автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Идентификация модели сложного объекта управления с агрегированным выходом

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. АКАДЕМИКА А.А. ДОРОДНИЦЫНА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Урбаньский Анджей

Специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации»

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ СЛОЖНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЕЯ С АГРЕГИРОВАННЫМ ВЫХОДОМ

Автореферат на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва, 2004

Работа выполнена в Вычислительном центре РАН и Радомском политехническом институте.

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор Гживачевски М; д.ф.-м.н., профессор Дикусар В.В.

Официальные оппоненты:

1. д.ф.-м.н., профессор Ишмухаметов А.З.

2. к.ф.-м.н., доцент Шеверов В.Г.

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита состоится «_»_2004 г. в_часов на заседании

Диссертационного совета Д 002.017.03 при Вычислительном центре им. Академика А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу: Москва, 119991, ул. Вавилова, д. 42, в конференц-зале

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН Автореферат разослан «_»_2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета: к.ф.-м.н. А.В. Мухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

При разработке систем управления особо ответственным является этап идентификации объекта управления, от реализации которого в значительной степени зависит качество спроектированной системы управления. Проблеме идентификации объектов управления в условиях неопределенности посвящено большое количество работ, как в отечественной, так и в зарубежной литературе (Вапник В. Н., Ивахненко А. Г., Степашко В. С, Аллен Д. М, Миллер А. и др.). Для класса стохастических объектов управления в большинстве этих работ рассматривается построение моделей зависимостей средь их значений выходных переменных от входных переменных. В то же время, для широкого класса сложных объектов управления, характеризующегося стохастичностью, нестационарностью, многомерностью и многосвязностью, необходимо идентифицировать модель дисперсии выходной переменной. К таким объектам можно отнесЬи многие технологические и экономические процессы, бирлогические, экологические и медицинские системы. Большой вклад в развитие методов идентификации такого класса систем внесли Райбман Н.С., Латоцкий В.А., Дорофеюк А.А., Айвазян СА, Овсепян Ф.А., Перельман И.И., Расстригин Л.А. и др.

Современный уровень вычислительной техники позволяет сделать следующий шаг в повышении эффективности решения задачи идентификации рассматриваемого класса систем за счет интенсивного использования методов имитационного моделирования и новых результатов, полученных в теории управления.

В связи с вышеизложенным разработка методов идентификации объектов управления по модели дисперсии на основе имитационного моделирования является актуальной научной задачей и имеет важное народнохозяйственное значение.

Связь работы с научными программами, планами, темами

Настоящая работа представляет собой результаты, полученные автором при выполнении ряда научно-исследовательских работ в Радомском Политехническом университете в рамках темы «Математическое моделирование оптимального управления (селекции) инвестиционного портфеля в непрерывном времени», а также в РФФИ; код проекта 03-01-

рос.

с

Цель и задачи исследования

Цель работы состоит в разработке метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной с мультипликативной случайной составляющей и в применении этого метода для повышения эффективности управления конкретными системами.

Для достижения цели исследования в диссертации решены следующие задачи:

1) определены особенности и критерии эффективности процедур параметрической идентификации модели дисперсии агрегированной выходной переменной , в частности:

- получены аналитические выражения оценок параметров для метода наименьших квадратов (МНК), взвешенного метода наименьших квадратов (ВМНК), метода наименьших отношений (MHO) и показаны их свойства;

- проанализирована прогнозирующая способность рассматриваемых методов оценивания параметров;

- получено аналитическое выражение оценки среднеквадратического риска, как критерия качества идентификации, с учетом особенностей идентифицируемой модели;

- проведены вычислительные эксперименты по исследованию свойств рассматриваемых методов оценивания параметров;

2) выбраны критерии для идентификации структуры идентифицируемой модели и исследованы их свойства;

3) разработан и исследован метод идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной.

Методы исследования

В работе используются методы математической статистики, идентификации систем, принятия решений, а также методы имитационного моделирования.

Научная новизна полученных результатов

. .-Следующие нс/вые научные результаты получены лично автором:

1) для задачи идентификации модели дисперсии предложен метод, основанный на комплексном использовании статистической информации об объекте управления и результатов имитационного моделирования;

2) показано, что при оценивании дисперсии агрегированной выходной

переменной по максимальному собственному числу ковариационной

2

матрицы можно использовать аппроксимацию распределения х Пирсона;

3) получены свойства оценок параметров моделей с мультипликативной случайной составляющей, имеющей заданный закон распределения, для различных методов параметрической идентификации;

4) получены аналитические выражения для критерия эффективности метода идентификации, основанного на среднеквадратической ошибке прогноза;

5) предложена модификация критерия типа "скользящий контроль" для структурной идентификации модели, имеющей мультипликативную случайную составляющую.

Практическая ценность полученных результатов

Результаты работы используются также в учебном процессе при проведении лекционных и лабораторных занятий по дисциплине "Эконометрия" для «Прикладная информатика» и «Прикладная математика» в Радомском политехническом университете, Польша.

Личный вклад соискателя

Диссертационная работа выполнена автором самостоятельно, на основе личных идей и разработок. При использовании результатов других авторов указывались литературные источники научной информации.

Апробация результатов диссертации

Основные положения диссертации докладывались на:

1) семинарах кафедры Информатики факультета Педагогического факультета Радомского политехнического университета, Радом, Польша;

2) семинарах кафедры Информатика в педагогике факультета Педагогики и Валеологии Академии Свентокшиской, Кельце, Польша;

3) конференции КАСК-2003, Брест, Белоруссия

4) на семинаре по оптимальному управлению (руководитель семинара Дикусар В.В.), Московский физико-технический институт (кафедра математических основ управления)

5) семинаре института системного анализа РАН,

6) семинаре Центрального экономико-математического института РАН

7) семинаре Института проблем управления РАН

8) семинаре Института математического моделирования РАН

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 4 работы. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка

литературы, содержащего_наименований, и приложения. Основной

текст диссертации содержит_страниц. Работа содержит рисунков и

_таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы и излагается перечень вопросов, исследованию которых посвящена диссертация, формулируется цель исследования, а также защищаемые автором положения.

В первой главе сформулирована задача идентификации сложного объекта управления, характеризующийся большим числом составляющих элементов, неполнотой информации, ошибками - в данных и наличием множества моделей для описания, по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. Показано, что решение задач идентификации такого класса объектов требует использования дополнительной априорной информации о свойствах объекта управления,- большого объема экспериментальных данных и проведения имитационного

моделирования. Для повышения эффективности процесса идентификации ставится задача разработки метода, идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной.

В работе рассматривается сложный объект управления, который можно описать следующими группами переменных:

вектор входных переменных х = (х|,лт2,...,.г1), где к -общее число входных переменных;

вектор неуправляемых и неконтролируемых переменных е ;

вектор выходных переменных у = (у,,у2,—,уг), г-число выходных

переменных;

вектор агрегированных переменных -некоторая

непосредственно ненаблюдаемая характеристика, которая может быть получена с помощью определенных математических методов преобразования выходных переменных.

Рассматриваются квазистационарные сложные объекты управления, для которых в пределах стационарности существует функциональная зависимость дисперсии агрегированной выходной переменной вида

V = (О

где >7(х) - истинная модель, вид которой не известен,

£ - независимая случайная составляющая, распределенная по закону >

у - число степеней свободы случайной величины £.

Также предполагается, что имеется априорная информация о пределах изменения функциональной зависимости ;/(х): а ¿г](х)<Ь, и о множестве возможных значений вектора входных переменных

В работе рассматривается случай, когда на классе моделей задана структура, позволяющая ввести частичный порядок на множестве моделей. При таком порядке классы моделей как бы вложены один в другой: - множество моделей класса Так для линейных по параметрам моделей можно задать структуру в зависимости от количества членов модели. В этом случае каждый класс 5у задается следующей моделью

7(х,а,)=Гт(х)а,(/ = и,...,?), (2)

где вектор известных функций от вектора

п1 - число параметров модели }, <7--максимально возможный, порядок

модели, а[ = [а,,а2.....я»,]- вектор неизвестных параметров.

Предполагается, что в ходе эксперимента или наблюдений за сложным объектом управления получено реализаций вектора выходных

переменных у для каждого значения вектора В этом

случае экспериментальные данные можно представить в виде матрицы

Матрица (3) относится к так называемым панельным данным, основными характеристиками которых считаются вектор средних значений у(х,) и разброс наблюдений относительно центра распределения, поэтому каждое значение выходной переменной может быть представлено как

где .уДх,) - среднее значение выходной переменной у = 1,2

- случайная составляющая, имеющая нормальный закон распределения с параметрами

В данной работе исследуется зависимость разброса наблюдений относительно центра распределения от значения вектора а в качестве оценки рассеивания данных в направлении главной оси используется максимальное собственное число ¿„„(х,) ковариационной матрицы 0{у(х,)}, т.е. дисперсии главной компоненты выходного вектора. Предполагается, что между Ли» (О и X, существует зависимость вида (1): Агрегированной выходной переменной. Рассматривается применение предлагаемого метода идентификации к задаче оценки ~ квадрата расстояния между (

-и («)=*(«)£■ (4)

Для определения структуры зависимости (4) предполагается использовать метод структурной идентификации, т. е. выбора класса модели с помощью специального критерия.

В качестве цели идентификации сложного объекта управления рассматривается получение модели с наилучшей прогнозирующей способностью. Прогнозирующая способность оценивается по среднеквадратической ошибке прогноза (СКОП), которую для любой модели в области прогноза можно оценить следующим

функционалом

10)= /м|у-п^))>/|ах,0-=и...,?), (5)

ч/," / ш,

где - оператор математического ожидания.

Для оценки эффективности метода идентификации предлагается использовать математическое ожидание среднеквадратической ошибки прогноза

r(5)=ip,ig),

где pt - вероятность выбора модели с помощью критерия.

Во

второй главе проводится исследование различных методов

оценивания параметров модели дисперсии агрегированной выходной переменной. Рассматриваются свойства оценок параметров. Оценивается прогнозирующая способность методов. Качество прогноза оценивается по критерию среднеквадратической ошибки прогноза, для которого получено аналитические выражения с учетом особенностей модели дисперсии агрегированной выходной переменной.

Модель (4) может быть представлена в матричном виде

л = 0Ра, и

где Л - вектор значений выходных переменных ¿„„(х,), / = 1,2,...,/Г;

0 - диагональная матрица размера К*К с элементами на главной

диагонали;

- матрица полного ранга; - вектор параметров модели. Для МНК оценки параметров модели (6) имеют вид

£ = (ГТР)~'РТЛ.

В диссертации доказана следующая теорема.

Теорема. При условии, что м{^(х,)} = 1 и D{4(i,)}=2y, оценки параметров а модели (7), полученные методом наименьших квадратов,- являются несмещенными и обладают дисперсией

2y(ftF)~' FtPF(FtF)"' , где - диагональная матрица.

Для ВМНК оценки параметров модели имеют вид

(ftw*'f)"1 ftw~'a,

где W"1 —диагональная матрица весов.

В диссертации показано, что если матрица W"' является неслучайной, оценки параметров являются несмещенными и обладают дисперсией, задаваемой матричным выражением

D^}=2y(FTW"'F) iFtPF(FtW"'F)"'.

Для определения весов предлагается использовать итерационную

процедуру, для которой в диссертации разработан соответствующий алгоритм и показана эффективность этого алгоритма.

В работе также исследуется использование MHO. Суть этого метода заключается в оптимизации критерия

-1

► mm,

Й«=1[Нп

где ^ОО - оценки величины ¿.„„(х,)-

Оценки параметров модели, полученные по MHO, имеют вид

где Л, - диагональная матрица размера КхК,с элементами ^ ^

■ диагональная матрица размера Кх.К,с элементам!!

1

I, -единичный вектор.

В связи с тем, что получение аналитических зависимостей для характеристик оценок параметров в ряде случаев затруднено, в работе для сравнения свойств, предложенных методов оценивания параметров модели (1), было использовано имитационное моделирование на ЭВМ.

Несмотря на все возрастающую мощность вычислительной техники и совершенствование прикладного программного обеспечения, с увеличением числа исследуемых параметров ресурсов ЭВМ становится недостаточно для просчета всех возможных комбинаций параметров. В этом случае предлагается оптимально планировать вычислительный эксперимент и использовать априорно заданные ограничения на исследуемые параметры. На основании априорной информации о возможных значениях входных и выходных переменных в диссертации предложен алгоритм получения области возможных значений параметров, для которой необходимо проводить имитационный эксперимент по сравнению методов оценивания.

Проведенный в заданной области ограничений вычислительный эксперимент подтвердил, что оценки параметров модели (6), полученные всеми | тремя методами, являются несмещенными. Минимальной обобщенной дисперсией параметров на всей заданной области ограничений обладают оценки, полученные с помощью ВМНК.

Исследования прогнозирующей способности рассмотренных трех методов показали следующее.

Для МНК оценка прогноза в точке

имеет вид

Д,»-. ^(^-»X^f)'ftA, является несмещенной и обладает дисперсией ошибки прогноза

= г^Л^Г г^М"1 г'(О-

Для ВМНК оценка прогноза в точке

, является несмещенной с дисперсией

npns* /

вычисляется

как

Также как и в случае исследования свойств характеристик параметров модели (1), с целью сравнения прогнозирующей способности трех методов оценивания, был проведен вычислительный эксперимент, результаты которого подтвердили, что оценки прогноза в точке являются несмещенными. На заданной области исследования меньшей дисперсией . обладает ВМНК.

Для оценки качества прогноза в диссертации получены аналитические выражения для СКОП. При оценивании параметров модели с помощью

\ ] I Ik шлгкг.к-'гт/П' (*k( ) I I и Mi n "г шл :г

/(a.)=^ + rj 7J(x)-2-^)fa +faaTfT + ^f[FTF]",FTPF[FTF]",fT.

При оценивании параметров модели ВМНК выражение имеет вид

+2 f[f tW"'F |"'f tW"'P w'f [f Vf ]"'f t.

В работе был проведен вычислительный эксперимент с целью сравнения СКОП, получаемого рассматриваемыми методами, на заданной области. Анализ результатов вычислительного эксперимента показал, что значение СКОП для ВМНК и MHO меньше, чем для МНК на всей области исследования. При сравнении значений среднеквадратической ошибки прогноза для ВМНК и MHO была определена область, для которой СКОП по MHO меньше, чем для ВМНК.

Этот результат показывает необходимость разработки специального алгоритма выбора метода оценивания параметров модели в зависимости от априорной информации.

Третья глава. Материал настоящей главы посвящен выбору критерия селекции для идентификации структуры модели дисперсии агрегированной выходной переменной и его исследованию. Предлагается метод и алгоритм идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии

центрами распределения данных и проводится его сравнение с классическим методом оценки такого расстояния.

В работе в качестве критерия селекции для идентификации структуры модели дисперсии агрегированной выходной переменной использован

критерий «скользящего контроля». При исключении из выборки данных

последовательно только одной пары наблюдений критерий имеет вид

- диагональная матрица с элементами

^Г^зау'РУ'Р7^-'.

При исключении последовательно двух пар' 1 и т (^.^„„(х,) критерий имеет вид

где - количество сочетаний всех возможных пар.

Поскольку количество исключаемых из последовательности пар влияет на величину СКОП, для сравнения критериев селекции и был

проведен вычислительный эксперимент. В качестве глобальных критериев сравнения в диссертации использовалась статистики: математическое ожидание среднеквадратической ошибки прогноза и частота выбора истинной модели. Результаты вычислительного эксперимента показали, что существуют области значений параметров, для которых лучшими свойствами обладает либо критерий , либо критерий

Для МНО оценка прогноза в точке хпр0п1 есть

В работе предлагается метод и алгоритм идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. Сущность предлагаемого метода заключается в следующем. На основе имеющейся априорной информации строится область ограничения на параметры модели. В полученной области ограничений на параметры проводится вычислительный эксперимент с целью выбора метода оценивания параметров модели, обладающего наилучшей прогнозирующей способностью. После выбора метода оценивания параметров на этой же области проводится вычислительный эксперимент с целью выбора критерия селекции для определения структуры модели, обладающей наилучшей прогнозирующей способностью. Далее проводится идентификация модели с помощью выбранного метода оценивания параметров и критерия селекции.

где

(к = 1)

,Т - диагональная матрица с элементами 11к = ^ ,

О, (к = 1)

С целью проверки эффективности метода был проведен вычислительный эксперимент на ЭВМ, который показал работоспособность данного алгоритма.

В диссертации также рассматривается случай объединения двух соседние панели данных вида (3), например У(х,) и У(х,,,), образующих панель Показано, что в этом случае максимальное собственное

число ковариационной матрицы, оцененной по матрице пропорционально квадрату расстояния между центрами распределения данных соответствующих х, и х„,. Предложена модификация метода идентификации по модели дисперсии агрегированной выходной переменной для прогнозирования расстояния между центами распределения данных и с помощью вычислительного эксперимента показана эффективность этого метода.

В четвертой главе рассматривается применение разработанного метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии» агрегированной выходной- переменной для мониторинга потребительских цен в экономике.

В качестве примера применения метода идентификации расстояния между центрами распределения данных по модели дисперсии агрегированной выходной переменной рассмотрен мониторинг потребительских цен в экономике. Рыночная цена товаров и услуг представляет собой результат влияния на цену производителя таких факторов, как инфляция, дифференциация общества, престижность товара. В работе показано, что учет минимальных, максимальных и преобладающих цен на товары и услуги на рынке позволяет составить панели данных вида (3) для каждого периода наблюдения. По парное объединение полученных панелей данных позволило построить модель зависимости расстояния между центрами распределения данных, которое собтветствует уровню инфляции, от времени. '

В заключении сформулированные выносимые на защиту результаты диссертационной работы и возможные направления дальнейших исследований.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основным результатом работы является разработка метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. В частности:

1) проанализированы существующие подходы к идентификации сложных объектов управления, характеризующиеся агрегированным выходом;

2) поставлена задача идентификации сложных объектов управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной;

3) получены аналитические выражения с учетом мультипликативности случайной составляющей для среднеквадратической ошибки прогноза и критериев структурной идентификации типа "скользящий контроль";

4) показано, что оценки параметров и оценки прогнозных значений модели дисперсии агрегированной выходной переменной, полученные при использовании метода наименьших квадратов, взвешенного метода наименьших квадратов, метода наименьших отношений являются несмещенными;

5) разработан алгоритм и программное обеспечение метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. Результаты вычислительного эксперимента, проведенного с помощью разработанного программного обеспечения, показали эффективность метода;

6) на основании разработанной методики проведены идентифицирующие эксперименты мониторинга потребительских цен в экономике.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. М. Grzywaczewski, A. Urbanski. Identification of control model with aggregated output. Proceedings of the international workshop "APPLICATION OF THE "MATHEMATICA" SYSTEM TO SOCIAL PROCESSES AND MATHEMATICAL PHYSICS"(Brest, 3 - 6 June 2003). - Brest: BrGU Press, pp. 16-21

2. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методы оценки параметров в задачах экономики и финансовой математики. М.: МФТИ, 2004, 108 стр.

3. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методика численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. М.: МФТИ, 2004, 106 стр.

4. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным выходом. М.: МФТИ, 2004,112 стр.

Диссертация посвящена разработке метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. Для описания модели дисперсии используется функциональная зависимость с мультипликативной случайной составляющей. В работе предложены методы параметрической и структурной идентификации этой функциональной зависимости, а так же критерии оценки эффективности идентификации. Суть метода заключается в том, что используя априорную информацию об объекте, последовательно проводятся, вычислительные эксперименты, целью которых является получение наилучших методов параметрической идентификации по критерию среднеквадратической ошибки прогноза и структурной идентификации по критерию математического ожидания среднеквадратической ошибки прогноза.

Ключевые слова: сложный объект управления, агрегированная выходная переменная, модель дисперсии, мультипликативная случайная составляющая, параметрическая идентификация, структурная * идентификация.

The contains results of the development and investigations of complex control object identification method by output latent variable variance model. The object described by the large number of elements, incompleteness of the information, errors in the data and set models availability for the description is understood by complex control object. For variance model description the functional dependence with multiplicative chance factor is used. Methods of parametric and structural identification as well as criteria of the mean-squared prediction error and the average of the mean-squared prediction error are offered for this functional dependence identification.

The idea of this method is as follows. A priori information about object is used in order to find possible parameters values aria. The purpose of the first Monte-Carlo experiment is the best for this aria by the mean-squared prediction error criterion parametric identification method obtaining. The second one is completed in order to get the best by the average of the mean-squared prediction error structural identification method. Hence parametric and structural identification methods are selected the object variance model can be found.

Application of offered identification method to square of distance between two data distributions centers estimation problem is shown in the thesis. This method with a classical estimation method comparison was carried out.

As an example of this method, technical analysis of the consumer prices in economics was presented.

Key words: complex control object, output latent variable, variance model, multiplicative chance factor, parametrical identification, structural identification.

Урбаньский Анджей

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ СЛОЖНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЕ С АГРЕГИРОВАННЫМ ВЫХОДОМ

Подписано в печать 15.01.2004. Формат 60x90/16 Усл.печ.л. 0,75. Тираж 60. Заказ №279 Московский физико-технический институт (государственный университет) 141730, г. Долгопрудный М. обл., Институтский пер., д. 9

Р- 3080

Введение

Глава 1. Проблема построения оптимальной дисперсионной модели сложного объекта управления с агрегированным выходом

1.1. Регрессионные модели квазистационарных объектов управления с агрегированным выходом

1.2. Оценка модели дисперсии агрегированной переменной

1.3. Проблема оценивания параметров модели дисперсии агрегированной переменной

1.4. Критерии структурной идентификации модели объекта управления

1.5. Выводы

Глава 2. Исследование особенностей и эффективности процедур идентификации модели дисперсии агрегированной переменной

2.1. Распределение максимального собственного числа выборочной ковариационной матрицы

2.2. Исследование методов оценки параметров модели дисперсии агрегированной переменной

2.3. Построение области возможных значений параметров модели дисперсии

2.4. Вычислительный эксперимент по сравнению методов оценивания параметров модели дисперсии агрегированной переменной

2.5. Прогнозирующая способность методов оценивания параметров модели дисперсии агрегированной переменной

2.6. Оценка среднеквадратической ошибки прогноза для модели дис

Персии агрегированной переменной

2.7. Выводы

Глава 3. Метод идентификации сложного объекта управления по моде- 60 ли дисперсии агрегированной переменной

3.1. Критерии скользящего контроля в задаче идентификации структуры модели дисперсии агрегированной переменной

3.2. Вычислительные эксперименты по исследованию свойств критериев селекции

3.3. Метод идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной

3.4. Вычислительный эксперимент по исследованию эффективности метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной

3.5. Идентификации квадрата расстояния между двумя центрами распределения данных по модели дисперсии агрегированной переменной 78 3.6 Вычислительный эксперимент по исследованию эффективности метода идентификации квадрата расстояния между центрами распределения данных по модели дисперсии агрегированной переменной 84 3.7. Выводы

Глава 4. Примеры использования метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной

4.1. Программное управление процессом подготовки спортсменов

4.2. Мониторинг потребительских цен в экономике 95 Заключение 107 Литература

При разработке систем управления особо ответственным является этап идентификации объекта управления, от реализации которого в значительной степени зависит качество спроектированной системы управления. Проблеме идентификации объектов управления в условиях неопределенности посвящено большое количество работ, как в отечественной, так и в зарубежной литературе (Вапник В.Н. [5, 10], Ивахненко А. Г. [22-29], Сте-пашко B.C. [54, 55], Цуканов А. В.[84-90], Миллер А. [94] и др.). Для класса стохастических объектов управления в большинстве этих работ рассматривается построение моделей зависимостей средних значений выходных переменных от входных переменных. В то же время, для широкого класса сложных объектов управления, характеризующегося стохастич-ностыо, нестационарностью, многомерностью и многосвязностыо, необходимо идентифицировать модель дисперсии выходной переменной. К таким объектам можно отнести многие технологические и экономические процессы, биологические, экологические и медицинские системы. Большой вклад в развитие методов идентификации такого класса систем внесли Райбман Н.С. [16, 42,46], Айвазян С.А.[1-4], Перельман И.Щ44], Расстри-гин Л.А. [48,49] и др.

Современный уровень вычислительной техники позволяет сделать следующий шаг в повышении эффективности решения задачи идентификации рассматриваемого класса систем за счет интенсивного использования методов имитационного моделирования и новых результатов, полученных в теории управления.

В связи с вышеизложенным разработка методов идентификации объектов управления по модели дисперсии на основе имитационного моделирования является актуальной научной задачей и имеет важное народнохозяйственное значение. 4

Цель работы состоит в разработке метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной с мультипликативной случайной составляющей и в применении этого метода для повышения эффективности управления конкретными системами.

Для достижения цели исследования в диссертации решены следующие задачи:

1) определены особенности и критерии эффективности процедур параметрической идентификации модели дисперсии агрегированной переменной , в частности:

- получены аналитические выражения оценок параметров для метода наименьших квадратов, взвешенного метода наименьших квадратов, метода наименьших отношений и показаны их свойства;

- проанализирована прогнозирующая способность рассматриваемых методов оценивания параметров;

- получено аналитическое выражение оценки среднеквадратического риска, как критерия качества идентификации, с учетом особенностей идентифицируемой модели;

- проведены вычислительные эксперименты по исследованию свойств рассматриваемых методов оценивания параметров;

2) выбраны критерии для идентификации структуры идентифицируемой модели и исследованы их свойства;

3) разработан и исследован метод идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной.

Материал диссертации изложен в четырех главах.

Во введении обоснованы актуальность темы и излагается перечень вопросов, исследованию которых посвящена диссертация, формулируется цель исследования, а также защищаемые автором положения.

В первой главе сформулирована задача идентификации сложных объектов управления, характеризующихся большим числом составляющих элементов, неполнотой информации, ошибками в данных и наличием множества моделей для описания по модели дисперсии агрегированной переменной. Показано, что решение задач идентификации такого класса объектов требует использования дополнительной априорной информации о свойствах объекта управления, большого объема экспериментальных данных и проведения имитационного моделирования. Для повышения эффективности процесса идентификации ставится задача разработки метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной.

Во второй главе проводится исследование различных методов оценивания параметров модели дисперсии агрегированной переменной. Рассматриваются свойства оценок параметров. Оценивается прогнозирующая способность методов. Качество прогноза оценивается по критерию средне-квадратической ошибки прогноза, для которого получено аналитические выражения с учетом особенностей модели дисперсии агрегированной переменной.

Третья глава посвящена выбору критерия селекции для идентификации структуры модели дисперсии агрегированной переменной и его исследованию. Предлагается метод и алгоритм идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной. Рассматривается применение предлагаемого метода идентификации к задаче оценки квадрата расстояния между центрами распределения данных и проводится его сравнение с классическим методом оценки такого расстояния.

В четвертой главе рассматривается применение разработанного метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной для следующих объектов управления: процесс подготовки спортсменов и мониторинг потребительских цен в экономике.

В заключении сформулированы выносимые на защиту результаты диссертационной работы и возможные направления дальнейших исследований. j « t

3.7 Выводы

1. Получены аналитические выражения для критериев структурной идентификации типа «скользящий контроль» с учетом особенностей модели с мультипликативной случайной составляющей.

2. Показано, что эффективность критерия селекции зависит от значений параметров истинной модели и показано, что в одной области лучшими свойствами обладает один критерий, а в другой области - другой критерий. Поэтому перед структурной идентификацией модели с мультипликативной случайной составляющей необходимо, используя априорную информацию, провести вычислительный эксперимент, который позволит выбрать наилучший критерий селекции.

3. Предложен метод идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной, основанный на использовании априорной информации и последовательном проведении вычислительных экспериментов, позволяющих определить наилучшие метод параметрической и структурной идентификации.

4. Эффективность предлагаемого метода подтверждена результатами вычислительного эксперимента.

5. Предложена модификация рассматриваемого в работе метода для идентификации объекта по модели квадрата расстояния между двумя центрами распределения данных.

6. Эффективность применения такого подхода была подтверждена результатами вычислительных экспериментов.

ГЛАВА 4

ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА ИДЕНТИФИКАЦИИ СЛОЖНОГО ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ ПО МОДЕЛИ ДИСПЕРСИИ АГРЕГИРОВАННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В настоящей главе рассматривается применение метода идентификации к задаче программного управления процессом подготовки спортсменов и технического анализа потребительских цен в экономике. Для каждого примера анализируются экспериментальные данные и показывается необходимость применения метода. По экспериментальным данным строятся прогнозирующие модели. Даются рекомендации по использованию метода.

4.1. Программное управление процессом подготовки спортсменов

Примером использования метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной переменной является построение модели процесса подготовки спортсменов или программного управления процессом подготовки. В ходе тренировок одной группы спортсменов происходит сравнение антропометрических данных этих спортсменов с данными моделей (тестирование). Целью тренировки является достижение минимального разброса между данными спортсменов и моделей для всех спортсменов одной группы. С другой стороны, идентификация зависимости разброса данных от времени позволяет тренеру определить, каким образом влияет выбранная схема тренировок на результаты спортсменов и принять решение об эффективности тренировочного процесса.

Экспериментальные данные о тренировочном процессе предоставлены фитнес клубом, г. Радом. В тренировочном процессе участвовало 15 спортсменов, для каждого из которых имелись модельные антропометрические данные. Один раз в месяц, в течении шести месяцев, каждый спортсмен проходил тестирование, т.е. измерялись следующие антропометрические показатели: возраст (у,), рост (.у2)> вес (у3), длина ног (у4), объем шеи (у5), объем грудной клетки (у6), объем плеча (у7), объем предплечья (у„), объем талии (>-,), объем таза (у10), объем бедра (.у,,), объем голени (Угг)

В этом случае входной вектор характеризуется только одной переменной - время - / , / = 1,2,.,6. В качестве компонент вектора выходных переменных будем использовать переменные у, .

Для каждого момента времени панели данных были сформированы следующим образом: столбцы соответствовали выходным переменным у,-уп, первые пятнадцать строк - данным моделей, а вторые пятнадцать -данным спортсменам. В таблице 4.1 приведен фрагмент матрицы, соответствующий первому контрольному моменту.

Путем нормирования все исходные данные были сведены к единому масштабу, и как в предыдущем параграфе для каждой панели данных был проведен компонентный анализ. На рисунке 4.1 приведены результаты этого анализа. Очевидно, что с течением времени разница между значениями показателей моделей и спортсменов уменьшается, таким образом, можно утверждать, что разброс данных уменьшается и что это свидетельствует об эффективности тренировочного процесса. Поэтому программное управление тренировочным процессом можно осуществлять, используя разработанный в диссертации метод.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом работы является разработка метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. В частности£f 01

1) проанализированы существующие подходы к идентификации сложных объектов управления, характеризующиеся агрегированным выходом;

2) поставлена задача идентификации сложных объектов управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной;

3) получены аналитические выражения с учетом мультипликативности случайной составляющей для среднеквадратической ошибки прогноза и критериев структурной идентификации типа "скользящий контроль";

4) показано, что оценки параметров и оценки прогнозных значений модели дисперсии агрегированной выходной переменной, полученные при использовании метода наименьших квадратов, взвешенного метода наименьших квадратов, метода наименьших отношений являются несмещенными;

5) разработан алгоритм и программное обеспечение метода идентификации сложного объекта управления по модели дисперсии агрегированной выходной переменной. Результаты вычислительного эксперимента, проведенного с помощью разработанного программного обеспечения, показали эффективность метода;

6) на основании разработанной методики проведены идентифицирующие эксперименты программного управления процессом подготовки спортсменов, мониторинга потребительских цен в экономике;

7) предложенная методика позволила построить модель, описывающую процесс выдержки вина. Использование этой модели для корректировки процесса выдержки дало соответствующий экономический эффект.

1. Айвазян С.А., Бухштабер В.М., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижение размерности/ под редакцией Айвазяна С.А. М.: Финансы и статистика, 1989.- 607 е.: ил.

2. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. М.: Финансы и статистика, 1983.-471 с.

3. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Статистическое исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1983,- 471 с.

4. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

5. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей// Под ред. В.Н. Вапника. М.: Наука, 1984. - 816 с.

6. Александров В.В., Алексеев А.И., Горский Н.Д. Анализ данных на ЭВМ (на примере системы СИТО). -М.: Финансы и статистика, 1990. 192 с.

7. Алимов Ю.И. Прогнозирование распределений вероятностей. Свердловск: изд. УПИ, 1986. - 88 с.

8. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963, с.500, ил.

9. Блоч Б., Хуань К. Дж. Многомерные математические методы для экономики. М.: Статистика, 1979.- 317с., ил. (Математико-статистические методы за рубежом)

10. Ю.Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. -М.: Наука, 1979.-448 с.

11. КГантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1971. 576 с.

12. Гирко В.Л. Предельные теоремы для функций случайных величин. -Киев: Вища школа, 1983. 207 с.

13. Гирко В.JI. Случайные матрицы. Киев: Вища школа, 1975. - 448 с.

14. М.Гирко В.Л. Теория случайных детерминантов. Киев: Вища школа, 1980.-368 с.

15. Дж.-0. Ким, Ч. У. Мьюллер. Факторный анализ: статистические методы и практические вопросы

16. Дисперсионная идентификация / под редакцией Н.С. Райбмана. М.: Наука, 1981.-336 с.

17. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Финансы и статистика, 1986 с.

18. Дубов A.M. Обработка статистических данных методом главных компонент. М.: Статистика, 1978. 135 с.

19. Дубровский С.А. Прикладной многомерный статистический анализ. М.: Финансы и статистика, 1982. 216 с.20.3акс Л. Статистическое оценивание. М.: Статистика, 1976. - 598 с.

20. Иберла К. Факторный анализ. -М.: Статистика, 1980. 398 с.

21. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. Киев: Техника, 1975. - 312 с.

22. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных систем. Киев: Наук. Думка, 1982. - 296 с.

23. Ивахненко А.Г. Проблемы расширения пакета прикладных программ для решения задач моделирования на основе МГУ А// Программные продукты и системы. 1991. - № 1. - С. 7-11.

24. Ивахненко А.Г. Системы эвристической самоорганизации в технической кибернетики. Киев.: Техника, 1971. - 372 с.

25. Ивахненко А.Г., Жолпарский А.А. Оценка коэффициентов полиномов в параметрических алгоритмов МГУА по улучшенному методу инструментальных переменных// Автоматика. 1992. - № 3. - С.25-33.

26. Ивахненко А.Г., Мюллер Й.А. Самоорганизация прогнозирующих моделей. Киев: Техника, 1985. - 225 с.

27. Ивахненко А.Г., Степашко B.C. Помехоустойчивость моделирования. -Киев: Наук. Думка, 1985. 200 с.

28. Ивахненко А.Г., Юрачковский Ю.П. Моделирование сложных систем по экспериментальным данным. М.: Радио и связь, 1987. - 120 с.

29. Кендалл М. Дж., Стыоарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.

30. ЗККендалл М. Дж., Стыоарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.-890 с.

31. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика. Принципы и примеры М.: Мир, 1984.-200 с.

32. Кокс Д., Хинкли Д. Теоретическая статистика. М.: Мир, 1978. - 560 с.

33. Кочерга Ю.Л. Оптимизация структуры линейных регрессионных прогнозирующих моделей в условиях неопределенности// Автоматика. -1992.-№3.-С. 42-46.

34. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

35. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1979. - 408 с.

36. Лоули Д., Максвелл А.Э. Факторный анализ как статистический метод. М.: Мир, 1967, С. 146

37. Лыоинг Л. Идентификация систем. Теория пользователя. М.: Наука, 1991.-432 с.

38. Малинво Э. Статистические методы эконометрии. М.: Статистика,1975, с.424

39. Малинво Э. Статистические методы эконометрии. М.: Статистика,1976, с.328

40. Перельман И.И. Оперативная идентификация объектов управления. -М.: Энергоиздат, 1982. 272 с.

41. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Гос. изд. ф.-м. лит-ры, 1960. - 884 с.

42. Райбман Н.С. Что такое идентификация? М.: Наука, 1970. 345 с.

43. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968.-547 с.

44. Расстригин Л.А. Системы экстремального управления. М.: Наука, 1974.-623 с.

45. Расстригин Л.А., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления. М.: Энергия, 1977. - 216 с.

46. Репин В.Г., Тартаковсий Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и сдаптация информационных систем. М.: Радио и связь, 1977.-432 с.

47. Романов В.Л, Выбор наилучшей линейной регрессии: сравнение формальных критериев// Заводская лаборатория. 1990. — №1. - С.90-95.

48. Сборник под редакцией Енюкова. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ

49. Современные методы идентификации систем / под редакцией П. Эйк-хоффа. М.: Мир, 1983. - 400 с.

50. Степашко B.C. Асимптотические свойства выбора моделей// Автоматика. 1988. - №6. - С. 65-70.

51. Степашко B.C. Структурная идентификация прогнозирующих моделей в условиях планируемого эксперимента// Автоматика. 1992. - №1. - С. 26-35.

52. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. -312с.

53. Филатова Д. В. Анализ изменчивости биржевых котировок методом идентификации компонентной модели // Вестник Сев. ГТУ: Сб. науч. тр. 1999.-С.117- 122.

54. Филатова Д.В. Метод идентификации гетероскедастической модели технологического процесса //Оптимизация производственных процессов. 1999. - №2 - С. 184-186.

55. Филатова Д.В. Применение метода идентификации дисперсионной модели для мониторинга динамики цен коммерческой торговли // Вестник Сев. ГТУ: Сб. науч. тр. 1999. -Вып. 21. - С. 144 - 148.

56. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. М.: Статистика, 1978.-233 с.

57. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. — М.: ИЛ, 1956.-346 с.

58. Харман Г. Современный факторный анализ. М.: Статистика, 1972. -488 с.

59. Хартман К., Э. Лецкий, В. Шефер. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М.: Мир, 1977. - 552 с.

60. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.-239 с.

61. Цуканов А.В., Филатова Д.В. Компонентный анализ панельных данных о состоянии технологического процесса //Оптимизация производственных процессов. 1999. -№1 - С. 91 - 97.

62. Цуканов А.В., Филатова Д.В. Критерии скользящего контроля в задаче структурной идентификации гетероскедастической модели объекта управления // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. Запорожье, 1999.- №2-С. 126-129

63. Цуканов А.В., Филатова Д.В. Статистический анализ динамики цен коммерческой торговли // Вестник Сев. ГТУ: Сб. науч. тр. 1998. - С. 76-81.

64. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 1999. - 1028 с.

65. Шметтеррер JI. Введение в математическую статистику. М.: Наука, 1976.-520 с.

66. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1978. -418 с.

67. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. М.: Финансы и статистика, 1988. - 263 с.

68. Юрачковский Ю.П. Структурное моделирование по выборкам наблюдений// Автоматика. 1983. -№1. - С. 30-38.

69. Юрачковский Ю.П., Грошков А.Н. Оптимальное разбиение исходных данных на обучающую и проверочную последовательности на основе анализа функций распределения критерия// Автоматика. 1980. - №2. -С. 5-12.

70. Andrews D.W.K. Consistent Moment Selection Procedures for Generalised Method of Moment Estimation // Econometrica. 1999. Vol. 67, № 3. - P. 543-564.

71. Baltagi B.H. Econometric Analysis of Panel Data. New York: Wiley, 1995. -398p.

72. Bradlow E. Т., Zaslavsky A. M. A Hierarchical Latent Variable Model for Ordinal Data From a Customer Satisfaction Survey With "No Answer" Responses // Journal of the American Statistical Association. 1999. - Vol. 94, №445.-P. 43-52.

73. Chen J., Gupta A.K. Nesting and Location Variance Changepoints With Application to Stock Prices // Journal of the American Statistical Association. 1999. Vol. 92, № 438. - P. 739 - 747.

74. Daniels M.J., Gatsonis C. Hierarchical Generalized Linear Models in the Analysis of Variations in Health Care Utilization// Journal of the American Statistical Association. 1999. - Vol. 94, № 445. - P. 29 - 43.

75. Filatova D.V. Application of Dynamic Factor Model for the Training Process Prediction // Computational Intelligence and Applications (Studies in fuzzi-ness and soft computing), Vol. 23. Germany: Physica-Verlag, 1999. - P. 150-155

76. Filatova D.V. Application of Factor Analysis for Construction of the Training Process Models // 15lh IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics, Proceedings Vol.1, 1997. P. 605-608.

77. Filatova D.V., Filatova E.V. The method of Factor Model Identification of Complex Control Object // ISI Satellite Meeting - Mathematical Statistics and its application to Biosciences. - Rostock, 1997. - P. 70.

78. Gauch H.G. Jr. Model Selection and Validation for Yield Trials with Interaction//Biometrics. 1988.-44.-P. 705-715.

79. Herzberg A. M., Tsukanov A.V. The Monte-Carlo comparison of two criteria for the selection of the models // Journal of Statistical Computation and Simulation. GB: Gordon and Breach, 1985. - N. 22.- P. 113-126.

80. Herzberg A.M., Tsukanov A.V. A Note on Modification of the Jackknife Criterion for Model selection.// Utilitas Mathematica. Winnipeg, 1986. -№29. P. 209-216.

81. Herzberg A.M., Tsukanov A.V. A Note on the Choice of the Best Selection Criterion for the Optimal Regression Model // Utilitas Mathematica. 1999. -Vol. 55. P. 243-254.

82. Herzberg A.M., Tsukanov A.V. The design of Experiment for Model selection: Minimization of the Expected Mean-Squared Error // Utilitas Mathematica. 1995. - Vol. 47. P. 85 - 96.

83. Herzberg A.M., Tsukanov A.V. The design of Experiment for Model selection with the Jackknife Criterion// Utilitas Mathematica. Winnipeg, 1985. -№29. P. 209-216.

84. Herzberg A.M., Tsukanov A.V. The Design of Experiments for Model Selection // Proceedings of the 1st World Congress of the Bernoulli Society. -1987.-Vol. 2.-P. 175- 178.

85. Herzberg A.M., Tsukanov A.V. The Monte-Carlo Comparison of two Criteria for the Selection of Models// J. Statist. Comput. Simul. 1985. - Vol. 22. -P. 113-126.

86. Krzanowski W.J. Cross-Validation in Principal Component Analysis // Biometrics. 1987. 43. - P. 575 - 584.

87. Kyriazidou E. Estimation of A Panel Data Sample Selection Model // Econometrica. 1997.-Vol. 65,№6.-P. 1335- 1364.

88. Mallows C. L. Some Comments on Cp. // Technometrics. 1973. Vol. 15, №4. —P. 661—676.

89. Miller A.J. Subset Selection in Regression. London: Chapman and Hall, 1990.-240 p.

90. Moral M.J., Valderrama M. J. A Principal Component Approach to Dynamic Regression Models // International Journal of Forecasting. 1997. Vol. 13. -P. 237-244.

91. Ronchetti E., Field C., Blanchard W. Robust Linear Model Selection by Cross-Validation // Journal of the American Statistical Association. 1997. -Vol. 92, № 439. p. 1017 - 1023.

92. Shao J. Bootstrap Model Selection // Journal of the American Statistical Association. 1996. - Vol. 91, № 434. - P. 655 - 665.

93. Sitter R.R. Variance Estimation for the Regression Estimator in Two-Phase Sampling // Journal of the American Statistical Association. 1999. Vol. 92, №438.-P. 780-787.

94. Teylor S.J. Modelling Financial Time Series. — Chichester : Wiley, 1986. — 507 p.

95. Tsukanov A. V., Filatova D. V. The Component Model Identification Method of Multivariate Economic Process. // COMPSTAT 1998, Proceedings in Computing Statistics. Heidelberg, 1998. - P. 218 - 219.

96. Филатова Д., Урбаньский А. Математическая модель индексов потребительских цен. Proceeedings of the international workshop, Brest, 3-6 June, 2003. Brest: BrGU Press, pp. 211-218.

97. В. Беликов, M. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методы оценки параметров в задачах экономики и финансовой математики. М.: МФТИ, 2004, 108 стр.

98. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Методика численного решения стохастических дифференциальных уравнений и вопросы идентификации параметров. М.: МФТИ, 2004, 106 стр.

99. В. Беликов, М. Гживачевски, А. Урбаньский, Д. Филатова. Вопросы идентификации моделей управления с агрегированным выходом. М.: МФТИ, 2004, 112 стр.