автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Идентификация и оптимальное по быстродействию управление линейными динамическими системами

РГо ОД

? 1 йоГ глз

На правах рукописи

ЛАЗУКИН Алексей Алексеевич

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Тула 2000

Работа выполнена в Тульском государственном университете Научный руководитель: доктор технических нате,

профессор, академик РАЕН Фатуев В.А.

Официальные оппонент:

доктор физико-математических наук,

профессор

Буркин И.М.

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Берщанский Я.М.

Ведущая организация:

Тульский артиллерийский инженерный институт

Защита состоится «<ЗГ» ¿/№¿¿1 2000 г. в /О часов на заседании диссертационного совета К 063.47.10 в Тульском государственном университете по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 (корпус 9, ауд. 101).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан " 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.А.Ковешников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача оптимального по быстродействию управления линейными динамическими системами занимает особое место среди задач управления. Ее решение основано на принципе максимума Л.С. Понтрягина я базируется на использовании моделей динамики в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Однако, если модель динамики является неточной, решение задачи оптимального быстродействия имеет существенную ошибку. Поэтом)', актуальной является задача анализа моделей динамики, ориентированных на перевод динамической системы из одного состояния в другое за минимальное время. Такие задачи имеют исключительно важное значение для многих технических систем. Они возникают, например, при выводе потенциально опасных объектов из предаварийных состояний.

Построение математической модели реальной динамической системы возможно на основе результатов либо пассивного, либо активного эксперимента. Методы пассивной идентификации к настоящему времени достаточно разработаны и продолжают развиваться. Современный уровень развития теории оптимального эксперимента позволяет сформулировать практически все задачи, решаемые методами пассивной регрессионной идентификации, в классе задач опгамальной-идентификации. Важное значение при формализации и решении задачи оптимальной идентификации имеет структура динамической регрессионной модели идентифицируемой системы. Выбор структуры модели должен опираться, во-первых, на возможность адекватного описания динамических свойств системы в заданном интервате изменения входного сигнала, определяющем: пространство планирования, во-вторых, на возможность решения с использованием синтезируемой модели конкретной прикладной задачи. В подавляющем большинстве случаев подобные структуры являются нелинейно-

параметризованными. Многообразие подобных структур динамических регрессионных моделей требует использовать для оценивания их неизвестных параметров современные статистические методы оценивания и регрессионного анализа.

Таким образом, совместное решение задач идентификации и оптимального по быстродействию управления на основе оценочных моделей динамики является актуальным.

Целью диссертационной работы является построение и исследование свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с анализом их пригодности для синтеза оптимального по быстродействию управления.

Методы исследования. В работе используются методы математической теории оптимального управления, теории последовательной оптимальной идентификации, регрессионного анализа, нелинейного оценивания, теории автоматического управления, теории матриц, теории алгоритмов, имитационного моделирования.

Научные положения, разработанные лично соискателем и научная новизна работы :

• Разработана методика анализа свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний, с позиций их пригодности для решения задачи максиматьного быстродействия.

•Преодолены неопределенности решения задачи максимального быстродействия по неточным моделям за счет выявления из множества альтернативных моделей наилучшей модели по отношению неразличимости.

• Решена задана снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей для параметров оценочных моделей динамики.

• Методом имитационного моделирования доказано, что предложенный метод построения совместных доверительных областей для неизвестных параметров модели корректен.

Практическая ценность работы заключается в том, что проведенный анализ и разработанный на его основе комплекс программных средств обеспечивает реализацию методов: идентификации моделей пространства состояний; оценки пригодности модели (на основе отпошеши неразличимости); снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей; приближенного решения задачи лпнейпого быстродействия, что открывает широкие возможности для оптимального по быстродействию управления реальными техническими объектами, позволяя преодолеть неопределенности, порожденные использованием неточных моделей динамики.

Реализация результатов диссертационной работы. Тема диссертационной работы непосредственно связана с тематикой научно-исследовательских работ кафедры автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета.

Результаты работы использованы в процессе настройки технологического оборудовали ООО «Радуга-3000», г. Тула; в разработке систем управления ГУЛ ГНПП «Сплав», г. Тула; при проведении комплексных расчетов ГосНИП, г. Тула; в учебном процессе на кафедре автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.

1. 12-ая международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях», г. Великий Новгород (1999 г.).

2, Научно-практические конференции профессорско-преподавательского состава ТулГУ (г. Тула 1997 - 2000 г.г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 3 печатных работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов и заключения, изложенных на 117 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков, 17 таблиц, список использованной литературы из 172 наименований и 3 приложения.

-7-

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика проблемы, показана ее актуальность, а также дано краткое изложение содержащихся в работе результатов. Здесь же формулируется основная цель диссертации, заключающаяся в построении и исследовании свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с анализом их пригодности для синтеза оптимального по быстродействию управления.

В первом разделе для выбора методов решения поставленной задачи осуществлен обзор и анализ современных методов идентификации и оптимального по быстродействию управления. Показано, что для решения поставленных в работе задач эффективно использование метода параметрической идентификации дискретных моделей пространства состояний, реализуемого по следующему алгоритму:

1. Определение МНК оценок ординат импульсной переходной функции.

2. Вычисление начальных оценок неизвестных коэффициентов модели пространства состояний по оценкам ординат импульсной переходной функции.

3.Уточнение оценок неизвестных параметров модели пространства состояний методом Гауеса-Ныотона или его модификациями.

Рассматриваются методы синтеза оптимального по быстродействию управления. Показано, что наиболее эффективно использовать принцип максимума Л. С. Понтрягана. Отмечается, что точное решение задачи связано с серьезными трудностями. Предлагается использовать приближенные методы вычислений.

Проведенный обзор методов приближенного решения задачи онтн-мальното по быстродействию управления и последующий анализ показали, что наиболее эффективным для решения поставленной задачи являет-

ся метод, предложенный кт.н. Я.М. Берщансхим. Он позволяет обходиться без достаточно точного начального приближения.

Рассмотрены методы анализа пригодности идентифицированной модели. Выбран метод анализа на основе отношения неразличимости.

В результате проведенного анализа существующих методов идентификации и синтеза оптимального по быстродействию управления в диссертации поставлены следующие задачи:

• разработать базовый набор программных модулей, реализующий определенные выше методы;

• разработать комплекс программных средств, использующий данные модули;

« провести моделирование рассмотренных методов и алгоритмов;

• методом имитационного моделирования провести построение и исследование свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с анализом их пригодности для синтеза оптимального по быстродействию управления.

Во втором разделе производится формализация й решение задач идентификации и оптимального по быстродействию управления линейными динамическими системами, но оценочным моделям.

Рассмотриваегся полностью управляемая и наблюдаемая система п-го порядка без внутреннего шума

= Ах(У)+би(г); (1)

где х(1) - п- мерный вектор состояния; и(0 - управление; А, В-

матрица и вектор оценок неизвестных параметров.

Уравнение наблюдения имеет вид:

2ф = Нт*(0+е0), (2)

где ?Х{) - выходной параметр, Ь = [1,0,... .0], е({) - белый гауссов

2

шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией сс.

Данная модель может быть получена из дискретной модели, которая имеет вид:

х(к 4-1) = Тх(к) 4- Г и(к); 1{к) ~ ЬТх(к) + е(к),

где к- дискретное с шагом Л1 время; х(к) - п- мерный вектор состояния; и(к) - управление; Т =

матричная форма, определяемая вектором оценок неизвестных параметров

А

а; Г - вектор оценок неизвестных параметров; 7,(к) - выходной сигнал:,

— гг*

1л = [1,0,... ,0]; е(к) - дискретный белый шум с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсией \'аг е(к).

Показано, что данная модель (3) при нулевых начальных условиях и конечной памяти / сводится к динамической регрессионной модели вида:

2(к)=^т(с)и(к~1)-ье(к), (4)

— 'Т'

где (с) - вектор-функция неизвестных параметров модели простран-

-». <Т» ' | - 'Г 'Г V». -у

ства состояний; лу,(с) - Ь Т Г, ¿=1,/; С =(а ,Г )-векторне-

^ у

известных параметров;О (к — 1) = (тд(к - 1),и(к - 2),....и(к - /));

Формализация задачи анализа пригодности оценочной модели для синтеза оптимального по быстродействию управления основана на ис-

0 0

1АД

- коагулированная

пользовашш доверительной области, накрывающей с вероятностью 1 - а вектор истинных значений параметров С :

1)(с) = |(с; - соу(ё)(с - ё) < 2пРа(2п,Ы - 2п)| , (5)

где - доверительная область; Ра(2п^ -2п)- а-процентное критическое значение Р-распределения с 2п и N - 2п степенями свободы, соу^С | - ковариационная матрица вектора оценок неизвестных парамет-

А

ров С. Отмечается, что построение доверительной области (5) - сложная задача. Для облегчения построения доверительной области В^С^ используется следующий способ. Вместо построения границы эллипсоида определяется положение его осей и их длины. Направление осей эллипсоида

совпадает с характеристическими векторами матрицы соу|с| . Длина ¿-ой

полуоси эллипсоида равна

и=-

2п

(6)

где - характеристическое число матрицы соу|с| .

Приводится отношение неразличимости, имеющее следующий вид:

1 2

__- А П Г

'2

2

^«ёз^^^С^-тт^ёз^ <АС, ёьё2 еС*.

где 1 - функция потерь (9), Ас - порог неразличимости.

Известно, что оптимальное управление единственно, если задача об оптимальном быстродействии нормальна. Критерием нормальности задачи об оптимальном быстродействии является невырожденность матрицы управляемости

в

ав„..,Ап_1в

Введем новую п+1 координату хп+}(!:), подчиненную условиям:

= *п+1Ы = 10 > (8)

где 10 - начальный момент времени.

Выражение для функции потерь оптимального быстродействия имеет вид:

Ь

I = =гк (9)

где 1 к - конечный момент времени.

Показано, что минимизируемый функционал принимает вид

яЫ = хп+1(гк)+ ¿МхуЫ-Хку], (Ю)

у=1

где - неопределенные множители Лагранжа, достигнутые

значения переменных состояния, х^-заданные значения переменных состояния в момент времени Ц.

Функция Гамильтона для данной задачи имеет вид

Н = фт(г)[Ах(1) + Ён(()] + ч/п+1(1) (11)

где (¡¡г- вспомогательная вектор-функция.

Оптимальное управление, минимизирующее время управления, определяется выражением

ИовтО)-"»«®»1®^1)- (12>

-12В разделе рассматривается метод приближенного решения задачи синтеза оптимального по быстродействию управления. Множество состояний объекта, достижимых из начала координат за время 1 с помощью допустимых управлений (12), обозначается 0(1). Отмечается, что множества О^) выпуклые, замкнутые и £1(1') с £1(1") при < 1", Показано,

что если Т0 <Т*, где Т* — оптимальное время, то х* не входит в Г2(Т0),

—*

и существует гиперплоскость Р15 проходящая через X и не пересекающаяся с множеством £}(Т0). Решение задачи производится следующим образом: увеличиваем время Т>Т0, расширяя множество О(Т) до тех пор, пока О(Т) не коснется пшфплоскости Р^ при Т = Т[ в точке

.фьр1). Если х^ ,?1)^ х*, го Т0 <Т . Повернем гиперплоскость Р1 вокруг точки х в такое положение Р2, чтобы она не пересекалась с множеством ¡»2(^1], затем снова увеличим Т, и т. д.

Точка находится из решения вспомогательной задачи макси-

мизации

х(т,р8)-х*}. (13)

Время Т5 определяется следующим образом: если Цт^р^сО, то Т8 находится из условия Цтз, р8 ^ = 0, при этом < Т& < Т . Если же

, р51 > 0, то полагаем Т8 = Т8_ 1.

В третьем разделе рассматриваются вонросы имитационного моделирования методов параметрической идентификации и; оптимального по быстродействию управления.

<т,Р-):

шах р

хе£3т

— —в в

х~х = р

Прпводится структура и описание имитационной модели системы.

Рассматривается разработанный комплекс программных средств, реализующих задачи имитационного моделирования. Приводятся требования к комплексу технических средств, необходимых для функционирования системы. Система функционирует на ПЭВМ типа IBM PC/AT под управлением операционных систем семейства Win32 (Windows 95 и выше: (98, NT)), При этом минимальный объем ОЗУ 16 Мбайт; необходим также; накопитель с жесткими магнитными дисками (БЖМД).

Доказывается корректность процедуры снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей. Доказательство проводится методами имитационного моделирования на примере линейной динамической системы 1-го порядка. Графическое представление полученных результатов приведено на рис. 1.

_-11.0169353 хИ) .00169376.

Рис 1. Доверительный эллипс исследуемой системы. Истинное значение выхода в системе имитационного моделирования вычисляется следующим образом. Апериодическое звено 2-го порядка имеет импульсную переходную функцию (ИПФ) следующего вида:

щ у.

т, -т,

Г 1 1 N

Л,

е 1 -е 1

\

(13)

где к - передаточный коэффициент и Т], Т2 - постоянные времени являются входными данными. На основе этих данных рассчитывается время переходного процесса Тп и значение шага дискретизации

С использованием разработанного комплекса программных средств, на примере линейных динамических систем 2-го порядка показывается, что полученные модели удовлетворяют отношению неразличимости (7) в смысле критерия оптимального быстродействия (9) и, следовательно, могут быть использованы для синтеза управления, оптимального по указанному критерию. На рис. 3 приведена траектория движения системы 2-го порядка, параметры которой приведены в табл. 1.

Таблица 1

Параметры имитационного моделирования

Постоянная времени Т1 (с) 2,0

Постоянная времени Т2 (с) 4,0

СКО шума 0,1

Длина тестирующего сигнала (тактов) 15

Значение порога неразличимости од

Доверительная вероятность 95%

Подученные результаты проведенной идентификации и построения доверительной области приведены в табл.2.

Таблица 2.

Значение вектора С Время перевода

= со1[-0,3012 1,1197 0,0001 0,1105] 2,7472 с

б2 =со1[ -0,3006 1,1203 0,0006 0,1108] 2,7305 с

б3=со1[ -0,3013 1,1196 0,0001 0,1105] 2,7459 с

е4 = со1[ -0,3016 1,1193 -0,0004 0,1105] 2,7572 с

б5 =со1[ -0,3010 1,1199 0,0002 0,1106] 2,7422 с

ё6 =со1[ -0,3017 1,1192 -0,0004 0,1103] 2,7588 с

б7 =со1[ -0,3009 1,1200 0,0002 0,1105] 2,7434 с

б8 =со![ -0,3007 1,1202 0,0007 0,1105] 2,7321 с

На рис. 2, 3 приведены процесс управления в данной системе (точка 4 полученной доверительной области) и переходные процессы по фазовым координатам XI и х2 соответственно.

а) "

Рис. 2. Фазовый портрет исследуемой системы 2-го порядка и процесс управления.

о. оо о.

V и*М| и• К> Ж •¿V Л'ШМ ЧЦ * лл

а) б)

Рис 3. Переходный процесс в исследуемой системе - фазовая координата XI и переходный процесс в исследуемой системе - фазовая координата х2.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.

В приложении приведены акты использования научных результатов диссертационной работы и программная реализация разработанных алгоритмов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

По диссертационной работе можно сформулировать следующие основные выводы и результаты:

1. Проведен обзор и анализ методов идентификации л оптимального по быстродействию управления линейными динамическими системами. На базе анализа состояния проблемы оптимального управления по неточным моделям динамики, показана целесообразность примененных в работе методов последовательной оптимальной идентификации, построения совместных доверительных областей для неизвестных параметров модели, решения задачи линейного быстродействия и поставлена задача анализа

пригодности модели для синтеза оптимального по быстродействию управления.

2. Разработана методика исследования свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с анализом их пригодности для синтеза оптимального по быстродействию управления на основе отношения неразличимости.

3. Преодолены неопределенности решения обратных задач динамики по неточным моделям за счет выявления из множества альтернативных моделей, моделей, удовлетворяющих отношению неразличимости.

4.Решена задача снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей.

5.Методом имитационного моделирования доказано, что предложенный метод построения совместных доверительных областей неизвестных параметров модели корректен.

6. Разработан инструментарий для исследователя (разработчика) систем управления, представленный в виде комплекса программных средств, обеспечивающего автоматизацию примененных методов последовательной оптимальной идентификации, оценки пригодности модели (на основе отношения неразличимости), сниження временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей, приближенного решения задачи линейного быстродействия, что открывает широкие возможности для оптимального по быстродействию управления реальными техническими объектами, позволяя преодолеть неопределенности, порозвденные использованием неточных моделей динамики.

7. Прикладные результаты диссертационной работы внедрены в процессы настройки технологического оборудования ООО «Радута-3000», г. Тула; разработки систем управления ГУЛ ГНПП «Сплав», т. Тула; проведения комплексных расчетов ГосНИД г. Тула.

ПУБЯИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 .Фатуев В А,, Лазукин A.A. Построение моделей линейных динамических систем, ориентированных на оптимальное по быстродействию управление.// Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Информатика.». Вьт.5. «Информационные системы». Тула 1999г. С.146-153.

2. Фатуев В. А., Лазукин A.A. Оптимальное по быстродействию управление на основе неточных моделей динамики.// 12 Международная науч. конф.: Тезисы докл. Новгород: Новгород, гос. ун-т, 1999. С.139-141.

3. Фатуев В.А., Лазукин A.A. Анализ пригодности моделей линейных динамических систем для оптимального по быстродействию управления. // Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Информатика.». Вып.5. «Информационные системы». Тула 1999т. С. 169-175.

Введение.,.

1. Обзор и анализ методов идентификации и оптимального по быстродействию управления.

1.1. Методы идентификации систем.

1.2. Методы синтеза оптимального управления.

1.3. Методы анализа идентифицированной модели.

1.4. Постановка задачи исследования.

1.5. Выводы.

2. Формализация задач идентификации и оптимального по быстродействию управления линейными динамическими системами.

2.1. Параметрическая идентификация модели линейной динамической системы.

2.2. Анализ пригодности модели для синтеза оптимального по быстродействию управления.48'

2.3. Синтез оптимального по быстродействию управления.

2.4. Выводы.

3. Имитационное моделирование методов параметрической идентификации и оптимального по быстродействию управления.

3.1. Структура и описание имитационной модели.

3.2. Комплекс программных средств для имитационного моделирования.

3.3. Результаты моделирования.

3.4. Выводы.

Актуальность темы. Задача оптимального по быстродействию управления линейными динамическими системами занимает особое место среди задач оптимального управления. Ее решение основано на принципе максимума Л.С. Понтрягина и базируется на использовании моделей динамики в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка. Однако, если модель динамики является неточной, решение задачи оптимального быстродействия имеет существенную ошибку. Поэтому, актуальной является задача анализа моделей динамики в пространстве состояний, ориентированных на перевод динамической системы из одного состояния в другое за минимальное время. Такие задачи имеют исключительно важное значение для многих технических систем. Они возникают, например, при выводе потенциально опасных объектов из предава-рийных состояний.

Построение математической модели реальной динамической системы возможно на основе результатов либо пассивного, либо активного эксперимента. [79-81,93,141]. Методы пассивной идентификации к настоящему времени достаточно разработаны и продолжают развиваться. Современный уровень развития теории оптимального эксперимента позволяет сформулировать практически все задачи, решаемые методами пассивной регрессионной идентификации, в классе задач оптимальной идентификации. Важное значение при формализации и решении задачи оптимальной идентификации имеет структура динамической регрессионной модели идентифицируемой системы. Выбор структуры модели должен опираться, во-первых, на возможность адекватного описания динамических свойств системы в заданном интервале изменения входного сигнала, определяющем пространство планирования, во-вторых, на возможность решения с использованием синтезируемой модели конкретной прикладной задачи. В подавляющем большинстве случаев подобные структуры являются нелинейнопараметризованными. Многообразие подобных структур динамических регрессионных моделей требует использовать для оценивания их неизвестных параI метров современные статистические методы оценивания и регрессионного анализа.

Существенный вклад в развитие методов оценивания и регрессионного анализа внесли отечественные ученые Н.И Андреев, С.А. Айвазян, В.П. Боро-дюк, А.П. Вощинин, В.П. Живоглядов, А.Г. Ивахненко, Э.Л. Ицкович, В.В. Ка-фаров, В.И. Костюк, Г.К. Круг, A.A. Немура, Г.Ф. Филаретов [1,3-5,11,12,2427,36-39,67,73,74,76,81,83,84,88,90].

Имеются многочисленные публикации зарубежных авторов, посвященные разработке и применению методов планирования экспериментов, оценивания и регрессионного анализа, например, [ 10,20,59,60,62,86,161,162,168].

Существуют работы, посвященные, в основном, анализу использования тех или иных динамических моделей в конкретных прикладных задачах, например, [32,139].

Таким образом, совместное решение задач идентификации и оптимального по быстродействию управления на основе оценочных -моделей динамики является актуальным.

Целью диссертационной работы является построение и исследование свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с анализом их пригодности для синтеза оптимального по быстродействию управления.

Методы исследования. В работе используются методы математической теории оптимального управления, теории последовательной оптимальной идентификации, регрессионного анализа, нелинейного оценивания, теории автоматического управления, теории матриц, теории алгоритмов, имитационного моделирования.

Научные положения, разработанные лично соискателем и научная новизна работы:

• Разработана методика анализа свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с позиций их пригодности для решения задачи оптимального быстродействия.

• Преодолены неопределенности решения обратных задач динамики по неточным моделям за счет выявления из множества альтернативных моделей наилучшей модели по отношению неразличимости.

•-Решена задача снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей.

• Методом имитационного моделирования доказано, что предложенный метод построения совместных доверительных областей для неизвестных параметров модели корректен.

Практическая ценность работы заключается в том, что проведенный анализ и разработанный на его основе комплекс программных средств обеспечивает реализацию методов: идентификации моделей пространства состояний; оценки пригодности модели (на основе отношения неразличимости); снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей; приближенного решения задачи линейного быстродействия, что открывает широкие возможности для оптимального по быстродействию управления реальными техническими объектами, позволяя преодолеть неопределенности, порожденные использованием неточных моделей динамики.

Реализация результатов диссертационной работы. Тема диссертационной работы непосредственно связана с тематикой научно-исследовательских работ кафедры автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета.

Результаты работы использованы в процессе настройки технологического оборудования ООО «Радуга-3000», г. Тула; в разработке систем управления ТУП ГНПП «Сплав», г. Тула; при проведении комплексных расчетов ГосНИП, г. Тула; в учебном процессе на кафедре автоматизированных информационных и управляющих систем Тульского государственного университета.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах;

1. 12-ая международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях», г. Великий Новгород (1999 г.).

2. Научно-практические конференции профессорско-преподавательского состава ТулГУ (г. Тула 1997 - 2000 г.г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 3 печатных работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов и заключения, изложенных на 117 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков, 17 таблиц, список использованной литературы из 172 наименований и 3 приложения.

2. 4. Выводы

• Формализованы методы параметрической идентификации модели линейной динамической системы, анализа пригодности модели для синтеза оптимального по быстродействию управления, синтеза оптимального по быстродействию управления.

• Предложена методика анализа пригодности оценочной модели динамики для синтеза оптимального управления, основанная на построении совместных доверительных областей неизвестных параметров и исследовании неразличимости критерия для множества оценок неизвестных коэффициентов.

-623. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ И ОПТИМАЛЬНОГО ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЯ

3.1. Структура и описание имитационной модели

Для машинного моделирования на основе формализованных в предыдущем разделе методов параметрической идентификации, оптимального по быстродействию управления и анализа пригодности полученной модели, разработана их имитационная модель.

Структуру имитационной модели, реализующей приведенные методики, можно разделить на три основных модуля, по числу основных подзадач. Это модули идентификации, синтеза оптимального по быстродействию управления и модуль анализа полученной модели, который использует результаты работы двух вышеназванных модулей.

Для имитационного моделирования предложенного алгоритма используются вспомогательные модули:

1. Модуль работы с матрицами.

2. Модуль вычисления истинных ординат импульсной переходной функции.

3. Модуль вычисления истинного выхода модели.

4. Модуль генерации гауссова шума для зашумления истинного выхода модели.

5. Модуль интерфейса.

Начало

Вычисление оценок ординат ИПФ I

Определение ё0

Вычисление

-1 а = - X

2 • №П ^п-И . где ¡=0,1,2,3.

1{<1

-Нет»

Да

Конец

Рис. 3.2. Схема алгоритма идентификации

Процедура вычисления начальных оценок неизвестных параметров модели Л

Алгоритм вычисления начальной оценки Со вектора неизвестных параметров С дискретной модели пространства состояний (2.2) может быть описан как последовательность следующих действий:

1.Реализуется «затравочный» эксперимент на базе О-оптимального тестирующего сигнала, построенного на основе ортогональных планов Плаккетта-Бермана (матрица плана Плаккетта-Бермана и соответствующий тестирующий сигнал подробно рассмотрены в 2.1). По полученным реализациям «входа-выхода» вычисляются оценки / ординат импульсной переходной функции идентифицируемой системы.

2.По оценкам /^п ординат (где п-порядок системы) определяется л начальное приближение С на основе соотношений (2.6),(2.7).

3.По итерационной формуле (2.22) вычисляется оценка вектора ч. неизвестных параметров модели С'0, ¡=1,2,3,. При этом следует учитывать, что размерность вектора МНК-оценок ординат импульсной переходной А функции ^ - /, х 1; размерности матрицы первых производных С>(С) и вектор-функции неизвестных параметров модели Ш(С) соответственно равны х 2п и V л —► х 1; при 1=1 значение С® принимается равным начальному приближению С0.

4.Добавляется А/ ординат импульсной переходной функции, то есть учитываются оценки /¡+1 = /; + А/ ординат.

Пункты 3 и 4 выполняются до тех пор, пока выполняется условие /; < /. А

В качестве искомой начальной оценки С0 вектора неизвестных параметров дискретной модели пространства состояний принимается значение л

Со, полученное на последнем этапе алгоритма.

Программная реализация алгоритма вычисления начальной оценки вектора неизвестных параметров динамической модели приведена в приложении 2.

Рис. 3.3. Схема алгоритма синтеза оптимального по быстродействию управления

Рис. 3.4. Схема алгоритма анализа пригодности полученной модели для синтеза оптимального по быстродействию управления.

Начало

Рис 3.5. Укрупненная схема алгоритма работы комплекса программных средств.

-693. 2. Комплекс программных средств для имитационного моделирования

Техническое обеспечение

Описание комплекса технических средств. Общие положения.

Исходными данными для выбора комплекса технических средств (КТС) служат информационные характеристики: общий объем информации, поступающий в систему для обработки, ограничивается возможностями вычислительной машины; требования, предъявляемые к решению задачи, информационное обеспечение деятельности по управляющим процессам; установленный временной регламент ответа на запрос ; информационные характеристики решаемых задач; временные характеристики решаемых задач;

Комплекс программных средств работает на ПЭВМ типа IBM PC/AT под управлением операционной системы Win32 (Windows 95 и выше (98, NT)). При этом минимальный объем оперативной памяти 16 Мбайт, необходим также накопитель с жесткими магнитными дисками (НЖМД). *

Структура комплекса

Учитывая исходные данные решено реализовать систему на базе ПЭВМ. ПЭВМ позволяет существенно повысить эффективность работы пользователя архитектурными и техническими возможностями, а так же созданием комфортных условий работающему. Кроме того, работа с ПЭВМ не регламентирована расписанием, не требует вспомогательного персонала и полностью отдана в распоряжение пользователя. ПЭВМ надежны и малогабаритны.

Решено также использовать базовый комплект ПЭВМ типа ЮМ PC/AT, технические характеристики которой без проблем позволяют решать I поставленные задачи.

При проектировании и функционировании системы используется базовый комплект ПЭВМ ЮМ PC/AT, включающий следующие устройства: процессор; монитор (дисплей); накопитель на жестком магнитном диске (НЖМД); накопитель на гибком магнитном диске (НГМД); клавиатура; принтер;

Процессор ЮМ PC/AT, выполняющий управление компьютером, содержит: основной микропроцессор Intel Pentium; оперативную память, имеющую объем 16 МБ; электрические схемы (контроллеры), управляющие работой различных устройств; порты ввода-вывода;

Накопители на ГМД предназначены для записи и чтения информации с дискет емкостью 1.44 МБ. НЖМД, входящий в базовый комплект используемой4 ПЭВМ, предназначен для хранения информации большого объема, имеет емкость 540 МБ.

Дисплей предназначен для вывода на экран текстовой или графической информации. Тип используемого дисплея - SVGA; он позволяет выводить информацию в графическом режиме - 640 * 480 пикселей и 256 цветов.

Клавиатура предназначена для ввода в компьютер информации пользователя и имеет соответствующую конфигурацию . Выбор КТС сделан на основе требований к решению задачи, ее информационных характеристик.

Оперативное запоминающее устройство (ОЗУ) служит для хранения временных массивов информации (носящих вспомогательный характер) во время работы системы.

Программное обеспечение

Комплекс программных средств для реализации алгоритмов идентификации, синтеза оптимального по быстродействию управления и анализа полученной модели на пригодность для построения указанного управления разработан на Delphi 5.0 Enterprise Edition для операционных систем семейства Win32.

Система разработки Delphi базируется на языке Object Pascal, разработанном с учетом принципов объектно-ориентированного, модульного и структурного программирования, которые способствуют внедрению современной технологии программирования. Object Pascal обладает полным набором структурных типов данных, таких как простые переменные, массивы, файлы, множества, записи, записи с вариантами, ссылочные переменные, объекты. Введение структурных типов данных позволяет разрабатывать адекватные представления данных и манипулировать ими. Delphi также содержит большую библиотеку подпрограмм (VCL), значительно облегчающую разработку Win32-пpилoжeний, средства быстрой разработки программ.

При разработке комплекса программных средств использовались методы визуального проектирования, объектно-ориентированного и, в основе, модульного программирования, основой которого является декомпозиция программы и создание модулей, которые представляют собой небольшие программы, выполняющие ряд однородных по смыслу функций, взаимодействующие друг с другом по хорошо определенным и простым правилам. Декомпозиция используется для разбиения программы на компоненты, которые затем могут быть объединены, позволяя решить основную задачу. Каждый из модулей может разрабатываться с использованием различных языков программирования и средств операционной системы. После кодирования каждый модуль обрабатывается транслятором, который вырабатывает DCU-модуль.

В состав комплекса программных средств входят следующие программные модули:

Модуль regress (in 'Regress.pas') содержит процедуру model, которая формирует набор ординат импульсной переходной функции. Программная реализация алгоритма формирования ординат импульсной переходной функции приведена в приложении 2.

Модуль noises реализует функцию noisedmodeloutput, зашумляюшую истинное значение выходного сигнала, полученного по заданным тестирующему сигналу и ординатам импульсной переходной функции. Программная реализация алгоритма формирования выходного сигнала приведена в приложении 2.

Модуль ident реализует процедуру оценивания вектора неизвестных параметров модели пространства состояний на основе реализаций "вход-выход". Программная реализация алгоритма начального оценивания приведена в приложении 2!

Модуль hpll формирует доверительную область для вектора неизвестных параметров модели, реализует процедуры синтеза оптимального по быстродействию управления и анализа динамической модели. Программная реализация приведена в приложении 3.

Модуль matrix реализует процедуры и функции матричной алгебры. Разрботан для облегчения работы с векторами и матрицами. Программная реализация приведена в приложении 2.

Модуль graphroutines содержит реализацию процедур вывода графиков функций на экран, в частности, сплайн-аппроксимации (B-spline).

Модуль unitl содержит вызовы функций VCL Delphi 5 для организации графического интерфейса пользователя в среде Win32.

3.3. Результаты моделирования

Доказательство корректности метода построения совместных доверительных интервалов методами имитационного моделирования.

Идентификация и построение доверительных областей проведено на примере линейной динамической системы 1-го порядка.

В качестве примера использовано типовое апериодическое звено 1-го порядка, описываемое передаточной функцией вида

W(p) 1 (3.1) Тр + 1 где Т=2.0 с.

Истинное значение выхода в системе имитационного моделирования вычисляется следующим образом. Апериодическое звено 2-го порядка имеет импульсную переходную функцию (ИПФ) следующего вида:

W(t):

Ti-T2 f t eT' -eT2

3.2) где к - передаточный коэффициент и ТЬТ2 - постоянные времени являются входными данными. На основе этих данных рассчитывается время переходного процесса Тп и значение шага дискретизации ск. Так как ИПФ (3.2) имеет 1-н экстремум, то можно найти значение 1тах, при котором она принимает максимальное значение. То есть необходимо приравнять к нулю первую производную

Т1-Т2

Т1

Т, 1 —е Т, т2 У 0.

После решения этого уравнения получим: шах ^

ЧТ2 У

Т1Т2

Т1-Т2

3.3)

Далее определяется значение ИПФ в этой точке (W(tmax)) и рассматривается участок справа от 11пах до тех пор, пока ИПФ не затухнет до 10% от В результате получим время переходного процесса. Шаг дискретизации 61 определяется по формуле:

Т /

3.4)

На значения истинного выхода модели был наложен аддитивный гауссовский шум со среднеквадратическим отклонением равным 0,01.

В результате проведенной параметрической идентификации получены следующие данные:

Значения вектора неизвестных параметров С = со1[0,7023; 0,5000]

- 102 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По диссертационной работе можно сформулировать следующие основные выводы и результаты:

1. Проведен обзор и анализ методов идентификации и оптимального по быстродействию управления линейными динамическими системами. На базе анализа состояния проблемы оптимального управления по неточным моделям динамики показана целесообразность примененных в работе методов последовательной оптимальной идентификации, построения совместных доверительных областей для неизвестных параметров модели, решения задачи линейного быстродействия и поставлена задача анализа пригодности модели для синтеза оптимального по быстродействию управления.

2. Разработана методика исследования свойств моделей линейных динамических систем в пространстве состояний с анализом их пригодности для синтеза оптимального по быстродействию управления на основе отношения неразличимости.

3. Преодолены неопределенности решения обратных задач динамики по неточным моделям за счет выявления из множества альтернативных моделей, моделей, удовлетворяющих отношению неразличимости.

4. Решена задача снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей.

5. Методом имитационного моделирования доказано, что предложенный метод построения совместных доверительных областей неизвестных параметров модели корректен.

6. Разработан инструментарий для исследователя (разработчика) систем управления, представленный в виде комплекса программных средств, обеспечивающего автоматизацию примененных методов последовательной оптимальной идентификации, оценки пригодности модели (на основе отношения неразличи

-103 мости), снижения временной и вычислительной сложности при построении совместных доверительных областей, приближенного решения задачи линейного I быстродействия, что открывает широкие возможности для оптимального по быстродействию управления реальными техническими объектами, позволяя преодолеть неопределенности, порожденные использованием неточных моделей динамики.

7. Прикладные результаты диссертационной работы внедрены в процессы настройки технологического оборудования ООО «Радуга-3000», г. Тула; разработки систем управления ГУЛ ГНПП «Сплав», г. Тула; проведения комплексных расчетов ГосНИП, г, Тула.

-104

1. Адаптивные системы идентификации. / Под. Ред. В.И. Костюкова. Киев: Техника, 1975. - 284 с.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске начальных условий. М.: Наука, 1976. - 279 с.

3. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей. М.: Металлургия, 1968. - 228 с.

4. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.-487 с.

5. Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. / Под ред С.А. Айвазяна и И.С. Енюкова. М.: Наука. 1980. 421 с.

6. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. / Под ред. В.Н. Вапника,-М.: Наука, 1984.-816 с.

7. Александров В.М. Численный метод решения задачи линейного быстродействия// ЖВМ и МФ. 1998. - Т. 38. - № 6. - С. 918-931.

8. Александровский Н.М. Элементы теории оптимальных систем автомактического управления. М.: Энергия, 1969. -127 с.

9. Александровский Н.М., Егоров С.В., Кузин Р.Е. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. М.: Энергия, 1973.-272 с.

10. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.-755 с.

11. И. Андреев Н.И. Корреляционная теория статистически оптимальных систем управления. М.: Наука, 1980. - 416 с.

12. Андреев Н.И. Теория статистически оптимальных систем управления. -М.: Наука. 1980.-416 с.

13. Антомонов Ю.Г. Автоматическое управление с применением вычислительных машин. JL: Судпромгиз, 1962. - 339 с.

14. Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем. Киев : Наукова думка, 1972.-316 с.

15. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.-764 с.

16. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи линейного программирования. М. : Наука, 1965. 428 с.

17. Берщанский Я.М. Численный метод решения задачи линейного быстродействия. // Управление многосвязными системами. М.: Наука, 1975, С.51-57.

18. Берщанский Я. М. Об одном методе решения задач линейного и выпуклого программирования// ЖВМ и МФ. 1970, - т. 10, - № 3, С.621-629.

19. Бессонов A.A. и др. Методы и средства идентификации динамических объектов.-JI.: Энергоатомиздат, 1989.-279с.

20. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. - Вып. 1. - 406 е.; 1974. - Вып. 2. -197 с.

21. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М., «Наука», 1969.

22. Болтнянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин JI.C. К теории оптимальных процессов. //ДАН СССР, 1956, - т. 110, - № 1. С . 7 -10.

23. Болтнянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин JI.C. Теория оптимальных процессов. Принцип максимума. //Изв. АН СССР, серия матем., 1960, -т. 24, - № 1 С.3-42.

24. Бородюк В.П., Лецкий Э.К. Статистическое описание промышленных объектов. М.: Энергия, 1971. -110 с.-10625. Бородюк В.П. О Методах пассивного эксперимента.// Вопросы кибернетики. М.: Наука, 1969. - Вып. 10. - С. 88- 91.

25. Бородюк В.П., Круг Г.К. Отыскание уравненицй связи в сложных объектах.// Автоматика и телемеханика. -1961. №11. - С. 67-74.

26. Бородюк В.П. Методология и опыт применения моделей множественной регрессии в задачах идентификации производственных процессов по данным пассивного эксперимента: Дис. . докт. Техн. наук. М.: МЭИ, 1981.

27. Бримкулов У.Н., Круг Г.К., Саванов B.JI. Планирование экспериментов при исследовании случайных полей и процессов. М.: Наука, 1986. - 152 с.

28. Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента. М.: Наука, 1976.-245 с.

29. Бронштейн И.Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986.

30. Булычев Ю.Г., Манин A.A. Численно-аналитический подход к решению краевой задачи принципа максимума Понтрягина.// Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2. С. 118 -126.

31. Бурдаков Н.И. Решение задач динамической оптимизации в АСУ ТП с использованием статистических моделей: Дис. . канд. техн. наук. М.: МЭИ, 1976.- 147 с.ъ

32. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.-400 с.

33. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. М: Энергоиздат, 1981. -304 с.

34. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980. -312 с.

35. Вощинин А.П. Регрессионные задачи и метод главных компонент.// Вопросы кибернетики. -М.: Сов. Радио, 1976. Вып. 27. - С. 125-152.

36. Вощинин А.П., Акматбеков Р. Планирование регрессионных экспериментов в задачах одноэтапной оптимизации. // Заводская лаборатория. 1980.i10.-С. 935 -940.

37. Вощинин А.П. Разработка и внедрение методов оптимизации объектов управления по экспериментально-статистическим моделям: Дис. . докт. Техн. наук. М.: МЭИ, 1984. - 411 с.

38. Вощинин А.П., Сотиров Г.Р. Оптимизация в условиях неопределенности. Изд-во МЭИ (СССР), 1989. -224 с.

39. Габасов Р., Ружицкая Е.А. Синтез оптимальных по быстродействию систем в классе ограниченных непрерывных управлений с ограниченными производными.// Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. № 4. С.75 -81. . .

40. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Пршцепова C.B. Синтез оптимальной по быстродействию дискретной системы^// Автоматика и телемех. 1990, № 8, С.92-99.

41. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Алгортимы решения линейной задачи оптимального управления.// Докл. АН СССР. 1984. Т. 274. № 5.-С. 1048-1052.

42. Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов в линейных системах. // ДАН СССР, 1957, т. 116, № 1. С.9 -И.

43. Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процесов в линейных системах. // Изв. АН СССР, серия матем., 1958, т.22, № 4. С.449-474.

44. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., - 479 с.

45. Горский В.Г. Планирование кинетических экспериментов. М.: Наука, 1984.-241 с.

46. Горский В.Г., Адлер Ю. П., Талалай A.M. Планирование промышленных экспериментов (Модели динамики). М.: Металлургия, 1978. -112 с.

47. Голованов О.В. и др. Моделирование сложных динамических систем на ЭВМ третьего поколения (Опыт применения GPSS) М.: Энергия, 1978. - 161 с. .

48. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. - 304 с.

49. Дамбрускас А.П. Симплексный поиск. М.: Энергия, 1979. - 176 с.

50. Демиденко Е.З. Оптимизация и регрессия. М.: Наука, 1989. -296 с.

51. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1989.-302 с.

52. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979. - 240 с.

53. Демьянов В.Ф. К построению оптимальной программы в линейной системе// Автоматика и телемехан. 1964. Т. 25. № 1. С. 3-11.

54. Денисов В.И. Математическое обеспечение системы ЭВМ экспериментатор. - М.: Наука, 1977. - 251 с.

55. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1971. Вып. 1. - 316 е.; 1972. - Вып. 2. - 287 с.

56. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. М.: Мир. 1980. - 610 с.

57. Дисперсионный анализ и синтез планов на ЭВМ. / Е.В. Маркова, В.И

58. Денисов, А.И. Полетаева, В.В.Пономарев. М.: Наука, 1982, - 195 с.

59. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ : В 2-х кн./ -М.: Финансы и статистика. 1987. 351 с.

60. Дубовицкий А.Я., Рубцов В.А. Линейные быстродействия. //ЖВМ и МФ, 1968, т. 8, №5.-С. 937.

61. Дунаев В.И. Квазиоптимальные по быстродействию системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1970. 63 с.

62. Дюркович Е. Численный метод решения линейных задач быстродействия с оценкой точности // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265. № 4. С. 793-797.

63. Ермаков С.М., Жиглявский A.A. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. - 320 с.

64. Живоглядов В.П. Идентификация и управление в системах с неполной информацией. Фрунзе: Илим, 1970. - 84 с.

65. Заде Л., Дезоэр Ч. Теория линейных систем: Метод пространства состояний. М.: Наука, 1970. - 704 с.

66. Зедгинидзе И.Г. Планирование эксперимента для исследования много компонентных систем. М.: Наука, 1976. - 390 с.

67. Иванов В.А., Кожевенников С.А. Задача оптимального быстродействия для систем второго порядка общего вида.// Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. № 3. С.76 83.

68. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматических систем управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

69. Иванов Р.П. Об одном итерационном методе решения задач быстродействия// ЖВМ и МФ. 1971, т. 11, № 4.

70. Ивахненко А.Г. Долгосрочное прогнозирование и управление сложными системами. Киев: Техника. 1975. - 312 с.-11074. Ивахненко А.Г., Зайченко Ю.П., Димитров В.Д. Принятие решений на основе самоорганизации. М.: Сов. Радио, 1976. - 280 с.

71. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем. // Ю.С. Попков, С.Н. Киселев, Н.П. Петров, Б.Л. Шмульян. М.: Энергия, 1976. -438 с.

72. Ицкович Э.Л. Статистические методы при автоматизации производства. -М.: Энергия, 1964. 192 с.

73. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.; Наука, 1975. - 432 с.

74. Казаков Й.Е. Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем в пространстве состояний. М.: Наука, 1987. - 303 с.

75. Каминскас В. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. (Часть 1. Основы статистических методов, оценивание параметров линейных систем). Вильнюс: Москлас, 1982. - 245 с.

76. Каминскас В. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. (Часть II. Оценивание параметров нелинейных систем). Вильнюс: Москлас, 1985. - 153 с.

77. Каминскас В.А., Немура А.А, Статистические методы в идентификации динамических систем. Вильнюс: Миптис, 1975. - 196 с.

78. Катовник В.Я. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных. -М.: Наука, 1985. 336 с.

79. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. -М.: Химия. 1976.-463 с.

80. Кафаров В.В., Перов В.Л., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических систем. М.: Химия, 1974. - 344 с.

81. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. -М.: Мир, 1977.

82. Кендалл M., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.:Наука, 1976. - 736 с.

83. Кирин Н.Е. К решению общей задачи линейного быстродействия И Автоматика и телемехан. 1964. Т. 25. № 1. С. 16-22.

84. Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента. -Минск: БГУ, 1982. 302с.

85. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования. // Автоматика и телемеханика, 1957. № 11. С. 960 970.

86. Круг Г.К., Иванов А.З., Филаретов Г.Ф. Статистические методы в инженерных исследованиях. М.: МЭИ, 1976. - 151 с.

87. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977,- 208с.

88. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов JI M. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М-.: Радио и связь, 1988. - 306 с.

89. Кузовков Н.Т., Карабанов C.B., Салычев О.С. Непрерывные и дискретные системы управления и идентификации. М.: Машиностроение, 1978. -222 с. '

90. Лернер А.Я., Розенман Е.А. Оптимальное управление. М.: Энергия, 1970.-360 с. г

91. Лецкий Э.К. Планирование эксперимента в задачах испытаний технических объектов. // Статистические методы в задачах испытаний и контроля. -М.: Знание, 1979. С. 3-45.

92. Лыонг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. - 431 с.

93. Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. М.: Наука, 1979. - 345 с.

94. Математическая теория планирования эксперимента./ Под ред. С.М. Ермакова. М.: Наука, 1983. - 392 с.

95. Мееров М.В., Бергцанский Я.М. Оптимизация многосвязных систем со связью по управлению.// Управление многосвязными системами. М.: Наука, 1975, С.5-10.

96. Мелса Дж. Л., Джонс Ст. К. Программы в помощь изучающим теорию линейных систем управления. М.: Машиностроение, 1981. - 200 с.

97. Моисеев H.H. Численные методы теории оптимального управления, использующие вариации в пространстве состояний. // Кибернетика, 1966, т. 5, №3.-С,1-23.

98. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

99. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М: Наука,1975,

100. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: На\*ка,1981.

101. Мороз А. И. Синтез оптимального по времени управления для системы третьего порядка. // Автоматика и телемеханика, 1969, № 5 С. 5-17, К» 1 -С. 18-19, № 9-С. 5 -15.

102. Мороз А.И. Курс теории систем. М.: Высш. шк., 1987.

103. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971. - 208 с.

104. Налимов В.В., Чернова H.A. Статистические методы планирования экстремальных экспериментов. М.: Наука. 1965. 340 с.

105. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования- 113 эксперимента. М.: Металлургия, 1976. - 128с.

106. Новые идеи в планировании эксперимента. / Под ред. В.В. Налимова. -М.: Наука, 1969.-334 с.

107. Острем К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987.-480 с.

108. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир,1973.

109. Павлов A.A. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию. М.: Наука, 1966. - 390 с.

110. Планирование эксперимента в задачах нелинейного оценивания и распознавания образов,/ Г.К. Круг, В.А. Кабанов, Г А. Фомин, Е.С. Фомина. -М: Наука, 1981. -169 с.

111. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. / К:Хартман, Э.К. Лецкий, В.Шефер и др. М.: Мир, 1977. - 552 с.

112. Поляк Б.Т. О некоторых способах ускорения сходимости итерационных методов. //ЖВМ и МФ, 1964, т.4, № 5. С. 794 - 803.

113. Поляк Б.Т., Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач на условный экстремум. // ЖВМ и МФ, 1973, т. 13, № 1 С. 34 -46.

114. Понтрягин Л. С. Оптимальные процессы регулирования. // Успехи ма-тем. наук, 1959, т. 14, вып. 1. С. 3 - 20.

115. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976, 392 с.

116. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1989. -304 с.

117. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. - 383 с.

118. Пугачев B.C., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. М.: Машиностроение, 1974. - 400 с.

119. Пшеничный Б. Н. Численный метод расчета оптимального по быстродействию управления для линейных систем.// ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, № 1. С.I85.90.

120. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Адаптивные модели в системах управления. М.: Наука, 1980. - 416 с.

121. Райбман Н.С. Что такое идентификация? М.: Наука, 1970. - 119 с.

122. Растригин JI.A., Маджаров Н.Е. Введение в идентификацию объектов управления.-М.: Энергия, 1977. 216 с.

123. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматика и телемеханика, 1959, №№ 10-12, С. 1320-1334, 14414458, 1561-1578.

124. Рубан А.И. Адаптивное управление с идентификацией. Томск: ТГУ. - 1983.- 136 с:

125. Сборник алгоритмов и программ для анализа и синтеза систем автоматического управления // Гетманец В.М., Говоров A.A., Карпов B.C., Мазуров В.М., ФатуевВ.А. Тула.: ТПИ,- 84с. !

126. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления./Под. ред В.А. Бесекерского. М.: Наука, 1978.-512 с.

127. Сборник научных программ на Фортране. Вып.2.Матричная алгебра и линейная алгебра. Нью-Йорк, 1960-1971, пер. с англ. (США). М.: Статистика, 1974. - 224с.

128. Сейдж Э.П., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и программировании. М.: Связь, 1976. - 496 с.

129. Сейдж Э.П., Мелса Дж. JI. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974. -248 с.

130. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С.,Ш. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982. - 392 с.

131. Сильвестров А.Н., Чинаев П.И. Идентификация и оптимизация стохастических систем. М.: Энергоатомиздат, 1987. = 200 с.

132. Скворцов JI.M. Реализация передаточной матрицы динамической системы в виде уравнений состояния.//Известия АН СССР. Техническая кибернетика. -№ 1. 1986. С.134-С.138.

133. Скибицкий Н.В. Исследование и разработка задач и алгоритмов оптимального управления линейными динамическими объектами по регрессионной модели: Дис. канд. техн. наук. М.: МЭИ, 1983 - 221 с.

134. Смольников Л.П. Синтез квазиоптимальных систем автоматического управления. Л.: Энергия, 1967. - 167 с.

135. Солодовников В.В., Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Спектрапьные методы расчета и проектирования систем управления. М.: Машиностроение, 1986. -440 с.

136. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. - 654 с.

137. Солодовников В.В., Семенов B.B. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.; Наука, 1974. - 335 с.

138. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления. М.: Мир, 1973.

139. Стрейц В. Метод пространства состояний ® теории дискретных линейных систем управления. М.: Наука, 1985. - 295 с.

140. Теория автоматического управления. В 2-х ч.,Ч. I и II / Воронов A.A. и др.; Под ред. Воронова A.A. М.: Высш. шк., 1986.-367 с, 504 с.

141. Типовые линейные модели объектов управления. / С.А. Анисимов, И.С. Зайцева, Н.С. Райбман, A.A. Яралов: Под ред. Н.С. Райбмана. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 264 с.

142. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1980. 224 с.-116149. Фалдин H.B. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления. Тула: ТулПИ, 1990. - 99 с.

143. Фатуев В.А. Идентификация объектов управления. Тула, ТулПИ,1977.

144. Фатуев В.А. К вопросу о выборе критерия оптимальной идентификации динамических систем.// В - сб. науч. тр./ Автоматические системы управления технологическими процессами. -Тула, 1981. -Ç. 12-16.

145. Фатуев В.А. Оптимальная идентификация динамической системы по критерию управления.// В - сб. науч. тр./ Автоматические системы управления технологическими процессами. Тула, 1982. С. 32-36.

146. Фатуев В.А. Построение оптимальных моделей динамики по экспе-римеитальным данным. Тула, ТГТУ, 1993. - 104 с.

147. Фатуев В.А., Лазукин A.A. Анализ пригодности моделей линейных динамических систем для оптимального по быстродействию управления. // Известия ТулГУ. Серия «Вычислительная техника. Информатика.». Вып.5. «Информационные системы». Тула 1999г. С.169-175.

148. Фатуев В.А., Лазукин A.A. Оптимальное по быстродействию управление на основе неточных моделей динамики.// 12 Международная науч. конф. : Тезисы докл. Новгород: Новгород, гос. ун-т, 1999. СД39-141.

149. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978, 488 с.

150. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.312с.ские методы планирования эксперимента. М.: Наука, 1981. - С. 19 -73.

151. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 552 с.

152. Финни Д. Введение в теорию планирования экспериментов. М.: Наука, 1970. - 288с.

153. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных исследованиях. М.: Мир, 1969. - 287 с.

154. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973. - 957 с.

155. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968.-399 с.

156. Цыпкин Я З. Основы теории обучающихся систем. М.: Наука, 1970. -251с.

157. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М.: Наука, 1984. - 320 с.

158. Черноусько ФЛ., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления//Матем. анализ. 1977. Т. 14. С. 101-166.

159. Шенк X. Теория инженерного эксперимента. М.: Мир, 1972. - 381 с.

160. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. М: Энер-гоатомиздат, 1987. - 80 с.

161. Эйкхофф П. и др. Современные методы идентификации систем. М.: Мир, 1983.-400с.

162. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. Л.: Энергия. -1975,-416 с.

163. Юсупов P.M. Элементы теории идентификации технических объектов. М.: МО СССР, 1974. - 202 с.118