автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Индексы влияния, зависящие от предпочтений участников - аксиоматическое построение и методы вычисления

На правах рукописи

Шварц Дмитрий Александрович

ИНДЕКСЫ ВЛИЯНИЯ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПРЕДПОЧТЕНИЙ УЧАСТНИКОВ — АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 АВГ 2013

Москва — 2013

005531856

005531856

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" при Правительстве Российской Федерации.

Научный руководитель: Алескеров Фуад Тагиевич

доктор технических наук, профессор.

Официальные оппоненты: Васин Александр Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, факультет Вычислительной математики и кибернетики, заместитель заведующего кафедрой

исследования операций.

Кукушкин Николай Серафимович

доктор физико-математических наук. Вычислительный центр Российской академии наук им. A.A. Дородницына, отдел математического моделирования экономических систем, ведущий научный сотрудник.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН.

Защита состоится "26" сентября 2013 г. в 17:30 на заседании диссертационного совета Д 212.048.09 в Национальном исследовательском университете "Высшая школа экономики" по адресу: 105187, г. Москва, ул. Кирпичная, д. 33/5, ауд. 505.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Национального исследовательского университета "Высшая школа экономики" по адресу: 101000, г. Москва, ул. Мясницкая, д. 20.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

_" 2013 г.

Назаров Станислав Викторович

1. Общая характеристика работы

Коллективное принятие решений является одним из основных способов управления сложными социальными и экономическими системами.

Если речь идет о принятии каких-то решений, например, в парламентах, законодательных собраниях и т.п., обычно считается, что влияние партии на принятие этих решений прямо зависит от числа мест, которыми она располагает в парламенте. Однако, известно много примеров, которые противоречат этому, казалось бы естественному мнению. Аналогично, влияние акционера не всегда зависит от доли акций, которыми он владеет.

Использование в указанной задаче кооперативной теории игр привело к созданию такой концепции решения игры, как вектор Шепли и, как его развитие, многочисленным индексам влияния.

Индекс влияния — это способ оценить влияние участника (или партии) в выборном органе, т.е. приписать каждой партии неотрицательное число, пропорциональное ее влиянию на принятие решений. Среди индексов влияния наиболее известен индекс Банцафа.

Актуальность темы

Развитие теории индексов влияния включает два направления:

— аксиоматическое, позволяющее понять различие и определить границы применимости индексов.

— вычислительное, в котором строятся алгоритмы, вычисляющие индексы влияния при большом количестве игроков.

Первое систематическое изложение теории игр (и, в частности, кооперативной теории игр) было дано Д. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г.

Формальная постановка задачи оценки влияния была предложена Л. Пенро-узом в 1946 г.

Фундаментальные работы в этой области были выполнены Л. Шепли, М.

Шубиком, Дж. Банцафом и др.

В настоящее время множество работ, как в России, так и за рубежом посвящено изучению теории индексов влияния и прикладным вопросам распределения влияния в различных организациях, например, Европейском Союзе, МВФ и др.

Но классические индексы влияния учитывают только коалиционные возможности участников процесса принятия коллективных решений и не учитывают взаимоотношения между ними. В реальности некоторые коалиции образуются часто, некоторые реже, некоторые, возможно, не образуются вообще.

Недавно Ф.Т. Алескеровым были введены в рассмотрение индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по вступлению в коалиции.

Поэтому развитие теории индексов влияния, учитывающих предпочтения участников по созданию коалиций, представляется актуальным.

Цель работы

Разработка аксиоматик, методов и алгоритмов оценки влияния участников в задаче принятия коллективных решений, учитывающих ограничения на формирование коалиций.

Основные задачи

1) Построение аксиоматик для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников и, как следствие, новых аксиоматик для классических индексов влияния, как в классическом случае (простые кооперативные игры), так и для голосований с квотой.

2) Обоснование и развитие подхода к индексам влияния, как к элементам проективного пространства.

3) Построение эффективных алгоритмов для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников и создание соответствующего про-

граммного комплекса.

4) Проверка "гипотезы о среднем", предполагающей, что "в среднем по квоте" влияние участника голосования пропорционально числу его голосов.

Методы исследования

Используются модели простых игр, комбинаторного анализа, теории множеств, элементы проективной геометрии, техника производящих функций.

Научная новизна работы

1) Впервые развит подход к индексам влияния, как к элементам проективного пространства;

2) Впервые построены аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников а) в случае простых игр; б) в случае голосования с квотой; в) как элементов проективного пространства;

3) Впервые предложен алгоритм вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, использующий производящие функции;

4) Впервые осуществлена проверка "гипотезы о среднем", предполагающей, что "в среднем по квоте" влияние участника голосования пропорционально числу его голосов и доказан аналог этого утверждения для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

Применение

Модели индексов влияния, учитывающих предпочтения участников, включены в курсы лекций "Дискретные математические модели" и "Модели согласования интересов", которые читаются на факультетах экономики и бизнес-информатики НИУ ВШЭ.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на

— общемосковском семинаре "Экспертные оценки и анализ данных" в ИПУ РАН в 2009 и 2010 гг.;

— конференции "Экономическое развитие в современном мире: Россия и Азия в условиях глобальной экономической нестабильности (УРГУ, Екатеринбург, 2009);

— Научном семинаре Международной лаборатории анализа и выбора решений (НИУ ВШЭ, 2009);

— 10-й Международной конференции Общества по исследованию социального выбора и благосостояния (10-th International Meeting of the Society for Social Choice and Welfare, НИУ ВШЭ, Москва, 2010);

— VI-й Московской международной конференции по исследованию операций (ВМК МГУ, 2010);

— XIII и XIV Апрельских международных научных конференциях по проблемам развития экономики и общества (Москва, НИУ ВШЭ, 2012, 2013);

— научном семинаре Лаборатории теории игр и принятия решений Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН (научный руководитель д.ф.-м.н. Е.Б. Яновская, 2013);

— Школе-конференции "Байкальские чтения" (ИМЭИ ИГУ, Иркутск, 2013);

Результаты исследования опубликованы в 6 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, 3 приложений и списка литературы, включающего 97 наименований. Основная часть работы изложена на 149 страницах, содержит 2 рисунка и 5 таблиц.

2. Содержание работы

Краткое содержание по главам

В главе 1 вводятся основные определения и приводится обзор литературы по индексам влияния и их применению к оценке распределения влияния в органах принятия коллективных решений. В частности, описываются и сравниваются решения кооперативной игры (ядро и вектор Шепли), развитием последнего из которых стали индексы влияния. Приводится аксиоматика для вектора Шепли. Описываются индексы влияния Шепли—Шубика, Банцафа и Пенроуза. Производится сравнение этих индексов, исходя из вероятностной интерпретации и типа принимаемого решения (концепции ¡-ро'И'ег и Р-ро*уег).

Далее описывается модель индексов влияния, зависящих от предпочтений участников и показывается, что все известные индексы влияния можно описать в рамках этой модели.

Глава 2 посвящена аксиоматическому описанию индексов влияния.

Приведены две самые известные системы аксиом для индексов Банцафа и Шепли—Шубика (аксиоматики Дуби—Шепли и Ларуелль—Валенсиано).

Далее строятся аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников. Формулируются аксиомы и доказывается "теорема классификации" об общем виде индексов влияния, удовлетворяющих этим аксиомам. Приводятся две аксиоматики, одна из которых прямо следует из теоремы классификации, вторая является аналогом аксиоматики Ларуелль—Валенсиано.

Эти результаты используются для построения новых аксиоматик для индексов Банцафа и Шепли—Шубика, а также для построения аксиоматик для индексов влияния в модели голосования с квотой.

Раздел 2.4 посвящен "проективному" подходу к индексам влияния, дается обоснование этого подхода, формулируются аксиомы, и доказывается, что они однозначно определяют введенный индекс влияния.

Приводятся аксиоматики-следствия для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, и индекса Банцафа.

В главе 3 развивается вычислительный подход к индексам влияния.

Здесь значения индексов влияния (в модели голосований с квотой) усредняются по квоте. Доказывается, что для индексов влияния, удовлетворяющих некоторым аксиомам (в том числе для индексов Пенроуза и Шепли—Шубика) влияние "в среднем" пропорционально числу голосов. Записывается аналогичное условие для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

Разделы 3.2 и 3.3 содержат обзор известных методов вычисления индексов влияния, описываются методы приближенного вычисления индексов влияния: метод Монте-Карло, метод Оуэна и комбинированный метод Лича, сочетающий в себе "прямой" метод вычисления и метод Оуэна.

Далее приводятся алгоритмы для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников. Используется адаптированный под данную модель метод производящих функций. Основная теорема позволяет записать формулы, на которых основаны эти алгоритмы, с помощью введенных здесь же псевдочисел.

В параграфе 3.4.1 обсуждаются особенности современного правила принятия решения в Совете министров Европейского Союза. Показано, что одно из трех необходимых условий принятия решения следует из остальных двух, а второе не следует из первого только в нескольких случаях. Доказывается, что это правило принятия решения можно записать, как голосование с квотой.

Параграф 3.4.2 посвящен описанию комплекса программ для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

В Заключении сформулированы результаты работы.

Приложения 1-3 содержат коды программ, описанных в параграфе 3.4.2. Используется алгоритм из раздела 3.3.

Глава 1. Индексы влияния: основные понятия и обзор литературы

Пусть N = {1,... ,п} — конечное множество игроков, подмножества N называются коалициями.

Простой игрой называется пара (Л?», где V : 2м —> {0,1} — функция, удовлетворяющая свойству монотонности: если 5, Т С N и 5 С Т, то < у(Т).

Обычно множество игроков фиксировано, поэтому игра (И, у) обозначается просто V.

Число игроков в коалиции 5 обозначается через я, а множество всех простых игр п игроков — через 5СП.

Коалиция 5 называется выигрывающей, если = 1, и проигрывающей,

если у(3) = 0.

Простая игра удовлетворяет условию однозначности голосования, если для любой выигрывающей коалиции 5 коалиция N \ 5 — проигрывающая.

Объединением (пересечением) простых игр г; и и; называется игра V V и) (у Л ги), множеством выигрывающих коалиций в которой будет объединение (пересечение) множеств выигрывающих коалиций для V ню.

Игрок г называется ключевым в коалиции 5, если 5 выигрывающая, а 5\{г} — проигрывающая. Игрок г называется болваном, если он не ключевой ни в одной коалиции.

Выигрывающая коалиция 5 называется минимальной, если все игроки в ней ключевые или, другими словами, й не содержит никакой другой выигрывающей коалиции. Множества выигрывающих, проигрывающих и минимальных выигрывающих коалиций обозначаются соответственно IV(о), Ь(ь) и М(у), — множество коалиций, в которых игрок г ключевой.

Олигархическая игра (и5) — игра с единственной минимальной выигрывающей коалицией (5).

Пусть V 6 5 € М(и). Обозначим через и_5 игру, полученную из V

переводом 5 из выигрывающих коалиций в проигрывающие. Будем называть переход от г; к г;_5 вычеркиванием коалиции 5.

При вычеркивании коалиции 5 игроки, входившие в нее, теряют одну коалицию, в которой они ключевые, игроки, не входящие в 5, наоборот, приобретают одну (игрок г — 5 и {г}).

Голосования с квотой

Голосованием с квотой называется упорядоченный набор (<?; гиь ..., гип) из п + 1 неотрицательного числа, первое из которых (д) называется квотой, а остальные (го 1,..., гип) — числом голосов или весом соответствующего игрока.

Числом голосов (или весом) коалиции называется сумма голосов входящих в нее игроков: ги(5) = ^ ш;. Коалиция выигрывающая, если суммарное число

¿65

голосов ее игроков не меньше квоты, и проигрывающая в противном случае. Таким образом, голосованию с квотой сопоставляется простая игра.

Говорят, что простую игру V можно записать, как голосование с квотой, если существуют такие неотрицательные числа 9,101,..., ш„, что голосование с квотой (9; гоь ..., ги„) задает игру V.

Большинство реальных схем голосования являются (или могут быть записаны, как) голосованиями с квотой, но встречаются и исключения, например, правило принятия решения в любом двухпалатном парламенте.

Индексы влияния.

Это понятие аналогично понятию решения кооперативной игры, но т.к. здесь нет смысла говорить о выигрыше участников, речь идет о влиянии участника голосования на принятие решения. Поэтому решения для простых игр называют индексами влияния.

В случае простых игр большинство классических концепций решения игры не имеют особого смысла (например, ядра нет ни в каких простых играх, ис-

ключая олигархические). Все индексы влияния суть развитие (в очень широком смысле) вектора Шепли — самого известного после ядра решения кооперативных игр.

Индекс влияния, Ф : 5СП К", сопоставляет каждой простой игре V вектор Ф(г>), г-я компонента которого интерпретируется как влияние игрока г.

Традиционно влияние измеряется в процентах, т.е. сумма влияний всех игроков равна 1 (или 100%). Это свойство верно для всех индексов влияния, кроме индекса Пенроуза.

Наиболее известны индексы влияния Банцафа (Пенроуза) и Шепли— Шубика.

Индекс влияния Банцафа (В): влияние игрока пропорционально числу коалиций, в которых он ключевой.

Общий индекс Банцафа ТВ г, для игрока г:

Индекс влияния Банцафа Вг^ получается из общего индекса нормированием

Индекс влияния Пенроуза (Р):

Индекс Шепли—Шубика (ЭБ) — частный случай вектора Шепли. Число, которое коалиция добавляет к влиянию игрока, зависит от ее размера

ТВг{ =

РМ) =

п\

веИ'Л«)

Игры и индексы влияния, зависящие от предпочтений участников

Классические индексы влияния имеют существенный недостаток — все они не учитывают предпочтения игроков по созданию коалиций.

В определение простой игры добавляется дополнительная информация — каждому игроку г и коалиции 5 сопоставляется число /(г, 5) — мера "желания" игрока г присоединяться к 5.

Назовем простой игрой с предпочтениями тройку (А1>,/), где пара (Аг,у) обрадует простую игру, / — функция, сопоставляющее каждой коалиции 5 и игроку г действительное число /(¿,5). Игра называется симметричной, если / зависит только от 5. Множество всех (симметричных) простых игр с предпочтениями для п игроков обозначается вйРп (ББСРп) соответственно.

Простую игру можно воспринимать, как простую игру с предпочтениями, в которой все коалиции одинаково предпочтительны, т.е. = (АГ,у, 1).

В случаях, когда это не вызывает путаницы, игра (N, у, /) обозначается просто V.

Пример 1. Предпочтения игроков задаются п х п-матрицей Р. Неформально говоря, ее элемент рц е [0,1] определяет желание игрока г входить в коалицию с игроком Матрица Р не обязательно симметрична, т.е. в общем случае р^ Ф Рц. Для вычислений удобно считать, что рц = 0.

Ф.Т. Алескеровым было дано несколько способов определения матрицы предпочтений для реальных выборных органов и предложены более 10 версий индекса, основанных на матрице предпочтений. Приведем некоторые из них. В обозначениях данной работы

(1)

rttí4 = EA; (2)

(3)

jes jeS v «j'65

Величину f+(j, 5, F) можно интерпретировать, как среднее желание игрока j входить в коалицию с остальными игроками 5, f~(j,S,P) — как среднее желание остальных игроков 5 входить в коалицию с j, f{S, Р) — как среднее желание всех игроков входить в коалицию со своими коллегами из S.

Если правило принятия решения (v) уже задано, функции (1)—(3) определяют несимметричную простую игру с предпочтениями, а функция (4) — симметричную.

Индекс влияния, Ф : SGPn -> Rn (SSGPn -* Rn), сопоставляет каждой симметричной или несимметричной игре с предпочтениями v вектор Ф(и), г-я компонента которого интерпретируется как влияние игрока г.

Для симметричных игр с предпочтениями a-индекс влияния определяется по формуле

<*(«)■= Е /<5)- (5)

SeW¡(u)

и для несимметричных

<*оо= £ (6)

5ew¡(u)

Нормированный а-индекс влияния Na(v)

Nciv) = (7)

Классические индексы Банцафа и Шепли—Шубика, а также многие другие индексы влияния могут рассматриваться как частные случаи а-индекса при соответствующем выборе функций f(i,S).

Глава 2. Аксиоматическое описание индексов влияния В данной главе приводятся обзор известных аксиоматик для индексов влияния и теоремы о представлении индексов Банцафа и Шепли—Шубика.

Аксиомы для индексов влияния, определенных на играх с предпочтениями

Аксиома болвана/Null Player (NP). Выигрыш болвана не зависит от интенсивностей предпочтений и всегда равен 0.

Анонимность / Anonimity (An). Vu € SGn, любой перестановки 7г множества N и Vi £ N

Ф;(тги) = Ф1(0(и),

где(тг v)(S) = v(ir(S)).

Трансфер/Transfer (Т). Vv,w £ SGPn, VS е M(v)C\M{w) и Vi

Ф<(«) - $i(t>-s) = $i(«>) -

Усиленная аксиома трансфера/Strong Transfer (ST). Vv € SGPn, VS 6 M{v) и Vi g S

Ф{(у)-Ф i{v-S) = f{i,S).

Условие симметричности доходов/потерь / Symmetrie Gain-Loss (SymGL). 1) Vz; € SGPn, VS e M(v) и Vi, j e 5:

- *i(v-s) = $j(v) - $j(v-s)-

2) Vv e SGPn, VS e M{v) и Vi, j i S:

Ф;(и) - Ф((и_5) = Ф,(и) -

Первая и вторая части SymGL используются порознь и обозначаются, как SymGLi и SymGL2, соответственно. Общая суммэ/Total Power (TP).

Еад = Е Е /м-

•=1 ¡=1

Теорема 1. 1) Пусть индекс влияния Ф(и) удовлетворяет аксиомам ИР и Т. Тогда

Е ^(i>s)^ (8)

где <?(г, Б) — некоторые числа.

2) Пусть индекс влияния Ф(у) удовлетворяет аксиомам ИР, Т и БугайЬ\. Тогда

*<(«)= Е Я(5)> (9)

56 И^ (в)

где д(5) — некоторые числа.

3) Пусть индекс влияния Ф(и) удовлетворяет аксиомам ИР, Т и обеим частям БутСЬ. Тогда

ад= Е яш (ю)

56^(0)

где р(|5|) — некоторые числа.

Аксиома анонимности верна, только если выполняется условие третьего пункта теоремы, т.е. Ап следует из Т и БугаСЬ, но не следует из ИР, Т и ЗутСЬь

Теорема 2. Индекс влияния Ф(г>) удовлетворяет аксиомам ИР и 5Т тогда и только тогда, когда Ф(у) = а(ь).

Теорема 3. Индекс влияния Ф(г>), удовлетворяет аксиомам ИР, ТР, Т и БутОа тогда и только тогда, когда Ф(и) = а(у).

При подстановке конкретных значений /(5) можно получить новые аксиоматики для индексов Банцафа и Шепли-Шубика.

Аксиоматики для индексов влияния в случае голосования с квотой

Здесь изучается, как аксиоматически задать индекс влияния на классе голосований с квотой.

Непосредственно перенести любую из рассмотренных выше или других, известных автору, аксиоматик на случай голосований с квотой не удается, поскольку в отличие от простых игр, множество голосований с квотой не замкнуто относительно многих операций (объединение, пересечение, вычеркивание коалиции).

Но оказывается, что большинство аксиоматик можно адаптировать для голосований с квотой, просто дописав в нужных местах фразу "если результат операции тоже будет голосованием с квотой".

Дело в том, что классический способ доказательства того, что индекс влияния однозначно определяется некоторыми аксиомами, использует математическую индукцию, шагом которой является переход от игры к игре V. Т.е., чтобы доказательство "сработало", для любого голосования с квотой у игра у-з должна записываться, как голосование с квотой хотя бы для одной минимальной выигрывающей коалиции 5.

В диссертации это утверждение строго доказано, сделаны соответствующие переформулировки и проведены доказательства для аксиоматики Дуби— Шепли для индекса Банцафа и аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников (аксиомы ИР и БТ).

Проективные аксиоматики для индексов влияния

Использование этого подхода сразу же позволяет исправить два существенных недостатка изложенных выше аксиоматик.

1. В реальных вычислениях, как правило, используются относительные значения влияния, т.е. нормированные индекс Банцафа или а-индекс, а аксиоматики строятся для ненормированного ("общего") индекса.

2. В аксиоматики для индекса Банцафа и для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, входит неестественная аксиома "Общей суммы" (или ее аналог), возникающая как раз из-за того, что сумма всех влияний не равна единице.

Если подходить к индексам влияния, как к элементам проективного пространства, т.е. рассматривать их с точностью до пропорциональности, то можно не различать общий и нормированный индексы и таким путем избавиться от первого недостатка, а аксиома общей суммы становится просто не нужна.

Проективные индексы влияния: определения

Будем называть проективным индексом влияния отображение Ф : БОРч —» ЕР"-1.

Естественное отображение тг : К" \ {0} -» ШРП_1 сопоставляет ненулевому вектору (ж1,..., ж„) точку проективного пространства (х1 : ... : хп). Это отображение задает соответствие между обычными и проективными индексами влияния.

Каждому обычному индексу влияния, не равному 0, как вектор, на простой игре с предпочтениями сопоставляется проективный по формуле

7Г*(Ф)(и) =тг(ф(и)).

Назовем операцию тг* проективизацией индекса влияния.

Проективный а-индекс для игр с предпочтениями определяется, как образ а-индекса при отображении 7г*

а» = Ыу) <*„(«)) (И)

Аналогично, проективный аналог индекса Банцафа (РВг(у)) определяется, как тг'(Вг(у)), т.е. это обычный индекс Банцафа, но вектор значений рассматривается не как элемент К", а как элемент КР"-1. Отметим, что нормиро-

17

ванный и ненормированный индекс Банцафа и индекс Пенроуза отличаются только умножением на константу, поэтому tt*(TBz) = ir*(Bz) = п'(Р) = PBz.

Ведем следующие аксиомы для проективных индексов влияния.

Слабая аксиома анонимности / Weak Anonimity (WAn). Для любой олигархической игры us € SGPn, и Vi,j G S Ф¡(us) = Фj(us).

Проективная аксиома трансфера / Projective Transfer Axiom (PT). \/v 6 SGP„, VS€ M{v) точки Ф(г>), Ф(г>_5) и ws лежат на одной прямой.

Теорема 4. Пусть Ф — проективный индекс влияния, определенный на множестве игр с симметричными предпочтениями, удовлетворяющих условию однозначности голосования. Тогда Ф удовлетворяет аксиомам NP, WAn и РТ, если и только если Ф(у) = a(v) .

В работе показано, что соответсвующие переформулировки аксиом (в первую очередь, РТ), дают новые описания нормированного а-индекса и нормированного индекса Банцафа.

Глава 3. Оценки и алгоритмы для расчета индексов влияния

Теорема о среднем для индексов влияния

Как уже обсуждалось, влияние игрока в голосовании с квотой (независимо от того, по какому из индексов оно считалось) не пропорционально числу голосов, причем влияние может быть как больше, так и меньше доли числа голосов.

Для индекса Банцафа строго сформулировать это утверждение проблематично. Но для не нормированных индексов влияния можно доказать следующую теорему.

Обозначим через vq голосование с квотой (q; wb ..., w„), т.е. число голосов участников фиксировано, q — параметр.

Теорема 5. 1) Для а—индекса:

2) Пусть индекс влияния Ф(и) удовлетворяет аксиомам ИР, Т и БутСЬ. Тогда /0°° Ф¡(и?) йц пропорционален

3) Для индексов Пенроуза и Шепли—Шубика:

Если веса игроков и квота — целые неотрицательные числа, можно в формулировке теоремы 5 заменить интеграл на сумму с теми же верхним и нижним пределами.

Сделаем выводы.

Для а-индекса влияние "в среднем по квоте" пропорционально, во первых, числу голосов, во вторых, сумме /(г, 5) по всем возможным коалициям, которую можно интерпретировать, как меру желания остальных игроков входить в коалицию с г.

Будем говорить, что индекс влияния удовлетворяет теореме о среднем, если для него выполняется пункт 2) теоремы 5. а-индекс удовлетворяет теореме о

среднем, если ^ээг Л*> не зависит от

Любой индекс влияния, удовлетворяющий аксиомам ИР, Т и БутСЬ удовлетворяет и теореме о среднем, в частности индексы влияния Шепли—Шубика, Пенроуза и общий индекс Банцафа.

Кажется, что "в среднем" справедливость все-таки есть и влияние пропорционально числу голосов. На практике это не так. Это обстоятельство детально обсуждается в разделе 3.1.

Метод производящих функций

Производящей функцией последовательности (а,-) называется сумма ад +

а1Х + а2Х2 + ... + о,х* + ... Производящие функции определены и для последовательностей с несколькими индексами.

Пусть (д; ищ,..., ги„) — голосование с квотой, Ьк{г) — число коалиций с суммарным числом голосов к, не включающим игрока г, а Ьк,п{г) — число коалиций из п игроков с суммарным числом голосов к, не включающим игрока г. Производящая функция для последовательности 6* (г) равна

а для последовательности ¿>£,л(г)

Общий индекс Банцафа равен сумме коэффициентов в^х) при степенях х от д - ад; до д - 1. Индекс Шепли—Шубика равен сумме коэффициентов 5(х,г/) при в-й степени у и степенях х от д - гщ до д — 1-й.

Для вычисления индекса Банцафа методом производящих функций требуется 0(д ■ п), Оценка для индекса Шепли—Шубика — 0{q ■ п2).

Алгоритмы расчета индексов влияния, зависящих от предпочтений участников с помощью производящих функции

"Прямой" алгоритм вычисления индексов влияния работает для а-индекса столь же хорошо, как и для классических индексов влияния.

Но "прямой" алгоритм не позволяет вычислять индексы влияния за разумное время уже при п ~ 60. Поэтому встает вопрос, как применить к «-индексу

метод производящих функций.

Предполагается, что функции /(г, 5) зависят только от матрицы предпочтений Р. Для того, чтобы подчеркнуть этот факт, вместо /(г, 5) будем писать

Индексы влияния, построенные на основе матрицы предпочтений Р, вычисляются по аналогичным с индексами Банцафа и Шепли—Шубика формулам. Определим

»■*(»)= £/(*.$.

w(S)=k

rtf(i)= £ f(i,S,P).

w(S)=k,\S\=l,

Соответственно,

9-1

г(г) = = £ £

k=q—Wi l k—q—Wi

Аналог индекса Банцафа

Пусть f(i,S,P) имеет вид J2jes /<;'- Рассмотрим многочлен

jfr SC(N\{i})jeS к w(S)=kjeS

Коэффициент при хк похож на г*(г) с одним отличием — коэффициенты /у не складываются, а перемножаются. Поэтому производящая функция для rjt(i) вычисляется так же, как Ri(x), но операция умножения заменяется на операцию сложения.

Следовательно, <Xi(v) может быть вычислено за то же время, что и индекс Банцафа, т.е. за 0(C(v) • п).

Вычисление a(v) (или Na(v)) требует 0(C(v) ■ п2) операций.

Аналогичные рассуждения можно провести, если /(г, 5, Р) имеет вид J2;eS/o(|5|)/ij. Таковы, в частности, рассмотренные в примере 1 f+(i,S,P), f~(i,S,P) и f(i,S,P). Соответствующая производящая функция будет зависеть уже от двух переменных, и объем вычислений аналогичен вычислению индекса Шепли—Шубика. В этом случае вычисление a(v) (или Na(v)) требует 0(C(v) ■ п3) операций.

Основная теорема

Чтобы записать полученные результаты формально, введем "псевдочисла" а, так, что

а + Ь = аТЬ, а-Ь-а-Ь, 1 ■Ь = Ь,а + Ь = а + Ь, а-Ь = а-Ь, а-Ь = а + Ь.

Во введенных обозначениях рассуждения этого параграфа доказывают следующее утверждение.

Теорема 6. 1). Пусть /(¿,5, Р) имеет вид где зависят только

от г, j и Р. Тогда производящая функция для гк{г) имеет вид

2). Пусть /(г, 5, Р) имеет вид /о (я)/,,, где /ц зависят только от г, ]

Разработанные модели легли в основу комплекса программ (описанного в параграфе 3.4.2), который использовался для расчета влияния

— в Международном Валютном Фонде.

— регионов в Государственной Думе РФ.

Программы написана на языке С (суммарно 300 строк). Основная программа (тс!ех.с, приложение 1) вычисляет индексы влияния, зависящие от предпочтений участников, предполагая, что интенсивности коалиций вычисляются исходя из матрицы предпочтений Р для функций /+(г, 5, Р) /"(г,5, Р). влияния игроков (в том же порядке, как они указаны в исходных данных).

Программа (ЬапгЬаГ.с, приложение 2) написана на языке С (70 строк) вычисляет индекс влияния Банцафа, используя метод производящих функций.

ад = Пи+

и Р. Тогда производящая функция для г^Дг) имеет вид

У) = > + /«»*""). С1- Л!1). Л(2), • ■ •. /оМ)

Программа тегг^ге.с (приложение 3) вычисляет необходимый для работы программы тс!ех.с объем оперативной памяти.

3. Основные результаты диссертационной работы

1) В работе построены аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников

— в случае простых игр.

— в случае голосования с квотой.

2) Предложен подход к индексам влияния, как к элементам проективного пространства. Для игр с симметричными предпочтениями при условии однозначности голосования построена аксиоматика таких индексов.

3) Построен алгоритм вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, использующий производящие функции. Создан программный комплекс, позволяющий вычислять вышеописанные индексы для всех большинства существующих на данный момент органов коллективного принятия решений.

4) Для индексов, удовлетворяющих аксиомам трансфера, болвана, анонимности и первой части аксиомы Бутв! (т.е. в том числе для индексов Пенроуза и Шепли—Шубика) доказана "теорема о среднем", утверждающая, что "в среднем по квоте" влияние участника голосования пропорционально числу его голосов. Доказан аналог этого утверждения для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

4. Список публикаций по теме диссертации

Научные работы по теме диссертации, опубликованные в ведущих рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки Российской Федерации:

1) Шварц Д.А. О вычислении индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и Телемеханика. 2009. № 3. С. 152—159. 0.8 п.л.

2) Шварц Д.А. Аксиоматика для индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и Телемеханика. 2010. № 1. С. 144—158. 1.5 п.л.

3) Шварц Д.А. Индексы влияния, как элементы проективного пространства // Доклады Академии Наук. 2011. № 441(4). С. 456—459. 0.5 п.л.

4) Шварц Д.А. Аксиоматики для индексов влияния в задаче голосования с квотой // Проблемы управления. 2012. № 1. С. 33—41. 1.1 п.л. Другие работы, опубликованные автором по теме кандидатской диссертации:

5) Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. 1-е издание. М.: Издательство ГУ ВШЭ, 2006. 298 с. 18,75 п.л. Личный вклад 6,25 п.л.

6) Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. 2-е издание. М.: Физматлит, 2012. 342 с. 21,6 п.л. Личный вклад 7,2 п.л.

Лицензия ЛР № 020832 от "15" октября 1993 г. Подписано в печать " /УЛ?^ 2013 г.. Формат 60 х 84/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № Типография издательства НИУ ВШЭ,

125319, г. Москва, Кочновский пр-д., д. 3.

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ

04201361227

Шварц Дмитрий Александрович

Индексы влияния, зависящие от предпочтений участников — аксиоматическое построение и методы вычисления

Специальность:

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор технических наук Ф.Т. Алескеров

Москва — 2013

Оглавление

Введение 5

1. Индексы влияния: основные понятия и обзор литературы 16

1. Простые игры и голосования с квотой................................16

1.1. Простые игры....................................................16

1.2. Голосования с квотой............................................24

2. Индексы влияния.............................30

2.1. Предыстория: решение кооперативной игры и вектор Шепли 30

2.2. Индексы влияния: общие соображения............35

2.3. Классические индексы влияния................................37

2.3.1. Индекс Шепли—Шубика...............37

2.3.2. Индексы влияния Банцафа и Пенроуза.......37

2.3.3. Вероятностная интерпретация и сравнение индексов Банцафа (Пенроуза) и Шепли—Шубика .... 40

2.4. Другие индексы влияния....................42

2.4.1. Индекс Джонстона..................43

2.4.2. Индекс Холера—Пакела...............43

2.4.3. Индекс Дигена — Пакела ..............44

2.4.4. Индекс Коулмена...................46

2.5. Свойства влияния: аксиомы и парадоксы...........47

3. Игры и индексы влияния, зависящие от предпочтений участников 54 3.1. Общая конструкция: симметричные и несимметричные игры 58

3.2. Индексы влияния

60

Аксиоматическое описание индексов влияния 63

1. Избранные аксиоматики для классических индексов влияния ... 63

1.1. Аксиоматика Дуби для индекса Шепли—Шубика и аксиоматика Дуби—Шепли для общего индекса Банцафа .... 64

1.2. Аксиоматики Ларуелль—Валенсиано.............66

2. Аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников................................69

2.1. Теорема классификации ....................70

2.2. Аксиоматики для а-индекса..................75

2.2.1. Следствие из теоремы классификации.......76

2.2.2. Аналог аксиоматики Ларуелль—Валенсиано .... 76

2.3. Применение к индексам Банцафа и Шепли—Шубика .... 81

3. Аксиоматики для индексов влияния в случае голосования с квотой 82

3.1. Аксиоматики для индексов Банцафа и Шепли—Шубика . . 86

3.2. Аксиоматика для а-индекса в случае голосований с квотой 90

4. Проективные аксиоматики для индексов влияния..........92

4.1. Проективные индексы влияния: определения.........93

4.2. Аксиомы.............................95

4.3. Основная теорема........................97

4.4. Аксиоматики для нормированного а-индекса и нормированного индекса Банцафа....................101

4.4.1. Следствие: аксиоматика для нормированного индекса Банцафа.....................103

5. Обзор и сравнение аксиом.......................104

5.1. Сравнение аксиом Дуби—Шепли, Ларуелль-Валенсиано и следствий из аксиоматик для а-индекса ...........106

5.2. Аксиоматики для нормированных индексов влияния .... 107

3. Оценки и алгоритмы для расчета индексов влияния 109

1. Теорема о среднем для индексов влияния...............109

115

116 117 122

2. Алгоритмы вычисления индексов влияния.............

2.1. "Прямое" вычисление. Оценка сложности.........

2.2. Метод производящих функций................

2.3. Приближенные методы вычисления индексов влияния . .

3. Алгоритмы расчета индексов влияния, зависящих от предпочтений участников с помощью производящих функций ........125

3.1. Аналог индекса Банцафа....................126

3.2. Аналог индекса Шепли—Шубика...............126

3.3. Основная теорема........................127

4. Примеры и применение.........................129

4.1. О правиле принятия решения в Совете министров Европейского Союза.........................129

4.2. Комплекс программ для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников ............135

4.2.1. Основная программа.................136

4.2.2. Вспомогательные программы............136

Заключение 138

Литература 140

Приложения 150

Приложение 1: программа, вычисляющая индексы влияния, зависящие

от предпочтений участников......................150

Приложение 2: программа, вычисляющая индекс влияния Банцафа . . . 157 Приложение 3: программа, оценивающая необходимый для вычисления

индексов влияния объем памяти....................159

Введение

Коллективное принятие решений является одним из основных способов управления сложными социальными и экономическими системами.

Если речь идет о принятии каких-то решений, например, в парламентах, законодательных собраниях и т.п., обычно считается, что влияние партии прямо зависит от числа мест, которыми она располагает в парламенте. Однако, известно много примеров, которые противоречат этому, казалось бы естественному, мнению. Аналогичная ситуация имеет место в акционерных обществах — влияние акционера не всегда зависит от доли акций, которыми он владеет.

Использование в указанной задаче кооперативной теории игр привело к созданию такой концепции решения игры, как вектор Шепли и, как его развитие, многочисленным индексам влияния.

Индекс влияния (в соответствии со своим названием) — это способ оценить влияние участника (или партии) в выборном органе, т.е. приписать каждой партии неотрицательное число, пропорциональное ее влиянию на принятие решений. Среди индексов влияния наиболее известен индекс Банцафа.

Актуальность темы

Развитие теории индексов влияния включает два направления:

— аксиоматическое, позволяющее понять различие между индексами влия-

ния и определить границы применимости индексов,

— вычислительное, в котором строятся алгоритмы, вычисляющие индексы влияния при большом количестве игроков.

Первое систематическое изложение теории игр (и, в частности, кооперативной теории игр) было дано Д. фон Нейманом и О. Моргенштерном в 1944 г. [77].

Формальная постановка задачи оценки влияния была предложена JI. Пенро-узом в 1946 г. [83], но впервые вопрос об измерении влияния был поставлен в 1787 г. при разработке конституции США представителем штата Мэриленд JI. Мартином [85].

Фундаментальные работы в этой области были выполнены JL Шепли, М. Шубиком, Дж. Банцафом и др. [44, 45, 48, 50, 59, 65, 88].

В настоящее время множество работ, как в России, так и за рубежом посвящено изучению теории индексов влияния и прикладным вопросам распределения влияния в выборных и управляющих органах и международных организациях. Среди них можно назвать Европейский Союз, Международный валютный фонд, Всемирный банк, советы директоров банков и др.

Но классические индексы влияния учитывают только коалиционные возможности участников и не учитывают взаимоотношения между ними. В реальности некоторые коалиции образуются часто, некоторые реже, некоторые, возможно, не образуются вообще.

Недавно Ф.Т. Алескеровым в [1, 28] были введены в рассмотрение индексы влияния, учитывающие предпочтения участников по вступлению в коалиции.

Поэтому развитие теории индексов влияния, учитывающих предпочтения участников по созданию коалиций, представляется актуальным.

Цель работы

Разработка аксиоматик, методов и алгоритмов оценки влияния участников в задаче принятия коллективных решений, учитывающих ограничения на формирование коалиций.

Основные задачи

1) Написание аналитического обзора индексов влияния, как классических, так и зависящих от предпочтений участников, описание аксиом и парадоксов, связанных с индексами влияния.

2) Построение аксиоматик для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, и, как следствие, новых аксиоматик для классических индексов влияния, как в классическом случае (простые игры), так и для голосований с квотой.

3) Обоснование и развитие подхода к индексам влияния, как к элементам проективного пространства.

4) Построение эффективных алгоритмов для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

5) Реализация полученных алгоритмов в виде программного комплекса, позволяющего вычислять индексы влияния, зависящие от предпочтений участников для голосований с квотой при большом числе игроков и большой квоте.

6) Проверка "гипотезы о среднем", предполагающей, что "в среднем по квоте" влияние участника голосования пропорционально числу его голосов и доказательство аналога этого утверждения для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

Методы исследования

Используются модели простых игр, комбинаторного анализа, теории множеств.

При построении модели индексов влияния, как элементов проективного пространства, используются элементы проективной геометрии.

При построении алгоритма для вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, используется техника производящих функций, позволяющая существенно сократить перебор.

Научная новизна работы

1) Впервые развит подход к индексам влияния, как к элементам проективного пространства.

2) Впервые построены аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников

— в случае простых игр.

— в случае голосования с квотой.

— при рассмотрении индексов влияния, как элементов проективного пространства.

3) Впервые предложен алгоритм вычисления индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, использующий производящие функции и написаны программы, реализующие этот алгоритм.

4) Впервые осуществлена проверка "гипотезы о среднем", предполагающей, что "в среднем по квоте" влияние участника голосования пропорционально числу его голосов и доказан аналог этого утверждения для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников.

Применение

Модели индексов влияния, учитывающих предпочтения участников, включены в курсы лекций "Дискретные математические модели" и "Модели согласования интересов", которые читаются на факультетах экономики и бизнес-информатики НИУ ВШЭ.

Личный вклад

Впервые построены аксиоматики для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников

— в случае простых игр.

— в случае голосования с квотой.

Построена модель, описывающая индексы влияния, как элементы проективного пространства и построены аксиоматики для таких индексов влияния, как зависящих от предпочтений участников, так и аналогов классических. Как следствие, получены аксиоматики для индекса Банцафа и индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, не использующих обычной и не очень естественной аксиомы общей суммы.

Построено представление индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, с помощью производящих функций и предложены алгоритмы их вычисления.

Доказана "Теорема о среднем по квоте" для индексов влияния, удовлетворяющих аксиоме аддитивности. Показано, что для неаддитивных индексов влияния (на примере индекса Банцафа) теорема не верна.

Создан программный комплекс, позволяющий вычислять индексы влияния, зависящие от предпочтений участников для голосований с квотой при большом

числе игроков и большой квоте.

Автор принимал участие в:

— расчете индексов влияния в Международном валютном фонде и Государственной Думе РФ (в случае, когда игроками считались регионы).

Апробация работы

Результаты работы докладывались на

— общемосковском семинаре "Экспертные оценки и анализ данных" в ИПУ РАН в 2009 и 2010 гг.;

— конференции "Экономическое развитие в современном мире: Россия и Азия в условиях глобальной экономической нестабильности (УРГУ, Екатеринбург, 2009);

— научном семинаре Международной лаборатории анализа и выбора решений (НИУ ВШЭ, 2009);

— Международной конференции "Social Choice and Welfare" (ГУ ВШЭ, Москва, 2010);

— VI-й Московской международной конференции по исследованию операций (ВМК МГУ, 2010);

— XIII и XIV Апрельской международной научной конференции по проблемам развития экономики и общества (Москва, НИУ ВШЭ, 2012, 2013) [22].

— научном семинаре лаборатории теории игр и принятия решений Санкт-петербургского экономико-математического института РАН (научный руководитель д.ф.-м.н. Е.Б. Яновская);

— Школе-конференции "Байкальские чтения" (ИМЭИ ИГУ, Иркутск, 2013).

Публикации

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1) Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. 1-е издание. М.: Издательство ГУ ВШЭ, 2006. 298 с.

2) Шварц Д.А. О вычислении индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и Телемеханика. 2009. № 3. С. 152—159.

3) Шварц Д.А. Аксиоматика для индексов влияния, учитывающих предпочтения участников // Автоматика и Телемеханика. 2010. № 1. С. 144—158.

4) Шварц Д.А. Индексы влияния, как элементы проективного пространства // Доклады Академии Наук. 2011. № 441(4). С. 456—459.

5) Шварц Д.А. Аксиоматики для индексов влияния в задаче голосования с квотой // Проблемы управления. 2012. № 1. С. 33—41.

6) Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. 2-е издание. М.: Физматлит, 2012. 342 с.

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы — 161 страница.

Содержание по главам

В главе 1 вводятся основные определения и производится обзор литературы по индексам влияния и их применению к оценке распределения влияния в выборных органах.

В разделе 1.1 определяются кооперативные игры с побочными платежами и, как частный случай этой модели, простые игры и голосования с квотой.

Приводятся примеры и критерии, показывающие, при каких условиях простая игра записывается, как голосование с квотой.

Раздел 1.2 посвящен индексам влияния. В параграфе 1.2.1 описываются и сравниваются решения кооперативной игры (ядро и вектор Шепли), развитием последнего из которых стали индексы влияния. Приводится аксиоматика для вектора Шепли. В параграфе 1.2.2 обсуждается концепция влияния, дается общее определение индекса влияния. В параграфе 1.2.3 описываются индексы влияния Шепли—Шубика, Банцафа и Пенроуза. Производится сравнение этих индексов, исходя из вероятностной интерпретации и типа принимаемого решения (концепции 1-рО"\¥вГ и Р-рОЛ¥ег).

В параграфе 1.2.4 приводятся описания и примеры вычислений других известных индексов влияния (индексы Джонстона, Холера—Пакела, Дигена— Пакела и Коулмена). Приводится общая схема "устройства" индексов влияния, под которую из перечисленных индексов не попадает только индекс Коулмена.

В параграфе 1.2.5 обсуждаются свойства влияния. Показывается, что "непропорциональность влияния числу голосов" есть неотъемлемое свойство концепции влияния. Вводится несколько ключевых аксиом, которым удовлетворяет большинство индексов влияния, и на их основе обсуждается несколько известных парадоксов влияния, часть из которых наблюдается для всех индексов влияния, удовлетворяющих рассмотренным выше аксиомам, часть — только для индекса Банцафа.

В разделе 1.3 описывается модель индексов влияния, зависящих от предпочтений участников. Начинается он с обзора точек зрения о необходимости таких индексов, кратко описываются предшествующие модели индексов влияния, учитывающих предпочтения. В параграфе 1.3.1 дается определение простой игры с предпочтениями, приводятся примеры построения функций интен-

сивности предпочтений. В следующем параграфе (1.3.2) определяются индексы влияния, зависящие от предпочтений участников, приводятся примеры их вычисления и показывается, что все известные индексы влияния можно описать в рамках этой модели.

Глава 2 посвящена аксиоматическому подходу к индексам влияния.

В разделе 2.1 приведены две самые известные системы аксиом для индексов Банцафа и Шепли—Шубика (аксиоматики Дуби—Шепли и Ларуелль—Валенсиано). На основе входящих в них аксиом строятся почти все аксиоматики главы 2.

Раздел 2.2 посвящен аксиоматикам для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников. В параграфе 2.2.1 формулируются аксиомы и доказывается "теорема классификации", показывающая общий вид индексов влияния, удовлетворяющих этим аксиомам. В параграфе 2.2.2 приводятся две аксиоматики, одна из соответствующих теорем о представлении напрямую следует из теоремы классификации, вторая — аналог (как по формулировкам, так и по доказательству) соответствующей теоремы, использующей аксиоматику Ларуелль—Валенсиано. В конце параграфа показано, что и теорема о представлении, использующая вторую аксиоматику также выводится из теоремы классификации.

Наконец, в параграфе 2.2.3 результаты предыдущего раздела используются для получения новых аксиоматических предпочтений для индексов Банцафа и Шепли—Шубика.

В разделе 2.3 результаты параграфа 2.2 применяются для построения аксиоматик и доказательства соответствующих теорем для индексов влияния в модели голосования с квотой.

Раздел 2.4 посвящен "проективному" подходу к индексам влияния. В параграфе 2.4.1 обосновывается, почему индексы влияния естественно рассматри-

вать как элементы проективного пространства, даются необходимые определения и обозначения. В параграфе 2.4.2 формулируются аксиомы, а в параграфе 2.4.3 доказывается, что они однозначно определяют введенный выше индекс влияния.

В параграфе 2.4.4 приводятся аксиоматики-следствия для индексов влияния, зависящих от предпочтений участников, и индекса Банцафа.