,у,ф(х,а,£),а,Е), у(т?) = £

(15)

Это уравнение получено из уравнения (6) подстановкой г = ф(х,а,е). Из неравенств (9), (14) следуют, что существует единственное решение у = ф(х, а) уравнения (15)

ф{х,а) = Ф(г),£,х,у,а,е\ф), Ф[т]^,т],^а,£\ф) =

Следует отметить, что если у оператора существует непо-

движная точка ф (доказательство этого сводится к проверке выполнения условий принципа сжатия), то ф(х,а,е) = к(х, ф(х,а),а,е). Этой неподвижной точке соответствует решение системы (6), (7)

которое при ж < 0 проходит по устойчивому медленному интегральному многообразию, а при х > 0 — по неустойчивому многообразию, то есть траектория-утка. Значение параметра а = а* определяется из условия непрерывности оператора

Приведем еще одну теорему.

Замечание 1.1. Обычно условия (9)—(12) выполняются лишь для В этом случае траектории-утки являются локальными. Для доказательства существования траекторий-уток в этом случае правые

части системы продолжаются на I £ й, у 6 Л" с сохранением соответствующих свойств.

Теорема 1.2. Пусть выполняются условия Теоремы 1.1, и, кроме того, функции У, Е1 и Н2 имеют достаточное количество непрерывных ограниченных частных производных по всем переменным. Тогда значение параметра а = а* и отвечающее ему решение-утка системы (6), (7) могут быть найдены в виде

к

а* = ]$Гу'а,- + а*+1(е), <=о

к

у = ф(х,а*) = ^2гф^х) + фк+1{х,е), »=о

2 = ^(ж.а'.е) = к I х, ^е'ф{(х), ^е'а,-, е 1 = '¿Ге'ф^х) + ^х.е), \ «>0 «>0 / 1=0

где непрерывные функции Ок+Де), фк+1{х,е), Фк+1{х>£) удовлетворяют неравенствам

Здесь К1,111,В.2 — некоторые положительные числа, не зависящие от с.

Коэффициенты ф{ и ф¡ в этих разложениях вычисляются обычным образом, акоэффициенты с*{ на каждом шаге подбираются так, чтобы устранялся разрыв функции ^ при х = 0, то есть на поверхности срыва. Для обоснования асимптотического характера разложения система приводится в окрестности &-го приближения медленного интегрального многообразия к виду (6), (7), где а и функции У, Z удовлетворяют неравенствам

\г(х, у, г,а,е)\ <М (еы + ф| + \г\2) , \а\ < еки.

В этом случае при определении пространства ¡О вместо (13) следует использовать неравенство

В третьем параграфе рассмотрен более общий случай. Аналогично тому, как это было сделано во втором параграфе, изучаются вопросы существования и свойств траекторий-уток для систем (3)-(5) при

^(х, у, гъ г2, е) = а + ¿г(х, у, ги г2, е),

¿2(2, У, г2, е) = аВ + 2,2(х, у, гЬ22,е).

Здесь а — константа, .удовлетворяющая условию |а| < е2К, В — постоянный вектор, функции У, %2 непрерывны и подчиняются неравенствам

\2х{х,у, ги е) - ^(х.у, гиг2, е)| < М {(е + р||)||г -{[¿2(х, у, ги 22)е) - Й2(х,у, ги гъе)\\ < М {(е + р||)||* - ¿||+

где

М, N, К — некоторые положительные константы.

Медленная поверхность системы (3)-(5) описывается уравнением z = 0. Наличие параметра а позволяет выбрать точку склейки устойчивого и неустойчивого медленных интегральных многообразий

существующих, соответственно, в е-окрестности устойчивого (х < 0) и неустойчивого (х > 0) листов медленной поверхности и удовлетворяющих условиям

||Л2(*.»,е)|| < е2д, ||й2(х,у,е) - Л2(х,у,е)|| < е26\\у- у||. (23)

Фиксируя точку склейки (0, у*) на поверхности срыва х = 0 медленной поверхности, мы, тем самым, выделяем траекторию

на многообразии которая, пройдя по устойчивой его части до

точки склейки, продолжает движение по неустойчивой части. Имеет место

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия (16)-(21). Тогда существует такое число £д > 0, что для всех е € (0,£о) существуют

а = а*(е) и траектория-утка системы (3)-(5), проходящая через точку (О, у*) и отвечающая данному значению параметра а.

В качестве иллюстрирующих примеров рассмотрены модели динамической теории лазеров.

При исследовании конкретных задач центральным становится вопрос о вычислении значения параметра а = а*(е) и функций, описывающих траекторию-утку. В работе доказаны теоремы об асимптотических разложениях решений-уток и соответствующих значений параметра а по степеням малого параметра е и описан алгоритм нахождения коэффициентов разложений. Этот результат может быть сформулирован следующим образом.

Теорема 1.4. Пусть выполняются условия Теоремы 1.3, и, кроме того, функции У, 2\ и ¿2 имеют достаточное количество непрерывных ограниченных частных производных по всем переменным. Тогда значение параметра а = а*(е) и отвечающее ему решение-утка системы (3)-(5) могут быть найдены в виде

к

а*(е) = £iai + ак+1(е), «=о к

у = ф(х, а*) = ^ е'>((х) + фк+1(х, е), •=о

г = ф(х, а', е) = к ( х, ^е%(х), ^ £1а(> е 1 = ^ е%{х) + е),

\ 1>0 г>0 / 1=0

где непрерывные функции аА+1(е), фк+\{х,е), фк+1(х,е) удовлетворяют неравенствам

К+1(е)| < екКи < е*+1Дь \фм{х,е)\ < ек^Яг.

Здесь К\,К1,К2 — положительные числа, не зависящие от е.

В конкретных задачах обычно задано начальное условие, причем начальная точка лежит в некоторой окрестности устойчивого интегрального многообразия. В четвертом параграфе описан способ вычисления начального условия траектории-утки при помощи интегральных многообразий быстрых движений.

Вторая глава содержит приложения полученных в первой главе диссертации математических результатов к моделированию критических явлений в химических системах.

При исследовании конкретных задач теории горения и теплового взрыва нередко возникают ситуации воспламенения реакционной среды, находящейся в инертной запыленной или пористой среде. В результате межфазного теплообмена инертная среда прогревается, что приводит к смещению

предела самовоспламенения. В качестве примера можно привести ингиби-рование самовоспламенения порошкообразными составами. Действие ингибиторов заключается в химическом и физическом воздействии на процесс. Физическое действие обусловлено тем, что частицы пыли отбирают тепло из реакционной фазы и, тем самым, снижают скорость реакции.

В параграфе 2.1 проведен качественный и численный анализ модели горения газосмеси, помещенной в инертную запыленную или пористую среду. Дополнительно к классическим предположениям теории горения предполагается однородность динамики химического процесса, а также однородность распределения температуры и межфазного теплообмена. Тогда, в условиях одностадийности и необратимости химической реакции, модель в безразмерных переменных имеет вид

Здесь ©, вс — безразмерная температура газа и инертной среды соответственно; г] — безразмерная глубина превращения газа (безразмерная концентрация газовой смеси 77 = 1 — 7?); Щ- критерий автокаталитичности; г — безразмерное время. Параметры /3 и 7 характеризуют температурную чувствительность и экзотермичность реакции и для типичных газовых смесей являются малыми, то есть рассматриваемая система является сингулярно возмущенной. Слагаемое —а(© — ©с) отражает теплоотвод из реакционной в инертную фазу, а слагаемое —¿0 характеризует теплоотвод во внешнюю среду. Параметр 7С отражает физические свойства инертной среды и равен обратной величине максимальной адиабатической температуры инертной фазы, если все тепло реакции идет на ее нагрев.

Рассматриваются два случая:

. . Г 1 — т], щ = 0, — случай реакции первого порядка — 1 г)(1 — г]), — случай автокаталитической реакции.

Отметим, что в случае реакции первого порядка т]ц = 0.

В зависимости от соотношений между параметрами а, 5 и 7С в химической системе может наблюдаться либо режим медленного выгорания, либо режим самовоспламенения, когда температура газовой смеси резко

повышается при почти неизменном значении концентрации. В случае медленного выгорания траектория системы проходит вдоль устойчивого интегрального многообразия медленных движений при всех г > 0. В случае самовоспламенения (теплового взрыва) траектория срывается с этой поверхности на участок быстрого движения (взрыв с запаздыванием) или сразу выходит на этот участок (типичный тепловой взрыв).

Однако, в силу непрерывной зависимости правых частей системы от этих параметров, между медленными режимами и режимами самовоспламенения должна лежать область переходных режимов. Переходному (критическому) режиму соответствует траектория, которая после движения вдоль устойчивого интегрального многообразия проходит вдоль неустойчивого интегрального многообразия системы, то есть траектория-утка. При этом реакция горения будет протекать максимально долго, не срываясь ни в режим самовоспламенения, ни переходя к медленному режиму, что может являться целью технологического процесса.

Таким образом, меняя значение одного параметра при фиксированных значениях других, можно выбирать тип химической реакции, гарантируя ее безопасность. Следовательно, данная задача может быть рассмотрена как специальный случай задачи управления с неполной обратной связью. Действительно, управление процессом горения может осуществляться регулированием теплоотвода (в этом случае 5 играет роль управляющего воздействия) или уровня запыленности в реакционном сосуде (в этом случае управляющим воздействием является В данном параграфе указаны условия протекания безопасного режима горения в виде асимптотических разложений критического параметра При этом выбором значения параметра осуществляется склейка устойчивого и неустойчивого интегральных многообразий в одной точке кривой срыва, через которую и проходит траектория-утка, моделирующая критический режим. Результаты асимптотического анализа подтверждаются данными численных экспериментов.

Во втором параграфе рассматривается трехфазная модель самовоспламенения изоляции. Это опасное явление вызвано самовоспламенением горючей жидкости, просачивающейся в изоляционный материал горячего трубопровода. Жидкие утечки в пористую изоляцию распределяются по большой поверхности. Так как любой изоляционный материал имеет чрезвычайно низкую удельную теплопроводность, то потери тепла малы, и самовоспламенение может происходить в результате экзотермической реакции окисления.

Горючая жидкость, проникающая в результате утечки в изоляцию, формирует пленку, охватывающую внутреннюю поверхность пористого изоляционного материала. Эта пленка занимает малую часть внутреннего объема изоляции. Большая часть этого объема (до 80-90 %) заполнена воз-

духом. Испарение горючей жидкости обеспечивает еще один компонент — газовую смесь и ускоряет окисление. Таким образом, данный процесс представляет собой тепловой взрыв в трехфазной среде (горючая жидкость — горючая газовая смесь — твердая инертная пористая среда).

Пористая среда рассматривается как пучок параллельных капилляров одного и того же радиуса. Горючая жидкость равномерно распределена по внутренней поверхности капилляров, а газовая смесь находится в центральной их части. Тепловой поток от газа к твердой матрице (через тонкий слой горючей жидкости) направлен от центра капилляра вовне. Предполагается однородность динамики химического процесса по всей среде, то есть одни и те же процессы имеют место во всех капиллярах одновременно. Гидродинамические эффекты типа газовой фильтрации сквозь пористую среду, горючую жидкость, которые могут быть вызваны силой гравитации или другой причиной, а также теплоемкость стенок капилляров предполагаются незначительными. В данных предположениях безразмерная модель самовоспламенения в изоляционном пористом материале с учетом тепло-отвода из реакционной среды (газовой смеси) имеет вид

Здесь 0, т/ безразмерные температура и концентрация газовой смеси, соответственно; безразмерная переменная 6 характеризует толщину пленки горючей жидкости безразмерная толщина пленки),

нормирующий коэффициент; т — безразмерное время. Параметр а характеризует отношение интенсивности тепловыделения химической реакции к интенсивности теплоотвода в окружающую среду. Физический смысл параметров ¡3 и 7 тот же, что и в параграфе 2.1. Параметрйвляется отношением энергии сгорания к латентной теплоте парообразования. Параметр отражает взаимодействие между процессами сгорания и парообразования,

представляет собой отношение потенциальной энергии горючего газа и энергии, необходимой для испарении всей жидкости.

На основе анализа медленного интегрального многообразия системы (28)—(31), подтвержденного численными экспериментами, описаны основные типы химических реакций, выделены критические режимы, разграничивающие области взрывных и безопасных режимов. Показано, что эти

критические режимы моделируются траекториями-утками. Найдены критические условия самовоспламенения в виде асимптотических разложений параметра а.

Двухфазная модель самовоспламенения горючего вещества в пористом изоляционном материале исследована в параграфе 2.3. Такая ситуация, например, возникает при утечке горючей жидкости или газа из несущей части трубопровода в изолирующую пористую оболочку трубы, содержащую кислород. В результате экзотермической реакции окисления происходит повышение температуры, что при определенных условиях приводит к самовоспламенению горючего.

Как и ранее, модель строится в предположении однородности теплообмена и распределения жидкости, одностадийности химической реакции. Кроме того, теплоемкость однородной пористой среды полагается ничтожно малой величиной. Гидродинамические эффекты, такие как диффузия, утечка жидкости или газовая фильтрация сквозь пористую среду, не учитываются, что вполне оправдано на ранних стадиях процесса.

В условиях адиабатичности процесса в безразмерном виде модель подобного явления имеет вид

где £ — безразмерное время, х — безразмерная концентрация горючей жидкости, находящейся в инертном пористом материале, и — безразмерная температура реакционной фазы, иа — безразмерная температура окружающей среды (инертной фазы), С} — теплота экзотермической реакции окисления, фс — латентная теплота парообразования, Д, — отношение коэффициента температуры парообразования к энергии активации реакции окисления, Л ж Р — предэкспоненциальные множители.

Для типичных горючих газов и жидкостей хотя бы одна из величин С}А и С}сЕ велика, поэтому данная модель может рассматриваться как сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Действительно, при помощи замены

с1и

- ЯАхе-1/и -(и- и.) - (ихе-Ы*,

(32)

йг

(33)

введя параметры

и обозначив Ь = Д. систему (32)-(33) к сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

На основе качественного исследования системы (34)-(35) найдены критические условия самовоспламенения. Для рассматриваемой модели выделен новый тип безопасных режимов, которые моделируются траекториями-утками.

В четвертом параграфе исследуются условия бифуркации периодического решения и устойчивости цикла для сингулярно возмущенных систем. В качестве объекта приложения полученных результатов рассмотрена двухмерная модель релаксационных колебаний в каталитическом реакторе. Рассматривается химическая реакция, протекающая по схеме:

Здесь 2 — активный центр на поверхности катализатора, А2Г — промежуточное вещество (интермедиат), С? — нереакционноспособный интермедиат.

Первая стадия этого механизма — образование интермедиата. Вторая стадия представляет собой этап последующих превращений интермедиата с участием дополнительного количества активных центров. Стадия (с) является медленной ("буферной").

Следует отметить, что тримолекулярная стадия (6) может представлять собой этап, состоящий из последовательности очень быстрых стадий:

лг + г лг2, Аг2 + г-> зг

или

-> г2, лг + г2 -»• гг.

Рассматриваемому кинетическому механизму соответствует следующая система дифференциальных уравнений

Здесь г, д — концентрации свободных центров и нереакционноспособного интермедиата, соответственно, (1 — ? — ^ — концентрация интермедиата [А2]. Параметры £, к, С\ и Сг определяются соотношениями

где ¿х, кг, кз, ¿_з — константы скоростей соответствующих реакций. Естественно предполагать, что константы "буферной"стадии малы

кз> к-з кх, к-1, ¿2)

а соотношение кз/к\ является естественным малым параметром в системе. Следовательно, система (36) является сингулярно возмущенной.

В работе найдено бифуркационное значение параметра, при котором в рассматриваемой системе наблюдается бифуркация Андронова с так называемой мягкой потерей устойчивости, когда система под действием постоянно присутствующих малых возмущений переходит сначала из неустойчивого состояния равновесия на "малую" устойчивую периодическую траекторию. В экспериментах при значениях параметра, близких к бифуркационному, возникающее периодическое решение мало отличается от стационарного решения, поскольку его амплитуда очень мала и может теряться в экспериментальном шуме. Однако при достижении параметром "уточного" значения ситуация резко меняется: незначительное изменение значений параметра приводит к так называемому уточному взрыву, когда амплитуда концентрационных колебаний практически мгновенно принимает достаточно большие значения. Это означает, что "уточное" значение параметра может рассматриваться как граница безопасного протекания процесса. В связи с этим интересно выяснить, когда бифуркационное значение параметра совпадает с "уточным". В этом случае при прохождении параметром через бифуркационное значение уже нельзя говорить о мягкой потере устойчивости.

Установлена устойчивость цикла, а также получены условия, при которых данный цикл является траекторией-уткой системы (36). При этом в качестве управляющего параметра рассмотрены параметры С2 и к.

Пятый параграф посвящен численно-аналитическому исследованию модели трехмерного автокаталатора:

Здесь переменные х,уи г представляют собой безразмерные концентрации трех различных химических веществ, безразмерное время, малый положительный параметр, скалярный положительный параметр.

Медленная поверхность системы (37), описываемая уравнением

разделена кривой срыва

на устойчивую (0 < г < 1) и неустойчивую (г > 1) части. Для 0 < ц < 1 система (37) имеет положение равновесия

Р

29у? — 8[х + 4' 2(1 — /х)' 2(1 — /*)/'

10^(1 - Ьц 5ц ^

которое при находится на устойчивой части медленной поверх-

ности и является устойчивым, при /х = 2/7 лежит на кривой срыва, а при 2/7 < ц < 1 — на неустойчивой части медленной поверхности. Причем, при переходе на неустойчивую часть медленной поверхности положение равновесия становится неустойчивым.

В случае 0 < ц < 2/7 траектория системы (37) после участка падения на устойчивое медленное интегральное многообразие, лежащее в 7-окрестности устойчивой части медленной поверхности, проходит по нему, стремясь в точку Р при г —>■ оо, что соответствует медленному режиму химической реакции. В случае в химической системе наблюдается

быстрый режим, так как траектория системы после участка движения по устойчивому медленному интегральному многообразию до некоторой точки кривой срыва срывается с него на участок быстрого движения. Если же выбором значения параметра склеить устойчивое и неустойчивое медленные интегральные многообразия в этой точке срыва, то система (37) будет иметь решение-утку, отвечающее критическому режиму химической реакции.

В параграфе 2.5 найдены асимптотические разложения критического значения параметра ц и соответствующей траектории-утки по целым степеням малого параметра получены траектории системы и температурно-временные характеристики основных химических режимов.

Третья глава посвящена исследованию вопросов существования и свойств интегральных многообразий со сменой устойчивости. Показано, что этот новый математический объект может быть рассмотрен как естественный многомерный аналог траекторий-уток.

В работе показано, что задачу о существовании траекторий-уток можно рассматривать как частный случай задачи о склеивании устойчивых и неустойчивых интегральных поверхностей, а не как специфическую задачу теории сингулярных возмущений. Поэтому первый параграф данной главы посвящен системам без сингулярных возмущений.

Во втором параграфе доказана теорема существования интегральных многообразий со сменой устойчивости сингулярно возмущенных систем уравнений (3)-(5) в случае одной быстрой переменной (т = 0).

В этом случае система (3)-(5) принимает вид:

^ = Y(x,y,z,e), у е Rn, х € R; (38)

dz

e-fo=2xz + a(y,e) + Z(x,y,z,a(y,e),e), \z\ < r; (39)

где функции Y, Z непрерывны и подчиняются неравенствам

\\Y{x, у, z, е)|| < к, |Z{x, у, z,a,e)\<M (е2 + е\г\ + И2) , (40)

\\Y(x, у, г, е) - Y(x,y, z,е)|| < М(||у - у|| + \z - 5|), (41)

\Z(x, у, z, а, е) - Z(x, у, z,a,e)]<M {(е + |5|)|г - z\+

+(г2 + e\z\ + |г|2)|[у - у|| + е|а - о|} , \z\ = тах{|г|, |г|}, (42)

а функция а разыскивается в классе функций, удовлетворяющих неравенствам

|«(tf,e)| < е2К, |а(у,е) - а(у,е)\ < e2L\\y - у||. (43)

Через 3" обозначим полное метрическое пространство функций, удовлетворяющих неравенствам (43) с метрикой

р(а,а) = sup |а(у,е) - а(у,е)|, убЛ"

а через обозначим полное метрическое пространство непрерывных функций h(x, у, е), действующих из R х Rn в R, удовлетворяющих неравенствам

|Л(®,у,е)|<е*д, (44)

\h{x,y,e) — h(x,y,s)\ < e*i||y — y|| (45)

с метрикой

p(h, h) = sup |ft(x, у, e) ~h{x,y,e)\. На элементах пространства Sj зададим оператор T формулой

Th{x,y) =

-е-1 f+a{<p{s,x),e)]ds , x>0

X

e-i } e^-^[Z(-) + a(<p(s,x),£)]ds , x < 0.

Здесь ¿(-) = ¿(8,1р(8,х),Ь(8,1р($,х),£),а(1р(з,х),£),е), а функция у(в,х) определяется следующим образом. Для произвольного элемента к € рассматривается начальная задача

^ = У(8,ф,Н{*,ФЛе), (46)

Ф) = У, (47)

полученная из (38) подстановкой h вместо z с переобозначением у на ф и х на 5. Решение этой задачи обозначается через </j(s,x) = <£(s(x, y,e\h).

Следует отметить, что при определении оператора Т в верхней строке записан оператор, используемый для доказательства существования неустойчивых (устойчивых влево) интегральных поверхностей, а в нижней строке — оператор, используемый при доказательстве устойчивых интегральных поверхностей. Если оператор Т имеет в Sj неподвижную точку то поверхность является медленным интегральным

многообразием со сменой устойчивости. Доказательство этого факта сводится к проверке выполнения условий принципа сжатых отображений.

Теорема 3.2. Пусть выполняются условия (40)-(42). Тогда существуют такие числа q, 5, К, L, е0 > 0, что для всех е € (0, е0) существуют функция а(у, е), удовлетворяющая условиям (43), и медленное интегральное многообразие z = h(x,y,e) системы (38), (39), где непрерывная функция h удовлетворяет условиям (44), (4^)-

В качестве примера рассмотрена модель Лэнга-Кобаяши полупроводникового лазера.

В параграфе 3.3 изучаются дифференциальные свойства медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 3.3. Пусть дополнительно к условиям Теоремы 3.2 функции Y и Z s раз непрерывно дифференцируемы по всем переменным, их частные производные ограничены, as-e частные производные удовлетворяют условию Липшица. Тогда функции at(y, е) и h(x,y,e) s раз непрерывно дифференцируемы по переменным х и у.

Теорема 3.4. Пусть дополнительно к условиям Теоремы 3.2 функции Y и Z имеют достаточное число непрерывных ограниченных производных по всем переменным, тогда функция h, описывающая медленное интегральное многообразие, и соответствующая функция а(у, с) могут быть найдены в виде асимптотических разложений по степеням малого параметра е:

к

а(у,е) = ^е'а,(у) + ам{у,е), ¡=о к

h{x,y,e) = ^2^hi{x,y) + hM{xfy,e), i=0

где непрерывные функции ai¡+i(y,£) и hk+\(x,y,e) удовлетворяют неравенствам

где и Я.1 — положительные числа, не зависящие от £.

Доказательство этих теорем следует схеме доказательства Теоремы 3.2 с заменой соответствующих пространств.

В четвертом параграфе аналогичные теоремы рассматриваются для случая векторной быстрой переменной. В этом случае для системы

рассматривается полное метрическое пространство Sj непрерывных функций

действующих из.Дх Rn в Rm+1 и удовлетворяющих неравенствам (22), (23), с метрикой ,p{h, h) = sup |jh(x, y,£)—h{x, У,е)||. На элементах пространства

S) вводится интегральный оператор Т

где

фундаментальная матрица уравнения

удовлетворяющая условию И^й, в, £) = I, а функция х) определяется, как ранее.

Теорема 3.5. Пусть выполняются условия (1б)-(21). Тогда существуют такие числа д, 5, К, Ь, £д > 0, что для всех £ £ (0, £о) существуют функция а(у,£), удовлетворяющая условиям (43), и соответствующее ей медленное интегральное многообразие г = И{х, у, е) системы (48)-(50), удовлетворяющее условиям (22), (23).

Следствие 3.1. Доказательство Теоремы 3.5 легко обобщить на случай, когда система (48)-(50) имеет вид

где матрица А(х,у), функции У, ¿2, сх удовлетворяют тем же условиям, что и в Теореме 3.5, кроме того, матрица А(х, у), скалярная функция Ь(х, у) и векторная функция В(х, у, е) являются непрерывными, ограниченными и удовлетворяющими условию Липшица и

0<С1< Ь(х,у) < с2.

Теоремы, аналогичные Теоремам 3.3 и 3.4, также переносятся на системы с векторной быстрой переменной.

Четвертая глава диссертации посвящена анализу моделей химических систем с использованием аппарата медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости.

Если первоначально было широко распространено мнение, что траектории-утки представляют собой весьма экзотический математический объект, интересный только с точки зрения теории сингулярных возмущений, то впоследствии выяснился тот факт, что эти траектории моделируют критические явления различной природы.

Использование траекторий-уток для моделирования критических явлений позволило решить интересные и важные прикладные задачи, как это было отражено во второй главе данной работы. Были получены условия протекания безопасных химических режимов в виде асимптотических разложений управляющих параметров. При этом, выбором значения управляющего параметра осуществлялась склейка устойчивого и неустойчивого интегральных многообразий в одной точке поверхности (кривой) срыва, через которую и проходит траектория-утка, моделирующая критический режим.

Однако в процессе химической реакции возможны возмущения, в результате которых траектория может отклониться от рассчитанной траектории-утки, проходящей через единственную точку склейки устойчивого и неустойчивого интегральных многообразий. В этом случае возмущенная траектория после участка движения по устойчивому интегральному многообразию попадает в некоторую окрестность точки склейки и, в

зависимости от ситуации, либо срывается с него, что означает переход к быстрому режиму химической реакции (например, к тепловому взрыву), либо продолжает движение по нему вплоть до завершения процесса, что соответствует медленному режиму. Таким образом, склеивая устойчивое и неустойчивое интегральные многообразия в одной точке поверхности срыва, нельзя гарантировать безопасность процесса для реальной химической системы.

Данную проблему можно решить, если осуществить склейку этих многообразий во всех точках поверхности срыва одновременно (при помощи уже не параметра, а склеивающей функции), получив, тем самым, инвариантную поверхность со сменой устойчивости (интегральное многообразие со сменой устойчивости). При внешнем возмущении решение системы уравнений в этом случае просто перейдет с одной траектории-утки на другую.

В первом параграфе задача склеивания устойчивой и неустойчивой медленных интегральных поверхностей одновременно во всех точках кривой срыва решается для двухфазной модели горения газа в инертной среде (24)-(26) в случае автокаталитической реакции.

В ряде случаев с практической точки зрения управлять процессом горения естественнее, регулируя уровень запыленности в реакторе. Поэтому в качестве склеивающей функции построена функция одним

из аргументов которой является независимая переменная 9, параметризующая кривую срыва интегрального многообразия.

Для фиксированной точки 0 = 6* кривой срыва можно найти значение параметра 7* = 7с(©%7)> соответствующее траектории-утке. Эта траектория проходит через точку ©* кривой срыва и моделирует критический режим. Действительно, при значениях параметра химическая ре-

акция протекает в невзрывном режиме (медленном или переходном), а при в химической системе наблюдается тепловой взрыв, что подтверждается численным анализом модели.

Таким образом, интегральная поверхность со сменой устойчивости целиком состоит из траекторий-уток, моделирующих критические режимы для различных начальных данных.

Так как в случае инертной пористой среды управлять процессом горения удобнее, контролируя теплоотвод из реакционной фазы во внешнюю среду, то в качестве склеивающей функции рассмотрена и функция

Во втором параграфе аналогичная задача рассматривается для модели (24)-(26) в случае реакции первого порядка.

В третьем параграфе интегральная поверхность со сменой устойчивости построена для модели автокаталатора (32).

Следует отметить, что начальные условия для системы (32) не фиксированы, поэтому рациональнее осуществлять склейку не в одной точке

кривой срыва, а во всех ее точках одновременно. Это означает построение интегральной поверхности со сменой устойчивости системы

(32), состоящей из траекторий-уток, моделирующих критические режимы, каждая из которых отвечает конкретному начальному условию и проходит через определенную точку кривой срыва. Построение такой интегральной поверхности оправдано также возмущениями в процессе химической реакции, о которых говорилось в предыдущих параграфах данной главы.

В качестве склеивающей функции рассмотрена функция (1 = [л.(у, 7). Установлено, что в результате построения медленного интегрального многообразия со сменой устойчивости в рассматриваемой системе возникает автоколебательный процесс, который моделируется траекторией-уткой. В параграфе приводятся также результаты численного исследования системы.

В заключение главы рассмотрены две специальные задачи теории горения: задача определения максимальной температуры безопасного горения и исследование бегущих волн горения.

Важной особенностью критических режимов, которые для рассмотренных химических систем моделировались при помощи траекторий-уток, является возможность достижения высоких температур в рамках безопасного режима. Напомним, что критический режим является безопасным, так как рост температуры осуществляется со скоростью медленных переменных дифференциальной системы, т. е. со скоростью порядка 0(1). Так как достижение высоких температур в рамках безопасного химического процесса может являться целью технологического процесса, то возникает вопрос: как и от чего зависит максимальное значение температуры в случае критического режима? Следует отметить, что максимальное значение температуры безопасного горения отвечает точке отрыва траектории-утки от неустойчивого медленного интегрального многообразия дифференциальной системы, моделирующей процесс горения. В параграфе 4.4 установлена зависимость максимальной температуры безопасного горения от начальных данных.

В пятом параграфе рассматривается неадиабатическая модель автокаталитического горения с учетом расхода реагирующего вещества в случае одной пространственной переменной:

Здесь 0 — безразмерная температура газовой смеси, т) — глубина превращения, ц — постоянный эффективный коэффициент диффузии, — кри-

(51)

(52)

терий Франк-Каменецкого, параметры а, /3 и 7 определены в параграфе 2.1.

Изучены решения системы (51), (52) типа бегущей волны, соединяющих положения равновесия 0(т] = 0, в = 0) и Р(т] = 1, в = 0). На основе анализа соответствующей краевой задачи отмечено, что можно выбрать параметры таким образом, что проекция соответствующей гетероклинической траектории на плоскость лежит в малой окрестности траектории критического решения. Соответствующее решение названо критической бегущей волной.

Следует отметить, что исследование волн горения традиционно является одной из фундаментальных проблем теории горения. Кроме того, интерес к этой теме значительно возрос в последние десятилетия. Основное внимание при этом уделялось случаю реакции первого порядка. В настоящей работе установлено существование нового вида бегущих волн — критических бегущих волн, разделяющих волны медленного выгорания и волны самовоспламенения в случае автокаталитической реакции. Эта критическая бегущая волна представляет собой волну-утку. Особенностью системы в этом случае является наличие двух состояний равновесия, что обеспечивает существование гетероклинической траектории.

Исследование всех рассмотренных в работе моделей проводилось методами асимптотического и численного анализа. При проведении численных экспериментов приходилось значительно модифицировать существующие численные методы в связи с разнотемповостыо переменных и исключительно высокой чувствительностью по отношению к изменениям управляющих параметров. Результаты асимптотического анализа моделей хорошо согласуются с данными численных экспериментов. Работа проиллюстрирована траекториями и температурно-временными характеристиками основных типов режимов химических реакций в рассмотренных математических моделях химических систем.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Доказаны новые теоремы о существовании и асимптотических разложениях траекторий-уток многомерных систем дифференциальных уравнений. Разработан метод приближенного построения таких траекторий. Описаны траектории-утки в динамической модели одномодового лазера.

2. Введен новый математический объект - интегральное многообразие со сменой устойчивости. Доказаны теоремы о существовании и свойствах таких многообразий. Разработан алгоритм приближенного построения медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости. Полу-

ченные математические результаты проиллюстрированы на модели полупроводникового лазера, описываемой уравнениями Ленга-Кобаяши (Ьа^-КоЪау8Ьу).

3. Получены достаточные условия устойчивости периодического решения при бифуркации Андронова для некоторого класса сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти результаты применены для исследования модели концентрационных колебаний в каталитическом реакторе.

4. Исследованы двух и трехфазные модели самовоспламенения горючего вещества в пористом изоляционном материале. Выделены основные типы режимов химической реакции, описана динамика химического процесса при различных начальных данных. Установлено, что критические режимы, разделяющие области взрывных и невзрывных режимов, моделируются траекториями-утками. Найдены критические условия самовоспламенения в виде асимптотических разложений управляющих параметров по целым степеням малого параметра. Результаты асимптотического анализа подтверждаются данными численных экспериментов.

5. Изучены модели горения разреженной газосмеси, помещенной в инертную пористую или запыленную среду в случае автокаталитической реакции и реакции первого порядка. Описана динамика процесса горения для различных начальных состояний химической системы. Показано, что задача выбора характеристик процесса (теплоотвода, уровня запыленности и т. д.) может быть рассмотрена как специальный случай задачи управления с неполной обратной связью. При этом, одной из целей управления является обеспечение безопасного протекания процесса горения. На основе анализа медленного интегрального многообразия определены критические условия теплового взрыва, численный анализ хорошо согласуется с качественным исследованием моделей. Построены медленные интегральные поверхности со сменой устойчивости, состоящие из траекторий, моделирующих критические режимы химической реакции. Получена оценка максимальной температуры безопасного режима горения.

6. Проведено численно-аналитическое исследование модели трехмерного автокаталатора. Изучена динамика химического процесса для различных начальных состояний химической системы. Использование медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости позволило определить условия безопасного протекания химической реакции.

7. На примере неадиабатической модели автокаталитического горения с учетом расхода реагирующего вещества описан новый тип бегущей волны. Установлено, что в данной модели бегущая волна нового типа играет роль разделяющего решения, то есть разделяет волны медленного выгорания газа и волны самовоспламенения.

8. Разработаны алгоритмы и написаны программы численного исследования медленных интегральных поверхностей со сменой устойчивости и траекторий-уток, численного моделирования критических явлений в химических системах. Результаты численных экспериментов подтверждают данные асимптотического анализа рассмотренных моделей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Самовоспламенение запыленных сред // Физика горения и взрыва. 1993. № 3. С. 133-136.

2. Щепакина Е. А. Интегральные многообразия, траектории-утки и тепловой взрыв // Вестник Самарского гос. университета. 1995. Спец. выпуск. С. 49-58.

3. Щепакина Е. А. Математическое моделирование критических режимов в задачах химической кинетики // Тез. докл. Межд. конфер. "Математика. Компьютер. Образование". Москва. 1996. С. 150.

4. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Траектории-утки в одной задаче теории горения // Диф. уравнения. 1996. Т. 32, № 9. С. 1175-1184.

5. Gol'dshtein V., Zinoviev A., Sobolev V., Shchepakina E. Criterion for Thermal Explosion with Reactant Consumption in a Dusty Gas // Proc. London Royal Soc. Ser. A. 1996. V. 452. P. 2103-2119.

6. Sobolev V., Andreev I., Shchepakina E. Modeling of Critical Phenomena in Autocatalytic Burning Problems // Proceeding of 15th IMACS World Congress. Berlin, August 24-29, 1997. V. 6. P. 317-322.

7. Sobolev V., Andreev I., Shchepakina E. Modeling of Critical Phenomena in Autocatalytic Burning Problems // Euromech, 3rd Europ. Conference. Gottingen, Sept. 15-18, 1997. Abstracts. P. 342.

8. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Интегральные поверхности со сменой устойчивости и траектории-утки // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1997. Т. 1, Л* 3. С. 151-175.

9. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Управление с большим коэффициентом усиления // IV Межд. семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва, 1998. Тез. докл. С. 114.

10. Shchepakina E. Duck-trajectories in Combustion Problems // International Conference of Mathematicians. Berlin, August 18-27, 1998. Abstracts of Short Comm. and Poster Sessions. P. 332.

11. Shchepakina E., Sobolev V. Standard Chase on Black Swans and Canards. WIAS. Berlin. 1998. Preprint № 426.

12. Shchepakina E., Sobolev V. Slow Integral Manifolds of Variable Stability in Chemical Kinetics // Межд. Конф., посвящен. 90-летию Л. С. Понтря-гина. Москва, 31 авг.-б сент. 1998. Тезисы. Дифференциальные уравнения. С. 102-104.

13. Shchepakina E. Black Swans and Canards in Applied Problems. Ben Gurion University of the Negev, Israel. Preprint. October 1998.

14. Щепакина Е. А. Периодические колебания в модели каталитического реактора // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1998. Т. 2, № 4. С. 108-116.

15. Горелов Г. Н., Соболев В. А., Щепакина Е. А. Сингулярно возмущенные модели горения. Самара: СамВен, 1999.

16. Shchepakina E. Canards and black swans in combustion // ICIAM 99, the Forth Intern. Congress on Industrial and Applied Math. Book of Abstr. Edinburgh, 5-9 July, 1999. P. 169.

17. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1999. Т. 3, № 3. С. 82-93.

18. Щепакина Е. А. Медленные процессы со сменой устойчивости // Межд. конфер. "Математика. Компьютер. Образование ". Москва-Дубна, 24-29 января 2000. Тезисы. С. 368.

19. Щепакина Е. А. Притягивающе-отталкивающие интегральные поверхности в задачах горения // Конференция, посвященная памяти академика А. Н. Тихонова "Математическая физика, математическое моделирование и приближенные методы". Обнинск, 15-19 мая 2000. Тезисы докл. С. 74.

20. Shchepakina E. Attracting/Repelling Invariant Manifolds //VI Межд. семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва, июнь 2000. Тезисы докл. С. 72.

21. Shchepakina E., Sobolev V. Attracting/Repelling Invariant Manifolds // Stability and Control: Theory and Applications. 2000. V. 3, № 3. P. 263-274.

22. Shchepakina E. Black Swans and Canards // 3rd Europ. Congress for Mathematics 10-14 July 2000. Barcelona. Book of Abstr. Poster 574.

23. E. Shchepakina, V. Sobolev. Slow regimes of variable stability in chemical systems // IMACS-2000. Lausanne, August 2000. CD. 125/13.

24. Щепакина Е. А. Критические условия самовоспламенения в пористой среде // В кн.: XII симпозиум по горению и взрыву "Химическая физика процессов горения и взрыва". Черноголовка: Ин-т проблем хим. физики РАН. 2000. Часть II. С. 63-65.

25. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Моделирование процесса самовоспламенения в трехфазной среде // Межд. конфер. "Математическое моделирование". Самара, 13-16 июня 2001. Труды. С. 109-112.

26. Щепакина Е. А. Математическое моделирование теплового взрыва в многофазных средах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8, № 1. С. 382-383.

27. Щепакина Е. А. Критические условия самовоспламенения в пористой среде // Химическая физика. 2001. Т. 20, № 7. С. 3-9.

28. Shchepakina E., Sobolev V. Integral manifolds, canards and black swans

// Nonlinear Analysis. 2001. V. 44. P. 897-908.

29. Shchepakina E., Sobolev V. Exchange of stability of slow regimes in chemical systems. Institute for Nonlinear Science. Report 01-003. March 2001. Cork, Ireland.

30. Gol'dstein V., Mclnerney J., Shchepakina E., Sobolev V. Slow/fast models of laser and chemical systems. Institute for Nonlinear Science. Report 01-008. June 2001. Cork, Ireland.

31. Schneider K., Shchepakina E., Sobolev V. A new type of travelling wave. WIAS. Berlin. 2001. Preprint X* 694.

32. Shchepakina E., Sobolev V. Bifurcations of slow integral manifolds // Intern. Conf. "Differential Equations and Related Topics" ded. to the 100th Ann. of I. G. Petrovskii. Moscow, 22-27 May 2001. Book of Abstracts. P. 47.

33. Щепакина Е. А. Условия безопасности воспламенения горючей жидкости в пористом изоляционном материале // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. 5, № 3 (И). С. 162-169.

34. Щепакина Е. А. Притягивающе-отталкивающие интегральные поверхности в задачах горения // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, № 3. С. 30-42.

35. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости в случае векторной быстрой переменной // Диф. уравнения.

2002. Т. 38, № 10. С. 1358-1364.

36. Щепакина Е. А. Управление с неполной обратной связью в задачах теории горения // VII Межд. семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва, май 2002. ИПУ РАН. Тезисы докл. С. 58-59.

37. Shchepakina E. Canards in Mathematical Combustion // Intern. Congress of Mathematicians ICM-2002. August 20-28, 2002, Beijing.

38. Shchepakina E., Shchetinina E., Sobolev V. Scenario of loss stability in Ziegler system // V Intern. Congress on Math. Modelling. Dubna, 30.0906.10.2002. Book of Abstr. P. 34.

39. Shchepakina E. Canards and black swans in chemical kinetics models // V Intern. Congress on Math. Modelling. Dubna, 30.09-06.10.2002. Book of Abstr. P. 220.

40. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости // Диф. уравнения. 2002. Т. 38. № 11. С. 1574.

41. Shchepakina E. Black swans and canards in self-ignition problem // Nonlinear Analysis: Real Word Applications. 2003. V. 4. P. 45-50.

42. Shchepakina E., Shchetinina E., Sobolev V. Loss of stability scenario in the Ziegler system. University College Cork - National University of Ireland, Cork. Boole Centre for Research in Informatics. Preprint № 07/2003. March

2003.

33

i»OG НАЦИОНАЛЬНАЯ J БИБЛИОТЕКА { Cflcrcptfypr J

ОЭ TOO «*т [

43. Щепакина Е. А. Сингулярно возмущенные модели горения в многофазных средах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. б . № 4 (16). С. 142-157.

44. Schneider К., Shchepakina E., Sobolev V. New type of travelling wave solutions // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2003. Vol. 26. P. 1349-1361.

45. Schneider K. R., Shchepakina E. A. Maximal temperature of safe combustion in case of an autocatalytic reaction. WIAS. Berlin. 2003. Preprint № 890.

46. Щепакина Е. А. Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. № 8. С. 113-117.

47. Щепакина Е. А. Два вида смены устойчивости интегральных многообразий // Диф. уравнения. 2004. Т. 39. № 4.

Подписано в печать 06.09.04 Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 2,0 п.л. Тираж 100 экз. 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1. Заказ № /080 . Отпечатано УОП СамГУ

Р 1 7 3 О О

Введение

1 Траектории—утки многомерных систем

1.1 Устойчивые и неустойчивые медленные интегральные многообразия

1.2 Системы со скалярной быстрой переменной.

1.2.1 Существование траекторий-уток многомерных систем

1.2.2 Асимптотические представления.

1.3 Системы с векторной быстрой переменной

1.3.1 Существование и свойства траекторий-уток.

1.3.2 Модель одномодового лазера.

1.3.3 Модель Лоренца-Хакена.

1.4 Интегральные многообразия быстрых движений

2 Моделирование критических режимов при помощи траекторий—уток

2.1 Самовоспламенение в пористых средах.

2.1.1 Автокаталитическая реакция горения.

2.1.2 Реакция первого порядка.

2.2 Трехфазная модель самовоспламенения изоляции.

2.2.1 Случай Ф = 1.

2.2.2 Общий случай.

2.3 Двухфазная модель самовоспламенения изоляции

2.3.1 Качественный анализ системы.

2.3.2 Асимптотика критических условий.

2.4 Модель каталитического реактора.

2.4.1 Условия бифуркации.

2.4.2 Устойчивость цикла.

2.4.3 Бифуркация периодического решения

2.4.4 Траектория-утка в модели каталитического реактора160 2.5 Трехмерная модель автокаталатора.

2.5.1 Анализ особых точек системы.

2.5.2 Траектория-утка в модели автокаталатора

3 Интегральные многообразия со сменой устойчивости

3.1 Системы без сингулярных возмущений.

3.1.1 Вспомогательные неравенства.

3.1.2 Существование функции а(у).

3.1.3 Существование интегральной поверхности.

3.2 Интегральные многообразия со сменой устойчивости систем со скалярной быстрой переменной.

3.2.1 Вспомогательные неравенства.

3.2.2 Существование функции а (у, е).

3.2.3 Существование медленного многообразия.

3.2.4 Модель полупроводникового лазера.

3.3 Дифференциальные свойства интегральных поверхностей со сменой устойчивости.

3.4 Случай векторной быстрой переменной.

3.4.1 Вспомогательные неравенства.

3.4.2 Существование функции а{у,е).

3.4.3 Существование медленного многообразия.

4 Критические явления и интегральные многообразия со сменой устойчивости

4.1 Управление процессом горения для автокаталитической реакции.

4.2 Управление процессом горения для реакции первого порядка

4.2.1 Управление процессом горения за счет теплоотвода

4.2.2 Управление уровнем запыленности в реакторе

4.3 Интегральная поверхность со сменой устойчивости в модели трехмерного автокаталатора.

4.4 Максимальная температура безопасного горения.

4.4.1 Затягивания потери устойчивости в скалярных неавтономных дифференциальных уравнениях

4.4.2 Максимальная температура горения

4.5 Три типа бегущих волн горения.

Актуальность работы. Работа посвящена математическому моделированию критических явлений в химических системах на основе новых методов геометрической теории сингулярных возмущений.

Сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. Так, в моделях химической кинетики наличие малого параметра связано с тем, что в химической системе одновременно происходят резко отличающиеся по скорости процессы.

Основы теории сингулярных возмущений были заложены в работах Тихонова А. Н. Наиболее широкое распространение получил метод пограничных функций Васильевой-Тихонова. Дальнейшее развитие теория получила в работах Аносова Д. В., Андронова А. А., Боголюбова Н. Н., Бутузова В. Ф., Васильевой А. Б., Вишика М. И., Дмитриева М. Г., Дородницына В. А., Емельянова С. В., Ильина А. М., Кащенко С. А., Кобрина А. И., Коровина С. К., Красовского Н. Н., Крей-на С. Г., Крылова Н. М., Ломова С. А., Люстерника Л. А., Мартынен-ко Ю. Г., Маслова В. П., Митропольского Ю. А., Мищенко Е. Ф., Моисеева Н. Н., Найфэ А. X., Нейштадта А. И., Новожилова И. В., Понт-рягина Л. С., Розова Н. X., Хапаева М. М., Чернышова К. И., Bonet С., Chang Н. С., Cole J., Howes F. A., Kelley A., Miller J., O'Malley R. E., Schneider K. R., Smith D. R., Van Dyke M. и многих других авторов (см. [2, 3, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 32, 33, 43, 48, 49, 54, 56, 58, 64, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 74, 92, 96, 124, 154, 169, 197]).

Следует отметить, что методы теории сингулярных возмущений применялись для исследования моделей химической кинетики в работах Бутузова В. Ф., Васильевой А. Б., Вольперта А. И., Калачева Л. В., Худя-еваС. И. и др. [13, 18, 25].

Обычное предположение теории сингулярных возмущений состоит в том, что основной функциональный определитель быстрой подсистемы отличен от нуля. Однако во многих прикладных задачах, в частности в моделях химических систем, это условие нарушается, и возникают различные критические ситуации. Различные критические случаи рассматривались в работах Бутузова В. Ф., Васильевой А. В., Волосова В. М., Нефедова H. Н., Соболева В. A., Gu Z., O'Malley R. Е., Schneider К. R., Williams F. [18, 21, 23, 24, 52, 82, 146].

Нарушение этого условия может привести к возникновению траекторий-уток. Термин "утка" возник в математической литературе в связи с применением нестандартного анализа к исследованию дифференциальных уравнений. Первое упоминание об утках принадлежит, по-видимому, J. L. Callot, M. Diener, F. Diener (1978) [129]. Исследование траекторий-уток для различных классов систем проводилось в работах многих авторов. Следует отметить работы Арнольда В. И., Горелова Г. Н., Звонкина А. К., Ильяшенко Ю. С., Колесова А. Ю., Колесова Ю. С., Мищенко Е. Ф., Покровского А. Н., Розова H. X., Сам-борского С. Н., Соболева В. А., Шубина M. A., Benoit Е., Eckhaus W. [5, 10, 30, 37, 51, 65, 73, 77, 78, 120, 121, 124, 130, 131, 133, 142, 143]. Заметим, что если первоначально термин "утка" употреблялся применительно к предельным циклам уравнений типа уравнения Ван-дер-Поля (так называемые циклы-утки), то позднее речь идет об объектах более общей природы — о траекториях-утках как одномерных устойчиво-неустойчивых медленных интегральных многообразиях.

Приложение траекторий-уток к моделированию критических явлений в химических системах позволило решить ряд интересных задач. Заметим, что исследованиям критических явлений в химических системах посвящено множество публикаций, среди которых следует отметить работы Абрамова В. Г., Бабкина В. С., Бабушка В. И., Баренблатта Г. И., Барзыкина В. В., Быкова В. И., Гольдштейна В. М., Горелова Г. Н., Дубо-вицкого Ф. И., Зельдовича Я. Б., Кащенко С. А., Мержанова А. Г., Семенова Н. И., Соболева В. А., Тодеса О. М., Франк-Каменецкого Д. А., Ху-дяева С. И., Gray В. F., Griffiths J. F., Kassoy D., Linan A., Mcintosh А. С., Sivashinsky G. I. [7, 14, 28, 29, 38, 45, 59, 60, 61, 62, 63, 80, 81, 84, 85, 86, 89, 90, 95, 116, 117, 128, 140, 141, 145, 152, 153, 158, 162, 163, 170, 195].

Следует отметить, что при моделировании процессов горения, сопровождающихся резким ростом температуры, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными в работах Галактионо-ва В. А., Курдюмова С. П., Малинецкого Г. Г., Михайлова А. П., Повещенко Ю. А., Попова Ю. П., Самарского А. А. использовались режимы с обострением [6, 27, 39, 55, 75, 76]. Явление потери устойчивости в сложных системах химической кинетики рассматривалось в работах Ивановой А. Н., Тарнопольского Б. JI. и других авторов [40, 41].

В последние годы появилось значительное число публикаций, посвященных применению траекторий-уток в различных задачах биологии, механики, химии, экономики и электроники. Не претендуя на полноту, среди них можно выделить работы Колесова А. Ю., Колесова Ю. С., Мищенко Е. Ф., Покровского А. Н., Розова Н. X., Соболева В. А., Ваег S. М., Bar-Eli К., Braaksma В., Br0ns М., Dumortier F., Erneux Т., Freire Е., Gamero Е., Gaspar V., Guckenheimer J., Hoffman К., Krupa M., Mazzotti M., Milik A., Moehlis J., Morbidelli M., Peng В., Rodriguez-Luis A. J., Roussarie R., Serravalle G., Showalter К., Szmolyan P., Weckesser W. [51, 65, 83, 87, 118, 119, 125, 126, 132, 134, 137, 139, 147, 148, 157, 161, 164, 165, 170, 185, 186].

Одним из основных методов исследования сингулярно возмущенных систем является метод интегральных многообразий Боголюбова-Митропольского. Под интегральным многообразием здесь понимается гладкая инвариантная поверхность дифференциальной системы. Интегральное многообразие называется медленным, если движение по нему осуществляется со скоростями порядка единицы (в полной системе есть движения со скоростями порядка отрицательной степени малого параметра). Использование медленных интегральных многообразий позволяет понижать размерность изучаемых моделей и избавляться от вычислительной жесткости. Теория интегральных многообразий применялась для исследования сингулярно возмущенных систем в работах Ба-риса Я. С., Задираки К. В., Лыковой О. Б., Митропольского Ю. А., Самойленко А. М., Сидоренко В. В., Соболева В. А., Стрыгина В. В., Фодчука В. И., Fenichel N., Hale J., Henry D., Knobloch H., Kokotovií P. и др. [8, 9, 36, 64, 79, 88, 93, 94, 135, 149, 150, 155, 156].

Данная работа посвящена исследованию интегральных многообразий со сменой устойчивости систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и применению полученных результатов для моделирования критических явлений в химических системах.

Как уже отмечалось, для широкого круга химических процессов характерно резкое различие скоростей превращения веществ, участвующих в этих процессах и резкое различие скоростей тепловых и концентрационных изменений.

В каталитических системах скорости реакций, происходящих на поверхности катализатора, на порядок или даже на несколько порядков выше, чем скорости реакций в газовой фазе. Как правило, реакции на поверхности катализатора идут при сравнительно небольших температурах и скорость выделения тепла существенно ниже, чем скорости изменения концентраций реагирующих веществ.

Для задач теории горения является характерной высокая скорость тепловыделения при сравнительно низкой скорости расходования горящего вещества. Это различие носит настолько резкий характер для газофазных систем, что явление самовоспламенения приобрело название теплового взрыва.

Более того, в химической кинетике устоявшимся принципом является различение участвующих в процессе веществ по скоростям их превращения. В газофазной кинетике по этому принципу различают активные центры и основные вещества.

В последнее время существенно вырос интерес к изучению влияния на основной процесс так называемых буферных явлений. Для каталитических систем это может быть учет старения катализатора, адсорбции нереакционного продукта реакций на поверхности катализатора. Естественно, скорости буферных явлений на порядок ниже скорости реакции.

Исследования химических систем, разделенных на медленную и быструю подсистемы в силу различия скоростей, производится, как правило, методом квазистационарных концентраций Боденштейна-Семенова. Идея метода проста: предполагается, что система "подстраивается" под медленную подсистему за счет быстро приходящей к равновесию (квазистационарному режиму) быстрой подсистемы. Это позволяет учитывать при анализе значительно меньшее число параметров, что приводит к существенным упрощениям при исследовании модели. Формализм метода квазистационарных концентраций сводится к замене части дифференциальных уравнений в модели процесса алгебраическими, что позволяет понизить размерность модели.

При исследовании моделей химических процессов особенно интересен качественный анализ. Если размерность дифференциальной системы, описывающей поведение химического процесса, больше двух, то ее исследование методами качественной теории дифференциальных уравнений, как правило, связано с существенными трудностями. Особенно это проявляется в неизотермических моделях из-за сильной нелинейности системы. Возможности численного анализа таких моделей при наличии существенно разномасштабных переменных также ограничены. Причиной этого является вычислительная жесткость системы, то есть высокая чувствительность к малым погрешностям вычислений. Метод квазистационарных концентраций пригоден только для анализа грубых ситуаций, когда дифференциальная система имеет притягивающее медленное интегральное многообразие.

Наличие в системе быстрых и медленных переменных позволяет использовать асимптотические методы, которые, как правило, предназначены для решения краевых и начальных задач на конечных промежутках и не приспособлены для качественного исследования. В данной работе используется метод качественного исследования систем с быстрыми и медленными переменными, являющихся типичными для моделей химических систем, так, в частности, для рассматриваемых моделей лазеров, каталитических реакторов и теплового взрыва.

Основная задача математической теории теплового взрыва заключается в исследовании динамики процесса горения при заданных размерах реакционного сосуда, теплофизических и кинетических характеристиках реагирующего вещества, коэффициенте теплоотдачи. Для классической модели теплового взрыва эти характеристики отражает некоторый параметр, значение которого определяется начальным состоянием химической системы. В зависимости от значения этого параметра происходит либо переход реакции к медленному режиму, что ведет к затуханию реакции, либо реакция переходит в режим самоускорения, что приводит к взрыву. Численные расчеты для сосредоточенной двумерной модели показывают, что переход от медленного режима к взрывному происходит в чрезвычайно узком промежутке изменения параметра, характеризующего начальное состояние системы. При некотором значении этого параметра, которое называется критическим, реакция идет максимально долго, не срываясь в режим взрыва и не переходя в медленный режим выгорания. Соответствующий режим будем называть критическим.

Задачи определения критических значений параметров и моделирования критических режимов для многофазных и многотемпературных систем и являются главными в рамках исследования моделей. Формализм решения этих задач сводится к обоснованию существования и построения асимптотических разложений медленных интегральных поверхностей со сменой устойчивости.

Ряд важных прикладных задач биологии, биофизики, механики, лазерной оптики, экономики и теории управления также приводит к необходимости изучения медленных процессов со сменой устойчивости.

Хорошо известно, что сингулярно возмущенные системы обыкновенных дифференциальных уравнений используются для моделирования процессов различной природы. В работе рассматриваются системы вида я = 1(х,у,г,е),

У = д(х,у,г,е), (1) ег = р(х,у,г,а,е), где е — малый положительный параметр, а — скалярный параметр, х — скалярная переменная, у и г — векторные переменные размерности п и т+1, соответственно, /, д и р — достаточно гладкие функции. Уравнение для скалярной переменной х выделяется по техническим соображениям. Обычно в качестве переменной х используется одна из медленных переменных, строго монотонная по времени.

Под медленной поверхностью системы (1) понимается поверхность, описываемая уравнением р(х,у,г,(х,0) = 0. (2)

Основное предположение обычно состоит в том, что др дг^'^ где г = ф(х,у,а) — изолированное решение уравнения (2). Нарушение этого условия может привести к возникновению так называемых траектори й-уток.

Лист медленной поверхности устойчив, если собственные числа матрицы др {х,у,ф{х,у,а),а, 0) (3) имеют отрицательные вещественные части. Если хотя бы у одного из собственных чисел этой матрицы вещественная часть становится положительной, то лист теряет устойчивость. Листы медленной поверхности

разделяются так называемыми поверхностями срыва, имеющими размерность вектора у, на которых др det —(я, у, ф{х, у, а), а, 0) = 0.

В ¿-окрестности устойчивого и неустойчивого листов медленной поверхности лежат притягивающее (устойчивое) и отталкивающее (неустойчивое) медленные интегральные многообразия. Медленное интегральное многообразие представляет собой инвариантную поверхность, движение по которой осуществляется со скоростью порядка единицы.

Наличие дополнительного скалярного параметра а обеспечивает условия для того, чтобы устойчивое и неустойчивое интегральные многообразия можно было "склеить" в одной точке поверхности срыва. Именно через эту точку проходит траектория, которая является уткой. Под траекторией-уткой обычно понимается траектория сингулярно возмущенной системы, которая проходит вначале вдоль устойчивого интегрального многообразия, а затем вдоль неустойчивого, причем оба раза расстояния порядка единицы.

Следует отметить, что для случая dim у = 0, dim z = 1 уже в первых работах, посвященных траекториям-уткам, было установлено существование единственной траектории-утки, отвечающей единственному значению параметра а = а* (точнее, значение параметра а* существует на интервале порядка 0(е~1^е)).

В случае же dim у = 1 картина принципиально иная: в работе установлено существование однопараметрического семейства траекторий-уток, так как наличие параметра а позволяет выбрать точку склейки устойчивого и неустойчивого интегральных многообразий.

Из вышесказанного следует, что траектория-утка представляет собой одномерное медленное интегральное многообразие, "склеенное" из неустойчивой и устойчивой частей.

Рассмотрим несколько простых примеров.

П р и м е р 1. (dim у = 0).

В качестве простейшей системы с траекторией-уткой можно предложить систему вида х = 1, ez = 2 xz + а.

Ясно, что при а = 0 система имеет траекторию-утку z — 0.

П р и м е р 2. (dim у = 0). Для системы на плоскости х = f(x,z,e), ez — р(х, z, а,е) устойчивые и неустойчивые части медленной кривой разделены точками срыва, в которых выполняется равенство зг = °oz

Обычно исследование таких систем в окрестности нерегулярных точек проводится в предположении, что в этих точках выполняется неравенство

Рис. 1: Траектория-утка (сплошная линия) и "ложная" утка (пунктирная линия) системы из Примера 2.

Однако существует класс задач, для которых это условие нарушается при некотором значении а. Например, в системе z X г при о; = ±е линии г = ±х проходят вдоль медленной кривой бесконечно долго (см. рис. 1). Заметим, что траекторией-уткой является только г = х. В этом примере [142] точка х = 0, г = 0 является точкой самопересечения медленной кривой при а = 0. Подобные ситуации рассматривались в работах [5, 30, 130, 142]. Аналогичные системы возникают в моделях теплового взрыва в случае автокаталитической реакции. При этом траектории-утки являются естественным математическим объектом, позволяющим моделировать критические явления и находить критические значения параметров в виде асимптотических разложений по целым степеням малого параметра е.

Рис. 2: Медленная кривая (пунктирная линия) и траектория-утка (сплошная линия) системы из Примера 3.

Как было отмечено ранее, работы, посвященные исследованию траекторий-уток обычно содержат утверждения типа "Жизнь уток коротка". Под этим подразумевается, что значения параметра а, при которых существуют траектории-утки, отличаются друг от друга на величину порядка 0{е~1!ке), где к — некоторое положительное число. При этом только в работе [5] приведены достаточные условия, при которых этот факт имеет место, в то же время, нетрудно предложить примеры "вечно живых уток".

ПримерЗ. Рассмотрим систему [52] х = z, ez = х2 + z2 - а2.

Окружность x + l)2 + z2 = a2-^ представляет собой траекторию-утку, движение по которой осуществляется по часовой стрелке. Верхняя полуокружность неустойчива, нижняя — устойчива (см. рис. 2) . Эта траектория существует при всех а2 > е2/А. Рассмотрим обобщение Примера 3 на случай dim у > 0. Система x = z, ez — bz2 + f(x, е) имеет особые точки при z = 0, f(xs,e) = 0. В соответствии с матрицей Якоби Ц'(х„е) 0 ) особая точка линеаризованной системы является седлом (центром), если f'(xs,e)>0(f'(xs,£)<0).

Для исходной системы тип особой точки сохраняется. В случае седла это хорошо известный факт. В случае центра мы можем применить теоремы Ляпунова об особой точке типа центр благодаря существованию аналитического первого интеграла исходной системы. Этот первый интеграл может быть получен из следующего уравнения

-(z2)' =bz2 + f (х, в). (4)

Решение (4) описывается выражением z2 = Се2Ьх/е + 2 Г eW*-r)/'f(j,£)dT. е J 0

Таким образом, аналитический по х и г первый интеграл находится в виде г о г* 1 е-2 Ьх/е =

Если функция /(х,е) является многочленом N х,е) = ^2рпхп, п=0 то частное решение уравнения (4) удовлетворяет соотношению N п=0

Подставляя это соотношение и выражение

N N-1 п=1 п=0 г2)' = ф(х,е) = ^пдпхп 1 = ^(п + 1)дп+1хп в (4), получим + 1)дп+1хп = Ь^дпхп + ^рпхп.

N-1 N N п=О п=0 п=0

Отсюда имеем bqN + PN = О,

-(п + 1)дп+1 = Ьдп + рп, п = N - 1,. ,0; или

9лг = -ри/Ъ, Яп = (—Рп + + 1)9п+1) А п = N - 1,., 0. Инвариантное многообразие уравнения (4), описываемое уравнением г2 = ф(х,е), устойчиво при Ьг < 0 (неустойчиво при Ъг > 0).

П р и м е р 4. При N = 1 имеем х,е)=р1х + р0, Ро = а, рг = а,

Я1 = -а/Ь, д0 = - (а + ^-а) /Ь, и медленное интегральное многообразие описывается уравнением

1 е ог + ах + а + —а = 0.

2 Ь

Соответствующая кривая является параболой с устойчивой (неустойчивой) ветвью при 2 > 0 (г < 0), см. рис. 3.

Рис. 3: Медленная кривая (пунктирная линия) и траектория-утка (сплошная линия) системы из Примера 4.

П р и м е р 5. При N = 2 имеем х,е) =р2х2 +ргх +р0, Р1 — 0, Р2 — Я) Ро = а, д2 = —а/Ь, 91 = -еа/Ь2, Яо = - (ос + т^а)^ /Ь. г

Рис. 4.

Рис. 5.

Медленное интегральное многообразие описывается уравнением

2 2 £а е2(1 Ьг2 + ахг + -у-х + а + —— = О о 2 £г или г 2 / £ \2 £2а

Ь*+а\Х+2Ь) =

17

Если аЪ > 0, то это уравнение эллипса (см. рис. 4) при условии а е2а

6 + 4^<0'

Когда а = Ь, мы получаем Пример 3.

Рис. 6.

Рис. 7. 18

В случае ab < О мы получаем гиперболу. Пусть а — е2/4 > 0. Правая ветвь этой гиперболы на рис. 5 является траекторией-уткой (устойчиво-неустойчивой траекторией), а левая — ложной уткой (неустойчиво-устойчивой траекторией).

При а — е2 /4 < 0 верхняя (нижняя) ветвь гиперболы является неустойчивым (устойчивым) медленным интегральным многообразием, см. рис. 6.

П р и м е р 6. Случай а = е2/4 представлен на рис. 7. П р и м е р 7. (dimу = 1). Рассмотрим систему х = 1, у — 0, 5z — 2xz + а — у.

Считая а параметром, можно получить разные траектории-утки х = 1, у = уа, z = 0, проходящие через единственную точку склейки х = 0, у = уо, z = 0 на кривой срыва х = 0 медленной поверхности

2xz + уо ~ У - 0 при а - yQ.

Если считать, что а — функция переменной у, то при а = у получим интегральное многообразие z = 0 размерности 2, устойчивое при х < 0 и неустойчивое при х > 0.

Пример8. В системе x = х2 + z2, £z = xz прямая линия г = 0 играет роль интегрального многообразия со сменой устойчивости на плоскости. Следует отметить, что эта линия представляет инвариантное многообразие, но не является траекторией-уткой потому, что не является траекторией, она состоит из трех траекторий: х < 0, г = 0; х = 0, г = 0 и х > 0, z = 0.

П р и м е р 9. Эта же прямая линия z = 0 является траекторией-уткой системы

X = 1, £Z = Z Sin X со счетным множеством точек смены устойчивости. ПримерЮ. Рассмотрим следующую систему х = 1, у = 0, yeRn, ez = xz + а{у, е) + р(у) + хq{y) + х1г{у).

Здесь р, q, г — непрерывные скалярные функции векторной переменной у. Полагая а(у,е) = -р(у) - ег(у), получим h = ~я(у) ~ xr(y).

Пусть у = x{u)i и £ Rni ~ некоторая поверхность, тогда система уравнений х = 1, у = 0, yeRn, = xz p{x{u)) - ег(хЫ) + р{у) + xq(y) + x2r(y) имеет многомерную цилиндрическую медленную интегральную поверхность = ~я(х(и)) - ат(х(«)), каждая образующая которой есть траектория-утка. Приведем многомерный аналог Примера 3. ПримерП. Рассмотрим систему вида x = z,

Уг — Z, Í — 1, . . . , П, п ez = х2 + Vi + z1 — а2г=1

Непосредственная проверка позволяет убедиться в том, что многомерная сфера х + е/2)2 + £ (и + е/2)2 + г2 = а2 г=1 представляет собой медленное интегральное многообразие, одна часть которого {г < 0) устойчива, а другая {г > 0) неустойчива. Этот объект существует при любом

В качестве иллюстрации смены устойчивости медленного интегрального многообразия можно рассмотреть задачу управления с большим коэффициентом усиления. Рассмотрим систему z = f(x) + В(х)и, я(0) = х0, где х € -R", и € Rr, t > 0, векторная функция / и матричная функция В достаточно гладкие и ограниченные. Вектор управления и выбирается так, чтобы перевести вектор х из начального состояния х = xq в достаточно малую окрестность гладкой га-мерной поверхности S(x) = 0. Для решения этой задачи обычно используется управление и = ~^KS(x), где К — постоянная матрица размерности г х т, е — малый положительный параметр [202].

Предположим, что матричный коэффициент К может быть выбран так, что матрица

N(x, t) = -GBK устойчива и имеет ограниченную обратную матрицу —N~l(x,t). Введем новую переменную у — S(x), тогда векторы х и у удовлетворяют системе ex — ef(x) — В(х)Ку, х(0) = хо, еу = eG{x)f{x) - G{x)B{x)Ky, у(0) = у0 = S(x0), где G(x) = dS/dx. Вырожденная алгебраическая система (е = 0) имеет гг-параметрическое семейство решений х = v, у = 0.

Роль А играет вырожденная матрица

О -ВХК О -N

Последняя сингулярно возмущенная дифференциальная система имеет n-мерное медленное интегральное многообразие x = v,

У = zN~1(v,t)G(v)f(v,t) + 0(е2). Движение по нему осуществляется согласно уравнению v = [I- Br(v, t)KN~l{v, t)G{v)]f{v, t) + 0(e2).

Введем новые переменные x = v + Bi(v, t)KN~l(v, t)z, y = z + eN-l(x,t)G(x)f(x,t). Тогда для v, z получим уравнения v — (I — BxKN~lG) f + 0(e), ez=-(N + 0(e))z. Ясно, что имеют место представления х = v + 0(£~vt/e), у = е<р(ь,г,е) + 0{е-^£), <р — N~lGf + О(е) при v > 0 для всех t > 0. Таким образом, при данном законе управления и — —~KS(x), £ траектория системы быстро притягивается в е-окрестность S(x) = 0. Очевидно, что модифицированное управление и = [S(x) - eN-1(x,t)G(x)f(x,t)] , 22 с устойчивой матрицей

-N(x,t) = -GBK более предпочтительно, так как приводит траекторию за время At в (-uMe- 1 -окрестность многообразия S(x) — 0. При таком управлении для переменной х получаем уравнение ех = е [I - B{x,t)K{GBK)~1G{x)] f{x,t) - Bl(x,t)KS(x), и для переменной у = S(x) — уравнения еу - -N(x,t)y, у = 0 , и > 0, t>0, е 0.

Нарушение условия устойчивости матрицы N(x,t) на некоторой подмножестве поверхности S(x) = 0 порождает серьезные трудности и может привести к существованию медленного интегрального многообразия со сменой устойчивости.

П р и м е р 12. Рассмотрим систему управления у = —х — иу + и, с S : х2 + у2 — 1 = 0. В этом случае N = 2Ку, где К — скаляр. Использование модифицированного закона управления и = e~1K(S - evK~ly) приводит систему к виду еу = —х — е1Кг, ez = -2 Ke~lyz при S — г, то есть поверхность описывается уравнением 2 = 0. Ясно, что система х = у, еу = -х - Kzi, e¿ = —2 Кугг где = ег, К < 0 имеет интегральное многообразие со сменой устойчивости, описываемое уравнением г\ — 0. Следует отметить, что управляемая система х = у, еу = -х- £~1К(х2 + у2 - 1) имеет траекторию-утку х2 + у2 = 1.

П р и м е р 13. Рассмотрим простейшую модель лазера. Нелинейное уравнение первого порядка у = кур + А(г)у +6, 0 < е < 1, 6 < 0, где Л = ±1,р = 2,3и управляющий параметр

А(*) = Л0 + Л0 < 0, является типичной моделью лазеров с насыщаемой абсорбцией [134]. И е, и 6 являются малыми величинами, а Ао = 0(1). Заметим, что это уравнение может быть представлено в виде

А = е, у = кур + Ху + 5. (5)

При 5 = 0 эта система имеет траекторию-утку у = 0. В физическом смысле эта траектория моделирует критический режим: при р = 2 она соответствует химической реакции, разделяющей области быстрых и медленных режимов; при р = 3, она разделяет два типа медленных режимов; в случае р = 3, к = 1 траектория-утка описывает единственный медленный режим. На рис. 8, 9 приводятся медленные кривые системы (5) для этих случаев, траектории-утки, а также траектории системы, отвечающие разным начальным данным. Эти траектории содержат устойчиво-неустойчивый участок медленного движения вблизи траектории-утки у — 0, следовательно они являются локальными траекториями-утками. Таким образом глобальная траектория-утка у — 0 системы играет роль организующего начала при 6 — 0. к - +1; р - 2; *сНа - 1; ер» » 0.1 иМс ■ ипшлЫт штЬш

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 ОятЬёа

-1$ -10 -5 0 5 10 15 20 |»(лЬ4я к»-1; р ■ 2; 4ек> - I; ер*-0.1

Рис. 8: Медленная кривая и траектории системы (5) в случае р в к ь 4 2 а

-г

-I

-я 10

10 и ь 4 г о -I -4 -Ь -И ■10

Перейдем к описанию работы.

Первая глава диссертации посвящена развитию теории траекторий-уток сингулярно возмущенных систем. В первом параграфе вводятся основные понятия и определения объектов исследования. Доказаны новые теоремы о существовании и асимптотических разложениях траекторий-уток многомерных систем дифференциальных уравнений вида

1.1)—(1.3). Разработан метод приближенного построения таких траекторий. Второй параграф посвящен случаю одной быстрой переменной (dim. у = п, dimz = 1) и более сложной зависимости правых частей системы от параметра а. В третьем параграфе рассмотрен случай векторной быстрой переменной. В качестве иллюстрации рассмотрены модели динамической теории лазеров.

В конкретных задачах обычно задано начальное условие, причем начальная точка лежит в некоторой окрестности устойчивого интегрального многообразия. В четвертом параграфе данной главы описан способ вычисления начального условия траектории-утки при помощи интегральных многообразий быстрых движений.

Вторая глава содержит приложения полученных в первой главе диссертации математических результатов к моделированию критических явлений в химических системах. В первом параграфе проведены результаты качественного и численного анализа модели горения газосмеси в инертной запыленной или пористой среде. Рассматриваются два случая: случай автокаталитической реакции горения и случай реакции первого порядка. Установлено, что в зависимости от соотношений между параметрами, характеризующими физические свойства реакционной и инертной фаз, в химической системе может наблюдаться либо режим медленного выгорания, либо режим самовоспламенения, когда температура газовой смеси резко повышается при почти неизменном значении концентрации. Переходному (критическому) режиму соответствует траектория-утка дифференциальной системы. При этом реакция горения будет протекать максимально долго, не срываясь ни в режим самовоспламенения, ни переходя к медленному режиму, что может являться целью технологического процесса. Получены асимптотические разложения значения параметра и соответствующей этому значению траектории-утки, моделирующей критический режим.

Во втором и третьем параграфах исследованы трех и двухфазная модели самовоспламенения изоляции. На основе анализа медленного интегрального многообразия системы, подтвержденного численными экспериментами, выделены основные типы химических реакций, описаны критические режимы, разграничивающие области взрывных и безопасных режимов. Показано, что эти критические режимы моделируются траекториями-утками. Найдены критические условия самовоспламенения в виде асимптотических разложений дополнительного параметра дифференциальной системы, моделирующей процесс.

В четвертом параграфе исследуются условия бифуркации периодического решения и устойчивости цикла для сингулярно возмущенных систем. В качестве объекта приложения полученных результатов рассмотрена двухмерная модель релаксационных колебаний в каталитическом реакторе. Найдены бифуркационное значение параметра, при котором в рассматриваемой системе наблюдается бифуркация Андронова с так называемой мягкой потерей устойчивости, и значение параметра, при котором система имеет цикл-утку. Методами асимптотического и численного анализа показано, что "уточное" значение параметра может рассматриваться как граница безопасного протекания процесса. Установлена устойчивость цикла, а также получены условия, при которых данный цикл является траекторией-уткой системы.

Пятый параграф посвящен изучению модели трехмерного автока-талатора. Методами качественного и численного исследования модели определена динамика химической системы в зависимости от значения дополнительного параметра. Для рассматриваемой модели выделен новый тип безопасных режимов, которые моделируются траекториями-утками. Получены условия реализуемости этого режима.

В третьей главе исследуются вопросы существования и свойств интегральных многообразий со сменой устойчивости. Показано, что этот новый математический объект может быть рассмотрен как естественный многомерный аналог траекторий-уток. В работе показано, что задачу о существовании траекторий-уток можно рассматривать как частный случай задачи о "склеивании" устойчивых и неустойчивых интегральных поверхностей, а не как специфическую задачу теории сингулярных возмущений. Поэтому первый параграф данной главы посвящен системам без сингулярных возмущений. Во втором параграфе доказана теорема существования интегральных многообразий со сменой устойчивости сингулярно возмущенных систем уравнений (1.1)-(1.3) в случае одной быстрой переменной (га = 0). В качестве примера рассмотрена модель полупроводникового лазера.

В третьем параграфе изучаются дифференциальные свойства медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости. В четвертом параграфе теоремы о существовании и дифференциальных свойствах медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости рассматриваются для случая векторной быстрой переменной.

Четвертая глава диссертации посвящена анализу моделей химических систем с использованием аппарата медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости. Отмечено, что при моделировании критических режимов построение интегральной поверхности со сменой устойчивости позволяет учитывать малые возмущения в химических системах, а также решать эту задачу для моделей с нефиксированными начальными данными.

В первом параграфе задача построения интегральной поверхности со сменой устойчивости решается для двухфазной модели горения газа в инертной среде в случае автокаталитической реакции. Показано, что такая поверхность целиком состоит из траекторий-уток, моделирующих критические режимы для различных начальных данных. Сделанные выводы подтверждаются численным анализом модели.

Во втором параграфе аналогичная задача рассматривается для случая реакции первого порядка. Рассматривая задачу построения интегральной поверхности со сменой устойчивости как специальный случай задачи управления с частичной обратной связью, управление процессом горения осуществляется двумя способами: регулированием теплоотвода во внешнюю среду и уровнем запыленности в реакционном сосуде.

В третьем параграфе интегральная поверхность со сменой устойчивости построена для модели автокаталатора. Установлено, что в результате построения медленного интегрального многообразия со сменой устойчивости в рассматриваемой системе возникает автоколебательный процесс, который моделируется траекторией-уткой. В параграфе приводятся результаты численного исследования системы.

В заключение главы рассмотрены две специальные задачи теории горения: задача определения максимальной температуры безопасного горения и исследование бегущих волн горения.

Исследование всех рассмотренных в работе моделей проводилось методами асимптотического и численного анализа. При проведении численных экспериментов приходилось значительно модифицировать существующие численные методы в связи с разнотемповостью переменных и исключительно высокой чувствительностью по отношению к изменениям управляющих параметров. Результаты асимптотического анализа моделей хорошо согласуются с данными численных экспериментов. Работа проиллюстрирована траекториями и температурно-временными характеристиками основных типов режимов химических реакций в рассмотренных математических моделях химических систем.

Цель работы. Разработка математического аппарата для исследования динамических моделей с сингулярными возмущениями, в которых может наблюдаться явление смены устойчивости медленных режимов, и применение полученных математических результатов для исследования моделей химических систем.

Методы исследования. В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального анализа, численные методы исследования сложных явлений нелинейной динамики, идеи теории сингулярных возмущений и интегральных многообразий.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

В работе вводится новый математический объект — интегральные многообразия со сменой устойчивости, доказаны теоремы о существовании и свойствах таких многообразий. Этот объект может быть рассмотрен как естественный многомерный аналог траекторий-уток, развитию теории которых также уделяется значительное внимание в работе. Доказаны новые теоремы о существовании и свойствах траекторий-уток многомерных систем сингулярно возмущенных уравнений.

Проведено численно-аналитическое исследование ряда математических моделей химических систем: моделей лазеров, каталитических реакторов и теплового взрыва. Изучена динамика химических процессов, описаны основные режимы химических реакций, найдены критические условия самовоспламенения. Установлен новый тип бегущей волны, соответствующей одномерному медленному интегральному многообразию со сменой устойчивости.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет и теоретическое, и практическое значение.

Полученные в диссертации теоремы могут рассматриваться как основа общей теории нелинейных динамических моделей с быстрыми и медленными переменными и со сменой устойчивости медленных режимов.

Разработанные в диссертации методы приближенного построения асимптотических разложений медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости могут быть использованы для моделирования и расчета критических явлений различной природы, так как имеют универсальный характер.

Результаты численно-аналитического исследования моделей химических систем, рассмотренных в диссертации, имеют практическое значение, так как могут быть использованы для определения динамики процесса в химической системе при заданных начальных условиях. Найденные критические условия самовоспламенения позволяют обеспечить безопасность протекания химических процессов разной природы.

Диссертационная работа содержит результаты, полученные в ходе выполнения научных исследований в рамках международных и отечественных грантов: гранта 96-1173 международной программы INTAS в области химии, тема: "Combustion processes in porous medium as a base for new industrial technologies"; гранта УР 16/ 93-95 по программе "Университеты России" раздел "Разработка фундаментальных исследований по математике и механике", тема: "Траектории-утки в задачах химической кинетики"; гранта РФФИ 94.01-00175 раздел "Математика. Информатика. Механика", тема: "Понижение размерности задач управления нелинейными динамическими системами с разномасштабными переменными"; программы "Динамика" Минобразования РФ; гранта для молодых ученых с участием зарубежных партнеров ЭОО-2.0-7, тема: "Моделирование критических явлений в задачах теории горения".

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международных конгрессах по индустриальной и прикладной математике ICIAM-95 (г. Гамбург, Германия, 1995) и ICIAM-99 (г. Эдинбург, Великобритания, 1999), Всемирном конгрессе по нелинейному анализу (г. Афины, Греция, 1996), Всемирных конгрессах по моделированию и прикладной математике 15th IMACS Word Congress (г. Берлин, Германия, 1997) и IMACS-2000 Word Congress (г. Лозанна, Швейцария, 2000), III Европейской конференции Euromech-97 (г. Геттинген, Германия, 1997), Международном конгрессе математиков ICM-98 (г. Берлин, Германия, 1998), IV-VII Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (г. Москва, 1996, 1998, 2000, 2002), Международной конференции, посвященной 90-летию Л. С. Понтрягина (г. Москва, 1998), Международном семинаре "Asymptotics for ODE: Applications and Implantations" (Марсель - Лумини, Франция, 1998), Международной конференции "Физические методы для исследования катализа на молекулярном уровне", посвященной памяти академика К. И. Замараева (г. Новосибирск, 1999), Международных конференциях "Математика. Компьютер. Образование" (Москва - Дубна - Пущино, 1995, 1996, 1997, 2000), конференции, посвященной памяти академика А. Н. Тихонова "Математическая физика, математическое моделирование и приближенные методы" (Москва - Обнинск, 2000), на XII Международном симпозиуме по горению и взрыву (г. Черноголовка, 2000), Международной конференции "Математическое моделирование" (г. Самара, 2001), Международной конференции, посвященной 100-летию И. Г. Петровского (г. Москва, 2001), Международном семинаре по релаксационным колебаниям и гистерезису (г. Корк, Ирландия, 2002), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова "Колмогоров и современная математика" (г. Москва, 2003), конференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (г. Воронеж, 2003) и ряде других конференций. Результаты обсуждались на научных семинарах Университета Гумбольдта, Свободного Университета Берлина и Института Вейер-штрасса прикладного анализа и стохастики (г. Берлин, Германия, 1998, 2001, 2002, 2003, руководители семинаров — проф. Б. Фидлер (В. Fiedler), доктор К. Р. Шнайдер (К. R. Schneider), семинаре в Католическом Университете под руководством проф. Жана Мовена (Jean Mawhin) (г. Jly-вен, Бельгия, 1998), семинарах по прикладному анализу факультета математики и прикладных наук Университета Бен-Гуриона (г. Беер-Шева, Израиль, 1998, 2000), семинаре по нелинейному и прикладному анализу Института нелинейных наук Национального Университета Ирландии (г. Корк, 2002), семинаре по сингулярным возмущениям кафедры математики физического факультета МГУ (г. Москва, 2001, руководители семинара — проф. В. Ф. Бутузов и проф. А. Б. Васильева), семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ (г. Москва, 2002, руководители семинара — проф. Н. В. Миллионщиков и проф. H. X. Розов), семинаре "Будущее прикладной математики" в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН (г. Москва, 2003, руководители семинара — член-корр. РАН С. П. Курдюмов, проф. Г. Г. Малинецкий).

Личный вклад и публикации. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. По теме диссертации опубликовано 68 работ. Список основных публикаций приведен в списке литературы.

Основные результаты диссертации.

1. Доказаны новые теоремы о существовании и асимптотических разложениях траекторий-уток многомерных систем дифференциальных уравнений. Разработан метод приближенного построения таких траекторий. Описаны траектории-утки в динамической модели одномодового лазера.

2. Введен новый математический объект — интегральное многообразие со сменой устойчивости. Доказаны теоремы о существовании и свойствах таких многообразий. Разработан алгоритм приближенного построения медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости. Полученные математические результаты проиллюстрированы на модели полупроводникового лазера, описываемой уравнениями Ленга-Кобаяши (Ьаг^-КоЬауавЫ).

3. Получены достаточные условия устойчивости периодического решения при бифуркации Андронова для некоторого класса сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти результаты применены для исследования модели концентрационных колебаний в каталитическом реакторе.

4. Исследованы двух и трехфазные модели самовоспламенения горючего вещества в пористом изоляционном материале. Выделены основные типы режимов химической реакции, описана динамика химического процесса при различных начальных данных. Установлено, что критические режимы, разделяющие области взрывных и невзрывных режимов, моделируются траекториями-утками. Найдены критические условия самовоспламенения в виде асимптотических разложений управляющих параметров по целым степеням малого параметра. Результаты асимптотического анализа подтверждаются данными численных экспериментов.

5. Изучены модели горения разреженной газосмеси, помещенной в инертную пористую или запыленную среду в случае автокаталитической реакции и реакции первого порядка. Описана динамика процесса горения для различных начальных состояний химической системы. Показано, что задача выбора характеристик процесса (теплоотвода, уровня запыленности и т. д.) может быть рассмотрена как специальный случай задачи управления с неполной обратной связью. При этом, одной из целей управления является обеспечение безопасного протекания процесса горения. На основе анализа медленного интегрального многообразия определены критические условия теплового взрыва, численный анализ хорошо согласуется с качественным исследованием моделей. Построены медленные интегральные поверхности со сменой устойчивости, состоящие из траекторий, моделирующих критические режимы химической реакции. Получена оценка максимальной температуры безопасного режима горения.

6. Проведено численно-аналитическое исследование модели трехмерного автокаталатора. Изучена динамика химического процесса для различных начальных состояний химической системы. Использование медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости позволило определить условия безопасного протекания химической реакции.

7. На примере неадиабатической модели автокаталитического горения с учетом расхода реагирующего вещества описан новый тип бегущей волны. Установлено, что в данной модели бегущая волна нового типа играет роль разделяющего решения, то есть разделяет волны медленного выгорания газа и волны самовоспламенения.

8. Разработаны алгоритмы и написаны программы численного исследования медленных интегральных поверхностей со сменой устойчивости и траекторий-уток, численного моделирования критических явлений в химических системах. Результаты численных экспериментов подтверждают данные асимптотического анализа рассмотренных моделей.

Заключение

В работе проведено исследование интегральных многообразий со сменой устойчивости систем обыкновенных нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и полученные результаты применены к моделированию критических явлений в химических системах.

1. Развита теория траекторий-уток. Доказаны новые теоремы о существовании и асимптотических разложениях траекторий-уток многомерных систем дифференциальных уравнений.

2. Разработан алгоритм приближенного построения траекторий-уток многомерных систем дифференциальных уравнений.

3. Описаны траектории-утки в динамической модели одномодового лазера.

4. Введен новый математический объект — интегральное многообразие со сменой устойчивости. Разработаны основы его теории в виде теорем о существовании и дифференциальных свойствах.

5. Предложен алгоритм приближенного построения медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости.

6. Описано медленное интегральное многообразие со сменой устойчивости в модели полупроводникового лазера.

7. Получены достаточные условия устойчивости периодического решения при бифуркации Андронова для некоторого класса сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

8. Проведено численно-аналитическое исследование модели концентрационных колебаний в каталитическом реакторе.

9. Исследованы двух и трехфазные модели самовоспламенения горючего вещества в пористом изоляционном материале. Выделены основные типы режимов химической реакции, описана динамика химического процесса. Найдены критические условия самовоспламенения.

10. Проведено численно-аналитическое исследование моделей горе

265 ния разреженной газосмеси, помещенной в инертную пористую или запыленную среду в случае автокаталитической реакции и реакции первого порядка. Описана динамика процесса горения для различных начальных состояний химической системы. Определены критические условия теплового взрыва. Построены медленные интегральные поверхности со сменой устойчивости, состоящие из траекторий, моделирующих критические режимы химической реакции.

11. Получена оценка максимальной температуры безопасного режима для модели автокаталитического горения с учетом расхода реагирующего вещества.

12. Проведено численно-аналитическое исследование модели трехмерного автокаталатора. Изучена динамика химического процесса для различных начальных состояний химической системы. С помощью медленных интегральных многообразий со сменой устойчивости определены условия безопасного протекания химической реакции.

13. Описан новый тип бегущей волны. Установлено, что в неадиабатической модели автокаталитического горения с учетом расхода реагирующего вещества бегущая волна нового типа играет роль разделяющего решения.

14. Разработаны алгоритмы и написаны программы численного исследования медленных интегральных поверхностей со сменой устойчивости и траекторий-уток, численного моделирования критических явлений в химических системах. Результаты численных экспериментов подтверждают данные асимптотического анализа рассмотренных моделей.

266

1. Амосов А. П. Об условии распространения горения за пределы очага воспламенения // Докл. АН СССР. 1978. Т. 243. № 3. С. 673-676.

2. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981.

3. Аносов Д. В. О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Ма-тем. сб. 1960. Т. 50. № 3. 299-334.

4. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.

5. Арнольд В. И., Афраймовин В. С., Илъяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-218.

6. Бабугиок В. И., Гольдштейн В. М., Романов А. С., Бабкин В, С. Тепловое воспламенение в инертной пористой среде // Физика горения и взрыва. 1992. Т. 28. № 4. С. 3-10.

7. Барис Я. С. Об устойчивости решения нерегулярно возмущенной системы // Укр. мат. журн. 1975. Т. 27. № 6. С. 723-728.267

8. Барис Я. С., Фодчук В. И. Исследование ограниченных решений нелинейных нерегулярно возмущенных систем методом интегральных многообразий // Укр. мат. журн. 1970. Т. 22. № 1. С. 3-11.

9. Бобкова А. С., Колесов А. Ю., Розов Н. X. Проблема "выживания уток" в трехмерных сингулярно возмущенных системах с двумя медленными переменными // Математические заметки. 2002. Т. 71. Вып. 6. С. 818-831.

10. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. — Киев: Изд-во АН УССР, 1945.

11. Боголюбов Н. Н., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 4-е изд. — М: Наука, 1974.

12. Бутузов В. Ф., Калачев Л. В. Асимптотика решений задачи горения в случае автокаталитической реакции // Вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 5. С. 683-694.

13. Быков В. И. Моделирование критических явлений в химической кинетике. — М: Наука, 1988.

14. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. — М: Мир, 1967.

15. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973.

16. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высш. шк., 1990.

17. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. — Изд-во МГУ, 1978.

18. Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления // Итоги науки и техники. Серия "Мат. анализ". Т. 20. М.: ВИНИТИ, 1982. С. 3-78.

19. Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. X. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Матем. сб. 1986. Т. 130. № 4. С. 488-499.268

20. Вильяме Ф. А. Теория горения. — М.: Наука, 1971.

21. Вигиик М. И., Люстперник Л. А. Об асимптотике решения краевых задач для квазилинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121. № 5. С. 778-781.

22. Волосов В. М. Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка с малым параметром при старшей производной // Матем. сб. 1952. Т. 30 (72). № 2. 245-270.

23. Волосов В. М. "Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1962. Т. 17. № 6. 3-126.

24. Вольпертп А. И., Худяев С. И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. — М.: Наука, 1975.

25. Воропаева Н. В., Соболев В. А. Декомпозиция многотемповых систем. Самара: CMC, 2000.

26. Голъдштейн В. М., Соболев В. А. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем. — Новосибирск: Ин-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние, 1988.

27. Горбань А. И., Быков В. И., Яблонский Г. С. Очерки о химической релаксации. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1986.

28. Горелов Г. Н., Соболев В. А., Щепакина Е. А. Сингулярно возмущенные модели горения. — Самара: СамВен, 1999.

29. Григорьева Е. В., Кащенко С. А. Отображение Пуанкаре в моделях лазера с периодической модуляцией параметров // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 1. С. 16-22.

30. Дородницын А. А. Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля // ПММ. 1947. Т. 11. № 3, С. 313-328.269

31. Емельянов С. В., Коровин С. К., Мамедов И. Г. Метод квазирасщепления и его применение для синтеза систем автоматического управления // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286. № 2. С. 311-315.

32. Жаботинский А. М. Концентрационные автоколебания. — М: Наука, 1974.

33. Жаров М. И., Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. О некоторых специальных функциях и константах, возникающих в теории релаксационных колебаниях // Докл. АН СССР. 1988. Т. 261. № 6. С. 1292-1296.

34. Задирака К. В. О нелокальном интегральном многообразии нерегулярно возмущенной дифференциальной системы // Укр. мат. журн. 1965. Т. 17. № 1. С. 47-63.

35. Звонкин А. К., Шубин М. А. Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 1984. Т. 39. Вып. 2. С. 77-127.

36. Зельдович Я. Б., Баренблатт Г. И., Либрович В. Б., Махвиладзе Г. М. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980.

37. Змитренко Н. В., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Теория режимов с обострением в сжимаемых средах // Современные проблемы математики: Новейшие достижения. — М.: Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР, 1986. Т. 28. С. 3-94.

38. Иванова А. Н., Маганова Н. Е. О нелокальном характере поведения диссипативных структур // Журн. выч. матем. и матем. физики. 1984. Т. 24. № 8. С. 1217-1229.

39. Иванова А. Н., Тарнопольский Б. Л. Бифуркации неоднородных стационарных состояний в задаче о фазовом разделении бинарной полимерной смеси // Журн. выч. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. № 4. С. 653-659.

40. Иванова А. Н., Тарнопольский Б. Л., Фурман Г. А. Исследование автоколебаний скорости реакции гетерогенного окисления водорода в реакторе идеального смешения // Кинетика и катализ. 1983. Т. XXIV. Вып. 1. С. 122-129.270

41. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука, 1989.

42. Каримов С. Асимптотика решений некоторых классов дифференциальных уравнений с малым параметром при производной в случае смены устойчивости точки покоя в плоскости "быстрых" движений // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. № 10. С. 16981701.

43. Кащенко С. А. Асимптотика релаксационных колебаний в математической модели реакции Белоусова // Динамика биологических популяций: Межвуз. сб./ Горьк. ун-т, 1987. С. 51-55.

44. Кащенко С. А. Быстро осциллирующие бегущие волны в системах с малой диффузией // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. № 2. С. 254-262.

45. Кащенко С. А. Сложные установившиеся режимы в динамике многовидовых сообществ // Динамика биологических популяций: Межвуз. сб./ Горьк. ун-т, 1984. С. 30-46.

46. Климушев А. И., Красовский Н. Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных // ПММ. 1961, Т. 25. № 4. С. 680-694.

47. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г. Асимптотическое решение слабо нелинейной системы // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. Я5 6. С. 1008-1019.

48. Колебания и бегущие волны в химических системах: пер. с англ. / Под ред. Р. Фильда, М. Бургер. — М.: Мир, 1988.

49. Колесов А. Ю., Розов Н. X. Циклы-утки трехмерных релаксационных систем с одной быстрой и двумя медленными переменными // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 2. С. 180-184.

50. Кононенко Л. И., Соболев В. А. Асимптотические разложения медленных интегральных многообразий // Сиб. матем. журн. 1994. Т. 35. № 6. С. 1264-1278.271

51. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975.

52. Крейн С. Г., Чернышов К. И. Поведение решений общих линейных систем, мероморфно зависящих от малого параметра // Докл. АН СССР. 1981. Т. 260. № 3. С. 530-535.

53. Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г., Повещенко Ю. А., Попов Ю. П., Самарский А. А. Взаимодействие диссипативных тепловых структур в нелинейных средах // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251. X» 4. С. 836-839.

54. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.1. М.: Наука, 1981.

55. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. — М.: Мир, 1980.

56. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.- М.: Наука, 1977.

57. Мержанов А. Г., Барзыкин В. В., Абрамов В. Г. Теория теплового взрыва: от Н. Н. Семенова до наших дней // Хим. физ. 1996. Т. 15. № 6. С. 3-44.

58. Мержанов А. Г., Дубовицкий Ф. И. Квазистационарная теория теплового взрыва самоускоряющихся реакций // Журнал физической химии. 1960. Т. XXXIV. № 10. С. 2235-2244.

59. Мержанов А. Г., Дубовицкий Ф. И. Современное состояние теории теплового взрыва // Успехи химии. 1966. Т. 35. JV® 4. С. 656-683.

60. Мержанов А. Г., Зеликман Е. Г., Абрамов В. Г. Вырожденные режимы теплового взрыва // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180. № 3. С. 639-642.

61. Мержанов А. Г., Хайкин Б. И. Теория волн горения в гомогенных средах. — Черноголовка: Ин-т структурной макрокинетики РАН, 1992.

62. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. — М.: Наука, 1975.272

63. Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н. X. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. — М: Физматлит, 1995.

64. Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. — М.: Наука, 1975.

65. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1981.

66. Найфе А. X. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976.

67. Нейштадт А. И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 12. С. 2060-2067; Т. 24. № 2. С. 226-233.

68. Новожилов И. В. О применении асимптотических разложений теории дифференциальных уравнений с малым параметром при производных для исследования гироскопических систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1970. № 4. С. 50-51.

69. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1977.

70. Покровский А. Н. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений с малым параметром // Труды МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 99-118.

71. Покровский А. Н. 11 Стая "решений-" уток "сингулярно возмущенной системы 2-го порядка // Математическая физика: Межвуз. сб./ под ред. Матвеева Н. М. Ленинград. 1987. С. 77-81.

72. Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений с малым параметром // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 99-118.

73. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. — М.: Наука, 1987.

74. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. — М.: Физматлит, 2001.273

75. Саматов С. Н., Самборский С. Н. О предельных траекториях сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с двумерной плоскостью быстрых движений // Докл. АН УзССР. 1987. № 3. С. 13-15.

76. Самборский С. Н. Предельные траектории нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений // Докл. АН УССР. 1985. Сер. А. № 9. С. 22-25.

77. Самойленко А. М., Свищук М. Я. О расщеплении системы дифференциальных уравнений с медленно меняющейся фазой в окрестности асимптотически устойчивого инвариантного тора // Укр. ма-тем. журн. 1985. Т. 37. № 6. С. 751-756.

78. Семенов Н. Н. О некоторых проблемах химической кинетики проекционной способности. — М.: Изд-во АН СССР, 1959.

79. Семенов Н. Н. Цепные реакции. 2-е изд. — М: Наука, 1986.

80. Соболев В. А. Геометрия сингулярных возмущений в вырожденных случаях // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. К8 12. С. 75-94.

81. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Интегральные поверхности со сменой устойчивости и траектории-утки // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1997. Т. 1. № 3. С. 151-175.

82. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Моделирование процесса самовоспламенения в трехфазной среде // Межд. конфер. "Математическое моделирование". Самара, 13-16 июня 2001. Труды. С. 109-112.

83. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Самовоспламенение запыленных сред // Физика горения и взрыва. 1993. № 3. С. 133-136.

84. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Траектории-утки в одной задаче теории горения // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 9. С. 1175-1184.

85. Соболев В. А., Щепакина Е. А. Управление с большим коэффициентом усиления //IV Межд. семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва, 1998. Тез. докл. С. 114.274

86. Стпрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий. — М.: Наука, 1988.

87. Тодес О. М., Мелентъев П. В. Теория теплового взрыва // Журнал физической химии. 1939. Т. 13. Вып. 7. С. 52-58.

88. Франк-Каменецкий Д. А. Диффузия и теплоотдача в химической кинетике. — М.: Наука, 1967.

89. Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. — М.: Наука. Физматлит, 1999.

90. Хапаев М. М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. — М.: Высшая школа, 1988.

91. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. — М.: Мир, 1966.

92. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985.

93. Худяев С. И. Пороговые явления в нелинейных уравнениях. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

94. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. — М.: Мир, 1988.

95. Шишкова М. А. Рассмотрение одной системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Докл. АН СССР. 1973. Т. 209. № 3. С. 576-579.

96. Щепакина Е. А. Два вида смены устойчивости интегральных многообразий // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40. № 5. С. 713-716.

97. Щепакина Е. А. Интегральные многообразия, траектории-утки и тепловой взрыв // Вестник Самарского гос. университета. 1995. Спец. выпуск. С. 49-58.

98. Щепакина Е. А. Критические условия самовоспламенения в пористой среде //В кн.: XII симпозиум по горению и взрыву "Химическая физика процессов горения и взрыва". — Черноголовка: Ин-т проблем хим. физики РАН. 2000. Часть II. С. 63-65.275

99. Щепакина Е. А. Критические условия самовоспламенения в пористой среде. // Химическая физика. 2001. Т. 20. № 7. С. 3-9.

100. Щепакина Е. А. Математическое моделирование критических режимов в задачах химической кинетики // Тез. докл. Межд . кон-фер. "Математика. Компьютер. Образование". Москва. 1996. С. 150.

101. Щепакина Е. А. Математическое моделирование теплового взрыва в многофазных средах // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. № 1. С. 382-383.

102. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1999. Т. 3, № 3. С. 82-93.

103. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 11. С. 1574.

104. Щепакина Е. А. Медленные интегральные многообразия со сменой устойчивости в случае векторной быстрой переменной / / Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38. № 10. С. 1358-1364.

105. Щепакина Е. А. Медленные процессы со сменой устойчивости // Межд. конфер. "Математика. Компьютер. Образование ". Москва-Дубна, 24-29 января 2000. Тезисы. С. 368.

106. Щепакина Е. А. Периодические колебания в модели каталитического реактора // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1998. Т. 2, № 4. С. 108-116.

107. Щепакина Е. А. Сингулярно возмущенные модели горения в многофазных средах // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. Т. б . № 4 (16). С. 142-157.

108. Щепакина Е. А. Управление с неполной обратной связью в задачах теории горения // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления, тезисы докладов VII Международного семинара. Москва. ИПУ РАН. 2002. С. 58-59.

109. Щепакина Е. А. Условия безопасности воспламенения горючей жидкости в пористом изоляционном материале // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. 5. № 3 (11). С. 162-169.

110. Щетинина Е. В. Одна задача о смене устойчивости интегральных многообразий // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1999. Т. 3. № 3. С. 129-134.

111. Babushok V. I., Goldshtein V. M. Structure of the thermal explosion limit 11 Combust. Flame. 1988. Vol. 72. No. 2. P. 221-224.

112. Babushok V. I., Goldshtein V. M., Sobolev V. A. Critical condition for the thermal explosion with reactant consumption // Combust. Sci. and Tech. 1990. Vol. 70. P. 81-89.

113. Baer S. M., Erneux T. Singular Hopf bifurcation to relaxation oscillations. // SIAM J. of Applied Math. 1986. Vol. 46. P. 721-739.

114. Baer S. M., Erneux T. Singular Hopf bifurcation to relaxation oscillations. II // SIAM J. of Applied Math. 1992. Vol. 52. P. 16511664.

115. Benoit E. Systèmes lents-rapides dans R3 et leurs canards // Société Mathématique de France. Astérisque 109-110. 1983. P. 159-191.

116. Benoit E., Calot J. L., Diener F., Diener M. Chasse au canard // Collect. Math. 1980. Vol 31: 3.277

117. Berestycki H., Nikolaenko B., Scheurer B. Travelling wave solutions to combustion models and their singular limits // SIAM J. Math. Anal. 1985. Vol. 16. P. 1207.

118. Bestehorn M., Grigorieva E. B., Haken H., Kaschenko S. A. Order parameters for class-B lasers with long time delayed feedback / / Phys. D. 2000. Vol. 145. No. 1-2. P. 110-129.

119. Bonet C. Singular perturbation of relaxed periodic orbits //J. Diff. Equat. 1987. Vol. 66. No. 3. P. 301-338.

120. Braaksma B. Phantom ducks and models of excitability //J. Dyn. Diff. Eq. 1992. Vol. 4. P. 485-513.

121. Br0ns M., Bar-Eli K. Asymptotic analysis of canards in the EOE equations and the role of the inflection line // Proc. of London R. Soc. Ser. A. 1994. Vol. 445. P. 305-322.

122. Br0ns M., Bar-Eli K. Canard explosion and excitation in a model of the Belousov-Zhabotinsky reaction //J. Phys. Chem. 1991. Vol. 95. P. 8706-8713.

123. Buchmaster J. D., Ludford G. S. S. Theory of laminar flames. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1982.

124. Callot J.-L., Diener F., Diener M. Le probleme de la "chasse au canard"// C. R. Acad. Sei. Paris. Ser. 1. 1978. Vol. 286: 22. P. 10591061.

125. Diener M. Nessie et les canards. — Strasbourg: Publication IRMA, 1979.

126. Diener F., Diener M. Sept formules relatives aux canards // C. K. Acad. Sc. Paris. Ser. 1. 1983. Vol. 297. No. 1. P. 577-580.

127. Dumortier F., Roussarie R. Canard cycles and center manifolds // Mem. Am. Math. Soc. 1996. Vol. 577.

128. Eckhaus W. Relaxation oscillations including a standart chase on French ducks // Lect. Notes in Math. 1983. Vol. 985. P. 449-494.278

129. Erneux T., Mandel P. Imperfect bifurcation with a slowly-varying control parameter // SIAM J. Appl. Math. 1986. Vol. 46. No. 1. P. 1-15.

130. Fenichel N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations 11 J. Diff. Eq. 1979. Vol. 31. P. 53-98.

131. Fife P. C., Nikolaenko B. The singular perturbation approach to flame theory with chain and competing reactions. Ordinary and Partial Differential Equations / W. N. Everitt and B. D. Sleeman, eds. // Lect. Notes in Math. 1982. Vol. 964. P. 232-250.

132. Freire E., Gamero E., Rodriguez-Luis A. J. First-order approximation for canard periodic orbits in a van der Pol electronic oscillator // Appl. Math. Let. 1999. Vol. 12. P. 73-78.

133. Goldfarb I., Goldshtein V., Kuzmenko G. On the thermal runaway in solid foams // HTD-352. Proc. of ASME Heat Transfer Division. Dallas, USA. 1997. Vol. 2. P. 169-177.

134. Gol'dstein V., Mclnerney J., Shchepakina E., Sobolev V. Slow/fast models of laser and chemical systems. Report 01-008. June, 2001. — Cork, Ireland: Institute for Nonlinear Science, 2001.

135. Gol'dshtein V. M., Sobolev V. A., Yablonskii G. S. Relaxation self-oscillations in chemical kinetics: a model, conditions for realization // Chem. Eng. Sci. 1986. Vol. 41. P. 2761-2766.

136. Gol'dshtein V., Zinoviev A., Sobolev V., Shchepakina E. Criterion for thermal explosion with reactant consumption in a dusty gas // Proc. of London R. Soc. Ser. A. 1996. Vol. 452. P. 2103-2119.

137. Gorelov G. N., Sobolev V. A. Duck-trajectories in a thermal explosion problem // Appl. Math. Lett. 1992. Vol. 5. No. 6. P. 3-6.

138. Gorelov G. N., Sobolev V. A. Mathematical modeling of critical phenomena in thermal explosion theory // Combust. Flame. 1991. Vol. 87. P. 203-210.

139. Grasman J., Wentzel J. J. Co-existence of a limit cycle and an equilibrium in Kaldor's business cycle model and its consequences // J. of Economic Behavior and Organization. 1994. Vol. 24. P. 369-377.279

140. Gray B. F. Critical behaviour in chemical reacting systems: 2. An exactly soluble model // Combust. Flame. 1973. Vol. 21. P. 317-325.

141. Gu Z-M, Nefedov N. N., O'Malley R. E., Jr. On singular singularly perturbed initial value problems // SIAM J. Appl. Math. 1989. Vol. 49. No. 1. P. 1-25.

142. Guckenheimer J., Hoffman K., Weckesser W. Numerical computation of canards // Int. J. Bif. Chaos. 2000. Vol. 10. P. 2669-2687.

143. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems and bifurcations of vector fields / in Appl. Math. Sci. Vol. 42 — New York: Springer-Verlag, 1983.

144. Hale J. Ordinary differential equations. — New York: Wiley Interscience, 1969.

145. Hale J., Stokes A. Behavior of solutions near integral manifolds // Arch. Ration Mech. and Anal. 1960. Vol. 6. No. 2. P. 133-170.

146. Huet G., Porta P. A., Hegarty S. P., Mclnerney J. G., Holland F. A low-dimensional dynamical system to describe low-frequency fluctuations in a semiconductor laser with optical feedback // Optics Communications. 2000. Vol. 180. P. 339-344.

147. Kakiuchi N., Tchizawa K. On an explicit duck solution and delay in the Fitzhugh-Nagumo equation // J. Diff. Eq. 1997. Vol. 141. P. 327-339.

148. Kassoy D. R., Linan A. The influence of reactant consumption on the critical condition for homogeneous thermal explosion // Qrt. J. Mech. Appl. 1978. Vol. 31. P. 99-112.

149. Kelley A. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds // J. Diff. Equat. 1967. Vol. 4. P. 546-570.

150. Knobloch H.-W., Aulbach B. Singular perturbations and integral manifolds // J. Math. Sci. 1984. Vol. 18. No. 5. P. 415-424.

151. Kokotovic P. V., Khalil H. K., O'Reily J. Singular perturbations methods in control. — Analysis and design. — New York: Academic Press, 1986.280

152. Krupa M., Szmolyan P. Relaxation oscillation and canard solution. // J. Diff. Eq. 2001. Vol. 174. P. 312-368.

153. Lacey A. A. Critical behavior of homogeneous reactant systems with large activation energy // Int. J. Eng. Sci. 1983. Vol. 21. P. 503-509.

154. Lang R.; Kobayashi K. // IEEE J. Quantum Electron. 1980. Vol. QE-16, P. 347-355.

155. Li H., Ye J., Mclnerney J. G. // IEEE J. Quantum Electron. 1993. Vol. QE-29. P. 2421-2432.

156. Mazzotti M., Morbidelli M., Seravalle G. Bifurcation analysis of the Oregonator model in the 3-D space bromate/malonic acid/stoichiometric coefficient //J. Phys. Chem. 1995. Vol. 99. P. 45014511.

157. Mcintosh A. C., Bains M., Crocombe W., Griffiths J. F. Autoignition of combustible fluids in porous insulation materials // Combust. Flame. 1994. Vol. 99. P. 541-550.

158. Mcintosh A. C., Griffiths J. F. On the thermal runaway of combustible fluids in lagging material //J. of Applied Math. 1995. Vol. 54. P. 83-96.

159. Milik A., Szmolyan P., Loffelmann H., Groller E. Geometry of mixed-mode oscillations in the 3-D autocatalator // Int. J. Bif. Chaos. 1998. Vol. 8. No. 3. P. 505-519.

160. Moehlis J. Canards in a surface oxidation reaction //J. Nonlinear Sci. 2002. Vol. 12. P. 319-345.

161. Moerk J., Tromborg B. // IEEE Phot. Tech. Lett. 1990. Vol. 2. P. 21-23.

162. Nefedov N. N., Schneider K. R. On immediate-delayed exchange of stabilities and periodic forced canards. Preprint No. 872. — Berlin: WIAS, 2003.

163. Neishtadt A. I., Sidorenko V. V. Stability loss delay in a Ziegler system // J. Appl. Maths Mechs. 1997. Vol. 61. No. 1. P. 15-25.281

164. O'Malley R. E., Jr. Introduction to singular perturbations. — New York: Academic Press, 1974.

165. Peng В., Gaspar V., Showalter K. False bifurcations in chemical systems: Canards // Phil. Trans. R. Soc. bond. Ser. A. 1991. Vol. 337. P. 275-289.

166. Petrov V., Scott S. K., Showalter K. Mixed-mode oscillations in chemical systems // Journal of Chemical Physics. 1992. Vol. 97. P. 6191-6198.

167. Schneider К. A note on the existence of periodic travelling wave solutions with large periods in generalized reaction-diffusion systems. // Z. Angew. Math. Phys. 1983. Vol. 34. P. 236-240.

168. Schneider K. R., Shchepakina E. A. Maximal temperature of safe combustion in case of an autocatalytic reaction. Preprint No. 890. — Berlin: WIAS, 2003.

169. Schneider K., Shchepakina E., Sobolev V. A new type of travelling wave solutions. Preprint No. 694. — Berlin: WIAS, 2001.

170. Schneider K., Shchepakina E., Sobolev V. New type of travelling wave solutions // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2003. Vol. 26. P. 1349-1361.

171. Shchepakina E. Attracting/repelling invariant manifolds //VI Межд. семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва, Июнь 2000. Тезисы докл. С. 72.

172. Shchepakina Е. Black swans and canards // 3rd Europ. Congress for Mathematics 10-14 July 2000. Barcelona. Book of Abstr. Poster 574.

173. Shchepakina E. A. Black swans and canards in applied problems. Preprint. — Israel: Ben Gurion University of the Negev, 1998.

174. Shchepakina E. Black swans and canards in self-ignition problem // Nonlinear Analysis: Real Word Applications. 2003. Vol. 4. P. 45-50.

175. Shchepakina E. Canards and black swans in chemical kinetics models // V Intern. Congress on Math. Modelling. Dubna, 30.09-06.10 2002. Book of Abstr. P. 220.282

176. Shchepakina E. Canards and black swans in combustion // ICIAM 99, the Forth Intern. Congress on Industrial and Applied Math. Book of Abstr. Edinburgh, 5-9 July, 1999. P. 169.

177. Shchepakina E. Canards in mathematical combustion // Intern. Congress of Mathematicians ICM-2002. August 20-28, 2002, Beijing.

178. Shchepakina E. Duck-trajectories in combustion problems // International Conference of Mathematicians. Berlin, August 18-27, 1998. Abstracts of Short Comm. and Poster Sessions. P. 332.

179. Shchepakina E. A. Modeling of critical phenomena in the problems of thermal explosion for porous mediums // International Scientific and Technological Conference "Current Problems of Fundamental Sciences": Reports. Moscow, 1994. Vol. 1.1. P. 125-129.

180. Shchepakina E., Shchetinina E., Sobolev V. Scenario of loss stability in Ziegler system // V Intern. Congress on Math. Modelling. Dubna, 30.09-06.10 2002. Book of Abstr. P. 34.

181. Shchepakina E., Shchetinina E., Sobolev V. Loss of stability scenario in the Ziegler system. Preprint 07/2003. March 2003. — Cork: University College Cork National University of Ireland. Boole Centre for Research in Informatics, 2003.

182. Shchepakina E., Sobolev V. Attracting/repelling invariant manifolds // Stability and Control: Theory and Applications. 2000. Vol. 3. No. 3. P. 263-274.

183. Shchepakina E., Sobolev V. Bifurcations of slow integral manifolds // Intern. Conf. "Differential Equations and Related Topics" ded. to the 100th Ann. of I.G. Petrovskii. Moscow, 22-27 May 2001. Book of Abstracts. P. 47.

184. Shchepakina E., Sobolev V. Exchange of stability of slow regimes in chemical systems. Report 01-003. March 2001. Cork, Ireland: Institute for Nonlinear Science, 2001.

185. Shchepakina E., Sobolev V. Integral manifolds, canards and black swans. // Nonlinear Analysis. 2001. Vol. 44. P. 897-908.283

186. Shchepakina E., Sobolev V. Modelling of critical phenomena in autocatalytic combustion // Intern. Conference "Kolmogorov and Contemporary Mathematics". Moscow, June. 16-21, 2003. Abstracts. P. 87.

187. Shchepakina E., Sobolev V. Slow integral manifolds of variable stability in chemical kinetics // Межд. Конф., посвящен. 90-летию Л. С. Понтрягина. Москва, 31 авг. 6 сент. 1998. Тезисы. Дифференциальные уравнения. С. 102-104.

188. Shchepakina Е., Sobolev V. Slow regimes of variable stability in chemical systems // IMACS-2000. Lausanne, August 2000. CD. 125/13.

189. Shchepakina E. A., Sobolev V. A. Standard Cease on black swans and canards. Preprint No. 426. — Berlin: WeierstraiJ-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik, 1998.

190. Sivashinsky G. I. On a steady corrugated flame front // Astronáutica Acta. 1974. Vol. 18. P. 253.

191. Smoller J. Shock waves and reaction-diffusion equations. — New York: Springer Ver lag, 1983.

192. Sobolev V. A. Integral manifolds and decomposition of singularly perturbed system // System and Control Lett. 1984. No. 5. P. 169179.

193. Sobolev V., Andreev I., Shchepakina E. Modeling of critical phenomena in autocatalytic burning problems // Euromech, 3rd Europ. Conference. Gottingen, Sept. 15-18, 1997. Abstracts. P. 342.

194. Sobolev V., Andreev I., Shchepakina E. Modeling of critical phenomena in autocatalytic burning problems // Proceeding of 15th IMACS World Congress. Berlin, August 24-29, 1997. Vol. 6. P. 317-322.

195. Volpert A. I., Volpert V. A., Volpert V. A. Traveling wave solutions of parabolic equations. AMS Translations of Math. Monographs. Vol. 140. 1994.284

196. Weber R. O., Mercer G. N., Gray B. F., Watt S. D. Combustion waves: non-adiabatic. Modeling in Combustion Science/ J. Buckmuster, T. Takeno (eds.) // Springer Lect. Notes in Physics. Vol. 449. — Berlin: Springer-Verlag, 1995.

197. Young K.-K. D., Kokotovic P. V., Utkin V. J. A singular perturbation analysis of high-gain feedback systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1977. Vol. 22. No. 6. P. 931-938.285